「「プログラムで数え上げる」事無しに、正解にたどり着いたことは驚きです」と書いたのです。
どうやら　>>401タイプでは無く、>>414タイプのようですが、いずれにしろ、何らかの
プログラムを使って数え上げを行っていたんですよね？　という指摘／確認です。

もし、本当に手計算で、あれらの係数列を計算したのなら、信じられない程の手間がかかります。
n=8の30でさえ、手間がかかります。
・縦　と　横、ただし、少なくとも一方はセンター　9通り
・斜め　と　縦または横　20通り
・両方とも斜め　1通り
これらの合計で30が出てきます。
n=13の40は、具体的な配置は書きませんが、3ビンゴ48通りと、4ビンゴ8通りのパターンを確認して
40という値を出すことになります。
n=20の24は、4ビンゴ-2、5ビンゴ62、6ビンゴ-256、7ビンゴ182、8ビンゴ-10の確認して、24が出てきます。

このようなことを過不足無く、ミスも犯さず、n=24まで積み上げることなど奇跡的だと考えます。
だから、プログラムによる数え上げを行いましたね？　と確認しているのです。