コラッツ予想がとけたらいいな

**１３２人目の素数さん** · 2012/10/14(日) 10:32:39.71

525 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2012/09/03(月) 18:24:27.22
http://d.hatena.ne.jp/righ1113/
コラッツ予想について、証明を考えてみました。
ご指摘ご意見ご感想など、ぜひよろしくお願いします。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/07/12(火) 22:53:05.49

Coqの仕様なんでなんとも……
>>520でコラッツの定義としては問題ないと思います。

**１３２人目の素数さん** · 2016/07/12(火) 23:04:16.21

>>522了解です。
ありがとう。

**成清愼** · 2016/07/16(土) 07:54:51.11

http://koubeichizoku.ix-web.tk/collatz/
修正いたしました。当板の諸兄におかれましては何卒よろしくご査収の上
ご批評賜りたく、よろしくお願い申し上げます。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/07/18(月) 02:49:08.81

まず、x0の範囲を8bit以上から15bit以上に変更します。
これで、Xsが1ステップ進むごとに約0.585プラスされます。
禁止パターンは以下です。
・00
・111
・11011
・0101010
・11 01011 01011 01011

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/07/18(月) 02:53:42.18

以下のシミュレーションをおこないます。
【シミュレーションA】
1.7ビットの初期値x0A=1111111を用意する。
2.x0Aを下位へ1ビットシフトして（末尾は捨てる）、x0Aに加える。
3.最下位ビットに1加える。（下位からの繰り上がりが常に有る事を想定）
4.n+1ビットになっていたら、最下位ビットを捨ててnビットにする。
5.2~4を繰り返す。
得られる値をxsAとする。

xsAのライトエッジパターンは17区切りで以下になりますが、
[0,#1,1,0,1,0,1,1,0,1,0,1,1,0,1,0,1,0]
1個左にずらして01101011010110101の繰り返しとします。
それに合わせて、X0のライトエッジパターンも0と定義して、0ステップ目から17区切りにします。
（もしX1が0なら従来通り1ステップ目から始めます。）

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/07/18(月) 02:57:33.00

https://drive.google.com/file/d/0B_FTpAj7C52FLWI5TWMtMi1tVms/view?usp=sharing
xsAは17区切りで1が10個入ります。
17区切りで1が11個入るパターンは禁止パターンなので除外します。
17区切りで1が10個入るパターンは、全部で21個あるのですが、先のライトエッジパターンの操作により、
0始まりのもの8個だけを考えれば良いです。

A1からA8の状態遷移を考えます。どれも0につながるので、この8個で閉じています。
薄い灰色は禁止パターンになるので、遷移できない箇所です。
濃い灰色はXsに0.585を足していって脱落した所です。

これを元に樹形図を描くと、最長が
A4-A2-A2-A3-A3-A1-A8-A8-A7-A7-A6-脱落　の17*12ステップですが、
A2-A2-A3-A3　と　A8-A8-A7-A7は脱落するので、
A4-A2-A2-A3-A1-A8-A8-A7-A6-脱落　の17*10ステップが最長となります。
これは、170ステップ以内で、17区切りで1が9個入るパターンが現れる事を意味しています。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/07/18(月) 03:02:47.11

xsAのライトエッジパターンに手を加えます。
170ステップごとに0を挿入します。
これをおこなっても先の議論より、
Xs < xsA*2^pxs　（2^pxsはXsより十分右へ離す定数）が言えます。

170ステップごとに0を挿入した事により、xsAの傾きが変わります。
挿入する前は10/17=0.58823… > log(3/2)ですが、
挿入後は100/171=0.58479… < log(3/2)です。

グラフでは、「左端を伸ばすパターン」<「コラッツパターン」<「xsA」と並んでいますが、
xsAの傾きがlog(3/2)より小さい為、順序が逆転し、矛盾します。
この矛盾を回避するには、順序が逆転する前に、コラッツ値が1になるしかありません。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/07/18(月) 03:50:24.14

書いてみて分かったんですが
ちょっとダメみたいです。お騒がせしました。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/07/18(月) 11:28:23.95

状態遷移図を修正しました。
before:A1＼after:A1で結果がA8になっているのは、
A1からA1に遷移させるつもりだったけど、実際に計算してみるとA8に遷移してた、ということです。
あと、A4-A2-A2の遷移はA4-A2-A3になってしまうので、
A4-A2-A3-A1-A8-A8-A7-A6-D1　の17*9ステップが最長となります。

実はもう一つ問題があるのですが、それは後で書きます。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/07/18(月) 13:43:41.26

A6-D1-A1-A8と遷移したとします。
D1の末尾は0なので、A1～A8に繋げる事ができません。
そこで11を挿入します。（1じゃないのは0101010回避のため）
次にA1を普通にやって、A8の先頭で、コラッツパターンの右端を2つ左にずらします。
これで11と相殺されます。
このときのA8のライトエッジパターンは[-2,1,0,1,1,0,1,0,1,1,0,1,0,1,0,1,1]
と書いても良いかもしれません。

これで「左端を伸ばすパターン」<「コラッツパターン」<「xsA」の関係も維持されます。

**tai** · 2016/07/18(月) 15:08:39.36

2bitで計算して

coqで確認

というのは

どちらかというと

ありそうな証明です

頑張ってください

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/07/18(月) 15:18:39.40

ありがとうございます。励みになります。

**１３２人目の素数さん** · 2016/07/18(月) 21:31:58.47

全てのnに対して2^n-1がコラッツの予想成り立つことは示せないかな。

**１３２人目の素数さん** · 2016/07/18(月) 21:42:48.17

数学的帰納法でいけるんじゃね
適当だけど

**１３２人目の素数さん** · 2016/07/18(月) 21:53:16.94

>>535
まじで。

>>1の言うようにビットパターンをセルオートマトンとみなすと
無限大に発散する数というのは自己複製型みたいになるのかな？

**１３２人目の素数さん** · 2016/07/18(月) 21:54:40.85

いけんかったわ
すまんまん

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/07/19(火) 05:22:17.53

>>531
ちょっと変えます。

A6-D1-A1と遷移したとします。
D1の末尾は0なので、A1～A8に繋げる事ができません。
そこで、適当な後方から11を借りてきます（1じゃないのは0101010回避のため）。
貸した部分まで来たら、また後方から11を借ります。
D1が現れるごとに借りる個数は増えていきますが、コラッツパターンは無限に続くという仮定の元でおこなっているので、問題ないです。
また、11を前方へ移動させているだけなので、ライトエッジパターンの総量はかわらず、
「左端を伸ばすパターン」<「コラッツパターン」<「xsA」の関係も維持されます。

**１３２人目の素数さん** · 2016/07/19(火) 10:40:37.10

まだナントカパターンでやってるのか。頭の悪い奴だな。

左端を延ばすパターンでも、ライトエッジパターンでも、
2進法で表された何らかの数の、左端と右端の数桁だか数十桁だかの
固定された桁数しか見ていない。そのような固定された桁数では、
絶対にパターンに嵌まらないイレギュラーなパターンが出てくる。
それらのパターンまで取り込むと、既存の桁数では足りず、
確認すべき桁数を拡張しなければならない。

＞そこで、適当な後方から11を借りてきます（1じゃないのは0101010回避のため）。

この部分は、まさに桁数を拡張していることに対応する。
そして、この作業は終わらない。すなわち、有限個のパターンでは収まらない。
一般的に記述すると、漸化式の形で延々と続くような記述になってしまう。
その漸化式は、次の項に進むごとに、2進法で表された数の中心に向かって、
左端と右端からどんどんと桁数が侵食されていくような形式になるはず。

＞D1が現れるごとに借りる個数は増えていきますが、コラッツパターンは無限に続くという仮定の元でおこなっているので、問題ないです。

この部分は、まさにこのことを示唆している。

そして、一般的に記述した漸化式を解析することは、もともとのコラッツの問題と
同程度もしくはそれ以上に難しい。よって、この方法では無理。

righ1113 ◆OPKWA8uhcY は、桁の計算をいつもいつも概算で済ませて「問題ないはず」と発言し、
そのたびに、後になって修正するのを繰り返しているが、要するに、
桁の計算は概算で済ませてはいけないのである。いい加減にコイツは気づくべきである。

概算で済ませず、厳密に計算してみろ。

有限個のパターンでは収まらず、漸化式の形で延々と続くような記述にしかならないはずだ。
そして、その漸化式は複雑すぎて手に負えず、この方針では解けないのだ。

**１３２人目の素数さん** · 2016/07/19(火) 17:16:33.31

仮に全ての奇数で成立することが証明できれば全ての整数で成り立ちますか？

**534** · 2016/07/19(火) 20:46:50.47

>>1さんよ
とりあえず目標を>>534まで落としてみないか？
これでも十分難しいぞ？
Coqスレの147あんたじゃろ？
あの時は目標を落としたことで前に進んだじゃろ？
ちなみにCoqスレの148は俺じゃから。

まあ考えてみてくれ。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/07/20(水) 02:31:18.77

ありがとうございます。考えてみます。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/07/20(水) 14:58:08.77

調べた所、1000000009151が241ステップと長めだったので、計算してみました。
https://drive.google.com/file/d/0B_FTpAj7C52FRXJHeFhFbGJRZUE/view?usp=sharing
状態遷移は上手くいっているみたいです。
11の貸し借りも出来ているんですけど、、貸す所と借りる所がかぶらなかったので、あまり参考になりませんでした……

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/07/20(水) 15:04:00.42

11の貸し借りでかぶるとどうなるかを見るために、
100ステップずつ11を借りる例を考えてみます。
借りる先は2乗ステップ目です。

・100ステップ目で10000ステップ目から11を借りる
・200ステップ目で40000ステップ目から11を借りる
……
・10000ステップ目で貸した11の穴埋めと、新たな11を10^8ステップ目から借りる
・40000ステップ目で貸した11の穴埋めと、新たな11を16*10^8ステップ目から借りる
……
・10^8ステップ目で計111111を、10^16ステップ目から借りる
・16*10^8ステップ目で計111111を、16^2*10^16ステップ目から借りる
……
貸す所が010101…になっている場合もあるので、実際は倍の長さが必要ですが、
それでも、「借りる11…が次のゾーンにひっかかる」というような事は起きません。

この作業に終わりはないのですが、この作業の途中で、
傾きの影響で、左端を伸ばすパターンとxsAの順序が逆転して矛盾します。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/07/20(水) 16:53:11.61

式で書くと、
100^(2^n-1)ステップで"11"*n*2を100^(2^n)ステップから借りる時、
次のゾーンまでは少なくとも200*100^(2^n-1)空いているから、
2*n*2 < 200*100^(2^n-1)が言えて、次のゾーンにはかからない。です。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/07/20(水) 17:38:16.68

修正します。
式で書くと、
100nステップで"11"*(log(4√n)+1)*2を(100n)^2ステップから借りる時、
次のゾーンまでは少なくとも200*100(n-1)空いているから、
2*(log(4√n)+1)*2 < 200*100(n-1)が言えて、次のゾーンにはかからない。です。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/07/20(水) 18:24:37.15

再修正します。
式で書くと、
100nステップで"11"*[(log(4√n)+1)]*2を(100n)^2ステップから借りる時、
(100(n+1))^2 -(100n)^2
=(10000(n+1)^2) -10000n^2
=10000n^2 +20000n +10000 -10000n^2
次のゾーンまでは少なくとも20000n空いているから、
2*[(log(4√n)+1)]*2 < 20000nが言えて、次のゾーンにはかからない。です。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/07/21(木) 04:10:50.80

>>540
全ての偶数は、2で割る事を繰り返せば奇数にたどり着くから、
全ての奇数で成立することが証明できれば、全ての自然数で成り立ちます。
全ての整数で成り立つかどうかは分からない。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/07/21(木) 05:34:29.16

>>541
2^n-1は、2進数で表すと1111…ですね。
試しに3(11)でおこなうと、次ステップは5(101)になります。
7(111)でおこなうと、次ステップは11(1101)になります。
5と11の関係は、101を右シフトして+1しているので、5*2+1=11です。

そこで、次の命題1を考えます。
・x以下で1にたどり着けば、2x+1以下も1にたどり着く

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/07/21(木) 05:36:06.86

次に、次の命題2を考えます。
・x以下で1にたどり着けば、4x+2以下も1にたどり着く

まず、これをすべての偶数で証明します。
・2以下の偶数で1にたどり着けば、4*2+2=10以下の偶数も1にたどり着く　は真です。
・x以下の偶数で1にたどり着けば、4*x+2以下の偶数も1にたどり着く　を真としたとき、
x+2は2で割れるので、(x+2)/2 < x、
4*(x+2)+2も2で割れるので、2*(x+2)+1 < 4*x+2、よって
・x+2以下の偶数で1にたどり着けば、4*(x+2)+2以下の偶数も1にたどり着く　も真で、数学的帰納法で証明されました。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/07/21(木) 05:38:32.36

次に、命題2を奇数で証明したいので、2倍した偶数を考えます。
xを例にとると、xを2倍して、
・2x以下の偶数で1にたどり着けば、4*2x+2以下の偶数も1にたどり着く
2で割って
・x以下の数で1にたどり着けば、4*x+1以下の数も1にたどり着く

4*x+1 > 2*x+1なので、命題1
・x以下で1にたどり着けば、2x+1以下も1にたどり着く
も証明されました。
これで、5(101)->11(1101)->23(11101)->……が1にたどり着くことが証明できたので、
2^n-1も1にたどり着くことが証明できました。
>>534さん、これどうですかね。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/07/21(木) 06:26:46.30

ダメっぽい…・・・

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/07/21(木) 20:18:12.98

しばらくお休みします。

**１３２人目の素数さん** · 2016/07/21(木) 20:33:10.01

乙カレ～

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/08/31(水) 04:00:14.65

いまひとつ再開する気が起きません。
すみません。

**１３２人目の素数さん** · 2016/09/04(日) 22:26:50.46

　　　　　　　　　　　　、､､ , , _
　　　 ,. -┬i＾i､._　　　ｨ`,､,､,､,､,.、'、
.　　 /　　 | | .|=ゞ=､　__ｌ/＼　v~／!|
　　 l.　　　ｌｌ l　＼＼{f∥ミゞ, ,ｨ≪:lf＾i　　　　　　もういい…！
　／ヽ.　　ﾉ｢,ﾄ､｢.lﾍ‐iヾ|rｰ~r〉〉，こlﾚ'
/　　｀ヽ//| ﾄ､ヽｌｲ| |/|{王王王王}ﾄ､
|　　　　ﾚﾆ| lﾆゝ冫! l!L_, , ,ｰ, , , ,_｣ｼ’、　　　　もう…
ヽ　　　 __|ーL|┴＾ｰヽ＞'＾ヾ二三シ´＼＼
　,ゝ,／　 .}二二二二二二二二二ｌヽ.　ヽ＼　　　休めっ…！
l/　|ﾄ､.／´＼　　　　　　　　　　 ||.　レ'´￣｀ヽ
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　　||　|.l lﾞ!.|ｉ |ヽ)　　　　　　　　　 |l/　　　　 /　　休めっ…！
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　　||.　ヾ＝--一'`ーゝ　　　　　　 _,. く　ノ|

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/09/14(水) 15:41:14.53

再開ではないですが、気になっている事があります。
x0から始まるコラッツ列が無限大に発散するとき、以下の式は成り立つのでしょうか。
lim[s->∞](1+1/3x_1)…(1+1/3x_s) > lim[y->∞](1+1/y)^y ≒ 2.718
自分としては、各x_sが定数な分だけ、左辺が大きいと思うのですが……

成り立つとすると、>>504と矛盾するのではないかという気がします。
（ε=0.1とおいて、有限積では1.1を越えないのに、無限積にすると2.718を超える）

自信がないので、ご意見お待ちしています。

**１３２人目の素数さん** · 2016/09/14(水) 21:38:55.68

各x_sが定数ってどういうこと？
x_sはsが増えるにしたがって大きくなるじゃねーの？

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/09/14(水) 22:20:57.91

左辺はsが増えても、それ以前の項のx_sは変わらないという意味で定数と書きました。
一方右辺はyが増えると、初項から全てのyが増加します。

**１３２人目の素数さん** · 2016/09/14(水) 23:06:47.15

よくわからんが無限和が有限になることもあるように無限積も有限になる可能性がある？

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/09/15(木) 01:32:11.84

無限積も有限になる可能性があるというのは、
lim[y->∞](1+1/y)^y ≒ 2.718
からも明らかです。
問題はこれより左辺
lim[s->∞](1+1/3x_1)…(1+1/3x_s)
が大きいと思われる事です。

**１３２人目の素数さん** · 2016/09/15(木) 20:20:12.11

定数だからって理由だけでは大小は決められないでしょ。
積の形だから惑わされるんじゃない？

おれもあんまり自信ないが
両辺logとって和の形にすればx_sになんらかの制限がなければ
大小は論じられないという結論になりそうな気がする。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/09/15(木) 22:49:08.11

ダメって事でしょうか？
う～ん……

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/09/15(木) 23:00:23.25

定数だから単純に
1/100 > 1/∞
だと思ったんですけどねえ。

**１３２人目の素数さん** · 2016/09/15(木) 23:15:27.77

まずΣ[n->∞] (1/2)^n = 1でしょ？

この式が両辺log取った結果の式だとすれば元の式は
Π[n->∞] e^((1/2)^n) = e

みたいな感じになるんじゃないのかな？（微妙に自信ないが）

要するにx_sが非常に急速に大きくなるなら
lim[s->∞](1+1/3x_1)…(1+1/3x_s)
はそんなに大きくならない可能性も十分あると思うが。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/09/16(金) 00:42:30.45

すぐには理解できないのでじっくり考えてみます。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/09/16(金) 01:26:35.56

e^(1/2)*e^(1/4)*e^(1/8)*…
と
(1+1/3x_1)*(1+1/3x_2)*(1+1/3x_3)*…

を比べて(1+1/3x_s)の減少スピードが速ければ

lim[s->∞](1+1/3x_1)…(1+1/3x_s)

はeに届かないって事ですか……

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/09/26(月) 20:09:15.44

あと一つだけネタがあるので、しばしお待ちください。
ループする方です。

**１３２人目の素数さん** · 2016/09/26(月) 21:50:09.74

+　　　+
　 ∧＿∧ 　+
　（0゜・∀・）　　　ワクワクテカテカ
　（0゜∪ ∪ + 　　　　　　　
　と＿_）__）　+

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/09/26(月) 23:57:35.95

・前準備1
例えばx_sが7,11,17,13,5,17,13,5……とループするなら、先頭2項は外して,17,13,5,17,13,5……にします。
例ではx_3=x_0になります。

・前準備2
x_0~x_s-1がループ1周期として（x_0=x_s）、コラッツパターンXsと左端を伸ばすパターンYsのビット長は
[logYs] = [log(x_0*(3/2)^s)]
[logXs] = [log(x_0*(3/2)^s)+log(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)]
です。このときの[logYs]と[logXs]のずれが1とすると、周期を重ねるごとに[logXs]と[logYs]の差は
2log(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)、3log(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)、……と増大するので、
ずれも際限なく増大していきます。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/09/27(火) 00:00:15.90

・ループして、コラッツパターンXsと左端を伸ばすパターンYsのずれがずっと0の場合
[]は切り上げです。　　logはlog_2です。
[logXs] - [logYs] = 0　　から始めて
[log(x_0*(3/2)^s)+log(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)] - [log(x_0*(3/2)^s)] = 0
切り上げを外して
-1 < log(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1) < 1
logを外して
1/2 < (1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1) < 2
ループ1周期の(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)をXとおくと、X>1なので、
X*X*X*……はいずれ2を超えて、上の式と矛盾します。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/09/27(火) 00:04:17.73

・ずれがあってループした場合
ずれは増大していくので、ずれが3になったところをsとします。
そして、Xsを3ビット下位へシフトしてずれを消します。これをXs'とおきます。
Xs'=x_0*(3/2)^s*(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)/8　　です。

[logXs'] - [logYs] = 0　　から始めて
[log(x_0*(3/2)^s)+log(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)/8] - [log(x_0*(3/2)^s)] = 0
切り上げを外して
-1 < log(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)/8 < 1
logを外して
1/2 < (1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)/8 < 2

ここで、
x_0からx_s-1のうちで最小のものをx_mとおいて、
(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1) < ((1+1/3x_m)^3x_m)^(s/3x_m) < (1+1/3x_m)^3x_m < e
なので、
(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)/8 < e/8 ≒ 0.339
となって1/2を下回って矛盾します。

よって、4-2-1ループを除いて、ループする数はない
と言えるのではないかと思うのですが、どうでしょうか。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/09/27(火) 19:30:43.67

と思ったら
s > 3x_m　の時はループの可能性が残りますね。

妥協策としては、
（これも証明がいるけど）ループ1周期でずれ1をs、ループ3周期でずれ3を3sとしたら、
s > x_mでループの可能性があります。
コラッツは5*2^60までは反例がないので、
ループがあるとしたら、ループ周期は5*2^60(≒500京!)より大きい
が言えると思います。

**１３２人目の素数さん** · 2016/09/27(火) 19:33:39.19

ホントなら反例を探す方向は絶望的ってことか

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/09/27(火) 20:03:01.17

ループに関してはそうだと思います。
そして無限大に発散する方もコンピュータではしにくい（できない？）でしょうから……

**１３２人目の素数さん** · 2016/09/27(火) 22:46:16.60

もしかして1からnまでの範囲にコラッツ問題の反例がなければ
周期n以下のループがないというのはもし本当に言えれば相当の成果じゃないの？

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/09/28(水) 09:53:53.09

がんばります。
現状ではかなり怪しいので……

**１３２人目の素数さん** · 2016/09/28(水) 21:53:45.02

求めすぎかもしれないが多分俺じゃ証明の検証できないから
可能ならCoqでの証明つけてほしい。

**１３２人目の素数さん** · 2016/09/28(水) 22:07:27.38

>>571
切り上げを外してってところがわからない。
なぜこのような式変形になるのだろう？

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/09/28(水) 23:40:22.51

>>578
Coqきびしいですねー
やるとしてもずっと後になると思います。

>>579
[a+b]-[a]=0
から
-1 < b < 1
が言えると思うんですけど間違ってますかね？

**１３２人目の素数さん** · 2016/09/29(木) 00:06:45.39

>>580
なるほど言えそう。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/09/29(木) 02:32:43.06

ずれが3になったところをsとする
s<=3x_mだと矛盾する
よってs>3x_mである
　　　　　　　　ループを何回か繰り返した物を大ループと名付けて
　　　　　　　　1～nまででコラッツ予想の反例がなければ周期n以下の大ループはない
で
sはループ何周目か
で苦戦しております。

**１３２人目の素数さん** · 2016/10/04(火) 23:14:50.46

奇数×奇数＋１＝偶数
偶数÷偶数＝偶数
必ず以下の手順を通る
1　２　４　８　１６　５　１０　２０　４０　８０　１６０
これは　1＋１＝２予想を解けと言ってるようなもんだｗｗｗ
小学生にも解り易く説明するとｗｗ

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2016/10/04(火) 23:18:14.68

若い奴を相手にして、『人前ではメッキで遣り過ごせ！』と教える芳雄が、
何と「研究者としての基本的態度」を申し述べ、毎晩の様に連呼して、そ
の重要性を訴えてた。所が芳雄は一向に「何をどうスル事なのか」を説明
せず、子供の私は日々頭を悩ませた。普通に考えれば、ソレは：
★★★「研究対象に向かう時にどういう風に頭を使って考えて創造的になるか」★★★
であろう。そして試行錯誤を繰り返しながら失敗を重ね、その度毎に芳雄
に罵倒され、そして「釜ヶ崎へ行け！」と恐喝された。

でも芳雄を良く観察し、そして：
★★★『芳雄と一緒になって母親を無根拠に罵倒したら「芳雄は大喜び」した！』★★★
ので、やっと理解した。芳雄が言う「研究者としての基本的態度」とは：
１．その場の自分の損得を考える。
２．何も考えずに「芳雄に同調」スル。
３．発言の中身を空虚にして、表現にだけ注意して敬語を使う。
という様な事であり、要は『顔色を窺って、その場を繕え』という事だ。

コレを理解した時はホンマに嬉しかった。芳雄のオツムが『サル並である』
という定理を証明した瞬間だった。

￥

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2016/10/04(火) 23:18:32.03

若い奴を相手にして、『人前ではメッキで遣り過ごせ！』と教える芳雄が、
何と「研究者としての基本的態度」を申し述べ、毎晩の様に連呼して、そ
の重要性を訴えてた。所が芳雄は一向に「何をどうスル事なのか」を説明
せず、子供の私は日々頭を悩ませた。普通に考えれば、ソレは：
★★★「研究対象に向かう時にどういう風に頭を使って考えて創造的になるか」★★★
であろう。そして試行錯誤を繰り返しながら失敗を重ね、その度毎に芳雄
に罵倒され、そして「釜ヶ崎へ行け！」と恐喝された。

でも芳雄を良く観察し、そして：
★★★『芳雄と一緒になって母親を無根拠に罵倒したら「芳雄は大喜び」した！』★★★
ので、やっと理解した。芳雄が言う「研究者としての基本的態度」とは：
１．その場の自分の損得を考える。
２．何も考えずに「芳雄に同調」スル。
３．発言の中身を空虚にして、表現にだけ注意して敬語を使う。
という様な事であり、要は『顔色を窺って、その場を繕え』という事だ。

コレを理解した時はホンマに嬉しかった。芳雄のオツムが『サル並である』
という定理を証明した瞬間だった。

￥

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2016/10/04(火) 23:18:48.38

若い奴を相手にして、『人前ではメッキで遣り過ごせ！』と教える芳雄が、
何と「研究者としての基本的態度」を申し述べ、毎晩の様に連呼して、そ
の重要性を訴えてた。所が芳雄は一向に「何をどうスル事なのか」を説明
せず、子供の私は日々頭を悩ませた。普通に考えれば、ソレは：
★★★「研究対象に向かう時にどういう風に頭を使って考えて創造的になるか」★★★
であろう。そして試行錯誤を繰り返しながら失敗を重ね、その度毎に芳雄
に罵倒され、そして「釜ヶ崎へ行け！」と恐喝された。

でも芳雄を良く観察し、そして：
★★★『芳雄と一緒になって母親を無根拠に罵倒したら「芳雄は大喜び」した！』★★★
ので、やっと理解した。芳雄が言う「研究者としての基本的態度」とは：
１．その場の自分の損得を考える。
２．何も考えずに「芳雄に同調」スル。
３．発言の中身を空虚にして、表現にだけ注意して敬語を使う。
という様な事であり、要は『顔色を窺って、その場を繕え』という事だ。

コレを理解した時はホンマに嬉しかった。芳雄のオツムが『サル並である』
という定理を証明した瞬間だった。

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2016/10/04(火) 23:19:04.06

若い奴を相手にして、『人前ではメッキで遣り過ごせ！』と教える芳雄が、
何と「研究者としての基本的態度」を申し述べ、毎晩の様に連呼して、そ
の重要性を訴えてた。所が芳雄は一向に「何をどうスル事なのか」を説明
せず、子供の私は日々頭を悩ませた。普通に考えれば、ソレは：
★★★「研究対象に向かう時にどういう風に頭を使って考えて創造的になるか」★★★
であろう。そして試行錯誤を繰り返しながら失敗を重ね、その度毎に芳雄
に罵倒され、そして「釜ヶ崎へ行け！」と恐喝された。

でも芳雄を良く観察し、そして：
★★★『芳雄と一緒になって母親を無根拠に罵倒したら「芳雄は大喜び」した！』★★★
ので、やっと理解した。芳雄が言う「研究者としての基本的態度」とは：
１．その場の自分の損得を考える。
２．何も考えずに「芳雄に同調」スル。
３．発言の中身を空虚にして、表現にだけ注意して敬語を使う。
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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2016/10/04(火) 23:19:20.88

若い奴を相手にして、『人前ではメッキで遣り過ごせ！』と教える芳雄が、
何と「研究者としての基本的態度」を申し述べ、毎晩の様に連呼して、そ
の重要性を訴えてた。所が芳雄は一向に「何をどうスル事なのか」を説明
せず、子供の私は日々頭を悩ませた。普通に考えれば、ソレは：
★★★「研究対象に向かう時にどういう風に頭を使って考えて創造的になるか」★★★
であろう。そして試行錯誤を繰り返しながら失敗を重ね、その度毎に芳雄
に罵倒され、そして「釜ヶ崎へ行け！」と恐喝された。

でも芳雄を良く観察し、そして：
★★★『芳雄と一緒になって母親を無根拠に罵倒したら「芳雄は大喜び」した！』★★★
ので、やっと理解した。芳雄が言う「研究者としての基本的態度」とは：
１．その場の自分の損得を考える。
２．何も考えずに「芳雄に同調」スル。
３．発言の中身を空虚にして、表現にだけ注意して敬語を使う。
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コレを理解した時はホンマに嬉しかった。芳雄のオツムが『サル並である』
という定理を証明した瞬間だった。

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2016/10/04(火) 23:19:36.94

若い奴を相手にして、『人前ではメッキで遣り過ごせ！』と教える芳雄が、
何と「研究者としての基本的態度」を申し述べ、毎晩の様に連呼して、そ
の重要性を訴えてた。所が芳雄は一向に「何をどうスル事なのか」を説明
せず、子供の私は日々頭を悩ませた。普通に考えれば、ソレは：
★★★「研究対象に向かう時にどういう風に頭を使って考えて創造的になるか」★★★
であろう。そして試行錯誤を繰り返しながら失敗を重ね、その度毎に芳雄
に罵倒され、そして「釜ヶ崎へ行け！」と恐喝された。

でも芳雄を良く観察し、そして：
★★★『芳雄と一緒になって母親を無根拠に罵倒したら「芳雄は大喜び」した！』★★★
ので、やっと理解した。芳雄が言う「研究者としての基本的態度」とは：
１．その場の自分の損得を考える。
２．何も考えずに「芳雄に同調」スル。
３．発言の中身を空虚にして、表現にだけ注意して敬語を使う。
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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2016/10/04(火) 23:19:56.33

若い奴を相手にして、『人前ではメッキで遣り過ごせ！』と教える芳雄が、
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せず、子供の私は日々頭を悩ませた。普通に考えれば、ソレは：
★★★「研究対象に向かう時にどういう風に頭を使って考えて創造的になるか」★★★
であろう。そして試行錯誤を繰り返しながら失敗を重ね、その度毎に芳雄
に罵倒され、そして「釜ヶ崎へ行け！」と恐喝された。

でも芳雄を良く観察し、そして：
★★★『芳雄と一緒になって母親を無根拠に罵倒したら「芳雄は大喜び」した！』★★★
ので、やっと理解した。芳雄が言う「研究者としての基本的態度」とは：
１．その場の自分の損得を考える。
２．何も考えずに「芳雄に同調」スル。
３．発言の中身を空虚にして、表現にだけ注意して敬語を使う。
という様な事であり、要は『顔色を窺って、その場を繕え』という事だ。

コレを理解した時はホンマに嬉しかった。芳雄のオツムが『サル並である』
という定理を証明した瞬間だった。

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2016/10/04(火) 23:20:12.84

若い奴を相手にして、『人前ではメッキで遣り過ごせ！』と教える芳雄が、
何と「研究者としての基本的態度」を申し述べ、毎晩の様に連呼して、そ
の重要性を訴えてた。所が芳雄は一向に「何をどうスル事なのか」を説明
せず、子供の私は日々頭を悩ませた。普通に考えれば、ソレは：
★★★「研究対象に向かう時にどういう風に頭を使って考えて創造的になるか」★★★
であろう。そして試行錯誤を繰り返しながら失敗を重ね、その度毎に芳雄
に罵倒され、そして「釜ヶ崎へ行け！」と恐喝された。

でも芳雄を良く観察し、そして：
★★★『芳雄と一緒になって母親を無根拠に罵倒したら「芳雄は大喜び」した！』★★★
ので、やっと理解した。芳雄が言う「研究者としての基本的態度」とは：
１．その場の自分の損得を考える。
２．何も考えずに「芳雄に同調」スル。
３．発言の中身を空虚にして、表現にだけ注意して敬語を使う。
という様な事であり、要は『顔色を窺って、その場を繕え』という事だ。

コレを理解した時はホンマに嬉しかった。芳雄のオツムが『サル並である』
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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2016/10/04(火) 23:20:29.55

若い奴を相手にして、『人前ではメッキで遣り過ごせ！』と教える芳雄が、
何と「研究者としての基本的態度」を申し述べ、毎晩の様に連呼して、そ
の重要性を訴えてた。所が芳雄は一向に「何をどうスル事なのか」を説明
せず、子供の私は日々頭を悩ませた。普通に考えれば、ソレは：
★★★「研究対象に向かう時にどういう風に頭を使って考えて創造的になるか」★★★
であろう。そして試行錯誤を繰り返しながら失敗を重ね、その度毎に芳雄
に罵倒され、そして「釜ヶ崎へ行け！」と恐喝された。

でも芳雄を良く観察し、そして：
★★★『芳雄と一緒になって母親を無根拠に罵倒したら「芳雄は大喜び」した！』★★★
ので、やっと理解した。芳雄が言う「研究者としての基本的態度」とは：
１．その場の自分の損得を考える。
２．何も考えずに「芳雄に同調」スル。
３．発言の中身を空虚にして、表現にだけ注意して敬語を使う。
という様な事であり、要は『顔色を窺って、その場を繕え』という事だ。

コレを理解した時はホンマに嬉しかった。芳雄のオツムが『サル並である』
という定理を証明した瞬間だった。

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2016/10/04(火) 23:20:48.31

若い奴を相手にして、『人前ではメッキで遣り過ごせ！』と教える芳雄が、
何と「研究者としての基本的態度」を申し述べ、毎晩の様に連呼して、そ
の重要性を訴えてた。所が芳雄は一向に「何をどうスル事なのか」を説明
せず、子供の私は日々頭を悩ませた。普通に考えれば、ソレは：
★★★「研究対象に向かう時にどういう風に頭を使って考えて創造的になるか」★★★
であろう。そして試行錯誤を繰り返しながら失敗を重ね、その度毎に芳雄
に罵倒され、そして「釜ヶ崎へ行け！」と恐喝された。

でも芳雄を良く観察し、そして：
★★★『芳雄と一緒になって母親を無根拠に罵倒したら「芳雄は大喜び」した！』★★★
ので、やっと理解した。芳雄が言う「研究者としての基本的態度」とは：
１．その場の自分の損得を考える。
２．何も考えずに「芳雄に同調」スル。
３．発言の中身を空虚にして、表現にだけ注意して敬語を使う。
という様な事であり、要は『顔色を窺って、その場を繕え』という事だ。

コレを理解した時はホンマに嬉しかった。芳雄のオツムが『サル並である』
という定理を証明した瞬間だった。

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**１３２人目の素数さん** · 2016/10/04(火) 23:33:19.10

　↑　お～いしっかりしろｗｗ戻ってこ～いよ～(^^♪

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2016/10/04(火) 23:39:50.78

若い奴を相手にして、『人前ではメッキで遣り過ごせ！』と教える芳雄が、
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★★★「研究対象に向かう時にどういう風に頭を使って考えて創造的になるか」★★★
であろう。そして試行錯誤を繰り返しながら失敗を重ね、その度毎に芳雄
に罵倒され、そして「釜ヶ崎へ行け！」と恐喝された。

でも芳雄を良く観察し、そして：
★★★『芳雄と一緒になって母親を無根拠に罵倒したら「芳雄は大喜び」した！』★★★
ので、やっと理解した。芳雄が言う「研究者としての基本的態度」とは：
１．その場の自分の損得を考える。
２．何も考えずに「芳雄に同調」スル。
３．発言の中身を空虚にして、表現にだけ注意して敬語を使う。
という様な事であり、要は『顔色を窺って、その場を繕え』という事だ。

コレを理解した時はホンマに嬉しかった。芳雄のオツムが『サル並である』
という定理を証明した瞬間だった。

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2016/10/04(火) 23:40:07.91

若い奴を相手にして、『人前ではメッキで遣り過ごせ！』と教える芳雄が、
何と「研究者としての基本的態度」を申し述べ、毎晩の様に連呼して、そ
の重要性を訴えてた。所が芳雄は一向に「何をどうスル事なのか」を説明
せず、子供の私は日々頭を悩ませた。普通に考えれば、ソレは：
★★★「研究対象に向かう時にどういう風に頭を使って考えて創造的になるか」★★★
であろう。そして試行錯誤を繰り返しながら失敗を重ね、その度毎に芳雄
に罵倒され、そして「釜ヶ崎へ行け！」と恐喝された。

でも芳雄を良く観察し、そして：
★★★『芳雄と一緒になって母親を無根拠に罵倒したら「芳雄は大喜び」した！』★★★
ので、やっと理解した。芳雄が言う「研究者としての基本的態度」とは：
１．その場の自分の損得を考える。
２．何も考えずに「芳雄に同調」スル。
３．発言の中身を空虚にして、表現にだけ注意して敬語を使う。
という様な事であり、要は『顔色を窺って、その場を繕え』という事だ。

コレを理解した時はホンマに嬉しかった。芳雄のオツムが『サル並である』
という定理を証明した瞬間だった。

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2016/10/04(火) 23:40:22.72

若い奴を相手にして、『人前ではメッキで遣り過ごせ！』と教える芳雄が、
何と「研究者としての基本的態度」を申し述べ、毎晩の様に連呼して、そ
の重要性を訴えてた。所が芳雄は一向に「何をどうスル事なのか」を説明
せず、子供の私は日々頭を悩ませた。普通に考えれば、ソレは：
★★★「研究対象に向かう時にどういう風に頭を使って考えて創造的になるか」★★★
であろう。そして試行錯誤を繰り返しながら失敗を重ね、その度毎に芳雄
に罵倒され、そして「釜ヶ崎へ行け！」と恐喝された。

でも芳雄を良く観察し、そして：
★★★『芳雄と一緒になって母親を無根拠に罵倒したら「芳雄は大喜び」した！』★★★
ので、やっと理解した。芳雄が言う「研究者としての基本的態度」とは：
１．その場の自分の損得を考える。
２．何も考えずに「芳雄に同調」スル。
３．発言の中身を空虚にして、表現にだけ注意して敬語を使う。
という様な事であり、要は『顔色を窺って、その場を繕え』という事だ。

コレを理解した時はホンマに嬉しかった。芳雄のオツムが『サル並である』
という定理を証明した瞬間だった。

￥

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/10/05(水) 01:13:51.79

>>573を証明するわけですが、途中経過です。
x_s=x_0でループするとすると、
x_s=x_0*3^s/2^t*(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)　　　なので
1<(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)=2^t/3^s
3^s < 2^t　　　です。
ここから
2^t > 3^s
tlog2 > slog3
t/s > log3 = log(3/2)+log2
(t-s)/s > log(3/2)
です。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/10/05(水) 01:16:20.80

ここからは図を使います。
(t-s)/sはコラッツパターンの左端傾きで、log(3/2)は左端を伸ばすパターンの右端傾きです。

https://drive.google.com/file/d/0B_FTpAj7C52FUVFicGpUUnlWSzQ/view?usp=sharing

図1よりsステップでずれがz1あるのですが、ひとまずz1=1とおいてみます。（※）
2sステップでz2>z1、3sステップでz3>z2>z1なので、少なくとも3>2>1が成り立って、
3sステップでずれ3になりました。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/10/05(水) 01:22:28.96

さて（※）の部分ですが、実はz1が1より小さい可能性もあるわけです。
そこで、図2のように、sの左端を伸ばすパターンの右端傾きが真にlog(3/2)より小さいなら、
ずれz1は1より大きい事が言えます。

よって現状は、
左端を伸ばすパターンの右端局所的傾きがlog(3/2)より小さいならば、
1～nでコラッツの反例がなければ、周期n以下のループがない
が言えると思います。

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2016/10/05(水) 02:35:34.12

￥

**１３２人目の素数さん** · 2016/10/05(水) 19:34:47.80

俺の頭じゃいまいちついていけないが、頑張ってるようで何よりです。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/10/05(水) 20:05:10.14

ありがとうございます。
疑問点とかあったら遠慮なく質問してくださいねー
今までも穴だらけだったのでw

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/10/05(水) 21:20:30.08

>>600
正確には
左端を伸ばすパターンのn+1ステップ（以上？）の右端局所的傾きがlog(3/2)より小さいならば、
1～nでコラッツの反例がなければ、周期n以下のループがない
が言えると思います。
「以上？」の部分がはっきりしないので、まだ詰めないといけないです。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/10/07(金) 00:09:34.33

微妙に変わっていますが、以下がまとめです。

周期sでループすると仮定する
->左端を伸ばすパターンのsステップ目の右端局所的傾きがlog(3/2)より小さいと仮定する
->sステップ目でずれは1以上になる
->3sステップ目でずれは3以上になる
->ループで一番小さい数をx_mとおいて、3s <= 3x_mだと矛盾する
->よってs > x_mである

1～nでコラッツの反例がなければ、n < x_m < sである。
->周期n+1以下のループは存在しない

よって、
　　左端を伸ばすパターンのn+2ステップの右端局所的傾きがlog(3/2)より小さいならば、
　　1～nでコラッツの反例がなければ、周期n+1以下のループは存在しない
が言えると思います。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/10/07(金) 01:56:20.79

やべえ。
大域的傾きより局所的傾きが常に大きい気がしてきた。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/10/09(日) 02:03:59.97

>>605を手直しするのですが、その前に大域的傾きと局所的傾きについて説明します。

大域的傾きは、左端を伸ばすパターンの式Y_s=x_0*(3/2)^sに対して
2の対数目盛をとってlogY_s=logx_0+slog(3/2)となるので、log(3/2)です。

局所的傾きは、初期値x_0のsステップ目で
([logx_0+slog(3/2)]-[logx_0]+1)/(s+1)
になります。

log(3/2)=0.58496250072115619　　　をふまえて
局所的傾きdを少しだけ計算すると
x_0 s d
1 3 0.5
3 100000までlog(3/2)より大きい
5 6 0.571
7 100000までlog(3/2)より大きい
9 11 0.583
で、3と7だけlog(3/2)より小さいのが見当たらないのは（全てのsで大きいかは分かりません）、
2^n-1だからだと思います。
2^nに近づく程、logx_0の小数部分が大きくなって、繰り上がりが起こりやすいのだと思います。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/10/09(日) 02:07:34.05

>>605を手直しすると、

初期値x_0で周期sでループすると仮定する、x_0がループ内最小となるように調整する
->左端を伸ばすパターンのsステップ目の右端局所的傾きがlog(3/2)より小さいと仮定する
->sステップ目でずれは1以上になる
->3sステップ目でずれは3以上になる
->ループで一番小さい数はx_0で、3s <= 3x_0だと矛盾する
->よってs > x_0である

1～nでコラッツの反例がなければ、n < x_0 < sである。
->周期n+1以下のループは存在しない

よって、
　　左端を伸ばすパターンのn < x_0 < sステップの右端局所的傾きがlog(3/2)より小さいならば、
　　1～nでコラッツの反例がなければ、周期n+1以下のループは存在しない
が言えると思います。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/10/09(日) 03:51:36.82

5*2^60に適用すると、
n < x_0 < sにおいて
n=5*2^60、x_0=5*2^60+1、s=5*2^60+2とおいて、
([logx_0+slog(3/2)]-[logx_0]+1)/(s+1)　　　は、
≒([62.535 +2.9248*2^60+1.169]-62)/(5*2^60+3)
≒3372064816674106002/5764607523034235003
≒0.584959　　　となってlog(3/2)より小さくなりました。

よって、現状、周期5*2^60+1以下のループは存在しない
事が言えました。

**１３２人目の素数さん** · 2016/10/09(日) 17:58:01.56

ほほう？俺じゃ検証できないけどこれは世間的にも新しい成果じゃないの？
専門家の判定が欲しいですね。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/10/10(月) 23:12:39.35

そうですね、
識者の意見が欲しいですねー

**１３２人目の素数さん** · 2016/10/11(火) 03:55:33.43

>>609

> よって、現状、周期5*2^60+1以下のループは存在しない
> 事が言えました。

610さんも書いてるけど、これが本当ならばとても面白い結果だね。
新規性があるのか既に知られていた結果なのか知りたいところ。

以前、このスレだったと思うけど、紹介されてたアメリカ数学会から出てるコラッツ予想の現状に関する論文集とかには何か載ってない？
この結果を研究レポートの形に纏めて日本の大学の数学科で関連ありそうな先生とかに郵便で送って意見を求めるなり
より適切な先生を紹介して読んで意見をもらうのが良いんじゃない？

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/10/11(火) 06:48:49.04

The Ultimate Challenge: The 3x+1 Problem
今さらポチりました。届くまで一ヶ月かかるみたいです。
別の大学に移られた、高専時代にお世話になった教授に、レポートとして送ってみようかな、
どうしようかなと思っているところです。

**１３２人目の素数さん** · 2016/10/11(火) 18:35:57.86

コラッツの問題. 浦田敏夫著. （愛知教育大学ブックレット, . 数学/数理科学セレクト|| スウガクスウリカガクセレクト ; 1）

定義を明確にして何を前提に何を示したのかはっきりわかるように書けばコラッツ本を出してる先生なら比較的受け入れてくれやすいかもよ。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/10/11(火) 19:25:43.66

情報ありがとうございます。
Web上にpdfがあったので読んでみます。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/10/15(土) 21:28:08.79

>>614の本を読むと、
　　　（奇数）周期12500以下のループは存在しない
事は初等的に証明できるみたいですね。
あと、(1+1/3x_0)の形の式もありました。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/10/17(月) 01:43:30.85

問題発生です。
n < x_0 < sにおいて、x_0が1にたどり着いたらどうなるでしょう。
x_0はループする仮定なので、x_0<sが言えなくなってしまいます。
5*2^60+1は1にたどり着く事を確認したので、
>>609の計算は無意味になってしまいました。

『ループするx_0』の左端を伸ばすパターンのsステップ目の右端局所的傾きがlog(3/2)より小さい（※）
事を言わないといけないので、具体的な数を当てはめて計算することは出来ないように思います。
（x_0をものすごい大きい値にしても、そのコラッツ遷移が1にたどり着いた時点で無効です）

よって、>>608までは言えても、具体的な数の周期以下のループは存在しない、とは言えないです。
全ての自然数で（※）が言えれば良いのですが……

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/10/17(月) 21:14:55.53

ごちゃごちゃしてすみません。
いけるかもしれないので、しばらくお待ちください。

**１３２人目の素数さん** · 2016/10/17(月) 21:27:51.87

頑張れ～

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/10/18(火) 00:58:26.28

今までのレスはなかったことにして、まっさらな気持ちでご覧ください。

・前準備1
例えばx_sが7,11,17,13,5,17,13,5……とループするなら、先頭2項は外して、
さらに最小値をx_0とおいて、5,17,13,5,17,13……にします。
例ではx_3=x_0になります。

・前準備2
x_0~x_s-1がループ1周期として（x_0=x_s）、コラッツパターンX_sと左端を伸ばすパターンY_sのビット長は
[logY_s] = [log(x_0*(3/2)^s)]
[logX_s] = [log(x_0*(3/2)^s)+log(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)]
です。このときの[logY_s]と[logX_s]のずれがあってもなくても、周期を重ねるごとに[logX_s]と[logY_s]の差は
2log(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)、3log(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)、……と増大するので、
ずれも際限なく増大していきます。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/10/18(火) 01:00:14.91

x_s=x_0でループするとすると、
x_s=x_0*3^s/2^t*(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)　　　なので
1<(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)=2^t/3^s
3^s < 2^t　　　です。
ここから
2^t > 3^s
tlog2 > slog3
t/s > log3 = log(3/2)+log2
(t-s)/s > log(3/2)
です。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2016/10/18(火) 01:06:55.59

ここで図を使います。
(t-s)/sはコラッツパターンの左端傾きで、log(3/2)は左端を伸ばすパターンの右端傾きです。

https://drive.google.com/file/d/0B_FTpAj7C52FUVFicGpUUnlWSzQ/view?usp=sharing

(t-s)/sとlog(3/2)の交点をs'とおくと、
0=logx_0+s'log(3/2)-(t-s)/s*s'　　　より
[s']=[logx_0/(t/s-log3)] < 3x_0　　　……(1)
です。

左端を伸ばすパターンの
大域的傾きは、左端を伸ばすパターンの式Y_s=x_0*(3/2)^sに対して　
2の対数目盛をとってlogY_s=logx_0+slog(3/2)となるので、log(3/2)です。　
局所的傾きは、初期値x_0のsステップ目で　
([logx_0+slog(3/2)]-[logx_0]+1)/(s+1)　
になります。