>>397
[抄解]
1〜n回目まででビンゴが成立する確率を P(n) とする。求める「n回目でちょうどビンゴが成立する確率」p(n) は、P(n) - P(n-1) に等しい。
以下、簡単のため整数 i,j について C(i,j) と表記したとき、i≧0 かつ 0≦j≦i のとき、C(i,j) = iCj (二項係数)、それ以外の場合 C(i,j) = 0 とする。

P(n)は、(数字n個でビンゴが成立する組合せの数)と(1〜75のうち異なる数字n個の組合せの数)の比である。
分母は言うまでもなく C(75,n) である。分子を式で表すことを試みる。
(1) ビンゴの成立には最低4個の数字が必要であるから、n≦3 について P(n) = 0 である。
(2) 数字4個でビンゴになる組み合わせは4通りである。よって、P(4) = 4 / C(75,4) である。
(3) 5≦n≦7 の場合、
数字4個でビンゴになる場合、残り(75-4)個の数字から(n-4)個を選ぶことができ、
数字5個でビンゴになる場合、残り(75-5)個の数字から(n-5)個を選ぶことができる。
よって、P(n)=( 4*C(71,n-4) +8*C(70,n-5) ) / C(75,n) である。
(4) n=8 の場合、数字4個でビンゴになる場合と数字5個でビンゴになる場合の数を単純に加算すると、
ビンゴが2組成立する場合を重複して数えることになるので、重複分を差し引く必要がある。
数字8個でビンゴが2組成立する組み合わせは30通りである。よって、
P(n)=( 4*C(71,n-4) +8*C(70,n-5) -30 ) / C(75,n) である。

以下、同様にして、ビンゴ1組〜12組の場合をすべて考慮すると、以下の式を得る。

P(n)=( 4*C(71,n-4) +8*C(70,n-5) -30*C(67,n-8) -24*C(66,n-9) -12*C(65,n-10)
　 +48*C(64,n-11) +104*C(63,n-12) +40*C(62,n-13) -136*C(61,n-14) -136*C(60,n-15)
　 -27*C(59,n-16) +192*C(58,n-17) +180*C(57,n-18) -240*C(56,n-19) -24*C(55,n-20)
　 +24*C(54,n-21) +64*C(53,n-22) -40*C(52,n-23) +6*C(51,n-24) ) / C(75,n)

P(n) および p(n) を以下に図示する。p(n) は n=43 のとき極大値をとることがわかる。

http://imgur.com/EdX399e.png
http://imgur.com/a4XsDbQ.png