【数セミ】エレガントな解答をもとむ【2011．2】

[0001 １３２人目の素数さん 2011/01/16(日) 14:03:02]

みんなで議論して問題を解きましょう。

ちなみに私は今は問２を解いています。まだ解けてません。

[0620 １３２人目の素数さん 2016/06/16(木) 17:04:30.45 ID:P5qoiXz6]

>>608 (1)
　ψ(x) = 1　(|x|≦1/2)
　　　　= 0　(|x|>1/2)
とおくと、
V{ψ} = ∫[-1/2,1/2] xx ψ(x)dx = 1/12,
また
φ_(k+1)(x) = ∫[x-1/2, x+1/2] φ_k(t)ψ(x-t)dt,　(畳み込み)
なので
V{φ_(k+1)} = ∫_R xx･φ_(k+1)(x)dx
= ∫_R xx∫[x-1/2,x+1/2] φ_k(t)ψ(x-t)dt dx
= ∫_R ∫[t-1/2,t+1/2] xx ψ(x-t)dx φ_k(t)dt
= ∫_R ∫[-1/2,1/2] （t+x')^2 ψ(x')dx' φ_k(t)dt
= ∫_R ∫[-1/2,1/2] （tt+2tx'+x'x') ψ(x')dx' φ_k(t)dt
= ∫_R [tt+V{ψ}] φ_k(t)dt
= V{φ_k} + V{ψ}　　…… 分散の加法性
= V{φ_k} + 1/12,
ここに R = (-∞, ∞)

[0621 １３２人目の素数さん 2016/06/17(金) 18:34:38.78 ID:KlKElrnm]

>>608 (1)
また、
φ_1(x) = ∫[x-1/2, x+1/2] ψ(t)ψ(x-t)dt,　(畳み込み)
V{φ_1} = 2V{ψ} = 1/6,
したがって
V{φ_k} = (k+1)/12,
σ = √{(k+1)/12},

[0622 １３２人目の素数さん 2016/06/18(土) 18:30:27.59 ID:P2/ce+KD]

>>608
確率分布函数をσ･φ_k(σ･x)とするとき、m次モーメント
　E[x^m] =∫x^m･φ_k(σ･x) σ･dx
とおくと
E[x^2] = 1,
E[x^4] = 3 - 1.2/(k+1),
E[x^奇数] = 0,