銀そのものを1200℃以上で溶融させて使う工程ならともかく
はんだごての300℃程度じゃ銀は蒸発せんよ

むしろ銀入りはんだした部分をドリルとかヤスリで削って出た粉塵を吸い込む方がよっぽど危険

いちおう、銀の安全性にかかわる情報おいておきますね
ttp://www.safe.nite.go.jp/ghs/06-imcg-0106.html