この方程式って解けるのだろうか？ [転載禁止]©2ch.net

**ひろし** · 2015/09/17(木) 16:25:55.24

a^x=loga(x)

aは正の定数

**１３２人目の素数さん** · 2015/09/17(木) 16:31:13.00

雨止んだよ

**ひろし** · 2015/09/17(木) 16:54:59.27

元ネタはこの方程式の実数解が何個かを求める問題です。

**１３２人目の素数さん** · 2015/09/17(木) 16:58:22.64

逆関数じゃん

**１３２人目の素数さん** · 2015/09/17(木) 17:06:28.43

ヒロシです

１００円ショップで「これいくらですか？」と聞いたことがあります。

**１３２人目の素数さん** · 2015/09/17(木) 18:36:10.09

最近の老損百はそれしておくほうが良い

**ひろし** · 2015/09/17(木) 18:38:49.63

誰か答えてよ

**１３２人目の素数さん** · 2015/09/17(木) 19:00:35.66

はぁ、だって元恋人だよ？

**１３２人目の素数さん** · 2015/09/17(木) 23:26:01.63

a＞1だと成り立たないのは自明だな

**１３２人目の素数さん** · 2015/09/17(木) 23:44:46.89

a^x=log_a(x) -①
a=1/bとすると (b＞1)
(1/b)^x=-log_b(x)

0<a<1のとき①を満たすxが存在することは両辺のグラフを書いて自明だか
なんか気にくわないからわかりやすくわけて書いてみる(無理矢理だが)

f(x)=(1/b)^x
g(x)=-log_b(x)とおくと

x→＋0のとき
f(x)→1
g(x)→∞
x→∞のとき
f(x)→0
g(x)→-∞
f(x)とg(x)は区間(0,∞)で連続なので
f(x)とg(x)は交点を持つ

**ひろし** · 2015/09/18(金) 07:21:28.03

a>1で成り立たないのがどうして自明なんですか？

**１３２人目の素数さん** · 2015/09/18(金) 07:51:47.49

>>11
違うんですか？違っていたら教えていただけませんか

**１３２人目の素数さん** · 2015/09/18(金) 08:13:52.94

考えてくうちにわからなくなってきたorz

**１３２人目の素数さん** · 2015/09/18(金) 08:14:53.77

a>1でも成り立ちうるよ

**１３２人目の素数さん** · 2015/09/18(金) 17:00:11.36

解けても解けなくても意味なさそう。一般的には解はもとまらないのよーん。

**１３２人目の素数さん** · 2015/09/18(金) 17:47:55.20

略証
a^xはlog_a(x)の逆関数になっているのでこの二曲線が接する条件は
y=log_a(x)とy=xが接する条件とそれぞれ等しい
簡単な計算によりy=log_a(x)とy=xはa=e^(1/e)のとき接する。したがって
a>e^(1/e)のとき実数解なし
a=e^(1/e)のとき実数解1個
0<a<1,1<a<e^(1/e)のとき実数解2個となる

**１３２人目の素数さん** · 2015/09/18(金) 17:59:54.10

>>16
本当にそれは簡単といえるの？

**１３２人目の素数さん** · 2015/09/18(金) 18:06:17.85

どうみても簡単じゃないの？
強いて言えば、aを盲牌で見つけないといけないところか

**１３２人目の素数さん** · 2015/09/18(金) 18:08:03.61

おっと、いかさまは禁止だ。落とし前つけてもらおう。

**１３２人目の素数さん** · 2015/09/18(金) 18:30:45.37

>>17
f(x)=log_a(x)とする。接点をtとする。
f(t)=t,f'(t)=1を解けば良い
f(t)=tよりlog(t)/log(a)=t──(1)
f'(t)=1より1/(log(a)*t)=1──(2)
(2)よりlog(a)*t=1これを(1)に代入するとlog(t)=1、よってt=e
これを再び(1)に代入するとlog(a)=1/e、よってa=e^(1/e)

**１３２人目の素数さん** · 2015/09/18(金) 18:40:55.52

>>20
これは俺の負けだww
f'(t)=1になるのをなんで気付けなかったんだろう.....

**１３２人目の素数さん** · 2015/09/18(金) 18:47:49.11

これって数セミ2005年2月号で出題されたやつだよね

**ひろし** · 2015/09/19(土) 00:37:14.89

解の個数についてはおまけみたいなもん。

本題はこの方程式の解をaで表すことができるかどうかを知りたい。

**ひろし** · 2015/09/19(土) 00:39:15.68

>>16
てか0<a<1 のとき２個じゃないぞw

**１３２人目の素数さん** · 2015/09/19(土) 00:52:12.93

>>24
一個だよな....

**ひろし** · 2015/09/19(土) 00:55:34.13

>>25

グラフ書けばだれでもわかるよなw

**１３２人目の素数さん** · 2015/09/19(土) 01:02:36.31

ひろしです

**１３２人目の素数さん** · 2015/09/19(土) 20:59:33.05

ど根性でぇい！

**１３２人目の素数さん** · 2015/11/17(火) 01:52:33.98

>>5
イヤイヤ100円じゃないの普通にあるしｗ

**１３２人目の素数さん** · 2015/11/17(火) 02:26:23.21

横浜、たそがれ、ホテルの小部屋♭