>>714
テイラー展開

f(x)=∑k=0∞f(k)(0)k!xk


f(x)=(x+a)nとおきましょう。このf(x)をテイラー展開するため、微分していきます。

f′(x)f′′(x)f′′′(x)f(k)(x)=n(x+a)n－1=n(n－1)(x+a)n－2=n(n－1)(n－2)(x+a)n－3⋮=n(n－1)(n－2)⋯(n－k+1)(x+a)n－k⋮


と続いていきます。これからk>nの時はf(k)(x)=0が分かるので、テイラー展開も第n項までで展開が完了します。

よってk≤nのとき、

f(k)(0)=n(n－1)(n－2)⋯(n－k+1)an－k=n!(n－k)!an－k


となり、f(x)のテイラー展開は、

f(x)=∑k=0nf(k)(0)k!xk=∑k=0nn!k!(n－k)!an－kxk=∑k=0nnCkan－kxk


が分かります。(a+b)n=f(b)ですから、これにx=bを代入することで、

(a+b)n=f(b)=∑k=0nnCkan－kan－kbk