コラッツ予想がとけたらいいな

**１３２人目の素数さん** · 2012/10/14(日) 10:32:39.71

525 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2012/09/03(月) 18:24:27.22
http://d.hatena.ne.jp/righ1113/
コラッツ予想について、証明を考えてみました。
ご指摘ご意見ご感想など、ぜひよろしくお願いします。

**１３２人目の素数さん** · 2012/10/14(日) 12:29:50.75

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.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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**１３２人目の素数さん** · 2012/10/14(日) 12:30:40.61

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**１３２人目の素数さん** · 2012/10/14(日) 12:31:16.57

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**１３２人目の素数さん** · 2012/10/16(火) 19:26:21.77

豆岡高校

**righ1113** · 2012/10/22(月) 18:38:39.38

スレ立てありがとうございます。

**１３２人目の素数さん** · 2012/10/23(火) 19:36:36.15

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**１３２人目の素数さん** · 2012/10/28(日) 19:40:18.89

最初に偶数はアウト（１に収束）
４の倍数になったらアウト
この辺の証明は省略

１を除く奇数３・５・７・９…
の偶数番目は(3n+1)/2の中で４の倍数で省く

３・７・１１…
の奇数番目は(3n+1)/2を２セットの中で４の倍数なので省く

７・１５・２３…
の奇数番目は３セットの中で４の倍数なので省く

以下その連続
数学的証明の仕方はしらね(・д・｀)
n=8x-1
(8x-1)+4x=(3n+1)/2
後は任せた

**１３２人目の素数さん** · 2012/10/28(日) 20:55:44.54

偶数nにおいては「奇数×２のα乗」なので奇数になる

奇数nにおいて
n=2x-1(n>0)としたときxが奇数であれば(3n+1)/2をすると偶数となる
n=4x-1(n>0)としたときxが奇数であれば(3n+1)/2を２回すると偶数となる
n=8x-1(n>0)としたときxが奇数であれば(3n+1)/2を３回すると偶数となる
↓
n=(2y)x-1(n>0かつ奇数,y>0,x>0かつxは奇数)のときに(3n+1)/2をy回すると偶数となる
nが有限であればn>y,n>xが成り立つので偶数になる

nが偶数ならばn/2となりn>n/2
nが奇数ならばn=2x+1とおき
(3n+1)/2=3x+2
このとき3x+2が偶数であればx=2yとおき
(6y+2)/2=3y+1=(3n+1)/4
n>1なのでn>(3n+1)/4

**１３２人目の素数さん** · 2012/10/28(日) 22:28:04.23

訂正
奇数nにおいて
n=(2のy乗)x-1のときに(3n+1)/2をy回すると偶数になる

**１３２人目の素数さん** · 2012/10/28(日) 22:59:11.93

自分のことで手がいっぱいだがそっとエールを送りたい

**１３２人目の素数さん** · 2012/10/29(月) 01:18:54.00

こちらの過去スレも参考になるよー

【検証】コラッツの予想(1-1000)
http://2chnull.info/r/math/1240289175/1-1001

**１３２人目の素数さん** · 2012/10/29(月) 20:04:15.69

nが奇数→n+1を素因数分解する
上記での２の乗数をy,その他を全てかけたものをxとする
n=(2^y)x-1　←　n=（2のy乗)x-1であってるか分からないけど

(3n+1)/2をしたときに出る値mは
m=3x(2^y-1)-1

mに対しても偶数であれば/2,奇数であれば上記
nに何ステップ入れたとしてもその数値がnに戻るにはx,yがともに１でなければならない
よってn=１以外の奇数でループ不可

**１３２人目の素数さん** · 2012/10/29(月) 20:06:54.25

・・・で、いいのかな？

**１３２人目の素数さん** · 2012/10/30(火) 19:31:34.32

＞奇数nにおいて
＞n=(2のy乗)x-1のときに(3n+1)/2をy回すると偶数になる
これは成り立たないよ

例：7=4*2-1、11=4*3-1だが
7,22,11,34,17,52,26,...

というか、そんなに簡単に証明できたら難問になってないからｗ

**１３２人目の素数さん** · 2012/10/30(火) 19:36:38.64

>>15
7=2^3-1では？

**１３２人目の素数さん** · 2012/10/31(水) 13:03:37.59

単なる思いつきだけど話の種にでも

自然数全体からなる集合をNとする。NからNへの、この問題の操作を表す関数をfとおく。
すなわち、nが奇数ならf(n)=3n+1、nが偶数ならf(n)=n/2と定める。

Nの部分集合Aで、f(A)⊂Aを満たすものを「コラッツ不変集合」と呼ぶことにする。
すなわち、Aのどの要素nに対してもf(n)∈Aが成り立つような集合Aのことである。
特にf(A)=Aを満たすものを「コラッツ強不変集合」と呼ぶことにする。
すなわち、コラッツ不変であり、かつ「どのn∈Aに対してもあるm∈Aが存在してf(m)=n」を満たす集合Aのことである。

例
N自身はコラッツ強不変集合
｛1,2,4｝はコラッツ強不変集合
｛1,2,4,8,…,2^k｝(k≧3)はコラッツ不変だがコラッツ強不変でない
より一般に、(1,2,4以外の)ある自然数から始めて1になるまでに現れる全ての自然数の集合はコラッツ不変だが、コラッツ強不変でない
例えば｛13,40,20,10,5,16,8,4,2,1｝

「コラッツ予想が正しい」⇔「全てのコラッツ不変集合が｛1,2,4｝を含む」が成り立つ…と思う。

**１３２人目の素数さん** · 2012/10/31(水) 15:20:55.87

あ、最後の命題は「空でない全てのコラッツ不変集合が…」に訂正

**１３２人目の素数さん** · 2012/11/01(木) 13:51:51.46

チラ裏の続き
>>17と同じ記号で

Nの任意の部分集合Aに対し、Aを含む最小のコラッツ不変集合が存在する。
A∪f(A)∪f(f(A))∪f(f(f(A)))∪…
がそれである。

・φ,Nはコラッツ不変
・コラッツ不変集合の任意個の和集合はコラッツ不変
・コラッツ不変集合の任意個の共通部分はコラッツ不変
が成り立つことが容易に分かる。
よって、コラッツ不変集合全体を開集合(または閉集合)としてNに位相が定まる。(どっちがいいんだろう？)

コラッツ不変集合を閉集合と定義した場合、上で挙げた「Aを含む最小のコラッツ不変集合」はAの閉包に一致する。

**１３２人目の素数さん** · 2012/11/02(金) 02:46:01.06

どちらの位相でもfは連続(証明略)

実例を見ると、「コラッツ不変⇔閉集合」の方がそれっぽい気がする。
wikipediaの「コラッツの問題」
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%A9%E3%83%83%E3%83%84%E3%81%AE%E5%95%8F%E9%A1%8C
にあるような図で考えると、閉集合は下に閉じている感じで、開集合は上に延びていく感じになる。

例えばn∈Nに対し、「有限回の操作でnになる数全体」は開集合。特に、これはnを含む最小の開集合である。

**１３２人目の素数さん** · 2012/11/03(土) 14:33:39.10

と、ここまで書いてみたはいいけど、結局「集合XとXからXへの写像fの組」についての一般論の域をほとんど出てない…どうしたものか。

位相の言葉による言い換えが２つほど得られたので一応書いておく。

「コラッツ予想が正しい」⇔「Nが連結」
∵
(左⇒右)1を含む最小の開集合をAとすると、Aは「有限回の操作で1になる数全体」と一致し、予想が正しければA=Nである。
このことから、1を含む連結成分はNとなり、Nは連結。

(右⇒左)再び1を含む最小の開集合をAとすると、Aは「有限回の操作で1になる数全体」と一致し、これよりAは閉集合でもあることが分かる。
Aは開かつ閉で空でないから、連結性よりA=N
。これは、全ての自然数が有限回の操作で1になることを意味し、したがって予想は正しい。□

「ループが有限個かつ無限に大きくなる列は無い」⇔「Nはコンパクト」
∵
(左⇒右)任意に開被覆｛U_λ｝をとる。有限個のループから１つずつ数をとり、a_1,…,a_nとすると、
a_i∈U_(λ_i)(i=1,…,n)となるようにλ_iが選べて、｛U_(λ_i)|i=1,…,n｝が有限部分被覆となる。

(右⇒左)ちょっと長くなるので概略で。
対偶を示す。
無限に大きくなる列があればそれをa_1,a_2,…とする。
ループが無限個あれば各ループから一つずつ数をとり、a_1,a_2,…とする。(選択公理？)
どちらの場合も、a_iを含む最小の開集合をU_iとおくと、｛U_i｝を用いて有限部分被覆を持たない開被覆を構成できる。

**１３２人目の素数さん** · 2012/11/06(火) 17:07:21.42

調べたらさらに古いスレが

コラッツ予想
http://logsoku.com/thread/science2.2ch.net/math/1072595845/

**１３２人目の素数さん** · 2012/11/06(火) 19:40:08.65

2進整数環 Z_2 の部分集合 S を以下の規則で構成する。
α = 3^(-1)　 ( ∈ Z_2 )　とする。

1)　1 ∈ S
2)　n ∈ S　⇒　4n - 1 ∈ S
3)　n ∈ S　⇒　α(4n - 1) ∈ S
4)　n ∈ S　⇒　2αn ∈ S
5)　以上の規則で生成される数のみが S の要素である。

コラッツ予想は、S が自然数全体 N を含むことと同値。

---------------------------------------------------------

で、何がいえるかというと・・・いや、それは

**１３２人目の素数さん** · 2012/11/07(水) 01:44:46.36

Z_2に拡張できるってのは俺も考えたことがあるな。
で、拡張について考えてみたら以下のことが分かった。
以下、Z_2に拡張したとして議論するが、他になんらかの拡張があったとしても(多分)同様。
Qを有理数体とする。

①Z_2∩Qの元から始めて操作するとZ_2∩Qの元しか現れず、Z_2＼Qの元から始めて操作するとZ_2＼Qの元しか現れない。

∵前半は自明。後半は背理法。
x∈Qが現れたとすると、その一つ前は2xか(x-1)/3なので、一つ前も有理数。
繰り返すと、結局最初の数が有理数ということになり矛盾。□
②Z_2＼Qではループは存在しない。

∵a∈Z_2から何回か操作してaに戻るとする。このとき、aはある方程式g(x)=xの解になる。
ここでg(x)は、xに「3倍して1を足す」「2で割る」を何回か繰り返して得られる多項式であり、したがって有理数係数の1次式である。
よって、g(x)=xの解は有理数。□

**１３２人目の素数さん** · 2012/11/07(水) 01:47:24.97

②の所改行し忘れた…

そんなわけで、有理数より大きく広げる必要は無いんじゃないかなーとか思ったり。

**御令嬢様** · 2012/11/09(金) 08:29:15.60

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　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
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**１３２人目の素数さん** · 2012/11/10(土) 13:38:34.30

分母が5の既約分数で調べてみたら、いくつかループがあった。それぞれ
1/5
19/5
23/5
187/5
347/5
を含むもの(これらはそのループ中で最小の数)。まだ小さい初期値でしか調べてないから、もっとあるかも。
下２つは、両方とも「*3+1」を17回、「/2」を27回で計44回の操作でループする。なんかありそう。

負の数でも調べてみたら、少なくとも-1/5から-299/5までは、全て-1/5を経由して1/5のループに到達した。
なんか普通の自然数と雰囲気似てる気がする。

**１３２人目の素数さん** · 2012/11/23(金) 14:32:28.09

>>27
整数で考えると3n+5になるのか
それから187はループじゃないっぽい
もっと大きい数でもやってみたら
大体1か19か187のループに入る
低確率で347(例:443)、23はほとんどない

**狢という野獣** ◆yEy4lYsULH68 · 2012/11/23(金) 22:15:03.61

阿呆の書き込みは軽蔑に値するだけ。

狢

>389 名前：粋蕎 ◆C2UdlLHDRI ：2012/11/23(金) 20:18:33.20
> 低脳撲滅主義の下では現低脳が絶える時に低脳上限上昇による新低脳が生まれる故の無限淘汰地獄｡
> 低脳撲滅主義に於いて低脳認定基準を設けても時代と共に基準は改正されるので無駄な事である｡
> つまり猫改め描改め狢は学力的弱肉強食主義である。行き過ぎた撲滅主義は文化衰退を招く｡
>

**１３２人目の素数さん** · 2012/11/25(日) 08:30:16.79

http://uploda.cc/img/img50b15832de2ac.bmp
26までの数からの変化をまとめてみた

**狢という野獣** ◆yEy4lYsULH68 · 2012/11/25(日) 08:38:10.14

狢

>454 名前：粋蕎 ◆C2UdlLHDRI ：2012/11/24(土) 19:51:25.34
> あーあ、独逸みたいな三大政党化を期待しとったが期待外れじゃな｡
> 一大政党では独裁を生み
> 二大政党では思考不足の極論選択を生み
> 三大政党で初めて民衆は思考勘案し吟味選択する｡
> じゃが此の分じゃ単に民衆は釣られる対象にしかならんな、あれじゃ野合と言われても仕方ない｡
>

**１３２人目の素数さん** · 2012/11/25(日) 20:13:50.41

>>30
まだまだだな
http://uploda.cc/img/img50b1fb425dba0.jpg

はみ出てるけど奇数のみ399まで

**１３２人目の素数さん** · 2012/11/27(火) 05:34:44.91

私は某女子短大で教えているが、女子学生はキャンパス内では全員例外なく全裸になり、
学生証を安全ピンで乳首に刺して止めておくべきだ。
やらなければこちらがブスッと刺す。血が出るかも。
生理の時は私がタンポンを入れたり抜いたりしてやる。血が付くかも。
云う事聞かない奴は逆さ吊りだ。トイレに行きたくなっても行かせない。
クリスマスは私と女子学生の乱交パーティーだ。勿論女子学生同士の愛も OK.
女子学生は皆食べ頃だ。参加しない奴には単位を出さない。

等と云った妄想を毎日朝から晩までしている。
授業中もチンコが立ちっぱなしで困る。

**１３２人目の素数さん** · 2012/12/01(土) 02:13:22.28

ペアノの公理系で解けるのかな
なんか此の手の数列の問題で超越的手法じゃないと証明できないやつあったよね

**１３２人目の素数さん** · 2012/12/04(火) 12:29:11.40

ABC予想を解くのに使われた「遠アーベル幾何」というものの話を最近聞いたんだが、なんかコラッツ予想にも使えそうな感じがした。
体における和と積の複雑さに対して効力を発揮するとかなんとか。
難しすぎてまだまだ俺の手には負えそうにないが。

**１３２人目の素数さん** · 2012/12/11(火) 12:51:48.25

>>35
そのアイデアいただき～ッ！

**冷やし豚しゃぶ** · 2012/12/23(日) 23:19:32.38

　ε⌒ ﾍ⌒ヽﾌ
（　　( 　・ω・）　ブーブーお前解けないのかコラーッ
　しーし─Ｊ

**１３２人目の素数さん** · 2013/01/01(火) 19:48:08.88

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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　このスレには馬と鹿と豚さんしかいないのね。
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**１３２人目の素数さん** · 2013/01/02(水) 15:02:00.08

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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　このスレには馬と鹿と豚さんばかりね。
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