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コラッツ予想がとけたらいいな
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0001１３２人目の素数さん
垢版 |
2012/10/14(日) 10:32:39.71
525 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2012/09/03(月) 18:24:27.22
http://d.hatena.ne.jp/righ1113/
コラッツ予想について、証明を考えてみました。
ご指摘ご意見ご感想など、ぜひよろしくお願いします。
0073righ1113
垢版 |
2013/04/30(火) 18:47:22.79
式であらわします。
すぐ小さくならないk1がすぐ小さくならないk2に連結されるとします。
k1の側は、例えばk1=27+2^5*xとおくと、2ステップ後にちょびっと小さくなるので、その値は
　((3*k1+1)/2*3+1)/4 = (9*k1+5)/8 = 31 +3^2*2^2*x1　　　－－－①
となります。

k2の側は、k2から後ろ向きにnステップ伸びるとして、
コラッツ逆操作「2のべき乗をかけて1引いて3で割る」をおこないます。
n=1の場合は
　(k2*2^p1 -1)/3
n=2の場合は
　((k2*2^p1 -1)/3*2^p2 -1)/3 = k2*2^(p1+p2)/3^2 -2^p2/3^2 -1/3
一般化して
　(1/3^n)( k2*2^(p1~pn) -2^(p2~pn) -3*2^(p3~pn) -...-3^(n-2)*2^pn -3^(n-1) )　　　－－－②
となります。（ p1+p2+...+pn を p1~pn と略記）

連結されるので、①と②をイコールで結びます。
　3^n*( 31 +3^2*2^2*x1 )
　　 = k2*2^(p1~pn) -2^(p2~pn) -3*2^(p3~pn) -...-3^(n-2)*2^pn -3^(n-1)
0074righ1113
垢版 |
2013/04/30(火) 20:22:52.00
n=1の場合は
　2*47 +3^3*2^2*x1 = k2*2^p1 => p1=1となって
　　47 +3^3*2*x1 = k2
n=2の場合は
　3*(2*47 +3^3*2^2*x1) = k2*2^(p1+p2) -2^p2 => p2=1
　2*71 +3^4*2*x1 = k2*2^p1 => p1=1となって
　　71 +3^4*x1 = k2
第一項は31から始まるコラッツ数列になること、
pnはそのときの2で割る回数になるところがポイントです。
一般化すると、以下になります。　CO31 は31から始まるコラッツ数列です。
　CO31 +3^(n+2)*x1/2^(p1~p(n-2)) = k2
0075righ1113
垢版 |
2013/04/30(火) 20:37:41.06
k2を固定します。ここではk2=71+2^7*x2とおいてみます。
　CO31 +3^(n+2)*x1/2^(p1~p(n-2)) = 71+2^7*x2
　2^(p1~p(n-2))*(CO31 -71) = 2^(7+p1~p(n-2))*x2 -3^(n+2)*x1

この式の形　c = 2^a * x1 - 3^b * x2　を考えることによって
何か言えるのではと思うわけです。
0076righ1113
垢版 |
2013/05/07(火) 23:58:33.04
>>74の後半は間違っていました。
第一項が分数になることもあります。
コラッツ数列ぽいことはぽいのですが......
0077righ1113
垢版 |
2013/05/15(水) 19:03:20.12
ここでちょっと内容を変えて、
コラッツ操作ですぐ小さくなる値とそうでない値をまとめます。
すぐ小さくなる値を「良い値」、そうでない値を「悪い値」と呼びましょう。
全ての数を2進数の下位ビットで場合分けして、良い/悪いを調べます。
（2進数は左が下位）

2進数　良い/悪い　どう小さくなるか
0…　良い　　2x　→　x
10…　良い　　4x+1　→　3x+1
1100…　良い　　16x+3　→　3^2x+2
1101…
　　11010…　良い　　32x+11　→　3^3x+10
　　11011…　★悪い　　27+2^5x
0078righ1113
垢版 |
2013/05/15(水) 19:04:12.24
1110…
　　11101…　良い　　32x+23　→　3^3x+20
　　11100…
　　　　111000…
　　　　　　1110000…　良い　　2^7x+7　→　3^4x+5
　　　　　　1110001…　★悪い　　71+2^7x
　　　　111001…
　　　　　　1110010…
　　　　　　　　11100101…　★悪い　　167+2^8x
　　　　　　　　11100100…　良い　　2^8x+39　→　3^5x+38
　　　　　　1110011…　★悪い　　103+2^7x
1111…
　　11110…
　　　　111101…　★悪い　　47+2^6x
　　　　111100…
　　　　　　1111000…　良い　　2^7x+15　→　3^4x+10
　　　　　　1111001…
　　　　　　　　11110010…　良い　　2^8x+79　→　3^5x+76
　　　　　　　　11110011…　★悪い　　207+2^8x
　　11111…　★悪い　　31+2^5x
0079righ1113
垢版 |
2013/05/15(水) 20:12:42.62
「11011…」「1110001…」「11100101…」「1110011…」
「111101…」「11110011…」「11111…」が悪い値ですが、
「1110001…」と「11100101…」は、次ステップで「11011…」になるので
考えなくて良いです。

よって、「11011…」「1110011…」
「111101…」「11110011…」「11111…」
の五つの場合を考えれば良い事になります。
0081righ1113
垢版 |
2013/06/03(月) 02:29:13.29
一つ定理が出来たので書きます。

コラッツ操作でxがsステップで小さくなれば、
3^s < 2^lを満たすx+2^l*yもsステップで小さくなる。

コラッツ操作で奇数→奇数までを1ステップと数えます。
証明は、まず、xがsステップで小さくなれば、その時の2で割った合計をl0と置くとき、
3^s < 2^l0が成り立つ事を言います。―――①
sステップ後の数は、それぞれのステップで2で割った回数をpnとすると、
(3^s/2^(p1~ps))*x + 3^(s-1)/2^(p1~ps) + 3^(s-2)/2^(p2~ps) + ... + 1/2^ps < x
(3^s/2^(p1~ps))*x < x
3^s < 2^(p1~ps) = 2^l0　　　　よって①は成り立つ。
0082righ1113
垢版 |
2013/06/03(月) 02:52:24.88
次に、3^s < 2^lを条件（②）としたx+2^l*yもsステップで小さくなる事を証明する。
①と②を重ねると次の三つの場合がある。
　　2^l0 < 2^l, 2^l0 = 2^l, 2^l0 > 2^l

2^l0 < 2^lの場合、xのsステップ後をx1とおいて、x+2^l*y―(sステップ後)→x1+3^s*2^(l-l0)y
　x > x1, 2^(l-(l-l0))*y > 3^s*yだから、x+2^l*y > x1+3^s*2^(l-l0)yが成り立つ。

2^l0 = 2^lの場合、x+2^l*y―(sステップ後)→x1+3^s*y
　x > x1, 2^l*y > 3^s*yだから、x+2^l*y > x1+3^s*yが成り立つ。

2^l0 > 2^lの場合、x+2^l*y―(sステップ後)→2^(l0-l)*x1+3^s*y
　2^l*y > 3^s*y。x > 2^(l0-l)*x1を言いたいので、次の補題を考える。

3^s < 2^l が成り立てば、xはsステップ後、計l回2で割った時点で小さくなる。―――③
0083righ1113
垢版 |
2013/06/03(月) 03:09:29.21
③を証明する。コラッツパターンを使う。
http://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/r/righ1113/20130603/20130603020241.jpg

コラッツパターンより、
　　log[2]x > log[2]x -(l0-s) + s*log[2](3/2)―――④
　　log[2]x > log[2]x+1 -(l0-s) + s*log[2](3/2)―――⑤
が言えればよい。

3^s < 2^l0　->　s*log3 < l0*log2　->　log[2]3 < l0/s　とlog[2]3 -1 = log[2](3/2)から、
l0/s -1 > log[2](3/2)　->　l0-s > s*log[2](3/2)
log[2]x > log[2]x -(l0-s) + s*log[2](3/2)　　　④が言えた。

④が言えたから条件3^s < 2^lより、log[2]x > log[2]x -(l-s) + s*log[2](3/2)が言える。
これとl0-1 ≧ lより、log[2]x > log[2]x+1 -(l0-s) + s*log[2](3/2)　　　⑤が言えた。

④⑤が証明できたので、③も成り立ち、
2^l0 > 2^lの場合も　x+2^l*y > 2^(l0-l)*x1+3^s*yが成り立つ。
以上です。
0084１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/06/13(木) 16:41:12.70
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0085１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/06/13(木) 19:17:37.40
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0086righ1113
垢版 |
2013/07/07(日) NY:AN:NY.AN
③の証明に不備があったので修正します、③を少し弱めます。
　　3^s < 2^l < 2^l0が成り立てば、xはsステップ後、
　　計l回2で割った時点で同じか小さくなる。―――⑥
これを証明します。
logの底は2です。

sステップ後のコラッツ値をxsとおいて対数を取ると
以下が成り立ちます。
　　log(xs) = log(x) -(l-s) +s*log(3/2) +log(1+1/3x)…(1+1/3x_s-1)

>>83より
　　log(x) > log(x) -(l-s) + s*log(3/2)―――④
　　log(x) > log(x)+1 -(l-s) + s*log(3/2)―――⑤
が成り立ちます。切り上げて
　　[log(x)] ≧ [log(x) -(l-s) + s*log(3/2)]―――⑦
　　[log(x)] ≧ [log(x)+1 -(l-s) + s*log(3/2)]―――⑧

コラッツパターンより
　　[log(x) -(l-s) + s*log(3/2)] = [log(x) -(l-s) +s*log(3/2) +log(1+1/3x)…(1+1/3x_s-1)]
　　[log(x) -(l-s) + s*log(3/2)] +1 = [log(x) -(l-s) +s*log(3/2) +log(1+1/3x)…(1+1/3x_s-1)]

⑦⑧に代入
　　[log(x)] ≧ [log(x) -(l-s) +s*log(3/2) +log(1+1/3x)…(1+1/3x_s-1)]

切り上げを外して
　　log(x) ≧ log(x) -(l-s) +s*log(3/2) +log(1+1/3x)…(1+1/3x_s-1)

以上で⑥が証明できました。
0087righ1113
垢版 |
2013/07/10(水) NY:AN:NY.AN
話題がコロコロ変わってすみません。おさらいです。
コラッツ予想を2進数で考えます。
コラッツ数列の奇数のみを並べると以下のようなパターンができます。
これをコラッツパターンと名付けます。
（下位ビットが左）
111　　　　7
1101　　　　11
10001　　　　17
01011　　　　13
000101　　　　5
0000001　　　　1

コラッツパターンは以下のルールで下へ伸びていきます。
(1)「1」の塊は、次ステップで両端が離れる
　　「11」は「1001」に、「111」は「10101」になります。
(2)単独の「1」は、次ステップで「11」になる
(3)「11011」のような、次ステップで左「1」と右「1」が
重なる場合は、右(上位)へ繰り上がる
　　「11011」は次ステップで「1000101」になります。
(4)最後に、左端に+1する

sステップ後値の初期値0位置からの距離をLnとおきましょう。
例の5ステップ目はLn=7となります。
0088righ1113
垢版 |
2013/07/10(水) NY:AN:NY.AN
次に、ルール(4)を削除したパターンを考えてみます。
左端がえんえんと左へ伸びていきます。
00000111
000010101
000111111
0010111101
01110110001
10100101011
左端を伸ばすパターンと名付けます。

sステップ後値の初期値0位置からの距離をLlとおきましょう。
例の5ステップ目はLl=6となります。
0089righ1113
垢版 |
2013/07/13(土) NY:AN:NY.AN
例からも分かるように、Ln=Llの時とLn=Ll+1の時があります。
これ以外はないことを証明します。
コラッツパターンのルールより、1ステップ後の右端は+0 or +1です。
左端に+1しているから、Ln≧Llです。
なので、Ln=Llから1ステップ後Ln=Ll+1になるところを考えてみます。

http://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/r/righ1113/20130713/20130713165031.jpg
図より、Ln=Ll→Ln=Ll+1になることはありえるが、その次のステップで
Ln=Ll+1→Ln=Llになるので、2以上ずれることはありません。
Ln=Ll or Ln=Ll+1です。
0090righ1113
垢版 |
2013/07/13(土) NY:AN:NY.AN
sステップ後値の初期値0位置からの距離Lnは、
コラッツパターンを2進数で書いているのでlog[2]の対数目盛と見なして、
sステップ後コラッツ値のlog[2]を取れば良いことになります。

コラッツ操作27→41を変形すると
　　(27*3+1)/2 = 41 = (27+1/3)*3/2 = 27*(1+1/(3*27))*3/2
logをとって
　　log41 = log27 +log(1+1/(3*27)) +log(3/2)
コラッツ操作41→31を変形すると
　　(41*3+1)/4 = 31 = (41+1/3)*3/4 = 41*(1+1/(3*41))*3/4
logをとって
　　log31 = log41 +log(1+1/(3*41)) +log(3/2) -log2
　　　　　　= log27 + log(1+1/(3*27))(1+1/(3*41)) +2*log(3/2) -log2
よって一般化するとLnは以下になります。
引き算の部分はコラッツパターンでは右によせているので消えます。
　　Ln = [log(x) +s*log(3/2) +log(1+1/3x)…(1+1/3x_s-1)]

左端を伸ばすパターンの式は、初期値に次々と3/2をかければ良いので
　　log( x*(3/2)^n ) = log(x) +s*log(3/2)
となります。切り上げてLl = [log(x) +s*log(3/2)]です。
0091righ1113
垢版 |
2013/07/13(土) NY:AN:NY.AN
よって、>>89より最大でもLn=Ll+1なので、
　　[log(x) +s*log(3/2) +log(1+1/3x)…(1+1/3x_s-1)] = [log(x) +s*log(3/2)] +1
切り上げを外して
　　log(1+1/3x)…(1+1/3x_s-1) < 2
logをとって
　　(1+1/3x)…(1+1/3x_s-1) < 4
となります。
0092righ1113
垢版 |
2013/07/13(土) NY:AN:NY.AN
もしコラッツ予想で4-2-1以外のループがあったら
　　(1+1/3x)…(1+1/3x_s-1)
の中のループ1周期の積をXとおいて
　　X*X*X*…
となりますが、X>1なので、いずれ
　　X*X*X*… > 4
となって
　　(1+1/3x)…(1+1/3x_s-1) < 4
と矛盾します。

よって
　　コラッツ予想で4-2-1以外のループは存在しない
ことが証明できました。
0093１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/07/19(金) NY:AN:NY.AN
>>89の画像の上から2番目の図で、
コラッツパターンは11、左端を伸ばすパターンは01
となることはないか？
0094righ1113
垢版 |
2013/07/20(土) NY:AN:NY.AN
ちょっとまってください
0095１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/07/20(土) NY:AN:NY.AN
一通り検証したけど、そこ以外は間違いはなさそう
本質的に難しいのはここなのかも
直接修正できなくても、Ln-Llが上から抑えられさえすればおｋ
0096righ1113
垢版 |
2013/07/22(月) NY:AN:NY.AN
>>93
>>95
ありがとうございます。

指摘の部分ですが、すぐにできそうにないです。
>>89の画像の上から2番目の図で、
コラッツパターンが0011、左端を伸ばすパターンは**01の時は、
同じように次々ステップでずれはなくなります。
コラッツパターンが0111、1011、1111の時はどうしよう……
0097righ1113
垢版 |
2013/08/03(土) NY:AN:NY.AN
修正できました。流れは以下です。

初めてコラッツパターンと左端を伸ばすパターンがずれる所を考える
ずれるステップをsとおく
　　↓
s-1,s-2,s-3のずれはない
　　↓
特定のパターン（2つ）しかあらわれない
　　↓
その特定のパターンはsでずれて、s+1,s+2,s+3ではずれない
　　↓
次にずれる時s2も、s2-1,s2-2,s2-3のずれはない
0098righ1113
垢版 |
2013/08/03(土) NY:AN:NY.AN
特定のパターン1つ目です。
　　　　コラッツパターン　左端を伸ばすパターン
s-3&nbsp; 　**1　 　 　 　 　 &nbsp;　***1　 　 　 　 　 　 　　
s-2&nbsp; 　*11　 　 　 　 　 &nbsp;　**11　 　 　 　 　 　 　　
s-1&nbsp; 　0101　　　　　　　　**101　　　　　　　　　　
s　 &nbsp; 　0000[1]　 　 　 　　*1111　　　　　　　　　　
s+1&nbsp; 　**011　 　 　 　 &nbsp;　101101　 　 　 　 　 　　
s+2&nbsp; 　**1001　 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;　***0001　 　 　 　 &nbsp; &nbsp; &nbsp;
s+3&nbsp; 　*11011　 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;　*****11　 　 　 　 &nbsp; &nbsp; &nbsp;

特定のパターン2つ目です。s+2でまたずれるのでs'と置きなおしています。
　 　 　 　 　　コラッツパターン　左端を伸ばすパターン
s-3　 　 &nbsp; &nbsp; 　**1　 　 　 　 　 &nbsp;　***1　 　 　 　 　 　 　　
s-2　 　 &nbsp; &nbsp; 　*11　 　 　 　 　 &nbsp;　**11　 　 　 　 　 　 　　
s-1　 　 &nbsp; &nbsp; 　0101　　　　　　　　*1001　　　　　　　　　　
s　 　 　 &nbsp; &nbsp; 　0000[1]　 　 　 　　11011　　　　　　　　　　
s+1　 　 &nbsp; &nbsp; 　**011　 　 　 　 &nbsp;　***101　 　 　 　 　 　　
s+2 -> s'　 　**100[1]　 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;　**1111　 　 　 　 　 　　
s+3 -> s'+1　*11011　 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;　*101101　 　 　 　 &nbsp; &nbsp; &nbsp;
s+4 -> s'+2　**00101　 　 　 &nbsp;　*******1　 　 　 　 　　
s+5 -> s'+3　***1111　 　 　 &nbsp;　******11　 　 　 　 　　

Ln=Ll or Ln=Ll+1が言えます。
0100righ1113
垢版 |
2013/08/20(火) NY:AN:NY.AN
無限大に発散するほう、いけるか……
0101なんとなくな一考察
垢版 |
2013/08/22(木) NY:AN:NY.AN
わかったよ
証明できるかも

学校の先生に聞いてみる
0102righ1113
垢版 |
2013/08/25(日) NY:AN:NY.AN
無限大に発散するほう、むずかしいお......
0103righ1113
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2013/09/16(月) 04:56:49.18
無限大に発散するほう、できました。
コラッツ値xsが無限大に発散するとします。
xs = x0 *3^s/2^l *(1+1/3x0)…(1+1/3x_s-1)
xs < x0 *(3/2)^s s<lなので

かっこの部分を考えます。
(1+1/3x0)…(1+1/3x_s-1)… > (1+1/3x0)…(1+1/(3x0*(3/2)^(s-1)))…
> 1 +1/3x0 +1/3x0(3/2) +…+1/3x0(3/2)^(s-1) +…　　　等比数列の和

1+1/x0 < (1+1/3x0)…(1+1/3x_s-1)…
左辺第二項を大きくして、イコールになるところをα0とおく
1+α0/x0 = (1+1/3x0)…(1+1/3x_s-1)…　　　　①
同様にx1からスタートして
1+α1/x1 = (1+1/3x1)…(1+1/3x_s-1)…　　　　②
0104righ1113
垢版 |
2013/09/16(月) 04:58:38.08
②を①に代入
(1+1/3x0)(1+α1/x1) = 1+α0/x0
きれいにして
(3α0-1)x1 = α1(3x0+1)

x1=(3x0+1)/2^qを代入して
(3α0-1)(3x0+1) = 2^q * α1(3x0+1)
x0の部分が消えて
α1 = α0 * 3/2^q * (1-1/3α0)

xsが発散する
　→　q=1が多い、αsが大きくなるとかっこの効果も弱まる
　　→　αsも発散する
0105righ1113
垢版 |
2013/09/16(月) 05:16:00.29
一方、無限大に発散するコラッツ列でx0を最小値にとれば、
x0からx∞まで等比数列で下から押えられる
と仮定する。　xs > x0*a^s　　　　　　　　　③

(1+1/3x0)…(1+1/3x_s-1)… < (1+1/3x0)…(1+1/(3x0*a^(s-1)))…
≒ 1 +1/3x0 +1/3x0a +…+1/3x0a^(s-1) +…
不等号が成り立つようにaを少し小さくする

(1+1/3x0)…(1+1/3x_s-1)… = 1+α0/x0 < 1+1/x0 *a/3(a-1)

コラッツ列をグラフにした時に、下に凸な点を考える。
x0より後でx0の次に小さいxm1で
1+αm1/xm1 < 1+1/xm1 *a/3(a-1)
xm1より後でxm1の次に小さいxm2で
1+αm2/xm2 < 1+1/xm2 *a/3(a-1)
このプロセスはいくらでも続けられるので、
αmは発散するが、a/3(a-1)は一定なので矛盾する。
0106righ1113
垢版 |
2013/09/16(月) 05:53:15.99
あとは③を証明すれば良い。
傾きaは、x0 *a^s < xsを満たすので、
log(a) < log(xs/x0)/s = log(x0 *3^s/2^l *(1+1/3x0)…(1+1/3x_s-1) /x0)/s
= log3 -l/s +logA/s　　　　　　　　(1+1/3x0)…(1+1/3x_s-1) = Aとおく

コラッツパターンより　l-s < log(xs)なので、
l/s < log(xs)/s +1 = log(x0)/s +log3 -l/s +logA/s +1
l/s < log(x0)/2s +log(3)/2 +logA/2s +1/2

l/sはsが大きくなると小さくなるので、傾きaはsが大きくなると大きくなる。
（直線x0-xm1の傾きより、x0-xm2、x0-xm3…の傾きのほうが大きい。
　　aを直線x0-xm1の傾きにとれば、コラッツ値はそれより上にある。）


以上で
　　コラッツ予想で無限大に発散する数はない
ことが証明できました。
0107righ1113
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2013/09/19(木) 20:24:57.81
>>106の
l-s < log(xs)
は自明じゃなかったです。
修正します。
0108righ1113
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2013/09/29(日) 01:07:15.53
修正できました。証明したい補題は以下です。

無限大に発散するコラッツ列でx0を最小値にとれば、
x0からx∞まで等比数列で下から押えられる
　xs > x0*a^s　　　　　　　　　③

コラッツパターンにおいて、左端の傾きをd1、
右端の傾きをd2(=log1.5)とおきます。
sステップ後の左端までの距離l-sは
　　l-s = s*d1
で、左端から右端までの距離log(xs)は
　　log(xs) = log(x0) +s*d2 -s*d1
です。
s*d1≦log(x0)の区間では
　　s*d1≦log(x0) +sd1 -sd1
　　　　< log(x0) +sd2 -sd1　　∵ d1 < d2
　　l-s < log(xs)
が成り立ちます。
0109righ1113
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2013/09/29(日) 01:09:27.19
s0 < s < sgまでxs > x0*a^sが成り立つ事がわかりました。
あとはこれをs∞まで広げれば良いわけです。

s0からsgの間に傾きaを上回る二点xf,xf+1が存在する
事が言えます。もしなかったらコラッツ値のグラフが傾きa直線とぶつかって
矛盾するからです。

xf,xf+1でも同様に
xs > xf * b^t　　　s < sh　　　が言えます。変形して
　　> x0 * a^f * b^t
　　> x0 * a^(f+t)　　∵ a<b

成り立つ区間がs < sgからs < sg < shにのびました。
このプロセスを繰り返せばs∞までxs > x0*a^sが言えます。
③が証明できました。
0110righ1113
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2013/10/06(日) 03:19:16.82
>>109の
s0からsgの間に傾きaを上回る二点xf,xf+1が存在する
をちゃんと説明すると、

http://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/r/righ1113/20131006/20131006025445.jpg

図のように
s0からsgの間に、コラッツ値x0,x1,x2,x3をとる
x1,x2,x3とx0との傾きは、sが大きくなるに従って大きくなるので、
　　x0-x1傾き < x0-x2傾き < x0-x3傾き
　　⇒ x0-x1傾き < x2-x3傾き
よって
　　s0 < s < sgまでxs > x0*a^s
　　s < sh　　　　　xs > xf * b^t
において
　　a < b
が言えます。
0115１３２人目の素数さん
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2013/12/21(土) 05:55:12.66
9232ってどうして頻発するの？
0117righ1113
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2014/01/05(日) 00:07:19.41
>>115
コラッツ操作で9232を通過する数がどうして多いか、ということですか。
自分は偶数を省いてやってたので気づきませんでした。
調べてみます。
0118righ1113
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2014/01/15(水) 21:11:20.77
うーんわかんないです
0120righ1113
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2014/01/18(土) 00:53:38.62
xを最大値に持つ数の個数をコンピュータで調べました。
500000くらいまで調べました。以下の事が分かりました。
・ほとんど0個
・1/5ぐらいで5個とか
・1/3000ぐらいで50個とか
・225988を最大値に持つ数は386個
・250504を最大値に持つ数は1759個
・560356を最大値に持つ数は500個
・575728を最大値に持つ数は550個
・695464を最大値に持つ数は612個
9232の1579個を超える数も見つかりました。
ごくまれに大きい個数が出てくるみたいです。

なぜこんなに偏っているのかは謎です……
0121righ1113
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2014/01/18(土) 00:54:28.34
ソースコードです。Haskellです。
Prelude> :l tree
*CTree> map colmaxcnt [1..100]
のように使います。

-- tree.hs start
module CTree where
data CTree = Leaf Int | Node CTree Int CTree deriving (Eq,Show)
collatz :: Int -> Int
collatz 1 = 1
collatz x | odd x　　 = x * 3 + 1
　　　　　| otherwise = x `div` 2
-- 木を引数まで成長させる
growm :: Int -> CTree -> CTree
growm _ (Leaf 0) = Leaf 0
growm y (Leaf x) | x > y 　　　 = Leaf 0
　　　　　　　　 | even(x)&&((mod (x-1) 3)==0)
　　　　　　　　　　　　　　　　= (Node (Leaf $ div (x-1) 3) x (Leaf $ x*2))
　　　　　　　　 | otherwise　　= (Node (Leaf 0) x (Leaf $ x*2))
growm y (Node t1 x t2) = (Node (growm y t1) x (growm y t2))
0122righ1113
垢版 |
2014/01/18(土) 00:55:03.05
flatten :: CTree -> [Int]
flatten (Leaf x) = [x]
flatten (Node t1 x t2) = flatten(t1) ++ [x] ++ flatten(t2)
-- 空でないリストから収束した値を返す
conver :: Eq a => [a] -> a
conver [x] = x
conver (x1:x2:xs) = if x1==x2 then x1 else conver (x2:xs)
-- 最終結果
colmaxcnt :: Int -> Int
colmaxcnt 4 = 2
colmaxcnt x = if (any (x<) col) then 0 else chk
　　where col = takeWhile (1/=) (iterate collatz x)
　　　　　chk = length $ filter (\x->x/=0) $ flatten $ conver $ iterate (growm x) (Leaf x)
0124righ1113
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2014/02/25(火) 00:41:37.58
僕もそれがいいたかったんです。ほんとです。
0126１３２人目の素数さん
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2014/02/28(金) 23:35:58.04
9232未満の6分の1程度が9232に恋をして散ってしまう、というのは特筆すべきことだと思うけど。
0127righ1113
垢版 |
2014/03/10(月) 18:37:13.99
無限大の証明ですが、間違っていました(>_<)
αは有限値をとるみたいです。
>>103-110は無しでお願いします。
新しい証明を考え中です。
0128righ1113
垢版 |
2014/04/01(火) 20:46:55.54
あ、でも>>87-99の
4-2-1以外のループは存在しない証明は自信あります。
0129righ1113
垢版 |
2014/04/22(火) 11:07:09.03
【検証】コラッツの予想(1-1000)
http://r-2ch.com/t/math/1240289175/
（>>12と同じ）にあった割数列というのを調べている。
これで全ての3の倍数の奇数を表わせないかなと。

気になるレスを抜き出してみる。
0130righ1113
垢版 |
2014/04/22(火) 11:11:01.21
106
4 年前
ざっと計算機を回してみた感じでは、

任意の３の倍数でない奇数xに対して3の倍数yが存在して、
x∈collatz_set(y)
が成り立ちそうに見える。
80 ID: 2009/05/15 20:59
0131righ1113
垢版 |
2014/04/22(火) 11:15:34.73
108
4 年前
もし>>106が成り立てば、コラッツの予想は３の倍数だけ調べればいいってことになって、
コラッツ素数の概念にもそれなりに意味が出てくる。
個人的には、そうであって欲しいところだ。
80 ID: 2009/05/15 21:25
0132righ1113
垢版 |
2014/04/22(火) 11:20:26.74
110
4 年前
3で割り切れない数を9で割った余りは、1,2,4,5,7,8のどれかだけど、これは

1*2^6≡1
2*2^5≡1
4*2^4≡1
5*2^1≡1
7*2^2≡1
8*2^3≡1 (mod 9)

のように、どれも2を適当な回数掛けることで、9で割ると1余る偶数にできる。
ここから1を引いて3で割れば3の倍数である奇数になる。
>>106の予想は正しい。
１３２人目の素数さん ID: 2009/05/16 00:38
0133righ1113
垢版 |
2014/04/22(火) 11:23:45.07
285
4 年前
>>283
ありがとう！ここから何か出てこないかな・・

一つ、完全割数列→完全割数列に関しての操作を見つけた。
長さｎの完全割数列→長さｎ＋１の完全割数列

まず、長さｎの完全割数列を、初項に０をつけたｎ＋１型で表す。
長さｎの完全割数列でできる最終値を９で割ったあまりが・・
３　・・　[4,+2]or[1,-2]をつける
６　・・　[2,+2]or[3,-2]をつける
０　・・　[6,+2]or[5,-2]をつける
分かりづらいと思うので例を。

21≡3(mod 9)　21=[0,6]
このとき、[4,6+2]と[1,6-2]が存在する。
ちなみに、[0,1,…,]みたいに、２項目（本来の初項）が１か２のときは２で引けない。
このときは本来の初項に６を足した[0,7,…,]から考える。本来の初項に６の倍数を加減してもOKなので。
170 ID: 2009/07/22 22:04
0134righ1113
垢版 |
2014/04/22(火) 11:27:19.74
289
4 年前
全ての完全割数列を列挙できるかはゴメン、証明してないや。
でも、ちょっとやればできる気がする。今度時間ができたとき確信を得てみるよ。

＞どの数から始めても、コラッツ数列は一意に定まるからね。
確かにそうだね。これ書いた時は、一意でないものがあればそいつは１４２１以外のループをもつのかと
なんとなく思っていたけど、割数列を基に１スタートで逆にたどっていくならば
どこかでループしてしまうような値にはたどり着かないもんね。
ループしてしまうならば１にたどり着かないのだから。
「完全割数列で全ての３の倍数の奇数を表せる」だけ分かれば良いか。
170 ID: 2009/07/22 23:40
0135１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/22(火) 21:50:24.56
この問題が長年解かれないのは解こうとするのがアマばかりなのも一因だと思うよ
0136１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/22(火) 23:23:06.27
フェルマー・ワイルズの定理みたいに、これが解けたら重要な予想が証明できるってことがあるといいんだけど。何かあるんだったっけ？
0137１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/23(水) 02:43:17.47
>>135
違うよ。もうアマしか残ってないだけだよ。

かつて簡単に解けるだろうとコラッツ予想に手を出して時間を浪費した、
数多の研究者の屍で山が築かれたから。
0138１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/23(水) 17:26:51.64
　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ
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　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　
.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　　私は死なないわよ。
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　 でも最近一寸太ったかしら。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　 　　　　Windows ver.10 で　　　　
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　元の痩せた姿にしてよね。
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼　　　　　　　　　　 　　　
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　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
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0139righ1113
垢版 |
2014/04/24(木) 00:14:09.98
まず、>>133の各変換に名前をつけ、式であらわす。

　A:[4,2]　　　B:[1,-2]
　C:[2,2]　　　D:[3,-2]
　E:[6,2]　　　F:[5,-2]
そしてG:[+6]　　　H:[-6]

981[7,1...]⇒15[1,1...]⇒81[2,3,1...]のように、
まずHをおこなってC（A,E）をおこなう変換は頭にHをつけて
HA,HC,HEであらわす。

変換前のコラッツ値をxとおくと変換後は、
　HA:[4,2]　x/3-2　　　B:[1,-2]　x/3/2-1/2
　HC:[2,2]　x/3/4-3/4　　　D:[3,-2]　2x/3-1
　HE:[6,2]　4x/3-7　　　F:[5,-2]　8x/3-3
　G:[+6]　　　64x+21
となる。

◆注意点１
　HC:117[5,1...]⇒ﾅｼ[-1,1...]⇒9[2,1...]のように、
H後にマイナスになる場合がある。

◆注意点２
　HC:981[7,1...]⇒15[1,1...]⇒C:⇒81[2,3,1...]のように、
A,C,EはHA,HC,HEとしてもあらわれる。
0140righ1113
垢版 |
2014/04/24(木) 00:38:42.01
各変換でどのような数があらわれるか見ていく。

B:[1,-2]　x/3/2-1/2は21+72xを【3+12x】にうつす。
（例　21/3/2-1/2=3）
HC:[2,2]　x/3/4-3/4は117+288xを【9+24x】にうつす。
D:[3,-2]　2x/3-1は69+72xを【45+48x】にうつす。
HA:[4,2]　x/3-2は213+288xを【69+96x】にうつす。
F:[5,-2]　8x/3-3は45+72xを【117+192x】にうつす。
HE:[6,2]　4x/3-7は309+288xを【405+384x】にうつす。
G:[+6]　64x+21は3+6xを【213+384x】にうつす。

【3+12x】【9+24x】【45+48x】【69+96x】【117+192x】【405+384x】【213+384x】
と割数列1項[6]であらわされる【21】を加えて、
全ての3の倍数の奇数は完全割数列で表わされる。
0141righ1113
垢版 |
2014/05/25(日) 18:04:56.82
変換でマイナス値を経由するとか、あやしいところもあるので
>>133を書き換えます。

長さｎの完全割数列→長さｎ＋１の完全割数列
まず、長さｎの完全割数列を、初項に０をつけたｎ＋１型で表す。
長さｎの完全割数列でできる最終値を９で割ったあまりが・・
３　・・　A:[6,-4]orB:[1,-2]をつける
６　・・　C:[4,-4]orD:[3,-2]をつける
０　・・　E:[2,-4]orF:[5,-2]をつける
元の初項が負になる場合はあらかじめG:[+6]をおこなう。
0142righ1113
垢版 |
2014/05/26(月) 22:00:52.78
>>141を証明します。
A～FとGの各変換で[3の倍数の奇数]を[3の倍数の奇数]に写す
事を証明します。

A:[6,-4]
3 mod 9かつ奇数から変換前の数xは　18t+3
さらに割数列の初項が4以下は変換できないから
　(18t+3)*3+1= 54t+10　tが奇数の場合を除外、
さらに3=[1,…]だからt=0も除いて、
　x=36t+3、t=1,2,3,…　これが変換前の数。

A[6,-4]の変換関数は
(((3x+1)*2^-4-1)/3*2^6-1)/3 = 4x/3-7。

変換後の数は4x/3-7 にx=36t+3 を代入して
48t-3= 45,93,…　は3の倍数の奇数である。
0143righ1113
垢版 |
2014/06/15(日) 13:17:22.81
A書き直します。
A:[6,-4]
3 mod 9かつ奇数から変換前の数xは　18t+3
さらに3=[1,4]だからt=0も除いて、
　x=18t+3、t=1,2,3,…　これが変換前の数。

A[6,-4]の変換関数は
(((3x+1)*2^-4-1)/3*2^6-1)/3 = 4x/3-7。

変換後の数は4x/3-7 にx=18t+3 を代入して
24t-3= 21,45,69,…　は3の倍数の奇数である。
0144righ1113
垢版 |
2014/06/15(日) 13:18:44.73
B:[1,-2]
3 mod 9かつ奇数から変換前の数xは　18t+3
さらに割数列の初項が4以下は変換できないから
　(18t+3)*3+1= 54t+10⇒27t+5　tが偶数の場合を除外、
　x=18(2t+1)+3、t=0,1,2,3,…　これが変換前の数。

B[1,-2]の変換関数は
(((3x+1)*2^-2-1)/3*2^1-1)/3 = x/6-1/2。

変換後の数はx/6-1/2 にx=18(2t+1)+3 を代入して
6t+3= 3,9,15,…　は3の倍数の奇数である。
0145righ1113
垢版 |
2014/06/18(水) 18:21:46.37
C:[4,-4]
6 mod 9かつ奇数から変換前の数xは　x=9(2t+1)+6、t≧0

C[4,-4]の変換関数は
(((3x+1)*2^-4-1)/3*2^4-1)/3 = x/3-2。

変換後の数はx/3-2 にx=9(2t+1)+6 を代入して
3(2t+1)+0= 3,9,15,…　は3の倍数の奇数である。
0146righ1113
垢版 |
2014/06/18(水) 18:22:27.33
D:[3,-2]
6 mod 9かつ奇数から変換前の数xは　x=9(2t+1)+6、t≧0

D[3,-2]の変換関数は
(((3x+1)*2^-2-1)/3*2^3-1)/3 = 2x/3-1。

変換後の数は2x/3-1 にx=9(2t+1)+6 を代入して
3*2(2t+1)+3= 9,21,33,…　は3の倍数の奇数である。
0147righ1113
垢版 |
2014/06/26(木) 18:01:24.00
E:[2,-4]
0 mod 9かつ奇数から変換前の数xは　9(2t+1)
さらに割数列の初項が4以下は変換できないから
　9(2t+1)*3+1= 54t+28⇒27t+14　tが奇数の場合を除外、
　9(4t+1)*3+1= 108t+28⇒27t+7　tが偶数の場合を除外、
　x=9(4(2t+1)+1)、t=0,1,2,3,…　これが変換前の数。

E[2,-4]の変換関数は
(((3x+1)*2^-4-1)/3*2^2-1)/3 = x/12-3/4。

変換後の数はx/12-3/4 にx=9(4(2t+1)+1) を代入して
6t+3= 3,9,15,…　は3の倍数の奇数である。
0148righ1113
垢版 |
2014/07/01(火) 18:06:34.19
F:[5,-2]
0 mod 9かつ奇数から変換前の数xは　x=9(2t+1)、t≧0

F:[5,-2]の変換関数は
(((3x+1)*2^-2-1)/3*2^5-1)/3 = 8x/3-3。

変換後の数は8x/3-3 にx=9(2t+1) を代入して
48t+21= 21,69,117,…　は3の倍数の奇数である。
0149righ1113
垢版 |
2014/07/01(火) 18:12:45.26
G:[+6]
3の倍数の奇数から変換前の数xは　x=3(2t+1)、t≧0

G:[+6]の変換関数は
((3x+1)*2^6-1)/3 = 64x+21。

変換後の数は64x+21 にx=3(2t+1) を代入して
384t+213= 213,597,981,…　は3の倍数の奇数である。

A~G全ての変換で[3の倍数の奇数]から[3の倍数の奇数]に写る事がわかったので
>>141が証明できました。
0150righ1113
垢版 |
2014/07/16(水) 02:50:40.97
各変換でどのような数があらわれるか見ていく。

B:[1,-2]　x/3/2-1/2はx=21+72tを【3+12t】にうつす。
E:[2,-4]　x/3/4-3/4はx=117+288tを【9+24t】にうつす。
D:[3,-2]　2x/3-1はx=69+72tを【45+48t】にうつす。
C:[4,-4]　x/3-2はx=213+288tを【69+96t】にうつす。
F:[5,-2]　8x/3-3はx=45+72tを【117+192t】にうつす。
A:[6,-4]　4x/3-7はx=309+288tを【405+384t】にうつす。
G:[+6]　64x+21はx=3+6tを【213+384t】にうつす。

【3+12t】【9+24t】【45+48t】【69+96t】【117+192t】【405+384t】【213+384t】
と割数列[6]であらわされる【21】を加えて、
全ての3の倍数の奇数は、>>141変換後の完全割数列で表わされる。
0151righ1113
垢版 |
2014/07/16(水) 02:58:37.84
全ての3の倍数の奇数は、完全割数列で表わされる事はわかったが、
それが無限の長さの完全割数列かもしれない。
というわけで、命題
「全ての完全割数列は、[6]に初項への6の加減と>>141を有限回行うことで得られる」
⇒「無限の長さの完全割数列は存在しない]
の証明が必要……だと思う。
0152狸 ◆2VB8wsVUoo
垢版 |
2014/07/16(水) 10:32:06.84
狸

>6 名前：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 ：2014/07/15(火) 20:00:03.07
> [>>1]の親は強制的に[>>1]を集団から隔離するべし.
>
>660 名前：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 ：2014/07/15(火) 20:02:50.12
> Re:>>658 (10+a)(10+b)=100+10(a+b)+ab.
>
0153righ1113
垢版 |
2014/07/22(火) 00:12:15.02
うーん、思ってる証明をしても、無限の長さの完全割数列を排除できない気がしてきた……
0154righ1113
垢版 |
2014/08/11(月) 03:42:00.95
できた、かな?
0155righ1113
垢版 |
2014/08/15(金) 19:15:32.86
穴があったチクショウおおお
0156righ1113
垢版 |
2014/08/22(金) 21:17:22.61
できました。　あんまり自信ないけど。
いくつか補題を証明します。

<補題1>
3の倍数の奇数から始まるコラッツ列で無限に大きくなるものはない
　→すべてのコラッツ列で無限に大きくなるものはない

<証明>
>>132で、コラッツ列を逆にたどれば3の倍数の奇数にぶつかるから、
あるコラッツ列で無限に大きくなるものがある
　→3の倍数の奇数から始まるコラッツ列で無限に大きくなるものがある
これの対偶を取って証明できる。
0157righ1113
垢版 |
2014/08/22(金) 21:45:20.61
<補題2>
無限に大きくなるコラッツ列の割数列で、項が繰り返しになるものはない

<証明>
割数列の繰り返し部分をa1,...,anとおいて、その時のコラッツ値を一周期毎にx,y,z,wとおくと
3^n*x +3^(n-1) +3^(n-2)*2^a1 +... +2^a1~a_(n-1) = 2^a1~an*y
3^n*y +3^(n-1) +3^(n-2)*2^a1 +... +2^a1~a_(n-1) = 2^a1~an*z
3^n*z +3^(n-1) +3^(n-2)*2^a1 +... +2^a1~a_(n-1) = 2^a1~an*w
から
3^n*(y-x) = 2^a1~an*(z-y)
3^n*(z-y) = 2^a1~an*(w-z)
n≧1だから、z=yとなる。これはループするコラッツ列なので、無限に大きくなならない。
0158righ1113
垢版 |
2014/08/22(金) 22:24:50.81
<補題3>
すべての3の倍数の奇数は、>>141変換後の割数列であらわされる

<証明>
>>150です。
0159righ1113
垢版 |
2014/08/22(金) 22:35:56.78
<定理1>
長さnの割数列から長さn+1の割数列への変換　>>141

<証明>
>>143-149です。
0160righ1113
垢版 |
2014/08/25(月) 09:11:49.88
無限に大きくなるコラッツ列が存在すると仮定する。
このときの割数列は無限に長いものとなる。
これは、<定理1>に無限に適用でき、無限に逆適用できる。
変換Gであらわされる割数列は同一視して、
図であらわすと、上にも下にも無限に長い二分木(二分木A)となる。
<補題2>より、割数列の項は繰り返しにならないから、二分木の要素はそれぞれ異なるものとなる。
また、有限の長さの割数列では、[6]を根とする下に無限に長い二分木(二分木B)となる。

この二つを比べると、二分木Aのほうが個数が多い。
対応する点を子から親へ変えても、さらに親が存在するから、とりつくせない部分が存在し、
二つの集合は一対一対応がつかない。
二分木Bは可算集合だから、二分木Aは非可算集合である。

<補題3>より、すべての3の倍数の奇数は、<定理1>変換後の割数列であらわされるが、
すべての3の倍数の奇数は可算集合だから、二分木Aと対応がつかないので矛盾する。
よって、無限に大きくなるコラッツ列は存在しない。
0162１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/08/27(水) 04:19:55.20
コラッツの問題で、4->2->1以外のループが存在しないことって、示されてないよね。調べても出てこなかった
0164righ1113
垢版 |
2014/08/29(金) 21:51:34.84
>>160
上にも下にも無限に長い二分木は
　　　　　　　　　16
　　　　　4　　　　　　　　17
　　　1　　　 5　　　　18　　　19
　　2　 3　 6　 7　　20　21　22　23
　 8 9101112131415　2425262728293031
32...
このように番号をふれば、可算集合と一対一対応がつく。
証明、ダメでしたー。
0166righ1113
垢版 |
2014/09/06(土) 03:22:38.68
別のやりかたを考えました。

>>141変換再掲
A:[6,-4]　4x/3-7　　　　B:[1,-2]　x/3/2-1/2
C:[4,-4]　x/3-2　　　　D:[3,-2]　2x/3-1
E:[2,-4]　x/3/4-3/4　　　　F:[5,-2]　8x/3-3
G:[+6]　64x+21

無限に大きくなるコラッツ値のうち最小値をxとおく。
xから>>141変換をさかのぼることを考える。
割数列は無限に長いので、いくらでもさかのぼれる。
各変換のどれがあてはまるかを考える。

>>141変換の遷移をw→z→y→x,uとおく。
0167righ1113
垢版 |
2014/09/06(土) 03:24:15.14
①まずさかのぼる変換のうちでGはない。
さかのぼった値がxより小さくなるから。

②y→x、y→u変換で割数列の初項を-2、-4しているから、
yの割数列の初項は5以上。よってz→yはA or F。

③②より、y→xはE or F、Fはy < xとなるからない。

④z→yがAの場合、w→zがB or Cとなって-2、-4できなくなるからない。

⑤z→yがFの場合、w→zはA or F、Aは④と同じ。
Fはその手前もFになって、さかのぼる事をくりかえすと
コラッツ値がxより小さくなるからない。

よってどの変換も当てはまらないので、無限に大きくなるコラッツ列はない。
以上です。
0168１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/09/06(土) 09:50:15.94
>>92 では、4-2-1以外のループについて考察しているが、
同様の考察を4-2-1のループで行えば、やはり
　　X*X*X*…
が登場して、しかもX>1なので、いずれ
　　X*X*X*… > 4
となって
　　(1+1/3x)…(1+1/3x_s-1) < 4
と矛盾することになる。
つまり、4-2-1というループさえも矛盾していることになる。
つまり、証明のどこかが間違ってる。
0169１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/09/06(土) 09:53:23.59
と思ったらx_iは奇数しか出てこないのか。
じゃあ4-2-1の場合はX＝1になるのか。

スマソ。
0170１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/09/06(土) 11:55:46.00
>>97-99はおかしいと思う。次のような状況は起きないのか？

・sステップ目で最初のずれが生じて、Ln－Ll＝1 となる。
・以下、2014ステップの間はずれが生じない。つまり、Ln－Ll＝1 がずっと維持される。
・s2ステップ目で次のずれが生じて、Ln－Ll＝2 となる。
・以下、2014ステップの間はずれが生じない。つまり、Ln－Ll＝2 がずっと維持される。
・s3ステップ目で次のずれが生じて、Ln－Ll＝3 となる。
　：
　：
　：

この場合、ずれはどんどん大きくなる。
0171１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/09/06(土) 12:09:32.51
>>99の図をよく見たら、ずれが「解消」されてた。
「s+1,s+2,s+3ではずれない」＝「新しいずれが生じない(Ln－Ll＝1 が維持される)」
だと思ってた。

スマソ。
0172１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/09/06(土) 12:15:36.64
ちょっと待てよ、そもそも>>87の例は何を表してるんだ？
下位ビットが左なのであれば、
＞01011　　　　13
これは10進法では26であって、13にならない。左端の0は何なのか？
＞000101　　　　5
これは10進法では40であって、5にならない。左端の000は何なのか？
＞0000001　　　　1
これは10進法では64であって、1にならない。左端の000000は何なのか？

勝手に左端に0を補完してもいいなら、Lnは好きなように変更できてしまうぞ。
0173righ1113
垢版 |
2014/09/07(日) 20:00:59.46
指摘ありがとうございます。
コラッツパターンは>>87の(1)(2)(3)(4)ルールに合うように、
左端に0を付け足しています。

コラッツ操作で＜2で割った回数-1＞を蓄積している、とも言えます。
17→52→26→13　＜2で割った回数-1＞:1
01011　　　　13*2^1
13→40→20→10→5　＜2で割った回数-1＞:1+2
000101　　　　5*2^3
5→16→8→4→2→1　＜2で割った回数-1＞:1+2+3
0000001　　　　1*2^6

Lnは好きなように変更できてしまうことはないです。
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