【数セミ】エレガントな解答をもとむ【2011.2】
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みんなで議論して問題を解きましょう。
ちなみに私は今は問2を解いています。まだ解けてません。 __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
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. | \ ∠イ ,イイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l^,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'\ ー' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l __/ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| (:::::`‐-、__ |::::`、 ヒニニヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| / `‐-、::::::::::`‐-、::::\ /,ニニ、\ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
| |::::::::::::::::::|` -、:::::::,ヘ ̄|'、 ヒニ二、 \
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. | \ ∠イ ,イイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l^,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'\ ー' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l __/ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| (:::::`‐-、__ |::::`、 ヒニニヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| / `‐-、::::::::::`‐-、::::\ /,ニニ、\ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
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. | \ ∠イ ,イイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l^,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'\ ー' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l __/ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| (:::::`‐-、__ |::::`、 ヒニニヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| / `‐-、::::::::::`‐-、::::\ /,ニニ、\ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
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どうやら敷居を下げて読者層を広げようとしているのかな? __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
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| l^,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'\ ー' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l __/ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| (:::::`‐-、__ |::::`、 ヒニニヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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/|\ | ヽ 〈三ヽ /三/| / ! /!ヽ
| l ヽ | ヽ !\ / _| / | ,' / !
| ヘ ! ヽ ( )){ }( )) ,' !_/ / j ジャンケンしようぜ
', ヽ | l トイ`|i|⌒ Y=} ! ', / /
', ヽ!≡ l { ヽ || r‐'リ -i ! ≡ ! /
ヽ ≡ ! | ミ )!!= 彡-ノ_ l ≡ ! ,.'
\ ≡ | ,.-ノ / ! ト、トく `メ、_', = / /
\ ≡ ! /てノしイ_人人ノ、 ヽ /
\― |/ヽ ,イ- 、ヽ / イ´ ̄ ̄ヽ_/
\ ヽ/ l ヽi / ̄`!
 ̄ 〉―く ァ―‐‐j
\ ̄\ / ̄/
/l \ \ / / lヽ
| ヽ ヽ | | / / |
\ ` ‐ヽ ヽ ● ● / / ‐ /
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/\| |/\ 上等だ てめえだけには負ける気がしねぇ
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(,,■) (,,■) (,,■) (,,■)
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(,,■) (,,■) (,,■) 上等だ てめえだけには負ける気がしねぇ
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あと、「パー」の作品をキボンヌ。
使えるキャラは、猿、栗、石臼、蜂、牛糞など「サルコジ合戦」に登場するもの。 __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
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50周年記念のロゴが入ったノート&鉛筆5本が当たった __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
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| l^,人| ` `-' ゝ | このスレ お馬鹿ばかりね。
| ` -'\ ー' 人
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糞しょぼい景品だが、当たると嬉しいものだな e^iπ=-1 であることをエレガントに証明せよ。 __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
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| l^,人| ` `-' ゝ | このスレ 馬と鹿と豚ばかりね。
| ` -'\ ー' 人
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| (:::::`‐-、__ |::::`、 ヒニニヽ、
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( ( ・ω・) ブヒ
しー し─J 描
>アホしかいない
>つまり、増田哲也自身がアホ
>
>しかも増田哲也は性犯罪者であり
>アホの中でも最底辺の者にだけ許される ジ・アホの称号を持っている
>
60代の、クソガキ!
オマエは、ゴミ・クズ・カス・無能・虫けらだから、仕事に就けないんだ!
何度言ったら解るんだ!
__ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
, '´ _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
/ /:::::; -‐''" `ーノ
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| l^,人| ` `-' ゝ | 反応がえらく遅いわね。
| ` -'\ ー' 人
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| (:::::`‐-、__ |::::`、 ヒニニヽ、
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n元ベクトル (a(0,1) a(0,2) ・・・・ a(0,n)) を1つ与える。
これに対して
(n-1)元ベクトル (a(1,1) a(1,2) ・・・・ a(1,n-1))
(n-2)元ベクトル (a(2,1) ・・・・ a(2,n-2))
・・・・・・
k元ベクトル (a(n-k,1) ・・・・・ a(n-k,k))
・・・・・・
2元ベクトル (a(n-2,1) a(n-2,2))
1元ベクトル a(n-1,1)
を漸化式
a(m,k) = -a(m-1,k) -a(m-1,k-1)
で定義する。
最後の数は、初めに与えた成分を使って
a(n-1,1) = {(-1)^(n-1)}Σ[i=1,n] a(0,i)C[n-1,i-1],
と表わせることを示せ。 __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
, '´ _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
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| | | / / レ',二、レ′ ,ィイ|゙/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | \ ∠イ ,イイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l^,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'\ ー' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l __/ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| (:::::`‐-、__ |::::`、 ヒニニヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| / `‐-、::::::::::`‐-、::::\ /,ニニ、\ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
| |::::::::::::::::::|` -、:::::::,ヘ ̄|'、 ヒニ二、 \
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漸化式
a(m,k) = 2a(m-1,k) + 2a(m-1,k-1)
で定義すると、
a(n-1,1) = {2^(n-1)}Σ[i=1,n] a(0,i)C[n-1,i-1],
ですな。
〔問題〕
C[n-1,1] C[n-1,2] ・・・・ C[n-1,n-2] がすべて素数pの倍数となる
ようなn(≧2)を求む。 __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
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| | | / / レ',二、レ′ ,ィイ|゙/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | \ ∠イ ,イイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l^,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'\ ー' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l __/ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| (:::::`‐-、__ |::::`、 ヒニニヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| / `‐-、::::::::::`‐-、::::\ /,ニニ、\ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
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| /:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::O::|::|::::::|:::::::::::::::/ 〔定義〕
次のいずれかを満足する△ABC をナゴヤ三角形と云うらしい。
(1) ∠A = 60゚, ∠B < ∠C.
(2) aa = bb -bc +cc, b<c<2b.
例 (7,5,8) (13,8,15) (19,16,21) (31,24,35) 〔問題〕
(a,b,c) をナゴヤ三角形の3辺とし、 >>162
数列 x[n] を
x[1] = c-b,
x[2] = b,
x[3] = a,
x[n] = {x[n-1]^2 − x[n-2]^2}/x[n-3], (n>3)
によって定める。このとき、
| x[n] | < 2a/√3 を示せ。
フィボナッチスレ − 078-079
casphy - 高校数学 - 不等式2 - 002,006-007 〔定義〕
次のいずれかを満足する△ABCを直角三角形と云うらしい。
(1) ∠A = 90゚, ∠B > ∠C
(2) aa = bb + cc, a>b>c
例 ((cc+1)/2, (cc-1)/2, c) = (5,4,3) (13,12,5)(25,24,7) (41,40,9)
一般に (a,b,c) = (mm+nn, 2mn, mm-nn) 等と書ける。
〔類題〕
(a,b,c)を直角三角形の3辺とし、数列 x[n] を
x[1] = c,
x[2] = b,
x[3] = a,
x[n] = {x[n-1]^2 − x[n-2]^2}/x[n-3], (n>3)
によって定める。このとき、
|x[n]| < a を示せ。 2月号の出題から....
〔問題〕
nは2以上の自然数とする。
環Rのすべての元xについて
x^n = x,
が成り立つとき、次を示せ。
(1) 0以外にベキ零元はない。
ベキ零元: ある自然数m>1 について x^m = 0 となるx
(2) x∈R ならば、x^(n-1) はベキ等である。
(3) aa=-a ならば、Rの任意の元yについて ay=ya.
(4) aがベキ等(aa=a) ならば、Rの任意の元yについて ay=ya. 〔問題〕
nは2以上の偶数とする。
環Rのすべての元xについて
x^n = x,
が成り立つとき、次を示せ。
(6) x∈R ⇒ x+x=0
(7) x∈R ならば、
e、x+x^2+・・・+x^(n-2)、x^(n-1)、x^n+x^(n+1)+・・・・+x^(2n-3)、x^(2n-2)、・・・・
はベキ等である。 環R では
・加減算は普通にできます。
・(a≠0でも)乗法の逆元1/aがあるとは限りません。
・零因子があり得ます。 x+x=0 であっても x=0 とは言えません。
・乗法の交換法則(xy=yx)が成り立つとは限りません。(可換環を除く) >>165
(1) m>0, n-1>0 に対して、k(n-1)+1 > m となるような自然数kが存在する。(← アルキメデスの原理)
ある m>0 に対して x^m = 0 ならば、
x = x^n = x^(2n-1) = ・・・・・ = x^{k(n-1)+1} = (x^m)・x^(自然数) = 0,
(2) {x^(n-1)}^2 = (x^n)x^(n-2) = x・x^(n-2) = x^(n-1),
(3) (ay+aya)^2 = {a(y+ya)}^2 = ay(a+aa)(y+ya) = ay0(y+ya) = 0,
∴ ay+aya = 0,
(ya+aya)^2 = {(y+ay)a}^2 = (y+ay)(a+aa)ya = (y+ay)0ya = 0,
∴ ya+aya = 0,
∴ ay = -(aya) = ya.
(4) (ay-aya)^2 = {a(y-ya)}^2 = ay(a-aa)(y-ya) = ay0(y-ya) = 0,
∴ ay-aya = 0,
(ya-aya)^2 = {(y-ay)a}^2 = (y-ay)(a-aa)ya = (y-ay)0ya = 0,
∴ ya-aya = 0,
∴ ay = aya = ya. * AYAYA はアップフロントグループの登録商標です。(第4995372号) >>166
(6) 結合法則より
xx + (-x)x = {x+(-x)}x = 0x = 0,
(-x)(-x) + (-x)x = (-x){(-x)+x} = (-x)0 = 0,
∴ xx = -{(-x)x} = (-x)(-x),
これを n/2 回乗ずると、 (← nは偶数)
x^n = (-x)^n,
∴ x = -x, (← 題意より)
∴ x+x = 0. 今月の一問目が題意意味不なんだけど、
三角形の板が積める条件は何なの? 〔問題〕
nは2以上の偶数とする。
環Rのすべての元xについて
x^n = x,
が成り立つとき、次を示せ。
(8) n=4 ならば、x+xx はベキ等.
(9) n=6 ならば、x^5 = x^3 = xx,
xx = x.(べき等) >>175
キャスフィーの解答から....
(8)
(x+xx)^2 = xx + (x^3 +x^3) + x^4
= xx + x^4 (6)
= xx + x (題意)
(9) 上と同様にして
0 = (x+xx) - x - xx
= (x+xx)^6 - x^6 - (xx)^6
= (x^4)(xx)^2 + (x^2)(xx)^4 (奇数係数のみ残す)
= (x^6)xx + (x^6)(x^4)
= x^3 + x^5,
x^3 = -(x^5) = x^7 = x(x^6) = x^2,
∴ x^2 = x^3 = x^4 = x^5 = x^6 = x. (ベキ等環) 環Rのすべての元xが、x^n=x (n>1) を満たすとき(nはxに依存することもある)
Rの素イデアルはすべて極大イデアルでつか? >>177
背理法による。
Rの素イデアルであって、極大イデアルで無いものPがあったと仮定する。
P⊂M なる極大イデアルMが存在する。(M−P≠φ)
x ∈M−Pを任意にとると、x^n = x, (n>1)
∴ x・(1 - x^{n-1}) = x - x^n = 0 ∈P.
Pは素イデアルだったから、1 - x^{n-1} ∈P.
∴ 1∈P となり矛盾する。
∴ Rの素イデアルはすべて極大イデアル。(終) 〔問題〕
nは2以上の自然数とする。
環Rのすべての元xについて
x^n = x,
が成り立つとき、次を示せ。
(10) Rは可換環である。
つまり、環Rのすべての元x,yについて xy = yx.
〔参考文献〕
Nathan Jacobson: Annals of Math., 2nd series, 46(4), p.695-707 (1945 Oct.)
"Structure theory of alebraic algebras of bounded degree"
〔環の構造定理〕
(0以外の)ベキ零元をもたない有限環は可換である。 今月の4点の問題、簡単すぎね?
2秒で解けたんだけど、俺何か勘違いしてる? >>180
本当に簡単だったw
「一見当たり前だけど証明は難しい」というのでもなく、
証明も多分一行で済む。 >>180-181
3点の距離について△不等式が成り立つ。
直角凾ノ対して3平方の定理が成り立つ。
平面Pに関して反対側にある2点を結ぶ線分は、平面Pと交わる。
平面Pに関して同じ側にある2点を結ぶ線分は、平面Pと交わらない。
を使ってみる。
(角、ベクトル、内積なんてのは使わない) 線分CDに両端で直交する平面を考えてみるとか
ベクトルABとCDの内積を考えてみるとか >>179
(10)
n=3 のとき、
xx はべき等(2)、よって可換(4)。
xy = (xy)^3 = x(yx)^2 y = ・・・・
= y(xy)^2 x = (yx)^3 = yx,
n=4のとき、x+xx はべき等であり(8)、中心に含まれる(4)。
xy+yx = (x+y)^2 - xx - yy
= {(x+y)^2 + (x+y)} - (xx+x) - (yy+y),
は中心に含まれる。
x(xy+yx) = (xy+yx)x,
xxy = yxx,
x→xx として
(x^4)y = y(x^4)
題意により
xy = yx,
n=6 のとき、
x はべき等(9)、よって可換(4)。 >>179
(10)
n=3のとき、
xx はべき等(2)、よって可換(4)。
xy = (xy)^3 (←題意)
= xy(xy)^2 = x(xy)^2 y
= xx yx yy = xx(y^3)x
= (y^3)(x^3)
= yx, (←題意)
・参考書
数セミ増刊「数学の問題」第(1)集、日本評論社(1977) No.72
数セミ増刊「数学の問題」第(2)集、日本評論社(1978) No.60 (2)
今月の問2、さっぱり意味がわかんねーぞー
と思ったら、やはりみんな分かってないんだなw
http://www1.ezbbs.net/cgi/reply?id=dslender2&dd=19&re=45526 ブリタニアにリア王がいると聞いて船できました。(W.Shakespeare) >>189
〔出題1〕
円分多項式で、{0, ±1} 以外の係数をもつ最低次のものは? >>190
〔定理4.6〕
nが高々2つの奇素因数しか持たないとき、Φ_n(x) の係数は &#8722;1, 0, 1 のいずれかである。
http://jmoss.jp/minefy.pdf >>191
まづはnが3つの奇素数の積のときを考えよう... 8月号の2問目、方針すら浮かばんわ ('A`)ブリッ! (1)も(2)もできたけど、両方とも頑張って計算してくださいねって感じかな
エレガントな解答なんてあるとは思えないが問題の背景は気になる そういや昔、円順列か何か組合せの問題を出題して、その翌月に元ネタの論文書いた人が、
まだ論文が発表されていないから、勝手に載せんなボケってストップがかかったやつ
あの解答はもう掲載されたの? 毎月、楽しみにしている回答者
??代 : ぬるぽ
60代 : ζ氏
80代 : クスコ
誰か面白い名前で常連になってくれよ。 554 自分:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2014/10/22(水) 05:27:24.31
エレガントな解答を求むの計算問題は易しい。
いろんな解法を考える楽しみはあるが、解くだけなら楽勝。最近だと、
6月号のnCrを含むΣ計算、
7月号のf(n+1)-f(n)のΣ計算、
11月号(今月号)の2×2行列のn乗計算
簡単じゃボケ!と怒らずに、6月号のnCrの和なら組合せ論的解釈を考えるとか、
いろいろ楽しみ方はあるが、解答を見ると出題者も分からなかったと書いてあった。
解答者に解法を聞いておいしい汁をすすろうなどというクズ出題者もいるようだが・・・
555 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2014/10/22(水) 12:28:46.18
わはは、図星だ >>202
解なしだよな?「発散しない=収束する」と解釈すると。 >>203
念のため書籍で確認したが、『有限値に収束しない』 場合を 『発散』 と定義しているので、『発散しない』=『有限値に収束』のはず。
出題者は 『発散』=『無限大に発散する』 と考えていて、おそらく 『発散しない』=『有限値に収束する』+『有限値を振動する』 のつもりで出題したのかも? >>202-203
結局、問題文は合ってたの?
エロイ人、だれか確認してクレヨン。 ニッコリ賢者の問題の解答納得いく?見落としがあるような気がするんだけど。 >>209
まだ読んでない。
エレガントは今月号も簡単な計算問題が1問あるけど、もしかして応募者を増やすための餌かな? >>209
問題が理解できなかった時点で俺はダメポ… 俺も思ったw
そもそもの難易度設定も含めて出題ミスだったと思う 罪状
(1) 己の用語の理解不足による出題ミス
(2) 出題難易度のミス 要するに数学科出身じゃないと、用語とかにいい加減なんだろ。
>>205 連投失礼。
問1は(1),(2)ともに条件を探す作業に時間がかかる。
解答自体は長くならない。
エレガント解答がきっとありそうな良問。
問2は(1)はなんとかなる。(2)はかなり大変。
試行錯誤がいらない解答方法は見つからなかった。 問2(1)は20秒で解けたw
(2)はこの辺がネタもとかな。
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1809-02.pdf
問題を縮小することには成功したが、決まった手順は見つけられず。 行列の問題は、大数で矢ヶ部が2回に亘って記事を書いてたな。 行列は知ってる人には簡単だったってこと?であれば良問って言ったの撤回。 追加
検索したら、大学への数学1999年10月号 「急がば考えろ」 もそうらしいが、古いので持っていない。
さすがに地元図書館には大学への数学のバックナンバーは置いてないし、
出版社のweb販売にも2013年4月号以降しか売られていないから、だれかくれ。 コラムのタイトルがそのものずばりだね。真相が気になる。
大学への数学から丸々引っ張ってたらがっかりだ。 >>227
出題者の模範解答が記事どおりだったら笑える。 今月の積分の問題、誰でも思いつきそうなある操作一発で解けるんだけど、
それじゃ駄目なのかな。更にエレガントな方法を探せってことか? ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています