この方程式って解けるのだろうか？ [転載禁止]©2ch.net

[0001 ひろし 2015/09/17(木) 16:25:55.24 ID:MJ/UmJnA]

a^x=loga(x)

aは正の定数

[0002 １３２人目の素数さん 2015/09/17(木) 16:31:13.00 ID:O153rG6r]

雨止んだよ

[0003 ひろし 2015/09/17(木) 16:54:59.27 ID:MJ/UmJnA]

元ネタはこの方程式の実数解が何個かを求める問題です。

[0004 １３２人目の素数さん 2015/09/17(木) 16:58:22.64 ID:qb9oodwK]

逆関数じゃん

[0005 １３２人目の素数さん 2015/09/17(木) 17:06:28.43 ID:HFJzxum3]

ヒロシです







１００円ショップで「これいくらですか？」と聞いたことがあります。

[0006 １３２人目の素数さん 2015/09/17(木) 18:36:10.09 ID:cihDqIdy]

最近の老損百はそれしておくほうが良い

[0007 ひろし 2015/09/17(木) 18:38:49.63 ID:MJ/UmJnA]

誰か答えてよ

[0008 １３２人目の素数さん 2015/09/17(木) 19:00:35.66 ID:QvsNdPWk]

はぁ、だって元恋人だよ？

[0009 １３２人目の素数さん 2015/09/17(木) 23:26:01.63 ID:yya45+5s]

a＞1だと成り立たないのは自明だな

[0010 １３２人目の素数さん 2015/09/17(木) 23:44:46.89 ID:yya45+5s]

a^x=log_a(x) -�@
a=1/bとすると (b＞1)
(1/b)^x=-log_b(x)

0<a<1のとき�@を満たすxが存在することは両辺のグラフを書いて自明だか
なんか気にくわないからわかりやすくわけて書いてみる(無理矢理だが)

f(x)=(1/b)^x
g(x)=-log_b(x)とおくと

x→＋0のとき
f(x)→1
g(x)→∞
x→∞のとき
f(x)→0
g(x)→-∞
f(x)とg(x)は区間(0,∞)で連続なので
f(x)とg(x)は交点を持つ

[0011 ひろし 2015/09/18(金) 07:21:28.03 ID:6hf88NGT]

a>1で成り立たないのがどうして自明なんですか？

[0012 １３２人目の素数さん 2015/09/18(金) 07:51:47.49 ID:26leBw61]

>>11
違うんですか？違っていたら教えていただけませんか

[0013 １３２人目の素数さん 2015/09/18(金) 08:13:52.94 ID:26leBw61]

考えてくうちにわからなくなってきたorz

[0014 １３２人目の素数さん 2015/09/18(金) 08:14:53.77 ID:0E1A36QN]

a>1でも成り立ちうるよ

[0015 １３２人目の素数さん 2015/09/18(金) 17:00:11.36 ID:Ya3xI5pf]

解けても解けなくても意味なさそう。一般的には解はもとまらないのよーん。

[0016 １３２人目の素数さん 2015/09/18(金) 17:47:55.20 ID:wLNGP79/]

略証
a^xはlog_a(x)の逆関数になっているのでこの二曲線が接する条件は
y=log_a(x)とy=xが接する条件とそれぞれ等しい
簡単な計算によりy=log_a(x)とy=xはa=e^(1/e)のとき接する。したがって
a>e^(1/e)のとき実数解なし
a=e^(1/e)のとき実数解1個
0<a<1,1<a<e^(1/e)のとき実数解2個となる

[0017 １３２人目の素数さん 2015/09/18(金) 17:59:54.10 ID:26leBw61]

>>16
本当にそれは簡単といえるの？

[0018 １３２人目の素数さん 2015/09/18(金) 18:06:17.85 ID:3hNvDT1G]

どうみても簡単じゃないの？
強いて言えば、aを盲牌で見つけないといけないところか

[0019 １３２人目の素数さん 2015/09/18(金) 18:08:03.61 ID:ykUVdRz9]

おっと、いかさまは禁止だ。落とし前つけてもらおう。

[0020 １３２人目の素数さん 2015/09/18(金) 18:30:45.37 ID:wLNGP79/]

>>17
f(x)=log_a(x)とする。接点をtとする。
f(t)=t,f'(t)=1を解けば良い
f(t)=tよりlog(t)/log(a)=t──(1)
f'(t)=1より1/(log(a)*t)=1──(2)
(2)よりlog(a)*t=1これを(1)に代入するとlog(t)=1、よってt=e
これを再び(1)に代入するとlog(a)=1/e、よってa=e^(1/e)

[0021 １３２人目の素数さん 2015/09/18(金) 18:40:55.52 ID:26leBw61]

>>20
これは俺の負けだww
f'(t)=1になるのをなんで気付けなかったんだろう.....

[0022 １３２人目の素数さん 2015/09/18(金) 18:47:49.11 ID:Vz5s/FAd]

これって数セミ2005年2月号で出題されたやつだよね

[0023 ひろし 2015/09/19(土) 00:37:14.89 ID:qlfkXktg]

解の個数についてはおまけみたいなもん。

本題はこの方程式の解をaで表すことができるかどうかを知りたい。

[0024 ひろし 2015/09/19(土) 00:39:15.68 ID:qlfkXktg]

>>16
てか0<a<1 のとき２個じゃないぞw

[0025 １３２人目の素数さん 2015/09/19(土) 00:52:12.93 ID:PfwSZAQq]

>>24
一個だよな....

[0026 ひろし 2015/09/19(土) 00:55:34.13 ID:qlfkXktg]

>>25

グラフ書けばだれでもわかるよなw

[0027 １３２人目の素数さん 2015/09/19(土) 01:02:36.31 ID:kVPLfsmk]

ひろしです

[0028 １３２人目の素数さん 2015/09/19(土) 20:59:33.05 ID:j1y5vfkm]

ど根性でぇい！

[0029 １３２人目の素数さん 2015/11/17(火) 01:52:33.98 ID:Z+gCdUZB]

>>5
イヤイヤ100円じゃないの普通にあるしｗ

[0030 １３２人目の素数さん 2015/11/17(火) 02:26:23.21 ID:C7EYnPeK]

横浜、たそがれ、ホテルの小部屋♭