面白い問題おしえて～な二十二問目©2ch.net

**１３２人目の素数さん転載ダメ©2ch.net** · 2016/05/29(日) 20:27:46.04

**１３２人目の素数さん** · 2017/01/11(水) 10:30:39.47

>>362-364
〔問題〕
調和級数の発散を使わずに、
Σ[k=1～∞) 1/p_k が発散することをを示せ。
ここに p_k は小さい方からk番目の素数。

**１３２人目の素数さん** · 2017/01/11(水) 10:31:10.73

>>371
左辺うんぬんは勘違い。すんません。
なるほど。約数を全部考えずとも、わかりやすい約数だけ並べただけで
発散することが言えるって話なのですね。

**１３２人目の素数さん** · 2017/01/11(水) 10:41:47.14

>>375

{1,2,…,N} を２組に分ける。

Ａ＝｛ p(m+1) 以上の素因数を含むｎ｝
　p(k) の倍数は [N/p(k)] 個ゆえ
　#A ≦ Σ[k>m] N/p(k),

Ｂ＝｛ p(m) 以下の素因数のみを含むｎ｝
　n = uvv,　(uは平方因子をもたない。）と分解する。
　u は 2^m 通り以下、1≦v≦√N ゆえ、
　#B ≦ (2^m)√N,

∴　N = #A + #B ≦ Σ[k>m] N/p(k) + (2^m)√N,

∴ 1 ≦ Σ[k>m] 1/p(k) + (2^m)/√N,

いま、N = [ {(2^m)/(1-a)}^2 +1] とおく。（0<a<1)

∀m>0：　a ≦ Σ[k>m] 1/p(k),

∴ 右辺はコーシー列でないので、収束しない。

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