面白い問題おしえて～な 二十二問目©2ch.net
レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
>>879
紙で多面体を作って破れないように潰せばいいじゃん >>889 のリンク先を見る限りでは
・各面の形状が変わらないように連続的に変形できる多面体があるとすれば
その変形の過程において体積は変わらない
・各面が全て正三角形であるような、そのような多面体は見つかっていない
・それが存在しないことが証明されたとはそこには書いていない
という理解でよろしいか？ cosθ=3/4 0＜θ＜π/2とする。
このとき、cos(n-1)θ≧1/2^n -1を示せ。 >>907
和積公式より
cos{(n+2)θ}+cos(nθ) = 2cosθcos{(n+1)θ}
∴ cos{(n+2)θ} = (3/2)cos{(n+1)θ}-cos(nθ)
これを用いて、数学的帰納法により任意の自然数nについて
cos(nθ) = (4k+(-1)^n)/2^(n+1) （ただし、kは整数）
となることが示せる。
これを用いて
n≧2のとき
cos{(n-1)θ}+1 = (4k+(-1)^n-1+2^n)/2^n = (2(2k+2^(n-1))+(-1)^n)/2^n
ここで、cos{(n-1)θ}+1≧0であり、分子は奇数≠0より、
cos{(n-1)θ}+1 ≧ 1/2^n
∴ cos{(n-1)θ} ≧ 1/2^n -1
（これはn=1の時も成り立つ） >>908
cos(nθ) = (4k+(-1)^n)/2^(n+1)
ではなく
cos(nθ) = (2k+1)/2^(n+1)
でも、問題なく数学的帰納法は成立しますね^^; >>867の解答例
以下、m,α,β,a,kは自然数
(1)
m,m+1は互いに素であるから、m(m+1)がn乗数ならばm,m+1もそれぞれn乗数
しかしα^n-β^nが1になることはなく矛盾
(2)
N=a(a+1)(a+2)…(a+n-1)とおくと、n≧3でa^n<N<(a+n-1)^n
よって、Nがn乗数ならばN=(a+k)^n (1≦k≦n-2)と表せる
しかしNの約数であるa+k+1という数は、a+kと互いに素であり(a+k)^nの約数になることはなく矛盾
(補)
連続する2数に1以外の公約数があった場合、その公約数は2数の差の1を割りきるはずであり矛盾
よって連続する2数は互いに素 1行整数問題詰め合わせ
たぶん難易度順
m,nは自然数
(1) C[2015,n]が偶数になるnを求めよ。
(2) 全てのnに対してn^4+aが素数にならないような自然数aが無限に存在することを示せ。
(3) 2n-1,3n-1,5n-1のいずれかは平方数にならないことを示せ。
(4) a_n=2^n+3^n+6^n-1の全ての項と互いに素である自然数を求めよ。
(5) (n^3+1)/(mn-1)が整数となるm,nを求めよ。
(6) m,nに対してN=(m^2+n^2)/(mn+1)が自然数のとき、Nは平方数であることを示せ。
(7) (2^n+1)/n^2が自然数となるnを求めよ。 >>924
ジャンルをまとめて出題されると分かりやすいな。他の分野もやりたまえ！ 良問ぞろいだなあ。忘れ去ったダンジョン数学おとこより。 ■■■馬鹿板を続けたらオツムがスポンジ脳になるのでサッサと足を洗うべき。■■■
￥ 幾何(Geometry)は解答を書くのが面倒だし、代数(Algebra)の不等式は別スレがあるし、組み合わせ(Combinatorics)は問題文が長いし
やっぱり数論がナンバーワン！
解答は毎日1問ずつ掲載 ★★★数学徒は馬鹿板をしない生活を送り、日頃から真面目に学問に精進すべき。★★★
￥ >>924
(2) a=4m^4 (mは2以上の自然数)とすれば
n^4+a = (n^2-2mn+2m^2)(n^2+2mn+2m^2)
より、nがどんな整数でも、m^2 以上の2つの整数の積に書ける。
それはそうと幾何が人気無くてさみしいな
ついこの間の最大値問題なんか、どれだけ大きい数を達成できるかを競うってのがオリンピックみたいでわくわくしたもんだが ■■■馬鹿板を続けたらオツムがスポンジ脳になるのでサッサと足を洗うべき。■■■
￥ >>924 (3)
(2n)^2=4(n^2)+0
(2n+1)^2=4(n^2+n)+1
平方数を4で割った余りは0か1。
nを4で割った余りで場合分けすると、
2n-1,3n-1,5n-1を4で割った余りは
n:2n-1,3n-1,5n-1
0:3,3,3
1:1,2,0
2:3,1,1
3:1,0,2
どの行にも2か3が含まれている。 数学なのは、5～8.
10は多少数学っぽいかもしれない。
1～4はアウト。 とりあえず1は数学でもなんでもないな
つか全部読むなんて根性あるなｗ >>931
完璧！
Sophie Germainの不等式を知っていれば一瞬、知らなければかなり手こずる問題。
出典：IMO1969-1 >>943
正解！
元の問題は実質「2n-1,5n-1,13n-1のいずれか1つのみが平方数にならないことを示せ。」であり、解答と同じ手法でmod 16で確認する必要がある。
よく考えずに改変したら、かなり簡単になってしまった。
【別解】3を法として、平方数は0か1と合同であるが、nによらず3n-1≡2であり平方数となることはない。
出典：IMO1986-1 改題 >>947
「Sophie Germainの等式」だった ★★★数学徒は馬鹿板をしない生活を送り、日頃から真面目に学問に精進すべき。★★★
￥ (1)の模範解答
（n=0のときはC[2015,n]=1で奇数）
まず1≦n≦1008について考える
C[2015,n]
=(2015*2014*…*(2015-n+1))/(n*(n-1)*…*1)
=Π[k=1,n] (2016-k)/k …①
k=2^a*b (bは奇数)とおくと
(2016-k)/k
=((2^5*63)-(2^a*b))/(2^a*b)
=(2^(5-a)*63-b))/b …②
k≦31のとき、a≦4であるから
②は分子分母共に奇数、よってそれらの積の①も奇数
k=32のとき、a=5であるが
このとき②は分子が偶数（・分母が奇数）となり①も偶数になる …★
a=6,7,8,9 (k=64b,128b,256b,512b)のとき、②の分子が奇数・分母が偶数となるが
①の分子の素因数の2の指数sと、①の分母の素因数の2の指数tを比較したのが次表
1009≦n≦2014のときはC[2015,n]=C[2015,2015-n]で求められる
以上より、C[2015,n]が偶数になるのは
32b≦n＜32(b+1) （bは61以下の奇数）
b=2m-1とおけば
64m-32≦n＜64m （mは31以下の自然数） 順に
kの最大値(=n) s t ①の偶奇
（000～031 00 00 奇）
032(=2^5*01)～063 01 00 偶
064(=2^6*01)～095 01 01 奇
096(=2^5*03)～127 03 01 偶
128(=2^7*01)～159 03 03 奇
160(=2^5*05)～191 04 03 偶
192(=2^6*03)～223 04 04 奇
224(=2^5*07)～255 07 04 偶
256(=2^8*01)～287 07 07 奇
288(=2^5*09)～319 08 07 偶
320(=2^6*05)～351 08 08 奇
352(=2^5*11)～383 10 08 偶
384(=2^7*03)～415 10 10 奇
416(=2^5*13)～447 11 10 偶
448(=2^6*07)～479 11 11 奇
480(=2^5*15)～511 15 11 偶
512(=2^9*01)～543 15 15 奇
544(=2^5*17)～575 16 15 偶
576(=2^6*09)～607 16 16 奇
608(=2^5*19)～639 18 16 偶
640(=2^7*05)～671 18 18 奇
672(=2^5*21)～703 19 18 偶
704(=2^6*11)～735 19 19 奇
736(=2^5*23)～767 22 19 偶
768(=2^8*03)～799 22 22 奇
800(=2^5*25)～831 23 22 偶
832(=2^6*13)～863 23 23 奇
864(=2^5*27)～895 25 23 偶
896(=2^7*07)～927 25 25 奇
928(=2^5*29)～959 26 25 偶
960(=2^6*15)～991 26 26 奇
992(=2^5*31)～1008（～1023） 31 26 偶
… sは、a=5のときに、63-bの素因数の2の指数だけ増える。
tは、a=6,7,8,9のときに、a-5だけ増える。
Wolfram AlphaはC[2015,1008]（605桁）も計算できるので、適当なnで計算させて上の解答を確認できる。
入試問題として出た際は★を求めさせるまで。それ以降は非本質なので、無駄に拡張するべきではなかった。
2進数で解く方法（n=*****1*****と表せることを示す）もあるが、ググれば出てくるので割愛。
出典：東大2015前期数学（理科）5 改題 ■■■馬鹿板を続けたらオツムがスポンジ脳になるのでサッサと足を洗うべき。■■■
￥ (4)
1は任意のa_nと互いに素。
2はa_1=10と互いに素ではない。
3はa_2=48と互いに素ではない。
5以上の素数pで、任意のa_nと互いに素になるものは無いことを示す。
以下、pを法として
6(a_(p-2))
=6(2^(p-2)+3^(p-2)+6^(p-2)-1)
=3*2^(p-1)+2*3^(p-1)+6^(p-1)-6 …★
≡3*1+2*1+1-6 （∵フェルマーの小定理）
≡0
6とpは互いに素であるから
a_(p-2)≡0
（例えばp=5ならば、a_3=250≡0でa_3はpの倍数であり、pと互いに素ではない。）
素数で、任意のa_nと互いに素になるものは無いことが示された。よって、素数の積で表せる合成数についても、任意のa_nと互いに素になるものは無い。
以上より、与条件を満たすのは1のみ。
フェルマーの小定理（の系）：素数p、pと互いに素な自然数aについてa^(p-1)≡1 mod p
★で2,3,6がそれぞれpと互いに素であるのを利用した。
出典：IMO2005-4 (5)
i) m=nのとき
(与式)=n+1/(n-1)が整数になるのはn=2、すなわち(m,n)=(2,2)
ii) m>nのとき
n=1のときm=2,3、すなわち(m,n)=(2,1),(3,1)
n≧2のときを考える。
以下、nを法として
与式が整数のとき
n^3+1≡1, mn-1≡-1より(与式)≡-1であり …☆
(与式)=kn-1 （kは自然数）
とおける
kn-1=(n^3+1)/(mn-1)<(n^3+1)/(n^2-1)=n+1/(n-1)
∴(k-1)n<1+1/(n-1)≦2
よってk=1、n^3+1=(mn-1)(n-1)
∴m=(n^2+1)/(n-1)=n+1+2/(n-1)
これが整数になるのはn=2,3、すなわち(m,n)=(5,2),(5,3)
iii) m<nのとき
与式の対称性よりiiと同じ議論ができ
(m,n)=(1,2),(1,3),(2,5),(3,5)
以上より、(m,n)=(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,5),(3,1),(3,5),(5,2),(5,3)
このスレが埋まりそうなので、もう一問解答発表。
元々の問題をそのまま出したら出したで難易度が高すぎるんだよなぁ…
出典：IMO1994-4 （☆でさらっと1/(-1)=-1を行っているが、これは自明じゃない気がするなあ） >>989
m=nだから
(与式)
=(n^3+1)/(n^2-1)
=(n+1)(n^2-n+1)/(n+1)(n-1)
=(n^2-n+1)/(n-1)
={n(n-1)+1}/(n-1)
=n+1/(n-1)
だと思う ★★★忖度と処世術に汚染された日本人：権威主義的な支配と損したくない人達★★★
～～～芳雄氏が言う『研究者としての基本的態度』とは一体何だろうか～～～
佐藤幹夫：自分自身の素朴な疑問に真剣に耳を傾ける。⇒不滅の金字塔を打ち立てる。
糞父芳雄：人間関係を駆使し他人を操り根回しを行う。⇒ハリボテお教授として君臨。
隠蔽の財務省、嘘吐きの文科省、そして問答無用に屈服させる官邸。コレでも先進国？
（佐藤師がしてたのは本物の研究だ。だが）芳雄氏がしてたのはケケケ、ケンキュウ。
外見を繕って偉そう見せさえすれば何でもヨロシ。ほんで教授になりさえすれば研究の
中身なんて何でもヨロシ。そもそも論文なんてモンは、外国の権威ある雑誌に掲載され
さえすれば、その中身のギロンなんて何でもヨロシ。そやし適当に書いてしまえ～～～
中身がダメだと知ってて、ソレでもSTAP論文を外国に投稿して受理される。発覚したら
適当に言い逃れる醜い態度。オツムのダメな大学院生に「虚偽の良品ラベル」を貼って
世間に出荷するハリボテ大学は詐欺行為そのもの。世間に媚びを売って客商売に徹し、
『売れさえすれば学生の脳の質なんて何でもヨロシ』と居直る大学。そしてブランド名
だけを見て仕入れる世間。●●は一流大学やさかい、きっと優秀なエリートやろｗｗｗ
中身を何も説明しないで、問答無用に上から押し付ける。ソレをイチャモンで騒いで、
そして邪魔して潰そうとする周囲の下々。大学教員も国会議事堂も、そして馬鹿板人の
遣ってる事も皆同じだ。日本人はバカ民族であり、今は外国にもちゃんとバレてるので
海外からも軽蔑されるだけであり、そのうちにどの国からも信用されなくなるだろう。
近視眼的で打算的な人生観を息子に押し付ける父親と、大脳に栄養が足りてない連中が
跋扈する永田町や霞が関に支配される国に住む不幸、一体どうしてくれるというのか。
■■■馬鹿板を習慣にすれば脳が悪くなります。そやし数学徒には特にダメです。■■■
猫 レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
