理由がわかりました

データシート見るとJ3はショートさせてR9は抵抗を挟んでねとありますが、
ショートさせることなく抵抗入れることなくバックライトが点灯します
おそらく基板の使用が変わって導通してるから抵抗入れる意味がないものと思われます
画像あげますが表側にAとKで半田付けされてる怪しい部分がありますが、以前はなかったのではないでしょうか？
自分はあるものしかないです
もし古いやつあれば教えてください
http://imepic.jp/iXvKYdVT

なのでSC1602の手前で抵抗を入れなきゃ意味なく最大電流流れて発熱だと思います
同じ回路でバックライトないやつなら発熱しませんので