正整数全体の集合を N と置く。n は正整数とする。
x＝(x_1,…,x_n), y＝(y_1,…,y_n)∈N^n に対して、
x≦y ⇔ x_i≦y_i (1≦i≦n) として N^n の上に半順序≦を定義する。

(1) N^n の任意の点列 { x^j }_{j＝1〜∞} ⊂ N^n に対して、
ある部分列 { x^{j_k} }_{k＝1〜∞} が存在して、x^{j_k}≦x^{j_{k＋1}} (k＝1,2,3,…)
が成り立つことを示せ。

(2) 実数全体の集合をRと置く。Rには通常の全順序≦を入れて全順序集合と見なす。
f：(N^n,≦) → (R,≦) は広義単調減少とする。すなわち、

∀x,y∈N^n [ x≦y ⇒ f(x)≧f(y) ]

が成り立つとする。このとき、inf{ f(x)｜x∈N^n } ＜ r なる任意の実数 r に対して、
max{ f(x)｜x∈N^n, f(x)＜r } が存在することを示せ。