面白い問題おしえて〜な 二十二問目©2ch.net
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これ2次じゃないと成り立たないの? もし3次以上でも成り立つならひょっとしたらエレガントな解法あるのかもね? >>269 文字が対称だから入れ替えたのか? とんでもない誤りだ。 たとえば、A^2 + B^2 =AB だが、AB≠BA となる2次正方行列A、Bが存在する。 A^2 + B^2 = 2AB のときは、AB=BA となっている。 >>267 を改造。 複素数を成分とする2次正方行列 A、B に対して、 (1) A^2 + B^2 = 2AB をみたすならば、AB=BA であることを示せ。 (2) A^2 + B^2 = kAB かつ AB=BA をみたす k の条件を求めよ。 ( ゚∀゚) プゥ ノヽノ) =3'A`)ノ ヒャー くく へヘノ >>268 >>269 A 000 001 000 B 010 000 000 >>270 A=B=0 >>270 行列AとBを交換して、式を書き換えることは可能で B^2 + A^2 = 2BA A^2 + B^2 = 2ABだから、AB = BA >>272 それは詭弁だぞ、しっかりしろ。 しかし、意図したとおりの良い間違いをしてくれので、問題の面白さが伝わるだろう。 どこで間違ったかを明確にするために、条件 A^2 + B^2 = C とおいて説明する。 A^2 + B^2 = C … [1] 左辺のAとBを置き換えて (←ここが勘違いの元。) B^2 + A^2 = C … [2] これは正しい。いまは C=2ABで、左辺のAとBを置き換えても、右辺は2BAにならずに 2ABのままなのだ。 実は、[1]の左辺のAとBを入れ替えた[2]は、和の順序を入れ替えたのであって、右辺の積の順序を入れ替えてはダメ。 一般に行列は可換でないから。 C=2ABのときは、結果的にAB=BAが成り立つのが、たとえばC=ABのときは成立しない。 >>272 a*b=a/bが成り立つ場合、これが成り立つからと言ってb*a=b/aが成り立つとは限らない 実際、3*1=3/1が成り立つからと言って3と1を入れ替えると成り立たない 「B^2 + A^2 = 2BAが一般に成り立つ」(実際は成り立たないけど)ってことと混同してると思う >>267 AA + BB - 2AB = (A-B)^2 - (AB-BA) = CC - D, また tr(D) = tr(AB-BA) = 0, (1) Cayley-Hamilton(2次)より、 CC = tr(C)C - det(C)・I, (2) (1)(2)より tr(CC-D) = tr(C)^2 - 2det(C), (3) ところで、 tr{(CC-D)[2C-tr(C)・I]} = tr{[tr(C)C-det(C)・I-D][2C-tr(C)・I]} (←(2)) = tr(C)[tr(C)^2 - 4det(C)] = tr(C)[2tr(CC-D) - tr(C)^2] (←(1)(3)) ここで AA + BB = 2AB, のとき CC-D = O, ∴ 上式より 0 = -tr(C)^3, ∴ tr(C) = 0, ∴ det(C) = 0, (←(3)) ∴ CC = O, (←(2)) ∴ D = AB-BA = O, エレガントぢゃねぇなぁ... >>276 一行目を少し弄ってみる C = A-B とおき、条件式 O = AA+BB-2AB を変形すると O = AA + (A-C)(A-C) - 2A(A-C) = AC - CA + CC ∴CC = CA-AC … [1] 両辺のトレースを考えて tr(CC) = tr(CA-AC) = tr(CA)-tr(AC) = 0 ∴tr(CC) = 0 … [2] Cayley-Hamilton より、 CC = tr(C)C - det(C)・I … [3] 両辺のトレースを考えて、[2] を用いると 0 = [tr(C)]^2 - 2det(C) … [4] もし det(C)≠0 とすると、[1] の左右から C^(-1) を掛けて、 I = AC^(-1) - C^(-1)A 両辺のトレースを考えると、2=0 となって矛盾するの したがって det(C)=0 で、[4]から tr(C)=0 となり、[3] から CC=0 ∴0 = CC = (A-B)(A-B) = AA+BB-AB-BA = (AA+BB-2AB) + AB-BA = AB-BA ∴AB = BA ( ゚∀゚) エレファント! 他に 「○○ならばAB=BAである」 系の類題ないですかね? >>273 当たり前の解説をどうも。エレガントな解を書く人間が現れないかと思って わざと書いてみたまで。 >>280 センター試験の数学満点の私がこの程度の問題で 間違えるなどということはないので、そうではない。 >>267 A,Bの固有値が等しく、共通の固有ベクトルがとれて 同時に対角化または三角化できることから示せそうだけど、場合分けがめんどくさい (1) 絶対値abs(x)を、四則演算とルートのみを用いた式で表せ。 (2) 2数a,bから大きいほうを選ぶ関数Max(a,b)を、四則演算とルートのみを用いた式で表せ。 本当に馬鹿だな 要点さえ書けば後は自明ということ この呼吸が掴めない者は置いて行かれ、馬鹿にされる センター試験がどうたらとか抜かす坊やが勘違いして書き込むスレだから、レベルが低いのは仕方がないこと。 出題したの俺だけどなんで荒れてんの… 正解 (1) abs(x)=sqrt(xx) (2) Max(a,b)=(sqrt((a-b)(a-b))+a+b)/2 abs(x)=Max(x,-x)とも定義できる >>291 >>280 のレスを否定するために、数学力の一端を言うのが何故勘違いなのか答えよ さいきん線形代数の復習をしているんだけど、なんか面白い問題ない? >>304 Aを n次正方行列とし、その固有多項式を f(t) =|tI - A|, とします。 Cayley-Hamiltonにより f(A) = O, A^n = (Aのn-1次以下の多項式) ただし、A^0 = I. これを使って exp{A} = Σ[k=0〜∞) (1/k!)A^k をAの(n-1)次以下の多項式で表わす問題です。 Aが2次のときは簡単で exp{A} = (1/2)(e^α + e^β)I+ [(e^β - e^α)/(β-α)][A - (1/2)(α+β)I] (α≠β) = e^α [(1-α)I + A] (α=β) です。 ここにα、βは固有多項式 f(t) = tt - tr(A)t + det(A) の根です。 Aが3次以上のときはどうなるでしょうか? (注)Aを対角化する方法は、固有ベクトルを求めねばならず、ひじょうに面倒です。 >>305 ( ゚∀゚) ウホッ、いい問題。 とりあえず2次正方行列の場合は出来た。 >>305 やり方は2次のときと同じようにすれば出るよね。 固有値が相異なるときを計算中だけど、計算が面倒…。 >>306-307 Lagrange-Sylvesterの補間式を使うといいらしい・・・ ・参考書 千葉克裕「行列の関数とジョルダンの標準形」【増補改訂版】サイエンティスト社(2010/June) 260p.2700円 http://www.scientist-press.com/14_294.html http://www.amazon.co.jp/dp/4860790391 >>306-307 多項式P(x)をf(x)で割ると P(x) =f(x)Q(x) + R(x), R(x)は高々(n-1)次の多項式 (←fはn次の多項式) n=2 のときは R(x) = [(b-x)/(b-a)]P(a) + [(x-a)/(b-a)]P(b) (a≠b のとき) = P(a) + P'(a)(x-a) (a=b のとき) となるが... >>308 マジか、力任せに解いたぜ。(3次正方行列の固有値が相異なる場合だけだが) >>310 速レス乙です。 重根がない場合はR(x)に因数定理を使う → Lagrangeの補間式 重根がある場合は極限移行するか、R(x)、R'(x)、… に因数定理を使う → Lagrange-Sylvesterの補間式 ですね。 計算過程で Σ[n=0 to ∞] {1/(n+2)}*{a^n/n!} が出たけど、これってe^aの何倍かになるんだっけ? 結局、固有値について場合分けして、因数定理で解いた。Lagrangeの補間式は使ってないけど。 >>312 1/{(n+2)n!} = 1/(n+1)! - 1/(n+2)! {1 + (a-1)e^a}/(aa) ぢゃね? 重解をもつときは、因数定理で求めたものと、極限操作で求めたものが一致したので安心。 計算ミスが多すぎて時間かかりすぎたが、なんとか片付いたな、4次以上は無理だな… >>305 の起源は、 〔補題〕 A, B が実対称行列のとき tr{exp(A+B)}≦ tr{exp(A)exp(B)}, 等号成立は AB=BA のとき。 (京大RIMS元所長)荒木教授ご提出らしい。 数セミ増刊「数学の問題」第2集、日本評論社(1978) No.96 >>317 その本には n=2 の場合しか証明がないけど、一般の場合の証明はどうするのでしょうね。 参考文献があれば教えてください。 >>317 その本には実対称行列の場合しか証明がないけど、エルミート行列の場合の証明はどうするのでしょうね。 参考文献があれば教えてください。 あぶない、あぶない。釣られるところだった。どうせ こないだの>>272 だろ。 ヴぁれた… det{exp(A)} = e^{tr(A)}, >>316 この本 TeXじゃないから読みにくいよな >>321 Aが正規行列なら、ユニタリ行列で対角化できて簡単 そうでないときはジョルダンの標準形が必要で面倒 >>316 せっかく借りたのに、改定前の古い方だった件。 >>323 tr(対角和)を計算するだけなら、三角化すればおk。 >>317 > 〔補題〕 > A, B が実対称行列のとき > tr{exp(A+B)}≦ tr{exp(A)exp(B)}, > 等号成立は AB=BA のとき。 > > 数セミ増刊「数学の問題」第2集、日本評論社(1978) No.96 その証明を読んでみて、P.138の左側一行目 「ても、やはり、(2)が示される」 ここまでは理解できたけど、その直後の 「つまり trA = trB =0 の場合について照明すれば十分であることに注意する」 が何故なのか分からん。俺はアホなのか? >>323 とりあえず三角化すれば固有値は求まるから、tr も det も求まる... A = P凾o^(-1), det(xI-A) = det(P(xI−)P^(-1)) = det(xI−) = Π(x-d_i) >>326 n次の正方行列A1、B1に対して A = A1 - tr(A1)/n・E B = B1 - tr(B1)/n・E とおけば、 tr(A) = tr(B) = 0 になります。 このAとBについて(2)が成り立てば、 上で説明したように x = tr(…)/n とおけば 一般の行列A1とB1につても(2)が成り立つよ、 ということでしょうね。 sin先生一流のご講釈と思いますが、初心者には取付き難かったかも? でしたね... 問 任意のデータで可逆圧縮できる方法が存在しないことを示せ 指数行列とか、普通の線型代数の本には載ってないんよな m!+1=n^2の自然数解をすべて求めよ。 というのを一年以内にどこかのスレで見かけたけど、解法が分からん。 m!=(n+1)(n-1)でnは奇数くらいしか思いつかん。 329訂正 任意のデータについて圧縮後のデータサイズが元より小さくなるような可逆圧縮の方法が存在しないことを示せ >>335 それだと条件が強すぎてくだらない。 そのような可逆圧縮が存在したとすると、 1ビットのデータは0ビットのデータに圧縮せざるをえないが、 1ビットのデータは2種類あり、0ビットのデータは1種類しかないので、 0ビットのデータの復元先が少なくとも2種類存在することになって、 可逆にできない。 三辺の長さ、および面積が自然数の三角形は、平面上の格子点を頂点とする三角形で実現できることを示せ。 というような問題を、昔、エレガントな解答を求む(を集めた本)で見た気がするけど、あってる? >>332-334 (m,n) = (4,5) (5,11) (7,71) をブラウン数とか云うらしい... 今更ながら e^A・e^B について Baker-Campbell-Hausdorff formula というのを知った。 1からnまでの自然数が書かれたカードがm枚ずつ合計mn枚ある。 これらをよく混ぜてから、m枚ずつ選んで n組に分ける。このとき、 各組から1枚ずつ選んで1からnまでの数字を揃えることができることを示せ。 >>342 このパズル20問しかないんだな。あっという間に終わってしまった。 〔問題〕 f(x,y) がn次の同次多項式で f(x,y) + f(x+y,z) = f(x,y+z) + f(y,z) を満たすならば、 f(x,y) = c[ (x+y)^n -x^n -y^n ] (cは定数)となることを示せ。 (佐武一郎教授ご提出らしい。) 数セミ増刊「数学の問題」第2集、日本評論社(1978)、No.68 >>344 正解。 1002401=(49+1000i)(49-1000i)=(20+1001i)(20-1001i) と分解できるので (49+1000i)-(20+1001i)=29-i=(1+i)(14-15i) (49+1000i)+(20-1001i)=69-i=(1+i)(34-35i) 14^2+15^2=196+225=421 34^2+35^2=1156+1225=2381 と計算すれば、素因数の候補として421と2381が得られる。 あとは実際にこれらが素数であることを確認すれば終わり。 >>346 なんで素因数の候補になるのか、理屈が分かりません。 計算術に関するこの手の問題は不毛 暗算が速い人は正攻法でやるわけだから >>346 の考え方を知りたい。何をやっているのか想像がつかないんで。 n=1002401 a=49+1000i b=49-1000i c=20+1001i d=20-1001i とする。 n=ab=cdと2通りに分解されているが実際は n=efgh (a=ef, b=gh, c=eg, d=fh) というように分解されるはず。 このe,f,g,hを見つけるためa,cの公約数とa,dの公約数を計算する、ってな感じ。 4n+1型の素数は2個の平方数の和としてただ1通りに表されるという定理が根拠にある。 2次体の整数論を知らない人向けの蛇足。 整数a,bを用いてa+biと表される数(ガウス整数)に対し ノルムをN(a+bi)=a^2+b^2とすると、 N(αβ)=N(α)N(β)だったりする。 以下zと共役なガウス整数をz'で表すとする n=zz'=ww'と2通りに表されるとき、N(z)=N(w)=nであり、 zとwがガウス整数としての公約数αを持ちz=αβ,w=αγとすると、 N(α)やN(β)=N(γ)はnの約数。 >>346 さんがやってるのは、 zとwがノルムが1でない(単数でない)公約数を持つなら、 それはz-wの約数である、みたいな話かと。 行列の関数を詳しく取り扱った本って、>>308 以外にある? 自然数nについて、σ(n)をnの約数の総和とする σ(n)>100n を満たす自然数nは存在するか? 不等号の向きが>だったら楽勝でしょ? むしろ、小さい m に対して σ(n)<mn を全て求めよ とかが問題になり得るかな。 アホですがさっき問題考えました。 数学あまり知らないんでアホな事書いてたらスマソ 答えはまだ知りません。 問題 次のようなピアノが有ります。 上から見ると、左端と右端が円形に曲がって、くっついている円形のピアノ。 全部で白鍵が364個あり、その円の中心から、XY座標が伸びていて、ドレミファソラシのドの 白鍵とその左のシの白鍵のちょうどその境界線の座標(X,Y)=(0,0)にしてあるものとします。 円の半径は1メートルから5メートルの範囲のものとし、白鍵の幅は全部同じでその間の幅の長さも全部同じで、0.1mm以下とし、黒鍵の幅は白鍵の幅のちょうど、半分であるものとする。 そのピアノを自動演奏するロボットが存在し、1秒間隔に一つの鍵だけをロボットの指で 叩くものとする。 さて、問題です。 @西暦2000年1月1日になったばかりの0時0分0秒に、(0,0)の右隣のド(白鍵)を叩き、 以後、1秒間隔ごとに隣の白鍵にロボットの指を移して叩く運動が永遠に為されるものとする。 西暦3000年1月1日になったばかりの0時0分0秒に、ロボットは何か所目の白鍵を叩き、 その音はドレミファソラシのうち、どの音かを、しかもその座標をも求め、その サイン、コサイン、タンジェントをも求め、更に4秒で1小節が完了するものとし、 何小節目かをも求め、更に、左手の小指、薬指、中指、人差し指、親指、右手の親指、 人差し指、中指、薬指、小指の順番で叩き、それを繰り返すものとし、 どの指であるかをも求めよ。 ただし、暦はグレゴリオ暦に従うものの、閏秒は省くものとする。 A @と同じ条件でロボットが黒鍵のみを叩き続ける場合で、(0,0)のドの すぐ隣のド#から始める場合を求めよ。 B @, Aと同じ条件でロボットが、白鍵も黒鍵も順番通りに、 つまり、ド,ド#,レ,レ#,ミ,ファ,ファ#,ソ,ソ#,ラ,ラ#,シの12音をその 順番の通りに叩いてゆくものとし、その場合を求めよ n = Π_[i=1]^[i=k] p_i σ(n) = Π_[i=1]^[i=k] (1+p_i) σ(n)/n > 農[i=1]^[i=k] 1/p_i → ∞ (k→∞) 357の追加 C白鍵の数が360個の場合、つまり、左端がドで右端がミで終わっている ピアノでそれが円形に曲がり、くっついている場合をも求めよ。 357の追加(これで最後にするんでスマソ) D閏年の間は、1音目と2音目が1秒、3音目と4音目と5音目と6音目が0.5秒 で計4秒で1小節、つまり、4分音符2つと8分音符4つを繰り返した場合を求めよ E以上のものを2012年1月1日になったばかりの0時0分0秒に叩いた場合を求めよ。 (3000年は失敗だったかなと思ったので少しでも簡単にということで) あ、完全に間違ってた XY=(0,0)でなくて(1,0)でした すげー格好わるっ スマソ >>354 それって、素数を小さい方から順に並べた列を{p(n)}として、 Π[n=1,∞]p(n)/(p(n)-1) が収束するか否か、収束するならそれは100を超えるか という問題に帰結する気がする。 Nの素因数分解が N = Π[i=1,n]p(i)^a(i) ただし、p(1)〜p(n)は相異なる素数でa(1)〜a(n)は自然数 と表せるとき、Nの約数の総和は σ(N) = Π[i=1,n](Σ[j=0,a(i)]p(i)^j) となるので、 σ(N)/N = Π[i=1,n](Σ[j=0,a(i)](1/p(i))^j) と表せる。 ここで、Σ[j=0,a(i)](1/p(i))^jを各素数毎のσ(N)/Nに寄与するファクターだとすると、 その上限はΣ[j=0,∞](1/p(i))^j = p(i)/(p(i)-1) 有名な事実 素数の逆数和は発散する; 1/p(i)=∞ n=m!。 σ(n)≧n(1/1+1/2+1/3+...+1/m)。 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
read.cgi ver 07.5.5 2024/06/08 Walang Kapalit ★ | Donguri System Team 5ちゃんねる