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【数セミ】エレガントな解答をもとむ【2011．2】
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0001１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/01/16(日) 14:03:02
みんなで議論して問題を解きましょう。

ちなみに私は今は問２を解いています。まだ解けてません。
0586１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/06/11(土) 12:25:41.77ID:xPoZDcUh
今年度の連載はツマラン。
６回くらいで打ち切って、別の連載始めろよ。
0600568=570
垢版 |
2016/06/12(日) 07:05:47.94ID:9+aq3PT5
>> 575
俺の解法では図を使わないから何個だろうが関係ない。

>> 569
貴方の言うとおりだった。厳密な記述に苦労したよ。
0601568=570
垢版 |
2016/06/12(日) 07:32:54.32ID:9+aq3PT5
久しぶりだったもんでアンカーの書き方間違えた。。

みなさん今月号の解答は見たかい？
やはり>>528に書いたとおり1番難しかったのは問2の問題文の解釈だったでしょう？笑

さて先月号の問題の講評もしておこう。

問1はレベル2(最大10)としたい。
解法はいくつかあって、それを探る楽しみはあるだろう。
しかしいかんせん有名問題で解くだけなら簡単だ。
解答が簡単にググれてしまうような問題は出題しないでほしいと思わないでもない。

問2はレベル7としたい。厳密な議論をするために俺はB5を3ページ費やした。
たとえば3重に重なるケースとか、
qの変化に対して交点数が単調に変化するかどうかとか、
あるいは同じことだが、他のqでは題意を満たさないことなど、
細かく注意しながら議論をすすめる必要があった。

俺の解法は全くエレガントではない。
うまいアイデアがなければこう解かざるを得ない、というオーソドックスな解法だ。
図で解いた方は厳密な議論ができただろうか？
0603１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/06/12(日) 11:23:58.30ID:9+aq3PT5
>>602
そうかすまん。俺は定期購読だから早いんだ。

今月号の解答編について。
1問目はある性質をもつ関数列の問題。
連続条件やら積分条件やら漸化式やらを満たす関数列について。
2問目は2×2のルービックキューブの問題。

発売前に晒してしまっては問題だね。すまなかった。
0605603
垢版 |
2016/06/12(日) 12:35:54.76ID:9+aq3PT5
>>604
問1は集合の大きさに関する問題。
難易度は分からない。
問2は矩形タイルの問題。
今までに見たことがなく、やはり難易度は分からない。
根拠がほとんどないが、両問ともエレガント問題にふさわしい佇まいだ。
この問題に取り掛かろうという意欲が沸いてくる、そんな良問に見える。

PCの前のあなたも是非チャレンジを。
詳細は数学セミナー7月号、税込1,177円。お近くの本屋にてお求めください。
0606１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/06/12(日) 13:03:03.87ID:HFeRq68v
>>605
ようやく高校数学の宿題レベルからエレガントらしい問題になったんですな。楽しみでござるよ、にんともかんとも。
0608１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/06/12(日) 17:13:43.49ID:H5UWQ/vA
４月号 問題１の解答ご苦労さま。
ではオマケを…

【関連問題】
１）φ_k(x)を確率分布函数と見たとき、標準偏差σ＝√{(k+1)/12}を示せ。
２）k→∞のとき σ･φ_k(σ･x) が正規分布（ガウス分布）に収束することを示せ。

　f(x) = {1/√(2π)}exp(-xx/2),

ぬるぽ
0610１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/06/13(月) 19:22:45.46ID:4ceNpwOu
今月号、問1の1は5秒で解けて俺天才かと思った。まあ1の2は少し手間取ったけどな。
それでも簡単な方だと思う。

問2の1は、本当に数セミで出すべき問題か？と思ったけどな。複雑な法則で良ければいくらでも
作れるから、その中でもシンプルなものを答えろってことだろうけど、パズル本的な問題だなあ。
0611１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/06/13(月) 23:48:03.20ID:3P6LCo79
もう2問もやってるの？
仕事が早いねえ

せっかく宣伝したのにつまらないこと言っちゃうんだね笑
0615１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/06/14(火) 15:24:44.67ID:iz0YtJ/j
いや、掲載する側が拒否しないか心配なのだ。
『うんち』で投稿することにやぶさかではないぞ。
0616１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/06/14(火) 16:29:52.92ID:dYtMam+Q
>>615
そんなに排泄物が好きであれば、、
ペンネーム第1希望：『うんち』
ペンネーム第2希望：『おしっこ』
ペンネーム第3希望：『排泄物一般』
ペンネーム第4希望：『排出物一般』
とでもしたらどうでしょうか。
0617１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/06/14(火) 18:35:32.24ID:iz0YtJ/j
なんか>>616が言うと、臭ってきそうだ。
ダメだダメだ、全然ダメだ。なんも分かっちゃいない！
0618１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/06/14(火) 18:55:28.85ID:Qb7fKiNQ
>>617
すまない。
数学なら多少は分かるのだが貴方の嗜好は分からんのだ。
いや待てよ。『うんち』って別の意味か？ないよな？別の意味は。
『うんち』は日本語の『うんち』だよな？であればやはり貴方が分からない。
0619１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/06/14(火) 19:26:47.36ID:iz0YtJ/j
>>618
アラレちゃんのうんちをイメージしていただければ問題ない。
それにしても今月号の問１は、おこちゃま向けだな。
少なくとも１問は、おこちゃま向けを出題せねばならないという縛りでもあるのか？
0620１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/06/16(木) 17:04:30.45ID:P5qoiXz6
>>608 (1)
　ψ(x) = 1　(|x|≦1/2)
　　　　= 0　(|x|>1/2)
とおくと、
V{ψ} = ∫[-1/2,1/2] xx ψ(x)dx = 1/12,
また
φ_(k+1)(x) = ∫[x-1/2, x+1/2] φ_k(t)ψ(x-t)dt,　(畳み込み)
なので
V{φ_(k+1)} = ∫_R xx･φ_(k+1)(x)dx
= ∫_R xx∫[x-1/2,x+1/2] φ_k(t)ψ(x-t)dt dx
= ∫_R ∫[t-1/2,t+1/2] xx ψ(x-t)dx φ_k(t)dt
= ∫_R ∫[-1/2,1/2] （t+x')^2 ψ(x')dx' φ_k(t)dt
= ∫_R ∫[-1/2,1/2] （tt+2tx'+x'x') ψ(x')dx' φ_k(t)dt
= ∫_R [tt+V{ψ}] φ_k(t)dt
= V{φ_k} + V{ψ}　　…… 分散の加法性
= V{φ_k} + 1/12,
ここに R = (-∞, ∞)
0621１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/06/17(金) 18:34:38.78ID:KlKElrnm
>>608 (1)
また、
φ_1(x) = ∫[x-1/2, x+1/2] ψ(t)ψ(x-t)dt,　(畳み込み)
V{φ_1} = 2V{ψ} = 1/6,
したがって
V{φ_k} = (k+1)/12,
σ = √{(k+1)/12},
0622１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/06/18(土) 18:30:27.59ID:P2/ce+KD
>>608
確率分布函数をσ･φ_k(σ･x)とするとき、m次モーメント
　E[x^m] =∫x^m･φ_k(σ･x) σ･dx
とおくと
E[x^2] = 1,
E[x^4] = 3 - 1.2/(k+1),
E[x^奇数] = 0,
0623１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/06/18(土) 21:32:32.42ID:yDWPEjPN
>> 601
> 図で解いた方は厳密な議論ができただろうか？

先月号問2をエレガントに解いた方のコメントをもとむ。
0628１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/06/19(日) 18:38:21.29ID:+MjZtEtr
>>608 (2)
確率変数Xについて
E[X] = μ
E[(X-μ)^2] = σ^2,
とおくと、
(X-μ)/σ の分布函数は正規分布に収束するらしい…

Xが2項分布に従うとき
μ = np,
σ^2 = np(1-p),
0629１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/06/19(日) 20:17:48.05ID:gJa8hJlA
>>626
問１はある図を思いつけばそこからは一瞬だ。まあ解答は
式に起こさなきゃ駄目だと思うが。
頑張れー。
0630１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/06/22(水) 07:38:27.41ID:/HpqpFul
このスレ雰囲気いいね。
おれまだ今月の問題手を付けてないよ。まずいなあ
0632１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/06/25(土) 21:06:14.60ID:7dkecQ+3
>>629
問1の2はそこまで簡単だった？
十分条件は簡単だけど必要条件はそこまで簡単ではなかった。
一瞬とはいかなかったなあ。
エレ解としては簡単な部類だろうけどね。
>>629はエレガント解を見つけたんじゃないの？
0633１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/06/25(土) 21:32:27.36ID:7dkecQ+3
>>631
今月は簡単だけど、ありきたりの問題ではないから楽しめると思うよ。
もうちょっと考えて見るがよし
0634１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/06/26(日) 18:04:11.08ID:1rHR3Q4T
>>632
さすがに一瞬というのは言い過ぎたけど、1が解けたなら道筋は見えると思うけどな。
エレガントかどうかはわからん。そもそも簡単な問題だから、解答もそれほど複雑じゃないし。

それより問２の１がさっぱり思いつかん。
0635１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/06/26(日) 20:05:01.75ID:xsncDryY
>>634
そうなのか。アプローチが違うのかもね
必要条件に2時間以上唸ったなあ

問2の1は規則性を見つけようと思うとハマるよ、ってのがヒントになれば
問2の2は激簡単なんだが、間違ってるんだろうか
0636635
垢版 |
2016/07/08(金) 21:44:09.99ID:jh7OwD/M
同志よ。締め切りはすぐ目の前だ。

問1の2は>>634の言うとおり、必要条件もさほど難しくなかった。
とはいっても答案はB5全面が埋まる量だったが
0638１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/07/09(土) 19:45:21.51ID:UxNa1hu5
回答は，発売日（発行日）に出題が公表された時から締め切りの前日まですることができる。

参議院議員及び知事が17日間。 政令指定都市の市長が14日間。

って、それは選挙運動期間だ…
0644１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/07/12(火) 22:24:51.79ID:L+nmIjHw
７月号の問１、図的にこういう感じで考えた。送った解答は式に起こしたもので、
図には言及していない。

(1)
XY平面上にAの要素をX座標、Bの要素をY座標として、すべての組み合わ
せについて点を打つと、長方形の範囲の（等間隔とは限らないが縦横は
揃っている）格子点状に散らばった|A|×|B|個の点群となる。この図に
傾き-1の斜め線を引けば、その線上の点についてはX,Y座標の合計値が
等しい。つまり|A+B|は、各点から傾き-1の線を引き、重複するものは除
いて、何本残るかを数えればわかる。ところが点群の右端または下端の
各点（これを集合Pとする）はそれぞれ明らかに異なる斜め線上に乗って
いる（不等式で厳密に証明できる）ので、斜め線の本数はPの要素数である
|A|+|B|-1以上。

(2)
・・・・
・・・・
・・・・
・・ＸＹ
・・ＺＷ

等号が成り立っている場合、各点から引いた斜め線は集合Pのいずれかの
点を通る。何となく正方格子状じゃないと駄目では？とわかるが、例えば
こう証明する。右下の4点(X,Y,Z,W)に注目すると、この4点のうち左上の
点(X)から引いた斜め線は集合Pのいずれかの点を通らねばならないが、
その線はすぐ右の点(Y)の下、すぐ下の点(Z)の右を通るため、候補は右下
の点(W)しかない（これも式で証明可）。つまり右下の点が傾き-1の線上に
あるため、4点は正方形を成している。この論理を1段ずつ上に向かって繰り
返すと、全点群の右端2列が正方格子状、左に向かって繰り返すと全点群の
下2行が正方格子状にあることがわかる。右端2列と上端2行が正方格子だから、
全体も正方格子であることが必要。つまり、AとBは等差数列から成り、かつ
その公差が等しくなければならない。
0645１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/07/12(火) 22:33:13.36ID:L+nmIjHw
訂正
×右端2列と上端2行が正方格子だから、
○右端2列と下端2行が正方格子だから、
0646１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/07/12(火) 23:00:05.46ID:qGMnhBZS
>>644-645
あんまり詳しく書くと名バレしちゃうよ？笑

ともあれ、おみごとです
俺は式ゴリで解いてしまいました
0648１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/07/12(火) 23:25:48.50ID:qGMnhBZS
さあさみなさんお待ちかね（？）の7月号講評のお時間です

■問1はレベル3（常連正解率98％以上、正解者数60〜80人を予想）とする

>>644-645のように分かりやすいエレガント解答もありながら、
私のように式ゴリしか思いつかず『必要条件がちょっとむずいなー』と漏らすノーセンスな人間もいる
いずれの解法にせよ1,2日あれば解ける問題でありレベルはかなり低めである
しかし、ありふれたツマラナイ問題というわけでもない
楽しんで解いた方も多いのではないか。
易しいとはいえ、エレ解問題としては悪くない

■問2はレベル3〜6とする（常連正解率98〜85%くらい）

(1)は算数パズルなので講評は略す

(2)もパズルであり、n≧7の既約タイル自体はすぐに思い浮かぶ
そしてそれが間違いなく既約タイルであることは直感でわかる
しかしどう記述しようか、うー・・としばし迷う
簡単にしかし分かりづらく言えばそういう問題である

運悪く既約タイルを思いつけなかった人にとっては途端に難問と化す
しかし、これくらいスッと思いつくのが常連（暇人とも言う）である
常連正解率は85%を超えてくると予想する
0649１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/07/13(水) 14:23:14.80ID:ulHTXllF
２番だけど、左の文章題は確率Aを求めよなのに、右側はA^2+B^2の期待値を求めよって違う問題になってるの？
0651１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/07/13(水) 18:03:39.49ID:2uLWSWwd
>>646
式ゴリで解いてみる…

昇順に番号を付けて
A = {a_1, a_2, …, a_L}
B = {b_1, b_2, …, a_m}
A┼B = {c_1, c_2, …, c_n}
とおく。また
a_i + b_j = c_k,　　(i:1〜L、j:1〜m)
とおく。

(問1)
i+j-1 ≦ k_(i,j) ≦ i+j+{|A┼B|-|A|-|B|}
より
|A|+|B|-1≦|A┼B|,

(問2)
等号が成立するとき、
a_(i+1) + b_j = c_(k+1) = a_i + b_(j+1)
より
a_(i+1) - a_i = b_(j+1) - b_j
これが任意の（i,j）について成り立つから
　a_(i+1) - a_i = d,
　b_(j+1) - b_j = d,
0652１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/07/13(水) 20:27:19.88ID:KwB3gf6Y
>>651
ちょっと説明不足じゃないかい？
0654￥ ◆2VB8wsVUoo
垢版 |
2016/07/13(水) 23:27:04.64ID:K/H8KF/H
日本人の躾けは『大人の都合』、その目的は威厳に屈服させる為：
ある父親：クマが出没する山林に息子を放置、しかも嘘を吐いて保身。
別の父親：勉強の邪魔をして進路を妨害し、学歴を砕く。出世を強要。
ソレでも「親の行為は子供の為」という傲慢な常識を振り回す世間、しかも
「親を尊敬して大切に扱え」という無根拠な思想を押し付ける儒教文化。

お父さん、お母さんを大切にしましょう！！！ソレが世間体というモノ！

ケケケ￥

政治家も、お教授も、権力を振り回すのが大好きな低能人種：
ある男：ボクは都民の為に湯河原で休んでるんだ。知事が信じられんのかっ！
別の男：オレは哲也の為に指導してやってるんだ。父親が信じられんのかっ！
上から目線で強弁すれば、自分の言い分は何でも通る国があるらしい…

ああ、素晴らしき日本文化よ。キミ達も国会議員を見習い給え。何せ多数決で選
ばれた『皆の代表』なので。だからある男も別の男もエラいんだよォ〜〜〜んw

コココ￥

終わり良ければ全てヨシ。途中経過はどうでもヨシ。
大学：学生の知能なんてどうでもヨシ。カネが儲かる教室を巧みに運営シロ。
狸研：研究の詳細なんてどうでもヨシ。世間が驚く大論文を外国に発表シロ。
芳雄：学問の中身なんてどうでもヨシ。安易に教授になれる分野を専攻シロ。

学問なんて所詮は出世の道具。周囲に秀才っぽく見せ掛けられたらソレでヨシ。
社会的に高い地位、そして豪華で贅沢な暮らし。世間が羨む大学教授のポスト。
ソレさえ手に入れば学問そのものなんて洋梨よォ〜〜〜ん。

よよよ、よ〜〜〜しお。そやしノ〜ベル賞が欲しいよォ〜〜〜んんんwww

シシシ￥
0655１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/07/14(木) 08:12:44.24ID:0ghB8q5E
>>653
探す相手が平面の上にいる確率がＡ、下にいる確率がＢ。
自分が平面の上にいる確率がＡ、下にいる確率がＢ。
二人が同じ側にいる確率は？
0657１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/07/15(金) 16:59:01.55ID:qKj/pzjF
>>652

(1)
a1+b1 < a2+b1 < … < ai+b1 < a1+b2 < … < ai+bj,
∴ i+j-1 ≦ k_(i,j),

ai+bj < a(i+1)+bj < … < aL+bj < aL+b(j+1) < … < aL+bm,
∴ k(i,j) ≦ n -(L-i) -(m-j) = i+j + (n-L-m),
0658１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/07/15(金) 19:21:57.48ID:402uibiN
８月号の問題はどっちも難しいな。発売から２日目にして お手上げ侍。
0659１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/07/15(金) 21:45:49.16ID:xfE1fnFv
>>651
> a_i + b_j = c_k,　　(i:1〜L、j:1〜m)
> とおく。
ではkの定義がよく分からんのじゃないかな？
0660１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/07/15(金) 23:07:29.46ID:xfE1fnFv
>>658
レベル5以上の問題は最初の1,2日はみんなお手上げですよ
1週目ちょこっと頭で転がして
2週目でスッカリ忘れて
3週目でああやらなきゃなーと思い出すがまだ平気さと嘯いて
4週目でアセアセ真剣に考えはじめて
5週目でひーひー解答作る
エレガントでない俺の1ヶ月はこんな感じですよ
0661１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/07/16(土) 16:44:51.78ID:GrLp8R2o
問2、三角関数も微積分も使わない解答ができたけど、ヒントの意味がさっぱり分からん。
もっとエレガントな方法があるのだろうか。
0663１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/08/06(土) 11:19:06.38ID:t0jqIuGT
>>661
あなたは3点を考えた？5点を考えた？
0664１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/08/06(土) 11:20:07.63ID:t0jqIuGT
5点を考えることがヒントというわけですわ
3点で考えたなら貴方の解答はもう1つにエレガント解答でしょう
0665￥ ◆2VB8wsVUoo
垢版 |
2016/08/06(土) 11:20:57.37ID:Fpec6RjC
￥

>1 ：名無しさん ：2006/04/30(日) 01:41:01 ID:KPnB.CH2
> 迷惑かしらん
>
>5459 ：kmath1107★ ：2016/08/06(土) 08:42:44 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5460 ：kmath1107★ ：2016/08/06(土) 08:48:47 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5461 ：kmath1107★ ：2016/08/06(土) 08:55:45 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5462 ：kmath1107★ ：2016/08/06(土) 08:58:57 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5463 ：kmath1107★ ：2016/08/06(土) 09:34:20 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5464 ：kmath1107★ ：2016/08/06(土) 09:48:47 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5465 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/08/06(土) 10:38:44 ID:???
> ￥
>
0666１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/08/06(土) 11:21:32.33ID:t0jqIuGT
>>664
"もう1つの"

さて締め切り間近ですな。1問目がまだ解けていない！今月忙しかったから・・（言い訳）
ギリギリまで粘ります
0668￥ ◆2VB8wsVUoo
垢版 |
2016/08/06(土) 11:25:50.92ID:Fpec6RjC
￥

>1 ：名無しさん ：2006/04/30(日) 01:41:01 ID:KPnB.CH2
> 迷惑かしらん
>
>5459 ：kmath1107★ ：2016/08/06(土) 08:42:44 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5460 ：kmath1107★ ：2016/08/06(土) 08:48:47 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5461 ：kmath1107★ ：2016/08/06(土) 08:55:45 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5462 ：kmath1107★ ：2016/08/06(土) 08:58:57 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5463 ：kmath1107★ ：2016/08/06(土) 09:34:20 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5464 ：kmath1107★ ：2016/08/06(土) 09:48:47 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
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>5465 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/08/06(土) 10:38:44 ID:???
> ￥
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0670１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/08/06(土) 11:34:18.66ID:+CpYIOPa
あ、5点を考えろってのがあのヒントの意味ってこと？
それは読み取れねーよw
0671１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/08/06(土) 11:35:16.01ID:t0jqIuGT
>>669
コメありがとう。
うん、ヒントの意味はよく分かるよ。
すでに言ったとおり5点で考えることがヒントだよ。
だって、『面積1の球面上から一様ランダムに3点を選び・・・』という問題だけでは、
5点を考えようなんて発想はふつう起こらないでしょ？
0674１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/08/06(土) 11:43:01.16ID:t0jqIuGT
>>670
> それは読み取れねーよw
数学的な問題文をまず書いてその後にヒントをほのめかす物語を書けばよかったのに、
最初に物語を書いたもんだから意図を読み取りづらいんだよね笑
某連載ってのは昔の記事かな？それは読んでないから知らないや
初見の俺にとっては、問題の言い換えがエレガント、という印象です

それよか問1きついなー・・・こりゃバイク便コースかもしれん。解けた？
0676１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/08/06(土) 11:50:28.42ID:+CpYIOPa
問1は1が難しい。特に凸図形であることをどう組入れるか、
厳密にやればかなり面倒な気がする。
その辺は甘く採点してくれるんじゃないかと思って、やや曖昧なまま
送ってしまった。
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