コラッツ予想がとけたらいいな

**１３２人目の素数さん** · 2012/10/14(日) 10:32:39.71

525 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2012/09/03(月) 18:24:27.22
http://d.hatena.ne.jp/righ1113/
コラッツ予想について、証明を考えてみました。
ご指摘ご意見ご感想など、ぜひよろしくお願いします。

**righ1113** · 2013/07/13(土) NY:AN:NY.AN

sステップ後値の初期値0位置からの距離Lnは、
コラッツパターンを2進数で書いているのでlog[2]の対数目盛と見なして、
sステップ後コラッツ値のlog[2]を取れば良いことになります。

コラッツ操作27→41を変形すると
　　(27*3+1)/2 = 41 = (27+1/3)*3/2 = 27*(1+1/(3*27))*3/2
logをとって
　　log41 = log27 +log(1+1/(3*27)) +log(3/2)
コラッツ操作41→31を変形すると
　　(41*3+1)/4 = 31 = (41+1/3)*3/4 = 41*(1+1/(3*41))*3/4
logをとって
　　log31 = log41 +log(1+1/(3*41)) +log(3/2) -log2
　　　　　　= log27 + log(1+1/(3*27))(1+1/(3*41)) +2*log(3/2) -log2
よって一般化するとLnは以下になります。
引き算の部分はコラッツパターンでは右によせているので消えます。
　　Ln = [log(x) +s*log(3/2) +log(1+1/3x)…(1+1/3x_s-1)]

左端を伸ばすパターンの式は、初期値に次々と3/2をかければ良いので
　　log( x*(3/2)^n ) = log(x) +s*log(3/2)
となります。切り上げてLl = [log(x) +s*log(3/2)]です。

**righ1113** · 2013/07/13(土) NY:AN:NY.AN

よって、>>89より最大でもLn=Ll+1なので、
　　[log(x) +s*log(3/2) +log(1+1/3x)…(1+1/3x_s-1)] = [log(x) +s*log(3/2)] +1
切り上げを外して
　　log(1+1/3x)…(1+1/3x_s-1) < 2
logをとって
　　(1+1/3x)…(1+1/3x_s-1) < 4
となります。

**righ1113** · 2013/07/13(土) NY:AN:NY.AN

もしコラッツ予想で4-2-1以外のループがあったら
　　(1+1/3x)…(1+1/3x_s-1)
の中のループ1周期の積をXとおいて
　　X*X*X*…
となりますが、X>1なので、いずれ
　　X*X*X*… > 4
となって
　　(1+1/3x)…(1+1/3x_s-1) < 4
と矛盾します。

よって
　　コラッツ予想で4-2-1以外のループは存在しない
ことが証明できました。

**１３２人目の素数さん** · 2013/07/19(金) NY:AN:NY.AN

>>89の画像の上から2番目の図で、
コラッツパターンは11、左端を伸ばすパターンは01
となることはないか？

**righ1113** · 2013/07/20(土) NY:AN:NY.AN

ちょっとまってください

**１３２人目の素数さん** · 2013/07/20(土) NY:AN:NY.AN

一通り検証したけど、そこ以外は間違いはなさそう
本質的に難しいのはここなのかも
直接修正できなくても、Ln-Llが上から抑えられさえすればおｋ

**righ1113** · 2013/07/22(月) NY:AN:NY.AN

>>93
>>95
ありがとうございます。

指摘の部分ですが、すぐにできそうにないです。
>>89の画像の上から2番目の図で、
コラッツパターンが0011、左端を伸ばすパターンは**01の時は、
同じように次々ステップでずれはなくなります。
コラッツパターンが0111、1011、1111の時はどうしよう……

**righ1113** · 2013/08/03(土) NY:AN:NY.AN

修正できました。流れは以下です。

初めてコラッツパターンと左端を伸ばすパターンがずれる所を考える
ずれるステップをsとおく
　　↓
s-1,s-2,s-3のずれはない
　　↓
特定のパターン（2つ）しかあらわれない
　　↓
その特定のパターンはsでずれて、s+1,s+2,s+3ではずれない
　　↓
次にずれる時s2も、s2-1,s2-2,s2-3のずれはない

**righ1113** · 2013/08/03(土) NY:AN:NY.AN

特定のパターン1つ目です。
　　　　コラッツパターン　左端を伸ばすパターン
s-3  　**1　　　　　  　***1　　　　　　　　
s-2  　*11　　　　　  　**11　　　　　　　　
s-1  　0101　　　　　　　　**101　　　　　　　　　　
s　   　0000[1]　　　　　*1111　　　　　　　　　　
s+1  　**011　　　　  　101101　　　　　　　
s+2  　**1001　          　***0001　　　　      
s+3  　*11011　          　*****11　　　　      

特定のパターン2つ目です。s+2でまたずれるのでs'と置きなおしています。
　　　　　　コラッツパターン　左端を伸ばすパターン
s-3　　     　**1　　　　　  　***1　　　　　　　　
s-2　　     　*11　　　　　  　**11　　　　　　　　
s-1　　     　0101　　　　　　　　*1001　　　　　　　　　　
s　　　     　0000[1]　　　　　11011　　　　　　　　　　
s+1　　     　**011　　　　  　***101　　　　　　　
s+2 -> s'　　**100[1]　        　**1111　　　　　　　
s+3 -> s'+1　*11011　          　*101101　　　　      
s+4 -> s'+2　**00101　　　  　*******1　　　　　　
s+5 -> s'+3　***1111　　　  　******11　　　　　　

Ln=Ll or Ln=Ll+1が言えます。

**righ1113** · 2013/08/03(土) NY:AN:NY.AN

ぐじゃりましたね。こうです。
http://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/r/righ1113/20130803/20130803214250.jpg

**righ1113** · 2013/08/20(火) NY:AN:NY.AN

無限大に発散するほう、いけるか……

**なんとなくな一考察** · 2013/08/22(木) NY:AN:NY.AN

わかったよ
証明できるかも

学校の先生に聞いてみる

**righ1113** · 2013/08/25(日) NY:AN:NY.AN

無限大に発散するほう、むずかしいお......

**righ1113** · 2013/09/16(月) 04:56:49.18

無限大に発散するほう、できました。
コラッツ値xsが無限大に発散するとします。
xs = x0 *3^s/2^l *(1+1/3x0)…(1+1/3x_s-1)
xs < x0 *(3/2)^s s<lなので

かっこの部分を考えます。
(1+1/3x0)…(1+1/3x_s-1)… > (1+1/3x0)…(1+1/(3x0*(3/2)^(s-1)))…
> 1 +1/3x0 +1/3x0(3/2) +…+1/3x0(3/2)^(s-1) +…　　　等比数列の和

1+1/x0 < (1+1/3x0)…(1+1/3x_s-1)…
左辺第二項を大きくして、イコールになるところをα0とおく
1+α0/x0 = (1+1/3x0)…(1+1/3x_s-1)…　　　　①
同様にx1からスタートして
1+α1/x1 = (1+1/3x1)…(1+1/3x_s-1)…　　　　②

**righ1113** · 2013/09/16(月) 04:58:38.08

②を①に代入
(1+1/3x0)(1+α1/x1) = 1+α0/x0
きれいにして
(3α0-1)x1 = α1(3x0+1)

x1=(3x0+1)/2^qを代入して
(3α0-1)(3x0+1) = 2^q * α1(3x0+1)
x0の部分が消えて
α1 = α0 * 3/2^q * (1-1/3α0)

xsが発散する
　→　q=1が多い、αsが大きくなるとかっこの効果も弱まる
　　→　αsも発散する

**righ1113** · 2013/09/16(月) 05:16:00.29

一方、無限大に発散するコラッツ列でx0を最小値にとれば、
x0からx∞まで等比数列で下から押えられる
と仮定する。　xs > x0*a^s　　　　　　　　　③

(1+1/3x0)…(1+1/3x_s-1)… < (1+1/3x0)…(1+1/(3x0*a^(s-1)))…
≒ 1 +1/3x0 +1/3x0a +…+1/3x0a^(s-1) +…
不等号が成り立つようにaを少し小さくする

(1+1/3x0)…(1+1/3x_s-1)… = 1+α0/x0 < 1+1/x0 *a/3(a-1)

コラッツ列をグラフにした時に、下に凸な点を考える。
x0より後でx0の次に小さいxm1で
1+αm1/xm1 < 1+1/xm1 *a/3(a-1)
xm1より後でxm1の次に小さいxm2で
1+αm2/xm2 < 1+1/xm2 *a/3(a-1)
このプロセスはいくらでも続けられるので、
αmは発散するが、a/3(a-1)は一定なので矛盾する。

**righ1113** · 2013/09/16(月) 05:53:15.99

あとは③を証明すれば良い。
傾きaは、x0 *a^s < xsを満たすので、
log(a) < log(xs/x0)/s = log(x0 *3^s/2^l *(1+1/3x0)…(1+1/3x_s-1) /x0)/s
= log3 -l/s +logA/s　　　　　　　　(1+1/3x0)…(1+1/3x_s-1) = Aとおく

コラッツパターンより　l-s < log(xs)なので、
l/s < log(xs)/s +1 = log(x0)/s +log3 -l/s +logA/s +1
l/s < log(x0)/2s +log(3)/2 +logA/2s +1/2

l/sはsが大きくなると小さくなるので、傾きaはsが大きくなると大きくなる。
（直線x0-xm1の傾きより、x0-xm2、x0-xm3…の傾きのほうが大きい。
　　aを直線x0-xm1の傾きにとれば、コラッツ値はそれより上にある。）

以上で
　　コラッツ予想で無限大に発散する数はない
ことが証明できました。

**righ1113** · 2013/09/19(木) 20:24:57.81

>>106の
l-s < log(xs)
は自明じゃなかったです。
修正します。

**righ1113** · 2013/09/29(日) 01:07:15.53

修正できました。証明したい補題は以下です。

無限大に発散するコラッツ列でx0を最小値にとれば、
x0からx∞まで等比数列で下から押えられる
　xs > x0*a^s　　　　　　　　　③

コラッツパターンにおいて、左端の傾きをd1、
右端の傾きをd2(=log1.5)とおきます。
sステップ後の左端までの距離l-sは
　　l-s = s*d1
で、左端から右端までの距離log(xs)は
　　log(xs) = log(x0) +s*d2 -s*d1
です。
s*d1≦log(x0)の区間では
　　s*d1≦log(x0) +sd1 -sd1
　　　　< log(x0) +sd2 -sd1　　∵ d1 < d2
　　l-s < log(xs)
が成り立ちます。

**righ1113** · 2013/09/29(日) 01:09:27.19

s0 < s < sgまでxs > x0*a^sが成り立つ事がわかりました。
あとはこれをs∞まで広げれば良いわけです。

s0からsgの間に傾きaを上回る二点xf,xf+1が存在する
事が言えます。もしなかったらコラッツ値のグラフが傾きa直線とぶつかって
矛盾するからです。

xf,xf+1でも同様に
xs > xf * b^t　　　s < sh　　　が言えます。変形して
　　> x0 * a^f * b^t
　　> x0 * a^(f+t)　　∵ a<b

成り立つ区間がs < sgからs < sg < shにのびました。
このプロセスを繰り返せばs∞までxs > x0*a^sが言えます。
③が証明できました。

**righ1113** · 2013/10/06(日) 03:19:16.82

>>109の
s0からsgの間に傾きaを上回る二点xf,xf+1が存在する
をちゃんと説明すると、

http://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/r/righ1113/20131006/20131006025445.jpg

図のように
s0からsgの間に、コラッツ値x0,x1,x2,x3をとる
x1,x2,x3とx0との傾きは、sが大きくなるに従って大きくなるので、
　　x0-x1傾き < x0-x2傾き < x0-x3傾き
　　⇒ x0-x1傾き < x2-x3傾き
よって
　　s0 < s < sgまでxs > x0*a^s
　　s < sh　　　　　xs > xf * b^t
において
　　a < b
が言えます。

**１３２人目の素数さん** · 2013/10/22(火) 04:16:03.55

え

**１３２人目の素数さん** · 2013/11/06(水) 01:58:23.54

お

**１３２人目の素数さん** · 2013/11/19(火) 23:24:04.86

か

**１３２人目の素数さん** · 2013/12/03(火) 00:35:32.97

き

**１３２人目の素数さん** · 2013/12/21(土) 05:55:12.66

9232ってどうして頻発するの？

**１３２人目の素数さん** · 2014/01/04(土) 23:57:48.91

く

**righ1113** · 2014/01/05(日) 00:07:19.41

>>115
コラッツ操作で9232を通過する数がどうして多いか、ということですか。
自分は偶数を省いてやってたので気づきませんでした。
調べてみます。

**righ1113** · 2014/01/15(水) 21:11:20.77

うーんわかんないです

**１３２人目の素数さん** · 2014/01/16(木) 00:03:14.86

そうですか
寝てください

**righ1113** · 2014/01/18(土) 00:53:38.62

xを最大値に持つ数の個数をコンピュータで調べました。
500000くらいまで調べました。以下の事が分かりました。
・ほとんど0個
・1/5ぐらいで5個とか
・1/3000ぐらいで50個とか
・225988を最大値に持つ数は386個
・250504を最大値に持つ数は1759個
・560356を最大値に持つ数は500個
・575728を最大値に持つ数は550個
・695464を最大値に持つ数は612個
9232の1579個を超える数も見つかりました。
ごくまれに大きい個数が出てくるみたいです。

なぜこんなに偏っているのかは謎です……

**righ1113** · 2014/01/18(土) 00:54:28.34

ソースコードです。Haskellです。
Prelude> :l tree
*CTree> map colmaxcnt [1..100]
のように使います。

-- tree.hs start
module CTree where
data CTree = Leaf Int | Node CTree Int CTree deriving (Eq,Show)
collatz :: Int -> Int
collatz 1 = 1
collatz x | odd x　　 = x * 3 + 1
　　　　　| otherwise = x `div` 2
-- 木を引数まで成長させる
growm :: Int -> CTree -> CTree
growm _ (Leaf 0) = Leaf 0
growm y (Leaf x) | x > y 　　　 = Leaf 0
　　　　　　　　 | even(x)&&((mod (x-1) 3)==0)
　　　　　　　　　　　　　　　　= (Node (Leaf $ div (x-1) 3) x (Leaf $ x*2))
　　　　　　　　 | otherwise　　= (Node (Leaf 0) x (Leaf $ x*2))
growm y (Node t1 x t2) = (Node (growm y t1) x (growm y t2))

**righ1113** · 2014/01/18(土) 00:55:03.05

flatten :: CTree -> [Int]
flatten (Leaf x) = [x]
flatten (Node t1 x t2) = flatten(t1) ++ [x] ++ flatten(t2)
-- 空でないリストから収束した値を返す
conver :: Eq a => [a] -> a
conver [x] = x
conver (x1:x2:xs) = if x1==x2 then x1 else conver (x2:xs)
-- 最終結果
colmaxcnt :: Int -> Int
colmaxcnt 4 = 2
colmaxcnt x = if (any (x<) col) then 0 else chk
　　where col = takeWhile (1/=) (iterate collatz x)
　　　　　chk = length $ filter (\x->x/=0) $ flatten $ conver $ iterate (growm x) (Leaf x)

**１３２人目の素数さん** · 2014/02/21(金) 13:25:22.02

9232 が目立ってみえるのは、単に小さい初期値でしか調べてないから

**righ1113** · 2014/02/25(火) 00:41:37.58

僕もそれがいいたかったんです。ほんとです。

**１３２人目の素数さん** · 2014/02/25(火) 04:21:25.45

位数1024の群みたいなものか

**１３２人目の素数さん** · 2014/02/28(金) 23:35:58.04

9232未満の6分の1程度が9232に恋をして散ってしまう、というのは特筆すべきことだと思うけど。

**righ1113** · 2014/03/10(月) 18:37:13.99

無限大の証明ですが、間違っていました(>_<)
αは有限値をとるみたいです。
>>103-110は無しでお願いします。
新しい証明を考え中です。

**righ1113** · 2014/04/01(火) 20:46:55.54

あ、でも>>87-99の
4-2-1以外のループは存在しない証明は自信あります。

**righ1113** · 2014/04/22(火) 11:07:09.03

【検証】コラッツの予想(1-1000)
http://r-2ch.com/t/math/1240289175/
（>>12と同じ）にあった割数列というのを調べている。
これで全ての3の倍数の奇数を表わせないかなと。

気になるレスを抜き出してみる。

**righ1113** · 2014/04/22(火) 11:11:01.21

106
4 年前
ざっと計算機を回してみた感じでは、

任意の３の倍数でない奇数xに対して3の倍数yが存在して、
x∈collatz_set(y)
が成り立ちそうに見える。
80 ID: 2009/05/15 20:59

**righ1113** · 2014/04/22(火) 11:15:34.73

108
4 年前
もし>>106が成り立てば、コラッツの予想は３の倍数だけ調べればいいってことになって、
コラッツ素数の概念にもそれなりに意味が出てくる。
個人的には、そうであって欲しいところだ。
80 ID: 2009/05/15 21:25

**righ1113** · 2014/04/22(火) 11:20:26.74

110
4 年前
3で割り切れない数を9で割った余りは、1,2,4,5,7,8のどれかだけど、これは

1*2^6≡1
2*2^5≡1
4*2^4≡1
5*2^1≡1
7*2^2≡1
8*2^3≡1 (mod 9)

のように、どれも2を適当な回数掛けることで、9で割ると1余る偶数にできる。
ここから1を引いて3で割れば3の倍数である奇数になる。
>>106の予想は正しい。
１３２人目の素数さん ID: 2009/05/16 00:38

**righ1113** · 2014/04/22(火) 11:23:45.07

285
4 年前
>>283
ありがとう！ここから何か出てこないかな・・

一つ、完全割数列→完全割数列に関しての操作を見つけた。
長さｎの完全割数列→長さｎ＋１の完全割数列

まず、長さｎの完全割数列を、初項に０をつけたｎ＋１型で表す。
長さｎの完全割数列でできる最終値を９で割ったあまりが・・
３　・・　[4,+2]or[1,-2]をつける
６　・・　[2,+2]or[3,-2]をつける
０　・・　[6,+2]or[5,-2]をつける
分かりづらいと思うので例を。

21≡3(mod 9)　21=[0,6]
このとき、[4,6+2]と[1,6-2]が存在する。
ちなみに、[0,1,…,]みたいに、２項目（本来の初項）が１か２のときは２で引けない。
このときは本来の初項に６を足した[0,7,…,]から考える。本来の初項に６の倍数を加減してもOKなので。
170 ID: 2009/07/22 22:04

**righ1113** · 2014/04/22(火) 11:27:19.74

289
4 年前
全ての完全割数列を列挙できるかはゴメン、証明してないや。
でも、ちょっとやればできる気がする。今度時間ができたとき確信を得てみるよ。

＞どの数から始めても、コラッツ数列は一意に定まるからね。
確かにそうだね。これ書いた時は、一意でないものがあればそいつは１４２１以外のループをもつのかと
なんとなく思っていたけど、割数列を基に１スタートで逆にたどっていくならば
どこかでループしてしまうような値にはたどり着かないもんね。
ループしてしまうならば１にたどり着かないのだから。
「完全割数列で全ての３の倍数の奇数を表せる」だけ分かれば良いか。
170 ID: 2009/07/22 23:40

**１３２人目の素数さん** · 2014/04/22(火) 21:50:24.56

この問題が長年解かれないのは解こうとするのがアマばかりなのも一因だと思うよ

**１３２人目の素数さん** · 2014/04/22(火) 23:23:06.27

フェルマー・ワイルズの定理みたいに、これが解けたら重要な予想が証明できるってことがあるといいんだけど。何かあるんだったっけ？

**１３２人目の素数さん** · 2014/04/23(水) 02:43:17.47

>>135
違うよ。もうアマしか残ってないだけだよ。

かつて簡単に解けるだろうとコラッツ予想に手を出して時間を浪費した、
数多の研究者の屍で山が築かれたから。

**１３２人目の素数さん** · 2014/04/23(水) 17:26:51.64

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　　私は死なないわよ。
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　でも最近一寸太ったかしら。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　　Windows ver.10 で　　　　
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　元の痩せた姿にしてよね。
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼　　　　　　　　　　　　　
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
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　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
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**righ1113** · 2014/04/24(木) 00:14:09.98

まず、>>133の各変換に名前をつけ、式であらわす。

　A:[4,2]　　　B:[1,-2]
　C:[2,2]　　　D:[3,-2]
　E:[6,2]　　　F:[5,-2]
そしてG:[+6]　　　H:[-6]

981[7,1...]⇒15[1,1...]⇒81[2,3,1...]のように、
まずHをおこなってC（A,E）をおこなう変換は頭にHをつけて
HA,HC,HEであらわす。

変換前のコラッツ値をxとおくと変換後は、
　HA:[4,2]　x/3-2　　　B:[1,-2]　x/3/2-1/2
　HC:[2,2]　x/3/4-3/4　　　D:[3,-2]　2x/3-1
　HE:[6,2]　4x/3-7　　　F:[5,-2]　8x/3-3
　G:[+6]　　　64x+21
となる。

◆注意点１
　HC:117[5,1...]⇒ﾅｼ[-1,1...]⇒9[2,1...]のように、
H後にマイナスになる場合がある。

◆注意点２
　HC:981[7,1...]⇒15[1,1...]⇒C:⇒81[2,3,1...]のように、
A,C,EはHA,HC,HEとしてもあらわれる。

**righ1113** · 2014/04/24(木) 00:38:42.01

各変換でどのような数があらわれるか見ていく。

B:[1,-2]　x/3/2-1/2は21+72xを【3+12x】にうつす。
（例　21/3/2-1/2=3）
HC:[2,2]　x/3/4-3/4は117+288xを【9+24x】にうつす。
D:[3,-2]　2x/3-1は69+72xを【45+48x】にうつす。
HA:[4,2]　x/3-2は213+288xを【69+96x】にうつす。
F:[5,-2]　8x/3-3は45+72xを【117+192x】にうつす。
HE:[6,2]　4x/3-7は309+288xを【405+384x】にうつす。
G:[+6]　64x+21は3+6xを【213+384x】にうつす。

【3+12x】【9+24x】【45+48x】【69+96x】【117+192x】【405+384x】【213+384x】
と割数列1項[6]であらわされる【21】を加えて、
全ての3の倍数の奇数は完全割数列で表わされる。

**righ1113** · 2014/05/25(日) 18:04:56.82

変換でマイナス値を経由するとか、あやしいところもあるので
>>133を書き換えます。

長さｎの完全割数列→長さｎ＋１の完全割数列
まず、長さｎの完全割数列を、初項に０をつけたｎ＋１型で表す。
長さｎの完全割数列でできる最終値を９で割ったあまりが・・
３　・・　A:[6,-4]orB:[1,-2]をつける
６　・・　C:[4,-4]orD:[3,-2]をつける
０　・・　E:[2,-4]orF:[5,-2]をつける
元の初項が負になる場合はあらかじめG:[+6]をおこなう。

**righ1113** · 2014/05/26(月) 22:00:52.78

>>141を証明します。
A～FとGの各変換で[3の倍数の奇数]を[3の倍数の奇数]に写す
事を証明します。

A:[6,-4]
3 mod 9かつ奇数から変換前の数xは　18t+3
さらに割数列の初項が4以下は変換できないから
　(18t+3)*3+1= 54t+10　tが奇数の場合を除外、
さらに3=[1,…]だからt=0も除いて、
　x=36t+3、t=1,2,3,…　これが変換前の数。

A[6,-4]の変換関数は
(((3x+1)*2^-4-1)/3*2^6-1)/3 = 4x/3-7。

変換後の数は4x/3-7 にx=36t+3 を代入して
48t-3= 45,93,…　は3の倍数の奇数である。

**righ1113** · 2014/06/15(日) 13:17:22.81

A書き直します。
A:[6,-4]
3 mod 9かつ奇数から変換前の数xは　18t+3
さらに3=[1,4]だからt=0も除いて、
　x=18t+3、t=1,2,3,…　これが変換前の数。

A[6,-4]の変換関数は
(((3x+1)*2^-4-1)/3*2^6-1)/3 = 4x/3-7。

変換後の数は4x/3-7 にx=18t+3 を代入して
24t-3= 21,45,69,…　は3の倍数の奇数である。

**righ1113** · 2014/06/15(日) 13:18:44.73

B:[1,-2]
3 mod 9かつ奇数から変換前の数xは　18t+3
さらに割数列の初項が4以下は変換できないから
　(18t+3)*3+1= 54t+10⇒27t+5　tが偶数の場合を除外、
　x=18(2t+1)+3、t=0,1,2,3,…　これが変換前の数。

B[1,-2]の変換関数は
(((3x+1)*2^-2-1)/3*2^1-1)/3 = x/6-1/2。

変換後の数はx/6-1/2 にx=18(2t+1)+3 を代入して
6t+3= 3,9,15,…　は3の倍数の奇数である。

**righ1113** · 2014/06/18(水) 18:21:46.37

C:[4,-4]
6 mod 9かつ奇数から変換前の数xは　x=9(2t+1)+6、t≧0

C[4,-4]の変換関数は
(((3x+1)*2^-4-1)/3*2^4-1)/3 = x/3-2。

変換後の数はx/3-2 にx=9(2t+1)+6 を代入して
3(2t+1)+0= 3,9,15,…　は3の倍数の奇数である。

**righ1113** · 2014/06/18(水) 18:22:27.33

D:[3,-2]
6 mod 9かつ奇数から変換前の数xは　x=9(2t+1)+6、t≧0

D[3,-2]の変換関数は
(((3x+1)*2^-2-1)/3*2^3-1)/3 = 2x/3-1。

変換後の数は2x/3-1 にx=9(2t+1)+6 を代入して
3*2(2t+1)+3= 9,21,33,…　は3の倍数の奇数である。

**righ1113** · 2014/06/26(木) 18:01:24.00

E:[2,-4]
0 mod 9かつ奇数から変換前の数xは　9(2t+1)
さらに割数列の初項が4以下は変換できないから
　9(2t+1)*3+1= 54t+28⇒27t+14　tが奇数の場合を除外、
　9(4t+1)*3+1= 108t+28⇒27t+7　tが偶数の場合を除外、
　x=9(4(2t+1)+1)、t=0,1,2,3,…　これが変換前の数。

E[2,-4]の変換関数は
(((3x+1)*2^-4-1)/3*2^2-1)/3 = x/12-3/4。

変換後の数はx/12-3/4 にx=9(4(2t+1)+1) を代入して
6t+3= 3,9,15,…　は3の倍数の奇数である。

**righ1113** · 2014/07/01(火) 18:06:34.19

F:[5,-2]
0 mod 9かつ奇数から変換前の数xは　x=9(2t+1)、t≧0

F:[5,-2]の変換関数は
(((3x+1)*2^-2-1)/3*2^5-1)/3 = 8x/3-3。

変換後の数は8x/3-3 にx=9(2t+1) を代入して
48t+21= 21,69,117,…　は3の倍数の奇数である。

**righ1113** · 2014/07/01(火) 18:12:45.26

G:[+6]
3の倍数の奇数から変換前の数xは　x=3(2t+1)、t≧0

G:[+6]の変換関数は
((3x+1)*2^6-1)/3 = 64x+21。

変換後の数は64x+21 にx=3(2t+1) を代入して
384t+213= 213,597,981,…　は3の倍数の奇数である。

A~G全ての変換で[3の倍数の奇数]から[3の倍数の奇数]に写る事がわかったので
>>141が証明できました。

**righ1113** · 2014/07/16(水) 02:50:40.97

各変換でどのような数があらわれるか見ていく。

B:[1,-2]　x/3/2-1/2はx=21+72tを【3+12t】にうつす。
E:[2,-4]　x/3/4-3/4はx=117+288tを【9+24t】にうつす。
D:[3,-2]　2x/3-1はx=69+72tを【45+48t】にうつす。
C:[4,-4]　x/3-2はx=213+288tを【69+96t】にうつす。
F:[5,-2]　8x/3-3はx=45+72tを【117+192t】にうつす。
A:[6,-4]　4x/3-7はx=309+288tを【405+384t】にうつす。
G:[+6]　64x+21はx=3+6tを【213+384t】にうつす。

【3+12t】【9+24t】【45+48t】【69+96t】【117+192t】【405+384t】【213+384t】
と割数列[6]であらわされる【21】を加えて、
全ての3の倍数の奇数は、>>141変換後の完全割数列で表わされる。

**righ1113** · 2014/07/16(水) 02:58:37.84

全ての3の倍数の奇数は、完全割数列で表わされる事はわかったが、
それが無限の長さの完全割数列かもしれない。
というわけで、命題
「全ての完全割数列は、[6]に初項への6の加減と>>141を有限回行うことで得られる」
⇒「無限の長さの完全割数列は存在しない]
の証明が必要……だと思う。

狸 ◆2VB8wsVUoo · 2014/07/16(水) 10:32:06.84

狸

>6 名前：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 ：2014/07/15(火) 20:00:03.07
> [>>1]の親は強制的に[>>1]を集団から隔離するべし.
>
>660 名前：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 ：2014/07/15(火) 20:02:50.12
> Re:>>658 (10+a)(10+b)=100+10(a+b)+ab.
>

**righ1113** · 2014/07/22(火) 00:12:15.02

うーん、思ってる証明をしても、無限の長さの完全割数列を排除できない気がしてきた……

**righ1113** · 2014/08/11(月) 03:42:00.95

できた、かな?

**righ1113** · 2014/08/15(金) 19:15:32.86

穴があったチクショウおおお

**righ1113** · 2014/08/22(金) 21:17:22.61

できました。　あんまり自信ないけど。
いくつか補題を証明します。

<補題1>
3の倍数の奇数から始まるコラッツ列で無限に大きくなるものはない
　→すべてのコラッツ列で無限に大きくなるものはない

<証明>
>>132で、コラッツ列を逆にたどれば3の倍数の奇数にぶつかるから、
あるコラッツ列で無限に大きくなるものがある
　→3の倍数の奇数から始まるコラッツ列で無限に大きくなるものがある
これの対偶を取って証明できる。

**righ1113** · 2014/08/22(金) 21:45:20.61

<補題2>
無限に大きくなるコラッツ列の割数列で、項が繰り返しになるものはない

<証明>
割数列の繰り返し部分をa1,...,anとおいて、その時のコラッツ値を一周期毎にx,y,z,wとおくと
3^n*x +3^(n-1) +3^(n-2)*2^a1 +... +2^a1~a_(n-1) = 2^a1~an*y
3^n*y +3^(n-1) +3^(n-2)*2^a1 +... +2^a1~a_(n-1) = 2^a1~an*z
3^n*z +3^(n-1) +3^(n-2)*2^a1 +... +2^a1~a_(n-1) = 2^a1~an*w
から
3^n*(y-x) = 2^a1~an*(z-y)
3^n*(z-y) = 2^a1~an*(w-z)
n≧1だから、z=yとなる。これはループするコラッツ列なので、無限に大きくなならない。

**righ1113** · 2014/08/22(金) 22:24:50.81

<補題3>
すべての3の倍数の奇数は、>>141変換後の割数列であらわされる

<証明>
>>150です。

**righ1113** · 2014/08/22(金) 22:35:56.78

<定理1>
長さnの割数列から長さn+1の割数列への変換　>>141

<証明>
>>143-149です。

**righ1113** · 2014/08/25(月) 09:11:49.88

無限に大きくなるコラッツ列が存在すると仮定する。
このときの割数列は無限に長いものとなる。
これは、<定理1>に無限に適用でき、無限に逆適用できる。
変換Gであらわされる割数列は同一視して、
図であらわすと、上にも下にも無限に長い二分木(二分木A)となる。
<補題2>より、割数列の項は繰り返しにならないから、二分木の要素はそれぞれ異なるものとなる。
また、有限の長さの割数列では、[6]を根とする下に無限に長い二分木(二分木B)となる。

この二つを比べると、二分木Aのほうが個数が多い。
対応する点を子から親へ変えても、さらに親が存在するから、とりつくせない部分が存在し、
二つの集合は一対一対応がつかない。
二分木Bは可算集合だから、二分木Aは非可算集合である。

<補題3>より、すべての3の倍数の奇数は、<定理1>変換後の割数列であらわされるが、
すべての3の倍数の奇数は可算集合だから、二分木Aと対応がつかないので矛盾する。
よって、無限に大きくなるコラッツ列は存在しない。

**righ1113** · 2014/08/25(月) 09:13:09.34

できたー

**１３２人目の素数さん** · 2014/08/27(水) 04:19:55.20

コラッツの問題で、4->2->1以外のループが存在しないことって、示されてないよね。調べても出てこなかった

**１３２人目の素数さん** · 2014/08/27(水) 09:35:02.32

アマだと論文を発表する機会がほとんどないからアレだよな

**righ1113** · 2014/08/29(金) 21:51:34.84

>>160
上にも下にも無限に長い二分木は
　　　　　　　　　16
　　　　　4　　　　　　　　17
　　　1　　　 5　　　　18　　　19
　　2　 3　 6　 7　　20　21　22　23
　 8 9101112131415　2425262728293031
32...
このように番号をふれば、可算集合と一対一対応がつく。
証明、ダメでしたー。

**１３２人目の素数さん** · 2014/08/29(金) 23:12:01.26

>>162
示されてないですねー
でも僕は>>87-99で
4-2-1以外のループは存在しない事をいったつもりです。

**righ1113** · 2014/09/06(土) 03:22:38.68

別のやりかたを考えました。

>>141変換再掲
A:[6,-4]　4x/3-7　　　　B:[1,-2]　x/3/2-1/2
C:[4,-4]　x/3-2　　　　D:[3,-2]　2x/3-1
E:[2,-4]　x/3/4-3/4　　　　F:[5,-2]　8x/3-3
G:[+6]　64x+21

無限に大きくなるコラッツ値のうち最小値をxとおく。
xから>>141変換をさかのぼることを考える。
割数列は無限に長いので、いくらでもさかのぼれる。
各変換のどれがあてはまるかを考える。

>>141変換の遷移をw→z→y→x,uとおく。

**righ1113** · 2014/09/06(土) 03:24:15.14

①まずさかのぼる変換のうちでGはない。
さかのぼった値がxより小さくなるから。

②y→x、y→u変換で割数列の初項を-2、-4しているから、
yの割数列の初項は5以上。よってz→yはA or F。

③②より、y→xはE or F、Fはy < xとなるからない。

④z→yがAの場合、w→zがB or Cとなって-2、-4できなくなるからない。

⑤z→yがFの場合、w→zはA or F、Aは④と同じ。
Fはその手前もFになって、さかのぼる事をくりかえすと
コラッツ値がxより小さくなるからない。

よってどの変換も当てはまらないので、無限に大きくなるコラッツ列はない。
以上です。

**１３２人目の素数さん** · 2014/09/06(土) 09:50:15.94

>>92 では、4-2-1以外のループについて考察しているが、
同様の考察を4-2-1のループで行えば、やはり
　　X*X*X*…
が登場して、しかもX>1なので、いずれ
　　X*X*X*… > 4
となって
　　(1+1/3x)…(1+1/3x_s-1) < 4
と矛盾することになる。
つまり、4-2-1というループさえも矛盾していることになる。
つまり、証明のどこかが間違ってる。

**１３２人目の素数さん** · 2014/09/06(土) 09:53:23.59

と思ったらx_iは奇数しか出てこないのか。
じゃあ4-2-1の場合はX＝1になるのか。

スマソ。

**１３２人目の素数さん** · 2014/09/06(土) 11:55:46.00

>>97-99はおかしいと思う。次のような状況は起きないのか？

・sステップ目で最初のずれが生じて、Ln－Ll＝1 となる。
・以下、2014ステップの間はずれが生じない。つまり、Ln－Ll＝1 がずっと維持される。
・s2ステップ目で次のずれが生じて、Ln－Ll＝2 となる。
・以下、2014ステップの間はずれが生じない。つまり、Ln－Ll＝2 がずっと維持される。
・s3ステップ目で次のずれが生じて、Ln－Ll＝3 となる。
　：
　：
　：

この場合、ずれはどんどん大きくなる。

**１３２人目の素数さん** · 2014/09/06(土) 12:09:32.51

>>99の図をよく見たら、ずれが「解消」されてた。
「s+1,s+2,s+3ではずれない」＝「新しいずれが生じない(Ln－Ll＝1 が維持される)」
だと思ってた。

スマソ。

**１３２人目の素数さん** · 2014/09/06(土) 12:15:36.64

ちょっと待てよ、そもそも>>87の例は何を表してるんだ？
下位ビットが左なのであれば、
＞01011　　　　13
これは10進法では26であって、13にならない。左端の0は何なのか？
＞000101　　　　5
これは10進法では40であって、5にならない。左端の000は何なのか？
＞0000001　　　　1
これは10進法では64であって、1にならない。左端の000000は何なのか？

勝手に左端に0を補完してもいいなら、Lnは好きなように変更できてしまうぞ。

**righ1113** · 2014/09/07(日) 20:00:59.46

指摘ありがとうございます。
コラッツパターンは>>87の(1)(2)(3)(4)ルールに合うように、
左端に0を付け足しています。

コラッツ操作で＜2で割った回数-1＞を蓄積している、とも言えます。
17→52→26→13　＜2で割った回数-1＞:1
01011　　　　13*2^1
13→40→20→10→5　＜2で割った回数-1＞:1+2
000101　　　　5*2^3
5→16→8→4→2→1　＜2で割った回数-1＞:1+2+3
0000001　　　　1*2^6

Lnは好きなように変更できてしまうことはないです。

**１３２人目の素数さん** · 2014/09/08(月) 15:17:54.23

>>173
0の個数のルールは分かった。だがLnが何なのか分からんｗ

＞sステップ後値の初期値0位置からの距離をLlとおきましょう。
＞例の5ステップ目はLl=6となります。

「後値」とは何なのか？
「初期値0位置」とはどこなのか？
「初期値0位置からの距離」とは何なのか？――たとえば、a000b という
文字列があったとして、「文字aから文字bまでの距離」とは、
距離の測定の仕方によって「距離は4」とも言えるし「距離は5」とも言える。
つまり、単に「距離」と書いただけでは意味が定まらない。
あと、「例の5ステップ目」とあるが、ステップのカウントの仕方が
書いてないから意味が定まらない。具体的に言えば、一番最初の
「 111　　　　7 」を「0ステップ目」とカウントしているのか
「1ステップ目」とカウントしているのか全く不明。

ついでに、>>88も意味がわからんｗ
＞00000111
＞000010101
＞000111111
＞0010111101
＞01110110001
＞10100101011
なぜ一番最初に00000が補完してあるのか？なぜ2行目に0000が補完してあるのか？
補完する個数のルールは何なのか？LlもLnと全く同様に意味がわからん。

**righ1113** · 2014/09/08(月) 21:26:14.95

http://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/r/righ1113/20140908/20140908212210.jpg

図に書いてみました。
わかりますでしょうか……

**１３２人目の素数さん** · 2014/09/09(火) 18:54:12.57

>>175
把握した。
このルールだと、コラッツ値が 1 に到達してから先のステップでは、
Ln(s)－Ll(s) はどんどん大きくなって＋∞に発散してしまうわけだが、
ということは、コラッツ値が 1 になるまでの s だけを考えるということか？

あと、>>175をよく見ると、>>99のリンク先には無いパターンがあり、>>99は不完全ということになる。
まず、>>99のリンク先では、ずれが生じているステップ(赤い「1」が存在する行)が3箇所あり、それは

s　 …00001　…1111　(←「特定のパターン1つ目」のもの。「ずれパターン1」と名づける)

s　 …00001　…11011 (←「特定のパターン2つ目」のもの。「ずれパターン2」と名づける)

s '　…1001　 …1111　(←「特定のパターン2つ目」のもの。「ずれパターン3」と名づける)

となっている(>>99の図で空白のマスになっている部分は、ここでは「…」で表現した)。
一方で、>>175では、s = 2 のときに最初のずれが生じ、そのときのパターンは、上の表記法に合わせると

s　 …10001　…1111

となっている。「10001」の部分は、上記の「ずれパターン1,2,3」のいずれでもない。
同じく、>>175では、s = 5 のときに2回目のずれが生じ、そのときのパターンは

s　 …00001　…01011

となっている。「01011」の部分は、上記の「ずれパターン1,2,3」のいずれでもない。
また、>>99では、「ずれパターン1」の場合は、一度ずれたら、その後の3ステップはずれないことになっている。
「ずれパターン2」の場合は、直後の1ステップはずれなくて、その後のステップで再びずれることになっている。
しかし、>>175では、s = 2 が「ずれ」, s = 3, 4 が「ずれなし」, s = 5 が「ずれ」ということなので、
ずれないステップ数が2ステップであり、>>99のどのパターンにも合致しない。

**righ1113** · 2014/09/09(火) 21:22:44.68

そうです。コラッツ値が1になるまでのsを考えます。

「10001」の部分は少し考えさせてください。

s=5のときはコラッツ値が1になっているので考えないです。

**１３２人目の素数さん** · 2014/09/10(水) 02:02:20.13

>>177
追い討ちをかける形になってしまうが、
多倍長整数を使ってプログラムを組んで実験したら、さらにマズイ例が見つかった。

初期値が 27 のとき、コラッツ値が 1 になるまでの範囲でずれが生じるステップは s = 14, 26, 31, 38, 41 の5回のみ。
s = 41 でコラッツ値が 1 になるので、s = 41 は無視することにする。問題は s = 31 のときであり、s = 31 のときは

コラッツ値＝ 110000000001 (2進法, 左が下位バイト, 10進法では2051)
伸ばすやつ＝ 100100010100110000001000110011110111001111111100110111 (2進法, 左が下位バイト, 10進法では 27 * 3^31)

となっている。すなわち、

s　 …00001　…10111　(☆)

となっている。「10111」の部分は、「ずれパターン1,2,3」のいずれでもない。なお、このときのコラッツ値は10進法で2051であり、
まだ 1 に到達してないので、無視できない。[続く]

**１３２人目の素数さん** · 2014/09/10(水) 02:06:38.16

[続き]
さらに、実は直前の s = 30 のときも問題が起きている。s = 30 のときは

コラッツ値＝ 11101010101 (2進法, 左が下位バイト, 10進法では1367)
伸ばすやつ＝ 11000001110111010101101001100101111101111111110111001 (2進法, 左が下位バイト, 10進法では 27 * 3^30)

となっている。すなわち、s = 31 と置けば

s - 1　 …0101　…1001　(★)

となっている。s = 31 ではずれが起きていたから、そのことと上記の(★)を>>99に照らし合わせると、
上記の(★)は「特定のパターン2つ目」「ずれパターン2の直前(青いマスに「10」が書いてある行)」に該当するはず。
そうなると、s = 31 のときは、>>99によれば

s　 …00001　…11011

でなければならないが、実際には >>178の(☆) だったから合ってない。すなわち、やっぱり>>99はおかしい。
ついでに言うと、(★)が「特定のパターン2つ目」「ずれパターン2の直前(青いマスに「10」が書いてある行)」であるのなら、
s = 31 及び s ' = 33 においてずれが生じることになるが、s = 31 はともかく、「33」の方では実際にはずれが生じなくて、
s = 38 にならないとずれない。

なお、上記のデータはプログラム以外にも「手作業＆ wolfram alpha 」でも
チマチマ計算して確認したから間違いないはず。

**righ1113** · 2014/09/10(水) 02:26:36.71

計算ありがとうございます。
困りましたね……

**１３２人目の素数さん** · 2014/09/10(水) 02:29:12.07

一応、補足しておくと、s = 30, 31 のときの、「コラッツ値」に補正する0の個数は「12個」になっている。
「伸ばすやつ」は、左端からs個だけ切り捨てるから、結局、

s = 30
00000000000011101010101　( コラッツ値(補正版) )
01111101111111110111001　( 伸ばすやつ(補正版) )

s = 31
000000000000110000000001　( コラッツ値(補正版) )
10111001111111100110111　 ( 伸ばすやつ(補正版) )

となり、s = 31 でずれていることが分かる。
また、s = 30 は、>>99における「特定のパターン2つ目」「ずれパターン2の直前(青いマスに「10」が書いてある行)」
であるはず(しかし、s >= 31 の領域で結果が合わない)。

**１３２人目の素数さん** · 2014/09/10(水) 02:31:20.00

あっ、既に>>130にコメントがあった (´・ω・｀) スマソ

**１３２人目の素数さん** · 2014/09/10(水) 02:34:37.43

>>130じゃなくて>>180だったｗ (´・ω・｀) スマソ

**righ1113** · 2014/09/10(水) 03:03:17.86

ひとまず考えた事は、指摘2パターンも特定のパターンに加える事です。
そうすれば>>97も有効のままで問題も解消されるはず。

**１３２人目の素数さん** · 2014/09/10(水) 22:17:26.07

>>184
ただ単に「特定パターンに加えました」っていうだけだと、何も問題は解消されない。
なぜなら、まだパターンの抜けがあるかもしれないから。
それらの「特定のパターン」によって全てのパターンがちゃんと網羅できているのかを、
数学的に厳密に証明しなくちゃいけない。
もちろん、新しく加えた「特定のパターン」が>>97 の構造を壊すようなら失敗だ。

まあ、その前に、「特定のパターン」を全て列挙し直すところから出発かな。

**righ1113** · 2014/09/11(木) 02:00:43.36

そうですよねえ……

**righ1113** · 2014/09/13(土) 15:34:46.92

証明を戻して、>>89に改良を加えたものにします。
2つのパターンがずれるステップをsとおきます。
s-1でコラッツパターンが01、左端を伸ばすパターンが01の時は、
>>89の図の通り、s+1ステップでずれはなくなります。

**righ1113** · 2014/09/13(土) 15:36:13.96

s-1でコラッツパターンが11、左端を伸ばすパターンが01の時は、
（>>93の指摘にもありました）
まず左端を伸ばすパターンは
*1001　　　　s-1
11011　　　　s
*00101
**1111
***1101
*******1　　　　s+4
こうなります。

コラッツパターンの最大パターンは
*1111　　　　s-1
101101　　　　s
**10001
*101011
***00101
****1111　　　　s+4
となります。
s+4ステップでずれはなくなります。

**１３２人目の素数さん** · 2014/09/13(土) 19:17:45.25

>>187
このケースは大丈夫っぽい。

>>188
左端を伸ばすパターンの1行目がいきなり

＞ *1001　　　　s-1

となっているが、これはどうして？
**101 とか 10001 とかの場合は考えなくていいの？
(***11の場合は考えなくてよい、ということは分かるが…)