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コラッツ予想がとけたらいいな
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0001１３２人目の素数さん
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2012/10/14(日) 10:32:39.71
525 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2012/09/03(月) 18:24:27.22
http://d.hatena.ne.jp/righ1113/
コラッツ予想について、証明を考えてみました。
ご指摘ご意見ご感想など、ぜひよろしくお願いします。
0490１３２人目の素数さん
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2016/06/27(月) 20:20:15.84ID:q11mMK/q
>>489
これ検証すんの結構つらいわｗ
Coqでなんとかならんか？

１が７個のパターンだけ考えてるみたいだけど
１が６個以下のパターンを除外していい理由がよくわからん。
0491righ1113 ◆OPKWA8uhcY
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2016/06/27(月) 20:37:30.69ID:QoZs645r
Coqは考え中です。

（ちゃんとやってないですけど）
1が6個のパターンは、0,0が除外されるので
[0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1]
[1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0]
しかないんんですけど、こんなパターンは無いかなあと。
（どこかで1,1,が現れるはず）

1が5個以下のパターンは、必ず0,0が含まれるので、
全て除外されます。
0492１３２人目の素数さん
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2016/06/27(月) 21:31:29.20ID:q11mMK/q
>>こんなパターンは無いかなあと。

数学の証明しようってのにずいぶんずぼらだなｗ
まあ気持ちはわかるが。
0494１３２人目の素数さん
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2016/06/27(月) 22:43:04.85ID:j3iC4IAi
ポエムのうちは読む気はないけど証明されたら眺めてみようかくらいに思ってる人はそれなりにいると思うからがんばってね。
0497１３２人目の素数さん
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2016/06/28(火) 15:36:10.76ID:7Qb0mD6N
>>468
発散する初期値がないことの証明も間違ってるように見える。
実際に (log_2 x_s)/s の挙動を計算してみると、
発散する初期値があろうがなかろうが、無条件で有界であることが分かる。

まず、9ページ目の(3)式はコラッツの軌道のsステップ目を表現しただけだから、
何の条件もなしに成り立っている。以下、(3)式から出発して

x_s ＝ x_0(3^s/2^t)(1＋1/(3x_0))・・・(1＋1/(3x_{s−1}))

≦ x_0(3^s/2^t)(1＋1/3)・・・(1＋1/3)

＝ x_0(3^s/2^t)(1＋1/3)^s

＝ x_0(3^s/2^t)(4/3)^s

≦ x_0(3^s)(4/3)^s

＝ x_0 4^s

となるので、log_2 x_s ≦ log_2 x_0＋slog_2 4 となって、
(log_2 x_s)/s ≦(log_2 x0)/s ＋ 2 となる。よって、
発散する初期値があろうがなかろうが、無条件で有界になっている。
このことから、pdfの10ページ目にある

「 Here, from Fig.3 (傾きが垂直に近づくので) 」

のところは自動的に間違いとなる。
0499righ1113 ◆OPKWA8uhcY
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2016/06/28(火) 18:10:44.75ID:QhVmHp3u
こういうのはどうでしょうか。

xは発散するとする。
(1+1/3x_0)…(1+1/3x_{s-1}) < 2^4 だから (1+1/3x_1)…(1+1/3x_s) < 2^4 も成り立つ。

t=saと置き、(1+3/t)^t < (1+1/3x_1)…(1+1/3x_s)が成り立つようにaを定める。
s→∞でt→∞だから、
lim[t→∞](1+3/t)^t = e^3 ≒ 20 > 16 だから、
無限大に辿り着く前に16を超える。越えた所をs'と置くと、
(1+1/3x_1)…(1+1/3x_s') > 16 となって、(1+1/3x_1)…(1+1/3x_s') < 2^4 と矛盾する。
0500１３２人目の素数さん
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2016/06/28(火) 19:21:07.89ID:7Qb0mD6N
>>499
＞t=saと置き、(1+3/t)^t < (1+1/3x_1)…(1+1/3x_s)が成り立つようにaを定める。

問題外。x_sの発散スピードが大きいとき、そのようなaは取れない。
コラッツの問題を舐めるな。
0501righ1113 ◆OPKWA8uhcY
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2016/06/28(火) 20:08:23.00ID:QhVmHp3u
t=e^sとか、t=s!とかにしてもダメなんでしょうか？
0502１３２人目の素数さん
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2016/06/28(火) 20:15:33.20ID:7Qb0mD6N
>>501
どうも君は不等式に対する感覚がイカれてるね。
パッと見てすぐに分かる間違いに全く気づいてない。
tが大きければ大きいほど、(1＋3/t)^t は e^3 に近づくのだから、余計に

(1+3/t)^t < (1+1/3x_1)…(1+1/3x_s)

が成り立ちにくくなるだけだろ。
ていうか、x_1からx_sまでが物凄い勢いで大きければ、
(1+1/3x_1)…(1+1/3x_s) はほとんど 1 に等しいのだから、もはや

(1+3/t)^t < (1+1/3x_1)…(1+1/3x_s)

なんて成り立たないでしょ。
0504１３２人目の素数さん
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2016/06/28(火) 20:42:18.49ID:7Qb0mD6N
>>503
より詳しく説明しよう。
もし発散する初期値が存在するならば、次が成り立つことが証明できる。

∀ε＞0, ∃x_0 s.t.
x_0は発散する初期値であり、かつ (1+1/3x_1)…(1+1/3x_s) ＜ 1＋ε (s∈N).

このことから、(1+1/3x_1)…(1+1/3x_s) を統一的に下から押さえることができる定数は
「 1 」しかないことが分かる。つまり、x_0が発散する初期値ならば、

1 ＜ (1+1/3x_1)…(1+1/3x_s) (s∈N)

が成り立つということ。しかし、この不等式は自明なので、何の役にも立たない。
結局、この方針では原理的に不可能。
0505１３２人目の素数さん
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2016/06/28(火) 21:02:38.37ID:pww1LGSL
ん〜識者乱入か？
俺じゃよくわからんし勘違いを防ぐためにも
なるべくCoqで証明を通してほしいよね。
0506righ1113 ◆OPKWA8uhcY
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2016/06/28(火) 21:52:49.95ID:QhVmHp3u
もしちゃんとZs < Ys <= Xs < ysB * 2^(pys+2) < 8Zs
が言えたら、
　　　Zsと8Zsのずれは3で、これがずっと変わらない
って無限大までいっても変わらないって事だから
xsが発散してもずれは3以下なんだと、今気づかせてもらった。

という訳で、無限大に発散する方はあきらめます。
4-2-1以外のLoopがない方に注力します。
0508righ1113 ◆OPKWA8uhcY
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2016/07/09(土) 09:54:12.67ID:3emnwfEb
>>489の状態遷移図の穴が埋められないんです。
ちょっと休憩中です。
0510１３２人目の素数さん
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2016/07/09(土) 19:28:48.04ID:xlO52T1E
＞>>489の状態遷移図の穴が埋められないんです。

穴は埋まらないよ。この方針じゃ原理的に不可能。
なんで分からないのかなあ。>>506のときみたいに
「これじゃ本質的にダメなんだ」って心の底から悟れよ。
ダメなんだよこれじゃ。ダメなの。このやり方じゃ解けないの。
0511１３２人目の素数さん
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2016/07/09(土) 19:38:05.16ID:9+qw8rwI
本質的に解けないことちゃんと数学的に証明をしてあげないと。
頭ごなしに否定するだけじゃ納得するはずないでしょ。
0512１３２人目の素数さん
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2016/07/09(土) 20:14:55.98ID:xlO52T1E
>>511
数学的に証明するのはムリ。
しかし、ほぼ確実な状況証拠はある。

3n＋1版ではなく、an＋1版のコラッツ予想を考える(ただしaは7以上の奇数)。
この場合、ほとんどの初期値でコラッツの軌道が発散することが予想されている。
軌道上に出現する各々の値の偶奇を0,1で横一列に並べると、
どうもその列は、ほとんどの初期値で2進正規になっているように見える。
もし2進正規になってることが証明できたならば、コラッツ予想でおなじみの
「軌道上では偶数と奇数が1/2ずつの確率で出現しそう」というヒューリティクスが
実際に正しいことが分かり、「ほとんどの初期値で発散する」という予想も正しいことが確定する。

おそらく、コラッツの軌道は本質的にランダムになりたがってる。
もともとの3n＋1版でも同じことで、やはりランダムになりたがってる。
しかし、こちらの場合は掛ける数が「3」であるがゆえに、十分大きな数になれず、
それゆえに自由度が低下し、途中で不完全燃焼を起こしてループに陥る。
が、それまでの間はランダム列に近づきたがっている。初期値を大きく取れば取るほど、
ランダム列に近づきたがる期間も長くなるので、その間で幾らでも抜け穴となるパターンが生じうる。
だから本質的にムリなのだ。(続く)
0513１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/07/09(土) 20:20:54.10ID:xlO52T1E
(続き)
ライトエッジの「抜け穴」と似たような現象は、以下の箇所にも見られる。
英語版のコラッツ予想の記事を見ると、

＞In particular, Krasikov and Lagarias showed that the number of integers in the interval [1,x]
＞that eventually reach one is at least proportional to x^0.84.[19]

という記述がある。区間[1,x]に属する自然数のうち、コラッツの変換によって1になる数の比率は、
少なくとも x^{0.84} はある、という驚くべき文章である。
文献[19]をかいつまんで説明すると、「コラッツの変換によって1になる自然数の集合」を、
ある種のパラメータで分割して、いくつかの集合に分けるところから始まる。
それらの集合の間に定まる漸化式を使って、x^{0.84}という評価を得ている。
この漸化式が完全に制御できれば、もっといい結果が出るわけだが、
漸化式がイジワルな形をしており、漸化式を展開するたびにランダム性が増してしまって制御できなくなる。
そこで、途中で評価を落として不等式の形にすることで、不等式の左辺と右辺に何とかパターン性を
出現させ、それによって問題を対処する。その結果、x^{0.84} という中途半端な数字になってしまう。

ライトエッジの抜け穴は、この「評価を落としてパターン性を出現させる」ところに
どことなく対応しているように見える。ライトエッジを完全に解析すると、まず間違いなく、
そのパターンは有限通りには収まらず、複雑な形の漸化式で記述されることになる。
その漸化式を展開するたびにランダム性が増してしまい、結局は制御できなくなる。

逆に、もしライトエッジが有限通りに収まったら、文献[19]の漸化式も実際には
上手くパターンに落とし込めることになると予想される。が、今のところそういう話は見てないし、
[19]を読んで漸化式を触ってみても、もう本能的に「こりゃムリだわ」っていう感想しか出てこない。

そんなわけで、ライトエッジの方針もムリに決まってるのだ。
0514１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/07/09(土) 20:34:04.39ID:xlO52T1E
(補足)

結局、>>512の話でも、>>513の話でも、
コラッツの変換を深く深く弄れば弄るほど、
ランダム性が増していく感触が確かな手ごたえとして観測される。
どこまでいっても、パターンに収まってくれる気配が全く出てこない。
「本質的にランダムになりたがっている」としか思えないのだ。
また、コラッツ予想の難しさはまさにこの部分にあるはずだ。

>>488にも書いたが、コラッツ予想に取り組むなら、
「ランダムになりたがってる」という感触を
どうやって解析したらいいかを真正面から考えるしかないだろう。
そして、そのこと自体が既に難しく、だからこその未解決問題なのだろう。
0516１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/07/10(日) 01:04:15.98ID:p/ut3oXY
コラッツ予想で毎回思うんだけど
プログラムでいうif文を扱える数学って存在すんのかなあ
0520righ1113 ◆OPKWA8uhcY
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2016/07/12(火) 22:09:14.33ID:5e2oe2Qm
>>518-519
Coqでは止まらない再帰関数は書けないので、
>>373では、再帰を有限回で0終了させる引数yを入れてあります。
で、どんなxに対してもlast collatz03が0にならないyが存在する、という事で、
Require Import List.して

Theorem collatz_is_true:
forall (x:nat), x<>0 -> (exists y:nat, 1=(last (collatz03 x y) 0)).

ってとこじゃないでしょうか。
0521１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/07/12(火) 22:37:31.84ID:q0MU/n7u
うーんyで適用回数制限してんの？
止まらない再帰かけないってのも不便だな。
本質的には問題に成らんのかな
0522righ1113 ◆OPKWA8uhcY
垢版 |
2016/07/12(火) 22:53:05.49ID:5e2oe2Qm
Coqの仕様なんでなんとも……
>>520でコラッツの定義としては問題ないと思います。
0524成清愼
垢版 |
2016/07/16(土) 07:54:51.11ID:bMeRtupm
http://koubeichizoku.ix-web.tk/collatz/
修正いたしました。当板の諸兄におかれましては何卒よろしくご査収の上
ご批評賜りたく、よろしくお願い申し上げます。
0525righ1113 ◆OPKWA8uhcY
垢版 |
2016/07/18(月) 02:49:08.81ID:9Ln5vaRN
まず、x0の範囲を8bit以上から15bit以上に変更します。
これで、Xsが1ステップ進むごとに約0.585プラスされます。
禁止パターンは以下です。
・00
・111
・11011
・0101010
・11 01011 01011 01011
0526righ1113 ◆OPKWA8uhcY
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2016/07/18(月) 02:53:42.18ID:9Ln5vaRN
以下のシミュレーションをおこないます。
【シミュレーションA】
1.7ビットの初期値x0A=1111111を用意する。
2.x0Aを下位へ1ビットシフトして（末尾は捨てる）、x0Aに加える。
3.最下位ビットに1加える。（下位からの繰り上がりが常に有る事を想定）
4.n+1ビットになっていたら、最下位ビットを捨ててnビットにする。
5.2~4を繰り返す。
得られる値をxsAとする。

xsAのライトエッジパターンは17区切りで以下になりますが、
[0,#1,1,0,1,0,1,1,0,1,0,1,1,0,1,0,1,0]
1個左にずらして01101011010110101の繰り返しとします。
それに合わせて、X0のライトエッジパターンも0と定義して、0ステップ目から17区切りにします。
（もしX1が0なら従来通り1ステップ目から始めます。）
0527righ1113 ◆OPKWA8uhcY
垢版 |
2016/07/18(月) 02:57:33.00ID:9Ln5vaRN
https://drive.google.com/file/d/0B_FTpAj7C52FLWI5TWMtMi1tVms/view?usp=sharing
xsAは17区切りで1が10個入ります。
17区切りで1が11個入るパターンは禁止パターンなので除外します。
17区切りで1が10個入るパターンは、全部で21個あるのですが、先のライトエッジパターンの操作により、
0始まりのもの8個だけを考えれば良いです。

A1からA8の状態遷移を考えます。どれも0につながるので、この8個で閉じています。
薄い灰色は禁止パターンになるので、遷移できない箇所です。
濃い灰色はXsに0.585を足していって脱落した所です。

これを元に樹形図を描くと、最長が
A4-A2-A2-A3-A3-A1-A8-A8-A7-A7-A6-脱落　の17*12ステップですが、
A2-A2-A3-A3　と　A8-A8-A7-A7は脱落するので、
A4-A2-A2-A3-A1-A8-A8-A7-A6-脱落　の17*10ステップが最長となります。
これは、170ステップ以内で、17区切りで1が9個入るパターンが現れる事を意味しています。
0528righ1113 ◆OPKWA8uhcY
垢版 |
2016/07/18(月) 03:02:47.11ID:9Ln5vaRN
xsAのライトエッジパターンに手を加えます。
170ステップごとに0を挿入します。
これをおこなっても先の議論より、
Xs < xsA*2^pxs　（2^pxsはXsより十分右へ離す定数）が言えます。

170ステップごとに0を挿入した事により、xsAの傾きが変わります。
挿入する前は10/17=0.58823… > log(3/2)ですが、
挿入後は100/171=0.58479… < log(3/2)です。

グラフでは、「左端を伸ばすパターン」<「コラッツパターン」<「xsA」と並んでいますが、
xsAの傾きがlog(3/2)より小さい為、順序が逆転し、矛盾します。
この矛盾を回避するには、順序が逆転する前に、コラッツ値が1になるしかありません。
0529righ1113 ◆OPKWA8uhcY
垢版 |
2016/07/18(月) 03:50:24.14ID:9Ln5vaRN
書いてみて分かったんですが
ちょっとダメみたいです。お騒がせしました。
0530righ1113 ◆OPKWA8uhcY
垢版 |
2016/07/18(月) 11:28:23.95ID:9Ln5vaRN
状態遷移図を修正しました。
before:A1＼after:A1で結果がA8になっているのは、
A1からA1に遷移させるつもりだったけど、実際に計算してみるとA8に遷移してた、ということです。
あと、A4-A2-A2の遷移はA4-A2-A3になってしまうので、
A4-A2-A3-A1-A8-A8-A7-A6-D1　の17*9ステップが最長となります。

実はもう一つ問題があるのですが、それは後で書きます。
0531righ1113 ◆OPKWA8uhcY
垢版 |
2016/07/18(月) 13:43:41.26ID:9Ln5vaRN
A6-D1-A1-A8と遷移したとします。
D1の末尾は0なので、A1〜A8に繋げる事ができません。
そこで11を挿入します。（1じゃないのは0101010回避のため）
次にA1を普通にやって、A8の先頭で、コラッツパターンの右端を2つ左にずらします。
これで11と相殺されます。
このときのA8のライトエッジパターンは[-2,1,0,1,1,0,1,0,1,1,0,1,0,1,0,1,1]
と書いても良いかもしれません。

これで「左端を伸ばすパターン」<「コラッツパターン」<「xsA」の関係も維持されます。
0532tai
垢版 |
2016/07/18(月) 15:08:39.36ID:10r4gZiw
2bitで計算して

coqで確認

というのは

どちらかというと

ありそうな証明です

頑張ってください
0534１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/07/18(月) 21:31:58.47ID:XgyK6DxB
全てのnに対して2^n-1がコラッツの予想成り立つことは示せないかな。
0536１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/07/18(月) 21:53:16.94ID:XgyK6DxB
>>535
まじで。

>>1の言うようにビットパターンをセルオートマトンとみなすと
無限大に発散する数というのは自己複製型みたいになるのかな？
0538righ1113 ◆OPKWA8uhcY
垢版 |
2016/07/19(火) 05:22:17.53ID:/x3cNL5P
>>531
ちょっと変えます。

A6-D1-A1と遷移したとします。
D1の末尾は0なので、A1〜A8に繋げる事ができません。
そこで、適当な後方から11を借りてきます（1じゃないのは0101010回避のため）。
貸した部分まで来たら、また後方から11を借ります。
D1が現れるごとに借りる個数は増えていきますが、コラッツパターンは無限に続くという仮定の元でおこなっているので、問題ないです。
また、11を前方へ移動させているだけなので、ライトエッジパターンの総量はかわらず、
「左端を伸ばすパターン」<「コラッツパターン」<「xsA」の関係も維持されます。
0539１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/07/19(火) 10:40:37.10ID:hOf9e9qx
まだナントカパターンでやってるのか。頭の悪い奴だな。

左端を延ばすパターンでも、ライトエッジパターンでも、
2進法で表された何らかの数の、左端と右端の数桁だか数十桁だかの
固定された桁数しか見ていない。そのような固定された桁数では、
絶対にパターンに嵌まらないイレギュラーなパターンが出てくる。
それらのパターンまで取り込むと、既存の桁数では足りず、
確認すべき桁数を拡張しなければならない。

＞そこで、適当な後方から11を借りてきます（1じゃないのは0101010回避のため）。

この部分は、まさに桁数を拡張していることに対応する。
そして、この作業は終わらない。すなわち、有限個のパターンでは収まらない。
一般的に記述すると、漸化式の形で延々と続くような記述になってしまう。
その漸化式は、次の項に進むごとに、2進法で表された数の中心に向かって、
左端と右端から どんどんと桁数が侵食されていくような形式になるはず。

＞D1が現れるごとに借りる個数は増えていきますが、コラッツパターンは無限に続くという仮定の元でおこなっているので、問題ないです。

この部分は、まさにこのことを示唆している。

そして、一般的に記述した漸化式を解析することは、もともとのコラッツの問題と
同程度もしくはそれ以上に難しい。よって、この方法では無理。

righ1113 ◆OPKWA8uhcY は、桁の計算をいつもいつも概算で済ませて「問題ないはず」と発言し、
そのたびに、後になって修正するのを繰り返しているが、要するに、
桁の計算は概算で済ませてはいけないのである。いい加減にコイツは気づくべきである。

概算で済ませず、厳密に計算してみろ。

有限個のパターンでは収まらず、漸化式の形で延々と続くような記述にしかならないはずだ。
そして、その漸化式は複雑すぎて手に負えず、この方針では解けないのだ。
0540１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/07/19(火) 17:16:33.31ID:HatOoCps
仮に全ての奇数で成立することが証明できれば全ての整数で成り立ちますか？
0541534
垢版 |
2016/07/19(火) 20:46:50.47ID:epF0+HEh
>>1さんよ
とりあえず目標を>>534まで落としてみないか？
これでも十分難しいぞ？
Coqスレの147あんたじゃろ？
あの時は目標を落としたことで前に進んだじゃろ？
ちなみにCoqスレの148は俺じゃから。

まあ考えてみてくれ。
0544righ1113 ◆OPKWA8uhcY
垢版 |
2016/07/20(水) 15:04:00.42ID:33UAumcc
11の貸し借りでかぶるとどうなるかを見るために、
100ステップずつ11を借りる例を考えてみます。
借りる先は2乗ステップ目です。

・100ステップ目で10000ステップ目から11を借りる
・200ステップ目で40000ステップ目から11を借りる
……
・10000ステップ目で貸した11の穴埋めと、新たな11を10^8ステップ目から借りる
・40000ステップ目で貸した11の穴埋めと、新たな11を16*10^8ステップ目から借りる
……
・10^8ステップ目で計111111を、10^16ステップ目から借りる
・16*10^8ステップ目で計111111を、16^2*10^16ステップ目から借りる
……
貸す所が010101…になっている場合もあるので、実際は倍の長さが必要ですが、
それでも、「借りる11…が次のゾーンにひっかかる」というような事は起きません。

この作業に終わりはないのですが、この作業の途中で、
傾きの影響で、左端を伸ばすパターンとxsAの順序が逆転して矛盾します。
0545righ1113 ◆OPKWA8uhcY
垢版 |
2016/07/20(水) 16:53:11.61ID:33UAumcc
式で書くと、
100^(2^n-1)ステップで"11"*n*2を100^(2^n)ステップから借りる時、
次のゾーンまでは少なくとも200*100^(2^n-1)空いているから、
2*n*2 < 200*100^(2^n-1)が言えて、次のゾーンにはかからない。です。
0546righ1113 ◆OPKWA8uhcY
垢版 |
2016/07/20(水) 17:38:16.68ID:33UAumcc
修正します。
式で書くと、
100nステップで"11"*(log(4√n)+1)*2を(100n)^2ステップから借りる時、
次のゾーンまでは少なくとも200*100(n-1)空いているから、
2*(log(4√n)+1)*2 < 200*100(n-1)が言えて、次のゾーンにはかからない。です。
0547righ1113 ◆OPKWA8uhcY
垢版 |
2016/07/20(水) 18:24:37.15ID:33UAumcc
再修正します。
式で書くと、
100nステップで"11"*[(log(4√n)+1)]*2を(100n)^2ステップから借りる時、
(100(n+1))^2 -(100n)^2
=(10000(n+1)^2) -10000n^2
=10000n^2 +20000n +10000 -10000n^2
次のゾーンまでは少なくとも20000n空いているから、
2*[(log(4√n)+1)]*2 < 20000nが言えて、次のゾーンにはかからない。です。
0548righ1113 ◆OPKWA8uhcY
垢版 |
2016/07/21(木) 04:10:50.80ID:gnqJHnrj
>>540
全ての偶数は、2で割る事を繰り返せば奇数にたどり着くから、
全ての奇数で成立することが証明できれば、全ての自然数で成り立ちます。
全ての整数で成り立つかどうかは分からない。
0549righ1113 ◆OPKWA8uhcY
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2016/07/21(木) 05:34:29.16ID:gnqJHnrj
>>541
2^n-1は、2進数で表すと1111…ですね。
試しに3(11)でおこなうと、次ステップは5(101)になります。
7(111)でおこなうと、次ステップは11(1101)になります。
5と11の関係は、101を右シフトして+1しているので、5*2+1=11です。

そこで、次の命題1を考えます。
・x以下で1にたどり着けば、2x+1以下も1にたどり着く
0550righ1113 ◆OPKWA8uhcY
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2016/07/21(木) 05:36:06.86ID:gnqJHnrj
次に、次の命題2を考えます。
・x以下で1にたどり着けば、4x+2以下も1にたどり着く

まず、これをすべての偶数で証明します。
・2以下の偶数で1にたどり着けば、4*2+2=10以下の偶数も1にたどり着く　は真です。
・x以下の偶数で1にたどり着けば、4*x+2以下の偶数も1にたどり着く　を真としたとき、
x+2は2で割れるので、(x+2)/2 < x、
4*(x+2)+2も2で割れるので、2*(x+2)+1 < 4*x+2、よって
・x+2以下の偶数で1にたどり着けば、4*(x+2)+2以下の偶数も1にたどり着く　も真で、数学的帰納法で証明されました。
0551righ1113 ◆OPKWA8uhcY
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2016/07/21(木) 05:38:32.36ID:gnqJHnrj
次に、命題2を奇数で証明したいので、2倍した偶数を考えます。
xを例にとると、xを2倍して、
・2x以下の偶数で1にたどり着けば、4*2x+2以下の偶数も1にたどり着く
2で割って
・x以下の数で1にたどり着けば、4*x+1以下の数も1にたどり着く

4*x+1 > 2*x+1なので、命題1
・x以下で1にたどり着けば、2x+1以下も1にたどり着く
も証明されました。
これで、5(101)->11(1101)->23(11101)->……が1にたどり着くことが証明できたので、
2^n-1も1にたどり着くことが証明できました。
>>534さん、これどうですかね。
0555righ1113 ◆OPKWA8uhcY
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2016/08/31(水) 04:00:14.65ID:CWBtxhlC
いまひとつ再開する気が起きません。
すみません。
0556１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/09/04(日) 22:26:50.46ID:tnjLMu2d
　　　　　　 　 　 　 　 　 　 、､､ , , _
　　 　 ,. -┬i＾i､._　　 　 ｨ`,､,､,､,､,.、'、
.　　 /　 　 | | .|=ゞ=､　__ｌ/＼　v~／!|
　　 l.　　　 ｌ ｌ l　＼＼{f‖ミゞ, ,ｨ≪:lf＾i　　　　　　もういい…！
　／ヽ.　　 ﾉ｢,ﾄ､｢.lﾍ‐iヾ|rｰ~r〉〉，こlﾚ'
/　 　 ｀ヽ//| ﾄ､ヽｌｲ| |/|{王王王王}ﾄ､
|　　　 　 ﾚﾆ| lﾆゝ冫! l!L_, , ,ｰ, , , ,_｣ｼ’、　　　　もう…
ヽ　　　 __|ーL|┴＾ｰヽ＞'＾ヾ二三シ´＼＼
　,ゝ,／　 .}二二二二二二二二二ｌヽ.　 ヽ ＼　　　休めっ…！
l/　|ﾄ､.／´＼　　　　　　　　 　 　 ||.　レ'´￣｀ヽ
　　||　!　 　 ､＼　　　　　 　 　 　 ||. /　　　 　 :|
　　||　|.l lﾞ!.|ｉ |ヽ)　　　　　　　　　 |l/　　 　 　 /　　休めっ…！
　　||　`ﾍ)U'J　　　　　　　　　　　/-─　　　,ｲ.|
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　　||　 r‐-ﾞ=っ｀ヽ,.--r-─ ''"´￣｀ヽ　　 /　　 }
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　　||.　 ヾ＝--一'`ーゝ　　　　　 　 _,. く 　 ノ|
0557righ1113 ◆OPKWA8uhcY
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2016/09/14(水) 15:41:14.53ID:YiRX+BJ9
再開ではないですが、気になっている事があります。
x0から始まるコラッツ列が無限大に発散するとき、以下の式は成り立つのでしょうか。
lim[s->∞](1+1/3x_1)…(1+1/3x_s) > lim[y->∞](1+1/y)^y ≒ 2.718
自分としては、各x_sが定数な分だけ、左辺が大きいと思うのですが……

成り立つとすると、>>504と矛盾するのではないかという気がします。
（ε=0.1とおいて、有限積では1.1を越えないのに、無限積にすると2.718を超える）

自信がないので、ご意見お待ちしています。
0558１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/09/14(水) 21:38:55.68ID:42EFYQdO
各x_sが定数ってどういうこと？
x_sはsが増えるにしたがって大きくなるじゃねーの？
0559righ1113 ◆OPKWA8uhcY
垢版 |
2016/09/14(水) 22:20:57.91ID:KaaHqR5J
左辺はsが増えても、それ以前の項のx_sは変わらないという意味で定数と書きました。
一方右辺はyが増えると、初項から全てのyが増加します。
0560１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/09/14(水) 23:06:47.15ID:42EFYQdO
よくわからんが無限和が有限になることもあるように無限積も有限になる可能性がある？
0561righ1113 ◆OPKWA8uhcY
垢版 |
2016/09/15(木) 01:32:11.84ID:4GoSOaRl
無限積も有限になる可能性があるというのは、
lim[y->∞](1+1/y)^y ≒ 2.718
からも明らかです。
問題はこれより左辺
lim[s->∞](1+1/3x_1)…(1+1/3x_s)
が大きいと思われる事です。
0562１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/09/15(木) 20:20:12.11ID:1hPVzgzD
定数だからって理由だけでは大小は決められないでしょ。
積の形だから惑わされるんじゃない？

おれもあんまり自信ないが
両辺logとって和の形にすればx_sになんらかの制限がなければ
大小は論じられないという結論になりそうな気がする。
0564righ1113 ◆OPKWA8uhcY
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2016/09/15(木) 23:00:23.25ID:rOYm3tIQ
定数だから単純に
1/100 > 1/∞
だと思ったんですけどねえ。
0565１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/09/15(木) 23:15:27.77ID:1hPVzgzD
まずΣ[n->∞] (1/2)^n = 1でしょ？

この式が両辺log取った結果の式だとすれば元の式は
Π[n->∞] e^((1/2)^n) = e

みたいな感じになるんじゃないのかな？（微妙に自信ないが）

要するにx_sが非常に急速に大きくなるなら
lim[s->∞](1+1/3x_1)…(1+1/3x_s)
はそんなに大きくならない可能性も十分あると思うが。
0566righ1113 ◆OPKWA8uhcY
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2016/09/16(金) 00:42:30.45ID:omw/37vT
すぐには理解できないのでじっくり考えてみます。
0567righ1113 ◆OPKWA8uhcY
垢版 |
2016/09/16(金) 01:26:35.56ID:omw/37vT
e^(1/2)*e^(1/4)*e^(1/8)*…
と
(1+1/3x_1)*(1+1/3x_2)*(1+1/3x_3)*…

を比べて(1+1/3x_s)の減少スピードが速ければ

lim[s->∞](1+1/3x_1)…(1+1/3x_s)

はeに届かないって事ですか……
0568righ1113 ◆OPKWA8uhcY
垢版 |
2016/09/26(月) 20:09:15.44ID:R1V5Q8Wt
あと一つだけネタがあるので、しばしお待ちください。
ループする方です。
0569１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/09/26(月) 21:50:09.74ID:y4QSY03k
+　　　+
　 ∧＿∧ 　+
　（0゜・∀・）　　　ワクワクテカテカ
　（0゜∪ ∪ + 　　　　　　　
　と＿_）__）　+
0570righ1113 ◆OPKWA8uhcY
垢版 |
2016/09/26(月) 23:57:35.95ID:R1V5Q8Wt
・前準備1
例えばx_sが7,11,17,13,5,17,13,5……とループするなら、先頭2項は外して,17,13,5,17,13,5……にします。
例ではx_3=x_0になります。

・前準備2
x_0~x_s-1がループ1周期として（x_0=x_s）、コラッツパターンXsと左端を伸ばすパターンYsのビット長は
[logYs] = [log(x_0*(3/2)^s)]
[logXs] = [log(x_0*(3/2)^s)+log(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)]
です。このときの[logYs]と[logXs]のずれが1とすると、周期を重ねるごとに[logXs]と[logYs]の差は
2log(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)、3log(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)、……と増大するので、
ずれも際限なく増大していきます。
0571righ1113 ◆OPKWA8uhcY
垢版 |
2016/09/27(火) 00:00:15.90ID:OPt8+Q0B
・ループして、コラッツパターンXsと左端を伸ばすパターンYsのずれがずっと0の場合
[]は切り上げです。　　logはlog_2です。
[logXs] - [logYs] = 0　　から始めて
[log(x_0*(3/2)^s)+log(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)] - [log(x_0*(3/2)^s)] = 0
切り上げを外して
-1 < log(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1) < 1
logを外して
1/2 < (1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1) < 2
ループ1周期の(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)をXとおくと、X>1なので、
X*X*X*……はいずれ2を超えて、上の式と矛盾します。
0572righ1113 ◆OPKWA8uhcY
垢版 |
2016/09/27(火) 00:04:17.73ID:OPt8+Q0B
・ずれがあってループした場合
ずれは増大していくので、ずれが3になったところをsとします。
そして、Xsを3ビット下位へシフトしてずれを消します。これをXs'とおきます。
Xs'=x_0*(3/2)^s*(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)/8　　です。

[logXs'] - [logYs] = 0　　から始めて
[log(x_0*(3/2)^s)+log(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)/8] - [log(x_0*(3/2)^s)] = 0
切り上げを外して
-1 < log(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)/8 < 1
logを外して
1/2 < (1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)/8 < 2

ここで、
x_0からx_s-1のうちで最小のものをx_mとおいて、
(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1) < ((1+1/3x_m)^3x_m)^(s/3x_m) < (1+1/3x_m)^3x_m < e
なので、
(1+1/3x_0)…(1+1/3x_s-1)/8 < e/8 ≒ 0.339
となって1/2を下回って矛盾します。

よって、4-2-1ループを除いて、ループする数はない
と言えるのではないかと思うのですが、どうでしょうか。
0573righ1113 ◆OPKWA8uhcY
垢版 |
2016/09/27(火) 19:30:43.67ID:KYZG9Eqo
と思ったら
s > 3x_m　の時はループの可能性が残りますね。

妥協策としては、
（これも証明がいるけど）ループ1周期でずれ1をs、ループ3周期でずれ3を3sとしたら、
s > x_mでループの可能性があります。
コラッツは5*2^60までは反例がないので、
ループがあるとしたら、ループ周期は5*2^60(≒500京!)より大きい
が言えると思います。
0575righ1113 ◆OPKWA8uhcY
垢版 |
2016/09/27(火) 20:03:01.17ID:KYZG9Eqo
ループに関してはそうだと思います。
そして無限大に発散する方もコンピュータではしにくい（できない？）でしょうから……
0576１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/09/27(火) 22:46:16.60ID:TNGFWIb5
もしかして1からnまでの範囲にコラッツ問題の反例がなければ
周期n以下のループがないというのはもし本当に言えれば相当の成果じゃないの？
0577righ1113 ◆OPKWA8uhcY
垢版 |
2016/09/28(水) 09:53:53.09ID:OfSirrVp
がんばります。
現状ではかなり怪しいので……
0578１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/09/28(水) 21:53:45.02ID:CUtGRWb+
求めすぎかもしれないが多分俺じゃ証明の検証できないから
可能ならCoqでの証明つけてほしい。
0579１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/09/28(水) 22:07:27.38ID:CUtGRWb+
>>571
切り上げを外してってところがわからない。
なぜこのような式変形になるのだろう？
0580righ1113 ◆OPKWA8uhcY
垢版 |
2016/09/28(水) 23:40:22.51ID:f+crTCSI
>>578
Coqきびしいですねー
やるとしてもずっと後になると思います。

>>579
[a+b]-[a]=0
から
-1 < b < 1
が言えると思うんですけど間違ってますかね？
0582righ1113 ◆OPKWA8uhcY
垢版 |
2016/09/29(木) 02:32:43.06ID:RkZyuYm8
ずれが3になったところをsとする
s<=3x_mだと矛盾する
よってs>3x_mである
　　　　　　　　ループを何回か繰り返した物を大ループと名付けて
　　　　　　　　1〜nまででコラッツ予想の反例がなければ周期n以下の大ループはない
で
sはループ何周目か
で苦戦しております。
0583１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/10/04(火) 23:14:50.46ID:wLiYPVvk
奇数×奇数＋１＝偶数
偶数÷偶数＝偶数
必ず以下の手順を通る
1　２　４　８　１６　５　１０　２０　４０　８０　１６０
これは　1＋１＝２予想を解けと言ってるようなもんだｗｗｗ
小学生にも解り易く説明するとｗｗ
0584￥ ◆2VB8wsVUoo
垢版 |
2016/10/04(火) 23:18:14.68ID:ZaAz6bOT
若い奴を相手にして、『人前ではメッキで遣り過ごせ！』と教える芳雄が、
何と「研究者としての基本的態度」を申し述べ、毎晩の様に連呼して、そ
の重要性を訴えてた。所が芳雄は一向に「何をどうスル事なのか」を説明
せず、子供の私は日々頭を悩ませた。普通に考えれば、ソレは：
★★★「研究対象に向かう時にどういう風に頭を使って考えて創造的になるか」★★★
であろう。そして試行錯誤を繰り返しながら失敗を重ね、その度毎に芳雄
に罵倒され、そして「釜ヶ崎へ行け！」と恐喝された。

でも芳雄を良く観察し、そして：
★★★『芳雄と一緒になって母親を無根拠に罵倒したら「芳雄は大喜び」した！』★★★
ので、やっと理解した。芳雄が言う「研究者としての基本的態度」とは：
１．その場の自分の損得を考える。
２．何も考えずに「芳雄に同調」スル。
３．発言の中身を空虚にして、表現にだけ注意して敬語を使う。
という様な事であり、要は『顔色を窺って、その場を繕え』という事だ。

コレを理解した時はホンマに嬉しかった。芳雄のオツムが『サル並である』
という定理を証明した瞬間だった。

￥
0585￥ ◆2VB8wsVUoo
垢版 |
2016/10/04(火) 23:18:32.03ID:ZaAz6bOT
若い奴を相手にして、『人前ではメッキで遣り過ごせ！』と教える芳雄が、
何と「研究者としての基本的態度」を申し述べ、毎晩の様に連呼して、そ
の重要性を訴えてた。所が芳雄は一向に「何をどうスル事なのか」を説明
せず、子供の私は日々頭を悩ませた。普通に考えれば、ソレは：
★★★「研究対象に向かう時にどういう風に頭を使って考えて創造的になるか」★★★
であろう。そして試行錯誤を繰り返しながら失敗を重ね、その度毎に芳雄
に罵倒され、そして「釜ヶ崎へ行け！」と恐喝された。

でも芳雄を良く観察し、そして：
★★★『芳雄と一緒になって母親を無根拠に罵倒したら「芳雄は大喜び」した！』★★★
ので、やっと理解した。芳雄が言う「研究者としての基本的態度」とは：
１．その場の自分の損得を考える。
２．何も考えずに「芳雄に同調」スル。
３．発言の中身を空虚にして、表現にだけ注意して敬語を使う。
という様な事であり、要は『顔色を窺って、その場を繕え』という事だ。

コレを理解した時はホンマに嬉しかった。芳雄のオツムが『サル並である』
という定理を証明した瞬間だった。

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0586￥ ◆2VB8wsVUoo
垢版 |
2016/10/04(火) 23:18:48.38ID:ZaAz6bOT
若い奴を相手にして、『人前ではメッキで遣り過ごせ！』と教える芳雄が、
何と「研究者としての基本的態度」を申し述べ、毎晩の様に連呼して、そ
の重要性を訴えてた。所が芳雄は一向に「何をどうスル事なのか」を説明
せず、子供の私は日々頭を悩ませた。普通に考えれば、ソレは：
★★★「研究対象に向かう時にどういう風に頭を使って考えて創造的になるか」★★★
であろう。そして試行錯誤を繰り返しながら失敗を重ね、その度毎に芳雄
に罵倒され、そして「釜ヶ崎へ行け！」と恐喝された。

でも芳雄を良く観察し、そして：
★★★『芳雄と一緒になって母親を無根拠に罵倒したら「芳雄は大喜び」した！』★★★
ので、やっと理解した。芳雄が言う「研究者としての基本的態度」とは：
１．その場の自分の損得を考える。
２．何も考えずに「芳雄に同調」スル。
３．発言の中身を空虚にして、表現にだけ注意して敬語を使う。
という様な事であり、要は『顔色を窺って、その場を繕え』という事だ。

コレを理解した時はホンマに嬉しかった。芳雄のオツムが『サル並である』
という定理を証明した瞬間だった。

￥
0587￥ ◆2VB8wsVUoo
垢版 |
2016/10/04(火) 23:19:04.06ID:ZaAz6bOT
若い奴を相手にして、『人前ではメッキで遣り過ごせ！』と教える芳雄が、
何と「研究者としての基本的態度」を申し述べ、毎晩の様に連呼して、そ
の重要性を訴えてた。所が芳雄は一向に「何をどうスル事なのか」を説明
せず、子供の私は日々頭を悩ませた。普通に考えれば、ソレは：
★★★「研究対象に向かう時にどういう風に頭を使って考えて創造的になるか」★★★
であろう。そして試行錯誤を繰り返しながら失敗を重ね、その度毎に芳雄
に罵倒され、そして「釜ヶ崎へ行け！」と恐喝された。

でも芳雄を良く観察し、そして：
★★★『芳雄と一緒になって母親を無根拠に罵倒したら「芳雄は大喜び」した！』★★★
ので、やっと理解した。芳雄が言う「研究者としての基本的態度」とは：
１．その場の自分の損得を考える。
２．何も考えずに「芳雄に同調」スル。
３．発言の中身を空虚にして、表現にだけ注意して敬語を使う。
という様な事であり、要は『顔色を窺って、その場を繕え』という事だ。

コレを理解した時はホンマに嬉しかった。芳雄のオツムが『サル並である』
という定理を証明した瞬間だった。

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0588￥ ◆2VB8wsVUoo
垢版 |
2016/10/04(火) 23:19:20.88ID:ZaAz6bOT
若い奴を相手にして、『人前ではメッキで遣り過ごせ！』と教える芳雄が、
何と「研究者としての基本的態度」を申し述べ、毎晩の様に連呼して、そ
の重要性を訴えてた。所が芳雄は一向に「何をどうスル事なのか」を説明
せず、子供の私は日々頭を悩ませた。普通に考えれば、ソレは：
★★★「研究対象に向かう時にどういう風に頭を使って考えて創造的になるか」★★★
であろう。そして試行錯誤を繰り返しながら失敗を重ね、その度毎に芳雄
に罵倒され、そして「釜ヶ崎へ行け！」と恐喝された。

でも芳雄を良く観察し、そして：
★★★『芳雄と一緒になって母親を無根拠に罵倒したら「芳雄は大喜び」した！』★★★
ので、やっと理解した。芳雄が言う「研究者としての基本的態度」とは：
１．その場の自分の損得を考える。
２．何も考えずに「芳雄に同調」スル。
３．発言の中身を空虚にして、表現にだけ注意して敬語を使う。
という様な事であり、要は『顔色を窺って、その場を繕え』という事だ。

コレを理解した時はホンマに嬉しかった。芳雄のオツムが『サル並である』
という定理を証明した瞬間だった。

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