>>360
ところどころ何が言いたいかよくわからんが、とりあえず明確な間違いが一つ。

mod p^2 で
1 + p = n(l + kp)
より
nl = 1(mod p), nk = 1(mod p)

というところ。
nl = 1(mod p) は言えるが nk = 1(mod p) とは限らない。
例えば nl = p+1 の場合とか。