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【数セミ】エレガントな解答をもとむ【2011．2】

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0001１３２人目の素数さん
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2011/01/16(日) 14:03:02
みんなで議論して問題を解きましょう。

ちなみに私は今は問２を解いています。まだ解けてません。
0174１３２人目の素数さん
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2013/05/06(月) 21:34:49.28
今月の一問目が題意意味不なんだけど、
三角形の板が積める条件は何なの？
0175１３２人目の素数さん
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2013/05/11(土) 23:54:09.64
〔問題〕
nは2以上の偶数とする。
環Rのすべての元xについて
　x^n = x,
が成り立つとき、次を示せ。

(8) n=4 ならば、x+xx はベキ等.

(9) n=6 ならば、x^5 = x^3 = xx,
　　　　　　　　xx = x.（べき等）
0176１３２人目の素数さん
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2013/05/25(土) 22:35:34.45
>>175
ｷｬｽﾌｨｰの解答から....

(8)
　(x+xx)^2 = xx + (x^3 +x^3) + x^4
　 = xx + x^4 　　(6)
　 = xx + x　　　(題意)

(9)　上と同様にして
　0 = (x+xx) - x - xx
　　= (x+xx)^6 - x^6 - (xx)^6
　　= (x^4)(xx)^2 + (x^2)(xx)^4　　(奇数係数のみ残す)
　　= (x^6)xx + (x^6)(x^4)
　　= x^3 + x^5,

　x^3 = -(x^5) = x^7 = x(x^6) = x^2,
　
∴　x^2 = x^3 = x^4 = x^5 = x^6 = x. (ベキ等環)
0177１３２人目の素数さん
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2013/05/26(日) 21:56:42.69
環Ｒのすべての元xが、x^n=x (n>1) を満たすとき（nはxに依存することもある）
Ｒの素イデアルはすべて極大イデアルでつか？
0178１３２人目の素数さん
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2013/05/26(日) 22:05:45.38
>>177

背理法による。
Ｒの素イデアルであって、極大イデアルで無いものＰがあったと仮定する。
Ｐ⊂Ｍ なる極大イデアルＭが存在する。（Ｍ－Ｐ≠φ）
x ∈Ｍ－Ｐを任意にとると、x^n = x, (n>1)
∴　x･(1 - x^{n-1}) = x - x^n = 0 ∈Ｐ.
Ｐは素イデアルだったから、1 - x^{n-1} ∈Ｐ.
∴ １∈Ｐ となり矛盾する。
∴ Ｒの素イデアルはすべて極大イデアル。（終）
0179１３２人目の素数さん
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2013/06/01(土) 23:01:52.25
〔問題〕
nは2以上の自然数とする。
環Rのすべての元xについて
　x^n = x,
が成り立つとき、次を示せ。

(10) Rは可換環である。

つまり、環Rのすべての元x,yについて xy = yx.


〔参考文献〕
Nathan Jacobson: Annals of Math., 2nd series, ４６(4), p.695-707 (1945 Oct.)
　"Structure theory of alebraic algebras of bounded degree"

〔環の構造定理〕
　（0以外の）ベキ零元をもたない有限環は可換である。
0180１３２人目の素数さん
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2013/06/14(金) 20:00:11.53
今月の4点の問題、簡単すぎね？
2秒で解けたんだけど、俺何か勘違いしてる？
0181１３２人目の素数さん
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2013/06/17(月) 23:22:08.40
>>180
本当に簡単だったw
「一見当たり前だけど証明は難しい」というのでもなく、
証明も多分一行で済む。
0182１３２人目の素数さん
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2013/07/02(火) NY:AN:NY.AN
>>180-181

　3点の距離について△不等式が成り立つ。
　直角⊿に対して3平方の定理が成り立つ。
　平面Pに関して反対側にある2点を結ぶ線分は、平面Pと交わる。
　平面Pに関して同じ側にある2点を結ぶ線分は、平面Pと交わらない。
を使ってみる。
　（角、ベクトル、内積なんてのは使わない）
0183１３２人目の素数さん
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2013/07/22(月) NY:AN:NY.AN
線分CDに両端で直交する平面を考えてみるとか
ベクトルABとCDの内積を考えてみるとか
0184１３２人目の素数さん
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2013/08/13(火) NY:AN:NY.AN
>>179
(10)

n=3 のとき、
　xx はべき等(2)、よって可換(4)。
　xy = (xy)^3 = x(yx)^2 y = ････
　　 = y(xy)^2 x = (yx)^3 = yx,

n=4のとき、x+xx はべき等であり(8)、中心に含まれる(4)。

　xy+yx = (x+y)^2 - xx - yy
　　　　= {(x+y)^2 + (x+y)} - (xx+x) - (yy+y),
　は中心に含まれる。
　x(xy＋yx) = (xy＋yx)x,
　xxy = yxx,
x→xx として
　(x^4)y = y(x^4)
題意により
　xy = yx,

n=6 のとき、
　x はべき等(9)、よって可換(4)。
0185１３２人目の素数さん
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2013/08/14(水) NY:AN:NY.AN
>>179
(10)

n=3のとき、
　xx はべき等(2)、よって可換(4)。
　xy = (xy)^3　　　　(←題意)
　　 = xy(xy)^2 = x(xy)^2 y
　　 = xx yx yy = xx(y^3)x
　　 = (y^3)(x^3)
　　 = yx,　　(←題意)

・参考書
　数ｾﾐ増刊「数学の問題」第(1)集、日本評論社(1977) No.72
　数ｾﾐ増刊「数学の問題」第(2)集、日本評論社(1978) No.60 (2)
　
0186１３２人目の素数さん
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2013/10/23(水) 22:30:30.84
今月の問2、さっぱり意味がわかんねーぞー
と思ったら、やはりみんな分かってないんだなｗ
http://www1.ezbbs.net/cgi/reply?id=dslender2&;dd=19&re=45526
0197１３２人目の素数さん
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2014/08/04(月) 00:00:43.93
(1)も(2)もできたけど、両方とも頑張って計算してくださいねって感じかな
エレガントな解答なんてあるとは思えないが問題の背景は気になる
0199１３２人目の素数さん
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2014/10/22(水) 05:37:35.72
そういや昔、円順列か何か組合せの問題を出題して、その翌月に元ネタの論文書いた人が、
まだ論文が発表されていないから、勝手に載せんなボケってストップがかかったやつ
あの解答はもう掲載されたの？
0200１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/10/22(水) 05:44:59.23
毎月、楽しみにしている回答者

??代 ： ぬるぽ
60代 ： ζ氏
80代 ： クスコ

誰か面白い名前で常連になってくれよ。
0201１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/10/22(水) 12:49:13.93
554 自分：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2014/10/22(水) 05:27:24.31
エレガントな解答を求むの計算問題は易しい。
いろんな解法を考える楽しみはあるが、解くだけなら楽勝。最近だと、
　６月号のnCrを含むΣ計算、
　７月号のf(n+1)-f(n)のΣ計算、
　11月号（今月号）の2×2行列のn乗計算

簡単じゃボケ！と怒らずに、６月号のnCrの和なら組合せ論的解釈を考えるとか、
いろいろ楽しみ方はあるが、解答を見ると出題者も分からなかったと書いてあった。
解答者に解法を聞いておいしい汁をすすろうなどというクズ出題者もいるようだが・・・

555 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2014/10/22(水) 12:28:46.18
わはは、図星だ
0204１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/10/23(木) 07:00:02.33
>>203
念のため書籍で確認したが、『有限値に収束しない』 場合を 『発散』 と定義しているので、『発散しない』＝『有限値に収束』のはず。

出題者は 『発散』＝『無限大に発散する』 と考えていて、おそらく 『発散しない』＝『有限値に収束する』＋『有限値を振動する』 のつもりで出題したのかも？
0209１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/11/14(金) 23:40:54.45
ニッコリ賢者の問題の解答納得いく？見落としがあるような気がするんだけど。
0210１３２人目の素数さん
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2014/11/15(土) 01:14:44.76
>>209
まだ読んでない。

エレガントは今月号も簡単な計算問題が１問あるけど、もしかして応募者を増やすための餌かな？
0213１３２人目の素数さん
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2015/01/16(金) 14:50:33.66ID:3HdE3MrW
俺も思ったｗ
そもそもの難易度設定も含めて出題ミスだったと思う
0221１３２人目の素数さん
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2015/04/06(月) 17:46:44.44ID:b+y7z7tP
連投失礼。

問1は(1),(2)ともに条件を探す作業に時間がかかる。
解答自体は長くならない。
エレガント解答がきっとありそうな良問。

問2は(1)はなんとかなる。(2)はかなり大変。
試行錯誤がいらない解答方法は見つからなかった。
0224１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/04/15(水) 12:23:57.80ID:O+9UXSLs
行列は知ってる人には簡単だったってこと？であれば良問って言ったの撤回。
0225１３２人目の素数さん
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2015/04/15(水) 16:16:30.82ID:8SXYOB39
『２次正方行列を、行列の平方和で表す問題』

昔の話で記憶があやふやだったので、検索してみた。
思い出したのが締切後だったので、今回は提出していないが（ﾌﾟｯ）
もしかしたら、この他にもあるかもしれない。情報求む。

2011年6月号 「平方行列」
http://www.tokyo-s.jp/products/d_gekkan/mokuji2/d2011_mokuji/d201106.pdf

2012年1月号 「平方行列の和」
http://www.tokyo-s.jp/products/d_gekkan/mokuji2/d2011_mokuji/d201201.pdf
0226225
垢版 |
2015/04/15(水) 16:28:21.91ID:8SXYOB39
追加
検索したら、大学への数学1999年10月号 「急がば考えろ」 もそうらしいが、古いので持っていない。

さすがに地元図書館には大学への数学のバックナンバーは置いてないし、
出版社のweb販売にも2013年4月号以降しか売られていないから、だれかくれ。
0227１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/04/15(水) 18:34:25.67ID:O+9UXSLs
コラムのタイトルがそのものずばりだね。真相が気になる。
大学への数学から丸々引っ張ってたらがっかりだ。
0229１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/04/15(水) 21:45:07.75ID:h3rJpajd
今月の積分の問題、誰でも思いつきそうなある操作一発で解けるんだけど、
それじゃ駄目なのかな。更にエレガントな方法を探せってことか？
0230１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/04/15(水) 21:51:46.07ID:vIk98pSl
出題ミスだと思うけどどうだろうね
結局出てくる積分値にエレガントな表現も何もないし
0231１３２人目の素数さん
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2015/04/15(水) 21:59:48.20ID:O+9UXSLs
>>229
易しすぎる問題はつまらない。
楽しいと思う人はよっぽどの数学好きでないかと。
思わせぶりなコメントがあってもとっとと答案書いて終わらせて、
エレガントな解答なんぞ追い求めないことにしてる。
それじゃコーナーの趣旨に反するのかもしれんけど。
昨年の『分散はなぜ2乗するのか？』なんて、
問題にすらなってないのもあったな。
あれは数学じゃなくて数学史じゃないかと思った。
0232１３２人目の素数さん
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2015/04/16(木) 00:36:06.69ID:FmV1AzeX
出題ミスに対して、言い訳めいたこと言って逃げたり、
ひどい解答しか用意できていないのに出題して、読者にエレガントな解答を期待したり、
簡単すぎて出題するほどのものでもなかったり、よく知られた有名な問題だったり、…

学力の低さ・プライドのなさ、一言で言えば恥知らずな出題者を嘆きながら読む雑誌になりさがったな。
0233１３２人目の素数さん
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2015/04/16(木) 01:11:07.60ID:FmV1AzeX
>>229-230
とくに考えもなしに置き換えたら、あっさり答えが出た。この問題って何かあるの？
てもとにある微積分の入門書を開いたら殆ど同じ問題があった。
0234１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/04/16(木) 01:12:48.45ID:FmV1AzeX
誰でも出題者になれるのですか？
今までの出題者には、大学の助手～教授、大学院生もいたような、あと予備校講師（安田亨）も出題してたけど…。
0235１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/04/16(木) 01:43:41.14ID:FmV1AzeX
　（ヒント：異なる表現がありますが、エレガントな表現で解答を）

と書かれてあるけど、普通に解いて簡単な答えになって不安になった。
0236１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/04/17(金) 17:40:58.07ID:Vt6J9SXY
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0237１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/04/17(金) 17:49:18.75ID:Vt6J9SXY
Oh..荒らしてしまった。書き直そう・・。

>>232
そんなわけでたまにエレガントな出題があるとうれしくなる。
俺の去年のお気に入りは、
『空間上の5点をどの3点も直角三角形になるように配置することは不可能であることを示せ。』
ってやつ。
問題が1センテンスに収まってて素敵だと思った。
誰でも内容を理解できるし、中学生の知識で解けるというのもすばらしい。
0240１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/04/20(月) 14:03:50.48ID:kaWvGMqs
>>209
> ニッコリ賢者の問題の解答納得いく？見落としがあるような気がするんだけど。
結局この件どうなったの？
俺もこの解答は納得いかなかったのだが、その後もどこが間違いか突きとめられていないんで知ってたら教えて
0241209
垢版 |
2015/04/20(月) 16:42:28.90ID:Ont8+SR5
>>240
誌面が正しいと主張する人間と議論したいんだけど現れないね。
誌面の解答は、

　最初にAがニッコリした時点で"AとBが隣接しない"ことも公知になる。
　（隣接した場合はCの負けが確定するため。）

という点を見落としているように思う。
この点をしっかり考慮するとニッコリの最大回数は9ではなく3になる。

しかしζ氏もM谷氏も正解者として掲載され、自分にまったく自信が持てないｗ
だれか俺を論破してくれ。
0242１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/04/20(月) 19:42:30.77ID:29zkaLXd
>>241
俺は常連というほどではないが、エレガントはよく出している。
けど、あの問題自体が理解できなかったのでパス。
他の賢い読者に聞いてくれい。
0244１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/05/14(木) 21:20:32.74ID:SPBzIohA
今月のエレガントって幼児向けパズル？
だんだん質が落ちてきてるな。
ネタ切れか？
ああ？
0245１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/05/16(土) 15:20:13.61ID:Vp+m9OwM
１問目のブロックを積むヤツは分からん

２問目の２色のハノイの塔は、小学生の頃に自分で考えて紙で作って遊んだことがある
答案書くのが面倒だから今月は送らないな。
0246１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/05/17(日) 03:58:23.03ID:hzdhAjxr
ブロックの問題は、ちょっと変換するととある分野で有名な難問で、
かなり複雑な手順で解く論文は出ている。雑誌の投稿問題にする
レベルじゃねーぞ。

簡単な解法を見つけたら、論文に出しても良いぐらいじゃないか。まあ、
俺は今あの分野から離れているから、最近の動向を知らないけど。
0247１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/05/17(日) 17:30:50.01ID:ccWgSSwx
>>246
> ブロックの問題は、ちょっと変換するととある分野で有名な難問で、
> かなり複雑な手順で解く論文は出ている。雑誌の投稿問題にする
> レベルじゃねーぞ。

出題者にも色々いるからな。
アイディアを拝借するために出題したんじゃないの？
0248１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/05/19(火) 07:37:05.95ID:IYmr6xIO
常連クスコさんの「クスコ」って産婦人科の医師が使うあれのこと？
0251１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/05/19(火) 12:44:10.72ID:NihrnSwu
クスオはいるからクスコがいてもおかしくはないな
0254１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/05/27(水) 11:58:17.08ID:bHmyXh2c
　
お世話になります。
私、責任者の加茂と申します。以後、宜しくお願い致します。
http://www.apamanshop.com/membersite/27009206/images/kamo.jpg
浪速建設様の見解と致しましては、メールによる対応に関しましては
受付しないということで、当初より返信を行っていないようで、今後につい
てもメールや書面での対応は致しかねるというお答えでした。
　
このように現在まで６通のメールを送られたとのことですが、結果一度も
返信がないとう状況になっています。
　
私どものほうでも現在までのメール履歴は随時削除を致しております
ので実際に１１通のメールを頂戴しているか不明なところであります。
　
　　共通覧
　　http://s-at-e.net/scurl/common-list.html
　
　■http://s-at-e.net/scurl/ia-Pos.html
　■http://s-at-e.net/scurl/ia-0074.html
　
　・A　　　http://s-at-e.net/scurl/ia-A.html
　・T　　　http://s-at-e.net/scurl/ia-T.html
　
　　碧　
　　http://s-at-e.net/scurl/Blue.html
　
　〈 http://s-at-e.net/scurl/kenmou-post_id_28.html 〉
　〈 http://atsites.jp/sate/ImaLin/imaitsuwa/imaitsuwa.html 〉
0258１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/06/13(土) 20:04:55.13ID:o9szocgs
第１問の不等式の証明は何とかなりそうな気がする。まだ何にも考えていないがなー。
第２問は、問題を忘れた。
0261１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/06/15(月) 23:30:33.90ID:YoUXMQt6
e^x = Σx^k/k! は使っていいの？
0263１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/06/16(火) 06:10:21.86ID:glavmLLf
電卓は使って良いですか！
0264１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/06/16(火) 06:32:58.13ID:H1/I840P
俺、ウォルフラム先生に説かせて06くらいなので不等式は証明された。で提出したよ！
0265１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/06/17(水) 06:41:12.70ID:xLh+/dXM
格子点の問題て含まれる格子点の最大値をだせばいいってこと？
0266１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/06/17(水) 07:58:46.88ID:z971IoHb
>>265
それ迷うよな。最大値を出すのか、取りうる値全てを見つけるのか。難易度が全然違う。
あと、この手の問題で定番のアレを使っても良いのか。使って良くて最大値だけなら、中学生でも解けるんじゃね？
0267１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/06/17(水) 08:39:01.26ID:hnzm+hKM
ピック？
0268１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/06/20(土) 12:54:24.48ID:l8SREzWS
毎月正解者に名が乗る人は、ある意味偉いな。
俺の場合は解けない問題が多いが、別の意味で無理。

アホみたいに簡単なときは出す気がしなくて、実際出さないからな。
ただの行列のn乗計算とか、和を求める簡単なお仕事とか…
ツマラナイ問題でも面倒くさがらずに提出するクソ真面目さが必要か？
0270１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/07/10(金) 06:24:29.33ID:4t7QBR5p
　　　　　,.::''"´￣｀ヽ､
　　 ,...ｨ'´　 ,　,　,. ,、　ヽ.
　 ,:'　 l .:,':,':./!ｩ'i/ !y._i::..ﾄ.
　,'　.:::}'`ﾚ"'　´ '　　ﾞ'Y!.i.jヽ
　i　.::::i、゛　｀"´　　ー'i!i'｀
　| .:::/ ｀ヽ,　　､_..' _._ﾉ::.!
　ﾚ"　　 .人｀ｰｪr/;';'}ヾﾉ
　　　 ／､::.:ヾ.y'.i　 i.|
　　 /.:.:.:_,.､､:.:ヽj　 !j、
　　i'.:.:.:.:ﾞ､ツ.ソ:ﾞ､ /j:ﾞi

今月こそ、面白い問題が出題されますように
0272１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/07/10(金) 18:08:15.99ID:4t7QBR5p
マジかよ…、そんなんばっかりだな。
線形代数の簡単な演習レベルの出題をして数学用語を間違える工学部の出題者とか
ちゃんと出題問題を吟味してから採用するか決めろよな
0273１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/07/10(金) 23:46:46.04ID:R8u4kXTg
今さらだけど、最新号に解答が載っている点間距離の和の問題は素晴らしいな。

挑戦した人なら分かるけど、一見当たり前のような不等式なのに、絶妙なバランスで
成り立っている。単純な式なのに、全く知られていない。そして正解者は１、２名という
かなりの難問。俺は解けなかったよ。

あとは解法がエレガントかどうか。（職場で読み切れなかった）
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