【数セミ】エレガントな解答をもとむ【2011.2】
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みんなで議論して問題を解きましょう。
ちなみに私は今は問2を解いています。まだ解けてません。 そこらへんの国公立レベルだったね
問題文読み間違えたかと思った >>909
nが5で割り切れるようなnの条件を求めよ。
無論、自明なものは除く。
一休さんだな。 デジャブかな? 問1は、随分前に問題集で解いたことがあるんだけど、本棚の本を調べたが見つからなかった。
高校生向けの問題集だったような…。
それにしても2ヶ月に一回くらいの割合でDQN向けの易しい問題が出題されるのは何故?
昔は4、5月にちょっと易しい問題が出されたくらいなのに、最近は目に余るな。
出題者がいなくて問題に困っているのかな?
鹿野健って何者だ?
こんな高校生向けの問題しか作れないのか? 球の問題の解答編読んだ。
なるほどなあ、積分は本当にゴリゴリやる方法だと無理っぽいね。自分が考えたのはこんな感じ。
ランダムに選んだ3点が成す大円と球の中心との距離(解答編で言うd)の確率密度関数は、
その大円の半径の2乗に比例する(※後述)。大円の半径の2乗は1-d^2だから、確率密度関数は
1-d^2を「1-d^2を0から1まで積分した値」で割って3(1-d^2)/2となる。
解答編にあるようにdに対するA^2+B^2の値は
((1+d)^2+(1-d)^2)/4
だから、これに3(1-d^2)/2を掛けた3(1-d^4)/4を0から1まで積分した3/5が解となる。
さて問題は※だが、私の力では厳密性をかなり欠いた議論となる。ランダムに選んだ1点が、ある特定の
大円の上に乗る「確率」は、その大円の周の長さに比例すると言って良いだろう。従って、ランダムに選んだ
3点がすべてその大円の上に乗る「確率」は、長さの3乗、つまり半径の3乗に比例する。
あれ?2乗じゃなかったのか?と思うかもしれないが、球上に存在する大円の「個数」は、
半径が小さいほどたくさんだということを考えなくてはならない。野球ボールの上に半径1cm
の大円を100個描いた場合と2cmの大円を100個描いた場合では、前者の方が薄く見える
はずだ。何個描けば同じぐらいの濃度に見えるかといえば、これは大円の周の長さ、つまり
半径に反比例するだろう。
そういうわけで、特定の大円上に3点が乗る「確率」は半径の3乗に比例するが、大円の
「個数」は半径に反比例するため、確率密度関数は半径の2乗に比例する。
こういう風に考えたけど、如何せん議論に厳密性を欠くし、これでも5点で考える方法の
方がエレガントなので、そっちで応募した。※は数値実験でも確認しているので、誰か
もう少し厳密な証明を考えてくれないかなと思う。 >>933
> 野球ボールの上に半径1cmの大円を100個描いた場合と2cmの大円を100個描いた場合では、前者の方が薄く見えるはずだ。
言っている意味が分からない。
大円とは、球の中心を通る平面で切った切り口の円のことだろ?
なんで野球ボール上の大円の半径が2種類もあるんだ? >>934
ああ、申し訳ないです。勘違いしていた。
933の大円は、すべて球面上の円と読み替えていただければ・・・ 8月号、出題2、計算ゴリ押し解(続き)
>>880から、
<hh> = ∫[0,1]∫[0,1] min(pp,qq) pdp q/√(1-qq) dq,
=∫[0,1]{∫[0,q] p^3 dp}q/√(1-qq) dq +∫[0,1]{∫[0,p] q^3 /√(1-qq) dq}pdp
=∫[0,1] (1/4)q^5 /√(1-qq) dq +∫[0,1](1/3){2 - (2+pp)√(1-pp)}pdp
= 2/15+1/15
= 1/5.
<(AA+BB)/(A+B)^2> = (1+<hh>)/2 = 3/5,
φで積分するのと、pqの大小で場合分する点はあるが、大学入試レベルの問題ぢゃね? >>880,>>896,>>948
ぬるぽさんはさも簡単そうにやっていますが・・。
多くの人は一度正攻法で失敗するでしょう。
その後不屈の精神で座標系を取り直すが、その重積分をうまくパスできる保証はない。
本質を見通し、ぬるぽ氏の取った3点をうまく選べたとしよう。
しかしそれで終わりではなく、各変数に対し「一様条件」に十分な配慮が必要である。
積分解法がそう簡単でないことは本誌の示すところでしょう。 >>960
読み返してみると、一行目の文章が変な言い方ですね。次のように解釈していいのでしょうか?
「与えられた全てのn∈Nに対して」 ⇒ 「任意の自然数nに対して」
それとも違う意味なんですか? 余計おかしくなったな。961はなかったことにしてください >>884
ハンガリーの数学雑誌だよ。
宿題やエレ解みたいなコンテストがある。
問題レベルは数オリみたいな感じ。 夜通しケマルを解くことを
night komal というらしい。
必需品ってことだな。 みんな問1は出すの? あえて出して出題者にすっこんでろって感想書くの? 問1の出題者は何がしたかったん?
易しい問題を出題して、改良して答案出せってこと?
で、送られてきた答案を見て批評して、楽な小遣い稼ぎだよなあ、ああ? >>970
数オリ金メダリストの清水俊宏さんも学生時代にkomalやってたみたいだよ。
ピーター・フランクルもやってたとか。 >>974
それって、アメリカの数学雑誌だっけ?
数学論文誌がメインじゃなかったっけ? >>977
これだから大学への数学どまりのお子ちゃまは困る カナダには、Crux Mathematicorumっていう数学雑誌があるね。 >>977
論文がメインだけど、エレ解みたいな懸賞問題のもあるよ。 >>981
うひょっ! あれって懸賞ついてたん! 一度も出したことないけど… 懸賞はなかったかも。
そこはよく分からない。
大数の学コンは賞品があるよね。
1〜3等賞が。
まあ、粗品ではあるけど。 賞品持ってるけど、宝物として保有してる。
学コンのおかげで東大理系数学も5完できたし。
受験生時代にはずいぶんとお世話になったもんだ。 学コンの成績優秀者って有名な方が多いよね。
森重文、岡田康志、葛西祐美、富永昌宏とか。 宿題は、東大理3でもオーバーワークだよな。
常連は、社会人や浪人生が多いし。
現役生には、あれはきついよね。 大学への数学では荻田真矢ちゃん、高橋ひろとくんが活躍中だね。 冨永世代だけど、大きいお友達はあんまりいなかったよ 富永昌宏って、めっちゃ凄いのにオウム真理教だったんだよな。
No.2の村井秀夫はIQ180あったみたいね。
刺殺されたのには驚愕したけど。 さっさと埋めろやボケナス!
, ノ)
ノ)ノ,(ノi
( (ノし
┐) ∧,∧ ノ
..|( ( ....:::::::) (
 ̄⊂/ ̄ ̄7 ) ヽ lヽ,,lヽ
(/ 川口 /ノ ( ) やめて!
 ̄TT ̄ と、 ゙i ハ,,ハ
( ゚ω゚ )
/ `ヽ.
__/ ┃)) __i | キュッキュッ
/ ヽ,,⌒)___(,,ノ\
ハ,,ハ
( ゚ω゚ )
| ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄| トン
_(,,) 埋めろクズ! (,,)
/ |_______|\ 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:0be15ced7fbdb9fdb4d0ce1929c1b82f) ...,、 - 、
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/ヽ/ i i ヽ .__.ヽ ヽ::::ヽ
ヽ:::::l i. l ト ヽ ヽ .___..ヽ 丶::ゝ
r:::::イ/ l l. i ヽ \ \/ノノハ ヽ
l:/ /l l. l i ヽ'"´__ヽ_ヽリ }. ', ',
'l. i ト l レ'__ '"i:::::i゙〉l^ヾ |.i. l ____________
. l l lミ l /r'!:::ヽ '‐┘ .} / i l l /教科書読みましょう。
l l l.ヾlヽ ゝヾ:ノ , !'" i i/ i< その程度自分でやりましょう。
iハ l (.´ヽ _ ./ ,' ,' ' | 脳味噌ありますか?
|l. l ` ''丶 .. __ イ |無いんですか?
ヾ! l. ├ァ 、 \それなら学校辞めましょうよ。
/ノ! / ` ‐- 、  ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
/ ヾ_ / ,,;'' /:i
/,, ',. ` / ,,;'''/:.:.i \
::::: \ >>980両腕に冷たい鉄の輪がはめられた
\::::: \
\::::: _ヽ __ _ 外界との連絡を断ち切る契約の印だ。
ヽ/, /_ ヽ/、 ヽ_
// /< __) l -,|__) > 「刑事さん・・・、俺、どうして・・・
|| | < __)_ゝJ_)_> このスレ・・・埋めなかったのかな?」
\ ||.| < ___)_(_)_ >
\| | <____ノ_(_)_ ) とめどなく大粒の涙がこぼれ落ち
ヾヽニニ/ー--'/ 震える彼の掌を濡らした。
|_|_t_|_♀__|
9 ∂ 「その答えを見つけるのは、お前自身だ。」
6 ∂
(9_∂ >>980は声をあげて泣いた。 リーマン「おい、おまいら!!積分できない関数発見しますた。集合しる!」
ジョルダン「詳細キボンヌ」
リーマン「上積分と下積分の値が違いますが、何か?」
ジョルダン「積分不可能な関数キタ━━━━━━(゚∀゚)━━━━━━ !!!!!」
カラテオドリ「キタ━━━━━━(゚∀゚)━━━━━━ !!!!!」
ルベ−グ「リーマン積分ごときで騒ぐ奴は逝ってヨシ」
カラテオドリ「オマエモナー」
ジョルダン--------終了-------
リーマン --------再開-------
ジョルダン「再開すなDQNが!それより積分の改善うpキボンヌ」
ルベ−グ「外測度うp」
リーマン「↑誤爆?」
カラテオドリ「ルベ−グ可測集合キボンヌ」
ルベ−グ「ほらよルベ−グ可測集合age>関数」
リーマン「神降臨!!」
カラテオドリ「可測集合の別定義age」
ルベ−グ「糞定義ageんな!sageろ」
カラテオドリ「より抽象化した測度論age」
ジョルダン「抽象概念uzeeeeeeeeeeee!!」
ルベ−グ「ageって言ってればあがると思ってるヤシはDQN」
グロタン「イタイ名前の数学者がいるのはここですか?」
カラテオドリ「氏ね」
ルベ−グ「むしろゐ`」
カラテオドリ「可測集合age」
グロタン「空 手 踊 り 、 必 死 だ な ( 藁 ) ./ ,. ' '、 ノ
か ム ぜ お | / ', / は こ
た リ っ 兄 :l. / , i :i、 |、 ゙, ノ' っ う
つ ム た ち ヽ./ /! ./l lヽ :i ', i`) き な
む リ .い .ゃ ./! /|:! | ./ | ! ヽ l ヽ ! l り っ
り ム ム ん / | /!//''|l‐=/、 ! l ,ゝ- ‐‐ヽ、 | | 言 た
よ リ .リ に (, l, :l.|: /_ ァテゝ、ヽ ! ヽテ = 、ヽ ! l わ ら
!!.ム よ 数 l . :!|:!:|, i` .}{ i゙! ` ´ }.{; 'ィヾ,. ∧ :} /. せ
. リ . 蝉 ,ゝ ! ! :i '' "´, ‐'='' ´ | i`:} / / て
は (. / ', ` i ヒ/ /ソ ゝ. も
> /人 | 、 ヤ‐ヽ ,イ l /!/ _ ゝ ら
\ _ / ' ':, ヽ. ' ‐ ' ,/ /,r, |i' |' ` ). う
'レ'⌒´ ゝ, ` 、 ,. ' _// ‐‐ 、 ム わ
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