2月号　
■出題1
問題（1）
　x_1 + x_2 + …… + x_n = k　となる解（x_1，x_2，……，x_n）の個数はＣ[n，k］
求めるものは
　f_n = Σ(k=0，m）Ｃ(n，k)，　　　m =［n/3]
ところで、k < n/3 のとき
　Ｃ(n，k）=｛(k+1)/(n-k)}Ｃ(n，k+1）<（1/2)Ｃ(n，k+1)
　< … <（1/2)^(m-k）Ｃ(n，m).

　f_n = Σ(k=0，m）Ｃ(n，k)
　< Ｃ(n，m）（1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …）
　< Ｃ(n，m）* 2

〔補題〕
n≧2 のとき　Ｃ(n，m）≦（4/9)c^n,
ただし、c = 3/4^(1/3）= 1.889881575

(略証)
　Ｃ(2，0）= 1 < 4^(1/3）=（4/9)c^2,
　Ｃ(3，1）= 3 =（4/9)c^3,
　Ｃ(4，1）= 4 < 9/4^(1/3）=（4/9)c^4,
これと
　Ｃ(n+3，m+1）=｛(n+3)(n+2)(n+1)/[(m+1)(n-m+2)(n-m+1)]}Ｃ(n,m)
　<（27/4)Ｃ(n,m)
から出る。(終)

∴　f_n < c^n,