面白い問題おしえて〜な 二十二問目©2ch.net
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
計算術に関するこの手の問題は不毛 暗算が速い人は正攻法でやるわけだから >>346 の考え方を知りたい。何をやっているのか想像がつかないんで。 n=1002401 a=49+1000i b=49-1000i c=20+1001i d=20-1001i とする。 n=ab=cdと2通りに分解されているが実際は n=efgh (a=ef, b=gh, c=eg, d=fh) というように分解されるはず。 このe,f,g,hを見つけるためa,cの公約数とa,dの公約数を計算する、ってな感じ。 4n+1型の素数は2個の平方数の和としてただ1通りに表されるという定理が根拠にある。 2次体の整数論を知らない人向けの蛇足。 整数a,bを用いてa+biと表される数(ガウス整数)に対し ノルムをN(a+bi)=a^2+b^2とすると、 N(αβ)=N(α)N(β)だったりする。 以下zと共役なガウス整数をz'で表すとする n=zz'=ww'と2通りに表されるとき、N(z)=N(w)=nであり、 zとwがガウス整数としての公約数αを持ちz=αβ,w=αγとすると、 N(α)やN(β)=N(γ)はnの約数。 >>346 さんがやってるのは、 zとwがノルムが1でない(単数でない)公約数を持つなら、 それはz-wの約数である、みたいな話かと。 行列の関数を詳しく取り扱った本って、>>308 以外にある? 自然数nについて、σ(n)をnの約数の総和とする σ(n)>100n を満たす自然数nは存在するか? 不等号の向きが>だったら楽勝でしょ? むしろ、小さい m に対して σ(n)<mn を全て求めよ とかが問題になり得るかな。 アホですがさっき問題考えました。 数学あまり知らないんでアホな事書いてたらスマソ 答えはまだ知りません。 問題 次のようなピアノが有ります。 上から見ると、左端と右端が円形に曲がって、くっついている円形のピアノ。 全部で白鍵が364個あり、その円の中心から、XY座標が伸びていて、ドレミファソラシのドの 白鍵とその左のシの白鍵のちょうどその境界線の座標(X,Y)=(0,0)にしてあるものとします。 円の半径は1メートルから5メートルの範囲のものとし、白鍵の幅は全部同じでその間の幅の長さも全部同じで、0.1mm以下とし、黒鍵の幅は白鍵の幅のちょうど、半分であるものとする。 そのピアノを自動演奏するロボットが存在し、1秒間隔に一つの鍵だけをロボットの指で 叩くものとする。 さて、問題です。 @西暦2000年1月1日になったばかりの0時0分0秒に、(0,0)の右隣のド(白鍵)を叩き、 以後、1秒間隔ごとに隣の白鍵にロボットの指を移して叩く運動が永遠に為されるものとする。 西暦3000年1月1日になったばかりの0時0分0秒に、ロボットは何か所目の白鍵を叩き、 その音はドレミファソラシのうち、どの音かを、しかもその座標をも求め、その サイン、コサイン、タンジェントをも求め、更に4秒で1小節が完了するものとし、 何小節目かをも求め、更に、左手の小指、薬指、中指、人差し指、親指、右手の親指、 人差し指、中指、薬指、小指の順番で叩き、それを繰り返すものとし、 どの指であるかをも求めよ。 ただし、暦はグレゴリオ暦に従うものの、閏秒は省くものとする。 A @と同じ条件でロボットが黒鍵のみを叩き続ける場合で、(0,0)のドの すぐ隣のド#から始める場合を求めよ。 B @, Aと同じ条件でロボットが、白鍵も黒鍵も順番通りに、 つまり、ド,ド#,レ,レ#,ミ,ファ,ファ#,ソ,ソ#,ラ,ラ#,シの12音をその 順番の通りに叩いてゆくものとし、その場合を求めよ n = Π_[i=1]^[i=k] p_i σ(n) = Π_[i=1]^[i=k] (1+p_i) σ(n)/n > 農[i=1]^[i=k] 1/p_i → ∞ (k→∞) 357の追加 C白鍵の数が360個の場合、つまり、左端がドで右端がミで終わっている ピアノでそれが円形に曲がり、くっついている場合をも求めよ。 357の追加(これで最後にするんでスマソ) D閏年の間は、1音目と2音目が1秒、3音目と4音目と5音目と6音目が0.5秒 で計4秒で1小節、つまり、4分音符2つと8分音符4つを繰り返した場合を求めよ E以上のものを2012年1月1日になったばかりの0時0分0秒に叩いた場合を求めよ。 (3000年は失敗だったかなと思ったので少しでも簡単にということで) あ、完全に間違ってた XY=(0,0)でなくて(1,0)でした すげー格好わるっ スマソ >>354 それって、素数を小さい方から順に並べた列を{p(n)}として、 Π[n=1,∞]p(n)/(p(n)-1) が収束するか否か、収束するならそれは100を超えるか という問題に帰結する気がする。 Nの素因数分解が N = Π[i=1,n]p(i)^a(i) ただし、p(1)〜p(n)は相異なる素数でa(1)〜a(n)は自然数 と表せるとき、Nの約数の総和は σ(N) = Π[i=1,n](Σ[j=0,a(i)]p(i)^j) となるので、 σ(N)/N = Π[i=1,n](Σ[j=0,a(i)](1/p(i))^j) と表せる。 ここで、Σ[j=0,a(i)](1/p(i))^jを各素数毎のσ(N)/Nに寄与するファクターだとすると、 その上限はΣ[j=0,∞](1/p(i))^j = p(i)/(p(i)-1) 有名な事実 素数の逆数和は発散する; 1/p(i)=∞ n=m!。 σ(n)≧n(1/1+1/2+1/3+...+1/m)。 >>367 ??? 左辺はσ(n)/nのつもりなのだろうがなんでそれが言えるの? (Σが文字化けしているが) >>358 ならわかるが。 >>369 左辺は > σ(n)≧n(1/1+1/2+1/3+...+1/m)。 で合ってる m!,m!/2,m!/3,...,m!/mはm!の約数 1 = 1, 1/2 = 1/2, 1/3 + 1/4 > 1/4 + 1/4 = 1/2, 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 > 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 1/2, m≧2^k のとき 1 +1/2 + 1/3 + … +1/m > 1 + k/2, >>347 n = AA + BB = CC + DD, のとき、 (n+AC-BD)*(n-AC-BD) = (n-BD)^2 - (AC)^2 = (n-BD)^2 - (n-BB)*(n-DD) = n*(B-D)^2, |B-D|=1 ならばnは n±AC-BD で割り切れる。 >>350 e = (14-15i), f = -(34-35i), g =i(34+35i), h =i(14+15i), a-c = 29-i = (1+i)e, a+d = 69-i = (1+i)(-f), eh = i|e||h| = 421i, fg = -i|f||g| = -2381i, >>362-364 〔問題〕 調和級数の発散を使わずに、 Σ[k=1〜∞) 1/p_k が発散することをを示せ。 ここに p_k は小さい方からk番目の素数。 >>371 左辺うんぬんは勘違い。すんません。 なるほど。約数を全部考えずとも、わかりやすい約数だけ並べただけで 発散することが言えるって話なのですね。 >>375 {1,2,…,N} を2組に分ける。 A={ p(m+1) 以上の素因数を含むn} p(k) の倍数は [N/p(k)] 個 ゆえ #A ≦ Σ[k>m] N/p(k), B={ p(m) 以下の素因数のみを含むn} n = uvv, (uは平方因子をもたない。)と分解する。 u は 2^m 通り以下、1≦v≦√N ゆえ、 #B ≦ (2^m)√N, ∴ N = #A + #B ≦ Σ[k>m] N/p(k) + (2^m)√N, ∴ 1 ≦ Σ[k>m] 1/p(k) + (2^m)/√N, いま、N = [ {(2^m)/(1-a)}^2 +1] とおく。(0<a<1) ∀m>0: a ≦ Σ[k>m] 1/p(k), ∴ 右辺はコーシー列でないので、収束しない。 >>362-364 >>375-377 Σ[p(素数)<n] 1/p − log(log(n)) → 0.26149721 (n→∞) Meissel-Mertens定数 とか云うらしい... 自分の中ではまだ未解決だけど投稿します n Σ(-1)^k・nCk・√k k=0 はn→∞で0に収束するか。 >>379 1/√(πlog(n)) → 0 (n→∞) >>380 和をnの指数に乗っけてみたりしたけどだめだった… 何でその式で評価できたかヒントくれたら嬉しい >>382 n次正方行列Pを (0 0 0 … 0 1) (1 0 0 … 0 0) (0 1 0 … 0 0) (0 0 1 … 0 0) ( … … … ) (0 0 0 … 1 0) のように定めると、任意の巡回行列Aは P^i (i=0,1,…,n-1) の線型結合で書ける。 よって、A^m (mは任意の自然数)も同様に P_i の線型結合で書けるので巡回行列。 Aの固有方程式を f(x) = x^n + a_(n-1)・x^(n-1) + … + (a_1)x + a_0 とおくと、A^-1 が存在する時、 A^-1 = -A^(n-1) - a_(n-1)・A^(n-2) - … - (a_1)A^0 も P_i の線型結合で書けるので巡回行列。 見にくくてすまぬ >>383 最後の長い式は (a_0)A^-1 = … だったわ…でも A^-1 が存在するなら a_0≠0 だし、両辺を a_0 で割ればおk >>382 A が巡回行列のとき、A の余因子行列(Bとする)も 巡回行列であることを示せば十分である。 そのためには、tB (Bの転置) が巡回行列であることを示せば十分である。 A の (i,j) 余因子を Δ(i,j) (係数(−1)^{i+j} は含まない定義を採用する)と書くと、 B = ((−1)^{i+j}Δ(j,i))_{i,j} であるから、tB = ((−1)^{i+j}Δ(i,j))_{i,j} である。 よって、これが巡回行列であることを言えばよい。簡単な考察により、係数 (−1)^{i+j} を 削除した (Δ(i,j))_{i,j} が巡回行列であることを示せば十分であることが分かる。 さて、A は n×n の行列で巡回行列とする。A=(a_{i,j})_{i,j} の添え字は 1≦i,j≦n の範囲しか動かないが、これを i,j∈Z 全体に「周期的に」拡張する。 さらに、ij平面 H を用意し、H の上に a_{i,j} (i,j∈Z) を敷き詰める。 ただし、H での座標の取り方は、右方向に行くほど j の値が増え、 下方向に行くほどi の値が増えるものとする。 この平面 H において、(n−1)×(n−1) マスの a_{i,j} の塊 S を任意に考える。 また、S の位置から右方向に+1マス, 下方向に+1マスずれた場所にある塊を S' とする。 S と S' の中に書き込まれている a_{i,j} の配置は完全に一致していることが 分かる( A が巡回行列であることから即座に従う)。 続く 続き 次に、各 Δ(s,t) について、Δ(s,t)=det(C) と行列式表示する。 ただし、C は A から第s行, 第t列を取り除いた (n−1)×(n−1)行列である。 C の中身の a_{i,j} の配置について、 ・ a_{i,j} の配置全体を上方向に s−1 マスずらす (上端からはみ出た行は順次下端に持っていく) ・ そのあと、a_{i,j} の配置全体を左方向に t−1 マスずらす (左端からはみ出た列は順次右端に持っていく) という変換をしたあとの行列を D とすると、 Δ(s,t) = det(D) * (−1)^{(n−2)(s−1+t−1)} = det(D) * (−1)^{n(s+t)} となることが分かる。また、D における a_{i,j} の配置は、 H における何らかの (n−1)×(n−1) マスの塊 S に書き込まれた a_{i,j} の配置と完全に一致する( A → C → D という変換の過程を 平面 H の中で見ればすぐに分かる)。 Δ(s+1,t+1) に対しても同じことをすると、 Δ(s+1,t+1)=det(D') * (−1)^{n(s+t)} という形になることが分かる。また、D' に対応する H における塊 S' は、 さっきの S の位置から右方向に+1マス, 下方向に+1マスずれた場所の塊である。 既に見たように、S=S' だったから、結局、Δ(s,t)=Δ(s+1,t+1) が成り立つ。 (ただし、s=n のときは s+1 を 1 に読み替える。t も同様。) よって、(Δ(i,j))_{i,j} は巡回行列である。 よって、Aの余因子行列は巡回行列である。 >>379 の類題のうち自力で解決できた問題 n Σ(-1)^k・nCk・1/√(k+2) k=0 は n→∞ で0に収束するか。 >>387 1/√(k+2)=(2/√π)∫(0〜∞)e^{-(k+2)xx}dx, (与式)=(2/√π)∫(0〜∞)e^(-2xx){1-e^(-xx)}^n dx, xx=y とおくと、 f(y)=e^(-2y){1-e^(-y)}^n =(4/nn){(n/2)e^(-y)}^2・{1−e^(-y)}^n ≦(4/nn){n/(n+2)}^(n+2) ←相乗・相加平均 ={4/n(n+2)}{n/(n+2)}^(n+1) =f(y0) ≒4/{een(n+2)}, ∵ (1+2/n)^((n+1)/2) ≒e, f(y)は y0=log((n+2)/2)にただ1つの極大をもつ。 その近傍を正確に求めるため、放物線→Gaussian で近似する。 f(y)≒f(y0){1−((n+2)/n)(y−y0)^2} ≒f(y0)e^{−((n+2)/n)(y−y0)^2}, これをyで積分する(-∞〜∞)と dx=dy/(2√y)≒dy/(2√y0), (与式)≒f(y0)/√{y0・(n+2)/n} ≒4/{ee(n+1)(n+2)√y0} → 0 (n→∞) 鞍点法、峠点法、WKB法とか云うのかな? >>379 >>381 C[n,k]・√k=n・C[n-1,k-1]/√k 以下、>>387-388 と同様にやれば出る? n階差分式も計算するのは中々大変... >>388 おお… 何というか、これが正攻法か…って感じで圧倒されました 自分が用意した解法の概略は以下の通りです。参考までに @C^∞((-1,∞))上の作用素Δを (Δf)(x):=f(x+1)-f(x) と定める AΔとD(微分)が可換であることを示す Bf(x):=1/√(x+1) とおくと、任意の非負整数n,mについて (-D)^m・(-Δ)^n・f は正である C数列 {(-Δ)^n・f(0)} は収束する D (-Δ)^n・f(1) = (-Δ)^n・f(0) - (-Δ)^(n+1)・f(0) より、左辺は0に収束する この方法では 1/√(x+1+ε) までにしか適用できないのが残念 F(n)をn番目のフィボナッチ数、 φ(k)を1以上k以下の整数のうちkと互いに素であるものの個数とする。 任意の非負整数nに対して Σ[k=1〜F(n+2)]φ(k)>=2^n が成り立つことを示せ。 >>388 この積分表示だと、pを0以上の実数、lを正整数、z∈C は |z+1|<1 を満たすとして lim[n→∞] Σ[k=0〜n] nCk z^k (k+l)^{−p} = 0 が出るね。 >>379 >>381 >>387-388 と同様にやると、 1/√(k+1)=(2/√π)∫(0〜∞)e^{-(k+1)xx}dx, (与式)=n納k=1,n] C[n-1,k-1] / √k =n納k=0,n-1] C[n-1、k] / √(k+1) =(2n/√π)∫(0〜∞)e^(-xx){1−e^(-xx)}^(n-1) dx, xx=y とおくと、 f(y)=e^(-y){1−e^(-y)}^(n-1) =(1/(n-1)){(n-1)e^(-y)}・{1−e^(-y)}^(n-1) ≦(1/(n-1)){(n-1)/n}^n ←相乗・相加平均 =(n-1)^(n-1) / (n^n) =f(y0) ≒1/{e√(n(n-1))}, ∵ (1+1/(n-1))^(n-1/2) ≒e, f(y)は y0=log(n)にただ1つの極大をもつ。 その近傍を正確に求めるため、放物線→Gaussian で近似する。 f(y)≒f(y0){1−(n/2(n-1))(y−y0)^2} ≒f(y0)e^{−(n/2(n-1))(y−y0)^2}, これをyで積分する(-∞〜∞)と dx=dy/(2√y)≒dy/(2√y0), (与式)≒f(y0)・√{2n(n-1)/y0} ≒(√2)/(e√y0) → 0 (n→∞) ひじょうに遅いものの、収束すると思うよ。 任意の正整数iに対してiとi+1は互いに素だから 任意の整数jはiまたはi+1と互いに素となるので φ(i)+φ(i+1)≧i+1(1はiとi+1のどちらとも互いに素なので) これにより任意の正整数mに対して 2Σ[k=1〜m]φ(k) =φ(1)+{φ(1)+φ(2)}+{φ(2)+φ(3)}+…+{φ(m-1)+φ(m)}+φ(m) ≧1+2+…+m+φ(m) =m(m+1)/2+φ(m) したがってΣ[k=1〜m]φ(k)≧m(m+1)/4+φ(m)/2 0≦n≦3のとき、直接代入することによって Σ[k=1〜F(n+2)]φ(k)≧F(n+2)(F(n+2)+1)/4+φ(F(n+2))/2≧2^n がいえる。 n≧4のとき、F(n)の一般項を考えると Σ[k=1〜F(n+2)]φ(k)≧F(n+2)^2/4≧2^n がいえる。 >>394 残念だが例えば6は15,16のどちらとも互いに素ではないぞ >>396 の言うとおりで、盛大に間違ってたw φ(i)+φ(i+1)≧i+1はi=14のとき成り立たない。 φ(i)+φ(i+1)≧iなら言えるかと思ったけどi=69のとき成り立たない。 根本的に考え方を変える必要がありそう。 >>391 解答 数列{a[n,m]}(n=0,1,...,m=0,1,2,...,2^n)を以下に従って帰納的に定める: a[0,0]=a[0,1]=1, i≧0において a[i+1.2k]=a[i,k](k=0,1,...,2^i), a[i+1.2k-1]=a[i,k-1]+a[i,k](k=1,2,...,2^i). このときmax{a[n.0],a[n,1],...,a[n,2^n]}=F(n+2)(n≧0)が帰納的に示される. よって数列a[n.0],a[n,1],...,a[n,2^n]はF(n+2)に対応するファレイ数列の,各項の分母のみを取り出してできる数列の部分列である(ファレイ数列の性質より). 一方ファレイ数列に現れる分母がk(≧2)の分数は高々φ(k)個であるから,φ(1)=1に注意すると所望の不等式が得られる.(終) >>398 こんな難しいことしなくても、チェビシェフによる素数定理の 初等的な評価の仕方を真似した方が、オーソドックスなのに より強い結果が出る。 鶏を割くに焉んぞ牛刀を用いん。 あえて牛刀を用いるマゾ体質に突っ込みを入れちゃぁいけないなあ。 どっちのことを牛刀と言っているのかは知らんが、 チェビシェフの計算を牛刀と証するのは物凄い違和感がある。 定理を引用するのではなく計算の技巧を参考にするだけなら 論理的に不経済というわけではないわな 濫りにチェビシェフ猊下を引用するのは 不敬罪であります。 a[k+1]=2a[k]+1を満たす数列は素数でない項をもつことを示せ >>405 a[1]>0 は素数とする。 a[1]=1 のとき、a[4]=15=3*5 は素数でない。 a[1]=2 のとき、a[6]=95=5*19 は素数でない。 a[1]=p (奇素数) のとき a[p]=2^(p-1)・(a[1]+1)-1≡2^(p-1)-1≡0 (mod p) ここでフェルマーの小定理を用いた。 また、a[p]>a[1]=pゆえ、a[p] は素数でない。 mを0以上の整数,nを2以上の整数とするとき, 2Σ[k=0〜m]C[2m,2k]n^{2k}(n+1)^{m-k}(n-1)^{m-k} は平方数でないことを示せ. x = √(nn-1) とおく。 S_M ≡ 2Σ[k=0〜[M/2]] C[M,2k] n^(2k) x^(M-2k) = (n+x)^M + (n-x)^M, S_0 = 2, S_1 = 2n, S_M = 2n・S_{M-1} - S_{M-2}, より、S_M は自然数。 S_{2m} = (S_m)^2 -2 は平方数でない。 >>409 訂正 S_M ≡ 2納k=0〜[M/2]] C[M,2k] n^(M-2k) x^(2k) = (n+x)^M + (n-x)^M, 任意の正の整数a,mに対して,以下の条件を満たす正の整数nが無限個存在することを示せ. 条件:an^2+1が相異なるm個以上の素因数をもつ. a[k+1]=2a[k]+1を満たす数列は素数でない項をもたない。 =>a[k+1],a[k] が素数、しかし いずれかは偶数 で おかしい。 よって a[k+1]=2a[k]+1を満たす数列は素数でない項をもつ ちなみに+1を+b(bは任意の正の整数)に置き換えても同じことが成り立つとさっきわかった rを有理数とし,f(r)=(cosrπ)^2とする. (1)f(2r)をf(r)で表せ. (2)(1)を利用して,f(r)が有理数となるときその値は0,1/4,1/2,3/4,1のいずれかであることを示せ. >>415 (1)だけ f(r) = {1+cos(2rπ)}/2, f(2r) = {cos(2rπ)}^2 = {2f(r)−1}^2, rを二倍二倍していくと、f(r)はあるところから循環する f(r)がそれらの値でないと、分母が肥大化していく Σ1/(p^2+q^2) は収束するか。ただしp,qは全ての素数を動く 書き方悪かったかも Σ1/(p^2+q^2) p,qは素数 {p,q}で前空間を覆う integrate((1/r^2)r, {r,1,Infinity}] で発散するが 適当な薬て実用麺では、積分可能になるので使い方次第。 >>422 xが大きい所での素数率は 1/log(x) なので(素数定理) 納p]… ≒∫[a,∞)… dx/log(x) (与式)≒ ∬[a,∞)1/{(xx+yy)log(x)log(y)} dxdy > ∬[a,∞) 1/{(xx+yy)log(√(xy))^2} dxdy > ∬[a,∞) 1/{(xx+yy)log(√((xx+yy)/2))^2} dxdy = ∫[a,∞) 1/{r・log(r/√2)^2} (π/2)dr =[ -π/2log(r/√2) ](r=a,∞) = π/{2log(a/√2)}, う〜む ∫[0,π/2]1/{log(cosθ)*log(sinθ)} dθ = ∞ で発散? p[k]をk番目の素数とする p[k]^2+p[n-k]^2 は、k=[n/2]で最小になることに注目すると、 Σ[i,1,N]Σ[j,1,N] 1/(p[i]^2+p[j]^2) =Σ[n,2,2N]{Σ[k,1,n] 1/(p[k]^2+p[n-k]^2)} - 2Σ[余分に足した領域] <Σ[n,2,2N]{Σ[k,1,n] 1/(p[k]^2+p[n-k]^2)} <Σ[k,1,N] {(2k-1)/(2p[k]^2) + 2k/(2p[k]*p[k+1])} <Σ[k,1,2N] k/p[k]^2 たぶん 収束 p[k]をk番目の素数とする。 s_n = Σ[k=1,n-1]1/(p[k]^2 + p[n-k]^2) < π/n^2, …(*) ∴ Σ[n=2,N]s_n < Σ[n=2,N]π{1/(n-1/2) - 1/(n+1/2)} = π{2/3 - 1/(N+1/2)} < 2π/3, >>427 nが小さい所では s_2 = 1/8 = 0.125 s_3 = 0.153846154 s_4 = 0.124521073 s_5 = 0.096559378 s_6 = 0.070482759 s_7 = 0.053972336 s_8 = 0.041964605 s_9 = 0.034264846 s_10 = 0.028833721 s_11 = 0.024079395 s_12 = 0.020750266 s_13 = 0.017804386 s_14 = 0.015494523 s_15 = 0.013698936 s_16 = 0.012221603 = 3.128730 / 16^2 s_17 = 0.010254314 s_18 = 0.008568337 s_19 = 0.007161035 s_20 = 0.005957559 s_21 = 0.004919547 s_22 = 0.004035864 s_23 = 0.003270644 s_24 = 0.002596187 s_25 = 0.002023219 s_26 = 0.001549861 >>422 の答えは『収束する』です。 一応用意してた証明の概略はこんな感じ↓ @素数定理を使って、 p[n]≦(nlogn)/2 を満たす自然数nが有限個しか存在しないことを示す A和を積分で評価した後、x>1 の範囲で (xlogx)^2 が下に凸であることを利用して簡単にしてから計算し、収束を示す x以下の素数の数をπ(x)とおく。 〔補題〕 π(n)< 2n/log(n), (略証) n以下の自然数で、dで割りきれないものは n -[n/d]≦ n -(n/d)+(d-1)/d =(n+1)(1-1/p) =(n+1)/(1+1/p+1/pp+…) よって π(n)= n - Σ_(p)[n/p]+ Σ_(p<p')[n/pp']- Σ_(p<p'<p")[n/pp'p"]+ … < n・Π_p (n+1)(1-1/p) < n・(n+1)^((n+1)/2)/(1+1/2+1/3+…+1/n) (←*) < 2n/{log(n)+γ} * p(n)≧2n-1 より、π(n)≦[(n+1)/2], ここに γ = 0.5772156649(オイラー定数) 〔系〕 p[n] > n・log(n)/2 フィボナッチ数列F(n)について次の等式を証明せよ Σ[k=0,n-1]F(2^k)F(3*2^k)=F(2^n-1)F(2^n+1) もうひとつ。次の等式を証明せよ Σ[k=0,n-1](-1)^(n-k-1)*F(3^k)F(2*3^k)=F((3^n-1)/2)F((3^n+1)/2) >>431-432 G(n)= √{5・F(n)^2 + 4・(-1)^n}, とおくと F(n+m)F(n-m)={G(2n)- (-1)^n・G(2m)}/5, ・参考 sinh(a+b)sinh(a-b) = {cosh(2a) - cosh(2b)}/2, cosh(a+b)cosh(a-b) = {cosh(2a) + cosh(2b)}/2, >>433 に補足。。。 G(n) = F(n-1) + F(n+1), F(n)={G(n-1) + G(n+1)}/5, ∴ G(n+1)= G(n)+ G(n-1), 倍角公式 F(2n) = F(n)G(n), G(2n) = G(n)G(n) - 2(-1)^n, ・参考 nが偶数のとき F(n) =(2/√5)sinh(nα), G(n) = 2cosh(nα), nが奇数のとき F(n) =(2/√5)cosh(nα), G(n)= 2sinh(nα), α = log(φ)= log((1+√5)/2), a[1]<a[2]<・・・を正の整数からなる無限列とする. 正の整数kに対してa[i]+a[j]=kを満たす組(i,j)のうち,i≦jであるものの個数をf(k),i<jであるものの個数をg(k)と表す. (1)f(n)≠f(n+1)を満たす正の整数nが無限個存在することを示せ. (2)g(n)≠g(n+1)を満たす正の整数nが無限個存在することを示せ. >>435 正の整数kに対して a[i]=k となるiの個数をb[k]とおくと、 f(k)= Σ(i+j=k,i≦j)b[i]・b[j], g(k)= Σ(i+j=k,i<j)b[i]・b[j], 題意により b[k]= 0 or 1 だが... う〜む >>435 f(2n)+g(2n)は、b[n]=0の時偶数、b[n]=1の時奇数になるから、 f(n)+g(n)≠f(n+1)+g(n+1) を満たすnは無限に存在する事が言える。 しかしこれでは(1)と(2)の少なくとも一方が成り立つという事しか言えん… >>435 とりあえず、(1)はできたと思う。 正整数全体の集合を N と置く。B⊂N に対して、1_B:N → { 0, 1 } を 1_B(n)= 1 (n∈B), 0 (¬(n∈B)) と定義する。以下では、B={ 2a_i|i≧1 } と置く。 >>435 の f(n), g(n) に対して、 |{ (i,j)∈N^2|a_i+a_j=n }|= 2f(n)−1_B(n) = 2g(n)+1_B(n) が成り立つことに注意する。さて、F(x)=Σ[i=1〜∞] x^{a_i} と置くと、 この級数は|x|<1 なる任意の実数 x に対して絶対収束する。 また、任意の|x|<1 に対して F(x)^2=Σ[i,j=1〜∞] x^{a_i+a_j} =Σ[n=1〜∞] x^n|{ (i,j)∈N^2|a_i+a_j=n }| =Σ[n=1〜∞] (2f(n)−1_B(n))x^n =2Σ[n=1〜∞] f(n)x^n−Σ[n=1〜∞] 1_B(n)x^n =2Σ[n=1〜∞] f(n)x^n−Σ[i=1〜∞] x^{2a_i} =2Σ[n=1〜∞] f(n)x^n−F(x^2) となるので、F(x)^2+F(x^2)=2Σ[n=1〜∞] f(n)x^n となる。 同様にして、F(x)^2−F(x^2)=2Σ[n=1〜∞] g(n)x^n となる。 (続く) (続き) (1):背理法で示す。f(n)≠f(n+1)を満たす n が有限個しかないとする。 このとき、ある n_0 が存在して、n>n_0 のとき f(n) は定数である。 その値を s としておく。このとき、任意の|x|<1 に対して Σ[n=1〜∞] f(n)x^n =Σ[n=1〜n_0] f(n)x^n+Σ[n=n_0+1〜∞] sx^n =Σ[n=1〜n_0] f(n)x^n+Σ[n=0〜∞] sx^n−Σ[n=0〜n_0] sx^n =E(x)+s/(1−x) となる。ただし、E(x)=Σ[n=1〜n_0] f(n)x^n−Σ[n=0〜n_0] sx^n と置いた。 よって、 F(x)^2+F(x^2)=2Σ[n=1〜∞] f(n)x^n=2E(x)+2s/(1−x) となる。F(x)^2≧0 だから、F(x^2)≦2E(x)+2s/(1−x) となる。 これが任意の|x|<1 で言える。そこで、x↓−1 とすると、 +∞ ≦ 2E(−1)+2s/2 となって矛盾する( E(−1) は普通に実数値として値が定まることに注意する)。 よって、(1)が成り立つ。 >>435 の(2)も出来た気がするが、清書してみたら6レス分の長さになった上に 評価の仕方が際どくて、書き込むべきか非常に迷う・・・ 読み返してたら、不等号の向きを完全に間違えてる箇所があった 書き込まなくてよかったw >>435 の(2)の途中経過を書き込んでみる 昨日は不等号の間違いを見つけてしまってダメだったが、 そのあと別の計算をして、次のことは分かった ――――――――――――――――――――――――――――――――――― (2) 背理法で示す。g(n)≠g(n+1)を満たす n が有限個しかないとする。 このとき、ある n_0 が存在して、n>n_0 のとき g(n) は定数である。 その値を s としておく。明らかに s≧1 である。このとき、色々と計算すると、 (2s)^{-1} * (2^{1/3}+2^{-2/3})^{-3} ≦ liminf[n→∞] a_n / n^2, limsup[n→∞] a_n / n^2 ≦ 2 / s が成り立つことが証明できる。 ――――――――――――――――――――――――――――――――――― どのみち計算が長い上に間違ってる可能性があるので詳細は書き込まないが、 もしこれが正しいなら、a_k は k^2 のオーダーということになり、 かなりスカスカになっている こうなると、そもそも n=a_i+a_j の形では表せない n が 無限に存在しそうな気がするのだが、よく分からん >>430 ちょっと変… π(n)= n - Σ_(p)[n/p]+ Σ_(p<p')[n/pp']- Σ_(p<p'<p")[n/pp'p"]+ … < n・Π_p (1+1/n)(1-1/p) < n・(1+1/n)^((n+1)/2)/(1+1/2+1/3+…+1/n) (←*) < 2n/{log(n)+γ} * n≧3 のとき (1+1/n)^{(n+1)/2} <{e^(1/n)}^{(n+1)/2} = e^{(1+1/n)/2} ≦ e^(2/3) < e^(0.693…) = 2 14以下の自然数を8つ選び、どの三つ組も等差数列を成さないようにすることは可能か。 可能ならその選び方を全て求め、不可能なら証明せよ。 >>446 {1,2,4,5,10,11,13,14} しかないようですね。 もし7を選んだら、1〜6と8〜13の12個の中からは7を挟んで対称なペアは選べないので 7と、{1〜6,8〜13}のうちから6個と、13を選ぶことになるが、 この場合、1〜6と8〜13の中の7を挟んだペアの片方は必ず選ぶことになり、 すぐ矛盾が導ける。 例えば、もし6を選んだら5は選べないので9を選ぶことになるが、 7,9があるので11は選べず3を選ぶことになり、3-6-9で不適。 8を選んだ場合も同様。 以上より、7は選べないことがわかる。 同様にして、8も選べない。 すると、1〜6と9〜14から8個選ぶことになるが、連続した6個から5個は選べないことは すぐわかるので、結局1〜6と9〜14からそれぞれ4個ずつ選ぶことになる。 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
read.cgi ver 07.5.5 2024/06/08 Walang Kapalit ★ | Donguri System Team 5ちゃんねる