X
トップページ⇒数学
1002コメント413KB
【数セミ】エレガントな解答をもとむ【2011．2】
レス数が950を超えています。1000を超えると書き込みができなくなります。
0001１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/01/16(日) 14:03:02
みんなで議論して問題を解きましょう。

ちなみに私は今は問２を解いています。まだ解けてません。
0881１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/10/12(水) 07:26:27.02ID:wfYCiegC
その3点が一様分布性を満たしているか？をみなさん間違えたようです。
0882１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/10/12(水) 21:40:30.95ID:ZMAgt08t
エレ解よりもkomalのが難しいよ。
0883￥ ◆2VB8wsVUoo
垢版 |
2016/10/12(水) 21:47:34.44ID:WXZuk+ky
￥

>347 名前：１３２人目の素数さん ：2016/09/22(木) 01:38:42.56 ID:CSzeBKOI
> 337 名前：あぼ〜ん[NGName:￥ </b>◆2VB8wsVUoo <b>] 投稿日：あぼ〜ん
>
> 338 名前：あぼ〜ん[NGName:￥ </b>◆2VB8wsVUoo <b>] 投稿日：あぼ〜ん
>
> 339 名前：あぼ〜ん[NGName:￥ </b>◆2VB8wsVUoo <b>] 投稿日：あぼ〜ん
>
> 340 名前：あぼ〜ん[NGName:￥ </b>◆2VB8wsVUoo <b>] 投稿日：あぼ〜ん
>
> 341 名前：あぼ〜ん[NGName:￥ </b>◆2VB8wsVUoo <b>] 投稿日：あぼ〜ん
>
> 342 名前：あぼ〜ん[NGName:￥ </b>◆2VB8wsVUoo <b>] 投稿日：あぼ〜ん
>
> 343 名前：あぼ〜ん[NGName:￥ </b>◆2VB8wsVUoo <b>] 投稿日：あぼ〜ん
>
> 344 名前：あぼ〜ん[NGName:￥ </b>◆2VB8wsVUoo <b>] 投稿日：あぼ〜ん
>
> 345 名前：あぼ〜ん[NGName:￥ </b>◆2VB8wsVUoo <b>] 投稿日：あぼ〜ん
>
> 346 名前：あぼ〜ん[NGName:￥ </b>◆2VB8wsVUoo <b>] 投稿日：あぼ〜ん
>
0885￥ ◆2VB8wsVUoo
垢版 |
2016/10/12(水) 21:58:18.12ID:WXZuk+ky
￥

>347 名前：１３２人目の素数さん ：2016/09/22(木) 01:38:42.56 ID:CSzeBKOI
> 337 名前：あぼ〜ん[NGName:￥ </b>◆2VB8wsVUoo <b>] 投稿日：あぼ〜ん
>
> 338 名前：あぼ〜ん[NGName:￥ </b>◆2VB8wsVUoo <b>] 投稿日：あぼ〜ん
>
> 339 名前：あぼ〜ん[NGName:￥ </b>◆2VB8wsVUoo <b>] 投稿日：あぼ〜ん
>
> 340 名前：あぼ〜ん[NGName:￥ </b>◆2VB8wsVUoo <b>] 投稿日：あぼ〜ん
>
> 341 名前：あぼ〜ん[NGName:￥ </b>◆2VB8wsVUoo <b>] 投稿日：あぼ〜ん
>
> 342 名前：あぼ〜ん[NGName:￥ </b>◆2VB8wsVUoo <b>] 投稿日：あぼ〜ん
>
> 343 名前：あぼ〜ん[NGName:￥ </b>◆2VB8wsVUoo <b>] 投稿日：あぼ〜ん
>
> 344 名前：あぼ〜ん[NGName:￥ </b>◆2VB8wsVUoo <b>] 投稿日：あぼ〜ん
>
> 345 名前：あぼ〜ん[NGName:￥ </b>◆2VB8wsVUoo <b>] 投稿日：あぼ〜ん
>
> 346 名前：あぼ〜ん[NGName:￥ </b>◆2VB8wsVUoo <b>] 投稿日：あぼ〜ん
>
0896880
垢版 |
2016/10/12(水) 22:39:45.56ID:VQYknn26
8月号、出題2、計算ゴリ押し解（続き）

1点目をx軸とし、2点を含む平面をxy-平面とするやり方（Gram-Schmidt法?）もある。
しかし11月号の解説を読む限りでは泥沼に嵌った感があり…　(Y先生、失礼!)

そこで >>880 では、2点の二等分線をx軸、z軸とした。

解説にあるように、内積ｘは［-1,1］で一様分布するので
ｘ＝cos(2α)＝2(cosα)^2−１＝2pp-1 より、
{ … } = (1/2)∫[-1,1] … dx = ∫[0,1] … 2p･dp

次にz軸投影すれば、xy-平面内の計算になる。（←対称性の効果）

２辺がp、qでその間の角がφなので、対辺cは第二余弦定理から
　c = √(pp+qq-2pq･cosφ),
　h = 2S/c = (pq･sinφ)/c = (pq･sinφ)/√(pp+qq-2pq･cosφ)
となる。

（解答に入れとけば良かったか？）

ぬるぽ
0897１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/10/12(水) 22:49:03.45ID:ylrPJBg6
ぬるぽ
0898￥ ◆2VB8wsVUoo
垢版 |
2016/10/13(木) 05:15:46.80ID:vumtC5Zn
￥

>347 名前：１３２人目の素数さん ：2016/09/22(木) 01:38:42.56 ID:CSzeBKOI
> 337 名前：あぼ〜ん[NGName:￥ </b>◆2VB8wsVUoo <b>] 投稿日：あぼ〜ん
>
> 338 名前：あぼ〜ん[NGName:￥ </b>◆2VB8wsVUoo <b>] 投稿日：あぼ〜ん
>
> 339 名前：あぼ〜ん[NGName:￥ </b>◆2VB8wsVUoo <b>] 投稿日：あぼ〜ん
>
> 340 名前：あぼ〜ん[NGName:￥ </b>◆2VB8wsVUoo <b>] 投稿日：あぼ〜ん
>
> 341 名前：あぼ〜ん[NGName:￥ </b>◆2VB8wsVUoo <b>] 投稿日：あぼ〜ん
>
> 342 名前：あぼ〜ん[NGName:￥ </b>◆2VB8wsVUoo <b>] 投稿日：あぼ〜ん
>
> 343 名前：あぼ〜ん[NGName:￥ </b>◆2VB8wsVUoo <b>] 投稿日：あぼ〜ん
>
> 344 名前：あぼ〜ん[NGName:￥ </b>◆2VB8wsVUoo <b>] 投稿日：あぼ〜ん
>
> 345 名前：あぼ〜ん[NGName:￥ </b>◆2VB8wsVUoo <b>] 投稿日：あぼ〜ん
>
> 346 名前：あぼ〜ん[NGName:￥ </b>◆2VB8wsVUoo <b>] 投稿日：あぼ〜ん
>
0909１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/10/13(木) 12:09:24.11ID:17+d/S4b
今月の問1、与えられた全てのnに対して云々の意味がよくわからんのだけど、
要するにNが5で割り切れるようなnの条件を求めろってことか？
だったら、簡単すぎると思うのだけど。入試レベルだなあ。
0910１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/10/13(木) 12:21:52.41ID:GKGg0lm3
そこらへんの国公立レベルだったね
問題文読み間違えたかと思った
0921１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/10/13(木) 16:32:24.23ID:mP8zAoHC
>>909
nが5で割り切れるようなnの条件を求めよ。
無論、自明なものは除く。
一休さんだな。
0922１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/10/13(木) 17:26:12.89ID:f6RU6opY
デジャブかな？ 問１は、随分前に問題集で解いたことがあるんだけど、本棚の本を調べたが見つからなかった。
高校生向けの問題集だったような…。

それにしても２ヶ月に一回くらいの割合でＤＱＮ向けの易しい問題が出題されるのは何故？
昔は４、５月にちょっと易しい問題が出されたくらいなのに、最近は目に余るな。
出題者がいなくて問題に困っているのかな？

鹿野健って何者だ？
こんな高校生向けの問題しか作れないのか？
0933１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/10/13(木) 21:17:54.28ID:q4eeLTcT
球の問題の解答編読んだ。
なるほどなあ、積分は本当にゴリゴリやる方法だと無理っぽいね。自分が考えたのはこんな感じ。

ランダムに選んだ3点が成す大円と球の中心との距離（解答編で言うd）の確率密度関数は、
その大円の半径の2乗に比例する（※後述）。大円の半径の2乗は1-d^2だから、確率密度関数は
1-d^2を「1-d^2を0から1まで積分した値」で割って3(1-d^2)/2となる。

解答編にあるようにdに対するA^2+B^2の値は
((1+d)^2+(1-d)^2)/4
だから、これに3(1-d^2)/2を掛けた3(1-d^4)/4を0から1まで積分した3/5が解となる。

さて問題は※だが、私の力では厳密性をかなり欠いた議論となる。ランダムに選んだ1点が、ある特定の
大円の上に乗る「確率」は、その大円の周の長さに比例すると言って良いだろう。従って、ランダムに選んだ
3点がすべてその大円の上に乗る「確率」は、長さの3乗、つまり半径の3乗に比例する。

あれ？2乗じゃなかったのか？と思うかもしれないが、球上に存在する大円の「個数」は、
半径が小さいほどたくさんだということを考えなくてはならない。野球ボールの上に半径1cm
の大円を100個描いた場合と2cmの大円を100個描いた場合では、前者の方が薄く見える
はずだ。何個描けば同じぐらいの濃度に見えるかといえば、これは大円の周の長さ、つまり
半径に反比例するだろう。

そういうわけで、特定の大円上に3点が乗る「確率」は半径の3乗に比例するが、大円の
「個数」は半径に反比例するため、確率密度関数は半径の2乗に比例する。

こういう風に考えたけど、如何せん議論に厳密性を欠くし、これでも5点で考える方法の
方がエレガントなので、そっちで応募した。※は数値実験でも確認しているので、誰か
もう少し厳密な証明を考えてくれないかなと思う。
0934１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/10/13(木) 21:37:09.95ID:f6RU6opY
>>933
> 野球ボールの上に半径1cmの大円を100個描いた場合と2cmの大円を100個描いた場合では、前者の方が薄く見えるはずだ。

言っている意味が分からない。
大円とは、球の中心を通る平面で切った切り口の円のことだろ？
なんで野球ボール上の大円の半径が２種類もあるんだ？
0945１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/10/13(木) 21:44:32.36ID:q4eeLTcT
>>934
ああ、申し訳ないです。勘違いしていた。
933の大円は、すべて球面上の円と読み替えていただければ・・・
0948880
垢版 |
2016/10/14(金) 00:03:11.83ID:UDiI6B5t
8月号、出題2、計算ゴリ押し解（続き）

>>880から、

<hh> = ∫[0,1]∫[0,1] min(pp,qq) pdp q/√(1-qq) dq,
=∫[0,1]｛∫[0,q] p^3 dp｝q/√(1-qq) dq ＋∫[0,1]｛∫[0,p] q^3 /√(1-qq) dq｝pdp
=∫[0,1] (1/4)q^5 /√(1-qq) dq ＋∫[0,1]（1/3){2 - (2+pp)√(1-pp)｝pdp
= 2/15＋1/15
= 1/5.

＜(AA＋BB)/(A+B)^2＞ = (1+<hh>)/2 = 3/5,

φで積分するのと、pqの大小で場合分する点はあるが、大学入試レベルの問題ぢゃね？
0949とあるエレ解常連
垢版 |
2016/10/14(金) 00:29:44.11ID:IxFUo1VP
>>880,>>896,>>948
ぬるぽさんはさも簡単そうにやっていますが・・。

多くの人は一度正攻法で失敗するでしょう。
その後不屈の精神で座標系を取り直すが、その重積分をうまくパスできる保証はない。
本質を見通し、ぬるぽ氏の取った3点をうまく選べたとしよう。
しかしそれで終わりではなく、各変数に対し「一様条件」に十分な配慮が必要である。
積分解法がそう簡単でないことは本誌の示すところでしょう。
0960１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/10/14(金) 13:42:57.89ID:vgVAoQZR
問一って問題文がなんかオカシクナイ？
0961１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/10/14(金) 17:46:16.85ID:WHzqCVao
>>960
読み返してみると、一行目の文章が変な言い方ですね。次のように解釈していいのでしょうか？

「与えられた全てのn∈Nに対して」 ⇒ 「任意の自然数nに対して」

それとも違う意味なんですか？
0963１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/10/14(金) 20:14:09.10ID:B/IJ29D8
>>884
ハンガリーの数学雑誌だよ。
宿題やエレ解みたいなコンテストがある。
問題レベルは数オリみたいな感じ。
0965１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/10/14(金) 20:24:12.82ID:NDd/UqSH
komalのおかげで、メダル取れたわ。
0966１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/10/14(金) 20:31:15.68ID:B/IJ29D8
数オリのが難しくて面白い問題が多いよね。
0967１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/10/14(金) 23:19:52.97ID:NDd/UqSH
数オリは、究極的な難易度。
0968１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/10/16(日) 10:33:14.62ID:VoVIzHBW
夜通しケマルを解くことを
night komal というらしい。
必需品ってことだな。
0969１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/10/16(日) 16:51:26.08ID:drnC8jea
みんな問１は出すの？ あえて出して出題者にすっこんでろって感想書くの？
0971１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/10/16(日) 19:43:20.83ID:I8W4Vh0Q
問1ぐらいの変な文章は、編集が校正しろよなあ。
0972１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/10/16(日) 19:49:07.00ID:drnC8jea
問１の出題者は何がしたかったん？
易しい問題を出題して、改良して答案出せってこと？
で、送られてきた答案を見て批評して、楽な小遣い稼ぎだよなあ、ああ？
0973１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/10/16(日) 22:50:27.83ID:ckU616+W
>>970
数オリ金メダリストの清水俊宏さんも学生時代にkomalやってたみたいだよ。
ピーター・フランクルもやってたとか。
0977１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/10/17(月) 18:20:22.16ID:tbceTXu9
>>974
それって、アメリカの数学雑誌だっけ？
数学論文誌がメインじゃなかったっけ？
0979１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/10/17(月) 19:54:06.83ID:0DaWQDs1
カナダには、Crux Mathematicorumっていう数学雑誌があるね。
レス数が950を超えています。1000を超えると書き込みができなくなります。