>>304
Ａを n次正方行列とし、その固有多項式を
　f(t) =｜tＩ - Ａ|,
とします。

Cayley-Hamiltonにより
　ｆ(Ａ) = O,
　Ａ^n = (Ａのn-1次以下の多項式）
ただし、Ａ^0 = Ｉ.
これを使って
　exp{Ａ} = Σ[k=0〜∞) (1/k!)Ａ^k
をＡの(n-1)次以下の多項式で表わす問題です。

Ａが2次のときは簡単で
exp{Ａ} = (1/2)(e^α + e^β)Ｉ+ [(e^β - e^α)/(β-α)][Ａ - (1/2)(α+β)Ｉ]　　　(α≠β)
　　　　= e^α [(1-α)Ｉ + Ａ]　　　　(α=β)
です。 ここにα、βは固有多項式 f(t) = tt - tr(Ａ)t + det(Ａ) の根です。

Ａが3次以上のときはどうなるでしょうか？

（注）Ａを対角化する方法は、固有ベクトルを求めねばならず、ひじょうに面倒です。