>>845
お見事でござる。

小生はまづ、
特性多項式 t^3 -5t^2 -5t +1 = (t+1)(tt-6t+1) の根が
　α^2，αγ=-1，γ^2 となることに注意する。
（α=1-√2，γ=1+√2)
もし　x_n = (y_n)^2 - (z_n)^2　の形に表わせるなら、
{y_n}，{z_n} の特性値は α，γと予想されるから、
特性方程式：　(t-α)(t-γ) = tt-2t-1,
∴　b_{n+1} = 2b_n +b_{n-1}
　y_n = (γ^n + α^n)/2,
　z_n = (γ^n - α^n)/(2√2),
を求めたのであった。
　y_0 = 1，z_0 = 0,
　y_{n+1} = y_n + 2z_n,
　z_{n+1} = y_n + z_n,
ゆえ、{y_n}，{z_n} は自然数である。
なお、これらは「ペル方程式」
　(y_n)^2 - 2(z_n)^2 = (-1)^n
も満たす。