コラッツ予想がとけたらいいな

**１３２人目の素数さん** · 2012/10/14(日) 10:32:39.71

525 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2012/09/03(月) 18:24:27.22
http://d.hatena.ne.jp/righ1113/
コラッツ予想について、証明を考えてみました。
ご指摘ご意見ご感想など、ぜひよろしくお願いします。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/09/26(月) 23:57:35.95

・前準備1
例えばx_sが7,11,17,13,5,17,13,5……とループするなら、先頭2項は外して,17,13,5,17,13,5……にします。
例ではx_3=x_0になります。

・前準備2
x_0~x_s-1がループ1周期として（x_0=x_s）、コラッツパターンXsと左端を伸ばすパターンYsのビット長は
[logYs] = [log(x_0*(3/2)^s)]
[logXs] = [log(x_0*(3/2)^s)+log(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)]
です。このときの[logYs]と[logXs]のずれが1とすると、周期を重ねるごとに[logXs]と[logYs]の差は
2log(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)、3log(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)、……と増大するので、
ずれも際限なく増大していきます。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/09/27(火) 00:00:15.90

・ループして、コラッツパターンXsと左端を伸ばすパターンYsのずれがずっと0の場合
[]は切り上げです。　　logはlog_2です。
[logXs] - [logYs] = 0　　から始めて
[log(x_0*(3/2)^s)+log(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)] - [log(x_0*(3/2)^s)] = 0
切り上げを外して
-1 < log(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1) < 1
logを外して
1/2 < (1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1) < 2
ループ1周期の(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)をXとおくと、X>1なので、
X*X*X*……はいずれ2を超えて、上の式と矛盾します。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/09/27(火) 00:04:17.73

・ずれがあってループした場合
ずれは増大していくので、ずれが3になったところをsとします。
そして、Xsを3ビット下位へシフトしてずれを消します。これをXs'とおきます。
Xs'=x_0*(3/2)^s*(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)/8　　です。

[logXs'] - [logYs] = 0　　から始めて
[log(x_0*(3/2)^s)+log(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)/8] - [log(x_0*(3/2)^s)] = 0
切り上げを外して
-1 < log(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)/8 < 1
logを外して
1/2 < (1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)/8 < 2

ここで、
x_0からx_s-1のうちで最小のものをx_mとおいて、
(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1) < ((1+1/3x_m)^3x_m)^(s/3x_m) < (1+1/3x_m)^3x_m < e
なので、
(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)/8 < e/8 ≒ 0.339
となって1/2を下回って矛盾します。

よって、4-2-1ループを除いて、ループする数はない
と言えるのではないかと思うのですが、どうでしょうか。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/09/27(火) 19:30:43.67

と思ったら
s > 3x_m　の時はループの可能性が残りますね。

妥協策としては、
（これも証明がいるけど）ループ1周期でずれ1をs、ループ3周期でずれ3を3sとしたら、
s > x_mでループの可能性があります。
コラッツは5*2^60までは反例がないので、
ループがあるとしたら、ループ周期は5*2^60(≒500京!)より大きい
が言えると思います。

**１３２人目の素数さん** · 2016/09/27(火) 19:33:39.19

ホントなら反例を探す方向は絶望的ってことか

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/09/27(火) 20:03:01.17

ループに関してはそうだと思います。
そして無限大に発散する方もコンピュータではしにくい（できない？）でしょうから……

**１３２人目の素数さん** · 2016/09/27(火) 22:46:16.60

もしかして1からnまでの範囲にコラッツ問題の反例がなければ
周期n以下のループがないというのはもし本当に言えれば相当の成果じゃないの？