鉛ありだと350℃は少し高めかな?

でもそれ以上にコテ先の状態は悪いようなきがします。
先端がはんだで濡れる状態になっているでしょうか。
対象に当てたとき、コテ先本体より先に、その濡れたはんだが当たるような
状態になっているでしょうか。
コテ先はなんという型式(あるいは形状)でしょうか。
コテ先を対象に当てて間をおいた時点でハンダを当てがえば、自然にハンダが
ながれるのが良い状態たと思います。