１つ予想を立ててみた。

自然数全体の集合を N とする。
まず木を定義する。

定義
自然数 a に対し、集合 T(a) を
T(a) = {b∈N | a と b はコラッツ操作によって同じ数に到達する}
と定める。
T(a) の形の集合を木と呼ぶ。

コラッツ予想が真であることは、自然数全体が１つの木をなすことと同値である。
で、次のように予想した。

予想
T を木とし、n, k を自然数とする。
このとき、ある a∈T が存在して a≡k (mod n) が成り立つ。

コラッツ予想が正しければ、T は N に一致するので、明らかにこの予想は成り立つ。
逆にいえば、予想が成り立たないような T, n, k が存在する場合、コラッツ予想も偽であることになる。