ゲートにチャージ/ディスチャージ電流が(大きいMOS-FETならどかん)と流れること
ゲートにリーク電流が流れること
このことをもって「ゲートに直流電流が流れる」と言うか、というと微妙ではあります。

コンデンサに直流電流が流れるか、と問われれば>>756さん的には「流れる」なのですかね。

そこを「直流電流は流れない」と表現しても俺は十分許容表現だと思います。