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純粋・応用数学(含むガロア理論)10

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1132人目の素数さん
垢版 |
2022/03/06(日) 10:33:12.21ID:1uP7mIdZ
クレレ誌:
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%83%AC%E8%AA%8C
クレレ誌はアカデミーの紀要ではない最初の主要な数学学術誌の一つである(Neuenschwander 1994, p. 1533)。ニールス・アーベル、ゲオルク・カントール、ゴットホルト・アイゼンシュタインらの研究を含む著名な論文を掲載してきた。
(引用終り)

そこで
現代の純粋・応用数学(含むガロア理論)を目指して
新スレを立てる(^^;

<前スレ>
純粋・応用数学(含むガロア理論)9
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1623019011/
<関連姉妹スレ>
ガロア第一論文及びその関連の資料スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/1-
箱入り無数目を語る部屋
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 65
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1644632425/
IUTを読むための用語集資料スレ2
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1606813903/
現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/

<過去スレの関連(含むガロア理論)>
・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む84
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582200067/
・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む83
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/
2022/04/13(水) 13:27:20.63ID:MYB/2eLz
>>421
>雪江明彦 代数学3 第3章「付値と完備化」では、ある条件下で、
>profinite 完備化と 非アルキメデス付値による完備化とが同値だとある
>また、同 3.2「完備化の平坦性」で、ネーター局所環なら 平坦になる という
>なお、Z^(1)と Z^(下記 Profinite integer)とで、
>前者 Z^(1)には 1のn乗根は 射影の成分として入っているので
>射影として取り出すことができるが
>後者のZ^(下記 Profinite integer)は、そうではない
>という違いがある

これは、zpZHdgrfの文章ですね?

特に
「Z^(1)には 1のn乗根は 射影の成分として入っているので
 射影として取り出すことができる」
のところですが2点疑問があります

1.「射影として取り出す」とは数学的にいかなる意味か?
2.Z^(1)のある元から1のn乗根への写像があるから
  Z^(1)は1のn乗根を元としてもつ、という主張なら
  なぜそういえるのか? 証明を示せるか?

無理じゃないですか?
初歩レベルで誤ってませんか?
2022/04/13(水) 15:48:17.92ID:MYB/2eLz
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1644632425/274
および >>421
>「Z^(1)には 1のn乗根は 射影の成分として入っているので
> 射影として取り出すことができる」

>>422
>「射影として取り出す」とは数学的にいかなる意味か?

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1644632425/283
>それは、下記の「射影 (集合論)」の”射影”ですけど
>なんか、おかしいですか?
>射影 (集合論)
>数学の集合論における射影(しゃえい、英: projection)
>あるいは射影写像、特に標準射影は
>順序組に対してその一つの成分を対応させる写像である。

「(1のn乗根に)射影できる」ならいいですが
それは自明なのでわざわざ主張するのは全く無意味です。

Z^(1)の中から、1のn乗根を「射影によって取り出せる」
という意味ですか?。

もしそうなら初歩レベルの誤りです。
2022/04/13(水) 16:50:13.21ID:MYB/2eLz
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1644632425/286
>なんか、誤魔化そうとしているね
>あなたこそ、>>422の質問のときに考えていた
>貴方の”射影”の定義を書いてよ

必死で誤魔化そうとしてますね

そもそも >>421
「1のn乗根は 射影として取り出すことができる」
のポイントは「射影」の定義ではなく
射影でどうやって1のn乗根を「Z^(1)の元として」
取り出せるのか、というところです

射影の意味があなたが引用した>>423の通りであるなら
1のn乗根をZ^(1)の元として取り出すことはできません

あなたが初歩レベルで誤っているのは、ずばりそこです

ベクトルから数への射影ができるからといって
射影された数が、ベクトル空間の元だと
いえるわけではありません

そんなことがいえると思ってるなら
線型代数が全然分かってないから
大学1年からやり直したほうがいいです

ただし大学の理系学部に入ったことがあるなら
という前提条件の上ですが
2022/04/13(水) 18:31:51.20ID:MYB/2eLz
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1644632425/289
>>1.「射影として取り出す」とは数学的にいかなる意味か?
>問1 は、”「射影として取り出す」とは数学的にいかなる意味か?”で、
>同じ定義に立脚するなら、無意味な問いでしょ?

そもそも、その場合 
「Z^(1)には 1のn乗根は 射影として取り出すことができる」
が自明で無意味ですけどね

>>2.Z^(1)のある元から1のn乗根への写像があるから
>>  Z^(1)は1のn乗根を元としてもつ、という主張なら
>>  なぜそういえるのか? 証明を示せるか?”
>問2 は、明らかな暴走でしょ?
>私の意図は、明らかに、集合論の成分への標準射影、
>つまり デカルト積からそのj番目の成分を取り出す話で

そういう主旨なら自明なことでわざわざ書く必要すらないですけどね

>貴方は、全く別の”射影”の解釈をしているとしか、思えないですね?

いや、私は全く別の解釈などしていませんよ

むしろ、射影の定義からから、1のn乗根を
「Z^(1)の元として」取り出せると思ってるなら
あなたがZ^(1)を全く理解してない
初歩的レベルで誤解している、といってるわけです

そしてそのことに対して何もコメントしないのは
以下の通りだと思ってます
あっ、弁解しなくていいですよ 見苦しいだけだから

「私が指摘したことが図星であって、
 しかも反論の余地もないが
 自分が初歩的レベルで間違った
 と認めたくないので無視している」
426132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/13(水) 20:53:28.04ID:zpZHdgrf
>>425
ご苦労さん
まあ、まず 下記でも見て、頭を冷やしてください

1.いつものwikipedia、「この射影極限 A は(I の各 i に対して直積の i-成分を取り出すという)自然な射影 πi: A → Ai を備えている」 ここ百回音読してくださいね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E6%A5%B5%E9%99%90
射影極限
厳密な定義
代数系の射影極限
逆極限(射影極限)は Ai たちの直積の特定の部分群
A=lim←i∈I Ai
として定義される。この射影極限 A は(I の各 i に対して直積の i-成分を取り出すという)自然な射影 πi: A → Ai を備えている。射影極限と自然な射影は、次節に述べる普遍性を満足する。

2.あと、本格派の千葉大 松田茂樹です。上記の補足です
https://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~matsu/math/
https://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~matsu/math/limit.pdf
極限 (2012〜)千葉大の4年生、院生向けの極限の紹介文 千葉大学大学院理学研究科 松田茂樹
2.3 ポセット上の逆極限, 順極限 . . . . . . 5

3.さらに補足。龍孫江氏、具体例あるよ
http://blog.livedoor.jp/ron1827-algebras/archives/77100977.html
龍孫江の数学日誌
ある射影極限の計算
2018年09月29日
定義 2 (射影極限).
射影極限といい, lim←-n Mn
と表す

4.動画解説 (30分もの。余談ですが、この5分30秒くらいで雪江の代数学2と3の紹介がある。1持ってないって、私と同じですね(w苦笑) この人京大かな)
https://www.youtube.com/watch?v=jNV9ztHzI4s
逆極限(射影極限)の定義 2022/03/15
MakkyoExists 数学チャンネル
チャンネル登録者数 916人

イデアル類群
大雑把なイメージを掴むことができて学習のモチベーションになりました.ありがとうございました.
427132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/13(水) 23:53:26.86ID:Rc89kUiv
このひとどのスレでも他人の文章を理解しないままコピペして
内容理解を前提にツッコミを入れられても答えられず
コピペを貼り続けるだけの無能者だよな

14年ほど前この人が実名で、
信頼できる英語論文の紹介と称して
論文の図面だけ取り出して論文内容と全く関係ない話を書いているのを見た時は
きっと一時的な精神錯乱とか一時的なメンタル障害で支離滅裂なことをしているだけで本来は正常なのかと勘違いしたけど
結局14年間一度も正気に戻ることなく毎日支離滅裂な妄想を書き続ける真性の精神障害者なんだよな

匿名掲示板はその種の精神障害教員の墓場だ
428132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/14(木) 00:01:06.37ID:et34I9zg
>>427
なんだ、また天羽優子の話かよ
人違いだよ!

今後繰り返すなら
運営板に荒しとして、通報するよ
429132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/14(木) 00:17:04.42ID:SVJdB1cy
>>428
どっからその名前が毎回出てくるんだよ

無名人の名前を唐突に出すのは本人だけだ
430132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/14(木) 00:21:35.86ID:vwgj7rHx
本人にしか判らない当て擦りをすると
自分の身元を自分で書いてしまう自爆癖があるから
身元判定が物凄く楽だね

匿名掲示板なんて意味不明な妄想書き込みが一定割合あるからスルーするのが普通なのに
それがスルーできずに興奮して反応するのは当事者だけなんだよね
まあノーマルな人は当事者でも反応しないか(笑
2022/04/14(木) 05:13:25.97ID:lom5rF+U
バカモン別人じゃろ
2022/04/14(木) 17:06:08.54ID:73EXi+FU
>>426 追加
Z^ ゼットハットないしはズィーハットについて、松田茂樹先生の詳しい説明があるので
抜粋して貼る。文字化けあるので、原文見て下さい。
図解が良い!分かり易い!
(長文ご容赦)

https://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~matsu/math/
https://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~matsu/math/limit.pdf
極限 (2012〜)千葉大の4年生、院生向けの極限の紹介文 千葉大学大学院理学研究科 松田茂樹
2.3 ポセット上の逆極限, 順極限 . . . . . . 5
P2
(1.1.5).
極限によって,「無限」的なもの, 例えば有限生成でない加群や, 完備な群や環などを扱う極め
て有効な手段が手に入ることになる。

P7
(2.3.8) 命題. 集合の圏 C = (Set) においては, 任意の逆系に対し逆極限が存在する。実際, (Xλ, φλμ) をポセット Λ 上の逆系とするとき,
(2.3.8.1) lim←-Xλ =((xλ)λ ∈Yλ∈ΛXλ|λ ≦ μ なら φμλ(xλ) = xμ)
とし, また lim←-Xλ →QXλ → Xλ なる合成写像を φλ とすると, (lim←-Xλ, φλ) は逆極限の普遍性を満たす。
(証明). 定義から (2.3.1) の (1) の条件を満たすことは明らかである。集合 Y と fλ : Y → Xλ を (2.3.1) の
(2) のような条件を満たすものとする。これに対し, f : Y → lim←-Xλ を f(y) = (fλ(y)) と定めれば, 次の図式
は可換であるし, 逆にそうなるためには f(y) を上のように定義するしかない。

よって逆極限の普遍性が成立する。

P8
(2.3.10) 補足. 極限の話ではもちろんその普遍性が重要ではあるが, 一方で集合の圏では (2.3.8.1) の形で逆
極限が構成されることは, 極限のイメージをつかむ上でも実際の計算の上でも重要である。実際には環の圏,
加群の圏, 位相環, 位相群の圏などでも全く同様に逆極限が構成される。(2.3.12) や, (2.4.17), (2.4.11) などを
参照。従って, このような圏の場合の逆極限しか扱わない場合は, (2.3.8.1) (に適切な代数構造や位相を入れた
もの) を逆極限の定義としていることも多い。

つづく
2022/04/14(木) 17:06:41.17ID:73EXi+FU
>>432
つづき

P9
(2.3.12) 命題. A を可換環, C が A 加群の圏 (A-Mod) の場合を考える。

P10
(2.4.7). 次に数論において非常に良く使われる Zb および p 進整数環 Zp について少し詳しめに説明する。ま
ず位相群や位相環についての説明から始める。
(2.4.8) . G が位相群 (topological group) とは, 群であって位相空間でもあり, かつ演算 G × G →G ; (x, y) → xy および逆元を取る写像 G → G, ; x → x^-1 が連続写像であるものを言う。(G × G には積位
相を入れる。) また, 位相群を対象とし, 連続準同型を射とする圏を位相群の圏という。

P11
G を位相群, e を単位元とするとき, x ∈ G
に対し, U が e の開近傍であることと, 同相写像 λx : G → G ; y → xy による U の像 xU が x の開近傍であ
ることとが同値なので, 位相は単位元の近傍から決まる。
(2.4.9). この文章では環と言えば積についての単位元を持つものとする。A が位相環 (topological ring)
とは, 環であって位相空間でもあり, かつ加法 A × A → A ; (a, b) → a + b と積 A × A → A ; (a, b) → ab が
ともに連続写像であるものを言う。位相環を対象とし, 連続準同型を射とする圏を位相環の圏という。ここで
は (TopRng) と書くことにする。位相群の場合と同様, 位相環の位相は 0 の近傍から決まる。

(2.4.10) 補足. A の単数群, つまり可逆元全体のなす群 A× は A の部分空間としての位相を入れると必ずし
も位相群にならない。これは A× → A× ; x → x^-1 が必ずしも連続ではないことによる。

(2.4.11) 例 (Zb). 自然数の集合 N に n | m なる関係で順序関係を入れ, ポセットとみなす。位相環の圏
(TopRng) における N 上の逆系 (Z/nZ)n を考える。ただし n | m のとき, φnm : Z/mZ → Z/nZ は a ∈ Z の
Z/nZ への像を [a]n と書くなら φnm([a]m) = [a]n で定義する。これは n | m より well-defined である。逆系
のイメージは次の通り。
(この図はたいへん分かり易く面白いが、5chの板には描けないので直接みること)

つづく
2022/04/14(木) 17:08:29.96ID:73EXi+FU
>>433
つづき

ただし, Z/nZ には離散位相を入れる。この逆極限は,
lim←-Z/nZ ={n(xn) ∈Yn∈NZ/nZn | m なら φnm(xm) = xn}
および lim←-Z/nZ →ΠZ/nZ と各 n に対する射影 pn :ΠZ/nZ → Z/nZ の合成 φn の組 (lim←-Z/nZ, φn) と
して構成できる。なお φnm(xm) = xn なる条件は xm ≡ xn (mod n) とも書ける。逆極限を上の組と同一視
すると, その要素は
(この図はたいへん分かり易く面白いが、5chの板には描けないので直接みること)
のような xn の系列 (xn) のことだと思える。この場合自然な射 φn : lim←-Z/nZ → Z/nZ は x = (xn) ∈lim←-Z/nZ に対し, φn(x) = xn となるものである。こうして定まる逆極限を
(2.4.11.1) Z^ := lim←-Z/nZ
と書き, ゼットハットないしはズィーハットと呼ぶ。この位相環は古くは Prufer (プリュファー) 環と呼ばれ
ており, 数論では様々な場面に現れる。Z から Z^ への自然な射 f : Z → Z^ は f(x) = ([x]n) なるものであ
る。*2) f(x) = 0 となるのは, 任意の n ∈ N に対し [x]n = 0, 即ち x が全ての自然数を約数に持つ場合だが,
これは x = 0 のときに限るので, f : Z → Z^ は単射である。

またこの環の位相は, 以下の (2.4.13) と同様に定まるものである。特に 0 の基本近傍系として, {nZ^ | n ∈ N}
が取れる。今の場合 Z/nZ は離散位相の入った有限集合なので, Hausdorff かつコンパクトであるから, 以下
の (2.4.14) により Z^ も Hausdorff かつコンパクトであることがわかる。更に, Z^ は全不連結, 即ち任意の点
x ∈ Z^ に対し, その点を含む連結成分はその点だけからなる集合 {x} となる。このことを示すには, x, y ∈ Z^
を互いに異なる点とするとき開かつ閉なる部分集合 U, V ⊂ Z^ で x ∈ U, y ∈ V かつ U ∩ V = Φ なるものが
取れることを言えばよいが, x = (xn), y = (yn) が互いに異なれば, ある m に対し xm ≠ ym である。ここで
U = (φ^-1m ({xm}), V = φ^-1m ({ym}) とおくと, {xm} や {ym} は Z/mZ において開かつ閉だから, U, V も開
かつ閉であり, また明らかに x ∈ U, y ∈ V , U ∩ V = Φ であるから主張が言える。まとめると次が言える。

つづく
2022/04/14(木) 17:08:57.91ID:73EXi+FU
>>434
つづき

(1) 0 ∈ Z^ の近傍として, {nZ^ | n ∈ N} が取れる。
(2) Z^ は Hausdorff, コンパクト, 全不連結な位相環。
(3) 自然な射 Z → Z^ は単射。

P12
(2.4.12) 命題. m ∈ N に対し, Z^/mZ^ ? Z/mZ.
(証明). 以下, Z^ を lim←-Z/nZ ⊂Q
Z/nZ と同一視して考える。


P13
(2.4.17) 例 (p 進整数環). p を素数とする。このとき, N に通常の大小関係による順序関係を入れ, ポセット
とみなす。位相環の圏 (TopRng) における N 上の逆系 (Z/p^nZ)n を考える。逆系のイメージは次の通り。

Z^ の時と同様, 各 Z/p^nZ には離散位相を入れる。この逆系の逆極限は
lim←-Z/p^nZ =n(xn) ∈YZ/p^nZ∀n, m ∈ N, n ≦ m なら φnm(xm) = xno
と, φn : lim←-Z/p^nZ →ΠZ/p^nZ → Z/p^nZ の組 (lim←-Z/p^nZ, φn) として構成できる。その元は次のようにイ
メージできる。

この位相環を
(2.4.17.1) Zp := lim←-Z/p^nZ
と書き, p 進整数環と呼ぶ。Z^ のときと全く同様に次が示せる。
(1) 0 ∈ Zp の基本近傍系として, {p^nZp | n ∈ N} が取れる。
(2) Zp は Hausdorff, コンパクト, 全不連結。
(3) 自然な射 Z → Zp は単射。
Zp は整域である。実際, x, y ∈ Zp = lim←-Z/p^nZ が共に 0 でないとする。xn = φn(x), yn = φn(y) と書く
とき, m0, n0 を xm0≠ 0, yn0≠ 0 となる最小の自然数としよう。すると, m ≧ m0, n ≧ n0 に対し xm は
Z/pmZ の中で pm0 の倍数ではなく, また yn は Z/p^nZ の中で p
n0 の倍数ではない。このとき n > m0 + n0
に対し, φn(xy) = xnyn は Z/p^nZ の中で p^m0+n0 の倍数ではないので, 0 ではない。よって xy ≠ 0 であるか
ら, Zp は整域である。Zp の商体を Qp と書き, p 進数体と言う。

つづく
2022/04/14(木) 17:09:28.91ID:73EXi+FU
>>435
つづき

P14
(2.4.18) 命題. Qp =〜 Zp[1/p] =〜 Zp 〇xZ Q.
(証明). 証明は省略する。
(2.4.19). 一方, Z^ は整域ではない。実際, 次の同型がある。
(2.4.20) 命題. 位相環として, Z^ =〜ΠZp. ただし右辺では p は全ての素数を動く。
(証明).

極限は位相環の圏で考えているので, 位相環として同型。

https://en.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%BCfer_domain
Prufer domain
Generalizations
More generally a Prufer ring is a commutative ring in which every non-zero finitely generated ideal consisting only of non-zero-divisors is invertible (that is, projective).
A commutative ring is said to be arithmetical if for every maximal ideal m in R, the localization Rm of R at m is a chain ring. With this definition, an arithmetical domain is a Prufer domain.
Noncommutative right or left semihereditary domains could also be considered as generalizations of Prufer domains.

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%97%E3%83%AA%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%BC%E6%95%B4%E5%9F%9F
プリューファー整域
(引用終り)
以上
2022/04/14(木) 18:36:30.70ID:SEWJcjoa
>>426
>まあ、まず 下記でも見て、頭を冷やしてください

>1.いつものwikipedia、ここ百回音読してくださいね
>代数系の射影極限
>逆極限(射影極限)Aは Ai たちの直積の特定の部分群
>A=lim←i∈I Ai
>として定義される。
>この射影極限 A は
>(I の各 i に対して直積の i-成分を取り出すという)
>自然な射影 πi: A → Ai を備えている

zpZHdgrfは上記を読んで下記のように思ったらしい

「α. 直積群ΠAiはAiたちを部分群として持つ
 β. A=lim←i∈I Aiは直積群ΠAiの部分群だが
   自然な射影 πi: A → Ai を備えている
   ゆえに、Aも直積群ΠAi同様、Aiを部分群として持つ!」

しかし。α.は正しいがβ.は正しくない

α.が正しいのは、
「ΠAiの中にAi以外のAjの成分が全て単位元となる部分集合αがあり
 αは群をなし、Aiへの射影のαへの制限が同型写像となる」
といえるからである

し・か・し
「A=lim←i∈I Aiは直積群ΠAiの部分群で
 自然な射影 πi: A → Ai を備えている」
というだけでは
「Aのある部分集合βで、βが群をなし、
 πiのβへの制限がAiへの同型写像となる
 ようなものが存在する」
とはいえない

実際、Z^(1)を構成するための逆系が
どのようなものか理解しているなら、
上記のようなβが存在したら矛盾すると
簡単に示せる

つまり、βは正しくない

残念でした
438132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/15(金) 06:42:17.86
よぉ 下げマス! 息してるか?
ちゃんとテンソルの勉強してるか?

じゃ、問題
これ、意味わかるか?

2^2= 3*1+1*1
3^2= 6*1+3*1
4^2=10*1+6*1
439132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/15(金) 06:43:16.22
よぉ 下げマス! 息してるか?
ちゃんとテンソルの勉強してるか?

じゃ、次の問題
これ、意味わかるか?

2^3= 4*1+ 2*2
3^3=10*1+ 8*2+1*1
4^3=20*1+20*2+4*1
440132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/15(金) 06:44:07.28
よぉ 下げマス! 息してるか?
ちゃんとテンソルの勉強してるか?

じゃ、最後の問題
これ、意味わかるか?

2^4= 5*1+ 3*3+ 1*2
3^4=15*1+15*3+ 6*2+ 3*3
4^4=35*1+45*3+20*2+15*3+1*1
441132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/15(金) 07:59:15.69ID:tCfEvDnB
>>421
>なお、Z^(1)と Z^(下記 Profinite integer)とで、前者 Z^(1)には 1のn乗根は 射影の成分として入っているので射影として取り出すことができるが
>後者のZ^(下記 Profinite integer)は、そうではないという違いがある

Z^(1)と Z^(下記 Profinite integer)とは、アーベル群として同型であるが
違いもあるってことだね
その一番の違いは、Z^(1)は 下記の「エタールコホモロジーとl進表現」、”1.1 楕円曲線の Tate 加群”と関連しているってことだろう
(参照 >>180 Z^(1) (円分物)  円分物とは何でしょうか. それは Tate 捻り “Z^(1)” のことです. 星 裕一郎 宇宙際Teichmuller理論入門 https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/244783/1/B76-02.pdf
なお、NHKスペシャル ABC予想の番組中にもあったね。「同一(同型)だが、違いもある」ってことね。この視点は大事だなw

(参考):長文ご容赦
http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/ss2009proceeding/ss2009proceeding.html
「l進ガロア表現とガロア変形の整数論」2009 報告集の原稿ページ
http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/ss2009proceeding/SummerSchool-0201-2.pdf
エタールコホモロジーとl進表現
三枝 洋一(九州大学大学院数理学研究院)
目 次
0 はじめに 2
1 エタールコホモロジー入門 4
1.1 楕円曲線の Tate 加群 ......... . 4
1.2 層係数コホモロジー再考 ........6
1.3 エタールコホモロジーの定義 ........ 9
1.4 エタールコホモロジーの諸性質 ....... . 21
2 エタールコホモロジーを用いた Galois 表現の構成 31
2.1 エタールコホモロジーとして得られる Galois 表現 .... 31
2.2 一般化:代数的対応付きの場合 ....... . 31
3 整モデルと Galois 表現の関係 35
3.1 Weil-Deligne 表現 .......... 37
3.2 隣接輪体関手 Rψ .......... 43
3.3 良い還元の場合 .......... . 44
3.4 半安定還元の場合 .......... 52
3.5 一般の還元の場合 .......... 58
3.6 ウェイト・モノドロミー予想 ........ 63

つづく
442132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/15(金) 07:59:40.74ID:tCfEvDnB
>>441
つづき

0 はじめに
本稿は,第 17 回整数論サマースクール「l 進ガロア表現とガロア変形の整数論」
における講演「エタールコホモロジーと l 進表現」の内容をまとめたものである.エ
タールコホモロジーとは,一般の体上の代数多様体に対して機能するコホモロジー
理論であり,もともと Grothendieck によって Weil 予想の解決を目的として発明さ
れたものである.その理論は,Grothendieck および彼の弟子たちによっていわゆ
る SGA (S´eminaire de G´eom´etrie Alg´ebrique du Bois-Marie) において徹底的に展
開された後,[Del2], [Del3] において元来の目標を達成するに至った(Grothendieck
の描いていた方針とは異なっていたようであるが).それとともに,Weil 予想から
Ramanujan 予想を導いた Deligne の仕事 [Del1] を一つの契機として,エタールコ
ホモロジーは整数論にとっても重要な位置を占め始めた.Deligne は,モジュラー
曲線上の普遍楕円曲線のファイバー積から作られる高次元代数多様体(久賀・佐藤
多様体)のエタールコホモロジーを用いて,(重さの大きい)楕円モジュラー形式
から 2 次元 l 進表現を構成した.そして,代数多様体から作られる l 進表現が Weil
予想より来る性質を満たすことから,楕円モジュラー形式の q 展開の係数の絶対値
の評価を導いたのである.(もちろん,Eichler や志村五郎氏らによる先駆的な研究
がこの仕事の土台となっていることは言うまでもない.)この Deligne の仕事は,大
域的 Langlands 予想における「Galois 表現の構成問題」の特別な場合に位置付ける
ことができる.(GLn の)大域的 Langlands 予想とは,代数体 F に対し,GLn(AF )
の保型表現(のうち特別なもの)と Gal(F /F) の n 次元 l 進表現(のうち特別なも
の)の間に自然な一対一対応が存在するという予想であり,そのうち,保型表現 Π
から始めてそれに対応する l 進 Galois 表現 ρ(Π) を構成する問題が「Galois 表現の
構成問題」である.この問題は今日でも完全に解決されてはいないが,できている
場合も比較的多く,それが Sato-Tate 予想の完全解決をはじめとする最近の整数論
の発展の基礎となっている.

つづく
443132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/15(金) 07:59:58.18ID:tCfEvDnB
>>442

つづき

Galois 表現の構成についての詳細は吉田輝義氏の記事
を参照していただくことにして,ここでは,現在知られている Galois 表現の構成
のほとんど全てがエタールコホモロジーによるものだということを強調しておきた
い.保型表現の合同関係を用いる方法(例えば [DS])も有名であるが,これは別の
場合([DS] では重さが大きい場合)に対応する Galois 表現が既に構成されている
ことを用いるので,結局エタールコホモロジーが必要となる.近年では Galois 表
現の代数的取り扱いに関する研究の進歩が目覚ましく,ついそちらに目が行きがち
になるが,
そのような理論とともにエタールコホモロジー論をはじめとする数論幾
何学が Galois 表現の研究を支えていることをこの記事を通じ改めて喚起できれば
と思っている.また,エタールコホモロジーの応用範囲は整数論や代数幾何にはと
どまらないことにも言及しておくべきであろう.例えば,有限 Chevalley 群の既約
表現の構成(Deligne-Lusztig 理論)や Kazhdan-Lusztig 予想など,表現論におい
ても重要な役割を担っていることは有名である.

つづく
444132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/15(金) 08:00:16.89ID:tCfEvDnB
>>443

つづき

さて,本稿を執筆するにあたって,筆者は二つのことを目標とした.まず一つ目
は,エタールコホモロジーの理論そのものの概説である.エタールコホモロジーに
ついては SGA ([SGA4], [SGA5], [SGA7], [SGA4 12]) というこの上ない基本文献が
あるうえ,そのダイジェスト版としても [SGA4 12, Arcata] という極めて優れた文献
がある(エタールコホモロジーの理論の基礎が,証明付きでたった 70 ページ程度で
紹介されている!).そのため本稿の前半部では,エタールコホモロジーの導入部
分や各基本定理の間の相互関係などを強調することで,これらの文献へと円滑に入
門できることを目標とした.二つ目は,エタールコホモロジーを用いて如何にして
Galois 表現を構成するか,また,如何にして構成した Galois 表現を調べるかをで
きるだけ一般的な立場から紹介することである.Galois 表現の理論へのエタールコ
ホモロジーの応用が盛んになったのは SGA 以後であることもあり,エタールコホ
モロジーを用いて Galois 表現を調べる技術をまとめた文献はほとんどないようで
ある.そのため本稿の後半部では,このような内容についてなるべく詳しく解説す
ることにした.理解の助けになると思われる具体例や練習もいくつか入れてある.
後半部を読むにはある程度コホモロジー論に対する慣れが必要かもしれない.本稿
で初めてエタールコホモロジーに触れる読者の方は,3.3 節まで読めば十分だと思
われる.逆に,SGA の内容を把握している読者の方は,第 1 節は飛ばしても支障
はないはずである.
なお,コンパクト台コホモロジーや係数理論と 6 つの関手についてなど,本稿で
一切触れることができなかった重要な概念もいくつかある.これらについては適宜
文献を参照していただきたい.SGA, [Del3], [BBD] といった定番の他,[KW] もな
かなかよい本だと思う.
この記事が少しでも読者の方々のエタールコホモロジーに対する理解の助けとな
れば幸いである.

つづく
445132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/15(金) 08:01:12.07ID:tCfEvDnB
>>444
つづき

1 エタールコホモロジー入門
1.1 楕円曲線の Tate 加群
エタールコホモロジーとはどのようなものかを説明するために,まず楕円曲線の
Tate 加群について簡単に復習しておこう.以下,k を体とする.
定義 1.1
E を k 上の楕円曲線とする.整数 n ? 1 に対し E[n] = {x ∈ E(k) | nx = 0} と
おく.素数 l に対し
TlE = lim←-nE[ln], VlE = TlE ○x Zl Ql
と定める.TlE を E の l 進 Tate 加群と呼び,VlE を E の l 進有理 Tate 加群と
呼ぶ.
l が k の標数と異なるときには,TlE は階数 2 の自由 Zl 加群となることが知ら
れている(例えば [Sil] を参照).したがって VlE は 2 次元 Ql ベクトル空間となる.
これに対し,l が k の標数と等しいときには TlE, VlE はもっと小さくなる.以下
では l は k の標数と異なると仮定することにする.

Tate 加群についてもう一つ強調しておきたいのは,それが位相幾何学における
1 次ホモロジー群の類似だということである.複素数体 C 上の楕円曲線 E は複素
トーラスに他ならず,C の Z 格子 Λ を用いて E(C) = C/Λ と表すことができると
いう事実はよく知られている ([Sil]).このとき次のような自然な同型がある:
H1(E(C),Z) 〜= Λ, TlE 〜= lim←-nΛ/lnΛ 〜= Λ ○x Z Zl,H1(E(C), Q) 〜= Λ ○x Z Q, VlE 〜= Λ ○x Z Ql.
これらから,TlE や VlE は E(C) の 1 次ホモロジーの「l 進化」にあたることが読
みとれるだろう.
本稿で紹介するエタールコホモロジーは,大雑把に言えば,上で紹介した特徴を
踏まえて VlE をより一般の代数多様体に拡張したものである.より具体的には,各
整数 i ? 0 に対して反変関手
(k 上の代数多様体の圏)-→(Gk の l 進表現の圏); X 7-→ Hi(Xk, Ql)
(i 次 l 進エタールコホモロジー)で次のような特徴を持つものを構成する:

(引用終り)
以上
2022/04/15(金) 08:20:45.40ID:QTPuQOdu
>>441

>Z^(1)と Z^とは、
>アーベル群として同型であるが
>違いもあるってことだね
Z^から Z/nZへの射影も存在しますが
もしかして
「Z^はZ/nZを包含する」
と思ってますか?

>「同一(同型)だが、違いもある」ってことね。
>この視点は大事だな
もしかして
1のn乗根の乗法群と加法群Z/nZも
「同一(同型)だが、違いもある」
といってますか?
その違いって具体的になんですか?

>(参考)
参考になってませんよ

>長文ご容赦
自分が理解できない文章を
コピペするのは無意味ですよ
447132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/15(金) 08:23:45.77ID:QTPuQOdu
>>438-440
>よぉ 下げマス! 息してるか?
>これ、意味わかるか?
私はわかりましたが、ここで答えを書くのは、やめておきます
448132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/15(金) 20:27:12.29
よぉ 下げマス! 息してるか?
ちゃんとテンソルの勉強してるか?

これ、意味わかるか?

2^2= 3*1+1*1
3^2= 6*1+3*1
4^2=10*1+6*1


2^3= 4*1+ 2*2
3^3=10*1+ 8*2+1*1
4^3=20*1+20*2+4*1


2^4= 5*1+ 3*3+ 1*2
3^4=15*1+15*3+ 6*2+ 3*3
4^4=35*1+45*3+20*2+15*3+1*1


どうした?全然わからんか?
449132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/16(土) 16:35:46.98
よぉ 下げマス! 息してるか?
ちゃんとテンソルの勉強してるか?

これ、意味わかるか?

2!=1^2+1^2
3!=1^2+2^2+1^2
4!=1^2+3^2+2^2+3^2+1^2

どうした?全然わからんか?
450132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/17(日) 09:42:59.55ID:JCfnQOVz
>>441 追加引用
http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/ss2009proceeding/ss2009proceeding.html
「l進ガロア表現とガロア変形の整数論」2009 報告集の原稿ページ
http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/ss2009proceeding/SummerSchool-0201-2.pdf
エタールコホモロジーとl進表現
三枝 洋一(九州大学大学院数理学研究院)

P5
1 次ホモロジー群の類似だということである.複素数体C 上の楕円曲線E は複素
トーラスに他ならず,C のZ 格子Λ を用いてE(C) = C/Λ と表すことができると
いう事実はよく知られている([Sil]).このとき次のような自然な同型がある:
H1(E(C),Z) 〜=Λ, TlE〜=l←im nΛ/l^nΛ 〜=Λ ○xZ Zl,
H1(E(C),Q) 〜=Λ ○xZ Q, VlE〜=Λ○xZQl.
これらから,TlE やVlE はE(C) の1 次ホモロジーの「l 進化」にあたることが読
みとれるだろう.
本稿で紹介するエタールコホモロジーは,大雑把に言えば,上で紹介した特徴を
踏まえてVlE をより一般の代数多様体に拡張したものである.より具体的には,各
整数i ≧ 0 に対して反変関手
(k 上の代数多様体の圏)-→(Gk のl 進表現の圏); X -→ Hi(Xk,Ql)
(i 次l 進エタールコホモロジー)で次のような特徴を持つものを構成する:
・ k = C のときはHi(Xk,Ql) はX(C) のBetti コホモロジー(特異コホモロ
ジー)Hi(X(C),Q) の「l 進化」Hi(X(C),Q) ○x Q Ql と同型である.k がC
でない場合にも,Hi(Xk,Ql) はBetti コホモロジーと類似した性質を持つ.
・ k が代数体あるいは局所体の場合,得られたGalois 表現Hi(Xk,Ql) とX の
還元の間に深い関係がある.
P6
Hi を構成するアイデアは次小節以降に回すことにして,ここではk 上の楕円曲線
E のl 進エタールコホモロジーが次のようになることのみ述べておく.
H0(Ek,Ql) = Ql, H1(Ek,Ql) = (VlE)∨
, H2(Ek,Ql) = Ql(-1),
Hi(Ek,Ql) = 0 (i ≧ 3).
k が複素数体C とは限らない一般の体(正標数であってもよい!)の場合にも,各
次数のコホモロジーの次元がC 上の楕円曲線のBetti 数と一致していることに注目
していただきたい注1.

つづく
451132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/17(日) 09:43:28.89ID:JCfnQOVz
>>450

つづき

1.2 層係数コホモロジー再考
エタールコホモロジーを定義するための大まかなアイデアは,位相空間に対する
コホモロジーの層による定義をスキームに適合するよう変形するというものであ
る.本小節では,このアイデアをより詳しく理解するために位相空間の層係数コホ
モロジーについて再検討することにする注2.

P15
1.3.2 代数曲線のエタールコホモロジー
ここでは代数曲線のエタールコホモロジーの計算を紹介しよう.k を代数閉体と
し,X をk 上固有かつ滑らかな連結代数曲線とする.まず,Gm 係数のエタールコ
ホモロジーは次のようになる:
定理1.22
Hi(X,Gm) について次が成り立つ:
H0(X,Gm) = k×, H1(X,Gm) = Pic(X), Hi(X,Gm) = 0 (i ≧ 2).
ここでPic(X)(X のPicard 群)とは,X 上の直線束の同型類全体に加法をテン
ソル積で定めて得られるアーベル群である.

P16
定理1.22 より,X のZ/nZ(1) 係数コホモロジーを計算することができる.
定理1.23
n ≧ 1 をk で可逆な整数とするとき,Hi(X, Z/nZ(1)) について次が成り立つ:
H0(X, Z/nZ(1)) = Z/nZ(1), H1(X, Z/nZ(1)) = Pic(X)[n],
H2(X, Z/nZ(1)) = Z/nZ, Hi(X, Z/nZ(1)) = 0 (i ≧ 3).
ここで,第一式右辺のZ/nZ(1) はk 内の1 のn 乗根のなすアーベル群である(k
は代数閉体なので,非標準的な同型Z/nZ(1) 〜=Z/nZ がある).また,Pic(X)[n]
はPic(X) →n倍→ Pic(X)の核である.
(引用終り)
以上
452132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/17(日) 09:54:54.37ID:JCfnQOVz
>>451 補足
>定理1.22 より,X のZ/nZ(1) 係数コホモロジーを計算することができる.
>定理1.23
>n ≧ 1 をk で可逆な整数とするとき,Hi(X, Z/nZ(1)) について次が成り立つ:
>H0(X, Z/nZ(1)) = Z/nZ(1), H1(X, Z/nZ(1)) = Pic(X)[n],
>H2(X, Z/nZ(1)) = Z/nZ, Hi(X, Z/nZ(1)) = 0 (i ≧ 3).
>ここで,第一式右辺のZ/nZ(1) はk 内の1 のn 乗根のなすアーベル群である(k
>は代数閉体なので,非標準的な同型Z/nZ(1) 〜=Z/nZ がある).

"Z/nZ(1) はk 内の1 のn 乗根のなすアーベル群である"
"kは代数閉体なので,非標準的な同型Z/nZ(1) 〜=Z/nZ がある"

ってことね
つまり、”代数曲線のエタールコホモロジー”を考えるときは
Z/nZ(1)=k 内の1 のn 乗根のなすアーベル群
が本質的な役割を果たす
(”で,非標準的な同型Z/nZ(1) 〜=Z/nZ がある"けれども、Z/nZ(1) とZ/nZとは、別物なんだ)

同型で同一視するとき、同型だけれども別物と考えるとき
両方必要ってこと (NHK Nスペ ABC予想より)
ですね

だから、>>441 より再録
Z^(1)と Z^(下記 Profinite integer)とは、アーベル群として同型であるが
違いもあるってことだね
その一番の違いは、Z^(1)は 下記の「エタールコホモロジーとl進表現」、”1.1 楕円曲線の Tate 加群”と関連しているってことだろう
(参照 >>180 Z^(1) (円分物)  円分物とは何でしょうか. それは Tate 捻り “Z^(1)” のことです. 星 裕一郎 宇宙際Teichmuller理論入門 https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/244783/1/B76-02.pdf
なお、NHKスペシャル ABC予想の番組中にもあったね。「同一(同型)だが、違いもある」ってことね。この視点は大事だなw
(引用終り)
ってこと

>>421
>なお、Z^(1)と Z^(下記 Profinite integer)とで、前者 Z^(1)には 1のn乗根は 射影の成分として入っているので射影として取り出すことができるが
>後者のZ^(下記 Profinite integer)は、そうではないという違いがある”
ここは、こういう意味です。これ、分からない人には 分からないよねw
453132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/17(日) 10:09:25.04ID:JCfnQOVz
>>452 補足の補足

・星 裕一郎 宇宙際Teichmuller理論入門 https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/244783/1/B76-02.pdf
 は、「エタールコホモロジーとl進表現」、”1.1 楕円曲線の Tate 加群”と関連しているので、Z^(1)が重要ってことだ >>452
・なお、エタールコホモロジーとl進表現 三枝 洋一 >>450は、いいね。分かり易い
 おれでも、なんとか 最初の方の表面だけは読めた
・ 三枝 洋一先生は、いま東大(下記)

https://www.u-tokyo.ac.jp/focus/ja/people/people100253.html
PEOPLE 東京大学
名前 三枝 洋一 / MIEDA Yoichi
学位 博士(数理科学)(東京大学),修士(数理科学)(東京大学)
職名 准教授
所属 大学院数理科学研究科
数理科学専攻数理代数学講座
所属サイトURL http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/index-j.html別ウィンドウで開く

https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~mieda/index-j.html
三枝洋一のウェブサイト
東京大学 大学院数理科学研究科 〒153-8914 東京都目黒区駒場3-8-1
論文
講演
研究集会
Berkeley-Tokyo lectures on Number Theory, オンライン,2021年1月11日?14日.

動画がある。1時間もの(1.75倍でみた)
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/video/danwakai/dw2014-007.html
https://youtu.be/_lR0OO5J6qM
数理談話会
日時: 2014年10月10日(金) 16:30?17:30
会場: 東京大学 大学院数理科学研究科 002号室
講演者
三枝 洋一 氏 (東京大学大学院数理科学研究科)
講演題目
局所志村多様体のエタールコホモロジーと局所ラングランズ対応
講演概要
志村多様体は対称空間の算術商として得られる代数体上の代数多様体であり,そのエタールコホモロジーは大域ラングランズ対応と深い繋がりを持つ. 本講演では,この話の局所類似(p進体類似)について考える. まず,志村多様体の局所類似がどのようなものか,また,そのエタールコホモロジーが局所ラングランズ対応とどのように関係すると期待されているかについて,なるべく平易に述べる. 後半では,局所志村多様体が比較的小さい古典群に対応する場合に,講演者によって得られた結果を紹介する.
2022/04/17(日) 10:19:01.05ID:7NXZ5bmQ
雑談には「同型」の概念がないww

代数の初歩も分かってないのにエタールコホモロジーがどうとか片腹痛し
2022/04/17(日) 10:23:41.46ID:7NXZ5bmQ
>なお、Z^(1)と Z^(下記 Profinite integer)とで、前者 Z^(1)には 1のn乗根は 射影の成分として入っているので射影として取り出すことができるが
>後者のZ^(下記 Profinite integer)は、そうではないという違いがある”

脳みそ腐ってんのか?
Z^の射影としては、Z/nZが取り出せますが何か?
456132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/17(日) 10:27:35.18ID:LTMUr87z
>>452
>Z^(1)と Z^(下記 Profinite integer)とは、
>アーベル群として同型であるが違いもあるってことだね

Z^から Z/nZへの射影も存在しますが
もしかして
「Z^はZ/nZを包含する」
と思ってますか?

>「同一(同型)だが、違いもある」ってことね。
>この視点は大事だな
もしかして
1のn乗根の乗法群と加法群Z/nZも
「同一(同型)だが、違いもある」
といってますか?
その違いって具体的になんですか?

>なお、Z^(1)と Z^(下記 Profinite integer)とで、
>前者 Z^(1)には 1のn乗根は 射影の成分として入っているので
>射影として取り出すことができるが
>後者のZ^(下記 Profinite integer)は、そうではないという違いがある”
>ここは、こういう意味です。
>これ、分からない人には 分からないよねw

後者も射影がありますけど
もしかしてProfinite integerの定義、全然理解できなかったんですか?

Profinite integer
https://en.wikipedia.org/wiki/Profinite_integer
In mathematics, a profinite integer is an element of the ring (sometimes pronounced as zee-hat or zed-hat)
Z^=lim←Z/nZ
where
lim←Z/nZ
indicates the profinite completion of Z
457132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/17(日) 15:07:37.41ID:LTMUr87z
まさかとはおもうんですが、JCfnQOVzって

「円分物って名付けるくらいだから 当然
 円分方程式の根の全体からなる集合
 を包含しているに決まっている!」

と全く非論理的な想像してます?

もしそうなら、それ初歩的な誤りですけど
458132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/17(日) 18:16:17.17
よぉ 下げマス! 息してるか?
ちゃんとテンソルの勉強してるか?

これ、意味わかるか?

2^2= 3*1+1*1
3^2= 6*1+3*1
4^2=10*1+6*1


2^3= 4*1+ 2*2
3^3=10*1+ 8*2+1*1
4^3=20*1+20*2+4*1


2^4= 5*1+ 3*3+ 1*2
3^4=15*1+15*3+ 6*2+ 3*3
4^4=35*1+45*3+20*2+15*3+1*1


どうした?全然わからんか?
2022/04/17(日) 19:38:06.55ID:7NXZ5bmQ
>その一番の違いは、Z^(1)は 下記の「エタールコホモロジーとl進表現」、”1.1 楕円曲線の Tate 加群”と関連しているってことだろう

数学ワカランチンの特徴
「○○と△△は関係している」
とよく言うが、どう関係しているかは説明できず
連想ゲームに過ぎない点。

Z^(1)、楕円曲線の Tate 加群、エタールコホモロジーに共通するのは
全部絶対ガロア群が作用していて、その作用から絶対ガロア群の行列表現が得られること。

Z^(1)は1次の表現(円分指標)、楕円曲線の Tate 加群は2次の表現
エタールコホモロジーは一般にn次の表現。
2022/04/17(日) 19:49:15.63ID:7NXZ5bmQ
Z^(1)の構成さえ分かっていない(特に1のn乗根はまったく含まれない点)
のにエタールコホモロジーとか高度に抽象的な構成が
分かるわけねーww
461132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/17(日) 20:06:14.48ID:JCfnQOVz
>>453 追加

下記
1)
宇宙際タイヒミューラー理論への誘(いざな)い P4の
"Γ(E†,L)<l 〜→ ○+ j=-l*〜l* q__^j^2
「q」bad な有限素点における q-parameter, q__ det= q^1/2l"

2)
The Hodge-Arakelov Theory of Elliptic Curves:
Global Discretization of Local Hodge Theories
by Shinichi Mochizuki
September 1999
P275
q = exp(2πiτ)

3)
q-parameter:wikipedia Jacobi theta functionのNome (mathematics) ノーム where q = exp(πiτ)
θ (z;τ)==1+2Σ_n=1〜∞ q^n^2 cos(2πnz)(下記)

これら3つは、微妙に異なるが
q__^j^2 of IUT
 ↓↑
q^n^2 of θ (z;τ) Jacobi theta function
で、平仄は合っているのかも

(参考)
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Uchuusai%20Taihimyuuraa%20riron%20he%20no%20izanai%20(2015-02).pdf
宇宙際タイヒミューラー理論への誘(いざな)い《レクチャーノート版》望月新一(京大数理研)2015年 02月
P4
Hodge-Arakelov 理論(1990 年代後半)では、これらのモデルの延長線上で、古典的な Arakelov理論では 無限素点において用いられる 解析 = ∂, ∂ ̄, Green 関数等'の 離散版 を構築するのである。
Hodge-Arakelov 理論 の 基本定理 =具体的には、テータ関数およびその微分を、1等分点に制限することによって得られる同型は次のように定式化できる:
Γ(E†,L)<l 〜→ ○+ j=-l*〜l* q__^j^2
・Lは(非自明な)2等分点に付随する線束、
・「q」bad な有限素点における q-parameter, q__ det= q^1/2l

つづく
462132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/17(日) 20:08:02.14ID:JCfnQOVz
>>461
つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9B%E3%83%83%E3%82%B8%E3%83%BB%E3%82%A2%E3%83%A9%E3%82%B1%E3%83%AD%E3%83%95%E7%90%86%E8%AB%96https://en.wikipedia.org/wiki/Hodge%E2%80%93Arakelov_theory
楕円曲線のホッジ・アラケロフ理論は、アラケロフ理論(英語版)(Arakelov theory)のフレームワークで考える p進ホッジ理論の楕円曲線についての類似理論である。ホッジ・アラケロフ理論は、 Mochizuki (1999) で導入された。
望月の主要な結果であるホッジ・アラケロフ理論の比較定理は、(大まかには)標数 0 の滑らかな楕円曲線の普遍拡大上の次数が d 未満の多項式の空間は、自然に d-捩れ点上の函数の d2-次元空間に(制限によって)同型となるという定理である。ド・ラームコホモロジーを複素多様体の特異コホモロジーや、p-進多様体のエタール・コホモロジーに関連付けるコホモロジー論の比較定理のアラケロフ理論の類似物である。
Mochizuki (1999) と Mochizuki (2002a)で、彼は数論的小平・スペンサー写像やガウス・マーニン接続(英語版)(Gauss-Manin connection)が、ヴォイタ予想やABC予想などに重要なヒントを与えるのではないかと指摘している。

参考文献
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/A%20Survey%20of%20the%20Hodge-Arakelov%20Theory%20of%20Elliptic%20Curves%20I.pdf
A Survey of the
Hodge-Arakelov Theory of Elliptic Curves I
Shinichi Mochizuki
October 2000

P32
§1.5. Future Directions
§1.5.1 Gaussian Poles and Diophantine Applications
In some sense, the most fundamental outstanding problem left unsolved in
[Mzk1] is the following:
How can one get rid of the Gaussian poles (cf. §1)?
For instance, if one could get rid of the Gaussian poles in Theorem A, there
would be substantial hope of applying Theorem A to the ABC (or, equivalently,
Szpiro’s) Conjecture.

つづく
463132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/17(日) 20:09:52.75ID:JCfnQOVz
>>462
つづき

The main idea here is the following: Assume that we are given an elliptic
curve EK over a number field K, with everywhere semi-stable reduction. Also, let
us assume that all of the d-torsion points of EK are defined over K. The arithmetic
Kodaira-Spencer morphism (cf. §1.4) essentially consists of applying some sort of
Galois action to an Arakelov-theoretic vector bundle HDR on Spec(OK) and seeing
what effect this Galois action has on the natural Hodge filtration Fr(HDR) on HDR.

If one ignores the Gaussian poles, the subquotients (Fr+1/Fr)(HDR) of this Hodge
filtration essentially (“as a function of r”) look like
τ^○xr E
(tensored with some object which is essentially irrelevant since it is independent of
r). Thus, as long as the “arithmetic Kodaira-Spencer is nontrivial” (which it most
surely is!), the Galois action on HDR would give rise to nontrivial globally integral
(in the sense of Arakelov theory) morphisms

P35
Section 2: The Theta Convolution
§2.1. Background
Perhaps the simplest way to explain the main idea of [Mzk2] is the following: The theory of [Mzk1] may be thought of as a sort of discrete, scheme-theoretic
version of the theory of the classical Gaussian e^-x^2
(on the real line) and its derivatives (cf. [Mzk1], Introduction, §2). More concretely, the theory of [Mzk1] may, in
essence, be thought of as the theory of the theta function
Θ def= Σn∈Zq^n^2・ U n
(where q is the q-parameter, and U is the standard multiplicative coordinate on
Gm) and its derivatives ? i.e., functions of the form
Σn∈Z q^n^2・ P(n) ・ U n

つづく
464132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/17(日) 20:10:28.64ID:JCfnQOVz
>>463
つづき

for some polynomial P(-) with constant coefficients. From this point of view, the
“Gaussian poles” ? which, as remarked above, constitute the principle obstruction
to the application of the theory of [Mzk1] to diophantine geometry ? arise from
the factors of q^n^2 appearing in the above series.

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/The%20Hodge-Arakelov%20Theory%20of%20Elliptic%20Curves.pdf
The Hodge-Arakelov Theory of Elliptic Curves:
Global Discretization of Local Hodge Theories
by Shinichi Mochizuki
September 1999
P275
If we write E = Gm/qZ, q = exp(2πiτ), then the Hermite Model (respectively, Legendre Model, Binomial Model) corresponds to the case where/is most useful when Im(τ)
is fixed (respectively, → 0; → ∞).

”theta function q-parameter”
https://en.wikipedia.org/wiki/Theta_function
Theta function
Jacobi theta function
One Jacobi theta function (named after Carl Gustav Jacob Jacobi) is a function defined for two complex variables z and τ, where z can be any complex number and τ is the half-period ratio, confined to the upper half-plane, which means it has positive imaginary part. It is given by the formula
θ (z;τ)
=Σ_n=-∞〜∞ exp (πin^2τ+2πinz)
=1+2Σ_n=1〜∞ q^n^2 cos(2πnz)
=Σ_n=-∞〜∞ q^n^2η^n
where q = exp(πiτ) is the nome and η = exp(2πiz). It is a Jacobi form. (注:Nome (mathematics) ノーム (数学)数学の分野、特に楕円函数論において、ノーム (nome) とは、次式によって与えられる特殊函数のことである。weblio https://ejje.weblio.jp/content/nome
S. Mochizuki, The Hodge-Arakelov Theory of Elliptic Curves: Global Discretization of Local Hodge Theories, RIMS Preprint Nos. 1255, 1256 (October 1999).
(引用終り)
以上
465132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/17(日) 20:18:47.19
工業高校中退の中卒エッタの下げマス
ヤケクソの発狂コピペwwwwwww
466132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/17(日) 20:22:31.72
>>461
>平仄は合っているのかも
下げマスは「平仄」をヘイハイと読む白痴w
正しい「ひょうそく」だぞ 知らなかっただろwww
意味なんかますます知らんだろwwwww

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B3%E4%BB%84
平仄(ひょうそく、拼音: píngzè)とは、中国語における漢字音を、
中古音の調類(声調による類別)にしたがって大きく二種類に分けたもの。
漢詩で重視される発音上のルール。
平は平声、仄は上声・去声・入声である。

日本語では一般に「平仄を整える」と言う使われ方をし、
この場合はほぼ「てにをはを整える」の意味である。
このほか「平仄する」という使われ方もするが、
この場合の意味は「矛盾点を訂正する」程度の意味である。
「平仄」にはつじつまとか条理という使われ方もあり、
「平仄が合わない」というように否定的な意味で使っている。
467132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/17(日) 20:30:29.44
よぉ 下げマス! 息してるか?
ちゃんとテンソルの勉強してるか?

下げマスは、以下の式が何を表すか全く答えられなかった

2!=1^2+1^2
3!=1^2+2^2+1^2
4!=1^2+3^2+2^2+3^2+1^2


2^2= 3*1+1*1
3^2= 6*1+3*1
4^2=10*1+6*1


2^3= 4*1+ 2*2
3^3=10*1+ 8*2+1*1
4^3=20*1+20*2+4*1


2^4= 5*1+ 3*3+ 1*2
3^4=15*1+15*3+ 6*2+ 3*3
4^4=35*1+45*3+20*2+15*3+1*1


つまり、下げマスは
ロビンソン・シェンステッド対応
をまったく御存知なかったってことだwwwwwww
468132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/17(日) 20:38:32.92
下げマスは、やれ、AIだ、ディープラーニングだ、テンソルだ、とわめくが
実際には言葉をただ並べるだけで、その意味すら全く理解できないドアホウであるw

「テンソル積の既約分解」とかいう
数学屋だけでなく物理屋にとっても常識のことすら全く知らないし
ヤング図形も標準盤、半標準盤もまったく知らないだろう

そしてテンソル積の既約分解が、実はヤング図形と標準盤、半標準盤による
全く組み合わせ論的な計算(算数!)で求まることすら全く知らないテイタラク

理屈が理解できないのは論理が分からんニホンザルだから仕方ないがw
計算すらできないというのはもはや哺乳類ですらないニワトリレベルw
2022/04/18(月) 21:07:54.13ID:E5ne0RUW
ゴミ集めじゃしのう
2022/04/18(月) 23:55:58.94ID:0UdCbOOS
ガーベージコレクションの可逆計算上での意味合いに興味がある。
471132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/19(火) 00:16:58.07ID:rs7Zx6q5
>>441 補足
(引用開始)
Z^(1)と Z^(下記 Profinite integer)とは、アーベル群として同型であるが
違いもあるってことだね
その一番の違いは、Z^(1)は 下記の「エタールコホモロジーとl進表現」、”1.1 楕円曲線の Tate 加群”と関連しているってことだろう
(参照 >>180 Z^(1) (円分物)  円分物とは何でしょうか. それは Tate 捻り “Z^(1)” のことです. 星 裕一郎 宇宙際Teichmuller理論入門 https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/244783/1/B76-02.pdf
なお、NHKスペシャル ABC予想の番組中にもあったね。「同一(同型)だが、違いもある」ってことね。この視点は大事だなw
(引用終り)

下記宇宙際タイヒミュラー理論で、”「一点抜き楕円曲線付き数体」の「数論的タイヒミューラー変形」”とある
楕円曲線は、下記のように、”複素数上で定義された楕円曲線はトーラスの複素射影平面(英語版)への埋め込みに対応する”
トーラスは、”二つの単位円周の直積集合 S1 × S1(に適当な構造を入れたもの)”なんですね
単位円周から、円周群につながります。ここから、1のn乗根の成す巡回群に繋がり、Z^(1)に繋がります

それは、Z^では無いのです!
(群として同型でも、楕円曲線との相性で Z^(1)とZ^とは別物)
分かりますか? w

IUT→「一点抜き楕円曲線付き数体」→楕円曲線は複素トーラス→トーラスは、”二つの単位円周の直積集合 S1 × S1”→1のn乗根の成す巡回群→Z^(1)=円分物(星のIUT入門)
です! 山内 卓也先生のPDF(>>250)を紹介してくれた >>241の ID:kPzJ68nvさんは、「円分指標」>>105と言っていたから、ここ分かって居たんだろうね
一方、訳わからず言っていた人も、いる気がするなww

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
宇宙際タイヒミュラー理論
p進タイヒミュラー理論、楕円曲線のホッジ・アラケロフ理論、および、数論的log Scheme圏論的表示の構成等に続いた研究であり、「一点抜き楕円曲線付き数体」の「数論的タイヒミューラー変形」を遠アーベル幾何等を用いて「計算」する数論幾何学の理論である

つづく
472132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/19(火) 00:18:15.96ID:rs7Zx6q5
>>471
つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%95%E5%86%86%E6%9B%B2%E7%B7%9A
数学における楕円曲線(だえんきょくせん、英: elliptic curve)とは種数 1 の非特異な射影代数曲線、さらに一般的には、特定の基点 O を持つ種数 1 の代数曲線を言う[1]。
楕円曲線上の点に対し、先述の点 O を単位元とする(必ず可換な)群をなすように、和を代数的に定義することができる。すなわち楕円曲線はアーベル多様体である。
楕円曲線は、代数幾何学的には、射影平面 P2 の中の三次の平面代数曲線として見ることもできる[2]。
楕円関数論を使い、複素数上で定義された楕円曲線はトーラスの複素射影平面(英語版)への埋め込みに対応することを示すことができる。トーラスもアーベル群で、実はこの対応は群同型かつ位相的に同相にもなっている。したがって、位相的には複素楕円曲線はトーラスである。
楕円曲線は、数論で特に重要で、現在研究されている主要な分野の一つである。例えば、アンドリュー・ワイルズにより(リチャード・テイラーの支援を得て)証明されたフェルマーの最終定理で重要な役割を持っている(モジュラー性定理とフェルマーの最終定理への応用を参照)。また、楕円曲線は、楕円暗号(ECC) や素因数分解への応用が見つかっている。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%A9%E3%82%B9
トーラスは、円周を回転して得られる回転面である。
いくつかの文脈では、二つの単位円周の直積集合 S1 × S1(に適当な構造を入れたもの)を「トーラス」と定義する。特に、位相幾何学における「トーラス」は、直積位相を備えた S1 × S1 に同相な図形の総称として用いられ、種数 1 の閉曲面(コンパクト二次元多様体)として特徴づけられる。
このようなトーラスは三次元ユークリッド空間 R3 に位相的に埋め込めるが、各生成円をそれぞれ別の平面 R2 に埋め込んで、それら埋め込みを保つような直積空間としての「トーラス」をユークリッド空間に埋め込むことは R3 では不可能で、R4 で考える必要がある。これはクリフォードトーラス(英語版) と呼ばれる、四次元空間内の曲面を成す。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%BE%A4
円周群とは、絶対値 1 の複素数(単位複素数)全体(つまり複素数平面上の単位円) のなす乗法群のことである
以上
2022/04/19(火) 06:54:11.63ID:IoKA4zt0
>>770
>Z^(1)とZ^とは別物

だから、

「Z^が、いかなるZ/nzを部分群としてもたなくても
 Z^(1)は、いかなる1のn乗根の成す巡回群も部分群として持つ」

って言い張ってます?

もし、そうなら、
Z^とZ^(1)は同型じゃないですけど、
それ、分かって言ってます?
2022/04/19(火) 07:01:19.27ID:IoKA4zt0
>>247
>>Z^(1)とZ^は同型であることは証明済。
>悪いが、実際に証明を見るまでは、納得してないけどね

数学の常識すら完全否定するトンデモ様でしたか
2022/04/19(火) 10:01:34.78ID:RlB8Ss2B
>>473-474
書いていないことについて
勝手な妄想で、因縁つけるとは
5ch ヤクザさん?w
書いてあること以上ではありませんので、悪しからずw
2022/04/19(火) 10:19:01.95ID:RlB8Ss2B
>>432-434 追加
https://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~matsu/math/
https://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~matsu/math/limit.pdf
極限 (2012〜)千葉大の4年生、院生向けの極限の紹介文 千葉大学大学院理学研究科 松田茂樹
P8
その要素は(略)のような xn の系列 (xn) のことだと思える。この場合自然な射 φn : lim←-Z/nZ → Z/nZ は x = (xn) ∈lim←-Z/nZ に対し, φn(x) = xn となるものである。こうして定まる逆極限を
(2.4.11.1) Z^ := lim←-Z/nZ
と書き, ゼットハットないしはズィーハットと呼ぶ。この位相環は古くは Prufer (プリュファー) 環と呼ばれ
ており, 数論では様々な場面に現れる。
(引用終り)

確かに" Prufer (プリュファー) 環"は、Wolfram MathWorldに”Prufer Ring”と出てきますが、いまではあまり使われないようです
思うに、下記の 用語 Prufer domain(整域)(これは、結構抽象的な概念です)が、普及してきて、
具体的なZ^(ゼットハットないしはズィーハット)を、”Prufer Ring”とすると、混乱するので、”Prufer Ring”は使われなくなったと思いますね

(参考)
https://mathworld.wolfram.com/PrueferRing.html
Wolfram MathWorld
Prufer Ring
A metric space Z^ in which the closure of a congruence class B(j,m) is the corresponding congruence class {x ∈ Z^|x=j (mod m)}.
REFERENCES
Fontana, M.; Huckaba, J. A.; and Papick, I. J. Prufer Domains. New York: Dekker.
Fried, M. D. and Jarden, M. Field Arithmetic. New York: Springer-Verlag, pp. 7-11, 1986.
Postnikov, A. G. Introduction to Analytic Number Theory. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1988.

https://www.researchgate.net/publication/226062331_Prufer_rings
Prufer rings December 2006
In book: Multiplicative Ideal Theory in Commutative Algebra (pp.55-72)
Authors: Silvana Bazzoni Sarah Glaz University of Connecticut

https://en.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%BCfer_domain
Prufer domain
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%97%E3%83%AA%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%BC%E6%95%B4%E5%9F%9F
プリューファー整域
2022/04/19(火) 17:46:11.38ID:IoKA4zt0
>>475
473の
「Z^が、いかなるZ/nzを部分群としてもたなくても
 Z^(1)は、いかなる1のn乗根の成す巡回群も部分群として持つ」
を否定しないのは肯定しているからですね

完全なトンデモ様でしたか
2022/04/20(水) 11:16:08.29ID:+j1z6t5y
>>477
書いていないことについて
勝手な妄想で、因縁つけるとは
5ch ヤクザさん?w
書いてあること以上ではありませんので、悪しからずw
2022/04/20(水) 21:10:03.94ID:VR0h2xEu
>>478
473の
「Z^が、いかなるZ/nzを部分群としてもたなくても
 Z^(1)は、いかなる1のn乗根の成す巡回群も部分群として持つ」
を否定しないのは肯定しているからですね

完全なトンデモ様でしたか
480132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/20(水) 21:27:46.54ID:N6Jzz7Gn
書いていないことについて
勝手な妄想で、因縁つけるとは
5ch ヤクザさん?w
書いてあること以上ではありませんので、悪しからずw
481132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/21(木) 23:47:58.98ID:zHQ+D2+z
>>471 補足
>Z^(1)と Z^(下記 Profinite integer)とは、アーベル群として同型であるが
>違いもあるってことだね

トム・レンスターの『ベーシック圏論』を読んでいる
5章 極限(逆極限)、6章 随伴・表現可能関手・極限
に、詳しい解説がある。良く分かった
小圏 Setsなどでは、 極限(逆極限)は直積Πの部分集合で
極限(逆極限)で、”完備”な性質を持つ圏ができるってことですね

有理数Qを、通常のアルキメデス付値で完備化すると実数R
非アルキメデスのp進付値の完備化でQpができる。この系統がZ^( Profinite integer)

同じように、1のn乗根を、通常のアルキメデス付値で完備化すると単位円周S1(>>472)
上記の非アルキメデスのp進付値類似の系統がZ^(1)(円分物)ってことですね

アーベル群として同型であるが
違いもあるってことだね

https://www.maruzen-publishing.co.jp/item/?book_no=295027
ベーシック圏論 普遍性からの速習コース
原書名 Basic Category Theory
著者名 斎藤 恭司 監修 土岡 俊介 訳 丸善出版 2017年01月

https://m-hiyama.はてなブログ.com/entry/20170214/1487038879
檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog) 2017-02-14
英語版無料PDFか、それとも日本語版商業出版物か:圏論と測度論
トム・レンスターの『ベーシック圏論』
「2017年 圏論に関する参考文献の案内(無料オンライン版含む)」で、書籍"Basic Category Theory"が無料PDFとして公開されたことを紹介しました

<英文のarxiv公開>
https://arxiv.org/abs/1612.09375
Basic Category Theory Tom Leinster
[v1] Fri, 30 Dec 2016 03:02:01 UTC (210 KB)
Journal reference: Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Vol. 143, Cambridge University Press, 2014
Download:PDF https://arxiv.org/pdf/1612.09375

Contents
5 Limits 107
5.1 Limits: definition and examples 107
5.2 Colimits: definition and examples 126
6 Adjoints, representables and limits 142
6.1 Limits in terms of representables and adjoints 142
6.2 Limits and colimits of presheaves 146
482132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/22(金) 06:39:38.22
よぉ 下げマス! 息してるか?
ちゃんとテンソルの勉強してるか?

3!=1^2+2^2+1^2
は、以下のヤング標準盤の対に対応する

--------
(123 123)
--------
(12 12) 
(3 3 )

(12 13)
(3 2 )

(13 12)
(2 3 )

(13 13)
(2 2 )
--------
(1 1)
(2 2)
(3 3)
--------

さて問題
上記の対は、それぞれどの順列に対応するか?

123
132
213
231
312
321
2022/04/22(金) 07:00:58.93ID:cDM6IWTx
>>481
>有理数Qを、通常のアルキメデス付値で完備化すると実数R 同じように、
>1のn乗根(の乗法群)を、通常のアルキメデス付値で完備化すると単位円周S1

有理数Qの加法群と1のn乗根の乗法群は
そもそも群として全く異なりますが
そこわかってますか?
2022/04/22(金) 16:53:57.30ID:cDM6IWTx
>>481
>1のn乗根の非アルキメデスのp進付値類似の系統が
>Z^(1)(円分物)ってことですね

いいえ
2022/04/23(土) 07:03:34.38ID:XyRMaIoL
結局 
>>481の怪しげな説明を
>>484が真正面から否定したら
ダンマリってことで終わったな

>極限(逆極限)は直積Πの部分集合で…

どんな部分集合かwikiにすら
初心者にもわかるように書かれてるのに
https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f74c48ce1dedd8c645c81e1766f398b5262dfe6
一回も自分の言葉で説明できてない時点で
射影系すら理解できてないことが明らか
486132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/23(土) 07:41:59.41
なんや、下げマス、全然テンソルの勉強しとらんのか?

>>482の答えは以下の通りや
なんでか?wiki見るかフルトンの「ヤング・タブロー」読むかしときや
https://en.wikipedia.org/wiki/Robinson%E2%80%93Schensted_correspondence

--------
123
(123 123)
--------
132
(12 12) 
(3 3 )

312
(12 13)
(3 2 )

231
(13 12)
(2 3 )

213
(13 13)
(2 2 )
--------
321
(1 1)
(2 2)
(3 3)
--------
487132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/23(土) 08:42:16.61ID:MU2asfqc
書いていないことについて
勝手な妄想で、因縁つけるとは
5ch ヤクザさん?w
書いてあること以上ではありませんので、悪しからずw

>>287 >>288
T = R/Z
分かっていない人のためにw
再録しますw

(注:limitは圏論で、逆極限のこと)
https://mathoverflow.net/questions/14487/the-continuous-as-the-limit-of-the-discrete
The continuous as the limit of the discrete mathoverflow
Reading this documment: www.math.ucla.edu/~tao/preprints/compactness.pdf, I got interested in the following thing: "One can also use compacti?cations to view the continuous as the limit of the discrete; for instance, it is possible to compactify the sequence Z/2Z, Z/3Z, Z/4Z, etc. of cyclic groups, so that their limit is the circle group T = R/Z.". Could you give me a point of start to understand what idea of compactification is being used there? Where could I find an sketch of proof for that fact?
asked Feb 7, 2010 Matt

つづく
488132人目の素数さん
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2022/04/23(土) 08:42:41.42ID:MU2asfqc
>>487
つづき

Answer 4
I'd like to clear up something that came up in the comments. There are two natural ways to fit the finite cyclic groups together in a diagram. One is to take the morphisms Z/nZ→Z/mZ,m|n given by sending 1 to 1. This gives a diagram (inverse system) whose limit (inverse limit) is the profinite completion Z^ of Z. This diagram also makes sense in the category of unital rings, since they also respect the ring structure, giving the profinite integers the structure of a commutative ring.

This is not the diagram relevant to understanding the circle group. Instead, one needs to take the morphisms Z/nZ→Z/mZ,n|m given by sending 1 to mn. This is the diagram relevant to understanding the cyclic groups as subgroups of their colimit (direct limit), which is, as I have said, Q/Z. And this group, in turn, compactifies to the circle group in whichever way you prefer.

(These two diagrams are "dual," though, something which I learned recently when I was asked to prove on an exam that Hom(Q/Z,Q/Z)?Z^. Just observe that Hom(Z/nZ,Q/Z)?Z/nZ and that contravariant Hom functors send colimits to limits!)

Edit: Let me also say something about the precise meaning of "compactification" here. A compactification of a space T is an embedding T→X into a compact Hausdorff space X with dense image. The embedding being considered here is the obvious one from Q/Z to R/Z, and the fact that it has dense image is essentially what the word "completion" also means. Compactifications are not unique, but it's possible that there is a sense in which as a topological group R/Z is the "most natural" compactification of Q/Z. But I don't know too much about topological groups.
answered Feb 7, 2010 Qiaochu Yuan

つづく
489132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/23(土) 08:43:07.74ID:MU2asfqc
>>488
つづき

下記のTao ”so that their limit is the circle group T = R/Z examples of compactifications (and to the closely related concept of completions)”を百回音読しましょう!
https://www.math.ucla.edu/~tao/preprints/misc.html
Preprints in miscellaneous topics
Princeton Companion to Mathematics
https://www.math.ucla.edu/~tao/preprints/compactness.pdf
COMPACTNESS AND COMPACTIFICATION
TERENCE TAO
P4
Another use of compactifications is to allow one to rigorously view one type of
mathematical object as a limit of others. For instance, one can view a straight
line in the plane as the limit of increasingly large circles, by describing a suitable
compactification of the space of circles which includes lines; this perspective allows
us to deduce certain theorems about lines from analogous theorems about circles,
and conversely to deduce certain theorems about very large circles from theorems
about lines. In a rather different area of mathematics, the Dirac delta function is
not, strictly speaking, a function, but exists in a certain (local) compactification
of spaces of functions, such as spaces of measures or distributions. Thus one can
view the Dirac delta function as a limit (in a suitably weak topology) of classical
functions, which can be very useful for manipulating that function. One can also use
compactifications to view the continuous as the limit of the discrete; for instance,
it is possible to compactify the sequence Z/2Z, Z/3Z, Z/4Z, etc. of cyclic groups,
so that their limit is the circle group T = R/Z. These simple examples can be
generalised into much more sophisticated examples of compactifications (and to the
closely related concept of completions), which have many applications in geometry,
analysis, and algebra.
(引用終り)
以上
490132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/23(土) 08:50:04.64ID:MU2asfqc
>>488 文字化け訂正

(These two diagrams are "dual," though, something which I learned recently when I was asked to prove on an exam that Hom(Q/Z,Q/Z)?Z^. Just observe that Hom(Z/nZ,Q/Z)?Z/nZ and that contravariant Hom functors send colimits to limits!)
 ↓
(These two diagrams are "dual," though, something which I learned recently when I was asked to prove on an exam that Hom(Q/Z,Q/Z)=〜Z^. Just observe that Hom(Z/nZ,Q/Z)=〜Z/nZ and that contravariant Hom functors send colimits to limits!)

まあ、原文見れば分かるのだが
2022/04/23(土) 09:54:44.38ID:/yT+od0X
数学を理解するのに「音読」という言葉が出てくるのが分からない。
2022/04/23(土) 12:42:43.17ID:XyRMaIoL
>>487-490
MU2asfqcは、もしかしてZ^=Tって誤解してる?

488の以下の英文読んでないか、読んだが全く理解できずに見切り発車したか

There are two natural ways to fit the finite cyclic groups together in a diagram.
One is to take the morphisms Z/nZ→Z/mZ,m|n given by sending 1 to 1.
This gives a diagram (inverse system) whose limit (inverse limit) is the profinite completion Z^ of Z.
This diagram also makes sense in the category of unital rings, since they also respect the ring structure, giving the profinite integers the structure of a commutative ring.

This is not the diagram relevant to understanding the circle group.
Instead, one needs to take the morphisms Z/nZ→Z/mZ,n|m given by sending 1 to mn.
This is the diagram relevant to understanding the cyclic groups as subgroups of their colimit (direct limit), which is, as I have said, Q/Z.
And this group, in turn, compactifies to the circle group in whichever way you prefer.

「射が違えば、射影系としては全く異なるし、
 結果として得られる射影極限も全く異なる」
ってことすら知らない素人は最初の一歩で間違うね
493132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/24(日) 06:46:29.20ID:/7dcPctj
書いていないことについて
勝手な妄想で、因縁つけるとは
5ch 妄想ヤクザさん?w
書いてあること以上ではありませんので、悪しからずw
494132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/24(日) 07:18:23.36ID:/7dcPctj
>>487-490 補足

まあ、マジレスすれば
limitは圏論で、逆極限のことですが、集合論レベルでは、ある直積の部分集合で
直積を、(無限次元)ベクトルと思うと、その成分に
Z^(>>476)では、Z/nZを使い
Z^(1) (>>180)では、μn(Ω) ( Ω の中の 1 の n 乗根のなす群)を使う

Z/nZとμn(Ω)とは、どちらも巡回群で同型です
でも、違いもあって
1 の n 乗根のなす群の方が、単位円周 S1との相性が、良いんだ(>>471)

だから、宇宙際タイヒミュラー理論が、”「一点抜き楕円曲線付き数体」の「数論的タイヒミューラー変形」”として(>>471)
楕円曲線はトーラスの複素射影平面(英語版)への埋め込みで、
トーラスは、”二つの単位円周の直積集合 S1 × S1(に適当な構造を入れたもの)とすると
1 の n 乗根のなす群μn(Ω)を使う方が、相性がいい

だから、星 裕一郎 宇宙際Teichmuller理論入門で、>>180
Z^(1) (円分物) Λ(Ω) def := lim ←-n μn(Ω)
  ー ここで, n ≧ 1 に対して, μn(Ω) ⊆ Ω は, Ω の中の 1 の n 乗根のなす群を表す
と出てくるってわけだってことです (l進表現>>453 でも同様でしょう)
2022/04/24(日) 08:01:04.07ID:B58pvhrO
>>494
では”マジレス”にマジレスさせてもらうね

Z/nZでもμn(Ω)でもどちらでも結構だが
射影極限がZ^になる系とT(=R/Z)になる系は
射からして違う

例えば射Z/6Z→Z/2nを考える

前者の系の射は
0→0
1→1
2→0
3→1
4→0
5→1

後者の系の射は
0→0
1→0
2→0
3→1
4→1
5→1

つまり、Z/nZかμn(Ω)かで結果が変わるのではなく、射の違いで結果が変わる

こんなこと一度でも考えたなら
言われなくてもわかるんだけどなぁ
496132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/24(日) 10:04:26.23ID:B58pvhrO
射が違えば極限も違う って理解できた? >/7dcPctj
497132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/24(日) 10:42:43.56ID:/7dcPctj
これ結構面白そうです。貼っておきます
https://www.afpbb.com/articles/-/3399837
AFP
素粒子「Wボソン」質量 標準理論との顕著な「ずれ」最新研究
2022年4月13日 16:09 発信地:パリ/フランス [ フランス ヨーロッパ ]

【4月13日 AFP】素粒子の一種「Wボソン」が、理論値を著しく上回る質量を持つとする研究論文が7日、発表された。約10年に及ぶ精密な測定に基づくもので、宇宙の仕組みに関する理解の根幹を揺るがす研究結果だ。

 テバトロン加速器を使った「CDF(Collider Detector at Fermilab)衝突実験」の研究チームによると、Wボソンの質量を0.01%の精度で測定できた。これは従来の測定実験の2倍の精度だという。

 そして、Wボソンの質量の測定値と標準理論の予測とでは、実験誤差を表す標準偏差(シグマ)の7倍のずれがあることを明らかにした。

 欧州合同原子核研究機構(CERN)の世界最大の粒子加速器「大型ハドロン衝突型加速器(LHC)」で研究を行っている英ケンブリッジ大学(Cambridge University)の粒子物理学者、ハリー・クリフ(Harry Cliff)氏は、「まぐれでシグマの5倍の結果が得られる確率は350万分の1だ」と説明する。

「この結果が本当だとすると、何らかのシステム的な偏りや計算方法の誤解でもないのであれば、これは大変なことだ。これまでに未発見の新たな宇宙の基本構成要素が存在することを意味するからだ」とクリフ氏は述べている。(c)AFP/Pierre Celerier and Daniel Lawler
498132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/24(日) 13:38:32.93
ηは自分が理解できないと面白いんだ

サルの感覚はヒトには全く理解できんw

ギャハハハハハハ!!!
2022/04/24(日) 18:10:58.66ID:wiw0EQPo
>>下げマスS-Eta
> 書いていないことについて
> 勝手な妄想で、因縁つけるとは
> 5ch 妄想ヤクザさん?w
> 書いてあること以上ではありませんので、悪しからずw

え?勝手な妄想じゃなくて、論理的帰結じゃね?それも論理的帰結は論理的帰結でも
論理学上の同値とも云うべき『同義』に当たる。

だから
> 書いてあること以上ではありません
と言えども同義の範囲は『明言』されてなくても決定筋。此の決定筋が事実と異なるにしろ
お前の言い分からは、そういう決定筋しか導かれない。言い足りて無い事が有ったら有ったで其れはお前の舌足らず。
結局お前がどう悪足掻きレスしようが、お前は此れ迄と変わらず負け惜しみレスしか出来て居ない事実が
現在進行形で続いてる事にしか成っていない。
2022/04/24(日) 18:25:39.67ID:wiw0EQPo
猿石の事をヤクザと言ってるけど
実際はセタが居座り型ゴロや、あー言えばこー言う型被告みたいな
助けて人権団体的なゴネ通ししかしてないんだよな。何せ此のゴミって
数学の体系は解釈の仕方(ごとき)でどうとでも矛盾なく構築できると勘違いしてる、逃げ認識野郎だから。

これまで風説の流布レス、事実と異なる数学記事レス、ミスリードレスを数千行って来たセタ。
いつ立ち退くんだろ?コイツの方が猿石なんかよりよっぽどヤクザだろ。
2022/04/24(日) 18:40:20.20
>>500
MPは書き込みが893っぽく見えるだけでいってることはまとも
ηは口調が丁寧なだけでいってることはジコチュウサイコパス
2022/04/25(月) 09:44:41.53ID:ppuDEX1c
sage
2022/04/25(月) 09:48:37.20ID:ppuDEX1c
>>500
スレ主です
今後、個人名を詮索しようとするレスは、荒らしとして通報します
分かりましたか ID:wiw0EQPoさん
最悪は、長期アク禁か 浪人のBAN(焼き)でしょうね
504132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/25(月) 18:52:57.98
よぉ 下げマス! 息してるか?
ヤングタブロー読んだか?w



(1,1)

13

(13、12)

132

(12 12)
(3  3 )
505132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/25(月) 18:54:49.41
よぉ 下げマス! 息してるか?
ヤングタブロー読んだか?w



(3、1)

31

(1 1)
(3 2)

312
(12 13)
(3  2 )
506132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/25(月) 18:56:33.37
よぉ 下げマス! 息してるか?
ヤングタブロー読んだか?w



(2、1)

23

(23 12)

231

(13 12)
(2  3 )
2022/04/25(月) 18:57:56.96
よぉ 下げマス! 息してるか?
ヤングタブロー読んだか?w



(2、1)

21

(1 1)
(2 2)

213

(13 13)
(2  2 )
2022/04/25(月) 18:59:59.68
4つも例を示してやったぞ! 下げマス

これでロビンソン・シェンステッド対応が理解できたら
おまえもサルからヒトに進級させてやるよ

ギャハハハハハハ!!!
2022/04/26(火) 00:13:44.21ID:mPzNo57D
ロンドンブーツ田村淳 
「嫌なら見なきゃいいじゃん。君らのテレビはチャンネル変えられないの?ネチネチうるさいって言われない? 力つけないと。お前に影響力ないから」

99 岡村隆史
「嫌なら見るなや。何でもツイッターで呟くな!は?ミステリー作家? 知らんわ、お前がミステリーやわ」

ビートたけし
「韓流ばかり放送するたってそれである程度視聴率取るんだからしょうがないよな。いやなら見なきゃいいんじゃねーか」

ダウンタウン 松本
「お前らチャンネル変える能力もないんやな。どんだけ無能やねん(笑)」

やしきたかじん
「(韓流番組が)イヤやったら観んとったらえぇんちゃうの」

マツコ デラックス
「フジテレビのデモは新右翼の集まり」

テリー 伊藤
「高岡さんは精神的にアレですよ」

ミッツ マングローブ
「ネットは仮想敵国を作りたがる。(カメラ目線で)日本人はこういう意見じゃないですから」

江川 紹子
「ふかわの意見は中身がないにゃ」
510132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/26(火) 07:36:40.24ID:n8Wwiz6U
>>509
>ロンドンブーツ田村淳 
>「嫌なら見なきゃいいじゃん。君らのテレビはチャンネル変えられないの?ネチネチうるさいって言われない? 力つけないと。お前に影響力ないから」

ありがとう
それ、賛成!

下記に数学科の定員がある
”東工大理学院数学科:29名”らしい

いま、簡単に26名として、名前をアルファベットで、A〜Zとしよう
A君「B君な、君はxxの概念を理解していないな」
B君「A君よ、君にとって、私が理解しているかどうか、そんなことはどうでも良いんじゃね? そんな詮索に時間を使うなら、文献の一つでも読んだらどうだ? おれは時間の無駄だから おまえを相手しないよ!」w

実際、数学科のA君がやるべきは、B君が理解しているかどうかを確認することではないよね
問題は、A君自身が正しく理解しているかどうかだけ
だったら、A君は「自分は、xxの概念をこう理解しているが、これで正しいか?」と聞くべきじゃね?

まあ、落ちこぼれは哀れだな
ネチネチうるさいって言われない?

(参考)
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q11229187561
東大〉京大=東工大=一橋大さん 2020/8/5 yahoo
東大、京大、東工大の理学部数学科の定員をそれぞれ教えてください。

ベストアンサー
a**********さん
2020/8/5 22:58

東大理学部数学科:45名
理Tからが大半だが、理Uからも若干名進学。

京大理学部数学系:57名
理学部は学科でなく、「系」でわかれる。
そのうちの「数理科学系」が数学科に相当。

東工大理学院数学科:29名
東工大は学部でなく、「学院」で募集
その中の「数学系」が数学科に相当。

参考
https://todai.info/shinfuri/science.php
http://www.kyoto-u.ac.jp/contentarea/ja/education-campus/publish/documents/2016/6-2-2-105.pdf
https://educ.titech.ac.jp/math/about_us/overview.html
※学士1〜4年合わせて116人、4で割って29人とした(元々25〜30人)
(引用終り)
以上
2022/04/26(火) 12:30:04.50ID:fKN3/Brk
>>1はこのスレのアボジ
2022/04/26(火) 14:51:45.78ID:Vj3hNRqz
>>511
ありがとさん
513132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/26(火) 17:55:21.25
>>509
それ、分かりもせんのに「ガロア理論がー」とかいってスレ立てて
正規部分群の条件のgNg^(-1)=Nの"="を同値と誤解した
下げマスとかいうパクチー野郎一匹に対する当てこすりだよなw

「わからんなら書かなきゃいいじゃん。
 君は書き込みもやめられないの?
 ギャアギャアうるさいって云われない?力つけないと。
”工業高校中退の中卒の”お前には何の影響力ないから」

ギャハハハハハハ!!!
514132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/26(火) 17:57:46.20
>>510
東大京大東工大どころか地元阪大にすら入れん
大阪市立〇〇工業高校1年中退の中卒である
下げマスには数学科の定員など全く関係ないだろ

ギャハハハハハハ!!!
515132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/26(火) 17:59:30.92
>>511-512
下げマス チョソンサラミムニダ
2022/04/28(木) 23:22:19.91ID:waSWXVWr
>>503
言うてセタはオドレの通称されとるだけじゃろ嘘主張幾千謝罪拒否男
所で、いきなり女みたいな口調に成らんでええぞ
517132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/29(金) 10:50:20.51ID:b8gsErp4
>>513
下記転載しておきますw

(参考)
Inter-universal geometry とABC 予想49
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1650714023/63-77
63 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2022/04/28(木) 02:12:56.06 ID:eX/QmZx3 [1/2]
>>62
iNスペみただけですよ
それで十分わかります
あの文脈で数学の世界では私の言ってる意味にしか取りようはありません
そんな当たり前のどう頑張って見ても氾濫しようのないところで勉強したこともないトウシロウのくせに突っかかってくるのが鬱陶しいんですよ

65 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2022/04/28(木) 02:19:28.00 ID:eX/QmZx3 [2/2]
>>64
さようなら
数学の勉強する気がないなら二度と戻ってこないでください

66 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2022/04/28(木) 06:21:05.44 ID:evaTQeyk
能力的にも業績的にもパッとしないやつに限って
「自分たちが住まう崇高な数学の世界から素人は出て行け」と言いたがる。
数学世界の守護神気取りで、三流大学の研究者に多い。いてもいなくてどっちでもいい穀潰しのくせにねw

77 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2022/04/28(木) 11:27:08.96 ID:90oIbXEw [3/5]
>>66
>能力的にも業績的にもパッとしないやつに限って
>「自分たちが住まう崇高な数学の世界から素人は出て行け」と言いたがる。
>数学世界の守護神気取りで、三流大学の研究者に多い。いてもいなくてどっちでもいい穀潰しのくせにねw

賛成!!
それと、”三流”うんぬんではなく、数学科で落ちこぼれた人たちが、それを言っている気がする
つまり、「おれが分からなかった崇高なる数学が、数学科でもない ”おまいら素人”に分かるわけない!」という
そして、落ちこぼれた自分を慰めるんだね
かつ、”崇高なる数学の世界”を、神域として囲い込む行為に必死になるんだね
数学板に、数人見かけるな
518132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/29(金) 11:20:29.96ID:0+9nvxkb
>>517
数学板の住人がみな落ちこぼれというわけではないことに注意。
519132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/29(金) 11:51:18.20ID:b8gsErp4
>>518
ありがと
まあ別に、「数学板の住人がみな落ちこぼれ」とは言ってない
人に突っかかってくるのに多いとは、感じるよ
520132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/29(金) 11:51:41.46ID:b8gsErp4
下記の 河東泰之さんの話が面白いね。中学生で、数学セミナー 読んでたとか。あと、数理物理学が専門なんだ
大栗博司さん、この人の話は、いつも面白い

https://www.nippyo.co.jp/shop/magazines/latest/4.html
数学セミナー  2022年5月号

内容紹介
創刊60周年となる小誌と同じく1962年生まれの研究者の方々に、どのような数学人生を送ってこられたかを語っていただく。それぞれの60年の歩みから、数学への想いが見えてくる。

集= 数学と歩んできた道
__________________________

*『数学セミナー』を読んでいた頃,そして数理物理学との出会い     ……河東泰之 8

*佐藤幹夫とマッカイとパンルヴェと……大山陽介 12

*数学という贈り物……大栗博司 22

*「リーマン予想」から「数学者殺人事件」まで……小山信也 28
521132人目の素数さん
垢版 |
2022/04/29(金) 13:21:36.16ID:0+9nvxkb
こういう記事を読むたび
惨めな気持ちになってしまう
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