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【数セミ】エレガントな解答をもとむ【2011．2】
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0001１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/01/16(日) 14:03:02
みんなで議論して問題を解きましょう。

ちなみに私は今は問２を解いています。まだ解けてません。
0002１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/01/25(火) 00:42:32
こんなのできたんですね。
私も解いていますが、問題１（２）が難しくて煮詰まっています。
問題２は（たぶんですが）解けました。
0004１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/01/26(水) 01:01:39
問２しかやってないが難しい。
白黒変換の前後で不変なものでかつ数列を決定づけるようなものを見つける
方針でやっているが全然わからん。
しかも悲しいことに最近忙しくて腰を据えて取り組む時間があまりないんだよな。
>>2はどういう流れで解いたの？
0006１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/01/26(水) 11:53:26
あるポイントひとつで解決というパターンゆえ、
流れとか言いづらい。。。
ま、佳　田　真　利。
誰か問１（２）やってる人いないか。
0008１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/01/28(金) 00:15:47
問題１
たくさんの商品を扱うインターネットのお店があります。1件の注文票で、
同一商品を2個以上注文することはできませんが、多種類の商品を同時
に注文することができます。例えば、1件の注文票で1000種類の商品を
それぞれ1個ずつ注文できます。
ある日、お店で注文票を集計したところ、どの商品の注文も3件以下である
ことがわかりました。ところで、ある事情によりこの日から各商品価格の
10円未満の部分を切り上げ、または、切り下げて、価格を設定し直すことに
なりました。（例えば123円だった商品は120円か130円に変更される。）
お店では、すべての商品の価格を上手に設定し直すことで、すでに受け付け
ているどの注文票についても、その注文票の合計金額が価格の変更前後で
あまり変化しないように試みました。では、問題です。解答はどちらか片方
のみでも構いません。
（１）どのように価格を設定し直しても、ある注文票については、その注文
票の合計金額が15円以上変化してしまうような例をあげてください。
（２）どんな場合でも、うまく価格を設定し直せば、すべての注文票につい
て、各注文票の合計金額の変化が30円以内に収められることを示してください。

ふう・・・疲れた。
0009１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/01/28(金) 12:08:05
問題１（２）は帰納法で構成できるのか。はたまた全く別のアプローチか。
0010１３２人目の素数さん
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2011/01/29(土) 00:14:19
問題１は何の単元でちゅか？
0012１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/01/30(日) 15:01:07
エレガントじゃないな解答しか届かなかった場合はどうしてるんだろう

って書きたかった
0013１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/01/30(日) 15:33:20
出題者が用意した解答を紹介する。
昔はほんとに難しい問題が出題されることもあって、そんなことがたまにあったよ。
0014１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/01/30(日) 15:44:56
ノートに書き留めてあった昔の問題を一つ。確か秋山仁の出題で、正解者が一人
いたか、いなかったかだったと思う。

平面上にn角形（凸とは限らない）の形をした図形（例えば、刑務所とみなすことが
できる）がある。平面上の適切な位置に何台かの監視カメラを設置し、刑務所の
内部と外部の両方を監視したい。ただし、カメラの監視できる範囲を次のように定める。
(1)壁に設置されたカメラは壁の内側も監視できる。
(2)カメラの視線は遮る壁がない限り、その位置を中心として360°の範囲を監視できる。
さた、刑務所の形がどんな形をしたn角形であろうとも、平面全体を監視するために、
高々[(n+2)/2]台のカメラを適切な位置に設置しさえすれば十分であることを証明せよ。
0015１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/01/30(日) 17:19:31
実際、エレガントな解答なんてそうそう出ない・・・。
ただ、ごくごくたまに浮かんで、それが忘れられない喜びになるっていう・・・。
0016１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/01/30(日) 18:51:17
頂点も壁に含まれて、頂点に設置した場合も内外ともに監視できるわけですか
0018１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/01/31(月) 03:17:26
凸ｎ角形なら一つの頂点に設置すれば内部全体と
その頂点からでる２本の辺の延長方向までは監視可能だから
１つおきの頂点に設置すればよい

、というところまでは簡単に示せるとして。

凹部分を持つ多角形をどう分類するかなのかな。
まずは凹ｎ角形を内部に包括するような凸ｍ角形（ｍ＜ｎ）を
ｍを最小にするようにとるんだろうけど…
0020１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/02/16(水) 22:55:39
12月号 出題２の拡張でつ。

〔問題〕
すべての自然数n, Nについて、次の不等式を示してくださいです。

　Σ[k_1+k_2+････+k_N=n] 1/{[(N-1)k_1 +1][(N-1)k_2 +1]････[(N-1)k_N +1]} ≦ 1,

ここに Σ[････] は、条件を満たすすべての非負整数の組（k_1,k_2,･････,k_N）につい
ての和を意味します。(ζ氏による)
0021１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/02/16(水) 23:10:50
>>20

(略証)
N=1 または n=1 のときは 1 となり、等号が成立。

N>1 のとき
べき級数gを
　g(x) = Σ[k=0,∞) 1/[(N-1)k +1] x^k,
とおくと、問題の式は、g(x)^N および 1/(1-x) の x^n の係数である。
そこで、G(x) = (1-x)^(-1/N) のマクローリン展開を
　Σ[k=0,∞) ζ_k･x^k,
とおく。逐次微分により、
　ζ_0 = 1,
　ζ_1 = 1/N,
　ζ_k / ζ_(k-1) = [N･(k-1)+1]/(Nk) > [(N-1)(k-1)+1]/[(N-1)k+1],　(k>1)
∴　[(N-1)k +1]ζ_k > [(N-1)(k-1)+1]ζ_(k-1) > ･････ > Nζ_1 = ζ_0 = 1,
∴　1/[(N-1)k +1] <ζ_k,
∴　(左辺) = Σ[････] 1/{[(N-1)k_1 +1][(N-1)k_2 +1]･････[(N-1)k_N +1]}
　　< Σ[････] ζ_(k_1)･ζ_(k_2)･････ζ_(k_N) = 1,　(終)
ぬるぽ
0022１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/03/14(月) 01:22:12.66
>>21
　g(x) = (1/x)^{1/(N-1)}･∫[0, x] (1-t)^(-1)･t^{-1 +1/(N-1)}･dt／(N-1)
　　　 = (1/x)^{1/(N-1)}･∫[0, x^{1/(N-1)}] 1/{1 - u^(N-1)} du,
0024１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/05/14(土) 20:25:50.12
6月号の問題そのものではないでしょ。
関連はありありだけど。
3月号あたりで今井先生が出した問題。
0025１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/05/24(火) 06:50:02.32
ああ、同じ出題者なのか。
今月の問題は解けたけど、算額の問題との関連がよくわからん。
0026１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/05/25(水) 00:04:41.20
今月の問題の行列式＝算額の問題の行列式
0027１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/05/25(水) 12:40:54.35
それはわかってるけど、例えば今月の問題の結果を利用すれば
算額の問題が簡単に解けたりするのかなあと。
0028１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/05/25(水) 15:40:28.84
原理的には言えるはずだけど、説明しづらいね。
ってか、今月の問題は容易ではない（と思う）があなたすごいね。
0031１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/05/26(木) 15:45:27.04
コンピューターで傾向つかんでも、証明にはならないから、
そこから、数学的にアプローチしたわけでしょ？
それができているならすごいですね！
わたくしは・・・あるものを拝借しまして（詳しくは言えませんが！）落城。
0034あんでぃは非存在 ◆AdkZFxa49I
垢版 |
2011/06/06(月) 12:56:42.23
あんでぃ
0036あんでぃは非存在 ◆AdkZFxa49I
垢版 |
2011/06/06(月) 13:26:22.17
なるほど。

あんでぃ
0038あんでぃは非存在 ◆AdkZFxa49I
垢版 |
2011/06/06(月) 15:01:02.44
なるほど。

あんでぃ
0042１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/07/06(水) 00:09:01.92
確かにwww
0045１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/07/07(木) 13:30:15.99
いるぞ。
0046１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/07/12(火) 00:34:36.18
発売日age
0047１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/07/12(火) 00:58:47.52
まじか！
いま見たら、バックナンバー1981.10号段階で
ζ氏いるぞ。段ボール開いたらどないなこと
になるやら。
0048１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/07/12(火) 02:51:14.99
>>47
物持ちいいな。家狭いから雑誌類はほとんど捨てたよ。当時は自炊なんて無理だったからな。
0050１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/07/15(金) 01:15:05.28
>>48
久々に本屋にいってみるか｡｡。と想う。
>エレガントな解答をもとむ
>　　出題…竹内郁雄・山田修司
>　　解答…一松信・萩田真理子
ぐはぁ、、、一松信がおるがな(><)

>数セミブック・プラザ
>　　『フィボナッチ』『不思議な数列フィボナッチの秘密』…中村 滋
>　　『ベッドルームで群論を』…増田 哲

増田 哲…意味深な方？単に名前が似た方ですかね。
0051１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/07/17(日) 16:06:55.13
今月の1番、難しいですね。正解者が少なくなりそうです。
0052１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/07/17(日) 21:43:09.65
このままだと数セミは休刊、もしくは廃刊か？
寂しくなるな。
0055１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/07/23(土) 16:38:20.94
今月問題１・・・アプローチのしようが・・・
0056１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/07/23(土) 20:26:11.45
なるほど！ぬはははは
0057１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/07/23(土) 23:37:49.27
5月号 出題1（解説 8月号）の参考文献

・数セミ、46巻 9号、通巻552 の記事 (2007/09)
・東大入試作問者スレ１４　244,262 (2008/03/末)
・不等式スレ３　306〜308,311 （2008/03/末)
0058１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/07/23(土) 23:53:09.99
終わったやつ言ってもしょーがないじゃん。
0059１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/07/24(日) 03:25:13.51
>>57

〔補題〕
　A1, A2, ････ ,An と 点P について
(1)　Σ[k=1,n] (P Ak)^2 = n(P G)^2 + Σ[k=1,n] (G Ak)^2
(2)　Σ[k=1,n] (P Ak)^2 = n(P G)^2 + (1/n)Σ[1≦i<j≦n] (Ai Aj)^2,
　　　　ここに、G は A1, A2, ･････, An の重心。

(略証)
(1)　左辺に　↑PAk = ↑PG + ↑GAk, を代入し
　Σ[k=1,n] ↑GAk = ↑O,
を使う。
(2)　P = A1, A2, ･････,An とおいて たす。
0060１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/07/24(日) 03:37:56.52
>>59

　A1,A2, ･････, An が円周上にあるとき（外接円）
　Pを外心Oとすると、
　n^2･R^2 = n^2 (O G)^2 + Σ[1≦i<j≦n] (Ai Aj)^2,
0064１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/11/19(土) 17:01:38.19
電波テロ装置の戦争(始)
エンジニアと参加願います公安はサリンオウム信者の子供を40歳まで社会から隔離している
オウム信者が地方で現在も潜伏している
それは新興宗教を配下としている公安の仕事だ
発案で盗聴器を開発したら霊魂が寄って呼ぶ来た
<電波憑依>
スピリチャル全否定なら江原三輪氏、高橋佳子大川隆法氏は、幻聴で強制入院矛盾する日本宗教と精神科
<コードレス盗聴>
2004既に国民20%被害250〜700台数中国工作員3〜7000万円2005ソウルコピー2010ソウルイン医者アカギ絡む<盗聴証拠>
今年５月に日本の警視庁防課は被害者SDカード15分を保持した有る国民に出せ!!<創価幹部>
キタオカ1962年東北生は二十代で2人の女性をレイプ殺害して入信した創価本尊はこれだけで潰せる<<<韓国工作員鸛<<<創価公明党 <テロ装置>>東芝部品)>>ヤクザ<宗教<同和<<公安<<魂複<<官憲>日本終Googl検索
0065１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/11/19(土) 17:02:46.23
魂は幾何学

誰か(アメリカ)気づいた
ソウルコピー機器
無差別で猥褻、日本は危険知ったかブッタの日本人
失敗作


テロ資料を忘れずに
0066１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/11/20(日) 12:33:46.48
エレガントな仲間６　から

〔問題２〕
a_n = (1 + 1/n)^n,　b_n = (1 + 1/n)^(n+1),　(nは正の整数)
とおくとき、nが増加すると a_n は増加し、b_n は減少することを
證明せよ。（2011年秋の數學檢定１級2次[2]の一部）


a_n の増加については、古典的な二項展開による比較で証明でき、…
　a_n = (1 + 1/n)^n
　　　= 1 + Σ[k=1,n] Ｃ[n,k]/(n^k)
　　　= 1 + Σ[k=1,n] (1-1/n)(1-2/n)･････{1-(k-1)/n}/k!
　（∵ 各項がnについて単調増加で、新たな項も加わるから）

同じ方法を b_n に適用すると難しい。さて、どうするか...
0067１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/11/20(日) 12:37:23.20
>>66

二項定理により
　{(n^2)/(n^2 -1)}^(n+1) = {1 + 1/(n^2 -1)}^(n+1) > 1 + 1/(n-1) = n/(n-1),
∴　{n/(n-1)}^n > {(n+1)/n}^(n+1),
∴　b_(n-1) > b_n,
0068１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/11/20(日) 12:49:50.18
>>66
a_n と b_n の相乗平均（g_n）について

〔類題〕
g_n = (1 + 1/n)^(n + 1/2),　(nは正の整数)
とおくとき、nが増加すると g_n は減少することを證明せよ。
0069１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/11/20(日) 13:16:27.49
>>68

二項定理より
　{(n^2)/(n^2 -1)}^(2n+1) = {1 + 1/(n^2 -1)}^(2n+1)
　　　> Σ[k=0,3] C[2n+1,k]/(n^2 -1)^k
　　　= 1 + (2n+1)/(n^2 -1) + (2n+1)n/(n^2 -1)^2 + (2n+1)n(2n-1)/{3(n^2 -1)^3}
　　　= 1 + (2n+1)/(n^2 -1) + (2n+1)n/(n^2 -1)^2 + n/(n^2 -1)^2 　(← *)
　　　= 1 + 2/(n-1) + 1/(n-1)^2
　　　= {1 + 1/(n-1)}^2
　　　= {n/(n-1)}^2,
∴　{n/(n-1)}^(2n-1) > {(n+1)/n}^(2n+1),
∴　g_(n-1) > g_n,

　*　(2n+1)(2n-1) = 4n^2 -1 > 3(n^2 -1),
0070１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/11/20(日) 13:37:58.03
>>66

エレガントな解答の中に、n-1 個の１と1個の x^n の相加相乗平均
　{x^n + (n-1)}/n ≧ x,
が現われる。
これは差を因数分解して
　x^n -nx + (n-1)
　= (x-1){x^(n-1) + x^(n-2) + …… + x - (n-1)}
　= (x-1)Σ[k=1,n-1] (x^k - 1)
　≧ 0,　　　(x > -1)
とすれば出る。連投ｽﾏｿ.
0073１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/12/23(金) 20:06:42.68
>>72
その次は

　log(g_n) = (n +1/2)･log(1 +1/n)
　　　= 1 + Σ[k=1,∞) 1／{(2k+1)(2n+1)^2k}　　（←ﾏｸﾛｰﾘﾝ）
　　　= 1 + 1/{12(n +1/2)^2} + 1/{80(n +1/2)^4} + 1/{448(n +1/2)^6} + …
　　　= 1 +δ -(6/5)δ^2 +(72/35)δ^3 -(144/35)δ^4 + …
よって
　g_n = {1 + δ -(7/10)δ^2 +(43/42)δ^3 -(7961/4200)δ^4 + …}e,
ここに、δ=1/[12n(n+1)],
0074１３２人目の素数さん
垢版 |
2012/02/07(火) 10:55:35.24
　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/
0077１３２人目の素数さん
垢版 |
2012/02/19(日) 16:45:03.30
>>75

b_n = a_n *(1+1/n)

a_n は増加かつ1+1/n>1なので
b_n は増加です。

ちなみに両方とも極限値はeですね

簡単すぎる。

>>76は馬鹿だからわからないんです。
0078１３２人目の素数さん
垢版 |
2012/02/19(日) 17:03:47.73
>>77
恥ずかしいぞ、坊や
比較するべきは、b_nとb_{n+1}なんだぜ

晒し上げておこう
0079１３２人目の素数さん
垢版 |
2012/02/19(日) 17:06:45.06
>>77
> b_n = a_n *(1+1/n)
> a_n は増加かつ1+1/n>1なので b_n は増加です。

それのどこがb_nが単調増加であることの証明になっているのですか？
0080１３２人目の素数さん
垢版 |
2012/02/19(日) 17:08:18.77
　　 　　,ィ´￣￣￣｀`ヽ
　 　 /:::::::::::::::::::::::::::::::::::＼
　　厶 -…ー─‐--､:::::::::::|
∠＿__,ィ´￣￣￣｀ヽ､＼＿}
　　　|　<●） /、（●>、 |||| 　　　>77 俺っちの鼻糞でも食うか?
　　　|　　,,　<、_,> ヽ、, 　 |
. 　　 | 　　ｍj |＝‐ｧ'　 .::::|
　 　　＼,〈＿_ﾉﾆﾆ´　.:::／
　　　／ノ　　ﾉ |||/一´＼
0082１３２人目の素数さん
垢版 |
2012/02/19(日) 23:46:54.74
香ばしいな
0083１３２人目の素数さん
垢版 |
2012/02/20(月) 00:46:13.14
？
0084１３２人目の素数さん
垢版 |
2012/02/20(月) 11:28:04.23

0086１３２人目の素数さん
垢版 |
2012/02/20(月) 20:42:17.62
わろた
0092１３２人目の素数さん
垢版 |
2012/02/21(火) 17:30:52.23
>>77 必死だな
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0096１３２人目の素数さん
垢版 |
2012/02/22(水) 10:53:56.92
ヒントもらって解けないと恥ずかしいから沈黙ですか？

馬鹿ほど態度がでかいんだよね。
0098１３２人目の素数さん
垢版 |
2012/02/23(木) 02:19:22.78
約束どおりヒントをやるよ。

log(a_n),log(b_n)について増加、減少を調べれば馬鹿でも解けるよ。

お前らには無理だがな。
0099１３２人目の素数さん
垢版 |
2012/02/23(木) 09:26:45.51
正体不明の相手に向かって、「お前は俺より下」の類の言を言い放てるのは、全知全能の神だけ。
それ以外の者が発すれば、「私は論理バカです」と言っているのと同じ。
0100１３２人目の素数さん
垢版 |
2012/02/23(木) 11:11:26.89
>>99
ヒントを見ても解けないんですね

あなたは、全知全能の神が判断するまでもなく馬鹿です。

わかります。
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