クレレ誌：
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%83%AC%E8%AA%8C
クレレ誌はアカデミーの紀要ではない最初の主要な数学学術誌の一つである（Neuenschwander 1994, p. 1533）。ニールス・アーベル、ゲオルク・カントール、ゴットホルト・アイゼンシュタインらの研究を含む著名な論文を掲載してきた。
(引用終り)
そこで
現代の純粋・応用数学（含むガロア理論）を目指して
新スレを立てる（＾＾；
＜過去スレ＞
・純粋・応用数学（含むガロア理論）3
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/
・純粋・応用数学（含むガロア理論）2
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592578498/
・純粋・応用数学
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582599485/
＜関連過去スレ（含むガロア理論）＞
・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む84
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582200067/
・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む83
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/
＜関連姉妹スレ＞
・Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 48
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592119272/
・IUTを読むための用語集資料集スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/
・現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/
探検
純粋・応用数学（含むガロア理論）4
レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
2020/08/30(日) 09:42:39.25ID:oR3g+efa
2現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/08/30(日) 09:44:03.90ID:oR3g+efa なお、
おサル＝サイコパス＊のピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets＊＊） （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（＊＊）注；https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperboloid Hyperboloid
Hyperboloid of two sheets ：https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Hyperboloid2.png/150px-Hyperboloid2.png
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E9%9D%A2 双曲面
二葉双曲面 ：https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b5/HyperboloidOfTwoSheets.svg/180px-HyperboloidOfTwoSheets.svg.png
おサル、あいつは 双曲幾何の修論でも書いたみたいだなｗ（＾＾）
可哀想に、数学科のオチコボレで、鳥無き里のコウモリ＊）そのもので、威張り散らし、誰彼無く噛みつくアホ
本来お断り対象だが、他のスレでの迷惑が減るように、このスレで放し飼いとするｗ（＾＾
注＊）鳥無き里のコウモリ：自分より優れた数学DRやプロ数学者が居ないところで、たかが数学科のオチコボレが、威張り散らす姿は、哀れなり～！（＾＾；
＜＊）サイコパスの特徴＞
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
低脳幼稚園児のAAお絵かき
小学レベルとバカプロ固定
小学生がいますので、18金（禁）よろしくね！（＾＾
おサル＝サイコパス＊のピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets＊＊） （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（＊＊）注；https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperboloid Hyperboloid
Hyperboloid of two sheets ：https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Hyperboloid2.png/150px-Hyperboloid2.png
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E9%9D%A2 双曲面
二葉双曲面 ：https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b5/HyperboloidOfTwoSheets.svg/180px-HyperboloidOfTwoSheets.svg.png
おサル、あいつは 双曲幾何の修論でも書いたみたいだなｗ（＾＾）
可哀想に、数学科のオチコボレで、鳥無き里のコウモリ＊）そのもので、威張り散らし、誰彼無く噛みつくアホ
本来お断り対象だが、他のスレでの迷惑が減るように、このスレで放し飼いとするｗ（＾＾
注＊）鳥無き里のコウモリ：自分より優れた数学DRやプロ数学者が居ないところで、たかが数学科のオチコボレが、威張り散らす姿は、哀れなり～！（＾＾；
＜＊）サイコパスの特徴＞
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
低脳幼稚園児のAAお絵かき
小学レベルとバカプロ固定
小学生がいますので、18金（禁）よろしくね！（＾＾
3現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/08/30(日) 10:02:16.00ID:oR3g+efa メモ
"注意
上記の構成は、ウェダーバーンの用いた直和と直積の語法に従ったものだが、これは圏論で用いる直和と直積の慣習とは異なる。圏論的な用語では、ウェダーバーンの意味での直和は圏論的直積であり、一方ウェダーバーンの意味での直積は余積（圏論的直和）である（実はこれは（可換多元環に対して）多元環のテンソル積に対応する）"か
圏論から入った用語で、混乱していますね（＾＾；
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%A0%E7%BE%A4%E3%81%AE%E7%9B%B4%E5%92%8C
加群の直和
(抜粋)
抽象代数学における直和（ちょくわ、英: direct sum）は、いくつかの加群を一つにまとめて新しい大きな加群にする構成である。加群の直和は、与えられた加群を「不必要な」制約なしに部分加群として含む最小の加群であり、余積の例である。双対概念である直積（英語版）と対照をなす。
この構成の最もよく知られた例はベクトル空間（体上の加群）やアーベル群（整数環 Z 上の加群）を考えるときに起こる。構成はバナッハ空間やヒルベルト空間をカバーするように拡張することもできる。
ベクトル空間とアーベル群に対する構成
まずこれら二つについて、対象が二つだけの場合と仮定して構成を与え、それからそれらを任意の加群の任意の族に一般化する。一般的な構成の重要な部分は、これら二つのケースを深く考えることによって、よりはっきり浮かび上がってくるだろう。
2つのベクトル空間に対する構成
V と W を体 K 上のベクトル空間とする。カルテジアン積 V × W に K 上のベクトル空間の構造を成分ごとに演算を定義することによって与えることができる (Halmos 1974, §18)
得られるベクトル空間は V と W の直和 (direct sum) と呼ばれ、通常円の中にプラスの記号で表記される：
V＋◯ W
順序付けられた和の元を順序対 (v, w) ではなく和 v + w として書くのが慣習である。
V ＋◯ W の部分空間 V × {0} は V に同型でありしばしば V と同一視される。
この構成はただちに任意の有限個のベクトル空間に一般化する。
つづく
"注意
上記の構成は、ウェダーバーンの用いた直和と直積の語法に従ったものだが、これは圏論で用いる直和と直積の慣習とは異なる。圏論的な用語では、ウェダーバーンの意味での直和は圏論的直積であり、一方ウェダーバーンの意味での直積は余積（圏論的直和）である（実はこれは（可換多元環に対して）多元環のテンソル積に対応する）"か
圏論から入った用語で、混乱していますね（＾＾；
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%A0%E7%BE%A4%E3%81%AE%E7%9B%B4%E5%92%8C
加群の直和
(抜粋)
抽象代数学における直和（ちょくわ、英: direct sum）は、いくつかの加群を一つにまとめて新しい大きな加群にする構成である。加群の直和は、与えられた加群を「不必要な」制約なしに部分加群として含む最小の加群であり、余積の例である。双対概念である直積（英語版）と対照をなす。
この構成の最もよく知られた例はベクトル空間（体上の加群）やアーベル群（整数環 Z 上の加群）を考えるときに起こる。構成はバナッハ空間やヒルベルト空間をカバーするように拡張することもできる。
ベクトル空間とアーベル群に対する構成
まずこれら二つについて、対象が二つだけの場合と仮定して構成を与え、それからそれらを任意の加群の任意の族に一般化する。一般的な構成の重要な部分は、これら二つのケースを深く考えることによって、よりはっきり浮かび上がってくるだろう。
2つのベクトル空間に対する構成
V と W を体 K 上のベクトル空間とする。カルテジアン積 V × W に K 上のベクトル空間の構造を成分ごとに演算を定義することによって与えることができる (Halmos 1974, §18)
得られるベクトル空間は V と W の直和 (direct sum) と呼ばれ、通常円の中にプラスの記号で表記される：
V＋◯ W
順序付けられた和の元を順序対 (v, w) ではなく和 v + w として書くのが慣習である。
V ＋◯ W の部分空間 V × {0} は V に同型でありしばしば V と同一視される。
この構成はただちに任意の有限個のベクトル空間に一般化する。
つづく
4現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/08/30(日) 10:04:04.14ID:oR3g+efa >>3
つづき
2つのアーベル群に対する構成
加法的に書かれるアーベル群 G と H に対して、G と H の直積 (direct product) はまた直和 (direct sum) とも呼ばれる (Mac Lane & Birkhoff 1999, §V.6)。したがってカルテジアン積 G × H は成分ごとに演算を定義することによってアーベル群の構造が入る
得られるアーベル群は G と H の直和 (direct sum) と呼ばれ、通常円の中にプラスの記号で表記される：
G＋◯ H
順序付けられた和の元を順序対 (g, h) ではなく和 g + h として書くのが慣習である。
G ＋◯ H の部分群 G × {0} は G に同型でありしばしば G と同一視される。
この構成は直ちに有限個のアーベル群に一般化する。
付加的な構造をもった加群の直和
多元環の直和
多元環 X と Y の直和とは、ベクトル空間の直和に積を
(x_{1}+y_{1})(x_{2}+y_{2})=(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})
で入れたものをいう。これらの古典的な例を考えよう：
・ {R ＋◯ R} は分解型複素数に環同型であり、区間算術（英語版）においても使われる。
・ {C ＋◯ C} は 1848 年にジェームズ・コックル（英語版）によって導入されたテッサリンの多元環である。
・ {H ＋◯ H} は、分解型双四元数（英語版）と呼ばれ、1873 年にクリフォード（英語版）によって導入された。
ジョゼフ・ウェダーバーン（英語版）は、自身の超複素数の分類において、多元環の直和の概念を利用した (Wedderburn, Lectures on Matrices (1934), page 151)。
ウェダーバーンは多元環の直和と直積の違いを以下のように明らかにしている。
すなわち、直和に対して係数体は両方の成分に同時に作用する (λ (x ＋◯ y)=λx ＋◯λy) が、
一方で直積に対しては両方ではなく一方のみがスカラー倍される (λ (x,y)=(λx,y)=(x,λy)).
注意
上記の構成は、ウェダーバーンの用いた直和と直積の語法に従ったものだが、これは圏論で用いる直和と直積の慣習とは異なる。圏論的な用語では、ウェダーバーンの意味での直和は圏論的直積であり、一方ウェダーバーンの意味での直積は余積（圏論的直和）である（実はこれは（可換多元環に対して）多元環のテンソル積に対応する）。
(引用終り)
以上
つづき
2つのアーベル群に対する構成
加法的に書かれるアーベル群 G と H に対して、G と H の直積 (direct product) はまた直和 (direct sum) とも呼ばれる (Mac Lane & Birkhoff 1999, §V.6)。したがってカルテジアン積 G × H は成分ごとに演算を定義することによってアーベル群の構造が入る
得られるアーベル群は G と H の直和 (direct sum) と呼ばれ、通常円の中にプラスの記号で表記される：
G＋◯ H
順序付けられた和の元を順序対 (g, h) ではなく和 g + h として書くのが慣習である。
G ＋◯ H の部分群 G × {0} は G に同型でありしばしば G と同一視される。
この構成は直ちに有限個のアーベル群に一般化する。
付加的な構造をもった加群の直和
多元環の直和
多元環 X と Y の直和とは、ベクトル空間の直和に積を
(x_{1}+y_{1})(x_{2}+y_{2})=(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})
で入れたものをいう。これらの古典的な例を考えよう：
・ {R ＋◯ R} は分解型複素数に環同型であり、区間算術（英語版）においても使われる。
・ {C ＋◯ C} は 1848 年にジェームズ・コックル（英語版）によって導入されたテッサリンの多元環である。
・ {H ＋◯ H} は、分解型双四元数（英語版）と呼ばれ、1873 年にクリフォード（英語版）によって導入された。
ジョゼフ・ウェダーバーン（英語版）は、自身の超複素数の分類において、多元環の直和の概念を利用した (Wedderburn, Lectures on Matrices (1934), page 151)。
ウェダーバーンは多元環の直和と直積の違いを以下のように明らかにしている。
すなわち、直和に対して係数体は両方の成分に同時に作用する (λ (x ＋◯ y)=λx ＋◯λy) が、
一方で直積に対しては両方ではなく一方のみがスカラー倍される (λ (x,y)=(λx,y)=(x,λy)).
注意
上記の構成は、ウェダーバーンの用いた直和と直積の語法に従ったものだが、これは圏論で用いる直和と直積の慣習とは異なる。圏論的な用語では、ウェダーバーンの意味での直和は圏論的直積であり、一方ウェダーバーンの意味での直積は余積（圏論的直和）である（実はこれは（可換多元環に対して）多元環のテンソル積に対応する）。
(引用終り)
以上
5１３２人目の素数さん
2020/08/30(日) 11:06:15.63ID:b+bKalul >>2
>注＊）鳥無き里のコウモリ：自分より優れた数学DRやプロ数学者が居ないところで、たかが数学科のオチコボレが、威張り散らす姿は、哀れなり～！（＾＾；
高卒落ちこぼれのくせに威張り散らしてる君より1ペタ倍マシ
>注＊）鳥無き里のコウモリ：自分より優れた数学DRやプロ数学者が居ないところで、たかが数学科のオチコボレが、威張り散らす姿は、哀れなり～！（＾＾；
高卒落ちこぼれのくせに威張り散らしてる君より1ペタ倍マシ
6１３２人目の素数さん
2020/08/30(日) 11:09:31.10ID:5gNFgTYC >>5
◆yH25M02vWFhPは「鵜の真似をする烏」
《自分に姿が似ている鵜のまねをして水に入った烏がおぼれる意から》
自分の能力をよく考えず、みだりに人まねをすると、
必ず失敗するということのたとえ。
◆yH25M02vWFhPは「鵜の真似をする烏」
《自分に姿が似ている鵜のまねをして水に入った烏がおぼれる意から》
自分の能力をよく考えず、みだりに人まねをすると、
必ず失敗するということのたとえ。
2020/08/30(日) 11:13:27.03ID:ge8tmrzk
>>1
●購入ありがとう、運営
●購入ありがとう、運営
8現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/08/30(日) 15:16:50.05ID:oR3g+efa メモ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%84_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)
射 (圏論)
型射あるいは射（しゃ、英: morphism; モルフィズム）は、ある数学的構造を持つ数学的対象から別の数学的対象への「構造を保つ」写像の意味で用いられる（準同型）。
圏を図式と呼ばれる有向グラフによって見る立場から、射は有向辺あるいは矢印 (arrow) と呼ばれることもある。
射は始域から終域へ向かう「矢印」として表される。X から Y への射全体の成す集まりは、homC(X,Y) あるいは単に hom(X, Y) で表され、射の類、ホム類 (hom-class) あるいは（特に類が小さいとき）射集合またはホム集合 (hom-set)（"hom" は同じを意味する "homo-" あるいは準同型 ("homomorphism") から）と呼ばれる。
特定の種類の射
・単射: 射 f: X → Y が単射 (mono-morphism) であるとは、f * g1 = f * g2 ならば g1 = g2 が任意の射 g1, g2: Z → X に対して成り立つことである。モノ射 (mono) あるいは単型射 (monic) とも呼ばれる[1]。
・射 f が左逆射 (left inverse) を持つとは、射 g: Y → X で g * f = idX を満たすものが存在するときに言う。左逆射 g は f の引き込み（英語版） (retraction) とも言う[1]。左逆射を持つ射は常に単射だが、逆は任意の圏においては必ずしも成り立たない（左逆射をもたない単射が存在する）。
・具体圏（英語版）において、左逆射を持つ写像は集合論的単射（単写）すなわち入射的 (injective) である。即ち、具体圏において（圏論的）単射は殆ど常に（集合論的）単射である。注意すべきは、入射的であるという条件は単型であるという条件よりは強いが、分裂単射であるという条件よりは弱いことである。
・全射: 双対的に、f: X → Y が全射 (epi-morphism) であるとは、g1 * f = g2 * f ならば g1 = g2 が任意の射 g1, g2: Y → Z に対して成立するときに言う。エピ射 (epi) あるいは全型射 (epic) とも言う[1]。
・射 f が左逆射 (left inverse) を持つとは、射 g: Y → X で g * f = idX を満たすものが存在するときに言う。左逆射 g は f の引き込み（英語版） (retraction) とも言う[1]。左逆射を持つ射は常に単射だが、逆は任意の圏においては必ずしも成り立たない（左逆射をもたない単射が存在する）。
つづく
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%84_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)
射 (圏論)
型射あるいは射（しゃ、英: morphism; モルフィズム）は、ある数学的構造を持つ数学的対象から別の数学的対象への「構造を保つ」写像の意味で用いられる（準同型）。
圏を図式と呼ばれる有向グラフによって見る立場から、射は有向辺あるいは矢印 (arrow) と呼ばれることもある。
射は始域から終域へ向かう「矢印」として表される。X から Y への射全体の成す集まりは、homC(X,Y) あるいは単に hom(X, Y) で表され、射の類、ホム類 (hom-class) あるいは（特に類が小さいとき）射集合またはホム集合 (hom-set)（"hom" は同じを意味する "homo-" あるいは準同型 ("homomorphism") から）と呼ばれる。
特定の種類の射
・単射: 射 f: X → Y が単射 (mono-morphism) であるとは、f * g1 = f * g2 ならば g1 = g2 が任意の射 g1, g2: Z → X に対して成り立つことである。モノ射 (mono) あるいは単型射 (monic) とも呼ばれる[1]。
・射 f が左逆射 (left inverse) を持つとは、射 g: Y → X で g * f = idX を満たすものが存在するときに言う。左逆射 g は f の引き込み（英語版） (retraction) とも言う[1]。左逆射を持つ射は常に単射だが、逆は任意の圏においては必ずしも成り立たない（左逆射をもたない単射が存在する）。
・具体圏（英語版）において、左逆射を持つ写像は集合論的単射（単写）すなわち入射的 (injective) である。即ち、具体圏において（圏論的）単射は殆ど常に（集合論的）単射である。注意すべきは、入射的であるという条件は単型であるという条件よりは強いが、分裂単射であるという条件よりは弱いことである。
・全射: 双対的に、f: X → Y が全射 (epi-morphism) であるとは、g1 * f = g2 * f ならば g1 = g2 が任意の射 g1, g2: Y → Z に対して成立するときに言う。エピ射 (epi) あるいは全型射 (epic) とも言う[1]。
・射 f が左逆射 (left inverse) を持つとは、射 g: Y → X で g * f = idX を満たすものが存在するときに言う。左逆射 g は f の引き込み（英語版） (retraction) とも言う[1]。左逆射を持つ射は常に単射だが、逆は任意の圏においては必ずしも成り立たない（左逆射をもたない単射が存在する）。
つづく
9現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/08/30(日) 15:17:25.77ID:oR3g+efa >>8
つづき
・単射でも全射でもあるような射は全単射あるいは双射 (bimorphism) と呼ばれる。
・同型射: 射 f: X → Y に対して射 g: Y → X が存在し、 f * g = idY かつ g * f = idX が成り立つものを同型射であると言う。射 f が左逆射と右逆射をともに持つとき、両者は一致して f は同型射であり、g は単に f の逆射 (inverse) と呼ばれる。逆射は、それが存在すれば一意である。逆射 g もやはり同型射であり、逆射として f を持つ。二つの対象がその間に同型射を持つとき、それら二つは互いに同型あるいは同値であるという。注意すべきは、任意の同型射は双射だが、双射は必ずしも同型射ではないことである。例えば、可換環の圏において包含射 Z → Q は双射だが同型射ではない。しかし、全射かつ分裂単射であるような、もしくは単射かつ分裂全射であるような任意の射は同型射でなければならない。集合の圏 Set のように、任意の双射が同型射であるような圏は、均衡圏 (balanced category) と呼ばれる。
・自己射: 射 f: X → X は、対象 X の自己射と言う。冪等自己射 f が分裂自己射 (split endomorphism) であるとは、分解 f = h * g で g * h = id を満たすものが存在するときに言う。特に、圏のカロウビ展開圏（英語版）は、任意の冪等射が分裂する。
・自己同型射は同型射であるような自己射を言う。
例
・普遍代数学において調べられるような具体圏（群の圏 Grp、環の圏 Ring、加群の圏 R-Mod など）における射は、ふつう準同型（準同型射）と呼ばれる。自己同型、自己準同型、全準同型、準同型、同型、単準同型などの概念が普遍代数において用いられる。
・位相空間の圏 Top において、射は連続写像であり、同型射は同相写像と呼ばれる。
・可微分多様体の圏 Man∞ において、射は滑らかな写像であり、同型射は微分同相写像と呼ばれる。
つづく
つづき
・単射でも全射でもあるような射は全単射あるいは双射 (bimorphism) と呼ばれる。
・同型射: 射 f: X → Y に対して射 g: Y → X が存在し、 f * g = idY かつ g * f = idX が成り立つものを同型射であると言う。射 f が左逆射と右逆射をともに持つとき、両者は一致して f は同型射であり、g は単に f の逆射 (inverse) と呼ばれる。逆射は、それが存在すれば一意である。逆射 g もやはり同型射であり、逆射として f を持つ。二つの対象がその間に同型射を持つとき、それら二つは互いに同型あるいは同値であるという。注意すべきは、任意の同型射は双射だが、双射は必ずしも同型射ではないことである。例えば、可換環の圏において包含射 Z → Q は双射だが同型射ではない。しかし、全射かつ分裂単射であるような、もしくは単射かつ分裂全射であるような任意の射は同型射でなければならない。集合の圏 Set のように、任意の双射が同型射であるような圏は、均衡圏 (balanced category) と呼ばれる。
・自己射: 射 f: X → X は、対象 X の自己射と言う。冪等自己射 f が分裂自己射 (split endomorphism) であるとは、分解 f = h * g で g * h = id を満たすものが存在するときに言う。特に、圏のカロウビ展開圏（英語版）は、任意の冪等射が分裂する。
・自己同型射は同型射であるような自己射を言う。
例
・普遍代数学において調べられるような具体圏（群の圏 Grp、環の圏 Ring、加群の圏 R-Mod など）における射は、ふつう準同型（準同型射）と呼ばれる。自己同型、自己準同型、全準同型、準同型、同型、単準同型などの概念が普遍代数において用いられる。
・位相空間の圏 Top において、射は連続写像であり、同型射は同相写像と呼ばれる。
・可微分多様体の圏 Man∞ において、射は滑らかな写像であり、同型射は微分同相写像と呼ばれる。
つづく
10現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/08/30(日) 15:21:19.78ID:oR3g+efa つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%BA%96%E5%90%8C%E5%9E%8B
準同型
準同型（homomorphic）とは、複数の対象（おもに代数系）に対して、それらの特定の数学的構造に関する類似性を表す概念で、構造を保つ写像である準同型写像（homomorphism) を持つことを意味する。構造がまったく同じであることを表すときは、準同型・準同型写像の代わりに同型（isomorphic）および同型写像（isomorphism）という術語を用いる。しばしば、準同型写像・同型写像のことを指して単に準同型・同型と呼ぶ。
構造により、等長・等距、同相や射型などといった特定の術語が用いられることがある。
重要なことは、A の演算と B の演算とが台集合上の写像 f のみで一対一に対応させることができるということである。これを、f は構造を保存 (structure preserving) する、構造と両立 (compatible with structure) する、構造と可換 (commute with structure) であるなどといい表す。これにより、A における演算が f で B に移されると考えることができる。特に、準同型写像 f: A → B が与えられたとき、その像 f(A) は B の部分代数系となる。このとき一般には、像 f(A) はもとの代数系 A からある程度 "つぶれている" ため、像 f(A) から直接にもとの代数系 A の様子を知ることは完全にはできないのであるが、この潰れ具合は準同型の核と呼ばれる同値関係によって推し量ることができ、それによってもとの代数系 A を復元することができる。一方、準同型 f が単射であれば A は B にその構造まで込めて埋め込まれる。ゆえに、単射な準同型をしばしば埋め込み（うめこみ、embedding）と呼ぶ。なお、単射な準同型、全射な準同型はそれぞれ単準同型（たんじゅんどうけい、injective homomorphism, monomorphism）、全準同型（ぜんじゅんどうけい、surjective homomorphism, epimorphism）とも言われる。
準同型写像 f が逆写像 f^-1 を持ち、なおかつ f^-1 もまた準同型であるとき、f は同型写像あるいは単に同型であるという。f が同型ならば f^-1 も同型である。ある数学的構造を持つ二つの集合 A, B の間に準同型写像が存在するとき、A と B とは準同型であるといい、さらに同型写像が存在するとき同型であるという。互いに同型な集合はその構造に関しては同じものとみなすことができる。
つづく
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%BA%96%E5%90%8C%E5%9E%8B
準同型
準同型（homomorphic）とは、複数の対象（おもに代数系）に対して、それらの特定の数学的構造に関する類似性を表す概念で、構造を保つ写像である準同型写像（homomorphism) を持つことを意味する。構造がまったく同じであることを表すときは、準同型・準同型写像の代わりに同型（isomorphic）および同型写像（isomorphism）という術語を用いる。しばしば、準同型写像・同型写像のことを指して単に準同型・同型と呼ぶ。
構造により、等長・等距、同相や射型などといった特定の術語が用いられることがある。
重要なことは、A の演算と B の演算とが台集合上の写像 f のみで一対一に対応させることができるということである。これを、f は構造を保存 (structure preserving) する、構造と両立 (compatible with structure) する、構造と可換 (commute with structure) であるなどといい表す。これにより、A における演算が f で B に移されると考えることができる。特に、準同型写像 f: A → B が与えられたとき、その像 f(A) は B の部分代数系となる。このとき一般には、像 f(A) はもとの代数系 A からある程度 "つぶれている" ため、像 f(A) から直接にもとの代数系 A の様子を知ることは完全にはできないのであるが、この潰れ具合は準同型の核と呼ばれる同値関係によって推し量ることができ、それによってもとの代数系 A を復元することができる。一方、準同型 f が単射であれば A は B にその構造まで込めて埋め込まれる。ゆえに、単射な準同型をしばしば埋め込み（うめこみ、embedding）と呼ぶ。なお、単射な準同型、全射な準同型はそれぞれ単準同型（たんじゅんどうけい、injective homomorphism, monomorphism）、全準同型（ぜんじゅんどうけい、surjective homomorphism, epimorphism）とも言われる。
準同型写像 f が逆写像 f^-1 を持ち、なおかつ f^-1 もまた準同型であるとき、f は同型写像あるいは単に同型であるという。f が同型ならば f^-1 も同型である。ある数学的構造を持つ二つの集合 A, B の間に準同型写像が存在するとき、A と B とは準同型であるといい、さらに同型写像が存在するとき同型であるという。互いに同型な集合はその構造に関しては同じものとみなすことができる。
つづく
11現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/08/30(日) 15:22:06.55ID:oR3g+efa >>10
つづき
体の準同型（単位元を持つ環としての準同型）は常に単射であり、かつ零射でないのでその像と元の体は同型になる。
ゆえに体の場合は準同型といわず中への同型 (isomorphic into) とよび、さらに全射ならば上への同型 (isomorphic onto) であるという。また、群や環の準同型、ベクトル空間の線型写像（環上の加群としての準同型）は全単射ならば同型である。
まったく同じ写像でも、ある構造に注目したときは準同型を与えるけれども、始域・終域にさらに構造をいれたり、他の構造を持つ集合と見たりしたときには準同型でないことがありうる。したがって、同時にいくつもの構造を併せ持つ集合たちの間の準同型を扱う時には、それがどの構造と可換であるかをはっきりさせる必要が生じる。
諸定義
自己同型群・自己準同型環
代数系 (A, R) に対し、始域と終域が同じ A である準同型写像 f: A → A は A 上の自己準同型（じこじゅんどうけい、endomorphism）であると言い、さらに f が同型写像であるときには A 上の自己同型（じこどうけい、automorphism）と呼ばれる。 A 上の自己同型の全体 Aut(A) は写像の合成を二項演算と考えれば、恒等写像 idA を単位元とし、逆写像を逆元とする群を成す。これを A 上の自己同型群と呼ぶ。
また、G が群であるとき、G 上の自己準同型 f, g に対し、f(x)g(y) = g(y)f(x) がどんな x, y ∈ G に対しても成り立つなら f と g は加法可能であると言い、(f + g)(x) := f(x)g(x) (x ∈ G) と置く。特に、G がアーベル群なら G 上の自己準同型の全体 End(G) で加法が定義され、さらに写像の合成を積として End(G) は環となる。これを G 上の自己準同型環という。
つづく
つづき
体の準同型（単位元を持つ環としての準同型）は常に単射であり、かつ零射でないのでその像と元の体は同型になる。
ゆえに体の場合は準同型といわず中への同型 (isomorphic into) とよび、さらに全射ならば上への同型 (isomorphic onto) であるという。また、群や環の準同型、ベクトル空間の線型写像（環上の加群としての準同型）は全単射ならば同型である。
まったく同じ写像でも、ある構造に注目したときは準同型を与えるけれども、始域・終域にさらに構造をいれたり、他の構造を持つ集合と見たりしたときには準同型でないことがありうる。したがって、同時にいくつもの構造を併せ持つ集合たちの間の準同型を扱う時には、それがどの構造と可換であるかをはっきりさせる必要が生じる。
諸定義
自己同型群・自己準同型環
代数系 (A, R) に対し、始域と終域が同じ A である準同型写像 f: A → A は A 上の自己準同型（じこじゅんどうけい、endomorphism）であると言い、さらに f が同型写像であるときには A 上の自己同型（じこどうけい、automorphism）と呼ばれる。 A 上の自己同型の全体 Aut(A) は写像の合成を二項演算と考えれば、恒等写像 idA を単位元とし、逆写像を逆元とする群を成す。これを A 上の自己同型群と呼ぶ。
また、G が群であるとき、G 上の自己準同型 f, g に対し、f(x)g(y) = g(y)f(x) がどんな x, y ∈ G に対しても成り立つなら f と g は加法可能であると言い、(f + g)(x) := f(x)g(x) (x ∈ G) と置く。特に、G がアーベル群なら G 上の自己準同型の全体 End(G) で加法が定義され、さらに写像の合成を積として End(G) は環となる。これを G 上の自己準同型環という。
つづく
12現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/08/30(日) 15:23:23.60ID:oR3g+efa >>11
つづき
線型写像
詳細は「線型写像」および「作用 (数学)」を参照
体 K 上のベクトル空間 V とは、加法と呼ばれる二項演算 + とスカラー倍と呼ばれる単項演算族 {αk: V → V}k∈K (αk(v) := kv for v ∈ V) を演算として持つ代数系 (V, +, 0, -・, {αk}k∈K) である（ここで、0 は加法に関する単位元（零元）であり, -・ は加法に関する逆元（マイナス元）を与える単項演算であるが、加法に関して V は群となるのでこれを略して (V, +, {αk}k∈K) と考えてもよい）。また、スカラー倍の全体からなる単項演算族は体 K から V の加法群としての自己準同型環 End(V) への単位的環としての準同型像として得られるものである。
ベクトル空間（あるいはもっと一般の環上の加群）の間の準同型写像のことを通常は、線型写像と呼ぶ。
つづく
つづき
線型写像
詳細は「線型写像」および「作用 (数学)」を参照
体 K 上のベクトル空間 V とは、加法と呼ばれる二項演算 + とスカラー倍と呼ばれる単項演算族 {αk: V → V}k∈K (αk(v) := kv for v ∈ V) を演算として持つ代数系 (V, +, 0, -・, {αk}k∈K) である（ここで、0 は加法に関する単位元（零元）であり, -・ は加法に関する逆元（マイナス元）を与える単項演算であるが、加法に関して V は群となるのでこれを略して (V, +, {αk}k∈K) と考えてもよい）。また、スカラー倍の全体からなる単項演算族は体 K から V の加法群としての自己準同型環 End(V) への単位的環としての準同型像として得られるものである。
ベクトル空間（あるいはもっと一般の環上の加群）の間の準同型写像のことを通常は、線型写像と呼ぶ。
つづく
13現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/08/30(日) 15:23:39.87ID:oR3g+efa >>12
つづき
代数的構造以外の構造
位相空間の構造を持つならば準同型は連続写像である。同型写像に当たるものは全単射かつ両連続な写像であり、それは同相写像 (homeomorphism) あるいは位相同型写像 (homeomorphic isomorphism) と呼ばれる。
順序構造が付加されている代数系の準同型は単調写像（順序を保つ写像・順序を逆にする写像）であり、同型写像は全単射な単調写像、順序同型（順序を保つ同型・順序を逆にする同型）と呼ばれる性質を持つものを言うのである。また一方で、単なる集合を演算を持たない代数系と思えば、その間の準同型は単に写像であるということになるし、集合の中に特定の点（基点）を固定して構造として付加したものと考えるなら、基点を持つ集合の間の準同型は、基点を基点にうつす写像である。
これらの付加的な構造のいくつかは、台集合（にいくつか集合演算を施したもの）のある性質を保つ部分集合族として構造が特徴付けられ、したがって台集合上の写像に対して構造の上の写像が引き起こされるという状況を考えうるところは代数系における演算と同様である。この引き起こされた写像が適当な意味で構造を保つ、構造と可換であるということが準同型と呼ばれることのある所以である。本質的には、準同型写像とは特定の数学的構造のなす圏における射 (morphism) になっているような写像のことであると言ってよい（もちろん一般の圏ではその対象は集合とは限らないし、その射が写像であるとも限らない）。準同型を射のことととらえるならば代数系に考察を限る必要はない。
(引用終り)
以上
つづき
代数的構造以外の構造
位相空間の構造を持つならば準同型は連続写像である。同型写像に当たるものは全単射かつ両連続な写像であり、それは同相写像 (homeomorphism) あるいは位相同型写像 (homeomorphic isomorphism) と呼ばれる。
順序構造が付加されている代数系の準同型は単調写像（順序を保つ写像・順序を逆にする写像）であり、同型写像は全単射な単調写像、順序同型（順序を保つ同型・順序を逆にする同型）と呼ばれる性質を持つものを言うのである。また一方で、単なる集合を演算を持たない代数系と思えば、その間の準同型は単に写像であるということになるし、集合の中に特定の点（基点）を固定して構造として付加したものと考えるなら、基点を持つ集合の間の準同型は、基点を基点にうつす写像である。
これらの付加的な構造のいくつかは、台集合（にいくつか集合演算を施したもの）のある性質を保つ部分集合族として構造が特徴付けられ、したがって台集合上の写像に対して構造の上の写像が引き起こされるという状況を考えうるところは代数系における演算と同様である。この引き起こされた写像が適当な意味で構造を保つ、構造と可換であるということが準同型と呼ばれることのある所以である。本質的には、準同型写像とは特定の数学的構造のなす圏における射 (morphism) になっているような写像のことであると言ってよい（もちろん一般の圏ではその対象は集合とは限らないし、その射が写像であるとも限らない）。準同型を射のことととらえるならば代数系に考察を限る必要はない。
(引用終り)
以上
14現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/08/30(日) 15:26:11.75ID:oR3g+efa15１３２人目の素数さん
2020/08/30(日) 15:44:27.78ID:b+bKalul >>8
>・全射: 双対的に、f: X → Y が全射 (epi-morphism) であるとは、g1 * f = g2 * f ならば g1 = g2 が任意の射 g1, g2: Y → Z に対して成立するときに言う。エピ射 (epi) あるいは全型射 (epic) とも言う[1]。
すべての写像は全射であるなどと言っちゃう人がそんなコピペぺたぺた貼っても無駄ですよー
あなた、任意の写像f: X → Yについてf(X)=Yって言ってましたよねー
>・全射: 双対的に、f: X → Y が全射 (epi-morphism) であるとは、g1 * f = g2 * f ならば g1 = g2 が任意の射 g1, g2: Y → Z に対して成立するときに言う。エピ射 (epi) あるいは全型射 (epic) とも言う[1]。
すべての写像は全射であるなどと言っちゃう人がそんなコピペぺたぺた貼っても無駄ですよー
あなた、任意の写像f: X → Yについてf(X)=Yって言ってましたよねー
16現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/08/30(日) 15:58:03.35ID:oR3g+efa メモ
”Invariant basis number
数学、具体的には環論において、環が invariant basis number (IBN) property を持つとは、R 上のすべての有限生成自由左加群が well-defined な階数（ランク）を持つことをいう。体の場合には、IBN property は有限次元ベクトル空間は一意的な次元を持つという主張になる。”
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0%E4%B8%8A%E3%81%AE%E5%8A%A0%E7%BE%A4
環上の加群
環上の加群（かぐん、英: module）とは、ベクトル空間を一般化した概念で、係数（スカラー）を体の元とする代わりに、より一般の環の元としたものである。つまり、加群とは（ベクトル空間がそうであるように）加法的なアーベル群であって、その元と環の元との間に乗法が定義され、その乗法が結合的かつ加法に関して分配的となるようなものである。
任意のアーベル群は有理整数環上の加群であり、したがって環上の加群はアーベル群の一般化でもある。また、環のイデアルは環上の加群であり、したがって環上の加群はイデアルの一般化でもある。このように環上の加群はベクトル空間・アーベル群・イデアルを包括する概念であるので、さまざまな議論を加群の言葉によって統一的に扱うことができるようになる。
加群は群の表現論に非常に近しい関連を持つ。また、加群は可換環論やホモロジー代数における中心概念の一つであり、ひろく代数幾何学や代数的位相幾何学において用いられる。
動機
ベクトル空間においては、スカラーの全体は体を成し、ベクトルに対して分配律などの特定の条件を満足するスカラー乗法によって作用している。環上の加群においては、スカラーの全体は環であればよく、その意味で環上の加群の概念は重大な一般化になっている。可換環論における重要な概念であるイデアルおよび剰余環は、いずれも環上の加群とみることができ、イデアルや剰余環に関するさまざまな議論を加群の言葉によって統一的に扱うことができるようになる。非可換環論では、イデアルの（作用の入る向きとして）左右を区別するし、環上の加群においてもそれはより顕著になることだが、しかしさまざまに重要な環論的議論において片側（大抵は左）からの作用に関するものだけを条件として提示することが行われる。
つづく
”Invariant basis number
数学、具体的には環論において、環が invariant basis number (IBN) property を持つとは、R 上のすべての有限生成自由左加群が well-defined な階数（ランク）を持つことをいう。体の場合には、IBN property は有限次元ベクトル空間は一意的な次元を持つという主張になる。”
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0%E4%B8%8A%E3%81%AE%E5%8A%A0%E7%BE%A4
環上の加群
環上の加群（かぐん、英: module）とは、ベクトル空間を一般化した概念で、係数（スカラー）を体の元とする代わりに、より一般の環の元としたものである。つまり、加群とは（ベクトル空間がそうであるように）加法的なアーベル群であって、その元と環の元との間に乗法が定義され、その乗法が結合的かつ加法に関して分配的となるようなものである。
任意のアーベル群は有理整数環上の加群であり、したがって環上の加群はアーベル群の一般化でもある。また、環のイデアルは環上の加群であり、したがって環上の加群はイデアルの一般化でもある。このように環上の加群はベクトル空間・アーベル群・イデアルを包括する概念であるので、さまざまな議論を加群の言葉によって統一的に扱うことができるようになる。
加群は群の表現論に非常に近しい関連を持つ。また、加群は可換環論やホモロジー代数における中心概念の一つであり、ひろく代数幾何学や代数的位相幾何学において用いられる。
動機
ベクトル空間においては、スカラーの全体は体を成し、ベクトルに対して分配律などの特定の条件を満足するスカラー乗法によって作用している。環上の加群においては、スカラーの全体は環であればよく、その意味で環上の加群の概念は重大な一般化になっている。可換環論における重要な概念であるイデアルおよび剰余環は、いずれも環上の加群とみることができ、イデアルや剰余環に関するさまざまな議論を加群の言葉によって統一的に扱うことができるようになる。非可換環論では、イデアルの（作用の入る向きとして）左右を区別するし、環上の加群においてもそれはより顕著になることだが、しかしさまざまに重要な環論的議論において片側（大抵は左）からの作用に関するものだけを条件として提示することが行われる。
つづく
17現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/08/30(日) 16:00:18.54ID:oR3g+efa つづき
加群の理論のおおくは、ベクトル空間のもつ好ましい性質が、単項イデアル環のような「素性のよい」(well-behaved) 環上の加群の領域でどれだけたくさん存在するかというような議論からなるが、しかしながら環上の加群はベクトル空間に比べてかなり複雑である。たとえばどんな加群でも基底を持つわけではないし、基底を持つ（自由加群と呼ばれる）加群であっても基礎環（係数環）が不変基底数条件を満足しないならば階数も一意ではない。これはベクトル空間が（選択公理を仮定すれば）常に基底を持ち、基底の濃度が常に一定となることと対照的である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/Invariant_basis_number
Invariant basis number
数学、具体的には環論において、環が invariant basis number (IBN) property を持つとは、R 上のすべての有限生成自由左加群が well-defined な階数（ランク）を持つことをいう。体の場合には、IBN property は有限次元ベクトル空間は一意的な次元を持つという主張になる。
定義
環 R が invariant basis number (IBN) を持つとは、どんな正の整数 m と n に対しても、Rm が Rn に（左 R-加群として）同型ならば m = n であることをいう。
同じことだが、これは相異なる正整数 m, n であって Rm が Rn に同型となるようなものが存在しないということである。
行列の言葉で invariant basis number の定義を言い換えると、A が R 上の m × n 行列で B が R 上の n × m 行列で、AB = I および BA = I であれば、必ず m = n となるということである。この形にすれば定義が左右対称なことがわかり、IBN を左加群で定義しても右加群で定義しても同じになる。
定義の同型は環としての同型ではなく加群としての同型であることに注意する。
議論
invariant basis number の条件の主たる目的は、IBN 環上の自由加群はベクトル空間に対する次元定理（英語版）の類似を満たすことである。すなわち、IBN 環上の自由加群の 2 つの基底は同じ濃度を持つ。（選択公理よりも真に弱い）ultrafilter lemma（英語版） を仮定すると、この結果は実は上で与えた定義と同値であり、これを別の定義とすることができる。
つづく
加群の理論のおおくは、ベクトル空間のもつ好ましい性質が、単項イデアル環のような「素性のよい」(well-behaved) 環上の加群の領域でどれだけたくさん存在するかというような議論からなるが、しかしながら環上の加群はベクトル空間に比べてかなり複雑である。たとえばどんな加群でも基底を持つわけではないし、基底を持つ（自由加群と呼ばれる）加群であっても基礎環（係数環）が不変基底数条件を満足しないならば階数も一意ではない。これはベクトル空間が（選択公理を仮定すれば）常に基底を持ち、基底の濃度が常に一定となることと対照的である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/Invariant_basis_number
Invariant basis number
数学、具体的には環論において、環が invariant basis number (IBN) property を持つとは、R 上のすべての有限生成自由左加群が well-defined な階数（ランク）を持つことをいう。体の場合には、IBN property は有限次元ベクトル空間は一意的な次元を持つという主張になる。
定義
環 R が invariant basis number (IBN) を持つとは、どんな正の整数 m と n に対しても、Rm が Rn に（左 R-加群として）同型ならば m = n であることをいう。
同じことだが、これは相異なる正整数 m, n であって Rm が Rn に同型となるようなものが存在しないということである。
行列の言葉で invariant basis number の定義を言い換えると、A が R 上の m × n 行列で B が R 上の n × m 行列で、AB = I および BA = I であれば、必ず m = n となるということである。この形にすれば定義が左右対称なことがわかり、IBN を左加群で定義しても右加群で定義しても同じになる。
定義の同型は環としての同型ではなく加群としての同型であることに注意する。
議論
invariant basis number の条件の主たる目的は、IBN 環上の自由加群はベクトル空間に対する次元定理（英語版）の類似を満たすことである。すなわち、IBN 環上の自由加群の 2 つの基底は同じ濃度を持つ。（選択公理よりも真に弱い）ultrafilter lemma（英語版） を仮定すると、この結果は実は上で与えた定義と同値であり、これを別の定義とすることができる。
つづく
18現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/08/30(日) 16:01:06.67ID:oR3g+efa >>17
つづき
IBN 環 R 上の自由加群 Rn の階数 (rank) は Rn に同型な勝手な（したがってすべての）R-加群 Rm の指数 m の濃度と定義される。したがって IBN property は自由 R-加群のすべての同型類は一意的な階数を持つことを主張する。階数は IBN を満たさない環に対しては定義されない。ベクトル空間に対しては、階数は次元とも呼ばれる。したがってこれまでの結果をまとめると： 階数がすべての自由 R-加群に対して一意的に定義されることと、それがすべての有限生成自由 R-加群に対して一意的に定義されることは同値である。
例
任意の（可換）体は IBN を満たし、これは有限次元ベクトル空間が well-defined な次元を持つという事実である。さらに、任意の可換環（1 = 0 の自明環は除く）は IBN を満たし、任意の左ネーター環や任意の半局所環も（したがって可除環や半単純環なども）IBN を満たす。
証明
略（原文を見よ）
他の結果
IBN は零因子を持たない環（域）が可除環に埋め込めるための必要条件である（が十分ではない）。（可換な場合には分数体に埋め込める。）Ore condition も参照。
すべての非自明な stably finite ring は invariant basis number を持つ。
非可換体の拡大を考えると、上の体は下の体の左ベクトル空間とも右ベクトル空間ともみられるが、この 2 つのランクは一致するとは限らない。驚くべきことに、任意の整数 m, n > 1 に対して、体の拡大 K ⊂ L であって、L は K 上左から見て m 次元、右から見て n 次元となるものが存在する。
つづく
つづき
IBN 環 R 上の自由加群 Rn の階数 (rank) は Rn に同型な勝手な（したがってすべての）R-加群 Rm の指数 m の濃度と定義される。したがって IBN property は自由 R-加群のすべての同型類は一意的な階数を持つことを主張する。階数は IBN を満たさない環に対しては定義されない。ベクトル空間に対しては、階数は次元とも呼ばれる。したがってこれまでの結果をまとめると： 階数がすべての自由 R-加群に対して一意的に定義されることと、それがすべての有限生成自由 R-加群に対して一意的に定義されることは同値である。
例
任意の（可換）体は IBN を満たし、これは有限次元ベクトル空間が well-defined な次元を持つという事実である。さらに、任意の可換環（1 = 0 の自明環は除く）は IBN を満たし、任意の左ネーター環や任意の半局所環も（したがって可除環や半単純環なども）IBN を満たす。
証明
略（原文を見よ）
他の結果
IBN は零因子を持たない環（域）が可除環に埋め込めるための必要条件である（が十分ではない）。（可換な場合には分数体に埋め込める。）Ore condition も参照。
すべての非自明な stably finite ring は invariant basis number を持つ。
非可換体の拡大を考えると、上の体は下の体の左ベクトル空間とも右ベクトル空間ともみられるが、この 2 つのランクは一致するとは限らない。驚くべきことに、任意の整数 m, n > 1 に対して、体の拡大 K ⊂ L であって、L は K 上左から見て m 次元、右から見て n 次元となるものが存在する。
つづく
19現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/08/30(日) 16:02:08.23ID:oR3g+efa >>18
つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Ore_condition
Ore condition
(抜粋)
In mathematics, especially in the area of algebra known as ring theory, the Ore condition is a condition introduced by Oystein Ore, in connection with the question of extending beyond commutative rings the construction of a field of fractions, or more generally localization of a ring. The right Ore condition for a multiplicative subset S of a ring R is that for a ∈ R and s ∈ S, the intersection aS ∩ sR ≠ ?. A (non-commutative) domain for which the set of non-zero elements satisfies the right Ore condition is called a right Ore domain. The left case is defined similarly.[1]
General idea
The goal is to construct the right ring of fractions R[S^-1] with respect to multiplicative subset S. In other words, we want to work with elements of the form as^-1 and have a ring structure on the set R[S^-1]. The problem is that there is no obvious interpretation of the product (as^-1)(bt^-1); indeed, we need a method to "move" s^-1 past b. This means that we need to be able to rewrite s^-1b as a product b1s1^-1.[2] Suppose s^-1b = b1s1^-1 then multiplying on the left by s and on the right by s1, we get bs1 = sb1. Hence we see the necessity, for a given a and s, of the existence of a1 and s1 with s1 ≠ 0 and such that as1 = sa1.
つづく
つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Ore_condition
Ore condition
(抜粋)
In mathematics, especially in the area of algebra known as ring theory, the Ore condition is a condition introduced by Oystein Ore, in connection with the question of extending beyond commutative rings the construction of a field of fractions, or more generally localization of a ring. The right Ore condition for a multiplicative subset S of a ring R is that for a ∈ R and s ∈ S, the intersection aS ∩ sR ≠ ?. A (non-commutative) domain for which the set of non-zero elements satisfies the right Ore condition is called a right Ore domain. The left case is defined similarly.[1]
General idea
The goal is to construct the right ring of fractions R[S^-1] with respect to multiplicative subset S. In other words, we want to work with elements of the form as^-1 and have a ring structure on the set R[S^-1]. The problem is that there is no obvious interpretation of the product (as^-1)(bt^-1); indeed, we need a method to "move" s^-1 past b. This means that we need to be able to rewrite s^-1b as a product b1s1^-1.[2] Suppose s^-1b = b1s1^-1 then multiplying on the left by s and on the right by s1, we get bs1 = sb1. Hence we see the necessity, for a given a and s, of the existence of a1 and s1 with s1 ≠ 0 and such that as1 = sa1.
つづく
20現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/08/30(日) 16:02:25.70ID:oR3g+efa >>19
つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Invariant_basis_number
Invariant basis number
(抜粋)
In mathematics, more specifically in the field of ring theory, a ring has the invariant basis number (IBN) property if all finitely generated free left modules over R have a well-defined rank. In the case of fields, the IBN property becomes the statement that finite-dimensional vector spaces have a unique dimension.
Other results
IBN is a necessary (but not sufficient) condition for a ring with no zero divisors to be embeddable in a division ring (confer field of fractions in the commutative case). See also the Ore condition.
Every nontrivial division ring or stably finite ring has invariant basis number.
(引用終り)
以上
つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Invariant_basis_number
Invariant basis number
(抜粋)
In mathematics, more specifically in the field of ring theory, a ring has the invariant basis number (IBN) property if all finitely generated free left modules over R have a well-defined rank. In the case of fields, the IBN property becomes the statement that finite-dimensional vector spaces have a unique dimension.
Other results
IBN is a necessary (but not sufficient) condition for a ring with no zero divisors to be embeddable in a division ring (confer field of fractions in the commutative case). See also the Ore condition.
Every nontrivial division ring or stably finite ring has invariant basis number.
(引用終り)
以上
2020/08/30(日) 16:37:38.09ID:YJr5hFTS
前スレへのレス。
>927
ジュコーフスキー変換は複素解析なのか。
>933
>「なぜ、流体力学において等角写像が有用なのか？」
球状の物体には重力が作用する。他に球状の物体には何もしなければ気体や液体などの力が均等に作用する。
同じく翼の断面のジュコーフスキー変換では、翼の断面には重力が作用している。
その翼の断面の重心に何もしなければ気体や液体などの力が均等に作用し、
翼の断面に揚力が作用して翼が飛行機の一部として機能するようにすることを考えたい。
等角写像を用いると、翼の断面の境界の角度が球いわゆる円と同様に均一に保たれたまま、元の円状の物体を翼に変形出来る。
その変形後の飛行中の横から見た飛行機の翼の断面の重心には、何もしなければ流体の力が均等な方向から作用する。
変形した翼に作用する重力で飛行機が落下する可能性は、元の円状の物体が重力で落下する可能性より低い。
流体の運動は複雑で、出来る限りそのように流体の力が均等に作用するようにしないと、飛行中の飛行機や翼の危険度が高まる。
変形した翼の断面の形状と重心の決め方が問題になる。翼の断面のジュコーフスキー変換では、変形した翼の断面に前から後ろへと、
翼の断面の前側と後側ではどちらというと前側に飛行機が進むときに発生する力が垂直に加わり、かつ翼の上側に風が吹くように形状を決める。
そのため、翼の断面の重心は前側にあって、翼の断面は薄い形状になる。
意図的な力が翼の断面に上から作用しなければ、翼が壊れることはない。
飛行機の後端に尖った部分は落雷の恐れはまだ残っているが、翼の断面自体は針状の形ではなく落雷の危険度も低くなる。
そのように翼の断面の形状と重心を決めれば、前から吹いた風が翼の断面の上側に吹くと翼の気圧は低くなり浮き易くなる。
上側に風が吹いて断面の翼の角度が変わって浮上したら、下側にも風が吹くようになって翼は飛行機の一部として機能するようになる。
二次元のジュコーフスキー変換に限っていえば、そのようになる。
実際問題の飛行機造りでは、三次元の話で工学の知識も必要になり、物理だけでは何ともいえない。
実際問題の飛行機造りの工学的なことは、工学部卒だという瀬田君に聞いた方がいい。
>927
ジュコーフスキー変換は複素解析なのか。
>933
>「なぜ、流体力学において等角写像が有用なのか？」
球状の物体には重力が作用する。他に球状の物体には何もしなければ気体や液体などの力が均等に作用する。
同じく翼の断面のジュコーフスキー変換では、翼の断面には重力が作用している。
その翼の断面の重心に何もしなければ気体や液体などの力が均等に作用し、
翼の断面に揚力が作用して翼が飛行機の一部として機能するようにすることを考えたい。
等角写像を用いると、翼の断面の境界の角度が球いわゆる円と同様に均一に保たれたまま、元の円状の物体を翼に変形出来る。
その変形後の飛行中の横から見た飛行機の翼の断面の重心には、何もしなければ流体の力が均等な方向から作用する。
変形した翼に作用する重力で飛行機が落下する可能性は、元の円状の物体が重力で落下する可能性より低い。
流体の運動は複雑で、出来る限りそのように流体の力が均等に作用するようにしないと、飛行中の飛行機や翼の危険度が高まる。
変形した翼の断面の形状と重心の決め方が問題になる。翼の断面のジュコーフスキー変換では、変形した翼の断面に前から後ろへと、
翼の断面の前側と後側ではどちらというと前側に飛行機が進むときに発生する力が垂直に加わり、かつ翼の上側に風が吹くように形状を決める。
そのため、翼の断面の重心は前側にあって、翼の断面は薄い形状になる。
意図的な力が翼の断面に上から作用しなければ、翼が壊れることはない。
飛行機の後端に尖った部分は落雷の恐れはまだ残っているが、翼の断面自体は針状の形ではなく落雷の危険度も低くなる。
そのように翼の断面の形状と重心を決めれば、前から吹いた風が翼の断面の上側に吹くと翼の気圧は低くなり浮き易くなる。
上側に風が吹いて断面の翼の角度が変わって浮上したら、下側にも風が吹くようになって翼は飛行機の一部として機能するようになる。
二次元のジュコーフスキー変換に限っていえば、そのようになる。
実際問題の飛行機造りでは、三次元の話で工学の知識も必要になり、物理だけでは何ともいえない。
実際問題の飛行機造りの工学的なことは、工学部卒だという瀬田君に聞いた方がいい。
22現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/08/30(日) 16:48:04.20ID:oR3g+efa 前スレより
純粋・応用数学（含むガロア理論）3
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/900-
＜ジューコフスキー翼を作図 [伊藤孝宏，MONOist]＞
ドモアブル関係ないよね
>>922の Excelシート（joukowski.xls） で終わっている（難しい式は使われていない）
https://monoist.atmarkit.co.jp/mn/articles/1602/05/news029_3.html
https://monoist.atmarkit.co.jp/mn/articles/1602/05/news029_2.html
＜５．Joukovski の翼 九大 辻井 正人＞
ドモアブル関係ないよね
オイラーの公式 （複素数の極形式）で終わっている（大学数学の極形式はこれ）
>>906の "z 平面の円 |z| = r の像を調べる。z = e^iθ (0 <= θ <= 2π) とする"あたり
https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~tsujii/pdf_files/math2b09/math2btext.pdf
>>900 東北工業大学 情報通信工学科 中川研究室
オイラーの公式 （複素数の極形式）
e ^iθ=cosθ+ i sinθ
https://www.ice.tohtech.ac.jp/nakagawa/euler/polarform_1.htm
等角写像については、>>917
http://www.gem.aoyama.ac.jp/~kyo/sotsuken/2015/sotsuron_2015_yamamoto.pdf
リーマンの写像定理と等角写像；具体例と応用
青山学院大学 理工学部 物理数理学科
西山研究室 15112117 山本 義也 平成 28 年 2 月 19 日
に詳しい
等角写像＝正則関数なのだが、
等角写像ではあまり複雑な関数は使われない
むしろ、ジューコフスキー翼や、上記の山本の具体例と応用にあるように
具体例の対象に合わせた簡単な変換式が使われる
等角写像と言えば、どちらかと言えば、クラインのエルランゲン・プログラム的視点に力点がある
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B2%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%97%E3%83%AD%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%A0
（クラインの）エルランゲン・プログラム
純粋・応用数学（含むガロア理論）3
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/900-
＜ジューコフスキー翼を作図 [伊藤孝宏，MONOist]＞
ドモアブル関係ないよね
>>922の Excelシート（joukowski.xls） で終わっている（難しい式は使われていない）
https://monoist.atmarkit.co.jp/mn/articles/1602/05/news029_3.html
https://monoist.atmarkit.co.jp/mn/articles/1602/05/news029_2.html
＜５．Joukovski の翼 九大 辻井 正人＞
ドモアブル関係ないよね
オイラーの公式 （複素数の極形式）で終わっている（大学数学の極形式はこれ）
>>906の "z 平面の円 |z| = r の像を調べる。z = e^iθ (0 <= θ <= 2π) とする"あたり
https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~tsujii/pdf_files/math2b09/math2btext.pdf
>>900 東北工業大学 情報通信工学科 中川研究室
オイラーの公式 （複素数の極形式）
e ^iθ=cosθ+ i sinθ
https://www.ice.tohtech.ac.jp/nakagawa/euler/polarform_1.htm
等角写像については、>>917
http://www.gem.aoyama.ac.jp/~kyo/sotsuken/2015/sotsuron_2015_yamamoto.pdf
リーマンの写像定理と等角写像；具体例と応用
青山学院大学 理工学部 物理数理学科
西山研究室 15112117 山本 義也 平成 28 年 2 月 19 日
に詳しい
等角写像＝正則関数なのだが、
等角写像ではあまり複雑な関数は使われない
むしろ、ジューコフスキー翼や、上記の山本の具体例と応用にあるように
具体例の対象に合わせた簡単な変換式が使われる
等角写像と言えば、どちらかと言えば、クラインのエルランゲン・プログラム的視点に力点がある
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B2%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%97%E3%83%AD%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%A0
（クラインの）エルランゲン・プログラム
23現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/08/30(日) 17:02:46.81ID:oR3g+efa >>21
どうも
レスありがとう
適切な回答ありがとう
仰る通りです
ジュコーフスキー理論は、等角写像論という一変数複素解析の一つの金字塔だと思います
これを通じて、一変数複素解析の意味が深く理解できるという意味で
しかし、20世紀の前半はまだ、ジュコーフスキー理論などが実際にも使われたと思うが
その後、コンピュータ解析能力が上がって、いまは殆どが、３次元の数値解析でしょうね
（下記など）
（参考）
http://park.itc.u-tokyo.ac.jp/rinoielab/research/index.html
李家・今村研究室
東京大学大学院工学系研究科航空宇宙工学専攻
東京大学工学部航空宇宙工学科
研究内容
1.翼型上に生じる層流剥離泡に関する研究／翼型失速の制御に関する研究
どうも
レスありがとう
適切な回答ありがとう
仰る通りです
ジュコーフスキー理論は、等角写像論という一変数複素解析の一つの金字塔だと思います
これを通じて、一変数複素解析の意味が深く理解できるという意味で
しかし、20世紀の前半はまだ、ジュコーフスキー理論などが実際にも使われたと思うが
その後、コンピュータ解析能力が上がって、いまは殆どが、３次元の数値解析でしょうね
（下記など）
（参考）
http://park.itc.u-tokyo.ac.jp/rinoielab/research/index.html
李家・今村研究室
東京大学大学院工学系研究科航空宇宙工学専攻
東京大学工学部航空宇宙工学科
研究内容
1.翼型上に生じる層流剥離泡に関する研究／翼型失速の制御に関する研究
2020/08/30(日) 17:11:34.09ID:5gNFgTYC
>>21
>ジュコーフスキー変換は複素解析なのか。
解析写像なのでそう考えてます
>>「なぜ、流体力学において等角写像が有用なのか？」
>等角写像を用いると、翼の断面の境界の角度が
>球いわゆる円と同様に均一に保たれたまま、
>元の円状の物体を翼に変形出来る。
なるほど・・・
>実際問題の飛行機造りの工学的なことは、
>工学部卒だという瀬田君に聞いた方がいい。
あの人、資源工学科卒で 材料屋だとかいってたぞ
ヒコーキのこととか全然専門外じゃねえの？
>ジュコーフスキー変換は複素解析なのか。
解析写像なのでそう考えてます
>>「なぜ、流体力学において等角写像が有用なのか？」
>等角写像を用いると、翼の断面の境界の角度が
>球いわゆる円と同様に均一に保たれたまま、
>元の円状の物体を翼に変形出来る。
なるほど・・・
>実際問題の飛行機造りの工学的なことは、
>工学部卒だという瀬田君に聞いた方がいい。
あの人、資源工学科卒で 材料屋だとかいってたぞ
ヒコーキのこととか全然専門外じゃねえの？
2020/08/30(日) 17:14:05.97ID:YJr5hFTS
>>22
>等角写像と言えば、どちらかと言えば、クラインのエルランゲン・プログラム的視点に力点がある
エルランゲン・プログラムは、ユークリッド幾何学の平行線を証明しようとする試みから生じた幾何学の変換群の話になる。
等角写像とは違う。
>等角写像と言えば、どちらかと言えば、クラインのエルランゲン・プログラム的視点に力点がある
エルランゲン・プログラムは、ユークリッド幾何学の平行線を証明しようとする試みから生じた幾何学の変換群の話になる。
等角写像とは違う。
2020/08/30(日) 17:20:54.03ID:YJr5hFTS
2020/08/30(日) 17:34:31.72ID:5gNFgTYC
>>22
＞ドモアブル関係ないよね
「ジュコーフスキー変換」なら単純に計算できるよ
だってｚ＋１／ｚやんｗ
前スレ743は「逆」変換っていうとるよね？
あんたほんと肝心な文字を見落とすよね
目悪いん？それとも頭悪いん？
逆変換だと平方根をとるやろ？
もちろん、やり方はいくらもあるけど、
前スレ743は、
「対数（角度）とって２で割って戻す」
方法を使たとおもわれる
それはな、まあええよ
で、問題は以下の2点
・arctan(y/x)だとｚと－ｚが同じ角度になるからそこんとこ対策せなあかんよ
・√ｚは答えが２つあるから、どっちをとるか考えなあかんよ
君、いまだに全然わかっとらんやろ
あんた仕事で複素関数論使とる？使てないやろｗ
＞ドモアブル関係ないよね
「ジュコーフスキー変換」なら単純に計算できるよ
だってｚ＋１／ｚやんｗ
前スレ743は「逆」変換っていうとるよね？
あんたほんと肝心な文字を見落とすよね
目悪いん？それとも頭悪いん？
逆変換だと平方根をとるやろ？
もちろん、やり方はいくらもあるけど、
前スレ743は、
「対数（角度）とって２で割って戻す」
方法を使たとおもわれる
それはな、まあええよ
で、問題は以下の2点
・arctan(y/x)だとｚと－ｚが同じ角度になるからそこんとこ対策せなあかんよ
・√ｚは答えが２つあるから、どっちをとるか考えなあかんよ
君、いまだに全然わかっとらんやろ
あんた仕事で複素関数論使とる？使てないやろｗ
2020/08/30(日) 17:37:39.70ID:5gNFgTYC
>>22
＞等角写像と言えば、どちらかと言えば、
＞クラインのエルランゲン・プログラム的視点に力点がある
一般の「等角写像」なら、エルランゲン・プログラムの範囲内ではないな
メビウス変換（一次分数変換）なら、エルランゲン・プログラムの範囲
なぜなら、メビウス変換は、リーマン球面の等角同型変換だから
あんたホント肝心なところで粗雑な間違いするよね
脳味噌に皺ないの？ｗ
＞等角写像と言えば、どちらかと言えば、
＞クラインのエルランゲン・プログラム的視点に力点がある
一般の「等角写像」なら、エルランゲン・プログラムの範囲内ではないな
メビウス変換（一次分数変換）なら、エルランゲン・プログラムの範囲
なぜなら、メビウス変換は、リーマン球面の等角同型変換だから
あんたホント肝心なところで粗雑な間違いするよね
脳味噌に皺ないの？ｗ
2020/08/30(日) 17:40:55.64ID:5gNFgTYC
>>26
もちろん、飛行機に関係する材料の仕事というのはあり得る
ただ、材料屋が流体力学知っとる必要はないんじゃね？
セタは、今井功の本のタイトルだけで
「流体力学、それなら、等角写像や！」
と脊髄反射しとるだけｗ
だいたい、セタの思考ってつねに反射レベルｗ
だから毛深い野獣と云われるｗ
もちろん、飛行機に関係する材料の仕事というのはあり得る
ただ、材料屋が流体力学知っとる必要はないんじゃね？
セタは、今井功の本のタイトルだけで
「流体力学、それなら、等角写像や！」
と脊髄反射しとるだけｗ
だいたい、セタの思考ってつねに反射レベルｗ
だから毛深い野獣と云われるｗ
2020/08/30(日) 17:45:52.62ID:5gNFgTYC
>>25
>>28にも書いたけど、一般の等角写像なら
確かにエルランゲン・プログラムの範囲外です
一方でこういう幾何学もあります
反転幾何学
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8D%E8%BB%A2%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6
反転幾何学の中でさらにある円を不変とする写像だけ使えば
双曲幾何学を実現できます
（これ、数学科で複素関数論を学んだ人なら知ってます
他の学科は知らんよ 留数解析までしかやらんのだったら
こんなん教えないだろうからｗ）
>>28にも書いたけど、一般の等角写像なら
確かにエルランゲン・プログラムの範囲外です
一方でこういう幾何学もあります
反転幾何学
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8D%E8%BB%A2%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6
反転幾何学の中でさらにある円を不変とする写像だけ使えば
双曲幾何学を実現できます
（これ、数学科で複素関数論を学んだ人なら知ってます
他の学科は知らんよ 留数解析までしかやらんのだったら
こんなん教えないだろうからｗ）
31現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/08/30(日) 21:12:44.69ID:oR3g+efa >>22
>等角写像と言えば、どちらかと言えば、クラインのエルランゲン・プログラム的視点に力点がある
"エルランゲン・プログラム的視点"：”的”と”視点”が入っていることを見落としているぜ
またまた、揚げ足を取りに来て、踏みつぶされるの図か（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B2%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%97%E3%83%AD%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%A0
（クラインの）エルランゲン・プログラム
(抜粋)
概説
クラインはこの中で、幾何学を集合に対する変換群の作用によって分類し、その中で出てくる不変量（不変式）を扱うものだと定義した。例えばユークリッド幾何は合同変換で変わらない性質を扱う分野であり、射影幾何は射影変換で変わらない性質を扱う分野だ、というのである。
この考え方は数学界に大きな影響を与え、当時乱立していた各種の幾何学を近代的な視点で再統一することに成功した。クラインの定義はその後数十年の間主流であり続けたが、ただベルンハルト・リーマンが創立したリーマン幾何学とは相性が悪かった。
何故なら、クラインの定義だとリーマン計量の下では恒等変換以外に不変量を取り出せないため、全ての図形が自分自身とのみ関係することとなって、幾何学の成立する余地がなくなってしまうからである。この問題は20世紀に入り、ヘルマン・ワイルの創出したアフィン接続を契機に、アンリ・カルタンらによって両者のギャップを埋める方向に拡張された。したがって現代の幾何学も、本質的な考えはエルランゲン・プログラムの発展系であると考えてよい。
https://en.wikipedia.org/wiki/Erlangen_program
Erlangen program
(抜粋)
Later, Elie Cartan generalized Klein's homogeneous model spaces to Cartan connections on certain principal bundles, which generalized Riemannian geometry.
Abstract returns from the Erlangen program
In the seminal paper which introduced categories, Saunders Mac Lane and Samuel Eilenberg stated: "This may be regarded as a continuation of the Klein Erlanger Program, in the sense that a geometrical space with its group of transformations is generalized to a category with its algebra of mappings"[2]
>等角写像と言えば、どちらかと言えば、クラインのエルランゲン・プログラム的視点に力点がある
"エルランゲン・プログラム的視点"：”的”と”視点”が入っていることを見落としているぜ
またまた、揚げ足を取りに来て、踏みつぶされるの図か（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B2%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%97%E3%83%AD%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%A0
（クラインの）エルランゲン・プログラム
(抜粋)
概説
クラインはこの中で、幾何学を集合に対する変換群の作用によって分類し、その中で出てくる不変量（不変式）を扱うものだと定義した。例えばユークリッド幾何は合同変換で変わらない性質を扱う分野であり、射影幾何は射影変換で変わらない性質を扱う分野だ、というのである。
この考え方は数学界に大きな影響を与え、当時乱立していた各種の幾何学を近代的な視点で再統一することに成功した。クラインの定義はその後数十年の間主流であり続けたが、ただベルンハルト・リーマンが創立したリーマン幾何学とは相性が悪かった。
何故なら、クラインの定義だとリーマン計量の下では恒等変換以外に不変量を取り出せないため、全ての図形が自分自身とのみ関係することとなって、幾何学の成立する余地がなくなってしまうからである。この問題は20世紀に入り、ヘルマン・ワイルの創出したアフィン接続を契機に、アンリ・カルタンらによって両者のギャップを埋める方向に拡張された。したがって現代の幾何学も、本質的な考えはエルランゲン・プログラムの発展系であると考えてよい。
https://en.wikipedia.org/wiki/Erlangen_program
Erlangen program
(抜粋)
Later, Elie Cartan generalized Klein's homogeneous model spaces to Cartan connections on certain principal bundles, which generalized Riemannian geometry.
Abstract returns from the Erlangen program
In the seminal paper which introduced categories, Saunders Mac Lane and Samuel Eilenberg stated: "This may be regarded as a continuation of the Klein Erlanger Program, in the sense that a geometrical space with its group of transformations is generalized to a category with its algebra of mappings"[2]
32現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/08/30(日) 22:58:48.06ID:oR3g+efa >>16 追加
（参考）
https://www.rs.tus.ac.jp/a25594/
東京理科大学理工学部数学科 加塩 朋和
授業のレジュメ
https://www.rs.tus.ac.jp/a25594/2019_Module_Theory_20190620ver.pdf
代数学３ 加群論の授業のレジュメ (2019年度)加塩 朋和
P4
・ R は (必ずしも可換とは限らない) 環とする.
P5
問題 1. M2(Z) × Z^2 → Z^2,
([ a b
c d ] ,
[x
y ]) →
[a b
c d ]
[ x
y ] =
[ax+by
cx+dy ]
と置く. Z^2 は左 M2(Z)-加群であることを示せ.
P6
例 6. (1) R の部分集合 I に対し
I は R の左イデアル ⇔ I は (R 自身を左 R-加群と見たとき) R の部分加群.
よって, このとき左剰余集合 R/I も左 R-加群となる.
P11
注意 16. 体以外の環上の加群では, 必ずしも基底は取れない. 例えば R = Z, M = Z/nZ
に対し
R × M → M, (a, b mod n) 7→ a(b mod n) := ab mod n
とおけば M は R 加群になる (∵ 例 6-(1)). このとき
∀b mod n ∈ M, n(b mod n) = 0M
であるから, M から一次独立な元はとることができない.
問題 6. 自由加群はねじれ無し加群であることを示せ.
問題 7. 問題 1 の左 M2(Z)-加群 Z^2 を考える. このとき
(1) Z^2 は (左 M2(Z) 加群として) ねじれ無し加群である.
(2) Z^2 は (左 M2(Z) 加群として) 自由加群でない.
ことを示せ.
略解.
（略）
余談ですが、下記の前層・層の説明分り易い
https://www.rs.tus.ac.jp/a25594/2018_Algebraic_Curve.pdf
代数学特論３ 代数曲線論の入門的な授業のレジュメ (2018年度)加塩 朋和
P30
9 層係数コホモロジー群 (1)
なお、参考
https://www.rs.tus.ac.jp/a25594/2016_Group_and_Ring_Theory.pdf
代数学１ 群論・環論の授業のレジュメ (2016年度)加塩 朋和
（前半が群論、後半が環論）
P63～
環, 整域, 体
（参考）
https://www.rs.tus.ac.jp/a25594/
東京理科大学理工学部数学科 加塩 朋和
授業のレジュメ
https://www.rs.tus.ac.jp/a25594/2019_Module_Theory_20190620ver.pdf
代数学３ 加群論の授業のレジュメ (2019年度)加塩 朋和
P4
・ R は (必ずしも可換とは限らない) 環とする.
P5
問題 1. M2(Z) × Z^2 → Z^2,
([ a b
c d ] ,
[x
y ]) →
[a b
c d ]
[ x
y ] =
[ax+by
cx+dy ]
と置く. Z^2 は左 M2(Z)-加群であることを示せ.
P6
例 6. (1) R の部分集合 I に対し
I は R の左イデアル ⇔ I は (R 自身を左 R-加群と見たとき) R の部分加群.
よって, このとき左剰余集合 R/I も左 R-加群となる.
P11
注意 16. 体以外の環上の加群では, 必ずしも基底は取れない. 例えば R = Z, M = Z/nZ
に対し
R × M → M, (a, b mod n) 7→ a(b mod n) := ab mod n
とおけば M は R 加群になる (∵ 例 6-(1)). このとき
∀b mod n ∈ M, n(b mod n) = 0M
であるから, M から一次独立な元はとることができない.
問題 6. 自由加群はねじれ無し加群であることを示せ.
問題 7. 問題 1 の左 M2(Z)-加群 Z^2 を考える. このとき
(1) Z^2 は (左 M2(Z) 加群として) ねじれ無し加群である.
(2) Z^2 は (左 M2(Z) 加群として) 自由加群でない.
ことを示せ.
略解.
（略）
余談ですが、下記の前層・層の説明分り易い
https://www.rs.tus.ac.jp/a25594/2018_Algebraic_Curve.pdf
代数学特論３ 代数曲線論の入門的な授業のレジュメ (2018年度)加塩 朋和
P30
9 層係数コホモロジー群 (1)
なお、参考
https://www.rs.tus.ac.jp/a25594/2016_Group_and_Ring_Theory.pdf
代数学１ 群論・環論の授業のレジュメ (2016年度)加塩 朋和
（前半が群論、後半が環論）
P63～
環, 整域, 体
2020/08/31(月) 06:15:53.12ID:CK4NnquJ
>>31
>"エルランゲン・プログラム的視点"：
>”的”と”視点”が入っていることを見落としているぜ
そういうみっともない言い訳すんなよ
エルランゲンプログラムそのものずばり、だとおもったんだろ
しかも、なんの根拠もなく
あんた、ほんと口から出まかせばっかりだな
会社での綽名はずばり「口先男」だろ？
>"エルランゲン・プログラム的視点"：
>”的”と”視点”が入っていることを見落としているぜ
そういうみっともない言い訳すんなよ
エルランゲンプログラムそのものずばり、だとおもったんだろ
しかも、なんの根拠もなく
あんた、ほんと口から出まかせばっかりだな
会社での綽名はずばり「口先男」だろ？
2020/08/31(月) 06:20:48.71ID:CK4NnquJ
2020/08/31(月) 06:26:04.45ID:CK4NnquJ
>>23
＞李家・今村研究室
「李家」って珍しい苗字なので調べてみた
名字由来net より
【名字】李家
【読み】りのいえ
【全国順位】 23,014位
【全国人数】 およそ180人
【名字の由来解説】
李王家一族の子孫。
萩出身の長州藩士(寄組・大組)の一族に見られる。
近年、東京都、神奈川県などに多数みられる。
李家さん有名人アクセスランキング TOP10
名前 生年月日 ジャンル 備考
李家 幽竹 ？ その他 風水師
李家 隆介 1866年 政治家 内務官僚、県知事
＞李家・今村研究室
「李家」って珍しい苗字なので調べてみた
名字由来net より
【名字】李家
【読み】りのいえ
【全国順位】 23,014位
【全国人数】 およそ180人
【名字の由来解説】
李王家一族の子孫。
萩出身の長州藩士(寄組・大組)の一族に見られる。
近年、東京都、神奈川県などに多数みられる。
李家さん有名人アクセスランキング TOP10
名前 生年月日 ジャンル 備考
李家 幽竹 ？ その他 風水師
李家 隆介 1866年 政治家 内務官僚、県知事
36現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/08/31(月) 07:20:10.88ID:356lX/6R >>32 補足
https://www.rs.tus.ac.jp/a25594/2016_Group_and_Ring_Theory.pdf
代数学１ 群論・環論の授業のレジュメ (2016年度)加塩 朋和
（前半が群論、後半が環論）
で、
Ｐ65
1 “環論” への導入
1.1 “環” の定義と例
1.2 参考: “環論” (イデアル, 単数群, 環準同型写像) と応用例
が丁寧に書かれていて、好感が持てる
（抽象論だけで突っ走らないところが）
https://www.rs.tus.ac.jp/a25594/2016_Group_and_Ring_Theory.pdf
代数学１ 群論・環論の授業のレジュメ (2016年度)加塩 朋和
（前半が群論、後半が環論）
で、
Ｐ65
1 “環論” への導入
1.1 “環” の定義と例
1.2 参考: “環論” (イデアル, 単数群, 環準同型写像) と応用例
が丁寧に書かれていて、好感が持てる
（抽象論だけで突っ走らないところが）
37現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/08/31(月) 07:33:34.16ID:356lX/6R >>32 補足
層の話は、前スレより 下記と加塩先生とを読み比べてみれば、tsujimotterがきっちり書いていることが、よく分かるでしょう（＾＾
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/103
(抜粋)
tsujimotter氏の図解が良いね（＾＾；
https://tsujimotter.ハテナブログ/entry/definition-of-sheaf
tsujimotterのノートブック
2019-06-21 層の定義
今回は、いよいよ層の定義をしてみたいと思います。
目次：
前層（復習）
前層の例
層の定義（２つの公理）
例１：共通部分を持たない開被覆
公理１：既約性条件
公理２：閉条件
例１のまとめ
例２：共通部分を持つ開被覆
公理１：既約性条件
公理２：閉条件
例２ まとめ
完全列を用いた層の定義の言い換え
まとめ
補足１：U = Φ の場合
補足２：解析接続と閉条件
参考文献
層の定義においては、この２つの公理が本質的なわけですが・・・。
tsujimotterには、この２つの公理がまーーーーーーったくもってわからなかったのです。
正直言って意味不明でした。どちらもステートメントの意味がわからかったですし、何のためにこのような条件が課されているのかもわかりませんでした。
いろいろ試行錯誤をしていくうちに、数学ガールという本の、とある有名なキャッチフレーズを思い出しました。
《例示は理解の試金石》
そうだ！
例示をしてみればわかるかもしれない！
そういうわけで、具体例の計算をしてみたのです。すると、不思議なことに、層の条件がなんだかわかってきた気がしました。
あっ、これ解析接続じゃん！！！
と思うわけです。解析接続との関係については、補足２で改めて言及します。
対象をスキームとして、射をエタール射に置き換えた圏を考えると、その上でエタール層と呼ばれる層の類似物を定義することができます。このエタール層の層係数コホモロジーこそが、あの有名なエタール・コホモロジーです。そう言われるとちょっと嬉しく感じてきますよね。
圏論化することによる層の一般化の話は、整数論サマースクールの三枝先生の記事で読みました
http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/ss2009proceeding/SummerSchool-0201-2.pdf
層の話は、前スレより 下記と加塩先生とを読み比べてみれば、tsujimotterがきっちり書いていることが、よく分かるでしょう（＾＾
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/103
(抜粋)
tsujimotter氏の図解が良いね（＾＾；
https://tsujimotter.ハテナブログ/entry/definition-of-sheaf
tsujimotterのノートブック
2019-06-21 層の定義
今回は、いよいよ層の定義をしてみたいと思います。
目次：
前層（復習）
前層の例
層の定義（２つの公理）
例１：共通部分を持たない開被覆
公理１：既約性条件
公理２：閉条件
例１のまとめ
例２：共通部分を持つ開被覆
公理１：既約性条件
公理２：閉条件
例２ まとめ
完全列を用いた層の定義の言い換え
まとめ
補足１：U = Φ の場合
補足２：解析接続と閉条件
参考文献
層の定義においては、この２つの公理が本質的なわけですが・・・。
tsujimotterには、この２つの公理がまーーーーーーったくもってわからなかったのです。
正直言って意味不明でした。どちらもステートメントの意味がわからかったですし、何のためにこのような条件が課されているのかもわかりませんでした。
いろいろ試行錯誤をしていくうちに、数学ガールという本の、とある有名なキャッチフレーズを思い出しました。
《例示は理解の試金石》
そうだ！
例示をしてみればわかるかもしれない！
そういうわけで、具体例の計算をしてみたのです。すると、不思議なことに、層の条件がなんだかわかってきた気がしました。
あっ、これ解析接続じゃん！！！
と思うわけです。解析接続との関係については、補足２で改めて言及します。
対象をスキームとして、射をエタール射に置き換えた圏を考えると、その上でエタール層と呼ばれる層の類似物を定義することができます。このエタール層の層係数コホモロジーこそが、あの有名なエタール・コホモロジーです。そう言われるとちょっと嬉しく感じてきますよね。
圏論化することによる層の一般化の話は、整数論サマースクールの三枝先生の記事で読みました
http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/ss2009proceeding/SummerSchool-0201-2.pdf
38現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/08/31(月) 07:44:50.70ID:356lX/6R >>37 補足
（>>32より）
https://www.rs.tus.ac.jp/a25594/2018_Algebraic_Curve.pdf
代数学特論３ 代数曲線論の入門的な授業のレジュメ (2018年度)加塩 朋和
(抜粋)
P30
9 層係数コホモロジー群 (1)
定義 58. X 上の (C-線形空間の) 前層 とは
略
注意 59. (1) 記法としては, 前層 F は, 線形空間と線形写像の集まり
(5) 前層は “どんどん局所へ制限していく” ことを定式化している.
定義 60. X 上の前層 F で以下を満たすものを 層 と呼ぶ:
注意 61. (1) 層は, 局所へ制限するだけでなく “局所的なデータから大域的なデータを
復元できる” ことを定式化している.
問題 8. リーマン面 X 上の 正則関数のなす層 OX を
略
で定める.
実際に OX が層であることを確かめよ.
（注：ここ、「 OX およびMX が層であることを確かめよ.」だと思う。MXが抜けたのだろう）
（余談：下記も分り易い例だね）
問題 10. x ∈ X での 摩天楼層 Cx を
略
で定める.
(1) Cx が層であることを確かめよ.
(2) Cx の各点でのストークを求めよ.
(3) Cx のサポートを求めよ.
注意 64. 前層 F の各ストーク Fx を “なめらかに” つなげたものが F の層化 Fa である.
(引用終り)
ここ、上記加塩先生「問題 8. リーマン面 X 上の 正則関数のなす層 OX 実際に OX が層であることを確かめよ.」が、>>37のtsujimotter氏の記事と符合しているよ（＾＾
（>>32より）
https://www.rs.tus.ac.jp/a25594/2018_Algebraic_Curve.pdf
代数学特論３ 代数曲線論の入門的な授業のレジュメ (2018年度)加塩 朋和
(抜粋)
P30
9 層係数コホモロジー群 (1)
定義 58. X 上の (C-線形空間の) 前層 とは
略
注意 59. (1) 記法としては, 前層 F は, 線形空間と線形写像の集まり
(5) 前層は “どんどん局所へ制限していく” ことを定式化している.
定義 60. X 上の前層 F で以下を満たすものを 層 と呼ぶ:
注意 61. (1) 層は, 局所へ制限するだけでなく “局所的なデータから大域的なデータを
復元できる” ことを定式化している.
問題 8. リーマン面 X 上の 正則関数のなす層 OX を
略
で定める.
実際に OX が層であることを確かめよ.
（注：ここ、「 OX およびMX が層であることを確かめよ.」だと思う。MXが抜けたのだろう）
（余談：下記も分り易い例だね）
問題 10. x ∈ X での 摩天楼層 Cx を
略
で定める.
(1) Cx が層であることを確かめよ.
(2) Cx の各点でのストークを求めよ.
(3) Cx のサポートを求めよ.
注意 64. 前層 F の各ストーク Fx を “なめらかに” つなげたものが F の層化 Fa である.
(引用終り)
ここ、上記加塩先生「問題 8. リーマン面 X 上の 正則関数のなす層 OX 実際に OX が層であることを確かめよ.」が、>>37のtsujimotter氏の記事と符合しているよ（＾＾
2020/08/31(月) 08:00:36.19ID:DzVUmZfn
前スレの話の続きを書きますね。
ジューコフスキー変換 w=z+a^2/z において
逆変換 z=f(w)とおくと、zは2次方程式z^2-wz+a^2=0
の根。しかし、ただの数字方程式ではなく
代数函数なのだから、2つの根が別々にあるんじゃなくて
解析接続でつながってる。
分岐点は±2aだから、w平面上に原点を中心とする
半径2aの円を描けば、円の内側と外側
（外側は∞を中心とする円内と考えられる）
で一価解析函数が2個づつ求まる。
だから、それら4個の解（数え方によっては2個の解）をもって、「つながり方」を示してやれば
一応完全な解ではある。
（セタンコが「等角写像だからぁ」と言っていたのは、それら1個ずつの解に過ぎない。）
実はそれら4枚の面（数え方によっては2枚）を適切につなげて
分岐点の所を埋めてやれば、1枚のリーマン球面と同相になる。
それはまぁ当然だろう、もともとz球面だったんだから。
ジューコフスキー変換 w=z+a^2/z において
逆変換 z=f(w)とおくと、zは2次方程式z^2-wz+a^2=0
の根。しかし、ただの数字方程式ではなく
代数函数なのだから、2つの根が別々にあるんじゃなくて
解析接続でつながってる。
分岐点は±2aだから、w平面上に原点を中心とする
半径2aの円を描けば、円の内側と外側
（外側は∞を中心とする円内と考えられる）
で一価解析函数が2個づつ求まる。
だから、それら4個の解（数え方によっては2個の解）をもって、「つながり方」を示してやれば
一応完全な解ではある。
（セタンコが「等角写像だからぁ」と言っていたのは、それら1個ずつの解に過ぎない。）
実はそれら4枚の面（数え方によっては2枚）を適切につなげて
分岐点の所を埋めてやれば、1枚のリーマン球面と同相になる。
それはまぁ当然だろう、もともとz球面だったんだから。
2020/08/31(月) 08:05:20.82ID:DzVUmZfn
つまり、w球面上の2重の分岐被覆面として、z球面が得られている。
このことから、パラメータtを適切に取ってやると
w=w(t),z=z(√t) のようにあらわせるだろう。
（t=r(cos(θ+isinθ)とおくと、zは
(r,θ),（0≦θ<4π）によって「一意化」されるはず。）
そういうことを求めてるのかな？と前スレ>879で思ったのだが
違うのならまぁいい。
このことから、パラメータtを適切に取ってやると
w=w(t),z=z(√t) のようにあらわせるだろう。
（t=r(cos(θ+isinθ)とおくと、zは
(r,θ),（0≦θ<4π）によって「一意化」されるはず。）
そういうことを求めてるのかな？と前スレ>879で思ったのだが
違うのならまぁいい。
2020/08/31(月) 08:13:07.62ID:DzVUmZfn
一応書いておくと
t=(w-2a)/(w+2a)とおくと逆変換 w=-2a(t+1)/(t-1)で
z=w+√t(w+2a).
これはt=∞（つまりw=-2a）以外で成立する。
（w平面で言うと、原点中心ではなく、分岐点を中心にしていることがミソ。
あとメビウス変換で、2つの分岐点をそれぞれ0,∞ に移動することで半径の制約を無くした。）
t=(w-2a)/(w+2a)とおくと逆変換 w=-2a(t+1)/(t-1)で
z=w+√t(w+2a).
これはt=∞（つまりw=-2a）以外で成立する。
（w平面で言うと、原点中心ではなく、分岐点を中心にしていることがミソ。
あとメビウス変換で、2つの分岐点をそれぞれ0,∞ に移動することで半径の制約を無くした。）
2020/08/31(月) 09:45:17.00ID:CK4NnquJ
2020/08/31(月) 09:55:51.54ID:CK4NnquJ
>>39
＞一価解析函数が2個づつ求まる。
2個？
＞それら4個の解
4個？
＞それら4枚の面
４枚
面は２枚だと思うよ
複素平面全体から円の外側への写像と、内側への写像の２枚
つまり、２つの解の１つが円の外側で、もう１つが内側
どう数えても解は２つで、枚数も２枚 違う？
＞適切につなげて分岐点の所を埋めてやれば、
＞1枚のリーマン球面と同相になる。
そもそもジューコフスキー写像はリーマン球面の二重被覆だからな
で、被覆面もリーマン球面、というのはその通り
で被覆面のほうから元のリーマン球面へ写像する場合
２重になってる被覆面の１重分の値域が
リーマン球面上の「半球」になる
それが円の内側と、外側にあたるというわけ
＞一価解析函数が2個づつ求まる。
2個？
＞それら4個の解
4個？
＞それら4枚の面
４枚
面は２枚だと思うよ
複素平面全体から円の外側への写像と、内側への写像の２枚
つまり、２つの解の１つが円の外側で、もう１つが内側
どう数えても解は２つで、枚数も２枚 違う？
＞適切につなげて分岐点の所を埋めてやれば、
＞1枚のリーマン球面と同相になる。
そもそもジューコフスキー写像はリーマン球面の二重被覆だからな
で、被覆面もリーマン球面、というのはその通り
で被覆面のほうから元のリーマン球面へ写像する場合
２重になってる被覆面の１重分の値域が
リーマン球面上の「半球」になる
それが円の内側と、外側にあたるというわけ
2020/08/31(月) 10:06:05.92ID:CK4NnquJ
2020/08/31(月) 10:20:40.13ID:CK4NnquJ
セタは正則行列も知らないくらいだから
単体のホモロジー・コホモロジーも知らないだろう
そんな奴が層係数のコホモロジーとか分かるわけないだろ
だいたい、ホモロジーとコホモロジーの関係も分かってないだろ
サインとコサインみたいなもんだと思ってるんじゃないか？ｗ
単体のホモロジー・コホモロジーも知らないだろう
そんな奴が層係数のコホモロジーとか分かるわけないだろ
だいたい、ホモロジーとコホモロジーの関係も分かってないだろ
サインとコサインみたいなもんだと思ってるんじゃないか？ｗ
2020/08/31(月) 12:12:47.94ID:o86d3Fhu
>>42
>公理２が「あっ、これ解析接続じゃん！！！」というのが誤り
>解析接続を満たさないC∞関数も層を成すから
落ちこぼれが、何を言っているのかねーｗ
（>>37より）
いろいろ試行錯誤をしていくうちに、数学ガールという本の、とある有名なキャッチフレーズを思い出しました。
《例示は理解の試金石》
そうだ！
例示をしてみればわかるかもしれない！
(引用終り)
って書いてあるだろ？
tsujimotterの記事全体を読めば分かる
彼の記事のコンテキストから読めるのは、
「あっ、これ解析接続じゃん！！！」
の意図は、層は解析接続を抽象化したものだってことだよ
彼の言いたいことは
そしてそれは、>>38の加塩先生のPDFの
問題 8. リーマン面 X 上の 正則関数のなす層 OX
略
実際に OX が層であることを確かめよ.
と、符合しているってことですよ（＾＾
>公理２が「あっ、これ解析接続じゃん！！！」というのが誤り
>解析接続を満たさないC∞関数も層を成すから
落ちこぼれが、何を言っているのかねーｗ
（>>37より）
いろいろ試行錯誤をしていくうちに、数学ガールという本の、とある有名なキャッチフレーズを思い出しました。
《例示は理解の試金石》
そうだ！
例示をしてみればわかるかもしれない！
(引用終り)
って書いてあるだろ？
tsujimotterの記事全体を読めば分かる
彼の記事のコンテキストから読めるのは、
「あっ、これ解析接続じゃん！！！」
の意図は、層は解析接続を抽象化したものだってことだよ
彼の言いたいことは
そしてそれは、>>38の加塩先生のPDFの
問題 8. リーマン面 X 上の 正則関数のなす層 OX
略
実際に OX が層であることを確かめよ.
と、符合しているってことですよ（＾＾
2020/08/31(月) 13:55:35.13ID:CK4NnquJ
>>46
＞彼の記事のコンテキストから読めるのは、
＞「あっ、これ解析接続じゃん！！！」
＞の意図は、層は解析接続を抽象化したものだってことだよ
コンテキスト関係ないｗ
解析接続の抽象化なら、解析接続の性質を有しない
連続関数は、層にならない筈
し・か・し、実際は層になる
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
「連続関数の層
Xを位相空間とする。
X の開集合 U に対して、その上の複素数値連続関数のなす空間を C(U) とかくことにする。
開集合の包含関係 V ⊆ U に対して関数の定義域の制限 C(U) → C(V) を考えることで X 上の層が得られる。
点x におけるこの層の芽とはxのまわりでの関数の局所的な振る舞いを表していると考えることができる。」
ものの見事に反駁されとるｗｗｗ
大学も受からなかった落ちこぼれセタが、何をウソ八百言っているのかねーｗｗｗ
だから
「正方行列の全体は群を成す！いかなる正方行列も逆元を持つ！」
なんていってクソ壺で溺死するんだよ ばぁぁぁぁぁかｗｗｗｗｗｗｗ
＞彼の記事のコンテキストから読めるのは、
＞「あっ、これ解析接続じゃん！！！」
＞の意図は、層は解析接続を抽象化したものだってことだよ
コンテキスト関係ないｗ
解析接続の抽象化なら、解析接続の性質を有しない
連続関数は、層にならない筈
し・か・し、実際は層になる
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
「連続関数の層
Xを位相空間とする。
X の開集合 U に対して、その上の複素数値連続関数のなす空間を C(U) とかくことにする。
開集合の包含関係 V ⊆ U に対して関数の定義域の制限 C(U) → C(V) を考えることで X 上の層が得られる。
点x におけるこの層の芽とはxのまわりでの関数の局所的な振る舞いを表していると考えることができる。」
ものの見事に反駁されとるｗｗｗ
大学も受からなかった落ちこぼれセタが、何をウソ八百言っているのかねーｗｗｗ
だから
「正方行列の全体は群を成す！いかなる正方行列も逆元を持つ！」
なんていってクソ壺で溺死するんだよ ばぁぁぁぁぁかｗｗｗｗｗｗｗ
2020/08/31(月) 14:11:07.86ID:o86d3Fhu
>>46 補足
C∞の層はあんまし面白くないみたいだな
まずは、下記向井 茂先生
「・ 層( sheaf )
大雑把にいって
層' X 上の代数的(正則) ベクトル束 (10)
です(X が代数多様体のときは「代数的」、複素多様体のときは「正則」が対応します)。」
こっから入っていけば良い。C∞の層はあんまし面白くない（＾＾；
代数的、正則、まずはこの二つよ
（参考）
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~hamanaka/hamanaka.html#article
浜中 真志 名古屋大学 大学院多元数理科学研究科
http://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~masashi.hamanaka/fourier_mukai.pdf
講義録
Fourier-Mukai変換
向井 茂 述
浜中 真志 記
1998 年 12 月 9 日
Fourier-Mukai 変換(以下FM 変換と書く) というのは、Fourier 変換の拡張です。Fourier 変換
というのは普通、関数を展開してやるものですが、これを層でやるというのがFM 変換です。
Fourier 変換の拡張という話はいろいろあります。一番簡単なものですと、例えば次のようなも
のがあります。
略
ここからいろいろな話を続けていくことができます。これからやるFM 変換の場合により近い
例としては、次のようなものがあります。まず、
V : 有限次元(実) ベクトル空間(4）
を持ってきて、
略
で、こういうのをここまでは多様体上の関数に対してやっていたんですが、今度は多様体上の
層に対してやればどうなるかということを考えます。
そのためにまず、基本単語の説明をします。
・ カテゴリー( category )
数学的には
略
射の全体Hom(X; Y ) が群構造を持ち、(iv) までくると、X とY というobject の間
の射の全体Hom(X; Y ) がベクトル空間の構造を持ちます。それから、今日の話で関係する
カテゴリーは
object morphism
(v) 代数的(複素) 多様体X 上の(連接) 層 その間の準同型
です。これには少し戸惑うかもしれませんが、恐れる程のことはありません。
つづく
C∞の層はあんまし面白くないみたいだな
まずは、下記向井 茂先生
「・ 層( sheaf )
大雑把にいって
層' X 上の代数的(正則) ベクトル束 (10)
です(X が代数多様体のときは「代数的」、複素多様体のときは「正則」が対応します)。」
こっから入っていけば良い。C∞の層はあんまし面白くない（＾＾；
代数的、正則、まずはこの二つよ
（参考）
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~hamanaka/hamanaka.html#article
浜中 真志 名古屋大学 大学院多元数理科学研究科
http://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~masashi.hamanaka/fourier_mukai.pdf
講義録
Fourier-Mukai変換
向井 茂 述
浜中 真志 記
1998 年 12 月 9 日
Fourier-Mukai 変換(以下FM 変換と書く) というのは、Fourier 変換の拡張です。Fourier 変換
というのは普通、関数を展開してやるものですが、これを層でやるというのがFM 変換です。
Fourier 変換の拡張という話はいろいろあります。一番簡単なものですと、例えば次のようなも
のがあります。
略
ここからいろいろな話を続けていくことができます。これからやるFM 変換の場合により近い
例としては、次のようなものがあります。まず、
V : 有限次元(実) ベクトル空間(4）
を持ってきて、
略
で、こういうのをここまでは多様体上の関数に対してやっていたんですが、今度は多様体上の
層に対してやればどうなるかということを考えます。
そのためにまず、基本単語の説明をします。
・ カテゴリー( category )
数学的には
略
射の全体Hom(X; Y ) が群構造を持ち、(iv) までくると、X とY というobject の間
の射の全体Hom(X; Y ) がベクトル空間の構造を持ちます。それから、今日の話で関係する
カテゴリーは
object morphism
(v) 代数的(複素) 多様体X 上の(連接) 層 その間の準同型
です。これには少し戸惑うかもしれませんが、恐れる程のことはありません。
つづく
2020/08/31(月) 14:11:37.82ID:o86d3Fhu
>>48
つづき
・ 層( sheaf )
大雑把にいって
層' X 上の代数的(正則) ベクトル束 (10)
です(X が代数多様体のときは「代数的」、複素多様体のときは「正則」が対応します)。
こう思って大体話が通じますが、時々話が通じないことも事実です。そのときに何に注意すれ
ばいいかと言いますと、X の閉部分多様体Y 上のベクトル束を(補集合X !Y では零になる
ように) 拡げたものも層だということです。層というのは多様体の各点にベクトル空間が生
えたものです。このベクトル空間の次元が各点で全て同じならば、本当にベクトル束です。
ただ各点で次元がジャンプすることがあります。例えば、摩天楼層がそうです。摩天楼層と
いうのはX の１点x 2 X に有限次元ベクトル空間を生やしたものです。
関数のFourier 変換を層のFourier 変換(FM 変換) に拡張するためにどうすればいいかですが、
結論から先に言いますと次の置き換えをすることになります：
関数のFourier 変換層のFourier 変換(FM 変換)
実ベクトル空間V 複素トーラスX
V の双対空間V X の双対トーラス?X
関数f 連接層F
核関数e^2?i(v,α) on VｘV^ Poincare 直線束P on XｘX^
関数の積分 層のコホモロジー群
それで、まず複素トーラスX ですが、それは次のように定義されます。
略
(引用終り)
以上
是非、原文をば（＾＾
つづき
・ 層( sheaf )
大雑把にいって
層' X 上の代数的(正則) ベクトル束 (10)
です(X が代数多様体のときは「代数的」、複素多様体のときは「正則」が対応します)。
こう思って大体話が通じますが、時々話が通じないことも事実です。そのときに何に注意すれ
ばいいかと言いますと、X の閉部分多様体Y 上のベクトル束を(補集合X !Y では零になる
ように) 拡げたものも層だということです。層というのは多様体の各点にベクトル空間が生
えたものです。このベクトル空間の次元が各点で全て同じならば、本当にベクトル束です。
ただ各点で次元がジャンプすることがあります。例えば、摩天楼層がそうです。摩天楼層と
いうのはX の１点x 2 X に有限次元ベクトル空間を生やしたものです。
関数のFourier 変換を層のFourier 変換(FM 変換) に拡張するためにどうすればいいかですが、
結論から先に言いますと次の置き換えをすることになります：
関数のFourier 変換層のFourier 変換(FM 変換)
実ベクトル空間V 複素トーラスX
V の双対空間V X の双対トーラス?X
関数f 連接層F
核関数e^2?i(v,α) on VｘV^ Poincare 直線束P on XｘX^
関数の積分 層のコホモロジー群
それで、まず複素トーラスX ですが、それは次のように定義されます。
略
(引用終り)
以上
是非、原文をば（＾＾
2020/08/31(月) 15:21:19.20ID:CK4NnquJ
>>48
＞C∞の層はあんまし面白くないみたいだな
面白くないから層じゃないのか？
貴様は馬鹿か？白痴か？
もういいから貴様は数学やめろ
粗雑な貴様に精密な現代数学なんか到底理解不能
「正方行列の群」？貴様 白痴か！！！
＞C∞の層はあんまし面白くないみたいだな
面白くないから層じゃないのか？
貴様は馬鹿か？白痴か？
もういいから貴様は数学やめろ
粗雑な貴様に精密な現代数学なんか到底理解不能
「正方行列の群」？貴様 白痴か！！！
2020/08/31(月) 16:27:51.16ID:o86d3Fhu
>>48 補足
代数幾何学や複素多様体やスキームの理論では、連接層又は準連接層の理論が成り立ち、豊富な結果が得られている
C∞の層？ そんなの当面無視しとけ～！！ｗ（＾＾；
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E6%8E%A5%E5%B1%A4
連接層
(抜粋)
代数幾何学や複素多様体やスキームの理論では、連接層(れんせつそう、英: coherent sheaf)とは、底空間の幾何学的性質に密接に関連する、扱いやすい性質をもった特別な層である。
連接層は有限ランクのベクトルバンドルや局所自由層の一般化とみなすことができる。ベクトルバンドルとは違い、連接層のなす圏は、核（英語版）や余核や有限の直和といった操作で閉じている｢素晴らしい｣圏である。準連接層(じゅんれんせつそう、英：quasi-coherent sheaf)は連接層における有限性の仮定をはずしたもので、ランク無限の局所自由層を含んでいる。
代数幾何学や複素解析の多くの結果や性質が、連接層、準連接層やそれらのコホモロジーのことばで定式化される。
定義
環付き空間 (X, OX) の上 OX-加群の層 F が連接層であるとは、次の性質をもつ場合をいう[1]。
略
環 OX の層が連接層であるとは、それ自身を OX-加群の層とみなしたときに、連接であることとする。環の連接層の重要な例として、複素多様体の正則函数の芽の層やネタースキーム[3]の構造層がある。
連接層はいつも、有限表現可能な層である。言い換えると X の各々の点 x は開近傍 U を持ち、F の U 上への制限 F|U が、ある整数 n, m について射 OXn|U → OXm|U の余核と同型になることである。OX が連接層であれば、逆も正しい、つまり有限表現可能な OX 加群の層は連接層である。
{O}_{X}-加群の層 {F} が準連接層とは、局所表現を持っている場合、つまり、X の任意の点 x にたいしその開近傍 U が存在して、次の完全系列が成立する場合のことを言う。
つづく
代数幾何学や複素多様体やスキームの理論では、連接層又は準連接層の理論が成り立ち、豊富な結果が得られている
C∞の層？ そんなの当面無視しとけ～！！ｗ（＾＾；
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E6%8E%A5%E5%B1%A4
連接層
(抜粋)
代数幾何学や複素多様体やスキームの理論では、連接層(れんせつそう、英: coherent sheaf)とは、底空間の幾何学的性質に密接に関連する、扱いやすい性質をもった特別な層である。
連接層は有限ランクのベクトルバンドルや局所自由層の一般化とみなすことができる。ベクトルバンドルとは違い、連接層のなす圏は、核（英語版）や余核や有限の直和といった操作で閉じている｢素晴らしい｣圏である。準連接層(じゅんれんせつそう、英：quasi-coherent sheaf)は連接層における有限性の仮定をはずしたもので、ランク無限の局所自由層を含んでいる。
代数幾何学や複素解析の多くの結果や性質が、連接層、準連接層やそれらのコホモロジーのことばで定式化される。
定義
環付き空間 (X, OX) の上 OX-加群の層 F が連接層であるとは、次の性質をもつ場合をいう[1]。
略
環 OX の層が連接層であるとは、それ自身を OX-加群の層とみなしたときに、連接であることとする。環の連接層の重要な例として、複素多様体の正則函数の芽の層やネタースキーム[3]の構造層がある。
連接層はいつも、有限表現可能な層である。言い換えると X の各々の点 x は開近傍 U を持ち、F の U 上への制限 F|U が、ある整数 n, m について射 OXn|U → OXm|U の余核と同型になることである。OX が連接層であれば、逆も正しい、つまり有限表現可能な OX 加群の層は連接層である。
{O}_{X}-加群の層 {F} が準連接層とは、局所表現を持っている場合、つまり、X の任意の点 x にたいしその開近傍 U が存在して、次の完全系列が成立する場合のことを言う。
つづく
2020/08/31(月) 16:28:27.07ID:o86d3Fhu
>>51
つづき
連接層の例
・環付き空間 X 上の {O}_X-加群 {F} が局所自由(locally free)とは 略
・X = {Spec}(R) とすると、R はネーター環である。すると、R 上の有限生成射影加群（英語版）(finitely generated projective module)は局所自由 {O}_X-加群とみることができる。
・岡の連接定理は、複素多様体上の正則函数の層が環の連接層であるという定理である[3] 。
・ベクトルバンドルの切断の層（スキーム上、もしくは、複素解析空間の上の）は連接層である。
・イデアル層：Z が複素解析空間 X の閉複素部分空間であれば、Z でゼロとなるすべての正則函数の層 IZ/X は連接層である。同様に、閉部分スキーム上でゼロとなる代数多様体の射(regular functions)の層は連接層である。
・X の閉部分スキームや閉解析的部分空間 Z の構造層 OZ は X 上の連接層である。層 OZ は開集合 X - Z の中の点では（以下に定義する）ファイバー次元がゼロに等しく、Z の中の点では 1 に等しい。
性質
(X, OX) 上の連接層の圏は、アーベル圏であり、(X, OX) 上のすべての層のアーベル圏の充密な部分圏である。 （同様に、環 R 上の有限生成加群の圏も、すべての R-加群の圏の充密なアーベル部分圏である。） R により、大域切断のなす環 Γ(X, OX) を表すとすると、任意の R-加群は自然な方法で OX-加群の準連接層となり、R-加群から準連接層への函手をさだめることができる。しかし一般には、すべての準連接層がこの方法で R-加群から得られるわけではない。座標環 R を持つアフィンスキーム X に対しては、この構成は X 上の R-加群と準連接層の間の圏同値を与える。とくに環 R がネーター環の場合は、連接層は有限生成加群にちょうど対応する。
可換環に関するいくつかの結果は、自然に連接層を使い解釈することができる。例えば、中山の補題は F が連接層であれば、点 x での F のファイバー Fx?OX,xk(x)（剰余体 k(x)上のベクトル空間）がゼロであることと、層 F が x のある開近傍でゼロであることは同値である（と言い換えることができる）。
つづく
つづき
連接層の例
・環付き空間 X 上の {O}_X-加群 {F} が局所自由(locally free)とは 略
・X = {Spec}(R) とすると、R はネーター環である。すると、R 上の有限生成射影加群（英語版）(finitely generated projective module)は局所自由 {O}_X-加群とみることができる。
・岡の連接定理は、複素多様体上の正則函数の層が環の連接層であるという定理である[3] 。
・ベクトルバンドルの切断の層（スキーム上、もしくは、複素解析空間の上の）は連接層である。
・イデアル層：Z が複素解析空間 X の閉複素部分空間であれば、Z でゼロとなるすべての正則函数の層 IZ/X は連接層である。同様に、閉部分スキーム上でゼロとなる代数多様体の射(regular functions)の層は連接層である。
・X の閉部分スキームや閉解析的部分空間 Z の構造層 OZ は X 上の連接層である。層 OZ は開集合 X - Z の中の点では（以下に定義する）ファイバー次元がゼロに等しく、Z の中の点では 1 に等しい。
性質
(X, OX) 上の連接層の圏は、アーベル圏であり、(X, OX) 上のすべての層のアーベル圏の充密な部分圏である。 （同様に、環 R 上の有限生成加群の圏も、すべての R-加群の圏の充密なアーベル部分圏である。） R により、大域切断のなす環 Γ(X, OX) を表すとすると、任意の R-加群は自然な方法で OX-加群の準連接層となり、R-加群から準連接層への函手をさだめることができる。しかし一般には、すべての準連接層がこの方法で R-加群から得られるわけではない。座標環 R を持つアフィンスキーム X に対しては、この構成は X 上の R-加群と準連接層の間の圏同値を与える。とくに環 R がネーター環の場合は、連接層は有限生成加群にちょうど対応する。
可換環に関するいくつかの結果は、自然に連接層を使い解釈することができる。例えば、中山の補題は F が連接層であれば、点 x での F のファイバー Fx?OX,xk(x)（剰余体 k(x)上のベクトル空間）がゼロであることと、層 F が x のある開近傍でゼロであることは同値である（と言い換えることができる）。
つづく
2020/08/31(月) 16:28:47.00ID:o86d3Fhu
>>52
つづき
連接コホモロジー
連接層の層係数コホモロジー論は、連接コホモロジー(coherent cohomology)と呼ばれる。これは層の主要で最も実りの多い応用の一つで、この結果はただちに古典的な理論と結びついている。
フレシェ空間のコンパクト作用素の定理を使い、カルタンとセールは、コンパクトな複素多様体上では、任意の連接層のコホモロジーは有限次元のベクトル空間になるという性質を持っていることを証明した。
この結果は、ケーラー多様体上の局所自由層の特別な場合に、小平邦彦により以前に証明されていたものの拡張である。GAGA の同値性の証明に重要な役割を果たしている。この定理の代数的な（非常に簡単な）バージョンは、セールにより証明された。この結果の相対的なバージョンは、グロタンディーク(Grothendieck)により代数的な場合に証明され、グラウエルト（英語版）(Hans Grauert)とレンマート（英語版）(Reinhold Remmert)が解析的な場合に証明した。例えば、グロタンディークの結果は、f をスキームの固有射としたときに、連接層 F のプッシュフォワード、函手 Rif*F が連接層になることを主張する。（この函手Ri f*は層の順像（英語版） f* の右導来函手である。）セールの結果は相対的な結果を点への射に適用したものとみなすことができる。
(引用終り)
以上
つづき
連接コホモロジー
連接層の層係数コホモロジー論は、連接コホモロジー(coherent cohomology)と呼ばれる。これは層の主要で最も実りの多い応用の一つで、この結果はただちに古典的な理論と結びついている。
フレシェ空間のコンパクト作用素の定理を使い、カルタンとセールは、コンパクトな複素多様体上では、任意の連接層のコホモロジーは有限次元のベクトル空間になるという性質を持っていることを証明した。
この結果は、ケーラー多様体上の局所自由層の特別な場合に、小平邦彦により以前に証明されていたものの拡張である。GAGA の同値性の証明に重要な役割を果たしている。この定理の代数的な（非常に簡単な）バージョンは、セールにより証明された。この結果の相対的なバージョンは、グロタンディーク(Grothendieck)により代数的な場合に証明され、グラウエルト（英語版）(Hans Grauert)とレンマート（英語版）(Reinhold Remmert)が解析的な場合に証明した。例えば、グロタンディークの結果は、f をスキームの固有射としたときに、連接層 F のプッシュフォワード、函手 Rif*F が連接層になることを主張する。（この函手Ri f*は層の順像（英語版） f* の右導来函手である。）セールの結果は相対的な結果を点への射に適用したものとみなすことができる。
(引用終り)
以上
2020/08/31(月) 16:41:56.79ID:o86d3Fhu
>>51 補足
代数多様体と解析多様体と
この二つが、層を理解する上で、超重要なのです
まずは、この二つ
C∞の層？ そんなの当面無視しとけ～！！ｗ（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6%E3%81%A8%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6
代数幾何学と解析幾何学
(抜粋)
代数幾何学と解析幾何学（フランス語: Geometrie Algebrique et Geometrie Analytique、略称: GAGA）[1]は密接な関係にある。代数幾何学は代数多様体を研究するのに対して、解析幾何学は複素多様体やより一般的に多変数の（複素）解析函数のゼロ点で局所的に定義された解析空間（英語版）を扱う。これら2つの深い関係は、代数的なテクニックを解析空間へ適用したり、逆に解析的テクニックを代数多様体へ適用したりする上で応用されている。
主要な結果
X を複素射影代数多様体とする。X は複素多様体であるので、複素数の点 X(C) はコンパクト複素解析空間の構造を持ち、Xan と表わされる。同様に、 {F}}} {F}} を X 上の層とすると、Xan 上の対応する層 {F}}^{an}}} {F}}^{{an}}} が存在し、これが解析的な対象と代数的な対象を関連付ける函手となる。典型的な X と Xan を関連付ける定理は、次のように言うことができる。
X 上の任意の 2つの連接層 {F} と {G}に対し、自然な準同型
略
は同型である。ここに、 {O}_{X}は代数多様体 X の構造層であり、 {O}_{X}^{an} は解析的多様体 Xan の構造層である。言い換えると、代数多様体 X の連接層の圏と解析多様体 Xanの圏は同値であり、同値性は {F} から {F}^{an}への写像により与えられる。（特に、 {O}_{X}^{an} 自身 が連接層であることは、岡の連接定理として知られている。）
もうひとつの重要なステートメントは、以下である。代数多様体 X 上の任意の連接層 {F}に対し、準同型
略
は、すべての q について同型である。このことは、X 上の q次コホモロジー群と、Xan 上の q次コホモロジー群が同型であることを意味する。
この定理はより一般的な場合にも成り立つ。（詳しくは、GAGAの公式ステートメントを参照。）この定理と証明は、周の定理、レフシェッツの原理や小平消滅定理のような多くの結果がある。
つづく
代数多様体と解析多様体と
この二つが、層を理解する上で、超重要なのです
まずは、この二つ
C∞の層？ そんなの当面無視しとけ～！！ｗ（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6%E3%81%A8%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6
代数幾何学と解析幾何学
(抜粋)
代数幾何学と解析幾何学（フランス語: Geometrie Algebrique et Geometrie Analytique、略称: GAGA）[1]は密接な関係にある。代数幾何学は代数多様体を研究するのに対して、解析幾何学は複素多様体やより一般的に多変数の（複素）解析函数のゼロ点で局所的に定義された解析空間（英語版）を扱う。これら2つの深い関係は、代数的なテクニックを解析空間へ適用したり、逆に解析的テクニックを代数多様体へ適用したりする上で応用されている。
主要な結果
X を複素射影代数多様体とする。X は複素多様体であるので、複素数の点 X(C) はコンパクト複素解析空間の構造を持ち、Xan と表わされる。同様に、 {F}}} {F}} を X 上の層とすると、Xan 上の対応する層 {F}}^{an}}} {F}}^{{an}}} が存在し、これが解析的な対象と代数的な対象を関連付ける函手となる。典型的な X と Xan を関連付ける定理は、次のように言うことができる。
X 上の任意の 2つの連接層 {F} と {G}に対し、自然な準同型
略
は同型である。ここに、 {O}_{X}は代数多様体 X の構造層であり、 {O}_{X}^{an} は解析的多様体 Xan の構造層である。言い換えると、代数多様体 X の連接層の圏と解析多様体 Xanの圏は同値であり、同値性は {F} から {F}^{an}への写像により与えられる。（特に、 {O}_{X}^{an} 自身 が連接層であることは、岡の連接定理として知られている。）
もうひとつの重要なステートメントは、以下である。代数多様体 X 上の任意の連接層 {F}に対し、準同型
略
は、すべての q について同型である。このことは、X 上の q次コホモロジー群と、Xan 上の q次コホモロジー群が同型であることを意味する。
この定理はより一般的な場合にも成り立つ。（詳しくは、GAGAの公式ステートメントを参照。）この定理と証明は、周の定理、レフシェッツの原理や小平消滅定理のような多くの結果がある。
つづく
2020/08/31(月) 16:42:24.77ID:o86d3Fhu
>>54
つづき
背景
代数多様体は、局所的には多項式の共通なゼロ点として定義され、複素数上の多項式は正則函数でもあるので、C 上の代数多様体は解析空間と解釈することもできる。同様に、多様体間の正規写像は解析空間の間の正則写像と解釈することができる。少し驚くべきことであるが、しばしば、解析的対象を代数的な方法で解釈することも可能である。
例えば、リーマン球面からリーマン球面自身への解析函数は、有理函数か、もしくは恒等的に無限大の函数であることが容易に証明できる（リウヴィルの定理の拡張として）。もしそのような函数 f が定数ではないとすると、f(z) が無限遠点となるような z の集合は孤立していて、リーマン球面はコンパクトであるから、高々有限個の z しか f(z) の値が無限大にならない。そのような z のあらゆる点でのローラン展開を考え、特異点を取り除くと、C 上に値を持つリーマン球面上の函数は、リウヴィルの定理により、定数函数しか残らない。このようにして f は有理函数となる。この事実は、代数多様体として、複素射影直線とリーマン球面との間には本質的な差異は存在しないことを示している。
重要な結果
代数幾何学と解析幾何学の間の比較の結果は、長い歴史を持っている。19世紀に始まり現在まで続いている。より重要な結果をここに時系列で記載する。
リーマンの存在定理
レフシェッツの原理
周の定理
GAGA
GAGAの公式ステートメント
少し一般性は低くなるが、GAGAの定理は、複素多様体 X の上の代数的連接層の圏と対応する解析空間 Xan の上の解析的連接層の圏が、圏同値であることを言っている。解析空間 Xan は、大まかには、座標変換(the coordinate charts)を通して Cn から決まる複素構造を X へ引き戻すことによって得られる。実際、この方法で定理を言い換えることはセールの論文の精神に近く、上記の公式のステートメントを使うことでその重要さが分かるスキーム論は、GAGAの出版された当時はまだ理解されてはいなかった。
(引用終り)
以上
つづき
背景
代数多様体は、局所的には多項式の共通なゼロ点として定義され、複素数上の多項式は正則函数でもあるので、C 上の代数多様体は解析空間と解釈することもできる。同様に、多様体間の正規写像は解析空間の間の正則写像と解釈することができる。少し驚くべきことであるが、しばしば、解析的対象を代数的な方法で解釈することも可能である。
例えば、リーマン球面からリーマン球面自身への解析函数は、有理函数か、もしくは恒等的に無限大の函数であることが容易に証明できる（リウヴィルの定理の拡張として）。もしそのような函数 f が定数ではないとすると、f(z) が無限遠点となるような z の集合は孤立していて、リーマン球面はコンパクトであるから、高々有限個の z しか f(z) の値が無限大にならない。そのような z のあらゆる点でのローラン展開を考え、特異点を取り除くと、C 上に値を持つリーマン球面上の函数は、リウヴィルの定理により、定数函数しか残らない。このようにして f は有理函数となる。この事実は、代数多様体として、複素射影直線とリーマン球面との間には本質的な差異は存在しないことを示している。
重要な結果
代数幾何学と解析幾何学の間の比較の結果は、長い歴史を持っている。19世紀に始まり現在まで続いている。より重要な結果をここに時系列で記載する。
リーマンの存在定理
レフシェッツの原理
周の定理
GAGA
GAGAの公式ステートメント
少し一般性は低くなるが、GAGAの定理は、複素多様体 X の上の代数的連接層の圏と対応する解析空間 Xan の上の解析的連接層の圏が、圏同値であることを言っている。解析空間 Xan は、大まかには、座標変換(the coordinate charts)を通して Cn から決まる複素構造を X へ引き戻すことによって得られる。実際、この方法で定理を言い換えることはセールの論文の精神に近く、上記の公式のステートメントを使うことでその重要さが分かるスキーム論は、GAGAの出版された当時はまだ理解されてはいなかった。
(引用終り)
以上
2020/08/31(月) 17:42:23.96ID:CK4NnquJ
>>51-53
層の公理２（閉条件）が解析接続と無関係だと認めたんだね？
み・と・め・た・ん・だ・ね？
で、もしかして解析接続の性質を持つ層が連接層だといってる？
それ、証明した？まぁた、口からデマカセじゃないの？ｗ
層の公理２（閉条件）が解析接続と無関係だと認めたんだね？
み・と・め・た・ん・だ・ね？
で、もしかして解析接続の性質を持つ層が連接層だといってる？
それ、証明した？まぁた、口からデマカセじゃないの？ｗ
2020/08/31(月) 17:53:30.02ID:CK4NnquJ
>>51
＞環付き空間 (X, OX) の上 OX-加群の層 F が連接層であるとは、
＞次の性質をもつ場合をいう。
＞略
肝心の定義を省略する大馬鹿野郎
ちゃんと書け、ちゃんと読め
ま、貴様には死んでも理解できまいがなｗｗｗｗｗｗｗ
１．F は、OX 上に有限型である。
つまり、X の任意の点 x について、開近傍 U が存在して、
F の U への制限 F|U が、有限個の切断により生成される。
（言い換えると、全射 OX^n|U → F|U がある自然数 n に対し存在する。）
２．任意の X の開集合 U、自然数 n、OX-加群の射(morphism)φ: OX^n|U → F|U に対して、
φの核が有限型である。
＞環付き空間 (X, OX) の上 OX-加群の層 F が連接層であるとは、
＞次の性質をもつ場合をいう。
＞略
肝心の定義を省略する大馬鹿野郎
ちゃんと書け、ちゃんと読め
ま、貴様には死んでも理解できまいがなｗｗｗｗｗｗｗ
１．F は、OX 上に有限型である。
つまり、X の任意の点 x について、開近傍 U が存在して、
F の U への制限 F|U が、有限個の切断により生成される。
（言い換えると、全射 OX^n|U → F|U がある自然数 n に対し存在する。）
２．任意の X の開集合 U、自然数 n、OX-加群の射(morphism)φ: OX^n|U → F|U に対して、
φの核が有限型である。
2020/08/31(月) 18:03:44.20ID:CK4NnquJ
>>51
＞C∞の層？ そんなの当面無視しとけ～！！
C∞の場合、ファイバー束でOKだからな
ファイバー束
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%90%E3%83%BC%E6%9D%9F
切断
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%AD%E9%9D%A2_(%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6)
＞C∞の層？ そんなの当面無視しとけ～！！
C∞の場合、ファイバー束でOKだからな
ファイバー束
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%90%E3%83%BC%E6%9D%9F
切断
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%AD%E9%9D%A2_(%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6)
2020/08/31(月) 18:48:13.03ID:DzVUmZfn
2020/08/31(月) 18:50:48.76ID:DzVUmZfn
>>41
訂正
z=(w+√t(w+2a))/2. /2 が抜けてました。
さらに計算すると
z=-a(√t+1)/(√t-1).
逆変換すると
√t=((z/a)-1)/((z/a)+1).
円周|z|=a は√t平面では何に写るか？
z/a=e^(iθ) とおくと、√t=itan(θ/2)だから、虚軸に写る。
したがって、Re(√t)が正または負にしたがって、zは円周の外側または内側になりそう。
訂正
z=(w+√t(w+2a))/2. /2 が抜けてました。
さらに計算すると
z=-a(√t+1)/(√t-1).
逆変換すると
√t=((z/a)-1)/((z/a)+1).
円周|z|=a は√t平面では何に写るか？
z/a=e^(iθ) とおくと、√t=itan(θ/2)だから、虚軸に写る。
したがって、Re(√t)が正または負にしたがって、zは円周の外側または内側になりそう。
2020/08/31(月) 19:14:55.13ID:DzVUmZfn
正直、こんなにうまくいくとは思わんかったｗ
まとめると
t=(w-2a)/(w+2a),
w=-2a(t+1)/(t-1),
z=-a(√t+1)/(√t-1).
t=r(cosθ+isinθ) とおいて、(r,θ) (0<r<∞, 0≦θ<4π)
によって、函数 z=f(w)を一意化すると
zの値が円|z|=aの内側にあるか外側にあるか或いは周上にあるかは
rにはよらず、θのみによって決まる。
まとめると
t=(w-2a)/(w+2a),
w=-2a(t+1)/(t-1),
z=-a(√t+1)/(√t-1).
t=r(cosθ+isinθ) とおいて、(r,θ) (0<r<∞, 0≦θ<4π)
によって、函数 z=f(w)を一意化すると
zの値が円|z|=aの内側にあるか外側にあるか或いは周上にあるかは
rにはよらず、θのみによって決まる。
2020/08/31(月) 19:43:53.85ID:CK4NnquJ
2020/08/31(月) 20:00:45.43ID:DzVUmZfn
>>62
前スレで、別のひとが、「w平面の原点中心に解が得られるから簡単」
のように言っていた（正確にはそのように自分は捉えた）ので、それが頭にあったんですよ。
仮にその解を「べき級数」のことだとすると、円周|w|=2a上に特異点があるので
そこまでしか収束しない、従ってその範囲でしか有効な表現ではない。
結局そのような「函数要素」が4つ貼り合わさったものが全体像になる
と思ったんですね。
つまりw平面の（円内・円外）×2と考えたわけです。
前スレで、別のひとが、「w平面の原点中心に解が得られるから簡単」
のように言っていた（正確にはそのように自分は捉えた）ので、それが頭にあったんですよ。
仮にその解を「べき級数」のことだとすると、円周|w|=2a上に特異点があるので
そこまでしか収束しない、従ってその範囲でしか有効な表現ではない。
結局そのような「函数要素」が4つ貼り合わさったものが全体像になる
と思ったんですね。
つまりw平面の（円内・円外）×2と考えたわけです。
64現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/08/31(月) 21:10:29.06ID:356lX/6R >>31
>"エルランゲン・プログラム的視点"：”的”と”視点”が入っていることを見落としているぜ
>またまた、揚げ足を取りに来て、踏みつぶされるの図か（＾＾
下記書籍「現代幾何学の流れ」の巻頭論文が
砂田利一氏の”現代幾何学の生成 19世紀幾何学の「遺産」と20世紀幾何学の「精神」”だが
（この本は、私の書棚の肥やしですが）
このＰ9に「3.エルランゲン目録-幾何学とは何か-」の章がある。1872年に提示されたとある
Ｐ12に「4.接続の幾何学」の章がある
エルランゲンなんぞ、砂田利一に限らず、いろんな人がいろんなところで書いている
それをベースに、"エルランゲン・プログラム的視点"と書いただけのことｗ（＾＾；
https://www.nippyo.co.jp/shop/book/3161.html
現代幾何学の流れ 日本評論社 砂田利一 編 発刊年月 2007.10
目次
現代幾何学の生成 19世紀幾何学の「遺産」と20世紀幾何学の「精神」／砂田利一
チャーン チャーン特性類／小林昭七
トム コボルディズム理論、カタストロフィー理論／福田拓生
小林昭七 小林双曲的多様体の理論／野口潤次郎
ヒルツェブルッフ リーマン-ロッホの定理の解決／加藤文元
スメール 双曲力学系／林 修平
ミルナー 微分位相幾何学、異種球面の発見／佐藤 肇
クリンゲンバーグ パッキングの問題（古典的球面定理）／塩濱勝博
アティヤ-シンガー アティヤ-シンガーの指数定理／吉田朋好
ベルジェ 幾何のエスプリ／酒井 隆
サリヴァン サリヴァンの手術理論／森田茂之
モストフ 強剛性定理と非数的格子／佐武一郎
グロモフ 幾何学的群論／藤原耕二
ヤウ カラビ-ヤウ多様体／小林亮一
サーストン ３次元多様体論／小島定吉
フリードマン ４次元ポアンカレ予想の解決／松本幸夫
ドナルドソン ゲージ理論の４次元位相幾何学への応用／橋本義武
ウィッテン 位相的場の理論、サイバーグ-ウィッテン不変量／中島 啓
コンツェヴィッチ 量子不変量／深谷賢治
>"エルランゲン・プログラム的視点"：”的”と”視点”が入っていることを見落としているぜ
>またまた、揚げ足を取りに来て、踏みつぶされるの図か（＾＾
下記書籍「現代幾何学の流れ」の巻頭論文が
砂田利一氏の”現代幾何学の生成 19世紀幾何学の「遺産」と20世紀幾何学の「精神」”だが
（この本は、私の書棚の肥やしですが）
このＰ9に「3.エルランゲン目録-幾何学とは何か-」の章がある。1872年に提示されたとある
Ｐ12に「4.接続の幾何学」の章がある
エルランゲンなんぞ、砂田利一に限らず、いろんな人がいろんなところで書いている
それをベースに、"エルランゲン・プログラム的視点"と書いただけのことｗ（＾＾；
https://www.nippyo.co.jp/shop/book/3161.html
現代幾何学の流れ 日本評論社 砂田利一 編 発刊年月 2007.10
目次
現代幾何学の生成 19世紀幾何学の「遺産」と20世紀幾何学の「精神」／砂田利一
チャーン チャーン特性類／小林昭七
トム コボルディズム理論、カタストロフィー理論／福田拓生
小林昭七 小林双曲的多様体の理論／野口潤次郎
ヒルツェブルッフ リーマン-ロッホの定理の解決／加藤文元
スメール 双曲力学系／林 修平
ミルナー 微分位相幾何学、異種球面の発見／佐藤 肇
クリンゲンバーグ パッキングの問題（古典的球面定理）／塩濱勝博
アティヤ-シンガー アティヤ-シンガーの指数定理／吉田朋好
ベルジェ 幾何のエスプリ／酒井 隆
サリヴァン サリヴァンの手術理論／森田茂之
モストフ 強剛性定理と非数的格子／佐武一郎
グロモフ 幾何学的群論／藤原耕二
ヤウ カラビ-ヤウ多様体／小林亮一
サーストン ３次元多様体論／小島定吉
フリードマン ４次元ポアンカレ予想の解決／松本幸夫
ドナルドソン ゲージ理論の４次元位相幾何学への応用／橋本義武
ウィッテン 位相的場の理論、サイバーグ-ウィッテン不変量／中島 啓
コンツェヴィッチ 量子不変量／深谷賢治
65現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/08/31(月) 21:15:55.29ID:356lX/6R66１３２人目の素数さん
2020/08/31(月) 23:47:19.62ID:VsKp6cIi 01 02
03 04 05
06 07 08 09
10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31 32 33 34 35
36 37 38 39 40 41 42 43 44
44 36
43 35 28
42 34 27 21
41 33 26 20 15
40 32 25 19 14 10
39 31 24 18 13 09 06
38 30 23 17 12 08 05 03
37 29 22 16 11 07 04 02 01
上の数列を下の数列に変換する
アルゴリズムを見つけてくれ(^_^)ﾉ
03 04 05
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37 29 22 16 11 07 04 02 01
上の数列を下の数列に変換する
アルゴリズムを見つけてくれ(^_^)ﾉ
2020/09/01(火) 06:09:29.64ID:S0c5RHlN
2020/09/01(火) 06:21:18.89ID:S0c5RHlN
>>63
＞w平面の（円内・円外）
z=(w+√t(w+2a))/2 だよね
その区別、要らない。接続してるから
＞解を「べき級数」のことだとすると、円周|w|=2a上に特異点があるので
＞そこまでしか収束しない、従ってその範囲でしか有効な表現ではない。
＞結局そのような「函数要素」が4つ貼り合わさったものが全体像になる
＞と思ったんですね。
冪級数の張り合わせで解析接続するんなら「２つ」じゃすまない
しかしそれは一価関数としては１つだから問題ない。
結局特異点を結ぶ線で切断すれば、２つの一価関数で足りる
（切断線に任意性はあるが、決めてしまえばいい）
＞w平面の（円内・円外）
z=(w+√t(w+2a))/2 だよね
その区別、要らない。接続してるから
＞解を「べき級数」のことだとすると、円周|w|=2a上に特異点があるので
＞そこまでしか収束しない、従ってその範囲でしか有効な表現ではない。
＞結局そのような「函数要素」が4つ貼り合わさったものが全体像になる
＞と思ったんですね。
冪級数の張り合わせで解析接続するんなら「２つ」じゃすまない
しかしそれは一価関数としては１つだから問題ない。
結局特異点を結ぶ線で切断すれば、２つの一価関数で足りる
（切断線に任意性はあるが、決めてしまえばいい）
2020/09/01(火) 06:52:24.39ID:S0c5RHlN
◆yH25M02vWFhP が本当に数学を理解したいんなら
真っ先に以下を実行したほうがいい
１．数学板のアクセスをやめる
２．山ほど買った数学書のどれでもいいから１冊読み切る
（啓蒙書とか概説書はＮＧ）
ふんぞりかえって
「貴様等、世界のエクゼクティブの俺様に
エグゼクティブ・サマリーを見せてみろ！」
と吠え続けるなら数学諦めたほうがいい
真っ先に以下を実行したほうがいい
１．数学板のアクセスをやめる
２．山ほど買った数学書のどれでもいいから１冊読み切る
（啓蒙書とか概説書はＮＧ）
ふんぞりかえって
「貴様等、世界のエクゼクティブの俺様に
エグゼクティブ・サマリーを見せてみろ！」
と吠え続けるなら数学諦めたほうがいい
70現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/01(火) 06:57:07.39ID:pGoi0nQw >>54 補足
>C∞の層？ そんなの当面無視しとけ～！！ｗ（＾＾；
秋月康夫先生が、下記1955年 科学基礎論研究に書いています
「C∞-多様体上のC∞-函数の全体についても層を
考えることができる.そこで'解析的な層'だとか,‘C∞の層'を考えることができるが,
C∞-理論は層を要しないでも得られるものであるに対し,複素解析的理論は層によって初めて明かになし得られたものである.」
と。用語は少し古い。また、層の定義も、古風だ。が、秋月康夫先生は、”科学基礎論研究”として、数理哲学を語っているのです
そこに、値打ちがあり、一読の価値があると思う
（参考）
https://www.jstage.jst.go.jp/article/kisoron1954/1/2/1_2_59/_pdf
多様体の概念について(秋月康夫)科学基礎論研究January1955
(抜粋)
P62
大域化する場合においても,局所的に'ばらばら'に与
えた更に広い世界を構成し,自由に思考ができる場所を
こしらえてその中で接ぎ合わしていくといった立場を取
る.而してこれには寧ろ極度に拡張した抽象的体系を取
るのが却って見通しやすくするものである.この方面の
代表的概念としてはFiberbundleを挙げねばならない.
BがFiberbundleとは
略
Ｐ63
c∞-多様体M上ではc∞の函数は環F(M)を作る
が,複素解析多様体についてはかかる環は考えられない.
そこでR(M)の代りに,各点(のと(x)における解析
的要素f(x)(局所複素座標x1…xnによる整級数)との
組(X,f(X))の全体から成る集合(点(x)をもM上に
変えて)を取る.解析的な微分形式についても,また有
理型の微分形式(これは複素直線バンドル上の解析的微
分形式として)についても同様のものを取る.そしてか
かる体系に共通な性質をうまく抽象して得られたのが層
(Faisceau,Scheaf)の概念である.1)
（ 1)このような概念化は絵画などにtcとえると非常にしつかりした‘素描'のように感じられる.）
この層の概念の把握により閉じた複素解析的多様体-Kahler計量を許すものではあるが-の理論は最近に飛躍的な発展を遂げたのであり,
これを成就した最も主要な人の一人はわが小平邦彦君であった.
つづく
>C∞の層？ そんなの当面無視しとけ～！！ｗ（＾＾；
秋月康夫先生が、下記1955年 科学基礎論研究に書いています
「C∞-多様体上のC∞-函数の全体についても層を
考えることができる.そこで'解析的な層'だとか,‘C∞の層'を考えることができるが,
C∞-理論は層を要しないでも得られるものであるに対し,複素解析的理論は層によって初めて明かになし得られたものである.」
と。用語は少し古い。また、層の定義も、古風だ。が、秋月康夫先生は、”科学基礎論研究”として、数理哲学を語っているのです
そこに、値打ちがあり、一読の価値があると思う
（参考）
https://www.jstage.jst.go.jp/article/kisoron1954/1/2/1_2_59/_pdf
多様体の概念について(秋月康夫)科学基礎論研究January1955
(抜粋)
P62
大域化する場合においても,局所的に'ばらばら'に与
えた更に広い世界を構成し,自由に思考ができる場所を
こしらえてその中で接ぎ合わしていくといった立場を取
る.而してこれには寧ろ極度に拡張した抽象的体系を取
るのが却って見通しやすくするものである.この方面の
代表的概念としてはFiberbundleを挙げねばならない.
BがFiberbundleとは
略
Ｐ63
c∞-多様体M上ではc∞の函数は環F(M)を作る
が,複素解析多様体についてはかかる環は考えられない.
そこでR(M)の代りに,各点(のと(x)における解析
的要素f(x)(局所複素座標x1…xnによる整級数)との
組(X,f(X))の全体から成る集合(点(x)をもM上に
変えて)を取る.解析的な微分形式についても,また有
理型の微分形式(これは複素直線バンドル上の解析的微
分形式として)についても同様のものを取る.そしてか
かる体系に共通な性質をうまく抽象して得られたのが層
(Faisceau,Scheaf)の概念である.1)
（ 1)このような概念化は絵画などにtcとえると非常にしつかりした‘素描'のように感じられる.）
この層の概念の把握により閉じた複素解析的多様体-Kahler計量を許すものではあるが-の理論は最近に飛躍的な発展を遂げたのであり,
これを成就した最も主要な人の一人はわが小平邦彦君であった.
つづく
71現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/01(火) 06:57:29.22ID:pGoi0nQw >>70
つづき
層の定義を述べよう.
Fが多様体M上の層とは
1.Fは位相空間であり,Fから底空間Mへの一意写像π(これを射影という)が存在する.即ちPεF→π(P)=xεM.
2.M上の各点(x)に対し,πの原像Fx=π-1(x)は加群を作り,Fxの位相はFの位相について分散的である.
3.PεFの近傍Uと,x=π(P)εMの近傍π(U)とは位相合同である.
4.Fx上の加法は,Pの位相について連続写像である.
これが層の定義である.Mが複素解析多様体のとき,
解析的要素の集合は層を作るが,それは唯一つの層ではない C∞-多様体上のC∞-函数の全体についても層を
考えることができる.そこで'解析的な層'だとか,‘C∞の層'を考えることができるが,
C∞-理論は層を要しないでも得られるものであるに対し,複素解析的理論は層によって初めて明かになし得られたものである.
P64
この層の定義はH.Cartanによるが,それは岡潔君
の不定域イデアルの概念を基に抽象化し公理的に述べた
ものなのである.(尤も他方Lerayが別の立場から層を
考えてはいたが.)かかる不定域イデアルとか,層とかい
うような概念が生み出されざるを得なかった根本的な因
由は,実にn≧2なることに存する.n=1ならば問題は
なかった.η=1ならば,複素直線(即ちガウス平面)
の完備化(無限遠点を追加して閉じた面とする)は唯一通りよりなくわれわれの慣れている数球面(即ち射影直
線)を取ることであるに対し,n≧2の場合には複素アフィン空間の完備化は幾通りにも可能である.というよ
うに,n=1とn≧2とでは根本的な差があるのである.
n=1ならば閉じていさえすれば,どんな複素解析的な
Riemann多様体もすべて射影空間に入って了うが,n≧2の場合には閉じていても,射影空間(どんなに高次元
にとっても)には入り得ないものが存在するのである
(これは直ぐ円環体で例示される).即ちn≧2では最早
や射影空間(といっても複素的射影空間であるが)は絶
対者ではあり得ない.すると射影空間に入るような閉じ
た解析多様体の特性如何という問題が直ちに提出されよ
うが,これに解決を与えたのが小平君である.即ちHodge型の多様体(説明は省くが基本的な概念だけで規定
されるものである)は射影空間に入る(逆は自明)とい
う定理である.
つづく
つづき
層の定義を述べよう.
Fが多様体M上の層とは
1.Fは位相空間であり,Fから底空間Mへの一意写像π(これを射影という)が存在する.即ちPεF→π(P)=xεM.
2.M上の各点(x)に対し,πの原像Fx=π-1(x)は加群を作り,Fxの位相はFの位相について分散的である.
3.PεFの近傍Uと,x=π(P)εMの近傍π(U)とは位相合同である.
4.Fx上の加法は,Pの位相について連続写像である.
これが層の定義である.Mが複素解析多様体のとき,
解析的要素の集合は層を作るが,それは唯一つの層ではない C∞-多様体上のC∞-函数の全体についても層を
考えることができる.そこで'解析的な層'だとか,‘C∞の層'を考えることができるが,
C∞-理論は層を要しないでも得られるものであるに対し,複素解析的理論は層によって初めて明かになし得られたものである.
P64
この層の定義はH.Cartanによるが,それは岡潔君
の不定域イデアルの概念を基に抽象化し公理的に述べた
ものなのである.(尤も他方Lerayが別の立場から層を
考えてはいたが.)かかる不定域イデアルとか,層とかい
うような概念が生み出されざるを得なかった根本的な因
由は,実にn≧2なることに存する.n=1ならば問題は
なかった.η=1ならば,複素直線(即ちガウス平面)
の完備化(無限遠点を追加して閉じた面とする)は唯一通りよりなくわれわれの慣れている数球面(即ち射影直
線)を取ることであるに対し,n≧2の場合には複素アフィン空間の完備化は幾通りにも可能である.というよ
うに,n=1とn≧2とでは根本的な差があるのである.
n=1ならば閉じていさえすれば,どんな複素解析的な
Riemann多様体もすべて射影空間に入って了うが,n≧2の場合には閉じていても,射影空間(どんなに高次元
にとっても)には入り得ないものが存在するのである
(これは直ぐ円環体で例示される).即ちn≧2では最早
や射影空間(といっても複素的射影空間であるが)は絶
対者ではあり得ない.すると射影空間に入るような閉じ
た解析多様体の特性如何という問題が直ちに提出されよ
うが,これに解決を与えたのが小平君である.即ちHodge型の多様体(説明は省くが基本的な概念だけで規定
されるものである)は射影空間に入る(逆は自明)とい
う定理である.
つづく
72現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/01(火) 06:58:19.48ID:pGoi0nQw >>71
つづき
これは層の概念をうまく適用して得られ
たのである.また長い間難渋を極めていた中心問題の
Riemann-Rochの定理の拡張も層の概念を用いて小平
君やSerreによって見通されるに到ったのである.この
ように華々しい進展はあっても,多様体にはなお未解決
の深い問題は多数あって明日を待っている現状である.
層の概念の畠現によって短時日の間にかく理論は躍進
を遂げたが,それには躍進が行われる地盤が既に育まれ
ていたからである.それはPoincareに始まる代数的位
相幾何学であり,そのホモロギー論特にそれに関連し
て得られたdeRhamのコホモロギー論である.また
Hodgeに始まる調和積分論があった.また層には到ら
ないまでも,整数論のイデールに当るcoelementの理
論を樹てて,層係数のコホモロギー理論を示唆(明かに)
しているWeilの業績が,複素直線バンドルの活用とと
もに燦然と光っていることを附記しなければならない.1)
(1)とれらの詳細は勿論,おぼろげながらもここに説明することは不可
能である.これについては岩波現代数学,秋月,井草,中野著調和積
分論(近刊)にいて見られたい.)
つづく
つづき
これは層の概念をうまく適用して得られ
たのである.また長い間難渋を極めていた中心問題の
Riemann-Rochの定理の拡張も層の概念を用いて小平
君やSerreによって見通されるに到ったのである.この
ように華々しい進展はあっても,多様体にはなお未解決
の深い問題は多数あって明日を待っている現状である.
層の概念の畠現によって短時日の間にかく理論は躍進
を遂げたが,それには躍進が行われる地盤が既に育まれ
ていたからである.それはPoincareに始まる代数的位
相幾何学であり,そのホモロギー論特にそれに関連し
て得られたdeRhamのコホモロギー論である.また
Hodgeに始まる調和積分論があった.また層には到ら
ないまでも,整数論のイデールに当るcoelementの理
論を樹てて,層係数のコホモロギー理論を示唆(明かに)
しているWeilの業績が,複素直線バンドルの活用とと
もに燦然と光っていることを附記しなければならない.1)
(1)とれらの詳細は勿論,おぼろげながらもここに説明することは不可
能である.これについては岩波現代数学,秋月,井草,中野著調和積
分論(近刊)にいて見られたい.)
つづく
2020/09/01(火) 06:58:30.62ID:S0c5RHlN
ああ、それから
＞（＾＾
↑このバカ絵文字、やめてなｗ
安達の（笑、同様 只の負け犬の強がりだから
こういうのがみっともないと思わない時点で他人全員に負けてるよな
＞（＾＾
↑このバカ絵文字、やめてなｗ
安達の（笑、同様 只の負け犬の強がりだから
こういうのがみっともないと思わない時点で他人全員に負けてるよな
74現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/01(火) 06:58:40.54ID:pGoi0nQw >>72
つづき
P66
この'定域'を'不定域'に開いたのが層係数のコホモロギーである.(岡君の不定域イデアル!)
不定域にすることは,被覆系U={Ui}を固定しない
で,更にそれを細分して行く系列Uαを考えその極限を
見ることに当る.そして各野のnerveN(Uα)につ
いての層係数のコホモロギー群の極限について見るのである.
このように層係数のコホモロギーは相当に複雑な機構
をもつものである.然るにそこに明快な理論が成立つ.
これを得しめたものは何か.これは興味ある疑問であろ
う.それは'完全系(exactsequence)'という群論的
思惟の図式化が行われており,これによってこの高層建
築も比較的に易々と図引くことができたのである.
群の準同型になぞらえて層の準同型も定義され,また
その完全系も考えられる.
層係数のコホモロギー論がうまくいくのは,層F',F,
F"が完全系0→Ft→F→F"→0を作るとき,層係数の
コホモロギー群HP(F)[F係数のNerveのp次コホ
モロギー群〕において
の完全系を作ることが従うからなのである.このことが
輪転機の役割をして,幾くらでもコホモロギー群の完全
系が作れて,器械的に推理をどんどんおし進め得るので
ある.
(引用終り)
以上
つづき
P66
この'定域'を'不定域'に開いたのが層係数のコホモロギーである.(岡君の不定域イデアル!)
不定域にすることは,被覆系U={Ui}を固定しない
で,更にそれを細分して行く系列Uαを考えその極限を
見ることに当る.そして各野のnerveN(Uα)につ
いての層係数のコホモロギー群の極限について見るのである.
このように層係数のコホモロギーは相当に複雑な機構
をもつものである.然るにそこに明快な理論が成立つ.
これを得しめたものは何か.これは興味ある疑問であろ
う.それは'完全系(exactsequence)'という群論的
思惟の図式化が行われており,これによってこの高層建
築も比較的に易々と図引くことができたのである.
群の準同型になぞらえて層の準同型も定義され,また
その完全系も考えられる.
層係数のコホモロギー論がうまくいくのは,層F',F,
F"が完全系0→Ft→F→F"→0を作るとき,層係数の
コホモロギー群HP(F)[F係数のNerveのp次コホ
モロギー群〕において
の完全系を作ることが従うからなのである.このことが
輪転機の役割をして,幾くらでもコホモロギー群の完全
系が作れて,器械的に推理をどんどんおし進め得るので
ある.
(引用終り)
以上
2020/09/01(火) 07:01:16.38ID:S0c5RHlN
76現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/01(火) 07:09:53.44ID:pGoi0nQw >>70
秋月康夫先生の1955年 科学基礎論研究
「多様体の概念について」
これぞ、まさに ”エグゼクティブ・サマリー”
こういうのをしっかり読んで、頭に入れておくと
現代数学の層の抽象的な定義も、頭に入りやすくなる
そして、「C∞の層？ そんなの当面無視しとけ～！！」の意味も分かる（＾＾
秋月康夫先生の1955年 科学基礎論研究
「多様体の概念について」
これぞ、まさに ”エグゼクティブ・サマリー”
こういうのをしっかり読んで、頭に入れておくと
現代数学の層の抽象的な定義も、頭に入りやすくなる
そして、「C∞の層？ そんなの当面無視しとけ～！！」の意味も分かる（＾＾
77現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/01(火) 07:30:06.16ID:pGoi0nQw >>31 補足
>>22
>等角写像と言えば、どちらかと言えば、クラインのエルランゲン・プログラム的視点に力点がある
”エルランゲン・プログラム的視点”とは、平たくいえば、幾何学的視点です
下記 等角写像：複素平面 z から複素平面 w への写像で、局所的に、微小な2つの線分が、その成す角を保存するように写像されるものをいう
下記「正則関数は等角写像である。逆命題も成り立つ」けれども
解析（関数論）というよりも、むしろ複素平面上の幾何です
そう捉えるのが正解です
等角写像では、難しい関数は、まれにしか出てこない
等角写像による翼型理論などは、中学・高校レベルの関数で終わっている
それは、力点が「複素平面上の”幾何”」にあるからです
複素平面 zの円を、複素平面 w の翼型に写すJoukovski の式という視点です
この幾何学的な視点も、大切なのです
（＜５．Joukovski の翼 九大 辻井 正人＞ https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~tsujii/pdf_files/math2b09/math2btext.pdf （>>22））
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%89%E8%A7%92%E5%86%99%E5%83%8F
等角写像
(抜粋)
等角写像（とうかくしゃぞう、英: conformal transformation）とは、2次元以上のユークリッド空間からユークリッド空間への写像であって、任意の点の近傍の微小な2つの線分が、その成す角を保存するように写像されるものをいう。いいかえれば、座標変換の関数行列が回転行列のスカラー倍となるものである。すなわち、平面上の一つの図形を他の図形に変換（写像）したとき、図形上の二曲線の交角はその写像によっても等しく保たれるような写像を等角写像と呼ぶ。
一見すると、原形から大きく図形が変わったように見えても、対応する微小部分に注目すると、原形の図形と相似になっているのが、等角写像である。等角写像は、複素関数論と深い関係があり、工学上、流体の挙動の記述などにおいて非常に有用である[1]。
複素関数の等角写像
複素平面 z から複素平面 w への写像である関数 w = f(z) について、正則関数は等角写像である。逆命題も成り立つ[2]。
(引用終り)
以上
>>22
>等角写像と言えば、どちらかと言えば、クラインのエルランゲン・プログラム的視点に力点がある
”エルランゲン・プログラム的視点”とは、平たくいえば、幾何学的視点です
下記 等角写像：複素平面 z から複素平面 w への写像で、局所的に、微小な2つの線分が、その成す角を保存するように写像されるものをいう
下記「正則関数は等角写像である。逆命題も成り立つ」けれども
解析（関数論）というよりも、むしろ複素平面上の幾何です
そう捉えるのが正解です
等角写像では、難しい関数は、まれにしか出てこない
等角写像による翼型理論などは、中学・高校レベルの関数で終わっている
それは、力点が「複素平面上の”幾何”」にあるからです
複素平面 zの円を、複素平面 w の翼型に写すJoukovski の式という視点です
この幾何学的な視点も、大切なのです
（＜５．Joukovski の翼 九大 辻井 正人＞ https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~tsujii/pdf_files/math2b09/math2btext.pdf （>>22））
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%89%E8%A7%92%E5%86%99%E5%83%8F
等角写像
(抜粋)
等角写像（とうかくしゃぞう、英: conformal transformation）とは、2次元以上のユークリッド空間からユークリッド空間への写像であって、任意の点の近傍の微小な2つの線分が、その成す角を保存するように写像されるものをいう。いいかえれば、座標変換の関数行列が回転行列のスカラー倍となるものである。すなわち、平面上の一つの図形を他の図形に変換（写像）したとき、図形上の二曲線の交角はその写像によっても等しく保たれるような写像を等角写像と呼ぶ。
一見すると、原形から大きく図形が変わったように見えても、対応する微小部分に注目すると、原形の図形と相似になっているのが、等角写像である。等角写像は、複素関数論と深い関係があり、工学上、流体の挙動の記述などにおいて非常に有用である[1]。
複素関数の等角写像
複素平面 z から複素平面 w への写像である関数 w = f(z) について、正則関数は等角写像である。逆命題も成り立つ[2]。
(引用終り)
以上
2020/09/01(火) 08:02:05.25ID:V/AkLYyF
>>68
概ね同意ですが
>冪級数の張り合わせで解析接続するんなら「２つ」じゃすまない
一般的にはですね。
しかしこの場合は「概ね」２つで済みますよ。
w球面で、0を中心とするべき級数と∞を中心とするものの２つです。
円周w=|2a|上にしか収束を邪魔する特異点はありませんから。
問題はこの円周上ですが、べき級数が意味を持つのは収束円内と一般的にはされますが
収束円上で意味を持たないということはない。
これは複雑で重要な研究対象です。
だから、円周w=|2a|を除けば完璧に２つで済む
円周w=|2a|上ははっきりしないが、おそらく「自然なつながり方」は一意的に決まるだろう。
だから、２つでいいんですよ。
全部で４つになりますがね。
概ね同意ですが
>冪級数の張り合わせで解析接続するんなら「２つ」じゃすまない
一般的にはですね。
しかしこの場合は「概ね」２つで済みますよ。
w球面で、0を中心とするべき級数と∞を中心とするものの２つです。
円周w=|2a|上にしか収束を邪魔する特異点はありませんから。
問題はこの円周上ですが、べき級数が意味を持つのは収束円内と一般的にはされますが
収束円上で意味を持たないということはない。
これは複雑で重要な研究対象です。
だから、円周w=|2a|を除けば完璧に２つで済む
円周w=|2a|上ははっきりしないが、おそらく「自然なつながり方」は一意的に決まるだろう。
だから、２つでいいんですよ。
全部で４つになりますがね。
2020/09/01(火) 08:15:30.15ID:V/AkLYyF
2020/09/01(火) 10:19:18.78ID:JlmCPXEV
81現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/01(火) 10:37:07.34ID:JlmCPXEV なんか、コテハン設定が抜けていたな（＾＾；
>>76 補足
>そして、「C∞の層？ そんなの当面無視しとけ～！！」の意味も分かる（＾＾
下記、フィールズ賞 1954年
小平邦彦：He demonstrated, by sheaf cohomology, that such varieties are Hodge manifolds.
セール：Reformulated and extended some of the main results of complex variable theory in terms of sheaves.
二人とも、層の理論でフィールズ賞
”to Kahlerian and more specifically to algebraic varieties”、”the main results of complex variable theory”
algebraic variety と、 complex variety と
まず、この二つを押さえれば良いのです
”C∞の層”なんて、チラ見程度で良い。チラ見で混乱するなら忘れて良い
この二つで、層の理論の現代数学の王道は歩める
グロタンディークの代数幾何も含め
上記の二つで、層の理論の現代数学の王道は歩める
「C∞の層？ そんなの当面無視しとけ～！！」（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%82%BA%E8%B3%9E
フィールズ賞
(抜粋)
1954年（アムステルダム）
小平邦彦（Kunihiko Kodaira, 1915年 - 1997年）日本の旗 日本
「 Achieved major results in the theory of harmonic integrals and numerous applications to Kahlerian and more specifically to algebraic varieties. He demonstrated, by sheaf cohomology, that such varieties are Hodge manifolds. 」
ジャン=ピエール・セール（Jean-Pierre Serre, 1926年 - ）フランスの旗 フランス
「 Achieved major results on the homotopy groups of spheres, especially in his use of the method of spectral sequences. Reformulated and extended some of the main results of complex variable theory in terms of sheaves.
>>76 補足
>そして、「C∞の層？ そんなの当面無視しとけ～！！」の意味も分かる（＾＾
下記、フィールズ賞 1954年
小平邦彦：He demonstrated, by sheaf cohomology, that such varieties are Hodge manifolds.
セール：Reformulated and extended some of the main results of complex variable theory in terms of sheaves.
二人とも、層の理論でフィールズ賞
”to Kahlerian and more specifically to algebraic varieties”、”the main results of complex variable theory”
algebraic variety と、 complex variety と
まず、この二つを押さえれば良いのです
”C∞の層”なんて、チラ見程度で良い。チラ見で混乱するなら忘れて良い
この二つで、層の理論の現代数学の王道は歩める
グロタンディークの代数幾何も含め
上記の二つで、層の理論の現代数学の王道は歩める
「C∞の層？ そんなの当面無視しとけ～！！」（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%82%BA%E8%B3%9E
フィールズ賞
(抜粋)
1954年（アムステルダム）
小平邦彦（Kunihiko Kodaira, 1915年 - 1997年）日本の旗 日本
「 Achieved major results in the theory of harmonic integrals and numerous applications to Kahlerian and more specifically to algebraic varieties. He demonstrated, by sheaf cohomology, that such varieties are Hodge manifolds. 」
ジャン=ピエール・セール（Jean-Pierre Serre, 1926年 - ）フランスの旗 フランス
「 Achieved major results on the homotopy groups of spheres, especially in his use of the method of spectral sequences. Reformulated and extended some of the main results of complex variable theory in terms of sheaves.
2020/09/01(火) 10:59:08.64ID:aYAGLL8f
>>31
＞>等角写像と言えば、どちらかと言えば、クラインのエルランゲン・プログラム的視点に力点がある
＞
＞"エルランゲン・プログラム的視点"：”的”と”視点”が入っていることを見落としているぜ
＞ またまた、揚げ足を取りに来て、踏みつぶされるの図か（＾＾
物理数学の本にも、ジュコーフスキー変換という名前が載っていなくその式は載っているが、等角写像は載っている。
その物理数学の本に変換群は載っていない。
必ずしも等角写像に変換群は必要ない。
＞>等角写像と言えば、どちらかと言えば、クラインのエルランゲン・プログラム的視点に力点がある
＞
＞"エルランゲン・プログラム的視点"：”的”と”視点”が入っていることを見落としているぜ
＞ またまた、揚げ足を取りに来て、踏みつぶされるの図か（＾＾
物理数学の本にも、ジュコーフスキー変換という名前が載っていなくその式は載っているが、等角写像は載っている。
その物理数学の本に変換群は載っていない。
必ずしも等角写像に変換群は必要ない。
83現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/01(火) 11:00:20.09ID:JlmCPXEV >>81 追加
検索でヒットしたので貼っておきます（＾＾
http://math00ture.blog.jp/archives/37573992.html
つれづれなるままの数学（算数）素数GPSの周辺 iPhoneとAndroid 366 aps
超難解な「宇宙際タイヒミュラー理論」に感動 (書籍『宇宙と宇宙をつなぐ数学』) 2019年06月04日
(抜粋)
参考
//////
「志村五郎名誉教授の理論」と「望月新一教授の理論」を学習するための基礎書籍
以下
代数曲線論（講座数学の考え方;18） / 小木曽啓示著 朝倉書店
◇複素数体上の代数曲線（コンパクトリーマン面）の教科書。リーマン球面の定義から始めて，層や層係数コホモロジーの理論が展開され，セールの双対定理やリーマン-ロッホの定理とその応用が扱われる。代数曲線論をきちんと学んでおくと，より高度な代数幾何学を勉強するための足がかりにもなる。
検索でヒットしたので貼っておきます（＾＾
http://math00ture.blog.jp/archives/37573992.html
つれづれなるままの数学（算数）素数GPSの周辺 iPhoneとAndroid 366 aps
超難解な「宇宙際タイヒミュラー理論」に感動 (書籍『宇宙と宇宙をつなぐ数学』) 2019年06月04日
(抜粋)
参考
//////
「志村五郎名誉教授の理論」と「望月新一教授の理論」を学習するための基礎書籍
以下
代数曲線論（講座数学の考え方;18） / 小木曽啓示著 朝倉書店
◇複素数体上の代数曲線（コンパクトリーマン面）の教科書。リーマン球面の定義から始めて，層や層係数コホモロジーの理論が展開され，セールの双対定理やリーマン-ロッホの定理とその応用が扱われる。代数曲線論をきちんと学んでおくと，より高度な代数幾何学を勉強するための足がかりにもなる。
2020/09/01(火) 11:30:00.19ID:aYAGLL8f
>>77
>”エルランゲン・プログラム的視点”とは、平たくいえば、幾何学的視点です
>下記 等角写像：複素平面 z から複素平面 w への写像で、局所的に、微小な2つの線分が、その成す角を保存するように写像されるものをいう
幾何学的視点だったら、余計エルランゲン・プログラムと等角写像は関係なくなる。
エルランゲン・プログラムは、図形において変わらない性質を保つようにするための群が設定出来るようにしてあればいい。
必ずしも等角写像にそのような性質があるとは限らない。
必ずしも等角写像で移される図形に角度を保つための群を設定出来るとは限らない。
>”エルランゲン・プログラム的視点”とは、平たくいえば、幾何学的視点です
>下記 等角写像：複素平面 z から複素平面 w への写像で、局所的に、微小な2つの線分が、その成す角を保存するように写像されるものをいう
幾何学的視点だったら、余計エルランゲン・プログラムと等角写像は関係なくなる。
エルランゲン・プログラムは、図形において変わらない性質を保つようにするための群が設定出来るようにしてあればいい。
必ずしも等角写像にそのような性質があるとは限らない。
必ずしも等角写像で移される図形に角度を保つための群を設定出来るとは限らない。
85現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/01(火) 15:09:07.51ID:JlmCPXEV >>77 補足
等角写像は、２次元に限られない（下記）
だから、等角写像＝一変数正則複素関数ではない
例えば下記
"1 Conformal maps in two dimensions"
"2 Conformal maps in three or more dimensions"
など
２次元に限れば、等角写像＝一変数正則複素関数ではあるけれども
一変数複素関数論は関数に主眼があるのに対し、等角写像論はあくまで その”像”に主眼があるのです
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%89%E8%A7%92%E5%86%99%E5%83%8F
等角写像（とうかくしゃぞう、英: conformal transformation）とは、2次元以上のユークリッド空間からユークリッド空間への写像であって、任意の点の近傍の微小な2つの線分が、その成す角を保存するように写像されるものをいう。いいかえれば、座標変換の関数行列が回転行列のスカラー倍となるものである。
https://en.wikipedia.org/wiki/Conformal_map
Conformal map For other uses, see Conformal (disambiguation).
In mathematics, a conformal map is a function that locally preserves angles, but not necessarily lengths.
For mappings in two dimensions, the (orientation-preserving) conformal mappings are precisely the locally invertible complex analytic functions. In three and higher dimensions, Liouville's theorem sharply limits the conformal mappings to a few types.
Contents
1 Conformal maps in two dimensions
1.1 Global conformal maps on the Riemann sphere
2 Conformal maps in three or more dimensions
2.1 Riemannian geometry
2.2 Euclidean space
3 Applications
3.1 Cartography
3.2 Physics and engineering
3.3 Maxwell's equations
3.4 General relativity
4 Pseudo-Riemannian geometry
5 See also
つづく
等角写像は、２次元に限られない（下記）
だから、等角写像＝一変数正則複素関数ではない
例えば下記
"1 Conformal maps in two dimensions"
"2 Conformal maps in three or more dimensions"
など
２次元に限れば、等角写像＝一変数正則複素関数ではあるけれども
一変数複素関数論は関数に主眼があるのに対し、等角写像論はあくまで その”像”に主眼があるのです
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%89%E8%A7%92%E5%86%99%E5%83%8F
等角写像（とうかくしゃぞう、英: conformal transformation）とは、2次元以上のユークリッド空間からユークリッド空間への写像であって、任意の点の近傍の微小な2つの線分が、その成す角を保存するように写像されるものをいう。いいかえれば、座標変換の関数行列が回転行列のスカラー倍となるものである。
https://en.wikipedia.org/wiki/Conformal_map
Conformal map For other uses, see Conformal (disambiguation).
In mathematics, a conformal map is a function that locally preserves angles, but not necessarily lengths.
For mappings in two dimensions, the (orientation-preserving) conformal mappings are precisely the locally invertible complex analytic functions. In three and higher dimensions, Liouville's theorem sharply limits the conformal mappings to a few types.
Contents
1 Conformal maps in two dimensions
1.1 Global conformal maps on the Riemann sphere
2 Conformal maps in three or more dimensions
2.1 Riemannian geometry
2.2 Euclidean space
3 Applications
3.1 Cartography
3.2 Physics and engineering
3.3 Maxwell's equations
3.4 General relativity
4 Pseudo-Riemannian geometry
5 See also
つづく
86現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/01(火) 15:09:57.54ID:JlmCPXEV >>85
つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Joukowsky_transform
Joukowsky transform
In applied mathematics, the Joukowsky transform, named after Nikolai Zhukovsky (who published it in 1910),[1] is a conformal map historically used to understand some principles of airfoil design.
Contents
1 General Joukowsky transform
1.1 Sample Joukowsky airfoil
2 Velocity field and circulation for the Joukowsky airfoil
3 Karman?Trefftz transform
3.1 Background
4 Symmetrical Joukowsky airfoils
5 Notes
(引用終り)
以上
つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Joukowsky_transform
Joukowsky transform
In applied mathematics, the Joukowsky transform, named after Nikolai Zhukovsky (who published it in 1910),[1] is a conformal map historically used to understand some principles of airfoil design.
Contents
1 General Joukowsky transform
1.1 Sample Joukowsky airfoil
2 Velocity field and circulation for the Joukowsky airfoil
3 Karman?Trefftz transform
3.1 Background
4 Symmetrical Joukowsky airfoils
5 Notes
(引用終り)
以上
87現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/01(火) 17:36:00.95ID:JlmCPXEV >>71 補足
（再掲）
https://www.jstage.jst.go.jp/article/kisoron1954/1/2/1_2_59/_pdf
多様体の概念について(秋月康夫)科学基礎論研究January1955
(抜粋)
P64
この層の定義はH.Cartanによるが,それは岡潔君
の不定域イデアルの概念を基に抽象化し公理的に述べた
ものなのである.(尤も他方Lerayが別の立場から層を
考えてはいたが.)かかる不定域イデアルとか,層とかい
うような概念が生み出されざるを得なかった根本的な因
由は,実にn≧2なることに存する.n=1ならば問題は
なかった.η=1ならば,複素直線(即ちガウス平面)
の完備化(無限遠点を追加して閉じた面とする)は唯一通りよりなくわれわれの慣れている数球面(即ち射影直
線)を取ることであるに対し,n≧2の場合には複素アフィン空間の完備化は幾通りにも可能である.というよ
うに,n=1とn≧2とでは根本的な差があるのである.
n=1ならば閉じていさえすれば,どんな複素解析的な
Riemann多様体もすべて射影空間に入って了うが,n≧2の場合には閉じていても,射影空間(どんなに高次元
にとっても)には入り得ないものが存在するのである
(これは直ぐ円環体で例示される).即ちn≧2では最早
や射影空間(といっても複素的射影空間であるが)は絶
対者ではあり得ない.すると射影空間に入るような閉じ
た解析多様体の特性如何という問題が直ちに提出されよ
うが,これに解決を与えたのが小平君である.即ちHodge型の多様体(説明は省くが基本的な概念だけで規定
されるものである)は射影空間に入る(逆は自明)とい
う定理である.
(引用終り)
この話で、佐藤超関数を思い出す
一変数なら、簡単に一変数正則函数との境界上での「差」で定義できるが
しかし、多変数になると、オリジナルの佐藤理論では、層係数コホモロジー理論を使う必要があった（下記、片岡 清臣）
これは、是非覚えておくべき
層の理論は、上記 秋月康夫にあるように、”n≧2”で威力を発揮するということを！！（＾＾
つづく
（再掲）
https://www.jstage.jst.go.jp/article/kisoron1954/1/2/1_2_59/_pdf
多様体の概念について(秋月康夫)科学基礎論研究January1955
(抜粋)
P64
この層の定義はH.Cartanによるが,それは岡潔君
の不定域イデアルの概念を基に抽象化し公理的に述べた
ものなのである.(尤も他方Lerayが別の立場から層を
考えてはいたが.)かかる不定域イデアルとか,層とかい
うような概念が生み出されざるを得なかった根本的な因
由は,実にn≧2なることに存する.n=1ならば問題は
なかった.η=1ならば,複素直線(即ちガウス平面)
の完備化(無限遠点を追加して閉じた面とする)は唯一通りよりなくわれわれの慣れている数球面(即ち射影直
線)を取ることであるに対し,n≧2の場合には複素アフィン空間の完備化は幾通りにも可能である.というよ
うに,n=1とn≧2とでは根本的な差があるのである.
n=1ならば閉じていさえすれば,どんな複素解析的な
Riemann多様体もすべて射影空間に入って了うが,n≧2の場合には閉じていても,射影空間(どんなに高次元
にとっても)には入り得ないものが存在するのである
(これは直ぐ円環体で例示される).即ちn≧2では最早
や射影空間(といっても複素的射影空間であるが)は絶
対者ではあり得ない.すると射影空間に入るような閉じ
た解析多様体の特性如何という問題が直ちに提出されよ
うが,これに解決を与えたのが小平君である.即ちHodge型の多様体(説明は省くが基本的な概念だけで規定
されるものである)は射影空間に入る(逆は自明)とい
う定理である.
(引用終り)
この話で、佐藤超関数を思い出す
一変数なら、簡単に一変数正則函数との境界上での「差」で定義できるが
しかし、多変数になると、オリジナルの佐藤理論では、層係数コホモロジー理論を使う必要があった（下記、片岡 清臣）
これは、是非覚えておくべき
層の理論は、上記 秋月康夫にあるように、”n≧2”で威力を発揮するということを！！（＾＾
つづく
88現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/01(火) 17:36:42.86ID:JlmCPXEV >>87
つづき
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%90%E8%97%A4%E8%B6%85%E5%87%BD%E6%95%B0
佐藤超函数
佐藤超函数（さとうちょうかんすう、hyperfunction）は函数の一般化で、ある正則函数ともう一つの正則函数との境界上での「差」:
f(x)=F(x+i0)-F(x-i0)
として表される（正則関数 F(z)は f(x)の定義関数といい、 f(x)=[F(z)]と記す）[1][2][3][4]。
また、略式的には無限位数の極を持つシュワルツ超函数と見なすこともできる。
佐藤超函数はグロタンディークらの先駆的な仕事の上に1959年に佐藤幹夫によって導入された[1][2]。
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kiyoomi/microlocal/final2017slide.pdf
超局所解析と代数解析を巡って
片岡 清臣
２０１７年３月２１日，於：東京大学大学院数理科学研究科
(抜粋)
P4
１変数の佐藤超関数f(x)は
f(x) = F+(x + i0) F(x -i0)
と解析関数F±(z)を使って書けて直観的にもわかり易い．
しかしn変数佐藤超関数は
B(Rn) := HnRn(Cn; OCn)
のように解析関数の層OCnを係数とし，実軸Rnに台をもつ相対コホモロジー群の元として定義される．
従って，理解するには，多変数解析関数の基本的性質 + 層係数コホモロジー群の消滅定理
などかなりの予備知識が必要．特に後者が大変．
P9
層 CM+|X, Mild性の導入
P16
導来圏，層の超局所台理論による初期値・境界値混合問題の超局所解析
フランスのSj¨ostrandやLebeauはFBI変換や評価の手法を駆使して回折現
象の超局所解析など，境界条件下での境界に沿う正則性伝播定理を得ていた．
しかし我々の境界値問題の超局所解析の手法，すなわち個々の解の構成にこだ
わる手法では境界条件下で境界に沿って正則性が伝播することを示すのが難
しかった．他方，極めて抽象的な理論である導来圏と柏原-Schapiraの層の超
局所台理論(Microlocal Study of Sheaves, Ast´erisques, 128,1985)
の組み合わせがこのような問題の解決に適していることを発見した．
(引用終り)
以上
つづき
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%90%E8%97%A4%E8%B6%85%E5%87%BD%E6%95%B0
佐藤超函数
佐藤超函数（さとうちょうかんすう、hyperfunction）は函数の一般化で、ある正則函数ともう一つの正則函数との境界上での「差」:
f(x)=F(x+i0)-F(x-i0)
として表される（正則関数 F(z)は f(x)の定義関数といい、 f(x)=[F(z)]と記す）[1][2][3][4]。
また、略式的には無限位数の極を持つシュワルツ超函数と見なすこともできる。
佐藤超函数はグロタンディークらの先駆的な仕事の上に1959年に佐藤幹夫によって導入された[1][2]。
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kiyoomi/microlocal/final2017slide.pdf
超局所解析と代数解析を巡って
片岡 清臣
２０１７年３月２１日，於：東京大学大学院数理科学研究科
(抜粋)
P4
１変数の佐藤超関数f(x)は
f(x) = F+(x + i0) F(x -i0)
と解析関数F±(z)を使って書けて直観的にもわかり易い．
しかしn変数佐藤超関数は
B(Rn) := HnRn(Cn; OCn)
のように解析関数の層OCnを係数とし，実軸Rnに台をもつ相対コホモロジー群の元として定義される．
従って，理解するには，多変数解析関数の基本的性質 + 層係数コホモロジー群の消滅定理
などかなりの予備知識が必要．特に後者が大変．
P9
層 CM+|X, Mild性の導入
P16
導来圏，層の超局所台理論による初期値・境界値混合問題の超局所解析
フランスのSj¨ostrandやLebeauはFBI変換や評価の手法を駆使して回折現
象の超局所解析など，境界条件下での境界に沿う正則性伝播定理を得ていた．
しかし我々の境界値問題の超局所解析の手法，すなわち個々の解の構成にこだ
わる手法では境界条件下で境界に沿って正則性が伝播することを示すのが難
しかった．他方，極めて抽象的な理論である導来圏と柏原-Schapiraの層の超
局所台理論(Microlocal Study of Sheaves, Ast´erisques, 128,1985)
の組み合わせがこのような問題の解決に適していることを発見した．
(引用終り)
以上
2020/09/01(火) 17:53:05.35ID:S0c5RHlN
>>76
>これぞ、まさに ”エグゼクティブ・サマリー”
>こういうのをしっかり読んで、頭に入れておくと
>現代数学の層の抽象的な定義も、頭に入りやすくなる
いやいや、全然頭に入ってないじゃん
エグゼクティブ要らんよ
>「C∞の層？ そんなの当面無視しとけ～！！」
あんた、連接層だと何がどう都合がいいのか
全然わかってないだろ
>>77
>”エルランゲン・プログラム的視点”とは、
>平たくいえば、幾何学的視点です
全然説明になってませんｗ
>等角写像では、難しい関数は、まれにしか出てこない
馬鹿ｗｗｗ
いくらでも難しい関数出てくるよ
あんたが知らんだけｗｗｗ
>等角写像による翼型理論などは、
>中学・高校レベルの関数で終わっている
正しくは
「Zhukovskiの変換に関することは
中学・高校レベルの関数で終わっている」
>それは、力点が「複素平面上の”幾何”」にあるからです
いや、Zhukovskiの変換が簡単だから
>複素平面 zの円を、複素平面 w の翼型に写す
>Joukovski の式という視点
はい、今、君💩踏んだよｗ
「円を翼型に写す」
もし、繊細な数学的センスを有していたら、以下の疑問が生じるはず
「なんで、等角写像なのに、尖がった点が生じるの？」
もちろん、賢い人は答えが分かってますがねｗ
>これぞ、まさに ”エグゼクティブ・サマリー”
>こういうのをしっかり読んで、頭に入れておくと
>現代数学の層の抽象的な定義も、頭に入りやすくなる
いやいや、全然頭に入ってないじゃん
エグゼクティブ要らんよ
>「C∞の層？ そんなの当面無視しとけ～！！」
あんた、連接層だと何がどう都合がいいのか
全然わかってないだろ
>>77
>”エルランゲン・プログラム的視点”とは、
>平たくいえば、幾何学的視点です
全然説明になってませんｗ
>等角写像では、難しい関数は、まれにしか出てこない
馬鹿ｗｗｗ
いくらでも難しい関数出てくるよ
あんたが知らんだけｗｗｗ
>等角写像による翼型理論などは、
>中学・高校レベルの関数で終わっている
正しくは
「Zhukovskiの変換に関することは
中学・高校レベルの関数で終わっている」
>それは、力点が「複素平面上の”幾何”」にあるからです
いや、Zhukovskiの変換が簡単だから
>複素平面 zの円を、複素平面 w の翼型に写す
>Joukovski の式という視点
はい、今、君💩踏んだよｗ
「円を翼型に写す」
もし、繊細な数学的センスを有していたら、以下の疑問が生じるはず
「なんで、等角写像なのに、尖がった点が生じるの？」
もちろん、賢い人は答えが分かってますがねｗ
2020/09/01(火) 17:53:46.41ID:S0c5RHlN
>>78
云いたいことはわかります
>円周w=|2a|を除けば完璧に２つで済む
そこ、わざわざ２つに分ける必要あります？
>円周w=|2a|上ははっきりしないが
円周上には特異点が2つありますね
ということは特異点を結ぶ弧は２つあるってことです
どちらか一方で、解析接続してしまえば（実際できますが）一体化できます
つまり、接続させる弧を決めてしまえば２枚にできます
もともと二重被覆でしかないのだから、それが本質的かと思います
>>79
>「特異点の中心に飛び込んで」
>もう一つの特異点が∞になるように
>メビウス変換して、半径の制約をなくした。
√zを考えていいならそうなりますね
そこはテクニカルかもしれないが、
いいアイデアだと思いますよ
云いたいことはわかります
>円周w=|2a|を除けば完璧に２つで済む
そこ、わざわざ２つに分ける必要あります？
>円周w=|2a|上ははっきりしないが
円周上には特異点が2つありますね
ということは特異点を結ぶ弧は２つあるってことです
どちらか一方で、解析接続してしまえば（実際できますが）一体化できます
つまり、接続させる弧を決めてしまえば２枚にできます
もともと二重被覆でしかないのだから、それが本質的かと思います
>>79
>「特異点の中心に飛び込んで」
>もう一つの特異点が∞になるように
>メビウス変換して、半径の制約をなくした。
√zを考えていいならそうなりますね
そこはテクニカルかもしれないが、
いいアイデアだと思いますよ
2020/09/01(火) 17:55:12.95ID:S0c5RHlN
>>81
>フィールズ賞 1954年
>セール：Reformulated and extended some of the main results of complex variable theory in terms of sheaves.
ああ、あんた全然わかってないな
セールのフィールズ賞の主たる受賞理由は
Achieved major results on the homotopy groups of spheres, especially in his use of the method of spectral sequences.
「球体のホモトピー群について、特にスペクトル系列の方法を用いて大きな成果をあげた。」
だよ
あんたが球面のホモトピー群の意義を理解できないだけｗ
そもそも層の起源の一つは、ルレイのトポロジーの研究にあるんだがね
まさか日本人の岡が層を発明した、と思ってないか？
数学が分かっていれば、岡の発見は層よりも連接性にあることが分かるんだがね
（注：この指摘によって、岡の名誉が損なわれることは全くない）
層は所詮言葉に過ぎない 一方連接性は重要なポイント
どうせ素人の君は連接性とは何で、なぜそれが
代数幾何および複素解析幾何において重要なのかも
まったく理解できてないだろ
>フィールズ賞 1954年
>セール：Reformulated and extended some of the main results of complex variable theory in terms of sheaves.
ああ、あんた全然わかってないな
セールのフィールズ賞の主たる受賞理由は
Achieved major results on the homotopy groups of spheres, especially in his use of the method of spectral sequences.
「球体のホモトピー群について、特にスペクトル系列の方法を用いて大きな成果をあげた。」
だよ
あんたが球面のホモトピー群の意義を理解できないだけｗ
そもそも層の起源の一つは、ルレイのトポロジーの研究にあるんだがね
まさか日本人の岡が層を発明した、と思ってないか？
数学が分かっていれば、岡の発見は層よりも連接性にあることが分かるんだがね
（注：この指摘によって、岡の名誉が損なわれることは全くない）
層は所詮言葉に過ぎない 一方連接性は重要なポイント
どうせ素人の君は連接性とは何で、なぜそれが
代数幾何および複素解析幾何において重要なのかも
まったく理解できてないだろ
2020/09/01(火) 17:56:35.19ID:S0c5RHlN
>>82
>等角写像に変換群は必要ない。
そりゃそうだ、
等長変換に変換群が必要ないのと同じ
根本的には
「自己同型変換の全体が群をなす」
という点が重要
幾何学的には変換が推移的というのも重要だろう
（なお、推移的の定義は以下を見てくれ）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4%E4%BD%9C%E7%94%A8
群 G の X への作用が、
推移的あるいは可移 (transitive) であるとは、
X が空でなく、X の任意の元 x に対して Gx = X が成り立つときに言う。
ここで Gx = {gx | g ∈ G} は x の G による軌道である。
メビウス変換は、リーマン球面における等角同型写像であり
その全体は群をなす だからメビウス幾何（反転幾何）は
エルランゲン・プログラムの幾何といっていい
しかし一般の等角変換はそんな狭い枠を突破している
>等角写像に変換群は必要ない。
そりゃそうだ、
等長変換に変換群が必要ないのと同じ
根本的には
「自己同型変換の全体が群をなす」
という点が重要
幾何学的には変換が推移的というのも重要だろう
（なお、推移的の定義は以下を見てくれ）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4%E4%BD%9C%E7%94%A8
群 G の X への作用が、
推移的あるいは可移 (transitive) であるとは、
X が空でなく、X の任意の元 x に対して Gx = X が成り立つときに言う。
ここで Gx = {gx | g ∈ G} は x の G による軌道である。
メビウス変換は、リーマン球面における等角同型写像であり
その全体は群をなす だからメビウス幾何（反転幾何）は
エルランゲン・プログラムの幾何といっていい
しかし一般の等角変換はそんな狭い枠を突破している
94１３２人目の素数さん
2020/09/01(火) 19:15:58.29ID:2qjbTlF5 1600
学コン・宿題ボイコット実行委員会@gakkon_boycott 9月1日
#拡散希望
#みんなで学コン・宿題をボイコットしよう
雑誌「大学への数学」の誌上で毎月開催されている学力コンテスト(学コン)と宿題は、添削が雑で採点ミスが多く、訂正をお願いしても応じてもらえない悪質なコンテストです。(私も7月号の宿題でその被害に遭いました。)このようなコンテストに参加するのは時間と努力の無駄であり、参加する価値はありません。そこで私は、これ以上の被害者を出さないようにするため、また、出版社に反省と改善を促すために、学コン・宿題のボイコットを呼び掛けることにしました。少しでも多くの方がこの活動にご賛同頂き、このツイートを拡散して頂ければ幸いです。
https://twitter.com/gakkon_boycott/status/1300459618326388737
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
学コン・宿題ボイコット実行委員会@gakkon_boycott 9月1日
#拡散希望
#みんなで学コン・宿題をボイコットしよう
雑誌「大学への数学」の誌上で毎月開催されている学力コンテスト(学コン)と宿題は、添削が雑で採点ミスが多く、訂正をお願いしても応じてもらえない悪質なコンテストです。(私も7月号の宿題でその被害に遭いました。)このようなコンテストに参加するのは時間と努力の無駄であり、参加する価値はありません。そこで私は、これ以上の被害者を出さないようにするため、また、出版社に反省と改善を促すために、学コン・宿題のボイコットを呼び掛けることにしました。少しでも多くの方がこの活動にご賛同頂き、このツイートを拡散して頂ければ幸いです。
https://twitter.com/gakkon_boycott/status/1300459618326388737
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
95１３２人目の素数さん
2020/09/01(火) 21:24:48.49ID:n9IeiEve (ｶｯｹｪｪ!… ∞ﾁｭｯ!…ﾃ…
…惚ﾚﾃﾏｩｬﾛｫｫｩｩ…ｯ!³<)ﾉ"
=з ﾏﾀ…★ｾｸﾊﾗ★ｯﾋﾟｨｨｯ!
…惚ﾚﾃﾏｩｬﾛｫｫｩｩ…ｯ!³<)ﾉ"
=з ﾏﾀ…★ｾｸﾊﾗ★ｯﾋﾟｨｨｯ!
96１３２人目の素数さん
2020/09/01(火) 21:27:51.70ID:n9IeiEve ✨✨ｶｯｹｪｪ!✨✨過ｷﾞｨｨｯ!
…ﾃﾞ…安価ﾅﾝﾃ…
ﾂｹﾗﾚﾅｧｧｧｨｨｨｯ!
…ﾃﾞ…安価ﾅﾝﾃ…
ﾂｹﾗﾚﾅｧｧｧｨｨｨｯ!
97１３２人目の素数さん
2020/09/01(火) 21:41:03.84ID:n9IeiEve 🌟✨🌟✨🌟✨🌟✨🌟
✨🌟✨🌟🐑💭✨🌟✨
✨✨✨ｶｯｹｪｪ!✨🌟✨
✨🌟✨🌟🐑💭✨🌟✨
✨✨✨ｶｯｹｪｪ!✨🌟✨
98１３２人目の素数さん
2020/09/01(火) 21:43:02.79ID:n9IeiEve ✨✨眩ｼ過ｷﾞｨｨｯ!✨✨✨
|=з✨✨ｫ休ﾐﾅｻ~ｨ!✨✨
|=з✨✨ｫ休ﾐﾅｻ~ｨ!✨✨
2020/09/02(水) 06:09:01.75ID:LluQvpDW
>>98
安らかに眠れ・・・永遠に
安らかに眠れ・・・永遠に
100１３２人目の素数さん
2020/09/02(水) 06:52:26.52ID:LluQvpDW ◆yH25M02vWFhP の分かったフリ発言
>>87
「層とかいうような概念が生み出されざるを得なかった
根本的な因由は,実にn≧2なることに存する.
n=1ならば問題はなかった.
n=1ならば,複素直線(即ちガウス平面)の完備化(無限遠点を追加して閉じた面とする)は
唯一通りよりなくわれわれの慣れている数球面(即ち射影直線)を取ることであるに対し,
n≧2の場合には複素アフィン空間の完備化は幾通りにも可能である.というように,
n=1とn≧2とでは根本的な差があるのである.
n=1ならば閉じていさえすれば,どんな複素解析的なRiemann多様体も
すべて射影空間に入って了うが,
n≧2の場合には閉じていても,射影空間(どんなに高次元にとっても)には
入り得ないものが存在するのである(これは直ぐ円環体で例示される).
即ちn≧2では最早や射影空間(といっても複素的射影空間であるが)は
絶対者ではあり得ない.」
「この話で、佐藤超関数を思い出す
一変数なら、簡単に一変数正則函数との境界上での「差」で定義できるが
しかし、多変数になると、オリジナルの佐藤理論では、層係数コホモロジー理論を使う必要があった
これは、是非覚えておくべき
層の理論は、上記 秋月康夫にあるように、”n≧2”で威力を発揮するということを！！」
◆yH25M02vWFhPに論理はない
ただ言葉や文章の類似だけに頼る連想があるだけ
連想だけで理解できるほど数学は甘くない
細かいことの全てが数学 粗雑な上っ面は数学でもなんでもない
>>87
「層とかいうような概念が生み出されざるを得なかった
根本的な因由は,実にn≧2なることに存する.
n=1ならば問題はなかった.
n=1ならば,複素直線(即ちガウス平面)の完備化(無限遠点を追加して閉じた面とする)は
唯一通りよりなくわれわれの慣れている数球面(即ち射影直線)を取ることであるに対し,
n≧2の場合には複素アフィン空間の完備化は幾通りにも可能である.というように,
n=1とn≧2とでは根本的な差があるのである.
n=1ならば閉じていさえすれば,どんな複素解析的なRiemann多様体も
すべて射影空間に入って了うが,
n≧2の場合には閉じていても,射影空間(どんなに高次元にとっても)には
入り得ないものが存在するのである(これは直ぐ円環体で例示される).
即ちn≧2では最早や射影空間(といっても複素的射影空間であるが)は
絶対者ではあり得ない.」
「この話で、佐藤超関数を思い出す
一変数なら、簡単に一変数正則函数との境界上での「差」で定義できるが
しかし、多変数になると、オリジナルの佐藤理論では、層係数コホモロジー理論を使う必要があった
これは、是非覚えておくべき
層の理論は、上記 秋月康夫にあるように、”n≧2”で威力を発揮するということを！！」
◆yH25M02vWFhPに論理はない
ただ言葉や文章の類似だけに頼る連想があるだけ
連想だけで理解できるほど数学は甘くない
細かいことの全てが数学 粗雑な上っ面は数学でもなんでもない
101現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/02(水) 07:49:10.24ID:gNHKAJku >>91
>そもそも層の起源の一つは、ルレイのトポロジーの研究にあるんだがね
不正確だな（＾＾；
下記より Leray、”for application to PDE theory”
・1945 Jean Leray publishes work carried out as a prisoner of war, motivated by proving fixed-point theorems for application to PDE theory; it is the start of sheaf theory and spectral sequences.
・1947 Henri Cartan reproves the de Rham theorem by sheaf methods, in correspondence with Andre Weil (see De Rham?Weil theorem).
Leray gives a sheaf definition in his courses via closed sets (the later carapaces).
・1951 The Cartan seminar proves theorems A and B, based on Oka's work.
岡、不定域イデアルと連接定理
・不定域イデアル：現在の前層にあたるもの
・岡の連接定理：複素多様体上の正則函数の層が環の連接層であるという定理
でした！ by チコちゃん（＾＾；
（参考）
https://en.wikipedia.org/wiki/Sheaf_(mathematics)#History
Sheaf (mathematics)
History
The first origins of sheaf theory are hard to pin down ? they may be co-extensive with the idea of analytic continuation[clarification needed]. It took about 15 years for a recognisable, free-standing theory of sheaves to emerge from the foundational work on cohomology.
・1945 Jean Leray publishes work carried out as a prisoner of war, motivated by proving fixed-point theorems for application to PDE theory; it is the start of sheaf theory and spectral sequences.
・1947 Henri Cartan reproves the de Rham theorem by sheaf methods, in correspondence with Andre Weil (see De Rham?Weil theorem).
Leray gives a sheaf definition in his courses via closed sets (the later carapaces).
・1948 The Cartan seminar writes up sheaf theory for the first time.
つづく
>そもそも層の起源の一つは、ルレイのトポロジーの研究にあるんだがね
不正確だな（＾＾；
下記より Leray、”for application to PDE theory”
・1945 Jean Leray publishes work carried out as a prisoner of war, motivated by proving fixed-point theorems for application to PDE theory; it is the start of sheaf theory and spectral sequences.
・1947 Henri Cartan reproves the de Rham theorem by sheaf methods, in correspondence with Andre Weil (see De Rham?Weil theorem).
Leray gives a sheaf definition in his courses via closed sets (the later carapaces).
・1951 The Cartan seminar proves theorems A and B, based on Oka's work.
岡、不定域イデアルと連接定理
・不定域イデアル：現在の前層にあたるもの
・岡の連接定理：複素多様体上の正則函数の層が環の連接層であるという定理
でした！ by チコちゃん（＾＾；
（参考）
https://en.wikipedia.org/wiki/Sheaf_(mathematics)#History
Sheaf (mathematics)
History
The first origins of sheaf theory are hard to pin down ? they may be co-extensive with the idea of analytic continuation[clarification needed]. It took about 15 years for a recognisable, free-standing theory of sheaves to emerge from the foundational work on cohomology.
・1945 Jean Leray publishes work carried out as a prisoner of war, motivated by proving fixed-point theorems for application to PDE theory; it is the start of sheaf theory and spectral sequences.
・1947 Henri Cartan reproves the de Rham theorem by sheaf methods, in correspondence with Andre Weil (see De Rham?Weil theorem).
Leray gives a sheaf definition in his courses via closed sets (the later carapaces).
・1948 The Cartan seminar writes up sheaf theory for the first time.
つづく
102現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/02(水) 07:49:31.41ID:gNHKAJku >>101
つづき
・1950 The "second edition" sheaf theory from the Cartan seminar: the sheaf space (espace etale) definition is used, with stalkwise structure. Supports are introduced, and cohomology with supports. Continuous mappings give rise to spectral sequences. At the same time Kiyoshi Oka introduces an idea (adjacent to that) of a sheaf of ideals, in several complex variables.
・1951 The Cartan seminar proves theorems A and B, based on Oka's work.
https://kotobank.jp/word/%E4%B8%8D%E5%AE%9A%E5%9F%9F%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%A2%E3%83%AB-1406457
不定域イデアル
世界大百科事典内の不定域イデアルの言及
【層】より
…もともとは，1940年代後半に岡潔が多変数関数論の研究の中で，現在の前層にあたるものを利用した。岡はそれを不定域イデアルと呼んだが，
他方同じころ，これとは独立にルレーJ.Leray(1906‐ )が同様なものを考えた。その直後，H.カルタンらが層の一般論を展開し，多変数関数論に有効に利用した。…
※「不定域イデアル」について言及している用語解説の一部を掲載しています。
出典｜株式会社平凡社世界大百科事典 第２版について
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E6%8E%A5%E5%B1%A4
連接層
特に代数幾何学や複素多様体やスキームの理論では、連接層(れんせつそう、英: coherent sheaf)とは、底空間の幾何学的性質に密接に関連する、扱いやすい性質をもった特別な層である。
連接層は有限ランクのベクトルバンドルや局所自由層の一般化とみなすことができる。ベクトルバンドルとは違い、連接層のなす圏は、核（英語版）や余核や有限の直和といった操作で閉じている｢素晴らしい｣圏である。準連接層(じゅんれんせつそう、英：quasi-coherent sheaf)は連接層における有限性の仮定をはずしたもので、ランク無限の局所自由層を含んでいる。
代数幾何学や複素解析の多くの結果や性質が、連接層、準連接層やそれらのコホモロジーのことばで定式化される。
連接層の例
・岡の連接定理は、複素多様体上の正則函数の層が環の連接層であるという定理である[3] 。
つづく
つづき
・1950 The "second edition" sheaf theory from the Cartan seminar: the sheaf space (espace etale) definition is used, with stalkwise structure. Supports are introduced, and cohomology with supports. Continuous mappings give rise to spectral sequences. At the same time Kiyoshi Oka introduces an idea (adjacent to that) of a sheaf of ideals, in several complex variables.
・1951 The Cartan seminar proves theorems A and B, based on Oka's work.
https://kotobank.jp/word/%E4%B8%8D%E5%AE%9A%E5%9F%9F%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%A2%E3%83%AB-1406457
不定域イデアル
世界大百科事典内の不定域イデアルの言及
【層】より
…もともとは，1940年代後半に岡潔が多変数関数論の研究の中で，現在の前層にあたるものを利用した。岡はそれを不定域イデアルと呼んだが，
他方同じころ，これとは独立にルレーJ.Leray(1906‐ )が同様なものを考えた。その直後，H.カルタンらが層の一般論を展開し，多変数関数論に有効に利用した。…
※「不定域イデアル」について言及している用語解説の一部を掲載しています。
出典｜株式会社平凡社世界大百科事典 第２版について
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E6%8E%A5%E5%B1%A4
連接層
特に代数幾何学や複素多様体やスキームの理論では、連接層(れんせつそう、英: coherent sheaf)とは、底空間の幾何学的性質に密接に関連する、扱いやすい性質をもった特別な層である。
連接層は有限ランクのベクトルバンドルや局所自由層の一般化とみなすことができる。ベクトルバンドルとは違い、連接層のなす圏は、核（英語版）や余核や有限の直和といった操作で閉じている｢素晴らしい｣圏である。準連接層(じゅんれんせつそう、英：quasi-coherent sheaf)は連接層における有限性の仮定をはずしたもので、ランク無限の局所自由層を含んでいる。
代数幾何学や複素解析の多くの結果や性質が、連接層、準連接層やそれらのコホモロジーのことばで定式化される。
連接層の例
・岡の連接定理は、複素多様体上の正則函数の層が環の連接層であるという定理である[3] 。
つづく
103現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/02(水) 07:50:33.85ID:gNHKAJku >>102
つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Leray_spectral_sequence
Leray spectral sequence
In mathematics, the Leray spectral sequence was a pioneering example in homological algebra, introduced in 1946[1][2] by Jean Leray. It is usually seen nowadays as a special case of the Grothendieck spectral sequence.
https://en.wikipedia.org/wiki/Spectral_sequence
Spectral sequence
In homological algebra and algebraic topology, a spectral sequence is a means of computing homology groups by taking successive approximations. Spectral sequences are a generalization of exact sequences, and since their introduction by Jean Leray (1946), they have become important computational tools, particularly in algebraic topology, algebraic geometry and homological algebra.
https://en.wikipedia.org/wiki/Spectral_sequence
Spectral sequence
In homological algebra and algebraic topology, a spectral sequence is a means of computing homology groups by taking successive approximations. Spectral sequences are a generalization of exact sequences, and since their introduction by Jean Leray (1946), they have become important computational tools, particularly in algebraic topology, algebraic geometry and homological algebra.
de Rham：The influence of de Rham’s theorem was particularly great during the development of Hodge theory and sheaf theory.
https://en.wikipedia.org/wiki/Georges_de_Rham
Georges de Rham (French: [d??am]; 10 September 1903 ? 9 October 1990) was a Swiss mathematician, known for his contributions to differential topology.
つづく
つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Leray_spectral_sequence
Leray spectral sequence
In mathematics, the Leray spectral sequence was a pioneering example in homological algebra, introduced in 1946[1][2] by Jean Leray. It is usually seen nowadays as a special case of the Grothendieck spectral sequence.
https://en.wikipedia.org/wiki/Spectral_sequence
Spectral sequence
In homological algebra and algebraic topology, a spectral sequence is a means of computing homology groups by taking successive approximations. Spectral sequences are a generalization of exact sequences, and since their introduction by Jean Leray (1946), they have become important computational tools, particularly in algebraic topology, algebraic geometry and homological algebra.
https://en.wikipedia.org/wiki/Spectral_sequence
Spectral sequence
In homological algebra and algebraic topology, a spectral sequence is a means of computing homology groups by taking successive approximations. Spectral sequences are a generalization of exact sequences, and since their introduction by Jean Leray (1946), they have become important computational tools, particularly in algebraic topology, algebraic geometry and homological algebra.
de Rham：The influence of de Rham’s theorem was particularly great during the development of Hodge theory and sheaf theory.
https://en.wikipedia.org/wiki/Georges_de_Rham
Georges de Rham (French: [d??am]; 10 September 1903 ? 9 October 1990) was a Swiss mathematician, known for his contributions to differential topology.
つづく
104現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/02(水) 07:51:05.59ID:gNHKAJku >>103
つづき
Mathematics research
In 1931 he proved de Rham's theorem, identifying the de Rham cohomology groups as topological invariants. This proof can be considered as sought-after, since the result was implicit in the points of view of Henri Poincare and Elie Cartan. The first proof of the general Stokes' theorem, for example, is attributed to Poincare, in 1899. At the time there was no cohomology theory, one could reasonably say: for manifolds the homology theory was known to be self-dual with the switch of dimension to codimension (that is, from Hk to Hn?k, where n is the dimension). That is true, anyway, for orientable manifolds, an orientation being in differential form terms an n-form that is never zero (and two being equivalent if related by a positive scalar field). The duality can be reformulated, to great advantage, in terms of the Hodge dual?intuitively, 'divide into' an orientation form?as it was in the years succeeding the theorem. Separating out the homological and differential form sides allowed the coexistence of 'integrand' and 'domains of integration', as cochains and chains, with clarity. De Rham himself developed a theory of homological currents, that showed how this fitted with the generalised function concept.
The influence of de Rham’s theorem was particularly great during the development of Hodge theory and sheaf theory.
つづく
つづき
Mathematics research
In 1931 he proved de Rham's theorem, identifying the de Rham cohomology groups as topological invariants. This proof can be considered as sought-after, since the result was implicit in the points of view of Henri Poincare and Elie Cartan. The first proof of the general Stokes' theorem, for example, is attributed to Poincare, in 1899. At the time there was no cohomology theory, one could reasonably say: for manifolds the homology theory was known to be self-dual with the switch of dimension to codimension (that is, from Hk to Hn?k, where n is the dimension). That is true, anyway, for orientable manifolds, an orientation being in differential form terms an n-form that is never zero (and two being equivalent if related by a positive scalar field). The duality can be reformulated, to great advantage, in terms of the Hodge dual?intuitively, 'divide into' an orientation form?as it was in the years succeeding the theorem. Separating out the homological and differential form sides allowed the coexistence of 'integrand' and 'domains of integration', as cochains and chains, with clarity. De Rham himself developed a theory of homological currents, that showed how this fitted with the generalised function concept.
The influence of de Rham’s theorem was particularly great during the development of Hodge theory and sheaf theory.
つづく
105現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/02(水) 07:51:25.14ID:gNHKAJku >>104
つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/De_Rham_cohomology
De Rham cohomology
In mathematics, de Rham cohomology (after Georges de Rham) is a tool belonging both to algebraic topology and to differential topology, capable of expressing basic topological information about smooth manifolds in a form particularly adapted to computation and the concrete representation of cohomology classes. It is a cohomology theory based on the existence of differential forms with prescribed properties.
The integration on forms concept is of fundamental importance in differential topology, geometry, and physics, and also yields one of the most important examples of cohomology, namely de Rham cohomology, which (roughly speaking) measures precisely the extent to which the fundamental theorem of calculus fails in higher dimensions and on general manifolds.
??Terence Tao, Differential Forms and Integration[1]
https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_topology
Algebraic topology is a branch of mathematics that uses tools from abstract algebra to study topological spaces. The basic goal is to find algebraic invariants that classify topological spaces up to homeomorphism, though usually most classify up to homotopy equivalence.
Although algebraic topology primarily uses algebra to study topological problems, using topology to solve algebraic problems is sometimes also possible. Algebraic topology, for example, allows for a convenient proof that any subgroup of a free group is again a free group.
(引用終り)
以上
つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/De_Rham_cohomology
De Rham cohomology
In mathematics, de Rham cohomology (after Georges de Rham) is a tool belonging both to algebraic topology and to differential topology, capable of expressing basic topological information about smooth manifolds in a form particularly adapted to computation and the concrete representation of cohomology classes. It is a cohomology theory based on the existence of differential forms with prescribed properties.
The integration on forms concept is of fundamental importance in differential topology, geometry, and physics, and also yields one of the most important examples of cohomology, namely de Rham cohomology, which (roughly speaking) measures precisely the extent to which the fundamental theorem of calculus fails in higher dimensions and on general manifolds.
??Terence Tao, Differential Forms and Integration[1]
https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_topology
Algebraic topology is a branch of mathematics that uses tools from abstract algebra to study topological spaces. The basic goal is to find algebraic invariants that classify topological spaces up to homeomorphism, though usually most classify up to homotopy equivalence.
Although algebraic topology primarily uses algebra to study topological problems, using topology to solve algebraic problems is sometimes also possible. Algebraic topology, for example, allows for a convenient proof that any subgroup of a free group is again a free group.
(引用終り)
以上
106現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/02(水) 07:55:46.09ID:gNHKAJku >>103 ダブり訂正
https://en.wikipedia.org/wiki/Spectral_sequence
Spectral sequence
In homological algebra and algebraic topology, a spectral sequence is a means of computing homology groups by taking successive approximations. Spectral sequences are a generalization of exact sequences, and since their introduction by Jean Leray (1946), they have become important computational tools, particularly in algebraic topology, algebraic geometry and homological algebra.
https://en.wikipedia.org/wiki/Spectral_sequence
Spectral sequence
In homological algebra and algebraic topology, a spectral sequence is a means of computing homology groups by taking successive approximations. Spectral sequences are a generalization of exact sequences, and since their introduction by Jean Leray (1946), they have become important computational tools, particularly in algebraic topology, algebraic geometry and homological algebra.
これ、コピーダブり
一つ消す（＾＾；
https://en.wikipedia.org/wiki/Spectral_sequence
Spectral sequence
In homological algebra and algebraic topology, a spectral sequence is a means of computing homology groups by taking successive approximations. Spectral sequences are a generalization of exact sequences, and since their introduction by Jean Leray (1946), they have become important computational tools, particularly in algebraic topology, algebraic geometry and homological algebra.
https://en.wikipedia.org/wiki/Spectral_sequence
Spectral sequence
In homological algebra and algebraic topology, a spectral sequence is a means of computing homology groups by taking successive approximations. Spectral sequences are a generalization of exact sequences, and since their introduction by Jean Leray (1946), they have become important computational tools, particularly in algebraic topology, algebraic geometry and homological algebra.
これ、コピーダブり
一つ消す（＾＾；
107現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/02(水) 07:59:56.35ID:gNHKAJku >>100
あんた、それでオチコボレたと思うよ
>連想だけで理解できるほど数学は甘くない
>細かいことの全てが数学 粗雑な上っ面は数学でもなんでもない
たかが、小学生で遠山先生の「数学入門」程度を読んで、数学にあこがれ
Fラン数学科に入った
難しい数学を、いっぱい勉強するんだと考えたのだろう
数学を難しく難しく考えようとした
それでオチコボレになったと思う
一流数学者は、難しいことを、真に理解し、易しくする
オチコボレは、難しいことを、より難しく考えて、落ちこぼれる
あんた、それでオチコボレたと思うよ
>連想だけで理解できるほど数学は甘くない
>細かいことの全てが数学 粗雑な上っ面は数学でもなんでもない
たかが、小学生で遠山先生の「数学入門」程度を読んで、数学にあこがれ
Fラン数学科に入った
難しい数学を、いっぱい勉強するんだと考えたのだろう
数学を難しく難しく考えようとした
それでオチコボレになったと思う
一流数学者は、難しいことを、真に理解し、易しくする
オチコボレは、難しいことを、より難しく考えて、落ちこぼれる
108現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/02(水) 10:06:39.22ID:pPZpUNUZ >>107 補足
>一流数学者は、難しいことを、真に理解し、易しくする
>オチコボレは、難しいことを、より難しく考えて、落ちこぼれる
神脳 河野玄斗 数学勉強法：”理解”がキーワード
確かに、現代数学は極めて抽象化されている
だが、抽象化された概念を自分なりに消化する、これが大事なのだよ
前スレ(3) より
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/194-195
(再録)
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B2%B3%E9%87%8E%E7%8E%84%E6%96%97
河野玄斗
http://kosodatedoctor.ハテナブログ/entry/2019/06/05/173848
Dr.よつばの医師夫婦育児日記
2019-06-05
読書録125 東大医学部在学中に司法試験も一発合格した僕のやっているシンプルな勉強法 ネタバレ
(抜粋)
※勉強は、幹から押さえることが重要※
→枝葉にこんつめて失敗することがない。
→メリハリづけ、優先順位をつけることで効率ＵＰ
※人に教えることが最良のアウトプット※
→人に教えるつもりで、押さえるべき重要部分を意識する。
→自分の言葉でそしゃくして、 わかりやすく置き換えられれば理解できてる。
「勉強は、 全体像を常に意識して一区切りしたら人に教えるノリで要約してい く。
暗記科目でも、まずは理解に専念して全体像をつかむ。
説明すると、頭の情報が自分の言葉で言語化されるし、 要約するとこれだけか、とわかる。
※読み飛ばし勉強法※
一度教科書を読んだら、すぐにもう一度30秒ほどで読む。
(8)独学の意識を持つ
教わるのではなく、自分から勉強する。独学が最も効率的。
講義はあくまで独学を補助するツール。
まず独学して、わからないところだけ先生に聞く。
講義は自分に必要な最低限にとどめ、まずは自習時間を確保。
■■高校大学受験を完全攻略する■■
■数学■
(2)数学の勉強法
1、基本問題はパターンを攻略する
問題を解く際に常にその抽象論を意識する。
解き方丸暗記ではなく、 解き方の背景にある理屈を説明できるように。
(3)数学の楽しさ
沢山ある基本問題の背景に一貫した理屈を見つけたとき、 点が線になり世界が広がる感覚
→複数の問題の根底にある抽象論を抽出するのが大切
>一流数学者は、難しいことを、真に理解し、易しくする
>オチコボレは、難しいことを、より難しく考えて、落ちこぼれる
神脳 河野玄斗 数学勉強法：”理解”がキーワード
確かに、現代数学は極めて抽象化されている
だが、抽象化された概念を自分なりに消化する、これが大事なのだよ
前スレ(3) より
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/194-195
(再録)
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B2%B3%E9%87%8E%E7%8E%84%E6%96%97
河野玄斗
http://kosodatedoctor.ハテナブログ/entry/2019/06/05/173848
Dr.よつばの医師夫婦育児日記
2019-06-05
読書録125 東大医学部在学中に司法試験も一発合格した僕のやっているシンプルな勉強法 ネタバレ
(抜粋)
※勉強は、幹から押さえることが重要※
→枝葉にこんつめて失敗することがない。
→メリハリづけ、優先順位をつけることで効率ＵＰ
※人に教えることが最良のアウトプット※
→人に教えるつもりで、押さえるべき重要部分を意識する。
→自分の言葉でそしゃくして、 わかりやすく置き換えられれば理解できてる。
「勉強は、 全体像を常に意識して一区切りしたら人に教えるノリで要約してい く。
暗記科目でも、まずは理解に専念して全体像をつかむ。
説明すると、頭の情報が自分の言葉で言語化されるし、 要約するとこれだけか、とわかる。
※読み飛ばし勉強法※
一度教科書を読んだら、すぐにもう一度30秒ほどで読む。
(8)独学の意識を持つ
教わるのではなく、自分から勉強する。独学が最も効率的。
講義はあくまで独学を補助するツール。
まず独学して、わからないところだけ先生に聞く。
講義は自分に必要な最低限にとどめ、まずは自習時間を確保。
■■高校大学受験を完全攻略する■■
■数学■
(2)数学の勉強法
1、基本問題はパターンを攻略する
問題を解く際に常にその抽象論を意識する。
解き方丸暗記ではなく、 解き方の背景にある理屈を説明できるように。
(3)数学の楽しさ
沢山ある基本問題の背景に一貫した理屈を見つけたとき、 点が線になり世界が広がる感覚
→複数の問題の根底にある抽象論を抽出するのが大切
109現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/02(水) 10:18:06.61ID:pPZpUNUZ >>108
>神脳 河野玄斗 数学勉強法：”理解”がキーワード
>確かに、現代数学は極めて抽象化されている
>だが、抽象化された概念を自分なりに消化する、これが大事なのだよ
グロタンディークは、抽象化が得意だった
抽象的な数学を抽象的なまま考えたのではないかと言われる
だが、それを真似する必要はない
自分は、自分に合った勉強法があるはずだ
”(3)数学の楽しさ
沢山ある基本問題の背景に一貫した理屈を見つけたとき、 点が線になり世界が広がる感覚”（>>108）
佐藤超関数>>87の「n=1とn≧2とでは根本的な差がある」（>>87 秋月康夫）
"層係数コホモロジー理論を使う必要があった（下記、片岡 清臣）"ってところで繋がっているのです
おサルは、そういう勉強をしてこなかったみたいだな
グロタンディークのまね、抽象的な数学を抽象的なまま考えようとした、身の程知らず
たかが、小学生で遠山先生の「数学入門」程度を読んだ程度で、舞い上がるサル
それが、数学落ちこぼれの原因ですよ（＾＾；
>神脳 河野玄斗 数学勉強法：”理解”がキーワード
>確かに、現代数学は極めて抽象化されている
>だが、抽象化された概念を自分なりに消化する、これが大事なのだよ
グロタンディークは、抽象化が得意だった
抽象的な数学を抽象的なまま考えたのではないかと言われる
だが、それを真似する必要はない
自分は、自分に合った勉強法があるはずだ
”(3)数学の楽しさ
沢山ある基本問題の背景に一貫した理屈を見つけたとき、 点が線になり世界が広がる感覚”（>>108）
佐藤超関数>>87の「n=1とn≧2とでは根本的な差がある」（>>87 秋月康夫）
"層係数コホモロジー理論を使う必要があった（下記、片岡 清臣）"ってところで繋がっているのです
おサルは、そういう勉強をしてこなかったみたいだな
グロタンディークのまね、抽象的な数学を抽象的なまま考えようとした、身の程知らず
たかが、小学生で遠山先生の「数学入門」程度を読んだ程度で、舞い上がるサル
それが、数学落ちこぼれの原因ですよ（＾＾；
110１３２人目の素数さん
2020/09/02(水) 17:08:04.82ID:md+DGt+8 小平邦彦が層について「こんなに簡単なものがなぜこんなに役に立つのか分からない」と言っていた話は有名。
もし、1次元2次元だとか、幾何学的に明確な理由があるなら、小平がそんな発言するわけないだろう。
もし、1次元2次元だとか、幾何学的に明確な理由があるなら、小平がそんな発言するわけないだろう。
111１３２人目の素数さん
2020/09/02(水) 18:48:05.80ID:LluQvpDW >>101-102
>The first origins of sheaf theory are hard to pin down –
>they may be co-extensive with the idea of analytic continuation
>[clarification needed]
（翻訳）
「層理論の最初の起源は、なかなか突き止められない。
解析連続の考え方と共存しているかもしれない
[明確化が必要]」
つまり、記載に対して「明確化が必要」と注記がされている
そして、実際「解析接続云々」は誤解によるものである
（削除が妥当）
>・不定域イデアル：現在の前層にあたるもの
じゃ、層ではないね
>・岡の連接定理：複素多様体上の正則函数の層が環の連接層であるという定理
重要なのは連接性 層に関連付けたのはアンリ・カルタン
あんた、やっぱ漫然とコピペしてるだけで、中身全然わかってないね
定義読まない、読んでもワケワカラン
それじゃ数学は無理 あきらめろって
P.S.
>（＾＾；
その汗は冷や汗だろ ぬぐえよｗ
>The first origins of sheaf theory are hard to pin down –
>they may be co-extensive with the idea of analytic continuation
>[clarification needed]
（翻訳）
「層理論の最初の起源は、なかなか突き止められない。
解析連続の考え方と共存しているかもしれない
[明確化が必要]」
つまり、記載に対して「明確化が必要」と注記がされている
そして、実際「解析接続云々」は誤解によるものである
（削除が妥当）
>・不定域イデアル：現在の前層にあたるもの
じゃ、層ではないね
>・岡の連接定理：複素多様体上の正則函数の層が環の連接層であるという定理
重要なのは連接性 層に関連付けたのはアンリ・カルタン
あんた、やっぱ漫然とコピペしてるだけで、中身全然わかってないね
定義読まない、読んでもワケワカラン
それじゃ数学は無理 あきらめろって
P.S.
>（＾＾；
その汗は冷や汗だろ ぬぐえよｗ
112１３２人目の素数さん
2020/09/02(水) 18:49:35.13ID:LluQvpDW >>103-106
「任意の正方行列は逆行列を持つ！」と思い込んでた粗雑な君に
スペクトル系列なんか理解できないからあきらめな
あんた、ド・ラム コホモロジーとかいう前に、
そもそも微分形式知らんやろ
●微分形式
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%BD%A2%E5%BC%8F
そんでもってグリーンの定理もガウスの定理（発散定理）もストークスの定理も知らんやろ
●グリーンの定理
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
●発散定理
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%99%BA%E6%95%A3%E5%AE%9A%E7%90%86
●ストークスの定理
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
（注：微分形式だとグリーンの定理も発散定理も全部ストークスの定理だが、一応書いといた）
さらにダメ押しで、ポアンカレの補題とか全然知らんやろ
●ポアンカレの補題
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9D%E3%82%A2%E3%83%B3%E3%82%AB%E3%83%AC%E3%81%AE%E8%A3%9C%E9%A1%8C
そんなド素人じゃ、ド・ラム コホモロジーとか興味持つだけ無駄 諦めろ
●ド・ラームコホモロジー
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%89%E3%83%BB%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%83%A0%E3%82%B3%E3%83%9B%E3%83%A2%E3%83%AD%E3%82%B8%E3%83%BC
「任意の正方行列は逆行列を持つ！」と思い込んでた粗雑な君に
スペクトル系列なんか理解できないからあきらめな
あんた、ド・ラム コホモロジーとかいう前に、
そもそも微分形式知らんやろ
●微分形式
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%BD%A2%E5%BC%8F
そんでもってグリーンの定理もガウスの定理（発散定理）もストークスの定理も知らんやろ
●グリーンの定理
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
●発散定理
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%99%BA%E6%95%A3%E5%AE%9A%E7%90%86
●ストークスの定理
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
（注：微分形式だとグリーンの定理も発散定理も全部ストークスの定理だが、一応書いといた）
さらにダメ押しで、ポアンカレの補題とか全然知らんやろ
●ポアンカレの補題
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9D%E3%82%A2%E3%83%B3%E3%82%AB%E3%83%AC%E3%81%AE%E8%A3%9C%E9%A1%8C
そんなド素人じゃ、ド・ラム コホモロジーとか興味持つだけ無駄 諦めろ
●ド・ラームコホモロジー
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%89%E3%83%BB%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%83%A0%E3%82%B3%E3%83%9B%E3%83%A2%E3%83%AD%E3%82%B8%E3%83%BC
113１３２人目の素数さん
2020/09/02(水) 18:51:02.59ID:LluQvpDW >>107
あんた、クヤシイのか？ｗ
まず、遠山啓の「数学入門（上)（下）」くらいは読んどけ
そこすらわからんようじゃ数学は無理
（だいたい小学生～高卒レベル）
大学に受からん奴はFランもうらやましいらしいｗ
だが、俺はJ西大とかそういうレベルの大学の出身ではない
安達はN大だとわめいてるがそれもあたってない
（もっともN大の数学科でも、安達よりははるかに数学が分かってるだろう）
>難しい数学を、いっぱい勉強するんだと考えたのだろう
>数学を難しく難しく考えようとした
そんなマゾはいないよｗ
誰だって易しいほうがいいに決まってる
しかしながら、今の数学はあんたのような素人が
３分以内で分かるほど易しいネタは一つもない
例えば、代数幾何の問題意識なんて
あんたのような素人には到底理解できない
あんたは線形代数すら正しく理解できないんだからな
行列のランクも行列式も知らないとか
理系大卒じゃありえねぇし
>それでオチコボレになったと思う
人が見つけた定理の証明を理解するのと
自分で命題を見つけて証明するのは、
全然難しさが違うんだよ
あんた、クヤシイのか？ｗ
まず、遠山啓の「数学入門（上)（下）」くらいは読んどけ
そこすらわからんようじゃ数学は無理
（だいたい小学生～高卒レベル）
大学に受からん奴はFランもうらやましいらしいｗ
だが、俺はJ西大とかそういうレベルの大学の出身ではない
安達はN大だとわめいてるがそれもあたってない
（もっともN大の数学科でも、安達よりははるかに数学が分かってるだろう）
>難しい数学を、いっぱい勉強するんだと考えたのだろう
>数学を難しく難しく考えようとした
そんなマゾはいないよｗ
誰だって易しいほうがいいに決まってる
しかしながら、今の数学はあんたのような素人が
３分以内で分かるほど易しいネタは一つもない
例えば、代数幾何の問題意識なんて
あんたのような素人には到底理解できない
あんたは線形代数すら正しく理解できないんだからな
行列のランクも行列式も知らないとか
理系大卒じゃありえねぇし
>それでオチコボレになったと思う
人が見つけた定理の証明を理解するのと
自分で命題を見つけて証明するのは、
全然難しさが違うんだよ
114１３２人目の素数さん
2020/09/02(水) 18:51:39.26ID:LluQvpDW >>108
>神脳 河野玄斗
>東大医学部在学中に司法試験も一発合格した僕のやっているシンプルな勉強法
あんた、そいつを見習って医者でも弁護士でもめざせばいいじゃん
そのほうがはっきり目標ができていいぞ
あんたの場合、数学を学ぶ目標がはっきりしてないから
粗雑な大嘘を垂れ流すイタイタシイ奴に成り下がるわけだ
ちなみに貴様が崇め奉る東大医学部君、なかなかのサイコパスだぜｗ
「『週刊文春』において女性スキャンダルが報じられる。
文春によると、💩はある女性と出会い
その日のうちに性交渉を行い、その女性が妊娠する。
女性が💩に妊娠したことを告白すると、💩は
「認知はできるけれども生むのは難しい」
「今はまだ脳が発達していないから生きているものではない」
「悲しいとかの感情があるわけじゃない」
と言い、その女性は中絶手術を行った。
後に💩には新しい恋人ができ、中絶手術を行った女性と最後に会おうという約束について
💩は「会えない」と連絡をし、警察にその女性の保護を依頼した。
そのため、女性は💩と連絡をする際には弁護士を通じて連絡するという趣旨の
上申書を警察署で書かされたという。」
「💩は文春の取材に対して、妊娠と中絶の経緯を認めた上で、
「彼女を傷つけてしまった事に対して、深く反省をしております」
とコメントした。」
たぶんこんな感じでいったんだろうな
「ちっ、反省してま～す」
💩のくせにとんだ＊ん＊んやろうだなｗ
>神脳 河野玄斗
>東大医学部在学中に司法試験も一発合格した僕のやっているシンプルな勉強法
あんた、そいつを見習って医者でも弁護士でもめざせばいいじゃん
そのほうがはっきり目標ができていいぞ
あんたの場合、数学を学ぶ目標がはっきりしてないから
粗雑な大嘘を垂れ流すイタイタシイ奴に成り下がるわけだ
ちなみに貴様が崇め奉る東大医学部君、なかなかのサイコパスだぜｗ
「『週刊文春』において女性スキャンダルが報じられる。
文春によると、💩はある女性と出会い
その日のうちに性交渉を行い、その女性が妊娠する。
女性が💩に妊娠したことを告白すると、💩は
「認知はできるけれども生むのは難しい」
「今はまだ脳が発達していないから生きているものではない」
「悲しいとかの感情があるわけじゃない」
と言い、その女性は中絶手術を行った。
後に💩には新しい恋人ができ、中絶手術を行った女性と最後に会おうという約束について
💩は「会えない」と連絡をし、警察にその女性の保護を依頼した。
そのため、女性は💩と連絡をする際には弁護士を通じて連絡するという趣旨の
上申書を警察署で書かされたという。」
「💩は文春の取材に対して、妊娠と中絶の経緯を認めた上で、
「彼女を傷つけてしまった事に対して、深く反省をしております」
とコメントした。」
たぶんこんな感じでいったんだろうな
「ちっ、反省してま～す」
💩のくせにとんだ＊ん＊んやろうだなｗ
115１３２人目の素数さん
2020/09/02(水) 18:54:21.51ID:LluQvpDW116１３２人目の素数さん
2020/09/02(水) 18:57:17.76ID:LluQvpDW117現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/02(水) 23:36:40.81ID:gNHKAJku >>77 補足
海城 （春木先生）：”クラインの「エルランゲン・プログラム」
これまでいろいろな非ユークリッド幾何の例を見てきましたが、それらとユークリッド幾何学をすべてまとめて射影幾何学の一部としてとらえる統一理論です。
そのための道具として図形の動かし方をまとめた「変換群」という考え方が登場しました。”
”「幾何学とは何か」というある種哲学的な問いに対する一つの答えを与えたものです。
このように，群とその群が作用する空間を組にして幾何学的対象として特徴づけたものをクライン幾何学といいます。
このエルランゲン・プログラムにより，その当時存在したいろいろな幾何学のほとんどは，射影幾何学に対してある種の制限をかけたものとしてとらえることができます。そういった意味で，射影幾何学は当時では万能の幾何学でした。”
”一般に n 次元リーマン多様体上に作用し，かつ計量を不変
に保つような変換群は存在しません。よって，クライン幾何の枠の中には入らないものでした。
カルタンはクライン幾何を発展させて接続の理論を考えだし，その思想を多様体上の幾何学の中に取り込みました。”
（参考）
１）海城 数学科リレー講座 エルランゲン・プログラム
https://www.kaijo.ed.jp/
海城
https://www.kaijo.ed.jp/students/1265
数学科リレー講座 最終日 2013.08.24 海城
2013.08.24 海城
月曜日から始まったリレー講座もいよいよ最終日になりました。今日はクラインの「エルランゲン・プログラム」についてです。これまでいろいろな非ユークリッド幾何の例を見てきましたが、それらとユークリッド幾何学をすべてまとめて射影幾何学の一部としてとらえる統一理論です。
そのための道具として図形の動かし方をまとめた「変換群」という考え方が登場しました。
途中で小澤先生に、2年前のガロア理論の講座をもとにして「群」の基本について10分ほど講義をしていただきました。
その後合同変換、アフィン変換、射影変換のイメージを伝えるところを重点的に話しました。
最後に射影変換群の部分群として球面や双曲面を不変にする群が現れてメデタシメデタシ、のはずなのですが、行列表示からは駆け足だったのでどうだったでしょうか…？
（春木教諭）
つづく
海城 （春木先生）：”クラインの「エルランゲン・プログラム」
これまでいろいろな非ユークリッド幾何の例を見てきましたが、それらとユークリッド幾何学をすべてまとめて射影幾何学の一部としてとらえる統一理論です。
そのための道具として図形の動かし方をまとめた「変換群」という考え方が登場しました。”
”「幾何学とは何か」というある種哲学的な問いに対する一つの答えを与えたものです。
このように，群とその群が作用する空間を組にして幾何学的対象として特徴づけたものをクライン幾何学といいます。
このエルランゲン・プログラムにより，その当時存在したいろいろな幾何学のほとんどは，射影幾何学に対してある種の制限をかけたものとしてとらえることができます。そういった意味で，射影幾何学は当時では万能の幾何学でした。”
”一般に n 次元リーマン多様体上に作用し，かつ計量を不変
に保つような変換群は存在しません。よって，クライン幾何の枠の中には入らないものでした。
カルタンはクライン幾何を発展させて接続の理論を考えだし，その思想を多様体上の幾何学の中に取り込みました。”
（参考）
１）海城 数学科リレー講座 エルランゲン・プログラム
https://www.kaijo.ed.jp/
海城
https://www.kaijo.ed.jp/students/1265
数学科リレー講座 最終日 2013.08.24 海城
2013.08.24 海城
月曜日から始まったリレー講座もいよいよ最終日になりました。今日はクラインの「エルランゲン・プログラム」についてです。これまでいろいろな非ユークリッド幾何の例を見てきましたが、それらとユークリッド幾何学をすべてまとめて射影幾何学の一部としてとらえる統一理論です。
そのための道具として図形の動かし方をまとめた「変換群」という考え方が登場しました。
途中で小澤先生に、2年前のガロア理論の講座をもとにして「群」の基本について10分ほど講義をしていただきました。
その後合同変換、アフィン変換、射影変換のイメージを伝えるところを重点的に話しました。
最後に射影変換群の部分群として球面や双曲面を不変にする群が現れてメデタシメデタシ、のはずなのですが、行列表示からは駆け足だったのでどうだったでしょうか…？
（春木教諭）
つづく
118現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/02(水) 23:37:37.44ID:gNHKAJku >>117
つづき
https://www.kaijo.ed.jp/wp-content/uploads/2016/02/2013summer-6.pdf
平成 25 年度 数学科リレー講座 6 日目 2013.08.24 海城
エルランゲン・プログラム 春木 淳・小澤嘉康
P3
クライン (1849 ? 1925) はリー群で有名なリーと出会い，ともに幾何学に初心があったこともあり，意気投合しました。
2 人はガロア理論を解読し終えたばかりのジョルダンの影響を受け，ガロアが思いもよらなかったであろう幾何学の分野へ群論を拡張させました。
1872年，クラインは23歳でエルランゲン大学の教授に招聘され，その就任講演で，幾何学的性質とは変換群 G の作用で不変に保たれる性質という考え方を示しました。
これは後にエルランゲン・プログラムと呼ばれ，「幾何学とは何か」というある種哲学的な問いに対する一つの答えを与えたものです。
このように，群とその群が作用する空間を組にして幾何学的対象として特徴づけたものをクライン幾何学といいます。
このエルランゲン・プログラムにより，その当時存在したいろいろな幾何学のほとんどは，射影幾何学に対してある種の制限をかけたものとしてとらえることができます。そういった意味で，射影幾何学は当時では万能の幾何学でした。
P28
5 最後に
すべての幾何がクラインの幾何の考え方によって統一されたかのように思われました。
しかし，リーマンが 1854 年に提唱した多様体上の幾何学（リーマン幾何学，微分幾何学）において，
一般に n 次元リーマン多様体上に作用し，かつ計量を不変に保つような変換群は存在しません。
よって，クライン幾何の枠の中には入らないものでした。
カルタンはクライン幾何を発展させて接続の理論を考えだし，その思想を多様体上の幾何学の中に取り込みました。
そして，この多様体上の幾何学はその後発展をし，アインシュタインの一般相対性理論に大きな影響を及ぼしています。
(引用終り)
つづく
つづき
https://www.kaijo.ed.jp/wp-content/uploads/2016/02/2013summer-6.pdf
平成 25 年度 数学科リレー講座 6 日目 2013.08.24 海城
エルランゲン・プログラム 春木 淳・小澤嘉康
P3
クライン (1849 ? 1925) はリー群で有名なリーと出会い，ともに幾何学に初心があったこともあり，意気投合しました。
2 人はガロア理論を解読し終えたばかりのジョルダンの影響を受け，ガロアが思いもよらなかったであろう幾何学の分野へ群論を拡張させました。
1872年，クラインは23歳でエルランゲン大学の教授に招聘され，その就任講演で，幾何学的性質とは変換群 G の作用で不変に保たれる性質という考え方を示しました。
これは後にエルランゲン・プログラムと呼ばれ，「幾何学とは何か」というある種哲学的な問いに対する一つの答えを与えたものです。
このように，群とその群が作用する空間を組にして幾何学的対象として特徴づけたものをクライン幾何学といいます。
このエルランゲン・プログラムにより，その当時存在したいろいろな幾何学のほとんどは，射影幾何学に対してある種の制限をかけたものとしてとらえることができます。そういった意味で，射影幾何学は当時では万能の幾何学でした。
P28
5 最後に
すべての幾何がクラインの幾何の考え方によって統一されたかのように思われました。
しかし，リーマンが 1854 年に提唱した多様体上の幾何学（リーマン幾何学，微分幾何学）において，
一般に n 次元リーマン多様体上に作用し，かつ計量を不変に保つような変換群は存在しません。
よって，クライン幾何の枠の中には入らないものでした。
カルタンはクライン幾何を発展させて接続の理論を考えだし，その思想を多様体上の幾何学の中に取り込みました。
そして，この多様体上の幾何学はその後発展をし，アインシュタインの一般相対性理論に大きな影響を及ぼしています。
(引用終り)
つづく
119現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/02(水) 23:38:16.86ID:gNHKAJku >>118
つづき
２）”カルタンとワイルは，レヴィ・チヴィタが考案した接続の考え方を用いて，エルランゲン・プログラムとリーマン幾何学をより高い見地から統一しました．”
https://www.mathematics-pdf.com/column/noneuclidean.html
非ユークリッド幾何学について よしいず 2003-2011
(抜粋)
エルランゲン・プログラム
１８７２年，クラインは，空間とその空間における変換からなる群を与えたとき，その群に属するすべての変換によって不変なものとして，これまでの多くの幾何学が特徴づけられることを指摘しました．この群論によって幾何学を統合するという考え方はエルランゲン・プログラムと呼ばれています．例えばユークリッド幾何学は，距離が与えられた平面と長さを変えない変換からなる群が与えられたものと考えることができます．一般に，さまざまな空間や変換群を与えることにより数多くの幾何学が得られます．
しかし，エルランゲン・プログラムは万能ではなく，リーマン幾何学はその例外であることが知られています．その後，カルタンとワイルは，レヴィ・チヴィタが考案した接続の考え方を用いて，エルランゲン・プログラムとリーマン幾何学をより高い見地から統一しました．
関連書籍
小林昭七（著）： ユークリッド幾何から現代幾何へ，日本評論社，1990
(引用終り)
３）接続 (幾何学)：”カルタンはクラインのエルランゲン・プログラムの局所化を試みていたのである。
1920年代にカルタンは、微分形式を用いた記述によって、現在カルタン接続（英語版）と呼ばれるものを発見していった[7]。
カルタンのこの仕事により、リーマン幾何学だけでなく、共形幾何学（英語版）、射影幾何学などのさまざまな幾何学を研究するための基礎が築かれた。”
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8E%A5%E7%B6%9A_(%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6)
接続 (幾何学)
つづく
つづき
２）”カルタンとワイルは，レヴィ・チヴィタが考案した接続の考え方を用いて，エルランゲン・プログラムとリーマン幾何学をより高い見地から統一しました．”
https://www.mathematics-pdf.com/column/noneuclidean.html
非ユークリッド幾何学について よしいず 2003-2011
(抜粋)
エルランゲン・プログラム
１８７２年，クラインは，空間とその空間における変換からなる群を与えたとき，その群に属するすべての変換によって不変なものとして，これまでの多くの幾何学が特徴づけられることを指摘しました．この群論によって幾何学を統合するという考え方はエルランゲン・プログラムと呼ばれています．例えばユークリッド幾何学は，距離が与えられた平面と長さを変えない変換からなる群が与えられたものと考えることができます．一般に，さまざまな空間や変換群を与えることにより数多くの幾何学が得られます．
しかし，エルランゲン・プログラムは万能ではなく，リーマン幾何学はその例外であることが知られています．その後，カルタンとワイルは，レヴィ・チヴィタが考案した接続の考え方を用いて，エルランゲン・プログラムとリーマン幾何学をより高い見地から統一しました．
関連書籍
小林昭七（著）： ユークリッド幾何から現代幾何へ，日本評論社，1990
(引用終り)
３）接続 (幾何学)：”カルタンはクラインのエルランゲン・プログラムの局所化を試みていたのである。
1920年代にカルタンは、微分形式を用いた記述によって、現在カルタン接続（英語版）と呼ばれるものを発見していった[7]。
カルタンのこの仕事により、リーマン幾何学だけでなく、共形幾何学（英語版）、射影幾何学などのさまざまな幾何学を研究するための基礎が築かれた。”
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8E%A5%E7%B6%9A_(%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6)
接続 (幾何学)
つづく
120現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/02(水) 23:39:18.25ID:gNHKAJku >>119
つづき
接続（せつぞく、英: connection）の考え方により、曲線や曲線の族にそって平行で整合性を持つデータの移動の考え方を詳しく示すことができる。 現代の幾何学には多くの種類の接続の考え方があり、移動したいデータが何であるかに依存する。例えば、アフィン接続は接続の最も基本的なタイプであるが、この接続はある曲線に沿ってある点から別な点へ多様体の接ベクトルを移動することを意味する。アフィン接続は、典型的には共変な微分形式として与えられ、ベクトル場の方向微分、つまり与えられた方向へのベクトル場の無限小移動をとることを意味する。
現代の幾何学では接続は非常に重要である。大きな理由は、接続によりある点での局所幾何学と別な点での局所幾何学を比較することが可能となるからである。微分幾何学は、接続の考え方のいくつかの変形を持っている。大きなグループ分けをすると 2つのグループがあり、局所の理論と無限小の理論である。
接続の歴史
接続は、歴史的にはまずリーマン幾何学において見出された。接続の概念のはじまりをどこに置くかについては諸説あるが、クリストッフェルの研究をその淵源とする見方がある[注釈 1]。クリストッフェルは1869年の論文で、座標変換の導関数が満たす関係式の研究を通じ、現在クリストッフェル記号とよばれる量を発見した[3]。これを用いて、リッチはその学生であるレヴィ＝チヴィタとともに、彼らが絶対微分学（英語版）とよんだ、共変微分を用いる今でいうテンソル解析の計算の手法をつくりあげた[4]。
レヴィ＝チヴィタはまた、1916年に、リーマン幾何学における接ベクトルの平行移動の概念を発見し、これが共変微分によって記述されることをみつけた[5]（レヴィ＝チヴィタ接続の名前はこのことによる）。1918年にワイルはそれを一般化して、アフィン接続の概念に到達した[6][注釈 2]。ここで「接続」にあたる語（独: Zusammenhang）がはじめて使用された[要出典]。
つづく
つづき
接続（せつぞく、英: connection）の考え方により、曲線や曲線の族にそって平行で整合性を持つデータの移動の考え方を詳しく示すことができる。 現代の幾何学には多くの種類の接続の考え方があり、移動したいデータが何であるかに依存する。例えば、アフィン接続は接続の最も基本的なタイプであるが、この接続はある曲線に沿ってある点から別な点へ多様体の接ベクトルを移動することを意味する。アフィン接続は、典型的には共変な微分形式として与えられ、ベクトル場の方向微分、つまり与えられた方向へのベクトル場の無限小移動をとることを意味する。
現代の幾何学では接続は非常に重要である。大きな理由は、接続によりある点での局所幾何学と別な点での局所幾何学を比較することが可能となるからである。微分幾何学は、接続の考え方のいくつかの変形を持っている。大きなグループ分けをすると 2つのグループがあり、局所の理論と無限小の理論である。
接続の歴史
接続は、歴史的にはまずリーマン幾何学において見出された。接続の概念のはじまりをどこに置くかについては諸説あるが、クリストッフェルの研究をその淵源とする見方がある[注釈 1]。クリストッフェルは1869年の論文で、座標変換の導関数が満たす関係式の研究を通じ、現在クリストッフェル記号とよばれる量を発見した[3]。これを用いて、リッチはその学生であるレヴィ＝チヴィタとともに、彼らが絶対微分学（英語版）とよんだ、共変微分を用いる今でいうテンソル解析の計算の手法をつくりあげた[4]。
レヴィ＝チヴィタはまた、1916年に、リーマン幾何学における接ベクトルの平行移動の概念を発見し、これが共変微分によって記述されることをみつけた[5]（レヴィ＝チヴィタ接続の名前はこのことによる）。1918年にワイルはそれを一般化して、アフィン接続の概念に到達した[6][注釈 2]。ここで「接続」にあたる語（独: Zusammenhang）がはじめて使用された[要出典]。
つづく
121現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/02(水) 23:39:51.60ID:gNHKAJku >>120
つづき
それからすぐに、エリ・カルタンによって、さらなる一般化が行われた。
カルタンはクラインのエルランゲン・プログラムの局所化を試みていたのである。
1920年代にカルタンは、微分形式を用いた記述によって、現在カルタン接続（英語版）と呼ばれるものを発見していった[7]。カルタンのこの仕事により、リーマン幾何学だけでなく、共形幾何学（英語版）、射影幾何学などのさまざまな幾何学を研究するための基礎が築かれた。
４）幾何学とは？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6
幾何学
単に幾何学と言うと、ユークリッド幾何学のような具体的な平面や空間の図形を扱う幾何学をさすことが多く、一般にも馴染みが深いが[3]、対象や方法、公理系などが異なる多くの種類の幾何学が存在し[1]、現代においては微分幾何学や代数幾何学、位相幾何学などの高度に抽象的な理論に発達・分化している[2][3]。
現代の幾何学
クラインは幾何学に群論を応用することによって、空間Sの変換群Gによって、変換で不変な性質を研究する幾何学を提唱した。これをエルランゲン・プログラム[22]というが、この手法で運動群がユークリッド幾何学を定めるように、射影幾何学、アフィン幾何学、共形幾何学を統一化することができる[6]。
更に19世紀末にはポアンカレによって、連続的な変化により不変な性質を研究する位相幾何学が開拓された[6]。
代数曲線・曲面や代数多様体が起源である代数幾何学[6]は高度に発達し、日本でもフィールズ賞受賞者も多く盛んに研究されている。
またミンコフスキーによる凸体の研究は数論幾何学の道を開いた[6]。
つづく
つづき
それからすぐに、エリ・カルタンによって、さらなる一般化が行われた。
カルタンはクラインのエルランゲン・プログラムの局所化を試みていたのである。
1920年代にカルタンは、微分形式を用いた記述によって、現在カルタン接続（英語版）と呼ばれるものを発見していった[7]。カルタンのこの仕事により、リーマン幾何学だけでなく、共形幾何学（英語版）、射影幾何学などのさまざまな幾何学を研究するための基礎が築かれた。
４）幾何学とは？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6
幾何学
単に幾何学と言うと、ユークリッド幾何学のような具体的な平面や空間の図形を扱う幾何学をさすことが多く、一般にも馴染みが深いが[3]、対象や方法、公理系などが異なる多くの種類の幾何学が存在し[1]、現代においては微分幾何学や代数幾何学、位相幾何学などの高度に抽象的な理論に発達・分化している[2][3]。
現代の幾何学
クラインは幾何学に群論を応用することによって、空間Sの変換群Gによって、変換で不変な性質を研究する幾何学を提唱した。これをエルランゲン・プログラム[22]というが、この手法で運動群がユークリッド幾何学を定めるように、射影幾何学、アフィン幾何学、共形幾何学を統一化することができる[6]。
更に19世紀末にはポアンカレによって、連続的な変化により不変な性質を研究する位相幾何学が開拓された[6]。
代数曲線・曲面や代数多様体が起源である代数幾何学[6]は高度に発達し、日本でもフィールズ賞受賞者も多く盛んに研究されている。
またミンコフスキーによる凸体の研究は数論幾何学の道を開いた[6]。
つづく
122現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/02(水) 23:40:46.44ID:gNHKAJku >>121
つづき
20世紀前半には多様体は数学的に厳密に定式化され、ワイル、E・カルタンらにより多様体上の幾何学や現代微分幾何学が盛んに研究された[6]。リーによって導入されたリー群によって、これらの様々な幾何学を不変にする変換群が与えられたが、カルタンはリー群を応用して接続の概念を導入し接続幾何学を完成させ[3]、これらの幾何学を統一化することに成功した[6]。これはリーマンによる多様体と、クラインによる変換群の考えを統一化したとも理解できる[6]。これは現代では素粒子物理学などの物理学の諸分野でも常識となっている。
現代数学と幾何学
現代数学では幾何学は代数学や解析学などの数学全般に広範囲に浸透しているため、これらと明確に区別して幾何学とはなにかということを論ずるのは難しいが、しかしながら図形や空間の直感的把握やそのような思考法は先端分野の研究においても重要性を失っていないといえる[6]。
５）Cartan ”KLEIN-CARTAN プログラム”（エルランゲンの発展形）
http://www.nara-wu.ac.jp/omi/oka_symposium/14.html
第14回岡シンポジウム（2015.12.05-06）
http://www.nara-wu.ac.jp/omi/oka_symposium/14/morimoto.pdf
巾零幾何・巾零解析の展開-幾何と微分方程式に対するKLEIN-CARTAN プログラム-森本 徹 2015
P2
Espace generalise.
一般相対性理論の波を受けて 1922年 Cartanは espace generalise の考えを発表し幾何の新しい枠組を提唱した (17)
今日 Cartan 接続を備えた空間あるいは Cartan 幾何と呼ばれるものである.その枠組は Klein 幾何を含むと同時に,それまで Klein 幾何の枠外に孤立していた Riemann 幾何をもその枠組に取り入れ,さらにユークリッド幾何の変形が Riemann 幾何であるように,射影幾何や Mobius幾何などの Klein 幾何の変形を自然にその枠組に取りいれるものである.さらにその枠組において Klein 幾何と同様に群が基本的な役割を演じるのである. Klein を遥かに超えた vaste synthese を達成したとCartan は誇らしげに述べている(81).
(引用終り)
つづく
つづき
20世紀前半には多様体は数学的に厳密に定式化され、ワイル、E・カルタンらにより多様体上の幾何学や現代微分幾何学が盛んに研究された[6]。リーによって導入されたリー群によって、これらの様々な幾何学を不変にする変換群が与えられたが、カルタンはリー群を応用して接続の概念を導入し接続幾何学を完成させ[3]、これらの幾何学を統一化することに成功した[6]。これはリーマンによる多様体と、クラインによる変換群の考えを統一化したとも理解できる[6]。これは現代では素粒子物理学などの物理学の諸分野でも常識となっている。
現代数学と幾何学
現代数学では幾何学は代数学や解析学などの数学全般に広範囲に浸透しているため、これらと明確に区別して幾何学とはなにかということを論ずるのは難しいが、しかしながら図形や空間の直感的把握やそのような思考法は先端分野の研究においても重要性を失っていないといえる[6]。
５）Cartan ”KLEIN-CARTAN プログラム”（エルランゲンの発展形）
http://www.nara-wu.ac.jp/omi/oka_symposium/14.html
第14回岡シンポジウム（2015.12.05-06）
http://www.nara-wu.ac.jp/omi/oka_symposium/14/morimoto.pdf
巾零幾何・巾零解析の展開-幾何と微分方程式に対するKLEIN-CARTAN プログラム-森本 徹 2015
P2
Espace generalise.
一般相対性理論の波を受けて 1922年 Cartanは espace generalise の考えを発表し幾何の新しい枠組を提唱した (17)
今日 Cartan 接続を備えた空間あるいは Cartan 幾何と呼ばれるものである.その枠組は Klein 幾何を含むと同時に,それまで Klein 幾何の枠外に孤立していた Riemann 幾何をもその枠組に取り入れ,さらにユークリッド幾何の変形が Riemann 幾何であるように,射影幾何や Mobius幾何などの Klein 幾何の変形を自然にその枠組に取りいれるものである.さらにその枠組において Klein 幾何と同様に群が基本的な役割を演じるのである. Klein を遥かに超えた vaste synthese を達成したとCartan は誇らしげに述べている(81).
(引用終り)
つづく
123現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/02(水) 23:42:52.05ID:gNHKAJku >>122
つづき
要するに
海城の生徒なら、”クラインの「エルランゲン・プログラム」、「幾何学とは何か」というある種哲学的な問いに対する一つの答えを与えたもの
エルランゲン・プログラムその当時存在したいろいろな幾何学のほとんどは，射影幾何学に対してある種の制限をかけたものとしてとらえることがでる。そういった意味で，射影幾何学は当時では万能の幾何学”
”カルタンはクライン幾何を発展させて接続の理論を考えだし，その思想を多様体上の幾何学の中に取り込みました。”
ってこと、知っているのですｗ（＾＾
エルランゲン・プログラムから、発展して
（幾何学 wikipedia より）
「カルタンはリー群を応用して接続の概念を導入し接続幾何学を完成させ[3]、これらの幾何学を統一化することに成功した[6]。これはリーマンによる多様体と、クラインによる変換群の考えを統一化したとも理解できる[6]。これは現代では素粒子物理学などの物理学の諸分野でも常識となっている。」
「現代数学では幾何学は代数学や解析学などの数学全般に広範囲に浸透しているため、これらと明確に区別して幾何学とはなにかということを論ずるのは難しいが、しかしながら図形や空間の直感的把握やそのような思考法は先端分野の研究においても重要性を失っていないといえる[6]。」
です。
そして”conformal transformation”（＝等角写像 >>85）は、２次元に限らない
だが、奇跡的に 2次元”conformal transformation”は、１変数正則関数論と一致します
ですが、”conformal transformation”の視点は、ある図形、例えば複素平面の円が、”conformal transformation”によって、どういう図形になるのかというところに力点があるのです
１変数正則関数論は、関数自身が研究の対象なのです
両者は、切り口あるいは視点が違うのです！
よって”conformal transformation”（＝等角写像 >>85）は、
幾何学的視点から考えるのが正解なのです
これは 海城の生徒なら、すぐ分かる話です（＾＾
以上
つづき
要するに
海城の生徒なら、”クラインの「エルランゲン・プログラム」、「幾何学とは何か」というある種哲学的な問いに対する一つの答えを与えたもの
エルランゲン・プログラムその当時存在したいろいろな幾何学のほとんどは，射影幾何学に対してある種の制限をかけたものとしてとらえることがでる。そういった意味で，射影幾何学は当時では万能の幾何学”
”カルタンはクライン幾何を発展させて接続の理論を考えだし，その思想を多様体上の幾何学の中に取り込みました。”
ってこと、知っているのですｗ（＾＾
エルランゲン・プログラムから、発展して
（幾何学 wikipedia より）
「カルタンはリー群を応用して接続の概念を導入し接続幾何学を完成させ[3]、これらの幾何学を統一化することに成功した[6]。これはリーマンによる多様体と、クラインによる変換群の考えを統一化したとも理解できる[6]。これは現代では素粒子物理学などの物理学の諸分野でも常識となっている。」
「現代数学では幾何学は代数学や解析学などの数学全般に広範囲に浸透しているため、これらと明確に区別して幾何学とはなにかということを論ずるのは難しいが、しかしながら図形や空間の直感的把握やそのような思考法は先端分野の研究においても重要性を失っていないといえる[6]。」
です。
そして”conformal transformation”（＝等角写像 >>85）は、２次元に限らない
だが、奇跡的に 2次元”conformal transformation”は、１変数正則関数論と一致します
ですが、”conformal transformation”の視点は、ある図形、例えば複素平面の円が、”conformal transformation”によって、どういう図形になるのかというところに力点があるのです
１変数正則関数論は、関数自身が研究の対象なのです
両者は、切り口あるいは視点が違うのです！
よって”conformal transformation”（＝等角写像 >>85）は、
幾何学的視点から考えるのが正解なのです
これは 海城の生徒なら、すぐ分かる話です（＾＾
以上
124１３２人目の素数さん
2020/09/03(木) 06:11:20.88ID:jFhKC8Ah あんた わけもわからずやたらと文章食うと腹壊すよ
まず、等角写像というだけでは射影幾何学の制限にならんよ
メビウス変換のようにリーマン球面上で1対1対応するとか制限をつけないと
（メビウス幾何は１次元複素射影幾何）
次に、君、接続がなんだか理解してる？
君って必ずといっていいほど定義以外の文章ばかりコピペして
肝心の定義は略すよね？逆だよね まっさきに定義を書くよね
なんで定義書かないの？読んでも理解できないの？
だったら君には数学は無理だからきれいさっぱり諦めたら
往生際悪いよ
最後にconformal transformationは普通、共形変換といいますが
2次元の場合、１変数正則関数論と一致します
で、君、なぜそうなるか分かってる？
分かってないよね？君、大学で複素関数論、全然学んでないよね？
あ、そもそも大学行ってないのか
だってεδも分かってないし実数の定義も知らないし
行列のランクも行列式も全然知らなかったもんね
そんな大学生 理工系なら皆無だよね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%B1%E5%BD%A2%E5%A4%89%E6%8F%9B
まず、等角写像というだけでは射影幾何学の制限にならんよ
メビウス変換のようにリーマン球面上で1対1対応するとか制限をつけないと
（メビウス幾何は１次元複素射影幾何）
次に、君、接続がなんだか理解してる？
君って必ずといっていいほど定義以外の文章ばかりコピペして
肝心の定義は略すよね？逆だよね まっさきに定義を書くよね
なんで定義書かないの？読んでも理解できないの？
だったら君には数学は無理だからきれいさっぱり諦めたら
往生際悪いよ
最後にconformal transformationは普通、共形変換といいますが
2次元の場合、１変数正則関数論と一致します
で、君、なぜそうなるか分かってる？
分かってないよね？君、大学で複素関数論、全然学んでないよね？
あ、そもそも大学行ってないのか
だってεδも分かってないし実数の定義も知らないし
行列のランクも行列式も全然知らなかったもんね
そんな大学生 理工系なら皆無だよね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%B1%E5%BD%A2%E5%A4%89%E6%8F%9B
125１３２人目の素数さん
2020/09/03(木) 06:18:59.38ID:jFhKC8Ah それにしても◆yH25M02vWFhP は
・実数の定義も関数の連続性の定義も知らん
・行列式知らん
・微分形式知らん
・複素解析の基本３定理一つも知らん
そんなテイタラクで、やれ接続だド・ラム コホモロジーだ連接層だと
いったってどれ一つとっかかりすら理解できんだろ
なんで基礎から地道に勉強しないの？数学嫌いなの？
嫌いでもいいよ でも、それなら、数学板に書くなよ いやそもそも読むなよ
おまえみたいなド素人が読んだってちっともわかりゃしないんだから
エクゼクティブはゴルフでも車でも女性との＊＊Xでも好きにやればいいだろ
しかし数学はダメだ 数学はエクゼクティブにはもっとも向かない
・実数の定義も関数の連続性の定義も知らん
・行列式知らん
・微分形式知らん
・複素解析の基本３定理一つも知らん
そんなテイタラクで、やれ接続だド・ラム コホモロジーだ連接層だと
いったってどれ一つとっかかりすら理解できんだろ
なんで基礎から地道に勉強しないの？数学嫌いなの？
嫌いでもいいよ でも、それなら、数学板に書くなよ いやそもそも読むなよ
おまえみたいなド素人が読んだってちっともわかりゃしないんだから
エクゼクティブはゴルフでも車でも女性との＊＊Xでも好きにやればいいだろ
しかし数学はダメだ 数学はエクゼクティブにはもっとも向かない
126現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/03(木) 10:18:34.18ID:k0Z0EEBv >>91
>セールのフィールズ賞の主たる受賞理由は
>「球体のホモトピー群について、特にスペクトル系列の方法を用いて大きな成果をあげた。」
>あんたが球面のホモトピー群の意義を理解できないだけｗ
違うだろ
”Serre spectral sequence”つまり、スペクトル系列に力点がある
実際、そのことは下記en.wikipediaを見れば分かる
なお、Leray spectral sequence、Serre spectral sequence、Grothendieck spectral sequence、この３者の関係は、
Leray spectral sequence en.wikipedia ”5 History and connection to other spectral sequences”
に詳しい
なお、Grothendieck spectral sequence：”the Grothendieck spectral sequence, introduced by Alexander Grothendieck in his Tohoku paper,”
とある
さらに、”Sharpe, Eric (2003). Lectures on D-branes and Sheaves (pages 18?19), arXiv:hep-th/0307245”なんてあるね
”D-branes and Sheaves”ね～！ （＾＾
（参考）
https://en.wikipedia.org/wiki/Serre_spectral_sequence
Serre spectral sequence
In mathematics, the Serre spectral sequence (sometimes Leray?Serre spectral sequence to acknowledge earlier work of Jean Leray in the Leray spectral sequence) is an important tool in algebraic topology. It expresses, in the language of homological algebra, the singular (co)homology of the total space X of a (Serre) fibration in terms of the (co)homology of the base space B and the fiber F. The result is due to Jean-Pierre Serre in his doctoral dissertation.
1 Cohomology spectral sequence
2 Homology spectral sequence
3 Example computations
3.1 Hopf fibration
3.2 Sphere bundle on a complex projective variety
3.3 Basic pathspace fibration
3.4 Cohomology ring of complex projective space
3.5 Fourth homotopy group of the three-sphere
つづく
>セールのフィールズ賞の主たる受賞理由は
>「球体のホモトピー群について、特にスペクトル系列の方法を用いて大きな成果をあげた。」
>あんたが球面のホモトピー群の意義を理解できないだけｗ
違うだろ
”Serre spectral sequence”つまり、スペクトル系列に力点がある
実際、そのことは下記en.wikipediaを見れば分かる
なお、Leray spectral sequence、Serre spectral sequence、Grothendieck spectral sequence、この３者の関係は、
Leray spectral sequence en.wikipedia ”5 History and connection to other spectral sequences”
に詳しい
なお、Grothendieck spectral sequence：”the Grothendieck spectral sequence, introduced by Alexander Grothendieck in his Tohoku paper,”
とある
さらに、”Sharpe, Eric (2003). Lectures on D-branes and Sheaves (pages 18?19), arXiv:hep-th/0307245”なんてあるね
”D-branes and Sheaves”ね～！ （＾＾
（参考）
https://en.wikipedia.org/wiki/Serre_spectral_sequence
Serre spectral sequence
In mathematics, the Serre spectral sequence (sometimes Leray?Serre spectral sequence to acknowledge earlier work of Jean Leray in the Leray spectral sequence) is an important tool in algebraic topology. It expresses, in the language of homological algebra, the singular (co)homology of the total space X of a (Serre) fibration in terms of the (co)homology of the base space B and the fiber F. The result is due to Jean-Pierre Serre in his doctoral dissertation.
1 Cohomology spectral sequence
2 Homology spectral sequence
3 Example computations
3.1 Hopf fibration
3.2 Sphere bundle on a complex projective variety
3.3 Basic pathspace fibration
3.4 Cohomology ring of complex projective space
3.5 Fourth homotopy group of the three-sphere
つづく
127現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/03(木) 10:20:00.81ID:k0Z0EEBv >>126
つづき
References
The Serre spectral sequence is covered in most textbooks on algebraic topology, e.g.
・Allen Hatcher, The Serre spectral sequence
・Edwin Spanier, Algebraic topology, Springer
Also
・James Davis, Paul Kirk, Lecture notes in algebraic topology gives many nice applications of the Serre spectral sequence.
https://en.wikipedia.org/wiki/Leray_spectral_sequence
Leray spectral sequence
5 History and connection to other spectral sequences
History and connection to other spectral sequences
At the time of Leray's work, neither of the two concepts involved (spectral sequence, sheaf cohomology) had reached anything like a definitive state. Therefore it is rarely the case that Leray's result is quoted in its original form. After much work, in the seminar of Henri Cartan in particular, the modern statement was obtained, though not the general Grothendieck spectral sequence.
Earlier (1948/9) the implications for fiber bundles were extracted in a form formally identical to that of the Serre spectral sequence, which makes no use of sheaves. This treatment, however, applied to Alexander?Spanier cohomology with compact supports, as applied to proper maps of locally compact Hausdorff spaces, as the derivation of the spectral sequence required a fine sheaf of real differential graded algebras on the total space, which was obtained by pulling back the de Rham complex along an embedding into a sphere. Serre, who needed a spectral sequence in homology that applied to path space fibrations, whose total spaces are almost never locally compact, thus was unable to use the original Leray spectral sequence and so derived a related spectral sequence whose cohomological variant agrees, for a compact fiber bundle on a well-behaved space with the sequence above.
つづく
つづき
References
The Serre spectral sequence is covered in most textbooks on algebraic topology, e.g.
・Allen Hatcher, The Serre spectral sequence
・Edwin Spanier, Algebraic topology, Springer
Also
・James Davis, Paul Kirk, Lecture notes in algebraic topology gives many nice applications of the Serre spectral sequence.
https://en.wikipedia.org/wiki/Leray_spectral_sequence
Leray spectral sequence
5 History and connection to other spectral sequences
History and connection to other spectral sequences
At the time of Leray's work, neither of the two concepts involved (spectral sequence, sheaf cohomology) had reached anything like a definitive state. Therefore it is rarely the case that Leray's result is quoted in its original form. After much work, in the seminar of Henri Cartan in particular, the modern statement was obtained, though not the general Grothendieck spectral sequence.
Earlier (1948/9) the implications for fiber bundles were extracted in a form formally identical to that of the Serre spectral sequence, which makes no use of sheaves. This treatment, however, applied to Alexander?Spanier cohomology with compact supports, as applied to proper maps of locally compact Hausdorff spaces, as the derivation of the spectral sequence required a fine sheaf of real differential graded algebras on the total space, which was obtained by pulling back the de Rham complex along an embedding into a sphere. Serre, who needed a spectral sequence in homology that applied to path space fibrations, whose total spaces are almost never locally compact, thus was unable to use the original Leray spectral sequence and so derived a related spectral sequence whose cohomological variant agrees, for a compact fiber bundle on a well-behaved space with the sequence above.
つづく
128現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/03(木) 10:20:24.02ID:k0Z0EEBv >>127
つづき
In the formulation achieved by Alexander Grothendieck by about 1957, the Leray spectral sequence is the Grothendieck spectral sequence for the composition of two derived functors.
https://en.wikipedia.org/wiki/Grothendieck_spectral_sequence
Grothendieck spectral sequence
In mathematics, in the field of homological algebra, the Grothendieck spectral sequence, introduced by Alexander Grothendieck in his Tohoku paper, is a spectral sequence that computes the derived functors of the composition of two functors G・F, from knowledge of the derived functors of F and G.
Contents
1 Examples
1.1 The Leray spectral sequence
1.2 Local-to-global Ext spectral sequence
2 Derivation
3 Notes
4 References
4.1 Computational Examples
Computational Examples
https://arxiv.org/abs/hep-th/0307245
Sharpe, Eric (2003). Lectures on D-branes and Sheaves (pages 18?19), arXiv:hep-th/0307245
(引用終り)
以上
つづき
In the formulation achieved by Alexander Grothendieck by about 1957, the Leray spectral sequence is the Grothendieck spectral sequence for the composition of two derived functors.
https://en.wikipedia.org/wiki/Grothendieck_spectral_sequence
Grothendieck spectral sequence
In mathematics, in the field of homological algebra, the Grothendieck spectral sequence, introduced by Alexander Grothendieck in his Tohoku paper, is a spectral sequence that computes the derived functors of the composition of two functors G・F, from knowledge of the derived functors of F and G.
Contents
1 Examples
1.1 The Leray spectral sequence
1.2 Local-to-global Ext spectral sequence
2 Derivation
3 Notes
4 References
4.1 Computational Examples
Computational Examples
https://arxiv.org/abs/hep-th/0307245
Sharpe, Eric (2003). Lectures on D-branes and Sheaves (pages 18?19), arXiv:hep-th/0307245
(引用終り)
以上
129現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/03(木) 17:21:40.39ID:k0Z0EEBv >>126
>違うだろ
>”Serre spectral sequence”つまり、スペクトル系列に力点がある
補足
Jean-Pierre Serre
(余談：”Hiroshi Toda”？)
https://en.wikipedia.org/wiki/Homotopy_groups_of_spheres
Homotopy groups of spheres
In the mathematical field of algebraic topology, the homotopy groups of spheres describe how spheres of various dimensions can wrap around each other. They are examples of topological invariants, which reflect, in algebraic terms, the structure of spheres viewed as topological spaces, forgetting about their precise geometry. Unlike homology groups, which are also topological invariants, the homotopy groups are surprisingly complex and difficult to compute.
Most modern computations use spectral sequences, a technique first applied to homotopy groups of spheres by Jean-Pierre Serre. Several important patterns have been established, yet much remains unknown and unexplained.
History
Jean-Pierre Serre used spectral sequences to show that most of these groups are finite, the exceptions being πn(Sn) and π4n?1(S2n).
Others who worked in this area included Jose Adem, Hiroshi Toda, Frank Adams and J. Peter May. The stable homotopy groups πn+k(Sn) are known for k up to 64, and, as of 2007, unknown for larger k (Hatcher 2002, Stable homotopy groups, pp. 385?393).
つづく
>違うだろ
>”Serre spectral sequence”つまり、スペクトル系列に力点がある
補足
Jean-Pierre Serre
(余談：”Hiroshi Toda”？)
https://en.wikipedia.org/wiki/Homotopy_groups_of_spheres
Homotopy groups of spheres
In the mathematical field of algebraic topology, the homotopy groups of spheres describe how spheres of various dimensions can wrap around each other. They are examples of topological invariants, which reflect, in algebraic terms, the structure of spheres viewed as topological spaces, forgetting about their precise geometry. Unlike homology groups, which are also topological invariants, the homotopy groups are surprisingly complex and difficult to compute.
Most modern computations use spectral sequences, a technique first applied to homotopy groups of spheres by Jean-Pierre Serre. Several important patterns have been established, yet much remains unknown and unexplained.
History
Jean-Pierre Serre used spectral sequences to show that most of these groups are finite, the exceptions being πn(Sn) and π4n?1(S2n).
Others who worked in this area included Jose Adem, Hiroshi Toda, Frank Adams and J. Peter May. The stable homotopy groups πn+k(Sn) are known for k up to 64, and, as of 2007, unknown for larger k (Hatcher 2002, Stable homotopy groups, pp. 385?393).
つづく
130現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/03(木) 17:22:26.78ID:k0Z0EEBv >>129
つづき
Framed cobordism
Until the advent of more sophisticated algebraic methods in the early 1950s (Serre) the Pontrjagin isomorphism was the main tool for computing the homotopy groups of spheres.
Homotopy groups of spheres are closely related to cobordism classes of manifolds. In 1938 Lev Pontryagin established an isomorphism between the homotopy group πn+k(Sn) and the group Ωframed
k(Sn+k) of cobordism classes of differentiable k-submanifolds of Sn+k which are "framed", i.e. have a trivialized normal bundle.
Until the advent of more sophisticated algebraic methods in the early 1950s (Serre) the Pontrjagin isomorphism was the main tool for computing the homotopy groups of spheres.
In 1954 the Pontrjagin isomorphism was generalized by Rene Thom to an isomorphism expressing other groups of cobordism classes (e.g. of all manifolds) as homotopy groups of spaces and spectra. In more recent work the argument is usually reversed, with cobordism groups computed in terms of homotopy groups (Scorpan 2005).
Finiteness and torsion
In 1951, Jean-Pierre Serre showed that homotopy groups of spheres are all finite except for those of the form πn(Sn) or π4n?1(S2n) (for positive n), when the group is the product of the infinite cyclic group with a finite abelian group (Serre 1951). In particular the homotopy groups are determined by their p-components for all primes p. The 2-components are hardest to calculate, and in several ways behave differently from the p-components for odd primes.
In the same paper, Serre found the first place that p-torsion occurs in the homotopy groups of n dimensional spheres, by showing that πn+k(Sn) has no p-torsion if k < 2p ? 3, and has a unique subgroup of order p if n ? 3 and k = 2p ? 3.
つづく
つづき
Framed cobordism
Until the advent of more sophisticated algebraic methods in the early 1950s (Serre) the Pontrjagin isomorphism was the main tool for computing the homotopy groups of spheres.
Homotopy groups of spheres are closely related to cobordism classes of manifolds. In 1938 Lev Pontryagin established an isomorphism between the homotopy group πn+k(Sn) and the group Ωframed
k(Sn+k) of cobordism classes of differentiable k-submanifolds of Sn+k which are "framed", i.e. have a trivialized normal bundle.
Until the advent of more sophisticated algebraic methods in the early 1950s (Serre) the Pontrjagin isomorphism was the main tool for computing the homotopy groups of spheres.
In 1954 the Pontrjagin isomorphism was generalized by Rene Thom to an isomorphism expressing other groups of cobordism classes (e.g. of all manifolds) as homotopy groups of spaces and spectra. In more recent work the argument is usually reversed, with cobordism groups computed in terms of homotopy groups (Scorpan 2005).
Finiteness and torsion
In 1951, Jean-Pierre Serre showed that homotopy groups of spheres are all finite except for those of the form πn(Sn) or π4n?1(S2n) (for positive n), when the group is the product of the infinite cyclic group with a finite abelian group (Serre 1951). In particular the homotopy groups are determined by their p-components for all primes p. The 2-components are hardest to calculate, and in several ways behave differently from the p-components for odd primes.
In the same paper, Serre found the first place that p-torsion occurs in the homotopy groups of n dimensional spheres, by showing that πn+k(Sn) has no p-torsion if k < 2p ? 3, and has a unique subgroup of order p if n ? 3 and k = 2p ? 3.
つづく
131現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/03(木) 17:24:01.93ID:k0Z0EEBv >>130
つづき
Furthermore, the stable range can be extended in this case: if n is odd then the double suspension from πk(Sn) to πk+2(Sn+2) is an isomorphism of p-components if k < p(n + 1) ? 3, and an epimorphism if equality holds (Serre 1952). The p-torsion of the intermediate group πk+1(Sn+1) can be strictly larger.
Computational methods
・"The method of killing homotopy groups", due to Cartan and Serre (1952a, 1952b) involves repeatedly using the Hurewicz theorem to compute the first non-trivial homotopy group and then killing (eliminating) it with a fibration involving an Eilenberg?MacLane space.
・The Serre spectral sequence was used by Serre to prove some of the results mentioned previously. He used the fact that taking the loop space of a well behaved space shifts all the homotopy groups down by 1, so the nth homotopy group of a space X is the first homotopy group of its (n?1)-fold repeated loop space, which is equal to the first homology group of the (n?1)-fold loop space by the Hurewicz theorem. This reduces the calculation of homotopy groups of X to the calculation of homology groups of its repeated loop spaces. The Serre spectral sequence relates the homology of a space to that of its loop space, so can sometimes be used to calculate the homology of loop spaces. The Serre spectral sequence tends to have many non-zero differentials, which are hard to control, and too many ambiguities appear for higher homotopy groups. Consequently, it has been superseded by more powerful spectral sequences with fewer non-zero differentials, which give more information.
（日本語ページ無いが、英文ページがある（＾＾；）
https://en.wikipedia.org/wiki/Hiroshi_Toda
Hiroshi Toda
Hiroshi Toda (戸田 宏, Toda Hiroshi, born 1928) is a Japanese mathematician, who specializes in stable and unstable homotopy theory.
つづく
つづき
Furthermore, the stable range can be extended in this case: if n is odd then the double suspension from πk(Sn) to πk+2(Sn+2) is an isomorphism of p-components if k < p(n + 1) ? 3, and an epimorphism if equality holds (Serre 1952). The p-torsion of the intermediate group πk+1(Sn+1) can be strictly larger.
Computational methods
・"The method of killing homotopy groups", due to Cartan and Serre (1952a, 1952b) involves repeatedly using the Hurewicz theorem to compute the first non-trivial homotopy group and then killing (eliminating) it with a fibration involving an Eilenberg?MacLane space.
・The Serre spectral sequence was used by Serre to prove some of the results mentioned previously. He used the fact that taking the loop space of a well behaved space shifts all the homotopy groups down by 1, so the nth homotopy group of a space X is the first homotopy group of its (n?1)-fold repeated loop space, which is equal to the first homology group of the (n?1)-fold loop space by the Hurewicz theorem. This reduces the calculation of homotopy groups of X to the calculation of homology groups of its repeated loop spaces. The Serre spectral sequence relates the homology of a space to that of its loop space, so can sometimes be used to calculate the homology of loop spaces. The Serre spectral sequence tends to have many non-zero differentials, which are hard to control, and too many ambiguities appear for higher homotopy groups. Consequently, it has been superseded by more powerful spectral sequences with fewer non-zero differentials, which give more information.
（日本語ページ無いが、英文ページがある（＾＾；）
https://en.wikipedia.org/wiki/Hiroshi_Toda
Hiroshi Toda
Hiroshi Toda (戸田 宏, Toda Hiroshi, born 1928) is a Japanese mathematician, who specializes in stable and unstable homotopy theory.
つづく
132現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/03(木) 17:25:03.24ID:k0Z0EEBv >>131
つづき
He started publishing in 1952. Many of his early papers are concerned with the study of Whitehead products and their behaviour under suspension and more generally with the (unstable) homotopy groups of spheres. In a 1957 paper he showed the first non-existence result for the Hopf invariant 1 problem. This period of his work culminated in his book Composition methods in homotopy groups of spheres (1962). Here he uses as important tools the Toda bracket (which he calls the toric construction) and the Toda fibration, among others, to compute the first 20 nontrivial homotopy groups for each sphere.
（Ishikawa, Goo は、北大か。http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/ 幾何学者石川剛郎の公式ホームページへようこそ！ ）
https://mathgenealogy.org/id.php?id=192399
Hiroshi Toda
Name School Year Descendants
Ishikawa, Goo 1985 7
https://en.wikipedia.org/wiki/Cobordism
Cobordism
In mathematics, cobordism is a fundamental equivalence relation on the class of compact manifolds of the same dimension, set up using the concept of the boundary (French bord, giving cobordism) of a manifold. Two manifolds of the same dimension are cobordant if their disjoint union is the boundary of a compact manifold one dimension higher.
The boundary of an (n + 1)-dimensional manifold W is an n-dimensional manifold ∂W that is closed, i.e., with empty boundary. In general, a closed manifold need not be a boundary: cobordism theory is the study of the difference between all closed manifolds and those that are boundaries. The theory was originally developed by Rene Thom for smooth manifolds (i.e., differentiable), but there are now also versions for piecewise linear and topological manifolds.
つづく
つづき
He started publishing in 1952. Many of his early papers are concerned with the study of Whitehead products and their behaviour under suspension and more generally with the (unstable) homotopy groups of spheres. In a 1957 paper he showed the first non-existence result for the Hopf invariant 1 problem. This period of his work culminated in his book Composition methods in homotopy groups of spheres (1962). Here he uses as important tools the Toda bracket (which he calls the toric construction) and the Toda fibration, among others, to compute the first 20 nontrivial homotopy groups for each sphere.
（Ishikawa, Goo は、北大か。http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/ 幾何学者石川剛郎の公式ホームページへようこそ！ ）
https://mathgenealogy.org/id.php?id=192399
Hiroshi Toda
Name School Year Descendants
Ishikawa, Goo 1985 7
https://en.wikipedia.org/wiki/Cobordism
Cobordism
In mathematics, cobordism is a fundamental equivalence relation on the class of compact manifolds of the same dimension, set up using the concept of the boundary (French bord, giving cobordism) of a manifold. Two manifolds of the same dimension are cobordant if their disjoint union is the boundary of a compact manifold one dimension higher.
The boundary of an (n + 1)-dimensional manifold W is an n-dimensional manifold ∂W that is closed, i.e., with empty boundary. In general, a closed manifold need not be a boundary: cobordism theory is the study of the difference between all closed manifolds and those that are boundaries. The theory was originally developed by Rene Thom for smooth manifolds (i.e., differentiable), but there are now also versions for piecewise linear and topological manifolds.
つづく
133現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/03(木) 17:25:33.48ID:k0Z0EEBv >>132
つづき
4 History
History
Cobordism had its roots in the (failed) attempt by Henri Poincare in 1895 to define homology purely in terms of manifolds (Dieudonne 1989, p. 289). Poincare simultaneously defined both homology and cobordism, which are not the same, in general. See Cobordism as an extraordinary cohomology theory for the relationship between bordism and homology.
Bordism was explicitly introduced by Lev Pontryagin in geometric work on manifolds. It came to prominence when Rene Thom showed that cobordism groups could be computed by means of homotopy theory, via the Thom complex construction. Cobordism theory became part of the apparatus of extraordinary cohomology theory, alongside K-theory. It performed an important role, historically speaking, in developments in topology in the 1950s and early 1960s, in particular in the Hirzebruch?Riemann?Roch theorem, and in the first proofs of the Atiyah?Singer index theorem.
In the 1980s the category with compact manifolds as objects and cobordisms between these as morphisms played a basic role in the Atiyah?Segal axioms for topological quantum field theory, which is an important part of quantum topology.
つづく
つづき
4 History
History
Cobordism had its roots in the (failed) attempt by Henri Poincare in 1895 to define homology purely in terms of manifolds (Dieudonne 1989, p. 289). Poincare simultaneously defined both homology and cobordism, which are not the same, in general. See Cobordism as an extraordinary cohomology theory for the relationship between bordism and homology.
Bordism was explicitly introduced by Lev Pontryagin in geometric work on manifolds. It came to prominence when Rene Thom showed that cobordism groups could be computed by means of homotopy theory, via the Thom complex construction. Cobordism theory became part of the apparatus of extraordinary cohomology theory, alongside K-theory. It performed an important role, historically speaking, in developments in topology in the 1950s and early 1960s, in particular in the Hirzebruch?Riemann?Roch theorem, and in the first proofs of the Atiyah?Singer index theorem.
In the 1980s the category with compact manifolds as objects and cobordisms between these as morphisms played a basic role in the Atiyah?Segal axioms for topological quantum field theory, which is an important part of quantum topology.
つづく
134現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/03(木) 17:26:12.38ID:k0Z0EEBv >>133
つづき
Categorical aspects
Cobordisms are objects of study in their own right, apart from cobordism classes. Cobordisms form a category whose objects are closed manifolds and whose morphisms are cobordisms. Roughly speaking, composition is given by gluing together cobordisms end-to-end: the composition of (W; M, N) and (W′; N, P) is defined by gluing the right end of the first to the left end of the second, yielding (W′ ∪N W; M, P). A cobordism is a kind of cospan:[3] M → W ← N. The category is a dagger compact category.
A topological quantum field theory is a monoidal functor from a category of cobordisms to a category of vector spaces. That is, it is a functor whose value on a disjoint union of manifolds is equivalent to the tensor product of its values on each of the constituent manifolds.
In low dimensions, the bordism question is relatively trivial, but the category of cobordism is not. For instance, the disk bounding the circle corresponds to a null-ary operation, while the cylinder corresponds to a 1-ary operation and the pair of pants to a binary operation.
つづく
つづき
Categorical aspects
Cobordisms are objects of study in their own right, apart from cobordism classes. Cobordisms form a category whose objects are closed manifolds and whose morphisms are cobordisms. Roughly speaking, composition is given by gluing together cobordisms end-to-end: the composition of (W; M, N) and (W′; N, P) is defined by gluing the right end of the first to the left end of the second, yielding (W′ ∪N W; M, P). A cobordism is a kind of cospan:[3] M → W ← N. The category is a dagger compact category.
A topological quantum field theory is a monoidal functor from a category of cobordisms to a category of vector spaces. That is, it is a functor whose value on a disjoint union of manifolds is equivalent to the tensor product of its values on each of the constituent manifolds.
In low dimensions, the bordism question is relatively trivial, but the category of cobordism is not. For instance, the disk bounding the circle corresponds to a null-ary operation, while the cylinder corresponds to a 1-ary operation and the pair of pants to a binary operation.
つづく
135現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/03(木) 17:26:31.13ID:k0Z0EEBv >>134
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9B%E3%83%A2%E3%83%88%E3%83%94%E3%83%BC%E7%BE%A4
ホモトピー群
ファイブレーションの長完全列
p: E → B をファイバーを F とする基点を保つセール・ファイブレーション（英語版）とする、つまり、CW複体に関してホモトピーリフトの性質（英語版）を持つ写像とする。B は弧状連結であるとする。このときホモトピー群の長完全列
... → πn(F) → πn(E) → πn(B) → πn?1(F) →... → π0(E) → 0
が存在する。ここで π0 に関する写像は π0 が群でないから群準同型ではないが、像は核に等しいという意味で完全である。
例： ホップ・ファイブレーション（英語版）。B を S2 とし E を S3 とする。p をホップ・ファイブレーションとする。ファイバーは S1 である。長完全列
? → πn(S1) → πn(S3) → πn(S2) → πn?1(S1) → ?
と、n ? 2 のとき πn(S1) = 0 であることから、n ? 3 のとき πn(S3) = πn(S2) であることが分かる。とくに、π3(S2) = π3(S3) = Z である。
被覆空間の場合には、ファイバーが離散的なとき、次のことが成り立つ。すべての n > 1 に対して、πn(E) は πn(B) に同型であり、すべての n > 0 に対して πn(E) は πn(B) に単射に埋め込まれ、π1(E) の埋め込みに対応する π1(B) の部分群はファイバーの元たちと全単射に対応する剰余集合を持つ。
つづく
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9B%E3%83%A2%E3%83%88%E3%83%94%E3%83%BC%E7%BE%A4
ホモトピー群
ファイブレーションの長完全列
p: E → B をファイバーを F とする基点を保つセール・ファイブレーション（英語版）とする、つまり、CW複体に関してホモトピーリフトの性質（英語版）を持つ写像とする。B は弧状連結であるとする。このときホモトピー群の長完全列
... → πn(F) → πn(E) → πn(B) → πn?1(F) →... → π0(E) → 0
が存在する。ここで π0 に関する写像は π0 が群でないから群準同型ではないが、像は核に等しいという意味で完全である。
例： ホップ・ファイブレーション（英語版）。B を S2 とし E を S3 とする。p をホップ・ファイブレーションとする。ファイバーは S1 である。長完全列
? → πn(S1) → πn(S3) → πn(S2) → πn?1(S1) → ?
と、n ? 2 のとき πn(S1) = 0 であることから、n ? 3 のとき πn(S3) = πn(S2) であることが分かる。とくに、π3(S2) = π3(S3) = Z である。
被覆空間の場合には、ファイバーが離散的なとき、次のことが成り立つ。すべての n > 1 に対して、πn(E) は πn(B) に同型であり、すべての n > 0 に対して πn(E) は πn(B) に単射に埋め込まれ、π1(E) の埋め込みに対応する π1(B) の部分群はファイバーの元たちと全単射に対応する剰余集合を持つ。
つづく
136現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/03(木) 17:26:53.76ID:k0Z0EEBv >>135
つづき
計算の手法
ホモトピー群の計算は代数トポロジーで学ぶ他のホモトピー不変量のいくつかよりも一般にはるかに難しい。基本群に対するザイフェルト?ファン・カンペンの定理や特異ホモロジーおよびコホモロジーに対する切除定理（英語版）とは異なり、空間をより小さい空間へ分解することによりホモトピー群を計算する単純な方法は知られていない。しかしながら、高次ホモトピー亜群に対するファン・カンペン型の定理に関する1980年代に発展した手法によって、ホモトピー型したがってホモトピー群についての新しい計算ができるようになった。結果については例えば以下にリストされている Ellis と Mikhailov による2008年の論文を参照。
球面のホモトピー群を計算する熱烈な研究にもかかわらず、2次元においてさえ、完全なリストは分かっていない。S2 の4次ホモトピー群の計算でさえ定義から思いつくような技術よりもはるかに進んだものが必要なのである。とくにセールのスペクトル系列（英語版）はまさにこの目的のために構成されたのである。
(引用終り)
以上
つづき
計算の手法
ホモトピー群の計算は代数トポロジーで学ぶ他のホモトピー不変量のいくつかよりも一般にはるかに難しい。基本群に対するザイフェルト?ファン・カンペンの定理や特異ホモロジーおよびコホモロジーに対する切除定理（英語版）とは異なり、空間をより小さい空間へ分解することによりホモトピー群を計算する単純な方法は知られていない。しかしながら、高次ホモトピー亜群に対するファン・カンペン型の定理に関する1980年代に発展した手法によって、ホモトピー型したがってホモトピー群についての新しい計算ができるようになった。結果については例えば以下にリストされている Ellis と Mikhailov による2008年の論文を参照。
球面のホモトピー群を計算する熱烈な研究にもかかわらず、2次元においてさえ、完全なリストは分かっていない。S2 の4次ホモトピー群の計算でさえ定義から思いつくような技術よりもはるかに進んだものが必要なのである。とくにセールのスペクトル系列（英語版）はまさにこの目的のために構成されたのである。
(引用終り)
以上
137１３２人目の素数さん
2020/09/03(木) 19:41:30.92ID:jFhKC8Ah >>126-136
🐎🦌が分りもせんことコピペして発●
🐎🦌が分りもせんことコピペして発●
138１３２人目の素数さん
2020/09/03(木) 19:43:02.13ID:jFhKC8Ah セールのスペクトル系列に層は必要ない（層を使ってもいいけれども）
139１３２人目の素数さん
2020/09/03(木) 19:55:55.12ID:jFhKC8Ah >>135
「例： ホップ・ファイブレーション。
B を S2 とし E を S3 とする。
p をホップ・ファイブレーションとする。
ファイバーは S1 である。
長完全列
… → π_n(S1) → π_n(S3) → π_n(S2) → π_n-1(S1) → …
と、n>=2 のとき π_n(S1) = 0 であることから、
n>=3 のとき π_n(S3) = π_n(S2) であることが分かる。
とくに、π_3(S2) = π_3(S3) = Z である。」
🐎🦌は一回も読みもせずにコピペｗ
3次元球面のHopf fibrationの作り方
C^2(=R^4)の単位球面S^3と、複素直線（＝実平面）czの交わりを考える
交わりは円であり、直線の傾きが異なれば円同士は共通の点を持たない
傾きのパラメータは∞も含めればS^2に対応するから
S^3を、底空間S^2 ファイバーS^1 のファイバー空間とすることができる
（実際にはファイバー束でもある）
実は同じ理屈で
S^1を、底空間S^1、ファイバーS^0＝{-1,1} のファイバー空間
（実平面R^2の中のS^１と実直線cxの交わり）
S^7を、底空間S^4、ファイバーS^3のファイバー空間
（四元数平面H^2の中のS^7と四元数直線ｃhの交わり）
も考えられる。
https://en.wikipedia.org/wiki/Hopf_fibration
「例： ホップ・ファイブレーション。
B を S2 とし E を S3 とする。
p をホップ・ファイブレーションとする。
ファイバーは S1 である。
長完全列
… → π_n(S1) → π_n(S3) → π_n(S2) → π_n-1(S1) → …
と、n>=2 のとき π_n(S1) = 0 であることから、
n>=3 のとき π_n(S3) = π_n(S2) であることが分かる。
とくに、π_3(S2) = π_3(S3) = Z である。」
🐎🦌は一回も読みもせずにコピペｗ
3次元球面のHopf fibrationの作り方
C^2(=R^4)の単位球面S^3と、複素直線（＝実平面）czの交わりを考える
交わりは円であり、直線の傾きが異なれば円同士は共通の点を持たない
傾きのパラメータは∞も含めればS^2に対応するから
S^3を、底空間S^2 ファイバーS^1 のファイバー空間とすることができる
（実際にはファイバー束でもある）
実は同じ理屈で
S^1を、底空間S^1、ファイバーS^0＝{-1,1} のファイバー空間
（実平面R^2の中のS^１と実直線cxの交わり）
S^7を、底空間S^4、ファイバーS^3のファイバー空間
（四元数平面H^2の中のS^7と四元数直線ｃhの交わり）
も考えられる。
https://en.wikipedia.org/wiki/Hopf_fibration
140現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/03(木) 21:12:58.00ID:IXkbS7e9 >>138
>セールのスペクトル系列に層は必要ない（層を使ってもいいけれども）
文盲かよ（下記）
”the Serre spectral sequence, which makes no use of sheaves”
を見落としたか
あるいは、意図してスルーしたのかな？
(>>127より)
https://en.wikipedia.org/wiki/Leray_spectral_sequence
Leray spectral sequence
History and connection to other spectral sequences
Earlier (1948/9) the implications for fiber bundles were extracted in a form formally identical to that of the Serre spectral sequence, which makes no use of sheaves.
(引用終り)
必死の論点ずらし、ご苦労さん
（>>126より）
>セールのフィールズ賞の主たる受賞理由は
>「球体のホモトピー群について、特にスペクトル系列の方法を用いて大きな成果をあげた。」
>あんたが球面のホモトピー群の意義を理解できないだけｗ
違うだろ
”Serre spectral sequence”つまり、スペクトル系列に力点がある
(引用終り)
ということ
つまり、「セールのスペクトル系列に層は必要かどうか」ではなく
セールのフィールズ賞の主たる受賞理由
「球体のホモトピー群について、特にスペクトル系列の方法を用いて大きな成果をあげた。」
は、”球面のホモトピー群”だからの受賞ではなく
”Serre spectral sequence”という手法が、当時として斬新だった
そして、その斬新さは、21世紀のいまでも、ほとんど失われていないのです。偉大なり、Jean-Pierre Serre！！（＾＾
（そのことは、”https://en.wikipedia.org/wiki/Serre_spectral_sequence ”
”https://en.wikipedia.org/wiki/Homotopy_groups_of_spheres ”
”https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9B%E3%83%A2%E3%83%88%E3%83%94%E3%83%BC%E7%BE%A4 ホモトピー群”を読めば分かる
ホモトピー群「球面のホモトピー群を計算する熱烈な研究にもかかわらず、2次元においてさえ、完全なリストは分かっていない。
S2 の4次ホモトピー群の計算でさえ定義から思いつくような技術よりもはるかに進んだものが必要なのである。とくにセールのスペクトル系列（英語版）はまさにこの目的のために構成されたのである。」ということなのです）
>セールのスペクトル系列に層は必要ない（層を使ってもいいけれども）
文盲かよ（下記）
”the Serre spectral sequence, which makes no use of sheaves”
を見落としたか
あるいは、意図してスルーしたのかな？
(>>127より)
https://en.wikipedia.org/wiki/Leray_spectral_sequence
Leray spectral sequence
History and connection to other spectral sequences
Earlier (1948/9) the implications for fiber bundles were extracted in a form formally identical to that of the Serre spectral sequence, which makes no use of sheaves.
(引用終り)
必死の論点ずらし、ご苦労さん
（>>126より）
>セールのフィールズ賞の主たる受賞理由は
>「球体のホモトピー群について、特にスペクトル系列の方法を用いて大きな成果をあげた。」
>あんたが球面のホモトピー群の意義を理解できないだけｗ
違うだろ
”Serre spectral sequence”つまり、スペクトル系列に力点がある
(引用終り)
ということ
つまり、「セールのスペクトル系列に層は必要かどうか」ではなく
セールのフィールズ賞の主たる受賞理由
「球体のホモトピー群について、特にスペクトル系列の方法を用いて大きな成果をあげた。」
は、”球面のホモトピー群”だからの受賞ではなく
”Serre spectral sequence”という手法が、当時として斬新だった
そして、その斬新さは、21世紀のいまでも、ほとんど失われていないのです。偉大なり、Jean-Pierre Serre！！（＾＾
（そのことは、”https://en.wikipedia.org/wiki/Serre_spectral_sequence ”
”https://en.wikipedia.org/wiki/Homotopy_groups_of_spheres ”
”https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9B%E3%83%A2%E3%83%88%E3%83%94%E3%83%BC%E7%BE%A4 ホモトピー群”を読めば分かる
ホモトピー群「球面のホモトピー群を計算する熱烈な研究にもかかわらず、2次元においてさえ、完全なリストは分かっていない。
S2 の4次ホモトピー群の計算でさえ定義から思いつくような技術よりもはるかに進んだものが必要なのである。とくにセールのスペクトル系列（英語版）はまさにこの目的のために構成されたのである。」ということなのです）
141粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
2020/09/03(木) 22:30:53.33ID:vYrXB61b 文章が謂わんとする大義に目が眩み論点を見失いよった、過失レベルに｡
争点すり替えと言われても争点すり替え呼ばわりに対する罪を指摘し返せないレベルの過失｡
層の要否に瀬田氏と魔王の両者の頭脳評価進退が掛かる争点だったのに
争点の叩き台であったネタ元話題の話題の中の最たる大義（無論、ネタ元同一ながら別争点）に逃げよった｡
丸でアインシュタインのノーベル賞受賞ネタ元（ブラウン運動がどうしたこうした）の話をしとる所に
瀬田氏が勝手に相対論（ノーベル賞受賞論文と同様、アインシュタインの三本ほぼ同時デビュー論文）の話をするが如く｡
瀬田氏は数学の理論を弁論するのではなく、数学の政治を弁論する様じゃ｡
竜巻扇風脚の科学を語る場に、場を弁えず昇龍拳の科学を語る愚｡
争点すり替えと言われても争点すり替え呼ばわりに対する罪を指摘し返せないレベルの過失｡
層の要否に瀬田氏と魔王の両者の頭脳評価進退が掛かる争点だったのに
争点の叩き台であったネタ元話題の話題の中の最たる大義（無論、ネタ元同一ながら別争点）に逃げよった｡
丸でアインシュタインのノーベル賞受賞ネタ元（ブラウン運動がどうしたこうした）の話をしとる所に
瀬田氏が勝手に相対論（ノーベル賞受賞論文と同様、アインシュタインの三本ほぼ同時デビュー論文）の話をするが如く｡
瀬田氏は数学の理論を弁論するのではなく、数学の政治を弁論する様じゃ｡
竜巻扇風脚の科学を語る場に、場を弁えず昇龍拳の科学を語る愚｡
142現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/03(木) 23:49:09.03ID:IXkbS7e9 >>128 補足
>Sharpe, Eric (2003). Lectures on D-branes and Sheaves (pages 18?19), arXiv:hep-th/0307245
下記
”2. Boundary-boundary OPE’s, which are believed to be given by Yoneda pairings of Ext groups.”
？ Yoneda、Who？ あの米田？（＾＾
”3. T-duality, which is believed to be described by a Fourier-Mukai transformation.”
へー、”Fourier-Mukai”ね。そうなのかぁ～！（＾＾
（参考）
https://arxiv.org/pdf/hep-th/0307245.pdf
Lectures on D-branes and Sheaves
Eric Sharpe
Department of Mathematics
1409 W. Green St., MC-382
University of Illinois
Urbana, IL 61801
These notes are a writeup of lectures given at the twelfth Oporto meeting on “Geometry,
Topology, and Physics,” and at the Adelaide workshop “Strings and Mathematics 2003,”
primarily geared towards a physics audience. We review current work relating boundary
states in the open string B model on Calabi-Yau manifolds to sheaves. Such relationships
provide us with a mechanism for counting open string states in situations where the physical
spectrum calculation is essentially intractable - after translating to mathematics, such calculations become easy.
We describe several different approaches to these models, and also describe how these models are changed by varying physical circumstances - flat
B field backgrounds, orbifolds, and nonzero Higgs vevs. We also discuss mathematical interpretations
of operator products, and how such mathematical interpretations can be checked physically.
One of the motivations for this work is to understand the precise physical relationship between boundary states in the open string B model and derived categories in mathematics,
and we outline what is currently known of the relationship.
July 2003
つづく
>Sharpe, Eric (2003). Lectures on D-branes and Sheaves (pages 18?19), arXiv:hep-th/0307245
下記
”2. Boundary-boundary OPE’s, which are believed to be given by Yoneda pairings of Ext groups.”
？ Yoneda、Who？ あの米田？（＾＾
”3. T-duality, which is believed to be described by a Fourier-Mukai transformation.”
へー、”Fourier-Mukai”ね。そうなのかぁ～！（＾＾
（参考）
https://arxiv.org/pdf/hep-th/0307245.pdf
Lectures on D-branes and Sheaves
Eric Sharpe
Department of Mathematics
1409 W. Green St., MC-382
University of Illinois
Urbana, IL 61801
These notes are a writeup of lectures given at the twelfth Oporto meeting on “Geometry,
Topology, and Physics,” and at the Adelaide workshop “Strings and Mathematics 2003,”
primarily geared towards a physics audience. We review current work relating boundary
states in the open string B model on Calabi-Yau manifolds to sheaves. Such relationships
provide us with a mechanism for counting open string states in situations where the physical
spectrum calculation is essentially intractable - after translating to mathematics, such calculations become easy.
We describe several different approaches to these models, and also describe how these models are changed by varying physical circumstances - flat
B field backgrounds, orbifolds, and nonzero Higgs vevs. We also discuss mathematical interpretations
of operator products, and how such mathematical interpretations can be checked physically.
One of the motivations for this work is to understand the precise physical relationship between boundary states in the open string B model and derived categories in mathematics,
and we outline what is currently known of the relationship.
July 2003
つづく
143現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/03(木) 23:50:21.11ID:IXkbS7e9 >>142
つづき
Contents
1 Introduction 5
2 Overview of mathematics of sheaves and Ext groups 8
2.1 Complexes and exact sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Sheaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Sheaf cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Ext groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1 Introduction
Using sheaves as a mathematical tool to model D-branes on large-radius Calabi-Yau manifolds was first suggested many years ago by J. Harvey and G. Moore in [1]. Since then, it
has become popular to assume that such a model is a reasonable one, and furthermore to
assume that sheaves can be used to calculate physical properties such as, for example:
1. Open string spectra between D-branes, which are believed to be counted by Ext groups.
2. Boundary-boundary OPE’s, which are believed to be given by Yoneda pairings of Ext groups.
3. T-duality, which is believed to be described by a Fourier-Mukai transformation.
Another motivation comes from understanding mirror symmetry. Before D-branes
were popularized, Kontsevich [2] proposed an understanding of mirror symmetry involving
mathematical objects known as derived categories (collections of complexes of sheaves, for
the moment). At the time, the physical meaning of this proposal was far from clear.
Using sheaves as a tool to describe D-branes was progress towards understanding the
physical meaning of Kontsevich’s proposal, but only a first step.
つづく
つづき
Contents
1 Introduction 5
2 Overview of mathematics of sheaves and Ext groups 8
2.1 Complexes and exact sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Sheaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Sheaf cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Ext groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1 Introduction
Using sheaves as a mathematical tool to model D-branes on large-radius Calabi-Yau manifolds was first suggested many years ago by J. Harvey and G. Moore in [1]. Since then, it
has become popular to assume that such a model is a reasonable one, and furthermore to
assume that sheaves can be used to calculate physical properties such as, for example:
1. Open string spectra between D-branes, which are believed to be counted by Ext groups.
2. Boundary-boundary OPE’s, which are believed to be given by Yoneda pairings of Ext groups.
3. T-duality, which is believed to be described by a Fourier-Mukai transformation.
Another motivation comes from understanding mirror symmetry. Before D-branes
were popularized, Kontsevich [2] proposed an understanding of mirror symmetry involving
mathematical objects known as derived categories (collections of complexes of sheaves, for
the moment). At the time, the physical meaning of this proposal was far from clear.
Using sheaves as a tool to describe D-branes was progress towards understanding the
physical meaning of Kontsevich’s proposal, but only a first step.
つづく
144現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/03(木) 23:50:55.20ID:IXkbS7e9 >>143
つづき
Another important physical step was Sen’s work (see e.g. [3]) on brane/antibrane annihilation, which helped suggest
a physical meaning for the objects in derived categories: they should be complexes of alternating branes and antibranes. This proposal first appeared in print in [4], which helped motivate the suggestion by using properties of Fourier-Mukai transforms modelling T-duality
to suggest that such brane/antibrane complexes were required. (See also [5] for earlier work
suggesting a different physical meaning of derived categories, in a very different context.)
P9
2.2 Sheaves
Nowadays most physicists are familiar with bundles, and the important role they have played
in gauge theories. But, what is a sheaf? One motivation for sheaves is as the mathematical
machinery needed to make sense of, for example, a vector bundle living only over a submanifold (a notion with obvious applications to modelling D-branes), and other more abstract
settings where bundles are no longer a sensible concept.
One definition of a sheaf on a space X is as a mechanism for associating a set, or group,
or ring, or module, or even a category, to every open set on X. For simplicity, we will focus
on sheaves of abelian groups, but the definitions extend in a straightforward way to other
cases. Now, let S be such a sheaf. The abelian group S(U) assigned to an open set U is
known as the (set of) sections of the sheaf over U. Now, not any collection of sections over
open sets will do: in order to be a sheaf, a number of properties must be satisfied. First,
for every inclusion V ⊆ U, we need to specify a restriction map
つづく
つづき
Another important physical step was Sen’s work (see e.g. [3]) on brane/antibrane annihilation, which helped suggest
a physical meaning for the objects in derived categories: they should be complexes of alternating branes and antibranes. This proposal first appeared in print in [4], which helped motivate the suggestion by using properties of Fourier-Mukai transforms modelling T-duality
to suggest that such brane/antibrane complexes were required. (See also [5] for earlier work
suggesting a different physical meaning of derived categories, in a very different context.)
P9
2.2 Sheaves
Nowadays most physicists are familiar with bundles, and the important role they have played
in gauge theories. But, what is a sheaf? One motivation for sheaves is as the mathematical
machinery needed to make sense of, for example, a vector bundle living only over a submanifold (a notion with obvious applications to modelling D-branes), and other more abstract
settings where bundles are no longer a sensible concept.
One definition of a sheaf on a space X is as a mechanism for associating a set, or group,
or ring, or module, or even a category, to every open set on X. For simplicity, we will focus
on sheaves of abelian groups, but the definitions extend in a straightforward way to other
cases. Now, let S be such a sheaf. The abelian group S(U) assigned to an open set U is
known as the (set of) sections of the sheaf over U. Now, not any collection of sections over
open sets will do: in order to be a sheaf, a number of properties must be satisfied. First,
for every inclusion V ⊆ U, we need to specify a restriction map
つづく
145現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/03(木) 23:51:21.43ID:IXkbS7e9 >>144
つづき
One of the most basic examples of a sheaf is the sheaf of sections of a vector bundle.
Given a vector bundle on a space, we can associate to any open set U the group of sections of
the bundle over that open set. In fact, technically there are several ways to get a sheaf from
a vector bundle ? we could associate smooth sections, or we could associate holomorphic
sections if the vector bundle has a complex structure, or instead of creating a sheaf of sets,
we could create a sheaf of modules, which is the more usual construction. For the purposes
of these physics lectures, these distinctions will largely be irrelevant. Technically, we will
almost always be interested in sheaves of modules of holomorphic sections, but will speak
loosely of other cases.
Sheaves have a property known as being “locally free” if they come from holomorphic
vector bundles, in the fashion above. For most of these notes, we shall ignore the distinction between locally-free sheaves and holomorphic vector bundles, and will use the terms interchangeably.
2.3 Sheaf cohomology
略
(引用終り)
以上
つづき
One of the most basic examples of a sheaf is the sheaf of sections of a vector bundle.
Given a vector bundle on a space, we can associate to any open set U the group of sections of
the bundle over that open set. In fact, technically there are several ways to get a sheaf from
a vector bundle ? we could associate smooth sections, or we could associate holomorphic
sections if the vector bundle has a complex structure, or instead of creating a sheaf of sets,
we could create a sheaf of modules, which is the more usual construction. For the purposes
of these physics lectures, these distinctions will largely be irrelevant. Technically, we will
almost always be interested in sheaves of modules of holomorphic sections, but will speak
loosely of other cases.
Sheaves have a property known as being “locally free” if they come from holomorphic
vector bundles, in the fashion above. For most of these notes, we shall ignore the distinction between locally-free sheaves and holomorphic vector bundles, and will use the terms interchangeably.
2.3 Sheaf cohomology
略
(引用終り)
以上
146現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/04(金) 07:37:00.64ID:dmgJxCEv >>140
>偉大なり、Jean-Pierre Serre！！
追加
「現代幾何学の流れ」2007日本評論社の
P72 加藤文元氏がセール氏のFACについて、書いていたので、調べてみた
下記の”Coherent Algebraic Sheaves （fac 英訳）”中の層の定義が、古風で丁寧です。一見の価値あり（＾＾
https://en.wikipedia.org/wiki/Jean-Pierre_Serre
Jean-Pierre_Serre
Algebraic geometry
In the 1950s and 1960s, a fruitful collaboration between Serre and the two-years-younger Alexander Grothendieck led to important foundational work, much of it motivated by the Weil conjectures. Two major foundational papers by Serre were Faisceaux Algebriques Coherents (FAC, 1955),[3] on coherent cohomology, and Geometrie Algebrique et Geometrie Analytique (GAGA, 1956).[4]
https://mathoverflow.net/questions/14404/serres-fac-in-english
Serre's FAC in English edited May 4 '10 at 8:59 Anweshi 100%
http://achinger.impan.pl/fac/fac.pdf
Coherent Algebraic Sheaves （fac 英訳）
Jean-Pierre Serre
Translated by Piotr Achinger and Lukasz Krupa
（参考）
http://achinger.impan.pl/fac/fac.tar.gz
49 pointing you to a (in my novice opinion) good translation of GAGA here by my former office mate Trevor. Hailong Dao
https://web.archive.org/web/20180728222951/http://ms.mcmaster.ca/~arnoldt/Serre-GAGA.dvi
9
There is another translation by Andy McLennan that comes with a lot of background material, the actual translation starts at page 235. I'm not really competent to make any comparisons.
http://cupid.economics.uq.edu.au/mclennan/Algebra/fac_trans.pdf リンク切れみたいだが
answered Sep 3 '16 at 12:54
https://ncatlab.org/nlab/show/FAC nLab
>偉大なり、Jean-Pierre Serre！！
追加
「現代幾何学の流れ」2007日本評論社の
P72 加藤文元氏がセール氏のFACについて、書いていたので、調べてみた
下記の”Coherent Algebraic Sheaves （fac 英訳）”中の層の定義が、古風で丁寧です。一見の価値あり（＾＾
https://en.wikipedia.org/wiki/Jean-Pierre_Serre
Jean-Pierre_Serre
Algebraic geometry
In the 1950s and 1960s, a fruitful collaboration between Serre and the two-years-younger Alexander Grothendieck led to important foundational work, much of it motivated by the Weil conjectures. Two major foundational papers by Serre were Faisceaux Algebriques Coherents (FAC, 1955),[3] on coherent cohomology, and Geometrie Algebrique et Geometrie Analytique (GAGA, 1956).[4]
https://mathoverflow.net/questions/14404/serres-fac-in-english
Serre's FAC in English edited May 4 '10 at 8:59 Anweshi 100%
http://achinger.impan.pl/fac/fac.pdf
Coherent Algebraic Sheaves （fac 英訳）
Jean-Pierre Serre
Translated by Piotr Achinger and Lukasz Krupa
（参考）
http://achinger.impan.pl/fac/fac.tar.gz
49 pointing you to a (in my novice opinion) good translation of GAGA here by my former office mate Trevor. Hailong Dao
https://web.archive.org/web/20180728222951/http://ms.mcmaster.ca/~arnoldt/Serre-GAGA.dvi
9
There is another translation by Andy McLennan that comes with a lot of background material, the actual translation starts at page 235. I'm not really competent to make any comparisons.
http://cupid.economics.uq.edu.au/mclennan/Algebra/fac_trans.pdf リンク切れみたいだが
answered Sep 3 '16 at 12:54
https://ncatlab.org/nlab/show/FAC nLab
147現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/04(金) 10:51:51.25ID:WA43t50K >>128 補足
>https://en.wikipedia.org/wiki/Grothendieck_spectral_sequence
>Grothendieck spectral sequence
>In mathematics, in the field of homological algebra, the Grothendieck spectral sequence, introduced by Alexander Grothendieck in his Tohoku paper, is a spectral sequence that computes the derived functors of the composition of two functors G・F, from knowledge of the derived functors of F and G.
下記に英訳がある
ここの層の定義は、大分現代風
というか、みんなこれに右にならえかもね（＾＾
https://www.math.mcgill.ca/barr/papers/gk.pdf
英訳
Some aspects of homological algebra Alexandre Grothendieck1
1The essential content of Chapters 1, 2, and 4, and part of Chapter 3 was developed in the spring
of 1955 during a seminar in homological algebra at the University of Kansas. Received March 1,1957.
https://en.wikipedia.org/wiki/Grothendieck%27s_T%C3%B4hoku_paper
Grothendieck's Tohoku paper
The article "Sur quelques points d'algebre homologique" by Alexander Grothendieck,[1] now often referred to as the Tohoku paper,[2] was published in 1957 in the Tohoku Mathematical Journal. It has revolutionized the subject of homological algebra, a purely algebraic aspect of algebraic topology.[3] It removed the need to distinguish the cases of modules over a ring and sheaves of abelian groups over a topological space.[4]
つづく
>https://en.wikipedia.org/wiki/Grothendieck_spectral_sequence
>Grothendieck spectral sequence
>In mathematics, in the field of homological algebra, the Grothendieck spectral sequence, introduced by Alexander Grothendieck in his Tohoku paper, is a spectral sequence that computes the derived functors of the composition of two functors G・F, from knowledge of the derived functors of F and G.
下記に英訳がある
ここの層の定義は、大分現代風
というか、みんなこれに右にならえかもね（＾＾
https://www.math.mcgill.ca/barr/papers/gk.pdf
英訳
Some aspects of homological algebra Alexandre Grothendieck1
1The essential content of Chapters 1, 2, and 4, and part of Chapter 3 was developed in the spring
of 1955 during a seminar in homological algebra at the University of Kansas. Received March 1,1957.
https://en.wikipedia.org/wiki/Grothendieck%27s_T%C3%B4hoku_paper
Grothendieck's Tohoku paper
The article "Sur quelques points d'algebre homologique" by Alexander Grothendieck,[1] now often referred to as the Tohoku paper,[2] was published in 1957 in the Tohoku Mathematical Journal. It has revolutionized the subject of homological algebra, a purely algebraic aspect of algebraic topology.[3] It removed the need to distinguish the cases of modules over a ring and sheaves of abelian groups over a topological space.[4]
つづく
148現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/04(金) 10:52:16.49ID:WA43t50K >>147
つづき
Background
Material in the paper dates from Grothendieck's year at the University of Kansas in 1955?6. Research there allowed him to put homological algebra on an axiomatic basis, by introducing the abelian category concept.[5][6]
A textbook treatment of homological algebra, "Cartan?Eilenberg" after the authors Henri Cartan and Samuel Eilenberg, appeared in 1956. Grothendieck's work was largely independent of it. His abelian category concept had at least partially been anticipated by others.[7] David Buchsbaum in his doctoral thesis written under Eilenberg had introduced a notion of "exact category" close to the abelian category concept (needing only direct sums to be identical); and had formulated the idea of "enough injectives".[8] The Tohoku paper contains an argument to prove that a Grothendieck category (a particular type of abelian category, the name coming later) has enough injectives; the author indicated that the proof was of a standard type.[9] In showing by this means that categories of sheaves of abelian groups admitted injective resolutions, Grothendieck went beyond the theory available in Cartan?Eilenberg, to prove the existence of a cohomology theory in generality.[10]
Later developments
After the Gabriel?Popescu theorem of 1964, it was known that every Grothendieck category is a quotient category of a module category.[11]
The Tohoku paper also introduced the Grothendieck spectral sequence associated to the composition of derived functors.[12] In further reconsideration of the foundations of homological algebra, Grothendieck introduced and developed with Jean-Louis Verdier the derived category concept.[13] The initial motivation, as announced by Grothendieck at the 1958 International Congress of Mathematicians, was to formulate results on coherent duality, now going under the name "Grothendieck duality".[14]
(引用終り)
以上
つづき
Background
Material in the paper dates from Grothendieck's year at the University of Kansas in 1955?6. Research there allowed him to put homological algebra on an axiomatic basis, by introducing the abelian category concept.[5][6]
A textbook treatment of homological algebra, "Cartan?Eilenberg" after the authors Henri Cartan and Samuel Eilenberg, appeared in 1956. Grothendieck's work was largely independent of it. His abelian category concept had at least partially been anticipated by others.[7] David Buchsbaum in his doctoral thesis written under Eilenberg had introduced a notion of "exact category" close to the abelian category concept (needing only direct sums to be identical); and had formulated the idea of "enough injectives".[8] The Tohoku paper contains an argument to prove that a Grothendieck category (a particular type of abelian category, the name coming later) has enough injectives; the author indicated that the proof was of a standard type.[9] In showing by this means that categories of sheaves of abelian groups admitted injective resolutions, Grothendieck went beyond the theory available in Cartan?Eilenberg, to prove the existence of a cohomology theory in generality.[10]
Later developments
After the Gabriel?Popescu theorem of 1964, it was known that every Grothendieck category is a quotient category of a module category.[11]
The Tohoku paper also introduced the Grothendieck spectral sequence associated to the composition of derived functors.[12] In further reconsideration of the foundations of homological algebra, Grothendieck introduced and developed with Jean-Louis Verdier the derived category concept.[13] The initial motivation, as announced by Grothendieck at the 1958 International Congress of Mathematicians, was to formulate results on coherent duality, now going under the name "Grothendieck duality".[14]
(引用終り)
以上
149現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/05(土) 08:16:20.61ID:YJxrx+O5 >>142 追加
下記は、物理屋さんに、層の講義をしているので、分り易い
層が抽象的で分かり難いと思う方、一読の価値がある
（物理の話”Higgs vevs”とかは、飛ばしながらね）
https://arxiv.org/pdf/hep-th/0307245.pdf
Lectures on D-branes and Sheaves 2003
Eric Sharpe
(抜粋)
P8
2 Overview of mathematics of sheaves and Ext groups
2.1 Complexes and exact sequences
The language of complexes and exact sequences, standard in algebraic topology, will be used
throughout these lectures. However, many physicists do not know this language, so in this
introductory section we shall review these concepts.
A complex of groups, rings, modules, sheaves, etc is a collection An of groups, rings, etc,
with maps φn : An → An+1 satisfying the important property that φn+1 ◯φn = 0. Complexes
are typically denoted as follows:
An exact sequence is a special kind of complex, namely one in which the image of each
map is the same as the kernel of the next map, not just a subset. This is a stronger statement
than merely φn+1 ◯ φn = 0. For example, for the complex
Aφ-→ B -→ 0
to be exact implies that φ is surjective (onto): the kernel of the right map is all of B, since
the right map sends all of B to zero, yet since the complex is exact, the kernel of each map
equals the image of the previous map, so the image of φ is all of B, hence φ is surjective.
Similarly, for the complex
0 -→ A φ -→ B
to be exact implies that φ is injective (one-to-one): the image of the left map is zero, but
since the complex is exact, the image of each map equals the kernel of the next, so the kernel
of φ is zero, hence φ is injective.
つづく
下記は、物理屋さんに、層の講義をしているので、分り易い
層が抽象的で分かり難いと思う方、一読の価値がある
（物理の話”Higgs vevs”とかは、飛ばしながらね）
https://arxiv.org/pdf/hep-th/0307245.pdf
Lectures on D-branes and Sheaves 2003
Eric Sharpe
(抜粋)
P8
2 Overview of mathematics of sheaves and Ext groups
2.1 Complexes and exact sequences
The language of complexes and exact sequences, standard in algebraic topology, will be used
throughout these lectures. However, many physicists do not know this language, so in this
introductory section we shall review these concepts.
A complex of groups, rings, modules, sheaves, etc is a collection An of groups, rings, etc,
with maps φn : An → An+1 satisfying the important property that φn+1 ◯φn = 0. Complexes
are typically denoted as follows:
An exact sequence is a special kind of complex, namely one in which the image of each
map is the same as the kernel of the next map, not just a subset. This is a stronger statement
than merely φn+1 ◯ φn = 0. For example, for the complex
Aφ-→ B -→ 0
to be exact implies that φ is surjective (onto): the kernel of the right map is all of B, since
the right map sends all of B to zero, yet since the complex is exact, the kernel of each map
equals the image of the previous map, so the image of φ is all of B, hence φ is surjective.
Similarly, for the complex
0 -→ A φ -→ B
to be exact implies that φ is injective (one-to-one): the image of the left map is zero, but
since the complex is exact, the image of each map equals the kernel of the next, so the kernel
of φ is zero, hence φ is injective.
つづく
150現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/05(土) 08:17:29.55ID:YJxrx+O5 >>149
つづき
Short exact sequences are three-element exact sequences of the form
0 -→ A φ1 -→ B φ2 -→ C -→ 0
From the discussion above, we see that φ1 is injective and φ2 is surjective,
and the image of φ1 equals the kernel of φ2.
P9
2.2 Sheaves
Nowadays most physicists are familiar with bundles, and the important role they have played
in gauge theories. But, what is a sheaf? One motivation for sheaves is as the mathematical
machinery needed to make sense of, for example, a vector bundle living only over a submanifold
(a notion with obvious applications to modelling D-branes),
and other more abstract settings where bundles are no longer a sensible concept.
One definition of a sheaf on a space X is as a mechanism for associating a set, or group,
or ring, or module, or even a category, to every open set on X. For simplicity, we will focus
on sheaves of abelian groups, but the definitions extend in a straightforward way to other
cases. Now, let S be such a sheaf. The abelian group S(U) assigned to an open set U is
known as the (set of) sections of the sheaf over U. Now, not any collection of sections over
open sets will do: in order to be a sheaf, a number of properties must be satisfied. First,
for every inclusion V ⊆ U, we need to specify a restriction map ρU,V : S(U) → S(V ), such
that for any triple inclusion W ⊆ V ⊆ U, the restriction from U to W is the same as the
composition of the restrictions from U to V and then from V to W:
ρU,W = ρV,W ◯ ρU,V
and such that the restriction map associated to the identity U ⊆ U is the identity map
S(U) → S(U). We shall usually denote the restriction map with a vertical bar, as |V , in the
usual way. A collection of sets {S(U)} together with restriction maps gives us a presheaf of sets.
つづく
つづき
Short exact sequences are three-element exact sequences of the form
0 -→ A φ1 -→ B φ2 -→ C -→ 0
From the discussion above, we see that φ1 is injective and φ2 is surjective,
and the image of φ1 equals the kernel of φ2.
P9
2.2 Sheaves
Nowadays most physicists are familiar with bundles, and the important role they have played
in gauge theories. But, what is a sheaf? One motivation for sheaves is as the mathematical
machinery needed to make sense of, for example, a vector bundle living only over a submanifold
(a notion with obvious applications to modelling D-branes),
and other more abstract settings where bundles are no longer a sensible concept.
One definition of a sheaf on a space X is as a mechanism for associating a set, or group,
or ring, or module, or even a category, to every open set on X. For simplicity, we will focus
on sheaves of abelian groups, but the definitions extend in a straightforward way to other
cases. Now, let S be such a sheaf. The abelian group S(U) assigned to an open set U is
known as the (set of) sections of the sheaf over U. Now, not any collection of sections over
open sets will do: in order to be a sheaf, a number of properties must be satisfied. First,
for every inclusion V ⊆ U, we need to specify a restriction map ρU,V : S(U) → S(V ), such
that for any triple inclusion W ⊆ V ⊆ U, the restriction from U to W is the same as the
composition of the restrictions from U to V and then from V to W:
ρU,W = ρV,W ◯ ρU,V
and such that the restriction map associated to the identity U ⊆ U is the identity map
S(U) → S(U). We shall usually denote the restriction map with a vertical bar, as |V , in the
usual way. A collection of sets {S(U)} together with restriction maps gives us a presheaf of sets.
つづく
151現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/05(土) 08:18:25.15ID:YJxrx+O5 >>150
つづき
To get a sheaf of sets, we must impose what are called the “gluing” conditions:
1. For any pair of intersecting open sets U, V , and sections σ ∈ S(U), τ ∈ S(V ) such
that σ|U∩V = τU∩V
there exists a section ρ ∈ S(U ∪ V ) such that ρ|U = σ and ρ|V = τ . In other words, sections glue together in the obvious way.
2. If σ ∈ S(U ∪ V ) and σ|U = σ|V = 0 then σ = 0.
One of the most basic examples of a sheaf is the sheaf of sections of a vector bundle.
Given a vector bundle on a space, we can associate to any open set U the group of sections of
the bundle over that open set. In fact, technically there are several ways to get a sheaf from
a vector bundle ? we could associate smooth sections, or we could associate holomorphic
sections if the vector bundle has a complex structure, or instead of creating a sheaf of sets,
we could create a sheaf of modules, which is the more usual construction. For the purposes
of these physics lectures, these distinctions will largely be irrelevant. Technically, we will
almost always be interested in sheaves of modules of holomorphic sections, but will speak
loosely of other cases.
Sheaves have a property known as being “locally free” if they come from holomorphic
vector bundles, in the fashion above. For most of these notes, we shall ignore the distinction between locally-free sheaves and holomorphic vector bundles, and will use the terms interchangeably.
We should also mention some notation that will be used throughout these notes.
A holomorphic line bundle with first Chern class c1 on a given space will typically be denoted O(c1).
This notation makes most sense on projective spaces, where the first Chern class is
simply an integer, so that O(n) denotes a holomorphic line bundle of first Chern class n.
つづく
つづき
To get a sheaf of sets, we must impose what are called the “gluing” conditions:
1. For any pair of intersecting open sets U, V , and sections σ ∈ S(U), τ ∈ S(V ) such
that σ|U∩V = τU∩V
there exists a section ρ ∈ S(U ∪ V ) such that ρ|U = σ and ρ|V = τ . In other words, sections glue together in the obvious way.
2. If σ ∈ S(U ∪ V ) and σ|U = σ|V = 0 then σ = 0.
One of the most basic examples of a sheaf is the sheaf of sections of a vector bundle.
Given a vector bundle on a space, we can associate to any open set U the group of sections of
the bundle over that open set. In fact, technically there are several ways to get a sheaf from
a vector bundle ? we could associate smooth sections, or we could associate holomorphic
sections if the vector bundle has a complex structure, or instead of creating a sheaf of sets,
we could create a sheaf of modules, which is the more usual construction. For the purposes
of these physics lectures, these distinctions will largely be irrelevant. Technically, we will
almost always be interested in sheaves of modules of holomorphic sections, but will speak
loosely of other cases.
Sheaves have a property known as being “locally free” if they come from holomorphic
vector bundles, in the fashion above. For most of these notes, we shall ignore the distinction between locally-free sheaves and holomorphic vector bundles, and will use the terms interchangeably.
We should also mention some notation that will be used throughout these notes.
A holomorphic line bundle with first Chern class c1 on a given space will typically be denoted O(c1).
This notation makes most sense on projective spaces, where the first Chern class is
simply an integer, so that O(n) denotes a holomorphic line bundle of first Chern class n.
つづく
152現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/05(土) 08:19:29.38ID:YJxrx+O5 >>151
つづき
Another easy example of a sheaf is the skyscraper sheaf. Let X be a space, and p be a
point on that space. Now, associate sections S(U) to open sets as follows:
・ If U contains p, then S(U) = C.
・ If U does not contain p, then S(U) = {0}.
It is easy to check that this is a sheaf. Moreover, the support of the sheaf S (meaning, the
subset of X over which the sheaf is nonzero) is only the point p.
Skyscraper sheaves are the simplest examples of “vector bundles on submanifolds” alluded to earlier.
Given a continuous map i : Y → X and a sheaf S on Y , we can form a sheaf denoted
i*S on X, defined as follows: i*S(U) ≡ S(i-1(U)).
For example, given a vector bundle E (or rather, the associated sheaf) on a submanifold
S of a manifold X, with inclusion map i : S → X, we can form the sheaf i*E on X. It is easy
to check that i*E only has support on S ? if an open set in X does not intersect S, then there
are no sections associated to that open set. The sheaf i*E is the more precise meaning of the
phrase “vector bundle on a submanifold,” and is an example of what is known technically
as a torsion sheaf. Notice that a skyscraper sheaf can also be put in the form i*E, where
i : p → X and E is the rank one line bundle on the point p, and so skyscraper sheaves are
also examples of torsion sheaves.
In particular, later we shall study the extent to which we can describe a D-brane on a
complex submanifold S with holomorphic vector bundle E by the sheaf i*E, for example by
comparing open string spectra to Ext groups (which will be discussed momentarily).
Another example of a sheaf is the sheaf of maps into Z, that assigns, to every open set
U, the set of continuous maps U → Z. This sheaf comes up in considerations of cohomology,
but is less useful for modelling D-branes.
つづく
つづき
Another easy example of a sheaf is the skyscraper sheaf. Let X be a space, and p be a
point on that space. Now, associate sections S(U) to open sets as follows:
・ If U contains p, then S(U) = C.
・ If U does not contain p, then S(U) = {0}.
It is easy to check that this is a sheaf. Moreover, the support of the sheaf S (meaning, the
subset of X over which the sheaf is nonzero) is only the point p.
Skyscraper sheaves are the simplest examples of “vector bundles on submanifolds” alluded to earlier.
Given a continuous map i : Y → X and a sheaf S on Y , we can form a sheaf denoted
i*S on X, defined as follows: i*S(U) ≡ S(i-1(U)).
For example, given a vector bundle E (or rather, the associated sheaf) on a submanifold
S of a manifold X, with inclusion map i : S → X, we can form the sheaf i*E on X. It is easy
to check that i*E only has support on S ? if an open set in X does not intersect S, then there
are no sections associated to that open set. The sheaf i*E is the more precise meaning of the
phrase “vector bundle on a submanifold,” and is an example of what is known technically
as a torsion sheaf. Notice that a skyscraper sheaf can also be put in the form i*E, where
i : p → X and E is the rank one line bundle on the point p, and so skyscraper sheaves are
also examples of torsion sheaves.
In particular, later we shall study the extent to which we can describe a D-brane on a
complex submanifold S with holomorphic vector bundle E by the sheaf i*E, for example by
comparing open string spectra to Ext groups (which will be discussed momentarily).
Another example of a sheaf is the sheaf of maps into Z, that assigns, to every open set
U, the set of continuous maps U → Z. This sheaf comes up in considerations of cohomology,
but is less useful for modelling D-branes.
つづく
153現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/05(土) 08:20:28.67ID:YJxrx+O5 >>152
つづき
There are many more kinds of sheaves, more than we shall be able to discuss here.
Another way to describe sheaves is in terms of modules over coordinate rings ([12, section
5.3], [13, section II.5]), which often gives results not of forms previously discussed.
For example, sheaves on C^2 can be built by specifying C[x, y]-modules. The trivial line bundle on C^2
is described by the C[x, y] module given by C[x, y] itself.
The skyscraper sheaf supported at the origin corresponds to the C[x, y]-module
C[x, y]/(x, y)
where (x, y) denotes the ideal of the ring C[x, y] generated by x and y.
The sheaf corresponding to the trivial line bundle over the subvariety x = 0 is described by the C[x, y]-module
C[x, y]/(x).
A more interesting family of sheaves supported over the origin of C^2
is described by the one-parameter-family of C[x, y]-modules given by
C[x, y]/(x2, y - αx)
for some complex number α. These are not vector bundles over their supports in any sense,
making their physical interpretation somewhat confusing.
We shall see in section 10 that these sheaves model pairs of D0 branes, sitting at the origin of C^2, with nilpotent Higgs vevs.
A word on notation. Sections of a sheaf are often denoted with Γ, i.e. the sections of a
sheaf S over U are sometimes denoted Γ(U, S).
Some basic references on sheaves are [12, section 0.3], [14, section 2], and [15, section II.10].
つづく
つづき
There are many more kinds of sheaves, more than we shall be able to discuss here.
Another way to describe sheaves is in terms of modules over coordinate rings ([12, section
5.3], [13, section II.5]), which often gives results not of forms previously discussed.
For example, sheaves on C^2 can be built by specifying C[x, y]-modules. The trivial line bundle on C^2
is described by the C[x, y] module given by C[x, y] itself.
The skyscraper sheaf supported at the origin corresponds to the C[x, y]-module
C[x, y]/(x, y)
where (x, y) denotes the ideal of the ring C[x, y] generated by x and y.
The sheaf corresponding to the trivial line bundle over the subvariety x = 0 is described by the C[x, y]-module
C[x, y]/(x).
A more interesting family of sheaves supported over the origin of C^2
is described by the one-parameter-family of C[x, y]-modules given by
C[x, y]/(x2, y - αx)
for some complex number α. These are not vector bundles over their supports in any sense,
making their physical interpretation somewhat confusing.
We shall see in section 10 that these sheaves model pairs of D0 branes, sitting at the origin of C^2, with nilpotent Higgs vevs.
A word on notation. Sections of a sheaf are often denoted with Γ, i.e. the sections of a
sheaf S over U are sometimes denoted Γ(U, S).
Some basic references on sheaves are [12, section 0.3], [14, section 2], and [15, section II.10].
つづく
154現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/05(土) 08:20:50.35ID:YJxrx+O5 >>153
つづき
P12
2.3 Sheaf cohomology
One can define cohomology groups with coefficients in sheaves, just as one can define cohomology with coefficients in R and Z. Such cohomology groups are called sheaf cohomology.
Sheaf cohomology groups commonly arise in physics when counting vertex operators in string
compactifications. See for example [17] for a discussion of how sheaf cohomology counts spectra in heterotic compactifications, and [18] for a discussion of how sheaf cohomology counts
spectra in the B model topological field theory, for just two examples. Sheaf cohomology
will play an important role in understanding open string spectra also, so we shall take a few
minutes to review it.
In principle sheaf cohomology of degree n is defined as n-cochains, closed with respect
to a coboundary operator, modulo exact cochains. Let us describe what that means more
precisely, then work through some applications.
Then, sheaf cohomology is defined as δ-closed cochains, modulo δ-exact cochains. (Strictly
speaking, we should take a direct limit over open covers in order to obtain sheaf cohomology,
but for our purposes that technicality will be irrelevant.) The resulting cohomology groups
are denoted Hn(X, S), where n is called the degree.
To help clarify the meaning of sheaf cohomology, let us take a moment to verify the
following claim: line bundles are classified by degree 1 sheaf cohomology. Consider the
sheaf C∞(U(1)) of smooth maps into U(1), or, alternatively, the sheaf O* of nowhere-zero
holomorphic functions. A degree one element of sheaf cohomology is a collection of either
smooth U(1)-valued maps or nowhere-zero holomorphic functions, defined on overlaps of
elements of a good open cover. Let such a collection of functions on overlaps be denoted
gαβ. Then, the condition of δ-closedness implies that the gαβ close on triple overlaps:
gαβgβγgγα = 1.
つづく
つづき
P12
2.3 Sheaf cohomology
One can define cohomology groups with coefficients in sheaves, just as one can define cohomology with coefficients in R and Z. Such cohomology groups are called sheaf cohomology.
Sheaf cohomology groups commonly arise in physics when counting vertex operators in string
compactifications. See for example [17] for a discussion of how sheaf cohomology counts spectra in heterotic compactifications, and [18] for a discussion of how sheaf cohomology counts
spectra in the B model topological field theory, for just two examples. Sheaf cohomology
will play an important role in understanding open string spectra also, so we shall take a few
minutes to review it.
In principle sheaf cohomology of degree n is defined as n-cochains, closed with respect
to a coboundary operator, modulo exact cochains. Let us describe what that means more
precisely, then work through some applications.
Then, sheaf cohomology is defined as δ-closed cochains, modulo δ-exact cochains. (Strictly
speaking, we should take a direct limit over open covers in order to obtain sheaf cohomology,
but for our purposes that technicality will be irrelevant.) The resulting cohomology groups
are denoted Hn(X, S), where n is called the degree.
To help clarify the meaning of sheaf cohomology, let us take a moment to verify the
following claim: line bundles are classified by degree 1 sheaf cohomology. Consider the
sheaf C∞(U(1)) of smooth maps into U(1), or, alternatively, the sheaf O* of nowhere-zero
holomorphic functions. A degree one element of sheaf cohomology is a collection of either
smooth U(1)-valued maps or nowhere-zero holomorphic functions, defined on overlaps of
elements of a good open cover. Let such a collection of functions on overlaps be denoted
gαβ. Then, the condition of δ-closedness implies that the gαβ close on triple overlaps:
gαβgβγgγα = 1.
つづく
155現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/05(土) 08:21:37.88ID:YJxrx+O5 >>154
つづき
For most of this paper, we shall only be interested in sheaf cohomology on complex
manifolds with coefficients in holomorphic sheaves. However, there are some amusing games
one can play with more general sheaves, which we wish to take a moment to describe.
In general, any map of sheaves S → T induces a map between sheaf cohomology groups
Hn(X, S) → Hn(X, T ), and also, a short exact sequence of sheaves
0 -→ S -→ T -→ U -→ 0
induces a long exact sequence of sheaf cohomology groups
・ ・ ・ -→ Hn(X, S) -→ Hn(X, T ) -→ Hn(X, U) -→ Hn+1(X, S) -→ ・ ・ ・
Using this fact we can quickly derive the topological classification of principal U(1) bundles
by first Chern classes, as follows. There is a short exact sequence of sheaves
0 -→ Z -→ C∞(R) -→ C∞(U(1)) -→ 0
which induces a long exact sequence as above.
However, Hn(X, C∞(R)) = 0 for n > 0, so,
for example, we find immediately that
H1(X, C∞(U(1))) ~= H2(X,Z).
As we have already seen, the group on the left classifies principal U(1) bundles,
and their images in H2(X,Z) under the induced map in the long exact sequence are just their first
Chern classes. Another relationship that can be immediately derived from the associated
long exact sequence is that
H2(X, C∞(U(1))) ~= H3(X,Z)
which will play an important role when we discuss B fields.
つづく
つづき
For most of this paper, we shall only be interested in sheaf cohomology on complex
manifolds with coefficients in holomorphic sheaves. However, there are some amusing games
one can play with more general sheaves, which we wish to take a moment to describe.
In general, any map of sheaves S → T induces a map between sheaf cohomology groups
Hn(X, S) → Hn(X, T ), and also, a short exact sequence of sheaves
0 -→ S -→ T -→ U -→ 0
induces a long exact sequence of sheaf cohomology groups
・ ・ ・ -→ Hn(X, S) -→ Hn(X, T ) -→ Hn(X, U) -→ Hn+1(X, S) -→ ・ ・ ・
Using this fact we can quickly derive the topological classification of principal U(1) bundles
by first Chern classes, as follows. There is a short exact sequence of sheaves
0 -→ Z -→ C∞(R) -→ C∞(U(1)) -→ 0
which induces a long exact sequence as above.
However, Hn(X, C∞(R)) = 0 for n > 0, so,
for example, we find immediately that
H1(X, C∞(U(1))) ~= H2(X,Z).
As we have already seen, the group on the left classifies principal U(1) bundles,
and their images in H2(X,Z) under the induced map in the long exact sequence are just their first
Chern classes. Another relationship that can be immediately derived from the associated
long exact sequence is that
H2(X, C∞(U(1))) ~= H3(X,Z)
which will play an important role when we discuss B fields.
つづく
156現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/05(土) 08:21:56.27ID:YJxrx+O5 >>155
つづき
Just as ordinary cohomology of a space can be realized by differential forms for special
coeffients (i.e., R coefficients), sheaf cohomology can be realized in terms of differential forms
when the coefficients are locally-free sheaves ? holomorphic vector bundles. In particular, if
E is a holomorphic vector bundle, then Hn
(X, E) is the same as ∂-closed (0, n)-differential
forms valued in the bundle E, modulo ∂-exact differential forms.
Here are some useful facts for calculating sheaf cohomology on complex manifolds, for
coefficients in holomorphic sheaves:
(引用終り)
以上
つづき
Just as ordinary cohomology of a space can be realized by differential forms for special
coeffients (i.e., R coefficients), sheaf cohomology can be realized in terms of differential forms
when the coefficients are locally-free sheaves ? holomorphic vector bundles. In particular, if
E is a holomorphic vector bundle, then Hn
(X, E) is the same as ∂-closed (0, n)-differential
forms valued in the bundle E, modulo ∂-exact differential forms.
Here are some useful facts for calculating sheaf cohomology on complex manifolds, for
coefficients in holomorphic sheaves:
(引用終り)
以上
157１３２人目の素数さん
2020/09/05(土) 08:23:02.94ID:Svsyj+D0158１３２人目の素数さん
2020/09/05(土) 11:48:22.20ID:mUiKRCVR ペタペタコピペすることに何の意味が有るのか？
畜生はそういうことが考えられない
畜生はそういうことが考えられない
159１３２人目の素数さん
2020/09/05(土) 14:33:46.59ID:Svsyj+D0 自分で考えられない人が他人の文章をコピペで剽窃して誤魔化す
そういうことでしょう
そういうことでしょう
160現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/05(土) 16:42:23.33ID:YJxrx+O5 >>142 補足
>”2. Boundary-boundary OPE’s, which are believed to be given by Yoneda pairings of Ext groups.”
>？ Yoneda、Who？ あの米田？（＾＾
米田信夫 でした by チコちゃん（＾＾
”Yoneda pairing”とか、”Yoneda product”とか、結構普通みたいだね
（参考）
https://en.wikipedia.org/wiki/Artin%E2%80%93Verdier_duality
Artin?Verdier duality
(抜粋)
In mathematics, Artin?Verdier duality is a duality theorem for constructible abelian sheaves over the spectrum of a ring of algebraic numbers, introduced by Michael Artin and Jean-Louis Verdier (1964), that generalizes Tate duality.
It shows that, as far as etale (or flat) cohomology is concerned, the ring of integers in a number field behaves like a 3-dimensional mathematical object.
Statement
Let X be the spectrum of the ring of integers in a totally imaginary number field K, and F a constructible etale abelian sheaf on X. Then the Yoneda pairing
H^{r}(X,F)times Ext^{3-r}(F,mathbb {G} _{m}) → H^{3}(X,mathbb {G} _{m})=mathbb {Q} /mathbb {Z}
is a non-degenerate pairing of finite abelian groups, for every integer r.
つづく
>”2. Boundary-boundary OPE’s, which are believed to be given by Yoneda pairings of Ext groups.”
>？ Yoneda、Who？ あの米田？（＾＾
米田信夫 でした by チコちゃん（＾＾
”Yoneda pairing”とか、”Yoneda product”とか、結構普通みたいだね
（参考）
https://en.wikipedia.org/wiki/Artin%E2%80%93Verdier_duality
Artin?Verdier duality
(抜粋)
In mathematics, Artin?Verdier duality is a duality theorem for constructible abelian sheaves over the spectrum of a ring of algebraic numbers, introduced by Michael Artin and Jean-Louis Verdier (1964), that generalizes Tate duality.
It shows that, as far as etale (or flat) cohomology is concerned, the ring of integers in a number field behaves like a 3-dimensional mathematical object.
Statement
Let X be the spectrum of the ring of integers in a totally imaginary number field K, and F a constructible etale abelian sheaf on X. Then the Yoneda pairing
H^{r}(X,F)times Ext^{3-r}(F,mathbb {G} _{m}) → H^{3}(X,mathbb {G} _{m})=mathbb {Q} /mathbb {Z}
is a non-degenerate pairing of finite abelian groups, for every integer r.
つづく
161現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/05(土) 16:42:58.23ID:YJxrx+O5 >>160
つづき
上記”Yoneda pairing”にリンクが張ってあって、下記に飛ぶ
https://en.wikipedia.org/wiki/Yoneda_product
Yoneda product
(抜粋)
In algebra, the Yoneda product (named after Nobuo Yoneda) is the pairing between Ext groups of modules:
Ext^n (M,N)◯x Ext^{m}(L,M) → Ext^{n+m}(L,N)
induced by
Hom (N,M)◯x Hom (M,L) → Hom (N,L),f◯x g → g ・ f.
Specifically, for an element xi ∈ Ext^n (M,N), thought of as an extension
xi :0 → N → E_{0} → ・・・ → E_{n-1} → M → 0,
and similarly
ρ :0 → M → F_{0} → ・・・ → F_{m-1} → L → 0 ∈ Ext^{m}(L,M)
we form the Yoneda (cup) product
xi smile ρ :0 → N → E_{0} → ・・・ → E_{n-1} → F_{0} → ・・・ → F_{m-1} → L → 0 ∈ Ext^{m+n}(L,N).
Note that the middle map E_{n-1} → F_{0}} E_{n-1} → F_{0}} factors through the given maps to M.
We extend this definition to include m,n=0} m,n=0} using the usual functoriality of the Ext^{*}(_,_) groups.
Contents
1 Applications
1.1 Ext Algebras
1.2 Grothendieck duality
1.3 Deformation theory
2 See Also
3 References
4 External links
つづく
つづき
上記”Yoneda pairing”にリンクが張ってあって、下記に飛ぶ
https://en.wikipedia.org/wiki/Yoneda_product
Yoneda product
(抜粋)
In algebra, the Yoneda product (named after Nobuo Yoneda) is the pairing between Ext groups of modules:
Ext^n (M,N)◯x Ext^{m}(L,M) → Ext^{n+m}(L,N)
induced by
Hom (N,M)◯x Hom (M,L) → Hom (N,L),f◯x g → g ・ f.
Specifically, for an element xi ∈ Ext^n (M,N), thought of as an extension
xi :0 → N → E_{0} → ・・・ → E_{n-1} → M → 0,
and similarly
ρ :0 → M → F_{0} → ・・・ → F_{m-1} → L → 0 ∈ Ext^{m}(L,M)
we form the Yoneda (cup) product
xi smile ρ :0 → N → E_{0} → ・・・ → E_{n-1} → F_{0} → ・・・ → F_{m-1} → L → 0 ∈ Ext^{m+n}(L,N).
Note that the middle map E_{n-1} → F_{0}} E_{n-1} → F_{0}} factors through the given maps to M.
We extend this definition to include m,n=0} m,n=0} using the usual functoriality of the Ext^{*}(_,_) groups.
Contents
1 Applications
1.1 Ext Algebras
1.2 Grothendieck duality
1.3 Deformation theory
2 See Also
3 References
4 External links
つづく
162現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/05(土) 16:43:20.77ID:YJxrx+O5 >>161
つづき
References
Altman; Kleiman. Grothendieck Duality. p. 5.
Illusie, Luc. "Complexe cotangent; application a la theorie des deformations" (PDF). p. 163.
May, J. Peter. "Notes on Tor and Ext" (PDF).
External links
https://mathoverflow.net/questions/121140/universality-of-ext-functor-using-yoneda-extensions
Universality of Ext functor using Yoneda extensions asked Feb 8 '13 at 2:27 Arkandias
(抜粋)
Let C be an abelian category (possibly without enough injective nor projective).
(i) Let A,B∈C. When are the Extn(A,B) (defined using Yoneda extensions) sets ?
つづく
つづき
References
Altman; Kleiman. Grothendieck Duality. p. 5.
Illusie, Luc. "Complexe cotangent; application a la theorie des deformations" (PDF). p. 163.
May, J. Peter. "Notes on Tor and Ext" (PDF).
External links
https://mathoverflow.net/questions/121140/universality-of-ext-functor-using-yoneda-extensions
Universality of Ext functor using Yoneda extensions asked Feb 8 '13 at 2:27 Arkandias
(抜粋)
Let C be an abelian category (possibly without enough injective nor projective).
(i) Let A,B∈C. When are the Extn(A,B) (defined using Yoneda extensions) sets ?
つづく
163現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/05(土) 16:43:38.09ID:YJxrx+O5 >>162
つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Nobuo_Yoneda
Nobuo Yoneda
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B1%B3%E7%94%B0%E4%BF%A1%E5%A4%AB
米田信夫
(抜粋)
米田 信夫（よねだ のぶお、1930年3月28日 - 1996年4月22日）
1961年東京大学で理学博士号を取得した。博士論文の題は「On ext and exact sequences」[1]。
圏論における米田の補題に名を残している[2]。
脚注
1^ CiNii 博士論文
2^ しかしながら、現在につながる形で最初に用いたのはグロタンディークである。
http://www.numdam.org/item/SB_1958-1960__5__369_0/
A.Grothendieck (1958-1960), Technique de descente et theoremes d'existence en geometrie algebriques. II. Le theoreme d'existence en theorie formelle des modules.、
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Grothendieck_functor
Encyclopedia of Mathematics : Grothendieck functor
(抜粋)
Comments
In the English literature, the Grothendieck functor is commonly called the Yoneda embedding or the Yoneda?Grothendieck embedding.
つづく
つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Nobuo_Yoneda
Nobuo Yoneda
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B1%B3%E7%94%B0%E4%BF%A1%E5%A4%AB
米田信夫
(抜粋)
米田 信夫（よねだ のぶお、1930年3月28日 - 1996年4月22日）
1961年東京大学で理学博士号を取得した。博士論文の題は「On ext and exact sequences」[1]。
圏論における米田の補題に名を残している[2]。
脚注
1^ CiNii 博士論文
2^ しかしながら、現在につながる形で最初に用いたのはグロタンディークである。
http://www.numdam.org/item/SB_1958-1960__5__369_0/
A.Grothendieck (1958-1960), Technique de descente et theoremes d'existence en geometrie algebriques. II. Le theoreme d'existence en theorie formelle des modules.、
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Grothendieck_functor
Encyclopedia of Mathematics : Grothendieck functor
(抜粋)
Comments
In the English literature, the Grothendieck functor is commonly called the Yoneda embedding or the Yoneda?Grothendieck embedding.
つづく
164現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/05(土) 16:44:33.04ID:YJxrx+O5 >>163
つづき
https://mathoverflow.net/questions/354692/the-yoneda-pairing-hypercohomology-and-cup-product
The Yoneda pairing, hypercohomology, and cup product asked Mar 11 at 10:41 Svinto
(抜粋)
Let F and G be coherent analytic sheaves on Pn. Let F・ be a locally free resolution of F. In Principles of Algebraic Geometry by Griffiths and Harris, Extp(F,G) is defined as the hypercohomology of the complex Hom(F・,G), i.e., the cohomology of the complex ◯+p=k+ｌCk(U,Hom(Fｌ,G)), see pages 705 and 446. Here C・(U,Hom(Fｌ,G)) denotes the ?ech complex with respect to some affine open cover U of Pn.
If I understand correctly, the Yoneda pairing
Extp(F,G)×Extq(G,H)→Extp+q(F,H)
should then be induced by the cup product in ?ech cohomology. However, I fail to see precisely how this works out.
つづく
つづき
https://mathoverflow.net/questions/354692/the-yoneda-pairing-hypercohomology-and-cup-product
The Yoneda pairing, hypercohomology, and cup product asked Mar 11 at 10:41 Svinto
(抜粋)
Let F and G be coherent analytic sheaves on Pn. Let F・ be a locally free resolution of F. In Principles of Algebraic Geometry by Griffiths and Harris, Extp(F,G) is defined as the hypercohomology of the complex Hom(F・,G), i.e., the cohomology of the complex ◯+p=k+ｌCk(U,Hom(Fｌ,G)), see pages 705 and 446. Here C・(U,Hom(Fｌ,G)) denotes the ?ech complex with respect to some affine open cover U of Pn.
If I understand correctly, the Yoneda pairing
Extp(F,G)×Extq(G,H)→Extp+q(F,H)
should then be induced by the cup product in ?ech cohomology. However, I fail to see precisely how this works out.
つづく
165現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/05(土) 16:44:55.06ID:YJxrx+O5 >>164
つづき
http://math.uchicago.edu/~may/REU2013/REUPapers/Fung.pdf
SERRE DUALITY AND APPLICATIONS JUN HOU FUNG Date: September 15, 2013
(抜粋)
Abstract. We carefully develop the theory of Serre duality and dualizing
sheaves. We differ from the approach in [12] in that the use of spectral sequences and the Yoneda pairing are emphasized to put the proofs in a more systematic framework.
2.3. The Yoneda pairing 10
2.3. The Yoneda pairing. The statement of theorem 2.1 refers to the Yoneda
pairing which we describe here, using the language of abelian categories and derived
functors. Recall, an object I in an abelian category C is injective if Hom(?, I) is
exact. The category C has enough injectives if every object is isomorphic to a
subobject of an injective object.
Theorem/Definition 2.12 (Yoneda-Cartier). Let C and D be abelian categories
and suppose C has enough injectives. Let F : C → D be an additive, left-exact
functor. Then for any two objects A, B in C, there exist δ-functorial (i.e., functorial
in A and B and compatible with connecting morphisms) pairings
RpF(A) × ExtqC(A, B) → Rp+qF(B)
for all nonnegative integers p and q.
(引用終り)
以上
つづき
http://math.uchicago.edu/~may/REU2013/REUPapers/Fung.pdf
SERRE DUALITY AND APPLICATIONS JUN HOU FUNG Date: September 15, 2013
(抜粋)
Abstract. We carefully develop the theory of Serre duality and dualizing
sheaves. We differ from the approach in [12] in that the use of spectral sequences and the Yoneda pairing are emphasized to put the proofs in a more systematic framework.
2.3. The Yoneda pairing 10
2.3. The Yoneda pairing. The statement of theorem 2.1 refers to the Yoneda
pairing which we describe here, using the language of abelian categories and derived
functors. Recall, an object I in an abelian category C is injective if Hom(?, I) is
exact. The category C has enough injectives if every object is isomorphic to a
subobject of an injective object.
Theorem/Definition 2.12 (Yoneda-Cartier). Let C and D be abelian categories
and suppose C has enough injectives. Let F : C → D be an additive, left-exact
functor. Then for any two objects A, B in C, there exist δ-functorial (i.e., functorial
in A and B and compatible with connecting morphisms) pairings
RpF(A) × ExtqC(A, B) → Rp+qF(B)
for all nonnegative integers p and q.
(引用終り)
以上
166現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/05(土) 17:15:31.42ID:YJxrx+O5 （>>108-109 再録）
神脳 河野玄斗 数学勉強法：”理解”がキーワード
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B2%B3%E9%87%8E%E7%8E%84%E6%96%97
河野玄斗
http://kosodatedoctor.ハテナブログ/entry/2019/06/05/173848
Dr.よつばの医師夫婦育児日記
2019-06-05
※勉強は、幹から押さえることが重要※
→枝葉にこんつめて失敗することがない。
→メリハリづけ、優先順位をつけることで効率ＵＰ
※人に教えることが最良のアウトプット※
→人に教えるつもりで、押さえるべき重要部分を意識する。
→自分の言葉でそしゃくして、 わかりやすく置き換えられれば理解できてる。
「勉強は、 全体像を常に意識して一区切りしたら人に教えるノリで要約してい く。
暗記科目でも、まずは理解に専念して全体像をつかむ。
説明すると、頭の情報が自分の言葉で言語化されるし、 要約するとこれだけか、とわかる。
(8)独学の意識を持つ
教わるのではなく、自分から勉強する。独学が最も効率的。
おサルは、そういう勉強をしてこなかったみたいだな
グロタンディークのまね、抽象的な数学を抽象的なまま考えようとした、身の程知らず
たかが、小学生で遠山先生の「数学入門」程度を読んだ程度で、舞い上がるサル
それが、数学落ちこぼれの原因ですよ（＾＾；
(引用終り)
補足：
いま、コピペしているのは、神脳 河野玄斗 数学勉強法の
「→人に教えるつもりで、押さえるべき重要部分を意識する」の部分です
”→自分の言葉でそしゃくして、 わかりやすく置き換えられれば理解できてる”が出来れば良いが
なかなかそこまで行かない。でも、オチコボレのばかサルよりましかもよｗｗｗ
神脳 河野玄斗 数学勉強法：”理解”がキーワード
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B2%B3%E9%87%8E%E7%8E%84%E6%96%97
河野玄斗
http://kosodatedoctor.ハテナブログ/entry/2019/06/05/173848
Dr.よつばの医師夫婦育児日記
2019-06-05
※勉強は、幹から押さえることが重要※
→枝葉にこんつめて失敗することがない。
→メリハリづけ、優先順位をつけることで効率ＵＰ
※人に教えることが最良のアウトプット※
→人に教えるつもりで、押さえるべき重要部分を意識する。
→自分の言葉でそしゃくして、 わかりやすく置き換えられれば理解できてる。
「勉強は、 全体像を常に意識して一区切りしたら人に教えるノリで要約してい く。
暗記科目でも、まずは理解に専念して全体像をつかむ。
説明すると、頭の情報が自分の言葉で言語化されるし、 要約するとこれだけか、とわかる。
(8)独学の意識を持つ
教わるのではなく、自分から勉強する。独学が最も効率的。
おサルは、そういう勉強をしてこなかったみたいだな
グロタンディークのまね、抽象的な数学を抽象的なまま考えようとした、身の程知らず
たかが、小学生で遠山先生の「数学入門」程度を読んだ程度で、舞い上がるサル
それが、数学落ちこぼれの原因ですよ（＾＾；
(引用終り)
補足：
いま、コピペしているのは、神脳 河野玄斗 数学勉強法の
「→人に教えるつもりで、押さえるべき重要部分を意識する」の部分です
”→自分の言葉でそしゃくして、 わかりやすく置き換えられれば理解できてる”が出来れば良いが
なかなかそこまで行かない。でも、オチコボレのばかサルよりましかもよｗｗｗ
167現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/05(土) 17:24:37.36ID:YJxrx+O5 ＜オチコボレのばかサル＞
１．時枝でも間違いを犯し
（参考）現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/7 時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）
２．IUT でも、自分が理解できないくせに、IUTアンチでIUTをディスりまくり、間違いを犯す大失敗 （IUTは正しいよ（＾＾ ）
（参考）Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 48 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592119272/1
３．この「純粋・応用数学（含むガロア理論）4 」スレでも、人の揚げ足を取りに来て、自分が連続失言して、大失敗
（例えば、”例えば群の例で、自然数しか思いつかないようなもんで唯一の例を根拠に「群の演算は可換！」とか言いきったら馬鹿”とか、大爆笑。自然数は群ではない（＾＾ ）
１．時枝でも間違いを犯し
（参考）現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/7 時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）
２．IUT でも、自分が理解できないくせに、IUTアンチでIUTをディスりまくり、間違いを犯す大失敗 （IUTは正しいよ（＾＾ ）
（参考）Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 48 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592119272/1
３．この「純粋・応用数学（含むガロア理論）4 」スレでも、人の揚げ足を取りに来て、自分が連続失言して、大失敗
（例えば、”例えば群の例で、自然数しか思いつかないようなもんで唯一の例を根拠に「群の演算は可換！」とか言いきったら馬鹿”とか、大爆笑。自然数は群ではない（＾＾ ）
168１３２人目の素数さん
2020/09/05(土) 18:40:40.31ID:Svsyj+D0169１３２人目の素数さん
2020/09/05(土) 18:51:07.19ID:Svsyj+D0 １．数学セミナー201511月号の記事「箱入り無数目」は正しいですよ
２．望月新一のABC予想の証明は、まだ十分ではないですね
３．自然数の全体は群ではないですね 整数と書くつもりで間違ったんでしょう
ただ正則行列と書くべきところを、正方行列と間違える人はいないと思いますが
２．望月新一のABC予想の証明は、まだ十分ではないですね
３．自然数の全体は群ではないですね 整数と書くつもりで間違ったんでしょう
ただ正則行列と書くべきところを、正方行列と間違える人はいないと思いますが
170１３２人目の素数さん
2020/09/05(土) 19:00:46.98ID:Svsyj+D0 >>166
＞教わるのではなく、自分から勉強する。独学が最も効率的。
独学の怖いところは誰も間違いを指摘してくれず
二つ三つと間違い続けて全然誤った結果に至っても
全然気づかず受け入れてしまう点ですね
全ての正方行列が逆行列を持つなんて、
大学で線形代数の講義を聞いていたら
誤りだと気付くんですがね
教科書の定義を全く読まずに
計算式だけ丸暗記して
しかも実際の計算は全くしないと
ウソを正しいと誤解しますね
逆行列のない正方行列なんて幾らでもできますからね
ついでにいうと全ての固有値が０となる行列で
零行列でない行列というのも幾らでもありますね
あ、いま、ビクッってしました？
もしかして全ての固有値が０なら零行列だと思ってました？
いるんですよね 何の根拠もなくそう思い込む人が
論理抜きで直感で思い込む癖のある人は独学に最も向きませんよ
＞教わるのではなく、自分から勉強する。独学が最も効率的。
独学の怖いところは誰も間違いを指摘してくれず
二つ三つと間違い続けて全然誤った結果に至っても
全然気づかず受け入れてしまう点ですね
全ての正方行列が逆行列を持つなんて、
大学で線形代数の講義を聞いていたら
誤りだと気付くんですがね
教科書の定義を全く読まずに
計算式だけ丸暗記して
しかも実際の計算は全くしないと
ウソを正しいと誤解しますね
逆行列のない正方行列なんて幾らでもできますからね
ついでにいうと全ての固有値が０となる行列で
零行列でない行列というのも幾らでもありますね
あ、いま、ビクッってしました？
もしかして全ての固有値が０なら零行列だと思ってました？
いるんですよね 何の根拠もなくそう思い込む人が
論理抜きで直感で思い込む癖のある人は独学に最も向きませんよ
171現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/05(土) 22:05:23.10ID:YJxrx+O5 >>64 追加
＊）バーンサイドの問題（英語版）：「現代幾何学の流れ」(>>64)のグロモフ（藤原耕二氏）にバーンサイドの問題が出てくる。P169だが
関連して、グロモフの1987年の定理があると記述されているが、下記には出てこない
しかし、”The case of arbitrary exponent has been completely settled in the affirmative by Efim Zelmanov, who was awarded the Fields Medal in 1994 for his work.”
に関連した、ゼルマノフ（Zelmanov）、1994フィールズ賞の記述はあるね
（参考）
https://en.wikipedia.org/wiki/Burnside_problem
Burnside problem
(抜粋)
The Burnside problem, posed by William Burnside in 1902 and one of the oldest and most influential questions in group theory, asks whether a finitely generated group in which every element has finite order must necessarily be a finite group. Evgeny Golod and Igor Shafarevich provided a counter-example in 1964. The problem has many variants (see bounded and restricted below) that differ in the additional conditions imposed on the orders of the group elements.
Restricted Burnside problem
In the case of the prime exponent p, this problem was extensively studied by A. I. Kostrikin during the 1950s, prior to the negative solution of the general Burnside problem. His solution, establishing the finiteness of B0(m, p), used a relation with deep questions about identities in Lie algebras in finite characteristic. The case of arbitrary exponent has been completely settled in the affirmative by Efim Zelmanov, who was awarded the Fields Medal in 1994 for his work.
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Burnside_problem/
A history of the Burnside problem
つづく
＊）バーンサイドの問題（英語版）：「現代幾何学の流れ」(>>64)のグロモフ（藤原耕二氏）にバーンサイドの問題が出てくる。P169だが
関連して、グロモフの1987年の定理があると記述されているが、下記には出てこない
しかし、”The case of arbitrary exponent has been completely settled in the affirmative by Efim Zelmanov, who was awarded the Fields Medal in 1994 for his work.”
に関連した、ゼルマノフ（Zelmanov）、1994フィールズ賞の記述はあるね
（参考）
https://en.wikipedia.org/wiki/Burnside_problem
Burnside problem
(抜粋)
The Burnside problem, posed by William Burnside in 1902 and one of the oldest and most influential questions in group theory, asks whether a finitely generated group in which every element has finite order must necessarily be a finite group. Evgeny Golod and Igor Shafarevich provided a counter-example in 1964. The problem has many variants (see bounded and restricted below) that differ in the additional conditions imposed on the orders of the group elements.
Restricted Burnside problem
In the case of the prime exponent p, this problem was extensively studied by A. I. Kostrikin during the 1950s, prior to the negative solution of the general Burnside problem. His solution, establishing the finiteness of B0(m, p), used a relation with deep questions about identities in Lie algebras in finite characteristic. The case of arbitrary exponent has been completely settled in the affirmative by Efim Zelmanov, who was awarded the Fields Medal in 1994 for his work.
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Burnside_problem/
A history of the Burnside problem
つづく
172現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/05(土) 22:05:43.63ID:YJxrx+O5 >>171
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8D%A9%E3%82%8C_(%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)
捩れ (代数学)
抽象代数学において、捩れ（ねじれ、英: torsion）は、群の場合は、有限位数の元を言い、また環上の加群の場合は、環のある正則元によって零化される加群の元を言う。
定義
捩れは群の元と環上の加群の元とに対してそれぞれ定義される。任意のアーベル群は整数環 Z の上の加群と見ることができ、この場合は 2つの捩れの考え方は一致する。
群に対して
群 G の元 g は、有限位数を持つとき、つまり、正の整数が存在し、gm = e となるようなとき、群の捩れ元 (torsion element) と呼ぶ。ここで e は群の単位元を、 gm は m 個の g のコピーの積を表す。群は、すべての元が捩れ元であるとき、捩れ群 (torsion group)、あるいは周期群 (periodic group) といい、捩れ元が単位元のみ場合を捩れのない群 (torsion-free group) という[1]。アーベル群 A の捩れ元全体 T は部分群をなし、捩れ部分群 (torsion-subgroup) と呼ばれる[2]。このとき A/T は捩れのない群である。
加群に対して
環 R 上の加群 M の元 m は、環の正則元[注 1] r が存在して、m を零化する、すなわち r?m = 0 となるとき、加群の捩れ元 (torsion element) という[3][注 2]。
加群 M の捩れ元すべてからなる集合を t(M) と表す。
（注 1^ すべての 0 ≠ s ∈ R に対して rs ≠ 0 ≠ sr が成り立つような元 r ∈ R を正則元という。）
（注 2^ 整域（零因子が 0 のみの可換環）では、全ての非零元が正則であるので、整域上の加群の捩れ元は、整域の非零元により零化される元であり、これを捩れ元の定義として使っている著者もいる。しかしこの定義は、一般の環の上ではうまくいかない（例えば後述の捩れがない加群は、零因子を持つ環上零加群しか存在しなくなってしまう）。）
つづく
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8D%A9%E3%82%8C_(%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)
捩れ (代数学)
抽象代数学において、捩れ（ねじれ、英: torsion）は、群の場合は、有限位数の元を言い、また環上の加群の場合は、環のある正則元によって零化される加群の元を言う。
定義
捩れは群の元と環上の加群の元とに対してそれぞれ定義される。任意のアーベル群は整数環 Z の上の加群と見ることができ、この場合は 2つの捩れの考え方は一致する。
群に対して
群 G の元 g は、有限位数を持つとき、つまり、正の整数が存在し、gm = e となるようなとき、群の捩れ元 (torsion element) と呼ぶ。ここで e は群の単位元を、 gm は m 個の g のコピーの積を表す。群は、すべての元が捩れ元であるとき、捩れ群 (torsion group)、あるいは周期群 (periodic group) といい、捩れ元が単位元のみ場合を捩れのない群 (torsion-free group) という[1]。アーベル群 A の捩れ元全体 T は部分群をなし、捩れ部分群 (torsion-subgroup) と呼ばれる[2]。このとき A/T は捩れのない群である。
加群に対して
環 R 上の加群 M の元 m は、環の正則元[注 1] r が存在して、m を零化する、すなわち r?m = 0 となるとき、加群の捩れ元 (torsion element) という[3][注 2]。
加群 M の捩れ元すべてからなる集合を t(M) と表す。
（注 1^ すべての 0 ≠ s ∈ R に対して rs ≠ 0 ≠ sr が成り立つような元 r ∈ R を正則元という。）
（注 2^ 整域（零因子が 0 のみの可換環）では、全ての非零元が正則であるので、整域上の加群の捩れ元は、整域の非零元により零化される元であり、これを捩れ元の定義として使っている著者もいる。しかしこの定義は、一般の環の上ではうまくいかない（例えば後述の捩れがない加群は、零因子を持つ環上零加群しか存在しなくなってしまう）。）
つづく
173現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/05(土) 22:06:41.92ID:YJxrx+O5 >>172
つづき
環 R 上の加群 M は、t(M) = M であるとき、捩れ加群 (torsion module) と呼ばれ、t(M) = 0 であるとき、捩れがない (torsion-free) と言う。t(M) が M の部分加群をなすとき、t(M) を捩れ部分加群 (torsion submodule) という。環 R が整域(可換性だけでは足りない。実際Z/6Zを自分の上の加群と見てみればよい)であれば、t(M) は捩れ部分加群である。R が非可換であれば t(M) は部分加群になるとは限らない。R が右Ore環（英語版）であることと、t(M) がすべての右 R 加群に対して M の部分加群であることとは同値である[4]。右ネーター域は Ore であるので、これは、R が右ネーター域の場合を含んでいる。
より一般的に、M を環 R 上の加群とし、S を R の積閉集合とする。このとき標準的な写像 M → MS の核を tS(M) と表す。tS(M) = M のとき、つまり M のすべての元 m は、S のある元 s によって零化されるとき、M は S-捩れ (S-torsion) と呼ばれる[5]。また tS(M) = 0 のとき、M はS-捻れなし (S-torsionless) という。特に、S を環 R の正則元全体の集合ととると上記の定義が再現される。
群に対して
・任意の有限群は周期的で有限生成である。バーンサイドの問題（英語版）＊）は、逆に、任意の有限生成の周期群は必ず有限であるかという問題である。（答えは、たとえ周期が固定されていても、一般には否定的である。）
・mod 1 での有理数からなるアーベル群 Q/Z は周期的である。類似して、一変数多項式環 R = K[t] 上の加群 K(t)/K[t] は pure torsion である。これらの例を次のように一般化することができる。R が可換整域で Q がその分数体であれば、Q/R は捩れ R-加群である。
・加法群 R/Z の捩れ部分群は Q/Z であり、一方、加法群 R や Z は捩れがない。捩れのないアーベル群（英語版）の部分群による商が捩れなしであるのは、ちょうど、その部分群がpure subgroup（英語版）であるときである。
つづく
つづき
環 R 上の加群 M は、t(M) = M であるとき、捩れ加群 (torsion module) と呼ばれ、t(M) = 0 であるとき、捩れがない (torsion-free) と言う。t(M) が M の部分加群をなすとき、t(M) を捩れ部分加群 (torsion submodule) という。環 R が整域(可換性だけでは足りない。実際Z/6Zを自分の上の加群と見てみればよい)であれば、t(M) は捩れ部分加群である。R が非可換であれば t(M) は部分加群になるとは限らない。R が右Ore環（英語版）であることと、t(M) がすべての右 R 加群に対して M の部分加群であることとは同値である[4]。右ネーター域は Ore であるので、これは、R が右ネーター域の場合を含んでいる。
より一般的に、M を環 R 上の加群とし、S を R の積閉集合とする。このとき標準的な写像 M → MS の核を tS(M) と表す。tS(M) = M のとき、つまり M のすべての元 m は、S のある元 s によって零化されるとき、M は S-捩れ (S-torsion) と呼ばれる[5]。また tS(M) = 0 のとき、M はS-捻れなし (S-torsionless) という。特に、S を環 R の正則元全体の集合ととると上記の定義が再現される。
群に対して
・任意の有限群は周期的で有限生成である。バーンサイドの問題（英語版）＊）は、逆に、任意の有限生成の周期群は必ず有限であるかという問題である。（答えは、たとえ周期が固定されていても、一般には否定的である。）
・mod 1 での有理数からなるアーベル群 Q/Z は周期的である。類似して、一変数多項式環 R = K[t] 上の加群 K(t)/K[t] は pure torsion である。これらの例を次のように一般化することができる。R が可換整域で Q がその分数体であれば、Q/R は捩れ R-加群である。
・加法群 R/Z の捩れ部分群は Q/Z であり、一方、加法群 R や Z は捩れがない。捩れのないアーベル群（英語版）の部分群による商が捩れなしであるのは、ちょうど、その部分群がpure subgroup（英語版）であるときである。
つづく
174現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/05(土) 22:07:02.38ID:YJxrx+O5 >>173
つづき
加群に対して
・M を任意の環 R 上の自由加群とすると、定義より直ちに、M は捩れがないことが分かる。特に、任意の自由アーベル群は捩れを持たず、体 K 上のベクトル空間は K 上の加群と見たとき、捩れがない。
・有限次元ベクトル空間 V に作用する線型作用素 L を考える。V を自然な方法で F[L]-加群と見ると、（多くのことの結果として、単純に有限次元性から、あるいはケイリー・ハミルトンの定理によって）V は捩れ F[L] 加群である。
ホモロジー代数における捩れ
捩れの概念はホモロジー代数において重要な役割を果たす。M と N を可換環 R 上の加群とすると、Tor函手は R-加群 TorRi(M, N) の族を与える。R-加群 M の S-捩れ tS(M) は、標準的に TorR1(M, RS/R) と同型となる。この函手を表す記号 Tor はこの代数的な捩れとの関係を反映している。非可換環の場合でも S が右支配的集合である限りは、同じ結果が成り立つ。
アーベル多様体
複素数体上の楕円曲線の 4-捩れ部分群
アーベル多様体の捩れ元は、捩れ点、あるいは、古い用語では、分割点と呼ばれる。楕円曲線上では、捩れ元は分割多項式（英語版）(division polynomials)の項として計算される。
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d5/Lattice_torsion_points.svg/300px-Lattice_torsion_points.svg.png
複素数体上の楕円曲線の 4-捩れ部分群
(引用終り)
以上
つづき
加群に対して
・M を任意の環 R 上の自由加群とすると、定義より直ちに、M は捩れがないことが分かる。特に、任意の自由アーベル群は捩れを持たず、体 K 上のベクトル空間は K 上の加群と見たとき、捩れがない。
・有限次元ベクトル空間 V に作用する線型作用素 L を考える。V を自然な方法で F[L]-加群と見ると、（多くのことの結果として、単純に有限次元性から、あるいはケイリー・ハミルトンの定理によって）V は捩れ F[L] 加群である。
ホモロジー代数における捩れ
捩れの概念はホモロジー代数において重要な役割を果たす。M と N を可換環 R 上の加群とすると、Tor函手は R-加群 TorRi(M, N) の族を与える。R-加群 M の S-捩れ tS(M) は、標準的に TorR1(M, RS/R) と同型となる。この函手を表す記号 Tor はこの代数的な捩れとの関係を反映している。非可換環の場合でも S が右支配的集合である限りは、同じ結果が成り立つ。
アーベル多様体
複素数体上の楕円曲線の 4-捩れ部分群
アーベル多様体の捩れ元は、捩れ点、あるいは、古い用語では、分割点と呼ばれる。楕円曲線上では、捩れ元は分割多項式（英語版）(division polynomials)の項として計算される。
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d5/Lattice_torsion_points.svg/300px-Lattice_torsion_points.svg.png
複素数体上の楕円曲線の 4-捩れ部分群
(引用終り)
以上
175現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/05(土) 22:50:43.05ID:YJxrx+O5 (再録)
純粋・応用数学（含むガロア理論）3
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/370
必死に、失言を誤魔化そうと、他人を攻撃するおサルさん、哀れｗ
>>133で、群の例で、非可換のものを挙げてくれと言い出したのは、おサルです
私が、>>134で「折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな
群は基本的に非可換だよ」と書いた
（補足説明も、>>134-136に書いてある）
おサルは、何を勘違いしたのか、これを「全ての正方行列が群を成す」と曲解して、騒ぐのです（＾＾
（”全て”とか、言ってないんだよね、私は。おサルの妄想・幻聴です。
>>145-146に、（行列による）「群の表現」の話もしている（明らかに「全て」でなく”部分”群も可です））
ほんと、バカですね。正方行列と言っても、これだけでは何も決まっていない。数学では、デフォルトの部分も多い
普通は、nxn次元（nは2以上）の行列だとか、ｎを固定する
というか、今の場合は、普通にｎを固定して、ｎ有限次元で考えますよね（これ（ｎ固定）、デフォルトです）
で、群と言えば、逆元。いろんな代数系で、群は（積の）「逆元の存在が保障されている代数系」の一つです
逆元は普通に、デフォルトです（言わないが合意事項）。群の公理を仮定しているのに、いちいち、「群に逆元が存在する」などと、いうことはありません
群の表現論で使うnxn行列で、わざわざ「群に逆元が存在する」などとは、ド素人ｗ
で、うるさいから、正方行列で、>>149で”零因子 高校数学 >> 旧高校数学C 、行列環や零因子（wikipedia）などを自学自習して下さい”と言った
ところがところが、おサルは怒り狂って「なんかまたトンチンカンなこといってるな、零因子の話なんかまったくしてないぞ」という（>>160）
やれやれですなｗ（＾＾；
(引用終り)
＜補足＞
これ
「折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな
群は基本的に非可換だよ」
↓
もっと簡単にして
「折角だから書いておくと、行列とか多元数あたりな・・
とでも書いておけば、意図はずっと明確になったろう
念頭にあったのは、行列による群の表現理論です
つづく
純粋・応用数学（含むガロア理論）3
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/370
必死に、失言を誤魔化そうと、他人を攻撃するおサルさん、哀れｗ
>>133で、群の例で、非可換のものを挙げてくれと言い出したのは、おサルです
私が、>>134で「折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな
群は基本的に非可換だよ」と書いた
（補足説明も、>>134-136に書いてある）
おサルは、何を勘違いしたのか、これを「全ての正方行列が群を成す」と曲解して、騒ぐのです（＾＾
（”全て”とか、言ってないんだよね、私は。おサルの妄想・幻聴です。
>>145-146に、（行列による）「群の表現」の話もしている（明らかに「全て」でなく”部分”群も可です））
ほんと、バカですね。正方行列と言っても、これだけでは何も決まっていない。数学では、デフォルトの部分も多い
普通は、nxn次元（nは2以上）の行列だとか、ｎを固定する
というか、今の場合は、普通にｎを固定して、ｎ有限次元で考えますよね（これ（ｎ固定）、デフォルトです）
で、群と言えば、逆元。いろんな代数系で、群は（積の）「逆元の存在が保障されている代数系」の一つです
逆元は普通に、デフォルトです（言わないが合意事項）。群の公理を仮定しているのに、いちいち、「群に逆元が存在する」などと、いうことはありません
群の表現論で使うnxn行列で、わざわざ「群に逆元が存在する」などとは、ド素人ｗ
で、うるさいから、正方行列で、>>149で”零因子 高校数学 >> 旧高校数学C 、行列環や零因子（wikipedia）などを自学自習して下さい”と言った
ところがところが、おサルは怒り狂って「なんかまたトンチンカンなこといってるな、零因子の話なんかまったくしてないぞ」という（>>160）
やれやれですなｗ（＾＾；
(引用終り)
＜補足＞
これ
「折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな
群は基本的に非可換だよ」
↓
もっと簡単にして
「折角だから書いておくと、行列とか多元数あたりな・・
とでも書いておけば、意図はずっと明確になったろう
念頭にあったのは、行列による群の表現理論です
つづく
176現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/05(土) 22:51:07.05ID:YJxrx+O5 >>175
つづき
行列の積は、基本は非可換だからね
そして、群だから、結合則や積ghに対する積hgの要請から、行列は必然正方行列にならざるを得ないのです
（逆元の存在要請から、零因子は除かれるし、正則行列に限られる）
だが、チラと”行列”だけでは、不親切と思ったので、正方行列にした
ゆとり世代の読者が存在することに配慮して、専門用語”正則行列”は避けた。ここは日本数学会でなく、５ｃｈだから、ここの日常会話ではこれで十分だ
が、アホが揚げ足とりに来て、行列の零因子と逆行列の関係が理解できていない赤っ恥を露呈。笑えたな
面白いな、アホなおサルさん
以上
つづき
行列の積は、基本は非可換だからね
そして、群だから、結合則や積ghに対する積hgの要請から、行列は必然正方行列にならざるを得ないのです
（逆元の存在要請から、零因子は除かれるし、正則行列に限られる）
だが、チラと”行列”だけでは、不親切と思ったので、正方行列にした
ゆとり世代の読者が存在することに配慮して、専門用語”正則行列”は避けた。ここは日本数学会でなく、５ｃｈだから、ここの日常会話ではこれで十分だ
が、アホが揚げ足とりに来て、行列の零因子と逆行列の関係が理解できていない赤っ恥を露呈。笑えたな
面白いな、アホなおサルさん
以上
177現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/05(土) 23:08:01.32ID:YJxrx+O5 >>91
(引用開始)
>>81
>フィールズ賞 1954年
>セール：Reformulated and extended some of the main results of complex variable theory in terms of sheaves.
ああ、あんた全然わかってないな
セールのフィールズ賞の主たる受賞理由は
Achieved major results on the homotopy groups of spheres, especially in his use of the method of spectral sequences.
「球体のホモトピー群について、特にスペクトル系列の方法を用いて大きな成果をあげた。」
だよ
あんたが球面のホモトピー群の意義を理解できないだけｗ
(引用終り)
(>>81より）
再録
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%82%BA%E8%B3%9E
フィールズ賞
(抜粋)
1954年（アムステルダム）
小平邦彦（Kunihiko Kodaira, 1915年 - 1997年）日本の旗 日本
「 Achieved major results in the theory of harmonic integrals and numerous applications to Kahlerian and more specifically to algebraic varieties. He demonstrated, by sheaf cohomology, that such varieties are Hodge manifolds. 」
ジャン=ピエール・セール（Jean-Pierre Serre, 1926年 - ）フランスの旗 フランス
「 Achieved major results on the homotopy groups of spheres, especially in his use of the method of spectral sequences. Reformulated and extended some of the main results of complex variable theory in terms of sheaves.
(引用終り)
この話も、おサルが人の揚げ足を取ろうと、仕掛けてきて、自分の常識の無さを露呈の赤っ恥ｗ（＾＾
笑える
フィールズ賞で、”球面のホモトピー群”と”スペクトル系列”と、どちらが重視されたのか？ 分からない？ 常識が欠けているな
そもそも、”especially ”って書いてあるし
後に”Reformulated and extended some of the main results of complex variable theory in terms of sheaves.”とある
”スペクトル系列”と”sheaves”との繋がりが、見えないとしたら、常識が欠けているな
つづく
(引用開始)
>>81
>フィールズ賞 1954年
>セール：Reformulated and extended some of the main results of complex variable theory in terms of sheaves.
ああ、あんた全然わかってないな
セールのフィールズ賞の主たる受賞理由は
Achieved major results on the homotopy groups of spheres, especially in his use of the method of spectral sequences.
「球体のホモトピー群について、特にスペクトル系列の方法を用いて大きな成果をあげた。」
だよ
あんたが球面のホモトピー群の意義を理解できないだけｗ
(引用終り)
(>>81より）
再録
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%82%BA%E8%B3%9E
フィールズ賞
(抜粋)
1954年（アムステルダム）
小平邦彦（Kunihiko Kodaira, 1915年 - 1997年）日本の旗 日本
「 Achieved major results in the theory of harmonic integrals and numerous applications to Kahlerian and more specifically to algebraic varieties. He demonstrated, by sheaf cohomology, that such varieties are Hodge manifolds. 」
ジャン=ピエール・セール（Jean-Pierre Serre, 1926年 - ）フランスの旗 フランス
「 Achieved major results on the homotopy groups of spheres, especially in his use of the method of spectral sequences. Reformulated and extended some of the main results of complex variable theory in terms of sheaves.
(引用終り)
この話も、おサルが人の揚げ足を取ろうと、仕掛けてきて、自分の常識の無さを露呈の赤っ恥ｗ（＾＾
笑える
フィールズ賞で、”球面のホモトピー群”と”スペクトル系列”と、どちらが重視されたのか？ 分からない？ 常識が欠けているな
そもそも、”especially ”って書いてあるし
後に”Reformulated and extended some of the main results of complex variable theory in terms of sheaves.”とある
”スペクトル系列”と”sheaves”との繋がりが、見えないとしたら、常識が欠けているな
つづく
178現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/05(土) 23:08:24.26ID:YJxrx+O5 >>177
つづき
（下記の通りですよ）
（参考）
https://en.wikipedia.org/wiki/Jean-Pierre_Serre
Jean-Pierre Serre
(抜粋)
Career
From a very young age he was an outstanding figure in the school of Henri Cartan,[2] working on algebraic topology, several complex variables and then commutative algebra and algebraic geometry, where he introduced sheaf theory and homological algebra techniques. Serre's thesis concerned the Leray?Serre spectral sequence associated to a fibration. Together with Cartan, Serre established the technique of using Eilenberg?MacLane spaces for computing homotopy groups of spheres, which at that time was one of the major problems in topology.
In his speech at the Fields Medal award ceremony in 1954, Hermann Weyl gave high praise to Serre, and also made the point that the award was for the first time awarded to a non-analyst. Serre subsequently changed his research focus.
(引用終り)
以上
つづき
（下記の通りですよ）
（参考）
https://en.wikipedia.org/wiki/Jean-Pierre_Serre
Jean-Pierre Serre
(抜粋)
Career
From a very young age he was an outstanding figure in the school of Henri Cartan,[2] working on algebraic topology, several complex variables and then commutative algebra and algebraic geometry, where he introduced sheaf theory and homological algebra techniques. Serre's thesis concerned the Leray?Serre spectral sequence associated to a fibration. Together with Cartan, Serre established the technique of using Eilenberg?MacLane spaces for computing homotopy groups of spheres, which at that time was one of the major problems in topology.
In his speech at the Fields Medal award ceremony in 1954, Hermann Weyl gave high praise to Serre, and also made the point that the award was for the first time awarded to a non-analyst. Serre subsequently changed his research focus.
(引用終り)
以上
179１３２人目の素数さん
2020/09/06(日) 00:38:40.01ID:JRBNrvaF180１３２人目の素数さん
2020/09/06(日) 00:40:45.68ID:JRBNrvaF >>167
>１．時枝でも間違いを犯し
> （参考）現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/7 時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）
間違いを犯しているのはあなたですねー
そのスレに指摘してあげましたからよく読んで理解して下さいねー
>１．時枝でも間違いを犯し
> （参考）現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/7 時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）
間違いを犯しているのはあなたですねー
そのスレに指摘してあげましたからよく読んで理解して下さいねー
181１３２人目の素数さん
2020/09/06(日) 07:32:07.96ID:rCjTzdM1 >>175
☆＞群の例で、非可換のものを挙げてくれ
★＞正方行列とか多元数あたりな
群の定義
０．演算で閉じている。
１．演算が結合法則を満たす。
２．単位元が存在する。
３．逆元が存在する
群であると言い切った時点で、上記の４条件を満たさなければなりません
したがって、
★＞これを「全ての正方行列が群を成す」と曲解して、騒ぐ
という言い訳は一切通用しませんよ
★＞（行列による）「群の表現」の話もしている
★＞（明らかに「全て」でなく”部分”群も可です））
正則行列全体による群は部分群ではありません
群の部分集合が、もとの群の演算で群を成す時、部分群といいます
この場合、行列の積の演算は共通ですが、
そもそも元の集合である「正方行列の全体」が群でないのでダメ
★＞逆元は普通に、デフォルトです（言わないが合意事項）。
「普通、デフォルト」は誤り
「必ず満たすべき制約条件」が正しい
かならずいうべきこと
いわないのは詐欺
★＞群の公理を仮定しているのに、いちいち、「群に逆元が存在する」などと、いうことはありません
「仮定」ではなく「前提」
群だと言い切ったら、前提を満たしていることを証明する義務を負う 当たり前ですね
したがって、正方行列（の全体）が群だと言い切った瞬間
「いかなる正方行列にも逆行列が存在する」
と証明する義務を負う
あなたは果たせませんでしたが
★＞群の表現論で使うnxn行列で、
★＞わざわざ「群に逆元が存在する」などとは、
★＞ド素人ｗ
群の表現は、「正則行列全体の群」への準同型写像
決して「正方行列全体の群」ではありませんよ
それをご存じないあなたこそド素人
まあ、大学に入れなかったそうですから致し方ないですね
大学で線形代数を学んだ人なら、いくら成績が悪くても
・正則行列でない正方行列が存在すること、
・非正則行列の行列式が０となること
くらいは覚えていますから
それが大学卒業の最低限の資格ですよ
☆＞群の例で、非可換のものを挙げてくれ
★＞正方行列とか多元数あたりな
群の定義
０．演算で閉じている。
１．演算が結合法則を満たす。
２．単位元が存在する。
３．逆元が存在する
群であると言い切った時点で、上記の４条件を満たさなければなりません
したがって、
★＞これを「全ての正方行列が群を成す」と曲解して、騒ぐ
という言い訳は一切通用しませんよ
★＞（行列による）「群の表現」の話もしている
★＞（明らかに「全て」でなく”部分”群も可です））
正則行列全体による群は部分群ではありません
群の部分集合が、もとの群の演算で群を成す時、部分群といいます
この場合、行列の積の演算は共通ですが、
そもそも元の集合である「正方行列の全体」が群でないのでダメ
★＞逆元は普通に、デフォルトです（言わないが合意事項）。
「普通、デフォルト」は誤り
「必ず満たすべき制約条件」が正しい
かならずいうべきこと
いわないのは詐欺
★＞群の公理を仮定しているのに、いちいち、「群に逆元が存在する」などと、いうことはありません
「仮定」ではなく「前提」
群だと言い切ったら、前提を満たしていることを証明する義務を負う 当たり前ですね
したがって、正方行列（の全体）が群だと言い切った瞬間
「いかなる正方行列にも逆行列が存在する」
と証明する義務を負う
あなたは果たせませんでしたが
★＞群の表現論で使うnxn行列で、
★＞わざわざ「群に逆元が存在する」などとは、
★＞ド素人ｗ
群の表現は、「正則行列全体の群」への準同型写像
決して「正方行列全体の群」ではありませんよ
それをご存じないあなたこそド素人
まあ、大学に入れなかったそうですから致し方ないですね
大学で線形代数を学んだ人なら、いくら成績が悪くても
・正則行列でない正方行列が存在すること、
・非正則行列の行列式が０となること
くらいは覚えていますから
それが大学卒業の最低限の資格ですよ
182１３２人目の素数さん
2020/09/06(日) 07:36:49.59ID:rCjTzdM1 >>181
★＞”零因子 高校数学 >> 旧高校数学C 、
★＞ 行列環や零因子（wikipedia）などを自学自習して下さい”
高校では行列式って教えないんでしたっけ？
じゃあ、大学行ってないあなたが全く知らなくても仕方ないですね
道理で行列式といわれてもキョトンとするわけですね
しかし、行列式くらい覚えておきましょうね
行列式
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F
工学部卒で、群の定義知らなくても問題ないですが
行列式知らないなんて言ったら、大恥かきますよ
★＞”零因子 高校数学 >> 旧高校数学C 、
★＞ 行列環や零因子（wikipedia）などを自学自習して下さい”
高校では行列式って教えないんでしたっけ？
じゃあ、大学行ってないあなたが全く知らなくても仕方ないですね
道理で行列式といわれてもキョトンとするわけですね
しかし、行列式くらい覚えておきましょうね
行列式
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F
工学部卒で、群の定義知らなくても問題ないですが
行列式知らないなんて言ったら、大恥かきますよ
183１３２人目の素数さん
2020/09/06(日) 07:49:58.51ID:rCjTzdM1 >>176
＞群だから、結合則や積ghに対する積hgの要請から、
＞行列は必然正方行列にならざるを得ないのです
それは必要条件ですね
つまり
「行列の集合が群となる場合、
その集合の要素は正方行列である必要がある」
しかし上記は十分条件ではありません
十分条件を示してはじめて群であると示せたことになります
＞（逆元の存在要請から、・・・正則行列に限られる）
存在「要請」なら、要請に答えましょうね
つまり、あなたは
「正則行列の積は正則行列であること」
を示す必要があります
しかし、あなたはそもそも何が正則行列か
分かっていないから示しようがない
＞チラと”行列”だけでは、不親切と思ったので、正方行列にした
不親切、ではなく、不十分です
そして正方行列と言い直しても、まだ不十分です
＞ゆとり世代の読者が存在することに配慮して、
＞専門用語”正則行列”は避けた
避けた？違うでしょう？
あなた自身がゆとり世代で、
「正則行列」を知らなかったんでしょう？
群の例を挙げるんだから
当然、正則行列という必要がある
正則行列と云う言葉を知らなかったとしても
例えば行列式が０でない行列という必要があった
ランクｎのｎ×ｎ行列でもKer M={0}の行列Mでも
なんでも結構ですが
＞ここは５ｃｈだから、
＞ここの日常会話ではこれで十分だ
全く誤りですね
５ｃｈの数学板だろうと
日本数学会の全国大会だろうと
国際数学者会議の講演だろうと
ステートメントは正確に述べ切る必要がある
それができない人は・・・数学は無理ですよ
間違い続けるだけですから
「正方行列から零因子を除けば体になる」
とか
＞群だから、結合則や積ghに対する積hgの要請から、
＞行列は必然正方行列にならざるを得ないのです
それは必要条件ですね
つまり
「行列の集合が群となる場合、
その集合の要素は正方行列である必要がある」
しかし上記は十分条件ではありません
十分条件を示してはじめて群であると示せたことになります
＞（逆元の存在要請から、・・・正則行列に限られる）
存在「要請」なら、要請に答えましょうね
つまり、あなたは
「正則行列の積は正則行列であること」
を示す必要があります
しかし、あなたはそもそも何が正則行列か
分かっていないから示しようがない
＞チラと”行列”だけでは、不親切と思ったので、正方行列にした
不親切、ではなく、不十分です
そして正方行列と言い直しても、まだ不十分です
＞ゆとり世代の読者が存在することに配慮して、
＞専門用語”正則行列”は避けた
避けた？違うでしょう？
あなた自身がゆとり世代で、
「正則行列」を知らなかったんでしょう？
群の例を挙げるんだから
当然、正則行列という必要がある
正則行列と云う言葉を知らなかったとしても
例えば行列式が０でない行列という必要があった
ランクｎのｎ×ｎ行列でもKer M={0}の行列Mでも
なんでも結構ですが
＞ここは５ｃｈだから、
＞ここの日常会話ではこれで十分だ
全く誤りですね
５ｃｈの数学板だろうと
日本数学会の全国大会だろうと
国際数学者会議の講演だろうと
ステートメントは正確に述べ切る必要がある
それができない人は・・・数学は無理ですよ
間違い続けるだけですから
「正方行列から零因子を除けば体になる」
とか
184１３２人目の素数さん
2020/09/06(日) 07:56:10.19ID:rCjTzdM1 >>179
＞あなたの引用にて尽く「正則行列」や「可逆行列」と記されている
ええ、正方行列＝可逆行列、でないことは
理工系学生の一般常識ですから
行列式を知らない、なんて理工系ならあり得ませんからね
◆yH25M02vWFhPは、まず行列式と外積くらい覚えましょう
工学部でも確実に役に立ちますからね
＞あなたの引用にて尽く「正則行列」や「可逆行列」と記されている
ええ、正方行列＝可逆行列、でないことは
理工系学生の一般常識ですから
行列式を知らない、なんて理工系ならあり得ませんからね
◆yH25M02vWFhPは、まず行列式と外積くらい覚えましょう
工学部でも確実に役に立ちますからね
185１３２人目の素数さん
2020/09/06(日) 08:01:51.23ID:rCjTzdM1186１３２人目の素数さん
2020/09/06(日) 08:04:38.70ID:rCjTzdM1 そもそも行列式も知らない人には
代数幾何どころか代数も無理
終結式とか知らないでしょ？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%82%E7%B5%90%E5%BC%8F
代数幾何どころか代数も無理
終結式とか知らないでしょ？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%82%E7%B5%90%E5%BC%8F
187１３２人目の素数さん
2020/09/06(日) 08:11:54.30ID:rCjTzdM1 遠山啓の「数学入門」（上）で、グラスマン代数使って
行列式の定義をしているのは
「こんなことはいくらなんでもわかるだろう
順序を交換すれば符号が逆転する、っていうだけだから」
と考えたからだろう
行列式の定義をしているのは
「こんなことはいくらなんでもわかるだろう
順序を交換すれば符号が逆転する、っていうだけだから」
と考えたからだろう
188１３２人目の素数さん
2020/09/06(日) 08:20:35.53ID:rCjTzdM1 行列式を知らないってことは、ヤコビアンも知らないってこと？
ってことは、ｎ変数の逆関数定理も、一般の陰関数定理も知らないってこと？
そんなの、ますます理工系ではあり得ないなぁ
ヤコビ行列
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A4%E3%82%B3%E3%83%93%E8%A1%8C%E5%88%97
そういえば、学生の頃、この曲の替え歌が流行りました
https://www.youtube.com/watch?v=o-7QeOuNMIs
♪ヤコビア～ン
ってことは、ｎ変数の逆関数定理も、一般の陰関数定理も知らないってこと？
そんなの、ますます理工系ではあり得ないなぁ
ヤコビ行列
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A4%E3%82%B3%E3%83%93%E8%A1%8C%E5%88%97
そういえば、学生の頃、この曲の替え歌が流行りました
https://www.youtube.com/watch?v=o-7QeOuNMIs
♪ヤコビア～ン
189現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/06(日) 10:53:17.48ID:P1Kztm36 >>149-150 補足
再録
https://arxiv.org/pdf/hep-th/0307245.pdf
Lectures on D-branes and Sheaves 2003
Eric Sharpe
(抜粋)
P9
2.2 Sheaves
Nowadays most physicists are familiar with bundles, and the important role they have played
in gauge theories. But, what is a sheaf? One motivation for sheaves is as the mathematical
machinery needed to make sense of, for example, a vector bundle living only over a submanifold
(a notion with obvious applications to modelling D-branes),
and other more abstract settings where bundles are no longer a sensible concept.
(引用終り)
なるほど、21世紀では、層は
”One motivation for sheaves is as the mathematical machinery needed to make sense of, for example, a vector bundle living only over a submanifold
(a notion with obvious applications to modelling D-branes),
and other more abstract settings where bundles are no longer a sensible concept.”
ってこと
層の概念がいろんなところへ取り込まれた
秋月の本とか、もう古くなっています
層とファイバー束とを、全く別もの扱いしていますが、生まれは別でも、結構関連するようになっています
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%90%E3%83%BC%E6%9D%9F
ファイバー束
(抜粋)
ファイバー束（ファイバーそく、英: fiber bundle, fibre bundle）とは、位相空間に定義される構造の一つで、局所的に 2 種類の位相空間の直積として表現できる構造の事である。
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/ja/1/11/FiberBundle_1.png
一点 p 上のファイバー Fp
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/ja/3/35/FiberBundle_2.png
U上に制限した座標束。この画像ではまばらだが、本当はどの点の上にもファイバーがあり、隙間無く並んでいる。
つづく
再録
https://arxiv.org/pdf/hep-th/0307245.pdf
Lectures on D-branes and Sheaves 2003
Eric Sharpe
(抜粋)
P9
2.2 Sheaves
Nowadays most physicists are familiar with bundles, and the important role they have played
in gauge theories. But, what is a sheaf? One motivation for sheaves is as the mathematical
machinery needed to make sense of, for example, a vector bundle living only over a submanifold
(a notion with obvious applications to modelling D-branes),
and other more abstract settings where bundles are no longer a sensible concept.
(引用終り)
なるほど、21世紀では、層は
”One motivation for sheaves is as the mathematical machinery needed to make sense of, for example, a vector bundle living only over a submanifold
(a notion with obvious applications to modelling D-branes),
and other more abstract settings where bundles are no longer a sensible concept.”
ってこと
層の概念がいろんなところへ取り込まれた
秋月の本とか、もう古くなっています
層とファイバー束とを、全く別もの扱いしていますが、生まれは別でも、結構関連するようになっています
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%90%E3%83%BC%E6%9D%9F
ファイバー束
(抜粋)
ファイバー束（ファイバーそく、英: fiber bundle, fibre bundle）とは、位相空間に定義される構造の一つで、局所的に 2 種類の位相空間の直積として表現できる構造の事である。
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/ja/1/11/FiberBundle_1.png
一点 p 上のファイバー Fp
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/ja/3/35/FiberBundle_2.png
U上に制限した座標束。この画像ではまばらだが、本当はどの点の上にもファイバーがあり、隙間無く並んでいる。
つづく
190現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/06(日) 10:54:24.20ID:P1Kztm36 >>189
つづき
概要
単位円 S1 と線分 I = [0, 1] の直積 S1 × I は円柱の側面になる。円柱の側面と似たような図形にメビウスの輪がある。局所的には S1 の一部と線分 I = [0, 1] の直積に見えるが、全体的には円柱と異なる図形になっている。このような局所的に直積として書けるという性質（局所自明性）を持った図形を扱うのがファイバー束の概念である。
この場合の S1 を底空間といい、線分 I をファイバー（繊維）という。ファイバーを底空間に沿って束ねたとき、上の例の円柱のように全体としても直積になっていれば、その全体を自明束（じめいそく）という。自明束は基本的なファイバー束ではあるが、むしろ、メビウスの輪のように自明でないファイバー束の構造がどのようになっているのかといったことが重要である。
ファイバーはただ束ねられるだけではなく、構造群と呼ばれる位相変換群に従って張り合わされる。底空間の開被覆 {U}a∈A があり、その 2つの元の共通部分 Ua ∩ Ub が空でないとき、その共通部分に立っているファイバーはどのように貼り合わされるべきか？ という事、すなわち、直積 Ua × F と Ub × F の重なり方を記述するのが構造群である。
ファイバー束の概念は、ホイットニーに始まる。ホイットニーは多様体上のベクトル場から接ベクトル空間をファイバーに持つ接ベクトル束を構成し、その一般化としてファイバー束に到達した。その後、陳省身(Shiing-Shen Chern) による研究は、ファイバー束と接続を関連させ微分幾何学を大域的理論へと導いていくことになり、ゲージ理論などの基礎も成している。また、微分幾何学に留まらず、様々な幾何学の基本的な道具となり、その適用範囲は広い。さらにファイバー束はセールやヒューレッツらによってファイバー空間として一般化され、代数的位相幾何学を支える概念の一つにもなった。
定義
束
位相空間 E, B と、連続な上への写像
π: E → B
があるとき、E を全空間 (total space)、B を底空間 (base space)、π を射影 (projection)、これらの組 (E, π, B) を束 (bundle, バンドル) という[要出典]。
(E, B, π) のような順序で書かれる場合もある。
x ∈ B に対し、Fx = π-1(x) を x 上のファイバー (fibre, fiber) という。
つづく
つづき
概要
単位円 S1 と線分 I = [0, 1] の直積 S1 × I は円柱の側面になる。円柱の側面と似たような図形にメビウスの輪がある。局所的には S1 の一部と線分 I = [0, 1] の直積に見えるが、全体的には円柱と異なる図形になっている。このような局所的に直積として書けるという性質（局所自明性）を持った図形を扱うのがファイバー束の概念である。
この場合の S1 を底空間といい、線分 I をファイバー（繊維）という。ファイバーを底空間に沿って束ねたとき、上の例の円柱のように全体としても直積になっていれば、その全体を自明束（じめいそく）という。自明束は基本的なファイバー束ではあるが、むしろ、メビウスの輪のように自明でないファイバー束の構造がどのようになっているのかといったことが重要である。
ファイバーはただ束ねられるだけではなく、構造群と呼ばれる位相変換群に従って張り合わされる。底空間の開被覆 {U}a∈A があり、その 2つの元の共通部分 Ua ∩ Ub が空でないとき、その共通部分に立っているファイバーはどのように貼り合わされるべきか？ という事、すなわち、直積 Ua × F と Ub × F の重なり方を記述するのが構造群である。
ファイバー束の概念は、ホイットニーに始まる。ホイットニーは多様体上のベクトル場から接ベクトル空間をファイバーに持つ接ベクトル束を構成し、その一般化としてファイバー束に到達した。その後、陳省身(Shiing-Shen Chern) による研究は、ファイバー束と接続を関連させ微分幾何学を大域的理論へと導いていくことになり、ゲージ理論などの基礎も成している。また、微分幾何学に留まらず、様々な幾何学の基本的な道具となり、その適用範囲は広い。さらにファイバー束はセールやヒューレッツらによってファイバー空間として一般化され、代数的位相幾何学を支える概念の一つにもなった。
定義
束
位相空間 E, B と、連続な上への写像
π: E → B
があるとき、E を全空間 (total space)、B を底空間 (base space)、π を射影 (projection)、これらの組 (E, π, B) を束 (bundle, バンドル) という[要出典]。
(E, B, π) のような順序で書かれる場合もある。
x ∈ B に対し、Fx = π-1(x) を x 上のファイバー (fibre, fiber) という。
つづく
191現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/06(日) 10:55:16.14ID:P1Kztm36 >>190
つづき
以下で扱う座標束やファイバー束の場合、任意の x ∈ B に対し Fx は x によらず位相空間 F と同相になる。すなわち、x, y ∈ B に対して、Fx と Fy は同相である。しかし、一般の束では、そのような関係は無い。例えば楕円曲面などでは、ほとんどのファイバー（非特異ファイバー）とは異なる特異ファイバーと呼ばれるファイバーがある。
座標束
ここでは、座標束 {E, π, B, F, G, Ua, φa}a∈A を定義する。添字集合などを省略して (E, π, B, F, G, Ua, φa) などとも書く。
束 (E, π, B) と位相空間 F, F の効果的な位相変換群 G, 底空間 B の開被覆 {Ua}a∈A が与えられているとする。Ua を、座標近傍 (coordinate neighborhood) という。各座標近傍 Ua には同相写像
φa: Ua × F → π-1(Ua)
が存在し、任意の x ∈ Ua および f ∈ F に対して
π ◯ φa(x, f) = x
を満たす。
この φa という同相写像によって Ua × F と π-1(Ua) はしばしば同一視される。座標束を説明する図を描くときも Ua × F という直積の図を π-1(Ua) とみなして説明することも少なくない。φa-1 を局所自明化という。
G は位相変換群としてできるだけ要素の少ない小さいものをとるとする。
このような性質を持つ (E, π, B, G, {Ua, φa}a∈A) という組を座標束 (coordinate bundle) といい、F をファイバー、G を構造群 (structure group)、E を全空間、π を射影、B を底空間、φa を、座標関数 (coordinate function)、gba を座標変換 (coordinate transformation) という。
一般の束と違って、ファイバーは点に依らない位相空間である。正確には、任意の x ∈ B に対し x 上のファイバー Fx が、ファイバー F と同相となっている。そして各点での座標変換が、構造群という代数的な構造によって決まっているという点も重要である。
つづく
つづき
以下で扱う座標束やファイバー束の場合、任意の x ∈ B に対し Fx は x によらず位相空間 F と同相になる。すなわち、x, y ∈ B に対して、Fx と Fy は同相である。しかし、一般の束では、そのような関係は無い。例えば楕円曲面などでは、ほとんどのファイバー（非特異ファイバー）とは異なる特異ファイバーと呼ばれるファイバーがある。
座標束
ここでは、座標束 {E, π, B, F, G, Ua, φa}a∈A を定義する。添字集合などを省略して (E, π, B, F, G, Ua, φa) などとも書く。
束 (E, π, B) と位相空間 F, F の効果的な位相変換群 G, 底空間 B の開被覆 {Ua}a∈A が与えられているとする。Ua を、座標近傍 (coordinate neighborhood) という。各座標近傍 Ua には同相写像
φa: Ua × F → π-1(Ua)
が存在し、任意の x ∈ Ua および f ∈ F に対して
π ◯ φa(x, f) = x
を満たす。
この φa という同相写像によって Ua × F と π-1(Ua) はしばしば同一視される。座標束を説明する図を描くときも Ua × F という直積の図を π-1(Ua) とみなして説明することも少なくない。φa-1 を局所自明化という。
G は位相変換群としてできるだけ要素の少ない小さいものをとるとする。
このような性質を持つ (E, π, B, G, {Ua, φa}a∈A) という組を座標束 (coordinate bundle) といい、F をファイバー、G を構造群 (structure group)、E を全空間、π を射影、B を底空間、φa を、座標関数 (coordinate function)、gba を座標変換 (coordinate transformation) という。
一般の束と違って、ファイバーは点に依らない位相空間である。正確には、任意の x ∈ B に対し x 上のファイバー Fx が、ファイバー F と同相となっている。そして各点での座標変換が、構造群という代数的な構造によって決まっているという点も重要である。
つづく
192現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/06(日) 10:55:41.98ID:P1Kztm36 >>190
つづき
ファイバー束
座標束をここで述べるような同値関係で分類するとファイバー束が得られる。多様体において座標近傍系を極大座標近傍系にし、座標の取り方によらない幾何学を目指したのと同様に、座標束を座標近傍 {Ua} や座標関数 {φa} のとり方によらないように分類したものがファイバー束である。つまりファイバー束を具体的に調べる際に、特定の開被覆を取って調べたりする場合、そこで調べているものは座標束ということになる。
座標近傍や座標関数の取り方の違う 2つの座標束 (E, π, B, F, G, Ua, φa) および (E, π, B, F, G, Vb, ψb) があるとき、x ∈ Ua ∩ Vb に対して
hba(x) := ψ -1
b, x ◯ φa, x
が、hba(x) ∈ G となり
hba: Ua ∩ Vb → G
が連続写像であるとき、この 2つの座標束は同値 (equivalent) であるといい、この同値関係による同値類をファイバー束あるいは G 束 (G-bundle) といい、ξ = (E, π, B, F, G) と書く。F や G なども省略して、π: E → B によってファイバー束を表すこともある。
つづく
つづき
ファイバー束
座標束をここで述べるような同値関係で分類するとファイバー束が得られる。多様体において座標近傍系を極大座標近傍系にし、座標の取り方によらない幾何学を目指したのと同様に、座標束を座標近傍 {Ua} や座標関数 {φa} のとり方によらないように分類したものがファイバー束である。つまりファイバー束を具体的に調べる際に、特定の開被覆を取って調べたりする場合、そこで調べているものは座標束ということになる。
座標近傍や座標関数の取り方の違う 2つの座標束 (E, π, B, F, G, Ua, φa) および (E, π, B, F, G, Vb, ψb) があるとき、x ∈ Ua ∩ Vb に対して
hba(x) := ψ -1
b, x ◯ φa, x
が、hba(x) ∈ G となり
hba: Ua ∩ Vb → G
が連続写像であるとき、この 2つの座標束は同値 (equivalent) であるといい、この同値関係による同値類をファイバー束あるいは G 束 (G-bundle) といい、ξ = (E, π, B, F, G) と書く。F や G なども省略して、π: E → B によってファイバー束を表すこともある。
つづく
193現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/06(日) 10:56:07.24ID:P1Kztm36 >>192
つづき
切断
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/ja/thumb/c/c8/FiberBundle_Section_1.png/200px-FiberBundle_Section_1.png
Ua 上の局所断面
詳細は「切断 (ファイバー束)」を参照
（ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%AD%E9%9D%A2_(%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6)
断面 (位相幾何学)
位相幾何学の分野におけるファイバー束の断面（だんめん）あるいは切断（せつだん、英: section）若しくは横断面 (cross-section) とは、底空間をファイバー束の中に実現する写像或いはその像をいう。
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/90/Bundle_section.svg/220px-Bundle_section.svg.png
束 p: E → B の切断 s は底空間 B と E の部分空間 s(B) とを同一視する方法を与える。
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/Vector_field.svg/220px-Vector_field.svg.png
R2 におけるベクトル場の例。接ベクトル束の切断とは、実はベクトル場のことである。
局所切断と切断の層
ファイバー束はその底空間全域で定義される切断（大域切断、global section）を一般には持たないが、それゆえ局所的にのみ定義される切断というものを考えることも重要である。ファイバー束 (E, π, B) の（連続な）局所切断 (local section) とは、U を底空間 B の開集合とするときの連続写像 s: U → E であって、束射影 π について U のすべての元 x に対して π(s(x)) = x をみたすようなものを言う。(U, φ) が E の局所自明化（つまり F をファイバーとして φ が π?1(U) から U × F への同相写像を与えるもの）とするとき、U 上の局所切断は常に存在して、それは U から F への連続写像と一対一に対応する。このような局所切断の（U を任意に動かすときの）全体は底空間 B 上の層を成し、ファイバー束 E の切断の層 (sheaf of sections) と呼ばれる。
ファイバー束 E の開集合 U 上の連続（局所）切断全体の成す空間はときに C(U,E) とも表され、また E の大域切断全体の成す空間はしばしば Γ(E) や Γ(B,E) と表される。）
つづく
つづき
切断
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/ja/thumb/c/c8/FiberBundle_Section_1.png/200px-FiberBundle_Section_1.png
Ua 上の局所断面
詳細は「切断 (ファイバー束)」を参照
（ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%AD%E9%9D%A2_(%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6)
断面 (位相幾何学)
位相幾何学の分野におけるファイバー束の断面（だんめん）あるいは切断（せつだん、英: section）若しくは横断面 (cross-section) とは、底空間をファイバー束の中に実現する写像或いはその像をいう。
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/90/Bundle_section.svg/220px-Bundle_section.svg.png
束 p: E → B の切断 s は底空間 B と E の部分空間 s(B) とを同一視する方法を与える。
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/Vector_field.svg/220px-Vector_field.svg.png
R2 におけるベクトル場の例。接ベクトル束の切断とは、実はベクトル場のことである。
局所切断と切断の層
ファイバー束はその底空間全域で定義される切断（大域切断、global section）を一般には持たないが、それゆえ局所的にのみ定義される切断というものを考えることも重要である。ファイバー束 (E, π, B) の（連続な）局所切断 (local section) とは、U を底空間 B の開集合とするときの連続写像 s: U → E であって、束射影 π について U のすべての元 x に対して π(s(x)) = x をみたすようなものを言う。(U, φ) が E の局所自明化（つまり F をファイバーとして φ が π?1(U) から U × F への同相写像を与えるもの）とするとき、U 上の局所切断は常に存在して、それは U から F への連続写像と一対一に対応する。このような局所切断の（U を任意に動かすときの）全体は底空間 B 上の層を成し、ファイバー束 E の切断の層 (sheaf of sections) と呼ばれる。
ファイバー束 E の開集合 U 上の連続（局所）切断全体の成す空間はときに C(U,E) とも表され、また E の大域切断全体の成す空間はしばしば Γ(E) や Γ(B,E) と表される。）
つづく
194現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/06(日) 10:57:00.57ID:P1Kztm36 >>193
つづき
例
自明束
全空間を E = B × F とし、π: E → B を第一成分への射影とする。すなわち、x ∈ B, f ∈ F に対して、π(x, f) = x とする。このとき E は F の B 上のファイバー束である。ここで E は、局所的にだけでなく大域的に、底空間とファイバーの直積となっている。そのようなファイバー束を自明束 (trivial bundle) という。S1 × [0, 1] や S1 × R1 のような円柱や、自然数 m, n > 0 に対して Rm+n = Rm × Rn などのように直積で表される図形は、自明束としての構造を持つ。可縮なCW複体上の任意のファイバー束は自明である。
ベクトル束と主束
ベクトル束と呼ばれる、ファイバー束の特別なクラスがあり、これはファイバーがベクトル空間であるようなファイバー束である。（ベクトル束であるためには、束の構造群は線型群でなければならない）。ベクトル束の重要な例には、滑らかな多様体の接束や余接束がある。任意のベクトル束から、主束（下記参照）である、基底の枠束（英語版）を構成することができる。
主束と呼ばれる、ファイバー束の別の特別なクラスがあり、これはその上に群 G による自由かつ推移的な作用が与えられていて、各ファイバーが主等質空間（英語版）であるような束である。束はしばしば主 G 束と呼ぶことによって群とともに特定される。群 G はまた束の構造群でもある。G のベクトル空間 V 上の表現 ρ が与えられると、構造群として ρ(G)⊆Aut(V) なるベクトル束を構成でき、これを同伴束（英語版）と呼ぶ。
つづく
つづき
例
自明束
全空間を E = B × F とし、π: E → B を第一成分への射影とする。すなわち、x ∈ B, f ∈ F に対して、π(x, f) = x とする。このとき E は F の B 上のファイバー束である。ここで E は、局所的にだけでなく大域的に、底空間とファイバーの直積となっている。そのようなファイバー束を自明束 (trivial bundle) という。S1 × [0, 1] や S1 × R1 のような円柱や、自然数 m, n > 0 に対して Rm+n = Rm × Rn などのように直積で表される図形は、自明束としての構造を持つ。可縮なCW複体上の任意のファイバー束は自明である。
ベクトル束と主束
ベクトル束と呼ばれる、ファイバー束の特別なクラスがあり、これはファイバーがベクトル空間であるようなファイバー束である。（ベクトル束であるためには、束の構造群は線型群でなければならない）。ベクトル束の重要な例には、滑らかな多様体の接束や余接束がある。任意のベクトル束から、主束（下記参照）である、基底の枠束（英語版）を構成することができる。
主束と呼ばれる、ファイバー束の別の特別なクラスがあり、これはその上に群 G による自由かつ推移的な作用が与えられていて、各ファイバーが主等質空間（英語版）であるような束である。束はしばしば主 G 束と呼ぶことによって群とともに特定される。群 G はまた束の構造群でもある。G のベクトル空間 V 上の表現 ρ が与えられると、構造群として ρ(G)⊆Aut(V) なるベクトル束を構成でき、これを同伴束（英語版）と呼ぶ。
つづく
195現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/06(日) 10:57:21.30ID:P1Kztm36 >>194
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8E%A5%E6%9D%9F
接束
微分幾何学において、可微分多様体 M の接束（せっそく、英: tangent bundle, 接バンドル、タンジェントバンドル) は M の接空間の非交和[注釈 1]である。
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Tangent_bundle.svg/220px-Tangent_bundle.svg.png
インフォーマルには、多様体（この場合円）の接束はすべての接空間を考え（上）それらを滑らかに重ならないようにつなげる（下）ことによって得られる。[注釈 1]
（注釈
1^ a b 非交和は多様体 M の任意の 2 点 x1 と x2 に対して接空間 T1 と T2 が共通のベクトルをもたないことを保証する。これはグラフィカルに円 S1 の接束の添付図に描かれている、例のセクションを参照：円のすべての接線は円の平面にある。それらを交わらないようにするためには円の平面に垂直な平面にそれらを整列することが必要である。）
この射影は各接空間 TxM を一点 x に写像する。
接束には（下のセクションで記述される）自然な位相が入る。この位相によって、多様体の接束はベクトル束（ファイバーがベクトル空間であるファイバー束）の典型的な例である。TM の断面は M 上のベクトル場であり、TM の双対束は余接束で、M の余接空間の非交和である。定義により、多様体 M が平行化可能（英語版） (parallelizable) であることと接束が自明であることは同値である。定義により、多様体 M が 枠付き（英語版） であることと接束 TM が stably trivial、すなわちある自明束 E に対しホイットニー和 (Whitney sum) TM ◯+ E が自明であることは同値である。例えば、n 次元球面 Sn はすべての n に対して枠付きであるが、（Bott-Milnor と Kervaire の結果によって）n = 1, 3, 7 に対してのみ平行化可能である。
つづく
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8E%A5%E6%9D%9F
接束
微分幾何学において、可微分多様体 M の接束（せっそく、英: tangent bundle, 接バンドル、タンジェントバンドル) は M の接空間の非交和[注釈 1]である。
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Tangent_bundle.svg/220px-Tangent_bundle.svg.png
インフォーマルには、多様体（この場合円）の接束はすべての接空間を考え（上）それらを滑らかに重ならないようにつなげる（下）ことによって得られる。[注釈 1]
（注釈
1^ a b 非交和は多様体 M の任意の 2 点 x1 と x2 に対して接空間 T1 と T2 が共通のベクトルをもたないことを保証する。これはグラフィカルに円 S1 の接束の添付図に描かれている、例のセクションを参照：円のすべての接線は円の平面にある。それらを交わらないようにするためには円の平面に垂直な平面にそれらを整列することが必要である。）
この射影は各接空間 TxM を一点 x に写像する。
接束には（下のセクションで記述される）自然な位相が入る。この位相によって、多様体の接束はベクトル束（ファイバーがベクトル空間であるファイバー束）の典型的な例である。TM の断面は M 上のベクトル場であり、TM の双対束は余接束で、M の余接空間の非交和である。定義により、多様体 M が平行化可能（英語版） (parallelizable) であることと接束が自明であることは同値である。定義により、多様体 M が 枠付き（英語版） であることと接束 TM が stably trivial、すなわちある自明束 E に対しホイットニー和 (Whitney sum) TM ◯+ E が自明であることは同値である。例えば、n 次元球面 Sn はすべての n に対して枠付きであるが、（Bott-Milnor と Kervaire の結果によって）n = 1, 3, 7 に対してのみ平行化可能である。
つづく
196現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/06(日) 10:58:02.21ID:P1Kztm36 >>195
つづき
役割
接束の主な役割の1つは滑らかな関数の微分の定義域と終域を提供することである。すなわち、M と N を滑らかな多様体として、f: M → N が滑らかな写像であれば、その微分（英語版） は滑らかな写像 Df: TM → TN である。
位相と滑らかな構造
接束には自然な位相（非交和位相ではない）が入り、それ自身多様体になる。TM の次元は M の次元の 2 倍である[注釈 2]。
（注釈 2^ M が Cr 級の多様体 (1 ? r < ∞) であっても接束は定義でき、Cr-1 級の多様体になる。）
例
最も簡単な例は Rn の例である。この場合接束は自明である。
別の簡単な例は単位円 S1 である（上の絵を見よ）。円の接束も自明であり S1 × R に同型である。幾何学的には、これは高さ無限の円柱である。
容易に視覚化できる接束は実数直線 R と単位円 S1 の接束だけであり、これらはどちらも自明である。2 次元多様体に対して接束は 4 次元でありしたがって視覚化するのは難しい。
非自明な接束の簡単な例は単位球面 S2 の接束である。この接束はつむじ頭の定理（英語版）によって非自明である。したがって、球面は parallelizable でない。
ベクトル場
接ベクトルの多様体の各点への滑らかな割り当てはベクトル場 (vector field) と呼ばれる。具体的には、多様体 M 上のベクトル場は滑らかな写像
V： M → TM
であって、Vx と表記される x の像が x における接空間 TxM にあるようなものである。ファイバー束の言葉でいえば、そのような写像は断面 (section) と呼ばれる。M 上のベクトル場はしたがって M の接束の断面である。
M 上のすべてのベクトル場の集合は Γ(TM) によって表記される。ベクトル場は点ごとに足し合わせることができ
(V+W)_{x}=V_{x}+W_{x}
M 上の滑らかな関数を掛けることができ
(fV)_{x}=f(x)V_{x}
別のベクトル場を得る。するとすべてのベクトル場の集合 Γ(TM) は M 上の滑らかな関数の可換環、C∞(M) と表記される、上の加群の構造をもつ。
M 上の局所ベクトル場は接束の局所断面 (local section) である。つまり、局所ベクトル場は M のある開集合 U 上でだけ定義され、U の各点に伴う接束のベクトルを割り当てる。M 上の局所ベクトル場全体の集合は M 上の実ベクトル空間の層として知られている構造をなす。
つづく
つづき
役割
接束の主な役割の1つは滑らかな関数の微分の定義域と終域を提供することである。すなわち、M と N を滑らかな多様体として、f: M → N が滑らかな写像であれば、その微分（英語版） は滑らかな写像 Df: TM → TN である。
位相と滑らかな構造
接束には自然な位相（非交和位相ではない）が入り、それ自身多様体になる。TM の次元は M の次元の 2 倍である[注釈 2]。
（注釈 2^ M が Cr 級の多様体 (1 ? r < ∞) であっても接束は定義でき、Cr-1 級の多様体になる。）
例
最も簡単な例は Rn の例である。この場合接束は自明である。
別の簡単な例は単位円 S1 である（上の絵を見よ）。円の接束も自明であり S1 × R に同型である。幾何学的には、これは高さ無限の円柱である。
容易に視覚化できる接束は実数直線 R と単位円 S1 の接束だけであり、これらはどちらも自明である。2 次元多様体に対して接束は 4 次元でありしたがって視覚化するのは難しい。
非自明な接束の簡単な例は単位球面 S2 の接束である。この接束はつむじ頭の定理（英語版）によって非自明である。したがって、球面は parallelizable でない。
ベクトル場
接ベクトルの多様体の各点への滑らかな割り当てはベクトル場 (vector field) と呼ばれる。具体的には、多様体 M 上のベクトル場は滑らかな写像
V： M → TM
であって、Vx と表記される x の像が x における接空間 TxM にあるようなものである。ファイバー束の言葉でいえば、そのような写像は断面 (section) と呼ばれる。M 上のベクトル場はしたがって M の接束の断面である。
M 上のすべてのベクトル場の集合は Γ(TM) によって表記される。ベクトル場は点ごとに足し合わせることができ
(V+W)_{x}=V_{x}+W_{x}
M 上の滑らかな関数を掛けることができ
(fV)_{x}=f(x)V_{x}
別のベクトル場を得る。するとすべてのベクトル場の集合 Γ(TM) は M 上の滑らかな関数の可換環、C∞(M) と表記される、上の加群の構造をもつ。
M 上の局所ベクトル場は接束の局所断面 (local section) である。つまり、局所ベクトル場は M のある開集合 U 上でだけ定義され、U の各点に伴う接束のベクトルを割り当てる。M 上の局所ベクトル場全体の集合は M 上の実ベクトル空間の層として知られている構造をなす。
つづく
197現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/06(日) 10:58:52.30ID:P1Kztm36 >>196
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%99%E6%8E%A5%E6%9D%9F
余接束
微分幾何学において、滑らかな多様体の余接束 (cotangent bundle) は多様体のすべての点におけるすべての余接空間からなるベクトル束である。それはまた接束の双対束として記述することもできる。
余接層
余接束の滑らかな断面は微分 1-形式である。
余接層の定義
M を滑らかな多様体とし M × M を M の自身とのカルテジアン積とする。対角写像 Δ は M の点 p を M × M の点 (p, p) に送る。Δ の像は対角線 (diagonal) と呼ばれる。
Ｉを対角線上消える M × M 上の滑らかな関数の芽の層とする。このとき商層 Ｉ/Ｉ^2 はより高次の項を法として対角線上消える関数の同値類からなる。
余接層はこの層の M への引き戻し（英語版）である。
Γ T^*ＩM=Δ ^*Ｉ(Ｉ/ Ｉ^2).
テイラーの定理によって、これは M の滑らかな関数の芽の層に関して加群の局所自由層である。したがってそれは M 上のベクトル束、余接束 (cotangent bundle) を定義する。
多様体における反変性
多様体の滑らかな射 φ ： M → N は M 上の引き戻し層（英語版） φ^*T^*N を誘導する。
ベクトル束の誘導される写像（英語版） φ^*(T^*N) → T^*M が存在する。
つづく
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%99%E6%8E%A5%E6%9D%9F
余接束
微分幾何学において、滑らかな多様体の余接束 (cotangent bundle) は多様体のすべての点におけるすべての余接空間からなるベクトル束である。それはまた接束の双対束として記述することもできる。
余接層
余接束の滑らかな断面は微分 1-形式である。
余接層の定義
M を滑らかな多様体とし M × M を M の自身とのカルテジアン積とする。対角写像 Δ は M の点 p を M × M の点 (p, p) に送る。Δ の像は対角線 (diagonal) と呼ばれる。
Ｉを対角線上消える M × M 上の滑らかな関数の芽の層とする。このとき商層 Ｉ/Ｉ^2 はより高次の項を法として対角線上消える関数の同値類からなる。
余接層はこの層の M への引き戻し（英語版）である。
Γ T^*ＩM=Δ ^*Ｉ(Ｉ/ Ｉ^2).
テイラーの定理によって、これは M の滑らかな関数の芽の層に関して加群の局所自由層である。したがってそれは M 上のベクトル束、余接束 (cotangent bundle) を定義する。
多様体における反変性
多様体の滑らかな射 φ ： M → N は M 上の引き戻し層（英語版） φ^*T^*N を誘導する。
ベクトル束の誘導される写像（英語版） φ^*(T^*N) → T^*M が存在する。
つづく
198現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/06(日) 10:59:09.78ID:P1Kztm36 >>197
つづき
相空間としての余接束
余接束 X=T*M はベクトル束であるから、それはそれ自身多様体と見ることができる。T*M の定義が底空間 M の微分トポロジー (differential topology) に関係づける方法のために、 X は自然な 1-形式 θ （canonical one-form あるいは tautological one-form あるいは symplectic potential）を有する。θ の外微分は斜行 2-形式 (symplectic 2-form) であり、そこから非退化体積形式 (volume form) が X に対して構成できる。例えば、結果として X は常に向き付け可能な多様体である（つまり X の接束は向き付け可能なベクトル束である）。座標の特別な集合を余接束上定義できる。これらは自然座標 (canonical coordinates) と呼ばれる。余接束はシンプレクティック多様体 (symplectic manifold) と考えることができるから、余接束上の任意の実関数はハミルトニアンであると解釈することができる。したがって余接束はハミルトン力学が演じる相空間であると理解できる。
相空間
多様体 M が力学系における可能な位置の集合を表していれば、余接束 T*M を可能な位置と運動量の集合と考えることができる。例えば、これは振り子の相空間を記述する方法である。振り子の状態は、その位置（角度）と、その運動量（あるいは同じことだが、その速度、なぜならばその質量は変わらないから）によって決定される。全状態空間はシリンダーのように見える。シリンダーは円の余接束である。上のシンプレクティックな構成は、適切なエネルギー関数と一緒に、系の物理の完全な決定を与える。より多くの情報はハミルトン力学を、動きのハミルトニアン方程式の明示的な構成は en:geodesic flow の記事を参照。
(引用終り)
以上
つづき
相空間としての余接束
余接束 X=T*M はベクトル束であるから、それはそれ自身多様体と見ることができる。T*M の定義が底空間 M の微分トポロジー (differential topology) に関係づける方法のために、 X は自然な 1-形式 θ （canonical one-form あるいは tautological one-form あるいは symplectic potential）を有する。θ の外微分は斜行 2-形式 (symplectic 2-form) であり、そこから非退化体積形式 (volume form) が X に対して構成できる。例えば、結果として X は常に向き付け可能な多様体である（つまり X の接束は向き付け可能なベクトル束である）。座標の特別な集合を余接束上定義できる。これらは自然座標 (canonical coordinates) と呼ばれる。余接束はシンプレクティック多様体 (symplectic manifold) と考えることができるから、余接束上の任意の実関数はハミルトニアンであると解釈することができる。したがって余接束はハミルトン力学が演じる相空間であると理解できる。
相空間
多様体 M が力学系における可能な位置の集合を表していれば、余接束 T*M を可能な位置と運動量の集合と考えることができる。例えば、これは振り子の相空間を記述する方法である。振り子の状態は、その位置（角度）と、その運動量（あるいは同じことだが、その速度、なぜならばその質量は変わらないから）によって決定される。全状態空間はシリンダーのように見える。シリンダーは円の余接束である。上のシンプレクティックな構成は、適切なエネルギー関数と一緒に、系の物理の完全な決定を与える。より多くの情報はハミルトン力学を、動きのハミルトニアン方程式の明示的な構成は en:geodesic flow の記事を参照。
(引用終り)
以上
199現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/06(日) 11:04:22.48ID:P1Kztm36200１３２人目の素数さん
2020/09/06(日) 11:05:35.01ID:JRBNrvaF 「正方行列から零因子を除けば体になる」レベルの頭でいくらコピペ連投しても無駄！
無駄！ 無駄！ 無駄！ 無駄！ 無駄！ 無駄！ 無駄！ 無駄！ 無駄！ 無駄！ 無駄！ 無駄！ 無駄！
無駄！ 無駄！ 無駄！ 無駄！ 無駄！ 無駄！ 無駄！ 無駄！ 無駄！ 無駄！ 無駄！ 無駄！ 無駄！
201１３２人目の素数さん
2020/09/06(日) 12:24:07.07ID:rCjTzdM1202１３２人目の素数さん
2020/09/06(日) 12:26:26.03ID:rCjTzdM1 行列式
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F
数学における行列式（ぎょうれつしき、英: determinant）とは、正方行列に対して定義される量で、
歴史的には行列が表す一次方程式の可解性を判定する指標として導入された。
幾何的には線型空間またはより一般の有限生成自由加群上の自己準同型に対して定義され、
線型変換によって空間の体積要素が何倍に変わるかという概念を抽象化したものと見なすことができる。
行列の可逆性を判定する指標として線型代数学における最も重要な指標の一つと見なされている。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F
数学における行列式（ぎょうれつしき、英: determinant）とは、正方行列に対して定義される量で、
歴史的には行列が表す一次方程式の可解性を判定する指標として導入された。
幾何的には線型空間またはより一般の有限生成自由加群上の自己準同型に対して定義され、
線型変換によって空間の体積要素が何倍に変わるかという概念を抽象化したものと見なすことができる。
行列の可逆性を判定する指標として線型代数学における最も重要な指標の一つと見なされている。
203１３２人目の素数さん
2020/09/06(日) 12:33:22.06ID:rCjTzdM1 概要
X を成分が実数である2次の正方行列
(a b)
(c d)
とするとき、これは平面上の線型変換
x → ax + by
y → cx + dy
を定めている。
一方で平面における二つのベクトル u = (u0, u1), v = (v0, v1) について、
これらが張る平行四辺形の「向きも込めた」面積は
A(u,v)=u_0v_1-u_1v_0
によって指定される数だと考えることができる。
このとき A(X.u, X.v) = (ad － bc)A(u, v) が成り立っているが、
これは X の定める線型変換によって
平面内の図形の面積が (ad － bc)-倍される、と解釈できる。
したがって各2次正方行列 X に対し（上の記号の下で）
det X := ad － bc
を対応させると、
det(XY) = (det X)(det Y)
であることや、det X > 0 であるとき
X の定める変換は図形の向きを保ち、
反対に det X < 0 であるとき
図形の向きは反転させられることがわかる。
det の乗法性から X が可逆ならば
det X は逆数を持つ数であることが従うが、
反対に X が退化した行列（つまり X の定める変換の像が一次元の部分空間）
になる場合にはすべての図形の変換後の面積が 0 になることから
det X = 0 となることがいえる。
こうして行列 X が正則になることと X の行列式が可逆になることが
同値であるということがわかる。
同様にして一般の次数の正方行列 X に対し、
X の定める線型変換が図形の体積を何倍にしているかという量を
X の行列式として定義することができる。
これは行列の成分を変数とする多項式の形でかけ、二次の場合と同様に
これは正則性など正方行列の重要な性質に対する指標を与えている。
一次方程式系が与えられるとき、方程式の係数行列に対して
その行列式の値を調べることにより、方程式系の根の状態を
ある程度知ることができる。
特にクラメルの公式により、
根が一組である線型方程式系の根の公式が
行列式を用いて表示される。
X を成分が実数である2次の正方行列
(a b)
(c d)
とするとき、これは平面上の線型変換
x → ax + by
y → cx + dy
を定めている。
一方で平面における二つのベクトル u = (u0, u1), v = (v0, v1) について、
これらが張る平行四辺形の「向きも込めた」面積は
A(u,v)=u_0v_1-u_1v_0
によって指定される数だと考えることができる。
このとき A(X.u, X.v) = (ad － bc)A(u, v) が成り立っているが、
これは X の定める線型変換によって
平面内の図形の面積が (ad － bc)-倍される、と解釈できる。
したがって各2次正方行列 X に対し（上の記号の下で）
det X := ad － bc
を対応させると、
det(XY) = (det X)(det Y)
であることや、det X > 0 であるとき
X の定める変換は図形の向きを保ち、
反対に det X < 0 であるとき
図形の向きは反転させられることがわかる。
det の乗法性から X が可逆ならば
det X は逆数を持つ数であることが従うが、
反対に X が退化した行列（つまり X の定める変換の像が一次元の部分空間）
になる場合にはすべての図形の変換後の面積が 0 になることから
det X = 0 となることがいえる。
こうして行列 X が正則になることと X の行列式が可逆になることが
同値であるということがわかる。
同様にして一般の次数の正方行列 X に対し、
X の定める線型変換が図形の体積を何倍にしているかという量を
X の行列式として定義することができる。
これは行列の成分を変数とする多項式の形でかけ、二次の場合と同様に
これは正則性など正方行列の重要な性質に対する指標を与えている。
一次方程式系が与えられるとき、方程式の係数行列に対して
その行列式の値を調べることにより、方程式系の根の状態を
ある程度知ることができる。
特にクラメルの公式により、
根が一組である線型方程式系の根の公式が
行列式を用いて表示される。
204１３２人目の素数さん
2020/09/06(日) 12:53:32.30ID:rCjTzdM1 行列式の定義
抽象的な定義
K を可換環とし、E を階数 n の A 上の自由加群とする。
E の n-次外冪 ⋀nE は A 上階数1の自由加群である。
E 上の K-線型写像 φ について、⋀nE 上に引き起こされる K-準同型
∧^n φ : e_1∧…∧e_n → φ(e_1)∧…∧φ(e_n)
は一意的に定まるある a ∈ A に関する定数倍写像と一致する。
この a は φ の行列式 det φ と呼ばれる。
明示的な定義
n 次正方行列 A の i 行 j 列成分を ai,j で表すと、
A の行列式は、次の式で定義される：
det A=Σ (σ∈Aut(n)){{sgn σ) π\prod (i=1～n)a_i,σ(i)}
ここで、
Aut(n) は n 次対称群（{1, …, n} の自己同型群）
sgn は置換の符号
を表す。
n 次正方行列の行列式は n 次の斉次多項式で、項を n! 個持つ（ライプニッツの公式）。
正方行列 A の行列式は、|A| あるいは det(A) と表記される。
二つの定義の同値性
Kn の標準的な基底を (e1, …, en) とする。
行列 X の各列を表す縦ベクトル v1, …, vn とすると、vj とは Xej にほかならない。
(∧^n X)(e_1∧…∧e_n)=v_1∧ …∧v_n
であるが、ここで
v_1∧…∧v_n=Σ (σ ∈ S_n)(sgn σ)v_1‗σ(1)v_2‗σ(2)…v_n‗σ(n))e_1∧…∧e_n
である。（ただし、v‗jの第 i成分を v‗j‗i と表した）。
これは Kn 上 ⋀nX が (det X)-倍写像として作用していることを示している。
n-次外積の普遍性により、行列式とは
行列の各行の縦ベクトルに関する n-重交代線型写像で
単位行列について 1 を与えるようなもの
として特徴づけられることがわかる。
抽象的な定義
K を可換環とし、E を階数 n の A 上の自由加群とする。
E の n-次外冪 ⋀nE は A 上階数1の自由加群である。
E 上の K-線型写像 φ について、⋀nE 上に引き起こされる K-準同型
∧^n φ : e_1∧…∧e_n → φ(e_1)∧…∧φ(e_n)
は一意的に定まるある a ∈ A に関する定数倍写像と一致する。
この a は φ の行列式 det φ と呼ばれる。
明示的な定義
n 次正方行列 A の i 行 j 列成分を ai,j で表すと、
A の行列式は、次の式で定義される：
det A=Σ (σ∈Aut(n)){{sgn σ) π\prod (i=1～n)a_i,σ(i)}
ここで、
Aut(n) は n 次対称群（{1, …, n} の自己同型群）
sgn は置換の符号
を表す。
n 次正方行列の行列式は n 次の斉次多項式で、項を n! 個持つ（ライプニッツの公式）。
正方行列 A の行列式は、|A| あるいは det(A) と表記される。
二つの定義の同値性
Kn の標準的な基底を (e1, …, en) とする。
行列 X の各列を表す縦ベクトル v1, …, vn とすると、vj とは Xej にほかならない。
(∧^n X)(e_1∧…∧e_n)=v_1∧ …∧v_n
であるが、ここで
v_1∧…∧v_n=Σ (σ ∈ S_n)(sgn σ)v_1‗σ(1)v_2‗σ(2)…v_n‗σ(n))e_1∧…∧e_n
である。（ただし、v‗jの第 i成分を v‗j‗i と表した）。
これは Kn 上 ⋀nX が (det X)-倍写像として作用していることを示している。
n-次外積の普遍性により、行列式とは
行列の各行の縦ベクトルに関する n-重交代線型写像で
単位行列について 1 を与えるようなもの
として特徴づけられることがわかる。
205１３２人目の素数さん
2020/09/06(日) 12:58:00.60ID:rCjTzdM1 複線型交代形式
n次行列に関する行列式は列に関して n重交代線型性をもつ。
特に、どれか二つの列が全く同一の成分を持つような行列の行列式は 0 である。
A の行列式と、A の転置行列の行列式は等しい。
これによって、行列式が列に関してある性質を持てば、
行に関しても同様の性質を持つことが分かる。
つまり、上記の性質は全て行に対するものにも書き直せる。
二つの行列の積の行列式は、それぞれの行列式の積に等しい：
A, B を n次正方行列とするとき、|A|⋅|B| = |AB| である。
これより特に行列式が基底の取り替えによって不変であることが従う。
n次行列に関する行列式は列に関して n重交代線型性をもつ。
特に、どれか二つの列が全く同一の成分を持つような行列の行列式は 0 である。
A の行列式と、A の転置行列の行列式は等しい。
これによって、行列式が列に関してある性質を持てば、
行に関しても同様の性質を持つことが分かる。
つまり、上記の性質は全て行に対するものにも書き直せる。
二つの行列の積の行列式は、それぞれの行列式の積に等しい：
A, B を n次正方行列とするとき、|A|⋅|B| = |AB| である。
これより特に行列式が基底の取り替えによって不変であることが従う。
206現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/06(日) 13:49:21.09ID:P1Kztm36 >>175
私は、別に言い訳もなにもする必要がない
５ｃｈの気楽な日常会話なのだから
発言の意図を、補足しているだけのこと
そもそもの話は、前スレより
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/103-104
https://tsujimotter.ハテナブログ/entry/definition-of-sheaf
tsujimotter 20190621
層の定義
(抜粋)
今回は、いよいよ層の定義をしてみたいと思います。今日のポイントは、具体例の計算です。具体例を通して、層の理解を目指しましょう。
《例示は理解の試金石》
そうだ！
例示をしてみればわかるかもしれない！
そういうわけで、具体例の計算をしてみたのです。すると、不思議なことに、層の条件がなんだかわかってきた気がしました。
あっ、これ解析接続じゃん！！！
圏論化することによる層の一般化の話は、整数論サマースクールの三枝先生の記事で読みました。この記事を理解できるようになることが、私の目標の一つです。
http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/ss2009proceeding/SummerSchool-0201-2.pdf
(引用終り)
これに、揚げ足を取ろうとするおサルの発言下記
前スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/130
>”抽象 ←→ 具体例 ”
例が１つだけだと確実に間違う
例えば群の例で、自然数しか思いつかないようなもん
で唯一の例を根拠に「群の演算は可換！」とか言いきったら馬鹿
(引用終り)
ホント
おサルの「群の例で、自然数」には、笑えたな
おサルは、自身の失言の上塗りを取り繕うために
非可換な群の例の話に、論点ずらし（＾＾
(>>175より)
私が、>>134で「折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな
群は基本的に非可換だよ」と書いた
おサルは、何を勘違いしたのか、これを「全ての正方行列が群を成す」と曲解して、騒ぐのです（＾＾
(引用終り)
自分の失言をゴマカスために、揚げ足を取りに来ているのは見え見えだった
で、そこでまた、行列の零因子の話をこちらが出すと
行列の零因子と逆行列が密接な関係があることを、知らなかったのです
そして、層についても、全く理解していないことを露呈したのです！
まさに、アホですな
私は、別に言い訳もなにもする必要がない
５ｃｈの気楽な日常会話なのだから
発言の意図を、補足しているだけのこと
そもそもの話は、前スレより
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/103-104
https://tsujimotter.ハテナブログ/entry/definition-of-sheaf
tsujimotter 20190621
層の定義
(抜粋)
今回は、いよいよ層の定義をしてみたいと思います。今日のポイントは、具体例の計算です。具体例を通して、層の理解を目指しましょう。
《例示は理解の試金石》
そうだ！
例示をしてみればわかるかもしれない！
そういうわけで、具体例の計算をしてみたのです。すると、不思議なことに、層の条件がなんだかわかってきた気がしました。
あっ、これ解析接続じゃん！！！
圏論化することによる層の一般化の話は、整数論サマースクールの三枝先生の記事で読みました。この記事を理解できるようになることが、私の目標の一つです。
http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/ss2009proceeding/SummerSchool-0201-2.pdf
(引用終り)
これに、揚げ足を取ろうとするおサルの発言下記
前スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/130
>”抽象 ←→ 具体例 ”
例が１つだけだと確実に間違う
例えば群の例で、自然数しか思いつかないようなもん
で唯一の例を根拠に「群の演算は可換！」とか言いきったら馬鹿
(引用終り)
ホント
おサルの「群の例で、自然数」には、笑えたな
おサルは、自身の失言の上塗りを取り繕うために
非可換な群の例の話に、論点ずらし（＾＾
(>>175より)
私が、>>134で「折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな
群は基本的に非可換だよ」と書いた
おサルは、何を勘違いしたのか、これを「全ての正方行列が群を成す」と曲解して、騒ぐのです（＾＾
(引用終り)
自分の失言をゴマカスために、揚げ足を取りに来ているのは見え見えだった
で、そこでまた、行列の零因子の話をこちらが出すと
行列の零因子と逆行列が密接な関係があることを、知らなかったのです
そして、層についても、全く理解していないことを露呈したのです！
まさに、アホですな
207１３２人目の素数さん
2020/09/06(日) 13:55:17.97ID:t3ZcJAwB でも、「解析接続」の概念が層の概念の元になってるなら
位相空間においてただの連続函数の層が定義されるのはおかしいじゃん
という指摘は鋭いでしょ。
位相空間においてただの連続函数の層が定義されるのはおかしいじゃん
という指摘は鋭いでしょ。
208１３２人目の素数さん
2020/09/06(日) 14:03:42.86ID:t3ZcJAwB セタは、対称群S_3は巡回群C_2とC_3の直積！と思っていた。
いや、しかしアーベル群とアーベル群の直積はアーベル群なのだから
非可換群が直積として生じるのはおかしいでしょ
という、自分の頭で数学を考えたことのあるひとなら
誰でも気づく当たり前のことにさえ気づかなかったことがある。
いや、しかしアーベル群とアーベル群の直積はアーベル群なのだから
非可換群が直積として生じるのはおかしいでしょ
という、自分の頭で数学を考えたことのあるひとなら
誰でも気づく当たり前のことにさえ気づかなかったことがある。
209１３２人目の素数さん
2020/09/06(日) 14:50:47.95ID:rCjTzdM1 >>206
>私は、別に言い訳もなにもする必要がない
誤 必要がない
正 余地がない
>５ｃｈの気楽な日常会話なのだから
５ｃｈでも気楽でも日常会話でも
あなたの明らかな誤りに対して
言い訳の余地は全くない
>「群の例で、自然数」には、笑えたな
「いかなる層は解析接続する」には、笑わせていただきました
「正方行列の群」にも、笑わせていただきました
いかなるあなたの誤りも、まったく初歩的で、
存分に笑わせていただきました
◆yH25M02vWFhP あなたは、まったく最高のピエロですよ Bravo!!!
>私は、別に言い訳もなにもする必要がない
誤 必要がない
正 余地がない
>５ｃｈの気楽な日常会話なのだから
５ｃｈでも気楽でも日常会話でも
あなたの明らかな誤りに対して
言い訳の余地は全くない
>「群の例で、自然数」には、笑えたな
「いかなる層は解析接続する」には、笑わせていただきました
「正方行列の群」にも、笑わせていただきました
いかなるあなたの誤りも、まったく初歩的で、
存分に笑わせていただきました
◆yH25M02vWFhP あなたは、まったく最高のピエロですよ Bravo!!!
210１３２人目の素数さん
2020/09/06(日) 14:55:15.51ID:rCjTzdM1211現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/06(日) 17:09:10.89ID:P1Kztm36 >>207
>位相空間においてただの連続函数の層が定義されるのはおかしいじゃん
>という指摘は鋭いでしょ。
確かに鋭いが、まずは下記の向井 茂先生(>>48)だな
C∞の層と類似だよ、連続函数の層は
（>>48-49より再録）
C∞の層はあんまし面白くないみたいだな
まずは、下記向井 茂先生
「・ 層( sheaf )
大雑把にいって
層' X 上の代数的(正則) ベクトル束 (10)
です(X が代数多様体のときは「代数的」、複素多様体のときは「正則」が対応します)。」
こっから入っていけば良い。C∞の層はあんまし面白くない（＾＾；
代数的、正則、まずはこの二つよ
（参考）
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~hamanaka/hamanaka.html#article
http://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~masashi.hamanaka/fourier_mukai.pdf
Fourier-Mukai変換 向井 茂 述 1998
Fourier-Mukai 変換(以下FM 変換と書く) というのは、Fourier 変換の拡張です。Fourier 変換
というのは普通、関数を展開してやるものですが、これを層でやるというのがFM 変換です。
略
で、こういうのをここまでは多様体上の関数に対してやっていたんですが、今度は多様体上の
層に対してやればどうなるかということを考えます。
略
・ 層( sheaf )
大雑把にいって
層' X 上の代数的(正則) ベクトル束 (10)
です(X が代数多様体のときは「代数的」、複素多様体のときは「正則」が対応します)。
こう思って大体話が通じますが、時々話が通じないことも事実です。そのときに何に注意すれ
ばいいかと言いますと、X の閉部分多様体Y 上のベクトル束を(補集合X !Y では零になる
ように) 拡げたものも層だということです。層というのは多様体の各点にベクトル空間が生
えたものです。このベクトル空間の次元が各点で全て同じならば、本当にベクトル束です。
ただ各点で次元がジャンプすることがあります。例えば、摩天楼層がそうです。摩天楼層と
いうのはX の１点x 2 X に有限次元ベクトル空間を生やしたものです。
関数のFourier 変換を層のFourier 変換(FM 変換) に拡張するためにどうすればいいかですが、
略
>位相空間においてただの連続函数の層が定義されるのはおかしいじゃん
>という指摘は鋭いでしょ。
確かに鋭いが、まずは下記の向井 茂先生(>>48)だな
C∞の層と類似だよ、連続函数の層は
（>>48-49より再録）
C∞の層はあんまし面白くないみたいだな
まずは、下記向井 茂先生
「・ 層( sheaf )
大雑把にいって
層' X 上の代数的(正則) ベクトル束 (10)
です(X が代数多様体のときは「代数的」、複素多様体のときは「正則」が対応します)。」
こっから入っていけば良い。C∞の層はあんまし面白くない（＾＾；
代数的、正則、まずはこの二つよ
（参考）
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~hamanaka/hamanaka.html#article
http://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~masashi.hamanaka/fourier_mukai.pdf
Fourier-Mukai変換 向井 茂 述 1998
Fourier-Mukai 変換(以下FM 変換と書く) というのは、Fourier 変換の拡張です。Fourier 変換
というのは普通、関数を展開してやるものですが、これを層でやるというのがFM 変換です。
略
で、こういうのをここまでは多様体上の関数に対してやっていたんですが、今度は多様体上の
層に対してやればどうなるかということを考えます。
略
・ 層( sheaf )
大雑把にいって
層' X 上の代数的(正則) ベクトル束 (10)
です(X が代数多様体のときは「代数的」、複素多様体のときは「正則」が対応します)。
こう思って大体話が通じますが、時々話が通じないことも事実です。そのときに何に注意すれ
ばいいかと言いますと、X の閉部分多様体Y 上のベクトル束を(補集合X !Y では零になる
ように) 拡げたものも層だということです。層というのは多様体の各点にベクトル空間が生
えたものです。このベクトル空間の次元が各点で全て同じならば、本当にベクトル束です。
ただ各点で次元がジャンプすることがあります。例えば、摩天楼層がそうです。摩天楼層と
いうのはX の１点x 2 X に有限次元ベクトル空間を生やしたものです。
関数のFourier 変換を層のFourier 変換(FM 変換) に拡張するためにどうすればいいかですが、
略
212１３２人目の素数さん
2020/09/06(日) 18:20:38.38ID:rCjTzdM1 >>211
いつものことだけど、見苦しいね
層は解析接続と無関係、で終わりだよ
C∞の層は面白くない、とか無意味
しかも何がどう面白くないか言えないんでしょ？
連接性の定義を理解できない人に、代数幾何も複素解析幾何も無理
まず、行列式を覚えましょうね
そこがあなたがたどり着ける数学の最高地点だから
いつものことだけど、見苦しいね
層は解析接続と無関係、で終わりだよ
C∞の層は面白くない、とか無意味
しかも何がどう面白くないか言えないんでしょ？
連接性の定義を理解できない人に、代数幾何も複素解析幾何も無理
まず、行列式を覚えましょうね
そこがあなたがたどり着ける数学の最高地点だから
213１３２人目の素数さん
2020/09/06(日) 18:25:05.31ID:mzMgHN1v 広中平祐さんが耳学問が重要とか言っていましたが、本当に重要なんですか？
214１３２人目の素数さん
2020/09/06(日) 18:53:54.82ID:t3ZcJAwB C^∞級多様体上だとC^∞級函数の層が自然な対象になるはず。
要するに考えている幾何学的対象によって、その上の自然な「函数環」も
異なってくる。
それにそもそも層理論の母体となった、多変数函数論における
「クザンの問題」の層コホモロジーによる定式化
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%82%B6%E3%83%B3%E5%95%8F%E9%A1%8C
を見れば分かるが、正則函数の層Oの他に、有理型函数の層K
さらには、K/Oなどが自然にあらわれる。
フーリエ-向井変換 とかより、こっちが基本でしょ。
要するに考えている幾何学的対象によって、その上の自然な「函数環」も
異なってくる。
それにそもそも層理論の母体となった、多変数函数論における
「クザンの問題」の層コホモロジーによる定式化
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%82%B6%E3%83%B3%E5%95%8F%E9%A1%8C
を見れば分かるが、正則函数の層Oの他に、有理型函数の層K
さらには、K/Oなどが自然にあらわれる。
フーリエ-向井変換 とかより、こっちが基本でしょ。
215１３２人目の素数さん
2020/09/06(日) 19:04:38.44ID:t3ZcJAwB >>213
広中が言っていたのは、何をやろうとしているかも分からずに
専門書を1ページから順に読んでいくというやり方では
途中で挫折してしまう、アメリカでは教授のところに訊きにいけば
気軽に教えてくれて、聞いてるうちにだんだん分かってくるとか
そんな話だったと思う。
広中が言っていたのは、何をやろうとしているかも分からずに
専門書を1ページから順に読んでいくというやり方では
途中で挫折してしまう、アメリカでは教授のところに訊きにいけば
気軽に教えてくれて、聞いてるうちにだんだん分かってくるとか
そんな話だったと思う。
216１３２人目の素数さん
2020/09/06(日) 19:13:15.24ID:mzMgHN1v 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhPさんはなぜ、数学を真剣に勉強しないのに興味は非常にあるのでしょうか？
217１３２人目の素数さん
2020/09/06(日) 20:06:58.55ID:rCjTzdM1 >>216
数学に興味があるわけではないんでしょう
カッコつけたいだけじゃないですかね？
https://www.facebook.com/hinatazaka46tw/videos/1577258892411212/
数学に興味があるわけではないんでしょう
カッコつけたいだけじゃないですかね？
https://www.facebook.com/hinatazaka46tw/videos/1577258892411212/
218１３２人目の素数さん
2020/09/06(日) 20:51:55.90ID:rCjTzdM1219現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/06(日) 21:28:30.67ID:P1Kztm36 >>214
(引用開始)
それにそもそも層理論の母体となった、多変数函数論における
「クザンの問題」の層コホモロジーによる定式化
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%82%B6%E3%83%B3%E5%95%8F%E9%A1%8C
を見れば分かるが、正則函数の層Oの他に、有理型函数の層K
さらには、K/Oなどが自然にあらわれる。
(引用終り)
全く同じ意見です、全面同意です！
要するに、 正則函数の層を例とする tsujimotterの層の定義の理解、下記
（>>206）
”《例示は理解の試金石》
そうだ！
例示をしてみればわかるかもしれない！
そういうわけで、具体例の計算をしてみたのです。すると、不思議なことに、層の条件がなんだかわかってきた気がしました。
あっ、これ解析接続じゃん！！！”
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/103-104
https://tsujimotter.ハテナブログ/entry/definition-of-sheaf
tsujimotter 20190621
層の定義
(引用終り)
ここ（正則函数の層）から入れば、岡「クザンの問題」、層コホモロジー、小平へと繋がる
そして、カルタンA,B 、セール GAGA、代数幾何、 (Hartshorne 1977, Theorem III.3.7)と繋がる
だから、正則函数の層から入るのが、大正解でしょ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86A,_B
カルタンの定理A, B
1951年頃にアンリ・カルタンによって証明された、シュタイン多様体 X 上のある連接層 F に関する定理で、A と B の二種類が存在する。それらはいずれも多変数複素函数論に対する応用や、層コホモロジーの一般的な発展に対して意義のあるものである。
定理 B は、以下のようなコホモロジーにおける用語で表現される（これは Cartan (1953, p.51) が J.-P. Serre に帰するものとしている式である）：
つづく
(引用開始)
それにそもそも層理論の母体となった、多変数函数論における
「クザンの問題」の層コホモロジーによる定式化
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%82%B6%E3%83%B3%E5%95%8F%E9%A1%8C
を見れば分かるが、正則函数の層Oの他に、有理型函数の層K
さらには、K/Oなどが自然にあらわれる。
(引用終り)
全く同じ意見です、全面同意です！
要するに、 正則函数の層を例とする tsujimotterの層の定義の理解、下記
（>>206）
”《例示は理解の試金石》
そうだ！
例示をしてみればわかるかもしれない！
そういうわけで、具体例の計算をしてみたのです。すると、不思議なことに、層の条件がなんだかわかってきた気がしました。
あっ、これ解析接続じゃん！！！”
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/103-104
https://tsujimotter.ハテナブログ/entry/definition-of-sheaf
tsujimotter 20190621
層の定義
(引用終り)
ここ（正則函数の層）から入れば、岡「クザンの問題」、層コホモロジー、小平へと繋がる
そして、カルタンA,B 、セール GAGA、代数幾何、 (Hartshorne 1977, Theorem III.3.7)と繋がる
だから、正則函数の層から入るのが、大正解でしょ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86A,_B
カルタンの定理A, B
1951年頃にアンリ・カルタンによって証明された、シュタイン多様体 X 上のある連接層 F に関する定理で、A と B の二種類が存在する。それらはいずれも多変数複素函数論に対する応用や、層コホモロジーの一般的な発展に対して意義のあるものである。
定理 B は、以下のようなコホモロジーにおける用語で表現される（これは Cartan (1953, p.51) が J.-P. Serre に帰するものとしている式である）：
つづく
220現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/06(日) 21:29:30.12ID:P1Kztm36 >>219
つづき
カルタンの定理 B：すべての p > 0 に対して H?p(X, F) = 0 である。
代数幾何学における連接層に対する同様の性質は、X がアフィンスキームである場合に、Serre (1957) によって示されている。定理 B と類似のそのような定理は、以下のように記述される (Hartshorne 1977, Theorem III.3.7)：
定理 B（スキーム論的表現）：X をアフィンスキームとし、F を X 上のザリスキー位相に対する OX-加群の準連接層とする。このとき、すべての p > 0 に対して H?p(X, F) = 0 である。
より深い段階では、これらの定理はGAGAの定理を証明するためにジャン＝ピエール・セールによって利用された。
カルタンの定理 B は、複素多様体 X 上のすべての連接層 F（resp. ネータースキーム X 上の準連接層 F）に対して H?1(X, F) = 0 であるなら、X はシュタイン多様体（resp. アフィン多様体）であるという明確な結果である。(Serre 1956) (resp. (Serre 1957) and Hartshorne (1977, Theorem III.3.7)) を参照されたい。
(引用終り)
以上
つづき
カルタンの定理 B：すべての p > 0 に対して H?p(X, F) = 0 である。
代数幾何学における連接層に対する同様の性質は、X がアフィンスキームである場合に、Serre (1957) によって示されている。定理 B と類似のそのような定理は、以下のように記述される (Hartshorne 1977, Theorem III.3.7)：
定理 B（スキーム論的表現）：X をアフィンスキームとし、F を X 上のザリスキー位相に対する OX-加群の準連接層とする。このとき、すべての p > 0 に対して H?p(X, F) = 0 である。
より深い段階では、これらの定理はGAGAの定理を証明するためにジャン＝ピエール・セールによって利用された。
カルタンの定理 B は、複素多様体 X 上のすべての連接層 F（resp. ネータースキーム X 上の準連接層 F）に対して H?1(X, F) = 0 であるなら、X はシュタイン多様体（resp. アフィン多様体）であるという明確な結果である。(Serre 1956) (resp. (Serre 1957) and Hartshorne (1977, Theorem III.3.7)) を参照されたい。
(引用終り)
以上
221粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
2020/09/06(日) 22:10:45.28ID:WI7jv5pd 誤引用は悪かつ公害
222現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/06(日) 22:27:21.80ID:P1Kztm36 >>211
再録
http://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~masashi.hamanaka/fourier_mukai.pdf
Fourier-Mukai変換 向井 茂 述 1998
層に対してやればどうなるかということを考えます。
略
・ 層( sheaf )
大雑把にいって
層' X 上の代数的(正則) ベクトル束 (10)
です(X が代数多様体のときは「代数的」、複素多様体のときは「正則」が対応します)。
こう思って大体話が通じます
(引用終り)
補足しておきます
この引用で言いたかったことは（「Fourier-Mukai変換」ではなく）
”層のとらえ方”
「代数的」と「正則」が、二本柱ってこと
「代数的」が、代数幾何・代数多様体
「正則」が、多変数複素関数論・複素多様体
そして、歴史的には、「正則」が先にあった
岡とか小平とか
そこから発展して、カルタン、セール、グロタンディークへと繋がる
「正則」つまり、（多変数）解析函数を例として、層を理解すれば
そこから、「代数的」な層の理解に、繋がっていくでしょう
それ以外の層は、「代数的」と「正則」が、ある程度理解できた後でやれば
よかんべよということです（＾＾
再録
http://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~masashi.hamanaka/fourier_mukai.pdf
Fourier-Mukai変換 向井 茂 述 1998
層に対してやればどうなるかということを考えます。
略
・ 層( sheaf )
大雑把にいって
層' X 上の代数的(正則) ベクトル束 (10)
です(X が代数多様体のときは「代数的」、複素多様体のときは「正則」が対応します)。
こう思って大体話が通じます
(引用終り)
補足しておきます
この引用で言いたかったことは（「Fourier-Mukai変換」ではなく）
”層のとらえ方”
「代数的」と「正則」が、二本柱ってこと
「代数的」が、代数幾何・代数多様体
「正則」が、多変数複素関数論・複素多様体
そして、歴史的には、「正則」が先にあった
岡とか小平とか
そこから発展して、カルタン、セール、グロタンディークへと繋がる
「正則」つまり、（多変数）解析函数を例として、層を理解すれば
そこから、「代数的」な層の理解に、繋がっていくでしょう
それ以外の層は、「代数的」と「正則」が、ある程度理解できた後でやれば
よかんべよということです（＾＾
223１３２人目の素数さん
2020/09/06(日) 22:44:13.67ID:rCjTzdM1 >>222
＞”層のとらえ方”
＞「代数的」と「正則」が、二本柱ってこと
やっぱり全然分かってないですね
代数幾何学と解析幾何学
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6%E3%81%A8%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6
X を複素射影代数多様体とする。
X は複素多様体であるので、複素数の点 X(C) は
コンパクト複素解析空間の構造を持ち、X~an と表わされる。
同様に、F を X 上の層とすると、
X~an 上の対応する層 F~an が存在し、
これが解析的な対象と代数的な対象を関連付ける函手となる。
典型的な X と X~an を関連付ける定理は、次のように言うことができる。
X 上の任意の 2つの連接層 F と G に対し、自然な準同型
Hom_Ox(F,G)→Hom_Ox~an(F~an,G~an)
は同型である。
ここに Oxは代数多様体 X の構造層であり、
Ox~an は解析的多様体 X~an の構造層である。
言い換えると、
代数多様体 X の連接層の圏と解析多様体 X~anの圏は同値であり、
同値性は F から F~an への写像により与えられる。
もうひとつの重要なステートメントは、以下である。
代数多様体 X 上の任意の連接層 F に対し、準同型
εq: H^q(X,F)→H^q(X~an,F~an)
は、すべての q について同型である。
このことは、
X 上の q次コホモロジー群と、
X~an 上の q次コホモロジー群が
同型であることを意味する。
＞”層のとらえ方”
＞「代数的」と「正則」が、二本柱ってこと
やっぱり全然分かってないですね
代数幾何学と解析幾何学
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6%E3%81%A8%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6
X を複素射影代数多様体とする。
X は複素多様体であるので、複素数の点 X(C) は
コンパクト複素解析空間の構造を持ち、X~an と表わされる。
同様に、F を X 上の層とすると、
X~an 上の対応する層 F~an が存在し、
これが解析的な対象と代数的な対象を関連付ける函手となる。
典型的な X と X~an を関連付ける定理は、次のように言うことができる。
X 上の任意の 2つの連接層 F と G に対し、自然な準同型
Hom_Ox(F,G)→Hom_Ox~an(F~an,G~an)
は同型である。
ここに Oxは代数多様体 X の構造層であり、
Ox~an は解析的多様体 X~an の構造層である。
言い換えると、
代数多様体 X の連接層の圏と解析多様体 X~anの圏は同値であり、
同値性は F から F~an への写像により与えられる。
もうひとつの重要なステートメントは、以下である。
代数多様体 X 上の任意の連接層 F に対し、準同型
εq: H^q(X,F)→H^q(X~an,F~an)
は、すべての q について同型である。
このことは、
X 上の q次コホモロジー群と、
X~an 上の q次コホモロジー群が
同型であることを意味する。
224１３２人目の素数さん
2020/09/06(日) 22:56:00.81ID:rCjTzdM1 >>223
>歴史的には、「正則」（＝解析的）が先にあった
>岡とか小平とか
正しくは、解析空間に関する 岡の連接定理が先にあった
（小平は特に関係ない）
>そこから発展して、カルタン、セール、グロタンディークへと繋がる
H.カルタンとセールが、岡の発見した連接性を、
代数多様体に応用して「代数的連接層」を考えた
（なお、わざわざH.カルタンとつけるのは、
父親も有名な数学者のE.カルタンだから）
グロタンディクはさらにそこから
エタール射によるエタール層
を考え出した
「層」が重要なわけではない
>歴史的には、「正則」（＝解析的）が先にあった
>岡とか小平とか
正しくは、解析空間に関する 岡の連接定理が先にあった
（小平は特に関係ない）
>そこから発展して、カルタン、セール、グロタンディークへと繋がる
H.カルタンとセールが、岡の発見した連接性を、
代数多様体に応用して「代数的連接層」を考えた
（なお、わざわざH.カルタンとつけるのは、
父親も有名な数学者のE.カルタンだから）
グロタンディクはさらにそこから
エタール射によるエタール層
を考え出した
「層」が重要なわけではない
225１３２人目の素数さん
2020/09/06(日) 23:13:17.41ID:rCjTzdM1226現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/07(月) 07:41:22.68ID:FwdYzTor >>222 補足
>”層のとらえ方”
>「代数的」と「正則」が、二本柱ってこと
下記”曲面の分類に関する小平理論 宮岡洋一 November 18, 2014”
が、同じ扱いです
P14 層の例で、「無限回微分可能な r 次微分形式全体の空間を対応させる層 DrX」は、これ全く使わない
「正則関数全体を対応させる層 OX」が、主です
P16
”3.2. 層のコホモロジー
層に対しては層係数のコホモロジー理論がある。詳しくは述べないが，と
りあえずは以下を記憶しておけばよい。
(0) X 上の層 A と X の開集合 U に対してアーベル群の列 Hi(U, A),
i =0, 1, 2, . . . が定まり H0(U, A) = Γ(U, A)。
(1) 短完全列 0 → A → B → C → 0 があれば，長完全列
0 → H0(U, A) → H0(U, B) → H0(U, C)
→ H1(U, A) → H1(U, B) → H1(U, C)
→ H2(U, A) → H2(U, B) → H2(U, C)
・ ・ ・
がある。
(2) A が脆弱層（すべての U に対して ρXU が全射。K など）や柔軟層（１の
分解ができる。Dpq など）であるときは，i > 0 について Hi(X, A) = 0。
(3) X がコンパクトな n 次元複素多様体（射影代数多様体など）で A が
連接層（A は有限生成 O 加群）ならば Hi(X, A) は有限次元 C ベク
トル空間で，i > n なら Hi(X, A) = 0. したがってこのとき A のオイ
ラー標数 Euler characteristic χ(X, A) = (-1)i dim Hi(X, A) が定義
される。”
これ、1時間の数学公開講座だから、すっきり割りきっていて、かえって要点が分り易い
このPDFは、必見ですね
なお、講演のビデオが公開されているので、時間がある人（1時間もの）、是非見て下さい
つづく
>”層のとらえ方”
>「代数的」と「正則」が、二本柱ってこと
下記”曲面の分類に関する小平理論 宮岡洋一 November 18, 2014”
が、同じ扱いです
P14 層の例で、「無限回微分可能な r 次微分形式全体の空間を対応させる層 DrX」は、これ全く使わない
「正則関数全体を対応させる層 OX」が、主です
P16
”3.2. 層のコホモロジー
層に対しては層係数のコホモロジー理論がある。詳しくは述べないが，と
りあえずは以下を記憶しておけばよい。
(0) X 上の層 A と X の開集合 U に対してアーベル群の列 Hi(U, A),
i =0, 1, 2, . . . が定まり H0(U, A) = Γ(U, A)。
(1) 短完全列 0 → A → B → C → 0 があれば，長完全列
0 → H0(U, A) → H0(U, B) → H0(U, C)
→ H1(U, A) → H1(U, B) → H1(U, C)
→ H2(U, A) → H2(U, B) → H2(U, C)
・ ・ ・
がある。
(2) A が脆弱層（すべての U に対して ρXU が全射。K など）や柔軟層（１の
分解ができる。Dpq など）であるときは，i > 0 について Hi(X, A) = 0。
(3) X がコンパクトな n 次元複素多様体（射影代数多様体など）で A が
連接層（A は有限生成 O 加群）ならば Hi(X, A) は有限次元 C ベク
トル空間で，i > n なら Hi(X, A) = 0. したがってこのとき A のオイ
ラー標数 Euler characteristic χ(X, A) = (-1)i dim Hi(X, A) が定義
される。”
これ、1時間の数学公開講座だから、すっきり割りきっていて、かえって要点が分り易い
このPDFは、必見ですね
なお、講演のビデオが公開されているので、時間がある人（1時間もの）、是非見て下さい
つづく
227現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/07(月) 07:42:56.80ID:FwdYzTor >>226
つづき
（参考）
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/video/open/2014koukai-kouza/index.html
2014年度 数学公開講座 「 小平邦彦氏の生涯と業績 」
(ビデオがある)
■11月22日 13:30 ～ 14:30
飯高 茂 氏
講演者 飯高 茂（学習院大学・名誉教授）
題目 『 小平邦彦博士の生涯と数学 』『 附録 私の接した小平先生 』
■11月22日 14:45 ～ 15:45
川又 雄二郎 氏
講演者 川又 雄二郎（東京大学・教授）
題目 『 小平=スペンサーの変形理論』
資料 配布資料 (PDF) https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/docs/141122kawamata.pdf
■11月22日 16:00 ～ 17:00
宮岡 洋一 氏
講演者 宮岡 洋一（東京大学・教授）
題目 『 曲面の小平理論 』 https://youtu.be/WHoZBXH417A
資料 配布資料 (PDF) https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/docs/%E6%9B%B2%E9%9D%A2%E3%81%AE%E5%B0%8F%E5%B9%B3%E7%90%86%E8%AB%96.pdf
曲面の分類に関する小平理論 宮岡洋一 November 18, 2014
(抜粋)
P1
1 複素多様体
複素多様体とはどんなものであるか．簡単に説明する．
1.1. 射影直線・射影平面・射影空間
P7
2 リーマン面と代数曲線
１９世紀までにほぼ解明された代数曲線の理論を，大道具をできるだけつか
わずに説明する。
つづく
つづき
（参考）
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/video/open/2014koukai-kouza/index.html
2014年度 数学公開講座 「 小平邦彦氏の生涯と業績 」
(ビデオがある)
■11月22日 13:30 ～ 14:30
飯高 茂 氏
講演者 飯高 茂（学習院大学・名誉教授）
題目 『 小平邦彦博士の生涯と数学 』『 附録 私の接した小平先生 』
■11月22日 14:45 ～ 15:45
川又 雄二郎 氏
講演者 川又 雄二郎（東京大学・教授）
題目 『 小平=スペンサーの変形理論』
資料 配布資料 (PDF) https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/docs/141122kawamata.pdf
■11月22日 16:00 ～ 17:00
宮岡 洋一 氏
講演者 宮岡 洋一（東京大学・教授）
題目 『 曲面の小平理論 』 https://youtu.be/WHoZBXH417A
資料 配布資料 (PDF) https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/docs/%E6%9B%B2%E9%9D%A2%E3%81%AE%E5%B0%8F%E5%B9%B3%E7%90%86%E8%AB%96.pdf
曲面の分類に関する小平理論 宮岡洋一 November 18, 2014
(抜粋)
P1
1 複素多様体
複素多様体とはどんなものであるか．簡単に説明する．
1.1. 射影直線・射影平面・射影空間
P7
2 リーマン面と代数曲線
１９世紀までにほぼ解明された代数曲線の理論を，大道具をできるだけつか
わずに説明する。
つづく
228現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/07(月) 07:43:22.24ID:FwdYzTor >>227
つづき
P8
2.2. 代数曲線上の有理関数と因子
実は C(C) の付値と C の点は 1:1 に対応し，この対応によって関数体から C
を復元することができる。以上をまとめると，非特異射影代数曲線 C に対
しては自然な対応
代数多様体の構造 → 複素多様体の構造 → 関数体 → 代数多様体の構造
があって，これら３つの構造は三位一体 trinity をなす。
C の０でない有理関数 f に対して，その零点や極は有限個しか存在しな
いから,
(f) = 廃∈Cv(f, p)p
は有限和である。(f) を f が定める主因子 principal divisor という。
P10
2.3. 曲線のリーマン・ロッホの定理
（リーマン・ロッホの証明は次節で述べる層のコホモロジー
理論と Serre 双対仮定すれば易しくできてしまうので，ここでは触れない）。
2.4. 分岐と Hurwitz の定理
この式を フルヴィッツの公式 Hurwitz formula という。
分岐指数が２以上の点
∈ C は有限個である。これらの点を分岐点 ramification point と呼ぶ。また
分岐点の f による像 ∈ B を分枝点 branch point という。
したがって，この場合，
分岐点の個数 = 分枝点の個数（一般には，分岐点の個数 >= 分枝点の個数）が成立
し，その個数を b とすると，b = 2g(C) + 2 である。逆に, P の 2g + 2 個の点で分
岐する２重分岐被覆 y2 = (x - a1)・ ・ ・(x - a2g+2) をとると，その種数は g である。
したがってすべての g に対して，種数 g の射影代数曲線は存在する。P の２重分岐
被覆として得られる曲線を g = 1 のときは楕円曲線 elliptic curve，g >= 2 のときは
超楕円曲線 hyperelliptic curve という。
つづく
つづき
P8
2.2. 代数曲線上の有理関数と因子
実は C(C) の付値と C の点は 1:1 に対応し，この対応によって関数体から C
を復元することができる。以上をまとめると，非特異射影代数曲線 C に対
しては自然な対応
代数多様体の構造 → 複素多様体の構造 → 関数体 → 代数多様体の構造
があって，これら３つの構造は三位一体 trinity をなす。
C の０でない有理関数 f に対して，その零点や極は有限個しか存在しな
いから,
(f) = 廃∈Cv(f, p)p
は有限和である。(f) を f が定める主因子 principal divisor という。
P10
2.3. 曲線のリーマン・ロッホの定理
（リーマン・ロッホの証明は次節で述べる層のコホモロジー
理論と Serre 双対仮定すれば易しくできてしまうので，ここでは触れない）。
2.4. 分岐と Hurwitz の定理
この式を フルヴィッツの公式 Hurwitz formula という。
分岐指数が２以上の点
∈ C は有限個である。これらの点を分岐点 ramification point と呼ぶ。また
分岐点の f による像 ∈ B を分枝点 branch point という。
したがって，この場合，
分岐点の個数 = 分枝点の個数（一般には，分岐点の個数 >= 分枝点の個数）が成立
し，その個数を b とすると，b = 2g(C) + 2 である。逆に, P の 2g + 2 個の点で分
岐する２重分岐被覆 y2 = (x - a1)・ ・ ・(x - a2g+2) をとると，その種数は g である。
したがってすべての g に対して，種数 g の射影代数曲線は存在する。P の２重分岐
被覆として得られる曲線を g = 1 のときは楕円曲線 elliptic curve，g >= 2 のときは
超楕円曲線 hyperelliptic curve という。
つづく
229現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/07(月) 07:43:45.96ID:FwdYzTor >>228
つづき
P13
3 層とそのコホモロジー
代数曲線のリーマン・ロッホ定理は，零点や極に条件をつけた大域的な有理
関数の言葉で記述できた。しかし２次元以上の話になると，曲線のようなわ
けにはいかなくなって，厳密な数学を展開するためには，層の概念が必要に
なる。層の概念の原型は岡潔の多変数関数論にすでに現れるが，以下に述べ
るような使いやすい形で述べたのは Leray である。古典的なイタリア学派は
代数曲面論を展開して深い結果を多数得たが，層とそのコホモロジー理論が
まだ使えなかったため，議論が非常にわかりにくいものになっている。以下
では層とそのコホモロジーについて，簡単に説明する。
P14
3.1. 層の定義
X を位相空間とする。X 上のアーベル群の層 A とは，X のひとつひと
つの開集合 U に，アーベル群 Γ(U, A) を対応させる規則であって，条件
をみたしているものをいう。これらは，A に関しては局所的データから大域
的なデータが完全に決まるという条件である。
例 もっとも基本的な例は実多様体 X の開集合 U に対して U で無限回微
分可能な r 次微分形式全体の空間を対応させる層 DrX や，X が複素多様体
上であるときは，U に U 上の正則関数全体を対応させる層 OX である。ま
た非特異代数多様体 X 上の因子 D を与えたとき，Γ(U, OX(D)) を U 上の
(f) + D >= 0 をみたす U 上の有理型関数全体とすれば OX(D) は局所的に
OX と同型な層（可逆層）である。代数多様体 X 上の有理関数の層 K は定
数層 constant sheaf である。言い換えるとすべての空でない開集合 U に対
して ρXU : Γ(X, K) = C(X)~→ Γ(U, K) = C(X) が成立する。U 上の実数値
あるいは複素数値局所定数関数全体を Γ(U, RX), Γ(U, CX) で表せば，これら
も層である。また U 上の局所２乗可積分関数を Γ(U, L2X,loc) とすれば L2
X,locは層であるが，U 上の２乗可積分関数を対応させても層にならない。大域的
な可積分条件は局所的条件からは決まらないからである。同様に U に U 上
の定数関数全体を対応させても層にはならない。U が連結でなければ，各連
結成分ごとに違った定数値をとる関数があるからである。
つづく
つづき
P13
3 層とそのコホモロジー
代数曲線のリーマン・ロッホ定理は，零点や極に条件をつけた大域的な有理
関数の言葉で記述できた。しかし２次元以上の話になると，曲線のようなわ
けにはいかなくなって，厳密な数学を展開するためには，層の概念が必要に
なる。層の概念の原型は岡潔の多変数関数論にすでに現れるが，以下に述べ
るような使いやすい形で述べたのは Leray である。古典的なイタリア学派は
代数曲面論を展開して深い結果を多数得たが，層とそのコホモロジー理論が
まだ使えなかったため，議論が非常にわかりにくいものになっている。以下
では層とそのコホモロジーについて，簡単に説明する。
P14
3.1. 層の定義
X を位相空間とする。X 上のアーベル群の層 A とは，X のひとつひと
つの開集合 U に，アーベル群 Γ(U, A) を対応させる規則であって，条件
をみたしているものをいう。これらは，A に関しては局所的データから大域
的なデータが完全に決まるという条件である。
例 もっとも基本的な例は実多様体 X の開集合 U に対して U で無限回微
分可能な r 次微分形式全体の空間を対応させる層 DrX や，X が複素多様体
上であるときは，U に U 上の正則関数全体を対応させる層 OX である。ま
た非特異代数多様体 X 上の因子 D を与えたとき，Γ(U, OX(D)) を U 上の
(f) + D >= 0 をみたす U 上の有理型関数全体とすれば OX(D) は局所的に
OX と同型な層（可逆層）である。代数多様体 X 上の有理関数の層 K は定
数層 constant sheaf である。言い換えるとすべての空でない開集合 U に対
して ρXU : Γ(X, K) = C(X)~→ Γ(U, K) = C(X) が成立する。U 上の実数値
あるいは複素数値局所定数関数全体を Γ(U, RX), Γ(U, CX) で表せば，これら
も層である。また U 上の局所２乗可積分関数を Γ(U, L2X,loc) とすれば L2
X,locは層であるが，U 上の２乗可積分関数を対応させても層にならない。大域的
な可積分条件は局所的条件からは決まらないからである。同様に U に U 上
の定数関数全体を対応させても層にはならない。U が連結でなければ，各連
結成分ごとに違った定数値をとる関数があるからである。
つづく
230現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/07(月) 07:44:04.64ID:FwdYzTor >>229
つづき
P16
3.2. 層のコホモロジー
層に対しては層係数のコホモロジー理論がある。詳しくは述べないが，と
りあえずは以下を記憶しておけばよい。
(0) X 上の層 A と X の開集合 U に対してアーベル群の列 Hi(U, A),
i =0, 1, 2, . . . が定まり H0(U, A) = Γ(U, A)。
(1) 短完全列 0 → A → B → C → 0 があれば，長完全列
0 → H0(U, A) → H0(U, B) → H0(U, C)
→ H1(U, A) → H1(U, B) → H1(U, C)
→ H2(U, A) → H2(U, B) → H2(U, C)
・ ・ ・
がある。
(2) A が脆弱層（すべての U に対して ρXU が全射。K など）や柔軟層（１の
分解ができる。Dpq など）であるときは，i > 0 について Hi(X, A) = 0。
(3) X がコンパクトな n 次元複素多様体（射影代数多様体など）で A が
連接層（A は有限生成 O 加群）ならば Hi(X, A) は有限次元 C ベク
トル空間で，i > n なら Hi(X, A) = 0. したがってこのとき A のオイ
ラー標数 Euler characteristic χ(X, A) = (-1)i dim Hi(X, A) が定義
される。
P18
3.3. 連接層の特性類
P19
3.4. Serre 双対定理
3.5. 複素多様体の変形
代数曲線の変形／モジュライ理論はす
でにリーマンが本質的な解答をもっていたわけであるが，一般のコンパクト
複素多様体に対する変形理論 deformation theory は小平 ?Spencer によって
創始され，倉西によって局所理論が完成した。
対応するコホモロジーの完全列をとればB の o における接空間から H1(X, TX)
への写像を得る。これを小平 -Spencer 写像 Kodaira-Spencer map という。
基本的な結果は小平 - Spencer および倉西による以下の結果である。
つづく
つづき
P16
3.2. 層のコホモロジー
層に対しては層係数のコホモロジー理論がある。詳しくは述べないが，と
りあえずは以下を記憶しておけばよい。
(0) X 上の層 A と X の開集合 U に対してアーベル群の列 Hi(U, A),
i =0, 1, 2, . . . が定まり H0(U, A) = Γ(U, A)。
(1) 短完全列 0 → A → B → C → 0 があれば，長完全列
0 → H0(U, A) → H0(U, B) → H0(U, C)
→ H1(U, A) → H1(U, B) → H1(U, C)
→ H2(U, A) → H2(U, B) → H2(U, C)
・ ・ ・
がある。
(2) A が脆弱層（すべての U に対して ρXU が全射。K など）や柔軟層（１の
分解ができる。Dpq など）であるときは，i > 0 について Hi(X, A) = 0。
(3) X がコンパクトな n 次元複素多様体（射影代数多様体など）で A が
連接層（A は有限生成 O 加群）ならば Hi(X, A) は有限次元 C ベク
トル空間で，i > n なら Hi(X, A) = 0. したがってこのとき A のオイ
ラー標数 Euler characteristic χ(X, A) = (-1)i dim Hi(X, A) が定義
される。
P18
3.3. 連接層の特性類
P19
3.4. Serre 双対定理
3.5. 複素多様体の変形
代数曲線の変形／モジュライ理論はす
でにリーマンが本質的な解答をもっていたわけであるが，一般のコンパクト
複素多様体に対する変形理論 deformation theory は小平 ?Spencer によって
創始され，倉西によって局所理論が完成した。
対応するコホモロジーの完全列をとればB の o における接空間から H1(X, TX)
への写像を得る。これを小平 -Spencer 写像 Kodaira-Spencer map という。
基本的な結果は小平 - Spencer および倉西による以下の結果である。
つづく
231現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/07(月) 07:44:29.26ID:FwdYzTor >>230
つづき
P20
4 複素曲面
２次元の複素多様体を複素曲面 complex surface という。通常はコンパクト
を仮定する。前節で説明した基本的概念をもちいて，小平先生が展開した複
素曲面理論のエッセンスを説明する。
P22
4.2. 複素曲面上のリーマン・ロッホ定理
Ｐ26
4.5. エンリケスと小平の曲面分類理論
複素曲面の双有理同値類を分類する場合，重要なことは双有理変換によっ
ては変化しない量，すなわち双有理不変量を見つけることである。双有理不
変量としては，基本群や第１ベッチ数などさまざまなものがあるが，代数曲
面だけをあつかった Enriques は多重種数 Plurigenera と補助的に不正則数
irregularity を選んだ。それに対して代数的でない複素曲面もあつかった小平
は，第１ベッチ数と幾何種数および第１ Chern 類に着目した。
Enriques による相対極小な代数曲面 S の「分類」は以下のようなものである。
(0-2) P1 = 1, q = 0。K3 曲面。KS ~= 0。
(1) Pm = O(m)：ある m > 0 に対して，|mKS| は底点をもたず，ΦmKS は
S から代数曲線 B への全射を定めて，その一般のファイバーは種数１
の非特異曲線（楕円曲面）。とくに mKS は B の因子の引き戻しになっ
ている（ただし KS そのものが B の因子から来るとは限らない）。
この「分類」は，曲線の場合と比較するときわめて不完全である。(-∞)
や (0-1), (0 - 1*) については問題ないが，K3 曲面（およびその商空間であ
る Enriques 曲面）が位相的にどういう構造をもっているのかわからないし，
楕円曲面についての情報も茫漠としている。そして一般型曲面についてはほ
とんど何も情報がない。K3 曲面や楕円曲面の構造を理解するためには，代
数曲面のカテゴリーを複素曲面に広げて考える必要があり，それを実行した
のは小平であった。
つづく
つづき
P20
4 複素曲面
２次元の複素多様体を複素曲面 complex surface という。通常はコンパクト
を仮定する。前節で説明した基本的概念をもちいて，小平先生が展開した複
素曲面理論のエッセンスを説明する。
P22
4.2. 複素曲面上のリーマン・ロッホ定理
Ｐ26
4.5. エンリケスと小平の曲面分類理論
複素曲面の双有理同値類を分類する場合，重要なことは双有理変換によっ
ては変化しない量，すなわち双有理不変量を見つけることである。双有理不
変量としては，基本群や第１ベッチ数などさまざまなものがあるが，代数曲
面だけをあつかった Enriques は多重種数 Plurigenera と補助的に不正則数
irregularity を選んだ。それに対して代数的でない複素曲面もあつかった小平
は，第１ベッチ数と幾何種数および第１ Chern 類に着目した。
Enriques による相対極小な代数曲面 S の「分類」は以下のようなものである。
(0-2) P1 = 1, q = 0。K3 曲面。KS ~= 0。
(1) Pm = O(m)：ある m > 0 に対して，|mKS| は底点をもたず，ΦmKS は
S から代数曲線 B への全射を定めて，その一般のファイバーは種数１
の非特異曲線（楕円曲面）。とくに mKS は B の因子の引き戻しになっ
ている（ただし KS そのものが B の因子から来るとは限らない）。
この「分類」は，曲線の場合と比較するときわめて不完全である。(-∞)
や (0-1), (0 - 1*) については問題ないが，K3 曲面（およびその商空間であ
る Enriques 曲面）が位相的にどういう構造をもっているのかわからないし，
楕円曲面についての情報も茫漠としている。そして一般型曲面についてはほ
とんど何も情報がない。K3 曲面や楕円曲面の構造を理解するためには，代
数曲面のカテゴリーを複素曲面に広げて考える必要があり，それを実行した
のは小平であった。
つづく
232現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/07(月) 07:44:48.31ID:FwdYzTor >>231
つづき
また小平による『分類』は以下の通りである。
II0 : b1 = 0, pg = 1, c1 = 0 : K3 曲面
IV0 : b1 は偶数，pg > 0, c1≠ 0, c21 = 0 : すべて楕円曲面
VI0 : b1 奇数，pg > 0, c21 = 0 : すべて楕円曲面
小平の分類理論を使うと，
(a) すべての複素解析的 K3 曲面は変形でつながっており，とくに P
3 内の
非特異４次曲面と微分同相である。変形の空間のうち代数的な K3 曲
面全体は可算個の超曲面の和集合になっている。
(b) 適当に底曲線をその分岐被覆で置き換えると，楕円曲面は関数不変量
とホモロジー不変量という２つのデータで変形同値類が完全に決まり，
基本群などの位相不変量はすべて計算できる（たとえば基本群は底曲
線の基本群 π1(B) と Z2 の直和，または有限巡回群による π1(B) の拡
大である）。変形空間は上の２つのデータを用いたコホモロジー類の空
間と一致し，代数的な楕円曲面は稠密ではあるが測度０の部分集合 (絶
対値１の複素数のなかの１のベキ根全体と似ている）になっている。
ことが示される。代数曲面だけではなくコンパクトな複素曲面全体を考察す
る小平理論によって，Enriques の理論は（一般型曲面および非代数的な VII0
曲面を除いて）実質的な分類表になったのである。
(引用終り)
つづく
つづき
また小平による『分類』は以下の通りである。
II0 : b1 = 0, pg = 1, c1 = 0 : K3 曲面
IV0 : b1 は偶数，pg > 0, c1≠ 0, c21 = 0 : すべて楕円曲面
VI0 : b1 奇数，pg > 0, c21 = 0 : すべて楕円曲面
小平の分類理論を使うと，
(a) すべての複素解析的 K3 曲面は変形でつながっており，とくに P
3 内の
非特異４次曲面と微分同相である。変形の空間のうち代数的な K3 曲
面全体は可算個の超曲面の和集合になっている。
(b) 適当に底曲線をその分岐被覆で置き換えると，楕円曲面は関数不変量
とホモロジー不変量という２つのデータで変形同値類が完全に決まり，
基本群などの位相不変量はすべて計算できる（たとえば基本群は底曲
線の基本群 π1(B) と Z2 の直和，または有限巡回群による π1(B) の拡
大である）。変形空間は上の２つのデータを用いたコホモロジー類の空
間と一致し，代数的な楕円曲面は稠密ではあるが測度０の部分集合 (絶
対値１の複素数のなかの１のベキ根全体と似ている）になっている。
ことが示される。代数曲面だけではなくコンパクトな複素曲面全体を考察す
る小平理論によって，Enriques の理論は（一般型曲面および非代数的な VII0
曲面を除いて）実質的な分類表になったのである。
(引用終り)
つづく
233現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/07(月) 07:45:18.63ID:FwdYzTor >>232
つづき
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%A5%E5%B0%84%E5%B1%A4
入射層
アーベル群の入射層（英: injective sheaf）は層係数コホモロジー（およびその他の導来函手、例えば Ext など）の定義に必要な分解を構成するのに用いられる。
関連する概念が適用できる層の他のクラスとして、脆弱層 (flabby sheaf[注釈 1]), 細層 (fine sheaf), 軟弱層 (soft sheaf[注釈 2]), 非輪状層 (acyclic sheaf) などがある。歴史的には入射層の概念は、1957年アレクサンドル・グロタンディークの「東北論文（英語版）」（アーベル圏が理論を得るのに十分な入射対象を持つことを示したもの）より前には導入されていた。先に挙げたほかの層のクラスはより古いものである。コホモロジーおよび導来函手を定義するための抽象的な枠組みはそれらに必要なものではない。しかし多くの具体的な状況下では、非輪状層による分解はしばしば構成が容易であり、したがって計算目的（たとえばルレイスペクトル系列（英語版））では非輪状層を考える。
技術的な目的では、入射層は上で述べたほかの層のクラスに対してふつうは上位互換である。つまり、ほかのクラスでできることは入射層でも大抵できて、その理論はより簡素かつより一般である。実は、入射層は脆弱、軟弱かつ非輪状である。しかし、これら他のクラスの層が自然に表れる状況というのが存在し、具体的な計算の場面では特にそうである。
脆弱層
底空間 X 上の層 Ｆ が脆弱層 (flasque sheaf, flabby sheaf) とは、
U ⊂ V( ⊂ X)}
が開部分集合の包含列ならば、制限写像
r_{U ⊂ V}： Γ (V,Ｆ) → Γ (U,Ｆ)}
は群準同型として（あるいは状況により環準同型や加群準同型として）全射となるときに言う。
脆弱層が有用であるのは、それが定義によりその切断を延長できることによる。
それはホモロジー代数を用いて扱えるもっとも簡単な層の一種となっていることを意味する。任意の層はエタール空間の可能なすべての不連続切断の成す脆弱層に標準的埋め込みを持ち、それを繰り返すことにより任意の層に対する標準的な脆弱分解を得ることができる。脆弱分解すなわち脆弱層に関する意味での分解は層係数コホモロジーを定義する方法の一つである。
脆弱層は軟弱層であり、非輪状層である。
(引用終り)
以上
つづき
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%A5%E5%B0%84%E5%B1%A4
入射層
アーベル群の入射層（英: injective sheaf）は層係数コホモロジー（およびその他の導来函手、例えば Ext など）の定義に必要な分解を構成するのに用いられる。
関連する概念が適用できる層の他のクラスとして、脆弱層 (flabby sheaf[注釈 1]), 細層 (fine sheaf), 軟弱層 (soft sheaf[注釈 2]), 非輪状層 (acyclic sheaf) などがある。歴史的には入射層の概念は、1957年アレクサンドル・グロタンディークの「東北論文（英語版）」（アーベル圏が理論を得るのに十分な入射対象を持つことを示したもの）より前には導入されていた。先に挙げたほかの層のクラスはより古いものである。コホモロジーおよび導来函手を定義するための抽象的な枠組みはそれらに必要なものではない。しかし多くの具体的な状況下では、非輪状層による分解はしばしば構成が容易であり、したがって計算目的（たとえばルレイスペクトル系列（英語版））では非輪状層を考える。
技術的な目的では、入射層は上で述べたほかの層のクラスに対してふつうは上位互換である。つまり、ほかのクラスでできることは入射層でも大抵できて、その理論はより簡素かつより一般である。実は、入射層は脆弱、軟弱かつ非輪状である。しかし、これら他のクラスの層が自然に表れる状況というのが存在し、具体的な計算の場面では特にそうである。
脆弱層
底空間 X 上の層 Ｆ が脆弱層 (flasque sheaf, flabby sheaf) とは、
U ⊂ V( ⊂ X)}
が開部分集合の包含列ならば、制限写像
r_{U ⊂ V}： Γ (V,Ｆ) → Γ (U,Ｆ)}
は群準同型として（あるいは状況により環準同型や加群準同型として）全射となるときに言う。
脆弱層が有用であるのは、それが定義によりその切断を延長できることによる。
それはホモロジー代数を用いて扱えるもっとも簡単な層の一種となっていることを意味する。任意の層はエタール空間の可能なすべての不連続切断の成す脆弱層に標準的埋め込みを持ち、それを繰り返すことにより任意の層に対する標準的な脆弱分解を得ることができる。脆弱分解すなわち脆弱層に関する意味での分解は層係数コホモロジーを定義する方法の一つである。
脆弱層は軟弱層であり、非輪状層である。
(引用終り)
以上
234現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/07(月) 07:58:31.24ID:FwdYzTor >>225
>＞（小平は特に関係ない）
>上記は、連接性の発見について、という意味
ここ
セールの有名な下記FAC, 1955 Coherent Algebraic Sheaves （fac 英訳）
Introductionに
”let me recall the recent works of Kodaira-Spencer on the Riemann-Roch theorem”
とあるぜ
おまえ
付け焼き刃丸見えじゃん（＾＾
(>>146 より）
http://achinger.impan.pl/fac/fac.pdf
Faisceaux Algebriques Coherents (FAC, 1955)
Coherent Algebraic Sheaves （fac 英訳）
Jean-Pierre Serre
Translated by Piotr Achinger and Lukasz Krupa
(抜粋)
Introduction
We know that the cohomological methods, in particular sheaf theory, play an increasing role not only in the theory of several complex variables ([5]),
but also in classical algebraic geometry (let me recall the recent works of Kodaira-Spencer on the Riemann-Roch theorem).
The algebraic character of these methods suggested that it is possible to apply them also to abstract algebraic geometry;
the aim of this paper is to demonstrate that this is indeed the case.
>＞（小平は特に関係ない）
>上記は、連接性の発見について、という意味
ここ
セールの有名な下記FAC, 1955 Coherent Algebraic Sheaves （fac 英訳）
Introductionに
”let me recall the recent works of Kodaira-Spencer on the Riemann-Roch theorem”
とあるぜ
おまえ
付け焼き刃丸見えじゃん（＾＾
(>>146 より）
http://achinger.impan.pl/fac/fac.pdf
Faisceaux Algebriques Coherents (FAC, 1955)
Coherent Algebraic Sheaves （fac 英訳）
Jean-Pierre Serre
Translated by Piotr Achinger and Lukasz Krupa
(抜粋)
Introduction
We know that the cohomological methods, in particular sheaf theory, play an increasing role not only in the theory of several complex variables ([5]),
but also in classical algebraic geometry (let me recall the recent works of Kodaira-Spencer on the Riemann-Roch theorem).
The algebraic character of these methods suggested that it is possible to apply them also to abstract algebraic geometry;
the aim of this paper is to demonstrate that this is indeed the case.
235１３２人目の素数さん
2020/09/07(月) 08:30:06.92ID:bE/6WhUJ >>234
やっぱり全然分かってないね
小平は連接性（局所有限な生成系の存在）を示したわけではない
連接性があると有意義な結果（コホモロジーが有限次元）が得られること
を示した
だから立ち位置はカルタンやセールと同じ
岡と同じだなんて、ウソをついてはいけないよ
やっぱり全然分かってないね
小平は連接性（局所有限な生成系の存在）を示したわけではない
連接性があると有意義な結果（コホモロジーが有限次元）が得られること
を示した
だから立ち位置はカルタンやセールと同じ
岡と同じだなんて、ウソをついてはいけないよ
236１３２人目の素数さん
2020/09/07(月) 08:57:16.02ID:bE/6WhUJ １次元の複素解析も怪しい◆yH25M02vWFhP に
代数幾何も複素解析幾何も無理だから諦めろ
大人しく線形代数を初歩からやり直せ
行列式知らんとか、工学部卒でも恥ずかしいぞ
代数幾何も複素解析幾何も無理だから諦めろ
大人しく線形代数を初歩からやり直せ
行列式知らんとか、工学部卒でも恥ずかしいぞ
237１３２人目の素数さん
2020/09/07(月) 08:59:40.96ID:bE/6WhUJ 行列式知らんようじゃ、ヤコビアンも知らんだろ
微分形式もストークスの定理なんか当然知らんだろうな
そんな奴がコホモロジーとか聞いたって何が何やらチンプンカンプンだろ
意味ないよ 工学部卒ならベクトル解析くらい理解しとけ
微分形式もストークスの定理なんか当然知らんだろうな
そんな奴がコホモロジーとか聞いたって何が何やらチンプンカンプンだろ
意味ないよ 工学部卒ならベクトル解析くらい理解しとけ
238１３２人目の素数さん
2020/09/07(月) 09:04:20.41ID:bE/6WhUJ 大体トポロジーも知らん奴が
＞短完全列 0 → A → B → C → 0 があれば，長完全列
＞0 → H0(U, A) → H0(U, B) → H0(U, C)
＞ → H1(U, A) → H1(U, B) → H1(U, C)
＞ → H2(U, A) → H2(U, B) → H2(U, C)
＞ ・ ・ ・
＞がある。
とかいったって、何故だか分かるまい
意味ないよ 悪いこといわない 数学はキレイサッパリ諦めろ
＞短完全列 0 → A → B → C → 0 があれば，長完全列
＞0 → H0(U, A) → H0(U, B) → H0(U, C)
＞ → H1(U, A) → H1(U, B) → H1(U, C)
＞ → H2(U, A) → H2(U, B) → H2(U, C)
＞ ・ ・ ・
＞がある。
とかいったって、何故だか分かるまい
意味ないよ 悪いこといわない 数学はキレイサッパリ諦めろ
239１３２人目の素数さん
2020/09/07(月) 09:23:14.34ID:bE/6WhUJ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%BD%A2%E5%BC%8F
数学における微分形式（びぶんけいしき、英: differential form）とは、
微分可能多様体上に定義される共変テンソル場である。
微分形式によって多様体上の局所的な座標の取り方によらない関数の微分が表現され、
また多様体の内在的な構造のみによる積分は微分形式に対して定義される。
微分多様体上の微分形式は共変テンソルとしての座標変換性によって、
あるいは接ベクトル空間上の線型形式の連続的な分布として定式化される。
また、代数幾何学・数論幾何学や非可換幾何学などさまざまな幾何学の分野でそれぞれ、
この類推として得られる微分形式の概念が定式化されている。
数学における微分形式（びぶんけいしき、英: differential form）とは、
微分可能多様体上に定義される共変テンソル場である。
微分形式によって多様体上の局所的な座標の取り方によらない関数の微分が表現され、
また多様体の内在的な構造のみによる積分は微分形式に対して定義される。
微分多様体上の微分形式は共変テンソルとしての座標変換性によって、
あるいは接ベクトル空間上の線型形式の連続的な分布として定式化される。
また、代数幾何学・数論幾何学や非可換幾何学などさまざまな幾何学の分野でそれぞれ、
この類推として得られる微分形式の概念が定式化されている。
240１３２人目の素数さん
2020/09/07(月) 09:25:08.87ID:bE/6WhUJ 概要
エリ・カルタンによって微分方程式を幾何学的に捕らえようとする試みから生まれた
微分形式は、解析学や幾何学のいろいろな概念や公式を統一的な視点からまとめ、
形式的な計算により多くの結果を得、多様体などの図形を調べるのにも
非常に強力な道具になっていった。
n 次元ユークリッド空間において、座標が (x1,x2,…,xn) で与えられているとき、
n 変数関数 f(x1,x2,…,xn) を微分 0 形式といい、
余接ベクトル場 f1 dx1 + f2 dx2 + … + fn dxn の事を 微分 1 形式という。
係数となっている fk は変数を省略してあるが関数である。
これは関数の全微分で現れる式と同じである。
2 次以上の微分形式は微分形式同士をテンソル積でかけ合わせることにより得られる。
エリ・カルタンによって微分方程式を幾何学的に捕らえようとする試みから生まれた
微分形式は、解析学や幾何学のいろいろな概念や公式を統一的な視点からまとめ、
形式的な計算により多くの結果を得、多様体などの図形を調べるのにも
非常に強力な道具になっていった。
n 次元ユークリッド空間において、座標が (x1,x2,…,xn) で与えられているとき、
n 変数関数 f(x1,x2,…,xn) を微分 0 形式といい、
余接ベクトル場 f1 dx1 + f2 dx2 + … + fn dxn の事を 微分 1 形式という。
係数となっている fk は変数を省略してあるが関数である。
これは関数の全微分で現れる式と同じである。
2 次以上の微分形式は微分形式同士をテンソル積でかけ合わせることにより得られる。
241１３２人目の素数さん
2020/09/07(月) 09:29:40.85ID:bE/6WhUJ しかし、通常はこのような一般的すぎる積の代わりに
何らかの対称性を課した対称微分形式や交代微分形式がもちいられる。
いずれも、座標のとりかたによらない幾何学的な量を表すものであるが、
区別するためにも、このテンソル積の記号はあまり用いられない。
対称微分形式は、リーマン計量などを表現するときによく使われ、
テンソル積の記号は省略して書かれる。
dx2 といった形で指数にして表してしまうこともある。
リーマン計量は多様体上の各点での接ベクトルの大きさを定めるものであり、
局所的に線素の「長さ」を定めていることになる。
ガウスが曲面論で示したように、このような局所的な情報から、
多様体全体の形や大きさをかなりの程度知ることができる。
交代微分形式の方は、テンソル積の代わりに外積代数の積としての記号 ∧ を用い書かれる。
交代微分形式は、向きの与えられた幾何学的な量を表している。
dxi∧dxj=-dxj∧dxi
という関係式を満たし {dxk} の並ぶ順序の入れ替えに応じて符号が変わる
（対称微分形式では符号は変わらない）。
こういった符号の反転を内包させることによって
積分する変数の「向き」を捉えられることになる。
したがって微分形式の積分として得られる面積や体積などの量にも符号が導入され、
負の面積や負の体積といったものも現れるが、
そうすることによって重積分における座標変換の公式などが、
非常に簡明に計算できるようになる。
さらに交代微分形式の微分からド・ラーム・コホモロジーが得られ、
解析的な計算によって多様体全体の形を調べることができる。
特に何の指定も無い場合、（高次元の）微分形式というと、交代微分形式の方を指すことが多い。
何らかの対称性を課した対称微分形式や交代微分形式がもちいられる。
いずれも、座標のとりかたによらない幾何学的な量を表すものであるが、
区別するためにも、このテンソル積の記号はあまり用いられない。
対称微分形式は、リーマン計量などを表現するときによく使われ、
テンソル積の記号は省略して書かれる。
dx2 といった形で指数にして表してしまうこともある。
リーマン計量は多様体上の各点での接ベクトルの大きさを定めるものであり、
局所的に線素の「長さ」を定めていることになる。
ガウスが曲面論で示したように、このような局所的な情報から、
多様体全体の形や大きさをかなりの程度知ることができる。
交代微分形式の方は、テンソル積の代わりに外積代数の積としての記号 ∧ を用い書かれる。
交代微分形式は、向きの与えられた幾何学的な量を表している。
dxi∧dxj=-dxj∧dxi
という関係式を満たし {dxk} の並ぶ順序の入れ替えに応じて符号が変わる
（対称微分形式では符号は変わらない）。
こういった符号の反転を内包させることによって
積分する変数の「向き」を捉えられることになる。
したがって微分形式の積分として得られる面積や体積などの量にも符号が導入され、
負の面積や負の体積といったものも現れるが、
そうすることによって重積分における座標変換の公式などが、
非常に簡明に計算できるようになる。
さらに交代微分形式の微分からド・ラーム・コホモロジーが得られ、
解析的な計算によって多様体全体の形を調べることができる。
特に何の指定も無い場合、（高次元の）微分形式というと、交代微分形式の方を指すことが多い。
242１３２人目の素数さん
2020/09/07(月) 09:33:54.05ID:bE/6WhUJ 外微分
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%96%E5%BE%AE%E5%88%86
可微分多様体上、外微分（がいびぶん、英: exterior derivative）は
関数の微分の概念を高次の微分形式に拡張する。
外微分はエリ・カルタンによって最初に現在の形式で記述された。
それによってベクトル解析のストークスの定理、ガウスの定理、グリーンの定理の
自然な、距離に依存しない一般化ができる。
k 形式を無限小 k 次元平行面体を通る流量を測るものと考えれば、
その外微分を (k + 1)-平行面体の境界を通る正味の流れを測るもの
と考えることができる。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%96%E5%BE%AE%E5%88%86
可微分多様体上、外微分（がいびぶん、英: exterior derivative）は
関数の微分の概念を高次の微分形式に拡張する。
外微分はエリ・カルタンによって最初に現在の形式で記述された。
それによってベクトル解析のストークスの定理、ガウスの定理、グリーンの定理の
自然な、距離に依存しない一般化ができる。
k 形式を無限小 k 次元平行面体を通る流量を測るものと考えれば、
その外微分を (k + 1)-平行面体の境界を通る正味の流れを測るもの
と考えることができる。
243１３２人目の素数さん
2020/09/07(月) 09:38:39.75ID:bE/6WhUJ 公理による定義
外微分 d は以下の性質を満たす
k-形式から (k + 1)-形式への一意的な R-線型写像
として定義される：
1.滑らかな関数 f に対して d(f) := df は f の微分である。
2.任意の滑らかな関数 f に対して d(df) = 0 である。
3.d(α ∧ β) = dα ∧ β + (－1)p(α ∧ dβ) である、
ただし α は p-形式とする。
二番目の定義性質はより一般性を持って成り立つ：
実は、任意の k-形式 α に対して d(dα) = 0（より簡潔には、d＾2 = 0）である。
三番目の定義性質は特別な場合として f が関数で α が k-形式であれば
d(fα) = d(f ∧ α) = df ∧ α + f ∧ dα
であるということを含んでいる。
なぜならば、関数は 0 形式であり、スカラー乗法と外積は
引数の一方がスカラーであるとき同値であるからである。
外微分 d は以下の性質を満たす
k-形式から (k + 1)-形式への一意的な R-線型写像
として定義される：
1.滑らかな関数 f に対して d(f) := df は f の微分である。
2.任意の滑らかな関数 f に対して d(df) = 0 である。
3.d(α ∧ β) = dα ∧ β + (－1)p(α ∧ dβ) である、
ただし α は p-形式とする。
二番目の定義性質はより一般性を持って成り立つ：
実は、任意の k-形式 α に対して d(dα) = 0（より簡潔には、d＾2 = 0）である。
三番目の定義性質は特別な場合として f が関数で α が k-形式であれば
d(fα) = d(f ∧ α) = df ∧ α + f ∧ dα
であるということを含んでいる。
なぜならば、関数は 0 形式であり、スカラー乗法と外積は
引数の一方がスカラーであるとき同値であるからである。
244１３２人目の素数さん
2020/09/07(月) 09:42:24.34ID:bE/6WhUJ 境界付き多様体上の微分形式に対するストークスの定理は次のように定式化される。
∫M dω=∫∂M ω
ここに、
M は向きの付いたn次元多様体であり、
ωは M 上の（少なくともC 1級の）n－1次微分形式でコンパクトな台を持つものとする。
∂Mは M の境界を、dω は ω の外微分を表している。
∂Mには M の構造から誘導される n－1 次元向きつき多様体の構造が入る。
この定理は
「ある量(微分形式)の微分を特定の領域で積分した値は、
境界で元の量を評価（積分）することによっても得られる」
と解釈でき、微積分学の基本定理の自然な拡張になっている。
∫M dω=∫∂M ω
ここに、
M は向きの付いたn次元多様体であり、
ωは M 上の（少なくともC 1級の）n－1次微分形式でコンパクトな台を持つものとする。
∂Mは M の境界を、dω は ω の外微分を表している。
∂Mには M の構造から誘導される n－1 次元向きつき多様体の構造が入る。
この定理は
「ある量(微分形式)の微分を特定の領域で積分した値は、
境界で元の量を評価（積分）することによっても得られる」
と解釈でき、微積分学の基本定理の自然な拡張になっている。
245現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/08(火) 07:49:21.16ID:wPbjCPq+ >>234
>＞（小平は特に関係ない）
>上記は、連接性の発見について、という意味
セール GAGA（>>54）にも、ちゃんとKODAIRAが引用されている
おサル、いやさ維新さんは、単に日本及び日本人数学者をディスりたいがために、”小平は特に関係ない”と発言したんだろうなー
日本で不遇な維新さん
おれが不遇なのは、日本及び日本人数学者が悪いって発想かな？
たかが 小学生で遠山先生の「数学入門」を読めた程度で舞い上がって、Fラン数学科に入学し、そこで落ちこぼれたからといって、日本及び日本人数学者を恨むなよな！（＾＾；
（参考）
http://www.numdam.org/article/AIF_1956__6__1_0.pdf
JEAN-PIERRE SERRE
Geometrie algebrique et geometrie analytique
Annales de l’institut Fourier, tome 6 (1956), p. 1-42
(抜粋)
P26
KODAIRA-SPENCER [12]
P32
KODAIRA-SPENCER [12]
KODAIRA [11]
BIBLIOGRAPHIE
[11] K. KODAIRA. On Kahler varieties of restricted type. (an intrinsic characterization of algebraic varieties). Ann. of Maths., 60, 1954, pp. 28-48.
[12] K. KODAIRA ahd D. C. SPENCER. Diviser class groups on algebraic
varieties. Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A., 39, 1953, pp. 872-877.
>＞（小平は特に関係ない）
>上記は、連接性の発見について、という意味
セール GAGA（>>54）にも、ちゃんとKODAIRAが引用されている
おサル、いやさ維新さんは、単に日本及び日本人数学者をディスりたいがために、”小平は特に関係ない”と発言したんだろうなー
日本で不遇な維新さん
おれが不遇なのは、日本及び日本人数学者が悪いって発想かな？
たかが 小学生で遠山先生の「数学入門」を読めた程度で舞い上がって、Fラン数学科に入学し、そこで落ちこぼれたからといって、日本及び日本人数学者を恨むなよな！（＾＾；
（参考）
http://www.numdam.org/article/AIF_1956__6__1_0.pdf
JEAN-PIERRE SERRE
Geometrie algebrique et geometrie analytique
Annales de l’institut Fourier, tome 6 (1956), p. 1-42
(抜粋)
P26
KODAIRA-SPENCER [12]
P32
KODAIRA-SPENCER [12]
KODAIRA [11]
BIBLIOGRAPHIE
[11] K. KODAIRA. On Kahler varieties of restricted type. (an intrinsic characterization of algebraic varieties). Ann. of Maths., 60, 1954, pp. 28-48.
[12] K. KODAIRA ahd D. C. SPENCER. Diviser class groups on algebraic
varieties. Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A., 39, 1953, pp. 872-877.
246現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/08(火) 11:36:37.07ID:eqr8yurO >>245
>たかが 小学生で遠山先生の「数学入門」を読めた程度で舞い上がって、Fラン数学科に入学し、そこで落ちこぼれた
「小学校から高校程度までのレベルの数学がとてもわかりやすく解説されている」（下記）か
まあ、ニュートン・ライプニッツの微積くらいで終わっているのでしょうね
これで数学にあこがれたのかな？ｗ（＾＾
でもね、おれたちのころは、数学科は食えない進路と言われた
数学科出ても、せいぜい高校数学教師どまり。普通の企業の就職には不利
まあ、東大京大の数学科主席くらいになると、大学に残ってくれと言われるだろうがね
いまとは時代が違うかも
維新さんの時代は、「数学科は食えない進路」だったでしょ。おっちゃんより年上って言っていたね
すんなり、高校数学教師目指せば良かったかな？ おっと、高校教師も人気職業で競争激しくなったんだ
でも、それで日本と日本人数学者を恨むのは、筋違いだよ
身の程知らずに、Fラン数学科に進路を選んだのが間違いでしょ
おじさん、修士のときに、数学科以外を選ぶべきだったと思うよ（＾＾；
（参考）
http://www.bohyoh.com/Bookshelf/Sugaku.html
数学入門（上）／（下）
著者：遠山啓
発行：岩波書店（1959年11月）
この書は、拙著『ＣプログラマのためのＣ++入門』（ソフトバンク,1992）でも、以下のように推薦しています。
複素数についてもう少し詳しく知りたい人には、遠山啓著「数学入門（上）」（岩波新書）をお勧めします。複素数に限らず、小学校から高校程度までのレベルの数学がとてもわかりやすく解説されている、非常によい本です（著者の好きな本の１冊です）小学校や中学校から何気なく使ってきた数学の本当の意味が理解できるでしょう。
数の意味も含めて数学の基本を身につけたい人、算数・数学を勉強し直したい人、算数・数学の指導に携わっている人などに、特にお薦めいたします。小学校・中学校・高等学校の算数・数学の先生が、全員この本に取り組めば、数学嫌いの子供はいなくなるかもしれませんね！？。
2000年12月6日 by BohYoh Shibata
>たかが 小学生で遠山先生の「数学入門」を読めた程度で舞い上がって、Fラン数学科に入学し、そこで落ちこぼれた
「小学校から高校程度までのレベルの数学がとてもわかりやすく解説されている」（下記）か
まあ、ニュートン・ライプニッツの微積くらいで終わっているのでしょうね
これで数学にあこがれたのかな？ｗ（＾＾
でもね、おれたちのころは、数学科は食えない進路と言われた
数学科出ても、せいぜい高校数学教師どまり。普通の企業の就職には不利
まあ、東大京大の数学科主席くらいになると、大学に残ってくれと言われるだろうがね
いまとは時代が違うかも
維新さんの時代は、「数学科は食えない進路」だったでしょ。おっちゃんより年上って言っていたね
すんなり、高校数学教師目指せば良かったかな？ おっと、高校教師も人気職業で競争激しくなったんだ
でも、それで日本と日本人数学者を恨むのは、筋違いだよ
身の程知らずに、Fラン数学科に進路を選んだのが間違いでしょ
おじさん、修士のときに、数学科以外を選ぶべきだったと思うよ（＾＾；
（参考）
http://www.bohyoh.com/Bookshelf/Sugaku.html
数学入門（上）／（下）
著者：遠山啓
発行：岩波書店（1959年11月）
この書は、拙著『ＣプログラマのためのＣ++入門』（ソフトバンク,1992）でも、以下のように推薦しています。
複素数についてもう少し詳しく知りたい人には、遠山啓著「数学入門（上）」（岩波新書）をお勧めします。複素数に限らず、小学校から高校程度までのレベルの数学がとてもわかりやすく解説されている、非常によい本です（著者の好きな本の１冊です）小学校や中学校から何気なく使ってきた数学の本当の意味が理解できるでしょう。
数の意味も含めて数学の基本を身につけたい人、算数・数学を勉強し直したい人、算数・数学の指導に携わっている人などに、特にお薦めいたします。小学校・中学校・高等学校の算数・数学の先生が、全員この本に取り組めば、数学嫌いの子供はいなくなるかもしれませんね！？。
2000年12月6日 by BohYoh Shibata
247現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/08(火) 11:58:51.68ID:eqr8yurO >>244
おっさん、ご苦労さん
必死で、「おまえは、こんなことを知らないだろう」と
外微分とか微分形式を持ち出すバカ
哀れ
付け焼刃が見え見えだよ、おれから言わせればね
外微分とか微分形式はね、三次元のベクトル解析で非常に有用でね
電磁気学の方程式などが、綺麗に書けるんだ
なので、物理とか工学では、知っている人多数
それを、お前が知らないだけのことだよｗ（＾＾
（参考）
http://hooktail.sub.jp/differentialforms/ExteriorDiff/
外微分 [物理のかぎしっぽ]
三次元ユークリッド空間 R^{3} 上の外積代数を考えると，微分形式として次の 4 つを定義できました．
外微分
実は， 外微分 という演算によって，次数の異なる微分形式を関係づけることが出来ます．零次微分形式を一回外微分すると一次微分形式，一次微分形式を一回外微分すると二次微分形式，二次微分形式を一回外微分すると三次微分形式という具合に，外微分を行うことで，微分形式は一つ次数が上の微分形式に対応させられます．
つづく
おっさん、ご苦労さん
必死で、「おまえは、こんなことを知らないだろう」と
外微分とか微分形式を持ち出すバカ
哀れ
付け焼刃が見え見えだよ、おれから言わせればね
外微分とか微分形式はね、三次元のベクトル解析で非常に有用でね
電磁気学の方程式などが、綺麗に書けるんだ
なので、物理とか工学では、知っている人多数
それを、お前が知らないだけのことだよｗ（＾＾
（参考）
http://hooktail.sub.jp/differentialforms/ExteriorDiff/
外微分 [物理のかぎしっぽ]
三次元ユークリッド空間 R^{3} 上の外積代数を考えると，微分形式として次の 4 つを定義できました．
外微分
実は， 外微分 という演算によって，次数の異なる微分形式を関係づけることが出来ます．零次微分形式を一回外微分すると一次微分形式，一次微分形式を一回外微分すると二次微分形式，二次微分形式を一回外微分すると三次微分形式という具合に，外微分を行うことで，微分形式は一つ次数が上の微分形式に対応させられます．
つづく
248現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/08(火) 11:59:11.02ID:eqr8yurO >>247
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%96%E5%BE%AE%E5%88%86
外微分
可微分多様体上、外微分（がいびぶん、英: exterior derivative）は関数の微分の概念を高次の微分形式に拡張する。外微分はエリ・カルタンによって最初に現在の形式で記述された。それによってベクトル解析のストークスの定理、ガウスの定理、グリーンの定理の自然な、距離に依存しない一般化ができる。
k 形式を無限小 k 次元平行面体を通る流量を測るものと考えれば、その外微分を (k + 1)-平行面体の境界を通る正味の流れを測るものと考えることができる。
目次
4 さらなる性質
4.1 閉形式と完全形式
4.2 ド・ラームコホロジー
4.3 自然性
5 ベクトル解析における外微分
5.1 勾配
5.2 発散
5.3 回転
5.4 grad, curl, div, およびラプラシアンの不変公式
(引用終り)
以上
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%96%E5%BE%AE%E5%88%86
外微分
可微分多様体上、外微分（がいびぶん、英: exterior derivative）は関数の微分の概念を高次の微分形式に拡張する。外微分はエリ・カルタンによって最初に現在の形式で記述された。それによってベクトル解析のストークスの定理、ガウスの定理、グリーンの定理の自然な、距離に依存しない一般化ができる。
k 形式を無限小 k 次元平行面体を通る流量を測るものと考えれば、その外微分を (k + 1)-平行面体の境界を通る正味の流れを測るものと考えることができる。
目次
4 さらなる性質
4.1 閉形式と完全形式
4.2 ド・ラームコホロジー
4.3 自然性
5 ベクトル解析における外微分
5.1 勾配
5.2 発散
5.3 回転
5.4 grad, curl, div, およびラプラシアンの不変公式
(引用終り)
以上
249現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/08(火) 15:28:25.61ID:eqr8yurO >>247
「数学をいかに使うか（志村 五郎）」
志村 五郎先生は、微分形式、外微分を結構重視していたといのは、下記の通り有名な話で
旧ガロアスレでも取り上げた
（参考）
https://yashiroy29.wordpress.com/2019/06/05/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%82%92%E3%81%84%E3%81%8B%E3%81%AB%E4%BD%BF%E3%81%86%E3%81%8B%EF%BC%88%E5%BF%97%E6%9D%91-%E4%BA%94%E9%83%8E%EF%BC%89/
yashiroy29
数学をいかに使うか（志村 五郎）
(抜粋)
・四元数環は実数体、複素数体の延長であり、それ自体が重要であるばかりでなく、外積代数やClifford代数、多元環論の基礎となっている。
・微分形式、外微分という概念は難しくなく、それを使うと、外積などのベクトル解析の算法の見通しが良くなる。積分のGauss-Stokesの式は、微積分の基本定理を多次元空間に拡張したものである。
・多変数の微積分の次に学ぶとよいのは、複素解析、具体的には楕円関数論が良いだろう。歴史的には三角関数の逆関数の拡張から二重周期関数が発見されたが、Weierstrassは逆に二重周期関数は楕円関数となることを示した。
・Fourier変換にPoissonの和公式を適用するとJacobiのテータ関数が得られる。３人はほぼ同時代に生きたが、この関係性は本人たちは知らなかっただろう。
・定理などの名付けには色々問題がある。最後の証明を完成した人だけが偉いのではない。そもそも間違った論文や教科書も多く、古典的な書物は、現代の厳密な証明に照らし合わせると不完全な場合もある。
・参考にすべき日本語の教科書が無いため、参考文献は外国語のものばかりになってしまった。だからこの本を日本語で書いたのである。
「数学をいかに使うか（志村 五郎）」
志村 五郎先生は、微分形式、外微分を結構重視していたといのは、下記の通り有名な話で
旧ガロアスレでも取り上げた
（参考）
https://yashiroy29.wordpress.com/2019/06/05/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%82%92%E3%81%84%E3%81%8B%E3%81%AB%E4%BD%BF%E3%81%86%E3%81%8B%EF%BC%88%E5%BF%97%E6%9D%91-%E4%BA%94%E9%83%8E%EF%BC%89/
yashiroy29
数学をいかに使うか（志村 五郎）
(抜粋)
・四元数環は実数体、複素数体の延長であり、それ自体が重要であるばかりでなく、外積代数やClifford代数、多元環論の基礎となっている。
・微分形式、外微分という概念は難しくなく、それを使うと、外積などのベクトル解析の算法の見通しが良くなる。積分のGauss-Stokesの式は、微積分の基本定理を多次元空間に拡張したものである。
・多変数の微積分の次に学ぶとよいのは、複素解析、具体的には楕円関数論が良いだろう。歴史的には三角関数の逆関数の拡張から二重周期関数が発見されたが、Weierstrassは逆に二重周期関数は楕円関数となることを示した。
・Fourier変換にPoissonの和公式を適用するとJacobiのテータ関数が得られる。３人はほぼ同時代に生きたが、この関係性は本人たちは知らなかっただろう。
・定理などの名付けには色々問題がある。最後の証明を完成した人だけが偉いのではない。そもそも間違った論文や教科書も多く、古典的な書物は、現代の厳密な証明に照らし合わせると不完全な場合もある。
・参考にすべき日本語の教科書が無いため、参考文献は外国語のものばかりになってしまった。だからこの本を日本語で書いたのである。
250現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/08(火) 15:40:49.66ID:eqr8yurO >>238
>意味ないよ 悪いこといわない 数学はキレイサッパリ諦めろ
意味わからん
”諦めろ”？
なんのことかな
おれは、５ｃｈ数学板で遊んでいるだけでね
いまさら、数学の論文書いて、数学者になろうなんて、考えていない
数検？ まあ、十代か二十代で、就職の箔付け（英語の資格みたいな）ならやっても良いが
いまさら、数検１級とか、「実用数学技能検定」ね、下記かよ
いまさら、復習してもね、面白くもなんともない
セールも、グロタンも、望月も出てこないじゃんかｗ（＾＾；
数検１級 「実用数学技能検定」 それって、就職のときの 英語の資格試験類似でしょ
おれら、遊びでやっていることと、なんの関係もないぜｗ（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E7%94%A8%E6%95%B0%E5%AD%A6%E6%8A%80%E8%83%BD%E6%A4%9C%E5%AE%9A
実用数学技能検定
1級（大学程度・一般）
検定の内容
解析：微分法、積分法、基本的な微分方程式、多変数関数（偏微分・重積分）、基本的な複素解析
線形代数：線形方程式、行列、行列式、線形変換、線形空間、計量線形空間、曲線と曲面、線形計画法、二次形式、固有値、多項式、代数方程式、初等整数論
確率・統計：確率、確率分布、回帰分析、相関係数
コンピュータ：数値解析、アルゴリズムの基礎
その他：自然科学への数学の応用など
>意味ないよ 悪いこといわない 数学はキレイサッパリ諦めろ
意味わからん
”諦めろ”？
なんのことかな
おれは、５ｃｈ数学板で遊んでいるだけでね
いまさら、数学の論文書いて、数学者になろうなんて、考えていない
数検？ まあ、十代か二十代で、就職の箔付け（英語の資格みたいな）ならやっても良いが
いまさら、数検１級とか、「実用数学技能検定」ね、下記かよ
いまさら、復習してもね、面白くもなんともない
セールも、グロタンも、望月も出てこないじゃんかｗ（＾＾；
数検１級 「実用数学技能検定」 それって、就職のときの 英語の資格試験類似でしょ
おれら、遊びでやっていることと、なんの関係もないぜｗ（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E7%94%A8%E6%95%B0%E5%AD%A6%E6%8A%80%E8%83%BD%E6%A4%9C%E5%AE%9A
実用数学技能検定
1級（大学程度・一般）
検定の内容
解析：微分法、積分法、基本的な微分方程式、多変数関数（偏微分・重積分）、基本的な複素解析
線形代数：線形方程式、行列、行列式、線形変換、線形空間、計量線形空間、曲線と曲面、線形計画法、二次形式、固有値、多項式、代数方程式、初等整数論
確率・統計：確率、確率分布、回帰分析、相関係数
コンピュータ：数値解析、アルゴリズムの基礎
その他：自然科学への数学の応用など
251１３２人目の素数さん
2020/09/08(火) 16:17:00.47ID:/5kzKRHO >>246
瀬田君が工学部卒でないことは分かる。
どう考えても、瀬田君に大学に合格する能力はない。
簡単な等確率の考え方や級数 Σ_{k=1,2,…,+∞}(9/10)^k の計算が出来ないのに大学に合格出来る訳ない。
50代、60代なら尚更。
瀬田君が工学部卒でないことは分かる。
どう考えても、瀬田君に大学に合格する能力はない。
簡単な等確率の考え方や級数 Σ_{k=1,2,…,+∞}(9/10)^k の計算が出来ないのに大学に合格出来る訳ない。
50代、60代なら尚更。
252現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/08(火) 16:44:17.78ID:eqr8yurO >>247 追加
>電磁気学の方程式などが、綺麗に書けるんだ
http://hooktail.org/misc/index.php?%C8%F9%CA%AC%B7%C1%BC%B0
微分形式 [物理のかぎしっぽ]
(抜粋)
ユークリッド空間とミンコフスキー空間上の微分形式 †
ストークスの定理再々考（Joh著）
四次元の微分形式（Joh著）
ミンコフスキー空間上の微分形式（Joh著）
マックスウェル方程式への応用（Joh著）
http://hooktail.sub.jp/differentialforms/DiffFormsMaxwellsEq/
マックスウェル方程式への応用
(抜粋)
三次元ユークリッド空間上の微分形式
最初に，微分形式の復習も兼ねて，三次元ユークリッド空間上で次のような一次微分形式 E,J と二次微分形式 B を考えてみます．
確かに，微分形式を使ってマックスウェルの方程式を表現することは出来ましたが，特にこのように書く旨味はあまり感じられませんね．三次元ユークリッド空間上で考えている限り，マックスウェルの方程式はこれ以上は簡単になりません．しかし， x,y,z と t を一緒にして， ミンコフスキー空間 上で考えることで，驚くほど美しく，簡単な表現に帰着します．次セクション以降で，そのことを見ていきます．
ミンコフスキー空間で表現してみる
まず，次のような微分形式 F を考えます．これは，ミンコフスキー空間上の二次微分形式です．（おいおい見ていくように，マックスウェルの方程式は，ミンコフスキー空間上で，本当に綺麗に表現されます．）
これはマックスウェルの方程式 (2-1)(2-2) に他なりません．つまり，ミンコフスキー空間上の微分形式を使えば，マックスウェルの方程式 (2-1)(2-2) がまとめて次のように表現できるということです．
dF =0 {9}
美しい！
真空中でのマックスウェルの方程式
真空中（自由空間中）でのマックスウェルの方程式は，微分形式を使えば dF=0 , d*F=0 という二本の式に集約できます．
ここまで美しい形にまとめられたのも，まさに微分形式の威力です．
ここまで，多様体というような概念はわざと避け，ユークリッド空間とミンコフスキー空間だけで微分形式を考えてきましたが，次からはいよいよ多様体上の微分形式を考えます．微分形式の威力と美しさが，読者のみなさんに少しでも伝わっていれば嬉しいです．
>電磁気学の方程式などが、綺麗に書けるんだ
http://hooktail.org/misc/index.php?%C8%F9%CA%AC%B7%C1%BC%B0
微分形式 [物理のかぎしっぽ]
(抜粋)
ユークリッド空間とミンコフスキー空間上の微分形式 †
ストークスの定理再々考（Joh著）
四次元の微分形式（Joh著）
ミンコフスキー空間上の微分形式（Joh著）
マックスウェル方程式への応用（Joh著）
http://hooktail.sub.jp/differentialforms/DiffFormsMaxwellsEq/
マックスウェル方程式への応用
(抜粋)
三次元ユークリッド空間上の微分形式
最初に，微分形式の復習も兼ねて，三次元ユークリッド空間上で次のような一次微分形式 E,J と二次微分形式 B を考えてみます．
確かに，微分形式を使ってマックスウェルの方程式を表現することは出来ましたが，特にこのように書く旨味はあまり感じられませんね．三次元ユークリッド空間上で考えている限り，マックスウェルの方程式はこれ以上は簡単になりません．しかし， x,y,z と t を一緒にして， ミンコフスキー空間 上で考えることで，驚くほど美しく，簡単な表現に帰着します．次セクション以降で，そのことを見ていきます．
ミンコフスキー空間で表現してみる
まず，次のような微分形式 F を考えます．これは，ミンコフスキー空間上の二次微分形式です．（おいおい見ていくように，マックスウェルの方程式は，ミンコフスキー空間上で，本当に綺麗に表現されます．）
これはマックスウェルの方程式 (2-1)(2-2) に他なりません．つまり，ミンコフスキー空間上の微分形式を使えば，マックスウェルの方程式 (2-1)(2-2) がまとめて次のように表現できるということです．
dF =0 {9}
美しい！
真空中でのマックスウェルの方程式
真空中（自由空間中）でのマックスウェルの方程式は，微分形式を使えば dF=0 , d*F=0 という二本の式に集約できます．
ここまで美しい形にまとめられたのも，まさに微分形式の威力です．
ここまで，多様体というような概念はわざと避け，ユークリッド空間とミンコフスキー空間だけで微分形式を考えてきましたが，次からはいよいよ多様体上の微分形式を考えます．微分形式の威力と美しさが，読者のみなさんに少しでも伝わっていれば嬉しいです．
253現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/08(火) 16:53:11.17ID:eqr8yurO >>251
おれは、具体的な氏名の議論はしない
だが、おれの書いていることは、時枝にしろ、IUTにしろ、ここで書いていることにしろ、旧ガロアスレで書いたことにしろ
正しいと思っている
間違っているのは、おサルさんたち
（なお、間違いがあったことは認めるが、都度訂正しているよ。時枝も分からないようじゃ、なんだかなーｗｗ）
あと、下記の哀れな素人氏のスレでも同じだ
おれが書いたことは、正しいよ（実際、一撃で議論の方向が変わったでしょ。テレンスタオの指摘を投稿してからねｗｗｗ）
それだけです（＾＾
（参考）
0.99999……は１ではない その12
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1598795196/
おれは、具体的な氏名の議論はしない
だが、おれの書いていることは、時枝にしろ、IUTにしろ、ここで書いていることにしろ、旧ガロアスレで書いたことにしろ
正しいと思っている
間違っているのは、おサルさんたち
（なお、間違いがあったことは認めるが、都度訂正しているよ。時枝も分からないようじゃ、なんだかなーｗｗ）
あと、下記の哀れな素人氏のスレでも同じだ
おれが書いたことは、正しいよ（実際、一撃で議論の方向が変わったでしょ。テレンスタオの指摘を投稿してからねｗｗｗ）
それだけです（＾＾
（参考）
0.99999……は１ではない その12
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1598795196/
254現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/08(火) 17:06:26.88ID:eqr8yurO255１３２人目の素数さん
2020/09/08(火) 18:08:10.60ID:ojElSBRm >>245
>日本及び日本人数学者をディスりたいがために・・・
>日本及び日本人数学者が悪いって発想かな
>>246
>日本と日本人数学者を恨むのは、筋違いだよ
ニッポン、ニッポンって、愛国気違いがうるさいねぇ
岡だけでなく小平を持ち出した理由って
ただただニッポン最高！っていいたいだけかい？
岡と小平は役割が違うんだがね
数学が分からないくせに
ニッポン万歳！
ニッポンジン万歳！
とわめきたがる愛国白痴には
困ったもんだね
訳も分からず、望月は全面的に正しい！と吠えるのも
ニッポン自慢したいだけだろ？
もしかして朝鮮学校の奴らにオカマ掘られた？
どうせキムチくせぇとかバカなこといったんでしょ
自分だってタクアンくせぇとかいわれたら発狂するくせに
何いってんだろうね
>日本及び日本人数学者をディスりたいがために・・・
>日本及び日本人数学者が悪いって発想かな
>>246
>日本と日本人数学者を恨むのは、筋違いだよ
ニッポン、ニッポンって、愛国気違いがうるさいねぇ
岡だけでなく小平を持ち出した理由って
ただただニッポン最高！っていいたいだけかい？
岡と小平は役割が違うんだがね
数学が分からないくせに
ニッポン万歳！
ニッポンジン万歳！
とわめきたがる愛国白痴には
困ったもんだね
訳も分からず、望月は全面的に正しい！と吠えるのも
ニッポン自慢したいだけだろ？
もしかして朝鮮学校の奴らにオカマ掘られた？
どうせキムチくせぇとかバカなこといったんでしょ
自分だってタクアンくせぇとかいわれたら発狂するくせに
何いってんだろうね
256１３２人目の素数さん
2020/09/08(火) 18:08:38.27ID:ojElSBRm257１３２人目の素数さん
2020/09/08(火) 18:10:39.21ID:ojElSBRm >>250
>おれは、５ｃｈ数学板で遊んでいるだけでね
学歴詐欺遊びは悪趣味だね
>数検？ いまさら、数検１級とか、
>復習してもね、面白くもなんともない
復習？ この期に及んで、まだ嘘つきつづけるのかい？
君が大学に行ってないことはもうとっくにバレれるよ
大学に行ってて、行列式を知らないとかありえないから
>セールも、グロタンも、望月も出てこないじゃんかｗ
君には代数幾何なんて無理
だって線形代数の初歩もわかってないんだからねえ
>おれら、遊びでやっていることと、なんの関係もないぜｗ
「ら」？ 君は自分に仲間がいると思ってるの？
悪いけど君のような学歴詐称のウソツキピエロは他にいないよ
さ、詐欺師は他所に行ってくれ
>おれは、５ｃｈ数学板で遊んでいるだけでね
学歴詐欺遊びは悪趣味だね
>数検？ いまさら、数検１級とか、
>復習してもね、面白くもなんともない
復習？ この期に及んで、まだ嘘つきつづけるのかい？
君が大学に行ってないことはもうとっくにバレれるよ
大学に行ってて、行列式を知らないとかありえないから
>セールも、グロタンも、望月も出てこないじゃんかｗ
君には代数幾何なんて無理
だって線形代数の初歩もわかってないんだからねえ
>おれら、遊びでやっていることと、なんの関係もないぜｗ
「ら」？ 君は自分に仲間がいると思ってるの？
悪いけど君のような学歴詐称のウソツキピエロは他にいないよ
さ、詐欺師は他所に行ってくれ
258１３２人目の素数さん
2020/09/08(火) 18:11:34.24ID:ojElSBRm >>253
>おれの書いていることは、
>時枝にしろ、IUTにしろ、
>・・・正しいと思っている
君は論理的に思考する能力が欠如してるから
自分の誤りには死んでも気づけないね
そんな人が数学に興味もっても間違い続けて
恥かきつづけるだけだからやめときな
>おれが書いたことは、正しいよ
>（実際、一撃で議論の方向が変わったでしょ。
> テレンスタオの指摘を投稿してからねｗｗｗ）
本当に、正真正銘の白痴なんだね、君は
超実数＝実数だとおもってるんだから
ウルトラフィルタ＝コーシーフィルタだとおもってるんだから
君、もしかして
「双曲平面はユークリッド平面だ！」
なんて言わないだろうね？
君のテレンスタオ発言の誤用は
そういう地獄の底レベルのものなんだよ
わかる？
>おれの書いていることは、
>時枝にしろ、IUTにしろ、
>・・・正しいと思っている
君は論理的に思考する能力が欠如してるから
自分の誤りには死んでも気づけないね
そんな人が数学に興味もっても間違い続けて
恥かきつづけるだけだからやめときな
>おれが書いたことは、正しいよ
>（実際、一撃で議論の方向が変わったでしょ。
> テレンスタオの指摘を投稿してからねｗｗｗ）
本当に、正真正銘の白痴なんだね、君は
超実数＝実数だとおもってるんだから
ウルトラフィルタ＝コーシーフィルタだとおもってるんだから
君、もしかして
「双曲平面はユークリッド平面だ！」
なんて言わないだろうね？
君のテレンスタオ発言の誤用は
そういう地獄の底レベルのものなんだよ
わかる？
259１３２人目の素数さん
2020/09/08(火) 18:16:57.02ID:ojElSBRm260現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/08(火) 18:17:38.31ID:eqr8yurO >>255
すぐ、維新さんの本性が出るなぁ～ｗ（＾＾
>>256
>なぜ、ストークスの定理を成立させるのが外微分か
>全然分かってないと思うね
いいんじゃね？
そもそも、他人が何をどれだけ分かって、あるいは分かってないとか、それあなたの理解とか数学レベルとは何の関係もない
但し、鳥なき里の蝙蝠をするときだけに関係するんだ
おれさま、コウモリ様です。数学DRたプロ数学者に居ないところで、威張りたいもん！ ってときだに関係するよね、それってｗ、おサルさんｗｗ(゜ロ゜;
なお、ストークスの定理は、>>252に引用した [物理のかぎしっぽ] ストークスの定理再々考（Joh著）とか、その他なんでも、検索して好きなもの読めば、よかよかだよｗｗｗ
すぐ、維新さんの本性が出るなぁ～ｗ（＾＾
>>256
>なぜ、ストークスの定理を成立させるのが外微分か
>全然分かってないと思うね
いいんじゃね？
そもそも、他人が何をどれだけ分かって、あるいは分かってないとか、それあなたの理解とか数学レベルとは何の関係もない
但し、鳥なき里の蝙蝠をするときだけに関係するんだ
おれさま、コウモリ様です。数学DRたプロ数学者に居ないところで、威張りたいもん！ ってときだに関係するよね、それってｗ、おサルさんｗｗ(゜ロ゜;
なお、ストークスの定理は、>>252に引用した [物理のかぎしっぽ] ストークスの定理再々考（Joh著）とか、その他なんでも、検索して好きなもの読めば、よかよかだよｗｗｗ
261１３２人目の素数さん
2020/09/08(火) 20:01:03.21ID:ojElSBRm262１３２人目の素数さん
2020/09/08(火) 20:04:55.87ID:ojElSBRm 数学が分らん高卒バカが数学板で大卒詐称すんなよ
263１３２人目の素数さん
2020/09/08(火) 20:52:51.96ID:ojElSBRm ◆yH25M02vWFhP はまずここからやり直せ
現代数学への入門
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E8%AC%9B%E5%BA%A7_%E7%8F%BE%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%B8%E3%81%AE%E5%85%A5%E9%96%80
現代数学への入門
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E8%AC%9B%E5%BA%A7_%E7%8F%BE%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%B8%E3%81%AE%E5%85%A5%E9%96%80
264１３２人目の素数さん
2020/09/08(火) 20:54:12.71ID:ojElSBRm ◆yH25M02vWFhP にはチンプンカンプン
現代数学の基礎
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E8%AC%9B%E5%BA%A7_%E7%8F%BE%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AE%E5%9F%BA%E7%A4%8E
現代数学の基礎
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E8%AC%9B%E5%BA%A7_%E7%8F%BE%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AE%E5%9F%BA%E7%A4%8E
265１３２人目の素数さん
2020/09/08(火) 20:54:33.06ID:uFw/N5vZ >>263
このシリーズは良いシリーズでしたか？微分積分も線形代数もいいとは思いませんでしたし
このシリーズは良いシリーズでしたか？微分積分も線形代数もいいとは思いませんでしたし
266１３２人目の素数さん
2020/09/08(火) 20:56:30.95ID:ojElSBRm ◆yH25M02vWFhP は見た瞬間、失神・卒倒
現代数学の展開
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E8%AC%9B%E5%BA%A7_%E7%8F%BE%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AE%E5%B1%95%E9%96%8B
現代数学の展開
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E8%AC%9B%E5%BA%A7_%E7%8F%BE%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AE%E5%B1%95%E9%96%8B
267１３２人目の素数さん
2020/09/08(火) 20:58:38.74ID:ojElSBRm268現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/08(火) 21:11:20.45ID:wPbjCPq+ >>255 補足
>訳も分からず、望月は全面的に正しい！と吠えるのも
>ニッポン自慢したいだけだろ？
訳も分からずは、維新さん、あなた
下記見なさいよ。仏 Lille 大学が応援に入ったよ。日本だけじゃない
それに、IUTの電子会議の”Promenade in Inter-Universal Teichmuller Theory”のリスト見なさい
随分大勢になった。これは、IUTが正しいからこそ、賛同者がじわじわ増えているってことですよ
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 48
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592119272/750-777
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~bcollas/IUT/IUT-schedule.html
Promenade in IUT
Org.: Collas (RIMS); Debes, Fresse (Lille)
(抜粋)
The seminar takes place every two weeks on Thursday for 2 hours by Zoom 17:30-19:30, JP time (9:30-11:30, UK time; 10:30-12:30 FR time) ? we refer to the Programme for descriptions of the talks and associated references.
Programme and schedule
September
09/24 T0 IUT Introductory Talk Collas
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~bcollas/IUT/IUT-participants.html
List of Participants
Niels Borne, Lille University, France;
Raf Cluckers, CNRS Lille University, France & KU Leuven, Belgium;
Benjamin Collas, RIMS - Kyoto University, Japan;
Pierre Debes, Lille University, France;
Ivan Fesenko, Nottingham University, UK;
Benoit Fresse, Lille University, France;
Julien Hauseux, Lille University, France;
Yuichiro Hoshi, RIMS - Kyoto University, Japan;
Fumiharu Kato, Tokyo Institute of Technology, Japan;
Arata Minamide, RIMS - Kyoto University, Japan;
Shinichi Mochizuki, RIMS - Kyoto, Japan;
Wojciech Porowski, Nottingham University, UK;
Lorenzo Ramero, Lille University, France;
Koichiro Sawada, Osaka University, Japan;
Shota Tsujimura, RIMS - Kyoto University, Japan;
Yasuhiro Wakabayashi, Tokyo Institute of Technology, Japan;
Seidai Yasuda, Osaka University, Japan (TBC);
Shigetoshi Yokoyama, Gunma University, Japan;
>訳も分からず、望月は全面的に正しい！と吠えるのも
>ニッポン自慢したいだけだろ？
訳も分からずは、維新さん、あなた
下記見なさいよ。仏 Lille 大学が応援に入ったよ。日本だけじゃない
それに、IUTの電子会議の”Promenade in Inter-Universal Teichmuller Theory”のリスト見なさい
随分大勢になった。これは、IUTが正しいからこそ、賛同者がじわじわ増えているってことですよ
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 48
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592119272/750-777
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~bcollas/IUT/IUT-schedule.html
Promenade in IUT
Org.: Collas (RIMS); Debes, Fresse (Lille)
(抜粋)
The seminar takes place every two weeks on Thursday for 2 hours by Zoom 17:30-19:30, JP time (9:30-11:30, UK time; 10:30-12:30 FR time) ? we refer to the Programme for descriptions of the talks and associated references.
Programme and schedule
September
09/24 T0 IUT Introductory Talk Collas
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~bcollas/IUT/IUT-participants.html
List of Participants
Niels Borne, Lille University, France;
Raf Cluckers, CNRS Lille University, France & KU Leuven, Belgium;
Benjamin Collas, RIMS - Kyoto University, Japan;
Pierre Debes, Lille University, France;
Ivan Fesenko, Nottingham University, UK;
Benoit Fresse, Lille University, France;
Julien Hauseux, Lille University, France;
Yuichiro Hoshi, RIMS - Kyoto University, Japan;
Fumiharu Kato, Tokyo Institute of Technology, Japan;
Arata Minamide, RIMS - Kyoto University, Japan;
Shinichi Mochizuki, RIMS - Kyoto, Japan;
Wojciech Porowski, Nottingham University, UK;
Lorenzo Ramero, Lille University, France;
Koichiro Sawada, Osaka University, Japan;
Shota Tsujimura, RIMS - Kyoto University, Japan;
Yasuhiro Wakabayashi, Tokyo Institute of Technology, Japan;
Seidai Yasuda, Osaka University, Japan (TBC);
Shigetoshi Yokoyama, Gunma University, Japan;
269現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/08(火) 21:22:26.22ID:wPbjCPq+ >>265
>このシリーズは良いシリーズでしたか？微分積分も線形代数もいいとは思いませんでしたし
同意だな
内容がすでに古くなっている気がするな
例えば、フェルマー（谷山志村の解決）、ポアンカレ予想の解決、物理ストリング理論と数学との関係（ソリトンなども）、森先生や広中先生のフィールズ賞に繋がる話も抜けているし
いまどきのビッグデータや、IAに繋がる話（テンソルフローなど）も無い
はっきり言って、視点が古すぎると思うよ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E8%AC%9B%E5%BA%A7_%E7%8F%BE%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%B8%E3%81%AE%E5%85%A5%E9%96%80
岩波講座 現代数学への入門
全10巻20分冊で構成され、第1次は1995年10月から1996年9月まで、第2次は1999年4月から2000年1月までに渡り刊行された。
>このシリーズは良いシリーズでしたか？微分積分も線形代数もいいとは思いませんでしたし
同意だな
内容がすでに古くなっている気がするな
例えば、フェルマー（谷山志村の解決）、ポアンカレ予想の解決、物理ストリング理論と数学との関係（ソリトンなども）、森先生や広中先生のフィールズ賞に繋がる話も抜けているし
いまどきのビッグデータや、IAに繋がる話（テンソルフローなど）も無い
はっきり言って、視点が古すぎると思うよ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E8%AC%9B%E5%BA%A7_%E7%8F%BE%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%B8%E3%81%AE%E5%85%A5%E9%96%80
岩波講座 現代数学への入門
全10巻20分冊で構成され、第1次は1995年10月から1996年9月まで、第2次は1999年4月から2000年1月までに渡り刊行された。
270現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/08(火) 21:28:16.61ID:wPbjCPq+ >>266
笑えるわ
アホザル
下記、重川一郎 先生、覚えているかい？
時枝で、重川一郎の確率論・確率過程論のPDFを紹介したら
お前読めなかったじゃんか～！ ｗｗｗｗｗ（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E8%AC%9B%E5%BA%A7_%E7%8F%BE%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AE%E5%B1%95%E9%96%8B
岩波講座 現代数学の展開
(抜粋)
9．確率解析：重川一郎
笑えるわ
アホザル
下記、重川一郎 先生、覚えているかい？
時枝で、重川一郎の確率論・確率過程論のPDFを紹介したら
お前読めなかったじゃんか～！ ｗｗｗｗｗ（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E8%AC%9B%E5%BA%A7_%E7%8F%BE%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AE%E5%B1%95%E9%96%8B
岩波講座 現代数学の展開
(抜粋)
9．確率解析：重川一郎
271現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/08(火) 21:31:07.49ID:wPbjCPq+ >>270
(引用開始)
下記、重川一郎 先生、覚えているかい？
時枝で、重川一郎の確率論・確率過程論のPDFを紹介したら
お前読めなかったじゃんか～！ ｗｗｗｗｗ（＾＾；
(引用終り)
はっきりしたな
ネットからコピーするだけなら、だれでもできるよな
お前が、読めない、読んでない本でもさ
丸分かりだなｗｗｗｗ（＾＾
(引用開始)
下記、重川一郎 先生、覚えているかい？
時枝で、重川一郎の確率論・確率過程論のPDFを紹介したら
お前読めなかったじゃんか～！ ｗｗｗｗｗ（＾＾；
(引用終り)
はっきりしたな
ネットからコピーするだけなら、だれでもできるよな
お前が、読めない、読んでない本でもさ
丸分かりだなｗｗｗｗ（＾＾
272１３２人目の素数さん
2020/09/08(火) 22:11:42.56ID:jldlOMMa そもそも確率論だの確率過程論だのを箱入り無数目がらみで出してくること自体まったく見当違い。
実際 The Riddle には確率のかの字も出て来ない。
箱入り無数目はThe Riddleの「100人の数学者のうち99人以上が勝つ」を確率の言葉で表したに過ぎない。
瀬田、相変わらずのバカ丸出し。
実際 The Riddle には確率のかの字も出て来ない。
箱入り無数目はThe Riddleの「100人の数学者のうち99人以上が勝つ」を確率の言葉で表したに過ぎない。
瀬田、相変わらずのバカ丸出し。
273１３２人目の素数さん
2020/09/08(火) 22:14:51.67ID:jldlOMMa >>268
>下記見なさいよ。仏 Lille 大学が応援に入ったよ。日本だけじゃない
>それに、IUTの電子会議の”Promenade in Inter-Universal Teichmuller Theory”のリスト見なさい
>随分大勢になった。これは、IUTが正しいからこそ、賛同者がじわじわ増えているってことですよ
だから？
行列式もεδ論法も理解してないバカには無縁の世界
>下記見なさいよ。仏 Lille 大学が応援に入ったよ。日本だけじゃない
>それに、IUTの電子会議の”Promenade in Inter-Universal Teichmuller Theory”のリスト見なさい
>随分大勢になった。これは、IUTが正しいからこそ、賛同者がじわじわ増えているってことですよ
だから？
行列式もεδ論法も理解してないバカには無縁の世界
274現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/08(火) 23:15:51.20ID:wPbjCPq+ >>269 追加
>このシリーズは良いシリーズでしたか？微分積分も線形代数もいいとは思いませんでしたし
同意だな
内容がすでに古くなっている気がするな
(引用終り)
決定的に抜けているのが、圏論だね
圏論は、大きく三つの方向があると思う
一つは、代数幾何に代表される方向（含む数論幾何）
一つは、ロジック系（竹内外史『層・圏・トポス 現代的集合像を求めて』や清水義夫『圏論による論理学 高階論理とトポス』など）
一つは、計算機科学
圏論をどう扱うか難しいが、雪江明彦の代数３でも扱っていたな。なんか要るよね。いまどきの論文結構圏論出てくる（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%8F%E8%AB%96
圏論
数学の多くの分野、また計算機科学や数理物理学のいくつかの分野で導入される一連の対象は、しばしば適当な圏の対象たちだと考えることができる。
他の分野への影響
カテゴリカル・ロジックは現在、型理論に基づいて、直観主義的論理のためにうまく定義された分野である。そして、これの応用として関数型プログラミングの理論および領域理論がある。これらは全て、ラムダ計算の非構文的な記述として適用されたデカルト閉圏を背景としている。圏論的言語を用いることで、関連する分野が厳密に、（抽象的な意味で）何を共有しているのかを明らかにすることができる。
参考文献
竹内外史『層・圏・トポス 現代的集合像を求めて』日本評論社、1978年1月。ISBN 4-535-78109-5。
清水義夫『圏論による論理学 高階論理とトポス』東京大学出版会、2007年12月。ISBN 978-4-13-012057-9。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%8F_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
圏 (数学)
高次圏
圏が与えられているとき、そこからより複雑な高次圏を考えることができる。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%83%9D%E3%82%B9_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
トポス (数学)
>このシリーズは良いシリーズでしたか？微分積分も線形代数もいいとは思いませんでしたし
同意だな
内容がすでに古くなっている気がするな
(引用終り)
決定的に抜けているのが、圏論だね
圏論は、大きく三つの方向があると思う
一つは、代数幾何に代表される方向（含む数論幾何）
一つは、ロジック系（竹内外史『層・圏・トポス 現代的集合像を求めて』や清水義夫『圏論による論理学 高階論理とトポス』など）
一つは、計算機科学
圏論をどう扱うか難しいが、雪江明彦の代数３でも扱っていたな。なんか要るよね。いまどきの論文結構圏論出てくる（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%8F%E8%AB%96
圏論
数学の多くの分野、また計算機科学や数理物理学のいくつかの分野で導入される一連の対象は、しばしば適当な圏の対象たちだと考えることができる。
他の分野への影響
カテゴリカル・ロジックは現在、型理論に基づいて、直観主義的論理のためにうまく定義された分野である。そして、これの応用として関数型プログラミングの理論および領域理論がある。これらは全て、ラムダ計算の非構文的な記述として適用されたデカルト閉圏を背景としている。圏論的言語を用いることで、関連する分野が厳密に、（抽象的な意味で）何を共有しているのかを明らかにすることができる。
参考文献
竹内外史『層・圏・トポス 現代的集合像を求めて』日本評論社、1978年1月。ISBN 4-535-78109-5。
清水義夫『圏論による論理学 高階論理とトポス』東京大学出版会、2007年12月。ISBN 978-4-13-012057-9。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%8F_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
圏 (数学)
高次圏
圏が与えられているとき、そこからより複雑な高次圏を考えることができる。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%83%9D%E3%82%B9_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
トポス (数学)
275１３２人目の素数さん
2020/09/09(水) 06:07:15.77ID:RmImPufM >>269
相変わらずの分不相応なはったり発言は無視して
>いまどきのビッグデータや、IAに繋がる話（テンソルフローなど）も無い
行列式も分からん人にテンソルは無理
現代数学への入門「行列と行列式」あたりからやり直そうね
あ、やり直しじゃなくてはじめての学習か
大阪大学、入れすらしなかったもんね
大阪大学卒なら、行列式くらい常識で知ってるから、残念っ！
相変わらずの分不相応なはったり発言は無視して
>いまどきのビッグデータや、IAに繋がる話（テンソルフローなど）も無い
行列式も分からん人にテンソルは無理
現代数学への入門「行列と行列式」あたりからやり直そうね
あ、やり直しじゃなくてはじめての学習か
大阪大学、入れすらしなかったもんね
大阪大学卒なら、行列式くらい常識で知ってるから、残念っ！
276１３２人目の素数さん
2020/09/09(水) 06:15:22.76ID:RmImPufM >>270-271
＞下記、重川一郎 先生、覚えているかい？
しらん（バッサリ）
だいたい数学者にセンセイとかつける時点で素人丸出し
数学科の学生は数学者にセンセイなんてキモチワルイ敬称つけないよ
＞時枝で、重川一郎の確率論・確率過程論のPDFを紹介したら
それ、紹介間違いだね
＞ネットからコピーするだけなら、だれでもできるよな
って自ら白状してるように、ド素人が中身も全く理解せずに
「なにかしらないけど有難いお経だろう」とばかりに
コピペするのは始末悪いよな
般若心経を意味も知らずに丸暗記するようなもの
数学は仏教じゃないけどな
確率過程とか全然関係ない 時間進展しないし
そもそも何が確率変数かすら誤解する君に
時枝が正しく理解できるわけないよ
数学以前に国語からやり直したら
いや、むしろ文章を読む精神的落ち着きが必要か
あなた、ADHDでしょ？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B3%A8%E6%84%8F%E6%AC%A0%E9%99%A5%E3%83%BB%E5%A4%9A%E5%8B%95%E6%80%A7%E9%9A%9C%E5%AE%B3
＞下記、重川一郎 先生、覚えているかい？
しらん（バッサリ）
だいたい数学者にセンセイとかつける時点で素人丸出し
数学科の学生は数学者にセンセイなんてキモチワルイ敬称つけないよ
＞時枝で、重川一郎の確率論・確率過程論のPDFを紹介したら
それ、紹介間違いだね
＞ネットからコピーするだけなら、だれでもできるよな
って自ら白状してるように、ド素人が中身も全く理解せずに
「なにかしらないけど有難いお経だろう」とばかりに
コピペするのは始末悪いよな
般若心経を意味も知らずに丸暗記するようなもの
数学は仏教じゃないけどな
確率過程とか全然関係ない 時間進展しないし
そもそも何が確率変数かすら誤解する君に
時枝が正しく理解できるわけないよ
数学以前に国語からやり直したら
いや、むしろ文章を読む精神的落ち着きが必要か
あなた、ADHDでしょ？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B3%A8%E6%84%8F%E6%AC%A0%E9%99%A5%E3%83%BB%E5%A4%9A%E5%8B%95%E6%80%A7%E9%9A%9C%E5%AE%B3
277１３２人目の素数さん
2020/09/09(水) 06:24:05.77ID:RmImPufM >>274
＞圏論は、大きく三つの方向があると思う
＞一つは、代数幾何に代表される方向（含む数論幾何）
＞一つは、ロジック系（竹内外史『層・圏・トポス 現代的集合像を求めて』や清水義夫『圏論による論理学 高階論理とトポス』など）
＞一つは、計算機科学
ロジックと計算機科学を分ける意味ないけどな
それはさておき
代数幾何は圏論だけじゃ全然ダメだね
少なくとも、層、それも連接層が必要
君、連接層の定義、知らないでしょ？
それじゃ、代数幾何なんか初歩から無理だよ
全然計算すらできないじゃん
ま、連接層も分からないんじゃ
グロタンディクの”エタ―ル”の考えなんか
わかりようがないよな
だいたい、行列式も外微分も分からない人に
コホモロジーなんか分かるわけないじゃん
まず線形代数、それからベクトル解析・微分形式な
ああ、別に電磁気学とか解析力学は必要ないぞ
それ、数学じゃないからな
別に仕事のために、やったっていいけど
＞圏論は、大きく三つの方向があると思う
＞一つは、代数幾何に代表される方向（含む数論幾何）
＞一つは、ロジック系（竹内外史『層・圏・トポス 現代的集合像を求めて』や清水義夫『圏論による論理学 高階論理とトポス』など）
＞一つは、計算機科学
ロジックと計算機科学を分ける意味ないけどな
それはさておき
代数幾何は圏論だけじゃ全然ダメだね
少なくとも、層、それも連接層が必要
君、連接層の定義、知らないでしょ？
それじゃ、代数幾何なんか初歩から無理だよ
全然計算すらできないじゃん
ま、連接層も分からないんじゃ
グロタンディクの”エタ―ル”の考えなんか
わかりようがないよな
だいたい、行列式も外微分も分からない人に
コホモロジーなんか分かるわけないじゃん
まず線形代数、それからベクトル解析・微分形式な
ああ、別に電磁気学とか解析力学は必要ないぞ
それ、数学じゃないからな
別に仕事のために、やったっていいけど
278１３２人目の素数さん
2020/09/09(水) 06:30:25.17ID:RmImPufM それにしても◆yH25M02vWFhP は行列式に対して
見事なまでに無反応だね
きっと計算式が全てだと思ってるんだろうね
それじゃ外微分わかるわけないわｗ
だって外積からして全然わかってないでしょ
行列式は外積で定義されるんだけどね わかるかな？が・い・せ・き
母方の親戚じゃないよｗ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%96%E6%88%9A
見事なまでに無反応だね
きっと計算式が全てだと思ってるんだろうね
それじゃ外微分わかるわけないわｗ
だって外積からして全然わかってないでしょ
行列式は外積で定義されるんだけどね わかるかな？が・い・せ・き
母方の親戚じゃないよｗ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%96%E6%88%9A
279現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/09(水) 06:33:20.05ID:ooZO5lQ5 >>269
>ソリトンなども
調べると、ソリトンは、「現代数学の流れ1」に入っているね
神保道夫先生が、書いているな
でさ
おサルは、全くこれに突っ込めないよね、アホが
ということは、おサルは、自分が引用した「岩波講座 現代数学への入門」の内容を全く知らずに、コピペしていましたってこと、丸分かりのアホってことだなｗｗｗｗ（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E8%AC%9B%E5%BA%A7_%E7%8F%BE%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%B8%E3%81%AE%E5%85%A5%E9%96%80
岩波講座 現代数学への入門
現代数学の流れ 1 1996年3月 1999年4月 上野健爾，砂田利一，深谷賢治，神保道夫
https://www.iwanami.co.jp/book/b259048.html
岩波
現代数学への入門
現代数学の流れ 1
目次
第5章 よみがえる19世紀数学（神保道夫）
§5.1 古代史と数学
§5.2 ソリトンの発見
(a) KdV方程式
(b) 線形と非線形
(c) ソリトン解
§5.3 ソリトン理論の展開
(a) 逆散乱法
(b) ソリトン方程式
(c) 可積分系
(d) ラックス表示
(e) KdV階層と擬微分作用素
(f) 広田の方法
§5.4 古典数学の再生
(a) 準周期解
(b) 再発見
(c) 埋もれた遺産
§5.5 パンルヴェ方程式の復活
(a) イジング模型
(b) パンルヴェの方程式
(c) モノドロミーを保存する変形
§5.6 20世紀の数学
>ソリトンなども
調べると、ソリトンは、「現代数学の流れ1」に入っているね
神保道夫先生が、書いているな
でさ
おサルは、全くこれに突っ込めないよね、アホが
ということは、おサルは、自分が引用した「岩波講座 現代数学への入門」の内容を全く知らずに、コピペしていましたってこと、丸分かりのアホってことだなｗｗｗｗ（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E8%AC%9B%E5%BA%A7_%E7%8F%BE%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%B8%E3%81%AE%E5%85%A5%E9%96%80
岩波講座 現代数学への入門
現代数学の流れ 1 1996年3月 1999年4月 上野健爾，砂田利一，深谷賢治，神保道夫
https://www.iwanami.co.jp/book/b259048.html
岩波
現代数学への入門
現代数学の流れ 1
目次
第5章 よみがえる19世紀数学（神保道夫）
§5.1 古代史と数学
§5.2 ソリトンの発見
(a) KdV方程式
(b) 線形と非線形
(c) ソリトン解
§5.3 ソリトン理論の展開
(a) 逆散乱法
(b) ソリトン方程式
(c) 可積分系
(d) ラックス表示
(e) KdV階層と擬微分作用素
(f) 広田の方法
§5.4 古典数学の再生
(a) 準周期解
(b) 再発見
(c) 埋もれた遺産
§5.5 パンルヴェ方程式の復活
(a) イジング模型
(b) パンルヴェの方程式
(c) モノドロミーを保存する変形
§5.6 20世紀の数学
280１３２人目の素数さん
2020/09/09(水) 06:38:51.21ID:RmImPufM >>268
＞仏 Lille 大学が応援に入ったよ。
やっぱりこの人、数学界が分かってないね
個人じゃなく大学名を挙げるところが数学者に対する侮蔑
ある人がた・ま・た・まそこの大学に所属してるというだけのこと
大体なんかのコンフェレンスに出たからといって
そこの主催者の学説の正当性を認めている、ということにはならない
ゲーデルみたいに「ヒルベルト・プログラム 無理ですわ」みたいな
発表しちゃう人もいるわけだしｗ
ちなみにゲーデルはそもそもヒルベルト・プログラムを実現しようとしてたが
その中で真理の定義の算術化が必要であること、そしてもし算術化が可能だとすると
矛盾が生じることに気づいてしまった
賢い人は、自分の予見に反することでもちゃんと気付けるんだよ
君みたいに自分に予見を絶対に正しいと信じて暴走し
崖からダイブして地面に激突しする大馬鹿なことにはならない
＞仏 Lille 大学が応援に入ったよ。
やっぱりこの人、数学界が分かってないね
個人じゃなく大学名を挙げるところが数学者に対する侮蔑
ある人がた・ま・た・まそこの大学に所属してるというだけのこと
大体なんかのコンフェレンスに出たからといって
そこの主催者の学説の正当性を認めている、ということにはならない
ゲーデルみたいに「ヒルベルト・プログラム 無理ですわ」みたいな
発表しちゃう人もいるわけだしｗ
ちなみにゲーデルはそもそもヒルベルト・プログラムを実現しようとしてたが
その中で真理の定義の算術化が必要であること、そしてもし算術化が可能だとすると
矛盾が生じることに気づいてしまった
賢い人は、自分の予見に反することでもちゃんと気付けるんだよ
君みたいに自分に予見を絶対に正しいと信じて暴走し
崖からダイブして地面に激突しする大馬鹿なことにはならない
281１３２人目の素数さん
2020/09/09(水) 06:42:53.48ID:RmImPufM 岩波講座って、論理学を数学の外に追い出してる点が残念なんだよな
ま、岩波は数学基礎論ってテキストも出版してるけどね
https://www.iwanami.co.jp/book/b265427.html
ま、岩波は数学基礎論ってテキストも出版してるけどね
https://www.iwanami.co.jp/book/b265427.html
282１３２人目の素数さん
2020/09/09(水) 06:47:32.57ID:RmImPufM283現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/09(水) 06:52:05.05ID:ooZO5lQ5 >>275
>行列式も分からん人にテンソルは無理
行列式とテンソルとは、殆ど脈絡がないぞｗ
>>276
>確率過程とか全然関係ない 時間進展しないし
時間は、数学では抽象化されているでしょ（下記）
離散時間 T = {1, 2, 3, …}で、→∞ とすれば、これ時枝の可算無限個の箱だろ、アホやな～
状態空間 Sで、ユークリッド空間 R^dで一次元とすれば、これRは箱に任意の実数を入れる話と合う。アホやな～（＾＾
おサルは確率論・確率過程論が、サッパリってことが ばればれ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A2%BA%E7%8E%87%E9%81%8E%E7%A8%8B
確率過程
普通、T としては離散時間 T = {1, 2, 3, …} や連続時間 T = [0, ∞) を考え、状態空間 S としてはユークリッド空間 R^d や整数 Zを考える。
(引用終り)
>そもそも何が確率変数かすら誤解する君に
>時枝が正しく理解できるわけないよ
時枝については、いまや形勢は完全に逆転した
時枝が分かっていないのは、おサルさん、あなたですよ（＾＾
>行列式も分からん人にテンソルは無理
行列式とテンソルとは、殆ど脈絡がないぞｗ
>>276
>確率過程とか全然関係ない 時間進展しないし
時間は、数学では抽象化されているでしょ（下記）
離散時間 T = {1, 2, 3, …}で、→∞ とすれば、これ時枝の可算無限個の箱だろ、アホやな～
状態空間 Sで、ユークリッド空間 R^dで一次元とすれば、これRは箱に任意の実数を入れる話と合う。アホやな～（＾＾
おサルは確率論・確率過程論が、サッパリってことが ばればれ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A2%BA%E7%8E%87%E9%81%8E%E7%A8%8B
確率過程
普通、T としては離散時間 T = {1, 2, 3, …} や連続時間 T = [0, ∞) を考え、状態空間 S としてはユークリッド空間 R^d や整数 Zを考える。
(引用終り)
>そもそも何が確率変数かすら誤解する君に
>時枝が正しく理解できるわけないよ
時枝については、いまや形勢は完全に逆転した
時枝が分かっていないのは、おサルさん、あなたですよ（＾＾
284現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/09(水) 07:19:02.84ID:ooZO5lQ5 >>277
>ああ、別に電磁気学とか解析力学は必要ないぞ
>それ、数学じゃないからな
>別に仕事のために、やったっていいけど
ちょっと古いが、「数学と物理学との交流」倉田 令二朗先生
”数学と物理学との交流”、ニュートンの昔からある
おサルは、常識の無い数学のオチコボレ
というか、”数学と物理学との交流”を知らないから、オチコボレたのじゃないかな？
「マキシム・コンセビッチ教授に聞く」下記 でも読んでみなさいよ
もっとも、おサルとは レベルが違いすぎるかもね
（参考）
https://www.morikita.co.jp/books/book/40
森北出版
数学ライブラリー27
数学と物理学との交流 POD版
河合文化教育研究所主任研究員理博倉田 令二朗(著)
（初版1972年4月刊行）
数学と物理学の二つの学問の交流の姿は，理工学を学ぶ人が一度は考えるべき課題である．
本書は，特に数学がいかにして物理学の諸法則を表現し，取り込んでいるかを記述．
1章 古典力学
2章 ベクトル解析
3章 複素変数関数
4章 フーリエ級数
5章 測度と積分
6章 フーリエ解析
7章 確率論と統計力学
8章 量子力学
https://www.ipmu.jp/sites/default/files/webfm/pdfs/news4/034-037-Interview.pdf
IPMU Interview 「マキシム・コンセビッチ教授に聞く」IPMU News?No. 4?December?2008
(抜粋)
斎藤 ウィッテン予想に出会うまでのことをお話しいただきましたが、それ以来、あなたは非常に多くの大きなテーマに関わってこられましたね。
コンセビッチ それ以前も私は多くの問題を取り上げ、まだ論文にしていない研究課題を数多く進めてきました。正直に言えば何でも屋の数学者なのです。
コンセビッチ 問題を解こうとはしません。私は自分で現状の定式化を試みるだけなのです。ウィッテン予想は、私が実際に解いた数少ない問題の一つです。
>ああ、別に電磁気学とか解析力学は必要ないぞ
>それ、数学じゃないからな
>別に仕事のために、やったっていいけど
ちょっと古いが、「数学と物理学との交流」倉田 令二朗先生
”数学と物理学との交流”、ニュートンの昔からある
おサルは、常識の無い数学のオチコボレ
というか、”数学と物理学との交流”を知らないから、オチコボレたのじゃないかな？
「マキシム・コンセビッチ教授に聞く」下記 でも読んでみなさいよ
もっとも、おサルとは レベルが違いすぎるかもね
（参考）
https://www.morikita.co.jp/books/book/40
森北出版
数学ライブラリー27
数学と物理学との交流 POD版
河合文化教育研究所主任研究員理博倉田 令二朗(著)
（初版1972年4月刊行）
数学と物理学の二つの学問の交流の姿は，理工学を学ぶ人が一度は考えるべき課題である．
本書は，特に数学がいかにして物理学の諸法則を表現し，取り込んでいるかを記述．
1章 古典力学
2章 ベクトル解析
3章 複素変数関数
4章 フーリエ級数
5章 測度と積分
6章 フーリエ解析
7章 確率論と統計力学
8章 量子力学
https://www.ipmu.jp/sites/default/files/webfm/pdfs/news4/034-037-Interview.pdf
IPMU Interview 「マキシム・コンセビッチ教授に聞く」IPMU News?No. 4?December?2008
(抜粋)
斎藤 ウィッテン予想に出会うまでのことをお話しいただきましたが、それ以来、あなたは非常に多くの大きなテーマに関わってこられましたね。
コンセビッチ それ以前も私は多くの問題を取り上げ、まだ論文にしていない研究課題を数多く進めてきました。正直に言えば何でも屋の数学者なのです。
コンセビッチ 問題を解こうとはしません。私は自分で現状の定式化を試みるだけなのです。ウィッテン予想は、私が実際に解いた数少ない問題の一つです。
285現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/09(水) 07:31:05.07ID:ooZO5lQ5 >>255
>岡だけでなく小平を持ち出した理由って
>ただただニッポン最高！っていいたいだけかい？
ここ、種本があってね
下記「現代幾何学の流れ」で
加藤文元先生が、「ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理」について書いている
そのP73に、1951年に小平先生が代数局面のリーマン・ロッホの定理を証明した、それに刺激を受けてセールが一般ｎ次元のリーマン・ロッホの定理を予想として出した
それを、きちんと証明したのが、ヒルツェブルフだと書いてある
それを読んだから、”セールの前に小平先生がいる”と、書いたわけだ（＾＾
（参考）
https://www.hmv.co.jp/artist_%E7%A0%82%E7%94%B0%E5%88%A9%E4%B8%80_200000000330595/item_%E7%8F%BE%E4%BB%A3%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6%E3%81%AE%E6%B5%81%E3%82%8C_3216277
現代幾何学の流れ 日本評論社 2007年10月
砂田利一
内容詳細
１９５０年代以降の幾何学の発展の様子を、研究に関わった数学者１８人にスポットを当てて紹介する。現代幾何学に至るまでの概要を理解できるとともに、これからの幾何学発展の方向性がわかる１冊。
【著者紹介】
砂田利一 : １９４８年東京で生まれる。１９７２年東京工業大学数学科を卒業、１９７４年東京大学大学院理学系研究科修士課程修了。名古屋大学、東京大学、東北大学にて教授を歴任し、現在は明治大学理工学部教授（本データはこの書籍が刊行された当時に掲載されていたものです）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%96%E3%83%AB%E3%83%95%E3%83%BB%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%AD%E3%83%83%E3%83%9B%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理
ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理(Hirzebruch?Riemann?Roch theorem)とは、1954年にフリードリッヒ・ヒルツェブルフ(Friedrich Hirzebruch)により証明された高次元の複素代数多様体に対するリーマン・ロッホの定理の一般化である。この定理のさらなる一般化としてグロタンディーク・ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理（英語版）およびアティヤ＝シンガーの指数定理がある。
>岡だけでなく小平を持ち出した理由って
>ただただニッポン最高！っていいたいだけかい？
ここ、種本があってね
下記「現代幾何学の流れ」で
加藤文元先生が、「ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理」について書いている
そのP73に、1951年に小平先生が代数局面のリーマン・ロッホの定理を証明した、それに刺激を受けてセールが一般ｎ次元のリーマン・ロッホの定理を予想として出した
それを、きちんと証明したのが、ヒルツェブルフだと書いてある
それを読んだから、”セールの前に小平先生がいる”と、書いたわけだ（＾＾
（参考）
https://www.hmv.co.jp/artist_%E7%A0%82%E7%94%B0%E5%88%A9%E4%B8%80_200000000330595/item_%E7%8F%BE%E4%BB%A3%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6%E3%81%AE%E6%B5%81%E3%82%8C_3216277
現代幾何学の流れ 日本評論社 2007年10月
砂田利一
内容詳細
１９５０年代以降の幾何学の発展の様子を、研究に関わった数学者１８人にスポットを当てて紹介する。現代幾何学に至るまでの概要を理解できるとともに、これからの幾何学発展の方向性がわかる１冊。
【著者紹介】
砂田利一 : １９４８年東京で生まれる。１９７２年東京工業大学数学科を卒業、１９７４年東京大学大学院理学系研究科修士課程修了。名古屋大学、東京大学、東北大学にて教授を歴任し、現在は明治大学理工学部教授（本データはこの書籍が刊行された当時に掲載されていたものです）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%96%E3%83%AB%E3%83%95%E3%83%BB%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%AD%E3%83%83%E3%83%9B%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理
ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理(Hirzebruch?Riemann?Roch theorem)とは、1954年にフリードリッヒ・ヒルツェブルフ(Friedrich Hirzebruch)により証明された高次元の複素代数多様体に対するリーマン・ロッホの定理の一般化である。この定理のさらなる一般化としてグロタンディーク・ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理（英語版）およびアティヤ＝シンガーの指数定理がある。
286現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/09(水) 07:32:49.91ID:ooZO5lQ5 おサルは、数学の知識の絶対量が不足しているね、アホやな
287現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/09(水) 07:37:19.79ID:ooZO5lQ5 雑多な知識を、闇雲に詰め込んでも仕方ない
が、ある程度の知識は、必要
それも、体系化されて、いろんな分野との繋がりを理解してね
自分で、自分なりに考えることも必要
おサルは、何にもないｗｗｗ（＾＾
が、ある程度の知識は、必要
それも、体系化されて、いろんな分野との繋がりを理解してね
自分で、自分なりに考えることも必要
おサルは、何にもないｗｗｗ（＾＾
288現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/09(水) 07:53:13.71ID:ooZO5lQ5 >>269 補足
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E8%AC%9B%E5%BA%A7_%E7%8F%BE%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%B8%E3%81%AE%E5%85%A5%E9%96%80
岩波講座 現代数学への入門
全10巻20分冊で構成され、第1次は1995年10月から1996年9月まで、第2次は1999年4月から2000年1月までに渡り刊行された。
(引用終り)
これみて、古いなと思うのは、いまどきのPC環境でなら、行列とか数式処理とか、軽くやれる
Mathematicaとかね
そして、21世紀の現代社会で扱う行列のサイズが、とても大きいこと。人間の手でやれるレベルを超えているってこと
群論もそう。群論ソフトがあるよね。そういう話が抜けていると思う
あるいは、下記”On Mochizuki’s idea of Anabelomorphy and its applications Kirti Joshi April 24, 2020”
を、ちらっと見ると、結構具体的な計算を、大量にしている
ああ、これ数式処理ソフト使っているなと思った。もう、そういう時代なんだなと思ったわけ
だから、岩波シリーズには、そういう視点が欠けているなと、思うわけです（＾＾；
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/Mathematica
Mathematica
https://arxiv.org/pdf/2003.01890.pdf
On Mochizuki’s idea of Anabelomorphy and
its applications
Kirti Joshi
April 24, 2020
P18
Table 4.1: Fragment of data on unamphoricity of discriminants of anabelomorphic
fields. Let L = Q(ζ9,√9 a) the table lists pairs [a, v(dL/Qp)]
P48
Let E : y2 = x3 + 3x2 + 9 and EK and EL be as above. Let ? be the minimal
discriminant (over the relevant field),
P51
Table 21.3: Fragment of data on weak unamphoricity of numerical invariants of elliptic curves
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E8%AC%9B%E5%BA%A7_%E7%8F%BE%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%B8%E3%81%AE%E5%85%A5%E9%96%80
岩波講座 現代数学への入門
全10巻20分冊で構成され、第1次は1995年10月から1996年9月まで、第2次は1999年4月から2000年1月までに渡り刊行された。
(引用終り)
これみて、古いなと思うのは、いまどきのPC環境でなら、行列とか数式処理とか、軽くやれる
Mathematicaとかね
そして、21世紀の現代社会で扱う行列のサイズが、とても大きいこと。人間の手でやれるレベルを超えているってこと
群論もそう。群論ソフトがあるよね。そういう話が抜けていると思う
あるいは、下記”On Mochizuki’s idea of Anabelomorphy and its applications Kirti Joshi April 24, 2020”
を、ちらっと見ると、結構具体的な計算を、大量にしている
ああ、これ数式処理ソフト使っているなと思った。もう、そういう時代なんだなと思ったわけ
だから、岩波シリーズには、そういう視点が欠けているなと、思うわけです（＾＾；
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/Mathematica
Mathematica
https://arxiv.org/pdf/2003.01890.pdf
On Mochizuki’s idea of Anabelomorphy and
its applications
Kirti Joshi
April 24, 2020
P18
Table 4.1: Fragment of data on unamphoricity of discriminants of anabelomorphic
fields. Let L = Q(ζ9,√9 a) the table lists pairs [a, v(dL/Qp)]
P48
Let E : y2 = x3 + 3x2 + 9 and EK and EL be as above. Let ? be the minimal
discriminant (over the relevant field),
P51
Table 21.3: Fragment of data on weak unamphoricity of numerical invariants of elliptic curves
289粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
2020/09/09(水) 11:54:32.20ID:vXPCbZUQ そもそも猿MaraオナホしごきPapiyas第六天(=他化自在天)魔王はPDFを読み通しとらんじゃろ
見なさいよと言われて見る人間もとい魔族ではない
見なさいよと言われて見る人間もとい魔族ではない
290現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/09(水) 16:16:20.12ID:mY76z1dO >>289
>そもそも猿MaraオナホしごきPapiyas第六天(=他化自在天)魔王はPDFを読み通しとらんじゃろ
>見なさいよと言われて見る人間もとい魔族ではない
どうも
そこは同意
そもそも、自分で引用する文典でさえ
おそらく読みも、あるいは理解していない・理解できない
虚勢のこけおどしです
それ、丸見えですね、アホサルですね（＾＾；
>そもそも猿MaraオナホしごきPapiyas第六天(=他化自在天)魔王はPDFを読み通しとらんじゃろ
>見なさいよと言われて見る人間もとい魔族ではない
どうも
そこは同意
そもそも、自分で引用する文典でさえ
おそらく読みも、あるいは理解していない・理解できない
虚勢のこけおどしです
それ、丸見えですね、アホサルですね（＾＾；
291１３２人目の素数さん
2020/09/09(水) 16:54:30.24ID:5ULagWCi その猿はアンタの数千万倍有能だけどな
292１３２人目の素数さん
2020/09/09(水) 19:06:19.47ID:RmImPufM >>283
>行列式とテンソルとは、殆ど脈絡がないぞｗ
ああ、やっぱり全然分かってないですね
まず、テンソルは多重線形写像です
次に、ｎ×ｎ行列の行列式は実はｎ個のｎ次元ベクトルの多重交代線形写像です
したがって、行列式はテンソルです
>行列式とテンソルとは、殆ど脈絡がないぞｗ
ああ、やっぱり全然分かってないですね
まず、テンソルは多重線形写像です
次に、ｎ×ｎ行列の行列式は実はｎ個のｎ次元ベクトルの多重交代線形写像です
したがって、行列式はテンソルです
293１３２人目の素数さん
2020/09/09(水) 19:10:31.71ID:RmImPufM294１３２人目の素数さん
2020/09/09(水) 19:13:13.35ID:RmImPufM >>284
無意味
>>285
>ここ、種本があってね
種本があっても、◆yH25M02vWFhPは
中身を全く理解してないから無意味
リーマン・ロッホは、連接性とは別の話
ヒルツェブルフなら微分可能多様体の符号数定理につながる
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B9%97%E6%B3%95%E5%88%97%E3%81%AE%E7%A8%AE%E6%95%B0#L-%E7%A8%AE%E6%95%B0%E3%81%A8%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%96%E3%83%AB%E3%83%95%E3%81%AE%E7%AC%A6%E5%8F%B7%E5%AE%9A%E7%90%86
ま、しかし、そもそもベクトル解析すら分かってない
◆yH25M02vWFhPにはチンプンカンプン
特性類なんて知らないだろ？
ああ、知らなくて結構
◆yH25M02vWFhPには決して理解できないから
無意味
>>285
>ここ、種本があってね
種本があっても、◆yH25M02vWFhPは
中身を全く理解してないから無意味
リーマン・ロッホは、連接性とは別の話
ヒルツェブルフなら微分可能多様体の符号数定理につながる
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B9%97%E6%B3%95%E5%88%97%E3%81%AE%E7%A8%AE%E6%95%B0#L-%E7%A8%AE%E6%95%B0%E3%81%A8%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%96%E3%83%AB%E3%83%95%E3%81%AE%E7%AC%A6%E5%8F%B7%E5%AE%9A%E7%90%86
ま、しかし、そもそもベクトル解析すら分かってない
◆yH25M02vWFhPにはチンプンカンプン
特性類なんて知らないだろ？
ああ、知らなくて結構
◆yH25M02vWFhPには決して理解できないから
295１３２人目の素数さん
2020/09/09(水) 19:17:00.26ID:RmImPufM296１３２人目の素数さん
2020/09/09(水) 19:18:14.24ID:RmImPufM >>288
>いまどきのPC環境でなら、
>数式処理とか、軽くやれる
>Mathematicaとかね
>群論もそう。群論ソフトがあるよね。
>ちらっと見ると、結構具体的な計算を、大量にしている
>ああ、これ数式処理ソフト使っているなと思った。
結局、◆yH25M02vWFhPにとって
数学とは「数式処理」かｗ
要するに、計算しか能がない「計算🐎🦌」か
だったら、行列式くらい理解しろよ ダラズが
>いまどきのPC環境でなら、
>数式処理とか、軽くやれる
>Mathematicaとかね
>群論もそう。群論ソフトがあるよね。
>ちらっと見ると、結構具体的な計算を、大量にしている
>ああ、これ数式処理ソフト使っているなと思った。
結局、◆yH25M02vWFhPにとって
数学とは「数式処理」かｗ
要するに、計算しか能がない「計算🐎🦌」か
だったら、行列式くらい理解しろよ ダラズが
297１３２人目の素数さん
2020/09/09(水) 19:21:17.97ID:RmImPufM298１３２人目の素数さん
2020/09/09(水) 19:44:13.33ID:RmImPufM 行列式の計算
http://techtipshoge.blogspot.com/2011/08/blog-post_23.html
行列式の定義式しか知らない馬鹿は、計算に無駄な手数をかける
しかし行列式の値を変えずに上三角行列に変換すれば
対角成分の積だけで計算できてしまう
こんなの大学で線形代数を学んだ学生は皆知ってるが
◆yH25M02vWFhPは大学に受からなかった馬鹿だから全然知るまい（嘲）
http://techtipshoge.blogspot.com/2011/08/blog-post_23.html
行列式の定義式しか知らない馬鹿は、計算に無駄な手数をかける
しかし行列式の値を変えずに上三角行列に変換すれば
対角成分の積だけで計算できてしまう
こんなの大学で線形代数を学んだ学生は皆知ってるが
◆yH25M02vWFhPは大学に受からなかった馬鹿だから全然知るまい（嘲）
299現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/09(水) 23:43:31.69ID:ooZO5lQ5 >>227 再録
題目 『 曲面の小平理論 』 https://youtu.be/WHoZBXH417A
資料 配布資料 (PDF) https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/docs/%E6%9B%B2%E9%9D%A2%E3%81%AE%E5%B0%8F%E5%B9%B3%E7%90%86%E8%AB%96.pdf
曲面の分類に関する小平理論 宮岡洋一 November 18, 2014
(>>229)
P13
3 層とそのコホモロジー
代数曲線のリーマン・ロッホ定理は，零点や極に条件をつけた大域的な有理
関数の言葉で記述できた。しかし２次元以上の話になると，曲線のようなわ
けにはいかなくなって，厳密な数学を展開するためには，層の概念が必要に
なる。層の概念の原型は岡潔の多変数関数論にすでに現れるが，以下に述べ
るような使いやすい形で述べたのは Leray である。古典的なイタリア学派は
代数曲面論を展開して深い結果を多数得たが，層とそのコホモロジー理論が
まだ使えなかったため，議論が非常にわかりにくいものになっている。以下
では層とそのコホモロジーについて，簡単に説明する。
(引用終り)
ここ大事
「3 層とそのコホモロジー
２次元以上の話になると，曲線のようなわ
けにはいかなくなって，厳密な数学を展開するためには，層の概念が必要に
なる。」
「古典的なイタリア学派は
代数曲面論を展開して深い結果を多数得たが，層とそのコホモロジー理論が
まだ使えなかったため，議論が非常にわかりにくいものになっている。以下
では層とそのコホモロジーについて，簡単に説明する。」
秋月先生も同じことをいう
（>>87より）
https://www.jstage.jst.go.jp/article/kisoron1954/1/2/1_2_59/_pdf
多様体の概念について(秋月康夫)科学基礎論研究January1955
(抜粋)
かかる不定域イデアルとか,層とかい
うような概念が生み出されざるを得なかった根本的な因
由は,実にn≧2なることに存する.n=1ならば問題は
なかった.η=1ならば,複素直線(即ちガウス平面)
の完備化(無限遠点を追加して閉じた面とする)は唯一通りよりなくわれわれの慣れている数球面(即ち射影直
線)を取ることであるに対し,n≧2の場合には複素アフィン空間の完備化は幾通りにも可能である.というよ
うに,n=1とn≧2とでは根本的な差があるのである.
(引用終り)
つづく
題目 『 曲面の小平理論 』 https://youtu.be/WHoZBXH417A
資料 配布資料 (PDF) https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/docs/%E6%9B%B2%E9%9D%A2%E3%81%AE%E5%B0%8F%E5%B9%B3%E7%90%86%E8%AB%96.pdf
曲面の分類に関する小平理論 宮岡洋一 November 18, 2014
(>>229)
P13
3 層とそのコホモロジー
代数曲線のリーマン・ロッホ定理は，零点や極に条件をつけた大域的な有理
関数の言葉で記述できた。しかし２次元以上の話になると，曲線のようなわ
けにはいかなくなって，厳密な数学を展開するためには，層の概念が必要に
なる。層の概念の原型は岡潔の多変数関数論にすでに現れるが，以下に述べ
るような使いやすい形で述べたのは Leray である。古典的なイタリア学派は
代数曲面論を展開して深い結果を多数得たが，層とそのコホモロジー理論が
まだ使えなかったため，議論が非常にわかりにくいものになっている。以下
では層とそのコホモロジーについて，簡単に説明する。
(引用終り)
ここ大事
「3 層とそのコホモロジー
２次元以上の話になると，曲線のようなわ
けにはいかなくなって，厳密な数学を展開するためには，層の概念が必要に
なる。」
「古典的なイタリア学派は
代数曲面論を展開して深い結果を多数得たが，層とそのコホモロジー理論が
まだ使えなかったため，議論が非常にわかりにくいものになっている。以下
では層とそのコホモロジーについて，簡単に説明する。」
秋月先生も同じことをいう
（>>87より）
https://www.jstage.jst.go.jp/article/kisoron1954/1/2/1_2_59/_pdf
多様体の概念について(秋月康夫)科学基礎論研究January1955
(抜粋)
かかる不定域イデアルとか,層とかい
うような概念が生み出されざるを得なかった根本的な因
由は,実にn≧2なることに存する.n=1ならば問題は
なかった.η=1ならば,複素直線(即ちガウス平面)
の完備化(無限遠点を追加して閉じた面とする)は唯一通りよりなくわれわれの慣れている数球面(即ち射影直
線)を取ることであるに対し,n≧2の場合には複素アフィン空間の完備化は幾通りにも可能である.というよ
うに,n=1とn≧2とでは根本的な差があるのである.
(引用終り)
つづく
300現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/09(水) 23:43:59.30ID:ooZO5lQ5 >>299
つづき
この話で、佐藤超関数を思い出す
一変数なら、簡単に一変数正則函数との境界上での「差」で定義できるが
しかし、多変数になると、オリジナルの佐藤理論では、層係数コホモロジー理論を使う必要があった（下記、片岡 清臣）
これは、是非覚えておくべき
層の理論は、上記 秋月康夫にあるように、”n≧2”で威力を発揮するということを！！（＾＾
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kiyoomi/microlocal/final2017slide.pdf
超局所解析と代数解析を巡って
片岡 清臣
２０１７年３月２１日，於：東京大学大学院数理科学研究科
(抜粋)
P4
１変数の佐藤超関数f(x)は
f(x) = F+(x + i0) F(x -i0)
と解析関数F±(z)を使って書けて直観的にもわかり易い．
しかしn変数佐藤超関数は
B(Rn) := HnRn(Cn; OCn)
のように解析関数の層OCnを係数とし，実軸Rnに台をもつ相対コホモロジー群の元として定義される．
従って，理解するには，多変数解析関数の基本的性質 + 層係数コホモロジー群の消滅定理
などかなりの予備知識が必要．
(引用終り)
以上
つづき
この話で、佐藤超関数を思い出す
一変数なら、簡単に一変数正則函数との境界上での「差」で定義できるが
しかし、多変数になると、オリジナルの佐藤理論では、層係数コホモロジー理論を使う必要があった（下記、片岡 清臣）
これは、是非覚えておくべき
層の理論は、上記 秋月康夫にあるように、”n≧2”で威力を発揮するということを！！（＾＾
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kiyoomi/microlocal/final2017slide.pdf
超局所解析と代数解析を巡って
片岡 清臣
２０１７年３月２１日，於：東京大学大学院数理科学研究科
(抜粋)
P4
１変数の佐藤超関数f(x)は
f(x) = F+(x + i0) F(x -i0)
と解析関数F±(z)を使って書けて直観的にもわかり易い．
しかしn変数佐藤超関数は
B(Rn) := HnRn(Cn; OCn)
のように解析関数の層OCnを係数とし，実軸Rnに台をもつ相対コホモロジー群の元として定義される．
従って，理解するには，多変数解析関数の基本的性質 + 層係数コホモロジー群の消滅定理
などかなりの予備知識が必要．
(引用終り)
以上
301現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/09(水) 23:46:28.82ID:ooZO5lQ5302現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/10(木) 00:12:11.84ID:5cvoq+AD >>292
＞したがって、行列式はテンソルです
あほサルがｗ
下記でも嫁め
特に、「1.1.8 ベクトルとテンソルの概念に関する簡単な歴史」
これ、すぐれものですよ！（＾＾
http://dyna.geo.kyushu-u.ac.jp/~yoshida/japanese/lecture/math-exercise/
地球惑星数理演習 九州大
http://dyna.geo.kyushu-u.ac.jp/~yoshida/japanese/lecture/math-exercise/vector-analysis-v_10_0.pdf
ベクトルとテンソル （吉田） v10.0 2020/03/14
目 次
第 1 章 ベクトル・テンソル解析 3
1.1 ベクトルとテンソル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 テンソルとは何だろうか？ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.8 ベクトルとテンソルの概念に関する簡単な歴史 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.1.8.1 18 世紀まで . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.1.8.2 ハミルトンの四元数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.1.8.3 19 世紀前半～ハミルトンの同時代人 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1.1.8.4 グラスマンとコーシー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1.1.8.5 1860?70 年代 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
1.1.8.6 ギブスとヘビサイドによる現代ベクトル解析の創始～1880 年代 . . . . 71
1.1.8.7 1890 年代前半の生存競争 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.1.8.8 現代的なベクトル解析の誕生～1894?1910 年 . . . . . . . . . . . . . . . 75
1.1.8.9 テンソル概念の歴史 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
＞したがって、行列式はテンソルです
あほサルがｗ
下記でも嫁め
特に、「1.1.8 ベクトルとテンソルの概念に関する簡単な歴史」
これ、すぐれものですよ！（＾＾
http://dyna.geo.kyushu-u.ac.jp/~yoshida/japanese/lecture/math-exercise/
地球惑星数理演習 九州大
http://dyna.geo.kyushu-u.ac.jp/~yoshida/japanese/lecture/math-exercise/vector-analysis-v_10_0.pdf
ベクトルとテンソル （吉田） v10.0 2020/03/14
目 次
第 1 章 ベクトル・テンソル解析 3
1.1 ベクトルとテンソル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 テンソルとは何だろうか？ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.8 ベクトルとテンソルの概念に関する簡単な歴史 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.1.8.1 18 世紀まで . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.1.8.2 ハミルトンの四元数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.1.8.3 19 世紀前半～ハミルトンの同時代人 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1.1.8.4 グラスマンとコーシー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1.1.8.5 1860?70 年代 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
1.1.8.6 ギブスとヘビサイドによる現代ベクトル解析の創始～1880 年代 . . . . 71
1.1.8.7 1890 年代前半の生存競争 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.1.8.8 現代的なベクトル解析の誕生～1894?1910 年 . . . . . . . . . . . . . . . 75
1.1.8.9 テンソル概念の歴史 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
303１３２人目の素数さん
2020/09/10(木) 02:16:30.00ID:e23m6Bgx >>283
じゃあ確率論・確率過程論でThe Riddle不成立を証明してみて
The Riddleは確率のかの字も使ってないけどがんばってね～
The Riddleを認めるなら箱入り無数目も認めるしかない
何故なら箱入り無数目は、The Riddleの「100人の数学者のうち99人以上が勝つ」を確率の言葉で言い換えただけだから
じゃあ確率論・確率過程論でThe Riddle不成立を証明してみて
The Riddleは確率のかの字も使ってないけどがんばってね～
The Riddleを認めるなら箱入り無数目も認めるしかない
何故なら箱入り無数目は、The Riddleの「100人の数学者のうち99人以上が勝つ」を確率の言葉で言い換えただけだから
304１３２人目の素数さん
2020/09/10(木) 02:21:21.07ID:e23m6Bgx Prussは1週間で間違いを認めた。
「we win with probability at least (n-1)/n. That's right.」
5年経っても認められない瀬田はピエロ。
「we win with probability at least (n-1)/n. That's right.」
5年経っても認められない瀬田はピエロ。
305１３２人目の素数さん
2020/09/10(木) 06:05:46.54ID:9gEGQrRx >>299-300
素人は文章だけで自由連想するしかできないから間違い続ける
哲学
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%93%B2%E5%AD%A6
哲学への批判 数学からの批判
数学者田中一之は
一般の哲学者は、論理の専門家ではない。
と述べ、計算機科学者（コンピュータ科学者）・電子工学者
トルケル゠フランセーンは、哲学者たちによる数学的な言及の多くが
ひどい誤解や自由連想に基づいている
と批判している。
田中によると、ゲーデルの不完全性定理について哲学者が書いた本が、
トルケル・フランセーンの本と同じ頃に書店販売されていたが、
哲学者の本は専門誌によって酷評された。
その本は全体として読みやすく一般読者からの評判は高かったが、
ゲーデルの証明の核（不動点定理）について、根
本的な勘違いをしたまま説明していた。
同様の間違いは他の入門書などにも見られる。
フランセーンによれば、不完全性定理のインパクトと重要性について、しばしば大げさな主張が繰り返されてきた[55]。たとえば
「数学の思考に変革をもたらした」「数学ばかりでなく、科学全体も一新した」 「数学だけではなく、哲学、言語学、計算機科学と宇宙論にまで革命を起こした」
という言があるが、これらは乱暴な誇張とされる[55]。不完全性定理が一番大きな衝撃を与えたと思われる数学においてさえ、「革命」らしきものは何も起きていない[55]。1931年にゲーデルが示した「不完全性定理」とは、「特定の形式体系{\displaystyle P}Pにおいて決定不能な命題の存在」であり、一般的な意味での「不完全性」についての定理ではない[56]。
素人は文章だけで自由連想するしかできないから間違い続ける
哲学
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%93%B2%E5%AD%A6
哲学への批判 数学からの批判
数学者田中一之は
一般の哲学者は、論理の専門家ではない。
と述べ、計算機科学者（コンピュータ科学者）・電子工学者
トルケル゠フランセーンは、哲学者たちによる数学的な言及の多くが
ひどい誤解や自由連想に基づいている
と批判している。
田中によると、ゲーデルの不完全性定理について哲学者が書いた本が、
トルケル・フランセーンの本と同じ頃に書店販売されていたが、
哲学者の本は専門誌によって酷評された。
その本は全体として読みやすく一般読者からの評判は高かったが、
ゲーデルの証明の核（不動点定理）について、根
本的な勘違いをしたまま説明していた。
同様の間違いは他の入門書などにも見られる。
フランセーンによれば、不完全性定理のインパクトと重要性について、しばしば大げさな主張が繰り返されてきた[55]。たとえば
「数学の思考に変革をもたらした」「数学ばかりでなく、科学全体も一新した」 「数学だけではなく、哲学、言語学、計算機科学と宇宙論にまで革命を起こした」
という言があるが、これらは乱暴な誇張とされる[55]。不完全性定理が一番大きな衝撃を与えたと思われる数学においてさえ、「革命」らしきものは何も起きていない[55]。1931年にゲーデルが示した「不完全性定理」とは、「特定の形式体系{\displaystyle P}Pにおいて決定不能な命題の存在」であり、一般的な意味での「不完全性」についての定理ではない[56]。
306１３２人目の素数さん
2020/09/10(木) 06:13:02.22ID:9gEGQrRx >>302
＞嫁め
君こそ「読め」 決して嫁むなｗ
◆yH25M02vWFhP への宿題
１．テンソルを数学的に定義せよ
２．行列式を数学的に定義せよ
３．行列式の数学的な定義が、テンソルの数学的な定義を満たすことを示せ
で・き・る・か・な 大学に入れなかったトーシロ―君ｗ
＞嫁め
君こそ「読め」 決して嫁むなｗ
◆yH25M02vWFhP への宿題
１．テンソルを数学的に定義せよ
２．行列式を数学的に定義せよ
３．行列式の数学的な定義が、テンソルの数学的な定義を満たすことを示せ
で・き・る・か・な 大学に入れなかったトーシロ―君ｗ
307１３２人目の素数さん
2020/09/10(木) 06:21:26.28ID:9gEGQrRx >>303-304
時枝に関する◆yH25M02vWFhPの初歩的誤解の指摘はこちら
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/167
時枝に関する◆yH25M02vWFhPの初歩的誤解の指摘はこちら
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/167
308１３２人目の素数さん
2020/09/10(木) 06:25:20.61ID:9gEGQrRx ◆yH25M02vWFhPの数学板への書き込み、とかけて
秋元真夏（乃木坂４６）の歌、と解く
その心は・・・
https://www.youtube.com/watch?v=-wL-m3mEP0M
オレは白石麻衣かｗ
秋元真夏（乃木坂４６）の歌、と解く
その心は・・・
https://www.youtube.com/watch?v=-wL-m3mEP0M
オレは白石麻衣かｗ
309１３２人目の素数さん
2020/09/10(木) 06:29:32.95ID:9gEGQrRx それではお口直しにこの曲をお聞きください
https://www.youtube.com/watch?v=aDBn4cbnAdg
＞こんなに歌上手い子が
＞ カレーに酢飯入れたり、
＞ 温度計のカバーを外さず直接油の中に入れたり、
＞ ぶりっ子してたり、
＞ やってる人だったり、
＞ カップラーメンが作れなかったり、
＞ にいまるという訳の分からないキャラクターを作ったり、
＞ Switchのあつまれどうぶつの森を300時間してる人
＞とは思えない
わはははははは
https://www.youtube.com/watch?v=aDBn4cbnAdg
＞こんなに歌上手い子が
＞ カレーに酢飯入れたり、
＞ 温度計のカバーを外さず直接油の中に入れたり、
＞ ぶりっ子してたり、
＞ やってる人だったり、
＞ カップラーメンが作れなかったり、
＞ にいまるという訳の分からないキャラクターを作ったり、
＞ Switchのあつまれどうぶつの森を300時間してる人
＞とは思えない
わはははははは
310１３２人目の素数さん
2020/09/10(木) 06:35:24.91ID:9gEGQrRx311現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/10(木) 06:37:05.39ID:5cvoq+AD >>301
＞その猿はアンタの数千万倍有能だけどな
なるほど
ｅ^{(芸能知識)x(数学ずっこけ)x(人をディする技)x(特に日本及び日本人数学者をディする)x(笑いをとる)x(ヒキコモリ)x(無職無収入で暮す技)}
たしかに、数千万倍かもねｗｗｗ（＾＾；
＞その猿はアンタの数千万倍有能だけどな
なるほど
ｅ^{(芸能知識)x(数学ずっこけ)x(人をディする技)x(特に日本及び日本人数学者をディする)x(笑いをとる)x(ヒキコモリ)x(無職無収入で暮す技)}
たしかに、数千万倍かもねｗｗｗ（＾＾；
312現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/10(木) 06:54:18.47ID:5cvoq+AD >>302 追加
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB
テンソル
https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor
Tensor
8 History
History
The concepts of later tensor analysis arose from the work of Carl Friedrich Gauss in differential geometry, and the formulation was much influenced by the theory of algebraic forms and invariants developed during the middle of the nineteenth century.[28] The word "tensor" itself was introduced in 1846 by William Rowan Hamilton[29] to describe something different from what is now meant by a tensor.[Note 3] The contemporary usage was introduced by Woldemar Voigt in 1898.[30]
Tensor calculus was developed around 1890 by Gregorio Ricci-Curbastro under the title absolute differential calculus, and originally presented by Ricci-Curbastro in 1892.[31] It was made accessible to many mathematicians by the publication of Ricci-Curbastro and Tullio Levi-Civita's 1900 classic text Methodes de calcul differentiel absolu et leurs applications (Methods of absolute differential calculus and their applications).[32]
In the 20th century, the subject came to be known as tensor analysis, and achieved broader acceptance with the introduction of Einstein's theory of general relativity, around 1915. General relativity is formulated completely in the language of tensors. Einstein had learned about them, with great difficulty, from the geometer Marcel Grossmann.[33] Levi-Civita then initiated a correspondence with Einstein to correct mistakes Einstein had made in his use of tensor analysis. The correspondence lasted 1915?17, and was characterized by mutual respect:
I admire the elegance of your method of computation; it must be nice to ride through these fields upon the horse of true mathematics while the like of us have to make our way laboriously on foot.
??Albert Einstein[34]
つづく
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB
テンソル
https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor
Tensor
8 History
History
The concepts of later tensor analysis arose from the work of Carl Friedrich Gauss in differential geometry, and the formulation was much influenced by the theory of algebraic forms and invariants developed during the middle of the nineteenth century.[28] The word "tensor" itself was introduced in 1846 by William Rowan Hamilton[29] to describe something different from what is now meant by a tensor.[Note 3] The contemporary usage was introduced by Woldemar Voigt in 1898.[30]
Tensor calculus was developed around 1890 by Gregorio Ricci-Curbastro under the title absolute differential calculus, and originally presented by Ricci-Curbastro in 1892.[31] It was made accessible to many mathematicians by the publication of Ricci-Curbastro and Tullio Levi-Civita's 1900 classic text Methodes de calcul differentiel absolu et leurs applications (Methods of absolute differential calculus and their applications).[32]
In the 20th century, the subject came to be known as tensor analysis, and achieved broader acceptance with the introduction of Einstein's theory of general relativity, around 1915. General relativity is formulated completely in the language of tensors. Einstein had learned about them, with great difficulty, from the geometer Marcel Grossmann.[33] Levi-Civita then initiated a correspondence with Einstein to correct mistakes Einstein had made in his use of tensor analysis. The correspondence lasted 1915?17, and was characterized by mutual respect:
I admire the elegance of your method of computation; it must be nice to ride through these fields upon the horse of true mathematics while the like of us have to make our way laboriously on foot.
??Albert Einstein[34]
つづく
313現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/10(木) 06:54:42.10ID:5cvoq+AD >>312
つづき
Tensors were also found to be useful in other fields such as continuum mechanics. Some well-known examples of tensors in differential geometry are quadratic forms such as metric tensors, and the Riemann curvature tensor. The exterior algebra of Hermann Grassmann, from the middle of the nineteenth century, is itself a tensor theory, and highly geometric, but it was some time before it was seen, with the theory of differential forms, as naturally unified with tensor calculus. The work of Elie Cartan made differential forms one of the basic kinds of tensors used in mathematics.
From about the 1920s onwards, it was realised that tensors play a basic role in algebraic topology (for example in the Kunneth theorem).[35] Correspondingly there are types of tensors at work in many branches of abstract algebra, particularly in homological algebra and representation theory. Multilinear algebra can be developed in greater generality than for scalars coming from a field. For example, scalars can come from a ring. But the theory is then less geometric and computations more technical and less algorithmic.[36] Tensors are generalized within category theory by means of the concept of monoidal category, from the 1960s.[37]
(引用終り)
以上
つづき
Tensors were also found to be useful in other fields such as continuum mechanics. Some well-known examples of tensors in differential geometry are quadratic forms such as metric tensors, and the Riemann curvature tensor. The exterior algebra of Hermann Grassmann, from the middle of the nineteenth century, is itself a tensor theory, and highly geometric, but it was some time before it was seen, with the theory of differential forms, as naturally unified with tensor calculus. The work of Elie Cartan made differential forms one of the basic kinds of tensors used in mathematics.
From about the 1920s onwards, it was realised that tensors play a basic role in algebraic topology (for example in the Kunneth theorem).[35] Correspondingly there are types of tensors at work in many branches of abstract algebra, particularly in homological algebra and representation theory. Multilinear algebra can be developed in greater generality than for scalars coming from a field. For example, scalars can come from a ring. But the theory is then less geometric and computations more technical and less algorithmic.[36] Tensors are generalized within category theory by means of the concept of monoidal category, from the 1960s.[37]
(引用終り)
以上
314現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/10(木) 06:57:53.06ID:5cvoq+AD315現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/10(木) 07:25:08.00ID:5cvoq+AD 突然ですが
（>>32 再録）
（参考）
https://www.rs.tus.ac.jp/a25594/2019_Module_Theory_20190620ver.pdf
東京理科大学理工学部数学科 加塩 朋和
代数学３ 加群論 (2019)加塩 朋和
P4
・ R は (必ずしも可換とは限らない) 環とする.
P5
問題 1. M2(Z) × Z^2 → Z^2,
([ a b [x
c d ] , y ])
→
[a b [ x
c d ] y ]
=
[ax+by
cx+dy ]
と置く. Z^2 は左 M2(Z)-加群であることを示せ.
P6
例 6. (1) R の部分集合 I に対し
I は R の左イデアル ⇔ I は (R 自身を左 R-加群と見たとき) R の部分加群.
よって, このとき左剰余集合 R/I も左 R-加群となる.
P11
注意 16. 体以外の環上の加群では, 必ずしも基底は取れない. 例えば R = Z, M = Z/nZ
に対し
R × M → M, (a, b mod n) → a(b mod n) := ab mod n
とおけば M は R 加群になる (∵ 例 6-(1)). このとき
∀b mod n ∈ M, n(b mod n) = 0M
であるから, M から一次独立な元はとることができない.
問題 6. 自由加群はねじれ無し加群であることを示せ.
問題 7. 問題 1 の左 M2(Z)-加群 Z^2 を考える. このとき
(1) Z^2 は (左 M2(Z) 加群として) ねじれ無し加群である.
(2) Z^2 は (左 M2(Z) 加群として) 自由加群でない.
ことを示せ.
略解.
（略）
前スレより再録
純粋・応用数学（含むガロア理論）3
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/590
https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~tnomura/EdAct/nomura060730.pdf
行列の世界で代数・幾何・解析 九州大学公開講座 「現代数学入門」 （2006年7月30日） 野村隆昭
（九州大学 大学院数理学研究院 教授）
(抜粋)
P27
（え）n次正定値4元数エルミート行列全体(n=2)
4元数を成分とするn次正方行列X=(xij)で，すべてのi,j
（ただし1<=i<=j<=n）に対してxji=xijとなるとき，Xを4元数エルミート行列と言います．
（お）3次正定値8元数エルミート行列全体
8元数を成分とするn次正方行列X=(xij)で，すべてのi,j（ただし1<=i<=j<=n）に対してxji=xijとなるとき，Xを8元数エルミート行列と言います．
(引用終り)
（>>32 再録）
（参考）
https://www.rs.tus.ac.jp/a25594/2019_Module_Theory_20190620ver.pdf
東京理科大学理工学部数学科 加塩 朋和
代数学３ 加群論 (2019)加塩 朋和
P4
・ R は (必ずしも可換とは限らない) 環とする.
P5
問題 1. M2(Z) × Z^2 → Z^2,
([ a b [x
c d ] , y ])
→
[a b [ x
c d ] y ]
=
[ax+by
cx+dy ]
と置く. Z^2 は左 M2(Z)-加群であることを示せ.
P6
例 6. (1) R の部分集合 I に対し
I は R の左イデアル ⇔ I は (R 自身を左 R-加群と見たとき) R の部分加群.
よって, このとき左剰余集合 R/I も左 R-加群となる.
P11
注意 16. 体以外の環上の加群では, 必ずしも基底は取れない. 例えば R = Z, M = Z/nZ
に対し
R × M → M, (a, b mod n) → a(b mod n) := ab mod n
とおけば M は R 加群になる (∵ 例 6-(1)). このとき
∀b mod n ∈ M, n(b mod n) = 0M
であるから, M から一次独立な元はとることができない.
問題 6. 自由加群はねじれ無し加群であることを示せ.
問題 7. 問題 1 の左 M2(Z)-加群 Z^2 を考える. このとき
(1) Z^2 は (左 M2(Z) 加群として) ねじれ無し加群である.
(2) Z^2 は (左 M2(Z) 加群として) 自由加群でない.
ことを示せ.
略解.
（略）
前スレより再録
純粋・応用数学（含むガロア理論）3
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/590
https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~tnomura/EdAct/nomura060730.pdf
行列の世界で代数・幾何・解析 九州大学公開講座 「現代数学入門」 （2006年7月30日） 野村隆昭
（九州大学 大学院数理学研究院 教授）
(抜粋)
P27
（え）n次正定値4元数エルミート行列全体(n=2)
4元数を成分とするn次正方行列X=(xij)で，すべてのi,j
（ただし1<=i<=j<=n）に対してxji=xijとなるとき，Xを4元数エルミート行列と言います．
（お）3次正定値8元数エルミート行列全体
8元数を成分とするn次正方行列X=(xij)で，すべてのi,j（ただし1<=i<=j<=n）に対してxji=xijとなるとき，Xを8元数エルミート行列と言います．
(引用終り)
316現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/10(木) 10:04:57.09ID:pX4bxpjH 自分の大失言を、取り繕うため、必死に他人のあら探ししてる～ｗ
意図が見え見えで、笑えるわ（＾＾
だがな、他人を攻撃しても、自分の失言は、どうしようもないよね
「自然数Ｎが、群の例？」
「したがって、行列式はテンソルです」？
なんじゃ、そりゃ？
アホじゃん。おれと良い勝負だよｗ（＾＾；
（https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/131より）
(引用開始)
「例えば群の例で、自然数しか思いつかないようなもん
で唯一の例を根拠に「群の演算は可換！」とか言いきったら馬鹿」
って、自然数Ｎが、群の例？
ああ、wikipedia 「自然数（しぜんすう、英: natural number）とは、個数、もしくは順番を表す一群の数のことである」
を誤読したか？
（>>292より）
「まず、テンソルは多重線形写像です
次に、ｎ×ｎ行列の行列式は実はｎ個のｎ次元ベクトルの多重交代線形写像です
したがって、行列式はテンソルです」笑える（＾＾
ｽﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!!!
。 。
。 ｡ 。 。 ﾟ
。 ｡ﾟ。゜。 ﾟ｡ 。
/ ／/ ／ ／
( Д ) Д)Д))
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F
行列式
n-次外積の普遍性により、行列式とは行列の各行の縦ベクトルに関する n-重交代線型写像で単位行列について 1 を与えるようなものとして特徴づけられることがわかる。
意図が見え見えで、笑えるわ（＾＾
だがな、他人を攻撃しても、自分の失言は、どうしようもないよね
「自然数Ｎが、群の例？」
「したがって、行列式はテンソルです」？
なんじゃ、そりゃ？
アホじゃん。おれと良い勝負だよｗ（＾＾；
（https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/131より）
(引用開始)
「例えば群の例で、自然数しか思いつかないようなもん
で唯一の例を根拠に「群の演算は可換！」とか言いきったら馬鹿」
って、自然数Ｎが、群の例？
ああ、wikipedia 「自然数（しぜんすう、英: natural number）とは、個数、もしくは順番を表す一群の数のことである」
を誤読したか？
（>>292より）
「まず、テンソルは多重線形写像です
次に、ｎ×ｎ行列の行列式は実はｎ個のｎ次元ベクトルの多重交代線形写像です
したがって、行列式はテンソルです」笑える（＾＾
ｽﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!!!
。 。
。 ｡ 。 。 ﾟ
。 ｡ﾟ。゜。 ﾟ｡ 。
/ ／/ ／ ／
( Д ) Д)Д))
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F
行列式
n-次外積の普遍性により、行列式とは行列の各行の縦ベクトルに関する n-重交代線型写像で単位行列について 1 を与えるようなものとして特徴づけられることがわかる。
317現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/10(木) 10:06:31.75ID:pX4bxpjH やれやれ、頭くさってんのか？
アホも、ここまでくれば、名人芸だな
（>>292より）
「まず、テンソルは多重線形写像です
次に、ｎ×ｎ行列の行列式は実はｎ個のｎ次元ベクトルの多重交代線形写像です
したがって、行列式はテンソルです」笑える（＾＾
ｽﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!!!
。 。
。 ｡ 。 。 ﾟ
。 ｡ﾟ。゜。 ﾟ｡ 。
/ ／/ ／ ／
( Д ) Д)Д))
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F
行列式
n-次外積の普遍性により、行列式とは行列の各行の縦ベクトルに関する n-重交代線型写像で単位行列について 1 を与えるようなものとして特徴づけられることがわかる。
アホも、ここまでくれば、名人芸だな
（>>292より）
「まず、テンソルは多重線形写像です
次に、ｎ×ｎ行列の行列式は実はｎ個のｎ次元ベクトルの多重交代線形写像です
したがって、行列式はテンソルです」笑える（＾＾
ｽﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!!!
。 。
。 ｡ 。 。 ﾟ
。 ｡ﾟ。゜。 ﾟ｡ 。
/ ／/ ／ ／
( Д ) Д)Д))
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F
行列式
n-次外積の普遍性により、行列式とは行列の各行の縦ベクトルに関する n-重交代線型写像で単位行列について 1 を与えるようなものとして特徴づけられることがわかる。
318１３２人目の素数さん
2020/09/10(木) 12:06:49.20ID:e23m6Bgx 早く確率論・確率過程論でThe Riddle不成立を証明して下さいねー
319１３２人目の素数さん
2020/09/10(木) 12:09:27.18ID:e23m6Bgx The Riddleは確率は一切使ってないのに確率論・確率過程論で否定できると聞いてどんな証明なのか首を長くして待ってますから、早くお願いしますねー
320１３２人目の素数さん
2020/09/10(木) 19:10:55.06ID:9gEGQrRx >>316-317
＞行列式
＞n-次外積の普遍性により、
＞行列式とは行列の各行の縦ベクトルに関する n-重交代線型写像で
＞単位行列について 1 を与えるようなものとして特徴づけられることがわかる。
じゃ、テンソルじゃん
◆yH25M02vWFhP そんなことも理解できないパクチー野郎なの？
脳味噌、💩なの
＞行列式
＞n-次外積の普遍性により、
＞行列式とは行列の各行の縦ベクトルに関する n-重交代線型写像で
＞単位行列について 1 を与えるようなものとして特徴づけられることがわかる。
じゃ、テンソルじゃん
◆yH25M02vWFhP そんなことも理解できないパクチー野郎なの？
脳味噌、💩なの
321粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
2020/09/10(木) 19:43:09.43ID:xYowPdSr ん？
言うたらテンソルやな
の、乗り。M1が始まったか？
言うたらテンソルやな
の、乗り。M1が始まったか？
322現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/11(金) 07:48:52.84ID:dt7uB+gp ディープラーニングのテンソルと、物理学のテンソルと、数学の代数のテンソルと、それぞれ意味（定義）が微妙に違う（＾＾；
・ディープラーニングのテンソルは、下記のブログの通り、単に多次元の数の配列で、それをコンピュータプログラムとして計算するための意味
・物理学のテンソルは、下記の「ベクトルとテンソル （吉田）」にあるように、具体的な物理現象を解析するための道具で、主にテンソルの成分表示を使う
（この意味のテンソルでは、”[注意] 行列で書けるものは、何でもテンソルというわけではない。たとえば、上の座標変換の行列 (Rij ) は、定義からしてテンソルではない”とあるように、ディープラーニングよりも制限された意味になる）
・代数のテンソルの定義は、成分表示を使わない（下記 テンソルwikipedia、雪江の代数本にも出ている ）
（これは、上記の物理学のテンソルと一致するが、（吉田）よりヘルマン・ワイルのご意見（『空間・時間・物質』）も引用しておいたので、ご参照ください）
（参考）
https://blog.apar.jp/deep-learning/12121/
あぱーブログ
ディープラーニングの数学「スカラー・ベクトル・行列・テンソル」とは？
(抜粋)
ディープラーニングの解説では「スカラー・ベクトル・行列・テンソル」という言葉がよく出てきます。これらは、数値をまとめてあつかうための数学の便利な仕組みなのですが、私をふくめ数学が苦手な方にとっては「～をベクトルにして」とか「行列とスカラーを計算するには～」と言われると、おそろしく難解なことに思えるのではないでしょうか？ そこで今回は、「スカラー・ベクトル・行列・テンソル」についてまとめてみました。
もくじ
1.スカラー
2.ベクトル
3.行列
4.テンソル
5.おわりに
つづく
・ディープラーニングのテンソルは、下記のブログの通り、単に多次元の数の配列で、それをコンピュータプログラムとして計算するための意味
・物理学のテンソルは、下記の「ベクトルとテンソル （吉田）」にあるように、具体的な物理現象を解析するための道具で、主にテンソルの成分表示を使う
（この意味のテンソルでは、”[注意] 行列で書けるものは、何でもテンソルというわけではない。たとえば、上の座標変換の行列 (Rij ) は、定義からしてテンソルではない”とあるように、ディープラーニングよりも制限された意味になる）
・代数のテンソルの定義は、成分表示を使わない（下記 テンソルwikipedia、雪江の代数本にも出ている ）
（これは、上記の物理学のテンソルと一致するが、（吉田）よりヘルマン・ワイルのご意見（『空間・時間・物質』）も引用しておいたので、ご参照ください）
（参考）
https://blog.apar.jp/deep-learning/12121/
あぱーブログ
ディープラーニングの数学「スカラー・ベクトル・行列・テンソル」とは？
(抜粋)
ディープラーニングの解説では「スカラー・ベクトル・行列・テンソル」という言葉がよく出てきます。これらは、数値をまとめてあつかうための数学の便利な仕組みなのですが、私をふくめ数学が苦手な方にとっては「～をベクトルにして」とか「行列とスカラーを計算するには～」と言われると、おそろしく難解なことに思えるのではないでしょうか？ そこで今回は、「スカラー・ベクトル・行列・テンソル」についてまとめてみました。
もくじ
1.スカラー
2.ベクトル
3.行列
4.テンソル
5.おわりに
つづく
323現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/11(金) 07:49:11.63ID:dt7uB+gp >>322
つづき
4.テンソル
スカラー（単なる数値）を、タテにならべたりヨコにならべたり（ベクトル）、タテヨコにならべたり（行列）、タテヨコナナメなど複数に並べもの（３次元以上の配列）をまとめて「テンソル」と呼びます。
スカラー、ベクトル、行列もテンソルのひとつなのですが、テンソルという言葉で表すと次のようになります。添字の数すなわちプログラムで言うところの配列の次元数がそのままテンソルの階数になります。
スカラー（０次元の配列） ０階のテンソル
ベクトル（１次元の配列 １階のテンソル
行列（２次元の配列） ２階のテンソル
（３次元の配列） ３階のテンソル
（４次元の配列） ４階のテンソル
・・・
（X次元の配列） X階のテンソル
３次元以上の配列は決まった呼び方がありませんので、３階のテンソル、４階のテンソルのように表現します。
例えば「３階のテンソル」すなわち「３次元の配列」を Python で表すと次のようになります。
つづく
つづき
4.テンソル
スカラー（単なる数値）を、タテにならべたりヨコにならべたり（ベクトル）、タテヨコにならべたり（行列）、タテヨコナナメなど複数に並べもの（３次元以上の配列）をまとめて「テンソル」と呼びます。
スカラー、ベクトル、行列もテンソルのひとつなのですが、テンソルという言葉で表すと次のようになります。添字の数すなわちプログラムで言うところの配列の次元数がそのままテンソルの階数になります。
スカラー（０次元の配列） ０階のテンソル
ベクトル（１次元の配列 １階のテンソル
行列（２次元の配列） ２階のテンソル
（３次元の配列） ３階のテンソル
（４次元の配列） ４階のテンソル
・・・
（X次元の配列） X階のテンソル
３次元以上の配列は決まった呼び方がありませんので、３階のテンソル、４階のテンソルのように表現します。
例えば「３階のテンソル」すなわち「３次元の配列」を Python で表すと次のようになります。
つづく
324現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/11(金) 07:49:36.81ID:dt7uB+gp >>323
つづき
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB
テンソル
目次
1 いくつかのアプローチ
2 数学的定義
2.1 多重線型写像としての取り扱い
2.2 テンソル積に基づく定義
（>>302より）
http://dyna.geo.kyushu-u.ac.jp/~yoshida/japanese/lecture/math-exercise/
地球惑星数理演習 九州大
http://dyna.geo.kyushu-u.ac.jp/~yoshida/japanese/lecture/math-exercise/vector-analysis-v_10_0.pdf
ベクトルとテンソル （吉田） v10.0 2020/03/14
P3
1.1 ベクトルとテンソル
。1.1.6 節では、ここまでの学
習を踏まえて、物理学の世界と数学の世界をどう結ぶのかを改めて考え直す。普段はあまり気
にしなくても良いのだが、物理学においては、性質（たとえば単位）の異なるベクトルを同じ
図の上に書くことが良くある。でも本当は、単位が違うものは同じ空間に属してはいない。そ
のような問題を考えてゆく。1.1.7 節は正規直交座標系ではない座標系の取扱いである。
ベクトルとテンソルの定義の仕方にはいろいろな流儀があるのだが、あまり一般的にしすぎ
ると抽象的になりすぎるので、物理学で一番よく使われるであろう形でまず定義をする。ただ、
それだけだと狭くなる意味もあって、後から拡張してゆく。まず、ベクトルは矢印、テンソル
はベクトルからベクトルへの線形関数（比例関係を表す）であると定義する。それだけだとベ
クトルとテンソルは全く別のものということになるのだが、実際は共通する性質があって、ベ
クトルもテンソルの一種だととらえられることを説明してゆく。
さらに、ここで考えるのは３次元ユークリッド空間に限ることにする。座標系もほぼデカル
ト座標に限る。
つづく
つづき
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB
テンソル
目次
1 いくつかのアプローチ
2 数学的定義
2.1 多重線型写像としての取り扱い
2.2 テンソル積に基づく定義
（>>302より）
http://dyna.geo.kyushu-u.ac.jp/~yoshida/japanese/lecture/math-exercise/
地球惑星数理演習 九州大
http://dyna.geo.kyushu-u.ac.jp/~yoshida/japanese/lecture/math-exercise/vector-analysis-v_10_0.pdf
ベクトルとテンソル （吉田） v10.0 2020/03/14
P3
1.1 ベクトルとテンソル
。1.1.6 節では、ここまでの学
習を踏まえて、物理学の世界と数学の世界をどう結ぶのかを改めて考え直す。普段はあまり気
にしなくても良いのだが、物理学においては、性質（たとえば単位）の異なるベクトルを同じ
図の上に書くことが良くある。でも本当は、単位が違うものは同じ空間に属してはいない。そ
のような問題を考えてゆく。1.1.7 節は正規直交座標系ではない座標系の取扱いである。
ベクトルとテンソルの定義の仕方にはいろいろな流儀があるのだが、あまり一般的にしすぎ
ると抽象的になりすぎるので、物理学で一番よく使われるであろう形でまず定義をする。ただ、
それだけだと狭くなる意味もあって、後から拡張してゆく。まず、ベクトルは矢印、テンソル
はベクトルからベクトルへの線形関数（比例関係を表す）であると定義する。それだけだとベ
クトルとテンソルは全く別のものということになるのだが、実際は共通する性質があって、ベ
クトルもテンソルの一種だととらえられることを説明してゆく。
さらに、ここで考えるのは３次元ユークリッド空間に限ることにする。座標系もほぼデカル
ト座標に限る。
つづく
325現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/11(金) 07:49:56.01ID:dt7uB+gp >>324
つづき
P11
1.1.1.4 [参考] 「矢印」ではないベクトルについて
1.1.1.1 節でも触れたとおり、ベクトル空間（線形空間）という概念は「矢印」を超えて拡張
できる。数学では、「矢印」のような具体的なイメージのあるものを用いてものごとを定義して
しまうと、拡張性が制限されることになるのでできるだけ避けようとする。そこで、1.1.1.1 節
の最後の方で説明したように、簡単に言えば、和と定数倍が定義できるということだけを抽象
的にベクトル空間の定義として用いる。さらに内積が定義されるベクトル空間のことを内積空
間という。以下に「矢印」ではない「ベクトル」の例を２つ挙げる。
1.1.1.4.1 ベクトルとしての行列 m × n 行列が作る空間 M(m, n) は mn 次元の線型空間で
ある。和と定数倍が自然に定義されるからである。基底としては、第 i 行、第 j 列の成分のみ
が 1 でそれ以外の成分が 0 という行列 eij を取ることができる。
この意味では、行列もベクトルだという言い方ができる。しかし、このように行列をベクト
ルと言ってしまうと、座標変換行列やテンソルもベクトルということになって、本講義では大
混乱を招くことになってしまう。本講義では「ベクトル」は「矢印」しか指さないということ
にする。本講義（テンソル解析）の用語では、座標変換行列はベクトルではなく、後述のよう
にベクトルは１階のテンソルともいえるが、それ以外のテンソルはベクトルではない。
1.1.1.4.2 ベクトルとしての関数 関数もベクトルだと考えることもできる（詳しくは、関数
解析の教科書を参照すること）。本講義でも、第２章の１回目でそのような考え方が出てくる。
関数にも和やスカラー倍が定義できるし、内積とか座標変換も考えられる。関数が作るベクト
ル空間を関数空間と言う。
1.1.2 テンソルとは何だろうか？
テンソルとは、数学的にはどういう量であるべきだろうか？ここでは、具体的な例として地
下水の流れに関係する浸透率テンソルと岩石の変形に関係する変形勾配テンソルの２つを導入
することからテンソルが持っている性質を考えてゆくことにする。
つづく
つづき
P11
1.1.1.4 [参考] 「矢印」ではないベクトルについて
1.1.1.1 節でも触れたとおり、ベクトル空間（線形空間）という概念は「矢印」を超えて拡張
できる。数学では、「矢印」のような具体的なイメージのあるものを用いてものごとを定義して
しまうと、拡張性が制限されることになるのでできるだけ避けようとする。そこで、1.1.1.1 節
の最後の方で説明したように、簡単に言えば、和と定数倍が定義できるということだけを抽象
的にベクトル空間の定義として用いる。さらに内積が定義されるベクトル空間のことを内積空
間という。以下に「矢印」ではない「ベクトル」の例を２つ挙げる。
1.1.1.4.1 ベクトルとしての行列 m × n 行列が作る空間 M(m, n) は mn 次元の線型空間で
ある。和と定数倍が自然に定義されるからである。基底としては、第 i 行、第 j 列の成分のみ
が 1 でそれ以外の成分が 0 という行列 eij を取ることができる。
この意味では、行列もベクトルだという言い方ができる。しかし、このように行列をベクト
ルと言ってしまうと、座標変換行列やテンソルもベクトルということになって、本講義では大
混乱を招くことになってしまう。本講義では「ベクトル」は「矢印」しか指さないということ
にする。本講義（テンソル解析）の用語では、座標変換行列はベクトルではなく、後述のよう
にベクトルは１階のテンソルともいえるが、それ以外のテンソルはベクトルではない。
1.1.1.4.2 ベクトルとしての関数 関数もベクトルだと考えることもできる（詳しくは、関数
解析の教科書を参照すること）。本講義でも、第２章の１回目でそのような考え方が出てくる。
関数にも和やスカラー倍が定義できるし、内積とか座標変換も考えられる。関数が作るベクト
ル空間を関数空間と言う。
1.1.2 テンソルとは何だろうか？
テンソルとは、数学的にはどういう量であるべきだろうか？ここでは、具体的な例として地
下水の流れに関係する浸透率テンソルと岩石の変形に関係する変形勾配テンソルの２つを導入
することからテンソルが持っている性質を考えてゆくことにする。
つづく
326現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/11(金) 07:50:17.05ID:dt7uB+gp >>325
つづき
P21
1.1.2.10 テンソルの座標変換による定義～テンソルの古典的定義
テンソルを成分の座標変換規則をもって定義することができる。こ
れがテンソルの古典的な定義である。
ベクトルは、１階のテンソルという言い方もできる。０階のテンソルをスカラーと呼ぶ。スカラーは、座標変換に対して変化しない。
[注意] 行列で書けるものは、何でもテンソルというわけではない。たとえば、上の座標変換の
行列 (Rij ) は、定義からしてテンソルではない。同様に、数であれば何でもスカラーとい
うわけではない。スカラーは座標変換に対して変化しない量を指すのだから、たとえば、
ベクトル v の第１成分の v1 のような量はスカラーではない。座標変換の際に変化してし
まうからである。
しかし、このベクトルやテンソルの定義は、数学屋さん的には少し気持ち悪い。というのは、
この定義で用いられている「成分」は、1.1.1.2 節でベクトルを説明するときに解説したように、
「見かけの量」だからである。言い換えると、定義に現れている数（成分）が座標系に依存して
いる。だから、数学的には成分を使わないで（座標系に依存しない形で）定義したい。それに、
上の「注意」で述べたような単なる行列とテンソルの区別も、成分で書くと同じように見える
ので紛らわしい。そこで、先のように線形写像で定義しておくのがスマートである。
とはいえ、上のように成分を用いた定義が良い点もある*注）10。ひとつは、スカラーやベクトル
がテンソルの一種ととらえられることがはっきり分かる点であり、もうひとつは、座標変換が
直接出ているので実用的である点である。
本当のことを言えば、ベクトルが矢印で表されるように、テンソルも図を使って表される何
かであると言いたい。でも、なかなか図では描けないので、テンソルの定義がいろいろ持って
回った感じになっている。図を描こうとすると、地震学でモーメントテンソルを表すのに使う
「ビーチボール」くらいなものだが、これもトレース０の対称テンソルでないと使いづらい（「ト
レース０」「対称テンソル」の意味は後述）。
つづく
つづき
P21
1.1.2.10 テンソルの座標変換による定義～テンソルの古典的定義
テンソルを成分の座標変換規則をもって定義することができる。こ
れがテンソルの古典的な定義である。
ベクトルは、１階のテンソルという言い方もできる。０階のテンソルをスカラーと呼ぶ。スカラーは、座標変換に対して変化しない。
[注意] 行列で書けるものは、何でもテンソルというわけではない。たとえば、上の座標変換の
行列 (Rij ) は、定義からしてテンソルではない。同様に、数であれば何でもスカラーとい
うわけではない。スカラーは座標変換に対して変化しない量を指すのだから、たとえば、
ベクトル v の第１成分の v1 のような量はスカラーではない。座標変換の際に変化してし
まうからである。
しかし、このベクトルやテンソルの定義は、数学屋さん的には少し気持ち悪い。というのは、
この定義で用いられている「成分」は、1.1.1.2 節でベクトルを説明するときに解説したように、
「見かけの量」だからである。言い換えると、定義に現れている数（成分）が座標系に依存して
いる。だから、数学的には成分を使わないで（座標系に依存しない形で）定義したい。それに、
上の「注意」で述べたような単なる行列とテンソルの区別も、成分で書くと同じように見える
ので紛らわしい。そこで、先のように線形写像で定義しておくのがスマートである。
とはいえ、上のように成分を用いた定義が良い点もある*注）10。ひとつは、スカラーやベクトル
がテンソルの一種ととらえられることがはっきり分かる点であり、もうひとつは、座標変換が
直接出ているので実用的である点である。
本当のことを言えば、ベクトルが矢印で表されるように、テンソルも図を使って表される何
かであると言いたい。でも、なかなか図では描けないので、テンソルの定義がいろいろ持って
回った感じになっている。図を描こうとすると、地震学でモーメントテンソルを表すのに使う
「ビーチボール」くらいなものだが、これもトレース０の対称テンソルでないと使いづらい（「ト
レース０」「対称テンソル」の意味は後述）。
つづく
327現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/11(金) 07:50:39.24ID:dt7uB+gp >>326
つづき
*注）10：有名な数学者・理論物理学者のヘルマン・ワイルは『空間・時間・物質』の中で、成分に依らない形だけで書
こうとするのは不都合だとして、以下のように書いている。「ただテンソルそのものだけでテンソル算を書きあら
わそうという試みは、これまでしばしばあった。これは３次元空間におけるベクトル算の成分によらない表現と
似たようなものを作ろうとする試みである。しかし、著しく発展したテンソル算の大きな体系にとっては、この
ような試みはまったく不都合であることがわかった。もしわれわれが絶対に成分にたよらないようにしようとす
れば、非常に多数の名称や記号、また多くの計算の規則を導入しなければならない。その結果は意図に反して莫
大な損失をせおいこむことになる。われわれはこのようなでたらめな形式主義の跳梁に対し強く抗議しなければ
ならない。」（ちくま学芸文庫版 上巻 p.111）
P28
1.1.4 ベクトルやテンソルの積
ベクトルやテンソルには何通りかの「積」が定義されている。それらを見てゆこう。もちろ
ん内積と外積が一番普通に使われる「積」*注）15であるが、それ以外にもいくつかの「積」がある。
一般に「積」は、２つのベクトル（やテンソル）の双線型関数である。したがって、先の写
像としてのテンソルの定義によれば、テンソルの一種であるという言い方もできる。
本講義のような話の流れだと、ベクトルの基本は線型空間であるということで、積は単にそ
れに付随する演算ということになるが、歴史 (1.1.8 節) を見てゆくと、ベクトルに意味のある
積（内積や外積）が定義できるかどうかが、ベクトルの発明の上では鍵だったということがわ
かる。今から見れば、内積や外積がないと、物理学上重要なことがらが簡潔に表現できないの
で、当然といえば当然ではあるが。
*注）15：1.1.8.2 節で見るようにこれらは四元数から自然に出てくる。
(引用終り)
以上
つづき
*注）10：有名な数学者・理論物理学者のヘルマン・ワイルは『空間・時間・物質』の中で、成分に依らない形だけで書
こうとするのは不都合だとして、以下のように書いている。「ただテンソルそのものだけでテンソル算を書きあら
わそうという試みは、これまでしばしばあった。これは３次元空間におけるベクトル算の成分によらない表現と
似たようなものを作ろうとする試みである。しかし、著しく発展したテンソル算の大きな体系にとっては、この
ような試みはまったく不都合であることがわかった。もしわれわれが絶対に成分にたよらないようにしようとす
れば、非常に多数の名称や記号、また多くの計算の規則を導入しなければならない。その結果は意図に反して莫
大な損失をせおいこむことになる。われわれはこのようなでたらめな形式主義の跳梁に対し強く抗議しなければ
ならない。」（ちくま学芸文庫版 上巻 p.111）
P28
1.1.4 ベクトルやテンソルの積
ベクトルやテンソルには何通りかの「積」が定義されている。それらを見てゆこう。もちろ
ん内積と外積が一番普通に使われる「積」*注）15であるが、それ以外にもいくつかの「積」がある。
一般に「積」は、２つのベクトル（やテンソル）の双線型関数である。したがって、先の写
像としてのテンソルの定義によれば、テンソルの一種であるという言い方もできる。
本講義のような話の流れだと、ベクトルの基本は線型空間であるということで、積は単にそ
れに付随する演算ということになるが、歴史 (1.1.8 節) を見てゆくと、ベクトルに意味のある
積（内積や外積）が定義できるかどうかが、ベクトルの発明の上では鍵だったということがわ
かる。今から見れば、内積や外積がないと、物理学上重要なことがらが簡潔に表現できないの
で、当然といえば当然ではあるが。
*注）15：1.1.8.2 節で見るようにこれらは四元数から自然に出てくる。
(引用終り)
以上
328１３２人目の素数さん
2020/09/11(金) 17:52:46.77ID:SjCJUr5o329１３２人目の素数さん
2020/09/11(金) 18:00:09.41ID:SjCJUr5o >>324-327
訳も分からずコピペしても腹壊すぞｗ
対称テンソル
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB
反対称テンソル
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8D%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB
ま、素人の◆yH25M02vWFhP には、どっちの次数も計算できまいｗ
実は単純な組み合わせ論だがな
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%84%E5%90%88%E3%81%9B%E6%95%B0%E5%AD%A6
対称テンソルの次数は、繰り返しを許した組合せ
反対称テンソルの次数は、繰り返しを許さない組合せ
の数と一致する
なぜかって？考えてごらんｗ
訳も分からずコピペしても腹壊すぞｗ
対称テンソル
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB
反対称テンソル
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8D%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB
ま、素人の◆yH25M02vWFhP には、どっちの次数も計算できまいｗ
実は単純な組み合わせ論だがな
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%84%E5%90%88%E3%81%9B%E6%95%B0%E5%AD%A6
対称テンソルの次数は、繰り返しを許した組合せ
反対称テンソルの次数は、繰り返しを許さない組合せ
の数と一致する
なぜかって？考えてごらんｗ
330１３２人目の素数さん
2020/09/11(金) 18:08:01.50ID:SjCJUr5o ま、物理狂に説明するなら
対称テンソルはボゾン
反対称テンソルはフェルミオン
だなｗ
対称テンソルはボゾン
反対称テンソルはフェルミオン
だなｗ
331現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/12(土) 06:31:51.16ID:cnqeiEp4 >>322 補足
>ディープラーニングのテンソルと、物理学のテンソルと、数学の代数のテンソルと、それぞれ意味（定義）が微妙に違う（＾＾；
>・ディープラーニングのテンソルは、下記のブログの通り、単に多次元の数の配列で、それをコンピュータプログラムとして計算するための意味
下記のChainer Tutorialが分り易い
「ディープラーニングのテンソルは、単に多次元の数の配列」ってこと
伝統的な物理系のテンソル演算や、数学の代数系のテンソルとは、別物ですね
扱うのは”Python で数値計算を高速に行うためのライブラリ”（下記）で、テンソルの要素 つまり各数値の配列ってことです
そして、会話でテンソルと言えば、行列（2次元）を超えた3次元以上の配列を意味する。ベクトルは1次元です
因みに、下記”NumPy”では、計算機の言語上は、”8.2. 多次元配列を定義する”にあるように、”ndarrayというクラス”で、ベクトル・行列・テンソルを統一的に扱います
（参考）
https://tutorials.chainer.org/ja/05_Basics_of_Linear_Algebra.html
Chainer Tutorial
(抜粋)
1. はじめに
Chainer チュートリアルへようこそ。
このチュートリアルは、機械学習やディープラーニングの仕組みや使い方を理解したい大学学部生以上の方に向けて書かれたオンライン学習資料です。
5. 線形代数の基礎
5.1. スカラ・ベクトル・行列・テンソル
まず始めに、スカラ、ベクトル、行列、テンソルという 4 つの言葉を解説します。
スカラ (scalar)
ベクトル (vector) は、スカラを 1 方向に並べたものです。
行列 (matrix) は同じサイズのベクトルを複数個並べたものです。
つづく
>ディープラーニングのテンソルと、物理学のテンソルと、数学の代数のテンソルと、それぞれ意味（定義）が微妙に違う（＾＾；
>・ディープラーニングのテンソルは、下記のブログの通り、単に多次元の数の配列で、それをコンピュータプログラムとして計算するための意味
下記のChainer Tutorialが分り易い
「ディープラーニングのテンソルは、単に多次元の数の配列」ってこと
伝統的な物理系のテンソル演算や、数学の代数系のテンソルとは、別物ですね
扱うのは”Python で数値計算を高速に行うためのライブラリ”（下記）で、テンソルの要素 つまり各数値の配列ってことです
そして、会話でテンソルと言えば、行列（2次元）を超えた3次元以上の配列を意味する。ベクトルは1次元です
因みに、下記”NumPy”では、計算機の言語上は、”8.2. 多次元配列を定義する”にあるように、”ndarrayというクラス”で、ベクトル・行列・テンソルを統一的に扱います
（参考）
https://tutorials.chainer.org/ja/05_Basics_of_Linear_Algebra.html
Chainer Tutorial
(抜粋)
1. はじめに
Chainer チュートリアルへようこそ。
このチュートリアルは、機械学習やディープラーニングの仕組みや使い方を理解したい大学学部生以上の方に向けて書かれたオンライン学習資料です。
5. 線形代数の基礎
5.1. スカラ・ベクトル・行列・テンソル
まず始めに、スカラ、ベクトル、行列、テンソルという 4 つの言葉を解説します。
スカラ (scalar)
ベクトル (vector) は、スカラを 1 方向に並べたものです。
行列 (matrix) は同じサイズのベクトルを複数個並べたものです。
つづく
332現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/12(土) 06:33:47.76ID:cnqeiEp4 >>331
つづき
テンソル (tensor) はベクトルや行列を一般化した概念です。 例えば、ベクトルは 1 方向に、行列は 2 方向にスカラが並んでいます。これは「ベクトルは 1 階のテンソルで、行列は 2 階のテンソルである」であることを意味します。 この考え方をさらに進めて、下図のように行列を奥行き方向にさらに並べたものを3階のテンソルと呼びます。例えば、カラー画像をデジタル表現する場合、1 枚の画像は RGB (Red Green Blue) の3枚のレイヤー（チャンネルと呼びます）を持つのが一般的です。 各チャンネルは行列として表され、その行列がチャンネル方向に複数積み重なっているため、画像は 3 階テンソルとみなすことができます。 3 階のテンソルは、特定の要素を指定するのに「上から 3 番目、左から 2 番目、手前から 5 番目」のように整数（インデックス）を3個必要とします。
同様に、4 次元以上の場合でも、N 次元にスカラを並べたもの（つまり、要素を指定するのに N 個のインデックスが必要なもの）を N 階のテンソルと言います。例えば、多くのディープラーニングフレームワークでは、複数枚の画像の集まりを「画像のインデックス1つ」+「各画像のインデックス 3 つ（幅、高さ、チャンネル）」の 4 階テンソルとして表現します。 前述のようにベクトルや行列はテンソルの一種とみなすことができますが、本資料では単に「テンソル」と言った場合は3階以上のテンソルを指します。
8. NumPy 入門
本章では、Python で数値計算を高速に行うためのライブラリ（注釈1）である NumPy の使い方を学びます。 本章の目標は、単回帰分析と重回帰分析の章で学んだ重回帰分析を行うアルゴリズムをNumPy を用いて実装することです
NumPy による多次元配列（multidimensional array）の扱い方を知ることは、他の様々なライブラリを利用する際に役立ちます。
NumPy は Google Colaboratory（以下 Colab）上のノートブックにはデフォルトでインストールされているため、ここではインストールの方法は説明しません。自分のコンピュータに NumPy をインストールしたい場合は、こちらを参照してください。：Installing packages
8.2. 多次元配列を定義する
ベクトル・行列・テンソルなどは、プログラミング上は多次元配列により表現でき、NumPy では ndarray というクラスで多次元配列を表現します（注釈2）
(引用終り)
以上
つづき
テンソル (tensor) はベクトルや行列を一般化した概念です。 例えば、ベクトルは 1 方向に、行列は 2 方向にスカラが並んでいます。これは「ベクトルは 1 階のテンソルで、行列は 2 階のテンソルである」であることを意味します。 この考え方をさらに進めて、下図のように行列を奥行き方向にさらに並べたものを3階のテンソルと呼びます。例えば、カラー画像をデジタル表現する場合、1 枚の画像は RGB (Red Green Blue) の3枚のレイヤー（チャンネルと呼びます）を持つのが一般的です。 各チャンネルは行列として表され、その行列がチャンネル方向に複数積み重なっているため、画像は 3 階テンソルとみなすことができます。 3 階のテンソルは、特定の要素を指定するのに「上から 3 番目、左から 2 番目、手前から 5 番目」のように整数（インデックス）を3個必要とします。
同様に、4 次元以上の場合でも、N 次元にスカラを並べたもの（つまり、要素を指定するのに N 個のインデックスが必要なもの）を N 階のテンソルと言います。例えば、多くのディープラーニングフレームワークでは、複数枚の画像の集まりを「画像のインデックス1つ」+「各画像のインデックス 3 つ（幅、高さ、チャンネル）」の 4 階テンソルとして表現します。 前述のようにベクトルや行列はテンソルの一種とみなすことができますが、本資料では単に「テンソル」と言った場合は3階以上のテンソルを指します。
8. NumPy 入門
本章では、Python で数値計算を高速に行うためのライブラリ（注釈1）である NumPy の使い方を学びます。 本章の目標は、単回帰分析と重回帰分析の章で学んだ重回帰分析を行うアルゴリズムをNumPy を用いて実装することです
NumPy による多次元配列（multidimensional array）の扱い方を知ることは、他の様々なライブラリを利用する際に役立ちます。
NumPy は Google Colaboratory（以下 Colab）上のノートブックにはデフォルトでインストールされているため、ここではインストールの方法は説明しません。自分のコンピュータに NumPy をインストールしたい場合は、こちらを参照してください。：Installing packages
8.2. 多次元配列を定義する
ベクトル・行列・テンソルなどは、プログラミング上は多次元配列により表現でき、NumPy では ndarray というクラスで多次元配列を表現します（注釈2）
(引用終り)
以上
333１３２人目の素数さん
2020/09/12(土) 07:12:54.80ID:pEvJeedl >>331
>「ディープラーニングのテンソルは、単に多次元の数の配列」ってこと
>伝統的な物理系のテンソル演算や、数学の代数系のテンソルとは、別物ですね
💩野郎 ◆yH25M02vWFhP 毎度恒例の見苦しい言い訳ｗｗｗｗｗｗｗ
テンソル
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB
多次元配列として定義しようが、
多重線型写像として定義しようが、
テンソル積を用いて定義しようが、
結局同じこと
見た目の表現しか分からない🐎🦌には
死んでも理解できまいｗｗｗｗｗｗｗ
>「ディープラーニングのテンソルは、単に多次元の数の配列」ってこと
>伝統的な物理系のテンソル演算や、数学の代数系のテンソルとは、別物ですね
💩野郎 ◆yH25M02vWFhP 毎度恒例の見苦しい言い訳ｗｗｗｗｗｗｗ
テンソル
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB
多次元配列として定義しようが、
多重線型写像として定義しようが、
テンソル積を用いて定義しようが、
結局同じこと
見た目の表現しか分からない🐎🦌には
死んでも理解できまいｗｗｗｗｗｗｗ
334現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/12(土) 08:07:51.26ID:cnqeiEp4 >>317 追加
>（>>292より）
>「まず、テンソルは多重線形写像です
> 次に、ｎ×ｎ行列の行列式は実はｎ個のｎ次元ベクトルの多重交代線形写像です
> したがって、行列式はテンソルです」
下記、”多重線型代数”で、「テンソル代数」と「外積代数」とは、峻別されています
「6 行列式」は、外積代数の外冪で定義されるから、明らかに「外積代数」の概念です
”行列式はテンソルです”という主張は、「テンソル代数」と「外積代数」との区別ができておらず、「多重線形写像」という言葉の上っ面だけで反応した アホ発言です
なんか、いろんなところから、つまみ食いして貼るのは良いが、全然理解できていないこと、丸分かり（＾＾；
虚勢のこけおどし丸見えで、笑える（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%87%8D%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0
多重線型代数
多重線型性を捉える基本的な対象としてテンソル代数（てんそるだいすう、tensor algebra）、対称代数（たいしょうだいすう、symmetric algebra）、外積代数（がいせきだいすう、exterior algebra）が挙げられる。テンソル代数におけるテンソル積によって、ベクトルの積として最も一般的なものが定式化される。また、対称積や外積によって一定の付加的な条件を満たすような積が捉えられる。
2.1.1 テンソル代数
2.1.2 対称代数
2.1.3 外積代数
6 行列式
行列式
詳細は「行列式」を参照
Kn の n 次外冪 ∧^nKn は一次元空間であるが、これは向きも込めた Kn における体積要素の空間と見なせる。
Kn 上の線型写像 φ について、φ が体積要素を何倍に変換するかという情報は ∧^nKn 上に引き起こされる線型写像 ∧^n (φ) がどんな定数倍写像になっているかということで表されている。
https://en.wikipedia.org/wiki/Multilinear_algebra
Multilinear algebra
つづく
>（>>292より）
>「まず、テンソルは多重線形写像です
> 次に、ｎ×ｎ行列の行列式は実はｎ個のｎ次元ベクトルの多重交代線形写像です
> したがって、行列式はテンソルです」
下記、”多重線型代数”で、「テンソル代数」と「外積代数」とは、峻別されています
「6 行列式」は、外積代数の外冪で定義されるから、明らかに「外積代数」の概念です
”行列式はテンソルです”という主張は、「テンソル代数」と「外積代数」との区別ができておらず、「多重線形写像」という言葉の上っ面だけで反応した アホ発言です
なんか、いろんなところから、つまみ食いして貼るのは良いが、全然理解できていないこと、丸分かり（＾＾；
虚勢のこけおどし丸見えで、笑える（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%87%8D%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0
多重線型代数
多重線型性を捉える基本的な対象としてテンソル代数（てんそるだいすう、tensor algebra）、対称代数（たいしょうだいすう、symmetric algebra）、外積代数（がいせきだいすう、exterior algebra）が挙げられる。テンソル代数におけるテンソル積によって、ベクトルの積として最も一般的なものが定式化される。また、対称積や外積によって一定の付加的な条件を満たすような積が捉えられる。
2.1.1 テンソル代数
2.1.2 対称代数
2.1.3 外積代数
6 行列式
行列式
詳細は「行列式」を参照
Kn の n 次外冪 ∧^nKn は一次元空間であるが、これは向きも込めた Kn における体積要素の空間と見なせる。
Kn 上の線型写像 φ について、φ が体積要素を何倍に変換するかという情報は ∧^nKn 上に引き起こされる線型写像 ∧^n (φ) がどんな定数倍写像になっているかということで表されている。
https://en.wikipedia.org/wiki/Multilinear_algebra
Multilinear algebra
つづく
335現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/12(土) 08:09:48.16ID:cnqeiEp4 >>334
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB
テンソル
2 数学的定義
2.1 多重線型写像としての取り扱い
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F
行列式
2.1 抽象的な定義
2.2 明示的な定義
2.3 二つの定義の同値性
抽象的な定義
K を可換環とし、E を階数 n の A 上の自由加群とする。
E の n-次外冪 ?^nE 注*) は A 上階数1の自由加群である。
E 上の K-線型写像 φ について、?^nE 上に引き起こされる K-準同型
∧ ^n Φ ： e_1∧ ・・・ ∧ e_n → Φ (e_1)∧ ・・・ ∧ Φ (e_n)
は一意的に定まるある a ∈ A に関する定数倍写像と一致する。この a は φ の行列式 det?φ と呼ばれる。
https://en.wikipedia.org/wiki/Determinant
Determinant
注*)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%96%E7%A9%8D%E4%BB%A3%E6%95%B0
外積代数
ベクトルの外積（exterior product）あるいは楔積（ウェッジ積 wedge product）はクロス積をある特定の性質に着目して、より高次元の場合へ一般化する代数的な構成である。クロス積やスカラー三重積のようにベクトル同士の外積はユークリッド幾何学において面積や体積およびそれらの高次元における類似物の研究に用いられる。線型代数学において外積は、線型変換の行列式や小行列式を記述する基底の取り方に依存しない抽象代数的な仕方を提供し、階数や線型独立性といった概念に根本的に関係してくる
外積代数（exterior algebra）は、ヘルマン・グラスマンに因んでグラスマン代数（Grassmann algebra）[1]としても知られ、与えられた体 K 上のベクトル空間 V 上の外積によって生成される多元環である。多重線型代数やその関連分野と同様に、微分形式の成す多元環を通じて現代幾何学、特に微分幾何学と代数幾何学において広く用いられる
形式的には、外積代数は ?(V) あるいは ?*(V) で表され、V を線型部分空間として含む、外積あるいは楔積と呼ばれる ∧ で表される乗法を持つ、体 K 上の単位的結合代数である。外積は結合的で双線型な乗法
? ： ∧ (V) x ∧ (V) → ∧ (V)；(α ,β ) → α ? β
であり、V 上の交代性
(1) 任意の v ∈ V に対して v?v=0
を持つものである。
(引用終り)
以上
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB
テンソル
2 数学的定義
2.1 多重線型写像としての取り扱い
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F
行列式
2.1 抽象的な定義
2.2 明示的な定義
2.3 二つの定義の同値性
抽象的な定義
K を可換環とし、E を階数 n の A 上の自由加群とする。
E の n-次外冪 ?^nE 注*) は A 上階数1の自由加群である。
E 上の K-線型写像 φ について、?^nE 上に引き起こされる K-準同型
∧ ^n Φ ： e_1∧ ・・・ ∧ e_n → Φ (e_1)∧ ・・・ ∧ Φ (e_n)
は一意的に定まるある a ∈ A に関する定数倍写像と一致する。この a は φ の行列式 det?φ と呼ばれる。
https://en.wikipedia.org/wiki/Determinant
Determinant
注*)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%96%E7%A9%8D%E4%BB%A3%E6%95%B0
外積代数
ベクトルの外積（exterior product）あるいは楔積（ウェッジ積 wedge product）はクロス積をある特定の性質に着目して、より高次元の場合へ一般化する代数的な構成である。クロス積やスカラー三重積のようにベクトル同士の外積はユークリッド幾何学において面積や体積およびそれらの高次元における類似物の研究に用いられる。線型代数学において外積は、線型変換の行列式や小行列式を記述する基底の取り方に依存しない抽象代数的な仕方を提供し、階数や線型独立性といった概念に根本的に関係してくる
外積代数（exterior algebra）は、ヘルマン・グラスマンに因んでグラスマン代数（Grassmann algebra）[1]としても知られ、与えられた体 K 上のベクトル空間 V 上の外積によって生成される多元環である。多重線型代数やその関連分野と同様に、微分形式の成す多元環を通じて現代幾何学、特に微分幾何学と代数幾何学において広く用いられる
形式的には、外積代数は ?(V) あるいは ?*(V) で表され、V を線型部分空間として含む、外積あるいは楔積と呼ばれる ∧ で表される乗法を持つ、体 K 上の単位的結合代数である。外積は結合的で双線型な乗法
? ： ∧ (V) x ∧ (V) → ∧ (V)；(α ,β ) → α ? β
であり、V 上の交代性
(1) 任意の v ∈ V に対して v?v=0
を持つものである。
(引用終り)
以上
336１３２人目の素数さん
2020/09/12(土) 08:34:38.74ID:pEvJeedl >>334
>下記、”多重線型代数”で、「テンソル代数」と「外積代数」とは、峻別されています
文章読んでる？理解してる？
外積代数や対称代数は、特殊なテンソル代数だけど、理解できなかった？
さすが論理が分からない🐎🦌は文章も正しく読解できないんだねえ（呆）
>なんか、いろんなところから、つまみ食いして貼るのは良いが、
>全然理解できていないこと、丸分かり
大学に合格できなかった君の自嘲、乙
>虚勢のこけおどし丸見えで、笑える
僕は君を見ても笑えないな ただただ哀れで泣けてくるよ (;´д｀)トホホ
人間になれなかった🐎🦌って惨めだな
>下記、”多重線型代数”で、「テンソル代数」と「外積代数」とは、峻別されています
文章読んでる？理解してる？
外積代数や対称代数は、特殊なテンソル代数だけど、理解できなかった？
さすが論理が分からない🐎🦌は文章も正しく読解できないんだねえ（呆）
>なんか、いろんなところから、つまみ食いして貼るのは良いが、
>全然理解できていないこと、丸分かり
大学に合格できなかった君の自嘲、乙
>虚勢のこけおどし丸見えで、笑える
僕は君を見ても笑えないな ただただ哀れで泣けてくるよ (;´д｀)トホホ
人間になれなかった🐎🦌って惨めだな
337１３２人目の素数さん
2020/09/12(土) 08:38:14.48ID:pEvJeedl >>335
まとめ
・対称代数はテンソル代数の一種です
・外積代数もテンソル代数の一種です
・対称代数と外積代数は異なります
・対称代数でも外積代数でもないテンソル代数もあります
わかるかなぁ？ わかんねぇだろぉなぁｗ
まとめ
・対称代数はテンソル代数の一種です
・外積代数もテンソル代数の一種です
・対称代数と外積代数は異なります
・対称代数でも外積代数でもないテンソル代数もあります
わかるかなぁ？ わかんねぇだろぉなぁｗ
338現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/12(土) 10:18:19.30ID:cnqeiEp4 やれやれ、頭くさってんのか？
アホも、ここまでくれば、名人芸だな
「したがって、行列式はテンソルです」なんて、ハナタカ、シッタカしたかったのだろうが
鳥無き里のコウモリ
「したがって、行列式はテンソルです」なんて、ちょっと数学を知っている人から突っ込まれたら、しどろもどろ、百万言を費やして言い訳たらたらするはめになるだけ
しかも、数学的に無意味・無価値、「したがって、行列式はテンソルです」なんて、アホ丸出し
信用失墜も良いところ。「えっへん、我が輩は、数学科出身である。テンソルを知っている。したがって、行列式はテンソルである」ｗｗｗ(゜ロ゜；
ばーか
その発言、なんの価値もないばかりか
自分の信用を落とし、バカ丸出し
（>>292より）
「まず、テンソルは多重線形写像です
次に、ｎ×ｎ行列の行列式は実はｎ個のｎ次元ベクトルの多重交代線形写像です
したがって、行列式はテンソルです」笑える（＾＾
ｽﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!!!
。 。
。 ｡ 。 。 ﾟ
。 ｡ﾟ。゜。 ﾟ｡ 。
/ ／/ ／ ／
( Д ) Д)Д))
（>>334 参考再録）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%87%8D%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0
多重線型代数
多重線型性を捉える基本的な対象としてテンソル代数（てんそるだいすう、tensor algebra）、対称代数（たいしょうだいすう、symmetric algebra）、外積代数（がいせきだいすう、exterior algebra）が挙げられる。テンソル代数におけるテンソル積によって、ベクトルの積として最も一般的なものが定式化される。また、対称積や外積によって一定の付加的な条件を満たすような積が捉えられる。
2.1.1 テンソル代数
2.1.2 対称代数
2.1.3 外積代数
6 行列式
行列式
詳細は「行列式」を参照
Kn の n 次外冪 ∧^nKn は一次元空間であるが、これは向きも込めた Kn における体積要素の空間と見なせる。
Kn 上の線型写像 φ について、φ が体積要素を何倍に変換するかという情報は ∧^nKn 上に引き起こされる線型写像 ∧^n (φ) がどんな定数倍写像になっているかということで表されている。
アホも、ここまでくれば、名人芸だな
「したがって、行列式はテンソルです」なんて、ハナタカ、シッタカしたかったのだろうが
鳥無き里のコウモリ
「したがって、行列式はテンソルです」なんて、ちょっと数学を知っている人から突っ込まれたら、しどろもどろ、百万言を費やして言い訳たらたらするはめになるだけ
しかも、数学的に無意味・無価値、「したがって、行列式はテンソルです」なんて、アホ丸出し
信用失墜も良いところ。「えっへん、我が輩は、数学科出身である。テンソルを知っている。したがって、行列式はテンソルである」ｗｗｗ(゜ロ゜；
ばーか
その発言、なんの価値もないばかりか
自分の信用を落とし、バカ丸出し
（>>292より）
「まず、テンソルは多重線形写像です
次に、ｎ×ｎ行列の行列式は実はｎ個のｎ次元ベクトルの多重交代線形写像です
したがって、行列式はテンソルです」笑える（＾＾
ｽﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!!!
。 。
。 ｡ 。 。 ﾟ
。 ｡ﾟ。゜。 ﾟ｡ 。
/ ／/ ／ ／
( Д ) Д)Д))
（>>334 参考再録）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%87%8D%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0
多重線型代数
多重線型性を捉える基本的な対象としてテンソル代数（てんそるだいすう、tensor algebra）、対称代数（たいしょうだいすう、symmetric algebra）、外積代数（がいせきだいすう、exterior algebra）が挙げられる。テンソル代数におけるテンソル積によって、ベクトルの積として最も一般的なものが定式化される。また、対称積や外積によって一定の付加的な条件を満たすような積が捉えられる。
2.1.1 テンソル代数
2.1.2 対称代数
2.1.3 外積代数
6 行列式
行列式
詳細は「行列式」を参照
Kn の n 次外冪 ∧^nKn は一次元空間であるが、これは向きも込めた Kn における体積要素の空間と見なせる。
Kn 上の線型写像 φ について、φ が体積要素を何倍に変換するかという情報は ∧^nKn 上に引き起こされる線型写像 ∧^n (φ) がどんな定数倍写像になっているかということで表されている。
339１３２人目の素数さん
2020/09/12(土) 10:37:39.69ID:pEvJeedl >>338
脳味噌、サナダムシに食われまくってるなｗ
行列式は典型的なテンソルだぞｗ
多変数の積分変数変換でヤコビアン出てくるだろ
あれこそテンソルの座標変換の典型例だぞ
そんな基本的なことも知らんとか、やっぱ全然大学行ってないだろｗ
大学通ってたら、線形代数で行列式習うし
微積分でヤコビアンも逆関数定理も習うだろ
習わんかったらモグリ
習ったけど覚えてないとかいうのもモグリ
アベ・シンゾーじゃあるまいし
肝心なことはちゃんと理解して単位とれよ ダラズが！
脳味噌、サナダムシに食われまくってるなｗ
行列式は典型的なテンソルだぞｗ
多変数の積分変数変換でヤコビアン出てくるだろ
あれこそテンソルの座標変換の典型例だぞ
そんな基本的なことも知らんとか、やっぱ全然大学行ってないだろｗ
大学通ってたら、線形代数で行列式習うし
微積分でヤコビアンも逆関数定理も習うだろ
習わんかったらモグリ
習ったけど覚えてないとかいうのもモグリ
アベ・シンゾーじゃあるまいし
肝心なことはちゃんと理解して単位とれよ ダラズが！
340現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/12(土) 11:28:49.52ID:cnqeiEp4 突然ですが
”Floer ホモロジー かいせつ. 都立大 吉田 朋好”が、面白い
ぐだぐだ、愚痴りながら入って、結構読ませる
つい、引き込まれてしまった（＾＾
http://mathsoc.jp/section/topology/archives/TopologyNewsSerBNo6_1989AprilCC.pdf
TOPOLOGY NEWS Series B. No. 6. 1989
加藤 十吉
Floer ホモロジー かいせつ. 都立大 吉田 朋好
(引用終り)
（>>64より）
https://www.nippyo.co.jp/shop/book/3161.html
現代幾何学の流れ 日本評論社 砂田利一 編 発刊年月 2007.10
アティヤ-シンガー アティヤ-シンガーの指数定理／吉田朋好
の章を読んでいたんだけど
P120にアティヤの回想というところがあって
”ホッジは調和解析の理論を発展させるとき、電磁気学のマクスウェル方程式に強く動機づけられていた”
とか
ティヤ-シンガーは、ディラック方程式のリーマン幾何学版を追求することがから初め、またホッジの場合と同様に、彼らの出発点もまた代数幾何学であった」とある
（弟子のドナルドソンも有名）
なので、吉田朋好関連で検索してみたわけです
「ディラック作用素の指数定理」は、書店で見かけたことがあるかな？
つづく
”Floer ホモロジー かいせつ. 都立大 吉田 朋好”が、面白い
ぐだぐだ、愚痴りながら入って、結構読ませる
つい、引き込まれてしまった（＾＾
http://mathsoc.jp/section/topology/archives/TopologyNewsSerBNo6_1989AprilCC.pdf
TOPOLOGY NEWS Series B. No. 6. 1989
加藤 十吉
Floer ホモロジー かいせつ. 都立大 吉田 朋好
(引用終り)
（>>64より）
https://www.nippyo.co.jp/shop/book/3161.html
現代幾何学の流れ 日本評論社 砂田利一 編 発刊年月 2007.10
アティヤ-シンガー アティヤ-シンガーの指数定理／吉田朋好
の章を読んでいたんだけど
P120にアティヤの回想というところがあって
”ホッジは調和解析の理論を発展させるとき、電磁気学のマクスウェル方程式に強く動機づけられていた”
とか
ティヤ-シンガーは、ディラック方程式のリーマン幾何学版を追求することがから初め、またホッジの場合と同様に、彼らの出発点もまた代数幾何学であった」とある
（弟子のドナルドソンも有名）
なので、吉田朋好関連で検索してみたわけです
「ディラック作用素の指数定理」は、書店で見かけたことがあるかな？
つづく
341現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/12(土) 11:29:12.87ID:cnqeiEp4 >>340
（参考）
https://www.アマゾン/dp/4320015746
ディラック作用素の指数定理 (日本語) 単行本 ? 共立出版 (1998/11/1) 吉田 朋好
内容
本書は、“局所指数定理(local index theorem)”の証明を紹介している。全体の証明の枠組みはキュレン(Quillen)の哲学、「ディラック作用素は接続の理論の量子化である」という原理によっている。指数定理の証明は多くの人々によって簡略化の努力がなされてきた。とくに理論物理との関連からの新しい見方によって見通しがよくなった面はあるが、証明の全体は決して簡単にはなってはいない。そのために初学者は、ときに全体として何をやっているのかわからなくなってしまう危険性がおおいにありうる。そこで指数定理の概略と証明の基本的な考え方のあらましを書いた。
susumukuni
5つ星のうち5.0 熱核による指数定理の待望の解説書
2004年2月15日に日本でレビュー済み
微分多様体上の解析とトポロジーに関する最も素晴らしい定理のひとつに「Atiyah-Singer指数定理」があるが、その証明を述べた和書の成書は久しくなかった。本書は「Atiyah-Singer指数定理」の待望の解説書である。
先ず、主題への準備として、ファイバー束とその接続、特性類、及び一般化ラプラシアンと熱核についてのコンパクトな解説に続き、クリフォード加群とスピノル群／表現が導入され、クリフォード加群上のクリフォード接続に対しディラック作用素Dが定義される。本書の目標である「局所指数定理」は、ディラック作用素の指数ind(D)が一般化ラプラシアンであるDの平方（D2）の超トレースから求められるというマッキーン・シンガーの公式を、実際にD2の熱核に適用して得られるものである。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%89%E3%83%8A%E3%83%AB%E3%83%89%E3%82%BD%E3%83%B3
サイモン・ドナルドソン
マイケル・アティヤとナイジェル・ヒッチンの弟子。
1982年に四次元ユークリッド空間において異種微分構造が存在することを、Yang-Millsゲージ理論を用いて示し、当時の数学界に衝撃を与えた。この業績により1986年にフィールズ賞を受賞した
(引用終り)
以上
（参考）
https://www.アマゾン/dp/4320015746
ディラック作用素の指数定理 (日本語) 単行本 ? 共立出版 (1998/11/1) 吉田 朋好
内容
本書は、“局所指数定理(local index theorem)”の証明を紹介している。全体の証明の枠組みはキュレン(Quillen)の哲学、「ディラック作用素は接続の理論の量子化である」という原理によっている。指数定理の証明は多くの人々によって簡略化の努力がなされてきた。とくに理論物理との関連からの新しい見方によって見通しがよくなった面はあるが、証明の全体は決して簡単にはなってはいない。そのために初学者は、ときに全体として何をやっているのかわからなくなってしまう危険性がおおいにありうる。そこで指数定理の概略と証明の基本的な考え方のあらましを書いた。
susumukuni
5つ星のうち5.0 熱核による指数定理の待望の解説書
2004年2月15日に日本でレビュー済み
微分多様体上の解析とトポロジーに関する最も素晴らしい定理のひとつに「Atiyah-Singer指数定理」があるが、その証明を述べた和書の成書は久しくなかった。本書は「Atiyah-Singer指数定理」の待望の解説書である。
先ず、主題への準備として、ファイバー束とその接続、特性類、及び一般化ラプラシアンと熱核についてのコンパクトな解説に続き、クリフォード加群とスピノル群／表現が導入され、クリフォード加群上のクリフォード接続に対しディラック作用素Dが定義される。本書の目標である「局所指数定理」は、ディラック作用素の指数ind(D)が一般化ラプラシアンであるDの平方（D2）の超トレースから求められるというマッキーン・シンガーの公式を、実際にD2の熱核に適用して得られるものである。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%89%E3%83%8A%E3%83%AB%E3%83%89%E3%82%BD%E3%83%B3
サイモン・ドナルドソン
マイケル・アティヤとナイジェル・ヒッチンの弟子。
1982年に四次元ユークリッド空間において異種微分構造が存在することを、Yang-Millsゲージ理論を用いて示し、当時の数学界に衝撃を与えた。この業績により1986年にフィールズ賞を受賞した
(引用終り)
以上
342１３２人目の素数さん
2020/09/12(土) 11:37:18.82ID:pEvJeedl343現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/12(土) 11:38:57.98ID:cnqeiEp4 >>339
ヤコビアン、トレビア～ン！ｗ（＾＾
>多変数の積分変数変換でヤコビアン出てくるだろ
>あれこそテンソルの座標変換の典型例だぞ
ヤコビ行列で終わっているでしょ？(゜ロ゜；
おれは、別に「行列式と行列が無関係なんて言ってない」ぞよｗ（＾＾
「したがって、行列式はテンソルです」なんて、アホ丸出しよ
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A4%E3%82%B3%E3%83%93%E8%A1%8C%E5%88%97
ヤコビ行列
ヤコビ行列の行列式は、ヤコビ行列式 (英: Jacobian determinant) あるいは単にヤコビアン[1]と呼ばれる。ヤコビ行列式は変数変換に伴う面積要素や体積要素の無限小変化の比率を符号つきで表すもので、しばしば重積分の変数変換（英語版）に現れる。
https://tap-biz.jp/lifestyle/word-meaning/1029554
「トレビアン」の意味と使い方・由来・発音のポイント
初回公開日：2017年12月29日
更新日：2020年03月08日
トレビアンはフランス語で、主に「とても素晴らしい」という賞賛の意味があります。英語で言うと「Very good」と同じ意味にあたります。日本人にとってフランス語は洗練されたおしゃれなイメージを持たれることも多いため、お店やサイトの名前でフランス語の単語が使われることがよくありますが、「トレビアン」もよく知られた単語のひとつです。
ヤコビアン、トレビア～ン！ｗ（＾＾
>多変数の積分変数変換でヤコビアン出てくるだろ
>あれこそテンソルの座標変換の典型例だぞ
ヤコビ行列で終わっているでしょ？(゜ロ゜；
おれは、別に「行列式と行列が無関係なんて言ってない」ぞよｗ（＾＾
「したがって、行列式はテンソルです」なんて、アホ丸出しよ
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A4%E3%82%B3%E3%83%93%E8%A1%8C%E5%88%97
ヤコビ行列
ヤコビ行列の行列式は、ヤコビ行列式 (英: Jacobian determinant) あるいは単にヤコビアン[1]と呼ばれる。ヤコビ行列式は変数変換に伴う面積要素や体積要素の無限小変化の比率を符号つきで表すもので、しばしば重積分の変数変換（英語版）に現れる。
https://tap-biz.jp/lifestyle/word-meaning/1029554
「トレビアン」の意味と使い方・由来・発音のポイント
初回公開日：2017年12月29日
更新日：2020年03月08日
トレビアンはフランス語で、主に「とても素晴らしい」という賞賛の意味があります。英語で言うと「Very good」と同じ意味にあたります。日本人にとってフランス語は洗練されたおしゃれなイメージを持たれることも多いため、お店やサイトの名前でフランス語の単語が使われることがよくありますが、「トレビアン」もよく知られた単語のひとつです。
344１３２人目の素数さん
2020/09/12(土) 11:48:32.18ID:pEvJeedl345１３２人目の素数さん
2020/09/12(土) 15:01:52.15ID:pEvJeedl >>343
＞別に「行列式と行列が無関係なんて言ってない」ぞよ
行列式＝行列の「式」と思ってんのかな？
言葉だけで定義すら確認せずに
イメージで分かろうとする
パクチー野郎だからな
英語だと
行列=matrix
行列式=determinant
だから全然違う
「決定式」と翻訳したほうがよかったかもしれんね
0でなければ、正則行列だと「決定」するわけだから
n×nのmatrixのdeterminantを
n^nのtensorとして表すこともできるが
バカバカしいだけなので誰もやらない
＞別に「行列式と行列が無関係なんて言ってない」ぞよ
行列式＝行列の「式」と思ってんのかな？
言葉だけで定義すら確認せずに
イメージで分かろうとする
パクチー野郎だからな
英語だと
行列=matrix
行列式=determinant
だから全然違う
「決定式」と翻訳したほうがよかったかもしれんね
0でなければ、正則行列だと「決定」するわけだから
n×nのmatrixのdeterminantを
n^nのtensorとして表すこともできるが
バカバカしいだけなので誰もやらない
346１３２人目の素数さん
2020/09/12(土) 17:05:22.77ID:J/Mt4O6p 「行列環 Mn(R) から零因子を取り除けば体になります」
↑
これは酷い
↑
これは酷い
347現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/12(土) 17:23:04.97ID:cnqeiEp4 >>338
>アホも、ここまでくれば、名人芸だな
>「したがって、行列式はテンソルです」なんて、ハナタカ、シッタカしたかったのだろうが
「行列式はテンソルです」ｗか（＾＾
下記、”テンソルの概念 [物理のかぎしっぽ]”
「3 x 3 の行列は常に二階のテンソルになることを示せます」を信じるとして
また、二階のテンソルは、その成分表示を、行列による表現と見るとことができる
さて、その上で上記正方の成分配列の二階のテンソルを行列とみて、正方行列と同じく行列式を考えることが出来る
このとき、下記二つの命題
A：「行列式はテンソルです」
B：「行列式は行列です」
ここで、明らかに命題Bは、アホ
行列と行列式の区別がついていないアホ
だとすれば、命題Aも、同じだろ？アホ
（参考）
http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/TensorConcept/
テンソルの概念 [物理のかぎしっぽ]
テンソルの成分
注）テンソルを行列の一種だと思い込んでいる人に出くわすことがありますが，これは大変な誤解です．この原因は恐らく，物理や工学に出てくるテンソルの多くが二階のテンソルであり，二階のテンソルは 3 x 3 の行列の形に表現できることにあります．教科書によっては，テンソルの例として行列ばかりが出てくることも原因かも知れません．『テンソル＝行列』ではありません！！
式 (4) の変換則に従う量は全てテンソルと呼んでよく，その表現が行列である必要はありません．しかし， 3 x 3 の行列は常に二階のテンソルになることを示せます．つまり，テンソルの表現は必ずしも行列には限らないけれども， 3 x 3 行列と三次元ベクトルの演算は二階のテンソルの変換則を必ず満たすということです．
注）
テンソルの持つ性質で非常に大事なものに，もうひとつ多重線形性と呼ばれるものがあります．この多重線形性をテンソルの定義にしても良いのですが，少し難しいので後回しにします．多重線形性については 多重線形性とテンソル空間 で考えます．
物理学におけるテンソル
このように，テンソルとは多数の成分からなる，ベクトルのお化けのような量だということが分かりましたが，テンソルの添字が座標系を表わす番号であったことを思い出せば，多少とも物理的な例を考えてイメージを持つことが出来ると思います．
>アホも、ここまでくれば、名人芸だな
>「したがって、行列式はテンソルです」なんて、ハナタカ、シッタカしたかったのだろうが
「行列式はテンソルです」ｗか（＾＾
下記、”テンソルの概念 [物理のかぎしっぽ]”
「3 x 3 の行列は常に二階のテンソルになることを示せます」を信じるとして
また、二階のテンソルは、その成分表示を、行列による表現と見るとことができる
さて、その上で上記正方の成分配列の二階のテンソルを行列とみて、正方行列と同じく行列式を考えることが出来る
このとき、下記二つの命題
A：「行列式はテンソルです」
B：「行列式は行列です」
ここで、明らかに命題Bは、アホ
行列と行列式の区別がついていないアホ
だとすれば、命題Aも、同じだろ？アホ
（参考）
http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/TensorConcept/
テンソルの概念 [物理のかぎしっぽ]
テンソルの成分
注）テンソルを行列の一種だと思い込んでいる人に出くわすことがありますが，これは大変な誤解です．この原因は恐らく，物理や工学に出てくるテンソルの多くが二階のテンソルであり，二階のテンソルは 3 x 3 の行列の形に表現できることにあります．教科書によっては，テンソルの例として行列ばかりが出てくることも原因かも知れません．『テンソル＝行列』ではありません！！
式 (4) の変換則に従う量は全てテンソルと呼んでよく，その表現が行列である必要はありません．しかし， 3 x 3 の行列は常に二階のテンソルになることを示せます．つまり，テンソルの表現は必ずしも行列には限らないけれども， 3 x 3 行列と三次元ベクトルの演算は二階のテンソルの変換則を必ず満たすということです．
注）
テンソルの持つ性質で非常に大事なものに，もうひとつ多重線形性と呼ばれるものがあります．この多重線形性をテンソルの定義にしても良いのですが，少し難しいので後回しにします．多重線形性については 多重線形性とテンソル空間 で考えます．
物理学におけるテンソル
このように，テンソルとは多数の成分からなる，ベクトルのお化けのような量だということが分かりましたが，テンソルの添字が座標系を表わす番号であったことを思い出せば，多少とも物理的な例を考えてイメージを持つことが出来ると思います．
348１３２人目の素数さん
2020/09/12(土) 17:41:08.42ID:pEvJeedl >>347
ヤベェ、こいつ、マジで、行列＝行列式、と誤解してる（呆）
n×nのmatrixのdeterminantは
n個のnベクトルから実数への多重線形写像で
変数の入れ替えに対して反対称関係を満たすもの
つまりdeterminantはmatrixではない
ちなみに、matrixはtensorでない、というのも誤解
（もちろんmatrixでないtensorはあるが）
ヤベェ、こいつ、マジで、行列＝行列式、と誤解してる（呆）
n×nのmatrixのdeterminantは
n個のnベクトルから実数への多重線形写像で
変数の入れ替えに対して反対称関係を満たすもの
つまりdeterminantはmatrixではない
ちなみに、matrixはtensorでない、というのも誤解
（もちろんmatrixでないtensorはあるが）
349１３２人目の素数さん
2020/09/12(土) 17:52:01.23ID:pEvJeedl 行列式が反対称が多重線形写像だって知らないってことは
行列式の効率的な計算方法も知らないし、
なぜその方法で計算できるかも理解してない
ってことだよな
それって工学部卒業者としては致命的な欠陥だよな
だってプログラム書けないじゃんｗ
自分で書かないとしてもプログラムでどう計算してるかすら
分かってないから行列のサイズによる計算時間の推測すら
できないじゃんｗ
行列式の効率的な計算方法も知らないし、
なぜその方法で計算できるかも理解してない
ってことだよな
それって工学部卒業者としては致命的な欠陥だよな
だってプログラム書けないじゃんｗ
自分で書かないとしてもプログラムでどう計算してるかすら
分かってないから行列のサイズによる計算時間の推測すら
できないじゃんｗ
350１３２人目の素数さん
2020/09/12(土) 17:56:27.59ID:pEvJeedl 工学部卒が線形代数で覚えておくべきこと
１．掃き出し法で連立一次方程式が解ける
２．掃き出し法で逆行列も求められる
３．掃き出し法で行列式も求められる
１．はまあ馬鹿でも知ってるが、
２．３．を知らないとマジでidiot呼ばわりされる
別に難しいことでもなんでもないのに
知らないなんて怠慢か無能以外のなにものでもないから
そんな奴が最先端の現代数学を理解したがってる？
( ﾟДﾟ)ﾊｧ? 寝言は寝てからいえよｗｗｗ
１．掃き出し法で連立一次方程式が解ける
２．掃き出し法で逆行列も求められる
３．掃き出し法で行列式も求められる
１．はまあ馬鹿でも知ってるが、
２．３．を知らないとマジでidiot呼ばわりされる
別に難しいことでもなんでもないのに
知らないなんて怠慢か無能以外のなにものでもないから
そんな奴が最先端の現代数学を理解したがってる？
( ﾟДﾟ)ﾊｧ? 寝言は寝てからいえよｗｗｗ
351１３２人目の素数さん
2020/09/12(土) 18:01:26.26ID:pEvJeedl ダメな劣等生の線形代数誤解
１．行列式で、置換と符号による定義式が唯一の計算方法だと思い込む
２．逆行列で、余因子展開の式が唯一の計算方法だと思い込む
３．連立方程式の解法で、クラメールの公式が一番効率的だと思い込む
全部×な（バッサリ）
式で表しやすいのと、計算しやすいのは、全く別
１．行列式で、置換と符号による定義式が唯一の計算方法だと思い込む
２．逆行列で、余因子展開の式が唯一の計算方法だと思い込む
３．連立方程式の解法で、クラメールの公式が一番効率的だと思い込む
全部×な（バッサリ）
式で表しやすいのと、計算しやすいのは、全く別
352現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/12(土) 18:14:26.77ID:cnqeiEp4 >>347 追加
（>>338より）
>アホも、ここまでくれば、名人芸だな
>「したがって、行列式はテンソルです」なんて、ハナタカ、シッタカしたかったのだろうが
「行列式はテンソルです」ｗか（＾＾
下記、”テンソルの概念 [物理のかぎしっぽ]”（>>347）
「3 x 3 の行列は常に二階のテンソルになることを示せます」を信じるとして
また、二階のテンソルは、その成分表示を、行列による表現と見るとことができる
さて、その上で上記正方の成分配列の二階のテンソルを行列とみて、正方行列と同じく行列式を考えることが出来る
このとき、下記二つの命題
A：「行列式はテンソルです」
B：「行列式は行列です」
ここで、明らかに命題Bは、アホ
行列と行列式の区別がついていないアホ
だとすれば、命題Aも、同じだろ？アホ
「行列式はテンソルです」・「行列式は行列です」笑える～！（＾＾
ｽﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!!!
。 。
。 ｡ 。 。 ﾟ
。 ｡ﾟ。゜。 ﾟ｡ 。
/ ／/ ／ ／
( Д ) Д)Д))
（>>338より）
>アホも、ここまでくれば、名人芸だな
>「したがって、行列式はテンソルです」なんて、ハナタカ、シッタカしたかったのだろうが
「行列式はテンソルです」ｗか（＾＾
下記、”テンソルの概念 [物理のかぎしっぽ]”（>>347）
「3 x 3 の行列は常に二階のテンソルになることを示せます」を信じるとして
また、二階のテンソルは、その成分表示を、行列による表現と見るとことができる
さて、その上で上記正方の成分配列の二階のテンソルを行列とみて、正方行列と同じく行列式を考えることが出来る
このとき、下記二つの命題
A：「行列式はテンソルです」
B：「行列式は行列です」
ここで、明らかに命題Bは、アホ
行列と行列式の区別がついていないアホ
だとすれば、命題Aも、同じだろ？アホ
「行列式はテンソルです」・「行列式は行列です」笑える～！（＾＾
ｽﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!!!
。 。
。 ｡ 。 。 ﾟ
。 ｡ﾟ。゜。 ﾟ｡ 。
/ ／/ ／ ／
( Д ) Д)Д))
353現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/12(土) 18:16:08.00ID:cnqeiEp4354現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/12(土) 18:21:34.11ID:cnqeiEp4 「行列式はテンソルです」・「行列式は行列です」笑える～！（＾＾
全く無意味
全く無意味
355１３２人目の素数さん
2020/09/12(土) 18:42:00.26ID:pEvJeedl356１３２人目の素数さん
2020/09/12(土) 18:46:50.05ID:pEvJeedl >>354
おまえ、これ知ってたか？ｗ
１．掃き出し法で連立一次方程式が解ける
２．掃き出し法で逆行列も求められる
３．掃き出し法で行列式も求められる
まさか、こんな🐎🦌な誤解してなかったか？ｗｗｗ
１．行列式で、置換と符号による定義式が唯一の計算方法だと思い込む
２．逆行列で、余因子展開の式が唯一の計算方法だと思い込む
３．連立方程式の解法で、クラメールの公式が一番効率的だと思い込む
おまえ、これ知ってたか？ｗ
１．掃き出し法で連立一次方程式が解ける
２．掃き出し法で逆行列も求められる
３．掃き出し法で行列式も求められる
まさか、こんな🐎🦌な誤解してなかったか？ｗｗｗ
１．行列式で、置換と符号による定義式が唯一の計算方法だと思い込む
２．逆行列で、余因子展開の式が唯一の計算方法だと思い込む
３．連立方程式の解法で、クラメールの公式が一番効率的だと思い込む
357１３２人目の素数さん
2020/09/12(土) 19:31:58.09ID:pEvJeedl ◆yH25M02vWFhP＞笑える～！（＾＾
ｽﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!!!
。 。
。 ｡ 。 。 ﾟ
。 ｡ﾟ。゜。 ﾟ｡ 。
/ ／/ ／ ／
( Д ) Д)Д))
ｽﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!!!
。 。
。 ｡ 。 。 ﾟ
。 ｡ﾟ。゜。 ﾟ｡ 。
/ ／/ ／ ／
( Д ) Д)Д))
358１３２人目の素数さん
2020/09/12(土) 19:46:27.30ID:2egwOLTc …ﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!返ｼ…
|∞
|´艸)) ﾌﾟﾌﾟﾌﾟﾌﾟﾌﾟｰｯ!
|／
|ｶﾜｨｨｯ!
|＼
|=з
|∞
|´艸)) ﾌﾟﾌﾟﾌﾟﾌﾟﾌﾟｰｯ!
|／
|ｶﾜｨｨｯ!
|＼
|=з
359現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/12(土) 19:52:31.47ID:cnqeiEp4 「行列式はテンソルです」・「行列式は行列です」笑える～！（＾＾
全く無意味
何を考えているのか？
アホとしか思えん
アホが、ハナタカ、シッタカしたかったのだろうが
下記もそうだ
（>>167より）
”例えば群の例で、自然数しか思いつかないようなもんで唯一の例を根拠に「群の演算は可換！」とか言いきったら馬鹿”とか、大爆笑。自然数は群ではない（＾＾
さらに
正方行列の逆元（＝逆行列）の話で
(>>175より）
うるさいから、正方行列で、>>149で”零因子 高校数学 >> 旧高校数学C 、行列環や零因子（wikipedia）などを自学自習して下さい”と言った
ところがところが、おサルは怒り狂って「なんかまたトンチンカンなこといってるな、零因子の話なんかまったくしてないぞ」という
正方行列の逆元（＝逆行列）と零因子とは、裏表の関係
アホが、ハナタカ、シッタカしたかったのだろうが、無知のアホ丸出し
全く無意味
何を考えているのか？
アホとしか思えん
アホが、ハナタカ、シッタカしたかったのだろうが
下記もそうだ
（>>167より）
”例えば群の例で、自然数しか思いつかないようなもんで唯一の例を根拠に「群の演算は可換！」とか言いきったら馬鹿”とか、大爆笑。自然数は群ではない（＾＾
さらに
正方行列の逆元（＝逆行列）の話で
(>>175より）
うるさいから、正方行列で、>>149で”零因子 高校数学 >> 旧高校数学C 、行列環や零因子（wikipedia）などを自学自習して下さい”と言った
ところがところが、おサルは怒り狂って「なんかまたトンチンカンなこといってるな、零因子の話なんかまったくしてないぞ」という
正方行列の逆元（＝逆行列）と零因子とは、裏表の関係
アホが、ハナタカ、シッタカしたかったのだろうが、無知のアホ丸出し
360現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/12(土) 19:53:09.17ID:cnqeiEp4361１３２人目の素数さん
2020/09/12(土) 20:07:33.20ID:2egwOLTc |∞
|///))…ｺﾝﾊﾞﾝﾊ…
с ご無沙汰いたして
おります
|=з ぉ邪魔しました~!
|///))…ｺﾝﾊﾞﾝﾊ…
с ご無沙汰いたして
おります
|=з ぉ邪魔しました~!
362１３２人目の素数さん
2020/09/12(土) 20:23:51.11ID:pEvJeedl >>359
🐎🦌「行列式はテンソルに非ず！！！」とトンデモ発言で発狂
行列式が反対称的多重線形写像であることも知らないとか正真正銘のidiot
大学に入れなかった🐎🦌は、数学板に書くな いや 数学板読むな
何も理解できず、時間の無駄だから
🐎🦌「行列式はテンソルに非ず！！！」とトンデモ発言で発狂
行列式が反対称的多重線形写像であることも知らないとか正真正銘のidiot
大学に入れなかった🐎🦌は、数学板に書くな いや 数学板読むな
何も理解できず、時間の無駄だから
363現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/12(土) 21:26:40.45ID:cnqeiEp4 まあ、数学科の数学徒は、テンソルは世の中、下記３種あるということを、覚えておいてください
１．いま、最新の（AI）デープラーニングのテンソル。これは、単に数の多次元配列ということ
スカラー 0次元、ベクトル 1次元、行列2次元、テンソル 3次元以上
https://tutorials.chainer.org/ja/05_Basics_of_Linear_Algebra.html
Chainer Tutorial
5.1. スカラ・ベクトル・行列・テンソル
２．物理のテンソル：上記と同じですが、3次元以上の数の多次元配列で、特徴的なのは共変テンソルと反変テンソルを使い分けて、具体的な計算をすること
（上記のAIでは、共変反変の区別なし） あと、共変反変でアインシュタインの規約を使うこと
http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/TensorConcept/
テンソルの概念 [物理のかぎしっぽ]
テンソルの成分
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E7%B8%AE%E7%B4%84%E8%A8%98%E6%B3%95
アインシュタインの縮約記法（アインシュタインのしゅくやくきほう、英: Einstein summation convention）またはアインシュタインの記法（アインシュタインのきほう、英: Einstein notation）は、アインシュタインが 1916 年に用いた添字 (suffix) の和の記法である[1]。アインシュタインの規約（アインシュタインのきやく、英: Einstein convention）とも呼ばれる。
このルールは一般相対性理論、量子力学、連続体力学、有限要素法などで重宝する。
３．数学の代数としての成分表示によらないテンソル
雪江 代数学2 2.10 テンソル積、代数学3 第4章 テンソル代数と双線形形式 がこれ
https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor
8 History
The work of Elie Cartan made differential forms one of the basic kinds of tensors used in mathematics.
Tensors are generalized within category theory by means of the concept of monoidal category, from the 1960s.[37]
つづく
１．いま、最新の（AI）デープラーニングのテンソル。これは、単に数の多次元配列ということ
スカラー 0次元、ベクトル 1次元、行列2次元、テンソル 3次元以上
https://tutorials.chainer.org/ja/05_Basics_of_Linear_Algebra.html
Chainer Tutorial
5.1. スカラ・ベクトル・行列・テンソル
２．物理のテンソル：上記と同じですが、3次元以上の数の多次元配列で、特徴的なのは共変テンソルと反変テンソルを使い分けて、具体的な計算をすること
（上記のAIでは、共変反変の区別なし） あと、共変反変でアインシュタインの規約を使うこと
http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/TensorConcept/
テンソルの概念 [物理のかぎしっぽ]
テンソルの成分
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E7%B8%AE%E7%B4%84%E8%A8%98%E6%B3%95
アインシュタインの縮約記法（アインシュタインのしゅくやくきほう、英: Einstein summation convention）またはアインシュタインの記法（アインシュタインのきほう、英: Einstein notation）は、アインシュタインが 1916 年に用いた添字 (suffix) の和の記法である[1]。アインシュタインの規約（アインシュタインのきやく、英: Einstein convention）とも呼ばれる。
このルールは一般相対性理論、量子力学、連続体力学、有限要素法などで重宝する。
３．数学の代数としての成分表示によらないテンソル
雪江 代数学2 2.10 テンソル積、代数学3 第4章 テンソル代数と双線形形式 がこれ
https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor
8 History
The work of Elie Cartan made differential forms one of the basic kinds of tensors used in mathematics.
Tensors are generalized within category theory by means of the concept of monoidal category, from the 1960s.[37]
つづく
364現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/12(土) 21:26:57.11ID:cnqeiEp4 >>363
つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Multilinear_algebra
Multilinear algebra
Use in algebraic topology
The resulting rather severe write-up of the topic (by Bourbaki) entirely rejected one approach in vector calculus (the quaternion route, that is, in the general case, the relation with Lie groups). They instead applied a novel approach using category theory, with the Lie group approach viewed as a separate matter. Since this leads to a much cleaner treatment, there was probably no going back in purely mathematical terms. (Strictly, the universal property approach was invoked; this is somewhat more general than category theory, and the relationship between the two as alternate ways was also being clarified, at the same time.)
つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Multilinear_algebra
Multilinear algebra
Use in algebraic topology
The resulting rather severe write-up of the topic (by Bourbaki) entirely rejected one approach in vector calculus (the quaternion route, that is, in the general case, the relation with Lie groups). They instead applied a novel approach using category theory, with the Lie group approach viewed as a separate matter. Since this leads to a much cleaner treatment, there was probably no going back in purely mathematical terms. (Strictly, the universal property approach was invoked; this is somewhat more general than category theory, and the relationship between the two as alternate ways was also being clarified, at the same time.)
365１３２人目の素数さん
2020/09/12(土) 21:55:37.75ID:J/Mt4O6p >>359
群の話してるのに突然群と無関係な零因子を持ち出したから指摘されたんでしょ？
wikipedia「零因子」より引用
「抽象代数学において、環 R の元 a は、ax=0 となる x≠0 が存在するとき、左零因子（ひだりれいいんし、ひだりぜろいんし、英: left zero divisor）と呼ばれる[1]。」
↑
環ですよ？群じゃないですよ？日本語分かりますかー？
群の話してるのに突然群と無関係な零因子を持ち出したから指摘されたんでしょ？
wikipedia「零因子」より引用
「抽象代数学において、環 R の元 a は、ax=0 となる x≠0 が存在するとき、左零因子（ひだりれいいんし、ひだりぜろいんし、英: left zero divisor）と呼ばれる[1]。」
↑
環ですよ？群じゃないですよ？日本語分かりますかー？
366１３２人目の素数さん
2020/09/13(日) 05:59:31.03ID:ytzI3Vl9 >>363
＞最新の（AI）デープラーニングのテンソル。
＞これは、単に数の多次元配列ということ
対称テンソル、反対称テンソルの場合
数の多次元配列で、かつ、それぞれ各成分の間に
添字の置換による等号関係、符号逆転関係が入る
したがって、成分の数がｎ＾ｍであっても
”独立成分の数”である実際の次元は
大幅に小さくなる
そんなの大学卒には常識なんだがね
高卒idiotは全く知らなかったんだね
＞最新の（AI）デープラーニングのテンソル。
＞これは、単に数の多次元配列ということ
対称テンソル、反対称テンソルの場合
数の多次元配列で、かつ、それぞれ各成分の間に
添字の置換による等号関係、符号逆転関係が入る
したがって、成分の数がｎ＾ｍであっても
”独立成分の数”である実際の次元は
大幅に小さくなる
そんなの大学卒には常識なんだがね
高卒idiotは全く知らなかったんだね
367現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/13(日) 11:05:41.44ID:ZV5nABCS >>365
>群の話してるのに突然群と無関係な零因子を持ち出したから指摘されたんでしょ？
残念ながら、それは違うのです
おサルは、底辺Ｆラン数学科のオチコボレで、おそらくは、修論で非ユークリッド幾何で双曲幾何をやったらしいが、それ以外の代数系とか確率論とかは からっきしです
それで、人の揚げ足を取りに来て、自分の無知をさらけ出し、すってんころり高ころびに ころぶ
（下記、「例えば群の例で、自然数」は、笑えましたね）
基本的に、数学知識の絶対量と、理解が浅くごく表面だけで終わっている。Ｆランのオチコボレの限界でしょうね
時枝不成立も分からず、ＩＵＴ成立も理解できず、アホの極みです
さて、補足すると（下記）
正方行列による群の話をしていたところ、おサルが”正則行列”だという
私スレ主は、それって、正方行列の零因子の話でしょと、
わざわざ ”高校数学 >> 旧高校数学C 行列 ■零因子”を引用したところ
意図を理解できず、怒り出して「なんかまたトンチンカンなこといってるな
零因子の話なんかまったくしてないぞ」（下記）というのです
いやいや、正方行列で、逆元（逆行列）を持つことと、その行列が零因子でないこととは、同値ですよ
知らなかったみたいですな
なお、”群の表現”wikipedia （下記）で、「表現行列 ”表現空間 V に適当な基底を導入すれば、T(g) は具体的に n 次正方行列で書き表せる”」
で、「n 次正方行列」は間違いで、「n 次正則行列」でなければならないとか、重箱の隅です
つーか、この場合には「n 次正方行列」で十分分かるし、この方が分り易い意味もあるのです
つづく
>群の話してるのに突然群と無関係な零因子を持ち出したから指摘されたんでしょ？
残念ながら、それは違うのです
おサルは、底辺Ｆラン数学科のオチコボレで、おそらくは、修論で非ユークリッド幾何で双曲幾何をやったらしいが、それ以外の代数系とか確率論とかは からっきしです
それで、人の揚げ足を取りに来て、自分の無知をさらけ出し、すってんころり高ころびに ころぶ
（下記、「例えば群の例で、自然数」は、笑えましたね）
基本的に、数学知識の絶対量と、理解が浅くごく表面だけで終わっている。Ｆランのオチコボレの限界でしょうね
時枝不成立も分からず、ＩＵＴ成立も理解できず、アホの極みです
さて、補足すると（下記）
正方行列による群の話をしていたところ、おサルが”正則行列”だという
私スレ主は、それって、正方行列の零因子の話でしょと、
わざわざ ”高校数学 >> 旧高校数学C 行列 ■零因子”を引用したところ
意図を理解できず、怒り出して「なんかまたトンチンカンなこといってるな
零因子の話なんかまったくしてないぞ」（下記）というのです
いやいや、正方行列で、逆元（逆行列）を持つことと、その行列が零因子でないこととは、同値ですよ
知らなかったみたいですな
なお、”群の表現”wikipedia （下記）で、「表現行列 ”表現空間 V に適当な基底を導入すれば、T(g) は具体的に n 次正方行列で書き表せる”」
で、「n 次正方行列」は間違いで、「n 次正則行列」でなければならないとか、重箱の隅です
つーか、この場合には「n 次正方行列」で十分分かるし、この方が分り易い意味もあるのです
つづく
368現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/13(日) 11:06:08.48ID:ZV5nABCS >>367
つづき
＜以下経緯詳細＞
前スレ 純粋・応用数学（含むガロア理論）3
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/103-104
https://tsujimotter.ハテナブログ/entry/def∈ition-of-sheaf
tsujimotterのノートブック
日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート
(抜粋)
2019-06-21
層の定義
最近、スキームの話をきっかけに、tsujimotterのノートブックにも「層」という概念が登場するようになりました。
今回は、いよいよ層の定義をしてみたいと思います。今日のポイントは、具体例の計算です。具体例を通して、層の理解を目指しましょう。
目次：
前層（復習）
前層の例
層の定義（２つの公理）
例１：共通部分を持たない開被覆
公理１：既約性条件
公理２：閉条件
例１のまとめ
例２：共通部分を持つ開被覆
公理１：既約性条件
公理２：閉条件
例２ まとめ
完全列を用いた層の定義の言い換え
まとめ
補足１：U = Φ の場合
補足２：解析接続と閉条件
参考文献
つづく
つづき
＜以下経緯詳細＞
前スレ 純粋・応用数学（含むガロア理論）3
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/103-104
https://tsujimotter.ハテナブログ/entry/def∈ition-of-sheaf
tsujimotterのノートブック
日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート
(抜粋)
2019-06-21
層の定義
最近、スキームの話をきっかけに、tsujimotterのノートブックにも「層」という概念が登場するようになりました。
今回は、いよいよ層の定義をしてみたいと思います。今日のポイントは、具体例の計算です。具体例を通して、層の理解を目指しましょう。
目次：
前層（復習）
前層の例
層の定義（２つの公理）
例１：共通部分を持たない開被覆
公理１：既約性条件
公理２：閉条件
例１のまとめ
例２：共通部分を持つ開被覆
公理１：既約性条件
公理２：閉条件
例２ まとめ
完全列を用いた層の定義の言い換え
まとめ
補足１：U = Φ の場合
補足２：解析接続と閉条件
参考文献
つづく
369現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/13(日) 11:06:26.12ID:ZV5nABCS >>368
つづき
いろいろ試行錯誤をしていくうちに、数学ガールという本の、とある有名なキャッチフレーズを思い出しました。
《例示は理解の試金石》
そうだ！
例示をしてみればわかるかもしれない！
そういうわけで、具体例の計算をしてみたのです。すると、不思議なことに、層の条件がなんだかわかってきた気がしました。
あっ、これ解析接続じゃん！！！
と思うわけです。解析接続との関係については、補足２で改めて言及します。
対象をスキームとして、射をエタール射に置き換えた圏を考えると、その上でエタール層と呼ばれる層の類似物を定義することができます。このエタール層の層係数コホモロジーこそが、あの有名なエタール・コホモロジーです。そう言われるとちょっと嬉しく感じてきますよね。
圏論化することによる層の一般化の話は、整数論サマースクールの三枝先生の記事で読みました。この記事を理解できるようになることが、私の目標の一つです。
http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/ss2009proceed∈g/SummerSchool-0201-2.pdf
(引用終り)
＜おサルの発言＞
前スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/130
>”抽象 ←→ 具体例 ”
例が１つだけだと確実に間違う
例えば群の例で、自然数しか思いつかないようなもん
で唯一の例を根拠に「群の演算は可換！」とか言いきったら馬鹿
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/133
群の例として、整数以外にあと２つ挙げてくれるかな
できれば非可換のもの
(引用終り)
つづく
つづき
いろいろ試行錯誤をしていくうちに、数学ガールという本の、とある有名なキャッチフレーズを思い出しました。
《例示は理解の試金石》
そうだ！
例示をしてみればわかるかもしれない！
そういうわけで、具体例の計算をしてみたのです。すると、不思議なことに、層の条件がなんだかわかってきた気がしました。
あっ、これ解析接続じゃん！！！
と思うわけです。解析接続との関係については、補足２で改めて言及します。
対象をスキームとして、射をエタール射に置き換えた圏を考えると、その上でエタール層と呼ばれる層の類似物を定義することができます。このエタール層の層係数コホモロジーこそが、あの有名なエタール・コホモロジーです。そう言われるとちょっと嬉しく感じてきますよね。
圏論化することによる層の一般化の話は、整数論サマースクールの三枝先生の記事で読みました。この記事を理解できるようになることが、私の目標の一つです。
http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/ss2009proceed∈g/SummerSchool-0201-2.pdf
(引用終り)
＜おサルの発言＞
前スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/130
>”抽象 ←→ 具体例 ”
例が１つだけだと確実に間違う
例えば群の例で、自然数しか思いつかないようなもん
で唯一の例を根拠に「群の演算は可換！」とか言いきったら馬鹿
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/133
群の例として、整数以外にあと２つ挙げてくれるかな
できれば非可換のもの
(引用終り)
つづく
370現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/13(日) 11:06:46.64ID:ZV5nABCS >>369
つづき
＜スレ主発言＞
前スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/134-142
まあ、折角だから書いておくと、正方行列（の成す群）とか多元数あたりな
群は基本的に非可換だよ
そもそもガロアが考えた理論の
代数方程式の根の置換群は、非可換だよ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E6%96%B9%E8%A1%8C%E5%88%97
正方行列
http://hooktail.sub.jp/math∈Phys/squareMatrix/
正方行列の基本性質
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E5%85%83%E6%95%B0
多元数
(引用終り)
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/149
>正：まあ、折角だから書いておくと、正方行列（の成す群）とか多元数あたりな
細かく書いたら切りが無い（＾＾
現高校数学で、行列を教えるかどうか知らないが
下記旧高校数学Cでは、行列を教えていた
後は、自学自習して下さい
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/matrix_mul1.html
高校数学 >> 旧高校数学C
*** 行列 ***
■零因子
(抜粋)
［解説］
● 行列については，
ＡＢ＝０であっても，Ａ＝０またはＢ＝０ とは限りません。
(対偶で言えば，Ａ≠0かつＢ≠0でもＡＢ＝０となることがあります。)
つづく
つづき
＜スレ主発言＞
前スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/134-142
まあ、折角だから書いておくと、正方行列（の成す群）とか多元数あたりな
群は基本的に非可換だよ
そもそもガロアが考えた理論の
代数方程式の根の置換群は、非可換だよ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E6%96%B9%E8%A1%8C%E5%88%97
正方行列
http://hooktail.sub.jp/math∈Phys/squareMatrix/
正方行列の基本性質
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E5%85%83%E6%95%B0
多元数
(引用終り)
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/149
>正：まあ、折角だから書いておくと、正方行列（の成す群）とか多元数あたりな
細かく書いたら切りが無い（＾＾
現高校数学で、行列を教えるかどうか知らないが
下記旧高校数学Cでは、行列を教えていた
後は、自学自習して下さい
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/matrix_mul1.html
高校数学 >> 旧高校数学C
*** 行列 ***
■零因子
(抜粋)
［解説］
● 行列については，
ＡＢ＝０であっても，Ａ＝０またはＢ＝０ とは限りません。
(対偶で言えば，Ａ≠0かつＢ≠0でもＡＢ＝０となることがあります。)
つづく
371現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/13(日) 11:07:10.44ID:ZV5nABCS >>370
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E7%92%B0
行列環
(抜粋)
行列環 は、行列の加法および行列の乗法のもとで環をなす、行列の任意の集まりである。別の環を成分に持つ n×n 行列全体の集合や無限次行列環 (∈f∈ite matrix r∈g) をなす無限次行列のある部分集合は行列環である。これらの行列環の任意の部分環もまた行列環である。
R が可換環のとき、行列環 Mn(R) は行列多元環 (matrix algebra) と呼ばれる結合多元環である。この状況において、M が行列で r が R の元であれば、行列 Mr は行列 M の各成分に r をかけたものである。
行列環は単位元をもたない環上作ることができるが、終始 R は単位元 1 ≠ 0 をもつ結合的環であると仮定する。
2×2実行列 の多元環 M2(R) は非可換結合多元環の簡単な例である。四元数と同じく R 上 4 次元であるが、四元数とは異なり、行列単位の積 E11E21 = 0 からわかるように、零因子をもち、したがって可除環ではない。その可逆元は正則行列でありそれらは群、一般線型群 GL(2,R) をなす
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%B6%E5%9B%A0%E5%AD%90
零因子
(引用終り)
＜おサルの発言＞
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/160
なんかまたトンチンカンなこといってるな
零因子の話なんかまったくしてないぞ
>行列環
>（2×2実行列の）可逆元は正則行列でありそれらは群、
>一般線型群 GL(2,R) をなす
おまえさあ、零因子とか関係ないことばっかり読んで、
重要な可逆元のところ読み飛ばすなよ
読字障害かよ
(引用終り)
つづく
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E7%92%B0
行列環
(抜粋)
行列環 は、行列の加法および行列の乗法のもとで環をなす、行列の任意の集まりである。別の環を成分に持つ n×n 行列全体の集合や無限次行列環 (∈f∈ite matrix r∈g) をなす無限次行列のある部分集合は行列環である。これらの行列環の任意の部分環もまた行列環である。
R が可換環のとき、行列環 Mn(R) は行列多元環 (matrix algebra) と呼ばれる結合多元環である。この状況において、M が行列で r が R の元であれば、行列 Mr は行列 M の各成分に r をかけたものである。
行列環は単位元をもたない環上作ることができるが、終始 R は単位元 1 ≠ 0 をもつ結合的環であると仮定する。
2×2実行列 の多元環 M2(R) は非可換結合多元環の簡単な例である。四元数と同じく R 上 4 次元であるが、四元数とは異なり、行列単位の積 E11E21 = 0 からわかるように、零因子をもち、したがって可除環ではない。その可逆元は正則行列でありそれらは群、一般線型群 GL(2,R) をなす
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%B6%E5%9B%A0%E5%AD%90
零因子
(引用終り)
＜おサルの発言＞
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/160
なんかまたトンチンカンなこといってるな
零因子の話なんかまったくしてないぞ
>行列環
>（2×2実行列の）可逆元は正則行列でありそれらは群、
>一般線型群 GL(2,R) をなす
おまえさあ、零因子とか関係ないことばっかり読んで、
重要な可逆元のところ読み飛ばすなよ
読字障害かよ
(引用終り)
つづく
372現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/13(日) 11:08:16.20ID:ZV5nABCS >>371
つづき
さて
＜スレ主補足＞
さて、下記行列wikipedia「正方行列において、行列式の値が非零となることは、それが正則であるための必要十分条件である」を、知らなかったおサル
また、一般線型群「n 次正方行列全体 Mn(F) のうち正則な行列全体が行列の積に関してなす群のことを一般線型群ということも多い。この場合には GLn(F) または GL(n, F) と表す。行列式がゼロでない行列全体と言い換えてもよい。」
よって、行列成す群において、
「逆行列を持つ←→正則な行列←→行列式の値が非零←→行列が零因子ではない」（”←→”は同値関係）
です。だから、正則行列←→行列が零因子ではない ってこと
正則行列は、行列式がゼロでない行列全体 つまり n 次正方行列全体 Mn(F) から、零因子を除けば、正則な行列全体が行列の積に関してなす群 GL(n, F)です
なお、私が念頭に置いていた例は、もっと一般の（群の表現論で使われる）正方行列（の成す群）です。
有限群の表現論では、ケイリーの定理（Cayley's theorem en.wikipedia）（置換群による表現）（下記）が有名ですが
多分コンピュータ計算との相性とか、リー群との関係とかで、行列表現がよく使われています
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97
行列
正方行列において、行列式の値が非零となることは、それが正則であるための必要十分条件である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%BE%A4
一般線型群
定義
F を体とする[注 1]。 F 線型空間 V 上 の一般線型群とは V 上の線型写像全体 End(V)[注 2] のうち全単射 な写像全体が写像の合成に関してなす群のことをいい、GL(V) または Aut(V)[注 3] と表す。
n 次正方行列全体 Mn(F) のうち正則な行列全体が行列の積に関してなす群のことを一般線型群ということも多い。この場合には GLn(F) または GL(n, F) と表す。行列式がゼロでない行列全体と言い換えてもよい。
つづく
つづき
さて
＜スレ主補足＞
さて、下記行列wikipedia「正方行列において、行列式の値が非零となることは、それが正則であるための必要十分条件である」を、知らなかったおサル
また、一般線型群「n 次正方行列全体 Mn(F) のうち正則な行列全体が行列の積に関してなす群のことを一般線型群ということも多い。この場合には GLn(F) または GL(n, F) と表す。行列式がゼロでない行列全体と言い換えてもよい。」
よって、行列成す群において、
「逆行列を持つ←→正則な行列←→行列式の値が非零←→行列が零因子ではない」（”←→”は同値関係）
です。だから、正則行列←→行列が零因子ではない ってこと
正則行列は、行列式がゼロでない行列全体 つまり n 次正方行列全体 Mn(F) から、零因子を除けば、正則な行列全体が行列の積に関してなす群 GL(n, F)です
なお、私が念頭に置いていた例は、もっと一般の（群の表現論で使われる）正方行列（の成す群）です。
有限群の表現論では、ケイリーの定理（Cayley's theorem en.wikipedia）（置換群による表現）（下記）が有名ですが
多分コンピュータ計算との相性とか、リー群との関係とかで、行列表現がよく使われています
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97
行列
正方行列において、行列式の値が非零となることは、それが正則であるための必要十分条件である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%BE%A4
一般線型群
定義
F を体とする[注 1]。 F 線型空間 V 上 の一般線型群とは V 上の線型写像全体 End(V)[注 2] のうち全単射 な写像全体が写像の合成に関してなす群のことをいい、GL(V) または Aut(V)[注 3] と表す。
n 次正方行列全体 Mn(F) のうち正則な行列全体が行列の積に関してなす群のことを一般線型群ということも多い。この場合には GLn(F) または GL(n, F) と表す。行列式がゼロでない行列全体と言い換えてもよい。
つづく
373現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/13(日) 11:08:46.93ID:ZV5nABCS >>372
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F
行列式
行列の可逆性を判定する指標として線型代数学における最も重要な指標の一つと見なされている。
6.3 余因子行列と逆行列
A の行列式 det(A) の値が 0 でない場合には
略
は A の逆行列 A?1 に一致する (クラメルの公式、cramer's fomula))。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4%E3%81%AE%E8%A1%A8%E7%8F%BE
群の表現
目次
1.2 表現行列
表現行列
表現空間を明示したいときは組 (V, T) で表現を表す。表現空間 V の次元 n を表現の次元という。表現空間 V に適当な基底を導入すれば、T(g) は具体的に n 次正方行列で書き表せるから、群 G の表現とは「Gから正則行列の成す群 GLn への準同型写像である」といってもよい。このとき行列 T(g) を g の表現行列と呼ぶ。
つまり群 G に対応して行列の集合 Γ =｛T(g)｜ g∈ G} があり、任意の群の元 g, h に対して T(gh) = T(g)T(h) が成り立つとき、これらの行列を群 G の表現行列という。
https://en.wikipedia.org/wiki/Cayley%27s_theorem
Cayley's theorem
In group theory, Cayley's theorem, named in honour of Arthur Cayley, states that every group G is isomorphic to a subgroup of the symmetric group acting on G.[1] This can be understood as an example of the group action of G on the elements of G.[2]
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4
リー群
リー群の定義を圏論の言葉で述べれば、リー群とは可微分多様体の圏の群対象のことであるということができる。
複素数体 C 上の二次特殊線型群 SL(2, C) などは複素リー群の例である。また、直交群や斜交群は、成分の属する体の直積位相からの相対位相に関して多様体とみるとリー群である。このような行列からなるリー群は総じて（代数的）行列群あるいは線型代数群と呼ばれる一類に属する[注釈 3]。
(引用終り)
以上
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F
行列式
行列の可逆性を判定する指標として線型代数学における最も重要な指標の一つと見なされている。
6.3 余因子行列と逆行列
A の行列式 det(A) の値が 0 でない場合には
略
は A の逆行列 A?1 に一致する (クラメルの公式、cramer's fomula))。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4%E3%81%AE%E8%A1%A8%E7%8F%BE
群の表現
目次
1.2 表現行列
表現行列
表現空間を明示したいときは組 (V, T) で表現を表す。表現空間 V の次元 n を表現の次元という。表現空間 V に適当な基底を導入すれば、T(g) は具体的に n 次正方行列で書き表せるから、群 G の表現とは「Gから正則行列の成す群 GLn への準同型写像である」といってもよい。このとき行列 T(g) を g の表現行列と呼ぶ。
つまり群 G に対応して行列の集合 Γ =｛T(g)｜ g∈ G} があり、任意の群の元 g, h に対して T(gh) = T(g)T(h) が成り立つとき、これらの行列を群 G の表現行列という。
https://en.wikipedia.org/wiki/Cayley%27s_theorem
Cayley's theorem
In group theory, Cayley's theorem, named in honour of Arthur Cayley, states that every group G is isomorphic to a subgroup of the symmetric group acting on G.[1] This can be understood as an example of the group action of G on the elements of G.[2]
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4
リー群
リー群の定義を圏論の言葉で述べれば、リー群とは可微分多様体の圏の群対象のことであるということができる。
複素数体 C 上の二次特殊線型群 SL(2, C) などは複素リー群の例である。また、直交群や斜交群は、成分の属する体の直積位相からの相対位相に関して多様体とみるとリー群である。このような行列からなるリー群は総じて（代数的）行列群あるいは線型代数群と呼ばれる一類に属する[注釈 3]。
(引用終り)
以上
374現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/13(日) 11:13:47.66ID:ZV5nABCS >>368-369 蛇足
蛇足ですが、日曜数学者 tsujimotter 氏を擁護しておくと
「層の定義」は、しっかり書かれていると思いますよ
”あっ、これ解析接続じゃん！！！”も
あくまで、《例示は理解の試金石》の文脈で言っているわけですし
岡の多変数解析論から、層の概念が洗練されていったわけですし
これが、層理論の根底にある
別に、おかしなことを書いているわけではないです
読めば分かります（＾＾
蛇足ですが、日曜数学者 tsujimotter 氏を擁護しておくと
「層の定義」は、しっかり書かれていると思いますよ
”あっ、これ解析接続じゃん！！！”も
あくまで、《例示は理解の試金石》の文脈で言っているわけですし
岡の多変数解析論から、層の概念が洗練されていったわけですし
これが、層理論の根底にある
別に、おかしなことを書いているわけではないです
読めば分かります（＾＾
375１３２人目の素数さん
2020/09/13(日) 13:53:57.07ID:Qwe/mO3+ >>367
>おサルは、底辺Ｆラン数学科のオチコボレで、おそらくは、修論で非ユークリッド幾何で双曲幾何をやったらしいが、それ以外の代数系とか確率論とかは からっきしです
>それで、人の揚げ足を取りに来て、自分の無知をさらけ出し、すってんころり高ころびに ころぶ
>（下記、「例えば群の例で、自然数」は、笑えましたね）
整数全体の集合は加法群になりますが、それを言い間違えたのかどうか知りませんが、
いずれにしろ揚げ足取りに腐心してるのはどう見てもあなたですけど。
>基本的に、数学知識の絶対量と、理解が浅くごく表面だけで終わっている。Ｆランのオチコボレの限界でしょうね
>時枝不成立も分からず、ＩＵＴ成立も理解できず、アホの極みです
時枝は成立ですけど。あなたの主張の間違いは明確に指摘されてますよね？あっちのスレで。
>いやいや、正方行列で、逆元（逆行列）を持つことと、その行列が零因子でないこととは、同値ですよ
>知らなかったみたいですな
全然分かってないですね。同値か否かなんて関係無いんですよ。
群の話をしてるのに群とは無関係なことを持ち出したのがオカシイと言ってるのですよ。
さらに言えばあなたがおサルと呼んでる方は「同値でない」なんて一言も言ってないですよね？なんでそれでマウント取った気になってるのですか？
>おサルは、底辺Ｆラン数学科のオチコボレで、おそらくは、修論で非ユークリッド幾何で双曲幾何をやったらしいが、それ以外の代数系とか確率論とかは からっきしです
>それで、人の揚げ足を取りに来て、自分の無知をさらけ出し、すってんころり高ころびに ころぶ
>（下記、「例えば群の例で、自然数」は、笑えましたね）
整数全体の集合は加法群になりますが、それを言い間違えたのかどうか知りませんが、
いずれにしろ揚げ足取りに腐心してるのはどう見てもあなたですけど。
>基本的に、数学知識の絶対量と、理解が浅くごく表面だけで終わっている。Ｆランのオチコボレの限界でしょうね
>時枝不成立も分からず、ＩＵＴ成立も理解できず、アホの極みです
時枝は成立ですけど。あなたの主張の間違いは明確に指摘されてますよね？あっちのスレで。
>いやいや、正方行列で、逆元（逆行列）を持つことと、その行列が零因子でないこととは、同値ですよ
>知らなかったみたいですな
全然分かってないですね。同値か否かなんて関係無いんですよ。
群の話をしてるのに群とは無関係なことを持ち出したのがオカシイと言ってるのですよ。
さらに言えばあなたがおサルと呼んでる方は「同値でない」なんて一言も言ってないですよね？なんでそれでマウント取った気になってるのですか？
376１３２人目の素数さん
2020/09/13(日) 16:16:27.84ID:ytzI3Vl9 >>375
＞整数全体の集合は加法群になりますが、
＞それを言い間違えたのかどうか知りませんが
ま、そうでしょう
＞＞正方行列で、逆元（逆行列）を持つことと、
＞＞その行列が零因子でないこととは、同値ですよ
＞同値か否かなんて関係無いんですよ。
＞群の話をしてるのに群とは無関係なことを持ち出したのが
＞オカシイと言ってるのですよ。
ま、そうでしょう
◆yH25M02vWFhP は行列式を知らないから
「行列式が０でない」という性質で
正則行列が特定できることも
知らなかったんでしょう
これで大学なんて行ったこともないのが丸わかり
ま、文系学部ならともかく、工学部でも線形代数は必須だから
行列式を知らないなんて、万が一にもありえません
私の職場の人間（ほぼ理系）に尋ねてみましたが
行列式を知らんなんて人は一人もいませんでした
皆しかるべき国立大か、有名私立大の出身者です
＞整数全体の集合は加法群になりますが、
＞それを言い間違えたのかどうか知りませんが
ま、そうでしょう
＞＞正方行列で、逆元（逆行列）を持つことと、
＞＞その行列が零因子でないこととは、同値ですよ
＞同値か否かなんて関係無いんですよ。
＞群の話をしてるのに群とは無関係なことを持ち出したのが
＞オカシイと言ってるのですよ。
ま、そうでしょう
◆yH25M02vWFhP は行列式を知らないから
「行列式が０でない」という性質で
正則行列が特定できることも
知らなかったんでしょう
これで大学なんて行ったこともないのが丸わかり
ま、文系学部ならともかく、工学部でも線形代数は必須だから
行列式を知らないなんて、万が一にもありえません
私の職場の人間（ほぼ理系）に尋ねてみましたが
行列式を知らんなんて人は一人もいませんでした
皆しかるべき国立大か、有名私立大の出身者です
377１３２人目の素数さん
2020/09/13(日) 16:20:14.17ID:ytzI3Vl9 いっときますが、知らないことが悪いなんていってませんよ
大学出てないことが悪いとも言ってない
そもそも見栄で大学卒を詐称し、分かりもしないことを
分かったような顔してコピペすることが
恥ずかしいし、無意味だといってるんですよ
何のために大学に入って学問を学ぶのか 分かってないんでしょうね
サラリーマンとして出世するため大卒の卒業証書がほしい、
とかいう🐎🦌は大学に来ないでほしいんですよ
大学出てないことが悪いとも言ってない
そもそも見栄で大学卒を詐称し、分かりもしないことを
分かったような顔してコピペすることが
恥ずかしいし、無意味だといってるんですよ
何のために大学に入って学問を学ぶのか 分かってないんでしょうね
サラリーマンとして出世するため大卒の卒業証書がほしい、
とかいう🐎🦌は大学に来ないでほしいんですよ
378現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/13(日) 16:33:38.73ID:ZV5nABCS >>375
>整数全体の集合は加法群になりますが、それを言い間違えたのかどうか知りませんが、
>いずれにしろ揚げ足取りに腐心してるのはどう見てもあなたですけど。
違うよ
明らかに、おサル言い間違いでしょうね
でもね、「言い間違い」ということを 自ら認めるべき
認めないで、言い繕いやゴマカシをしようとする
あるいは、自分の言い間違いを、糊塗するために、人を（こちらを）攻撃して、誤魔化そうとするのです
だから、こちらも ゴマカシ攻撃に対応して、
(>>316のように)”「自然数Ｎが、群の例？」 なんじゃ、そりゃ？”とからかうのです（＾＾
自分の失言を認めず、他人を攻撃してゴマカス
良い性格してますな～、おサルさん・・（＾＾；
「したがって、行列式はテンソルです」も同じです
明らかに、失言でしょうねｗ（＾＾
>時枝は成立ですけど。あなたの主張の間違いは明確に指摘されてますよね？あっちのスレで。
やっぱり あなたは、時枝不成立が分からないお方でしたか
おかわいそうに
あなたも、いま空気が変わったの分かるでしょ
いまは、時枝不成立が分からない人、小数派ですよｗｗｗ（＾＾；
>群の話をしてるのに群とは無関係なことを持ち出したのがオカシイと言ってるのですよ。
文脈として、あきらかに正方行列の話ですよ
正方行列によって、群を表現する話です
そういう文脈ですよ
>さらに言えばあなたがおサルと呼んでる方は「同値でない」なんて一言も言ってないですよね？なんでそれでマウント取った気になってるのですか？
別に、マウントとか関係ない
上記のように、自分の失言をゴマカスために、人を攻撃してくるので、それに反撃しているだけです
自分の失言を認めれば良いのです
だが、それができない サイコパス性格なのでしょうね
哀れ、それでは普通は、大人の社会では受入れられない性格です
なお、非可換な群の例として、”正方行列（の成す群）”（>>370）を言ったわけですから、
行列の積による群であって、逆元が存在するためには、
行列式が非零つまり、零因子でない正方行列って話を言っているだけのことですよ（>>370）
>整数全体の集合は加法群になりますが、それを言い間違えたのかどうか知りませんが、
>いずれにしろ揚げ足取りに腐心してるのはどう見てもあなたですけど。
違うよ
明らかに、おサル言い間違いでしょうね
でもね、「言い間違い」ということを 自ら認めるべき
認めないで、言い繕いやゴマカシをしようとする
あるいは、自分の言い間違いを、糊塗するために、人を（こちらを）攻撃して、誤魔化そうとするのです
だから、こちらも ゴマカシ攻撃に対応して、
(>>316のように)”「自然数Ｎが、群の例？」 なんじゃ、そりゃ？”とからかうのです（＾＾
自分の失言を認めず、他人を攻撃してゴマカス
良い性格してますな～、おサルさん・・（＾＾；
「したがって、行列式はテンソルです」も同じです
明らかに、失言でしょうねｗ（＾＾
>時枝は成立ですけど。あなたの主張の間違いは明確に指摘されてますよね？あっちのスレで。
やっぱり あなたは、時枝不成立が分からないお方でしたか
おかわいそうに
あなたも、いま空気が変わったの分かるでしょ
いまは、時枝不成立が分からない人、小数派ですよｗｗｗ（＾＾；
>群の話をしてるのに群とは無関係なことを持ち出したのがオカシイと言ってるのですよ。
文脈として、あきらかに正方行列の話ですよ
正方行列によって、群を表現する話です
そういう文脈ですよ
>さらに言えばあなたがおサルと呼んでる方は「同値でない」なんて一言も言ってないですよね？なんでそれでマウント取った気になってるのですか？
別に、マウントとか関係ない
上記のように、自分の失言をゴマカスために、人を攻撃してくるので、それに反撃しているだけです
自分の失言を認めれば良いのです
だが、それができない サイコパス性格なのでしょうね
哀れ、それでは普通は、大人の社会では受入れられない性格です
なお、非可換な群の例として、”正方行列（の成す群）”（>>370）を言ったわけですから、
行列の積による群であって、逆元が存在するためには、
行列式が非零つまり、零因子でない正方行列って話を言っているだけのことですよ（>>370）
379粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
2020/09/13(日) 16:42:37.95ID:iRzhoQV/ 研究発見だけでなく正確解釈まで一流に任せ切りにした結果が
不正確な解釈に基づいた誤った解説
KingOfUniverseが此のスレに再臨し此のスレを評論し始めたら此のスレの大義は壊滅するじゃろうか？
其れとも瀬田氏は「非学者論に負けず」を貫く「無敵の人」を徹底する「裸の王様」で居続けられるじゃろうか？
不正確な解釈に基づいた誤った解説
KingOfUniverseが此のスレに再臨し此のスレを評論し始めたら此のスレの大義は壊滅するじゃろうか？
其れとも瀬田氏は「非学者論に負けず」を貫く「無敵の人」を徹底する「裸の王様」で居続けられるじゃろうか？
380現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/13(日) 16:45:32.50ID:ZV5nABCS >>377
>そもそも見栄で大学卒を詐称し、分かりもしないことを
言っていることが、根拠レスですよ（別にここで、自分の経歴をひけらかすつもりはないが）
そもそも、時枝不成立が、分からない方が(>>375＆>>378)、どうかしている
大学教程の確率論・確率過程論を学べば、時枝不成立は直ちに理解できますよ（下記）
（参考）
現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/169
(抜粋)
時枝(>>7)が成立しないことは、大学教程の確率論・確率過程論を、学んだ人にはすぐ分かる
呪文は、IID（独立同分布）（>>8-9）！
(引用終り)
>分かったような顔してコピペすることが
>恥ずかしいし、無意味だといってるんですよ
意味不明。本来５ｃｈなんて、”名無し”さんが書くところ
数学板なんて、日本の数学界では、場末もいいところでしょ
で、あなたは、なんの資格で、５ｃｈ数学板に投稿しているの？ 学歴証明貼付けてよ、大口叩くならね
できない？ そう、できないでしょ！ 自分の出来ないことを、他人に要求するとは、如何なものかｗ（＾＾
別に、私は、コテハンとトリップ付けていますが
”名無し”さんと思ってもらって結構です
それで、５ｃｈではなんの問題もないはずですよ、読み手にとっては
まあ、ご高説をたれるなら、時枝不成立が分かってからにしてくださいねｗｗｗｗ（＾＾
>そもそも見栄で大学卒を詐称し、分かりもしないことを
言っていることが、根拠レスですよ（別にここで、自分の経歴をひけらかすつもりはないが）
そもそも、時枝不成立が、分からない方が(>>375＆>>378)、どうかしている
大学教程の確率論・確率過程論を学べば、時枝不成立は直ちに理解できますよ（下記）
（参考）
現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/169
(抜粋)
時枝(>>7)が成立しないことは、大学教程の確率論・確率過程論を、学んだ人にはすぐ分かる
呪文は、IID（独立同分布）（>>8-9）！
(引用終り)
>分かったような顔してコピペすることが
>恥ずかしいし、無意味だといってるんですよ
意味不明。本来５ｃｈなんて、”名無し”さんが書くところ
数学板なんて、日本の数学界では、場末もいいところでしょ
で、あなたは、なんの資格で、５ｃｈ数学板に投稿しているの？ 学歴証明貼付けてよ、大口叩くならね
できない？ そう、できないでしょ！ 自分の出来ないことを、他人に要求するとは、如何なものかｗ（＾＾
別に、私は、コテハンとトリップ付けていますが
”名無し”さんと思ってもらって結構です
それで、５ｃｈではなんの問題もないはずですよ、読み手にとっては
まあ、ご高説をたれるなら、時枝不成立が分かってからにしてくださいねｗｗｗｗ（＾＾
381現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/13(日) 17:02:52.35ID:ZV5nABCS382１３２人目の素数さん
2020/09/13(日) 17:14:29.49ID:ytzI3Vl9 >>378
「自然数全体は群を成す」は「57は素数である」と
同レベルの勘違いなので、再三ツッコんでも仕方ない
しかし「自然数全体は群を成す」にツッコんだ人が
「正方行列（の全体）は群を成す」といったら
完全な自爆行為ｗ
＞正方行列によって、群を表現する話です
まだわかってないんだｗ
正しくは「正則行列によって、群を表現する」
つまり、正則行列より広い範囲は必要ないし、無理ｗ
あんたほんと行列のランクと行列式からやり直しなよｗ
「自然数全体は群を成す」は「57は素数である」と
同レベルの勘違いなので、再三ツッコんでも仕方ない
しかし「自然数全体は群を成す」にツッコんだ人が
「正方行列（の全体）は群を成す」といったら
完全な自爆行為ｗ
＞正方行列によって、群を表現する話です
まだわかってないんだｗ
正しくは「正則行列によって、群を表現する」
つまり、正則行列より広い範囲は必要ないし、無理ｗ
あんたほんと行列のランクと行列式からやり直しなよｗ
383１３２人目の素数さん
2020/09/13(日) 17:16:45.84ID:6oIiiCe8 >>381
君よりは格上だろ
君よりは格上だろ
384１３２人目の素数さん
2020/09/13(日) 17:19:26.52ID:ytzI3Vl9 >>380
>>そもそも見栄で大学卒を詐称し、・・・
>言っていることが、根拠レスですよ
>（別にここで、自分の経歴をひけらかすつもりはないが）
ま、ここであなたの卒業証書の画像を示す以外
あなたが大学卒であると示すことは不可能だが
仮にそうしたところで、
・あなたが線形代数の基礎すら理解せずに単位を修得したこと
・あなたの卒業した大学が、あなたに対して不適切な単位を与えたこと
が明らかになるだけで、あなたの卒業大学が大恥かくだけですね
それが大阪大学？いやこれ大スキャンダルだわｗｗｗｗｗｗｗ
>>そもそも見栄で大学卒を詐称し、・・・
>言っていることが、根拠レスですよ
>（別にここで、自分の経歴をひけらかすつもりはないが）
ま、ここであなたの卒業証書の画像を示す以外
あなたが大学卒であると示すことは不可能だが
仮にそうしたところで、
・あなたが線形代数の基礎すら理解せずに単位を修得したこと
・あなたの卒業した大学が、あなたに対して不適切な単位を与えたこと
が明らかになるだけで、あなたの卒業大学が大恥かくだけですね
それが大阪大学？いやこれ大スキャンダルだわｗｗｗｗｗｗｗ
385１３２人目の素数さん
2020/09/13(日) 17:24:35.47ID:ytzI3Vl9 >>383
もし、◆yH25M02vWFhP ＜ 蕎麦 としよう
蕎麦は、どうみても国立大卒とは思えない
よく見積もっても三流私大卒だろう
ここで
一流：まあせいぜいMARCHレベル
二流：日東駒専レベル
とすると、三流は、自ずから「大東亜帝国レベル」となる
もう名前書けば入れるFラン大学なんて、
何流とかいいたくないレベルだけどな
だって、大学で中学数学のおさらいしてるんだろ？
中学って微積分どころか、指数・対数関数も三角関数も出てこないぞｗ
逆にお蕎麦が国立大、しかも旧帝大卒とかだったら、マジでアタマ痛い
もし、◆yH25M02vWFhP ＜ 蕎麦 としよう
蕎麦は、どうみても国立大卒とは思えない
よく見積もっても三流私大卒だろう
ここで
一流：まあせいぜいMARCHレベル
二流：日東駒専レベル
とすると、三流は、自ずから「大東亜帝国レベル」となる
もう名前書けば入れるFラン大学なんて、
何流とかいいたくないレベルだけどな
だって、大学で中学数学のおさらいしてるんだろ？
中学って微積分どころか、指数・対数関数も三角関数も出てこないぞｗ
逆にお蕎麦が国立大、しかも旧帝大卒とかだったら、マジでアタマ痛い
386１３２人目の素数さん
2020/09/13(日) 17:29:37.22ID:ytzI3Vl9 >>380
＞大学教程の確率論・確率過程論を学べば、時枝不成立は直ちに理解できますよ
箱＝確率変数、と誤解すると、時枝不成立と誤解する
時枝成立 とすると、箱が確率変数ではない、と分かる
もちろん、箱が確率変数でない場合の確率計算なんて実にバカバカしい
だから何か高尚な話をしているはずだ、と思いたがる人はその仮説を否定する
しかし、実際はそんな大した話ではない
「正しいが自明」 箱入り無数目は、そんな記事である
＞大学教程の確率論・確率過程論を学べば、時枝不成立は直ちに理解できますよ
箱＝確率変数、と誤解すると、時枝不成立と誤解する
時枝成立 とすると、箱が確率変数ではない、と分かる
もちろん、箱が確率変数でない場合の確率計算なんて実にバカバカしい
だから何か高尚な話をしているはずだ、と思いたがる人はその仮説を否定する
しかし、実際はそんな大した話ではない
「正しいが自明」 箱入り無数目は、そんな記事である
387１３２人目の素数さん
2020/09/13(日) 17:29:56.02ID:Qwe/mO3+ >>380
>大学教程の確率論・確率過程論を学べば、時枝不成立は直ちに理解できますよ（下記）
だから早く確率論・確率過程論でThe Riddle 不成立を証明して下さいよ。
The Riddleは確率を一切使ってないのに、確率論・確率過程論で証明できると聞いて楽しみに待ってるんですから。
The Riddle では「100人の数学者のうち99人以上が勝つ」
箱入り無数目では「勝率99/100以上」
と、同じ主張を異なる表現で表しているだけなので成否は同じですよ？
>大学教程の確率論・確率過程論を学べば、時枝不成立は直ちに理解できますよ（下記）
だから早く確率論・確率過程論でThe Riddle 不成立を証明して下さいよ。
The Riddleは確率を一切使ってないのに、確率論・確率過程論で証明できると聞いて楽しみに待ってるんですから。
The Riddle では「100人の数学者のうち99人以上が勝つ」
箱入り無数目では「勝率99/100以上」
と、同じ主張を異なる表現で表しているだけなので成否は同じですよ？
388１３２人目の素数さん
2020/09/13(日) 17:35:56.05ID:ytzI3Vl9 Prussのnon conglomerableと、The Riddleは矛盾しない
The Riddleの一般化として、箱の中身を確率変数とする
（具体的には毎回の試行で箱の中身を変える）とすれば
それは当然non conglomerableだからダメである
し・か・し、The Riddleはそもそも
「毎回の試行で箱の中身を変える」
なんて一言もいってないし、実際の計算は
「毎回の試行で箱の中身は変えない」
前提で行っている
「毎回の試行で箱の中身は変えない」設定がバカバカしい
というごもっともな批判はあるが、そんなこといくらいっても
The Riddleは否定できないｗ
The Riddleの一般化として、箱の中身を確率変数とする
（具体的には毎回の試行で箱の中身を変える）とすれば
それは当然non conglomerableだからダメである
し・か・し、The Riddleはそもそも
「毎回の試行で箱の中身を変える」
なんて一言もいってないし、実際の計算は
「毎回の試行で箱の中身は変えない」
前提で行っている
「毎回の試行で箱の中身は変えない」設定がバカバカしい
というごもっともな批判はあるが、そんなこといくらいっても
The Riddleは否定できないｗ
389現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/13(日) 19:20:11.77ID:ZV5nABCS >>383
＞君よりは格上だろ
まあ、つもりは認めるし
実際に、格上かもしれないがね
もっとも、自分としても、主観的には、格下のつもりもない
粋蕎 ◆C2UdlLHDRI氏は数学的なことは、ほとんど書いてないよね
”KingOfUniverse”とか、12年前のコテの都市伝説を語ることは、多いとしてもね
＞君よりは格上だろ
まあ、つもりは認めるし
実際に、格上かもしれないがね
もっとも、自分としても、主観的には、格下のつもりもない
粋蕎 ◆C2UdlLHDRI氏は数学的なことは、ほとんど書いてないよね
”KingOfUniverse”とか、12年前のコテの都市伝説を語ることは、多いとしてもね
390現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/13(日) 19:22:31.49ID:ZV5nABCS >>386
>箱＝確率変数、と誤解すると、時枝不成立と誤解する
>時枝成立 とすると、箱が確率変数ではない、と分かる
スレチだが、笑える
「確率変数とは何か？」が、全く理解できていないね
また、お笑い発言だな
>箱＝確率変数、と誤解すると、時枝不成立と誤解する
>時枝成立 とすると、箱が確率変数ではない、と分かる
スレチだが、笑える
「確率変数とは何か？」が、全く理解できていないね
また、お笑い発言だな
391１３２人目の素数さん
2020/09/13(日) 20:04:42.85ID:ytzI3Vl9392１３２人目の素数さん
2020/09/13(日) 20:06:09.79ID:ytzI3Vl9393１３２人目の素数さん
2020/09/13(日) 20:30:16.31ID:Qwe/mO3+ >>390
箱入り無数目の確率変数は列番号kだよ。
「さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ. 例えばkが選ばれたとせよ. s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない. 」
↑からそれが読み取れないって国語力壊滅してますよ。数学の前に国語を学ぶべき。
尚、確率論風に書けば以下。
---------------
確率空間は (Ω={1,2,...,100}, F=2^Ω, P(f∈F)=|f|/|Ω|)
確率変数 X:Ω→E は Ω={1,2,...,100}, E={アタリ, ハズレ} と取ればよい。
確率質量関数 P:E→[0,1] は P(アタリ)≧99/100, P(ハズレ)≦1/100 となる（証明は箱入り無数目参照）。
---------------
箱入り無数目の確率変数は列番号kだよ。
「さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ. 例えばkが選ばれたとせよ. s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない. 」
↑からそれが読み取れないって国語力壊滅してますよ。数学の前に国語を学ぶべき。
尚、確率論風に書けば以下。
---------------
確率空間は (Ω={1,2,...,100}, F=2^Ω, P(f∈F)=|f|/|Ω|)
確率変数 X:Ω→E は Ω={1,2,...,100}, E={アタリ, ハズレ} と取ればよい。
確率質量関数 P:E→[0,1] は P(アタリ)≧99/100, P(ハズレ)≦1/100 となる（証明は箱入り無数目参照）。
---------------
394１３２人目の素数さん
2020/09/13(日) 20:56:14.80ID:ZV5nABCS >>384
>ま、ここであなたの卒業証書の画像を示す以外
>あなたが大学卒であると示すことは不可能だが
じゃあ、しばらく名無しになるかなｗｗｗ（＾＾
おれは、このスレで大卒を名乗ったこともないし
大卒だから、書いていることを信じてくれとか
コテハンとトリップを付けたから
何かを信用してくれと言った覚えも無い
そもそも、５ｃｈってそういうところ
名無しさんが、勝手に書いて
それをどう考えるかは
全ては、自分の力量
それは、数学板こそ
自分の力量で、なにが信用できて、何が信用できないか、全部自分で判断するしかない
その中で、私としては、殆ど全てに、裏付けの資料を添付している
そちらを見て貰えば良い話
なお、自分でやってみれば分かるが
裏付けの資料を添付するにも、力量が伴わないとできないんだよ
ネット検索をするにしても、適切なキーワードが浮かばないと
適切な資料がヒットしない
例えば、>>22 "ジューコフスキー翼"に関して言えば
「リーマンの写像定理と等角写像；具体例と応用 青山学院大学 理工学部 物理数理学科」にあるように、”等角写像”が重要キーワードで、これを知っているか否かで、検索効率が違うわけですね（＾＾；
>ま、ここであなたの卒業証書の画像を示す以外
>あなたが大学卒であると示すことは不可能だが
じゃあ、しばらく名無しになるかなｗｗｗ（＾＾
おれは、このスレで大卒を名乗ったこともないし
大卒だから、書いていることを信じてくれとか
コテハンとトリップを付けたから
何かを信用してくれと言った覚えも無い
そもそも、５ｃｈってそういうところ
名無しさんが、勝手に書いて
それをどう考えるかは
全ては、自分の力量
それは、数学板こそ
自分の力量で、なにが信用できて、何が信用できないか、全部自分で判断するしかない
その中で、私としては、殆ど全てに、裏付けの資料を添付している
そちらを見て貰えば良い話
なお、自分でやってみれば分かるが
裏付けの資料を添付するにも、力量が伴わないとできないんだよ
ネット検索をするにしても、適切なキーワードが浮かばないと
適切な資料がヒットしない
例えば、>>22 "ジューコフスキー翼"に関して言えば
「リーマンの写像定理と等角写像；具体例と応用 青山学院大学 理工学部 物理数理学科」にあるように、”等角写像”が重要キーワードで、これを知っているか否かで、検索効率が違うわけですね（＾＾；
395１３２人目の素数さん
2020/09/13(日) 21:16:18.09ID:ytzI3Vl9 >>394
＞しばらく名無しになるかな
永遠にそうしたまえ
高卒の君に、ハンドル名もトリップも贅沢だ
ああ、そうそう 引きつり笑いの（＾＾も無用
馬鹿の虚勢は只々見苦しい
＞おれは、このスレで大卒を名乗ったこともないし
とうとう、学歴詐称を諦めたね いいことだ
＞大卒だから、書いていることを信じてくれとか
＞コテハンとトリップを付けたから
＞何かを信用してくれと言った覚えも無い
もし君が仮に大卒だったとしても
君の発言内容は大卒にふさわしくない
だったら高卒だといったほうがいいだろう
高卒で物を知らなくてもしかたないが
大卒なら当然知ってることを知らないのは恥ずかしい
大学で女子とセックスしかしてなかったというようなもんだｗｗｗ
＞しばらく名無しになるかな
永遠にそうしたまえ
高卒の君に、ハンドル名もトリップも贅沢だ
ああ、そうそう 引きつり笑いの（＾＾も無用
馬鹿の虚勢は只々見苦しい
＞おれは、このスレで大卒を名乗ったこともないし
とうとう、学歴詐称を諦めたね いいことだ
＞大卒だから、書いていることを信じてくれとか
＞コテハンとトリップを付けたから
＞何かを信用してくれと言った覚えも無い
もし君が仮に大卒だったとしても
君の発言内容は大卒にふさわしくない
だったら高卒だといったほうがいいだろう
高卒で物を知らなくてもしかたないが
大卒なら当然知ってることを知らないのは恥ずかしい
大学で女子とセックスしかしてなかったというようなもんだｗｗｗ
396１３２人目の素数さん
2020/09/13(日) 21:27:03.23ID:ytzI3Vl9 >>394
＞私としては、殆ど全てに、裏付けの資料を添付している
ほとんど見当違いの上に
中には君の発言を否定する自爆資料もあるがな
＞裏付けの資料を添付するにも、力量が伴わないとできないんだよ
君は資料を読んで理解する力量がない
＞ネット検索をするにしても、
＞適切なキーワードが浮かばないと
＞適切な資料がヒットしない
君は素人だから
見当違いなキーワードしか思いつけず
見当違いな資料しかリンクできない
＞例えば、>>22 "ジューコフスキー翼"に関して言えば
＞”等角写像”が重要キーワードで、これを知っているか否かで、
＞検索効率が違うわけですね
君は古本屋の店員かね？ｗ
その昔、今井功という流体力学の専門家がいて
『等角写像とその応用』岩波書店、 1979年
『流体力学と複素解析』日本評論社、1981年
なんて本を出してた
馬鹿でも本のタイトルくらいは記憶できるからなｗ
でも、君は大学で複素解析習ったことないから、
なぜ正則函数が等角写像なのか答えられない
複素数倍の写像が等角であることを理解してれば
複素微分可能な時点で等角写像以外になりようがないことは
当たり前なのだが、君にはその程度の論理的思考力もない
だからいってるだろう
君には数学なんか無理
持ってる数学書は全部売りたまえ
なんならオレ様が全部買ってやろう
幾らほしいんだ？百万か？二百万か？
一千万までなら出してやるぞ
それだけもらえば数学やめても惜しくあるまい
このド貧民が（嘲）
＞私としては、殆ど全てに、裏付けの資料を添付している
ほとんど見当違いの上に
中には君の発言を否定する自爆資料もあるがな
＞裏付けの資料を添付するにも、力量が伴わないとできないんだよ
君は資料を読んで理解する力量がない
＞ネット検索をするにしても、
＞適切なキーワードが浮かばないと
＞適切な資料がヒットしない
君は素人だから
見当違いなキーワードしか思いつけず
見当違いな資料しかリンクできない
＞例えば、>>22 "ジューコフスキー翼"に関して言えば
＞”等角写像”が重要キーワードで、これを知っているか否かで、
＞検索効率が違うわけですね
君は古本屋の店員かね？ｗ
その昔、今井功という流体力学の専門家がいて
『等角写像とその応用』岩波書店、 1979年
『流体力学と複素解析』日本評論社、1981年
なんて本を出してた
馬鹿でも本のタイトルくらいは記憶できるからなｗ
でも、君は大学で複素解析習ったことないから、
なぜ正則函数が等角写像なのか答えられない
複素数倍の写像が等角であることを理解してれば
複素微分可能な時点で等角写像以外になりようがないことは
当たり前なのだが、君にはその程度の論理的思考力もない
だからいってるだろう
君には数学なんか無理
持ってる数学書は全部売りたまえ
なんならオレ様が全部買ってやろう
幾らほしいんだ？百万か？二百万か？
一千万までなら出してやるぞ
それだけもらえば数学やめても惜しくあるまい
このド貧民が（嘲）
397１３２人目の素数さん
2020/09/13(日) 23:19:16.69ID:ZV5nABCS >>395
おサルが、しがない数学科修士卒だと言ったあと
なるほど、数学科卒のオチコボレだと納得がいった
まあ、修論は、非ユークリッド幾何の双曲幾何だったろう
だが、それ以外の分野では、からっきしだよね
それは、良く分かった
知識の絶対量が不足しているし
理解も浅いし
遠山の「数学入門」を小学生で読めたことで舞い上がって、数学科に進学したけれど
数学科で厳しい現実を知った
そこで、方向転換をすべきだったかも
数学科では、食えないってね
真剣に高校教師になることを検討したら良かったかな？
就職のとき、どうだったか知らないが
就職氷河期だったのかい？
おサルの時代、数学科修士なんて、お呼びじゃなかったのかな
まして、オチコボレ。サイコバスを見抜かれたのかな？（＾＾；
だからと言って、日本と日本人数学者を恨むのは、筋違いじゃね？
コテ？ コテは、そのうち気が向いたら戻すさｗｗｗ
おサルが、しがない数学科修士卒だと言ったあと
なるほど、数学科卒のオチコボレだと納得がいった
まあ、修論は、非ユークリッド幾何の双曲幾何だったろう
だが、それ以外の分野では、からっきしだよね
それは、良く分かった
知識の絶対量が不足しているし
理解も浅いし
遠山の「数学入門」を小学生で読めたことで舞い上がって、数学科に進学したけれど
数学科で厳しい現実を知った
そこで、方向転換をすべきだったかも
数学科では、食えないってね
真剣に高校教師になることを検討したら良かったかな？
就職のとき、どうだったか知らないが
就職氷河期だったのかい？
おサルの時代、数学科修士なんて、お呼びじゃなかったのかな
まして、オチコボレ。サイコバスを見抜かれたのかな？（＾＾；
だからと言って、日本と日本人数学者を恨むのは、筋違いじゃね？
コテ？ コテは、そのうち気が向いたら戻すさｗｗｗ
398１３２人目の素数さん
2020/09/13(日) 23:48:06.54ID:ZV5nABCS >>396
今井功先生で、強く印象に残っているのは、「応用超関数論Ⅰ，Ⅱ」で
確か、流体力学の概念で、一変数の佐藤超関数を扱うものだった。凄い先生だと思いましたね（＾＾
（参考）
https://www.nagare.or.jp/assets/files/download/noauth/nagare/23-6/23-6-tsuito.pdf
今井功先生を偲んで 神部 勉 ながれ 23（2004）
(抜粋)
大阪大学大学院での講義をもとにして，それを体系化して出版した「応用超関数論Ⅰ，Ⅱ」（サイエンス社，1981）は，
前例をみない類いの本といえましょう．
それは，二つの複素関数の不連続性によって超関数を定義する，数学者佐藤幹雄先生の方法を流体力学的に解釈して，流体力学の概念を援用してさまざまな超関数の表現を与える大作でした．
この本は英文に翻訳されて，1992 年にオランダの出版社 Kluwer から，Applied Hyperfunction Theoryというタイトルで出版されました．
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%8A%E4%BA%95%E5%8A%9F_(%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6%E8%80%85)
今井功 (物理学者)
（いまい いさお、1914年（大正3年）10月7日 - 2004年10月24日）は日本の物理学者で、文化勲章受章者
経歴・事績
1936年に東京帝国大学理学部物理学科で寺沢寛一教授に師事、卒業してからは、しばらく大阪帝国大学理学部の友近晋教授のもとで助手を務め、2年半のちに東大へ講師として戻り、1942年に助教授、1950年に教授に昇進した。その間、戦中から戦後にかけて「任意翼型の理論」、「遷音速流の理論」、「遅い粘性流の理論」などの各方面で、複素関数論、特に等角写像の方法を自在に操って当時の世界で懸案となっていた難問を次々に解決して世界の研究をリードし、かつ事物の本性に流れの場をみる流体力学的思考を深く身につけた。またその過程で発展させたWKB法の精密化は有名で「今井の方法」の名を得ている。これらの業績により1959年に日本学士院恩賜賞を受賞し、1988年には文化勲章を受章した。
1975年に東大を定年退職した後は大阪大学に3年間勤めた。その間、佐藤の超関数が流体中の渦層に他ならないことを見出し、そのイメージをもとに超関数の理論を体系的にまとめ『応用超関数論』として出版した。
略歴年表
・1943年 理学博士『一般ジュコフスキー (Joukowski) 翼型の周りの圧縮性流体の流れに就て（英文）』
(引用終り)
今井功先生で、強く印象に残っているのは、「応用超関数論Ⅰ，Ⅱ」で
確か、流体力学の概念で、一変数の佐藤超関数を扱うものだった。凄い先生だと思いましたね（＾＾
（参考）
https://www.nagare.or.jp/assets/files/download/noauth/nagare/23-6/23-6-tsuito.pdf
今井功先生を偲んで 神部 勉 ながれ 23（2004）
(抜粋)
大阪大学大学院での講義をもとにして，それを体系化して出版した「応用超関数論Ⅰ，Ⅱ」（サイエンス社，1981）は，
前例をみない類いの本といえましょう．
それは，二つの複素関数の不連続性によって超関数を定義する，数学者佐藤幹雄先生の方法を流体力学的に解釈して，流体力学の概念を援用してさまざまな超関数の表現を与える大作でした．
この本は英文に翻訳されて，1992 年にオランダの出版社 Kluwer から，Applied Hyperfunction Theoryというタイトルで出版されました．
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%8A%E4%BA%95%E5%8A%9F_(%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6%E8%80%85)
今井功 (物理学者)
（いまい いさお、1914年（大正3年）10月7日 - 2004年10月24日）は日本の物理学者で、文化勲章受章者
経歴・事績
1936年に東京帝国大学理学部物理学科で寺沢寛一教授に師事、卒業してからは、しばらく大阪帝国大学理学部の友近晋教授のもとで助手を務め、2年半のちに東大へ講師として戻り、1942年に助教授、1950年に教授に昇進した。その間、戦中から戦後にかけて「任意翼型の理論」、「遷音速流の理論」、「遅い粘性流の理論」などの各方面で、複素関数論、特に等角写像の方法を自在に操って当時の世界で懸案となっていた難問を次々に解決して世界の研究をリードし、かつ事物の本性に流れの場をみる流体力学的思考を深く身につけた。またその過程で発展させたWKB法の精密化は有名で「今井の方法」の名を得ている。これらの業績により1959年に日本学士院恩賜賞を受賞し、1988年には文化勲章を受章した。
1975年に東大を定年退職した後は大阪大学に3年間勤めた。その間、佐藤の超関数が流体中の渦層に他ならないことを見出し、そのイメージをもとに超関数の理論を体系的にまとめ『応用超関数論』として出版した。
略歴年表
・1943年 理学博士『一般ジュコフスキー (Joukowski) 翼型の周りの圧縮性流体の流れに就て（英文）』
(引用終り)
399１３２人目の素数さん
2020/09/14(月) 01:48:32.43ID:K9eu5gtr 「皮肉屋の天才」はフィクション
本当に知能が高い人は
冷笑主義的な見方をしない傾向にある
衒学
本当に知能が高い人は
冷笑主義的な見方をしない傾向にある
衒学
400１３２人目の素数さん
2020/09/14(月) 06:14:52.84ID:BUqJsOtj >>397
・いまどき、ただ双曲幾何を研究したって、修論にはならないよ
・自分の修論は論理に関するもの
・遠山啓の「数学入門」はいい本だから、君も読んで損はないな
・高校教師の免状は持ってるが、結局教師にはならなかった
・別に日本は嫌ってない 日本至上主義でないだけ
・君、コテはやめときな 恥かくだけだし
・いまどき、ただ双曲幾何を研究したって、修論にはならないよ
・自分の修論は論理に関するもの
・遠山啓の「数学入門」はいい本だから、君も読んで損はないな
・高校教師の免状は持ってるが、結局教師にはならなかった
・別に日本は嫌ってない 日本至上主義でないだけ
・君、コテはやめときな 恥かくだけだし
401１３２人目の素数さん
2020/09/14(月) 07:40:56.89ID:1vHFhS9w >>400
>・いまどき、ただ双曲幾何を研究したって、修論にはならないよ
浅いな
双曲幾何を、21世紀の視点で切れば、いくらでも研究ネタはあるよ
それくらい双曲幾何は深いよ（サーストン 小島定吉（下記）を見よ）
>・自分の修論は論理に関するもの
なるほど
それもあり得るかもね
100％信用するわけではないが、数学基礎論はちょっと知っている感じだったな
IUTスレでは、数学基礎論のシッタカで、必死に望月先生をディスっていたね
だがそれも、底が割れているけどな
（その議論を、ケネス・キューネンを引用して潰したのは、私ですが（＾＾； ）
>・君、コテはやめときな 恥かくだけだし
そのうち戻すよｗ
だが
恥書いているのは、おサルさんあなた
時枝不成立も分からず
IUTも理解できないくせに、ショルツェの尻馬で望月先生をディスるし
あるいは
(>>316)”「自然数Ｎが、群の例？」 とか
「行列式はテンソルです」も同じ類いだし（>>347）
そもそも「自然数Ｎが、群の例？」の起点になった、お前が無知にもディスった tsujimotter氏の層の定義の記事も(>>368)、ちゃんと書けているぞ
＜補足＞
>>382
「自然数全体は群を成す」は「57は素数である」と
同レベルの勘違いなので、再三ツッコんでも仕方ない
(引用終り)
同レベルではないな
57は素数かどうか、計算してみないと分からないからねｗ
だが、「自然数全体は群を成す」かどうか？ 自分で書いた瞬間に分かりそうなものだろ？
書き間違いならまだしも、”勘違い”ってどんな”勘”してんだ？ あんた”勘”狂っているよ
時枝とか、テンソルとか、層とか、IUTとか、全部同じじゃね？（＾＾；
言い訳するなら、「書き間違い」とか「単純ミス」くらいじゃね？（＾＾
それから、自分のミスはしっかり認めないと！
誤魔化そうとして他人を攻撃するから
反撃されてズタボロにされるんだよ！
以上
つづく
>・いまどき、ただ双曲幾何を研究したって、修論にはならないよ
浅いな
双曲幾何を、21世紀の視点で切れば、いくらでも研究ネタはあるよ
それくらい双曲幾何は深いよ（サーストン 小島定吉（下記）を見よ）
>・自分の修論は論理に関するもの
なるほど
それもあり得るかもね
100％信用するわけではないが、数学基礎論はちょっと知っている感じだったな
IUTスレでは、数学基礎論のシッタカで、必死に望月先生をディスっていたね
だがそれも、底が割れているけどな
（その議論を、ケネス・キューネンを引用して潰したのは、私ですが（＾＾； ）
>・君、コテはやめときな 恥かくだけだし
そのうち戻すよｗ
だが
恥書いているのは、おサルさんあなた
時枝不成立も分からず
IUTも理解できないくせに、ショルツェの尻馬で望月先生をディスるし
あるいは
(>>316)”「自然数Ｎが、群の例？」 とか
「行列式はテンソルです」も同じ類いだし（>>347）
そもそも「自然数Ｎが、群の例？」の起点になった、お前が無知にもディスった tsujimotter氏の層の定義の記事も(>>368)、ちゃんと書けているぞ
＜補足＞
>>382
「自然数全体は群を成す」は「57は素数である」と
同レベルの勘違いなので、再三ツッコんでも仕方ない
(引用終り)
同レベルではないな
57は素数かどうか、計算してみないと分からないからねｗ
だが、「自然数全体は群を成す」かどうか？ 自分で書いた瞬間に分かりそうなものだろ？
書き間違いならまだしも、”勘違い”ってどんな”勘”してんだ？ あんた”勘”狂っているよ
時枝とか、テンソルとか、層とか、IUTとか、全部同じじゃね？（＾＾；
言い訳するなら、「書き間違い」とか「単純ミス」くらいじゃね？（＾＾
それから、自分のミスはしっかり認めないと！
誤魔化そうとして他人を攻撃するから
反撃されてズタボロにされるんだよ！
以上
つづく
402１３２人目の素数さん
2020/09/14(月) 07:41:27.46ID:1vHFhS9w >>401
つづき
(参考)
https://mathsoc.jp/outreach/2018haru/kojima20180317.pdf
サーストンの3次元多様体論 小島定吉 2018/03/17
P13 Thurston Era. ? ハーケン多様体に対する双曲化定理. （1976?）
P23 カーン・マルコビッチのブレークスルー（2012）
「任意の3次元閉双曲多様体にはいくらでも
測地的に近い擬フックス閉局面を含む」
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B1%E3%83%8D%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%82%AD%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%8D%E3%83%B3
ケネス・キューネン
(引用終り)
以上
つづき
(参考)
https://mathsoc.jp/outreach/2018haru/kojima20180317.pdf
サーストンの3次元多様体論 小島定吉 2018/03/17
P13 Thurston Era. ? ハーケン多様体に対する双曲化定理. （1976?）
P23 カーン・マルコビッチのブレークスルー（2012）
「任意の3次元閉双曲多様体にはいくらでも
測地的に近い擬フックス閉局面を含む」
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B1%E3%83%8D%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%82%AD%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%8D%E3%83%B3
ケネス・キューネン
(引用終り)
以上
403１３２人目の素数さん
2020/09/14(月) 08:57:55.01ID:BUqJsOtj >>397
＞修論は、非ユークリッド幾何の双曲幾何だったろう
>>400
＞いまどき、ただ双曲幾何を研究したって、修論にはならないよ
>>401
＞双曲幾何を、21世紀の視点で切れば、いくらでも研究ネタはあるよ
＞それくらい双曲幾何は深いよ
なんかねじれてきてるね 君
そもそも>>397は
「双曲幾何みたいな過去の遺物を修論にしてる」
という主旨だろう？
だから>>400で
「そんなの修論のネタにならんよ」
と返した
そしたら何トチ狂ったのか知らんが、突然
「双曲幾何こそ最先端の数学！」
とわめきだした 一貫性のかけらもないね
まあ、君に、双曲的合同変換群の離散群の話なんて
分からないからいまさら興味もっても意味ないよ
君は、行列のランクと行列式でも復習したまえ
工学屋なら知らないと恥ずかしいレベルの常識だよ
＞修論は、非ユークリッド幾何の双曲幾何だったろう
>>400
＞いまどき、ただ双曲幾何を研究したって、修論にはならないよ
>>401
＞双曲幾何を、21世紀の視点で切れば、いくらでも研究ネタはあるよ
＞それくらい双曲幾何は深いよ
なんかねじれてきてるね 君
そもそも>>397は
「双曲幾何みたいな過去の遺物を修論にしてる」
という主旨だろう？
だから>>400で
「そんなの修論のネタにならんよ」
と返した
そしたら何トチ狂ったのか知らんが、突然
「双曲幾何こそ最先端の数学！」
とわめきだした 一貫性のかけらもないね
まあ、君に、双曲的合同変換群の離散群の話なんて
分からないからいまさら興味もっても意味ないよ
君は、行列のランクと行列式でも復習したまえ
工学屋なら知らないと恥ずかしいレベルの常識だよ
404１３２人目の素数さん
2020/09/14(月) 09:04:41.38ID:BUqJsOtj >>401
＞IUTスレでは、数学基礎論のシッタカで、必死に望月先生をディスっていたね
＞だがそれも、底が割れているけどな
＞（その議論を、ケネス・キューネンを引用して潰したのは、私ですが）
公理図式のことかい？それなら潰れたのは君だよ、キ・ミ
任意の式を「公理に限る」とか🐎🦌丸出しな発言して
論理も知らんド素人ぶりが露見した 実に滑稽ｗｗｗ
ああ、そうそう、中二的虚勢の顔文字（＾＾；は要らんよ
君って、ほんとチンコの大きさ自慢するしか能がない万年中二なんだねえｗ
＞＞・君、コテはやめときな 恥かくだけだし
＞そのうち戻すよｗ
やめとけ
大学にも入れなかった高卒の負け犬が
コテ＆トリップ使うとか１００年、いや、１００００年早ぇ！
＞IUTスレでは、数学基礎論のシッタカで、必死に望月先生をディスっていたね
＞だがそれも、底が割れているけどな
＞（その議論を、ケネス・キューネンを引用して潰したのは、私ですが）
公理図式のことかい？それなら潰れたのは君だよ、キ・ミ
任意の式を「公理に限る」とか🐎🦌丸出しな発言して
論理も知らんド素人ぶりが露見した 実に滑稽ｗｗｗ
ああ、そうそう、中二的虚勢の顔文字（＾＾；は要らんよ
君って、ほんとチンコの大きさ自慢するしか能がない万年中二なんだねえｗ
＞＞・君、コテはやめときな 恥かくだけだし
＞そのうち戻すよｗ
やめとけ
大学にも入れなかった高卒の負け犬が
コテ＆トリップ使うとか１００年、いや、１００００年早ぇ！
405１３２人目の素数さん
2020/09/14(月) 09:14:00.33ID:BUqJsOtj >>401
＞時枝不成立も分からず
「箱入り無数目」（というよりThe Riddle)で、
各箱がどれもこれも確率変数でない、という
基本的なことすら読み取れず
＞IUTも理解できないくせに、ショルツェの尻馬で望月先生をディスり
IUTどころかそもそものタイヒミュラー理論も理解できないくせに
狂った愛国心とやらで望月某とかいう半ユダヤ人を盲目的に狂信し
＞「行列式はテンソルです」も同じ類いだし
「テンソルはｎ次元配列」とかいう馬鹿だしｗ
まったく高卒の馬鹿は、定義すら理解できん恥ずかしいidiotだね
ついでにいうが、行列式を反対称的多重線形写像とすれば
ｎ次元配列として構成することもできる
但しその場合、配列の各要素は独立でないから、
次元を計算した場合１になる
そして、基底を単位ベクトルとして、
ｎ個の基底を引数とした場合の値を１とすれば
０でない要素の値は符号の違いを除けば
一意的に決まってしまう
そんな「線形代数の常識」も知らんのかね？
＞時枝不成立も分からず
「箱入り無数目」（というよりThe Riddle)で、
各箱がどれもこれも確率変数でない、という
基本的なことすら読み取れず
＞IUTも理解できないくせに、ショルツェの尻馬で望月先生をディスり
IUTどころかそもそものタイヒミュラー理論も理解できないくせに
狂った愛国心とやらで望月某とかいう半ユダヤ人を盲目的に狂信し
＞「行列式はテンソルです」も同じ類いだし
「テンソルはｎ次元配列」とかいう馬鹿だしｗ
まったく高卒の馬鹿は、定義すら理解できん恥ずかしいidiotだね
ついでにいうが、行列式を反対称的多重線形写像とすれば
ｎ次元配列として構成することもできる
但しその場合、配列の各要素は独立でないから、
次元を計算した場合１になる
そして、基底を単位ベクトルとして、
ｎ個の基底を引数とした場合の値を１とすれば
０でない要素の値は符号の違いを除けば
一意的に決まってしまう
そんな「線形代数の常識」も知らんのかね？
406１３２人目の素数さん
2020/09/14(月) 09:18:07.04ID:BUqJsOtj >>401
＞tsujimotter氏の層の定義の記事も、ちゃんと書けているぞ
君は、層がまったく理解できてないから
あれが「ちゃんと書けている」と思えるわけだ
実は、中身のことは大して述べてない
そして「ああ、解析接続」といったことで
ツジとかいう工学野郎が全く層を誤解している
と露見したわけだ
やっぱり工学部は大学に要らんな
あんなの専門学校で十分だ
＞tsujimotter氏の層の定義の記事も、ちゃんと書けているぞ
君は、層がまったく理解できてないから
あれが「ちゃんと書けている」と思えるわけだ
実は、中身のことは大して述べてない
そして「ああ、解析接続」といったことで
ツジとかいう工学野郎が全く層を誤解している
と露見したわけだ
やっぱり工学部は大学に要らんな
あんなの専門学校で十分だ
407１３２人目の素数さん
2020/09/14(月) 09:21:41.85ID:BUqJsOtj >>401
＞57は素数かどうか、計算してみないと分からない
そりゃナサケナイなｗ
３の倍数だってことは小学生でも分かる
各桁の値を足すと３の倍数になるからな
え？そんなの知らない？お前どこの田舎者だよｗ
東京の小賢しい小学生は皆知ってる
このくらい知らないと中学受験は受からない
まあ、さすがに小学生は証明は知らないだろうけどな
＞57は素数かどうか、計算してみないと分からない
そりゃナサケナイなｗ
３の倍数だってことは小学生でも分かる
各桁の値を足すと３の倍数になるからな
え？そんなの知らない？お前どこの田舎者だよｗ
東京の小賢しい小学生は皆知ってる
このくらい知らないと中学受験は受からない
まあ、さすがに小学生は証明は知らないだろうけどな
408１３２人目の素数さん
2020/09/14(月) 09:48:40.28ID:BUqJsOtj >>401
＞「自然数全体は群を成す」かどうか？
＞自分で書いた瞬間に分かりそうなものだろ？
＞書き間違いならまだしも、
＞”勘違い”ってどんな”勘”してんだ？
＞あんた”勘”狂っているよ
全くその通り
そしてその言葉はブーメランで君自身に帰ってくるｗ
「正方行列全体が群を成す」かどうか
群の定義、特に逆元の存在について気付いていたなら即座に分かる筈
それでも「正方行列」と書いたということは
「任意の正方行列に対して逆行列が存在する」
と思い込んでいたということ
ｎ×ｎの正方行列の逆行列が存在するのは、
１．行列のランクがｎであるとき
２．行列式が０でないとき
３．零因子行列でないとき
であり、実は１、２，３は同値だ
なぜなら、階段行列化は行列式の値を変えずに実行でき
階段行列ではランクｎのとき、そのときに限り
行列式が０以外となるからだ
しかし、線形代数において本質的のは１＞２＞３の順
さらにいえば、もっとも本質的な条件は以下のものだ
０．行列の核、Ker Mが{0}であること
どうだ、どれ一つ知らなかっただろう？
つまり、君は線形代数について何一つ分かってなかったってことだｗ
＞「自然数全体は群を成す」かどうか？
＞自分で書いた瞬間に分かりそうなものだろ？
＞書き間違いならまだしも、
＞”勘違い”ってどんな”勘”してんだ？
＞あんた”勘”狂っているよ
全くその通り
そしてその言葉はブーメランで君自身に帰ってくるｗ
「正方行列全体が群を成す」かどうか
群の定義、特に逆元の存在について気付いていたなら即座に分かる筈
それでも「正方行列」と書いたということは
「任意の正方行列に対して逆行列が存在する」
と思い込んでいたということ
ｎ×ｎの正方行列の逆行列が存在するのは、
１．行列のランクがｎであるとき
２．行列式が０でないとき
３．零因子行列でないとき
であり、実は１、２，３は同値だ
なぜなら、階段行列化は行列式の値を変えずに実行でき
階段行列ではランクｎのとき、そのときに限り
行列式が０以外となるからだ
しかし、線形代数において本質的のは１＞２＞３の順
さらにいえば、もっとも本質的な条件は以下のものだ
０．行列の核、Ker Mが{0}であること
どうだ、どれ一つ知らなかっただろう？
つまり、君は線形代数について何一つ分かってなかったってことだｗ
409１３２人目の素数さん
2020/09/14(月) 09:51:45.37ID:BUqJsOtj >>401
＞自分のミスはしっかり認めないと！
＞誤魔化そうとして他人を攻撃するから
＞反撃されてズタボロにされるんだよ！
君こそ自分の誤解はしっかり認めないと！
言い訳すればするほど更なる誤解が露見しズタボロになる
最初の誤りを受けいれ理解すること
そうしないと同じ間違いを延々と繰り返すよ
同じ間違いは繰り返さない
二度目はイエロー、三度目はレッド
これ人間界の鉄則なｗ
＞自分のミスはしっかり認めないと！
＞誤魔化そうとして他人を攻撃するから
＞反撃されてズタボロにされるんだよ！
君こそ自分の誤解はしっかり認めないと！
言い訳すればするほど更なる誤解が露見しズタボロになる
最初の誤りを受けいれ理解すること
そうしないと同じ間違いを延々と繰り返すよ
同じ間違いは繰り返さない
二度目はイエロー、三度目はレッド
これ人間界の鉄則なｗ
410現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/14(月) 11:39:21.84ID:3hZSgYGH >>409
>君こそ自分の誤解はしっかり認めないと！
わたしゃ、自分の間違いはちゃんと認めて訂正していますよ
但し、間違っていない 時枝不成立とか、行列式がテンソルだとか、アホな主張は認めないだけのこと
いちいちアホを相手にしているときりがないが
そろそろ、自分が突っかかっている相手が、どういう人物が分かりそうだと思うが
おまえは工学出身だから、「こんなことを知らないだろう」と出してくることは
ほとんど、とうの昔から知っている話ですがな
だからこそ、揚げ足取りに来たおサルの揚げ足を取り返して
すってんころりんと、ひっくり返す
哀れな、お笑いおサルさんだことｗｗw（＾＾
>君こそ自分の誤解はしっかり認めないと！
わたしゃ、自分の間違いはちゃんと認めて訂正していますよ
但し、間違っていない 時枝不成立とか、行列式がテンソルだとか、アホな主張は認めないだけのこと
いちいちアホを相手にしているときりがないが
そろそろ、自分が突っかかっている相手が、どういう人物が分かりそうだと思うが
おまえは工学出身だから、「こんなことを知らないだろう」と出してくることは
ほとんど、とうの昔から知っている話ですがな
だからこそ、揚げ足取りに来たおサルの揚げ足を取り返して
すってんころりんと、ひっくり返す
哀れな、お笑いおサルさんだことｗｗw（＾＾
411１３２人目の素数さん
2020/09/14(月) 12:16:53.82ID:BUqJsOtj >>410
>わたしゃ、自分の間違いはちゃんと認めて訂正していますよ
全部ではないね
>但し、間違っていない 時枝不成立とか、
>行列式がテンソルだとか、アホな主張は認めない
なぜ、行列式がテンソルでない、と言い切るのかい？ その根拠は？
>そろそろ、自分が突っかかっている相手が、
>どういう人物が分かりそうだと思うが
ああ、君が大学すら通ったことがない高卒だってことは、よくわかったよｗ
>揚げ足を取り返してすってんころりんと、ひっくり返す
で、実際は、自分がスッテンコロリンと、ひっくり返るｗｗｗ
正方行列全体は群を成す！ で１回
正方行列から非可逆元をなくせば体を成す！ で２回
行列式はテンソルであるわけがない！ で３回
ほんと、行列について全然分かってないんだねえｗｗｗ
線形空間の定義も、基底の定義も、線形写像の定義も
核の定義も、像の定義も、行列のランクの定義も
行列式の定義も、全然わかってないんでしょ
行列は、数を２次元にならべたもの、って見たまんまじゃんｗｗｗ
あんたパクチー？idiot？
>わたしゃ、自分の間違いはちゃんと認めて訂正していますよ
全部ではないね
>但し、間違っていない 時枝不成立とか、
>行列式がテンソルだとか、アホな主張は認めない
なぜ、行列式がテンソルでない、と言い切るのかい？ その根拠は？
>そろそろ、自分が突っかかっている相手が、
>どういう人物が分かりそうだと思うが
ああ、君が大学すら通ったことがない高卒だってことは、よくわかったよｗ
>揚げ足を取り返してすってんころりんと、ひっくり返す
で、実際は、自分がスッテンコロリンと、ひっくり返るｗｗｗ
正方行列全体は群を成す！ で１回
正方行列から非可逆元をなくせば体を成す！ で２回
行列式はテンソルであるわけがない！ で３回
ほんと、行列について全然分かってないんだねえｗｗｗ
線形空間の定義も、基底の定義も、線形写像の定義も
核の定義も、像の定義も、行列のランクの定義も
行列式の定義も、全然わかってないんでしょ
行列は、数を２次元にならべたもの、って見たまんまじゃんｗｗｗ
あんたパクチー？idiot？
412現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/14(月) 13:19:37.17ID:3hZSgYGH >>410 訂正
但し、間違っていない 時枝不成立とか、行列式がテンソルだとか、アホな主張は認めないだけのこと
↓
但し、私が間違っていないと考えるときの、時枝成立とか（本当は不成立）、行列式がテンソルだとか（本当は違う）、こんなアホな主張は認めないだけのこと
かな
舌足らずだったな（＾＾；
但し、間違っていない 時枝不成立とか、行列式がテンソルだとか、アホな主張は認めないだけのこと
↓
但し、私が間違っていないと考えるときの、時枝成立とか（本当は不成立）、行列式がテンソルだとか（本当は違う）、こんなアホな主張は認めないだけのこと
かな
舌足らずだったな（＾＾；
413１３２人目の素数さん
2020/09/14(月) 13:57:51.08ID:BUqJsOtj >>412
つまんないこと書く前に
行列式がテンソルでない証明
をお書きくださいねーｗ
行列式は多重線形写像じゃないんですかー？ｗ
それともテンソルじゃない多重線形写像があるんですかーｗ
テンソルとは多重線形写像だと定義されてるんですが、知りませんでしたー？ｗ
＃ ●●少年君の口ぶりを真似てみた
つまんないこと書く前に
行列式がテンソルでない証明
をお書きくださいねーｗ
行列式は多重線形写像じゃないんですかー？ｗ
それともテンソルじゃない多重線形写像があるんですかーｗ
テンソルとは多重線形写像だと定義されてるんですが、知りませんでしたー？ｗ
＃ ●●少年君の口ぶりを真似てみた
414粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
2020/09/15(火) 01:10:15.15ID:+9wOPfrZ 今井功ってそんな昔の方じゃったんか
415１３２人目の素数さん
2020/09/15(火) 07:50:49.21ID:U8/AtlFY >>404
>公理図式のことかい？それなら潰れたのは君だよ、キ・ミ
つまらんシッタカして、顰蹙買ったのは君だよｗ
問題になったのは、下記のIUT IVの [i.e., the nine axioms of Zermelo-Fraenkel, together with the axiom of choice ?cf., e.g., [Drk], Chapter 1, §3].の記述だったね
十七条憲法知ってますか？（＾＾
the nine axioms を、9条と数えれば良いじゃんかｗｗ
確かに、下記渕野には”Ｐ27 ZFC と異なり，BG は有限個の公理で公理化可能なことが知られている（[G¨odel 1940] を参照）．”ってあるが
公理図式の話
けど、それ単位が違うよ。”条”と”個”だよ。こういうとき、日本語便利だな。英語は、普通はこういう使い分けしないからな～！！ｗ（＾＾；
（参考）
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20IV.pdf
INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY IV: ¨LOG-VOLUME COMPUTATIONS AND SET-THEORETIC FOUNDATIONS Shinichi Mochizuki April 2020
(抜粋)
Ｐ67
In the following discussion, we shall work with various models ? consisting
of “sets” and a relation “∈” ? of the standard ZFC axioms of axiomatic set theory
[i.e., the nine axioms of Zermelo-Fraenkel, together with the axiom of choice ?cf., e.g., [Drk], Chapter 1, §3].
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%81%E4%B8%83%E6%9D%A1%E6%86%B2%E6%B3%95
十七条憲法
https://fuchino.ddo.jp/books/intro-to-set-theory-and-constructibility.pdf
構成的集合と公理的集合論入門 渕野昌 (平成 27 年)
Ｐ26
BG はベルナイスによる [Bernays 1937] で導入された公理系
Ｐ27
ZFC と異なり，BG は有限個の公理で公理化可能なことが知られている（[G¨odel 1940] を参照）．
次の定理により，BG と ZF または BGC と ZFC は（集合に対する命題
に関しては）全く同等な公理系になっていることがわかる．
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
ZF 公理系
https://tnomura9.exblog.jp/22093775/
tnomuraのブログ フォンノイマン・ベルナイス・ゲーデル集合論（NBG） 2015-08-30
>公理図式のことかい？それなら潰れたのは君だよ、キ・ミ
つまらんシッタカして、顰蹙買ったのは君だよｗ
問題になったのは、下記のIUT IVの [i.e., the nine axioms of Zermelo-Fraenkel, together with the axiom of choice ?cf., e.g., [Drk], Chapter 1, §3].の記述だったね
十七条憲法知ってますか？（＾＾
the nine axioms を、9条と数えれば良いじゃんかｗｗ
確かに、下記渕野には”Ｐ27 ZFC と異なり，BG は有限個の公理で公理化可能なことが知られている（[G¨odel 1940] を参照）．”ってあるが
公理図式の話
けど、それ単位が違うよ。”条”と”個”だよ。こういうとき、日本語便利だな。英語は、普通はこういう使い分けしないからな～！！ｗ（＾＾；
（参考）
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20IV.pdf
INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY IV: ¨LOG-VOLUME COMPUTATIONS AND SET-THEORETIC FOUNDATIONS Shinichi Mochizuki April 2020
(抜粋)
Ｐ67
In the following discussion, we shall work with various models ? consisting
of “sets” and a relation “∈” ? of the standard ZFC axioms of axiomatic set theory
[i.e., the nine axioms of Zermelo-Fraenkel, together with the axiom of choice ?cf., e.g., [Drk], Chapter 1, §3].
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%81%E4%B8%83%E6%9D%A1%E6%86%B2%E6%B3%95
十七条憲法
https://fuchino.ddo.jp/books/intro-to-set-theory-and-constructibility.pdf
構成的集合と公理的集合論入門 渕野昌 (平成 27 年)
Ｐ26
BG はベルナイスによる [Bernays 1937] で導入された公理系
Ｐ27
ZFC と異なり，BG は有限個の公理で公理化可能なことが知られている（[G¨odel 1940] を参照）．
次の定理により，BG と ZF または BGC と ZFC は（集合に対する命題
に関しては）全く同等な公理系になっていることがわかる．
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
ZF 公理系
https://tnomura9.exblog.jp/22093775/
tnomuraのブログ フォンノイマン・ベルナイス・ゲーデル集合論（NBG） 2015-08-30
416現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/15(火) 09:52:05.46ID:LE7flZea417現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/15(火) 11:52:35.89ID:LE7flZea >>413
テンソル積の記号が書けない場だから、〇xで代用するよ
（こんな場で、数学ごっこをやる気あんまりないけどな。アホが分からんみたいだからな～。少しだけ）
下記のテンソル積 "記法について テンソル積空間 V 〇x W の元はしばしばテンソルと呼ばれる"
"線型写像や行列を (1,1)-型テンソルと看做したときの、テンソルの階数は行列の階数の概念に一致する。"
とあるよね。つまり、ある型のテンソルと、行列は一致するんだ
ところで、このときに、”行列式はテンソルだ”といえば、”行列式は行列だ”となるけど、アホでしょ
つまり、あなた 交代形式の話が、全然理解できてないんじゃね？（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E7%A9%8D
テンソル積
共通の体 K 上の二つの ベクトル空間 V, W のテンソル積 V 〇xK W（基礎の体 K が明らかな時には V 〇x W とも書く）はふたたびベクトル空間を成す。ベクトル空間のテンソル積を繰り返して得られるテンソル空間は物理的なテンソルを数学的に定式化する。テンソル空間に種々の積を入れてさまざまな多重線型代数・クリフォード代数が定式化されるが、その基本となる演算がテンソル積である。
記法について
テンソル積空間 V 〇x W の元はしばしばテンソルと呼ばれる（ただし、テンソルという用語はこれと関連のあるさまざまな概念に対しても用いられる[注釈 1]）。v ∈ V と w ∈ W に対し、(v, w) の属する同値類を v 〇x w と書いて v と w のテンソル積と呼ぶ。物理学や工学では、記号 "〇x" を二項積（直積）に対して用いるが、得られる二項積 v 〇x w は同値類としての v 〇x w を表現する標準的な方法の一つである[注釈 2]。V 〇x W の元のうち v 〇x w の形に書けるものは、基本テンソルあるいは単純テンソル（英語版）と呼ばれる。一般に、テンソル積空間の元は単純テンソルだけでなく、それらの有限線型結合も含まれる。
例えば、v1, v2 が線型独立かつ w1, w2 が線型独立のとき v1 〇x w1 + v2 〇x w2 は単純テンソルに書くことはできない。
テンソル積空間の元に対し、それを書き表すのに必要な単純テンソルの数を、テンソルの階数という（テンソルの次数と混同してはならない）。
つづく
テンソル積の記号が書けない場だから、〇xで代用するよ
（こんな場で、数学ごっこをやる気あんまりないけどな。アホが分からんみたいだからな～。少しだけ）
下記のテンソル積 "記法について テンソル積空間 V 〇x W の元はしばしばテンソルと呼ばれる"
"線型写像や行列を (1,1)-型テンソルと看做したときの、テンソルの階数は行列の階数の概念に一致する。"
とあるよね。つまり、ある型のテンソルと、行列は一致するんだ
ところで、このときに、”行列式はテンソルだ”といえば、”行列式は行列だ”となるけど、アホでしょ
つまり、あなた 交代形式の話が、全然理解できてないんじゃね？（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E7%A9%8D
テンソル積
共通の体 K 上の二つの ベクトル空間 V, W のテンソル積 V 〇xK W（基礎の体 K が明らかな時には V 〇x W とも書く）はふたたびベクトル空間を成す。ベクトル空間のテンソル積を繰り返して得られるテンソル空間は物理的なテンソルを数学的に定式化する。テンソル空間に種々の積を入れてさまざまな多重線型代数・クリフォード代数が定式化されるが、その基本となる演算がテンソル積である。
記法について
テンソル積空間 V 〇x W の元はしばしばテンソルと呼ばれる（ただし、テンソルという用語はこれと関連のあるさまざまな概念に対しても用いられる[注釈 1]）。v ∈ V と w ∈ W に対し、(v, w) の属する同値類を v 〇x w と書いて v と w のテンソル積と呼ぶ。物理学や工学では、記号 "〇x" を二項積（直積）に対して用いるが、得られる二項積 v 〇x w は同値類としての v 〇x w を表現する標準的な方法の一つである[注釈 2]。V 〇x W の元のうち v 〇x w の形に書けるものは、基本テンソルあるいは単純テンソル（英語版）と呼ばれる。一般に、テンソル積空間の元は単純テンソルだけでなく、それらの有限線型結合も含まれる。
例えば、v1, v2 が線型独立かつ w1, w2 が線型独立のとき v1 〇x w1 + v2 〇x w2 は単純テンソルに書くことはできない。
テンソル積空間の元に対し、それを書き表すのに必要な単純テンソルの数を、テンソルの階数という（テンソルの次数と混同してはならない）。
つづく
418現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/15(火) 11:53:07.31ID:LE7flZea >>417
つづき
線型写像や行列を (1,1)-型テンソルと看做したときの、テンソルの階数は行列の階数の概念に一致する。
注釈
1^ テンソルおよびテンソル空間の項を参照
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%A4%E4%BB%A3%E5%A4%9A%E9%87%8D%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%BD%A2%E5%BC%8F
交代多重線型形式
多重線型代数における交代多重線型形式（こうたいたじゅうせんけいけいしき、英: alternating multi-linear form）、多重線型交代形式 (multi-linear alternating form) または反対称多重線型形式 (anti-symmertic multi-linear form) は、どの二つの変数でも一致するとき値が零となるような多重線型形式を言う。まぎれの虞が無いならば短く、交代形式や反対称形式などともいう。
線型代数学における行列の行列式や、微分幾何学における微分形式は多重線型交代形式の重要な例である。
(引用終り)
以上
つづき
線型写像や行列を (1,1)-型テンソルと看做したときの、テンソルの階数は行列の階数の概念に一致する。
注釈
1^ テンソルおよびテンソル空間の項を参照
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%A4%E4%BB%A3%E5%A4%9A%E9%87%8D%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%BD%A2%E5%BC%8F
交代多重線型形式
多重線型代数における交代多重線型形式（こうたいたじゅうせんけいけいしき、英: alternating multi-linear form）、多重線型交代形式 (multi-linear alternating form) または反対称多重線型形式 (anti-symmertic multi-linear form) は、どの二つの変数でも一致するとき値が零となるような多重線型形式を言う。まぎれの虞が無いならば短く、交代形式や反対称形式などともいう。
線型代数学における行列の行列式や、微分幾何学における微分形式は多重線型交代形式の重要な例である。
(引用終り)
以上
419現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/15(火) 15:40:25.68ID:LE7flZea >>403
双曲構造という視点で見ると、まだまだ研究ネタあると思うけどね
http://theset.las.osaka-sandai.ac.jp/KLDTFS/Notes/0303/07A/miyachi-note.pdf
私的３次元双曲幾何入門 宮地 秀樹 (大阪市大) ２００３年
6 私的クライン群入門 (後編)
(注) 実は、(0, 3) 型のリーマン面のタイヒミュラー空間の次元は 0 次元なの
で、上の議論だけでは ?(G)/G 内に (0, 3) 型の面であるような成分は無限個
あっても矛盾は起きない（これが Ahlfors の誤りであった。ちなみに (0, 3) 型
以外の面のタイヒミュラー空間の次元は 1 以上あるのでそれらの成分は高々有
限個しかないことはこの議論からわかる）。このギャップは、この後に Bers が
(0, 3) 型のリーマン面の成分が有限個であることを示すことにより克服した。
http://www.math.chuo-u.ac.jp/lecture_notes_17_to_19.pdf
森田茂之 第 17 回:2012
9 低次元トポロジーの謎
3 次元多様体，これは皆さんご存知のように最近大きな仕事の締めくくりというか，ちょっと大袈裟かもしれませんが，Poincare´ から始まって Thurston までで一つ区切りがついたという感じになっています．
Thurston に関する思い出とか，Cornell
大学，最後は Cornell 大学の所属でしたから，ここの HP を見ると，Thurston に関する情報があって，
2010 年の Paris での講演です．これは Clay 研究所が主催し, Perelman の
Poincare´ 予想の解決を機に，錚々たるメンバー，Smale とか Gromov とか集まって講演をしました．video で
沢山見られるのですが，その中の一つが Thurston の講演，geometrization conjecture です．
これは是非まだ見ていない方は，沢山ダウンロードされているので，知っている人も多いと
思いますが，2010, Clay, Paris, Thurston くらい入れて検索するとすぐ見つかると思います．
Gromov とか Smale とか錚々たる人が沢山しゃべっています．
http://www.math.chuo-u.ac.jp/lecture_notes_almostwhole.pdf
このノートは 2010 年 5 月から 森田茂之先生の講義をまとめたものです．北野晃朗
特性類と不変量 森田茂之 2013
目次
8 モジュライ空間のサイクル，コサイクルの作り方 158
9 低次元トポロジーの謎 161
10 夢
(引用終り)
以上
双曲構造という視点で見ると、まだまだ研究ネタあると思うけどね
http://theset.las.osaka-sandai.ac.jp/KLDTFS/Notes/0303/07A/miyachi-note.pdf
私的３次元双曲幾何入門 宮地 秀樹 (大阪市大) ２００３年
6 私的クライン群入門 (後編)
(注) 実は、(0, 3) 型のリーマン面のタイヒミュラー空間の次元は 0 次元なの
で、上の議論だけでは ?(G)/G 内に (0, 3) 型の面であるような成分は無限個
あっても矛盾は起きない（これが Ahlfors の誤りであった。ちなみに (0, 3) 型
以外の面のタイヒミュラー空間の次元は 1 以上あるのでそれらの成分は高々有
限個しかないことはこの議論からわかる）。このギャップは、この後に Bers が
(0, 3) 型のリーマン面の成分が有限個であることを示すことにより克服した。
http://www.math.chuo-u.ac.jp/lecture_notes_17_to_19.pdf
森田茂之 第 17 回:2012
9 低次元トポロジーの謎
3 次元多様体，これは皆さんご存知のように最近大きな仕事の締めくくりというか，ちょっと大袈裟かもしれませんが，Poincare´ から始まって Thurston までで一つ区切りがついたという感じになっています．
Thurston に関する思い出とか，Cornell
大学，最後は Cornell 大学の所属でしたから，ここの HP を見ると，Thurston に関する情報があって，
2010 年の Paris での講演です．これは Clay 研究所が主催し, Perelman の
Poincare´ 予想の解決を機に，錚々たるメンバー，Smale とか Gromov とか集まって講演をしました．video で
沢山見られるのですが，その中の一つが Thurston の講演，geometrization conjecture です．
これは是非まだ見ていない方は，沢山ダウンロードされているので，知っている人も多いと
思いますが，2010, Clay, Paris, Thurston くらい入れて検索するとすぐ見つかると思います．
Gromov とか Smale とか錚々たる人が沢山しゃべっています．
http://www.math.chuo-u.ac.jp/lecture_notes_almostwhole.pdf
このノートは 2010 年 5 月から 森田茂之先生の講義をまとめたものです．北野晃朗
特性類と不変量 森田茂之 2013
目次
8 モジュライ空間のサイクル，コサイクルの作り方 158
9 低次元トポロジーの謎 161
10 夢
(引用終り)
以上
420現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/15(火) 16:06:10.84ID:LE7flZea >>408
おサル、ほんと笑えるな
>「正方行列全体が群を成す」かどうか
そんなことは一言もいってないぞよｗｗ
行列による群の表現の話をしただけ
おまえが、群の表現論に無知だったことを自白しているｗｗ
>それでも「正方行列」と書いたということは
>「任意の正方行列に対して逆行列が存在する」
>と思い込んでいたということ
アホかいな（＾＾
正方行列に零因子が存在して（高校数学Cの教程内だよ 下記>>370より）
零因子の行列は、行列式は0で、逆行列が存在しないことは常識中の常識だよ（>>370を見よ）
それ知らないのは、非常識おサルだけだろ（>>370-373の通りですよ）
（>>370より）
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/matrix_mul1.html
高校数学 >> 旧高校数学C
*** 行列 ***
■零因子
おサル、ほんと笑えるな
>「正方行列全体が群を成す」かどうか
そんなことは一言もいってないぞよｗｗ
行列による群の表現の話をしただけ
おまえが、群の表現論に無知だったことを自白しているｗｗ
>それでも「正方行列」と書いたということは
>「任意の正方行列に対して逆行列が存在する」
>と思い込んでいたということ
アホかいな（＾＾
正方行列に零因子が存在して（高校数学Cの教程内だよ 下記>>370より）
零因子の行列は、行列式は0で、逆行列が存在しないことは常識中の常識だよ（>>370を見よ）
それ知らないのは、非常識おサルだけだろ（>>370-373の通りですよ）
（>>370より）
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/matrix_mul1.html
高校数学 >> 旧高校数学C
*** 行列 ***
■零因子
421１３２人目の素数さん
2020/09/15(火) 17:14:25.41ID:D6yfk4lL >>415
>ZF(C) と異なり，BG(C) は有限個の公理で公理化可能なことが知られている
「・・・と異なり」と書いてあるんだろ？
じゃ、君が間違い 分からん君が●チガイｗ
>けど、それ単位が違うよ。”条”と”個”だよ。
ド素人が勝手読みしてトンチンカンな言い訳せんように
数学なめとんのか？ワレｗ
>ZF(C) と異なり，BG(C) は有限個の公理で公理化可能なことが知られている
「・・・と異なり」と書いてあるんだろ？
じゃ、君が間違い 分からん君が●チガイｗ
>けど、それ単位が違うよ。”条”と”個”だよ。
ド素人が勝手読みしてトンチンカンな言い訳せんように
数学なめとんのか？ワレｗ
422１３２人目の素数さん
2020/09/15(火) 17:15:41.39ID:D6yfk4lL >>417
ま～た、🐎🦌がネットの文章を自分勝手に誤読して
トンチンカンな反論してきたなｗｗｗ
>"線型写像や行列を (1,1)-型テンソルと看做したときの、
> テンソルの階数は行列の階数の概念に一致する。"
うん、これは全くその通りだよ
しかし・・・行列式とは全然関係ないね（バッサリ）
n×n行列の行列式は(0,n)-型テンソルだから
>つまり、ある型のテンソルと、行列は一致するんだ
し・か・し、テンソルとしての行列式は、行列ではない
>このときに、”行列式はテンソルだ”といえば、”行列式は行列だ”となるけど
ならんでしょ？ どこをどう読んでもならんでしょ？ 君、頭オカシイ？
>あなた 交代形式の話が、全然理解できてないんじゃね？
ここでは、「交代」は一切出てきてないけどね？ 君、頭オカシイ？
ああ、そうそう
ｎ階テンソルの階数は？と聞かれて、
「ｎに決まっとるやろ、ドアホ」と答えたら
「んなわけあるかい、ダラズが」と返されるよｗ
（ここでいう階数は、行列の”ランク”の拡張 ランク知ってる？
大学で線形代数学んだ人なら常識だけどね）
ま～た、🐎🦌がネットの文章を自分勝手に誤読して
トンチンカンな反論してきたなｗｗｗ
>"線型写像や行列を (1,1)-型テンソルと看做したときの、
> テンソルの階数は行列の階数の概念に一致する。"
うん、これは全くその通りだよ
しかし・・・行列式とは全然関係ないね（バッサリ）
n×n行列の行列式は(0,n)-型テンソルだから
>つまり、ある型のテンソルと、行列は一致するんだ
し・か・し、テンソルとしての行列式は、行列ではない
>このときに、”行列式はテンソルだ”といえば、”行列式は行列だ”となるけど
ならんでしょ？ どこをどう読んでもならんでしょ？ 君、頭オカシイ？
>あなた 交代形式の話が、全然理解できてないんじゃね？
ここでは、「交代」は一切出てきてないけどね？ 君、頭オカシイ？
ああ、そうそう
ｎ階テンソルの階数は？と聞かれて、
「ｎに決まっとるやろ、ドアホ」と答えたら
「んなわけあるかい、ダラズが」と返されるよｗ
（ここでいう階数は、行列の”ランク”の拡張 ランク知ってる？
大学で線形代数学んだ人なら常識だけどね）
423１３２人目の素数さん
2020/09/15(火) 17:22:46.77ID:D6yfk4lL >>420
>行列による群の表現の話をしただけ
その言い訳は通用しない
相変わらず🐎🦌だねぇｗｗｗ
行列による群の表現は、正則行列の群への準同型
正則でない正方行列の（積による）群なんてないｗ
＞正方行列に零因子が存在して
＞零因子の行列は、行列式は0で、
＞逆行列が存在しないことは常識中の常識だよ
いやいや、おまえ、行列式全然知らなかったじゃん
俺様が行列式が０だとおしえてやったんじゃん
忘れるなよこの🐎🦌野郎ｗ
しかも「自然数が群をなすわけない」とわめくなら
「非正則行列を除けば群になる」とかいう
みっともない言い訳はできないな
自分で自分のこめかみにピストル撃って死ねよ 🐎🦌
;y=ｰ( ﾟдﾟ)･∵. ﾀｰﾝ
＼／| y |)
>行列による群の表現の話をしただけ
その言い訳は通用しない
相変わらず🐎🦌だねぇｗｗｗ
行列による群の表現は、正則行列の群への準同型
正則でない正方行列の（積による）群なんてないｗ
＞正方行列に零因子が存在して
＞零因子の行列は、行列式は0で、
＞逆行列が存在しないことは常識中の常識だよ
いやいや、おまえ、行列式全然知らなかったじゃん
俺様が行列式が０だとおしえてやったんじゃん
忘れるなよこの🐎🦌野郎ｗ
しかも「自然数が群をなすわけない」とわめくなら
「非正則行列を除けば群になる」とかいう
みっともない言い訳はできないな
自分で自分のこめかみにピストル撃って死ねよ 🐎🦌
;y=ｰ( ﾟдﾟ)･∵. ﾀｰﾝ
＼／| y |)
424現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/15(火) 18:50:11.12ID:LE7flZea おバカのおサルが発狂中
笑えるｗｗｗ（＾＾；
笑えるｗｗｗ（＾＾；
425１３２人目の素数さん
2020/09/15(火) 19:40:48.23ID:9Bwg1zHi426現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/15(火) 20:33:11.38ID:U8/AtlFY >>425
>正方行列にというか正方行列環にですねー
いいえ
正方行列で間違いではないですよ
∵ 高校数学C 下記
高校の教程では、正方行列環は扱いません！ｗ（＾＾；
ですが、零因子は扱える！！
行列環の概念なしで！
（>>370より）
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/matrix_mul1.html
高校数学 >> 旧高校数学C
*** 行列 ***
■零因子
>正方行列にというか正方行列環にですねー
いいえ
正方行列で間違いではないですよ
∵ 高校数学C 下記
高校の教程では、正方行列環は扱いません！ｗ（＾＾；
ですが、零因子は扱える！！
行列環の概念なしで！
（>>370より）
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/matrix_mul1.html
高校数学 >> 旧高校数学C
*** 行列 ***
■零因子
427１３２人目の素数さん
2020/09/15(火) 20:56:53.88ID:D6yfk4lL >>426
じゃ、聞くけど、零行列って何？ｗ
行列の和の単位元、という性質抜きに、零行列ってどうやって定義すんの？
零って環の加法の単位元でしょ？
それ以外に、加法を全く使わずして、零が定義できるの？
やってみせて 今！ここで！
じゃ、聞くけど、零行列って何？ｗ
行列の和の単位元、という性質抜きに、零行列ってどうやって定義すんの？
零って環の加法の単位元でしょ？
それ以外に、加法を全く使わずして、零が定義できるの？
やってみせて 今！ここで！
428１３２人目の素数さん
2020/09/15(火) 21:00:05.33ID:D6yfk4lL >>426
＞高校の教程では、正方行列環は扱いません！
🐎🦌ｗｗｗ
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/matrix1.html
行列の和、差、スカラー積、そして積が定義されてる時点で
立派な環じゃんｗｗｗ
おまえ、どんだけ🐎🦌なの？ｗｗｗｗｗｗｗ
＞高校の教程では、正方行列環は扱いません！
🐎🦌ｗｗｗ
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/matrix1.html
行列の和、差、スカラー積、そして積が定義されてる時点で
立派な環じゃんｗｗｗ
おまえ、どんだけ🐎🦌なの？ｗｗｗｗｗｗｗ
429１３２人目の素数さん
2020/09/15(火) 21:43:41.66ID:9Bwg1zHi >>426
高卒だから高校レベルに拘るんですね？ 分かります
高卒だから高校レベルに拘るんですね？ 分かります
430１３２人目の素数さん
2020/09/15(火) 21:47:36.90ID:D6yfk4lL431粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
2020/09/15(火) 22:05:05.30ID:+9wOPfrZ 何じゃやっぱり、郡を知らんで先取りで環や体ばかり覚えとるのかと思いきや環も覚束んか
此処に瀬田氏は、学習する気ぃ零で摘まみ食いで数学用語羅列しとる事が正式に自爆露呈証明された訳じゃな
此処に瀬田氏は、学習する気ぃ零で摘まみ食いで数学用語羅列しとる事が正式に自爆露呈証明された訳じゃな
432現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/15(火) 22:41:07.62ID:U8/AtlFY433現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/15(火) 22:42:21.57ID:U8/AtlFY >行列の和、差、スカラー積、そして積が定義されてる時点で
>立派な環じゃんｗｗｗ
笑える～
おへそが茶を沸かすな～！
定義がないのに”環”ｗｗｗ～！
>立派な環じゃんｗｗｗ
笑える～
おへそが茶を沸かすな～！
定義がないのに”環”ｗｗｗ～！
434現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/15(火) 23:18:22.76ID:U8/AtlFY >>433 補足
>定義がないのに”環”ｗｗｗ～！
環の定義がないってことな
>行列の和、差、スカラー積、そして積が定義されてる時点で
>立派な環じゃんｗｗｗ
じゃ、古代ギリシャの原論に
整数環や、有理数環があったことになるぜｗｗ
くっさｗｗ（＾＾；
あほや～
>定義がないのに”環”ｗｗｗ～！
環の定義がないってことな
>行列の和、差、スカラー積、そして積が定義されてる時点で
>立派な環じゃんｗｗｗ
じゃ、古代ギリシャの原論に
整数環や、有理数環があったことになるぜｗｗ
くっさｗｗ（＾＾；
あほや～
435粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
2020/09/15(火) 23:43:27.55ID:+9wOPfrZ 呆れて物も言えん
436１３２人目の素数さん
2020/09/16(水) 05:58:13.68ID:Z56pvYB4437１３２人目の素数さん
2020/09/16(水) 06:11:00.94ID:Z56pvYB4 線型代数が分らん、迷える🐎🦌・・・じゃなかった🐑🐐を調教するスレッド
【大学数学の基礎】消去法と行列式を語るスレッド
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1600203756/
【大学数学の基礎】消去法と行列式を語るスレッド
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1600203756/
438現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/16(水) 07:36:09.21ID:eQpB/idh >>411 戻る
>正方行列から非可逆元をなくせば体を成す！
”正方行列から非可逆元をなくせば一般線型群GL(n, F)を成す”でどう
下記一般線型群
定義：行列式がゼロでない行列全体と言い換えてもよい
よって、一般線型群：「正方行列から非可逆元をなくせば一般線型群を成す」で宜しいかなｗ
行列式がゼロか ゼロでないかで、
可逆行列（下記）か 不可逆行列＝零因子の行列か が決まるよ
なお、下記行列群の記述では、
”行列群 (matrix group) は指定された体 K上の可逆行列からなる群 G で”とある通り
”可逆行列”という用語を使っていて、「正則行列」は使っていない
それで、十分に分かる
そして、群の文脈では、”可逆行列”の”可逆”は当たり前
言わずもがな。それで揚げ足を取ったつもりとは笑止（＾＾；
それよか、群の文脈で（行列の）”零因子”を指摘したのに、意図を理解できず
怒り出して(>>367)「零因子の話なんかまったくしてないぞ」というのです、おサルさん
揚げ足を取ったつもりで、自分が揚げ足取られて
すってんころりん高転び。おサルの無知に笑えたな～（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%BE%A4
一般線型群
定義
n 次正方行列全体 Mn(F) のうち正則な行列全体が行列の積に関してなす群のことを一般線型群ということも多い
この場合には GLn(F) または GL(n, F) と表す
行列式がゼロでない行列全体と言い換えてもよい
つづく
>正方行列から非可逆元をなくせば体を成す！
”正方行列から非可逆元をなくせば一般線型群GL(n, F)を成す”でどう
下記一般線型群
定義：行列式がゼロでない行列全体と言い換えてもよい
よって、一般線型群：「正方行列から非可逆元をなくせば一般線型群を成す」で宜しいかなｗ
行列式がゼロか ゼロでないかで、
可逆行列（下記）か 不可逆行列＝零因子の行列か が決まるよ
なお、下記行列群の記述では、
”行列群 (matrix group) は指定された体 K上の可逆行列からなる群 G で”とある通り
”可逆行列”という用語を使っていて、「正則行列」は使っていない
それで、十分に分かる
そして、群の文脈では、”可逆行列”の”可逆”は当たり前
言わずもがな。それで揚げ足を取ったつもりとは笑止（＾＾；
それよか、群の文脈で（行列の）”零因子”を指摘したのに、意図を理解できず
怒り出して(>>367)「零因子の話なんかまったくしてないぞ」というのです、おサルさん
揚げ足を取ったつもりで、自分が揚げ足取られて
すってんころりん高転び。おサルの無知に笑えたな～（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%BE%A4
一般線型群
定義
n 次正方行列全体 Mn(F) のうち正則な行列全体が行列の積に関してなす群のことを一般線型群ということも多い
この場合には GLn(F) または GL(n, F) と表す
行列式がゼロでない行列全体と言い換えてもよい
つづく
439現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/16(水) 07:36:45.35ID:eQpB/idh >>438
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E7%BE%A4
行列群
行列群 (matrix group) は指定された体 K上の可逆行列からなる群 G で、行列の積の操作を伴うものである。線型群 (linear group) は体 K 上の行列群に同型な抽象群、つまり、K 上と忠実な有限次元表現を認めるものである。
任意の有限群が線型であるのはケイリーの定理（英語版）を使って置換行列によって実現できるためである。無限群（英語版）の中で、線型群は興味深く扱いやすいクラスをなす。線型でない群の例としては、「あまりに大きな」群（を含む。例えば、無限集合の置換からなる群）やある種の病的な振る舞いを示す群（例えば、有限生成された無限ねじり群）などがある。
古典群
詳細は「古典群（英語版）」を参照
とりわけ面白い行列群はいわゆる古典群（英語版）である。行列群の係数の環が実数のとき、これらの群は古典リー群（英語版）である。基礎環が有限体であるとき古典群はリー型の群（英語版）である。これらの群は有限単純群の分類において重要な役割を果たす。
行列群としての有限群
すべての有限群はある行列群と同型である。これはすべての有限群はある置換群と同型であると述べるケイリーの定理（英語版）と似ている。同型の性質は推移的であるので、置換群から行列群をどのように構成するかを考えるだけでよい。
略
したがってすべての群は行列群に同型であることが証明できる。
表現論と指標理論
線型変換と行列は（一般的に言って）数学においてよく理解されている対象であり、群の研究において広範囲に渡って使われてきた。とくに表現論は群から行列群への写像を研究し、指標理論は表現のトレースによって与えられる群から体への準同型を研究する。
例
・たくさんの例にはリー群一覧（英語版）、有限単純群一覧（英語版）、単純リー群一覧（英語版）を見よ。
・推移的有限線型群一覧（英語版）を見よ。
・2000年に braid group Bn がすべての n に対して線型であることが示されたときに長年の予想が解かれた[1]。
(引用終り)
以上
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E7%BE%A4
行列群
行列群 (matrix group) は指定された体 K上の可逆行列からなる群 G で、行列の積の操作を伴うものである。線型群 (linear group) は体 K 上の行列群に同型な抽象群、つまり、K 上と忠実な有限次元表現を認めるものである。
任意の有限群が線型であるのはケイリーの定理（英語版）を使って置換行列によって実現できるためである。無限群（英語版）の中で、線型群は興味深く扱いやすいクラスをなす。線型でない群の例としては、「あまりに大きな」群（を含む。例えば、無限集合の置換からなる群）やある種の病的な振る舞いを示す群（例えば、有限生成された無限ねじり群）などがある。
古典群
詳細は「古典群（英語版）」を参照
とりわけ面白い行列群はいわゆる古典群（英語版）である。行列群の係数の環が実数のとき、これらの群は古典リー群（英語版）である。基礎環が有限体であるとき古典群はリー型の群（英語版）である。これらの群は有限単純群の分類において重要な役割を果たす。
行列群としての有限群
すべての有限群はある行列群と同型である。これはすべての有限群はある置換群と同型であると述べるケイリーの定理（英語版）と似ている。同型の性質は推移的であるので、置換群から行列群をどのように構成するかを考えるだけでよい。
略
したがってすべての群は行列群に同型であることが証明できる。
表現論と指標理論
線型変換と行列は（一般的に言って）数学においてよく理解されている対象であり、群の研究において広範囲に渡って使われてきた。とくに表現論は群から行列群への写像を研究し、指標理論は表現のトレースによって与えられる群から体への準同型を研究する。
例
・たくさんの例にはリー群一覧（英語版）、有限単純群一覧（英語版）、単純リー群一覧（英語版）を見よ。
・推移的有限線型群一覧（英語版）を見よ。
・2000年に braid group Bn がすべての n に対して線型であることが示されたときに長年の予想が解かれた[1]。
(引用終り)
以上
440現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/16(水) 07:45:14.10ID:eQpB/idh >>438 タイポ訂正
可逆行列（下記）か 不可逆行列＝零因子の行列か が決まるよ
↓
可逆行列（下記）か 非可逆行列＝零因子の行列か が決まるよ
不でも非でも、どちらもで良さそうだが、統一しておかないとね
可逆行列（下記）か 不可逆行列＝零因子の行列か が決まるよ
↓
可逆行列（下記）か 非可逆行列＝零因子の行列か が決まるよ
不でも非でも、どちらもで良さそうだが、統一しておかないとね
441１３２人目の素数さん
2020/09/16(水) 17:46:42.83ID:Z56pvYB4 >>438
>”正方行列から非可逆元をなくせば一般線型群GL(n, F)を成す”でどう
そもそも、初めから、
正方行列でなく正則行列といえばよかった
はよ気づけ！
>群の文脈では、”可逆行列”の”可逆”は当たり前
>それで揚げ足を取ったつもりとは笑止
「自然数の群」がＮＧなら
「正方行列の群」もＮＧ
「自然数」に”負数”を追加した「整数」で群をなす
「正方行列」から”行列式０の行列”を削除した「正則行列」で群をなす
つまり、不足か過剰かの違い
不足を笑う🐎🦌が、過剰で笑われる 実に大🐎🦌
笑止なのはこっちだよｗｗｗｗｗｗｗ
>揚げ足を取ったつもりで、
>自分が揚げ足取られて
>すってんころりん高転び。
まさに◆yH25M02vWFhP自身のこと
「自然数の群で」、揚げ足を取ったつもりで、
「正方行列の群で」、自分が揚げ足取られて
すってんころりん高転び、で「脳天逆落とし」
🐎🦌だねぇｗｗｗｗｗｗｗ
（「男はつらいよ」のおいちゃん（森川信）の声で読んでね）
>”正方行列から非可逆元をなくせば一般線型群GL(n, F)を成す”でどう
そもそも、初めから、
正方行列でなく正則行列といえばよかった
はよ気づけ！
>群の文脈では、”可逆行列”の”可逆”は当たり前
>それで揚げ足を取ったつもりとは笑止
「自然数の群」がＮＧなら
「正方行列の群」もＮＧ
「自然数」に”負数”を追加した「整数」で群をなす
「正方行列」から”行列式０の行列”を削除した「正則行列」で群をなす
つまり、不足か過剰かの違い
不足を笑う🐎🦌が、過剰で笑われる 実に大🐎🦌
笑止なのはこっちだよｗｗｗｗｗｗｗ
>揚げ足を取ったつもりで、
>自分が揚げ足取られて
>すってんころりん高転び。
まさに◆yH25M02vWFhP自身のこと
「自然数の群で」、揚げ足を取ったつもりで、
「正方行列の群で」、自分が揚げ足取られて
すってんころりん高転び、で「脳天逆落とし」
🐎🦌だねぇｗｗｗｗｗｗｗ
（「男はつらいよ」のおいちゃん（森川信）の声で読んでね）
442１３２人目の素数さん
2020/09/16(水) 17:47:40.65ID:Z56pvYB4 >>438
＞一般線型群
＞定義：
＞n 次正方行列全体 Mn(F) のうち正則な行列全体が
＞行列の積に関してなす群のことを一般線型群という
肝心の「正則」の定義がないね
正則＝可逆かい？
結構だけど、それだと、
どういう場合に可逆になるか
明らかでないね
＞行列式がゼロでない行列全体と言い換えてもよい
言い換えてもよい、というより、
言い換える必要があるよね
「行列式がゼロでない」が唯一の答えではないけどね
「行列のランクがｎ」でもいいよ
少なくとも確実に判定できる条件を示さないと
数学的な意味がないよね
で、◆yH25M02vWFhP君さあ
「ｎ次正方行列Ｍの行列式がゼロでないのは
行列のランクがｎとなるとき、そのときに限る」
んだが、証明できるかい？
＞一般線型群
＞定義：
＞n 次正方行列全体 Mn(F) のうち正則な行列全体が
＞行列の積に関してなす群のことを一般線型群という
肝心の「正則」の定義がないね
正則＝可逆かい？
結構だけど、それだと、
どういう場合に可逆になるか
明らかでないね
＞行列式がゼロでない行列全体と言い換えてもよい
言い換えてもよい、というより、
言い換える必要があるよね
「行列式がゼロでない」が唯一の答えではないけどね
「行列のランクがｎ」でもいいよ
少なくとも確実に判定できる条件を示さないと
数学的な意味がないよね
で、◆yH25M02vWFhP君さあ
「ｎ次正方行列Ｍの行列式がゼロでないのは
行列のランクがｎとなるとき、そのときに限る」
んだが、証明できるかい？
443現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/16(水) 23:02:19.03ID:eQpB/idh >>438 補足
>”正方行列から非可逆元をなくせば一般線型群GL(n, F)を成す”でどう
>下記一般線型群
>定義：行列式がゼロでない行列全体と言い換えてもよい
雪江明彦のテキスト「代数学2」に、類似の記述を見つけた（＾＾；
「定義 2.1.5 Mn(R)の乗法群をGLn(R)と書く。A∈GLn(R)なら、Aは可逆行列であるという。」
Mn(R)は、R上のn x n 正方行列だが、Mn(R)は環だから、その乗法群としてGLn(R)を定義し
さらに、A∈GLn(R)として、可逆行列Aを定義している （＾＾
これ、いいじゃない！ｗ
雪江明彦「代数学2」をお持ちの方、ちらっと見て下さい（＾＾；
（参考）
https://www.nippyo.co.jp/shop/book/5471.html
代数学2 環と体とガロア理論 雪江明彦 著 発刊年月 2010.12
目次
第2章 環上の加群
2.1 行列と線形方程式
2.2 行列式
(抜粋)
2.1 行列と線形方程式
（P84 R上のm x n行列の集合をMm,n(R)と書く。m=nのときは、Mn(R)とも書く。）
P86
上で述べたことにより、Mn(R)は、Inを単位元とする環になる。
定義 2.1.5 Mn(R)の乗法群をGLn(R)と書く。A∈GLn(R)なら、Aは可逆行列であるという。
Rが体なら*)、可逆行列という用語より正則行列という用語の方が一般的である。
(引用終り)
注：*) この雪江本では、体は可換である。P3に説明がある
あと
2.1 行列式
P92
注 2.2.10 Rが非可換で、例えばハミルトンの四元数だと
「Aが可逆行列←→detA≠0」といった性質が成立たない。
とあるね
>”正方行列から非可逆元をなくせば一般線型群GL(n, F)を成す”でどう
>下記一般線型群
>定義：行列式がゼロでない行列全体と言い換えてもよい
雪江明彦のテキスト「代数学2」に、類似の記述を見つけた（＾＾；
「定義 2.1.5 Mn(R)の乗法群をGLn(R)と書く。A∈GLn(R)なら、Aは可逆行列であるという。」
Mn(R)は、R上のn x n 正方行列だが、Mn(R)は環だから、その乗法群としてGLn(R)を定義し
さらに、A∈GLn(R)として、可逆行列Aを定義している （＾＾
これ、いいじゃない！ｗ
雪江明彦「代数学2」をお持ちの方、ちらっと見て下さい（＾＾；
（参考）
https://www.nippyo.co.jp/shop/book/5471.html
代数学2 環と体とガロア理論 雪江明彦 著 発刊年月 2010.12
目次
第2章 環上の加群
2.1 行列と線形方程式
2.2 行列式
(抜粋)
2.1 行列と線形方程式
（P84 R上のm x n行列の集合をMm,n(R)と書く。m=nのときは、Mn(R)とも書く。）
P86
上で述べたことにより、Mn(R)は、Inを単位元とする環になる。
定義 2.1.5 Mn(R)の乗法群をGLn(R)と書く。A∈GLn(R)なら、Aは可逆行列であるという。
Rが体なら*)、可逆行列という用語より正則行列という用語の方が一般的である。
(引用終り)
注：*) この雪江本では、体は可換である。P3に説明がある
あと
2.1 行列式
P92
注 2.2.10 Rが非可換で、例えばハミルトンの四元数だと
「Aが可逆行列←→detA≠0」といった性質が成立たない。
とあるね
444現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/16(水) 23:08:47.54ID:eQpB/idh >>443 補足
”雪江明彦のテキスト「代数学2」に、類似の記述を見つけた（＾＾；
「定義 2.1.5 Mn(R)の乗法群をGLn(R)と書く。A∈GLn(R)なら、Aは可逆行列であるという。」
Mn(R)は、R上のn x n 正方行列だが、Mn(R)は環だから、その乗法群としてGLn(R)を定義し
さらに、A∈GLn(R)として、可逆行列Aを定義している （＾＾”
(引用終り)
おサルの流儀だと、これ許されないみたいだな
先に、可逆行列ありきで、それを使って乗法群GLn(R)を作らないと、間違いだぁ～、なーんちゃってｗ（＾＾
雪江明彦、行列環 Mn(R)ありきで、乗法群GLn(R)ができて、そこから可逆行列A∈GLn(R) が出る
良いんじゃないですか、これで？ｗ 群の定義に、乗法逆元の存在は定められているのだからねｗ（＾＾；
”雪江明彦のテキスト「代数学2」に、類似の記述を見つけた（＾＾；
「定義 2.1.5 Mn(R)の乗法群をGLn(R)と書く。A∈GLn(R)なら、Aは可逆行列であるという。」
Mn(R)は、R上のn x n 正方行列だが、Mn(R)は環だから、その乗法群としてGLn(R)を定義し
さらに、A∈GLn(R)として、可逆行列Aを定義している （＾＾”
(引用終り)
おサルの流儀だと、これ許されないみたいだな
先に、可逆行列ありきで、それを使って乗法群GLn(R)を作らないと、間違いだぁ～、なーんちゃってｗ（＾＾
雪江明彦、行列環 Mn(R)ありきで、乗法群GLn(R)ができて、そこから可逆行列A∈GLn(R) が出る
良いんじゃないですか、これで？ｗ 群の定義に、乗法逆元の存在は定められているのだからねｗ（＾＾；
445現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/16(水) 23:11:15.06ID:eQpB/idh446現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/17(木) 00:00:36.45ID:Goa0/AaP >>417 戻る
「行列式はテンソルです」って
確かに、行列式の多重線形性、テンソルも多重線形性
だから、「行列式はテンソルです」ってアホやんか
日本人は、人です。アメリカ人も人です
だから「日本人は、アメリカ人」ですとしたら、
あたまおかしいで～ｗ（＾＾；
http://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/Fukui/lectures/Linear_algebra.pdf
線形代数学講義ノート 福井 敏純 2020 年 3 月 23 日 埼玉大学理学部数学科
P36
定理 2.2.12 (行列式の多重線形性).
(i) det(A) は各行について線形である．
(ii) det(A) は各列について線形である．
Ｐ37
定理 2.2.14 (行列式の交代性（わい歪対称性）).
(i) 行列式の i 行と j 行 (1 <= i < j <= n) を入れ替えると行列式の符号が変わる．
(ii) 行列式の i 列と j 列 (1 <= i < j <= n) を入れ替えると行列式の符号が変わる．
系 2.2.15.
(i) 2 つの行が同じ行列の行列式は 0 である．
(ii) 2 つの列が同じ行列の行列式は 0 である．
2.5 行列式の特徴付け *
行列式の性質として，行（または列）に関する多重線形性（定理 2.2.12）があった．実
は，行（または列）に関する多重線形性と交代性（定理 2.2.14）が．行列式を特徴づける．
ここでは，列に関する多重線形性と交代性が行列式を特徴づける事を示そう．行に関する
場合も同様であるので，列に関する場合のみ示す．
つづく
「行列式はテンソルです」って
確かに、行列式の多重線形性、テンソルも多重線形性
だから、「行列式はテンソルです」ってアホやんか
日本人は、人です。アメリカ人も人です
だから「日本人は、アメリカ人」ですとしたら、
あたまおかしいで～ｗ（＾＾；
http://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/Fukui/lectures/Linear_algebra.pdf
線形代数学講義ノート 福井 敏純 2020 年 3 月 23 日 埼玉大学理学部数学科
P36
定理 2.2.12 (行列式の多重線形性).
(i) det(A) は各行について線形である．
(ii) det(A) は各列について線形である．
Ｐ37
定理 2.2.14 (行列式の交代性（わい歪対称性）).
(i) 行列式の i 行と j 行 (1 <= i < j <= n) を入れ替えると行列式の符号が変わる．
(ii) 行列式の i 列と j 列 (1 <= i < j <= n) を入れ替えると行列式の符号が変わる．
系 2.2.15.
(i) 2 つの行が同じ行列の行列式は 0 である．
(ii) 2 つの列が同じ行列の行列式は 0 である．
2.5 行列式の特徴付け *
行列式の性質として，行（または列）に関する多重線形性（定理 2.2.12）があった．実
は，行（または列）に関する多重線形性と交代性（定理 2.2.14）が．行列式を特徴づける．
ここでは，列に関する多重線形性と交代性が行列式を特徴づける事を示そう．行に関する
場合も同様であるので，列に関する場合のみ示す．
つづく
447現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/17(木) 00:01:04.23ID:Goa0/AaP >>446
つづき
https://tech-blog.rei-frontier.jp/entry/2017/10/12/102122
Rei Frontier Tech Blog
2017-10-12
テンソルの定義について: 普遍性と多重配列
レイ・フロンティア株式会社のデータアナリストの齋藤です。
本記事では、機械学習において盛んに応用され、深層学習のライブラリ tensorflow の名前の由来にもなっているテンソルについて述べます。
機械学習においては、たとえば映画館の顧客について、「顧客の好み」「映画の種類」「放映された季節」など複数の"次元"を持つデータを多重配列として表現し、その類似度を求めるということが行われます。
実際の計算処理のなかではテンソルは単なる多重配列として表現されますし、そのような理解で十分とする解説記事も多くあります。
その一方で、テンソルの定義が気になって調べてみると難しい数学の説明ばかりでわけが分からなかった……という経験をした方も多いと思われます。
そこで、本記事ではテンソルの数学的な定義と多重配列との関連について、その"気持ち"の部分をわかりやすく解説することを目指しました。
少しでも納得に近づければ幸いです。
テンソルを導入するモチベーション
応力テンソル
テンソル積の定義
方法1: 普遍性による定義： 基底を用いる
方法2: 普遍性による定義： 基底を用いない
方法3: 商空間を用いる定義
高階テンソル
多重配列としてのテンソル
参考文献
テンソル(tensor)という言葉の由来は、弾性学における"引っ張る力"を意味するテンション(tension)といわれています。
テンソル積の定義
本記事では、ベクトル空間のテンソル積の3種類の定義を紹介します。
高階テンソル
n 階のテンソルに関しても2階の場合と同様、
n重の多重線形写像を"線形化"するという意味での普遍性と、n重線形性をもつことが確認できます。
(引用終り)
以上
つづき
https://tech-blog.rei-frontier.jp/entry/2017/10/12/102122
Rei Frontier Tech Blog
2017-10-12
テンソルの定義について: 普遍性と多重配列
レイ・フロンティア株式会社のデータアナリストの齋藤です。
本記事では、機械学習において盛んに応用され、深層学習のライブラリ tensorflow の名前の由来にもなっているテンソルについて述べます。
機械学習においては、たとえば映画館の顧客について、「顧客の好み」「映画の種類」「放映された季節」など複数の"次元"を持つデータを多重配列として表現し、その類似度を求めるということが行われます。
実際の計算処理のなかではテンソルは単なる多重配列として表現されますし、そのような理解で十分とする解説記事も多くあります。
その一方で、テンソルの定義が気になって調べてみると難しい数学の説明ばかりでわけが分からなかった……という経験をした方も多いと思われます。
そこで、本記事ではテンソルの数学的な定義と多重配列との関連について、その"気持ち"の部分をわかりやすく解説することを目指しました。
少しでも納得に近づければ幸いです。
テンソルを導入するモチベーション
応力テンソル
テンソル積の定義
方法1: 普遍性による定義： 基底を用いる
方法2: 普遍性による定義： 基底を用いない
方法3: 商空間を用いる定義
高階テンソル
多重配列としてのテンソル
参考文献
テンソル(tensor)という言葉の由来は、弾性学における"引っ張る力"を意味するテンション(tension)といわれています。
テンソル積の定義
本記事では、ベクトル空間のテンソル積の3種類の定義を紹介します。
高階テンソル
n 階のテンソルに関しても2階の場合と同様、
n重の多重線形写像を"線形化"するという意味での普遍性と、n重線形性をもつことが確認できます。
(引用終り)
以上
448１３２人目の素数さん
2020/09/17(木) 06:10:59.55ID:PUn6GZi6 >>443
>Mn(R)の乗法群をGLn(R)と書く。
でしょ
だ・か・ら、Mn(R)は乗法群を成さないんでしょ
自爆じゃんｗ 完全な自爆じゃんｗｗｗ
御愁傷様(-||-)
ああ、それから、「…の乗法群」の定義あるでしょ
必ず見つけて書こうね それが数学の勉強だよ
>Mn(R)の乗法群をGLn(R)と書く。
でしょ
だ・か・ら、Mn(R)は乗法群を成さないんでしょ
自爆じゃんｗ 完全な自爆じゃんｗｗｗ
御愁傷様(-||-)
ああ、それから、「…の乗法群」の定義あるでしょ
必ず見つけて書こうね それが数学の勉強だよ
449１３２人目の素数さん
2020/09/17(木) 06:17:05.46ID:PUn6GZi6 >>444
＞先に、可逆行列ありきで、それを使って乗法群GLn(R)を作らないと、間違いだぁ～
乗法群の定義がないと意味ないですよ おわかり？
君はどうも定義を読みたがらない癖があるね
でも、それ大学では一切通用しないから
ざんね~ん（バッサリ）
P.S.
>>443
＞Rが非可換で、例えばハミルトンの四元数だと
＞「Aが可逆行列←→detA≠0」といった性質が成立たない。
そもそも体上の線形対数も全然分かってない君に
斜体の話は百年早いよ
それはさておき、その場合「Aが可逆行列」という性質は
いかなる形で定義される、と書いてあるかな？
そして、可逆行列全体が積で閉じてることは君、確認したかな？
群の公理を理解したなら、真っ先に確認すべきことだよ
君、やったかな？どうせやってないんだろ 君ホント🐎🦌だからなｗ
＞先に、可逆行列ありきで、それを使って乗法群GLn(R)を作らないと、間違いだぁ～
乗法群の定義がないと意味ないですよ おわかり？
君はどうも定義を読みたがらない癖があるね
でも、それ大学では一切通用しないから
ざんね~ん（バッサリ）
P.S.
>>443
＞Rが非可換で、例えばハミルトンの四元数だと
＞「Aが可逆行列←→detA≠0」といった性質が成立たない。
そもそも体上の線形対数も全然分かってない君に
斜体の話は百年早いよ
それはさておき、その場合「Aが可逆行列」という性質は
いかなる形で定義される、と書いてあるかな？
そして、可逆行列全体が積で閉じてることは君、確認したかな？
群の公理を理解したなら、真っ先に確認すべきことだよ
君、やったかな？どうせやってないんだろ 君ホント🐎🦌だからなｗ
450１３２人目の素数さん
2020/09/17(木) 06:21:10.91ID:PUn6GZi6 >>446
＞確かに、行列式の多重線形性、テンソルも多重線形性
＞だから、「行列式はテンソルです」ってアホやんか
アホはきみやんか
「テンソルとは多重線形写像のことである」
って定義されとることも知らんとかド阿呆やん
上記の定義を知っとったら
「行列式は多重線形写像である」
と確認したその瞬間
「したがって、行列式はテンソルである！」
とわかるやんか？
君、アホか？バカか？タワケか？ダラズか？ホンジナシか？タクランケか？ｗ
＞確かに、行列式の多重線形性、テンソルも多重線形性
＞だから、「行列式はテンソルです」ってアホやんか
アホはきみやんか
「テンソルとは多重線形写像のことである」
って定義されとることも知らんとかド阿呆やん
上記の定義を知っとったら
「行列式は多重線形写像である」
と確認したその瞬間
「したがって、行列式はテンソルである！」
とわかるやんか？
君、アホか？バカか？タワケか？ダラズか？ホンジナシか？タクランケか？ｗ
451現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/17(木) 06:48:34.43ID:Goa0/AaP452１３２人目の素数さん
2020/09/17(木) 06:52:50.62ID:PUn6GZi6453１３２人目の素数さん
2020/09/17(木) 06:55:58.67ID:PUn6GZi6 >>451
＞「正方行列の成す群Ｇ」といえば
ん？「正方行列の乗法群」の「乗法」を忘れた？
君、記憶ができないの？君、🐎🦌？
まず「乗法群」の定義を見つけて書け
話は全てそこからだ 定義なしの用語使用はまずありえないと知れ
このダラズが！！！
＞「正方行列の成す群Ｇ」といえば
ん？「正方行列の乗法群」の「乗法」を忘れた？
君、記憶ができないの？君、🐎🦌？
まず「乗法群」の定義を見つけて書け
話は全てそこからだ 定義なしの用語使用はまずありえないと知れ
このダラズが！！！
454現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/17(木) 07:32:09.17ID:Goa0/AaP >>450
ばかサル必死だな
「テンソルとは多重線形写像のことである」
「行列式は多重線形写像である」
で、止めておけばいいのです
下記 多重線型写像で、
”行列式は正方行列の列（あるいは行）ベクトルを引数と見れば多重線型形式である”
”行列の行列式は正方行列の列（あるいは行）の反対称多重線型関数である”
あるいは
下記 「テンソルの大雑把な意味と正確な定義」の
”線形写像は以下の２つを満たすので、1階反変1階共変テンソルと言えます。
・基底を決めると２次元配列（表現行列）が決まる”
とあるよね。それで終わっておけば良いのです
「行列式はテンソルです」ってアホやんか
だれが聞いても、誤解を生むだけ
”こいつアホやな”ってね（＾＾；
実際アホやけど
シッタカしようとして、すってんころりん！
シラケ鳥が飛ぶぅ～！
頭腐っている～ｗ
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%87%8D%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%86%99%E5%83%8F
多重線型写像
(抜粋)
多重線型写像（たじゅうせんけいしゃぞう、英: multi-linear map）は各変数ごとに線型な多変数関数である。
一変数の多重線型写像は線型写像であり、二変数のそれは双線型写像である。より一般に、k 変数の多重線型写像は k 重線型写像 (k-linear map) と呼ばれる。
多重線型写像の終域が係数体（スカラー値）のときはとくに多重線型形式と言う。
例えば、スカラー積は対称双線型形式であり、
行列式は正方行列の列（あるいは行）ベクトルを引数と見れば多重線型形式である。
つづく
ばかサル必死だな
「テンソルとは多重線形写像のことである」
「行列式は多重線形写像である」
で、止めておけばいいのです
下記 多重線型写像で、
”行列式は正方行列の列（あるいは行）ベクトルを引数と見れば多重線型形式である”
”行列の行列式は正方行列の列（あるいは行）の反対称多重線型関数である”
あるいは
下記 「テンソルの大雑把な意味と正確な定義」の
”線形写像は以下の２つを満たすので、1階反変1階共変テンソルと言えます。
・基底を決めると２次元配列（表現行列）が決まる”
とあるよね。それで終わっておけば良いのです
「行列式はテンソルです」ってアホやんか
だれが聞いても、誤解を生むだけ
”こいつアホやな”ってね（＾＾；
実際アホやけど
シッタカしようとして、すってんころりん！
シラケ鳥が飛ぶぅ～！
頭腐っている～ｗ
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%87%8D%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%86%99%E5%83%8F
多重線型写像
(抜粋)
多重線型写像（たじゅうせんけいしゃぞう、英: multi-linear map）は各変数ごとに線型な多変数関数である。
一変数の多重線型写像は線型写像であり、二変数のそれは双線型写像である。より一般に、k 変数の多重線型写像は k 重線型写像 (k-linear map) と呼ばれる。
多重線型写像の終域が係数体（スカラー値）のときはとくに多重線型形式と言う。
例えば、スカラー積は対称双線型形式であり、
行列式は正方行列の列（あるいは行）ベクトルを引数と見れば多重線型形式である。
つづく
455現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/17(木) 07:33:11.04ID:Goa0/AaP >>454
つづき
すべての変数が同じ空間に属していれば、対称（英語版）、反対称、交代（英語版） k 重線型写像を考えることができる（注意すべき点として、基礎（英語版）環（あるいは体）の標数が 2 でなければ後ろ2つは一致し、標数が 2 であれば前2つは一致する）。例えば、スカラー積は対称であり、行列式は反対称である。
多重線型写像や多重線型形式は多重線型代数において研究の基本的な対象である。多重線型写像の系統的な研究により行列式、外積（フランス語版）、そして幾何学的内容を含む多くの他の道具の一般的な定義が得られる。多様体の枠組みや微分幾何学においても多くの応用がある。
テンソル積との関係
多重線型写像は本質的にテンソル積空間上の線型写像であると考えることができる。
すなわち多重線型写像の空間 L(E1, …, Ek; F) と線型写像の空間 L(E1 ◯x … ◯x Ek; F) との間に自然な一対一対応が存在する（テンソル積の普遍性）。
例
・行列の行列式は正方行列の列（あるいは行）の反対称多重線型関数である。
https://mathwords.net/tensor
具体例で学ぶ数学 > 計算 > テンソルの大雑把な意味と正確な定義
最終更新日 2019/04/18
(抜粋)
テンソルの大雑把な意味
単なる多次元配列のことをテンソルと呼ぶことがあります。
テンソルと多次元配列の違い
多次元配列は、単純に数字をたくさん（立方体の各マスに）並べたものです。
一方、テンソルは正確に定義するのがけっこう大変な「数学的なオブジェクト」です。大雑把には、テンソルとは「基底を定めれば多次元配列が定まり、その多次元配列の成分は基底の変換規則に従う」ような関数と言えます。
つづく
つづき
すべての変数が同じ空間に属していれば、対称（英語版）、反対称、交代（英語版） k 重線型写像を考えることができる（注意すべき点として、基礎（英語版）環（あるいは体）の標数が 2 でなければ後ろ2つは一致し、標数が 2 であれば前2つは一致する）。例えば、スカラー積は対称であり、行列式は反対称である。
多重線型写像や多重線型形式は多重線型代数において研究の基本的な対象である。多重線型写像の系統的な研究により行列式、外積（フランス語版）、そして幾何学的内容を含む多くの他の道具の一般的な定義が得られる。多様体の枠組みや微分幾何学においても多くの応用がある。
テンソル積との関係
多重線型写像は本質的にテンソル積空間上の線型写像であると考えることができる。
すなわち多重線型写像の空間 L(E1, …, Ek; F) と線型写像の空間 L(E1 ◯x … ◯x Ek; F) との間に自然な一対一対応が存在する（テンソル積の普遍性）。
例
・行列の行列式は正方行列の列（あるいは行）の反対称多重線型関数である。
https://mathwords.net/tensor
具体例で学ぶ数学 > 計算 > テンソルの大雑把な意味と正確な定義
最終更新日 2019/04/18
(抜粋)
テンソルの大雑把な意味
単なる多次元配列のことをテンソルと呼ぶことがあります。
テンソルと多次元配列の違い
多次元配列は、単純に数字をたくさん（立方体の各マスに）並べたものです。
一方、テンソルは正確に定義するのがけっこう大変な「数学的なオブジェクト」です。大雑把には、テンソルとは「基底を定めれば多次元配列が定まり、その多次元配列の成分は基底の変換規則に従う」ような関数と言えます。
つづく
456現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/17(木) 07:33:34.18ID:Goa0/AaP >>455
つづき
テンソルの正確な定義
テンソルの定義は（同値なものが）いくつかありますが、ここでは「成分の変換規則」による定義を紹介します。
例2. 線形写像
線形写像は1階反変1階共変テンソルです。
線形写像は、基底を決めると表現行列 A が定まります。
そして、基底を変換する（基底の変換行列を R とする）と、新しい基底での表現行列は R?1AR となります。詳しくは 相似変換の意味、表現行列や基底の変換行列との関係を整理 に記載しています。
よって、線形写像は以下の２つを満たすので、1階反変1階共変テンソルと言えます。
・基底を決めると２次元配列（表現行列）が決まる
(引用終り)
以上
つづき
テンソルの正確な定義
テンソルの定義は（同値なものが）いくつかありますが、ここでは「成分の変換規則」による定義を紹介します。
例2. 線形写像
線形写像は1階反変1階共変テンソルです。
線形写像は、基底を決めると表現行列 A が定まります。
そして、基底を変換する（基底の変換行列を R とする）と、新しい基底での表現行列は R?1AR となります。詳しくは 相似変換の意味、表現行列や基底の変換行列との関係を整理 に記載しています。
よって、線形写像は以下の２つを満たすので、1階反変1階共変テンソルと言えます。
・基底を決めると２次元配列（表現行列）が決まる
(引用終り)
以上
457粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
2020/09/17(木) 07:47:50.68ID:xI04d2jT 自然数は正整数である
正整数は非負整数である
自然数は非負整数である
正整数は非負整数である
自然数は非負整数である
458粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
2020/09/17(木) 07:49:10.93ID:xI04d2jT 自然数=正整数∈非負整数∈整数
459現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/17(木) 10:45:54.45ID:mTCCJp7z >>458
「テンソルとは多重線形写像のことである」
「行列式は多重線形写像である」
で、止めておけばいいのです
「行列式はテンソルです」って
だれが聞いても、誤解を生むだけ
普通に
・「なに言ってんだ、こいつ！」
・「なにを言いたいんだ、こいつは！」
となって、
白眼視されるの関の山ですよ
「テンソルとは多重線形写像のことである」
「行列式は多重線形写像である」
で、止めておけばいいのです
「行列式はテンソルです」って
だれが聞いても、誤解を生むだけ
普通に
・「なに言ってんだ、こいつ！」
・「なにを言いたいんだ、こいつは！」
となって、
白眼視されるの関の山ですよ
460１３２人目の素数さん
2020/09/17(木) 19:19:04.89ID:PUn6GZi6 >>454
>「テンソルとは多重線形写像のことである」
>「行列式は多重線形写像である」
>で、止めておけばいいのです
君の認識があやふやだから止まる
まず第一点
「ｘがテンソルであるとは、ｘが多重線形写像であるときそのときに限る」
ここがはっきり分かっていれば、第二点
「行列式は多重線形写像である」
から、結論
「行列式はテンソルである」
が導ける
>”行列式は正方行列の列（あるいは行）ベクトルを引数と見れば多重線型形式である”
然り
>”行列の行列式は正方行列の列（あるいは行）の反対称多重線型関数である”
否、正しくは
”行列の行列式は正方行列の列（あるいは行）【ベクトル】の反対称多重線型関数である”
君は、なぜか肝心な言葉を省いて誤解する悪い癖がある
素人は決して言葉を省いてはならない
省き方が間違ってるからである
で、ｎ×ｎの行列式は ｎ階共変テンソルな
なぜなら、ｎ×ｎの行列には、ｎ個の列（あるいは行）ベクトルがあるから
そして写像としての行列式の値は体であって、（体上の）線形空間ではないから
>「テンソルとは多重線形写像のことである」
>「行列式は多重線形写像である」
>で、止めておけばいいのです
君の認識があやふやだから止まる
まず第一点
「ｘがテンソルであるとは、ｘが多重線形写像であるときそのときに限る」
ここがはっきり分かっていれば、第二点
「行列式は多重線形写像である」
から、結論
「行列式はテンソルである」
が導ける
>”行列式は正方行列の列（あるいは行）ベクトルを引数と見れば多重線型形式である”
然り
>”行列の行列式は正方行列の列（あるいは行）の反対称多重線型関数である”
否、正しくは
”行列の行列式は正方行列の列（あるいは行）【ベクトル】の反対称多重線型関数である”
君は、なぜか肝心な言葉を省いて誤解する悪い癖がある
素人は決して言葉を省いてはならない
省き方が間違ってるからである
で、ｎ×ｎの行列式は ｎ階共変テンソルな
なぜなら、ｎ×ｎの行列には、ｎ個の列（あるいは行）ベクトルがあるから
そして写像としての行列式の値は体であって、（体上の）線形空間ではないから
461１３２人目の素数さん
2020/09/17(木) 19:21:29.80ID:PUn6GZi6 >>454
>「行列式はテンソルです」ってアホやんか
>だれが聞いても、誤解を生むだけ
一体なにに発●してるのか知らんけど
多重(つまり二重以上）線形写像であって、(一重)線形写像ではないよ
例えば
「行列式０の集合全体が、線形空間でないからオカシイ」
といってるんなら
「そもそも、”多重”線形写像だから、線形空間になりませんが、それが何か？」
というだけだけど
で、ｎ個のベクトルのうち、ｎ－１個を固定した上で、
１個だけ変数にした場合は、も・ち・ろ・ん、線形空間になる
つまり、(ｎ－１個のベクトルが一次独立の場合）残り１つのベクトルが、
ｎ－１個のベクトルの一次結合で表せる場合は０になる
もしかして、キミ、全然見えてなかっただろ？
これだから、線型代数が分かってない人は、困るんだよ
>シッタカしようとして、すってんころりん！
>シラケ鳥が飛ぶぅ～！
それ、お前な
>「行列式はテンソルです」ってアホやんか
>だれが聞いても、誤解を生むだけ
一体なにに発●してるのか知らんけど
多重(つまり二重以上）線形写像であって、(一重)線形写像ではないよ
例えば
「行列式０の集合全体が、線形空間でないからオカシイ」
といってるんなら
「そもそも、”多重”線形写像だから、線形空間になりませんが、それが何か？」
というだけだけど
で、ｎ個のベクトルのうち、ｎ－１個を固定した上で、
１個だけ変数にした場合は、も・ち・ろ・ん、線形空間になる
つまり、(ｎ－１個のベクトルが一次独立の場合）残り１つのベクトルが、
ｎ－１個のベクトルの一次結合で表せる場合は０になる
もしかして、キミ、全然見えてなかっただろ？
これだから、線型代数が分かってない人は、困るんだよ
>シッタカしようとして、すってんころりん！
>シラケ鳥が飛ぶぅ～！
それ、お前な
462１３２人目の素数さん
2020/09/17(木) 20:17:51.90ID:PUn6GZi6 日向坂（旧 ひらがなけやき）で学ぶ線型代数ｗ
まずはこの動画の21:34～を見てほしい
https://www.dailymotion.com/video/x7ob9g2
で、問題と解法を理解した上で、このブログを読んでほしい
https://www.hinatazaka46.com/s/official/diary/detail/26225?ima=0000&;cd=member
「ゆうかとこの前のひらがな推しの学力テストの話になり、
番組の途中で出てきたリンゴ○個、ミカン○個っていう
答えの数学の問題の話になりました！
そしたら、あれは番組で出ていたのは中学生の解き方で
あの問題は3パターン答え方があり、
小学生の答え方(つるかめ算)、
中学生の答え方(方程式)、
高校生の答え方(連立方程式)
があったらしいです！」
「ゆうか」こと影山優佳は当時筑波大付属高に通っていた才女で
大学受験のため休業中だった
彼女は３種類の解き方を的確に述べている
ちなみに高校生の解き方というのは
ミカンｘ個、リンゴｙ個 として
・全部で１５個
・ミカン１個１２５円、リンゴ１個１６０円で２１００円出したらおつりが１５円
から、以下の２つの方程式を立てる
① ｘ＋ｙ＝１５
② １２５ｘ＋１６０ｙ＝２１００－１５＝２０８５
その上で変数消去法で解く、というもの
１２５×①
１２５ｘ＋１２５ｙ＝１２５×１５＝１８７５
②－１２５×①
３５ｙ＝２０８５－１８７５＝２１０
ｙ＝６
ｘ＝１５－６＝９
で、ここで大学理系学部に通う人がいたら
４つ目の「大学生の解き方」を述べた筈
それは・・・「クラメルの公式を使う」
うわー、鶏を牛刀で割く、イヤミなやっちゃなあｗｗｗ
まずはこの動画の21:34～を見てほしい
https://www.dailymotion.com/video/x7ob9g2
で、問題と解法を理解した上で、このブログを読んでほしい
https://www.hinatazaka46.com/s/official/diary/detail/26225?ima=0000&;cd=member
「ゆうかとこの前のひらがな推しの学力テストの話になり、
番組の途中で出てきたリンゴ○個、ミカン○個っていう
答えの数学の問題の話になりました！
そしたら、あれは番組で出ていたのは中学生の解き方で
あの問題は3パターン答え方があり、
小学生の答え方(つるかめ算)、
中学生の答え方(方程式)、
高校生の答え方(連立方程式)
があったらしいです！」
「ゆうか」こと影山優佳は当時筑波大付属高に通っていた才女で
大学受験のため休業中だった
彼女は３種類の解き方を的確に述べている
ちなみに高校生の解き方というのは
ミカンｘ個、リンゴｙ個 として
・全部で１５個
・ミカン１個１２５円、リンゴ１個１６０円で２１００円出したらおつりが１５円
から、以下の２つの方程式を立てる
① ｘ＋ｙ＝１５
② １２５ｘ＋１６０ｙ＝２１００－１５＝２０８５
その上で変数消去法で解く、というもの
１２５×①
１２５ｘ＋１２５ｙ＝１２５×１５＝１８７５
②－１２５×①
３５ｙ＝２０８５－１８７５＝２１０
ｙ＝６
ｘ＝１５－６＝９
で、ここで大学理系学部に通う人がいたら
４つ目の「大学生の解き方」を述べた筈
それは・・・「クラメルの公式を使う」
うわー、鶏を牛刀で割く、イヤミなやっちゃなあｗｗｗ
463現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/17(木) 20:56:22.35ID:Goa0/AaP >>455 補足
（再録）
テンソルと多次元配列の違い
多次元配列は、単純に数字をたくさん（立方体の各マスに）並べたものです。
一方、テンソルは正確に定義するのがけっこう大変な「数学的なオブジェクト」です。大雑把には、テンソルとは「基底を定めれば多次元配列が定まり、その多次元配列の成分は基底の変換規則に従う」ような関数と言えます。
(引用終り)
ここを補足しておくと
この認識は、ちょっと違う
21世紀の現代社会の”テンソル”は、大きく３種ある
１．AI数学の単なる数の多次元配列を、コンピュータ内の処理として扱うための道具（これは最近出てきた）
例（>>331 ”NumPy”の”ndarrayというクラス”とか、テンソルフローとか。もう、これ数学や物理のテンソルとは無関係。線形写像とも無関係
>>332 "カラー画像をデジタル表現する場合、1 枚の画像は RGB (Red Green Blue) の3枚のレイヤー（チャンネルと呼びます） 各チャンネルは行列として表され、その行列がチャンネル方向に複数積み重なっている"みたいなもの）
２．物理のテンソル：代表例が３次元弾性力学の応力テンソルと、アインシュタインの一般性相対性理論の４次元時空のテンソル（最古の概念はこれ）
３．抽象代数学のテンソル：多重線形
この３つは、ある視点（切り口）では共通点もあるが、一方ある視点（切り口）では別物と理解する方が、良い面もあるのです（＾＾；
（再録）
テンソルと多次元配列の違い
多次元配列は、単純に数字をたくさん（立方体の各マスに）並べたものです。
一方、テンソルは正確に定義するのがけっこう大変な「数学的なオブジェクト」です。大雑把には、テンソルとは「基底を定めれば多次元配列が定まり、その多次元配列の成分は基底の変換規則に従う」ような関数と言えます。
(引用終り)
ここを補足しておくと
この認識は、ちょっと違う
21世紀の現代社会の”テンソル”は、大きく３種ある
１．AI数学の単なる数の多次元配列を、コンピュータ内の処理として扱うための道具（これは最近出てきた）
例（>>331 ”NumPy”の”ndarrayというクラス”とか、テンソルフローとか。もう、これ数学や物理のテンソルとは無関係。線形写像とも無関係
>>332 "カラー画像をデジタル表現する場合、1 枚の画像は RGB (Red Green Blue) の3枚のレイヤー（チャンネルと呼びます） 各チャンネルは行列として表され、その行列がチャンネル方向に複数積み重なっている"みたいなもの）
２．物理のテンソル：代表例が３次元弾性力学の応力テンソルと、アインシュタインの一般性相対性理論の４次元時空のテンソル（最古の概念はこれ）
３．抽象代数学のテンソル：多重線形
この３つは、ある視点（切り口）では共通点もあるが、一方ある視点（切り口）では別物と理解する方が、良い面もあるのです（＾＾；
464１３２人目の素数さん
2020/09/17(木) 21:02:55.40ID:PUn6GZi6 >>463
🐎🦌が、わけもわからず、●チガイまくってるな
🐎🦌が、わけもわからず、●チガイまくってるな
465現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/17(木) 23:31:34.79ID:Goa0/AaP >>463 参考
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BF%9C%E5%8A%9B
応力（おうりょく、ストレス、英: stress）とは、物体[注 1]の内部に生じる力の大きさや作用方向を表現するために用いられる物理量である。物体の変形や破壊などに対する負担の大きさを検討するのに用いられる。
(抜粋)
この物理量には応力ベクトル (stress vector) と応力テンソル (stress tensor) の2つがあり、単に「応力」といえば応力テンソルのことを指すことが多い。応力テンソルは座標系などを特別に断らない限り、主に2階の混合テンソルおよび混合ベクトルとして扱われる（混合テンソルについてはテンソル積#テンソル空間とテンソルを参照）。
応力テンソル
応力テンソルは、応力ベクトルの定め方の違いから、真応力テンソル・コーシー応力テンソル、公称応力テンソル・第1パイオラ・キルヒホッフ応力テンソル、第2パイオラ・キルヒホッフ応力テンソルの3種類が定義されており、いずれも（行列の形式で記述できる）2階のテンソルとなる。ただし、これらの応力テンソルに違いが生じるのは有限変形理論に基づいて物体の運動を記述した場合であり、材料力学や応用力学で多用されている微小変位・微小変形の仮定の下では、これらの応力テンソルはすべて真応力テンソルに一致する。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E6%80%A7%E7%90%86%E8%AB%96
一般相対性理論（いっぱんそうたいせいりろん、独: allgemeine Relativitatstheorie, 英: general theory of relativity）は、アルベルト・アインシュタインが1905年の特殊相対性理論に続いて、それを発展させ1915年から1916年にかけて発表した物理学の理論である。一般相対論（いっぱんそうたいろん、英: general relativity）とも。
(抜粋)
4. 一般相対性理論の内容
4.1 時空モデルとしてのリーマン多様体に求められる条件
一般相対性理論においては、重力のある空間を光が通過するとき光は曲がる（光のとる経路が伸びる）ことから、時空は、重力場を基本計量テンソルとする4次元のリーマン多様体として扱われる[注 9]。
つづく
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BF%9C%E5%8A%9B
応力（おうりょく、ストレス、英: stress）とは、物体[注 1]の内部に生じる力の大きさや作用方向を表現するために用いられる物理量である。物体の変形や破壊などに対する負担の大きさを検討するのに用いられる。
(抜粋)
この物理量には応力ベクトル (stress vector) と応力テンソル (stress tensor) の2つがあり、単に「応力」といえば応力テンソルのことを指すことが多い。応力テンソルは座標系などを特別に断らない限り、主に2階の混合テンソルおよび混合ベクトルとして扱われる（混合テンソルについてはテンソル積#テンソル空間とテンソルを参照）。
応力テンソル
応力テンソルは、応力ベクトルの定め方の違いから、真応力テンソル・コーシー応力テンソル、公称応力テンソル・第1パイオラ・キルヒホッフ応力テンソル、第2パイオラ・キルヒホッフ応力テンソルの3種類が定義されており、いずれも（行列の形式で記述できる）2階のテンソルとなる。ただし、これらの応力テンソルに違いが生じるのは有限変形理論に基づいて物体の運動を記述した場合であり、材料力学や応用力学で多用されている微小変位・微小変形の仮定の下では、これらの応力テンソルはすべて真応力テンソルに一致する。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E6%80%A7%E7%90%86%E8%AB%96
一般相対性理論（いっぱんそうたいせいりろん、独: allgemeine Relativitatstheorie, 英: general theory of relativity）は、アルベルト・アインシュタインが1905年の特殊相対性理論に続いて、それを発展させ1915年から1916年にかけて発表した物理学の理論である。一般相対論（いっぱんそうたいろん、英: general relativity）とも。
(抜粋)
4. 一般相対性理論の内容
4.1 時空モデルとしてのリーマン多様体に求められる条件
一般相対性理論においては、重力のある空間を光が通過するとき光は曲がる（光のとる経路が伸びる）ことから、時空は、重力場を基本計量テンソルとする4次元のリーマン多様体として扱われる[注 9]。
つづく
466現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/17(木) 23:32:08.03ID:Goa0/AaP >>465
つづき
可微分多様体 M がリーマン多様体であるとは、M 上の各点に基本計量テンソル gij(x) が与えられているものを言う。なお、局所座標系 (x0, x1, x2, x3) の四つの座標の内、x0 は適当な測定単位で測られた時間座標、x1, x2, x3 は空間座標とする。すなわち、x0 = ct, x1 = x, x2 = y, x3 = z であるとする。さらに、リーマン多様体上に定義されるテンソル概念に対して、上下に現れる同じ添字については常に和を取るというアインシュタインの縮約記法を用いる。
4.3 リーマンテンソル、アインシュタイン・テンソル
リーマンテンソル、アインシュタイン・テンソル
時空の曲率は、レヴィ・チビタ接続 ∇ が定義するリーマン曲率テンソル（Riemann tensor）R ρ
?σμν で表現される。局所座標表現では、次のように書ける。
アインシュタイン方程式とその特徴
一般相対性理論の基本方程式は、
G_μ ν +Λ g_μ ν =Κ T_μ ν
と表され、アインシュタイン方程式と呼ばれる。ここで Gμν はアインシュタインテンソル、gμν は計量テンソル、Λ は宇宙項、Tμν はエネルギー・運動量テンソルである。
κ （アインシュタインの定数）は、
Κ = 8πG/c^4
となる。G は万有引力定数、 c は光速である。4次元空間を考えれば、テンソルは対称なので、アインシュタイン方程式は、10本の方程式からなる。
(引用終り)
以上
つづき
可微分多様体 M がリーマン多様体であるとは、M 上の各点に基本計量テンソル gij(x) が与えられているものを言う。なお、局所座標系 (x0, x1, x2, x3) の四つの座標の内、x0 は適当な測定単位で測られた時間座標、x1, x2, x3 は空間座標とする。すなわち、x0 = ct, x1 = x, x2 = y, x3 = z であるとする。さらに、リーマン多様体上に定義されるテンソル概念に対して、上下に現れる同じ添字については常に和を取るというアインシュタインの縮約記法を用いる。
4.3 リーマンテンソル、アインシュタイン・テンソル
リーマンテンソル、アインシュタイン・テンソル
時空の曲率は、レヴィ・チビタ接続 ∇ が定義するリーマン曲率テンソル（Riemann tensor）R ρ
?σμν で表現される。局所座標表現では、次のように書ける。
アインシュタイン方程式とその特徴
一般相対性理論の基本方程式は、
G_μ ν +Λ g_μ ν =Κ T_μ ν
と表され、アインシュタイン方程式と呼ばれる。ここで Gμν はアインシュタインテンソル、gμν は計量テンソル、Λ は宇宙項、Tμν はエネルギー・運動量テンソルである。
κ （アインシュタインの定数）は、
Κ = 8πG/c^4
となる。G は万有引力定数、 c は光速である。4次元空間を考えれば、テンソルは対称なので、アインシュタイン方程式は、10本の方程式からなる。
(引用終り)
以上
467現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/17(木) 23:40:03.74ID:Goa0/AaP >>463 補足
> ３．抽象代数学のテンソル：多重線形
>この３つは、ある視点（切り口）では共通点もあるが、一方ある視点（切り口）では別物と理解する方が、良い面もあるのです（＾＾；
「３．抽象代数学のテンソル：多重線形」
これは、多分、数学屋さんは、３次元とか４次元とかを超えて、一般ｎ次元を考えたがるのです
そのときに、物理の３次元とか４次元とかを超えるために、成分表示でない一般のテンソルの表示というか定義を考えたい
それが、”多重線形”です
物理のように
３次元とか４次元で終わるなら、別に”多重線形”など飛ばして（抜きで）
すぐに具体的な、応力テンソル (stress tensor) （>>465）や、一般相対性理論のリーマンテンソル、アインシュタイン・テンソル（時空テンソル）などの計算を扱えば良いのです（＾＾
> ３．抽象代数学のテンソル：多重線形
>この３つは、ある視点（切り口）では共通点もあるが、一方ある視点（切り口）では別物と理解する方が、良い面もあるのです（＾＾；
「３．抽象代数学のテンソル：多重線形」
これは、多分、数学屋さんは、３次元とか４次元とかを超えて、一般ｎ次元を考えたがるのです
そのときに、物理の３次元とか４次元とかを超えるために、成分表示でない一般のテンソルの表示というか定義を考えたい
それが、”多重線形”です
物理のように
３次元とか４次元で終わるなら、別に”多重線形”など飛ばして（抜きで）
すぐに具体的な、応力テンソル (stress tensor) （>>465）や、一般相対性理論のリーマンテンソル、アインシュタイン・テンソル（時空テンソル）などの計算を扱えば良いのです（＾＾
468１３２人目の素数さん
2020/09/18(金) 06:02:16.50ID:dTNN6abH >>467
>別に”多重線形”など飛ばして（抜きで）
>すぐに具体的な、応力テンソル (stress tensor) や、
> 一般相対性理論のリーマンテンソル、
> アインシュタイン・テンソル（時空テンソル）
>などの計算を扱えば良いのです
多重線形性も理解できない🐎🦌に
上記の具体的なテンソルの計算が
理解できるわけなかろうがｗ
行列式がテンソルであることすら分からん奴が
ヤコビアンの計算なんかできるわけなかろうが
この🐎🦌が！！！
>別に”多重線形”など飛ばして（抜きで）
>すぐに具体的な、応力テンソル (stress tensor) や、
> 一般相対性理論のリーマンテンソル、
> アインシュタイン・テンソル（時空テンソル）
>などの計算を扱えば良いのです
多重線形性も理解できない🐎🦌に
上記の具体的なテンソルの計算が
理解できるわけなかろうがｗ
行列式がテンソルであることすら分からん奴が
ヤコビアンの計算なんかできるわけなかろうが
この🐎🦌が！！！
469１３２人目の素数さん
2020/09/18(金) 06:11:47.95ID:dTNN6abH 🐎🦌は「AI数学」に興味あるらしいが
そのくせまったく「AI数学」を勉強してないので
云ってることが支離滅裂でウソっぱちだらけ
もう諦めろ 貴様のようなNatural Innocent（天然の馬鹿ｗ）に数学は無理
これから、◆yH25M02vWFhPを、”NI”と呼ぼうｗ
そのくせまったく「AI数学」を勉強してないので
云ってることが支離滅裂でウソっぱちだらけ
もう諦めろ 貴様のようなNatural Innocent（天然の馬鹿ｗ）に数学は無理
これから、◆yH25M02vWFhPを、”NI”と呼ぼうｗ
470現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/18(金) 22:44:12.39ID:3jqOEXUQ >>463 補足
> ２．物理のテンソル：代表例が３次元弾性力学の応力テンソルと、アインシュタインの一般性相対性理論の４次元時空のテンソル（最古の概念はこれ）
例えば、下記のyoutube "テンソルとは何か？"
野沢秀文
"テンソルのイメージをつかむ （行列と何が違うの？？）"
ペンギンの機械工学講座
これは、主に物理のテンソルの説明です
テンソルの成分による説明が主です
数学は、ちょっと違う
雪江明彦の
代数学2 テンソル積
代数学3 テンソル代数
圏論によるテンソル積の普遍性から、説明は始まります（＾＾
（参考）
https://www.youtube.com/watch?v=iVJOXMjbv_w
テンソルとは何か？
2017/02/27
野沢秀文
https://www.youtube.com/watch?v=y6P7IGF1fjs
テンソルのイメージをつかむ （行列と何が違うの？？）
2,097 回視聴?2020/05/10
ペンギンの機械工学講座
> ２．物理のテンソル：代表例が３次元弾性力学の応力テンソルと、アインシュタインの一般性相対性理論の４次元時空のテンソル（最古の概念はこれ）
例えば、下記のyoutube "テンソルとは何か？"
野沢秀文
"テンソルのイメージをつかむ （行列と何が違うの？？）"
ペンギンの機械工学講座
これは、主に物理のテンソルの説明です
テンソルの成分による説明が主です
数学は、ちょっと違う
雪江明彦の
代数学2 テンソル積
代数学3 テンソル代数
圏論によるテンソル積の普遍性から、説明は始まります（＾＾
（参考）
https://www.youtube.com/watch?v=iVJOXMjbv_w
テンソルとは何か？
2017/02/27
野沢秀文
https://www.youtube.com/watch?v=y6P7IGF1fjs
テンソルのイメージをつかむ （行列と何が違うの？？）
2,097 回視聴?2020/05/10
ペンギンの機械工学講座
471１３２人目の素数さん
2020/09/19(土) 06:00:01.88ID:tFaPEuCB472現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/19(土) 06:49:46.15ID:5vG6tTQ1 >>459 追加
「行列式はテンソルです」って
だれが聞いても、誤解を生むだけ
普通に
・「なに言ってんだ、こいつ！」
・「なにを言いたいんだ、こいつは！」
となって、
白眼視されるの関の山ですよ
シッタカしたつもりが
白眼視されるの関の山
雪江明彦 代数学2，3でも
「行列式はテンソル」なんて記述はない
知る限り「行列式はテンソルです」と言った数学者は、ゼロ
これからも無いだろう
空前絶後！ 空前絶後のアホです（＾＾；
「行列式はテンソルです」って
だれが聞いても、誤解を生むだけ
普通に
・「なに言ってんだ、こいつ！」
・「なにを言いたいんだ、こいつは！」
となって、
白眼視されるの関の山ですよ
シッタカしたつもりが
白眼視されるの関の山
雪江明彦 代数学2，3でも
「行列式はテンソル」なんて記述はない
知る限り「行列式はテンソルです」と言った数学者は、ゼロ
これからも無いだろう
空前絶後！ 空前絶後のアホです（＾＾；
473現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/19(土) 06:51:39.59ID:5vG6tTQ1 突然ですが
OIST 沖縄科学技術大学院大学
2019年に質の高い論文数で世界の研究機関をランキングづけするNature Indexにおいて、世界9位と評価される
か、なんか凄いね
「とくに最近は機械学習とか深層学習とかも増えています。」とか
AMD Ryzen 藤井聡太か
（参考）
https://pc.watch.impress.co.jp/docs/topic/special/1275406.html
pc.watch
大学のスパコン担当博士が「新時代を感じた」というAMD EPYCの利点とは
～2021年には富岳を越えるEPYC搭載の世界最速スパコンが稼働予定 提供：日本AMD株式会社 石井 英男2020年9月15日
(抜粋)
AMDといえば、古くからPC自作派には有名だが、近年、コスト性能が高いRyzenがブームになり、知名度やシェアが大きく向上した。大手メーカーからも、AMD採用パソコンが次々と登場している。直近では、藤井聡太二冠が、一番会いたい人としてAMDのCEOであるリサ・スー氏を挙げたり、二冠獲得後に「パソコンを1台組みたい」と語ったことでも話題になった。
OISTの新スパコンシステム「DE･i･GO」に第2世代EPYCが912基採用
EPYC採用事例として、OIST(Okinawa Institute of Science and Technology Graduate University: 沖縄科学技術大学院大学)の新スパコンシステム「DE･i･GO」を紹介する。OISTは、世界各国の大学を卒業した院生や教官がさまざまな研究を行なっている大学院大学であり、2019年に質の高い論文数で世界の研究機関をランキングづけするNature Indexにおいて、世界9位と評価されるなど国内でも有数の研究機関である。
OISTでは、所属する学生や教官が共有して使うスパコンを所有しているが、その第4世代にあたるスパコンが、DE･i･GOである(ちなみに、「でいご」とは沖縄を代表する花であり、沖縄の県花である)。DE･i･GO導入プロジェクトのリーダーである沖縄科学技術大学院大学学園科学計算及びデータ解析セクションセクションリーダーのタユフェール・エディ博士に、DE･i･GOの特徴やEPYC採用の理由などをお聞きした。
つづく
OIST 沖縄科学技術大学院大学
2019年に質の高い論文数で世界の研究機関をランキングづけするNature Indexにおいて、世界9位と評価される
か、なんか凄いね
「とくに最近は機械学習とか深層学習とかも増えています。」とか
AMD Ryzen 藤井聡太か
（参考）
https://pc.watch.impress.co.jp/docs/topic/special/1275406.html
pc.watch
大学のスパコン担当博士が「新時代を感じた」というAMD EPYCの利点とは
～2021年には富岳を越えるEPYC搭載の世界最速スパコンが稼働予定 提供：日本AMD株式会社 石井 英男2020年9月15日
(抜粋)
AMDといえば、古くからPC自作派には有名だが、近年、コスト性能が高いRyzenがブームになり、知名度やシェアが大きく向上した。大手メーカーからも、AMD採用パソコンが次々と登場している。直近では、藤井聡太二冠が、一番会いたい人としてAMDのCEOであるリサ・スー氏を挙げたり、二冠獲得後に「パソコンを1台組みたい」と語ったことでも話題になった。
OISTの新スパコンシステム「DE･i･GO」に第2世代EPYCが912基採用
EPYC採用事例として、OIST(Okinawa Institute of Science and Technology Graduate University: 沖縄科学技術大学院大学)の新スパコンシステム「DE･i･GO」を紹介する。OISTは、世界各国の大学を卒業した院生や教官がさまざまな研究を行なっている大学院大学であり、2019年に質の高い論文数で世界の研究機関をランキングづけするNature Indexにおいて、世界9位と評価されるなど国内でも有数の研究機関である。
OISTでは、所属する学生や教官が共有して使うスパコンを所有しているが、その第4世代にあたるスパコンが、DE･i･GOである(ちなみに、「でいご」とは沖縄を代表する花であり、沖縄の県花である)。DE･i･GO導入プロジェクトのリーダーである沖縄科学技術大学院大学学園科学計算及びデータ解析セクションセクションリーダーのタユフェール・エディ博士に、DE･i･GOの特徴やEPYC採用の理由などをお聞きした。
つづく
474現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/19(土) 06:52:21.96ID:5vG6tTQ1 >>473
つづき
－: OIST全体で色々な用途に使っているとおっしゃってましたが、もう少し具体的に教えてください。
エディ: OISTはライフサイエンスの分野を中心に結構広く研究を行なっています。 生物学とか物理学とか神経とかそういったさまざまな研究をしています。そしてその研究に関する計算、とくに最近は機械学習とか深層学習とかも増えています。計算としてよくあるのはやはり画像とか動画とか、DNAデータとか神経だったらシミュレーションとかデータの解析とか。他の生物学だったらシミュレーションが多いですね。材料とか量子コンピューティングとか流体計算とか、本当に幅広い計算を同じシステムで行なっています。
－: 新しいDE･i･GOについて、ユーザーからの感想はありましたでしょうか。
エディ: やはりユーザーからは、こんなに多くの計算がすぐにできるのがすごいと、喜びの声をたくさんいただいてます。この2年間、ユーザーが増えて、前のシステムでは、キャパシティがいっぱいになり、待たされたりしてたんですね。それで結構困ってた人が多かったのですが、DE･i･GOになってスムーズに行っています。
ー: EPYCには満足されていらっしゃるようですが、AMDに対する要望はありますか?
エディ: EPYCに乗り換えて、本当にびっくりしているんですよ。これまでの15年間は、ずっと同じメーカーのCPUを使っていて、新製品が出ても性能が少し上がるとか、機能でプラスアルファがあるとかと言った程度で、「やっぱりこんなものかな」と、そういう状態に慣れてしまっていたんですね。
けど、AMD CPUでは、世代が変わると性能が何倍も上がり、新しい時代に入ったと感じました。メモリもかなりたくさん載せられますので、とても満足しています。敢えて要望を挙げるなら、もっとコア数を増やして欲しいですね。これからもっとよい製品が出てくると思いますので、そしたらもっと嬉しいですね。
つづく
つづき
－: OIST全体で色々な用途に使っているとおっしゃってましたが、もう少し具体的に教えてください。
エディ: OISTはライフサイエンスの分野を中心に結構広く研究を行なっています。 生物学とか物理学とか神経とかそういったさまざまな研究をしています。そしてその研究に関する計算、とくに最近は機械学習とか深層学習とかも増えています。計算としてよくあるのはやはり画像とか動画とか、DNAデータとか神経だったらシミュレーションとかデータの解析とか。他の生物学だったらシミュレーションが多いですね。材料とか量子コンピューティングとか流体計算とか、本当に幅広い計算を同じシステムで行なっています。
－: 新しいDE･i･GOについて、ユーザーからの感想はありましたでしょうか。
エディ: やはりユーザーからは、こんなに多くの計算がすぐにできるのがすごいと、喜びの声をたくさんいただいてます。この2年間、ユーザーが増えて、前のシステムでは、キャパシティがいっぱいになり、待たされたりしてたんですね。それで結構困ってた人が多かったのですが、DE･i･GOになってスムーズに行っています。
ー: EPYCには満足されていらっしゃるようですが、AMDに対する要望はありますか?
エディ: EPYCに乗り換えて、本当にびっくりしているんですよ。これまでの15年間は、ずっと同じメーカーのCPUを使っていて、新製品が出ても性能が少し上がるとか、機能でプラスアルファがあるとかと言った程度で、「やっぱりこんなものかな」と、そういう状態に慣れてしまっていたんですね。
けど、AMD CPUでは、世代が変わると性能が何倍も上がり、新しい時代に入ったと感じました。メモリもかなりたくさん載せられますので、とても満足しています。敢えて要望を挙げるなら、もっとコア数を増やして欲しいですね。これからもっとよい製品が出てくると思いますので、そしたらもっと嬉しいですね。
つづく
475現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/19(土) 06:52:45.16ID:5vG6tTQ1 >>474
つづき
2021年、2023年に富岳を越える世界最速スパコンが米国で稼働開始
最後に、世界最速を狙う超高速スパコンの話題を紹介する。
現時点で世界最速のスパコンは試験運用中の富岳で、2020年6月にTOP500で1位を獲得した。LINPACKでの性能は415PFLOPSであり、正式運用開始は2021年の予定だ。富岳は富士通製スパコンで、CPUとしてA64FXを採用しているが、現在、富岳を越える性能を目指すスパコンの計画がいくつか進められている。
そのなかでも、野心的な性能を目指しているスパコンが、2021年に米国のオークリッジ国立研究所への納入が計画されている「Frontier」と、2023年に同じく米国のローレンスリバモア国立研究所に納入が計画されている「El Capitan」である。FtontierとEl Capitanは、どちらもCPUとしてAMD EPYCを、GPUとしてAMDのRadeon Instinctを採用することになっている。
Frontierの目標性能は1.5EFLOPS(1,500PFLOPS)、El Capitanの目標性能は2EFLOPS(2,000PFLOPS)であり、どちらもその時点での世界最速スパコンとなる予定だ。2023年の時点で、世界1位と世界2位の性能を持つであろうスパコンが、ともにAMD EPYCとAMDのGPUを採用しているというのは、まさに快挙であろう。今後もAMDは、スパコンからPCまで業界のリーダーシップとなっていくだろう。
最後に余談となるが、EPYCというと、個人ユーザーにはあまり関係ないと思われるかもしれないが、実はAmazonで普通に販売されている。2020年9月上旬現在の価格は、64コアのEPYC 7742が約76万円であり、その気になればEPYCマシンを自作することもできるかもしれない。
(引用終り)
以上
つづき
2021年、2023年に富岳を越える世界最速スパコンが米国で稼働開始
最後に、世界最速を狙う超高速スパコンの話題を紹介する。
現時点で世界最速のスパコンは試験運用中の富岳で、2020年6月にTOP500で1位を獲得した。LINPACKでの性能は415PFLOPSであり、正式運用開始は2021年の予定だ。富岳は富士通製スパコンで、CPUとしてA64FXを採用しているが、現在、富岳を越える性能を目指すスパコンの計画がいくつか進められている。
そのなかでも、野心的な性能を目指しているスパコンが、2021年に米国のオークリッジ国立研究所への納入が計画されている「Frontier」と、2023年に同じく米国のローレンスリバモア国立研究所に納入が計画されている「El Capitan」である。FtontierとEl Capitanは、どちらもCPUとしてAMD EPYCを、GPUとしてAMDのRadeon Instinctを採用することになっている。
Frontierの目標性能は1.5EFLOPS(1,500PFLOPS)、El Capitanの目標性能は2EFLOPS(2,000PFLOPS)であり、どちらもその時点での世界最速スパコンとなる予定だ。2023年の時点で、世界1位と世界2位の性能を持つであろうスパコンが、ともにAMD EPYCとAMDのGPUを採用しているというのは、まさに快挙であろう。今後もAMDは、スパコンからPCまで業界のリーダーシップとなっていくだろう。
最後に余談となるが、EPYCというと、個人ユーザーにはあまり関係ないと思われるかもしれないが、実はAmazonで普通に販売されている。2020年9月上旬現在の価格は、64コアのEPYC 7742が約76万円であり、その気になればEPYCマシンを自作することもできるかもしれない。
(引用終り)
以上
476１３２人目の素数さん
2020/09/19(土) 08:01:37.89ID:tFaPEuCB >>472
＞「行列式はテンソル」なんて記述はない
君、下の文章、理解できる？
「K を可換環とし、E を階数 n の A 上の自由加群とする。
K の n-次外冪 ⋀nE は A 上階数1の自由加群である。
E 上の K-線型写像 φ について、⋀nE 上に引き起こされる K-準同型は
一意的に定まるある a ∈ A に関する定数倍写像と一致する。
この a は φ の行列式 det φ と呼ばれる。」
「Kn の標準的な基底を (e1, …, en) とする。
行列 X の各列を表す縦ベクトル v1, …, vn とすると、
vj とは Xej にほかならない。
∧^n X(e_1 … e_n)=v_1 … v_n
であるが、ここで
v_1 … v_n=(Σσ∈S‗n sgn(σ)v_σ(1)~1v_σ(2)~2…v_σ(n)~n)e_1∧…∧e_n
である。
ただし、vi の第j成分を v_i~ji と表した。
これは Kn 上 ⋀nX が (det X)-倍写像として作用していることを示している。」
＞「行列式はテンソル」なんて記述はない
君、下の文章、理解できる？
「K を可換環とし、E を階数 n の A 上の自由加群とする。
K の n-次外冪 ⋀nE は A 上階数1の自由加群である。
E 上の K-線型写像 φ について、⋀nE 上に引き起こされる K-準同型は
一意的に定まるある a ∈ A に関する定数倍写像と一致する。
この a は φ の行列式 det φ と呼ばれる。」
「Kn の標準的な基底を (e1, …, en) とする。
行列 X の各列を表す縦ベクトル v1, …, vn とすると、
vj とは Xej にほかならない。
∧^n X(e_1 … e_n)=v_1 … v_n
であるが、ここで
v_1 … v_n=(Σσ∈S‗n sgn(σ)v_σ(1)~1v_σ(2)~2…v_σ(n)~n)e_1∧…∧e_n
である。
ただし、vi の第j成分を v_i~ji と表した。
これは Kn 上 ⋀nX が (det X)-倍写像として作用していることを示している。」
477現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/19(土) 08:33:57.17ID:5vG6tTQ1 >>463 補足
(引用開始)
21世紀の現代社会の”テンソル”は、大きく３種ある
１．AI数学の単なる数の多次元配列を、コンピュータ内の処理として扱うための道具（これは最近出てきた）
２．物理のテンソル：代表例が３次元弾性力学の応力テンソルと、アインシュタインの一般性相対性理論の４次元時空のテンソル（最古の概念はこれ）
３．抽象代数学のテンソル：多重線形
この３つは、ある視点（切り口）では共通点もあるが、一方ある視点（切り口）では別物と理解する方が、良い面もあるのです（＾＾；
(引用終り)
3種のテンソルのうち
１のAI数学の単なる数の多次元配列をテンソルと呼ぶ
最近の流儀。コンピュータ数値計算の発展で、こういう流儀の方がシンプル。
”テンソル”って、格好良い名前つけるけど、本来のテンソルとは別もの
２の物理のテンソルで、下記引用は土木の連続体力学PDFから
これは、アインシュタインのころのテンソルです
”1.2.8 二階テンソルの成分，三次元正方行列”にあるように、
”座標系を固定するという条件のもとで，成分 Ai j および正方行列 [A] を二階テンソル A と同一視して扱い”
式 (1.39)とか、式 (1.40)とかのみが、テンソルです。式 (1.40)にならない正方行列は、テンソルではない
（補足：式 (1.40)だと正方行列 [A] は6成分で足りる。一般の正方行列は9成分だから、一般の正方行列には（連続体で使う）テンソル以外も入っているのです）
３の（雪江）抽象代数学のテンソルは、>>470に書いたけど、ｎ次とか あるいはもっと抽象化したテンソルを扱う（圏論によるテンソル積をベースにしてね）
実際、テンソル積は、現代数学のいろんなところに顔をだすよ（＾＾；
３つのテンソルの違いを、覚えておくのが良い
「この人は、どの立場で”テンソル”と言っているのかな？」を意識しないと、初対面の人とは話が混線するだろうね（＾＾；
つづく
(引用開始)
21世紀の現代社会の”テンソル”は、大きく３種ある
１．AI数学の単なる数の多次元配列を、コンピュータ内の処理として扱うための道具（これは最近出てきた）
２．物理のテンソル：代表例が３次元弾性力学の応力テンソルと、アインシュタインの一般性相対性理論の４次元時空のテンソル（最古の概念はこれ）
３．抽象代数学のテンソル：多重線形
この３つは、ある視点（切り口）では共通点もあるが、一方ある視点（切り口）では別物と理解する方が、良い面もあるのです（＾＾；
(引用終り)
3種のテンソルのうち
１のAI数学の単なる数の多次元配列をテンソルと呼ぶ
最近の流儀。コンピュータ数値計算の発展で、こういう流儀の方がシンプル。
”テンソル”って、格好良い名前つけるけど、本来のテンソルとは別もの
２の物理のテンソルで、下記引用は土木の連続体力学PDFから
これは、アインシュタインのころのテンソルです
”1.2.8 二階テンソルの成分，三次元正方行列”にあるように、
”座標系を固定するという条件のもとで，成分 Ai j および正方行列 [A] を二階テンソル A と同一視して扱い”
式 (1.39)とか、式 (1.40)とかのみが、テンソルです。式 (1.40)にならない正方行列は、テンソルではない
（補足：式 (1.40)だと正方行列 [A] は6成分で足りる。一般の正方行列は9成分だから、一般の正方行列には（連続体で使う）テンソル以外も入っているのです）
３の（雪江）抽象代数学のテンソルは、>>470に書いたけど、ｎ次とか あるいはもっと抽象化したテンソルを扱う（圏論によるテンソル積をベースにしてね）
実際、テンソル積は、現代数学のいろんなところに顔をだすよ（＾＾；
３つのテンソルの違いを、覚えておくのが良い
「この人は、どの立場で”テンソル”と言っているのかな？」を意識しないと、初対面の人とは話が混線するだろうね（＾＾；
つづく
478現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/19(土) 08:34:19.79ID:5vG6tTQ1 >>477
つづき
（参考）
http://www.mm.civil.tohoku.ac.jp/
東北大学大学院 工学研究科
土木工学専攻 材料力学研究室
http://www.mm.civil.tohoku.ac.jp/lecture.html
連続体力学
http://www.mm.civil.tohoku.ac.jp/renzokutai/0_suugaku.pdf
1．数学準備 →PDF
(抜粋)
P18
1.2.8 二階テンソルの成分，三次元正方行列
正規直交基底 [e1, e2, e3] を導入すると，任意の二階テンソル A は９個のテンソル積 (ei ◯x ej) (i, j =1, 2, 3) の一次結合として
A = Ai j(ei ◯x ej) (1.33)
のように一意に表される．ここに，成分 Ai j は次式で与えられる．
Ai j = ei・ Aej (1.34)
実際，テンソル積の定義式 (1.29) を用いれば
P19
二階テンソル A に対して一意に定まる成分 Ai j は 3×3 正方行列として表すことができる．
これを A の表現行列という．
式 (1.36)
基底すなわち座標系を定めれば表現行列が一意に定まることから，座標系を固定するという条件
のもとで，成分 Ai j および正方行列 [A] を二階テンソル A と同一視して扱い，
式 (1.37)
のようにも表す．ただし，(1.36) 式の関係が背景にあることを忘れてはならない．
すると，この表現行列は二つの数ベクトルの積によって作られていることに気づく．
式 (1.39)
二つのベクトルのテンソル積は，次のような指標表記および数ベクトルの積と同一視できる
式 (1.40)
(引用終り)
以上
つづき
（参考）
http://www.mm.civil.tohoku.ac.jp/
東北大学大学院 工学研究科
土木工学専攻 材料力学研究室
http://www.mm.civil.tohoku.ac.jp/lecture.html
連続体力学
http://www.mm.civil.tohoku.ac.jp/renzokutai/0_suugaku.pdf
1．数学準備 →PDF
(抜粋)
P18
1.2.8 二階テンソルの成分，三次元正方行列
正規直交基底 [e1, e2, e3] を導入すると，任意の二階テンソル A は９個のテンソル積 (ei ◯x ej) (i, j =1, 2, 3) の一次結合として
A = Ai j(ei ◯x ej) (1.33)
のように一意に表される．ここに，成分 Ai j は次式で与えられる．
Ai j = ei・ Aej (1.34)
実際，テンソル積の定義式 (1.29) を用いれば
P19
二階テンソル A に対して一意に定まる成分 Ai j は 3×3 正方行列として表すことができる．
これを A の表現行列という．
式 (1.36)
基底すなわち座標系を定めれば表現行列が一意に定まることから，座標系を固定するという条件
のもとで，成分 Ai j および正方行列 [A] を二階テンソル A と同一視して扱い，
式 (1.37)
のようにも表す．ただし，(1.36) 式の関係が背景にあることを忘れてはならない．
すると，この表現行列は二つの数ベクトルの積によって作られていることに気づく．
式 (1.39)
二つのベクトルのテンソル積は，次のような指標表記および数ベクトルの積と同一視できる
式 (1.40)
(引用終り)
以上
479１３２人目の素数さん
2020/09/19(土) 11:20:33.57ID:tFaPEuCB >>477
キミは結局、定義の文章が読めない「論理盲」なんだね
論理盲
https://ameblo.jp/midnightgarden/entry-12078640412.html
だから、見た目だけでわかる数の配列でしか理解できない
>>476なんて全然難しいこといってないよ
こんな簡単なことも理解できないなんて 技術者もつとまらんよ
「対称」とか「反対称」とか云った瞬間、ｎ＾ｎ次元が縮退する
置換によって不変となる関係で、制約式を満たす必要があるから
そういうことすら理解できないなら、数学は無理
悪いこと言わない 綺麗サッパリ諦めな
数学書買うのにいくら投資したか知らんけど、全部売り払いな
どうせキミには書いてあることが一字一句理解できない
大学一年の線形代数の教科書の基本的な記述すら読めないんじゃね
何読んだって、正しく理解できるわけがない
キミは結局、定義の文章が読めない「論理盲」なんだね
論理盲
https://ameblo.jp/midnightgarden/entry-12078640412.html
だから、見た目だけでわかる数の配列でしか理解できない
>>476なんて全然難しいこといってないよ
こんな簡単なことも理解できないなんて 技術者もつとまらんよ
「対称」とか「反対称」とか云った瞬間、ｎ＾ｎ次元が縮退する
置換によって不変となる関係で、制約式を満たす必要があるから
そういうことすら理解できないなら、数学は無理
悪いこと言わない 綺麗サッパリ諦めな
数学書買うのにいくら投資したか知らんけど、全部売り払いな
どうせキミには書いてあることが一字一句理解できない
大学一年の線形代数の教科書の基本的な記述すら読めないんじゃね
何読んだって、正しく理解できるわけがない
480１３２人目の素数さん
2020/09/19(土) 11:35:35.89ID:tFaPEuCB アスペクト盲
http://pssj.info/program/program_data/52/resume/20191110_A-2_resume(Sugasaki_Yoshino).pdf
ある言葉に対する複数の定義の同値性を理解できず
ただ一つの（しかも見た目で分かる素朴な）定義に固執する
「万年小学生」に数学は無理
昨日のチコちゃんでも云ってたが「数学は算数じゃない」
http://pssj.info/program/program_data/52/resume/20191110_A-2_resume(Sugasaki_Yoshino).pdf
ある言葉に対する複数の定義の同値性を理解できず
ただ一つの（しかも見た目で分かる素朴な）定義に固執する
「万年小学生」に数学は無理
昨日のチコちゃんでも云ってたが「数学は算数じゃない」
481現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/19(土) 12:12:31.26ID:sEbNlTN3 >>472 再録（＾＾；
「行列式はテンソルです」って
だれが聞いても、誤解を生むだけ
普通に
・「なに言ってんだ、こいつ！」
・「なにを言いたいんだ、こいつは！」
となって、
白眼視されるの関の山ですよ
シッタカしたつもりが
白眼視されるの関の山
雪江明彦 代数学2，3でも
「行列式はテンソル」なんて記述はない
知る限り「行列式はテンソルです」と言った数学者は、ゼロ
これからも無いだろう
空前絶後！ 空前絶後のアホです（＾＾；
「行列式はテンソルです」って
だれが聞いても、誤解を生むだけ
普通に
・「なに言ってんだ、こいつ！」
・「なにを言いたいんだ、こいつは！」
となって、
白眼視されるの関の山ですよ
シッタカしたつもりが
白眼視されるの関の山
雪江明彦 代数学2，3でも
「行列式はテンソル」なんて記述はない
知る限り「行列式はテンソルです」と言った数学者は、ゼロ
これからも無いだろう
空前絶後！ 空前絶後のアホです（＾＾；
482１３２人目の素数さん
2020/09/19(土) 13:08:07.44ID:tFaPEuCB >>481
＞「行列式はテンソル」なんて記述はない
君、下の文章、理解できる？
「K を可換環とし、E を階数 n の A 上の自由加群とする。
K の n-次外冪 ⋀nE は A 上階数1の自由加群である。
E 上の K-線型写像 φ について、⋀nE 上に引き起こされる K-準同型は
一意的に定まるある a ∈ A に関する定数倍写像と一致する。
この a は φ の行列式 det φ と呼ばれる。」
「Kn の標準的な基底を (e1, …, en) とする。
行列 X の各列を表す縦ベクトル v1, …, vn とすると、
vj とは Xej にほかならない。
∧^n X(e_1 … e_n)=v_1 … v_n
であるが、ここで
v_1 … v_n=(Σσ∈S_n sgn(σ)v_σ(1)~1v_σ(2)~2…v_σ(n)~n)e_1∧…∧e_n
である。
ただし、vi の第j成分を v_i~j と表した。
これは Kn 上 ⋀nX が (det X)-倍写像として作用していることを示している。」
＞「行列式はテンソル」なんて記述はない
君、下の文章、理解できる？
「K を可換環とし、E を階数 n の A 上の自由加群とする。
K の n-次外冪 ⋀nE は A 上階数1の自由加群である。
E 上の K-線型写像 φ について、⋀nE 上に引き起こされる K-準同型は
一意的に定まるある a ∈ A に関する定数倍写像と一致する。
この a は φ の行列式 det φ と呼ばれる。」
「Kn の標準的な基底を (e1, …, en) とする。
行列 X の各列を表す縦ベクトル v1, …, vn とすると、
vj とは Xej にほかならない。
∧^n X(e_1 … e_n)=v_1 … v_n
であるが、ここで
v_1 … v_n=(Σσ∈S_n sgn(σ)v_σ(1)~1v_σ(2)~2…v_σ(n)~n)e_1∧…∧e_n
である。
ただし、vi の第j成分を v_i~j と表した。
これは Kn 上 ⋀nX が (det X)-倍写像として作用していることを示している。」
483現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/19(土) 13:53:36.14ID:sEbNlTN3 >>481
２の物理のテンソルの立場（>>477）
では、下記みたいな資料もあります
これ、分かり易いね
そして、いかなる立場であれ
「行列式はテンソルです」って
だれが聞いても、誤解を生むだけ
シッタカしたつもりが
単にアホ晒しているだけのこと
http://solid4.mech.okayama-u.ac.jp/
機械工学者向けサイト by 多田 直哉 岡山大
固体力学（Solid Mechanics）
＜関連の基礎数学＞
http://solid4.mech.okayama-u.ac.jp/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB.pdf
テンソル（Tensor）
キーワード：テンソル，内積，テンソル積，座標変換，縮約，商法則
http://solid4.mech.okayama-u.ac.jp/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB.pdf
ベクトル（Vector）
キーワード：ベクトル，スカラー積（内積），ベクトル積（外積），テンソル積，座標変換，勾配，発散，回転，微分演算子
http://solid4.mech.okayama-u.ac.jp/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%A8%E7%B7%8F%E5%92%8C%E8%A6%8F%E7%B4%84.pdf
行列と総和規約（Matrix and Summation Convention）
キーワード：行列，クロネッカー・デルタ，置換記号，行列式，余因子，逆行列，固有値，対角化，総和規約
http://solid4.mech.okayama-u.ac.jp/%E5%BC%BE%E6%80%A7%E4%BD%93%E3%81%AE%E6%A7%8B%E6%88%90%E5%BC%8F.pdf
弾性体の構成式（Constitutive Equation of Elastic Solid）
キーワード：線形弾性体，弾性係数テンソル，弾性コンプライアンス係数テンソル，一般化フックの法則，熱応力
２の物理のテンソルの立場（>>477）
では、下記みたいな資料もあります
これ、分かり易いね
そして、いかなる立場であれ
「行列式はテンソルです」って
だれが聞いても、誤解を生むだけ
シッタカしたつもりが
単にアホ晒しているだけのこと
http://solid4.mech.okayama-u.ac.jp/
機械工学者向けサイト by 多田 直哉 岡山大
固体力学（Solid Mechanics）
＜関連の基礎数学＞
http://solid4.mech.okayama-u.ac.jp/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB.pdf
テンソル（Tensor）
キーワード：テンソル，内積，テンソル積，座標変換，縮約，商法則
http://solid4.mech.okayama-u.ac.jp/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB.pdf
ベクトル（Vector）
キーワード：ベクトル，スカラー積（内積），ベクトル積（外積），テンソル積，座標変換，勾配，発散，回転，微分演算子
http://solid4.mech.okayama-u.ac.jp/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%A8%E7%B7%8F%E5%92%8C%E8%A6%8F%E7%B4%84.pdf
行列と総和規約（Matrix and Summation Convention）
キーワード：行列，クロネッカー・デルタ，置換記号，行列式，余因子，逆行列，固有値，対角化，総和規約
http://solid4.mech.okayama-u.ac.jp/%E5%BC%BE%E6%80%A7%E4%BD%93%E3%81%AE%E6%A7%8B%E6%88%90%E5%BC%8F.pdf
弾性体の構成式（Constitutive Equation of Elastic Solid）
キーワード：線形弾性体，弾性係数テンソル，弾性コンプライアンス係数テンソル，一般化フックの法則，熱応力
484現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/19(土) 15:53:40.40ID:sEbNlTN3 >>483
>http://solid4.mech.okayama-u.ac.jp/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%A8%E7%B7%8F%E5%92%8C%E8%A6%8F%E7%B4%84.pdf
>行列と総和規約（Matrix and Summation Convention）
>キーワード：行列，クロネッカー・デルタ，置換記号，行列式，余因子，逆行列，固有値，対角化，総和規約
これに
P22
正則行列
行列式が 0 でない行列
det A ≠ 0
あるよね
これ、岡山大 機械工学だけど
これは、どこにでも書いてある
が、確か高校の教程に行列が入ったときに、
関連記述があったとような気がしたんだよね
（大学のテキストに、この記述があるのは当たり前だが）
それで、高校の行列に”零因子”を見つけて、引用したわけ
（流石に、高校では行列式は、教程には入らなかったらしい
でも、こっそり一貫校では教えていたかもな（＾＾ ）
て、その意図は、「正方行列で、逆行列を持たないものがある」は、
（旧）高校数学の教程の範囲だという意図だったわけですよ
それ、気付よ！ あほサル
>http://solid4.mech.okayama-u.ac.jp/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%A8%E7%B7%8F%E5%92%8C%E8%A6%8F%E7%B4%84.pdf
>行列と総和規約（Matrix and Summation Convention）
>キーワード：行列，クロネッカー・デルタ，置換記号，行列式，余因子，逆行列，固有値，対角化，総和規約
これに
P22
正則行列
行列式が 0 でない行列
det A ≠ 0
あるよね
これ、岡山大 機械工学だけど
これは、どこにでも書いてある
が、確か高校の教程に行列が入ったときに、
関連記述があったとような気がしたんだよね
（大学のテキストに、この記述があるのは当たり前だが）
それで、高校の行列に”零因子”を見つけて、引用したわけ
（流石に、高校では行列式は、教程には入らなかったらしい
でも、こっそり一貫校では教えていたかもな（＾＾ ）
て、その意図は、「正方行列で、逆行列を持たないものがある」は、
（旧）高校数学の教程の範囲だという意図だったわけですよ
それ、気付よ！ あほサル
485１３２人目の素数さん
2020/09/19(土) 16:03:18.97ID:tFaPEuCB >>483
なんか対称・反対称を理解できない人が、ギャアギャアわめいてますね
http://fnorio.com/0183Symmetric_antisymmetric_tensor/Symmetric_antisymmetric_tensor.html
困ったもんです
なんか対称・反対称を理解できない人が、ギャアギャアわめいてますね
http://fnorio.com/0183Symmetric_antisymmetric_tensor/Symmetric_antisymmetric_tensor.html
困ったもんです
486１３２人目の素数さん
2020/09/19(土) 16:30:48.70ID:tFaPEuCB >>484
＞正則行列
＞行列式が 0 でない行列
＞det A ≠ 0
＞これは、どこにでも書いてある
そもそも理工系大学なら、線型代数代数は必須だから
正則行列なんてみんな知ってる 知らないヤツはモグリ
ただ、キミの引用したpdfは・・・不親切だね
実際には、正則行列を特徴づける性質は複数ある
例えば、ガウス消去法で、行列を階段行列に変える場合
階段の段数としてのランクが、行列のサイズと一致すれば正則である
（逆にランクが行列のサイズより小さくなる場合は非正則
実際、連立方程式の解が存在しない場合や、
解があっても一意的でない場合の行列はそのようなもの）
＞確か高校の教程に行列が入ったときに、
＞関連記述があったとような気がしたんだよね
＞それで、高校の行列に”零因子”を見つけて、引用したわけ
それ、一番ダメなパターンねｗ
まず、高校の教科書のつくりがダメ
そして、そのダメなところを、わざわざひろうのもダメ
零因子なんて、なんで高校で唐突に教えるかもわからんが
そこが最重要だと鵜呑みにするのも、考えない馬鹿の典型
「正則行列」は「階が一意的に存在する連立方程式」に対応する
そして連立方程式をガウスの消去法で解くなら、
「消去法によって変数が消えすぎることがない」
という性質に対応する
消去法がうまくいけば、
・対角要素より下の要素は０
・対角要素すべてに０でない数が並ぶ
ようにできる、そして、消去法の方法として
階段化しか行わないなら行列式は変化しないようにできるから
階段化の後の行列式は、対角要素の積として計算できて
したがって、対角要素全てが０でない数＝行列式が０でない
という形で対応づけられる
あのね、線形代数をちゃんと学んだんなら、
この位の説明はできるようになってほしいね
ま、昔はクソ大学だと、耄碌教授による
行列式とクラメルの公式と余因子による逆行列の計算だけバカチョンで教えて、
ガウス消去法との関連付けなんて一切しないの講義がまかり通ったみたい
だけど、そんなん２１世紀では噴飯ものだからｗ
（自分は、昭和最末期に大学生だったが、その頃の線型代数の教科書でも
消去法による階段化と行列式との関係づけは、ちゃんとやってたぞ。
つーか、そのくらいやんなかったら、線型代数やる意味ねぇじゃん！）
＞正則行列
＞行列式が 0 でない行列
＞det A ≠ 0
＞これは、どこにでも書いてある
そもそも理工系大学なら、線型代数代数は必須だから
正則行列なんてみんな知ってる 知らないヤツはモグリ
ただ、キミの引用したpdfは・・・不親切だね
実際には、正則行列を特徴づける性質は複数ある
例えば、ガウス消去法で、行列を階段行列に変える場合
階段の段数としてのランクが、行列のサイズと一致すれば正則である
（逆にランクが行列のサイズより小さくなる場合は非正則
実際、連立方程式の解が存在しない場合や、
解があっても一意的でない場合の行列はそのようなもの）
＞確か高校の教程に行列が入ったときに、
＞関連記述があったとような気がしたんだよね
＞それで、高校の行列に”零因子”を見つけて、引用したわけ
それ、一番ダメなパターンねｗ
まず、高校の教科書のつくりがダメ
そして、そのダメなところを、わざわざひろうのもダメ
零因子なんて、なんで高校で唐突に教えるかもわからんが
そこが最重要だと鵜呑みにするのも、考えない馬鹿の典型
「正則行列」は「階が一意的に存在する連立方程式」に対応する
そして連立方程式をガウスの消去法で解くなら、
「消去法によって変数が消えすぎることがない」
という性質に対応する
消去法がうまくいけば、
・対角要素より下の要素は０
・対角要素すべてに０でない数が並ぶ
ようにできる、そして、消去法の方法として
階段化しか行わないなら行列式は変化しないようにできるから
階段化の後の行列式は、対角要素の積として計算できて
したがって、対角要素全てが０でない数＝行列式が０でない
という形で対応づけられる
あのね、線形代数をちゃんと学んだんなら、
この位の説明はできるようになってほしいね
ま、昔はクソ大学だと、耄碌教授による
行列式とクラメルの公式と余因子による逆行列の計算だけバカチョンで教えて、
ガウス消去法との関連付けなんて一切しないの講義がまかり通ったみたい
だけど、そんなん２１世紀では噴飯ものだからｗ
（自分は、昭和最末期に大学生だったが、その頃の線型代数の教科書でも
消去法による階段化と行列式との関係づけは、ちゃんとやってたぞ。
つーか、そのくらいやんなかったら、線型代数やる意味ねぇじゃん！）
487現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/19(土) 17:43:36.41ID:sEbNlTN3 リピート再生ｗｗｗ（＾＾
>>481
２の物理のテンソルの立場（>>477）
では、下記みたいな資料もあります
これ、分かり易いね
そして、いかなる立場であれ
「行列式はテンソルです」って
だれが聞いても、誤解を生むだけ
シッタカしたつもりが
単にアホ晒しているだけのこと
http://solid4.mech.okayama-u.ac.jp/
機械工学者向けサイト by 多田 直哉 岡山大
固体力学（Solid Mechanics）
＜関連の基礎数学＞
http://solid4.mech.okayama-u.ac.jp/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB.pdf
テンソル（Tensor）
キーワード：テンソル，内積，テンソル積，座標変換，縮約，商法則
http://solid4.mech.okayama-u.ac.jp/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB.pdf
ベクトル（Vector）
キーワード：ベクトル，スカラー積（内積），ベクトル積（外積），テンソル積，座標変換，勾配，発散，回転，微分演算子
http://solid4.mech.okayama-u.ac.jp/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%A8%E7%B7%8F%E5%92%8C%E8%A6%8F%E7%B4%84.pdf
行列と総和規約（Matrix and Summation Convention）
キーワード：行列，クロネッカー・デルタ，置換記号，行列式，余因子，逆行列，固有値，対角化，総和規約
http://solid4.mech.okayama-u.ac.jp/%E5%BC%BE%E6%80%A7%E4%BD%93%E3%81%AE%E6%A7%8B%E6%88%90%E5%BC%8F.pdf
弾性体の構成式（Constitutive Equation of Elastic Solid）
キーワード：線形弾性体，弾性係数テンソル，弾性コンプライアンス係数テンソル，一般化フックの法則，熱応力
>>481
２の物理のテンソルの立場（>>477）
では、下記みたいな資料もあります
これ、分かり易いね
そして、いかなる立場であれ
「行列式はテンソルです」って
だれが聞いても、誤解を生むだけ
シッタカしたつもりが
単にアホ晒しているだけのこと
http://solid4.mech.okayama-u.ac.jp/
機械工学者向けサイト by 多田 直哉 岡山大
固体力学（Solid Mechanics）
＜関連の基礎数学＞
http://solid4.mech.okayama-u.ac.jp/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB.pdf
テンソル（Tensor）
キーワード：テンソル，内積，テンソル積，座標変換，縮約，商法則
http://solid4.mech.okayama-u.ac.jp/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB.pdf
ベクトル（Vector）
キーワード：ベクトル，スカラー積（内積），ベクトル積（外積），テンソル積，座標変換，勾配，発散，回転，微分演算子
http://solid4.mech.okayama-u.ac.jp/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%A8%E7%B7%8F%E5%92%8C%E8%A6%8F%E7%B4%84.pdf
行列と総和規約（Matrix and Summation Convention）
キーワード：行列，クロネッカー・デルタ，置換記号，行列式，余因子，逆行列，固有値，対角化，総和規約
http://solid4.mech.okayama-u.ac.jp/%E5%BC%BE%E6%80%A7%E4%BD%93%E3%81%AE%E6%A7%8B%E6%88%90%E5%BC%8F.pdf
弾性体の構成式（Constitutive Equation of Elastic Solid）
キーワード：線形弾性体，弾性係数テンソル，弾性コンプライアンス係数テンソル，一般化フックの法則，熱応力
488１３２人目の素数さん
2020/09/19(土) 17:50:32.07ID:tFaPEuCB リピート再生
>>482
君、下の文章、理解できる？
「K を可換環とし、E を階数 n の A 上の自由加群とする。
K の n-次外冪 ⋀nE は A 上階数1の自由加群である。
E 上の K-線型写像 φ について、⋀nE 上に引き起こされる K-準同型は
一意的に定まるある a ∈ A に関する定数倍写像と一致する。
この a は φ の行列式 det φ と呼ばれる。」
「Kn の標準的な基底を (e1, …, en) とする。
行列 X の各列を表す縦ベクトル v1, …, vn とすると、
vj とは Xej にほかならない。
∧^n X(e_1 … e_n)=v_1 … v_n
であるが、ここで
v_1 … v_n=(Σσ∈S_n sgn(σ)v_σ(1)~1v_σ(2)~2…v_σ(n)~n)e_1∧…∧e_n
である。
ただし、vi の第j成分を v_i~j と表した。
これは Kn 上 ⋀nX が (det X)-倍写像として作用していることを示している。」
>>482
君、下の文章、理解できる？
「K を可換環とし、E を階数 n の A 上の自由加群とする。
K の n-次外冪 ⋀nE は A 上階数1の自由加群である。
E 上の K-線型写像 φ について、⋀nE 上に引き起こされる K-準同型は
一意的に定まるある a ∈ A に関する定数倍写像と一致する。
この a は φ の行列式 det φ と呼ばれる。」
「Kn の標準的な基底を (e1, …, en) とする。
行列 X の各列を表す縦ベクトル v1, …, vn とすると、
vj とは Xej にほかならない。
∧^n X(e_1 … e_n)=v_1 … v_n
であるが、ここで
v_1 … v_n=(Σσ∈S_n sgn(σ)v_σ(1)~1v_σ(2)~2…v_σ(n)~n)e_1∧…∧e_n
である。
ただし、vi の第j成分を v_i~j と表した。
これは Kn 上 ⋀nX が (det X)-倍写像として作用していることを示している。」
489１３２人目の素数さん
2020/09/19(土) 17:54:30.02ID:tFaPEuCB これも繰り返しとく
我ながらよく書けたｗ
>>486
正則行列は、
・解が一意的に存在する連立方程式
に対応し、連立方程式をガウスの消去法で解くなら、
・消去法によって変数が消えすぎることがない
という性質に対応する
消去法がうまくいけば、
・対角要素より下の要素は０
・対角要素すべてに０でない数が並ぶ
ようにできる、そして、消去法の方法として
階段化しか行わないなら、行列式は変化しないようにできるから
階段化の後の行列式は、対角要素の積として計算できるので
・対角要素全てが０でない＝行列式が０でない
という形で対応づけられる
あのね、線形代数をちゃんと学んだんなら、
この位の説明はできるようになってほしいね
我ながらよく書けたｗ
>>486
正則行列は、
・解が一意的に存在する連立方程式
に対応し、連立方程式をガウスの消去法で解くなら、
・消去法によって変数が消えすぎることがない
という性質に対応する
消去法がうまくいけば、
・対角要素より下の要素は０
・対角要素すべてに０でない数が並ぶ
ようにできる、そして、消去法の方法として
階段化しか行わないなら、行列式は変化しないようにできるから
階段化の後の行列式は、対角要素の積として計算できるので
・対角要素全てが０でない＝行列式が０でない
という形で対応づけられる
あのね、線形代数をちゃんと学んだんなら、
この位の説明はできるようになってほしいね
490現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/19(土) 20:28:32.31ID:5vG6tTQ1491１３２人目の素数さん
2020/09/19(土) 20:35:08.62ID:+g3Gqta4 瀬田は相変わらずバカ丸出しだね
492現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/19(土) 23:29:52.14ID:5vG6tTQ1 >>443 >>451 補足
雪江明彦のテキスト「代数学2」
P86
定義 2.1.5 Mn(R)の乗法群をGLn(R)と書く。A∈GLn(R)なら、Aは可逆行列であるという。
Rが体なら、可逆行列という用語より正則行列という用語の方が一般的である。
(引用終り)
乗法群 GLn(R)で、A∈GLn(R)→Aは可逆行列
つまり、群の定義に、可逆元が規定されているのです
行列だから、可逆行列
（Rが体なら、可逆行列という用語より正則行列という用語の方が一般的ともある）
よって、群の定義の可逆元→「Aは可逆行列」が出る
さて、下記の二つの表現
１）正方行列Aの成す群G→Aは可逆行列
２）可逆行列Aの成す群G→Aは可逆行列
こう書くと、
１）は雪江本と同じ書き方
２）は、下記の重言に相当すると言える
繰返すが、２）の”可逆行列Aの成す群G”という表現は、
必ずしも間違いではないが、しかし”重言”といえるのです！（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8D%E8%A8%80
重言
重言（じゅうげん、じゅうごん）は、「馬から落馬する」「頭痛が痛い」のように、同じ意味の語を重ねる日本語表現である。多くは誤用と見なされるが、意味を強調したり語調を整えるため[1]、あるいは理解を確実にさせるため[2]に、修辞技法として用いられる場合もある。二重表現、重複表現ともよばれる[3]。
「びっくり仰天」「むやみやたら」[4]「好き好んで」などは、意味の重複が語呂のよさをともなうことからあえて用いられる。
つづく
雪江明彦のテキスト「代数学2」
P86
定義 2.1.5 Mn(R)の乗法群をGLn(R)と書く。A∈GLn(R)なら、Aは可逆行列であるという。
Rが体なら、可逆行列という用語より正則行列という用語の方が一般的である。
(引用終り)
乗法群 GLn(R)で、A∈GLn(R)→Aは可逆行列
つまり、群の定義に、可逆元が規定されているのです
行列だから、可逆行列
（Rが体なら、可逆行列という用語より正則行列という用語の方が一般的ともある）
よって、群の定義の可逆元→「Aは可逆行列」が出る
さて、下記の二つの表現
１）正方行列Aの成す群G→Aは可逆行列
２）可逆行列Aの成す群G→Aは可逆行列
こう書くと、
１）は雪江本と同じ書き方
２）は、下記の重言に相当すると言える
繰返すが、２）の”可逆行列Aの成す群G”という表現は、
必ずしも間違いではないが、しかし”重言”といえるのです！（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8D%E8%A8%80
重言
重言（じゅうげん、じゅうごん）は、「馬から落馬する」「頭痛が痛い」のように、同じ意味の語を重ねる日本語表現である。多くは誤用と見なされるが、意味を強調したり語調を整えるため[1]、あるいは理解を確実にさせるため[2]に、修辞技法として用いられる場合もある。二重表現、重複表現ともよばれる[3]。
「びっくり仰天」「むやみやたら」[4]「好き好んで」などは、意味の重複が語呂のよさをともなうことからあえて用いられる。
つづく
493現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/19(土) 23:30:42.52ID:5vG6tTQ1 >>492
つづき
「えんどう豆」[5]「青海湖」「しし肉」などは、語源的には重複表現だが、慣用的に誤用とは見なされない。[6]
外来語においてはあまり馴染みのない語の性質を表すために意図的に用いられることもある。例えば日本語ではアム・ダリヤ（ダリヤは大河の意）を「アムダリヤ川」とすることで川であることを簡潔に示し、英語では荒川を指して "Arakawa river" などと表現することがある。
日本語における重言
日本語の重複
馬から落馬する[7]
頭痛が痛い
満天の星空
学校に登校する
アメリカへ渡米
訃報のお知らせ
事前予約 - 「予約」の「予」は、「事前に」という意味である。
暇の合間
脚注
7^ 「浄瑠璃『鑓の権三重帷子（やりのごんざかさねかたびら）』（近松門左衛門作、1717年初演）で重言という言葉が使われる。この作品に何度か出てくる「馬から落ちて落馬」というフレーズは有名で、典型的な重言の例として頻繁に言及される。
竜の駒にもけつまづき、馬から落ちて落馬いたしたと、片言やら重言やら
これが現代にも伝わり、「古の昔、武士の侍が―」と頭に挿入される言葉遊びになった。
(引用終り)
以上
つづき
「えんどう豆」[5]「青海湖」「しし肉」などは、語源的には重複表現だが、慣用的に誤用とは見なされない。[6]
外来語においてはあまり馴染みのない語の性質を表すために意図的に用いられることもある。例えば日本語ではアム・ダリヤ（ダリヤは大河の意）を「アムダリヤ川」とすることで川であることを簡潔に示し、英語では荒川を指して "Arakawa river" などと表現することがある。
日本語における重言
日本語の重複
馬から落馬する[7]
頭痛が痛い
満天の星空
学校に登校する
アメリカへ渡米
訃報のお知らせ
事前予約 - 「予約」の「予」は、「事前に」という意味である。
暇の合間
脚注
7^ 「浄瑠璃『鑓の権三重帷子（やりのごんざかさねかたびら）』（近松門左衛門作、1717年初演）で重言という言葉が使われる。この作品に何度か出てくる「馬から落ちて落馬」というフレーズは有名で、典型的な重言の例として頻繁に言及される。
竜の駒にもけつまづき、馬から落ちて落馬いたしたと、片言やら重言やら
これが現代にも伝わり、「古の昔、武士の侍が―」と頭に挿入される言葉遊びになった。
(引用終り)
以上
494１３２人目の素数さん
2020/09/20(日) 06:58:46.72ID:Xq8NqmL2 >>492
＞雪江明彦のテキスト「代数学2」P86
＞ 定義 2.1.5 Mn(R)の乗法群をGLn(R)と書く。
で、キミ、肝心の「乗法群」の定義は見つけた？
まさか、探してないの？ ボクはみつけたよ
ほれ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B9%97%E6%B3%95%E7%BE%A4
「数学と群論において、乗法群 (multiplicative group) は
次の概念を意味する：
体、環、あるいはその演算の1つとして乗法をもつ他の構造の、
可逆元が乗法の下でなす群。
体 F の場合には、群は {F ∖ {0}, •} である、
ただし 0 は F の零元であり二項演算 • は体の乗法である。」
＞１）正方行列Aの成す群G→Aは可逆行列
＞１）は雪江本と同じ書き方
ちがうな
誤 「…のなす群」
正 「…の乗法群」
キミが同じだと思ってる表現は、実は全然違う
「…のなす群」は「…全体がある演算でなす群」というもの
つまり、正方行列全てがその演算における可逆元だと、いいきっている
したがって、間違っている 正方行列には非可逆元があるから
「…の乗法群」は「…のうち乗法の可逆元がなす群」というもの
つまり、乗法群の言葉の定義で、非可逆元を排除している
ただの「群」と云う言葉とはそこが違っている
＞２）可逆行列Aの成す群G→Aは可逆行列
＞２）は、重言に相当すると言える
実際は
「Aは正方行列の内の可逆元⇔Aは可逆行列」
であるから、単に可逆行列という言葉の定義に過ぎない
定義を「重言」という馬鹿はいない
＃そもそも「可逆行列」ではなく正則行列と云う言葉を使っていたし
＃その定義は「行列式が０でない」であるから、「可逆元」とは異なる
＃両者は同値であるが、文章として異なる
＃（ここ、区別できないと数学は理解できない）
＞雪江明彦のテキスト「代数学2」P86
＞ 定義 2.1.5 Mn(R)の乗法群をGLn(R)と書く。
で、キミ、肝心の「乗法群」の定義は見つけた？
まさか、探してないの？ ボクはみつけたよ
ほれ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B9%97%E6%B3%95%E7%BE%A4
「数学と群論において、乗法群 (multiplicative group) は
次の概念を意味する：
体、環、あるいはその演算の1つとして乗法をもつ他の構造の、
可逆元が乗法の下でなす群。
体 F の場合には、群は {F ∖ {0}, •} である、
ただし 0 は F の零元であり二項演算 • は体の乗法である。」
＞１）正方行列Aの成す群G→Aは可逆行列
＞１）は雪江本と同じ書き方
ちがうな
誤 「…のなす群」
正 「…の乗法群」
キミが同じだと思ってる表現は、実は全然違う
「…のなす群」は「…全体がある演算でなす群」というもの
つまり、正方行列全てがその演算における可逆元だと、いいきっている
したがって、間違っている 正方行列には非可逆元があるから
「…の乗法群」は「…のうち乗法の可逆元がなす群」というもの
つまり、乗法群の言葉の定義で、非可逆元を排除している
ただの「群」と云う言葉とはそこが違っている
＞２）可逆行列Aの成す群G→Aは可逆行列
＞２）は、重言に相当すると言える
実際は
「Aは正方行列の内の可逆元⇔Aは可逆行列」
であるから、単に可逆行列という言葉の定義に過ぎない
定義を「重言」という馬鹿はいない
＃そもそも「可逆行列」ではなく正則行列と云う言葉を使っていたし
＃その定義は「行列式が０でない」であるから、「可逆元」とは異なる
＃両者は同値であるが、文章として異なる
＃（ここ、区別できないと数学は理解できない）
495１３２人目の素数さん
2020/09/20(日) 07:20:43.89ID:Xq8NqmL2 >>490
＞正則行列は、可逆行列のこと（逆元を持つ行列のこと）であって、
＞行列式が０でない（零でない）
＞つまり、零因子でない行列のこと
キミの上の文章で数学のセンスが書けてることがわかる
まず「可逆行列」というだけでは、
いかなる行列がその条件にあてはまるのか
全く明確でない
さすがに君もこれでは何もいったことにならないと感じたんだろう
「行列式が０でない（零でない）」と書いた
しかし、もし数学的センスがあるなら、例えばこう書くだろう
「正則行列は、行列式が０でない（零でない）行列のこと。
正則行列は、乗法における逆元を持つ可逆行列である。」
つまり、正則行列を行列式によって定義した上で、
定義から、可逆であることがいえる、と書くだろう
また、こう書いてもいい
「正則行列は、乗法における逆元を持つ可逆行列であって
それは、具体的には、行列式が０でない、という性質で判定できる」
ついでにいうと
「つまり、零因子でない行列のこと」
これ、要らない
零行列は群の要素じゃないし、
群の要素じゃない行列どうしの積で
それが導けたからといって
群とは何の関係もない
「可換でない群の例を示せ」という例に対して、キミは
「正則行列の群」もしくは「正方行列の乗法群」と答えればよかっただけ
（注：「正則行列の乗法群」は「重言」 しかし、
「正則行列が乗法の下でなす群」は「重言ではない」）
しかし、キミは「正方行列（の群）」と答えた
だから「正則行列も、行列式も知らん大馬鹿野郎」と馬鹿にされた
もちろん、正則行列も行列式も知らない、というだけで馬鹿にされることはない
キミが馬鹿にされるのは、さんざん数学でシッタカぶってたから
全てキミの尊大さが原因 自業自得だよ
大学に落ちまくった高卒DQN君ｗ
勉強一つしない人間が大学に受かるわけないだろう
大学なめとんか？ワレ
＞正則行列は、可逆行列のこと（逆元を持つ行列のこと）であって、
＞行列式が０でない（零でない）
＞つまり、零因子でない行列のこと
キミの上の文章で数学のセンスが書けてることがわかる
まず「可逆行列」というだけでは、
いかなる行列がその条件にあてはまるのか
全く明確でない
さすがに君もこれでは何もいったことにならないと感じたんだろう
「行列式が０でない（零でない）」と書いた
しかし、もし数学的センスがあるなら、例えばこう書くだろう
「正則行列は、行列式が０でない（零でない）行列のこと。
正則行列は、乗法における逆元を持つ可逆行列である。」
つまり、正則行列を行列式によって定義した上で、
定義から、可逆であることがいえる、と書くだろう
また、こう書いてもいい
「正則行列は、乗法における逆元を持つ可逆行列であって
それは、具体的には、行列式が０でない、という性質で判定できる」
ついでにいうと
「つまり、零因子でない行列のこと」
これ、要らない
零行列は群の要素じゃないし、
群の要素じゃない行列どうしの積で
それが導けたからといって
群とは何の関係もない
「可換でない群の例を示せ」という例に対して、キミは
「正則行列の群」もしくは「正方行列の乗法群」と答えればよかっただけ
（注：「正則行列の乗法群」は「重言」 しかし、
「正則行列が乗法の下でなす群」は「重言ではない」）
しかし、キミは「正方行列（の群）」と答えた
だから「正則行列も、行列式も知らん大馬鹿野郎」と馬鹿にされた
もちろん、正則行列も行列式も知らない、というだけで馬鹿にされることはない
キミが馬鹿にされるのは、さんざん数学でシッタカぶってたから
全てキミの尊大さが原因 自業自得だよ
大学に落ちまくった高卒DQN君ｗ
勉強一つしない人間が大学に受かるわけないだろう
大学なめとんか？ワレ
496現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/20(日) 08:11:17.30ID:w0R3FJMo >>494
>であるから、単に可逆行列という言葉の定義に過ぎない
まあ、「単に言葉の定義に過ぎない」と言いたい気持ちもわからんでもないが
しかし、”定義”というのは、数学ではある意味”いのち（命）”でもある
”定義”によって、問題としている数学の対象に対し、「視点」（あるいは切り口）を与えるのです
”定義”によって、問題としている数学の対象を、明確に捉えられるようになることも多いのです（＾＾
>であるから、単に可逆行列という言葉の定義に過ぎない
まあ、「単に言葉の定義に過ぎない」と言いたい気持ちもわからんでもないが
しかし、”定義”というのは、数学ではある意味”いのち（命）”でもある
”定義”によって、問題としている数学の対象に対し、「視点」（あるいは切り口）を与えるのです
”定義”によって、問題としている数学の対象を、明確に捉えられるようになることも多いのです（＾＾
497現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/20(日) 08:16:40.21ID:w0R3FJMo >>456
>よって、線形写像は以下の２つを満たすので、1階反変1階共変テンソルと言えます。
>・基底を決めると２次元配列（表現行列）が決まる
脱線ですが、下記がちょっと面白かったので、メモ貼る
”非数学系”のテンソルの本で、反変、共変が出てくる本多い
ご参考まで
なお、下記はベクトル”代数”ではなく、ベクトル”解析”です
同様、反変、共変が出てくるテンソル本は、多分
テンソル”代数”ではなく、テンソル”解析”です
（参考）
https://lemniscus.ハテナブログ.com/entry/20100129/1264736947
再帰の反復blog
2010-01-29
いわゆる反変ベクトルと共変ベクトルのこと
(抜粋)
（注：数式が出てくるが、文字化けするので、省略した）
物理の本とかベクトル解析の本に出てくる反変ベクトル・共変ベクトルというのが昔から何か気持ち悪かった(もっと気持ち悪くてよくわからないのが極性ベクトルと軸性ベクトルだけど、それは置いといて)。それについてのメモ。
反変ベクトルと共変ベクトルについてのとりあえずの説明
勾配ベクトルは反変ベクトルか共変ベクトルか
多少脱線した話題。
よくいわれる「向きと大きさを持った」ベクトルというのは反変ベクトル。例えば速度ベクトルの向きは、軌道曲線に対する接線の方向になる。一方、共変ベクトルはそれとは違う。「速度ベクトル≒軌道に対する接線」というイメージと比較すると、「勾配ベクトル≒等ポテンシャル面に対する接平面」というイメージだと思う。
追記: 次のような文があった。
通常、空間に即した位差的なものをベクトルと思い、ヤジルシで表す。より正確には、接空間に住んでいるベクトル、つまり「接ベクトル」こそが、ピッタリそれに当たる。対して「微分」dfpの方は、双対(余接空間)に属し、今の意味でのベクトルとは区別すべきだ。名前をつけるなら「コベクトル」である。同時に、函数の表象としての「絵」はヤジルシではなく、空間に描かれた「等高線」の集まりとなる。但し、それは無限小世界の真っすぐな等高線なので、平行な平面からなる。
(梅田亨『森毅の主題による変奏曲 上』微分篇(3))
つづく
>よって、線形写像は以下の２つを満たすので、1階反変1階共変テンソルと言えます。
>・基底を決めると２次元配列（表現行列）が決まる
脱線ですが、下記がちょっと面白かったので、メモ貼る
”非数学系”のテンソルの本で、反変、共変が出てくる本多い
ご参考まで
なお、下記はベクトル”代数”ではなく、ベクトル”解析”です
同様、反変、共変が出てくるテンソル本は、多分
テンソル”代数”ではなく、テンソル”解析”です
（参考）
https://lemniscus.ハテナブログ.com/entry/20100129/1264736947
再帰の反復blog
2010-01-29
いわゆる反変ベクトルと共変ベクトルのこと
(抜粋)
（注：数式が出てくるが、文字化けするので、省略した）
物理の本とかベクトル解析の本に出てくる反変ベクトル・共変ベクトルというのが昔から何か気持ち悪かった(もっと気持ち悪くてよくわからないのが極性ベクトルと軸性ベクトルだけど、それは置いといて)。それについてのメモ。
反変ベクトルと共変ベクトルについてのとりあえずの説明
勾配ベクトルは反変ベクトルか共変ベクトルか
多少脱線した話題。
よくいわれる「向きと大きさを持った」ベクトルというのは反変ベクトル。例えば速度ベクトルの向きは、軌道曲線に対する接線の方向になる。一方、共変ベクトルはそれとは違う。「速度ベクトル≒軌道に対する接線」というイメージと比較すると、「勾配ベクトル≒等ポテンシャル面に対する接平面」というイメージだと思う。
追記: 次のような文があった。
通常、空間に即した位差的なものをベクトルと思い、ヤジルシで表す。より正確には、接空間に住んでいるベクトル、つまり「接ベクトル」こそが、ピッタリそれに当たる。対して「微分」dfpの方は、双対(余接空間)に属し、今の意味でのベクトルとは区別すべきだ。名前をつけるなら「コベクトル」である。同時に、函数の表象としての「絵」はヤジルシではなく、空間に描かれた「等高線」の集まりとなる。但し、それは無限小世界の真っすぐな等高線なので、平行な平面からなる。
(梅田亨『森毅の主題による変奏曲 上』微分篇(3))
つづく
498現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/20(日) 08:18:26.72ID:w0R3FJMo >>497
つづき
追記:
数学者にとっては、現在常識となっている「双対」という概念ではあるが、これが案外捉えにくいものだという指摘もある。内積に長年慣れ親しみ、ドップリ浸かっていると、双対は自分自身と直ちに同一視できるから、区別できなくなっているのかもしれない。目の前に「存在する内積」を使ってどこが悪い、ということなのだろう。……
また、区別しているようでも、一つのベクトルの反変成分と共変成分があると思っている人もある。そのような同一視がどのような機構から生じるかを一度反省しないと、正確な理解は永久に得られないだろう。
(梅田亨『森毅の主題による変奏曲 上』微分篇(2))
反変ベクトル・共変ベクトルの気持ち悪さ
まず反変・共変という名前の付け方に何だか違和感がある。反変ベクトルと共変ベクトルを内容で比べると、反変ベクトルの方が「先・主」で、共変ベクトルは「後・従」という感じがするけど、反変・共変の語感はそれとは逆に感じる。けれどそれは置いとく。
で何で反変ベクトル・共変ベクトルという名前かというと「反変ベクトルの成分変換の式は、基底の変換式と逆になっていて、共変ベクトルの成分変換式は基底の変換式と同じだから」とか説明される(しかしこの基底自身は反変ベクトル)。
ここで急に基底のことが出てくるのだけど、そもそも基底の話なしに成分の話が始まりベクトルの定義がなされるというのが、かなり変な感じがする。
線形代数的には、まず線形空間が定義され(=何がベクトルなのかが定まる)、それからベクトルの中から基底を決めて、基底に対応して成分表示がされる、という流れになる。なのに反変ベクトル・共変ベクトルの定義では、まず成分が登場しその性質によってベクトルかどうかが決まり、基底は登場しない。これはあまりうれしくない。基底の話が出てこないので、ベクトル自体とその成分表示との区別がわかりにくくなっているような気がする。
追記:
ちょっとした、しかし、重要な注意としては、微分幾何の「反変(contravariant)ベクトル」「共変(covariant)ベクトル」という用語の不適切さをパウリが指摘し、その代わりに「共傾(cogredient)ベクトル」「反傾(contragredient)ベクトル」という用語を提唱している点である。
(梅田亨『森毅の主題による変奏曲 上』微分篇(1))
つづく
つづき
追記:
数学者にとっては、現在常識となっている「双対」という概念ではあるが、これが案外捉えにくいものだという指摘もある。内積に長年慣れ親しみ、ドップリ浸かっていると、双対は自分自身と直ちに同一視できるから、区別できなくなっているのかもしれない。目の前に「存在する内積」を使ってどこが悪い、ということなのだろう。……
また、区別しているようでも、一つのベクトルの反変成分と共変成分があると思っている人もある。そのような同一視がどのような機構から生じるかを一度反省しないと、正確な理解は永久に得られないだろう。
(梅田亨『森毅の主題による変奏曲 上』微分篇(2))
反変ベクトル・共変ベクトルの気持ち悪さ
まず反変・共変という名前の付け方に何だか違和感がある。反変ベクトルと共変ベクトルを内容で比べると、反変ベクトルの方が「先・主」で、共変ベクトルは「後・従」という感じがするけど、反変・共変の語感はそれとは逆に感じる。けれどそれは置いとく。
で何で反変ベクトル・共変ベクトルという名前かというと「反変ベクトルの成分変換の式は、基底の変換式と逆になっていて、共変ベクトルの成分変換式は基底の変換式と同じだから」とか説明される(しかしこの基底自身は反変ベクトル)。
ここで急に基底のことが出てくるのだけど、そもそも基底の話なしに成分の話が始まりベクトルの定義がなされるというのが、かなり変な感じがする。
線形代数的には、まず線形空間が定義され(=何がベクトルなのかが定まる)、それからベクトルの中から基底を決めて、基底に対応して成分表示がされる、という流れになる。なのに反変ベクトル・共変ベクトルの定義では、まず成分が登場しその性質によってベクトルかどうかが決まり、基底は登場しない。これはあまりうれしくない。基底の話が出てこないので、ベクトル自体とその成分表示との区別がわかりにくくなっているような気がする。
追記:
ちょっとした、しかし、重要な注意としては、微分幾何の「反変(contravariant)ベクトル」「共変(covariant)ベクトル」という用語の不適切さをパウリが指摘し、その代わりに「共傾(cogredient)ベクトル」「反傾(contragredient)ベクトル」という用語を提唱している点である。
(梅田亨『森毅の主題による変奏曲 上』微分篇(1))
つづく
499現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/20(日) 08:18:47.88ID:w0R3FJMo >>498
つづき
反変ベクトルと接ベクトル
速度ベクトルを特定の座標系に依存しない形で定義することを考える。
接ベクトルの基底と成分表示
共変ベクトルと余接ベクトル
勾配ベクトルについて、座標系に依存しない定義を考える。
接ベクトル・余接ベクトル
接ベクトルも余接ベクトルも定義はわかりにくい。でも実質的には反変ベクトル・共変ベクトルと同じものなので、使用する上では違いは無いし定義を意識する必要もほとんどない。ベクトル成分とか成分の変換規則が定義に入ってこないのがうれしいという精神衛生上の問題にすぎないといっても良い(もちろん数学的にきちんとやる場合はまた別)。でも非数学系の本でもその辺のことに少しぐらい触れていても良いと思う。
(引用終り)
https://www.アマゾン.co.jp/exec/obidos/asin/4535788464/
数学の読み方・聴き方 森毅の主題による変奏曲(上) 日本評論社 (2018/3/23)梅田 亨
(引用終り)
以上
つづき
反変ベクトルと接ベクトル
速度ベクトルを特定の座標系に依存しない形で定義することを考える。
接ベクトルの基底と成分表示
共変ベクトルと余接ベクトル
勾配ベクトルについて、座標系に依存しない定義を考える。
接ベクトル・余接ベクトル
接ベクトルも余接ベクトルも定義はわかりにくい。でも実質的には反変ベクトル・共変ベクトルと同じものなので、使用する上では違いは無いし定義を意識する必要もほとんどない。ベクトル成分とか成分の変換規則が定義に入ってこないのがうれしいという精神衛生上の問題にすぎないといっても良い(もちろん数学的にきちんとやる場合はまた別)。でも非数学系の本でもその辺のことに少しぐらい触れていても良いと思う。
(引用終り)
https://www.アマゾン.co.jp/exec/obidos/asin/4535788464/
数学の読み方・聴き方 森毅の主題による変奏曲(上) 日本評論社 (2018/3/23)梅田 亨
(引用終り)
以上
500現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/20(日) 08:22:14.55ID:w0R3FJMo >>499
>数学の読み方・聴き方 森毅の主題による変奏曲(上) 日本評論社 (2018/3/23)梅田 亨
これ確か数学セミナーに連載されていたね
（参考）
https://ci.nii.ac.jp/naid/40019703184
（書誌情報のみ）
森毅の主題による変奏曲(第0回)はじめに
梅田 亨
数学セミナー 52(7), 52-57, 2013-07
日本評論社
>数学の読み方・聴き方 森毅の主題による変奏曲(上) 日本評論社 (2018/3/23)梅田 亨
これ確か数学セミナーに連載されていたね
（参考）
https://ci.nii.ac.jp/naid/40019703184
（書誌情報のみ）
森毅の主題による変奏曲(第0回)はじめに
梅田 亨
数学セミナー 52(7), 52-57, 2013-07
日本評論社
501１３２人目の素数さん
2020/09/20(日) 08:51:24.74ID:Xq8NqmL2502現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/20(日) 10:37:27.03ID:w0R3FJMo >>487 追加
>「行列式はテンソルです」って
>だれが聞いても、誤解を生むだけ
>シッタカしたつもりが
>単にアホ晒しているだけのこと
＜前振り＞
下記の”テンソル 行列 違い”及び”テンソルと行列が混同される理由”
この手の話は難しい。私も一時期悩みました（＾＾
で、最近では、AIの「TensorFlow(テンソルフロー)」が、この混乱に輪を掛ける
下記の”uylindaun71の日記 2020-05-14 テンソル 行列 違い”
この人、機械学習のソフトウェアライブラリのテンソルと、連続体のテンソルが別物だってこと気付いていない
機械学習のソフトウェアライブラリのテンソルは、単純に「数の多次元配列」です
（下記 Chainer Tutorial 5.1. スカラ・ベクトル・行列・テンソル ご参照）
スカラー(0次元配列)、ベクトル（1次元配列）、行列（2次元配列）、テンソル（n次元配列）
で、nに、0,1,2,3,・・ として、多次元のデータを扱う
一方、連続体のテンソルは、具体的な連続体の物理計算をするための道具です
（昔々、主に人が”手計算”をするための）
そして、連続体などの物理系のテンソルで、テンソルと行列とが似ている場面がある
この文脈で、（下記の通り）「（物理系の）専門家は言います。2階のテンソルと行列は違う！」という（細かい話は、下記を読んでください）
さて、雪江（>>443）の代数学２，３ではどうか？
雪江のテンソルに関する記述では、ほとんど行列は出てきません
ただ、ある場面で、テンソルの表現の一手段として、成分表示の行列が使われます
やっぱり、行列の成分表示は分り易いですからね
つづく
>「行列式はテンソルです」って
>だれが聞いても、誤解を生むだけ
>シッタカしたつもりが
>単にアホ晒しているだけのこと
＜前振り＞
下記の”テンソル 行列 違い”及び”テンソルと行列が混同される理由”
この手の話は難しい。私も一時期悩みました（＾＾
で、最近では、AIの「TensorFlow(テンソルフロー)」が、この混乱に輪を掛ける
下記の”uylindaun71の日記 2020-05-14 テンソル 行列 違い”
この人、機械学習のソフトウェアライブラリのテンソルと、連続体のテンソルが別物だってこと気付いていない
機械学習のソフトウェアライブラリのテンソルは、単純に「数の多次元配列」です
（下記 Chainer Tutorial 5.1. スカラ・ベクトル・行列・テンソル ご参照）
スカラー(0次元配列)、ベクトル（1次元配列）、行列（2次元配列）、テンソル（n次元配列）
で、nに、0,1,2,3,・・ として、多次元のデータを扱う
一方、連続体のテンソルは、具体的な連続体の物理計算をするための道具です
（昔々、主に人が”手計算”をするための）
そして、連続体などの物理系のテンソルで、テンソルと行列とが似ている場面がある
この文脈で、（下記の通り）「（物理系の）専門家は言います。2階のテンソルと行列は違う！」という（細かい話は、下記を読んでください）
さて、雪江（>>443）の代数学２，３ではどうか？
雪江のテンソルに関する記述では、ほとんど行列は出てきません
ただ、ある場面で、テンソルの表現の一手段として、成分表示の行列が使われます
やっぱり、行列の成分表示は分り易いですからね
つづく
503現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/20(日) 10:37:49.79ID:w0R3FJMo >>502
つづき
＜本題＞
・さて、前振りが長くなったが、本題の「行列式はテンソルです」って話
・これをいうと、即座に「じゃ、行列とテンソルの関係は？」と突っ込まれる可能性が大です
・「行列とテンソルは、別物です」というと
相手は「？？？。”行列式はテンソルです”といったのに～？」となるでしょうね～ｗ
・要するに、「行列式はテンソルです」って話は、まずは理解されないし、
風が吹けば桶屋が儲かる式の長い言い訳の果てに、ある程度は説明できたとしても
（なお、その結果言いたいことは、単に”行列式は多重線形の交代形式です”じゃあね～ｗ
（参考： https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%A4%E4%BB%A3%E5%A4%9A%E9%87%8D%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%BD%A2%E5%BC%8F
交代多重線型形式 ”行列式や、微分幾何学における微分形式は多重線型交代形式の重要な例である”））
・で、あげく「じゃ、行列式とテンソルの関係は？」と突っ込まれて、また、長い長い言い訳をするはめになる
・結局「こいつアホか？」と蔑まれるのが、関の山
・アホのマネを、しないようにしましょう！！（＾＾
（参考）
https://uylindaun71.hatenablog.com/entry/2020/05/14/203109_6
uylindaun71の日記
2020-05-14
テンソル 行列 違い
(抜粋)
「TensorFlow(テンソルフロー)」とは、Googleが開発した、私たちの生活のさまざまなところで活用されているこの機械学習のソフトウェアライブラリです。 今回は、TensorFlowの特徴やできることなどをわかりやすく解説します。 専門家は言います。2階のテンソルと行列は違う！と。しかし、そう言われたって、2階のテンソルと行列は、どうみても同じにみえます。計算の仕方やルールも、一見、同じです。テンソルとは何でしょうか？いったい、専門家は何を言おうとしているのでしょうか … 変形と内力の関係 構成方程式. 図-3.8に示したように，連続体をモデル化する に当たって，材料の抵抗特性を内力という概念を仲介させて記述することに した。
つづく
つづき
＜本題＞
・さて、前振りが長くなったが、本題の「行列式はテンソルです」って話
・これをいうと、即座に「じゃ、行列とテンソルの関係は？」と突っ込まれる可能性が大です
・「行列とテンソルは、別物です」というと
相手は「？？？。”行列式はテンソルです”といったのに～？」となるでしょうね～ｗ
・要するに、「行列式はテンソルです」って話は、まずは理解されないし、
風が吹けば桶屋が儲かる式の長い言い訳の果てに、ある程度は説明できたとしても
（なお、その結果言いたいことは、単に”行列式は多重線形の交代形式です”じゃあね～ｗ
（参考： https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%A4%E4%BB%A3%E5%A4%9A%E9%87%8D%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%BD%A2%E5%BC%8F
交代多重線型形式 ”行列式や、微分幾何学における微分形式は多重線型交代形式の重要な例である”））
・で、あげく「じゃ、行列式とテンソルの関係は？」と突っ込まれて、また、長い長い言い訳をするはめになる
・結局「こいつアホか？」と蔑まれるのが、関の山
・アホのマネを、しないようにしましょう！！（＾＾
（参考）
https://uylindaun71.hatenablog.com/entry/2020/05/14/203109_6
uylindaun71の日記
2020-05-14
テンソル 行列 違い
(抜粋)
「TensorFlow(テンソルフロー)」とは、Googleが開発した、私たちの生活のさまざまなところで活用されているこの機械学習のソフトウェアライブラリです。 今回は、TensorFlowの特徴やできることなどをわかりやすく解説します。 専門家は言います。2階のテンソルと行列は違う！と。しかし、そう言われたって、2階のテンソルと行列は、どうみても同じにみえます。計算の仕方やルールも、一見、同じです。テンソルとは何でしょうか？いったい、専門家は何を言おうとしているのでしょうか … 変形と内力の関係 構成方程式. 図-3.8に示したように，連続体をモデル化する に当たって，材料の抵抗特性を内力という概念を仲介させて記述することに した。
つづく
504現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/20(日) 10:38:08.56ID:w0R3FJMo >>503
つづき
https://www.mynote-jp.com/entry/TensorAndMatrixRelation
Notes_JP
トップ > 物理学 >物理数学 >ベクトル・テンソル > テンソルと行列が混同される理由
2018-01-28
POINT
・「行列の成分」が「2階のテンソル（1階反変1階共変テンソル）の成分」になることが混乱の原因．
・この性質は「テンソルの商法則」の特別な場合に相当する．
テンソルと行列の違いについて悩んだ事はありませんか？テンソルを学ぶ人の多くは
・テンソルを導入する際に，『「行列とテンソル」は別物です』と注意があった．
・にも関わらず，「2階のテンソルの成分を並べて行列の形で表わしている」のを見たことがある．
という矛盾に出会ったことがあるのでは無いでしょうか．
実は，以下の2つの意味において「行列」と「（1階反変1階共変）テンソル」は同じものとみなせるのです：
１．「行列の成分」は「1階反変1階共変テンソルの成分」にもなる．
２．【参考】これは「テンソルの商法則」として一般化できる．
「線形空間VVからVVへの線形写像全体」と「1階反変1階共変テンソル全体」は，同じ線形空間とみなせる．
テンソルと行列の関係
まず「テンソルの成分が行列の形で表される例」について触れます．
つづく
つづき
https://www.mynote-jp.com/entry/TensorAndMatrixRelation
Notes_JP
トップ > 物理学 >物理数学 >ベクトル・テンソル > テンソルと行列が混同される理由
2018-01-28
POINT
・「行列の成分」が「2階のテンソル（1階反変1階共変テンソル）の成分」になることが混乱の原因．
・この性質は「テンソルの商法則」の特別な場合に相当する．
テンソルと行列の違いについて悩んだ事はありませんか？テンソルを学ぶ人の多くは
・テンソルを導入する際に，『「行列とテンソル」は別物です』と注意があった．
・にも関わらず，「2階のテンソルの成分を並べて行列の形で表わしている」のを見たことがある．
という矛盾に出会ったことがあるのでは無いでしょうか．
実は，以下の2つの意味において「行列」と「（1階反変1階共変）テンソル」は同じものとみなせるのです：
１．「行列の成分」は「1階反変1階共変テンソルの成分」にもなる．
２．【参考】これは「テンソルの商法則」として一般化できる．
「線形空間VVからVVへの線形写像全体」と「1階反変1階共変テンソル全体」は，同じ線形空間とみなせる．
テンソルと行列の関係
まず「テンソルの成分が行列の形で表される例」について触れます．
つづく
505現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/20(日) 10:38:30.37ID:w0R3FJMo >>504
つづき
（>>363より）
https://tutorials.chainer.org/ja/05_Basics_of_Linear_Algebra.html
Chainer Tutorial
5.1. スカラ・ベクトル・行列・テンソル
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1321841313
tep********さん
2008/12/31 18:49
行列とテンソルの違いを教えてください。
ベストアンサー
瑠璃さん
2008/12/31
このページに類似した質問と回答が挙がっております。
http://www005.upp.so-net.ne.jp/yoshida_n/qa_a40.htm
参考になりますでしょうか？
私もかつて大学の物理学の講義でテンソルについて学びましたが、
行列の範疇を超えなかったように記憶しております。
おそらく、定義する範囲に違いがあるだけで、
ご自身で使う分には、厳密な使い分けをする必要はないかと思います。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E7%A9%8D
テンソル積
(抜粋)
テンソル積（テンソルせき、英: tensor product）は、線型代数学で多重線型性を扱うための線型化を担う概念で、既知のベクトル空間・加群など様々な対象から新たな対象を作り出す操作の一つである。そのようないずれの対象に関しても、テンソル積は最も自由（英語版）な双線型乗法である。
線型写像のテンソル積
ベクトル空間にそれぞれ基底をとれば、線型写像 S, T はそれぞれ行列で表現され、さらにテンソル積 S ◯x T を表現する行列は、S, T を表す行列のクロネッカー積で与えられる。
(引用終り)
以上
つづき
（>>363より）
https://tutorials.chainer.org/ja/05_Basics_of_Linear_Algebra.html
Chainer Tutorial
5.1. スカラ・ベクトル・行列・テンソル
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1321841313
tep********さん
2008/12/31 18:49
行列とテンソルの違いを教えてください。
ベストアンサー
瑠璃さん
2008/12/31
このページに類似した質問と回答が挙がっております。
http://www005.upp.so-net.ne.jp/yoshida_n/qa_a40.htm
参考になりますでしょうか？
私もかつて大学の物理学の講義でテンソルについて学びましたが、
行列の範疇を超えなかったように記憶しております。
おそらく、定義する範囲に違いがあるだけで、
ご自身で使う分には、厳密な使い分けをする必要はないかと思います。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E7%A9%8D
テンソル積
(抜粋)
テンソル積（テンソルせき、英: tensor product）は、線型代数学で多重線型性を扱うための線型化を担う概念で、既知のベクトル空間・加群など様々な対象から新たな対象を作り出す操作の一つである。そのようないずれの対象に関しても、テンソル積は最も自由（英語版）な双線型乗法である。
線型写像のテンソル積
ベクトル空間にそれぞれ基底をとれば、線型写像 S, T はそれぞれ行列で表現され、さらにテンソル積 S ◯x T を表現する行列は、S, T を表す行列のクロネッカー積で与えられる。
(引用終り)
以上
506現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/20(日) 11:48:16.67ID:w0R3FJMo 余談ですが
ｘｘ形式というと、しばしば、「複数のベクトルを変数とするスカラー値の函数」あるいは、それに付加的な特性を付与した対象に指す場合が多いようです（下記）
なお、微分形式は、”スカラー値”ではありませんが
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%87%8D%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%BD%A2%E5%BC%8F
多重線型形式
抽象代数学と多重線型代数において、多重線型形式（たじゅうせんけいけいしき、英: multilinear form）とは、複数のベクトルを変数とするスカラー値の函数であって、どの変数に関しても（ほかの変数を止めて）線型写像となっているようなものを言う。多重線型形式はテンソルの定式化において重要である。
多重線型形式（特に交代形式）重要な例として、行列式と微分形式が挙げられる。
定義
V を体 K 上のベクトル空間とし、Vk := V × ・・・ × V は V の k 個の直積とする。V 上 k-変数の函数
f： V^k → K
が k-重線型または k-線型であるとは、各変数 xi に対して
f(x_1,・・・，c ,c・・・ x_i,・・・，c ,x_n)=c・ f(x_1,・・・，c ,x_i,・・・，c ,x_n)
および
f(x_1,・・・，c ,x_i+x_i',・・・，c ,x_n)=f(x_1,・・・，c ,x_i,・・・，c ,x_n)+f(x_1,・・・，c ,x_i',・・・，c ,x_n)
を満たすときに言う[1]。
k を特に指定しないとき、多重線型形式と総称する。
V 上の k-重線型形式全体の成す空間 Lk(V) は通常の和とスカラー倍に関してベクトル空間を成す。
このベクトル空間は k-階共変テンソルの空間 Tk(V) = V* ◯x ・・・ ◯x V*（V* は V の双対空間で、◯x はベクトル空間のテンソル積）に自然同型であり、
その意味で k-重線型形式を k-階共変テンソルと看做すことができる。
つづく
ｘｘ形式というと、しばしば、「複数のベクトルを変数とするスカラー値の函数」あるいは、それに付加的な特性を付与した対象に指す場合が多いようです（下記）
なお、微分形式は、”スカラー値”ではありませんが
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%87%8D%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%BD%A2%E5%BC%8F
多重線型形式
抽象代数学と多重線型代数において、多重線型形式（たじゅうせんけいけいしき、英: multilinear form）とは、複数のベクトルを変数とするスカラー値の函数であって、どの変数に関しても（ほかの変数を止めて）線型写像となっているようなものを言う。多重線型形式はテンソルの定式化において重要である。
多重線型形式（特に交代形式）重要な例として、行列式と微分形式が挙げられる。
定義
V を体 K 上のベクトル空間とし、Vk := V × ・・・ × V は V の k 個の直積とする。V 上 k-変数の函数
f： V^k → K
が k-重線型または k-線型であるとは、各変数 xi に対して
f(x_1,・・・，c ,c・・・ x_i,・・・，c ,x_n)=c・ f(x_1,・・・，c ,x_i,・・・，c ,x_n)
および
f(x_1,・・・，c ,x_i+x_i',・・・，c ,x_n)=f(x_1,・・・，c ,x_i,・・・，c ,x_n)+f(x_1,・・・，c ,x_i',・・・，c ,x_n)
を満たすときに言う[1]。
k を特に指定しないとき、多重線型形式と総称する。
V 上の k-重線型形式全体の成す空間 Lk(V) は通常の和とスカラー倍に関してベクトル空間を成す。
このベクトル空間は k-階共変テンソルの空間 Tk(V) = V* ◯x ・・・ ◯x V*（V* は V の双対空間で、◯x はベクトル空間のテンソル積）に自然同型であり、
その意味で k-重線型形式を k-階共変テンソルと看做すことができる。
つづく
507現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/20(日) 11:48:35.61ID:w0R3FJMo >>506
つづき
テンソル積
「テンソル積#線型写像のテンソル積」も参照
k-重線型形式全体の成す空間 Lk(V) は点ごとの積に関しては閉じていないが、f ∈ Lk(V), g ∈ Ll(V) の点ごとの積:
略
は (k + l)-重線型形式となる（これを f と g とのテンソル積と呼ぶ）。
略
このように定義された多重線型形式のテンソル積は可換でない。しかしテンソル積は結合的かつ双線型な乗法を与えている。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%BD%A2%E5%BC%8F
双線型形式
抽象代数学および線型代数学における双線型形式（そうせんけいけいしき、英: bilinear form）とは、スカラー値の双線型写像、すなわち各引数に対してそれぞれ線型写像となっている二変数函数を言う。より具体的に、係数体 F 上のベクトル空間 V で定義される双線型形式 B: V × V → F は
略
を満たす。
双線型形式の定義は、線型写像を加群の準同型に置き換えることで、可換環上の加群へも拡張できる。
つづく
つづき
テンソル積
「テンソル積#線型写像のテンソル積」も参照
k-重線型形式全体の成す空間 Lk(V) は点ごとの積に関しては閉じていないが、f ∈ Lk(V), g ∈ Ll(V) の点ごとの積:
略
は (k + l)-重線型形式となる（これを f と g とのテンソル積と呼ぶ）。
略
このように定義された多重線型形式のテンソル積は可換でない。しかしテンソル積は結合的かつ双線型な乗法を与えている。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%BD%A2%E5%BC%8F
双線型形式
抽象代数学および線型代数学における双線型形式（そうせんけいけいしき、英: bilinear form）とは、スカラー値の双線型写像、すなわち各引数に対してそれぞれ線型写像となっている二変数函数を言う。より具体的に、係数体 F 上のベクトル空間 V で定義される双線型形式 B: V × V → F は
略
を満たす。
双線型形式の定義は、線型写像を加群の準同型に置き換えることで、可換環上の加群へも拡張できる。
つづく
508現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/20(日) 11:48:56.42ID:w0R3FJMo >>507
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%BD%A2%E5%BC%8F
二次形式
二次形式（にじけいしき、英: quadratic form) は、いくつかの変数に関する次数が 2 の斉次多項式である。例えば、変数が 2個の二次形式は
ax^2+bxy+cy^2 (abc≠ 0)
の形である（x, y が変数）。
二次形式は数学のいろいろな分野（数論、線型代数学、群論（直交群）、微分幾何学（リーマン計量）、微分位相幾何学（四次元多様体の交叉形式）、リー理論（キリング形式）など）で中心的な位置を占める概念である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%BD%A2%E5%BC%8F
微分形式
微分形式（びぶんけいしき、英: differential form）とは、微分可能多様体上に定義される共変テンソル場である。微分形式によって多様体上の局所的な座標の取り方によらない関数の微分が表現され、また多様体の内在的な構造のみによる積分は微分形式に対して定義される。微分多様体上の微分形式は共変テンソルとしての座標変換性によって、あるいは接ベクトル空間上の線型形式の連続的な分布として定式化される。また、代数幾何学・数論幾何学や非可換幾何学などさまざまな幾何学の分野でそれぞれ、この類推として得られる微分形式の概念が定式化されている。
概要
エリ・カルタンによって微分方程式を幾何学的に捕らえようとする試みから生まれた微分形式は、解析学や幾何学のいろいろな概念や公式を統一的な視点からまとめ、形式的な計算により多くの結果を得、多様体などの図形を調べるのにも非常に強力な道具になっていった。
n 次元ユークリッド空間において、座標が (x1,x2,…,xn) で与えられているとき、n 変数関数 f(x1,x2,…,xn) を微分 0 形式といい、 余接ベクトル場 f1 dx1 + f2 dx2 + … + fn dxn の事を 微分 1 形式という。係数となっている fk は変数を省略してあるが関数である。これは関数の全微分で現れる式と同じである。2 次以上の微分形式は微分形式同士をテンソル積でかけ合わせることにより得られる。
(引用終り)
以上
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%BD%A2%E5%BC%8F
二次形式
二次形式（にじけいしき、英: quadratic form) は、いくつかの変数に関する次数が 2 の斉次多項式である。例えば、変数が 2個の二次形式は
ax^2+bxy+cy^2 (abc≠ 0)
の形である（x, y が変数）。
二次形式は数学のいろいろな分野（数論、線型代数学、群論（直交群）、微分幾何学（リーマン計量）、微分位相幾何学（四次元多様体の交叉形式）、リー理論（キリング形式）など）で中心的な位置を占める概念である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%BD%A2%E5%BC%8F
微分形式
微分形式（びぶんけいしき、英: differential form）とは、微分可能多様体上に定義される共変テンソル場である。微分形式によって多様体上の局所的な座標の取り方によらない関数の微分が表現され、また多様体の内在的な構造のみによる積分は微分形式に対して定義される。微分多様体上の微分形式は共変テンソルとしての座標変換性によって、あるいは接ベクトル空間上の線型形式の連続的な分布として定式化される。また、代数幾何学・数論幾何学や非可換幾何学などさまざまな幾何学の分野でそれぞれ、この類推として得られる微分形式の概念が定式化されている。
概要
エリ・カルタンによって微分方程式を幾何学的に捕らえようとする試みから生まれた微分形式は、解析学や幾何学のいろいろな概念や公式を統一的な視点からまとめ、形式的な計算により多くの結果を得、多様体などの図形を調べるのにも非常に強力な道具になっていった。
n 次元ユークリッド空間において、座標が (x1,x2,…,xn) で与えられているとき、n 変数関数 f(x1,x2,…,xn) を微分 0 形式といい、 余接ベクトル場 f1 dx1 + f2 dx2 + … + fn dxn の事を 微分 1 形式という。係数となっている fk は変数を省略してあるが関数である。これは関数の全微分で現れる式と同じである。2 次以上の微分形式は微分形式同士をテンソル積でかけ合わせることにより得られる。
(引用終り)
以上
509１３２人目の素数さん
2020/09/20(日) 13:04:14.22ID:Xq8NqmL2 >>503
＞☆「行列式はテンソルです」
＞★「じゃ、行列とテンソルの関係は？」
＞☆「行列とテンソルは、別物です」
一か所、誤りがありますね
☆「行列もテンソルですが、何か？」
＞★「？？？。”行列式はテンソルです”といったのに～？
じゃ、行列式とテンソルの関係は？」
☆「その前に・・・あなた、もしかして行列式は行列だと思ってます？
全然、ちがいますよ！」
ま、こう答えた後の、★の反応は、大方想像がつく
★「？？？？？？？、行列式は行列じゃないって？！
何、狂ったこといってるの？
行列の式だから行列式なんじゃないの？」
☆「残念ながら、私は全く狂っておりません
まず、英語でいえば、行列はmatrix 行列式はdeterminantで
両者の起源は全く異なるものです。
で、両者の数学的な意味を言わせてもらえば、
それぞれ以下の通りです」
・行列(matrix)とは、線型空間Vから線型空間Wへの写像V→W
特に正方行列の場合は、線形空間Vのそれ自身への線型写像V→V
・行列式(determinant)はVをn次元線型空間、Fを基礎体として、
V×…(n個)…×V→Fという反対称的な多重線型写像で
Vの基底をe1,…,enと表したとき(e1,…,en)の値が1となるものです
☆「たった５行ですよ。全然長くありません。
この程度のことは大学で線型代数を学んだ人ならみな知ってます。
え？知らない？それ、講義した先生に文句いったほうがいいですね。」
＞☆「行列式はテンソルです」
＞★「じゃ、行列とテンソルの関係は？」
＞☆「行列とテンソルは、別物です」
一か所、誤りがありますね
☆「行列もテンソルですが、何か？」
＞★「？？？。”行列式はテンソルです”といったのに～？
じゃ、行列式とテンソルの関係は？」
☆「その前に・・・あなた、もしかして行列式は行列だと思ってます？
全然、ちがいますよ！」
ま、こう答えた後の、★の反応は、大方想像がつく
★「？？？？？？？、行列式は行列じゃないって？！
何、狂ったこといってるの？
行列の式だから行列式なんじゃないの？」
☆「残念ながら、私は全く狂っておりません
まず、英語でいえば、行列はmatrix 行列式はdeterminantで
両者の起源は全く異なるものです。
で、両者の数学的な意味を言わせてもらえば、
それぞれ以下の通りです」
・行列(matrix)とは、線型空間Vから線型空間Wへの写像V→W
特に正方行列の場合は、線形空間Vのそれ自身への線型写像V→V
・行列式(determinant)はVをn次元線型空間、Fを基礎体として、
V×…(n個)…×V→Fという反対称的な多重線型写像で
Vの基底をe1,…,enと表したとき(e1,…,en)の値が1となるものです
☆「たった５行ですよ。全然長くありません。
この程度のことは大学で線型代数を学んだ人ならみな知ってます。
え？知らない？それ、講義した先生に文句いったほうがいいですね。」
510１３２人目の素数さん
2020/09/20(日) 13:10:21.17ID:Xq8NqmL2 >>502-507
なんか、長々とコピペしてますけど、
行列式が理解できてないようじゃ、
どれもこれも理解できてませんね
特に行列式と外積代数の関係を理解してなかったら
微分形式なんていくら説明読んでも理解できませんよ
ああ、こういう人が、大学の微分積分学の「多変数の微分積分」で
ヤコビアンが出てきた途端「訳わかんねぇ！」と絶叫し
逆関数定理とか陰関数定理とか出てくると
「証明以前に、そもとも定理が何云ってんのかわかんねぇ」
とか言い出して、講義に出なくなってそのまま
大学からフェイドアウトしちゃうんでしょうね・・・
線型代数分かってないと、多変数の微分積分は絶対に分かりませんよ
これ鉄板
なんか、長々とコピペしてますけど、
行列式が理解できてないようじゃ、
どれもこれも理解できてませんね
特に行列式と外積代数の関係を理解してなかったら
微分形式なんていくら説明読んでも理解できませんよ
ああ、こういう人が、大学の微分積分学の「多変数の微分積分」で
ヤコビアンが出てきた途端「訳わかんねぇ！」と絶叫し
逆関数定理とか陰関数定理とか出てくると
「証明以前に、そもとも定理が何云ってんのかわかんねぇ」
とか言い出して、講義に出なくなってそのまま
大学からフェイドアウトしちゃうんでしょうね・・・
線型代数分かってないと、多変数の微分積分は絶対に分かりませんよ
これ鉄板
511１３２人目の素数さん
2020/09/20(日) 18:41:09.47ID:Xq8NqmL2 線型代数で
「消去法と行列式」が、第一ステップ だとすると
「固有値とジョルダン標準形」は 第二ステップ だな
わかるかな？わかんねぇだろぉなぁｗ
「消去法と行列式」が、第一ステップ だとすると
「固有値とジョルダン標準形」は 第二ステップ だな
わかるかな？わかんねぇだろぉなぁｗ
512１３２人目の素数さん
2020/09/20(日) 18:53:57.16ID:Xq8NqmL2 >>506
＞ｘｘ形式というと、しばしば、
＞「複数のベクトルを変数とするスカラー値の函数」
＞あるいは、それに付加的な特性を付与した
＞対象を指す場合が多いようです
＞なお、微分形式は、”スカラー値”ではありませんが
はい、🐎🦌発言ｗ
微分形式は、各点毎に複数の接ベクトルを変数とし
スカラーを値とする関数（これを「共変テンソル」という）
が与えられたものですが、何か？
＞ｘｘ形式というと、しばしば、
＞「複数のベクトルを変数とするスカラー値の函数」
＞あるいは、それに付加的な特性を付与した
＞対象を指す場合が多いようです
＞なお、微分形式は、”スカラー値”ではありませんが
はい、🐎🦌発言ｗ
微分形式は、各点毎に複数の接ベクトルを変数とし
スカラーを値とする関数（これを「共変テンソル」という）
が与えられたものですが、何か？
513１３２人目の素数さん
2020/09/20(日) 18:59:14.58ID:Xq8NqmL2514１３２人目の素数さん
2020/09/20(日) 19:11:23.80ID:Xq8NqmL2 >>511
◆yH25M02vWFhPは 線型代数の第一ステップから分かってない時点でドイヒー
◆yH25M02vWFhPは 線型代数の第一ステップから分かってない時点でドイヒー
515１３２人目の素数さん
2020/09/20(日) 19:20:09.84ID:Xq8NqmL2 ◆yH25M02vWFhPはワカランチンの程度が、安達弘志並
516１３２人目の素数さん
2020/09/20(日) 19:20:50.95ID:Xq8NqmL2 つまり、◆yH25M02vWFhPは数学が全く分かってないレベル
517１３２人目の素数さん
2020/09/20(日) 19:24:15.61ID:Xq8NqmL2 ◆yH25M02vWFhPって線形代数の教科書読んだことあるのか？
おそらく、一度もないだろうな
おそらく、一度もないだろうな
518１３２人目の素数さん
2020/09/20(日) 19:26:30.03ID:Xq8NqmL2 ◆yH25M02vWFhPは読めもしない数学書を全部売ったほうがいい
断捨離で、貴様にとって全く役に立たない「数学」を一切捨てろ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%AD%E6%8D%A8%E9%9B%A2
断捨離で、貴様にとって全く役に立たない「数学」を一切捨てろ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%AD%E6%8D%A8%E9%9B%A2
519現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/20(日) 19:42:44.08ID:w0R3FJMo >>503 補足
（>>477-478 より、連続体力学 http://www.mm.civil.tohoku.ac.jp/renzokutai/0_suugaku.pdf 数学準備 東北大学
補足：式 (1.40)だと正方行列 [A] は6成分で足りる。一般の正方行列は9成分だから、一般の正方行列には（連続体で使う）テンソル以外も入っているのです）
下記の応力テンソルを使って、補足します
１）応力テンソルは、下記のように、3次元デカルト座標系で行列表示を持ち、上記同様に実は独立なのは6成分のみです
２）一方、3x3の正方行列は、9成分独立に取れます。ですから、応力テンソルでない3x3正方行列が存在します。
３）さて、行列式は、3x3の正方行列に対して常に計算できます。また、行列表示された応力テンソルに対しても、常に計算できます。
この文脈で、「テンソルは行列ではない」と言われます
この文脈で、「行列式はテンソルです」と言ってはいけません。誤解されます、「アホか」と。シッタカしたつもりが、単にアホ晒しているだけのこと
応力テンソル以外の場面でも同じ。「行列式はテンソルです」と言ってはいけません。誤解されます、「アホか」と。シッタカしたつもりが、単にアホ晒しているだけのこと
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BF%9C%E5%8A%9B
応力
(抜粋)
応力（おうりょく、ストレス、英: stress）とは、物体[注 1]の内部に生じる力の大きさや作用方向を表現するために用いられる物理量である。物体の変形や破壊などに対する負担の大きさを検討するのに用いられる。
この物理量には応力ベクトル (stress vector) と応力テンソル (stress tensor) の2つがあり、単に「応力」といえば応力テンソルのことを指すことが多い。応力テンソルは座標系などを特別に断らない限り、主に2階の混合テンソルおよび混合ベクトルとして扱われる（混合テンソルについてはテンソル積#テンソル空間とテンソルを参照）。応力ベクトルと応力テンソルは、ともに連続体内部に定義した微小面積に作用する単位面積あたりの力として定義される。そのため、それらの単位は、SIではPa (N/m2)、重力単位系ではkgf/mm2で、圧力と同じである。
つづく
（>>477-478 より、連続体力学 http://www.mm.civil.tohoku.ac.jp/renzokutai/0_suugaku.pdf 数学準備 東北大学
補足：式 (1.40)だと正方行列 [A] は6成分で足りる。一般の正方行列は9成分だから、一般の正方行列には（連続体で使う）テンソル以外も入っているのです）
下記の応力テンソルを使って、補足します
１）応力テンソルは、下記のように、3次元デカルト座標系で行列表示を持ち、上記同様に実は独立なのは6成分のみです
２）一方、3x3の正方行列は、9成分独立に取れます。ですから、応力テンソルでない3x3正方行列が存在します。
３）さて、行列式は、3x3の正方行列に対して常に計算できます。また、行列表示された応力テンソルに対しても、常に計算できます。
この文脈で、「テンソルは行列ではない」と言われます
この文脈で、「行列式はテンソルです」と言ってはいけません。誤解されます、「アホか」と。シッタカしたつもりが、単にアホ晒しているだけのこと
応力テンソル以外の場面でも同じ。「行列式はテンソルです」と言ってはいけません。誤解されます、「アホか」と。シッタカしたつもりが、単にアホ晒しているだけのこと
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BF%9C%E5%8A%9B
応力
(抜粋)
応力（おうりょく、ストレス、英: stress）とは、物体[注 1]の内部に生じる力の大きさや作用方向を表現するために用いられる物理量である。物体の変形や破壊などに対する負担の大きさを検討するのに用いられる。
この物理量には応力ベクトル (stress vector) と応力テンソル (stress tensor) の2つがあり、単に「応力」といえば応力テンソルのことを指すことが多い。応力テンソルは座標系などを特別に断らない限り、主に2階の混合テンソルおよび混合ベクトルとして扱われる（混合テンソルについてはテンソル積#テンソル空間とテンソルを参照）。応力ベクトルと応力テンソルは、ともに連続体内部に定義した微小面積に作用する単位面積あたりの力として定義される。そのため、それらの単位は、SIではPa (N/m2)、重力単位系ではkgf/mm2で、圧力と同じである。
つづく
520現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/20(日) 19:43:25.82ID:w0R3FJMo >>519
つづき
応力テンソル
応力テンソルは、応力ベクトルの定め方の違いから、真応力テンソル・コーシー応力テンソル、公称応力テンソル・第1パイオラ・キルヒホッフ応力テンソル、第2パイオラ・キルヒホッフ応力テンソルの3種類が定義されており、いずれも（行列の形式で記述できる）2階のテンソルとなる。ただし、これらの応力テンソルに違いが生じるのは有限変形理論に基づいて物体の運動を記述した場合であり、材料力学や応用力学で多用されている微小変位・微小変形の仮定の下では、これらの応力テンソルはすべて真応力テンソルに一致する。
応力テンソルの成分には、微小面の法線と力の作用方向が一致する垂直応力 (normal stress) 成分と、一致しない（異なっている）せん断応力 (shear stress) 成分の2種類に分類することができる。
垂直応力とせん断応力
上に示した3次元デカルト座標系における応力テンソルの成分について考えた場合、垂直応力は σ_xx,σ_yy,σ_zz の3成分となる。垂直応力は、力の作用面と力の作用方向とが直交し、作用面を引っ張る方向に作用した場合には引張応力 (tensile stress)、作用面を押し込む方向に作用した場合には圧縮応力 (compressive stress) と呼ばれる。
一方、せん断応力は、力の作用面の法線の向きと力の作用方向とが一致しない応力成分であり、σ_xy,σ_yx,σ_yz,σ_zy,σ_zx,σ_xzの6つが該当する。なお、微小変形の力学においては、せん断応力を記号τで表すことがある。
上に示した3次元デカルト座標系での成分については、
σ_xy=σ_yx,σ_yz=σ_zy,σ_zx=σ_xz
が成り立ち、応力テンソルσの独立な成分は6成分となることがわかる。
この性質のため、固体物性やCAEなどの分野では、独立な6成分を並べてベクトルとする表記がしばしば用いられる。これをフォークト表記 (Voigt notation)という[6]。
J1、J2、J3は、ある応力状態において座標系に関わらず常に一定値となるので応力不変量(stress invariant)と総称される。それぞれ第一次応力不変量、第二次応力不変量、第三次応力不変量と呼ぶ[11]。第一次応力普遍量、第三次応力不変量は、それぞれ応力テンソルの跡、行列式に等しい。
(引用終り)
以上
つづき
応力テンソル
応力テンソルは、応力ベクトルの定め方の違いから、真応力テンソル・コーシー応力テンソル、公称応力テンソル・第1パイオラ・キルヒホッフ応力テンソル、第2パイオラ・キルヒホッフ応力テンソルの3種類が定義されており、いずれも（行列の形式で記述できる）2階のテンソルとなる。ただし、これらの応力テンソルに違いが生じるのは有限変形理論に基づいて物体の運動を記述した場合であり、材料力学や応用力学で多用されている微小変位・微小変形の仮定の下では、これらの応力テンソルはすべて真応力テンソルに一致する。
応力テンソルの成分には、微小面の法線と力の作用方向が一致する垂直応力 (normal stress) 成分と、一致しない（異なっている）せん断応力 (shear stress) 成分の2種類に分類することができる。
垂直応力とせん断応力
上に示した3次元デカルト座標系における応力テンソルの成分について考えた場合、垂直応力は σ_xx,σ_yy,σ_zz の3成分となる。垂直応力は、力の作用面と力の作用方向とが直交し、作用面を引っ張る方向に作用した場合には引張応力 (tensile stress)、作用面を押し込む方向に作用した場合には圧縮応力 (compressive stress) と呼ばれる。
一方、せん断応力は、力の作用面の法線の向きと力の作用方向とが一致しない応力成分であり、σ_xy,σ_yx,σ_yz,σ_zy,σ_zx,σ_xzの6つが該当する。なお、微小変形の力学においては、せん断応力を記号τで表すことがある。
上に示した3次元デカルト座標系での成分については、
σ_xy=σ_yx,σ_yz=σ_zy,σ_zx=σ_xz
が成り立ち、応力テンソルσの独立な成分は6成分となることがわかる。
この性質のため、固体物性やCAEなどの分野では、独立な6成分を並べてベクトルとする表記がしばしば用いられる。これをフォークト表記 (Voigt notation)という[6]。
J1、J2、J3は、ある応力状態において座標系に関わらず常に一定値となるので応力不変量(stress invariant)と総称される。それぞれ第一次応力不変量、第二次応力不変量、第三次応力不変量と呼ぶ[11]。第一次応力普遍量、第三次応力不変量は、それぞれ応力テンソルの跡、行列式に等しい。
(引用終り)
以上
521１３２人目の素数さん
2020/09/20(日) 20:13:47.30ID:Xq8NqmL2 >>519
＞応力テンソルは、3次元デカルト座標系で行列表示を持ち、
＞実は独立なのは6成分のみです
＞一方、3x3の正方行列は、9成分独立に取れます。
＞ですから、応力テンソルでない3x3正方行列が存在します。
＞さて、行列式は、3x3の正方行列に対して常に計算できます。
＞また、行列表示された応力テンソルに対しても、常に計算できます。
＞この文脈で、「テンソルは行列ではない」と言われます
なんかスゲェ🐎🦌な発言ｷﾀ――(ﾟ∀ﾟ)――!!
応力テンソルは対称テンソルですね
で、もし対称じゃないからテンソルじゃない
とかいったら完全な🐎🦌発言ですねｗ
さらに、行列式を「行列から数への関数」と誤解してますね
全く違いますよ
「列ベクトルの組から数への関数」ですから
「え、行列と列ベクトルの組って同じじゃないの？」
というなら、そいつは完全な🐎🦌ですｗ
行列から数への関数なら、引数は行列１つでしょ？
列ベクトルの組というなら、引数は列ベクトル複数個です
ｎ×ｎの行列の行列式というのは、
実はｎ個のｎ次元列ベクトルから数への関数です
だから「多重」線型写像
つまり一つ一つの列ベクトルについて
線型性を満たす必要がある
行列一個に対して、線形性を満たすわけではない！
＞応力テンソルは、3次元デカルト座標系で行列表示を持ち、
＞実は独立なのは6成分のみです
＞一方、3x3の正方行列は、9成分独立に取れます。
＞ですから、応力テンソルでない3x3正方行列が存在します。
＞さて、行列式は、3x3の正方行列に対して常に計算できます。
＞また、行列表示された応力テンソルに対しても、常に計算できます。
＞この文脈で、「テンソルは行列ではない」と言われます
なんかスゲェ🐎🦌な発言ｷﾀ――(ﾟ∀ﾟ)――!!
応力テンソルは対称テンソルですね
で、もし対称じゃないからテンソルじゃない
とかいったら完全な🐎🦌発言ですねｗ
さらに、行列式を「行列から数への関数」と誤解してますね
全く違いますよ
「列ベクトルの組から数への関数」ですから
「え、行列と列ベクトルの組って同じじゃないの？」
というなら、そいつは完全な🐎🦌ですｗ
行列から数への関数なら、引数は行列１つでしょ？
列ベクトルの組というなら、引数は列ベクトル複数個です
ｎ×ｎの行列の行列式というのは、
実はｎ個のｎ次元列ベクトルから数への関数です
だから「多重」線型写像
つまり一つ一つの列ベクトルについて
線型性を満たす必要がある
行列一個に対して、線形性を満たすわけではない！
522１３２人目の素数さん
2020/09/20(日) 20:15:42.19ID:Xq8NqmL2 蛇足
ところで３×３の行列で、反対称なら、独立な成分の数は３つです(￣ー￣)ﾆﾔﾘ
ところで３×３の行列で、反対称なら、独立な成分の数は３つです(￣ー￣)ﾆﾔﾘ
523１３２人目の素数さん
2020/09/20(日) 20:24:01.44ID:Xq8NqmL2 ３×３の反対称テンソルδの場合
・δ_xx,δ_yy,δ_zzは0
・δ_xy=－δ_yx,δ_yz=－δ_zy,δ_zx=－δ_xz
であるから、独立な成分の数は３つ
さて、問題
３×３×３の反対称テンソルの独立成分はいくつ？
・δ_xx,δ_yy,δ_zzは0
・δ_xy=－δ_yx,δ_yz=－δ_zy,δ_zx=－δ_xz
であるから、独立な成分の数は３つ
さて、問題
３×３×３の反対称テンソルの独立成分はいくつ？
524現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/20(日) 23:44:51.58ID:w0R3FJMo sage
525１３２人目の素数さん
2020/09/21(月) 06:10:06.99ID:ygseaWNf526現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/21(月) 07:12:06.52ID:THwyOeaW >>502 補足
>下記の”uylindaun71の日記 2020-05-14 テンソル 行列 違い”
>この人、機械学習のソフトウェアライブラリのテンソルと、連続体のテンソルが別物だってこと気付いていない
くどいが、補足 >>477より
21世紀の現代社会の”テンソル”は、大きく３種ある
１．AI数学の単なる数の多次元配列を、コンピュータ内の処理として扱うための道具（これは最近出てきた）
２．物理のテンソル：代表例が３次元弾性力学の応力テンソルと、アインシュタインの一般性相対性理論の４次元時空のテンソル（最古の概念はこれ）
３．抽象代数学のテンソル：多重線形
(引用終り)
この３つは、ある視点（切り口）では共通点もあるが、一方ある視点（切り口）では別物と理解する方が、良い面もあるのです（＾＾；
１のAIのテンソルは、単に多次元の数の配列です。下記、Chainer Tutorialが良い。著者 得居 誠也氏は、東大数学科だから、数学の内容は信頼できる
間違って、２の物理のテンソルや、３の抽象代数学のテンソルに、深入りしないこと。深入りしても、得られるものは少ない
２の物理のテンソルや、３の抽象代数学のテンソルは、コンピュータ計算に乗せる話は、殆ど無いから
２の物理のテンソルの人も、間違って、３の抽象代数学のテンソルに深入りしても、得られるものは少ない
３の抽象代数学のテンソルは、具体的なテンソルの成分計算をしない方向で議論を抽象化しているし、物理との接点が薄くなっている
３の抽象代数学の人は、教養として、軽く１や２のテンソルを学んでおくのは、良いと思う
抽象的な議論の裏にある具体例を知っておくことは、悪くない
つづく
>下記の”uylindaun71の日記 2020-05-14 テンソル 行列 違い”
>この人、機械学習のソフトウェアライブラリのテンソルと、連続体のテンソルが別物だってこと気付いていない
くどいが、補足 >>477より
21世紀の現代社会の”テンソル”は、大きく３種ある
１．AI数学の単なる数の多次元配列を、コンピュータ内の処理として扱うための道具（これは最近出てきた）
２．物理のテンソル：代表例が３次元弾性力学の応力テンソルと、アインシュタインの一般性相対性理論の４次元時空のテンソル（最古の概念はこれ）
３．抽象代数学のテンソル：多重線形
(引用終り)
この３つは、ある視点（切り口）では共通点もあるが、一方ある視点（切り口）では別物と理解する方が、良い面もあるのです（＾＾；
１のAIのテンソルは、単に多次元の数の配列です。下記、Chainer Tutorialが良い。著者 得居 誠也氏は、東大数学科だから、数学の内容は信頼できる
間違って、２の物理のテンソルや、３の抽象代数学のテンソルに、深入りしないこと。深入りしても、得られるものは少ない
２の物理のテンソルや、３の抽象代数学のテンソルは、コンピュータ計算に乗せる話は、殆ど無いから
２の物理のテンソルの人も、間違って、３の抽象代数学のテンソルに深入りしても、得られるものは少ない
３の抽象代数学のテンソルは、具体的なテンソルの成分計算をしない方向で議論を抽象化しているし、物理との接点が薄くなっている
３の抽象代数学の人は、教養として、軽く１や２のテンソルを学んでおくのは、良いと思う
抽象的な議論の裏にある具体例を知っておくことは、悪くない
つづく
527現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/21(月) 07:17:39.70ID:THwyOeaW528現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/21(月) 07:27:20.82ID:THwyOeaW >>526 補足
> ２．物理のテンソル：代表例が３次元弾性力学の応力テンソルと、アインシュタインの一般性相対性理論の４次元時空のテンソル（最古の概念はこれ）
物理のテンソルの概念が、一番古いってことです
２．物理のテンソル→３．抽象代数学のテンソル→１．AI数学の単なる数の多次元配列のテンソル
という順番です
”１．AI数学の単なる数の多次元配列のテンソル”なんて、だれでも思い付く
けれども、コンピュータ処理が時代には、あまり意味がない
古典数学は、紙とエンピツと言いますが、多次元配列は二次元の紙には書けない
コンピュータ処理で、多次元配列の数が扱える
というか、ビッグデータを扱うには、多次元配列にした方が良い
そういうことで、多次元配列を考えて、”テンソル”というちょっと格好良い名前を借用したのでしょう（＾＾；
> ２．物理のテンソル：代表例が３次元弾性力学の応力テンソルと、アインシュタインの一般性相対性理論の４次元時空のテンソル（最古の概念はこれ）
物理のテンソルの概念が、一番古いってことです
２．物理のテンソル→３．抽象代数学のテンソル→１．AI数学の単なる数の多次元配列のテンソル
という順番です
”１．AI数学の単なる数の多次元配列のテンソル”なんて、だれでも思い付く
けれども、コンピュータ処理が時代には、あまり意味がない
古典数学は、紙とエンピツと言いますが、多次元配列は二次元の紙には書けない
コンピュータ処理で、多次元配列の数が扱える
というか、ビッグデータを扱うには、多次元配列にした方が良い
そういうことで、多次元配列を考えて、”テンソル”というちょっと格好良い名前を借用したのでしょう（＾＾；
529現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/21(月) 07:29:46.48ID:THwyOeaW >>528 タイポ訂正
けれども、コンピュータ処理が時代には、あまり意味がない
↓
けれども、コンピュータ処理がない時代には、あまり意味がない
失礼しました（＾＾；
けれども、コンピュータ処理が時代には、あまり意味がない
↓
けれども、コンピュータ処理がない時代には、あまり意味がない
失礼しました（＾＾；
530１３２人目の素数さん
2020/09/21(月) 08:04:29.75ID:ygseaWNf >>526
＞１．AI数学の単なる数の多次元配列を、
＞ コンピュータ内の処理として扱うための道具（これは最近出てきた）
＞１のAIのテンソルは、単に多次元の数の配列です。
＞Chainer Tutorialが良い。
＞著者 得居 誠也氏は、東大数学科だから、数学の内容は信頼できる
上記著者の「深層ニューラルネットの積分表現理論」
という論文には「抽象代数学」のテンソルがでてくるぞ
読め
＞１．AI数学の単なる数の多次元配列を、
＞ コンピュータ内の処理として扱うための道具（これは最近出てきた）
＞１のAIのテンソルは、単に多次元の数の配列です。
＞Chainer Tutorialが良い。
＞著者 得居 誠也氏は、東大数学科だから、数学の内容は信頼できる
上記著者の「深層ニューラルネットの積分表現理論」
という論文には「抽象代数学」のテンソルがでてくるぞ
読め
531１３２人目の素数さん
2020/09/21(月) 08:09:23.28ID:ygseaWNf >>527
＞なお、「行列式はテンソルです」だけは、ダメです
ダメ＝一意的に定められない、という意味か？
「n×nの行列式は、
n次元ベクトルn個の組からスカラーへの反対称的な多重線型写像であって
n次元ベクトルの相異なる基底n個の組のカラー値が1もしくは-1となるもの」
とすればほぼ十分だろう
これ、線形代数の常識な 覚えとけ
＞なお、「行列式はテンソルです」だけは、ダメです
ダメ＝一意的に定められない、という意味か？
「n×nの行列式は、
n次元ベクトルn個の組からスカラーへの反対称的な多重線型写像であって
n次元ベクトルの相異なる基底n個の組のカラー値が1もしくは-1となるもの」
とすればほぼ十分だろう
これ、線形代数の常識な 覚えとけ
532１３２人目の素数さん
2020/09/21(月) 08:19:40.01ID:ygseaWNf >>528
＞物理のテンソルの概念が、一番古いってことです
＞２．物理のテンソル→３．抽象代数学のテンソル→１．AI数学の単なる数の多次元配列のテンソル
＞という順番です
実は、
３．抽象代数学→２．物理→１．AI
な
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB
「テンソルという言葉は、1846年にウィリアム・ローワン・ハミルトンによって
特定の種類の代数系(やがてクリフォード代数として知られるようになる)における
ノルム操作を記述するために導入された。
現在の意味で使われるようになったのは
1899年のヴォルデマール・フォークトからである。」
ま、19世紀はグラスマン代数だのクリフォード代数だのといった
抽象代数が生まれた時代でもあった
外積代数（グラスマン代数）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%96%E7%A9%8D%E4%BB%A3%E6%95%B0
クリフォード代数
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%BC%E3%83%89%E4%BB%A3%E6%95%B0
＞物理のテンソルの概念が、一番古いってことです
＞２．物理のテンソル→３．抽象代数学のテンソル→１．AI数学の単なる数の多次元配列のテンソル
＞という順番です
実は、
３．抽象代数学→２．物理→１．AI
な
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB
「テンソルという言葉は、1846年にウィリアム・ローワン・ハミルトンによって
特定の種類の代数系(やがてクリフォード代数として知られるようになる)における
ノルム操作を記述するために導入された。
現在の意味で使われるようになったのは
1899年のヴォルデマール・フォークトからである。」
ま、19世紀はグラスマン代数だのクリフォード代数だのといった
抽象代数が生まれた時代でもあった
外積代数（グラスマン代数）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%96%E7%A9%8D%E4%BB%A3%E6%95%B0
クリフォード代数
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%BC%E3%83%89%E4%BB%A3%E6%95%B0
533１３２人目の素数さん
2020/09/21(月) 08:26:03.47ID:ygseaWNf >>528
＞…多次元配列は二次元の紙には書けない
＞コンピュータ処理で、多次元配列の数が扱える
＞…ビッグデータを扱うには、多次元配列にした方が良い
＞そういうことで、多次元配列を考えて、
＞”テンソル”というちょっと格好良い名前を借用したのでしょう
今日、サイテーの🐎🦌発言ｷﾀ――(ﾟ∀ﾟ)――!!
>>530で紹介した論文に、数学におけるテンソルがバッチリでてくるので
「高卒🐎🦌のボクちゃんには理解不能な
多重線形性とかいう概念とは全く無関係の
ただの多次元配列」
という嘘は、この瞬間、完全否定
御愁傷様
自分の名前すら漢字で正しく書けず
Fラン大学にも入れなかった
工業高校卒の🐎🦌◆yH25M02vWFhP
＞…多次元配列は二次元の紙には書けない
＞コンピュータ処理で、多次元配列の数が扱える
＞…ビッグデータを扱うには、多次元配列にした方が良い
＞そういうことで、多次元配列を考えて、
＞”テンソル”というちょっと格好良い名前を借用したのでしょう
今日、サイテーの🐎🦌発言ｷﾀ――(ﾟ∀ﾟ)――!!
>>530で紹介した論文に、数学におけるテンソルがバッチリでてくるので
「高卒🐎🦌のボクちゃんには理解不能な
多重線形性とかいう概念とは全く無関係の
ただの多次元配列」
という嘘は、この瞬間、完全否定
御愁傷様
自分の名前すら漢字で正しく書けず
Fラン大学にも入れなかった
工業高校卒の🐎🦌◆yH25M02vWFhP
534現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/21(月) 09:25:19.75ID:THwyOeaW >>530
>上記著者の「深層ニューラルネットの積分表現理論」
>という論文には「抽象代数学」のテンソルがでてくるぞ
うむ
彼は、東京大学情報理工学系研究科の博士課程にも在籍していますとあるので
DR論文ネタの投稿かな（＾＾；
別におれの言っていることも間違っては居ないぞ（＾＾
https://www.beam2d.net/ja/#:~:text=%E5%BE%97%E5%B1%85%20%E8%AA%A0%E4%B9%9F
得居 誠也
東京大学情報理工学系研究科の博士課程にも在籍しています．
東京大学 情報理工学系研究科 コンピュータ科学専攻 (2016/4 ? 現在)
指導教員：佐藤一誠 講師
https://techplay.jp/column/1207
TECH PLAY
深層学習フレームワークで世界に伍して闘った、その先見性とは？ ──SOCIAL TECH PLAYER賞は「Chainer」開発チーム
インタビュー
2020/07/22
2019年12月、Preferred Networksは、開発の基盤技術である深層学習フレームワークを自社開発した「Chainer」から、Facebookが開発した「PyTorch」に移行することを発表した。TECH PLAYER AWARD 2020審査員は、Chainerが深層学習技術にもたらした功績と、基盤技術を移行する決断を高く評価。「SOCIAL TECH PLAYER 賞」に選出した。
https://s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/s3.techplay.jp/tp-images/column/1/31c8da5bbfe52073c0aa8b977eb26220f45f07ca.png
▲Chainerが日経優秀製品・サービス賞2018で日本経済新聞賞を受賞した当時のChainer開発チーム
>上記著者の「深層ニューラルネットの積分表現理論」
>という論文には「抽象代数学」のテンソルがでてくるぞ
うむ
彼は、東京大学情報理工学系研究科の博士課程にも在籍していますとあるので
DR論文ネタの投稿かな（＾＾；
別におれの言っていることも間違っては居ないぞ（＾＾
https://www.beam2d.net/ja/#:~:text=%E5%BE%97%E5%B1%85%20%E8%AA%A0%E4%B9%9F
得居 誠也
東京大学情報理工学系研究科の博士課程にも在籍しています．
東京大学 情報理工学系研究科 コンピュータ科学専攻 (2016/4 ? 現在)
指導教員：佐藤一誠 講師
https://techplay.jp/column/1207
TECH PLAY
深層学習フレームワークで世界に伍して闘った、その先見性とは？ ──SOCIAL TECH PLAYER賞は「Chainer」開発チーム
インタビュー
2020/07/22
2019年12月、Preferred Networksは、開発の基盤技術である深層学習フレームワークを自社開発した「Chainer」から、Facebookが開発した「PyTorch」に移行することを発表した。TECH PLAYER AWARD 2020審査員は、Chainerが深層学習技術にもたらした功績と、基盤技術を移行する決断を高く評価。「SOCIAL TECH PLAYER 賞」に選出した。
https://s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/s3.techplay.jp/tp-images/column/1/31c8da5bbfe52073c0aa8b977eb26220f45f07ca.png
▲Chainerが日経優秀製品・サービス賞2018で日本経済新聞賞を受賞した当時のChainer開発チーム
535Dan Shirley
2020/09/21(月) 10:05:14.77ID:ygseaWNf >>533
＞別におれの言っていることも間違っては居ないぞ
なにいったっけ？ｗ
中身がないから「間違ってすらいない」よな
もう高卒の🐎🦌が見栄張るなよ みっともないから
おまえ、断捨離な 数学から一切縁切れｗ
＞別におれの言っていることも間違っては居ないぞ
なにいったっけ？ｗ
中身がないから「間違ってすらいない」よな
もう高卒の🐎🦌が見栄張るなよ みっともないから
おまえ、断捨離な 数学から一切縁切れｗ
536現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/21(月) 10:14:13.91ID:THwyOeaW >>534
>>上記著者の「深層ニューラルネットの積分表現理論」
>>という論文には「抽象代数学」のテンソルがでてくるぞ
>彼は、東京大学情報理工学系研究科の博士課程にも在籍していますとあるので
>DR論文ネタの投稿かな（＾＾；
多分、得居 誠也氏は、”Chainer”ネタでDR論文を書こうとしていると思うが
「Chainer 作りました」だけでは、DR論文にならない
もっと、学問チックにしないとね
そのために、”「抽象代数学」のテンソル”を使いたいのだろうね
で、”「抽象代数学」のテンソル”を使って、学問チックなお化粧をする
だが、それは無駄ではないと思う
”「抽象代数学」のテンソル”を使って、学問チックなお化粧をすることが、基礎理論の深化を促し
次の発展に繋がると思うな（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/Chainer
Chainer
Chainer (チェイナー) は、ニューラルネットワークの計算および学習を行うためのオープンソースのソフトウェアライブラリである。バックプロパゲーションに必要なデータ構造をプログラムの実行時に動的に生成する特徴があり[4]、複雑なニューラルネットワークの構築を必要とするディープラーニング（深層学習)で用いられる[3][1]。Python 2.x系および3.x系から利用でき[要出典]、GPUによる演算をサポートしている[3][5]。株式会社Preferred Networks（PFN）からリリースされている[5][1]。2019年12月5日、開発元のPFNは今後はChainerから、Facebookが主導して開発しているPyTorchに順次移行すると発表した[1]。
概要
Chainerは"define-by-run"というモデル設計手法を取り入れた深層学習のフレームワークの先駆けで、後発のPyTorchなどにも大きな影響を与えた[1]。Preferred Networks（PFN）が日本の機械学習系のベンチャー企業であることから、日本語の関連資料が多いという特徴がある[5]。
つづく
>>上記著者の「深層ニューラルネットの積分表現理論」
>>という論文には「抽象代数学」のテンソルがでてくるぞ
>彼は、東京大学情報理工学系研究科の博士課程にも在籍していますとあるので
>DR論文ネタの投稿かな（＾＾；
多分、得居 誠也氏は、”Chainer”ネタでDR論文を書こうとしていると思うが
「Chainer 作りました」だけでは、DR論文にならない
もっと、学問チックにしないとね
そのために、”「抽象代数学」のテンソル”を使いたいのだろうね
で、”「抽象代数学」のテンソル”を使って、学問チックなお化粧をする
だが、それは無駄ではないと思う
”「抽象代数学」のテンソル”を使って、学問チックなお化粧をすることが、基礎理論の深化を促し
次の発展に繋がると思うな（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/Chainer
Chainer
Chainer (チェイナー) は、ニューラルネットワークの計算および学習を行うためのオープンソースのソフトウェアライブラリである。バックプロパゲーションに必要なデータ構造をプログラムの実行時に動的に生成する特徴があり[4]、複雑なニューラルネットワークの構築を必要とするディープラーニング（深層学習)で用いられる[3][1]。Python 2.x系および3.x系から利用でき[要出典]、GPUによる演算をサポートしている[3][5]。株式会社Preferred Networks（PFN）からリリースされている[5][1]。2019年12月5日、開発元のPFNは今後はChainerから、Facebookが主導して開発しているPyTorchに順次移行すると発表した[1]。
概要
Chainerは"define-by-run"というモデル設計手法を取り入れた深層学習のフレームワークの先駆けで、後発のPyTorchなどにも大きな影響を与えた[1]。Preferred Networks（PFN）が日本の機械学習系のベンチャー企業であることから、日本語の関連資料が多いという特徴がある[5]。
つづく
537現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/21(月) 10:16:39.49ID:THwyOeaW >>536
つづき
開発元のPFNは2019年12月5日、フレームワーク開発を終了してChainerはメンテナンスフェーズへ移行すること、自社はChainerからFacebookが主導するPyTorchに順次移行することを発表した[1]。
https://tech.preferred.jp/ja/blog/deep-learning-chainer/
2015.06.09
Deep Learning のフレームワーク Chainer を公開しました
得居です。
なぜ今新しいフレームワーク？
Deep Learning のフレームワークとしては Caffe, Theano/Pylearn2, Torch7 の 3 つが人気です。これらはフィードフォワードなネットワークを書くことが基本的な目標として開発されています。ですが、最近では Deep Learning の進展に伴い、より複雑なネットワークを柔軟に書けることの必要性が高まっています。そこで、この中でも特に自由度が高い Theano をベースに、新しいフレームワークがたくさん模索されています（例：Blocks, Keras, Lasagne, deepy など）。
Chainer はこれとは異なるアプローチを取ります。Python をベースとしていますが、Theano は使いません。制御構造はすべて Python のものがそのままつかえます。Chainer は、実際に Python のコードを用いて入力配列に何の処理が適用されたかだけを記憶しておき、それを誤差逆伝播の実行に使います。このアプローチは、複雑化していく Deep Learning の研究・開発速度を保つために必要だと考えており、私たちが新しいフレームワークの開発に乗り出した理由です。
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sicejl/58/5/58_387/_article/-char/ja/
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sicejl/58/5/58_387/_pdf/-char/ja
計測と制御/58 巻 (2019)
リレー解説 機械学習の可能性
《第2回》機械学習と開発環境：深層学習フレームワークの動向 鈴木 亮太
Define and Run/Define by Run
Define by Run 実行初期はニューロン間のシナプ
スは張られていない．コードに従ってニューロン間にデー
タが流れることでリンクが定義され，従ってネットワー
クが動的に構築される．データによってネットワーク構
造が変わる Recursive Neural Network や，再帰リンク
をもつ Recurrent Neural Network (RNN) を真に実装
可能である．
3. フレームワーク比較
(引用終り)
以上
つづき
開発元のPFNは2019年12月5日、フレームワーク開発を終了してChainerはメンテナンスフェーズへ移行すること、自社はChainerからFacebookが主導するPyTorchに順次移行することを発表した[1]。
https://tech.preferred.jp/ja/blog/deep-learning-chainer/
2015.06.09
Deep Learning のフレームワーク Chainer を公開しました
得居です。
なぜ今新しいフレームワーク？
Deep Learning のフレームワークとしては Caffe, Theano/Pylearn2, Torch7 の 3 つが人気です。これらはフィードフォワードなネットワークを書くことが基本的な目標として開発されています。ですが、最近では Deep Learning の進展に伴い、より複雑なネットワークを柔軟に書けることの必要性が高まっています。そこで、この中でも特に自由度が高い Theano をベースに、新しいフレームワークがたくさん模索されています（例：Blocks, Keras, Lasagne, deepy など）。
Chainer はこれとは異なるアプローチを取ります。Python をベースとしていますが、Theano は使いません。制御構造はすべて Python のものがそのままつかえます。Chainer は、実際に Python のコードを用いて入力配列に何の処理が適用されたかだけを記憶しておき、それを誤差逆伝播の実行に使います。このアプローチは、複雑化していく Deep Learning の研究・開発速度を保つために必要だと考えており、私たちが新しいフレームワークの開発に乗り出した理由です。
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sicejl/58/5/58_387/_article/-char/ja/
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sicejl/58/5/58_387/_pdf/-char/ja
計測と制御/58 巻 (2019)
リレー解説 機械学習の可能性
《第2回》機械学習と開発環境：深層学習フレームワークの動向 鈴木 亮太
Define and Run/Define by Run
Define by Run 実行初期はニューロン間のシナプ
スは張られていない．コードに従ってニューロン間にデー
タが流れることでリンクが定義され，従ってネットワー
クが動的に構築される．データによってネットワーク構
造が変わる Recursive Neural Network や，再帰リンク
をもつ Recurrent Neural Network (RNN) を真に実装
可能である．
3. フレームワーク比較
(引用終り)
以上
538現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/21(月) 17:40:51.96ID:THwyOeaW >>530
>＞著者 得居 誠也氏は、東大数学科だから、数学の内容は信頼できる
>上記著者の「深層ニューラルネットの積分表現理論」
>という論文には「抽象代数学」のテンソルがでてくるぞ
違うな。それは
「深層ニューラルネットの積分表現理論」は、下記の早稲田 園田翔氏のDR論文だな
テンソルは、5箇所に出てくる
最初の3箇所は、第3 章数学的準備のところで、超関数と拡散方程式の話
多次元空間の拡散方程式のために、テンソルを準備している
超関数は、拡散方程式が偏微分方程式なので、弱解を使うための準備
（別に、抽象数学のテンソル積を明示的に使う話でもない）
後の2箇所は、深層ニューラルネットの理論で、
DAE：denoising autoencoder デノイジング・オートエンコーダー
のDAE を輸送写像とみなす方法で，積分表現に関連して出てくるテンソル
上記の拡散方程式に関連している話
なお、論文本体よりも、付録のP155 付録B 背景知識 がよく纏まっている
”P171 B.1.8 情報理論小史”は、秀抜。種本がある気もするが、一読の価値ありだな（＾＾
これ、あんたには読めないだろうな。おれも読めないが（＾＾；
あなたには、もっとね。おれは、”付録B 背景知識”は、よく書けていると思ったぜ
（参考）
https://core.ac.uk/download/pdf/286956562.pdf
深層ニューラルネットの積分表現理論 2017 年 2 月 園田翔
早稲・大学大学院先進理工学研究科
電気・情報生命専攻 情報学習システム研究
つづく
>＞著者 得居 誠也氏は、東大数学科だから、数学の内容は信頼できる
>上記著者の「深層ニューラルネットの積分表現理論」
>という論文には「抽象代数学」のテンソルがでてくるぞ
違うな。それは
「深層ニューラルネットの積分表現理論」は、下記の早稲田 園田翔氏のDR論文だな
テンソルは、5箇所に出てくる
最初の3箇所は、第3 章数学的準備のところで、超関数と拡散方程式の話
多次元空間の拡散方程式のために、テンソルを準備している
超関数は、拡散方程式が偏微分方程式なので、弱解を使うための準備
（別に、抽象数学のテンソル積を明示的に使う話でもない）
後の2箇所は、深層ニューラルネットの理論で、
DAE：denoising autoencoder デノイジング・オートエンコーダー
のDAE を輸送写像とみなす方法で，積分表現に関連して出てくるテンソル
上記の拡散方程式に関連している話
なお、論文本体よりも、付録のP155 付録B 背景知識 がよく纏まっている
”P171 B.1.8 情報理論小史”は、秀抜。種本がある気もするが、一読の価値ありだな（＾＾
これ、あんたには読めないだろうな。おれも読めないが（＾＾；
あなたには、もっとね。おれは、”付録B 背景知識”は、よく書けていると思ったぜ
（参考）
https://core.ac.uk/download/pdf/286956562.pdf
深層ニューラルネットの積分表現理論 2017 年 2 月 園田翔
早稲・大学大学院先進理工学研究科
電気・情報生命専攻 情報学習システム研究
つづく
539現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/21(月) 17:41:35.57ID:THwyOeaW >>538
つづき
P34
第3 章数学的準備
3.3 一般の空間上の関数と超関数
◯xは（π ないしε の意味で）完備化したテンソル積をあらわす。
P48
3.11 拡散方程式
(aij) はC1 級正定値テンソル，bi, c はHolder 連続関数とする。
拡散係数をD(x, t) とするR
ここでD(x, t) は各点でC2 級かつ正定値対称なテンソルとする。
P12
本研究の結果は二つに分けられる：浅いニューラルネットの積分表現
理論と，深層ニューラルネットの積分表現理論である。浅いニューラル
ネットの理論では，ReLU と呼ばれる活性化関数に対応するように積分
表現理論を拡張し，ニューラルネットとRadon 変換およびウェーブレッ
ト変換との関係を詳らかにし，さらに積分表現を離散化してニューラル
ネットを学習する方法を提案した。
深層ニューラルネットの理論では，デノイジング・オートエンコーダー
（denoising autoencoder; DAE）と呼ばれるクラスに対して，DAE を輸送
写像とみなす方法で，積分表現を構成した。
P113
6.5.3 位相共役性
ただしa, b, c はそれぞれH に値をとるテンソルとし，縦ベクトルとみなす。
P114
ただしra,rb,rc はそれぞれrH に値をとるテンソルとする。
つづく
つづき
P34
第3 章数学的準備
3.3 一般の空間上の関数と超関数
◯xは（π ないしε の意味で）完備化したテンソル積をあらわす。
P48
3.11 拡散方程式
(aij) はC1 級正定値テンソル，bi, c はHolder 連続関数とする。
拡散係数をD(x, t) とするR
ここでD(x, t) は各点でC2 級かつ正定値対称なテンソルとする。
P12
本研究の結果は二つに分けられる：浅いニューラルネットの積分表現
理論と，深層ニューラルネットの積分表現理論である。浅いニューラル
ネットの理論では，ReLU と呼ばれる活性化関数に対応するように積分
表現理論を拡張し，ニューラルネットとRadon 変換およびウェーブレッ
ト変換との関係を詳らかにし，さらに積分表現を離散化してニューラル
ネットを学習する方法を提案した。
深層ニューラルネットの理論では，デノイジング・オートエンコーダー
（denoising autoencoder; DAE）と呼ばれるクラスに対して，DAE を輸送
写像とみなす方法で，積分表現を構成した。
P113
6.5.3 位相共役性
ただしa, b, c はそれぞれH に値をとるテンソルとし，縦ベクトルとみなす。
P114
ただしra,rb,rc はそれぞれrH に値をとるテンソルとする。
つづく
540現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/21(月) 17:41:59.03ID:THwyOeaW >>539
つづき
P155
付録B 背景知識
ニューラルネットの中ではどのように情報を表現し，処
理しているのだろうか。この問題を理解するために，情報やデータ表現
について整理する。また，ニューラルネットはどのように設計すべきか。
この問題を理解するために，複雑性やモデル選択について整理する。そ
して，ニューラルネットの中では，どのように秩序が形成されているの
だろうか。この問題をアナロジーとして理解するために，水と油が分離
する原理の考え方を整理する。
B.1 情報とは何か
Shannon 情報量（エントロピー）
B.1.2 情報理論における情報
B.1.3 統計学における情報
データ，情報，知識
B.1.5 集合代数としての情報
B.1.7 情報の意味と価値
意思決定
P171
B.1.8 情報理論小史
B.2 データ表現の観点
B.2.2 単射性，忠実性，モノ
B.2.3 全射性，十分性，エピ
B.3 複雑性の測り方
B.4 モデル選択の考え方
B.5 水と油はなぜ分離するか
(引用終り)
以上
つづき
P155
付録B 背景知識
ニューラルネットの中ではどのように情報を表現し，処
理しているのだろうか。この問題を理解するために，情報やデータ表現
について整理する。また，ニューラルネットはどのように設計すべきか。
この問題を理解するために，複雑性やモデル選択について整理する。そ
して，ニューラルネットの中では，どのように秩序が形成されているの
だろうか。この問題をアナロジーとして理解するために，水と油が分離
する原理の考え方を整理する。
B.1 情報とは何か
Shannon 情報量（エントロピー）
B.1.2 情報理論における情報
B.1.3 統計学における情報
データ，情報，知識
B.1.5 集合代数としての情報
B.1.7 情報の意味と価値
意思決定
P171
B.1.8 情報理論小史
B.2 データ表現の観点
B.2.2 単射性，忠実性，モノ
B.2.3 全射性，十分性，エピ
B.3 複雑性の測り方
B.4 モデル選択の考え方
B.5 水と油はなぜ分離するか
(引用終り)
以上
541現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/21(月) 17:46:04.31ID:THwyOeaW >>538
得居 誠也氏の記事では、下記があったな
解説記事だが
これ分り易いな（＾＾
http://www.orsj.or.jp/archive2/or60-4/or60_4_191.pdf
オペレーションズ・リサーチ
最適化から見たディープラーニングの考え方 得居 誠也 2015 年 4 月号
機械学習において，人手で設計した特徴量にもとづく手法が性能の限界を迎えつつあるなか，計算機性能
の進歩とデータセットの大規模化によって，深層学習（ディープラーニング）は圧倒的な認識性能を次々に
叩き出し，産業界を巻き込み注目を集めている．本稿では，教師あり学習とニューラルネットの基本的な定
式化からはじめ，深層学習において高い性能を実現するための最適化，モデリング，正則化の技術について
広く紹介する．
得居 誠也氏の記事では、下記があったな
解説記事だが
これ分り易いな（＾＾
http://www.orsj.or.jp/archive2/or60-4/or60_4_191.pdf
オペレーションズ・リサーチ
最適化から見たディープラーニングの考え方 得居 誠也 2015 年 4 月号
機械学習において，人手で設計した特徴量にもとづく手法が性能の限界を迎えつつあるなか，計算機性能
の進歩とデータセットの大規模化によって，深層学習（ディープラーニング）は圧倒的な認識性能を次々に
叩き出し，産業界を巻き込み注目を集めている．本稿では，教師あり学習とニューラルネットの基本的な定
式化からはじめ，深層学習において高い性能を実現するための最適化，モデリング，正則化の技術について
広く紹介する．
542現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/21(月) 17:48:43.98ID:THwyOeaW >>541 補足
テンソルは、一箇所のみ
P195
図 5 畳み込み層の概略図．入力と出力はともに 3 階のテ
ンソルで表される．テンソルの各軸は，画像の縦・横
方向およびチャンネルの種類に対応する．各チャン
ネルは，入力がカラー画像なら R，G，B に対応し，
中間層ではその位置における何らかの特徴を表す．畳
み込み演算は，入力の各矩形をベクトルに展開し，そ
れぞれに同じ重み行列 W を作用させ，位置ごとに
ベクトルを出力する．
(引用終り)
と出てくる。抽象的なテンソルは無いぜ！（＾＾；
テンソルは、一箇所のみ
P195
図 5 畳み込み層の概略図．入力と出力はともに 3 階のテ
ンソルで表される．テンソルの各軸は，画像の縦・横
方向およびチャンネルの種類に対応する．各チャン
ネルは，入力がカラー画像なら R，G，B に対応し，
中間層ではその位置における何らかの特徴を表す．畳
み込み演算は，入力の各矩形をベクトルに展開し，そ
れぞれに同じ重み行列 W を作用させ，位置ごとに
ベクトルを出力する．
(引用終り)
と出てくる。抽象的なテンソルは無いぜ！（＾＾；
543Dan Shirley
2020/09/21(月) 20:15:51.59ID:ygseaWNf >>538
＞これ、あんたには読めないだろうな。おれも読めないが
大学にも受からん高卒の貴様に読めるわけないだろ
おれには読める！どうだクヤシイか？
数学板は貴様のような馬鹿の来るところじゃない
失せろ！永遠に来るな！！この大🐎🦌野郎！！！
＞これ、あんたには読めないだろうな。おれも読めないが
大学にも受からん高卒の貴様に読めるわけないだろ
おれには読める！どうだクヤシイか？
数学板は貴様のような馬鹿の来るところじゃない
失せろ！永遠に来るな！！この大🐎🦌野郎！！！
544Dan Shirley
2020/09/21(月) 20:29:29.34ID:ygseaWNf545現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/22(火) 09:14:46.88ID:qkl/9znF >>543
>＞これ、あんたには読めないだろうな。おれも読めないが
あれれ、そのコメント
自分も、読めないことを認めたんだ～！ やれやれだなｗ（＾＾；
>>544
>＞抽象的なテンソルは無いぜ！
>多重線型性くらいで抽象的と泣き言云う歷は数学板から失せろ 永遠に！
あれれ、典型的な論点ずらしか？
AIのテンソルは、主として、得居 誠也氏の記事(>>541-542)にあるように
「テンソルの各軸は，画像の縦・横
方向およびチャンネルの種類に対応する．各チャン
ネルは，入力がカラー画像なら R，G，B に対応し，
中間層ではその位置における何らかの特徴を表す．」って話
つまり、単なるデジタル数字の多次元配列だってこと（>>526ご参照）
一方、抽象数学のテンソルの定義は、このような具体的な成分表示によらないって話し
やれやれ
要するに、あなた
「行列式はテンソルです」って、全然”テンソル”が分かってなかったってことを露呈したわけだ
（>>519ご参照）
シッタカしたつもりが、単にアホ晒しただけのこと
>＞これ、あんたには読めないだろうな。おれも読めないが
あれれ、そのコメント
自分も、読めないことを認めたんだ～！ やれやれだなｗ（＾＾；
>>544
>＞抽象的なテンソルは無いぜ！
>多重線型性くらいで抽象的と泣き言云う歷は数学板から失せろ 永遠に！
あれれ、典型的な論点ずらしか？
AIのテンソルは、主として、得居 誠也氏の記事(>>541-542)にあるように
「テンソルの各軸は，画像の縦・横
方向およびチャンネルの種類に対応する．各チャン
ネルは，入力がカラー画像なら R，G，B に対応し，
中間層ではその位置における何らかの特徴を表す．」って話
つまり、単なるデジタル数字の多次元配列だってこと（>>526ご参照）
一方、抽象数学のテンソルの定義は、このような具体的な成分表示によらないって話し
やれやれ
要するに、あなた
「行列式はテンソルです」って、全然”テンソル”が分かってなかったってことを露呈したわけだ
（>>519ご参照）
シッタカしたつもりが、単にアホ晒しただけのこと
546１３２人目の素数さん
2020/09/22(火) 14:48:50.48ID:jk08YZjf >>545
＞自分も、読めないことを認めたんだ～！
（肩を叩いて）
>>543のダン・シャーリー（断捨離のもじり？）の書き込み、
よく読もうね
「おれには読める！どうだクヤシイか？」
＞AIのテンソルは、・・・単なるデジタル数字の多次元配列だってこと
多重線型性について述べてないからといって、
多重線形性がないとはいえませんね
工学系の人は、数学の説明を端折りますから
数学の話がしたいわけじゃないしね
＞一方、抽象数学のテンソルの定義は、このような具体的な成分表示によらない
線型空間が有限次元なら成分表示できますよ
あなたが抽象数学のテンソルの定義を
全くわかってないからできないだけでしょ
例えば
「ｎ×ｎの行列の行列式は
ｎ組のｎ次元線型空間からスカラーへの反対称的な多重線型写像で
ｎ次元線型空間の基底をe1,…,enとしたとき
(e1,…,en)に対応する値を1とするもの」
とすれば、一意的に求まりますよ
こんなの、大学の線型代数の基本ですがね
（行列式が狭義の線形代数から逸脱している、という指摘はあるが
どうせベクトル解析で、外積とか外微分とかやるんだから
先取りしても別にかまわない）
＞自分も、読めないことを認めたんだ～！
（肩を叩いて）
>>543のダン・シャーリー（断捨離のもじり？）の書き込み、
よく読もうね
「おれには読める！どうだクヤシイか？」
＞AIのテンソルは、・・・単なるデジタル数字の多次元配列だってこと
多重線型性について述べてないからといって、
多重線形性がないとはいえませんね
工学系の人は、数学の説明を端折りますから
数学の話がしたいわけじゃないしね
＞一方、抽象数学のテンソルの定義は、このような具体的な成分表示によらない
線型空間が有限次元なら成分表示できますよ
あなたが抽象数学のテンソルの定義を
全くわかってないからできないだけでしょ
例えば
「ｎ×ｎの行列の行列式は
ｎ組のｎ次元線型空間からスカラーへの反対称的な多重線型写像で
ｎ次元線型空間の基底をe1,…,enとしたとき
(e1,…,en)に対応する値を1とするもの」
とすれば、一意的に求まりますよ
こんなの、大学の線型代数の基本ですがね
（行列式が狭義の線形代数から逸脱している、という指摘はあるが
どうせベクトル解析で、外積とか外微分とかやるんだから
先取りしても別にかまわない）
547現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/22(火) 15:47:12.88ID:qkl/9znF メモ
https://www.yomiuri.co.jp/world/20200920-OYT1T50032/
［ワールドビュー］中国先行のＡＩ 曲がり角…編集委員 石黒 穣 読売 2020/09/20
昆虫は、ピンの先ほどの小さな脳で多彩な行動をコントロールしている。
空や地面を動き回ってエサを探し、危険を察知すれば巧みに身をかわす。メスのフェロモンを頼りに隣町から飛来するオスもいる。
「何億年もの進化の過程で、多様な環境を生き抜く問題解決能力を手に入れたのが昆虫だ。ＡＩ（人工知能）でも難しいことをたやすくやってのける」
東大先端科学技術研究センター所長の神崎亮平教授は、敬意を込めて言う。
とりわけ昆虫が優れているのは、自然の様々な状況に対応するノウハウを誰からも教わらずに備えている点という。
対照的に、ＡＩでは人間が答えを与えないと始まらない。正解データを大量に入力してＡＩを鍛える手法は、今日のＡＩブームを支える中核技術の深層学習（ディープラーニング）の特徴でもある。
たとえば自動運転では、カメラに映る画像から歩行者や信号、対向車を識別するのに深層学習が使われる。まず何千枚、何万枚もの画像を用意し、映っているのが人なら人、車なら車、バイクならバイクと印をつけて、ＡＩに学習させていく。１枚ごとに向きや姿勢、服装がまちまちの人が映る画像を大量に学習させれば、どんな向きや姿勢でも人を人と識別できるようになる。
ＡＩに教え込むこの工程は、実は単純な手作業だ。パソコンをずらりと並べて人海戦術で行われることが多い。データ工場と呼ばれ、中国の地方都市などで続々と誕生している。
この深層学習が先導してきたＡＩ開発が曲がり角を迎えているといわれる。
国立情報学研究所の山田誠二教授は「ＡＩの大きな弱点は常識を学べないことだ。深層学習では克服できない」と語る。
常識とはしていいこと、いけないことを見極める能力だ。たとえば木の枝に腰掛けているとき、幹の近くをノコギリで切れば自分も一緒に落っこちる。人にとっては当たり前でも、機械に理解させるのは至難という。そんなレベルでは暴走が心配だ。先頭を行く中国は暴走を防ぐ手立てを用意しているだろうか。
世界では、深層学習の限界を踏まえた次の新技術を探る動きが盛んだ。日本が巻き返すチャンスもありそうだ。ちっぽけなサイズでＡＩにも劣らない昆虫の脳もヒントになる。
https://www.yomiuri.co.jp/world/20200920-OYT1T50032/
［ワールドビュー］中国先行のＡＩ 曲がり角…編集委員 石黒 穣 読売 2020/09/20
昆虫は、ピンの先ほどの小さな脳で多彩な行動をコントロールしている。
空や地面を動き回ってエサを探し、危険を察知すれば巧みに身をかわす。メスのフェロモンを頼りに隣町から飛来するオスもいる。
「何億年もの進化の過程で、多様な環境を生き抜く問題解決能力を手に入れたのが昆虫だ。ＡＩ（人工知能）でも難しいことをたやすくやってのける」
東大先端科学技術研究センター所長の神崎亮平教授は、敬意を込めて言う。
とりわけ昆虫が優れているのは、自然の様々な状況に対応するノウハウを誰からも教わらずに備えている点という。
対照的に、ＡＩでは人間が答えを与えないと始まらない。正解データを大量に入力してＡＩを鍛える手法は、今日のＡＩブームを支える中核技術の深層学習（ディープラーニング）の特徴でもある。
たとえば自動運転では、カメラに映る画像から歩行者や信号、対向車を識別するのに深層学習が使われる。まず何千枚、何万枚もの画像を用意し、映っているのが人なら人、車なら車、バイクならバイクと印をつけて、ＡＩに学習させていく。１枚ごとに向きや姿勢、服装がまちまちの人が映る画像を大量に学習させれば、どんな向きや姿勢でも人を人と識別できるようになる。
ＡＩに教え込むこの工程は、実は単純な手作業だ。パソコンをずらりと並べて人海戦術で行われることが多い。データ工場と呼ばれ、中国の地方都市などで続々と誕生している。
この深層学習が先導してきたＡＩ開発が曲がり角を迎えているといわれる。
国立情報学研究所の山田誠二教授は「ＡＩの大きな弱点は常識を学べないことだ。深層学習では克服できない」と語る。
常識とはしていいこと、いけないことを見極める能力だ。たとえば木の枝に腰掛けているとき、幹の近くをノコギリで切れば自分も一緒に落っこちる。人にとっては当たり前でも、機械に理解させるのは至難という。そんなレベルでは暴走が心配だ。先頭を行く中国は暴走を防ぐ手立てを用意しているだろうか。
世界では、深層学習の限界を踏まえた次の新技術を探る動きが盛んだ。日本が巻き返すチャンスもありそうだ。ちっぽけなサイズでＡＩにも劣らない昆虫の脳もヒントになる。
548現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/22(火) 15:51:18.03ID:qkl/9znF549１３２人目の素数さん
2020/09/22(火) 15:57:31.23ID:jk08YZjf >>548
キミ、他人をとやかくいう暇があったら
ＡＩの論文くらい読めるようになったほうがいいよ
数学的にはちっとも難しくないんだからさ
少なくともIUTよりは全然易しい
頑張ってみたら？
まずは線型代数からやり直そうな
いきなり佐武一郎とか読まないほうがいいよ
あれ、そもそも章立てが古いし
行列式から入ってるけど、あれは昔のスタイルだね
個人的には「アントンのやさしい線型代数」とかいいんじゃないかね？
この本で理解できたら、あとは佐武でもなんでも読んだらいいよ うん
キミ、他人をとやかくいう暇があったら
ＡＩの論文くらい読めるようになったほうがいいよ
数学的にはちっとも難しくないんだからさ
少なくともIUTよりは全然易しい
頑張ってみたら？
まずは線型代数からやり直そうな
いきなり佐武一郎とか読まないほうがいいよ
あれ、そもそも章立てが古いし
行列式から入ってるけど、あれは昔のスタイルだね
個人的には「アントンのやさしい線型代数」とかいいんじゃないかね？
この本で理解できたら、あとは佐武でもなんでも読んだらいいよ うん
550現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/22(火) 18:07:56.01ID:qkl/9znF >>538 補足
正直、この園田翔のDR論文はすぐには読めない
かなり、数学理論を勉強しながらでないとね（＾＾；
で
「今後の展望
学習機械の汎化誤差を近似誤差と推定誤差に分けて考え
る。近似誤差を評価するのは関数近似理論，推定誤差を評価するのは統計
学や学習理論である。積分表現理論は専ら関数近似の理論であり，デー
タの存在は希薄である。しかし今後は，統計的な解析にも取り組んでい
く必要がある。」
ってある
学習機械の汎化誤差：近似誤差と推定誤差
積分表現理論：専ら関数近似の理論
ということは、学習機械の汎化誤差の半分しか扱ってない
だから、これを読んでも、いまいちという気がする
もちろん、この分野の専門家なら、読む価値あると思うが
一般人には、付録の方が価値があると思う（>>540）
（>>538より）
https://core.ac.uk/download/pdf/286956562.pdf
深層ニューラルネットの積分表現理論 2017 年 2 月 園田翔
早稲・大学大学院先進理工学研究科
電気・情報生命専攻 情報学習システム研究
(抜粋)
第1章 序論
深層ニューラルネットは，2012 年頃から機械学習や人工知能の分野で
急速に発展を続けている学習機械である。深層ニューラルネットの快挙
は，大画像に対する一般物体認識タスクで人間と同程度のスコアを記録
し，囲碁では「人?最強」とも呼ばれる棋士イ・セドル氏に勝利するな
ど，枚挙に暇がない。ニューラルネットは，神経細胞が繋がり合って情
報を処理論する?子を抽象化した「脳の数理論モデル」として，20 世紀半ば
に?場し，これまでに二度のブームを引き起こしている。深層ニューラ
ルネットは第三次ブームの立役者である。
つづく
正直、この園田翔のDR論文はすぐには読めない
かなり、数学理論を勉強しながらでないとね（＾＾；
で
「今後の展望
学習機械の汎化誤差を近似誤差と推定誤差に分けて考え
る。近似誤差を評価するのは関数近似理論，推定誤差を評価するのは統計
学や学習理論である。積分表現理論は専ら関数近似の理論であり，デー
タの存在は希薄である。しかし今後は，統計的な解析にも取り組んでい
く必要がある。」
ってある
学習機械の汎化誤差：近似誤差と推定誤差
積分表現理論：専ら関数近似の理論
ということは、学習機械の汎化誤差の半分しか扱ってない
だから、これを読んでも、いまいちという気がする
もちろん、この分野の専門家なら、読む価値あると思うが
一般人には、付録の方が価値があると思う（>>540）
（>>538より）
https://core.ac.uk/download/pdf/286956562.pdf
深層ニューラルネットの積分表現理論 2017 年 2 月 園田翔
早稲・大学大学院先進理工学研究科
電気・情報生命専攻 情報学習システム研究
(抜粋)
第1章 序論
深層ニューラルネットは，2012 年頃から機械学習や人工知能の分野で
急速に発展を続けている学習機械である。深層ニューラルネットの快挙
は，大画像に対する一般物体認識タスクで人間と同程度のスコアを記録
し，囲碁では「人?最強」とも呼ばれる棋士イ・セドル氏に勝利するな
ど，枚挙に暇がない。ニューラルネットは，神経細胞が繋がり合って情
報を処理論する?子を抽象化した「脳の数理論モデル」として，20 世紀半ば
に?場し，これまでに二度のブームを引き起こしている。深層ニューラ
ルネットは第三次ブームの立役者である。
つづく
551現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/22(火) 18:09:22.39ID:qkl/9znF >>550
つづき
「深層」という修飾語は，中間層の数が従来のニューラルネットよりも
多いことを強調している。ニューラルネットを深層化することで，内部
の情報表現が階層化され，情報処理論が効?化されることは，以前から予
想されていた。しかし，古典的な学習法であるバックプロパゲーション
（backpropagation）では，深層ニューラルネットを学習させることができ
なかった。原因は?々だが，例えば，層が深くなるに連れて，学習に必
要な誤差信号が減衰し，学習が極端に遅くなるためである。深層ニュー
ラルネットを学習させる技術を総称して，深層学習という。深層学習が
立て続けに成功し始めたのは，2006 年の Hinton や Bengio のプレトレー
ニングからである。
本論研究では，深層ニューラルネットの中で何が起きているのか，なぜ
深層にした方が良いのかという問題に対して，深層ニューラルネットの
積分表現理論の開発を通じて問題解決を図る。深層ニューラルネットの
内部では，タスクに有利な情報表現（特徴量写像）が獲得されていると考
えられている。情報表現を自動的に獲得するという意味で，深層学習は
表現学習とも呼ばれる。しかし，深層学習はヒューリスティクスを多く
含むので，実際に獲得される特徴量の素性は分からないことも多い。そ
もそも，浅いニューラルネットは任意の関数を近似できるほど表現力が
高い（万能関数近似器）のに，なぜ深層にする必要があるのだろうか。
本論研究が拠り所とする積分表現は，ニューラルネットの中間層素子に
関する総?を積分に置き換えて得られる。これは中間層素子を積分核と
する積分変換であり，双対リッジレット変換と呼ばれる。リッジレット
変換は Radon 変換やウェーブレット変換との関係が深く，幾何学的性質
や解析的性質がよく調べられている。
つづく
つづき
「深層」という修飾語は，中間層の数が従来のニューラルネットよりも
多いことを強調している。ニューラルネットを深層化することで，内部
の情報表現が階層化され，情報処理論が効?化されることは，以前から予
想されていた。しかし，古典的な学習法であるバックプロパゲーション
（backpropagation）では，深層ニューラルネットを学習させることができ
なかった。原因は?々だが，例えば，層が深くなるに連れて，学習に必
要な誤差信号が減衰し，学習が極端に遅くなるためである。深層ニュー
ラルネットを学習させる技術を総称して，深層学習という。深層学習が
立て続けに成功し始めたのは，2006 年の Hinton や Bengio のプレトレー
ニングからである。
本論研究では，深層ニューラルネットの中で何が起きているのか，なぜ
深層にした方が良いのかという問題に対して，深層ニューラルネットの
積分表現理論の開発を通じて問題解決を図る。深層ニューラルネットの
内部では，タスクに有利な情報表現（特徴量写像）が獲得されていると考
えられている。情報表現を自動的に獲得するという意味で，深層学習は
表現学習とも呼ばれる。しかし，深層学習はヒューリスティクスを多く
含むので，実際に獲得される特徴量の素性は分からないことも多い。そ
もそも，浅いニューラルネットは任意の関数を近似できるほど表現力が
高い（万能関数近似器）のに，なぜ深層にする必要があるのだろうか。
本論研究が拠り所とする積分表現は，ニューラルネットの中間層素子に
関する総?を積分に置き換えて得られる。これは中間層素子を積分核と
する積分変換であり，双対リッジレット変換と呼ばれる。リッジレット
変換は Radon 変換やウェーブレット変換との関係が深く，幾何学的性質
や解析的性質がよく調べられている。
つづく
552現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/22(火) 18:09:53.46ID:qkl/9znF >>551
つづき
通常のニューラルネットは，積分
表現の離散化を通じて理論解できる。積分表現理論は 90 年代に起きた第二
次ブームにおいて，浅いニューラルネットの表現能力を調べる過程で成
立した。残念ながら，深層ニューラルネットの積分表現理論は今日まで
ほとんど調べられていない。中間層が二層以上ある場合には，単に積分
核が入れ子になるだけで，中間層同士の関係をうまく定式化できないた
めである。
本論研究の結果は二つに分けられる：浅いニューラルネットの積分表現
理論と，深層ニューラルネットの積分表現理論である。浅いニューラル
ネットの理論では，ReLU と呼ばれる活性化関数に対応するように積分
表現理論を拡張し，ニューラルネットと Radon 変換およびウェーブレッ
ト変換との関係を詳らかにし，さらに積分表現を離散化してニューラル
ネットを学習する方法を提案した。
深層ニューラルネットの理論では，デノイジング・オートエンコーダー
（denoising autoencoder; DAE）と呼ばれるクラスに対して，DAE を?送
写像とみなす方法で，積分表現を構成した。また，?送写像の極限を調
べることで，無限層ニューラルネットに相当する連続 DAE の性質を明ら
かにした。DAE はデータ分布のエントロピーを減らす方向に入力データ
を再配置する?送作用があり，この作用は層を深くした方が顕著になる
ことが分かった。従って，浅い DAE と深層 DAE とでは抽出される特徴
量が異なることから，DAE においては積極的に深層化すべきであると言
える。本論研究の結果を深層学習のアルゴリズムに反映する方法の開発は，
今後の重要な課題である。
つづく
つづき
通常のニューラルネットは，積分
表現の離散化を通じて理論解できる。積分表現理論は 90 年代に起きた第二
次ブームにおいて，浅いニューラルネットの表現能力を調べる過程で成
立した。残念ながら，深層ニューラルネットの積分表現理論は今日まで
ほとんど調べられていない。中間層が二層以上ある場合には，単に積分
核が入れ子になるだけで，中間層同士の関係をうまく定式化できないた
めである。
本論研究の結果は二つに分けられる：浅いニューラルネットの積分表現
理論と，深層ニューラルネットの積分表現理論である。浅いニューラル
ネットの理論では，ReLU と呼ばれる活性化関数に対応するように積分
表現理論を拡張し，ニューラルネットと Radon 変換およびウェーブレッ
ト変換との関係を詳らかにし，さらに積分表現を離散化してニューラル
ネットを学習する方法を提案した。
深層ニューラルネットの理論では，デノイジング・オートエンコーダー
（denoising autoencoder; DAE）と呼ばれるクラスに対して，DAE を?送
写像とみなす方法で，積分表現を構成した。また，?送写像の極限を調
べることで，無限層ニューラルネットに相当する連続 DAE の性質を明ら
かにした。DAE はデータ分布のエントロピーを減らす方向に入力データ
を再配置する?送作用があり，この作用は層を深くした方が顕著になる
ことが分かった。従って，浅い DAE と深層 DAE とでは抽出される特徴
量が異なることから，DAE においては積極的に深層化すべきであると言
える。本論研究の結果を深層学習のアルゴリズムに反映する方法の開発は，
今後の重要な課題である。
つづく
553現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/22(火) 18:10:43.52ID:qkl/9znF >>552
つづき
本論文の構成は，第 1 章が本論研究の概要と?文の構成の説明，第 2 章が
関連研究と先行研究のサーベイ，第 3 章と第 4 章が本論を展開するうえ
での準備，第 5 章から第 7 章が本論，第 8 章が本論研究の総括である。第 2
章以降の各章の詳細は次の通りである。
第 2 章では関連研究および先行研究について，深層ニューラルネット
と浅いニューラルネットの二つの観?で整理論する。まず深層ニューラル
ネットについては，最初に全体の動向を概観する。次に，本論研究の主題の
一つである「深層ニューラルネットの中では何が起きているか」につい
て言及している研究を整理論する。本論研究で取り扱う ReLU や DAE につい
ては独立に節を設けるほか，オートエンコーダーと対照的な表現学習の
例として，畳み込みネットワークについても解説する。一方，浅いニュー
ラルネットについては，まず 90 年代の結果を整理論する。具体的には，万
能関数近似能力を軸にして積分表現理論が?場するまでの経緯を説明す
る。続いて，積分表現理論以降に?場したリッジレット解析や学習理論
について，その後の展開を整理論する。
第 3 章では，本論研究で用いる数学的な道具を整理論する。具体的には，
Fourier 変換や Radon 変換，ウェーブレット解析，拡散方程式，最適?送
理論の基本論的な定理論や公式を整理論する。さらに，本論で展開される超関
数や特異積分の計算について解説する。これらの計算には，これまでに
まとまった解説が少なく，申請者が独自に計算した内容も含む。
第 4 章では積分表現理論について基本論事項を説明する。本論章は本論を
展開するうえでの準備にあたるが，積分表現理論は本論研究の要であり，申
請者の考察も多く含むことから，独立に章を設けた。まず積分表現理論
がリッジレット解析と等価であることを説明したあと，リッジレット変
換が Radon 変換とウェーブレット変換の合成変換に分解できることを示
す。これにより，リッジレット解析の幾何学的な意味付録けが明らかとな
る。最後に，リッジレット変換の離散化や，ベクトル値の場合の考え方
を説明する。これにより，現実のニューラルネットと積分表現との関係
が明らかとなる。
つづく
つづき
本論文の構成は，第 1 章が本論研究の概要と?文の構成の説明，第 2 章が
関連研究と先行研究のサーベイ，第 3 章と第 4 章が本論を展開するうえ
での準備，第 5 章から第 7 章が本論，第 8 章が本論研究の総括である。第 2
章以降の各章の詳細は次の通りである。
第 2 章では関連研究および先行研究について，深層ニューラルネット
と浅いニューラルネットの二つの観?で整理論する。まず深層ニューラル
ネットについては，最初に全体の動向を概観する。次に，本論研究の主題の
一つである「深層ニューラルネットの中では何が起きているか」につい
て言及している研究を整理論する。本論研究で取り扱う ReLU や DAE につい
ては独立に節を設けるほか，オートエンコーダーと対照的な表現学習の
例として，畳み込みネットワークについても解説する。一方，浅いニュー
ラルネットについては，まず 90 年代の結果を整理論する。具体的には，万
能関数近似能力を軸にして積分表現理論が?場するまでの経緯を説明す
る。続いて，積分表現理論以降に?場したリッジレット解析や学習理論
について，その後の展開を整理論する。
第 3 章では，本論研究で用いる数学的な道具を整理論する。具体的には，
Fourier 変換や Radon 変換，ウェーブレット解析，拡散方程式，最適?送
理論の基本論的な定理論や公式を整理論する。さらに，本論で展開される超関
数や特異積分の計算について解説する。これらの計算には，これまでに
まとまった解説が少なく，申請者が独自に計算した内容も含む。
第 4 章では積分表現理論について基本論事項を説明する。本論章は本論を
展開するうえでの準備にあたるが，積分表現理論は本論研究の要であり，申
請者の考察も多く含むことから，独立に章を設けた。まず積分表現理論
がリッジレット解析と等価であることを説明したあと，リッジレット変
換が Radon 変換とウェーブレット変換の合成変換に分解できることを示
す。これにより，リッジレット解析の幾何学的な意味付録けが明らかとな
る。最後に，リッジレット変換の離散化や，ベクトル値の場合の考え方
を説明する。これにより，現実のニューラルネットと積分表現との関係
が明らかとなる。
つづく
554現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/22(火) 18:11:36.15ID:qkl/9znF >>553
つづき
第 5 章では浅いニューラルネットの積分表現理論を展開する。まず，深
層学習において，ReLU と呼ばれる非有界な活性化関数が用いられる背景
を簡単に説明する。これにより，深層ニューラルネットの積分表現理論
を展開するためには ReLU を含む超関数によるリッジレット解析が必要
であることが分かる。本論章の前半では，超関数によるリッジレット変換
が存在すること，および適当な条件の下で再構成公式（逆変換）が成り
立つことを理論的に示す。後半では，リッジレット変換の具体例を解析
的に計算し，さらに再構成公式の数値例を計算することで，理論の実効
性を確率認する。
第6章では深層ニューラルネットの積分表現理論を展開する。まず，DAE
が?場した背景と，DAE の学習アルゴリズムを簡単に説明し，Alain and
Bengio の変分計算によって学習アルゴリズムの?留?が?に求まること
を示す。続いて，得られた DAE が?送写像とみなせることを説明する。
本論章の前半では，浅い DAE による?送の性質を調べる。後半では，三つ
の深層 DAE（積層 DAE，合成 DAE，連続 DAE）を導入し，深層 DAE に
よる?送現象を軸として深層DAEの積分表現理論を展開する。積層DAE
は深層学習の一種であるプレトレーニングで現れる形式だが，解析が難
しい。合成 DAE は浅い DAE の合成写像であり，これ自体も?送写像な
ので解析は比較的容易である。連続 DAE は合成 DAE の連続極限であり，
無限層のニューラルネットに相当する。本論章の主結果は二つある。まず，
連続 DAE による?送に伴って変形されたデータ分布（押出測度）が，逆
向きの拡散方程式に従うことを示す。つまり，連続 DAE はデータ分布の
エントロピーを減らすようにデータ?を再配置する連続力学系である。次
に，積層 DAE と合成 DAE の等価性を示す。つまり，積層 DAE から得ら
れる特徴量は，ある線形写像によって適当な合成 DAE から得られた特徴
量に変換できる。二つの主結果の系として，合成 DAE と積層 DAE はい
ずれも，層を重ねるに連れて連続 DAE と?似の振舞いをするようになる
ことが分かる。最後に，深層 DAE の積分表現は，層毎の積分表現を合成
したものとして得る。
つづく
つづき
第 5 章では浅いニューラルネットの積分表現理論を展開する。まず，深
層学習において，ReLU と呼ばれる非有界な活性化関数が用いられる背景
を簡単に説明する。これにより，深層ニューラルネットの積分表現理論
を展開するためには ReLU を含む超関数によるリッジレット解析が必要
であることが分かる。本論章の前半では，超関数によるリッジレット変換
が存在すること，および適当な条件の下で再構成公式（逆変換）が成り
立つことを理論的に示す。後半では，リッジレット変換の具体例を解析
的に計算し，さらに再構成公式の数値例を計算することで，理論の実効
性を確率認する。
第6章では深層ニューラルネットの積分表現理論を展開する。まず，DAE
が?場した背景と，DAE の学習アルゴリズムを簡単に説明し，Alain and
Bengio の変分計算によって学習アルゴリズムの?留?が?に求まること
を示す。続いて，得られた DAE が?送写像とみなせることを説明する。
本論章の前半では，浅い DAE による?送の性質を調べる。後半では，三つ
の深層 DAE（積層 DAE，合成 DAE，連続 DAE）を導入し，深層 DAE に
よる?送現象を軸として深層DAEの積分表現理論を展開する。積層DAE
は深層学習の一種であるプレトレーニングで現れる形式だが，解析が難
しい。合成 DAE は浅い DAE の合成写像であり，これ自体も?送写像な
ので解析は比較的容易である。連続 DAE は合成 DAE の連続極限であり，
無限層のニューラルネットに相当する。本論章の主結果は二つある。まず，
連続 DAE による?送に伴って変形されたデータ分布（押出測度）が，逆
向きの拡散方程式に従うことを示す。つまり，連続 DAE はデータ分布の
エントロピーを減らすようにデータ?を再配置する連続力学系である。次
に，積層 DAE と合成 DAE の等価性を示す。つまり，積層 DAE から得ら
れる特徴量は，ある線形写像によって適当な合成 DAE から得られた特徴
量に変換できる。二つの主結果の系として，合成 DAE と積層 DAE はい
ずれも，層を重ねるに連れて連続 DAE と?似の振舞いをするようになる
ことが分かる。最後に，深層 DAE の積分表現は，層毎の積分表現を合成
したものとして得る。
つづく
555現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/22(火) 18:12:38.55ID:qkl/9znF >>554
つづき
第 7 章では積分表現を離散化することでニューラルネットを学習させる方法を説明する。再構成公式を離散化することで学習済ニューラルネッ
トが得られる。離散化は離散フーリエ変換のように規則的な格子に沿っ
て行うこともできるが，本論章ではサンプリングによる方法を提案する。こ
れは，データからリッジレット変換を推定し，得られた変換を確率分布
とみなして，パラメータをサンプリングする方法である。リッジレット
変換をパラメータ空間上の確率分布とみなしたものをオラクル分布と呼
ぶ。人工データおよび実データに対してアルゴリズムを適用し，バック
プロパゲーションに依らない学習が行えることを確率認した。
第 8 章では本論研究を総括し，今後の展望について述べる。
なお付録 A では，本論文で省略した定理論の証明を掲載している。
また付録 B では，情報やエントロピー，複雑性などの基本論的かつ解釈の難しい
概念について，諸分野での用例を元にして整理論する。本論付録の内容は，深
層ニューラルネットの中でどのように情報を処理論しているかについて考
察を加えるための背景知識となるが，本論を展開するうえで必ずしも全
て理論解しておく必要はないため，付録に置いた
今後の展望
慣習に従い，学習機械の汎化誤差を近似誤差と推定誤差に分けて考え
る。近似誤差を評価するのは関数近似理論，推定誤差を評価するのは統計
学や学習理論である。積分表現理論は専ら関数近似の理論であり，デー
タの存在は希薄である。しかし今後は，統計的な解析にも取り組んでい
く必要がある。深層学習を利用すると，どのような構造にすれば良いの
か，どの活性化関数を使えば良いのかといったモデル選択の問題や，ど
うすれば学習が上手くいくのかといった最適化の問題に直面する。この
ような問題を解析するためには，データとニューラルネットを対応付け
る規則，すなわち学習アルゴリズムを解析する必要がある。また，深層
ニューラルネットのパラメータは数十億個にのぼり，データサイズから
見てもほとんど無限と思われるほど大量にあるにも関わらず，学習でき
るのはなぜか。このような問題は一般的な新 NP 問題を解決する糸口とも捉えられるので，今後の重要な課題と言える
(引用終り)
つづき
第 7 章では積分表現を離散化することでニューラルネットを学習させる方法を説明する。再構成公式を離散化することで学習済ニューラルネッ
トが得られる。離散化は離散フーリエ変換のように規則的な格子に沿っ
て行うこともできるが，本論章ではサンプリングによる方法を提案する。こ
れは，データからリッジレット変換を推定し，得られた変換を確率分布
とみなして，パラメータをサンプリングする方法である。リッジレット
変換をパラメータ空間上の確率分布とみなしたものをオラクル分布と呼
ぶ。人工データおよび実データに対してアルゴリズムを適用し，バック
プロパゲーションに依らない学習が行えることを確率認した。
第 8 章では本論研究を総括し，今後の展望について述べる。
なお付録 A では，本論文で省略した定理論の証明を掲載している。
また付録 B では，情報やエントロピー，複雑性などの基本論的かつ解釈の難しい
概念について，諸分野での用例を元にして整理論する。本論付録の内容は，深
層ニューラルネットの中でどのように情報を処理論しているかについて考
察を加えるための背景知識となるが，本論を展開するうえで必ずしも全
て理論解しておく必要はないため，付録に置いた
今後の展望
慣習に従い，学習機械の汎化誤差を近似誤差と推定誤差に分けて考え
る。近似誤差を評価するのは関数近似理論，推定誤差を評価するのは統計
学や学習理論である。積分表現理論は専ら関数近似の理論であり，デー
タの存在は希薄である。しかし今後は，統計的な解析にも取り組んでい
く必要がある。深層学習を利用すると，どのような構造にすれば良いの
か，どの活性化関数を使えば良いのかといったモデル選択の問題や，ど
うすれば学習が上手くいくのかといった最適化の問題に直面する。この
ような問題を解析するためには，データとニューラルネットを対応付け
る規則，すなわち学習アルゴリズムを解析する必要がある。また，深層
ニューラルネットのパラメータは数十億個にのぼり，データサイズから
見てもほとんど無限と思われるほど大量にあるにも関わらず，学習でき
るのはなぜか。このような問題は一般的な新 NP 問題を解決する糸口とも捉えられるので，今後の重要な課題と言える
(引用終り)
556現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/22(火) 19:13:58.18ID:qkl/9znF557１３２人目の素数さん
2020/09/22(火) 19:20:49.14ID:jk08YZjf >>550
＞正直、このDR論文はすぐには読めない
＞かなり、数学理論を勉強しながらでないとね
君、いったいどういうふうに論文読んでるの？
当然、未知のことが書かれてることがあるじゃん
そういう場合、理解するためにどうやってるの？
もしかしてただサルのごとくキーワード検索して
自分でも読める文献を延々と検索しつづけるの？
それ・・・正真正銘の馬鹿戦略だよね？
要するにたったワンステップで分かろうとするわけじゃん
そんなの虫が良すぎるって自分でも思わないの？
当然、検索した結果の文章も分からない場合
さらに、その中のキーワードで検索するよね？
つまり自分の立ち位置と目標の間に
いくつも中間目標を設定するよね
で、今の自分に十分到達可能な中間目標から
順々に攻略していくよね
例えば、Ｋ２に上るのに、
自分が今いるのがパキスタンの海岸近くのカラチだとするよね
そしたら少なくとも内陸のイスラマバードまでは行って、
そしてそこからカシミールのギルギットまで行って・・・
と順序立てて考える必要があるよね
そういうこと全然考えてないの？
＞正直、このDR論文はすぐには読めない
＞かなり、数学理論を勉強しながらでないとね
君、いったいどういうふうに論文読んでるの？
当然、未知のことが書かれてることがあるじゃん
そういう場合、理解するためにどうやってるの？
もしかしてただサルのごとくキーワード検索して
自分でも読める文献を延々と検索しつづけるの？
それ・・・正真正銘の馬鹿戦略だよね？
要するにたったワンステップで分かろうとするわけじゃん
そんなの虫が良すぎるって自分でも思わないの？
当然、検索した結果の文章も分からない場合
さらに、その中のキーワードで検索するよね？
つまり自分の立ち位置と目標の間に
いくつも中間目標を設定するよね
で、今の自分に十分到達可能な中間目標から
順々に攻略していくよね
例えば、Ｋ２に上るのに、
自分が今いるのがパキスタンの海岸近くのカラチだとするよね
そしたら少なくとも内陸のイスラマバードまでは行って、
そしてそこからカシミールのギルギットまで行って・・・
と順序立てて考える必要があるよね
そういうこと全然考えてないの？
558１３２人目の素数さん
2020/09/22(火) 19:28:53.46ID:jk08YZjf >>556
>DR論文本体はいまいち面白そうじゃない
そりゃ理解できないことは面白くないだろ
理解できてはじめて面白いと感じる
>（自分の興味のあることを書いていない）
君の興味あることって何？
まさか
「全ての問題の真偽を判定する方法」
なんて馬鹿なこといわないよね？ｗ
（なぜこれが馬鹿なことなのかは、自分で考えてみよう）
>付録はつまみ読みしたよ
>面白かったな
そうやって自分が賢いと自分にウソをつき続けるの、やめようよ
一生馬鹿から抜け出せないよ
大卒だと偽装するくせに、行列式すら理解できないとか
ヒド過ぎるよ 全然笑えないって
大学出てるといいはりたいんなら、行列式くらい理解しようぜ
多重線形性が分れば、テンソルだと認めざるをえなくなるって
いったい何と闘ってるの？僕？僕は敵じゃないよ
君の敵は僕でも数学でもない
本当の自分から目を背ける君自身の弱さ
>DR論文本体はいまいち面白そうじゃない
そりゃ理解できないことは面白くないだろ
理解できてはじめて面白いと感じる
>（自分の興味のあることを書いていない）
君の興味あることって何？
まさか
「全ての問題の真偽を判定する方法」
なんて馬鹿なこといわないよね？ｗ
（なぜこれが馬鹿なことなのかは、自分で考えてみよう）
>付録はつまみ読みしたよ
>面白かったな
そうやって自分が賢いと自分にウソをつき続けるの、やめようよ
一生馬鹿から抜け出せないよ
大卒だと偽装するくせに、行列式すら理解できないとか
ヒド過ぎるよ 全然笑えないって
大学出てるといいはりたいんなら、行列式くらい理解しようぜ
多重線形性が分れば、テンソルだと認めざるをえなくなるって
いったい何と闘ってるの？僕？僕は敵じゃないよ
君の敵は僕でも数学でもない
本当の自分から目を背ける君自身の弱さ
559１３２人目の素数さん
2020/09/22(火) 19:37:19.47ID:jk08YZjf ＞「行列式はテンソルです」って、笑えたよ
なんか性懲りもなく書き続けてるけど
それがいかにトンデモな発言かわかってないの？
行列式は列ベクトルの組の多重線型写像だよ
これだけでテンソルだと分かる
逆にテンソルでないというなら、
多重線型性がないっていうのかい？
反例は？そんなもんあるわけないじゃんｗ
もういいかげんわけもわからず、つっぱり続けるの、やめなよ
恥かくのは君だよ 笑われるのは君だよ 俺じゃない
数学分かりたいんなら 素直にありのままの自分を受け入れなよ
無知でなにもわかってない自分自身をさ
そうでないと何も学べないよ
なんか性懲りもなく書き続けてるけど
それがいかにトンデモな発言かわかってないの？
行列式は列ベクトルの組の多重線型写像だよ
これだけでテンソルだと分かる
逆にテンソルでないというなら、
多重線型性がないっていうのかい？
反例は？そんなもんあるわけないじゃんｗ
もういいかげんわけもわからず、つっぱり続けるの、やめなよ
恥かくのは君だよ 笑われるのは君だよ 俺じゃない
数学分かりたいんなら 素直にありのままの自分を受け入れなよ
無知でなにもわかってない自分自身をさ
そうでないと何も学べないよ
560現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/23(水) 06:54:21.03ID:LeQWW8SA ＜転載＞
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 49
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1600350445/100-101
100 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2020/09/22(火) 22:35:46.71 ID:PrdD62BV [1/2]
https://noschool.asia/question/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E3%81%A8%E8%A1%8C%E5%88%97-2
101 自分：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 投稿日：2020/09/22(火) 22:55:34.90 ID:qkl/9znF [16/18]
>>100
ありがとう
そうです、そうです
https://noschool.asia/question/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E3%81%A8%E8%A1%8C%E5%88%97-2
NoSchool.inc
テンソルと行列
(抜粋)
2×2行列が2階のテンソルでないことは知っていますが、上の場合は両方ベクトルと書かれているので疑問に思いました。
また、行列とテンソルは概念的に全く重なることはないのでしょうか？
2年前
数学(大学)の質問
rghwr さんの質問
回答一覧(1件)
ベストアンサーに選ばれました
tamu 先生 の回答
先生
2年前
> 2×2行列が2階のテンソルでないことは知っていますが
2×2行列A=(a_ij)は、V=R^2とした時
T:(V^*)×V→R
(e^*_i,e_j)→a_ij
によって、2階（1階共変、1階反変）のテンソルとみなせます。
(引用終り)
上記は、純粋数学というよりも、物理数学系ですね
そして、よく言われる（書かれている）こと
例えば、上記「2×2行列と、2階のテンソルとは別物」って注意（書き）です
しかしながら、2階のテンソルがしばしば、行列で表現できるのも事実
（2×2行列に限らず、n×n行列でも類似のことがあります）
で、この文脈で
「行列式はテンソルです」って、笑える
(引用終り)
以上
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 49
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1600350445/100-101
100 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2020/09/22(火) 22:35:46.71 ID:PrdD62BV [1/2]
https://noschool.asia/question/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E3%81%A8%E8%A1%8C%E5%88%97-2
101 自分：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 投稿日：2020/09/22(火) 22:55:34.90 ID:qkl/9znF [16/18]
>>100
ありがとう
そうです、そうです
https://noschool.asia/question/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E3%81%A8%E8%A1%8C%E5%88%97-2
NoSchool.inc
テンソルと行列
(抜粋)
2×2行列が2階のテンソルでないことは知っていますが、上の場合は両方ベクトルと書かれているので疑問に思いました。
また、行列とテンソルは概念的に全く重なることはないのでしょうか？
2年前
数学(大学)の質問
rghwr さんの質問
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ベストアンサーに選ばれました
tamu 先生 の回答
先生
2年前
> 2×2行列が2階のテンソルでないことは知っていますが
2×2行列A=(a_ij)は、V=R^2とした時
T:(V^*)×V→R
(e^*_i,e_j)→a_ij
によって、2階（1階共変、1階反変）のテンソルとみなせます。
(引用終り)
上記は、純粋数学というよりも、物理数学系ですね
そして、よく言われる（書かれている）こと
例えば、上記「2×2行列と、2階のテンソルとは別物」って注意（書き）です
しかしながら、2階のテンソルがしばしば、行列で表現できるのも事実
（2×2行列に限らず、n×n行列でも類似のことがあります）
で、この文脈で
「行列式はテンソルです」って、笑える
(引用終り)
以上
561１３２人目の素数さん
2020/09/23(水) 09:52:36.80ID:7U6sk/iJ562現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/23(水) 10:17:24.14ID:Ukw5lW7M 転載
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 49
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1600350445/109-110
物理数学は、下記ご参照
テンソルあるよ
昔、コーシー、ポアソンの頃、彼らがテンソルで個体力学を、数学的に研究した
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%89%A9%E7%90%86%E6%95%B0%E5%AD%A6
物理数学
(抜粋)
物理学で用いられるいくつかの数学的手法を総称した呼び方であり、特定の数学分野を示すものではない
・線型代数
・ベクトル解析
・テンソル
・微分方程式
・フーリエ変換
・群論
・複素解析
https://lib.nagaokaut.ac.jp/gigaku-press/wp-content/uploads/2015/06/renzoutai_all.pdf
連続体力学の基礎 古口日出男 永澤茂 20150619 長岡技術科学大学出版会
(抜粋)
1. 1 連続体力学の歴史
個体に関する力学
フックの法則 17世紀
弾性力学 18世紀 ベルヌーイ、オイラー、ラグランジュ、19世紀 コーシー
テンソルの概念を応力とひずみに導入 19世紀 コーシー
実際の問題に関する解 19世紀 ポアソン
http://structure.cande.iwate-u.ac.jp/
構造工学研究室 岩手大学
http://structure.cande.iwate-u.ac.jp/education/structuralmechahistory.htm
構造力学の歴史 1988.5.26
(抜粋)
ガリレイ(Domino Galileo Galilei, 1564-1642) 材料力学の最初の本「二つの新しい科学」 片持ばりの断面抵抗力，中空断面はりの強さを論じた
ロバ－ト・フック(Robert Hooke, 1635-1703) フックの法則，はりの曲げにさいし凸側では引張りを受け凹側では圧縮される
ヤコブ・ベルヌ－イ(Jacob Bernoulli, 1654-1705) たわみの曲率は曲げモ－メントに比例する
レオナ－ド・オイラ－(Leonard Euler, 1707-1783) 柱の座屈
ナビィエ(L.M.H. Navier, 1785-1836) 単純ばりのたわみ曲線による解法，平面保持の仮定
コ－シ－(Augustin Cauchy, 1789-1857) 等方弾性体の完全な方程式系
ポアソン(S.D. Poisson 1781-1840) ポアソン比，板のたわみ方程式
マクスウェル(James Clerk Maxwell, 1831-1879) 相反法則
1795 パリにエコ－ル・ポリテクニク（L'Ecole Polytechnique パリ高等理工科学校) 開校 モンジュ、ラクランジュ、フ－リエ、ポアソンらの教授陣
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 49
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1600350445/109-110
物理数学は、下記ご参照
テンソルあるよ
昔、コーシー、ポアソンの頃、彼らがテンソルで個体力学を、数学的に研究した
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%89%A9%E7%90%86%E6%95%B0%E5%AD%A6
物理数学
(抜粋)
物理学で用いられるいくつかの数学的手法を総称した呼び方であり、特定の数学分野を示すものではない
・線型代数
・ベクトル解析
・テンソル
・微分方程式
・フーリエ変換
・群論
・複素解析
https://lib.nagaokaut.ac.jp/gigaku-press/wp-content/uploads/2015/06/renzoutai_all.pdf
連続体力学の基礎 古口日出男 永澤茂 20150619 長岡技術科学大学出版会
(抜粋)
1. 1 連続体力学の歴史
個体に関する力学
フックの法則 17世紀
弾性力学 18世紀 ベルヌーイ、オイラー、ラグランジュ、19世紀 コーシー
テンソルの概念を応力とひずみに導入 19世紀 コーシー
実際の問題に関する解 19世紀 ポアソン
http://structure.cande.iwate-u.ac.jp/
構造工学研究室 岩手大学
http://structure.cande.iwate-u.ac.jp/education/structuralmechahistory.htm
構造力学の歴史 1988.5.26
(抜粋)
ガリレイ(Domino Galileo Galilei, 1564-1642) 材料力学の最初の本「二つの新しい科学」 片持ばりの断面抵抗力，中空断面はりの強さを論じた
ロバ－ト・フック(Robert Hooke, 1635-1703) フックの法則，はりの曲げにさいし凸側では引張りを受け凹側では圧縮される
ヤコブ・ベルヌ－イ(Jacob Bernoulli, 1654-1705) たわみの曲率は曲げモ－メントに比例する
レオナ－ド・オイラ－(Leonard Euler, 1707-1783) 柱の座屈
ナビィエ(L.M.H. Navier, 1785-1836) 単純ばりのたわみ曲線による解法，平面保持の仮定
コ－シ－(Augustin Cauchy, 1789-1857) 等方弾性体の完全な方程式系
ポアソン(S.D. Poisson 1781-1840) ポアソン比，板のたわみ方程式
マクスウェル(James Clerk Maxwell, 1831-1879) 相反法則
1795 パリにエコ－ル・ポリテクニク（L'Ecole Polytechnique パリ高等理工科学校) 開校 モンジュ、ラクランジュ、フ－リエ、ポアソンらの教授陣
563現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/23(水) 10:18:04.81ID:Ukw5lW7M で、この文脈で
「行列式はテンソルです」って、笑える
「行列式はテンソルです」って、笑える
564裏ボス系のアラフェス
2020/09/23(水) 10:55:56.08ID:BXKSsIMy こっちは背理法になっちゃうけど、前提が仮定なので背理法でも証明は可能といえよう。
i^2=,j^2=,k^2=-1
これは余分な集合を割り引いたもの。例えば、（AかつA）においてAという記号の集合は一つ邪魔である。よって、
０（元々あったもの）－１（余分に加えてしまったもの）で i^2 = -1 となる。以下も同様である。
ijk = -1
これは同様の思考で、ただし、掛ける集合がお互いに全部違うから、大体５０％くらいの確率で交わるとし、
0 - 1/2 - 1/2 = -1
である。まぁ、俺は数学を専門にした覚えはないからクレームの反応受けても理解できないと思ってね。やるのは思いついたのを書き残しておくくらい。じゃあ、みんな頑張ってねー
i^2=,j^2=,k^2=-1
これは余分な集合を割り引いたもの。例えば、（AかつA）においてAという記号の集合は一つ邪魔である。よって、
０（元々あったもの）－１（余分に加えてしまったもの）で i^2 = -1 となる。以下も同様である。
ijk = -1
これは同様の思考で、ただし、掛ける集合がお互いに全部違うから、大体５０％くらいの確率で交わるとし、
0 - 1/2 - 1/2 = -1
である。まぁ、俺は数学を専門にした覚えはないからクレームの反応受けても理解できないと思ってね。やるのは思いついたのを書き残しておくくらい。じゃあ、みんな頑張ってねー
565現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/23(水) 11:38:24.11ID:Ukw5lW7M >>562 補足
下記は、物理数学系だが
行列（行列式，余因子，逆行列）、ベクトル、テンソルとある
この文脈で
「行列式はテンソルです」って、笑える
（参考）
http://solid4.mech.okayama-u.ac.jp/
機械工学者向けサイト by 多田 直哉 岡山大
(抜粋)
関連の基礎数学
http://solid4.mech.okayama-u.ac.jp/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%A8%E7%B7%8F%E5%92%8C%E8%A6%8F%E7%B4%84.pdf
行列と総和規約（Matrix and Summation Convention）
キーワード：行列，クロネッカー・デルタ，置換記号，行列式，余因子，逆行列，固有値，対角化，総和規約
http://solid4.mech.okayama-u.ac.jp/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB.pdf
ベクトル（Vector）
キーワード：ベクトル，スカラー積（内積），ベクトル積（外積），テンソル積，座標変換，勾配，発散，回転，微分演算子
http://solid4.mech.okayama-u.ac.jp/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB.pdf
テンソル（Tensor）
キーワード：テンソル，内積，テンソル積，座標変換，縮約，商法則
下記は、物理数学系だが
行列（行列式，余因子，逆行列）、ベクトル、テンソルとある
この文脈で
「行列式はテンソルです」って、笑える
（参考）
http://solid4.mech.okayama-u.ac.jp/
機械工学者向けサイト by 多田 直哉 岡山大
(抜粋)
関連の基礎数学
http://solid4.mech.okayama-u.ac.jp/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%A8%E7%B7%8F%E5%92%8C%E8%A6%8F%E7%B4%84.pdf
行列と総和規約（Matrix and Summation Convention）
キーワード：行列，クロネッカー・デルタ，置換記号，行列式，余因子，逆行列，固有値，対角化，総和規約
http://solid4.mech.okayama-u.ac.jp/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB.pdf
ベクトル（Vector）
キーワード：ベクトル，スカラー積（内積），ベクトル積（外積），テンソル積，座標変換，勾配，発散，回転，微分演算子
http://solid4.mech.okayama-u.ac.jp/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB.pdf
テンソル（Tensor）
キーワード：テンソル，内積，テンソル積，座標変換，縮約，商法則
566現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/23(水) 11:40:48.22ID:Ukw5lW7M >>564
ありがとう（＾＾
ありがとう（＾＾
567ID:1lEWVa2s
2020/09/23(水) 16:11:06.43ID:MqkxRjd6 >>562
ヤング係数は無いのか。
ヤング係数は無いのか。
568１３２人目の素数さん
2020/09/23(水) 17:10:29.05ID:jby33uIR >>560
2×2行列の行列式DETはテンソルですよ
(もちろんn×n行列の行列式もテンソル）
DET:V×V→R
反対称性
DET(e_1,e_1)=-DET(e_1,e_1)=0
DET(e_1,e_2)=-DET(e_2,e_1)=1
DET(e_2,e_2)=-DET(e_2,e_2)=0
上記の場合、2階共変テンソルですね
(注：2×2の場合、2階だというだけで、
n×nの場合、n階である、つまり、引数の数がn個）
DET((a11e_1+a21e_2),(a12e_1+a22e_2))
= DET(a11e_1,(a12e_1+a22e_2))+DET(a21e_2,(a12e_1+a22e_2))
= DET(a11e_1,a12e_1)+DET(a11e_1,a22e_2)
+DET(a21e_2,a12e_1)+DET(a21e_2,a22e_2)
= a11a12*DET(e_1,e_1)+a11a22*DET(e_1,e_2)
+a21a12*DET(e_2,e_1)+a21a22*DET(e_2,e_2)
= a11a12*0+a11a22*1
+a21a12*(-1)+a21a22*0
= a11a22-a21a12
大学で習わなかった？
あ、大学行ってないのかｗ
これ、遠山啓の「数学入門（上）」にもほぼ同様のこと書いてあるから
（ま、ちょっとだけアレンジしたけど、大筋は同じ）
2×2行列の行列式DETはテンソルですよ
(もちろんn×n行列の行列式もテンソル）
DET:V×V→R
反対称性
DET(e_1,e_1)=-DET(e_1,e_1)=0
DET(e_1,e_2)=-DET(e_2,e_1)=1
DET(e_2,e_2)=-DET(e_2,e_2)=0
上記の場合、2階共変テンソルですね
(注：2×2の場合、2階だというだけで、
n×nの場合、n階である、つまり、引数の数がn個）
DET((a11e_1+a21e_2),(a12e_1+a22e_2))
= DET(a11e_1,(a12e_1+a22e_2))+DET(a21e_2,(a12e_1+a22e_2))
= DET(a11e_1,a12e_1)+DET(a11e_1,a22e_2)
+DET(a21e_2,a12e_1)+DET(a21e_2,a22e_2)
= a11a12*DET(e_1,e_1)+a11a22*DET(e_1,e_2)
+a21a12*DET(e_2,e_1)+a21a22*DET(e_2,e_2)
= a11a12*0+a11a22*1
+a21a12*(-1)+a21a22*0
= a11a22-a21a12
大学で習わなかった？
あ、大学行ってないのかｗ
これ、遠山啓の「数学入門（上）」にもほぼ同様のこと書いてあるから
（ま、ちょっとだけアレンジしたけど、大筋は同じ）
569１３２人目の素数さん
2020/09/23(水) 17:11:05.56ID:jby33uIR >>561
>「行列式は2階テンソルである。」
>なんて書かれてないんだけど
セタは、行列式(determinant)＝行列(matrix)、だと思い込んでるね
全然違うよ
「n×n行列の行列式は、n階(共変)テンソルである」
が正しいね
>「行列式はテンソルです」って、笑える
「行列式は行列です」って、アタマ痛ぇｗ
>「行列式は2階テンソルである。」
>なんて書かれてないんだけど
セタは、行列式(determinant)＝行列(matrix)、だと思い込んでるね
全然違うよ
「n×n行列の行列式は、n階(共変)テンソルである」
が正しいね
>「行列式はテンソルです」って、笑える
「行列式は行列です」って、アタマ痛ぇｗ
570１３２人目の素数さん
2020/09/23(水) 17:37:44.92ID:jby33uIR >>564
💊飲んでますか？
エビリファイ、レキサルティ 効きますよ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AA%E3%83%94%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%BE%E3%83%BC%E3%83%AB
適応
添付文書に記載された用法は以下である。
統合失調症
成人は1日6mg-12mgを開始用量として、1日6mg-24mgを維持量とする。
1回または2回に分けて経口投与し、1日30mgを超えないようにする。
年齢や症状に応じて適宜減量する。
効果を発揮するまでに約2週間必要なため、2週間以内に増量しないことが望まれる。
💊飲んでますか？
エビリファイ、レキサルティ 効きますよ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AA%E3%83%94%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%BE%E3%83%BC%E3%83%AB
適応
添付文書に記載された用法は以下である。
統合失調症
成人は1日6mg-12mgを開始用量として、1日6mg-24mgを維持量とする。
1回または2回に分けて経口投与し、1日30mgを超えないようにする。
年齢や症状に応じて適宜減量する。
効果を発揮するまでに約2週間必要なため、2週間以内に増量しないことが望まれる。
572１３２人目の素数さん
2020/09/23(水) 19:44:30.11ID:jby33uIR >>571
＞眠り薬と鎮静剤ですかね。
いえ、抗精神病薬です。
ちなみに睡眠薬は身体によくないよ
ベンゾジアゼピン
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%B3%E3%82%BE%E3%82%B8%E3%82%A2%E3%82%BC%E3%83%94%E3%83%B3
ベンゾジアゼピン薬物乱用
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%B3%E3%82%BE%E3%82%B8%E3%82%A2%E3%82%BC%E3%83%94%E3%83%B3%E8%96%AC%E7%89%A9%E4%B9%B1%E7%94%A8
＞眠り薬と鎮静剤ですかね。
いえ、抗精神病薬です。
ちなみに睡眠薬は身体によくないよ
ベンゾジアゼピン
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%B3%E3%82%BE%E3%82%B8%E3%82%A2%E3%82%BC%E3%83%94%E3%83%B3
ベンゾジアゼピン薬物乱用
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%B3%E3%82%BE%E3%82%B8%E3%82%A2%E3%82%BC%E3%83%94%E3%83%B3%E8%96%AC%E7%89%A9%E4%B9%B1%E7%94%A8
573粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
2020/09/23(水) 19:54:57.84ID:LRTMYflj 実数→複素数→多元数
スカラー→ベクトル→テンソル
テンソルは正方行列である
スカラー→ベクトル→テンソル
テンソルは正方行列である
574１３２人目の素数さん
2020/09/23(水) 20:00:07.61ID:jby33uIR 蕎麦に質問だ
実行列の行列式は、列ベクトル（行ベクトルでもいいが）が張る
平行体のｎ次元体積を表している
複素行列の行列式は、いったい何を表しているんだろう？
答え？僕は知らないよ 単に思いついたから訊いてみただけ
実行列の行列式は、列ベクトル（行ベクトルでもいいが）が張る
平行体のｎ次元体積を表している
複素行列の行列式は、いったい何を表しているんだろう？
答え？僕は知らないよ 単に思いついたから訊いてみただけ
575１３２人目の素数さん
2020/09/23(水) 21:41:24.65ID:jby33uIR ◆yH25M02vWFhP 死す
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1600350445/124-125
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1600350445/124-125
576現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/23(水) 23:29:05.88ID:LeQWW8SA ＜転載＞
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 49
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1600350445/122-123
jby33uIR さんは、維新さん（下記）（＾＾；
「行列式はテンソルです」って、笑える
必死だな
”「n×n行列の行列式は、n階(共変)テンソルである」
が正しいね”か、外しまくりだな（下記 テンソル wikipedia）
（参考）
http://hissi.org/read.php/math/20200923/amJ5MzN1SVI.html
必死チェッカーもどき
(抜粋)
トップページ > 数学 > 2020年09月23日 > jby33uIR
3 位/75 ID中 Total 10
使用した名前一覧
１３２人目の素数さん
書き込んだスレッド一覧
33歳数学ど素人だが、フィールズ賞目指すスレ
残念だった天才・秀才達を思い出そう
純粋・応用数学（含むガロア理論）4
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 49
書き込みレス一覧
33歳数学ど素人だが、フィールズ賞目指すスレ
617 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/09/23(水) 06:04:01.08 ID:jby33uIR
AIはAI 自分は自分
数学したくない人はセックスでもしてればいいよ
純粋・応用数学（含むガロア理論）4
569 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/09/23(水) 17:11:05.56 ID:jby33uIR
「n×n行列の行列式は、n階(共変)テンソルである」
が正しいね
純粋・応用数学（含むガロア理論）4
570 ：１３２人目の素数さん[]：2020/09/23(水) 17:37:44.92 ID:jby33uIR
??飲んでますか？
エビリファイ、レキサルティ 効きますよ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AA%E3%83%94%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%BE%E3%83%BC%E3%83%AB
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB
テンソル
つづく
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 49
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1600350445/122-123
jby33uIR さんは、維新さん（下記）（＾＾；
「行列式はテンソルです」って、笑える
必死だな
”「n×n行列の行列式は、n階(共変)テンソルである」
が正しいね”か、外しまくりだな（下記 テンソル wikipedia）
（参考）
http://hissi.org/read.php/math/20200923/amJ5MzN1SVI.html
必死チェッカーもどき
(抜粋)
トップページ > 数学 > 2020年09月23日 > jby33uIR
3 位/75 ID中 Total 10
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１３２人目の素数さん
書き込んだスレッド一覧
33歳数学ど素人だが、フィールズ賞目指すスレ
残念だった天才・秀才達を思い出そう
純粋・応用数学（含むガロア理論）4
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 49
書き込みレス一覧
33歳数学ど素人だが、フィールズ賞目指すスレ
617 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/09/23(水) 06:04:01.08 ID:jby33uIR
AIはAI 自分は自分
数学したくない人はセックスでもしてればいいよ
純粋・応用数学（含むガロア理論）4
569 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/09/23(水) 17:11:05.56 ID:jby33uIR
「n×n行列の行列式は、n階(共変)テンソルである」
が正しいね
純粋・応用数学（含むガロア理論）4
570 ：１３２人目の素数さん[]：2020/09/23(水) 17:37:44.92 ID:jby33uIR
??飲んでますか？
エビリファイ、レキサルティ 効きますよ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AA%E3%83%94%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%BE%E3%83%BC%E3%83%AB
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB
テンソル
つづく
577現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/23(水) 23:29:42.76ID:LeQWW8SA >>576
つづき
例
工学では剛体や流体内の応力がテンソルによって説明される。実際のところ「テンソル」という言葉はラテン語の「延びる物」、つまり応力を発生するもの、という意味の言葉からきている。物体内の特定の面要素に特に注目して考えれば、面の一方の側にある物質が反対側に対して力をおよぼしていると考えられる。一般にはこの力は面に垂直な向きに働いてはおらず、面の向きに線形的に依存して決まるとしかいえない。したがってこれは(2,0)型のテンソル（正確に言えば、応力は位置によってかわるので、(2,0)型のテンソル場）によって記述される。
幾何におけるテンソルでは二次形式や曲率テンソルが有名である。物理学におけるテンソルにはエネルギー・運動量テンソル、慣性能率テンソルや極分解テンソルがある。
幾何学的な量や物理学的な量はその記述について内在的な自由度を考えることによって分類できる。圧力、質量、温度などのスカラー量はただ一つの数によって指定できる。力のようなベクトル量を表示するためには数のリストを用いる必要があるし、二次形式のような量は複数の添字系によって並べられる数の配列を用いて表示される。これらの量はテンソルとして考えなければとらえることができない。
実際のところテンソルの概念はとても一般的なものであり、上の例全てに当てはまっている。つまり、スカラーやベクトルはテンソルの特別なものと見なすことができる。スカラーをベクトルと区別し、これら二つをより一般のテンソルから区別しているのは、その要素の表現にもちいられる配列の添字の組の数である。この数はテンソルの階数（または位数）とよばれる。したがってスカラーは階数 0（添字は必要ない）のテンソルであり、ベクトルは階数 1 のテンソルだということになる。
テンソルの別の例は一般相対性理論におけるリーマン曲率テンソルであり、次元<4, 4, 4, 4>（空間3次元と時間1次元で合わせて4次元）の4階テンソルとして表現される。これは256（ = 4 × 4 × 4 × 4）の成分を持っているが、実際に独立な要素の数は20であり、表記を大きく単純化することができる[4]。
(引用終り)
以上
つづき
例
工学では剛体や流体内の応力がテンソルによって説明される。実際のところ「テンソル」という言葉はラテン語の「延びる物」、つまり応力を発生するもの、という意味の言葉からきている。物体内の特定の面要素に特に注目して考えれば、面の一方の側にある物質が反対側に対して力をおよぼしていると考えられる。一般にはこの力は面に垂直な向きに働いてはおらず、面の向きに線形的に依存して決まるとしかいえない。したがってこれは(2,0)型のテンソル（正確に言えば、応力は位置によってかわるので、(2,0)型のテンソル場）によって記述される。
幾何におけるテンソルでは二次形式や曲率テンソルが有名である。物理学におけるテンソルにはエネルギー・運動量テンソル、慣性能率テンソルや極分解テンソルがある。
幾何学的な量や物理学的な量はその記述について内在的な自由度を考えることによって分類できる。圧力、質量、温度などのスカラー量はただ一つの数によって指定できる。力のようなベクトル量を表示するためには数のリストを用いる必要があるし、二次形式のような量は複数の添字系によって並べられる数の配列を用いて表示される。これらの量はテンソルとして考えなければとらえることができない。
実際のところテンソルの概念はとても一般的なものであり、上の例全てに当てはまっている。つまり、スカラーやベクトルはテンソルの特別なものと見なすことができる。スカラーをベクトルと区別し、これら二つをより一般のテンソルから区別しているのは、その要素の表現にもちいられる配列の添字の組の数である。この数はテンソルの階数（または位数）とよばれる。したがってスカラーは階数 0（添字は必要ない）のテンソルであり、ベクトルは階数 1 のテンソルだということになる。
テンソルの別の例は一般相対性理論におけるリーマン曲率テンソルであり、次元<4, 4, 4, 4>（空間3次元と時間1次元で合わせて4次元）の4階テンソルとして表現される。これは256（ = 4 × 4 × 4 × 4）の成分を持っているが、実際に独立な要素の数は20であり、表記を大きく単純化することができる[4]。
(引用終り)
以上
579１３２人目の素数さん
2020/09/24(木) 06:27:45.02ID:H6sqOdXp ◆yH25M02vWFhP 四度目の死
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1600350445/134
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1600350445/134
580１３２人目の素数さん
2020/09/24(木) 06:29:20.65ID:H6sqOdXp 「n×n行列の行列式は、n階(共変)テンソルである」
テンソル
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB
「テンソルの変換法則が実際に基底の取り方に依らないことは証明できることではあるが、
しばしばより内在的な定義が取り上げられる。
その一つが、テンソルを多重線型写像として定義することである。」
交代多重線型形式
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%A4%E4%BB%A3%E5%A4%9A%E9%87%8D%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%BD%A2%E5%BC%8F
「線型代数学における行列の行列式や、
微分幾何学における微分形式は
多重線型交代形式の重要な例である。」
多重線型交代写像
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%87%8D%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BA%A4%E4%BB%A3%E5%86%99%E5%83%8F
「W = K のときを考えれば、函数 det_e は
f(e_1,…,e_n)=1 を満たす唯一の n-重線型交代形式 f
として特徴づけられる。」
◆yH25M02vWFhP 今度こそキッチリ死んで、
次は、数学のわかる賢いヤツに生まれ変われよ！
テンソル
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB
「テンソルの変換法則が実際に基底の取り方に依らないことは証明できることではあるが、
しばしばより内在的な定義が取り上げられる。
その一つが、テンソルを多重線型写像として定義することである。」
交代多重線型形式
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%A4%E4%BB%A3%E5%A4%9A%E9%87%8D%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%BD%A2%E5%BC%8F
「線型代数学における行列の行列式や、
微分幾何学における微分形式は
多重線型交代形式の重要な例である。」
多重線型交代写像
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%87%8D%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BA%A4%E4%BB%A3%E5%86%99%E5%83%8F
「W = K のときを考えれば、函数 det_e は
f(e_1,…,e_n)=1 を満たす唯一の n-重線型交代形式 f
として特徴づけられる。」
◆yH25M02vWFhP 今度こそキッチリ死んで、
次は、数学のわかる賢いヤツに生まれ変われよ！
581現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/24(木) 10:29:57.31ID:2CuZB/b0 >>567
ヤング率ね
下記英文wikipedia によると
”However, the first use of the concept of Young's modulus in experiments was by Giordano Riccati in 1782?predating Young by 25 years.[35] Furthermore, the idea can be traced to a paper by Leonhard Euler published in 1727, some 80 years before Thomas Young's 1807 paper.”
とある。オイラーは偉大だね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A4%E3%83%B3%E3%82%B0%E7%8E%87
ヤング率
ヤング率（ヤングりつ、英語: Young's modulus）は、フックの法則が成立する弾性範囲における、同軸方向のひずみと応力の比例定数である[1]。
この名称はトマス・ヤングに由来する。縦弾性係数（たてだんせいけいすう、英語: modulus of longitudinal elasticity[1]）とも呼ばれる。
概要
ヤング率は、線形弾性体ではフックの法則
ε = σ/ E
ε：ひずみ，σ：応力，E：ヤング率
より、
E= σ/ε
である。
一般の材料では、一方向の引張りまたは圧縮応力の方向に対するひずみ量の関係から求める。ヤング率は、縦軸に応力、横軸にひずみをとった応力-ひずみ曲線の直線部の傾きに相当する。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%83%9E%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%A4%E3%83%B3%E3%82%B0
トマス・ヤング（Thomas Young, 1773年6月13日 - 1829年5月10日）は、イギリスの物理学者。
弾性体力学の基本定数ヤング率に名前を残している。ほかにエネルギー (energy) という用語を最初に用い、その概念を導入した。
https://en.wikipedia.org/wiki/Thomas_Young_(scientist)
Thomas Young (scientist)
Young's modulus
Main article: Young's modulus
Young described the characterization of elasticity that came to be known as Young's modulus, denoted as E, in 1807, and further described it in his Course of Lectures on Natural Philosophy and the Mechanical Arts.[34]
However, the first use of the concept of Young's modulus in experiments was by Giordano Riccati in 1782?predating Young by 25 years.[35] Furthermore, the idea can be traced to a paper by Leonhard Euler published in 1727, some 80 years before Thomas Young's 1807 paper.
ヤング率ね
下記英文wikipedia によると
”However, the first use of the concept of Young's modulus in experiments was by Giordano Riccati in 1782?predating Young by 25 years.[35] Furthermore, the idea can be traced to a paper by Leonhard Euler published in 1727, some 80 years before Thomas Young's 1807 paper.”
とある。オイラーは偉大だね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A4%E3%83%B3%E3%82%B0%E7%8E%87
ヤング率
ヤング率（ヤングりつ、英語: Young's modulus）は、フックの法則が成立する弾性範囲における、同軸方向のひずみと応力の比例定数である[1]。
この名称はトマス・ヤングに由来する。縦弾性係数（たてだんせいけいすう、英語: modulus of longitudinal elasticity[1]）とも呼ばれる。
概要
ヤング率は、線形弾性体ではフックの法則
ε = σ/ E
ε：ひずみ，σ：応力，E：ヤング率
より、
E= σ/ε
である。
一般の材料では、一方向の引張りまたは圧縮応力の方向に対するひずみ量の関係から求める。ヤング率は、縦軸に応力、横軸にひずみをとった応力-ひずみ曲線の直線部の傾きに相当する。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%83%9E%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%A4%E3%83%B3%E3%82%B0
トマス・ヤング（Thomas Young, 1773年6月13日 - 1829年5月10日）は、イギリスの物理学者。
弾性体力学の基本定数ヤング率に名前を残している。ほかにエネルギー (energy) という用語を最初に用い、その概念を導入した。
https://en.wikipedia.org/wiki/Thomas_Young_(scientist)
Thomas Young (scientist)
Young's modulus
Main article: Young's modulus
Young described the characterization of elasticity that came to be known as Young's modulus, denoted as E, in 1807, and further described it in his Course of Lectures on Natural Philosophy and the Mechanical Arts.[34]
However, the first use of the concept of Young's modulus in experiments was by Giordano Riccati in 1782?predating Young by 25 years.[35] Furthermore, the idea can be traced to a paper by Leonhard Euler published in 1727, some 80 years before Thomas Young's 1807 paper.
582現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/24(木) 10:43:07.99ID:2CuZB/b0 内積：二つのベクトルに対してある数（スカラー）を定める二項演算であるためスカラー積（スカラーせき、英: scalar product）ともいう。
多重線型写像：多重線型写像の終域が係数体（スカラー値）のときはとくに多重線型形式と言う。
例えば、スカラー積は対称双線型形式であり、行列式は正方行列の列（あるいは行）ベクトルを引数と見れば多重線型形式である。
では、内積はテンソルか？ｗｗ
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%85%E7%A9%8D
内積
線型代数学における内積（ないせき、英: inner product）は、（実または複素）ベクトル空間上で定義される非退化かつ正定値のエルミート半双線型形式（実係数の場合には対称双線型形式）のことである。二つのベクトルに対してある数（スカラー）を定める二項演算であるためスカラー積（スカラーせき、英: scalar product）ともいう。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%87%8D%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%86%99%E5%83%8F
多重線型写像
一変数の多重線型写像は線型写像であり、二変数のそれは双線型写像である。より一般に、k 変数の多重線型写像は k 重線型写像 (k-linear map) と呼ばれる。多重線型写像の終域が係数体（スカラー値）のときはとくに多重線型形式と言う。例えば、スカラー積は対称双線型形式であり、行列式は正方行列の列（あるいは行）ベクトルを引数と見れば多重線型形式である。
すべての変数が同じ空間に属していれば、対称（英語版）、反対称、交代（英語版） k 重線型写像を考えることができる（注意すべき点として、基礎（英語版）環（あるいは体）の標数が 2 でなければ後ろ2つは一致し、標数が 2 であれば前2つは一致する）。例えば、スカラー積は対称であり、行列式は反対称である。
多重線型写像や多重線型形式は多重線型代数において研究の基本的な対象である。多重線型写像の系統的な研究により行列式、外積（フランス語版）、そして幾何学的内容を含む多くの他の道具の一般的な定義が得られる。
目次
1 定義
2 成分表示
3 テンソル積との関係
4 対称性・反対称性・交代性
例
・任意の双線型写像は多重線型写像である。例えば、ベクトル空間上の任意の内積や R3 のベクトルのクロス積は多重線型写像である。
多重線型写像：多重線型写像の終域が係数体（スカラー値）のときはとくに多重線型形式と言う。
例えば、スカラー積は対称双線型形式であり、行列式は正方行列の列（あるいは行）ベクトルを引数と見れば多重線型形式である。
では、内積はテンソルか？ｗｗ
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%85%E7%A9%8D
内積
線型代数学における内積（ないせき、英: inner product）は、（実または複素）ベクトル空間上で定義される非退化かつ正定値のエルミート半双線型形式（実係数の場合には対称双線型形式）のことである。二つのベクトルに対してある数（スカラー）を定める二項演算であるためスカラー積（スカラーせき、英: scalar product）ともいう。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%87%8D%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%86%99%E5%83%8F
多重線型写像
一変数の多重線型写像は線型写像であり、二変数のそれは双線型写像である。より一般に、k 変数の多重線型写像は k 重線型写像 (k-linear map) と呼ばれる。多重線型写像の終域が係数体（スカラー値）のときはとくに多重線型形式と言う。例えば、スカラー積は対称双線型形式であり、行列式は正方行列の列（あるいは行）ベクトルを引数と見れば多重線型形式である。
すべての変数が同じ空間に属していれば、対称（英語版）、反対称、交代（英語版） k 重線型写像を考えることができる（注意すべき点として、基礎（英語版）環（あるいは体）の標数が 2 でなければ後ろ2つは一致し、標数が 2 であれば前2つは一致する）。例えば、スカラー積は対称であり、行列式は反対称である。
多重線型写像や多重線型形式は多重線型代数において研究の基本的な対象である。多重線型写像の系統的な研究により行列式、外積（フランス語版）、そして幾何学的内容を含む多くの他の道具の一般的な定義が得られる。
目次
1 定義
2 成分表示
3 テンソル積との関係
4 対称性・反対称性・交代性
例
・任意の双線型写像は多重線型写像である。例えば、ベクトル空間上の任意の内積や R3 のベクトルのクロス積は多重線型写像である。
583現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/24(木) 11:27:05.30ID:2CuZB/b0 >>582 関連
多重線型写像に「テンソル積との関係」という記述があります。ご参考
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%87%8D%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%86%99%E5%83%8F
多重線型写像
目次
1 定義
2 成分表示
3 テンソル積との関係
4 対称性・反対称性・交代性
テンソル積との関係
多重線型写像は本質的にテンソル積空間上の線型写像であると考えることができる。
すなわち多重線型写像の空間 L(E1, ・・・, Ek; F) と線型写像の空間 L(E1 〇x ・・・ 〇x Ek; F) との間に自然な一対一対応が存在する（テンソル積の普遍性）。
ここに E1 〇x ・・・ 〇x Ek は E1, ・・・, Ek のテンソル積である。
この対応関係において対応する多重線型写像 f： E_1 ｘ ・・・ ｘ E_k→ F と線型写像 ~f： E_1〇x ・・・ 〇x E_k→ F の間の関係は、
等式
~f(x_1〇x ・・・ 〇x x_k)=f(x_1,・・・ ,x_k) (x_i∈ E_i)
によって端的に表される。すなわち、この等式を満たすという意味で
f は ~f の制限であり、
~f は f の唯一の線型な拡張である[注釈 1]。
注釈1^
上記の関係式では
~f の値は単純テンソル上でしか与えられていないが、単純テンソルの全体はテンソル積空間全体を生成するから、
線型写像 ~f はこれだけで一意に決定されることに注意する。
＜英文＞
https://en.wikipedia.org/wiki/Multilinear_map
Multilinear map
Contents
1 Examples
2 Coordinate representation
3 Example
4 Relation to tensor products
Relation to tensor products
There is a natural one-to-one correspondence between multilinear maps
f： V_1ｘ ・・・ ｘ V_n→ W,
and linear maps
F： V_1〇x ・・・ 〇x V_n→ W,
where V_1〇x ・・・ 〇x V_n denotes the tensor product of V_1,・・・ ,V_n. The relation between the functions f and F is given by the formula
F(v_1〇x ・・・ 〇x v_n)=f(v_1,・・・ ,v_n).
多重線型写像に「テンソル積との関係」という記述があります。ご参考
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%87%8D%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%86%99%E5%83%8F
多重線型写像
目次
1 定義
2 成分表示
3 テンソル積との関係
4 対称性・反対称性・交代性
テンソル積との関係
多重線型写像は本質的にテンソル積空間上の線型写像であると考えることができる。
すなわち多重線型写像の空間 L(E1, ・・・, Ek; F) と線型写像の空間 L(E1 〇x ・・・ 〇x Ek; F) との間に自然な一対一対応が存在する（テンソル積の普遍性）。
ここに E1 〇x ・・・ 〇x Ek は E1, ・・・, Ek のテンソル積である。
この対応関係において対応する多重線型写像 f： E_1 ｘ ・・・ ｘ E_k→ F と線型写像 ~f： E_1〇x ・・・ 〇x E_k→ F の間の関係は、
等式
~f(x_1〇x ・・・ 〇x x_k)=f(x_1,・・・ ,x_k) (x_i∈ E_i)
によって端的に表される。すなわち、この等式を満たすという意味で
f は ~f の制限であり、
~f は f の唯一の線型な拡張である[注釈 1]。
注釈1^
上記の関係式では
~f の値は単純テンソル上でしか与えられていないが、単純テンソルの全体はテンソル積空間全体を生成するから、
線型写像 ~f はこれだけで一意に決定されることに注意する。
＜英文＞
https://en.wikipedia.org/wiki/Multilinear_map
Multilinear map
Contents
1 Examples
2 Coordinate representation
3 Example
4 Relation to tensor products
Relation to tensor products
There is a natural one-to-one correspondence between multilinear maps
f： V_1ｘ ・・・ ｘ V_n→ W,
and linear maps
F： V_1〇x ・・・ 〇x V_n→ W,
where V_1〇x ・・・ 〇x V_n denotes the tensor product of V_1,・・・ ,V_n. The relation between the functions f and F is given by the formula
F(v_1〇x ・・・ 〇x v_n)=f(v_1,・・・ ,v_n).
584現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/24(木) 12:20:09.60ID:2CuZB/b0 >>583 補足
ja.wikipedia ”多重線型写像”の和文がおかしいな（下記）
英 for each i, if all of the variables but v_i are held constant, then f(v_1,・・・ v_i,・・・ v_n) is a linear function of v_i.[1]
和 各 i に対して、vi を除くすべての変数を固定して変化させないとき、 f(v_1,・・・ ,v_n) は vi に関して線型である[1]。
なんか、和文の意味が取れないと思ったら、誤訳かね
「vi を除くすべての変数を固定して変化させないとき」
”if all of the variables but v_i are held constant”
”held constant”は、定数でいいんじゃない？
で、”but v_i are held constant ”のところ、「vi を除くすべての変数を固定して変化させないとき」は、意味逆じゃね？（＾＾；
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%87%8D%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%86%99%E5%83%8F
多重線型写像
正確には、多重線型写像は、 V_1,・・・ ,V_n および W をベクトル空間（あるいは可換環上の加群）として、次の性質を満たす写像
f： V_1ｘ ・・・ ｘ V_n→ W
である： 各 i に対して、vi を除くすべての変数を固定して変化させないとき、 f(v_1,・・・ ,v_n) は vi に関して線型である[1]。
＜英文＞
https://en.wikipedia.org/wiki/Multilinear_map
Multilinear map
More precisely, a multilinear map is a function
f： V_1ｘ ・・・ ｘ V_n→ W,
where V_1,・・・ ,V_n and W are vector spaces (or modules over a commutative ring), with the following property: for each i, if all of the variables but v_i are held constant, then f(v_1,・・・ v_i,・・・ v_n) is a linear function of v_i.[1]
ja.wikipedia ”多重線型写像”の和文がおかしいな（下記）
英 for each i, if all of the variables but v_i are held constant, then f(v_1,・・・ v_i,・・・ v_n) is a linear function of v_i.[1]
和 各 i に対して、vi を除くすべての変数を固定して変化させないとき、 f(v_1,・・・ ,v_n) は vi に関して線型である[1]。
なんか、和文の意味が取れないと思ったら、誤訳かね
「vi を除くすべての変数を固定して変化させないとき」
”if all of the variables but v_i are held constant”
”held constant”は、定数でいいんじゃない？
で、”but v_i are held constant ”のところ、「vi を除くすべての変数を固定して変化させないとき」は、意味逆じゃね？（＾＾；
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%87%8D%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%86%99%E5%83%8F
多重線型写像
正確には、多重線型写像は、 V_1,・・・ ,V_n および W をベクトル空間（あるいは可換環上の加群）として、次の性質を満たす写像
f： V_1ｘ ・・・ ｘ V_n→ W
である： 各 i に対して、vi を除くすべての変数を固定して変化させないとき、 f(v_1,・・・ ,v_n) は vi に関して線型である[1]。
＜英文＞
https://en.wikipedia.org/wiki/Multilinear_map
Multilinear map
More precisely, a multilinear map is a function
f： V_1ｘ ・・・ ｘ V_n→ W,
where V_1,・・・ ,V_n and W are vector spaces (or modules over a commutative ring), with the following property: for each i, if all of the variables but v_i are held constant, then f(v_1,・・・ v_i,・・・ v_n) is a linear function of v_i.[1]
585現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/24(木) 13:04:02.68ID:2CuZB/b0 >>584 訂正
(引用開始)
「vi を除くすべての変数を固定して変化させないとき」
”if all of the variables but v_i are held constant”
(引用終り)
？
これで良いのか
”are held constant”は、複数形だかならね（＾＾；
(引用開始)
「vi を除くすべての変数を固定して変化させないとき」
”if all of the variables but v_i are held constant”
(引用終り)
？
これで良いのか
”are held constant”は、複数形だかならね（＾＾；
586現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/24(木) 13:12:00.49ID:2CuZB/b0 >>585 追加
各 i に対して、vi を除くすべての変数を固定して変化させないとき、 f(v_1,・・・ ,v_n) は vi に関して線型である[1]。
for each i, if all of the variables but v_i are held constant, then f(v_1,・・・ v_i,・・・ v_n) is a linear function of v_i.[1]
ここで、”linear function of v_i”をしっかり訳して、f(v_1,・・・ v_i,・・・ v_n)とv_iを明示して
”各 i に対して、vi を除くすべての変数を固定して変化させないとき、 f(v_1,・・・ v_i,・・・ ,v_n) は viの線型関数となる[1]。”
くらいにしないと、意味取りにくいな（＾＾
各 i に対して、vi を除くすべての変数を固定して変化させないとき、 f(v_1,・・・ ,v_n) は vi に関して線型である[1]。
for each i, if all of the variables but v_i are held constant, then f(v_1,・・・ v_i,・・・ v_n) is a linear function of v_i.[1]
ここで、”linear function of v_i”をしっかり訳して、f(v_1,・・・ v_i,・・・ v_n)とv_iを明示して
”各 i に対して、vi を除くすべての変数を固定して変化させないとき、 f(v_1,・・・ v_i,・・・ ,v_n) は viの線型関数となる[1]。”
くらいにしないと、意味取りにくいな（＾＾
587１３２人目の素数さん
2020/09/24(木) 16:54:17.81ID:H6sqOdXp >>582
>内積：二つのベクトルに対してある数（スカラー）を定める二項演算であるため
> スカラー積（スカラーせき、英: scalar product）ともいう。
>多重線型写像：多重線型写像の終域が係数体（スカラー値）のときは
> とくに多重線型形式と言う。
>例えば、スカラー積は対称双線型形式であり、
>行列式は正方行列の列（あるいは行）ベクトルを引数と見れば多重線型形式である。
>では、内積はテンソルか？ｗｗ
ええ、内積も、行列式同様、テンソルですが、何か？
（完）
>内積：二つのベクトルに対してある数（スカラー）を定める二項演算であるため
> スカラー積（スカラーせき、英: scalar product）ともいう。
>多重線型写像：多重線型写像の終域が係数体（スカラー値）のときは
> とくに多重線型形式と言う。
>例えば、スカラー積は対称双線型形式であり、
>行列式は正方行列の列（あるいは行）ベクトルを引数と見れば多重線型形式である。
>では、内積はテンソルか？ｗｗ
ええ、内積も、行列式同様、テンソルですが、何か？
（完）
588１３２人目の素数さん
2020/09/24(木) 16:56:30.99ID:H6sqOdXp >>584
>"all of the variables but v_i …"
>なんか、和文の意味が取れないと思ったら、誤訳かね
>「vi を除くすべての変数・・・」は、意味逆じゃね？
なんだ、◆yH25M02vWFhPは、数学だけじゃなく英語もダメなのか？
”all ○ but ●”（●以外の○全部）も知らんとは（呆）
例えば
”all but finitely many ・・・”は、
「有限個の例外を除いて（すべて）」の意味
>"all of the variables but v_i …"
>なんか、和文の意味が取れないと思ったら、誤訳かね
>「vi を除くすべての変数・・・」は、意味逆じゃね？
なんだ、◆yH25M02vWFhPは、数学だけじゃなく英語もダメなのか？
”all ○ but ●”（●以外の○全部）も知らんとは（呆）
例えば
”all but finitely many ・・・”は、
「有限個の例外を除いて（すべて）」の意味
589１３２人目の素数さん
2020/09/24(木) 16:58:38.55ID:H6sqOdXp >>586
（「vi に関して線型である」について）
>”linear function of v_i”をしっかり訳して
> 「viの線型関数となる」くらいにしないと
>意味取りにくいな
関係ないな
単に、◆yH25M02vWFhPが、
（数学だけでなく）英語も不勉強で
”all … but …”を知らんだけ
こんな🐎🦌じゃ、国立大学なんか、到底受かるわけねぇな
（「vi に関して線型である」について）
>”linear function of v_i”をしっかり訳して
> 「viの線型関数となる」くらいにしないと
>意味取りにくいな
関係ないな
単に、◆yH25M02vWFhPが、
（数学だけでなく）英語も不勉強で
”all … but …”を知らんだけ
こんな🐎🦌じゃ、国立大学なんか、到底受かるわけねぇな
590１３２人目の素数さん
2020/09/24(木) 17:18:16.34ID:vInmwnby >>584
>"all of the variables but v_i …"
>なんか、和文の意味が取れないと思ったら、誤訳かね
>「vi を除くすべての変数・・・」は、意味逆じゃね？
「vi を除くすべての変数・・・」で合ってるよ。
このbutは「～以外の」という意味の前置詞な。butは接続詞のみと思ったら間違い。
>"all of the variables but v_i …"
>なんか、和文の意味が取れないと思ったら、誤訳かね
>「vi を除くすべての変数・・・」は、意味逆じゃね？
「vi を除くすべての変数・・・」で合ってるよ。
このbutは「～以外の」という意味の前置詞な。butは接続詞のみと思ったら間違い。
591１３２人目の素数さん
2020/09/24(木) 18:54:48.44ID:SCQzjZ4+ 大阪符内大学学部別偏差値一覧
https://www.univ-library.com/osaka.html
より詳細に
大阪符内大学学科別偏差値一覧
https://www.minkou.jp/university/search/pref=osaka/
https://www.univ-library.com/osaka.html
より詳細に
大阪符内大学学科別偏差値一覧
https://www.minkou.jp/university/search/pref=osaka/
592現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/24(木) 20:15:42.68ID:TqvS6Yz8 >>591
ご苦労さん（＾＾
ご苦労さん（＾＾
593現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/24(木) 20:28:17.23ID:TqvS6Yz8 >>587
(引用開始)
>では、内積はテンソルか？ｗｗ
ええ、内積も、行列式同様、テンソルですが、何か？
（完）
(引用終り)
へへー
「内積も、行列式同様、テンソルです」か
強弁・詭弁も、ここまでくれば、立派なもの
真の数学とはほど遠いけどなｗ（＾＾
ソフィスト：（古代ギリシャ）政治的成功を望む人間は大衆に自己の主張を信じさせる能力を必要とした。そのためには、自信たっぷりに物事を語ることで人々を納得させ、支持を取り付けるものとしての話術の習得が必須であった
とあるな
面白い（＾＾；
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BD%E3%83%95%E3%82%A3%E3%82%B9%E3%83%88
ソフィスト
ソフィスト（英: Sophist, 古希: Σοφιστ??, Sophist?s, ソピステース）は、紀元前5世紀ごろ、すなわちペルシア戦争後からペロポネソス戦争ごろにかけて、主にギリシアのアテナイを中心に活動した、金銭を受け取って徳を教えるとされた弁論家・教育家の総称。
ギリシア語に忠実な読みはソピステースである。語源としては「賢くする」を意味する動詞「ソピゾー」（σοφ?ζω）から作られた名詞であり、「賢くする人」「智が働くようにしてくれる人」「教えてくれる人」といった意味がある。代表的なソフィストに、プロタゴラス、ヒッピアス、ゴルギアス、プロディコスがいる。彼らの同時代人にソクラテスがいる。
時代背景
ソロンの立法（紀元前594年）、クレイステネスの改革（紀元前507年）を経てアテナイには民主制が形成される。この世界史に初めて登場する民主制は、従来の有力・富裕氏族による独裁を防ぎ、選挙・抽選によって国民（女性・未成年・奴隷を除く）のほとんど全てが政治に関わることを可能とした。
しかし、ペロポネソス戦争の頃から、冷静に政治的判断を行うべき評議会（政務審査会）はその機能を失う。評議会には説得力のある雄弁を用いて言論を支配するデマゴーグ（煽動的民衆指導者）が現れるようになり、戦争期の興奮の中、デマゴーグの誘導によって国策が決められるようになってしまった。
つづく
(引用開始)
>では、内積はテンソルか？ｗｗ
ええ、内積も、行列式同様、テンソルですが、何か？
（完）
(引用終り)
へへー
「内積も、行列式同様、テンソルです」か
強弁・詭弁も、ここまでくれば、立派なもの
真の数学とはほど遠いけどなｗ（＾＾
ソフィスト：（古代ギリシャ）政治的成功を望む人間は大衆に自己の主張を信じさせる能力を必要とした。そのためには、自信たっぷりに物事を語ることで人々を納得させ、支持を取り付けるものとしての話術の習得が必須であった
とあるな
面白い（＾＾；
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BD%E3%83%95%E3%82%A3%E3%82%B9%E3%83%88
ソフィスト
ソフィスト（英: Sophist, 古希: Σοφιστ??, Sophist?s, ソピステース）は、紀元前5世紀ごろ、すなわちペルシア戦争後からペロポネソス戦争ごろにかけて、主にギリシアのアテナイを中心に活動した、金銭を受け取って徳を教えるとされた弁論家・教育家の総称。
ギリシア語に忠実な読みはソピステースである。語源としては「賢くする」を意味する動詞「ソピゾー」（σοφ?ζω）から作られた名詞であり、「賢くする人」「智が働くようにしてくれる人」「教えてくれる人」といった意味がある。代表的なソフィストに、プロタゴラス、ヒッピアス、ゴルギアス、プロディコスがいる。彼らの同時代人にソクラテスがいる。
時代背景
ソロンの立法（紀元前594年）、クレイステネスの改革（紀元前507年）を経てアテナイには民主制が形成される。この世界史に初めて登場する民主制は、従来の有力・富裕氏族による独裁を防ぎ、選挙・抽選によって国民（女性・未成年・奴隷を除く）のほとんど全てが政治に関わることを可能とした。
しかし、ペロポネソス戦争の頃から、冷静に政治的判断を行うべき評議会（政務審査会）はその機能を失う。評議会には説得力のある雄弁を用いて言論を支配するデマゴーグ（煽動的民衆指導者）が現れるようになり、戦争期の興奮の中、デマゴーグの誘導によって国策が決められるようになってしまった。
つづく
594現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/24(木) 20:28:40.03ID:TqvS6Yz8 >>593
つづき
そのような社会状況の中で、政治的成功を望む人間は大衆に自己の主張を信じさせる能力を必要とした。そのためには、自信たっぷりに物事を語ることで人々を納得させ、支持を取り付けるものとしての話術の習得が必須であった。ここに、大金を出して雄弁の技術を身につけようとする者と、それを教えるとするソフィストの関係が成り立つこととなった。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A9%AD%E5%BC%81
詭弁
詭弁（詭辯、きべん、希: σοφιστικ?、英: sophism）とは、主に説得を目的として、命題の証明の際に、実際には誤っている論理展開が用いられている推論。誤っていることを正しいと思わせるように仕向けた議論。奇弁、危弁とも。意図的ではない誤謬は異なる概念。
歴史
「詭弁」という語は、『史記』に見ることができる。 「屈原賈生列伝」で「設詭辯於懐王之寵姫鄭袖（詭弁を懐王の寵姫鄭袖に設く）」との用例がある[8]。 「五宗世家」で「好法律持詭辯以中人（法律を好み詭弁を持して、以て人に中つ）」との用例があり[9]、『史記索隠』は詭弁の語義について「詭誑ノ弁」（あざむき、たぶらかす言葉）と注している。
古代中国の詭弁は学問的な発展につながらなかったが、古代ギリシャの時代には詭弁が飛躍的に発展し後世の論理学の発展へとつながっていった[10]。この時代は、弁舌に長じた哲学者達を多く輩出し、日本語で「詭弁家」とも称されるソフィストを生んだ。 ゼノンやプロタゴラスは紀元前400年以前のギリシアのアテナイなどで活躍し、哲学の分類では名家やソフィストなどを含めて詭弁学派と呼ぶことがある。
ギリシャ、ローマの時代では、為政者、立候補者が高い地位につくために、人心を得る演説をする必要があった。そのためには、正当な弁論術よりも、詭弁、強弁、争論が有用であったため、ソフィストが台頭することとなった[12]。
(引用終り)
以上
つづき
そのような社会状況の中で、政治的成功を望む人間は大衆に自己の主張を信じさせる能力を必要とした。そのためには、自信たっぷりに物事を語ることで人々を納得させ、支持を取り付けるものとしての話術の習得が必須であった。ここに、大金を出して雄弁の技術を身につけようとする者と、それを教えるとするソフィストの関係が成り立つこととなった。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A9%AD%E5%BC%81
詭弁
詭弁（詭辯、きべん、希: σοφιστικ?、英: sophism）とは、主に説得を目的として、命題の証明の際に、実際には誤っている論理展開が用いられている推論。誤っていることを正しいと思わせるように仕向けた議論。奇弁、危弁とも。意図的ではない誤謬は異なる概念。
歴史
「詭弁」という語は、『史記』に見ることができる。 「屈原賈生列伝」で「設詭辯於懐王之寵姫鄭袖（詭弁を懐王の寵姫鄭袖に設く）」との用例がある[8]。 「五宗世家」で「好法律持詭辯以中人（法律を好み詭弁を持して、以て人に中つ）」との用例があり[9]、『史記索隠』は詭弁の語義について「詭誑ノ弁」（あざむき、たぶらかす言葉）と注している。
古代中国の詭弁は学問的な発展につながらなかったが、古代ギリシャの時代には詭弁が飛躍的に発展し後世の論理学の発展へとつながっていった[10]。この時代は、弁舌に長じた哲学者達を多く輩出し、日本語で「詭弁家」とも称されるソフィストを生んだ。 ゼノンやプロタゴラスは紀元前400年以前のギリシアのアテナイなどで活躍し、哲学の分類では名家やソフィストなどを含めて詭弁学派と呼ぶことがある。
ギリシャ、ローマの時代では、為政者、立候補者が高い地位につくために、人心を得る演説をする必要があった。そのためには、正当な弁論術よりも、詭弁、強弁、争論が有用であったため、ソフィストが台頭することとなった[12]。
(引用終り)
以上
595１３２人目の素数さん
2020/09/24(木) 21:04:13.77ID:H6sqOdXp >>593
＞「内積も、行列式同様、テンソルです」か
ええ
それが真の数学ですが
大学にも入れない🐎🦌には理解できなかったかな？（嘲）
数学はともかく、英語でall butも知らないんじゃねｗｗｗｗｗｗｗ
＞「内積も、行列式同様、テンソルです」か
ええ
それが真の数学ですが
大学にも入れない🐎🦌には理解できなかったかな？（嘲）
数学はともかく、英語でall butも知らないんじゃねｗｗｗｗｗｗｗ
596１３２人目の素数さん
2020/09/24(木) 21:56:43.65ID:H6sqOdXp >>591
◆yH25M02vWFhP は 大阪と大学の間の２文字を省略したらしいｗ
ちなみにもっとも偏差値の低い大阪＊＊大学のシラバスを確認したが
代数学１～３で線型代数をやるらしい
１はベクトルと行列（正則行列、逆行列）と一次変換で終わってしまい
２でやっと行列式、３で固有値をやるらしい
使ってるテキストを調べたが、レビューがボロクソだったには泣けた
教科書くらい分かりやすいものを作れよといいたい
◆yH25M02vWFhP は 大阪と大学の間の２文字を省略したらしいｗ
ちなみにもっとも偏差値の低い大阪＊＊大学のシラバスを確認したが
代数学１～３で線型代数をやるらしい
１はベクトルと行列（正則行列、逆行列）と一次変換で終わってしまい
２でやっと行列式、３で固有値をやるらしい
使ってるテキストを調べたが、レビューがボロクソだったには泣けた
教科書くらい分かりやすいものを作れよといいたい
597１３２人目の素数さん
2020/09/24(木) 22:04:30.89ID:H6sqOdXp ただの線型代数で四苦八苦してるような大学じゃ
テンソルとか外積代数とかいうだけで最先端とか思ってるだろうし
線型表現なんて出てきた日には白目剥いて泡吹いて卒倒するんじゃないだろか？
テンソルとか外積代数とかいうだけで最先端とか思ってるだろうし
線型表現なんて出てきた日には白目剥いて泡吹いて卒倒するんじゃないだろか？
598１３２人目の素数さん
2020/09/24(木) 23:26:33.62ID:YmbVQKzN599現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/25(金) 07:20:05.53ID:r08k0jea >>593 補足
>「内積も、行列式同様、テンソルです」か
>強弁・詭弁も、ここまでくれば、立派なもの
説明します（＾＾
内積とテンソルの違い
”ベクトル解析 物理のかぎしっぽ”の”もういちどだけ内積・外積”にあるよ
内積はテンソル積を使って説明できる
（原文見る方が、良いです。この板ではテンソル積（丸にxが入った）が書けないので◯xで代用しているし、添え字（上付き、下付き）も不便なので視認性が悪いから）
要するに、内積はテンソル積を使って説明できるが、テンソルではない
テンソル：私達は，最初にそのままベクトルを掛け合わせ，そこに独特のルールを課することで内積と外積を分離しましたが，何も分離しないで，そのままテンソル積 ◯x の形で考えることもできます．このようにして出てきた量は，テンソルと呼ばれます．
ってあるよ
関連のところも、引用しておいたので見て下さい
”テンソルの概念”、”多重線形性とテンソル空間”などもご参照
（”ベクトル解析 物理のかぎしっぽ”は、よく書けていると思うので、興味のある人は他の箇所も読んでおくといいです（＾＾ ）
（なお、”注 たまに，テンソルのことを行列だと勘違いしている人に遭遇します”とか、”注 ベクトルの集合は ベクトル空間 と呼ばれる代数構造を持ちますが，ベクトルの元同士に適切な乗法を定義したベクトル空間を代数と呼びます．代数と言うと，代数学の意味もありますから紛らわしいですが，数学者は乗法の定義されたベクトル空間を代数と呼んでしまっても混乱しないようです．テンソル積によってベクトル空間から生成される代数は テンソル代数 と呼ばれます．”とかも（＾＾； ）
（参考）
http://hooktail.org/misc/index.php?%A5%D9%A5%AF%A5%C8%A5%EB%B2%F2%C0%CF
ベクトル解析 物理のかぎしっぽ
http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/ReviewVectorProds/
もういちどだけ内積・外積
(抜粋)
ベクトルの掛け算（テンソル積）
{A}=a^1{e_1}+a^2{e_2}+a^3{e_3}
{B}=b^1{e_1}+b^2{e_2}+b^3{e_3}
つづく
>「内積も、行列式同様、テンソルです」か
>強弁・詭弁も、ここまでくれば、立派なもの
説明します（＾＾
内積とテンソルの違い
”ベクトル解析 物理のかぎしっぽ”の”もういちどだけ内積・外積”にあるよ
内積はテンソル積を使って説明できる
（原文見る方が、良いです。この板ではテンソル積（丸にxが入った）が書けないので◯xで代用しているし、添え字（上付き、下付き）も不便なので視認性が悪いから）
要するに、内積はテンソル積を使って説明できるが、テンソルではない
テンソル：私達は，最初にそのままベクトルを掛け合わせ，そこに独特のルールを課することで内積と外積を分離しましたが，何も分離しないで，そのままテンソル積 ◯x の形で考えることもできます．このようにして出てきた量は，テンソルと呼ばれます．
ってあるよ
関連のところも、引用しておいたので見て下さい
”テンソルの概念”、”多重線形性とテンソル空間”などもご参照
（”ベクトル解析 物理のかぎしっぽ”は、よく書けていると思うので、興味のある人は他の箇所も読んでおくといいです（＾＾ ）
（なお、”注 たまに，テンソルのことを行列だと勘違いしている人に遭遇します”とか、”注 ベクトルの集合は ベクトル空間 と呼ばれる代数構造を持ちますが，ベクトルの元同士に適切な乗法を定義したベクトル空間を代数と呼びます．代数と言うと，代数学の意味もありますから紛らわしいですが，数学者は乗法の定義されたベクトル空間を代数と呼んでしまっても混乱しないようです．テンソル積によってベクトル空間から生成される代数は テンソル代数 と呼ばれます．”とかも（＾＾； ）
（参考）
http://hooktail.org/misc/index.php?%A5%D9%A5%AF%A5%C8%A5%EB%B2%F2%C0%CF
ベクトル解析 物理のかぎしっぽ
http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/ReviewVectorProds/
もういちどだけ内積・外積
(抜粋)
ベクトルの掛け算（テンソル積）
{A}=a^1{e_1}+a^2{e_2}+a^3{e_3}
{B}=b^1{e_1}+b^2{e_2}+b^3{e_3}
つづく
600現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/25(金) 07:20:39.72ID:r08k0jea >>599
つづき
{A}◯x {B}
=(a^1{e_1}+a^2{e_2}+a^3{e_3})◯x (b^1{e_1}+b^2{e_2}+b^3{e_3})
=a^1b^1{e_1}◯x {e_1}+a^1b^2{e_1}◯x {e_2}+a^1b^3{e_1}◯x {e_3}
+a^2b^1{e_2}◯x {e_1}+a^2b^2{e_2}◯x {e_2}+a^2b^3{e_2}◯x {e_3}
+a^3b^1{e_3}◯x {e_1}+a^3b^2{e_3}◯x {e_2}+a^3b^3{e_3}◯x {e_3} (1)
内積
基底の積 {e_i}◯x {e_j} に関して，次のようなルールを決めることにします．
もし i=j ならば， {e_i}◯x {e_i} =1 とする．
もし i ≠ j ならば， {e_i}◯x {e_j} =0 とする．
すると式 (1) は次のようになります．
{A}◯x {B}
=a^1b^1{e_1}◯x {e_1}+a^2b^2{e_2}◯x {e_2}+a^3b^3{e_3}◯x {e_3}
=a^1b^1+a^2b^2+a^3b^3
このルール 1 ～ 2 を導入する場合は，特に ◯x の代わりに ・ と書くことにしましょう．
{A}・ {B}=a^1b^1+a^2b^2+a^3b^3
これはご存知の通り，内積に他なりません．
考察
内積
式 (1) で行った掛け算にはちゃんと名前がついていて，実はテンソル積と言います．テンソル積に対し，特別にルールを課すと，内積と外積という掛け算を作ることを見ました．基底の積が {e_1}◯x {e_1} のように同じ基底の積になっているものだけを内積と呼び，同様に {e_1}◯x {e_2} のように異なる基底の積になっているものを外積と呼びましたが，テンソル積の成分を次のように行列で書くと，テンソル積成分のうちどこが内積部分と外積部分に相当するのかがよく分かります．
つづく
つづき
{A}◯x {B}
=(a^1{e_1}+a^2{e_2}+a^3{e_3})◯x (b^1{e_1}+b^2{e_2}+b^3{e_3})
=a^1b^1{e_1}◯x {e_1}+a^1b^2{e_1}◯x {e_2}+a^1b^3{e_1}◯x {e_3}
+a^2b^1{e_2}◯x {e_1}+a^2b^2{e_2}◯x {e_2}+a^2b^3{e_2}◯x {e_3}
+a^3b^1{e_3}◯x {e_1}+a^3b^2{e_3}◯x {e_2}+a^3b^3{e_3}◯x {e_3} (1)
内積
基底の積 {e_i}◯x {e_j} に関して，次のようなルールを決めることにします．
もし i=j ならば， {e_i}◯x {e_i} =1 とする．
もし i ≠ j ならば， {e_i}◯x {e_j} =0 とする．
すると式 (1) は次のようになります．
{A}◯x {B}
=a^1b^1{e_1}◯x {e_1}+a^2b^2{e_2}◯x {e_2}+a^3b^3{e_3}◯x {e_3}
=a^1b^1+a^2b^2+a^3b^3
このルール 1 ～ 2 を導入する場合は，特に ◯x の代わりに ・ と書くことにしましょう．
{A}・ {B}=a^1b^1+a^2b^2+a^3b^3
これはご存知の通り，内積に他なりません．
考察
内積
式 (1) で行った掛け算にはちゃんと名前がついていて，実はテンソル積と言います．テンソル積に対し，特別にルールを課すと，内積と外積という掛け算を作ることを見ました．基底の積が {e_1}◯x {e_1} のように同じ基底の積になっているものだけを内積と呼び，同様に {e_1}◯x {e_2} のように異なる基底の積になっているものを外積と呼びましたが，テンソル積の成分を次のように行列で書くと，テンソル積成分のうちどこが内積部分と外積部分に相当するのかがよく分かります．
つづく
601現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/25(金) 07:21:38.88ID:r08k0jea >>600
つづき
テンソル
私達は，最初にそのままベクトルを掛け合わせ，そこに独特のルールを課することで内積と外積を分離しましたが，何も分離しないで，そのままテンソル積 ◯x の形で考えることもできます．このようにして出てきた量は，テンソルと呼ばれます．
注
たまに，テンソルのことを行列だと勘違いしている人に遭遇します．この勘違いは恐らく，物理学や工学に出てくるテンソルの多くが二階のテンソルで，式 (2) の行列形でいきなり教科書に紹介されることに原因していると思われます．式 (1) のように基底に着目し，ベクトルを拡張したものがテンソルだということが分かっていれば，テンソルを単なる行列だと勘違いすることは無いでしょうし，三階以上のテンソル成分を行列で表わそうと思ったら少し工夫が必要だということも察せられるでしょう．
このあと テンソルの概念 では，テンソル成分が座標変換の際に満たすべき関係式を使ってテンソルを定義します．テンソルは結構奥の深い分野ですから，それだけで色々楽しめると思います．
注
ベクトルの集合は ベクトル空間 と呼ばれる代数構造を持ちますが，ベクトルの元同士に適切な乗法を定義したベクトル空間を代数と呼びます．代数と言うと，代数学の意味もありますから紛らわしいですが，数学者は乗法の定義されたベクトル空間を代数と呼んでしまっても混乱しないようです．テンソル積によってベクトル空間から生成される代数は テンソル代数 と呼ばれます．
つづく
つづき
テンソル
私達は，最初にそのままベクトルを掛け合わせ，そこに独特のルールを課することで内積と外積を分離しましたが，何も分離しないで，そのままテンソル積 ◯x の形で考えることもできます．このようにして出てきた量は，テンソルと呼ばれます．
注
たまに，テンソルのことを行列だと勘違いしている人に遭遇します．この勘違いは恐らく，物理学や工学に出てくるテンソルの多くが二階のテンソルで，式 (2) の行列形でいきなり教科書に紹介されることに原因していると思われます．式 (1) のように基底に着目し，ベクトルを拡張したものがテンソルだということが分かっていれば，テンソルを単なる行列だと勘違いすることは無いでしょうし，三階以上のテンソル成分を行列で表わそうと思ったら少し工夫が必要だということも察せられるでしょう．
このあと テンソルの概念 では，テンソル成分が座標変換の際に満たすべき関係式を使ってテンソルを定義します．テンソルは結構奥の深い分野ですから，それだけで色々楽しめると思います．
注
ベクトルの集合は ベクトル空間 と呼ばれる代数構造を持ちますが，ベクトルの元同士に適切な乗法を定義したベクトル空間を代数と呼びます．代数と言うと，代数学の意味もありますから紛らわしいですが，数学者は乗法の定義されたベクトル空間を代数と呼んでしまっても混乱しないようです．テンソル積によってベクトル空間から生成される代数は テンソル代数 と呼ばれます．
つづく
602現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/25(金) 07:21:57.77ID:r08k0jea >>601
つづき
http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/TensorConcept/
テンソルの概念
http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/MultilinearTensor/
多重線形性とテンソル空間
(抜粋)
ここまで勉強したことを少しおさらいしておきましょう．ベクトル空間 V とその双対空間 V^{*} という考え方がベクトル代数に出てきましたが，そこで考えた線形性を二変数関数にまで拡張し，双線形性という性質を考えることで，新たにベクトル空間 V ◯x V = L_2(V^{*}) という概念に到達しました．そして， V ◯x V の元は，私達が今まで考えてきた二階のテンソルであることを確認しました．
同様にして，多変数関数に対して多重線形性という性質を考えることで，さらに高次のベクトル空間 V ◯x V ◯x ・ ・ ・ ◯x V= L_{n}(V^{*}) を考えることが出来ます．このようにして生成したベクトル空間を，一般には テンソル空間 と呼び，記号 ◯x をテンソル積と呼ぶのでした．
(引用終り)
以上
つづき
http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/TensorConcept/
テンソルの概念
http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/MultilinearTensor/
多重線形性とテンソル空間
(抜粋)
ここまで勉強したことを少しおさらいしておきましょう．ベクトル空間 V とその双対空間 V^{*} という考え方がベクトル代数に出てきましたが，そこで考えた線形性を二変数関数にまで拡張し，双線形性という性質を考えることで，新たにベクトル空間 V ◯x V = L_2(V^{*}) という概念に到達しました．そして， V ◯x V の元は，私達が今まで考えてきた二階のテンソルであることを確認しました．
同様にして，多変数関数に対して多重線形性という性質を考えることで，さらに高次のベクトル空間 V ◯x V ◯x ・ ・ ・ ◯x V= L_{n}(V^{*}) を考えることが出来ます．このようにして生成したベクトル空間を，一般には テンソル空間 と呼び，記号 ◯x をテンソル積と呼ぶのでした．
(引用終り)
以上
603現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/25(金) 15:44:36.35ID:gn+8iQGQ >>593 補足
>「内積も、行列式同様、テンソルです」か
>強弁・詭弁も、ここまでくれば、立派なもの
「行列式」について
「外積代数」：
”線型代数学において外積は、線型変換の行列式や小行列式を記述する基底の取り方に依存しない抽象代数的な仕方を提供し”
とあるけど
外積はテンソルとは違うよね
外積の記述
”5 交代テンソル代数
しかしこれはテンソル積とは異なる乗法”って書かれていますよね～（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%96%E7%A9%8D%E4%BB%A3%E6%95%B0#%E4%BA%A4%E4%BB%A3%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E4%BB%A3%E6%95%B0
外積代数
ベクトルの外積（がいせき、英語: exterior product）あるいは楔積（くさびせき、ウェッジ積、英語: wedge product）はクロス積をある特定の性質に着目して、より高次元の場合へ一般化する代数的な構成である。クロス積やスカラー三重積のようにベクトル同士の外積はユークリッド幾何学において面積や体積およびそれらの高次元における類似物の研究に用いられる。線型代数学において外積は、線型変換の行列式や小行列式を記述する基底の取り方に依存しない抽象代数的な仕方を提供し、階数や線型独立性といった概念に根本的に関係してくる。
外積代数（がいせきだいすう、英語: exterior algebra）は、ヘルマン・グラスマンに因んでグラスマン代数（グラスマンだいすう、英語: Grassmann algebra）[1]としても知られ、与えられた体 K 上のベクトル空間 V 上の外積によって生成される多元環である。多重線型代数やその関連分野と同様に、微分形式の成す多元環を通じて現代幾何学、特に微分幾何学と代数幾何学において広く用いられる。
つづく
>「内積も、行列式同様、テンソルです」か
>強弁・詭弁も、ここまでくれば、立派なもの
「行列式」について
「外積代数」：
”線型代数学において外積は、線型変換の行列式や小行列式を記述する基底の取り方に依存しない抽象代数的な仕方を提供し”
とあるけど
外積はテンソルとは違うよね
外積の記述
”5 交代テンソル代数
しかしこれはテンソル積とは異なる乗法”って書かれていますよね～（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%96%E7%A9%8D%E4%BB%A3%E6%95%B0#%E4%BA%A4%E4%BB%A3%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E4%BB%A3%E6%95%B0
外積代数
ベクトルの外積（がいせき、英語: exterior product）あるいは楔積（くさびせき、ウェッジ積、英語: wedge product）はクロス積をある特定の性質に着目して、より高次元の場合へ一般化する代数的な構成である。クロス積やスカラー三重積のようにベクトル同士の外積はユークリッド幾何学において面積や体積およびそれらの高次元における類似物の研究に用いられる。線型代数学において外積は、線型変換の行列式や小行列式を記述する基底の取り方に依存しない抽象代数的な仕方を提供し、階数や線型独立性といった概念に根本的に関係してくる。
外積代数（がいせきだいすう、英語: exterior algebra）は、ヘルマン・グラスマンに因んでグラスマン代数（グラスマンだいすう、英語: Grassmann algebra）[1]としても知られ、与えられた体 K 上のベクトル空間 V 上の外積によって生成される多元環である。多重線型代数やその関連分野と同様に、微分形式の成す多元環を通じて現代幾何学、特に微分幾何学と代数幾何学において広く用いられる。
つづく
604現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/25(金) 15:45:04.65ID:gn+8iQGQ >>603
つづき
形式的には、外積代数は ?(V) あるいは ?*(V) で表され、V を線型部分空間として含む、外積あるいは楔積と呼ばれる ∧ で表される乗法を持つ、体 K 上の単位的結合代数である。外積は結合的で双線型な乗法
∧ ： ∧ (V) ｘ ∧ (V) → ∧ (V);(α ,β )→ α ∧ β
であり、V 上の交代性
(1) 任意の v∈ V に対して v∧ v=0
を持つものである。これは以下の性質
(2) 任意の u,v∈ V に対して u∧ v=-v∧ u
(3) v_1,・・・ ,v_ｋ∈ V が一次従属ならば v_1∧ v_2∧ ・・・ ∧ v_ｋ=0
を特別の場合として含む[2]。
圏論の言葉で言えば、外積代数は普遍構成によって与えられる、ベクトル空間の圏上の函手の典型である。この普遍構成によって、体上のベクトル空間だけに限らず、可換環上の加群やもっとほかの興味ある構造にたいしても外積代数を定義することができる。外積代数は双代数のひとつの例である。つまり、外積代数の（ベクトル空間としての）双対空間にも乗法が定義され、その双対的な乗法が楔積と両立する。この双対代数は特に V 上の重線型形式全体の成す多元環で、外積代数とその双対代数との双対性は内積によって与えられる。
5 交代テンソル代数
しかしこれはテンソル積とは異なる乗法であって、Alt の核がちょうど両側イデアル I に一致して（K は標数 0 だと仮定している）、自然な同型
A(V)＝～ ∧ (V)
が存在する。
7 歴史
(引用終り)
以上
つづき
形式的には、外積代数は ?(V) あるいは ?*(V) で表され、V を線型部分空間として含む、外積あるいは楔積と呼ばれる ∧ で表される乗法を持つ、体 K 上の単位的結合代数である。外積は結合的で双線型な乗法
∧ ： ∧ (V) ｘ ∧ (V) → ∧ (V);(α ,β )→ α ∧ β
であり、V 上の交代性
(1) 任意の v∈ V に対して v∧ v=0
を持つものである。これは以下の性質
(2) 任意の u,v∈ V に対して u∧ v=-v∧ u
(3) v_1,・・・ ,v_ｋ∈ V が一次従属ならば v_1∧ v_2∧ ・・・ ∧ v_ｋ=0
を特別の場合として含む[2]。
圏論の言葉で言えば、外積代数は普遍構成によって与えられる、ベクトル空間の圏上の函手の典型である。この普遍構成によって、体上のベクトル空間だけに限らず、可換環上の加群やもっとほかの興味ある構造にたいしても外積代数を定義することができる。外積代数は双代数のひとつの例である。つまり、外積代数の（ベクトル空間としての）双対空間にも乗法が定義され、その双対的な乗法が楔積と両立する。この双対代数は特に V 上の重線型形式全体の成す多元環で、外積代数とその双対代数との双対性は内積によって与えられる。
5 交代テンソル代数
しかしこれはテンソル積とは異なる乗法であって、Alt の核がちょうど両側イデアル I に一致して（K は標数 0 だと仮定している）、自然な同型
A(V)＝～ ∧ (V)
が存在する。
7 歴史
(引用終り)
以上
605１３２人目の素数さん
2020/09/25(金) 17:45:19.65ID:odtDyxBa >>599
>内積はテンソル積を使って説明できる
然り
>…が、テンソルではない
否
>>603
>交代テンソル代数
>これはテンソル積とは異なる乗法
然り
>外積はテンソルとは違うよね
否
以下で明らかになように
「反変ベクトルのテンソル積からスカラーへの線型写像」
であるので共変テンソルである
もういちどだけ内積・外積
http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/ReviewVectorProds/
「内積
基底の積 ei ○x ej に関して，次のようなルールを決めることにします．
もし i=j ならば， ei ○x ｅi =1 とする．
もし i=/=j ならば， ei ○x ｅj =0 とする．」
「外積
今度は，次のようなルールを導入してみましょう．
ei ○x ｅj =－eｊ ○x ｅi とする．
（もし i=j ならば， ei ○x ｅi=- ei ○x ｅi なので、左辺右辺とも0）」
（注：元のHPの記述がダサいのでスマートに修正）
ここで、外積について
「n次元のとき e1 ○x ・・・ ○x en = 1」
とすれば、n×nの行列式の定義ができる
つまり、反変ベクトルのテンソル積の各基底に対して
スカラーを割り付けるだけなので、共変テンソル
◆yH25M02vWFhP、引用したHPで自説を真正面から否定され自爆
>内積はテンソル積を使って説明できる
然り
>…が、テンソルではない
否
>>603
>交代テンソル代数
>これはテンソル積とは異なる乗法
然り
>外積はテンソルとは違うよね
否
以下で明らかになように
「反変ベクトルのテンソル積からスカラーへの線型写像」
であるので共変テンソルである
もういちどだけ内積・外積
http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/ReviewVectorProds/
「内積
基底の積 ei ○x ej に関して，次のようなルールを決めることにします．
もし i=j ならば， ei ○x ｅi =1 とする．
もし i=/=j ならば， ei ○x ｅj =0 とする．」
「外積
今度は，次のようなルールを導入してみましょう．
ei ○x ｅj =－eｊ ○x ｅi とする．
（もし i=j ならば， ei ○x ｅi=- ei ○x ｅi なので、左辺右辺とも0）」
（注：元のHPの記述がダサいのでスマートに修正）
ここで、外積について
「n次元のとき e1 ○x ・・・ ○x en = 1」
とすれば、n×nの行列式の定義ができる
つまり、反変ベクトルのテンソル積の各基底に対して
スカラーを割り付けるだけなので、共変テンソル
◆yH25M02vWFhP、引用したHPで自説を真正面から否定され自爆
606１３２人目の素数さん
2020/09/25(金) 19:48:58.10ID:CLji2EFp >◆yH25M02vWFhP、引用したHPで自説を真正面から否定され自爆
わろたｗ
わろたｗ
607現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/25(金) 20:56:27.01ID:r08k0jea608現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/25(金) 21:12:38.66ID:r08k0jea609１３２人目の素数さん
2020/09/25(金) 21:16:15.14ID:odtDyxBa >>607
＞「行列式はテンソルです」
＞「内積も、行列式同様、テンソルです」
＞そんなことを書いている数学教科書および論文皆無
いや、どの教科書にも書いてあるけど
ニワトリ並の知能の◆yH25M02vWFhPには読み取れないだけ
ここはトリの来るとこじゃない
＞「行列式はテンソルです」
＞「内積も、行列式同様、テンソルです」
＞そんなことを書いている数学教科書および論文皆無
いや、どの教科書にも書いてあるけど
ニワトリ並の知能の◆yH25M02vWFhPには読み取れないだけ
ここはトリの来るとこじゃない
610１３２人目の素数さん
2020/09/25(金) 21:22:01.22ID:odtDyxBa611現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/25(金) 23:35:45.18ID:r08k0jea >>608 補足
下記、テンソルの概念に、「ベクトルは一階のテンソル」とある
内積はご存知二つのベクトルのスカラー積です
この文脈で、「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）とかなればさ
あらら、「内積も、ベクトルです」とかなってよｗ、それワケワカだわなｗ（＾＾；
（参考）
http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/TensorConcept/
テンソルの概念
添字の数が 2 なので，計量テンソルは 二階のテンソル という種類になります．実は スカラーは零階のテンソル ， ベクトルは一階のテンソル なのです．
下記、テンソルの概念に、「ベクトルは一階のテンソル」とある
内積はご存知二つのベクトルのスカラー積です
この文脈で、「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）とかなればさ
あらら、「内積も、ベクトルです」とかなってよｗ、それワケワカだわなｗ（＾＾；
（参考）
http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/TensorConcept/
テンソルの概念
添字の数が 2 なので，計量テンソルは 二階のテンソル という種類になります．実は スカラーは零階のテンソル ， ベクトルは一階のテンソル なのです．
612１３２人目の素数さん
2020/09/26(土) 08:33:32.51ID:yzp/rGwK >>611
＞「ベクトルは一階のテンソル」
＞内積はご存知二つのベクトルのスカラー積
＞この文脈で、「内積も、行列式同様、テンソルです」とかなれば
＞「内積も、ベクトルです」とかなって
なにワケワカランこといってんだ？ この🐎🦌
スカラーは０階のテンソル
ベクトルは１階のテンソル
そして２階以上のテンソルは、
スカラーでもベクトルでもない
内積は、「２階の」「共変」「対称」テンソルだぞ
２階わかってるか？
共変わかってるか？
対称わかってるか？
ついでにいうと、（ｎ×ｎの）行列式は
「ｎ階の」「共変」「反対称」テンソルだぞ
ｎ階わかってるか？
共変わかってるか？
反対称わかってるか？
＞「ベクトルは一階のテンソル」
＞内積はご存知二つのベクトルのスカラー積
＞この文脈で、「内積も、行列式同様、テンソルです」とかなれば
＞「内積も、ベクトルです」とかなって
なにワケワカランこといってんだ？ この🐎🦌
スカラーは０階のテンソル
ベクトルは１階のテンソル
そして２階以上のテンソルは、
スカラーでもベクトルでもない
内積は、「２階の」「共変」「対称」テンソルだぞ
２階わかってるか？
共変わかってるか？
対称わかってるか？
ついでにいうと、（ｎ×ｎの）行列式は
「ｎ階の」「共変」「反対称」テンソルだぞ
ｎ階わかってるか？
共変わかってるか？
反対称わかってるか？
613１３２人目の素数さん
2020/09/26(土) 08:42:08.92ID:yzp/rGwK シロウトがつまづく石 その１
・ベクトルｎ個のテンソル積は、ｎ階テンソル
・一方任意のｎ階テンソルが、ベクトルｎ個のテンソル積に分解できるわけではない
なぜか？
ベクトルがｄ次元だとする
・ｎ階テンソルの次元はｄ＾ｎ
・一方 ｎ個のベクトルの直積の次元はｎｄで、
ｄが２以上、ｎが２以上で、ｄ＝２、ｎ＝２以外なら ｎｄ＜ｄ＾ｎ
したがってベクトルのテンソル積で表せないテンソルが存在する
・ベクトルｎ個のテンソル積は、ｎ階テンソル
・一方任意のｎ階テンソルが、ベクトルｎ個のテンソル積に分解できるわけではない
なぜか？
ベクトルがｄ次元だとする
・ｎ階テンソルの次元はｄ＾ｎ
・一方 ｎ個のベクトルの直積の次元はｎｄで、
ｄが２以上、ｎが２以上で、ｄ＝２、ｎ＝２以外なら ｎｄ＜ｄ＾ｎ
したがってベクトルのテンソル積で表せないテンソルが存在する
614現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/26(土) 08:45:53.31ID:l8trEkrZ これいいね
分り易いね
http://ibis.t.u-tokyo.ac.jp/suzuki/lecture/2018/ML_Gairon/ML_Gairon_02.pdf
社会人向け講座「データ分析者養成コース」
機械学習技術とその数理基盤
(第2部)
鈴木大慈
東京大学大学院情報理工学系研究科数理情報学専攻
理研AIP
2018年4月4日/4月18日
P63
深層学習の脆さ
少し作為的ノイズを入れ
ただけでパンダをテナガ
ザルと間違える．
しかもかなり強い自信を
もって間違える．
[Szegedy et al.: Intriguing properties of neural networks. ICLR2014.]
標識をハックすることで誤認識を誘発．
「STOP」を「スピード制限時速45mile」と誤認識
[Evtimov et al.: Robust Physical-World Attacks on Machine Learning Models. 2017]
深層学習の信頼性評価はまだ難しい
分り易いね
http://ibis.t.u-tokyo.ac.jp/suzuki/lecture/2018/ML_Gairon/ML_Gairon_02.pdf
社会人向け講座「データ分析者養成コース」
機械学習技術とその数理基盤
(第2部)
鈴木大慈
東京大学大学院情報理工学系研究科数理情報学専攻
理研AIP
2018年4月4日/4月18日
P63
深層学習の脆さ
少し作為的ノイズを入れ
ただけでパンダをテナガ
ザルと間違える．
しかもかなり強い自信を
もって間違える．
[Szegedy et al.: Intriguing properties of neural networks. ICLR2014.]
標識をハックすることで誤認識を誘発．
「STOP」を「スピード制限時速45mile」と誤認識
[Evtimov et al.: Robust Physical-World Attacks on Machine Learning Models. 2017]
深層学習の信頼性評価はまだ難しい
615現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/26(土) 08:48:27.57ID:l8trEkrZ >>612-613
(引用開始)
内積は、「２階の」「共変」「対称」テンソルだぞ
２階わかってるか？
ついでにいうと、（ｎ×ｎの）行列式は
「ｎ階の」「共変」「反対称」テンソルだぞ
ｎ階わかってるか？
(引用終り)
”ｎ階”の数学的定義は？ｗｗｗ（＾＾
(引用開始)
内積は、「２階の」「共変」「対称」テンソルだぞ
２階わかってるか？
ついでにいうと、（ｎ×ｎの）行列式は
「ｎ階の」「共変」「反対称」テンソルだぞ
ｎ階わかってるか？
(引用終り)
”ｎ階”の数学的定義は？ｗｗｗ（＾＾
616１３２人目の素数さん
2020/09/26(土) 08:52:29.42ID:yzp/rGwK シロウトがつまづく石 その２
反変と共変の違いが分かってない
反変ベクトルが普通のベクトルだとすると
・共変ベクトルは反変ベクトルからスカラーへの線形写像
そして
・反変ベクトルは共変ベクトルからスカラーへの線形写像
と同一視できる（ここ、重要！！！）
上記を踏まえた上で
・ｎ階共変テンソルは、ｎ個の反変ベクトルからスカラーへのｎ重線型変換
・ｎ階反変テンソルは、ｎ個の共変ベクトルからスカラーへのｎ重線型変換
（注：”ｎ個の反変ベクトルのテンソル積全体”としないのは、
線型空間にならないから）
で、実は同値であるが（問：証明せよ）
・ｎ階共変テンソルは、ｎ階反変テンソルからスカラーへの線型写像
・ｎ階反変テンソルは、ｎ階共変テンソルからスカラーへの線型写像
反変と共変の違いが分かってない
反変ベクトルが普通のベクトルだとすると
・共変ベクトルは反変ベクトルからスカラーへの線形写像
そして
・反変ベクトルは共変ベクトルからスカラーへの線形写像
と同一視できる（ここ、重要！！！）
上記を踏まえた上で
・ｎ階共変テンソルは、ｎ個の反変ベクトルからスカラーへのｎ重線型変換
・ｎ階反変テンソルは、ｎ個の共変ベクトルからスカラーへのｎ重線型変換
（注：”ｎ個の反変ベクトルのテンソル積全体”としないのは、
線型空間にならないから）
で、実は同値であるが（問：証明せよ）
・ｎ階共変テンソルは、ｎ階反変テンソルからスカラーへの線型写像
・ｎ階反変テンソルは、ｎ階共変テンソルからスカラーへの線型写像
617１３２人目の素数さん
2020/09/26(土) 09:12:32.24ID:yzp/rGwK >>599-602のリンクのHPの記載を見れば
内積も行列式も
（”複数の反変ベクトルのテンソル積”を包含する）反変テンソルから
スカラーへの線型写像になっている、とわかる
したがって共変テンソルである
（もちろん、もとの
”複数の反変ベクトルからスカラーへの多重線型写像”
の定義でも共変テンソルだが）
内積も行列式も
（”複数の反変ベクトルのテンソル積”を包含する）反変テンソルから
スカラーへの線型写像になっている、とわかる
したがって共変テンソルである
（もちろん、もとの
”複数の反変ベクトルからスカラーへの多重線型写像”
の定義でも共変テンソルだが）
618現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/26(土) 10:16:56.41ID:l8trEkrZ619現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/26(土) 10:37:56.07ID:l8trEkrZ >>>612-613 ＆ >>616-617
”ｎ階”の数学的定義は？ｗｗｗｗｗ（＾＾
(>>608より)
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
か
こんなん、時枝以上に勝負は明白
チンパンジーに賛同する数学徒ゼロ
別に、こちらが百万言を労して説明する必要なしだ
(引用終り)
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
か
ばかサルが、屁理屈こね回して、
失言を正当化しようと、悶絶している
笑える
いくら屁理屈こね回しても
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
なんて、アホとしか言いようがないぜ
”ｎ階”の数学的定義は？ｗｗｗｗｗ（＾＾
(>>608より)
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
か
こんなん、時枝以上に勝負は明白
チンパンジーに賛同する数学徒ゼロ
別に、こちらが百万言を労して説明する必要なしだ
(引用終り)
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
か
ばかサルが、屁理屈こね回して、
失言を正当化しようと、悶絶している
笑える
いくら屁理屈こね回しても
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
なんて、アホとしか言いようがないぜ
620m9(^Д^)
2020/09/26(土) 11:20:29.78ID:yzp/rGwK >>618
＞ｎ階”の数学的定義は？
引数の数
v_1,…,v_n をベクトルとする
スカラーを値とする多重線型関数fが
ｎ個の反変ベクトルを引数とするなら
ｎ階共変テンソル
で、逆にw_1,…,w_n を共変ベクトルとする
（共変ベクトルは、反変ベクトルからスカラーへの線型関数）
スカラーを値とする多重線型関数fが
ｎ個の共変ベクトルを引数とするなら
ｎ階反変テンソル
そんな初歩的なことも知らん🐎🦌が
「行列式も内積もテンソルとか、マジワロス」
とか恥ずかしいことほざくなよ
おまえの方がマジ、ワロス、っていうか
m9(^Д^)プギャー
＞ｎ階”の数学的定義は？
引数の数
v_1,…,v_n をベクトルとする
スカラーを値とする多重線型関数fが
ｎ個の反変ベクトルを引数とするなら
ｎ階共変テンソル
で、逆にw_1,…,w_n を共変ベクトルとする
（共変ベクトルは、反変ベクトルからスカラーへの線型関数）
スカラーを値とする多重線型関数fが
ｎ個の共変ベクトルを引数とするなら
ｎ階反変テンソル
そんな初歩的なことも知らん🐎🦌が
「行列式も内積もテンソルとか、マジワロス」
とか恥ずかしいことほざくなよ
おまえの方がマジ、ワロス、っていうか
m9(^Д^)プギャー
621現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/26(土) 18:09:19.02ID:l8trEkrZ >>620
引数とは？
引数の数学的定義を述べよ！
なお、下記の文献等は
テンソルの階数は、添字の数で定義している。
スカラーは０階のテンソル、ベクトルは１階のテンソルとみなせるという
これら、従来のテンソルの階数の定義と、あなたの引数による階数の定義との違いは？
同じなのか、違いがあるのか！
（参考）
(>>611)
http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/TensorConcept/
テンソルの概念 [物理のかぎしっぽ]
添字の数が 2 なので，計量テンソルは 二階のテンソル という種類になります．実は スカラーは零階のテンソル ， ベクトルは一階のテンソル なのです．
(>>483)
http://solid4.mech.okayama-u.ac.jp/
機械工学者向けサイト by 多田 直哉 岡山大
固体力学（Solid Mechanics）
＜関連の基礎数学＞
http://solid4.mech.okayama-u.ac.jp/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB.pdf
テンソル（Tensor）
キーワード：テンソル，内積，テンソル積，座標変換，縮約，商法則
P4
0階のテンソル スカラー
1階のテンソル ベクトル
2階以上のテンソル テンソル
（>>302）
http://dyna.geo.kyushu-u.ac.jp/~yoshida/japanese/lecture/math-exercise/
地球惑星数理演習 九州大
http://dyna.geo.kyushu-u.ac.jp/~yoshida/japanese/lecture/math-exercise/vector-analysis-v_10_0.pdf
ベクトルとテンソル （吉田） v10.0 2020/03/14
P14
スカラーは０階のテンソル、ベクトルは１階のテンソルとみなせる。
引数とは？
引数の数学的定義を述べよ！
なお、下記の文献等は
テンソルの階数は、添字の数で定義している。
スカラーは０階のテンソル、ベクトルは１階のテンソルとみなせるという
これら、従来のテンソルの階数の定義と、あなたの引数による階数の定義との違いは？
同じなのか、違いがあるのか！
（参考）
(>>611)
http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/TensorConcept/
テンソルの概念 [物理のかぎしっぽ]
添字の数が 2 なので，計量テンソルは 二階のテンソル という種類になります．実は スカラーは零階のテンソル ， ベクトルは一階のテンソル なのです．
(>>483)
http://solid4.mech.okayama-u.ac.jp/
機械工学者向けサイト by 多田 直哉 岡山大
固体力学（Solid Mechanics）
＜関連の基礎数学＞
http://solid4.mech.okayama-u.ac.jp/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB.pdf
テンソル（Tensor）
キーワード：テンソル，内積，テンソル積，座標変換，縮約，商法則
P4
0階のテンソル スカラー
1階のテンソル ベクトル
2階以上のテンソル テンソル
（>>302）
http://dyna.geo.kyushu-u.ac.jp/~yoshida/japanese/lecture/math-exercise/
地球惑星数理演習 九州大
http://dyna.geo.kyushu-u.ac.jp/~yoshida/japanese/lecture/math-exercise/vector-analysis-v_10_0.pdf
ベクトルとテンソル （吉田） v10.0 2020/03/14
P14
スカラーは０階のテンソル、ベクトルは１階のテンソルとみなせる。
622１３２人目の素数さん
2020/09/26(土) 19:07:31.92ID:kdQZCrAn623現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/26(土) 19:10:36.44ID:l8trEkrZ >>622
>>引数とは？
>>引数の数学的定義を述べよ！
>引数が分からないバカに数学は無理
定義なくして数学なし
引数の数学的定義ができないなら、”引数”による数学はできない
数学における定義の重要性が分からないバカ、数学は無理
>>引数とは？
>>引数の数学的定義を述べよ！
>引数が分からないバカに数学は無理
定義なくして数学なし
引数の数学的定義ができないなら、”引数”による数学はできない
数学における定義の重要性が分からないバカ、数学は無理
624１３２人目の素数さん
2020/09/26(土) 19:55:34.40ID:kdQZCrAn625現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/26(土) 19:59:41.22ID:l8trEkrZ626m9(^Д^)
2020/09/26(土) 20:05:58.08ID:yzp/rGwK >>621
>引数とは？
>引数の数学的定義を述べよ！
引数知らない🐎🦌発見！！！
引数
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%95%E6%95%B0
「引数（ひきすう）、パラメータ（ー）（英語:parameter）は、
数学における関数やコンピュータプログラムにおける手続きにおいて、
その外部と値をやりとりするための特別な変数、
あるいはその変数の値のことである。」
>なお、下記の文献等は
>テンソルの階数は、添字の数で定義している。
>従来のテンソルの階数の定義と、
>あなたの引数による階数の定義との違いは？
>同じなのか、違いがあるのか！
もちろん、同じだけどね
引数の数だけ添字がつくから
考えりゃわかる 考えない🐎🦌には分からん
m9(^Д^)プギャー
>引数とは？
>引数の数学的定義を述べよ！
引数知らない🐎🦌発見！！！
引数
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%95%E6%95%B0
「引数（ひきすう）、パラメータ（ー）（英語:parameter）は、
数学における関数やコンピュータプログラムにおける手続きにおいて、
その外部と値をやりとりするための特別な変数、
あるいはその変数の値のことである。」
>なお、下記の文献等は
>テンソルの階数は、添字の数で定義している。
>従来のテンソルの階数の定義と、
>あなたの引数による階数の定義との違いは？
>同じなのか、違いがあるのか！
もちろん、同じだけどね
引数の数だけ添字がつくから
考えりゃわかる 考えない🐎🦌には分からん
m9(^Д^)プギャー
627m9(^Д^)
2020/09/26(土) 20:11:11.34ID:yzp/rGwK628m9(^Д^)
2020/09/26(土) 20:14:02.27ID:yzp/rGwK m9(^Д^)プギャー
629現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/26(土) 20:48:47.57ID:l8trEkrZ630m9(^Д^)
2020/09/26(土) 21:21:17.30ID:yzp/rGwK >>629
＞引数と変数の違いは？
違わんよ
＞テンソルのｎ階とは一般に添え字の数をいう
＞あなたの定義の”引数”とテンソルの関係をのべよ
問いが間違ってる
正しい問いは「”引数”と”添え字”の関係を述べよ」
添え字の順番は引数の順番と一致する
そしてそれぞれの添え字の値はベクトルの基底の番号である
m9(^Д^)プギャー
＞引数と変数の違いは？
違わんよ
＞テンソルのｎ階とは一般に添え字の数をいう
＞あなたの定義の”引数”とテンソルの関係をのべよ
問いが間違ってる
正しい問いは「”引数”と”添え字”の関係を述べよ」
添え字の順番は引数の順番と一致する
そしてそれぞれの添え字の値はベクトルの基底の番号である
m9(^Д^)プギャー
631現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/26(土) 21:52:17.87ID:l8trEkrZ >>630
>＞引数と変数の違いは？
>違わんよ
違うよ。引数（ひきすう）は、プログラミングの用語で、サブルーチンと本体プログラムとの値のやり取りに使う変数だ。数学では、まずは用語”変数”を使う。”引数（ひきすう）”という日本語は数学では使わないよ
（下記の”関数”は、関数型プログラミングからみだろ）
まあ、なんか誤魔化そうとした魂胆見えるけどな～。自分の失言を誤魔化そうとね（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%95%E6%95%B0
引数
引数（ひきすう）、パラメータ（ー）（英語:parameter）は、数学における関数やコンピュータプログラムにおける手続きにおいて、その外部と値をやりとりするための特別な変数、あるいはその変数の値のことである。
数学や最適化問題に関するそれ（「パラメータ」とカタカナで表現されることが多い）については「媒介変数」の記事を参照のこと。以下は専らコンピュータプログラミングに関して説明する。
関数・サブルーチン・メソッド等を定義する時に、外部から値を渡される特別な変数として指定されるのが仮引数。関数（等）を呼出す式において、仮引数に対応する式（あるいはその値）が実引数である。実行時には、実引数の値を仮引数が受け取る。
(引用終り)
>＞テンソルのｎ階とは一般に添え字の数をいう
>＞あなたの定義の”引数”とテンソルの関係をのべよ
>添え字の順番は引数の順番と一致する
>そしてそれぞれの添え字の値はベクトルの基底の番号である
(>>621より)
（一般の）文献等は
テンソルの階数は、添字の数で定義している。
スカラーは０階のテンソル、ベクトルは１階のテンソルとみなせるという
(引用終り)
「ベクトルは１階のテンソルとみなせる」において
例えば、ベクトル v=(v1,・・・,vm)
で添え字 i=1,・・・,m で、添え字はｉ一つ
v1,・・・,vmを変数と見れば、変数の数はｍ個だな
で？
”引数”？だから、なんだって？？
”引数”がｍ個だから、ｍ階か？？？ｗｗｗｗｗｗ（＾＾；
>＞引数と変数の違いは？
>違わんよ
違うよ。引数（ひきすう）は、プログラミングの用語で、サブルーチンと本体プログラムとの値のやり取りに使う変数だ。数学では、まずは用語”変数”を使う。”引数（ひきすう）”という日本語は数学では使わないよ
（下記の”関数”は、関数型プログラミングからみだろ）
まあ、なんか誤魔化そうとした魂胆見えるけどな～。自分の失言を誤魔化そうとね（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%95%E6%95%B0
引数
引数（ひきすう）、パラメータ（ー）（英語:parameter）は、数学における関数やコンピュータプログラムにおける手続きにおいて、その外部と値をやりとりするための特別な変数、あるいはその変数の値のことである。
数学や最適化問題に関するそれ（「パラメータ」とカタカナで表現されることが多い）については「媒介変数」の記事を参照のこと。以下は専らコンピュータプログラミングに関して説明する。
関数・サブルーチン・メソッド等を定義する時に、外部から値を渡される特別な変数として指定されるのが仮引数。関数（等）を呼出す式において、仮引数に対応する式（あるいはその値）が実引数である。実行時には、実引数の値を仮引数が受け取る。
(引用終り)
>＞テンソルのｎ階とは一般に添え字の数をいう
>＞あなたの定義の”引数”とテンソルの関係をのべよ
>添え字の順番は引数の順番と一致する
>そしてそれぞれの添え字の値はベクトルの基底の番号である
(>>621より)
（一般の）文献等は
テンソルの階数は、添字の数で定義している。
スカラーは０階のテンソル、ベクトルは１階のテンソルとみなせるという
(引用終り)
「ベクトルは１階のテンソルとみなせる」において
例えば、ベクトル v=(v1,・・・,vm)
で添え字 i=1,・・・,m で、添え字はｉ一つ
v1,・・・,vmを変数と見れば、変数の数はｍ個だな
で？
”引数”？だから、なんだって？？
”引数”がｍ個だから、ｍ階か？？？ｗｗｗｗｗｗ（＾＾；
632m9(^Д^)
2020/09/26(土) 22:19:08.69ID:yzp/rGwK >>631
>>>引数と変数の違いは？
>>違わんよ
>違うよ。
ち・が・わ・ん・よ
>>添え字の順番は引数の順番と一致する
>>そしてそれぞれの添え字の値はベクトルの基底の番号である
>「ベクトルは１階のテンソルとみなせる」において
>例えば、ベクトル v=(v1,・・・,vm)
>で添え字 i=1,・・・,m で、添え字はｉ一つ
そう、そして反変ベクトルを
「共変ベクトルからスカラーへの線型写像」
としたとき、引数（つまり変数）は１つである
＞v1,・・・,vmを変数と見れば、
v1,・・・,vmは線形写像の変数ではなく
v=v1e1+…+vnen と、基底の一次結合で表した場合の
各基底にかかるスカラー値でしかない
したがって
＞変数の数はｍ個だな
は、全くの誤り
ザンネンだったな
m9(^Д^)プギャー
>>>引数と変数の違いは？
>>違わんよ
>違うよ。
ち・が・わ・ん・よ
>>添え字の順番は引数の順番と一致する
>>そしてそれぞれの添え字の値はベクトルの基底の番号である
>「ベクトルは１階のテンソルとみなせる」において
>例えば、ベクトル v=(v1,・・・,vm)
>で添え字 i=1,・・・,m で、添え字はｉ一つ
そう、そして反変ベクトルを
「共変ベクトルからスカラーへの線型写像」
としたとき、引数（つまり変数）は１つである
＞v1,・・・,vmを変数と見れば、
v1,・・・,vmは線形写像の変数ではなく
v=v1e1+…+vnen と、基底の一次結合で表した場合の
各基底にかかるスカラー値でしかない
したがって
＞変数の数はｍ個だな
は、全くの誤り
ザンネンだったな
m9(^Д^)プギャー
633現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/26(土) 23:07:32.49ID:l8trEkrZ >>632
詭弁だな
１．どんなテンソルの、いなどんな数学の教科書にも、”引数（ひきすう）”という日本語は使われていない！ また、これからも使われないだろう（＾＾
（チンパンジーの教科書は知らずｗｗｗ）
２．「v1,・・・,vmは線形写像の変数ではなく」？ では何だ？ v1,・・・,vmが変数でなければ何だ？ｗｗ（＾＾
定数かい？ チンパンジーの数学は、面白いなｗｗ
３．「v=v1e1+…+vnen と、基底の一次結合で表した」ってか？
”v=v1e1+…+vne”を一つと数えるってか？ｗ
チンパンジーの数学は、面白いなｗ
その論で言えば、全てのテンソルは、基底を使って、基底の一次結合にできるぜｗｗ
だったら、全てのテンソルは１階だなｗｗｗｗｗｗ
あほらし、テンソルは ”（テンソルの）基底を使ったら、基底の一次結合にできる”って知らなかったらしいな（下記）
チンパンジーの数学は、面白いなｗｗｗ（＾＾
参考(>>611)
http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/TensorConcept/
テンソルの概念 [物理のかぎしっぽ]
基底を使った定義
ベクトル Ａ は適当な基底 ({e_1},{e_2},{e_3}) を使って次のように表現できました．
Ａ=A^1{e_1}+A^2{e_2}+A^3{e_3} (5)
もしくは，その成分を括弧でくくって (A^1,A^2,A^3) のように書けました．
ベクトルは一階のテンソルであることを再確認して下さい．
次に，ベクトルの基底 ({e_1},{e_2},{e_3}) を二つ組み合わせて作った基底 {e_i}◯x {e_j} を考えると，このような基底には 3ｘ 3 で 9 種類があり，その成分 T^ijとして二階のテンソルを表現することができます．
T=T^11({e_1}◯x {e_1})+T^12({e_1}◯x {e_2})+T^13({e_1}◯x {e_3})
+T^21({e_2}◯x {e_1})+T^22({e_2}◯x {e_2})+T^23({e_2}◯x {e_3})
+T^31({e_3}◯x {e_1})+T^32({e_3}◯x {e_2})+T^33({e_3}◯x {e_3}) (6)
詭弁だな
１．どんなテンソルの、いなどんな数学の教科書にも、”引数（ひきすう）”という日本語は使われていない！ また、これからも使われないだろう（＾＾
（チンパンジーの教科書は知らずｗｗｗ）
２．「v1,・・・,vmは線形写像の変数ではなく」？ では何だ？ v1,・・・,vmが変数でなければ何だ？ｗｗ（＾＾
定数かい？ チンパンジーの数学は、面白いなｗｗ
３．「v=v1e1+…+vnen と、基底の一次結合で表した」ってか？
”v=v1e1+…+vne”を一つと数えるってか？ｗ
チンパンジーの数学は、面白いなｗ
その論で言えば、全てのテンソルは、基底を使って、基底の一次結合にできるぜｗｗ
だったら、全てのテンソルは１階だなｗｗｗｗｗｗ
あほらし、テンソルは ”（テンソルの）基底を使ったら、基底の一次結合にできる”って知らなかったらしいな（下記）
チンパンジーの数学は、面白いなｗｗｗ（＾＾
参考(>>611)
http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/TensorConcept/
テンソルの概念 [物理のかぎしっぽ]
基底を使った定義
ベクトル Ａ は適当な基底 ({e_1},{e_2},{e_3}) を使って次のように表現できました．
Ａ=A^1{e_1}+A^2{e_2}+A^3{e_3} (5)
もしくは，その成分を括弧でくくって (A^1,A^2,A^3) のように書けました．
ベクトルは一階のテンソルであることを再確認して下さい．
次に，ベクトルの基底 ({e_1},{e_2},{e_3}) を二つ組み合わせて作った基底 {e_i}◯x {e_j} を考えると，このような基底には 3ｘ 3 で 9 種類があり，その成分 T^ijとして二階のテンソルを表現することができます．
T=T^11({e_1}◯x {e_1})+T^12({e_1}◯x {e_2})+T^13({e_1}◯x {e_3})
+T^21({e_2}◯x {e_1})+T^22({e_2}◯x {e_2})+T^23({e_2}◯x {e_3})
+T^31({e_3}◯x {e_1})+T^32({e_3}◯x {e_2})+T^33({e_3}◯x {e_3}) (6)
634m9(^Д^)
2020/09/26(土) 23:51:39.35ID:yzp/rGwK >>633
＞詭弁だな
それは君の発言だろう
＞どんなテンソルの、いなどんな数学の教科書にも、
＞”引数（ひきすう）”という日本語は使われていない！
変数と同じ、と述べたので、その指摘は無意味
＞「v1,・・・,vmは線形写像の変数ではなく」？
＞では何だ？ v1,・・・,vmが変数でなければ何だ？
テンソルは「ベクトルの組からスカラーへの多重線型写像」
変数はベクトルの組であり、ベクトルの個数が変数の個数
君のいうv=(v1,・・・,vm)で、v1,・・・,vmはスカラー
そして、これは多重線形写像ｆの変数ではない
＞「v=v1e1+…+vnen と、基底の一次結合で表した」ってか？
＞ ”v=v1e1+…+vne”を一つと数えるってか？
ああ
ベクトル v=(v1,・・・,vm) と書いた時点で
v1,・・・,vmはベクトルではなくスカラーだろう？
もしベクトルだとしたらおかしな記法である
＞その論で言えば、全てのテンソルは、基底を使って、基底の一次結合にできるぜｗｗ
＞だったら、全てのテンソルは１階だなｗｗｗｗｗｗ
＞あほらし、テンソルは ”（テンソルの）基底を使ったら、基底の一次結合にできる”って知らなかったらしいな
まったくトンチンカン
そんな話は全くしていないが
テンソルｔ＝（t1、・・・、tn)とあらわすことはもちろんできる
で、このとき、t1,・・・,tnは全部スカラー
t1,・・・,tnは、テンソルを
「ベクトルの組からスカラーへの多重線型写像」
としたときの「変数」ではないし、ｎはスカラーの階数ではない
アタマ大丈夫か？
m9(^Д^)プギャー
＞詭弁だな
それは君の発言だろう
＞どんなテンソルの、いなどんな数学の教科書にも、
＞”引数（ひきすう）”という日本語は使われていない！
変数と同じ、と述べたので、その指摘は無意味
＞「v1,・・・,vmは線形写像の変数ではなく」？
＞では何だ？ v1,・・・,vmが変数でなければ何だ？
テンソルは「ベクトルの組からスカラーへの多重線型写像」
変数はベクトルの組であり、ベクトルの個数が変数の個数
君のいうv=(v1,・・・,vm)で、v1,・・・,vmはスカラー
そして、これは多重線形写像ｆの変数ではない
＞「v=v1e1+…+vnen と、基底の一次結合で表した」ってか？
＞ ”v=v1e1+…+vne”を一つと数えるってか？
ああ
ベクトル v=(v1,・・・,vm) と書いた時点で
v1,・・・,vmはベクトルではなくスカラーだろう？
もしベクトルだとしたらおかしな記法である
＞その論で言えば、全てのテンソルは、基底を使って、基底の一次結合にできるぜｗｗ
＞だったら、全てのテンソルは１階だなｗｗｗｗｗｗ
＞あほらし、テンソルは ”（テンソルの）基底を使ったら、基底の一次結合にできる”って知らなかったらしいな
まったくトンチンカン
そんな話は全くしていないが
テンソルｔ＝（t1、・・・、tn)とあらわすことはもちろんできる
で、このとき、t1,・・・,tnは全部スカラー
t1,・・・,tnは、テンソルを
「ベクトルの組からスカラーへの多重線型写像」
としたときの「変数」ではないし、ｎはスカラーの階数ではない
アタマ大丈夫か？
m9(^Д^)プギャー
635現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/27(日) 00:28:22.02ID:OEEXn+D4 >>634
詭弁だなｗ（＾＾
>＞”引数（ひきすう）”という日本語は使われていない！
>変数と同じ、と述べたので、その指摘は無意味
チンパンジーの教科書用語かｗｗｗ
>テンソルは「ベクトルの組からスカラーへの多重線型写像」
>変数はベクトルの組であり、ベクトルの個数が変数の個数
>t1,・・・,tnは、テンソルを
>「ベクトルの組からスカラーへの多重線型写像」
>としたときの「変数」ではないし、ｎはスカラーの階数ではない
だから？
ごたくはいいから、世に言う（>>621の）「ｎ階のテンソル」と
あんたのいう ”引数（ひきすう）”との関係を説明しなよ
”ベクトルの個数が変数の個数”だぁ
ベクトルの数を数えるのか？
逃げられないように具体例出すよ（＾＾
>>541-542に得居氏の記事があるだろ？
http://www.orsj.or.jp/archive2/or60-4/or60_4_191.pdf
オペレーションズ・リサーチ
最適化から見たディープラーニングの考え方 得居 誠也 2015 年 4 月号
P195
図 5 畳み込み層の概略図．入力と出力はともに 3 階のテ
ンソルで表される．テンソルの各軸は，画像の縦・横
方向およびチャンネルの種類に対応する．各チャン
ネルは，入力がカラー画像なら R，G，B に対応し，
(引用終り)
とあるよね、これで
この得居氏の画像で、あんたの流儀の”ｎ階”を説明してみて
単純に、画像は 縦10点x横10点のカラーデジタル画像とするよ
つまり、横方向に画像の点 vjk=(v1,・・,vi,・・,v10) なる10点が並んでいて
縦方向には、ｊ＝1,・・・,10の10行があり
色は、k＝1,2,3 で、1がR、2がG、3がB の３色で ３枚の画像があるとする
このカラー画像を表すテンソルは、何階？
人間のテンソル理論では、3階だがな
あんたの ”引数（ひきすう）”では、何階？
普通に、3階としても良いが、
あんたの その”引数（ひきすう）”と
”ベクトルの個数が変数の個数”だぁって話をちゃんと使って説明してねｗ（＾＾；
詭弁だなｗ（＾＾
>＞”引数（ひきすう）”という日本語は使われていない！
>変数と同じ、と述べたので、その指摘は無意味
チンパンジーの教科書用語かｗｗｗ
>テンソルは「ベクトルの組からスカラーへの多重線型写像」
>変数はベクトルの組であり、ベクトルの個数が変数の個数
>t1,・・・,tnは、テンソルを
>「ベクトルの組からスカラーへの多重線型写像」
>としたときの「変数」ではないし、ｎはスカラーの階数ではない
だから？
ごたくはいいから、世に言う（>>621の）「ｎ階のテンソル」と
あんたのいう ”引数（ひきすう）”との関係を説明しなよ
”ベクトルの個数が変数の個数”だぁ
ベクトルの数を数えるのか？
逃げられないように具体例出すよ（＾＾
>>541-542に得居氏の記事があるだろ？
http://www.orsj.or.jp/archive2/or60-4/or60_4_191.pdf
オペレーションズ・リサーチ
最適化から見たディープラーニングの考え方 得居 誠也 2015 年 4 月号
P195
図 5 畳み込み層の概略図．入力と出力はともに 3 階のテ
ンソルで表される．テンソルの各軸は，画像の縦・横
方向およびチャンネルの種類に対応する．各チャン
ネルは，入力がカラー画像なら R，G，B に対応し，
(引用終り)
とあるよね、これで
この得居氏の画像で、あんたの流儀の”ｎ階”を説明してみて
単純に、画像は 縦10点x横10点のカラーデジタル画像とするよ
つまり、横方向に画像の点 vjk=(v1,・・,vi,・・,v10) なる10点が並んでいて
縦方向には、ｊ＝1,・・・,10の10行があり
色は、k＝1,2,3 で、1がR、2がG、3がB の３色で ３枚の画像があるとする
このカラー画像を表すテンソルは、何階？
人間のテンソル理論では、3階だがな
あんたの ”引数（ひきすう）”では、何階？
普通に、3階としても良いが、
あんたの その”引数（ひきすう）”と
”ベクトルの個数が変数の個数”だぁって話をちゃんと使って説明してねｗ（＾＾；
636現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/27(日) 00:31:20.72ID:OEEXn+D4 >>635 補足
＞色は、k＝1,2,3 で、1がR、2がG、3がB の３色で ３枚の画像があるとする
”引数（ひきすう）”との関係
”ベクトルの個数が変数の個数”だぁ
なにが、色のベクトル？ｗｗｗ（＾＾；
＞色は、k＝1,2,3 で、1がR、2がG、3がB の３色で ３枚の画像があるとする
”引数（ひきすう）”との関係
”ベクトルの個数が変数の個数”だぁ
なにが、色のベクトル？ｗｗｗ（＾＾；
637m9(^Д^)
2020/09/27(日) 07:11:04.93ID:zL73gCM8 >>635
>ごたくはいいから、世に言う「ｎ階のテンソル」と
>あんたのいう ”引数（ひきすう）”との関係を説明しなよ
>”ベクトルの個数が変数の個数”だぁ
>ベクトルの数を数えるのか？
なんだ 君、wikipediaのテンソルのページ、全然読めてないのか？
m9(^Д^)プギャー
もはや、君に弁解の余地がないことを示すために
wikipediaのテンソルのリンクと重要箇所を書き記す
テンソル
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB
「数学的定義
多重線型写像としての取り扱い
テンソルを多次元配列として定義するやり方では、
内在的な幾何学的対象であることから期待されるべき性質である
基底の取り方に依らないことが、定義から明らかでないという欠点がある。
テンソルの変換法則が実際に基底の取り方に依らないことは
証明できることではあるが、しばしばより内在的な定義が取り上げられる。
その一つが、テンソルを多重線型写像として定義することである。
これによれば、(p, q)-型テンソル T は函数
T: （V*× … × V*） (p個)×（V× … × V） (q個）→ R
で、各引数に関して線型であるようなものとして定義される。
ここで V は有限次元ベクトル空間で、V∗ はその双対ベクトルからなる双対空間である。」
（注：テンソルの階数nは、p+qとして定義される、
したがって、VおよびV*のコピーの個数である）
「 (p, q)-型の多重線型写像 T を
V の基底 ej とその V∗ における標準的な双対基底 εi に対して施せば、
T_j_1 … j_q ~i_1… i_p ≡ T(ε~i_1,…,ε~i_p,e_j_1,…,e_j_q)
によりその成分として (p + q)-次元配列が得られる。
基底の取り方を変えれば異なる成分が得られるが、
T は各引数に関して線型であるから、
成分は多次元配列としてのテンソルの変換法則を満足する。
したがって、T の成分の成す多次元配列はその意味において
確かにテンソルを成していることが分かる。
さらに言えば、そのような性質を持つ多次元配列は
必ず多重線型写像 T の成分として実現できる。
そのような事情により、多重線型写像を
テンソルに基づく内在的対象を与えるものとして見ることができる。」
「 テンソルを多重線型写像と見る立場では、ベクトル空間 V を
V の双対空間上の線型汎函数全体の成す空間
（つまり V の二重双対V∗∗） と同一視するのが普通である。
V からその二重双対への自然な線型写像が 常に、V のベクトルを
「V∗ に属する線型形式を与えられたベクトルにおいて評価した値へ写す写像」
と看做すことによって与えられる。
V が有限次元ならばこの線型写像は同型であり、
しばしば V をその二重双対と同一視することは有用である。」
>ごたくはいいから、世に言う「ｎ階のテンソル」と
>あんたのいう ”引数（ひきすう）”との関係を説明しなよ
>”ベクトルの個数が変数の個数”だぁ
>ベクトルの数を数えるのか？
なんだ 君、wikipediaのテンソルのページ、全然読めてないのか？
m9(^Д^)プギャー
もはや、君に弁解の余地がないことを示すために
wikipediaのテンソルのリンクと重要箇所を書き記す
テンソル
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB
「数学的定義
多重線型写像としての取り扱い
テンソルを多次元配列として定義するやり方では、
内在的な幾何学的対象であることから期待されるべき性質である
基底の取り方に依らないことが、定義から明らかでないという欠点がある。
テンソルの変換法則が実際に基底の取り方に依らないことは
証明できることではあるが、しばしばより内在的な定義が取り上げられる。
その一つが、テンソルを多重線型写像として定義することである。
これによれば、(p, q)-型テンソル T は函数
T: （V*× … × V*） (p個)×（V× … × V） (q個）→ R
で、各引数に関して線型であるようなものとして定義される。
ここで V は有限次元ベクトル空間で、V∗ はその双対ベクトルからなる双対空間である。」
（注：テンソルの階数nは、p+qとして定義される、
したがって、VおよびV*のコピーの個数である）
「 (p, q)-型の多重線型写像 T を
V の基底 ej とその V∗ における標準的な双対基底 εi に対して施せば、
T_j_1 … j_q ~i_1… i_p ≡ T(ε~i_1,…,ε~i_p,e_j_1,…,e_j_q)
によりその成分として (p + q)-次元配列が得られる。
基底の取り方を変えれば異なる成分が得られるが、
T は各引数に関して線型であるから、
成分は多次元配列としてのテンソルの変換法則を満足する。
したがって、T の成分の成す多次元配列はその意味において
確かにテンソルを成していることが分かる。
さらに言えば、そのような性質を持つ多次元配列は
必ず多重線型写像 T の成分として実現できる。
そのような事情により、多重線型写像を
テンソルに基づく内在的対象を与えるものとして見ることができる。」
「 テンソルを多重線型写像と見る立場では、ベクトル空間 V を
V の双対空間上の線型汎函数全体の成す空間
（つまり V の二重双対V∗∗） と同一視するのが普通である。
V からその二重双対への自然な線型写像が 常に、V のベクトルを
「V∗ に属する線型形式を与えられたベクトルにおいて評価した値へ写す写像」
と看做すことによって与えられる。
V が有限次元ならばこの線型写像は同型であり、
しばしば V をその二重双対と同一視することは有用である。」
638m9(^Д^)
2020/09/27(日) 07:16:22.39ID:zL73gCM8639m9(^Д^)
2020/09/27(日) 07:32:48.17ID:zL73gCM8 >>635
以下、蛇足
>単純に、画像は 縦10点x横10点のカラーデジタル画像とするよ
>つまり、横方向に画像の点 vjk=(v1,・・,vi,・・,v10) なる10点が並んでいて
vjkはベクトルだよね？
で、v1,・・,vi,・・,v10はベクトル？
違うよね、スカラーだよね？
だったらv1,・・,vi,・・,v10じゃなく
別の文字、例えばsを使って
s1,・・,si,・・,s10
とあらわしたほうがミスがなくなるね
vjk=(s1,・・,si,・・,s10)
君、そういうこと一切考えないの？
そんな粗雑なオツムだから、数学が理解できないんだよ
それはさておき
＞縦方向には、ｊ＝1,・・・,10の10行があり
で、tk=(v1,…,vj,…,v10)とあらわせるね
ここでtkは2階テンソル、v1,…,vj,…,v10はベクトルね
＞色は、k＝1,2,3 で、1がR、2がG、3がB の３色で ３枚の画像があるとする
で、T=(t1,t2,t3)とあらわせるね
ここでTは3階テンソル、t1,t2,t3は2階テンソルね
>このカラー画像を表すテンソルは、何階？
>人間のテンソル理論では、3階だがな
>あんたの ”引数（ひきすう）”では、何階？
>普通に、3階としても良いが、
なんかニワトリが朝からコケコッコーと鳴いてウルサイが
もちろん、神（＝数学科出身者ｗ）のテンソル理論でも３階
この場合
T:V_h*×V_v*×V_c*→R
という多重線型写像で表せる
V_h* 横の点列からなるベクトルの双対空間(10次元)
V_v* 縦の点列からなるベクトルの双対空間(10次元)
V_c* 各点のRGB値からなるベクトルの双対空間(3次元)
このくらい、自分で考えられないと、数学なんて理解できないぞ！キミ
m9(^Д^)プギャー
以下、蛇足
>単純に、画像は 縦10点x横10点のカラーデジタル画像とするよ
>つまり、横方向に画像の点 vjk=(v1,・・,vi,・・,v10) なる10点が並んでいて
vjkはベクトルだよね？
で、v1,・・,vi,・・,v10はベクトル？
違うよね、スカラーだよね？
だったらv1,・・,vi,・・,v10じゃなく
別の文字、例えばsを使って
s1,・・,si,・・,s10
とあらわしたほうがミスがなくなるね
vjk=(s1,・・,si,・・,s10)
君、そういうこと一切考えないの？
そんな粗雑なオツムだから、数学が理解できないんだよ
それはさておき
＞縦方向には、ｊ＝1,・・・,10の10行があり
で、tk=(v1,…,vj,…,v10)とあらわせるね
ここでtkは2階テンソル、v1,…,vj,…,v10はベクトルね
＞色は、k＝1,2,3 で、1がR、2がG、3がB の３色で ３枚の画像があるとする
で、T=(t1,t2,t3)とあらわせるね
ここでTは3階テンソル、t1,t2,t3は2階テンソルね
>このカラー画像を表すテンソルは、何階？
>人間のテンソル理論では、3階だがな
>あんたの ”引数（ひきすう）”では、何階？
>普通に、3階としても良いが、
なんかニワトリが朝からコケコッコーと鳴いてウルサイが
もちろん、神（＝数学科出身者ｗ）のテンソル理論でも３階
この場合
T:V_h*×V_v*×V_c*→R
という多重線型写像で表せる
V_h* 横の点列からなるベクトルの双対空間(10次元)
V_v* 縦の点列からなるベクトルの双対空間(10次元)
V_c* 各点のRGB値からなるベクトルの双対空間(3次元)
このくらい、自分で考えられないと、数学なんて理解できないぞ！キミ
m9(^Д^)プギャー
640m9(^Д^)
2020/09/27(日) 07:40:00.44ID:zL73gCM8 ◆yH25M02vWFhP は 数学書に書かれているテンソルの定義が理解できない
だから
・内積や行列式がテンソルであることが理解できない
・機械工学やらオペレーションズリサーチやらのテンソルが
数学におけるテンソルの定義を満たしてることも理解できない
・数の並びしか理解できない🐓頭だから
スカラー：1個の数（０次元配列）
ベクトル：数の１次元配列
行列 ：数の２次元配列
テンソル：数の３次元以上の配列
というnaiveかつinnocentな理解しかできない
こういう人を、我々、数学科で学んだ”神”はこう呼ぶ
idiot
m9(^Д^)プギャー
だから
・内積や行列式がテンソルであることが理解できない
・機械工学やらオペレーションズリサーチやらのテンソルが
数学におけるテンソルの定義を満たしてることも理解できない
・数の並びしか理解できない🐓頭だから
スカラー：1個の数（０次元配列）
ベクトル：数の１次元配列
行列 ：数の２次元配列
テンソル：数の３次元以上の配列
というnaiveかつinnocentな理解しかできない
こういう人を、我々、数学科で学んだ”神”はこう呼ぶ
idiot
m9(^Д^)プギャー
641現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/27(日) 10:10:43.10ID:OEEXn+D4 >>637-640
分かった！
”引数（ひきすう）”分かったよ
それ、”argument”からの訳語だね（下記）
研究社 英和コンピューター用語辞典、「argument」【２】 引数(ひきすう)だな
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB
テンソル
https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor
Tensor
(抜粋：対照)
和：で、各引数に関して線型であるようなものとして定義される。
英：which is linear in each of its arguments.
和：T は各引数に関して線型であるから、
英：But, because T is linear in all of its arguments,
（辞書）
https://ejje.weblio.jp/content/argument
weblio
argument
(抜粋)
研究社 英和コンピューター用語辞典での「argument」の意味
【２】 引数(ひきすう), アーギュメント《関数やサブルーチンに与えるパラメーター》.
(引用終り)
それが真の反例かどうか微妙だが、まあ、一本取られたことにして、「”引数（ひきすう）”という日本語は数学では使わない」は撤回する
だが、引数(ひきすう)が、ベクトル値に限るということではないな（＾＾
ところで、本題
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
だったね
n ｘ n 行列から、行列式が出る。「行列式はテンソルです」？
二つのn次元ベクトルのスカラー積が、内積だ。ベクトルは1階のテンソル。「内積も、行列式同様、テンソルです」？
あなたの”引数(ひきすう）”論で
「行列式はテンソルです」、「内積も、行列式同様、テンソルです」を、ご説明願いたしｗｗｗ（＾＾；
分かった！
”引数（ひきすう）”分かったよ
それ、”argument”からの訳語だね（下記）
研究社 英和コンピューター用語辞典、「argument」【２】 引数(ひきすう)だな
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB
テンソル
https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor
Tensor
(抜粋：対照)
和：で、各引数に関して線型であるようなものとして定義される。
英：which is linear in each of its arguments.
和：T は各引数に関して線型であるから、
英：But, because T is linear in all of its arguments,
（辞書）
https://ejje.weblio.jp/content/argument
weblio
argument
(抜粋)
研究社 英和コンピューター用語辞典での「argument」の意味
【２】 引数(ひきすう), アーギュメント《関数やサブルーチンに与えるパラメーター》.
(引用終り)
それが真の反例かどうか微妙だが、まあ、一本取られたことにして、「”引数（ひきすう）”という日本語は数学では使わない」は撤回する
だが、引数(ひきすう)が、ベクトル値に限るということではないな（＾＾
ところで、本題
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
だったね
n ｘ n 行列から、行列式が出る。「行列式はテンソルです」？
二つのn次元ベクトルのスカラー積が、内積だ。ベクトルは1階のテンソル。「内積も、行列式同様、テンソルです」？
あなたの”引数(ひきすう）”論で
「行列式はテンソルです」、「内積も、行列式同様、テンソルです」を、ご説明願いたしｗｗｗ（＾＾；
642１３２人目の素数さん
2020/09/27(日) 10:27:22.04ID:gB08ovcU643m9(^Д^)
2020/09/27(日) 10:32:27.48ID:zL73gCM8 >>641
＞「行列式はテンソルです」、
＞「内積も、行列式同様、テンソルです」を、
＞ご説明願いたし
>>599-602で、キミ自身が引用した文章
まさか、一度も読んでないの？読まずにコピペしてるの？
なんで？日本語読めないの？
朝鮮人？中国人？まさかのモンゴル人？
読んでないなら、読んで！書いてあるから
ついでに>>605も読んで！
さらに、それでOKな理由は>>616読んで！
あのさ、数学書の定義は必ず読んで、云ってることを理解しような
その上で、定義から証明される基本的な定理も必ず読もうな
もちろん証明もだぞ 証明理解しないと全体が理解できないだろ
君は、定義も定理も証明も一切読まずに
「数の並び方」という動物でもわかる視覚情報だけで
物事の全てを理解しようするから何も理解できないんだよ
🐓でも🐎🦌でもなく人間だっていうなら
文章読めよ 論理に基づいて考えろよ
それできないと人間失格で、こういわれるぞ
m9(^Д^)プギャー
＞「行列式はテンソルです」、
＞「内積も、行列式同様、テンソルです」を、
＞ご説明願いたし
>>599-602で、キミ自身が引用した文章
まさか、一度も読んでないの？読まずにコピペしてるの？
なんで？日本語読めないの？
朝鮮人？中国人？まさかのモンゴル人？
読んでないなら、読んで！書いてあるから
ついでに>>605も読んで！
さらに、それでOKな理由は>>616読んで！
あのさ、数学書の定義は必ず読んで、云ってることを理解しような
その上で、定義から証明される基本的な定理も必ず読もうな
もちろん証明もだぞ 証明理解しないと全体が理解できないだろ
君は、定義も定理も証明も一切読まずに
「数の並び方」という動物でもわかる視覚情報だけで
物事の全てを理解しようするから何も理解できないんだよ
🐓でも🐎🦌でもなく人間だっていうなら
文章読めよ 論理に基づいて考えろよ
それできないと人間失格で、こういわれるぞ
m9(^Д^)プギャー
644m9(^Д^)
2020/09/27(日) 10:44:03.37ID:zL73gCM8 >>642
＞君（＝◆yH25M02vWFhP）の考えている線型写像は何？
例えば行列式の場合、行列からスカラーへの写像とか、マジで考えてそうｗ
そして・・・
「ほれ！引数１つだぞ そもそも線型じゃないぞ
全然 テンソルでもなんでもないぞ！！
I hava a win!!!」
とか鳴いてそう コケコッコー🐓
実際には、テンソルとしての行列式の引数は、ｎ次元列ベクトルｎ個
そして、そのそれぞれに対して線型性が成り立つので、多重線型
こんなの大学で行列式習う時、絶対学ぶ基本的性質
理系なら知らんとかあり得んって
大阪＊＊大学でも行列式、カリキュラムに入っとったで
＞君（＝◆yH25M02vWFhP）の考えている線型写像は何？
例えば行列式の場合、行列からスカラーへの写像とか、マジで考えてそうｗ
そして・・・
「ほれ！引数１つだぞ そもそも線型じゃないぞ
全然 テンソルでもなんでもないぞ！！
I hava a win!!!」
とか鳴いてそう コケコッコー🐓
実際には、テンソルとしての行列式の引数は、ｎ次元列ベクトルｎ個
そして、そのそれぞれに対して線型性が成り立つので、多重線型
こんなの大学で行列式習う時、絶対学ぶ基本的性質
理系なら知らんとかあり得んって
大阪＊＊大学でも行列式、カリキュラムに入っとったで
645現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/27(日) 11:26:19.59ID:OEEXn+D4 検索ヒットしたので貼る
初級Mathマニアの寝言 「リーマン多様体」なかなか良いね
2次テンソル場、余接空間と１次微分形式 などが、特にご参考
（参考）
http://ogyahogya.ハテナブログ/entry/2015/01/31/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93
初級Mathマニアの寝言
プロフィール 佐藤一宏です。東京大学で講師をしています。
数学は色々なところで応用可能であり、多くの人が数学の抽象的な概念の意味や意義を鮮明に知ることができれば今まで以上に面白い物や仕組みが生まれるかもしれません。このブログは数学を専門にしない人のために抽象的な概念の意味や意義を分かりやすく説明することを目的としています。数学を使って何かしたい人のお役に立てたら幸いです。
2015-01-31
リーマン多様体
ユークリッド空間と2次元球面の違い
位相空間の初歩
多様体
多様体に関する注意
多様体上の関数
接空間
速度ベクトル
二つの多様体間の写像の微分
余接空間と１次微分形式
2次テンソル場
リーマン多様体
参考文献
初級Mathマニアの寝言 「リーマン多様体」なかなか良いね
2次テンソル場、余接空間と１次微分形式 などが、特にご参考
（参考）
http://ogyahogya.ハテナブログ/entry/2015/01/31/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93
初級Mathマニアの寝言
プロフィール 佐藤一宏です。東京大学で講師をしています。
数学は色々なところで応用可能であり、多くの人が数学の抽象的な概念の意味や意義を鮮明に知ることができれば今まで以上に面白い物や仕組みが生まれるかもしれません。このブログは数学を専門にしない人のために抽象的な概念の意味や意義を分かりやすく説明することを目的としています。数学を使って何かしたい人のお役に立てたら幸いです。
2015-01-31
リーマン多様体
ユークリッド空間と2次元球面の違い
位相空間の初歩
多様体
多様体に関する注意
多様体上の関数
接空間
速度ベクトル
二つの多様体間の写像の微分
余接空間と１次微分形式
2次テンソル場
リーマン多様体
参考文献
646現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/27(日) 11:31:11.27ID:OEEXn+D4 >>642
>>だが、引数(ひきすう)が、ベクトル値に限るということではないな（＾＾
>君の考えている線型写像は何？
レスありがとう
質問の趣旨が分からないが
引数(ひきすう)は、コンピュータの用語で、ベクトル値に限らない
線型写像は、線形写像でしょ？ 線型写像の一般的（辞書的）な意味は、別にある（下記）
引数(ひきすう）＝線型写像でもないよね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%86%99%E5%83%8F
線型写像
線型変換（せんけいへんかん、英: linear transformation、一次変換）あるいは線型写像（せんけいしゃぞう、英: linear mapping）は、ベクトルの加法（英語版）とスカラー乗法（英語版）を保つ特別の写像である。特に任意の（零写像でない）線型写像は「直線を直線に移す」。
>>だが、引数(ひきすう)が、ベクトル値に限るということではないな（＾＾
>君の考えている線型写像は何？
レスありがとう
質問の趣旨が分からないが
引数(ひきすう)は、コンピュータの用語で、ベクトル値に限らない
線型写像は、線形写像でしょ？ 線型写像の一般的（辞書的）な意味は、別にある（下記）
引数(ひきすう）＝線型写像でもないよね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%86%99%E5%83%8F
線型写像
線型変換（せんけいへんかん、英: linear transformation、一次変換）あるいは線型写像（せんけいしゃぞう、英: linear mapping）は、ベクトルの加法（英語版）とスカラー乗法（英語版）を保つ特別の写像である。特に任意の（零写像でない）線型写像は「直線を直線に移す」。
647現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/27(日) 11:35:06.14ID:OEEXn+D4648現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/27(日) 11:59:36.75ID:OEEXn+D4649１３２人目の素数さん
2020/09/27(日) 12:17:21.96ID:gB08ovcU650現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/27(日) 12:20:24.72ID:OEEXn+D4651１３２人目の素数さん
2020/09/27(日) 12:58:57.49ID:gB08ovcU652現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/27(日) 14:08:00.34ID:OEEXn+D4 >>651
>>>だが、引数(ひきすう)が、ベクトル値に限るということではないな（＾＾
>と発言した。
>この発言をするにあたって想定している線型写像。
ああ、その話か
それ
（>>641）
（辞書）
https://ejje.weblio.jp/content/argument
weblio
argument
(抜粋)
研究社 英和コンピューター用語辞典での「argument」の意味
【２】 引数(ひきすう), アーギュメント《関数やサブルーチンに与えるパラメーター》.
(引用終り)
だが、引数(ひきすう)が、ベクトル値に限るということではないな（＾＾
(引用終り)
の箇所だね
この部分では、”線型写像”は全く想定していないよ
つまり、”引数(ひきすう)”とは、単に本体プログラムと、本体から呼ばれるサブルーチンなり関数との重宝のやり取りのための変数（スカラー値、ベクトル値、テンソル値などなど、文字や文さえもあり）であって
”ベクトル値に限るということではない”と言っただけのことであって
”線型写像”など、全く頭に無いのです（＾＾
以上
>>>だが、引数(ひきすう)が、ベクトル値に限るということではないな（＾＾
>と発言した。
>この発言をするにあたって想定している線型写像。
ああ、その話か
それ
（>>641）
（辞書）
https://ejje.weblio.jp/content/argument
weblio
argument
(抜粋)
研究社 英和コンピューター用語辞典での「argument」の意味
【２】 引数(ひきすう), アーギュメント《関数やサブルーチンに与えるパラメーター》.
(引用終り)
だが、引数(ひきすう)が、ベクトル値に限るということではないな（＾＾
(引用終り)
の箇所だね
この部分では、”線型写像”は全く想定していないよ
つまり、”引数(ひきすう)”とは、単に本体プログラムと、本体から呼ばれるサブルーチンなり関数との重宝のやり取りのための変数（スカラー値、ベクトル値、テンソル値などなど、文字や文さえもあり）であって
”ベクトル値に限るということではない”と言っただけのことであって
”線型写像”など、全く頭に無いのです（＾＾
以上
653現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/27(日) 14:10:17.05ID:OEEXn+D4 >>652 タイポ訂正
つまり、”引数(ひきすう)”とは、単に本体プログラムと、本体から呼ばれるサブルーチンなり関数との重宝のやり取りのための変数
↓
つまり、”引数(ひきすう)”とは、単に本体プログラムと、本体から呼ばれるサブルーチンなり関数との乗法のやり取りのための変数
失礼しました
なお、この”変数”は、プログラムで使う変数のことです（＾＾
つまり、”引数(ひきすう)”とは、単に本体プログラムと、本体から呼ばれるサブルーチンなり関数との重宝のやり取りのための変数
↓
つまり、”引数(ひきすう)”とは、単に本体プログラムと、本体から呼ばれるサブルーチンなり関数との乗法のやり取りのための変数
失礼しました
なお、この”変数”は、プログラムで使う変数のことです（＾＾
654現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/27(日) 14:11:41.34ID:OEEXn+D4 >>653 訂正の訂正
つまり、”引数(ひきすう)”とは、単に本体プログラムと、本体から呼ばれるサブルーチンなり関数との重宝のやり取りのための変数
↓
つまり、”引数(ひきすう)”とは、単に本体プログラムと、本体から呼ばれるサブルーチンなり関数との乗法のやり取りのための変数
↓
つまり、”引数(ひきすう)”とは、単に本体プログラムと、本体から呼ばれるサブルーチンなり関数との情報のやり取りのための変数
重ね重ね失礼しました ｍ（＿＿）ｍ
つまり、”引数(ひきすう)”とは、単に本体プログラムと、本体から呼ばれるサブルーチンなり関数との重宝のやり取りのための変数
↓
つまり、”引数(ひきすう)”とは、単に本体プログラムと、本体から呼ばれるサブルーチンなり関数との乗法のやり取りのための変数
↓
つまり、”引数(ひきすう)”とは、単に本体プログラムと、本体から呼ばれるサブルーチンなり関数との情報のやり取りのための変数
重ね重ね失礼しました ｍ（＿＿）ｍ
655m9(^Д^)
2020/09/27(日) 14:32:29.18ID:zL73gCM8 >>645
>「リーマン多様体」なかなか良いね
行列式も知らん人には無理だから諦めな
閑話休題
本題にはいろうか
>>647
>繰返す
>あなたの”引数(ひきすう）”論で・・・
>ご説明願いたし
なんだ、そこから分かってないのか
じゃ、一から教えてやるから、その前に
君はそもそも内積と行列式を
どういうふうに理解してるのか
ここに書いてくれるかい？
話はそこからだ
式で理解してるなら、式書いてくれな
一般のｎ次元じゃなくていいよ
２次元でいいからさ
君、どうせ高卒だから、
具体的に分かるのそのくらいだろ？
P.S.
>>648
>テンソルと無関係だと言っていない
>だが、テンソルそのものではないよね
逃げ道を開けるためだけの言葉の遊びならやめときな
（「・・・はテンソル」は）
>言えないと思うぜ
言ってるのを見つけられないから
言えないだろうと推測したなら大外れだ
誰もわざわざ言ってないのは、定義から明らかなので
わざわざいう必要性を感じなかったんだろう
🐓ってほんとアタマ悪いな
>「リーマン多様体」なかなか良いね
行列式も知らん人には無理だから諦めな
閑話休題
本題にはいろうか
>>647
>繰返す
>あなたの”引数(ひきすう）”論で・・・
>ご説明願いたし
なんだ、そこから分かってないのか
じゃ、一から教えてやるから、その前に
君はそもそも内積と行列式を
どういうふうに理解してるのか
ここに書いてくれるかい？
話はそこからだ
式で理解してるなら、式書いてくれな
一般のｎ次元じゃなくていいよ
２次元でいいからさ
君、どうせ高卒だから、
具体的に分かるのそのくらいだろ？
P.S.
>>648
>テンソルと無関係だと言っていない
>だが、テンソルそのものではないよね
逃げ道を開けるためだけの言葉の遊びならやめときな
（「・・・はテンソル」は）
>言えないと思うぜ
言ってるのを見つけられないから
言えないだろうと推測したなら大外れだ
誰もわざわざ言ってないのは、定義から明らかなので
わざわざいう必要性を感じなかったんだろう
🐓ってほんとアタマ悪いな
656１３２人目の素数さん
2020/09/27(日) 14:36:52.71ID:gB08ovcU657m9(^Д^)
2020/09/27(日) 14:55:41.89ID:zL73gCM8 ニワトリ論法
>>616
俺>・ｎ階共変テンソルは、ｎ個の反変ベクトルからスカラーへのｎ重線型変換
俺>・ｎ階反変テンソルは、ｎ個の共変ベクトルからスカラーへのｎ重線型変換
618
🐓>”ｎ階”の数学的定義は？
620
俺>引数の数
631
🐓>「引数（ひきすう）は、プログラミングの用語で、…
🐓> 数学では、まずは用語”変数”を使う。
🐓> ”引数（ひきすう）”という日本語は数学では使わないよ」
639
俺>wikipediaの記述でも引数と云う言葉が用いられている
641
🐓>「”引数（ひきすう）”という日本語は数学では使わない」は撤回する
🐓>引数(ひきすう)が、ベクトル値に限るということではないな
642
👨>君の考えている線型写像は何？
646
🐓>質問の趣旨が分からないが
🐓>線型写像はベクトルの加法とスカラー乗法を保つ特別の写像・・・
649
👨>話の通じない人だね
👨>線型写像とは何かを聞いてるんじゃなくて、
👨>君が考えている線型写像の定義域・値域を聞いている
650
🐓>何についての線型写像？
🐓>あなたの聞いている 線型写像を定義せよ
651
👨>ホントに疲れる人だね
👨>（641の）発言をするにあたって想定している線型写像。
652
🐓>ああ、その話か
🐓>(641では）”線型写像”は全く想定していないよ
🐓は限られた記憶しかない
ｎ階が分らん！と思ったら、ｎ階以外は忘れる
引数が分らん！と思ったら、引数以外は忘れる
で、ｎ階も引数も分かったとき、そもそもの話の始まりである
「ｎ階共変テンソルは、ｎ個の反変ベクトルからスカラーへのｎ重線型変換
ｎ階反変テンソルは、ｎ個の共変ベクトルからスカラーへのｎ重線型変換」
は綺麗サッパリ忘れ去られてる
だから
「引数(ひきすう)が、ベクトル値に限るということではないな」
とかいうトンチンカンな発言を平気で発し、👨が
「君の考えている線型写像は何？」
と問うても、全然ピンとこないまま、結局
「”線型写像”は全く想定していないよ」
とこれまたトンチンカンな発言を平然を発する
🐓はヒトどころか哺乳類にすらなれそうもない
m9(^Д^)プギャー
>>616
俺>・ｎ階共変テンソルは、ｎ個の反変ベクトルからスカラーへのｎ重線型変換
俺>・ｎ階反変テンソルは、ｎ個の共変ベクトルからスカラーへのｎ重線型変換
618
🐓>”ｎ階”の数学的定義は？
620
俺>引数の数
631
🐓>「引数（ひきすう）は、プログラミングの用語で、…
🐓> 数学では、まずは用語”変数”を使う。
🐓> ”引数（ひきすう）”という日本語は数学では使わないよ」
639
俺>wikipediaの記述でも引数と云う言葉が用いられている
641
🐓>「”引数（ひきすう）”という日本語は数学では使わない」は撤回する
🐓>引数(ひきすう)が、ベクトル値に限るということではないな
642
👨>君の考えている線型写像は何？
646
🐓>質問の趣旨が分からないが
🐓>線型写像はベクトルの加法とスカラー乗法を保つ特別の写像・・・
649
👨>話の通じない人だね
👨>線型写像とは何かを聞いてるんじゃなくて、
👨>君が考えている線型写像の定義域・値域を聞いている
650
🐓>何についての線型写像？
🐓>あなたの聞いている 線型写像を定義せよ
651
👨>ホントに疲れる人だね
👨>（641の）発言をするにあたって想定している線型写像。
652
🐓>ああ、その話か
🐓>(641では）”線型写像”は全く想定していないよ
🐓は限られた記憶しかない
ｎ階が分らん！と思ったら、ｎ階以外は忘れる
引数が分らん！と思ったら、引数以外は忘れる
で、ｎ階も引数も分かったとき、そもそもの話の始まりである
「ｎ階共変テンソルは、ｎ個の反変ベクトルからスカラーへのｎ重線型変換
ｎ階反変テンソルは、ｎ個の共変ベクトルからスカラーへのｎ重線型変換」
は綺麗サッパリ忘れ去られてる
だから
「引数(ひきすう)が、ベクトル値に限るということではないな」
とかいうトンチンカンな発言を平気で発し、👨が
「君の考えている線型写像は何？」
と問うても、全然ピンとこないまま、結局
「”線型写像”は全く想定していないよ」
とこれまたトンチンカンな発言を平然を発する
🐓はヒトどころか哺乳類にすらなれそうもない
m9(^Д^)プギャー
658m9(^Д^)
2020/09/27(日) 15:04:03.56ID:zL73gCM8 ニワトリ論法は、東大経済学部卒（法学部卒ではなかったらしい）の
官僚崩れの政治家 加藤某のご飯論法とは似て非なるものがある
ご飯論法はそもそも肝心の論点を突かれたくないために
ありとあらゆる手を使って論点外しを行うが、
外すべき論点は決して忘れない
しかしニワトリ論法はそもそも肝心の論点
（この場合テンソルの多重線形写像としての定義）
を理解してないから、直接関係ないことばっかり質問して
その疑問が解決したところで、肝心の論点が何だったか
まったく理解されないまま、ほっぽりだされている
つまり分かってないことすら分かっておらす
疑問にすら思わない
🐓にとって「テンソルは数の多次元配列」で終わってるので
それ以外は「ボクちゃんの理解の邪魔」としてシャットアウトされてるんだろう
こういう人は学問にはもっとも向かない
そういう人は学問しなくいいので、
学問に中途半端な（というか邪なｗ）興味を
持たないでいただきたい まったく無駄だから
官僚崩れの政治家 加藤某のご飯論法とは似て非なるものがある
ご飯論法はそもそも肝心の論点を突かれたくないために
ありとあらゆる手を使って論点外しを行うが、
外すべき論点は決して忘れない
しかしニワトリ論法はそもそも肝心の論点
（この場合テンソルの多重線形写像としての定義）
を理解してないから、直接関係ないことばっかり質問して
その疑問が解決したところで、肝心の論点が何だったか
まったく理解されないまま、ほっぽりだされている
つまり分かってないことすら分かっておらす
疑問にすら思わない
🐓にとって「テンソルは数の多次元配列」で終わってるので
それ以外は「ボクちゃんの理解の邪魔」としてシャットアウトされてるんだろう
こういう人は学問にはもっとも向かない
そういう人は学問しなくいいので、
学問に中途半端な（というか邪なｗ）興味を
持たないでいただきたい まったく無駄だから
659現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/27(日) 15:08:56.07ID:OEEXn+D4660現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/27(日) 15:14:43.90ID:OEEXn+D4 >>655 >>657-658
ゴマカシ モード入りか？
質問？
答えを教えて貰おうって魂胆かい
教えてやらんよ～～！ｗ
繰返す
（>>641より）
本題
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
だったね
n ｘ n 行列から、行列式が出る。「行列式はテンソルです」？
二つのn次元ベクトルのスカラー積が、内積だ。ベクトルは1階のテンソル。「内積も、行列式同様、テンソルです」？
あなたの”引数(ひきすう）”論で
「行列式はテンソルです」、「内積も、行列式同様、テンソルです」を、ご説明願いたしｗｗｗ（＾＾；
チンパンジー悶絶中かい？ｗｗｗ（＾＾
おれが理解できるかどうかは
ご心配なく
成否は、皆さんが判断してくれるさ
チンパンジー悶絶中！！ｗｗｗｗ（＾＾
ガンバレ、おサルｗｗｗｗｗｗ（＾＾
ゴマカシ モード入りか？
質問？
答えを教えて貰おうって魂胆かい
教えてやらんよ～～！ｗ
繰返す
（>>641より）
本題
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
だったね
n ｘ n 行列から、行列式が出る。「行列式はテンソルです」？
二つのn次元ベクトルのスカラー積が、内積だ。ベクトルは1階のテンソル。「内積も、行列式同様、テンソルです」？
あなたの”引数(ひきすう）”論で
「行列式はテンソルです」、「内積も、行列式同様、テンソルです」を、ご説明願いたしｗｗｗ（＾＾；
チンパンジー悶絶中かい？ｗｗｗ（＾＾
おれが理解できるかどうかは
ご心配なく
成否は、皆さんが判断してくれるさ
チンパンジー悶絶中！！ｗｗｗｗ（＾＾
ガンバレ、おサルｗｗｗｗｗｗ（＾＾
661現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/27(日) 15:19:27.02ID:OEEXn+D4662m9(^Д^)
2020/09/27(日) 15:42:21.63ID:zL73gCM8 >>660
＞答えを教えて貰おうって魂胆かい
そもそも答えを知りたいのはキミだろ？ｗ
検索すればいくらでも書いてあるし
読めば（論理的推論ができる程度のオツムがあれば）
わかるけどな
でも、キミはわからなかったんだろ？
だから、キミがそもそも内積とか行列式を
どう理解してるのか、聞いてるわけ
簡単のため２次元にしといてあげるよ
・ベクトルv=(v1,v2)、w=(w1,w2) とするとき、vとwの内積とは？
・行列Mを
(m11,m12)
(m21,m22)
とすると、Mの行列式とは？
＞おれが理解できるかどうかはご心配なく
いや、キミがテンソルを全く理解できないから
教えてくれってことだろ？そこが一番肝心じゃん
ということで、上記の２つの質問に答えてね
君の回答に合わせて説明してあげるからｗ
ガンバレ！🐓
めざせ、哺乳類ｗ
＞答えを教えて貰おうって魂胆かい
そもそも答えを知りたいのはキミだろ？ｗ
検索すればいくらでも書いてあるし
読めば（論理的推論ができる程度のオツムがあれば）
わかるけどな
でも、キミはわからなかったんだろ？
だから、キミがそもそも内積とか行列式を
どう理解してるのか、聞いてるわけ
簡単のため２次元にしといてあげるよ
・ベクトルv=(v1,v2)、w=(w1,w2) とするとき、vとwの内積とは？
・行列Mを
(m11,m12)
(m21,m22)
とすると、Mの行列式とは？
＞おれが理解できるかどうかはご心配なく
いや、キミがテンソルを全く理解できないから
教えてくれってことだろ？そこが一番肝心じゃん
ということで、上記の２つの質問に答えてね
君の回答に合わせて説明してあげるからｗ
ガンバレ！🐓
めざせ、哺乳類ｗ
663m9(^Д^)
2020/09/27(日) 15:53:41.84ID:zL73gCM8 動物ランキングｗ
０ 👨
１ 🐵
２ 🐭🐰
３ 🐎🦌🐕🐈🐋
４ 🐘
５ カモノハシ
６ 🐓
いまんとこ、◆yH25M02vWFhPはまだ哺乳類入りしてないから
まず、カモノハシをめざせよな
ま、しかし生きてるうちに👨のレベルまで達することはないだろうな
０ 👨
１ 🐵
２ 🐭🐰
３ 🐎🦌🐕🐈🐋
４ 🐘
５ カモノハシ
６ 🐓
いまんとこ、◆yH25M02vWFhPはまだ哺乳類入りしてないから
まず、カモノハシをめざせよな
ま、しかし生きてるうちに👨のレベルまで達することはないだろうな
664m9(^Д^)
2020/09/27(日) 17:11:00.06ID:zL73gCM8 >>662
🐓はなんか怖がって書かないだろうから、
🐓レベルの回答を先回りして書いとくかｗ
内積 v1w1 + v2w2
行列式 m11m22 - m21m12
で、上記の「高校生が試験前の一夜づけして書くような式」が
数学科レベルの定義から導ける（当たり前だが）
まず、内積のソフィスティケイトされた定義
1．v・w＝w・v （対称性）
2．au・ｖ=a（u・v) u・av=a（u・v)
(u+v)・w=u・w＋v・w u・(v+w)=u・v+u・w （多重線型性）
3．基底をe1,e2とするとき
e1・e1=1 e1・e2=e2・e1=0 e2・e2=1
ここで
v=v1e1 + v2e2
w=w1e1 + w2e2
とすれば
v・w
=(v1e1 + v2e2)・(w1e1 + w2e2)
=v1e1・(w1e1 + w2e2)+v2e2・(w1e1 + w2e2)
=v1e1・w1e1+v1e1・w2e2+v2e2・w1e1+v2e2・w2e2
=v1w1(e1・e1)+v1w2(e1・e2)+v2w1(e2・e1)+v2w2(e2・e2)
=v1w1*1+v1w2*0+v2w1*0+v2w2*1
=v1w1+v2w2
ほら、出たｗ
🐓はなんか怖がって書かないだろうから、
🐓レベルの回答を先回りして書いとくかｗ
内積 v1w1 + v2w2
行列式 m11m22 - m21m12
で、上記の「高校生が試験前の一夜づけして書くような式」が
数学科レベルの定義から導ける（当たり前だが）
まず、内積のソフィスティケイトされた定義
1．v・w＝w・v （対称性）
2．au・ｖ=a（u・v) u・av=a（u・v)
(u+v)・w=u・w＋v・w u・(v+w)=u・v+u・w （多重線型性）
3．基底をe1,e2とするとき
e1・e1=1 e1・e2=e2・e1=0 e2・e2=1
ここで
v=v1e1 + v2e2
w=w1e1 + w2e2
とすれば
v・w
=(v1e1 + v2e2)・(w1e1 + w2e2)
=v1e1・(w1e1 + w2e2)+v2e2・(w1e1 + w2e2)
=v1e1・w1e1+v1e1・w2e2+v2e2・w1e1+v2e2・w2e2
=v1w1(e1・e1)+v1w2(e1・e2)+v2w1(e2・e1)+v2w2(e2・e2)
=v1w1*1+v1w2*0+v2w1*0+v2w2*1
=v1w1+v2w2
ほら、出たｗ
665m9(^Д^)
2020/09/27(日) 17:12:24.35ID:zL73gCM8 >>664の続き
次に、行列式のソフィスティケイトされた定義
行列M
(m11,m12)
(m21,m22)
の列ベクトルを
mv1(=m11e1 + m21e2)
mv2(=m12e1 + m22e2)
とあらわす
（e1,e2は基底）
このとき、行列式を外積mv1∧mv2として定義する
外積∧は以下の定義を満たす、とする
1．v∧w＝-w∧v （反対称性）
2．au∧ｖ=a（u∧v) u∧av=a（u∧v)
(u+v)∧w=u∧w＋v∧w u∧(v+w)=u∧v+u∧w （多重線型性）
3．基底e1,e2について
e1∧e1=e2∧e2=0 e1∧e2=1 e2∧e1=-e1∧e2=-1
つまり
mv1∧mv2
=(m11e1 + m21e2)∧(m12e1 + m22e2)
=m11e1∧(m12e1 + m22e2)+m21e2∧(m12e1 + m22e2)
=m11e1∧m12e1+m11e1∧m22e2+m21e2∧m12e1+m21e2∧m22e2
=m11m21(e1∧e1)+m11m22(e1∧e2)+m21m12(e2∧e1)+m21m22(e2∧e2)
=m11m21*0+m11m22*1+m21m12*(-1)+m21m22*0
=m11m22-m21m12
ほら、出たｗ
次に、行列式のソフィスティケイトされた定義
行列M
(m11,m12)
(m21,m22)
の列ベクトルを
mv1(=m11e1 + m21e2)
mv2(=m12e1 + m22e2)
とあらわす
（e1,e2は基底）
このとき、行列式を外積mv1∧mv2として定義する
外積∧は以下の定義を満たす、とする
1．v∧w＝-w∧v （反対称性）
2．au∧ｖ=a（u∧v) u∧av=a（u∧v)
(u+v)∧w=u∧w＋v∧w u∧(v+w)=u∧v+u∧w （多重線型性）
3．基底e1,e2について
e1∧e1=e2∧e2=0 e1∧e2=1 e2∧e1=-e1∧e2=-1
つまり
mv1∧mv2
=(m11e1 + m21e2)∧(m12e1 + m22e2)
=m11e1∧(m12e1 + m22e2)+m21e2∧(m12e1 + m22e2)
=m11e1∧m12e1+m11e1∧m22e2+m21e2∧m12e1+m21e2∧m22e2
=m11m21(e1∧e1)+m11m22(e1∧e2)+m21m12(e2∧e1)+m21m22(e2∧e2)
=m11m21*0+m11m22*1+m21m12*(-1)+m21m22*0
=m11m22-m21m12
ほら、出たｗ
666m9(^Д^)
2020/09/27(日) 17:14:05.83ID:zL73gCM8 >>664-665 で
内積および行列式のナイーブな定義が
ソフィスティケートされた多重線型写像の定義と
一致することを示した
さらに、このソフィスティケートされた多重線型写像が
実は多次元配列としてのナイーブなテンソル定義に対応する
賢い奴ならほぼミエミエだがｗ
多重線型写像は実は基底の組(e_j1,・・・,e_jm)が
いかなるスカラーa(j1,…jm)に対応するかで決まる
したがって、多重線型写像は多次元配列a(j1,…jm)に対応する
内積の場合は”対角行列”に対応する
行列式の場合、ｎ＾ｎの配列で
・添数に同じ数がある場合、0
・添数が全て異なる数の場合
(1,・・・,n)から偶置換でできる列のとき、1
(1,・・・,n)から偶置換でできる列のとき、-1
に対応する
これで、🐓が
「なんで内積や行列式が多重線型写像なら
多次元配列としてのスカラーになると言い切れるか
説明しろ！」
という要求に答え切った
こんなのベクトルを一旦基底の一次結合であらわして
多重線型性を使って分解すれば🐎🦌でもわかるんだが
哺乳類未満の🐓にはそんな計算すらできず
理解できなかったらしい
ここで、あのセリフをいわせてもらう
m9(^Д^)プギャー
内積および行列式のナイーブな定義が
ソフィスティケートされた多重線型写像の定義と
一致することを示した
さらに、このソフィスティケートされた多重線型写像が
実は多次元配列としてのナイーブなテンソル定義に対応する
賢い奴ならほぼミエミエだがｗ
多重線型写像は実は基底の組(e_j1,・・・,e_jm)が
いかなるスカラーa(j1,…jm)に対応するかで決まる
したがって、多重線型写像は多次元配列a(j1,…jm)に対応する
内積の場合は”対角行列”に対応する
行列式の場合、ｎ＾ｎの配列で
・添数に同じ数がある場合、0
・添数が全て異なる数の場合
(1,・・・,n)から偶置換でできる列のとき、1
(1,・・・,n)から偶置換でできる列のとき、-1
に対応する
これで、🐓が
「なんで内積や行列式が多重線型写像なら
多次元配列としてのスカラーになると言い切れるか
説明しろ！」
という要求に答え切った
こんなのベクトルを一旦基底の一次結合であらわして
多重線型性を使って分解すれば🐎🦌でもわかるんだが
哺乳類未満の🐓にはそんな計算すらできず
理解できなかったらしい
ここで、あのセリフをいわせてもらう
m9(^Д^)プギャー
667現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/27(日) 17:29:49.29ID:OEEXn+D4 >>662-666
チンパンジーの数学は面白いな
それ、チコちゃんに叱られるよ
ぼーと生きてんじゃね～よ！
人の数学では
＜例えば、行列式についてなら＞
１．テンソルの定義（テンソル積）
２．行列式の定義
３．行列式の定義から、行列式がテンソルの定義に合致することをいう
チンパンジーの数学は、上記３項の一部をちょろちょろ書いて終りか
2ｘ2行列で、ちょろちょろ式書いてさ
それでなんか数学の証明のつもりかい？
１項と２項が無い
院試なら首が飛んでるな
内積（・（ドット）積）も、殆ど同じじゃね（＾＾；
チンパンジーの数学は面白いな
笑える
ぼーと生きてんじゃね～よ！（＾＾
チンパンジーの数学は面白いな
それ、チコちゃんに叱られるよ
ぼーと生きてんじゃね～よ！
人の数学では
＜例えば、行列式についてなら＞
１．テンソルの定義（テンソル積）
２．行列式の定義
３．行列式の定義から、行列式がテンソルの定義に合致することをいう
チンパンジーの数学は、上記３項の一部をちょろちょろ書いて終りか
2ｘ2行列で、ちょろちょろ式書いてさ
それでなんか数学の証明のつもりかい？
１項と２項が無い
院試なら首が飛んでるな
内積（・（ドット）積）も、殆ど同じじゃね（＾＾；
チンパンジーの数学は面白いな
笑える
ぼーと生きてんじゃね～よ！（＾＾
668m9(^Д^)
2020/09/27(日) 17:44:31.40ID:zL73gCM8669m9(^Д^)
2020/09/27(日) 17:49:08.41ID:zL73gCM8 あ、もしかしてこのバカ、
「テンソルとは、テンソル積という演算そのものである」
と初歩的大誤解してるのか？
いやー、∈と⊂の件につづいて、またそのパターンかよｗ
全然違うぞ
>>637で書いた、wikipediaのテンソルの定義、読み直せｗ
「テンソルとは、テンソル積という演算そのものである」
と初歩的大誤解してるのか？
いやー、∈と⊂の件につづいて、またそのパターンかよｗ
全然違うぞ
>>637で書いた、wikipediaのテンソルの定義、読み直せｗ
670現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/27(日) 18:32:51.95ID:OEEXn+D4 >>668-669
どうでも良いけど
再度いうが、
人の数学では、証明とは
＜例えば、行列式についてなら＞
１．テンソルの定義（テンソル積）
２．行列式の定義
３．行列式の定義から、行列式がテンソルの定義に合致することをいう
チンパンジーの数学は、上記３項の一部をちょろちょろ書いて終りか
2ｘ2行列で、ちょろちょろ式書いてさ
それでなんか数学の証明のつもりかい？
数学科卒か、
聞いて呆れるわ
昔の小学生以下だな
１項と２項が無いんだよね
証明の形を成していないぞ！
院試なら首が飛んでるな
内積（・（ドット）積）も、殆ど同じじゃね（＾＾；
チンパンジーの数学は面白いな
チコちゃん以下だ
チコちゃんに叱られるよ
ぼーと生きてんじゃね～よ！（＾＾
どうでも良いけど
再度いうが、
人の数学では、証明とは
＜例えば、行列式についてなら＞
１．テンソルの定義（テンソル積）
２．行列式の定義
３．行列式の定義から、行列式がテンソルの定義に合致することをいう
チンパンジーの数学は、上記３項の一部をちょろちょろ書いて終りか
2ｘ2行列で、ちょろちょろ式書いてさ
それでなんか数学の証明のつもりかい？
数学科卒か、
聞いて呆れるわ
昔の小学生以下だな
１項と２項が無いんだよね
証明の形を成していないぞ！
院試なら首が飛んでるな
内積（・（ドット）積）も、殆ど同じじゃね（＾＾；
チンパンジーの数学は面白いな
チコちゃん以下だ
チコちゃんに叱られるよ
ぼーと生きてんじゃね～よ！（＾＾
671現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/27(日) 18:37:19.37ID:OEEXn+D4672m9(^Д^)
2020/09/27(日) 18:44:24.88ID:zL73gCM8673m9(^Д^)
2020/09/27(日) 18:49:45.94ID:zL73gCM8 >>671
＞まあ、テンソル積を書いているが、別に拘らない
どうやら、
「全てのテンソルが単純テンソル（ベクトルのテンソル積）とは限らない」
ことにうすうす気づいたような
＞分り易く書いただけだ
＞外積とか内積（・（ドット）積）との関連でね
そういう安易な理解の仕方しようとするから馬鹿になるｗ
＞だから、自分の定義で結構だが
自分の定義に固執するから、キミはバカのまま
大学にも受からないし、大学初年級の数学も
初歩の定義でつまづいて何も理解できない
自分は捨てような どうせ馬鹿なんだから
まさか自分が世界一の天才とか自惚れるのか？
それ、完全な精神異常だぞ
m9(^Д^)プギャー
＞まあ、テンソル積を書いているが、別に拘らない
どうやら、
「全てのテンソルが単純テンソル（ベクトルのテンソル積）とは限らない」
ことにうすうす気づいたような
＞分り易く書いただけだ
＞外積とか内積（・（ドット）積）との関連でね
そういう安易な理解の仕方しようとするから馬鹿になるｗ
＞だから、自分の定義で結構だが
自分の定義に固執するから、キミはバカのまま
大学にも受からないし、大学初年級の数学も
初歩の定義でつまづいて何も理解できない
自分は捨てような どうせ馬鹿なんだから
まさか自分が世界一の天才とか自惚れるのか？
それ、完全な精神異常だぞ
m9(^Д^)プギャー
674m9(^Д^)
2020/09/27(日) 18:53:13.26ID:zL73gCM8 🐓「俺はヒトだ、お前は🐵だ」
俺「俺が🐵なら、お前は🐓な」
悪いけど、行列式も理解できない馬鹿の貴様を
人間どころか哺乳類としても認められねぇわｗ
🐕🐈🐎🦌🐄🐷並に認められたいんなら
線型代数くらい１から１０まできっちり理解しろよな
俺「俺が🐵なら、お前は🐓な」
悪いけど、行列式も理解できない馬鹿の貴様を
人間どころか哺乳類としても認められねぇわｗ
🐕🐈🐎🦌🐄🐷並に認められたいんなら
線型代数くらい１から１０まできっちり理解しろよな
675現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/27(日) 19:40:10.82ID:OEEXn+D4 >>672-674
どうでも良いけど
まあ、なんか誤魔化そうとしているんだろうね
ちゃんと書くと
火だるまにされるからな（＾＾
再度いうが、
人の数学では、証明とは
＜例えば、行列式についてなら＞
１．テンソルの定義（テンソル積）
２．行列式の定義
３．行列式の定義から、行列式がテンソルの定義に合致することをいう
チンパンジーの数学は、上記３項の一部をちょろちょろ書いて終りか
2ｘ2行列で、ちょろちょろ式書いてさ
それでなんか数学の証明のつもりかい？
数学科卒か、
聞いて呆れるわ
昔の小学生以下だな
１項と２項が無いんだよね
wikipediaでも良いけど、自分の証明に使える形に変形しなよ
そうでないと
証明の形を成していないぞ！ｗ
院試なら首が飛んでるな
内積（・（ドット）積）も、殆ど同じじゃね（＾＾；
チンパンジーの数学は面白いな
チコちゃん以下だ
チコちゃんに叱られるよ
ぼーと生きてんじゃね～よ！（＾＾
どうでも良いけど
まあ、なんか誤魔化そうとしているんだろうね
ちゃんと書くと
火だるまにされるからな（＾＾
再度いうが、
人の数学では、証明とは
＜例えば、行列式についてなら＞
１．テンソルの定義（テンソル積）
２．行列式の定義
３．行列式の定義から、行列式がテンソルの定義に合致することをいう
チンパンジーの数学は、上記３項の一部をちょろちょろ書いて終りか
2ｘ2行列で、ちょろちょろ式書いてさ
それでなんか数学の証明のつもりかい？
数学科卒か、
聞いて呆れるわ
昔の小学生以下だな
１項と２項が無いんだよね
wikipediaでも良いけど、自分の証明に使える形に変形しなよ
そうでないと
証明の形を成していないぞ！ｗ
院試なら首が飛んでるな
内積（・（ドット）積）も、殆ど同じじゃね（＾＾；
チンパンジーの数学は面白いな
チコちゃん以下だ
チコちゃんに叱られるよ
ぼーと生きてんじゃね～よ！（＾＾
676１３２人目の素数さん
2020/09/27(日) 21:14:29.96ID:gB08ovcU 定義くらい自分で調べたら？
677現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/27(日) 21:30:53.37ID:OEEXn+D4678現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/27(日) 21:36:49.16ID:OEEXn+D4679１３２人目の素数さん
2020/09/28(月) 06:01:13.22ID:83snEsGr >>677
>つまり、○って、間違っているわけ
>それは、△で□を学べばすぐ分かることなのだが
なんかdeja vu
○＝時枝記事
△＝数学科
□＝確率過程論
ま、これでもいいけど
○＝◆yH25M02vWFhP
△＝大学
□＝数学
>つまり、○って、間違っているわけ
>それは、△で□を学べばすぐ分かることなのだが
なんかdeja vu
○＝時枝記事
△＝数学科
□＝確率過程論
ま、これでもいいけど
○＝◆yH25M02vWFhP
△＝大学
□＝数学
680１３２人目の素数さん
2020/09/28(月) 06:10:26.14ID:83snEsGr >>677
やれやれ、こんなことじゃ
「行列とは線型写像である」
でも発狂しそうだな
ベクトルvを基底の線形結合で表す
v=a1e1 + … + anen
このとき
f(v)
=f(a1e1 + … + anen)
=f(a1e1) + … + f(anen)
=a1f(e1) + … + anf(en)
で
f(e1)=m11e1+m21e2 + … +mn1en
f(e2)=m12e1+m22e2 + … +mn2en
…
f(en)=m1ne1+m2ne2 + … +mnnen
とすれば、
・行列で線形写像が表せる
・線型写像は行列で表せる
とわかる
やれやれ、こんなことじゃ
「行列とは線型写像である」
でも発狂しそうだな
ベクトルvを基底の線形結合で表す
v=a1e1 + … + anen
このとき
f(v)
=f(a1e1 + … + anen)
=f(a1e1) + … + f(anen)
=a1f(e1) + … + anf(en)
で
f(e1)=m11e1+m21e2 + … +mn1en
f(e2)=m12e1+m22e2 + … +mn2en
…
f(en)=m1ne1+m2ne2 + … +mnnen
とすれば、
・行列で線形写像が表せる
・線型写像は行列で表せる
とわかる
681現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/28(月) 07:00:12.45ID:EmW1PHnn >>678 補足
”つまり、
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
って、間違っているわけ
それは、理系でテンソルを学べばすぐ分かることなのだが”
これそろそろ
気付いたのかもね
自分の過ちにｗ
それで、ゴマカシそうとしているのかもね～ｗｗ（＾＾；
(>>675より)
人の数学では、証明とは
＜例えば、行列式についてなら＞
１．テンソルの定義（テンソル積）
２．行列式の定義
３．行列式の定義から、行列式がテンソルの定義に合致することをいう
これをきっちり書けば、どこにギャップがあるか明白になる
火だるまにされる（＾＾
というか、ギャップに自ら気付くから、書けないのかもね（＾＾；
自分の過ちに、気付いたのかなｗ
それで、ゴマカシそうとしているのかな～ｗｗ（＾＾；
”つまり、
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
って、間違っているわけ
それは、理系でテンソルを学べばすぐ分かることなのだが”
これそろそろ
気付いたのかもね
自分の過ちにｗ
それで、ゴマカシそうとしているのかもね～ｗｗ（＾＾；
(>>675より)
人の数学では、証明とは
＜例えば、行列式についてなら＞
１．テンソルの定義（テンソル積）
２．行列式の定義
３．行列式の定義から、行列式がテンソルの定義に合致することをいう
これをきっちり書けば、どこにギャップがあるか明白になる
火だるまにされる（＾＾
というか、ギャップに自ら気付くから、書けないのかもね（＾＾；
自分の過ちに、気付いたのかなｗ
それで、ゴマカシそうとしているのかな～ｗｗ（＾＾；
682ID:1lEWVa2s
2020/09/28(月) 07:13:48.06ID:vyBvaoME ファイバー積。
683ID:1lEWVa2s
2020/09/28(月) 07:14:59.65ID:vyBvaoME テンソルの本欲しい。
2021/2/15に買う予定。
2021/2/15に買う予定。
684現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/28(月) 11:37:12.19ID:rKTacEyr >>682
レスありがとう
ファイバー積ね
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%95%E3%81%8D%E6%88%BB%E3%81%97_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)
引き戻し (圏論)
圏論という数学の分野において，引き戻し（ひきもどし，英: pullback），あるいはファイバー積 (fiber/fibre/fibered product)，デカルトの四角形 (Cartesian square) とは，共通の終域を持つ2つの射 f: X → Z, g: Y → Z からなる図式の極限である．引き戻しはしばしば
P = X ×Z Y
と書かれ，2つの自然な射 P → X, P → Y を備えている．2つの射の引き戻しが存在するとは限らないが，存在すれば2つの射から本質的に一意に定義される．
レスありがとう
ファイバー積ね
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%95%E3%81%8D%E6%88%BB%E3%81%97_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)
引き戻し (圏論)
圏論という数学の分野において，引き戻し（ひきもどし，英: pullback），あるいはファイバー積 (fiber/fibre/fibered product)，デカルトの四角形 (Cartesian square) とは，共通の終域を持つ2つの射 f: X → Z, g: Y → Z からなる図式の極限である．引き戻しはしばしば
P = X ×Z Y
と書かれ，2つの自然な射 P → X, P → Y を備えている．2つの射の引き戻しが存在するとは限らないが，存在すれば2つの射から本質的に一意に定義される．
685現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/28(月) 11:46:52.02ID:rKTacEyr >>683
>テンソルの本欲しい。
>2021/2/15に買う予定。
随分先ですね
このスレでもテンソルのＰＤＦなどはかなり取り上げたけど
「テンソルの本」というと
１．一番多いのは、固体力学系で、いまだと工学系あるいは物理系で、３次元が主
２．次が、物理系かな。１に加えて、アインシュタインの相対性理論（４次元時空を含む）とか
３．あと、ＩＡやビッグデータの情報処理系。ここらになると、コンピュータ処理と一体になっていると思う。
”引数（ひきすう）”とか出てきても違和感ないかも＊）
４．あとは、数学系だけど、抽象数学系でテンソルだけ扱う本は少ないかも
自分の興味に合わせて選ぶのが良いと思うよ（＾＾
注
＊）数学科系で、”引数（ひきすう）”とかの用語を使うと、すぐ「定義は？」ってツッコミが来る
そう考えると、うかつに 数学科系で ”引数（ひきすう）”とか書かない気がするな（＾＾；
でも、考えてみると、未来の数学科って、きっと数学ソフトのコンピュータ処理と一体になっている気がするので、そうなると「”引数（ひきすう）”はコンピュータ処理の用語じゃ！」で皆納得するのかもね（＾＾
>テンソルの本欲しい。
>2021/2/15に買う予定。
随分先ですね
このスレでもテンソルのＰＤＦなどはかなり取り上げたけど
「テンソルの本」というと
１．一番多いのは、固体力学系で、いまだと工学系あるいは物理系で、３次元が主
２．次が、物理系かな。１に加えて、アインシュタインの相対性理論（４次元時空を含む）とか
３．あと、ＩＡやビッグデータの情報処理系。ここらになると、コンピュータ処理と一体になっていると思う。
”引数（ひきすう）”とか出てきても違和感ないかも＊）
４．あとは、数学系だけど、抽象数学系でテンソルだけ扱う本は少ないかも
自分の興味に合わせて選ぶのが良いと思うよ（＾＾
注
＊）数学科系で、”引数（ひきすう）”とかの用語を使うと、すぐ「定義は？」ってツッコミが来る
そう考えると、うかつに 数学科系で ”引数（ひきすう）”とか書かない気がするな（＾＾；
でも、考えてみると、未来の数学科って、きっと数学ソフトのコンピュータ処理と一体になっている気がするので、そうなると「”引数（ひきすう）”はコンピュータ処理の用語じゃ！」で皆納得するのかもね（＾＾
686１３２人目の素数さん
2020/09/28(月) 12:31:46.96ID:f21IK4+Y687現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/28(月) 13:50:31.31ID:rKTacEyr688現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/28(月) 15:25:19.88ID:rKTacEyr >>687 追加
どうせ、答えられないと思うから、自問自答しておくよ
１．”引数（ひきすう）”、英語では argument 研究社 英和コンピューター用語辞典では「【２】 引数(ひきすう), アーギュメント《関数やサブルーチンに与えるパラメーター》.」とある
２．確かに、コンピューター用語としては、本体プロブラムで使う変数(例えばx,y,z・・)に対し、サブルーチンなどで使う変数を argument（例えば、Ａｘ、Ａｙ、Ａｚ・・・）として区別することは、意味があると思う
３．しかし、純粋な数学では、”本体とサブルーチン”のような区別がないとすれば、変数とargument（”引数（ひきすう）”）を使い分ける意味がない
４．もし、”引数（ひきすう）” argument を、数学で使うなら、それなりの定義と、使い方を事前にかんがえておくべき。それができないなら、”引数（ひきすう）” argument を使う意味がない
以上
（>>641）
（辞書）
https://ejje.weblio.jp/content/argument
weblio
argument
(抜粋)
研究社 英和コンピューター用語辞典での「argument」の意味
【２】 引数(ひきすう), アーギュメント《関数やサブルーチンに与えるパラメーター》.
(引用終り)
どうせ、答えられないと思うから、自問自答しておくよ
１．”引数（ひきすう）”、英語では argument 研究社 英和コンピューター用語辞典では「【２】 引数(ひきすう), アーギュメント《関数やサブルーチンに与えるパラメーター》.」とある
２．確かに、コンピューター用語としては、本体プロブラムで使う変数(例えばx,y,z・・)に対し、サブルーチンなどで使う変数を argument（例えば、Ａｘ、Ａｙ、Ａｚ・・・）として区別することは、意味があると思う
３．しかし、純粋な数学では、”本体とサブルーチン”のような区別がないとすれば、変数とargument（”引数（ひきすう）”）を使い分ける意味がない
４．もし、”引数（ひきすう）” argument を、数学で使うなら、それなりの定義と、使い方を事前にかんがえておくべき。それができないなら、”引数（ひきすう）” argument を使う意味がない
以上
（>>641）
（辞書）
https://ejje.weblio.jp/content/argument
weblio
argument
(抜粋)
研究社 英和コンピューター用語辞典での「argument」の意味
【２】 引数(ひきすう), アーギュメント《関数やサブルーチンに与えるパラメーター》.
(引用終り)
689ID:1lEWVa2s
2020/09/28(月) 15:42:01.30ID:mLWX2y3S >>685
もしかしてここまで引用してると本を買うお金がないんじゃ。。。。。。。。。。。
もしかしてここまで引用してると本を買うお金がないんじゃ。。。。。。。。。。。
690現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/28(月) 15:55:59.35ID:rKTacEyr >>688 追加の追加
１．wikipediaの対象とする読者は、どちらかと言えば、一般大衆であって、必ずしも数学科生ではない
２．そういう 一般大衆の多様なバックグラウンドを持つ人たちに対しては、”引数（ひきすう）” argument を使うとかもありと思う（自然言語として厳密な用語の定義なしで）
３．しかしながら、大学などで数学科生相手に教えるとすれば、一般大衆向けとは違った 厳密な数学用語の使い方があってしかるべきだろう
以上
１．wikipediaの対象とする読者は、どちらかと言えば、一般大衆であって、必ずしも数学科生ではない
２．そういう 一般大衆の多様なバックグラウンドを持つ人たちに対しては、”引数（ひきすう）” argument を使うとかもありと思う（自然言語として厳密な用語の定義なしで）
３．しかしながら、大学などで数学科生相手に教えるとすれば、一般大衆向けとは違った 厳密な数学用語の使い方があってしかるべきだろう
以上
691現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/28(月) 16:00:48.21ID:rKTacEyr >>689
>もしかしてここまで引用してると本を買うお金がないんじゃ。。。。。。。。。。。
昔、猫さんという有名なコテの人が
「名著は、書棚においてたまに眺めるだけでも値打ちある」とか言っていたよ
お金は無ければ、作るべし（＾＾；
（置き場がなくなって捨てた本がかなりあるが）
>もしかしてここまで引用してると本を買うお金がないんじゃ。。。。。。。。。。。
昔、猫さんという有名なコテの人が
「名著は、書棚においてたまに眺めるだけでも値打ちある」とか言っていたよ
お金は無ければ、作るべし（＾＾；
（置き場がなくなって捨てた本がかなりあるが）
692１３２人目の素数さん
2020/09/28(月) 17:07:09.62ID:83snEsGr >>681
>"これそろそろ
> 気付いたのかもね
> 自分の過ちに"
君こそ、全てのテンソルがベクトルのテンソル積
（これを単純テンソルという）となるわけでないことに
気付いたかい？
>１．テンソルの定義（テンソル積）
>２．行列式の定義
>３．行列式の定義から、行列式がテンソルの定義に合致することをいう
>これをきっちり書けば、どこにギャップがあるか明白になる
既に、テンソル＝多重線形写像、という定義と
行列式の多重線形写像としての定義から
行列式がテンソルであることは示されている
また>>665-666で行列式が
いかなる特定の多次元配列になるか
も示されている
なんなら、多重線形写像から、多次元配列への対応も示せる
v1,・・・,vmを有限次元ベクトルを定義域とする変数とする
当然ながら、上記のベクトルは基底の線型結合で表せる
f(v1,・・・,vm)が多重線型写像なら、
これは、f(ｅ_n1,・・・e_nm)の線型結合で表せる
つまり、有限個のf(ｅ_n1,・・・e_nm)が、
いかなるスカラーを値とするかによって
多重線型写像が特定できる
一方で、例えば行列式のテンソルを表す多次元配列が
１次元配列であるベクトルのテンソル積として表せるか？
といえば、そのようなことは無理だろう
しかし、だからといって行列式がテンソルでないとはいえない
せいぜい単純テンソルでないというだけのことであって
殆どすべてのテンソルは単純テンソルではないから
驚くに値しない
もし君が
「単純テンソルでなければテンソルに非ず！」
といっているのであれば、君が間違ってる
>"これそろそろ
> 気付いたのかもね
> 自分の過ちに"
君こそ、全てのテンソルがベクトルのテンソル積
（これを単純テンソルという）となるわけでないことに
気付いたかい？
>１．テンソルの定義（テンソル積）
>２．行列式の定義
>３．行列式の定義から、行列式がテンソルの定義に合致することをいう
>これをきっちり書けば、どこにギャップがあるか明白になる
既に、テンソル＝多重線形写像、という定義と
行列式の多重線形写像としての定義から
行列式がテンソルであることは示されている
また>>665-666で行列式が
いかなる特定の多次元配列になるか
も示されている
なんなら、多重線形写像から、多次元配列への対応も示せる
v1,・・・,vmを有限次元ベクトルを定義域とする変数とする
当然ながら、上記のベクトルは基底の線型結合で表せる
f(v1,・・・,vm)が多重線型写像なら、
これは、f(ｅ_n1,・・・e_nm)の線型結合で表せる
つまり、有限個のf(ｅ_n1,・・・e_nm)が、
いかなるスカラーを値とするかによって
多重線型写像が特定できる
一方で、例えば行列式のテンソルを表す多次元配列が
１次元配列であるベクトルのテンソル積として表せるか？
といえば、そのようなことは無理だろう
しかし、だからといって行列式がテンソルでないとはいえない
せいぜい単純テンソルでないというだけのことであって
殆どすべてのテンソルは単純テンソルではないから
驚くに値しない
もし君が
「単純テンソルでなければテンソルに非ず！」
といっているのであれば、君が間違ってる
693１３２人目の素数さん
2020/09/28(月) 17:11:44.30ID:83snEsGr >>691
>「名著は、書棚においてたまに眺めるだけでも値打ちある」
眺めるだけじゃ理解できないよ
理解できないなら金の無駄遣い
どうせ無駄遣いなら女にでも使った方が全然マシだな
理解できない数学書眺めても全く快感を感じないが
女と＊＊Xすれば快感を味わえる
>「名著は、書棚においてたまに眺めるだけでも値打ちある」
眺めるだけじゃ理解できないよ
理解できないなら金の無駄遣い
どうせ無駄遣いなら女にでも使った方が全然マシだな
理解できない数学書眺めても全く快感を感じないが
女と＊＊Xすれば快感を味わえる
694１３２人目の素数さん
2020/09/28(月) 17:23:06.36ID:83snEsGr >>685
＞抽象数学系でテンソルだけ扱う本は少ないかも
その昔、岩波講座 基礎数学に
「テンソル空間と外積代数」
という巻があった
なんでわざわざこれを出したかは知らない
今は、ジョルダン標準形の巻と合わせて
岩波基礎数学選書「ジョルダン標準形・テンソル代数」
として出版している
個人的には、上記より、岩堀長慶の
「対称群と一般線型群の表現論」
のほうが読みたいが・・・
＞抽象数学系でテンソルだけ扱う本は少ないかも
その昔、岩波講座 基礎数学に
「テンソル空間と外積代数」
という巻があった
なんでわざわざこれを出したかは知らない
今は、ジョルダン標準形の巻と合わせて
岩波基礎数学選書「ジョルダン標準形・テンソル代数」
として出版している
個人的には、上記より、岩堀長慶の
「対称群と一般線型群の表現論」
のほうが読みたいが・・・
695現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/28(月) 17:50:10.19ID:rKTacEyr696現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/28(月) 17:51:18.99ID:rKTacEyr697１３２人目の素数さん
2020/09/28(月) 18:53:34.40ID:83snEsGr >>695
>テンソルと外積とはちょっと違うんだよね
テンソルとはテンソル積のことだと思ってる？
ちょっとどころか、全然、違うんだよね
定義、確認しような
テンソル
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB
テンソル積
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E7%A9%8D
「V ⊗ W の元のうち v ⊗ w の形に書けるものは、
基本テンソルあるいは単純テンソルと呼ばれる。
一般に、テンソル積空間の元は単純テンソルだけでなく、
それらの有限線型結合も含まれる。
例えば、v1, v2 が線型独立かつ w1, w2 が線型独立のとき
v1 ⊗ w1 + v2 ⊗ w2 は単純テンソルに書くことはできない。
テンソル積空間の元に対し、それを書き表すのに必要な単純テンソルの数を、
テンソルの階数という（テンソルの次数と混同してはならない）。
線型写像や行列を (1,1)-型テンソルと看做したときの、
テンソルの階数は行列の階数の概念に一致する。」
例えば正則行列は決して２つのベクトルのテンソル積で表せない
証明は簡単だから自分でやってみな
>テンソルと外積とはちょっと違うんだよね
テンソルとはテンソル積のことだと思ってる？
ちょっとどころか、全然、違うんだよね
定義、確認しような
テンソル
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB
テンソル積
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E7%A9%8D
「V ⊗ W の元のうち v ⊗ w の形に書けるものは、
基本テンソルあるいは単純テンソルと呼ばれる。
一般に、テンソル積空間の元は単純テンソルだけでなく、
それらの有限線型結合も含まれる。
例えば、v1, v2 が線型独立かつ w1, w2 が線型独立のとき
v1 ⊗ w1 + v2 ⊗ w2 は単純テンソルに書くことはできない。
テンソル積空間の元に対し、それを書き表すのに必要な単純テンソルの数を、
テンソルの階数という（テンソルの次数と混同してはならない）。
線型写像や行列を (1,1)-型テンソルと看做したときの、
テンソルの階数は行列の階数の概念に一致する。」
例えば正則行列は決して２つのベクトルのテンソル積で表せない
証明は簡単だから自分でやってみな
698１３２人目の素数さん
2020/09/28(月) 19:04:11.15ID:83snEsGr 外積は流行じゃなく数学の常識
外積を知らずに外微分形式の理解は不可能
外積を知らずに外微分形式の理解は不可能
699１３２人目の素数さん
2020/09/28(月) 19:13:57.40ID:83snEsGr >>696
>>岩堀長慶の
>>「対称群と一般線型群の表現論」
>古すぎると思うよ
ワイルの「古典群」よりは新しいだろう
今なら岡田聡一の「古典群の表現論と組合せ論」か
フルトンの「ヤング・タブロー」を読んだほうがいい
・・・とかいっぱしの口を叩きたいんだろうが、
テンソルすら理解できない人には
どれもこれも読んでも分からんから
もしうっかり買ってしまったなら
即刻古本屋に叩き売ったほうがいい
その金でもっと有意義なものを買いな
別に＊ー＊ランドとかいかなくていいから
>>岩堀長慶の
>>「対称群と一般線型群の表現論」
>古すぎると思うよ
ワイルの「古典群」よりは新しいだろう
今なら岡田聡一の「古典群の表現論と組合せ論」か
フルトンの「ヤング・タブロー」を読んだほうがいい
・・・とかいっぱしの口を叩きたいんだろうが、
テンソルすら理解できない人には
どれもこれも読んでも分からんから
もしうっかり買ってしまったなら
即刻古本屋に叩き売ったほうがいい
その金でもっと有意義なものを買いな
別に＊ー＊ランドとかいかなくていいから
700現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/28(月) 22:05:14.44ID:EmW1PHnn >>697
(引用開始)
定義、確認しような
テンソル
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB
(引用終り)
おサルさ、おまえ、そのwikipedia テンソルから、
テンソルの定義を抜き出せてないじゃんかｗｗｗ（＾＾；
誤魔化せたつもりかい？ｗｗｗ
自分が、テンソルを理解できてないからさ
どこを抜き出したら良いか分かってないってこと
丸分かりだぜｗｗｗｗｗ（＾＾
(引用開始)
定義、確認しような
テンソル
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB
(引用終り)
おサルさ、おまえ、そのwikipedia テンソルから、
テンソルの定義を抜き出せてないじゃんかｗｗｗ（＾＾；
誤魔化せたつもりかい？ｗｗｗ
自分が、テンソルを理解できてないからさ
どこを抜き出したら良いか分かってないってこと
丸分かりだぜｗｗｗｗｗ（＾＾
701現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/28(月) 22:56:04.09ID:EmW1PHnn >>700
おサルのバカ踊りも見飽きたから、答えを書いていくよ
まず、下記のid:mathcommunicationさん、”テンソルがなかなか理解されない３つの理由”抜群に良いね～（＾＾
・注 ”*2:自分も学生の頃、随分悩まされました。”
は、私も全く同じです。「随分悩まされました」（＾＾；
・注 ”*3:数学者は元来、略、そうした背景から教育の場面でも独力で正しい理解に到達することを相当程度要求されます。（自分もそうやって鍛えられました。）その意味で本質的に数学者はサービス精神とは無縁の生き物です。”
は、この人数学科らしいね（＾＾；
参考
https://mathcommunication.ハテナブログ/entry/2017/01/22/220236
数学、ときどき統計、ところによりＩＴ 理論と実践の狭間で漂流する数学趣味人の記録
2017-01-22 id:mathcommunication
テンソルがなかなか理解されない３つの理由
数学一般
(抜粋)
大学の理学部（数物系）、工学部などの出身者であれば、テンソルという言葉を少なくても１度は耳にしたことがあると思います。重要な概念にも関わらず、どうしてテンソルは理解されないのか、その原因について考えてみたいと思います。
いろいろなテンソル
テンソルと最初に出会うのは、全学共通科目（昔でいう教養科目）の力学に登場する慣性モーメントテンソルあたりでしょう。専門学部（理学部の物理学科や工学部）に進むと、電磁気学の電磁場テンソル、連続体力学や構造力学の応力テンソル、一般相対論のアインシュタインテンソル、場の量子論のボソンフォック空間やフェルミオンフォック空間と至る所に登場します。数学では代数学、幾何学、解析学、分野を問わず登場します。統計学でも多次元の確率変数のモーメント*1を定義するのに必要となります。また最近では機械学習の分野でも見かけるようになりました。
このように八面六臂の大活躍をするテンソルですが、理解するのに難渋するユーザー泣かせの概念としても有名です*2。その原因は主に３つあるように思われます。
つづく
おサルのバカ踊りも見飽きたから、答えを書いていくよ
まず、下記のid:mathcommunicationさん、”テンソルがなかなか理解されない３つの理由”抜群に良いね～（＾＾
・注 ”*2:自分も学生の頃、随分悩まされました。”
は、私も全く同じです。「随分悩まされました」（＾＾；
・注 ”*3:数学者は元来、略、そうした背景から教育の場面でも独力で正しい理解に到達することを相当程度要求されます。（自分もそうやって鍛えられました。）その意味で本質的に数学者はサービス精神とは無縁の生き物です。”
は、この人数学科らしいね（＾＾；
参考
https://mathcommunication.ハテナブログ/entry/2017/01/22/220236
数学、ときどき統計、ところによりＩＴ 理論と実践の狭間で漂流する数学趣味人の記録
2017-01-22 id:mathcommunication
テンソルがなかなか理解されない３つの理由
数学一般
(抜粋)
大学の理学部（数物系）、工学部などの出身者であれば、テンソルという言葉を少なくても１度は耳にしたことがあると思います。重要な概念にも関わらず、どうしてテンソルは理解されないのか、その原因について考えてみたいと思います。
いろいろなテンソル
テンソルと最初に出会うのは、全学共通科目（昔でいう教養科目）の力学に登場する慣性モーメントテンソルあたりでしょう。専門学部（理学部の物理学科や工学部）に進むと、電磁気学の電磁場テンソル、連続体力学や構造力学の応力テンソル、一般相対論のアインシュタインテンソル、場の量子論のボソンフォック空間やフェルミオンフォック空間と至る所に登場します。数学では代数学、幾何学、解析学、分野を問わず登場します。統計学でも多次元の確率変数のモーメント*1を定義するのに必要となります。また最近では機械学習の分野でも見かけるようになりました。
このように八面六臂の大活躍をするテンソルですが、理解するのに難渋するユーザー泣かせの概念としても有名です*2。その原因は主に３つあるように思われます。
つづく
702現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/28(月) 22:57:35.99ID:EmW1PHnn >>701
つづき
原因１：複数の定義が存在する
原因の一つ目は（見かけ上）定義が複数存在することが挙げられます。現在、書店で購入できる書籍やネット上の講義資料で見られる定義で主なものは次の３つです。
1.基底の取り換えに伴う成分の変換規則によるもの、
2.多重線型汎関数によるもの、
3.普遍性によるもの。
定義１は物理（連続体力学・一般相対論など）や工学等で良く使われている定義、定義２は主に微分幾何学や一部のベクトル（テンソル）解析の書籍で見かける定義、定義３は代数学やそれらの概念を使う分野で見られる定義です。
これらの定義の関係ですが、もっとも一般的なものは定義３で、定義２は定義３で与えられるものの具体的な表現の１つ、定義１は定義２または定義３で与えられるものについて２通りの成分表示をしたときに、それらの間に成立していなければならない関係式、というようになっています。
それぞれの定義にはメリットとデメリットがあります。
まず定義１ですが、あまり深く考えず目先の計算を機械的に実行することができる一方、テンソルの実体については一切言及せず、見かけの量である成分しか登場しません。当然、計算は出来ても何をしているのか意味はさっぱり分からないことから、誠実なユーザーほど「テンソルとは何なのか？」という根本的な疑問に苛まされることになります。また「２階のテンソルは行列」や「一般のテンソルは多次元配列」という誤解を生みやすいということもデメリットの一つです。
定義２は、テンソルの実体についてある程度は言及できるのですが、双対空間上で定義された多重線形汎関数としてテンソルを実現しなければならないことから「なぜ双対空間を考えなければならないのか？」という新たな疑問を抱えることになり、こちらも本質的な解決にはなりません。
つづく
つづき
原因１：複数の定義が存在する
原因の一つ目は（見かけ上）定義が複数存在することが挙げられます。現在、書店で購入できる書籍やネット上の講義資料で見られる定義で主なものは次の３つです。
1.基底の取り換えに伴う成分の変換規則によるもの、
2.多重線型汎関数によるもの、
3.普遍性によるもの。
定義１は物理（連続体力学・一般相対論など）や工学等で良く使われている定義、定義２は主に微分幾何学や一部のベクトル（テンソル）解析の書籍で見かける定義、定義３は代数学やそれらの概念を使う分野で見られる定義です。
これらの定義の関係ですが、もっとも一般的なものは定義３で、定義２は定義３で与えられるものの具体的な表現の１つ、定義１は定義２または定義３で与えられるものについて２通りの成分表示をしたときに、それらの間に成立していなければならない関係式、というようになっています。
それぞれの定義にはメリットとデメリットがあります。
まず定義１ですが、あまり深く考えず目先の計算を機械的に実行することができる一方、テンソルの実体については一切言及せず、見かけの量である成分しか登場しません。当然、計算は出来ても何をしているのか意味はさっぱり分からないことから、誠実なユーザーほど「テンソルとは何なのか？」という根本的な疑問に苛まされることになります。また「２階のテンソルは行列」や「一般のテンソルは多次元配列」という誤解を生みやすいということもデメリットの一つです。
定義２は、テンソルの実体についてある程度は言及できるのですが、双対空間上で定義された多重線形汎関数としてテンソルを実現しなければならないことから「なぜ双対空間を考えなければならないのか？」という新たな疑問を抱えることになり、こちらも本質的な解決にはなりません。
つづく
703現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/28(月) 22:58:32.94ID:EmW1PHnn >>702
つづき
最後に定義３ですが、テンソルの実体について最も明確かつシンプルに記述している優れた定義なのですが、見た目の抽象度の高さの為か、その定義がいったい何を言わんとしているのか趣旨を掴みかね、結局、多くの人は理解することを諦めてしまいます。ここで数学者が、その定義でどういった事象を汲み取ろうとしているのかを分かり易い言葉で解説してくれれば良いのですが、残念ながらそうしたサービス精神を持っている数学者はそう多くはありません*3。
原因２：テンソル解析との関係
テンソルが使われる重要な応用分野としてテンソル解析があります。テンソルはそれ単独として説明されることは少なく、テンソル解析やその応用分野の中で説明されることが殆どです。そうした文脈でテンソルが説明される際、偏微分や \(dx\) といった記号が使われるのを良く目にします。しかしこれはテンソルとテンソル場を混同している記述の典型であり、テンソルの説明としては明らかに不適切なものです*4。テンソルは純粋に代数的な概念であり、微分演算とは全く関係ありません。
原因３：理解に必要なポイントを押さえた情報を見つけることが難しい
テンソルを理解するために必要なポイントは「テンソルとは何で、なぜテンソルという概念が必要となるのか、その必然性」です。残念なことに殆どの書籍が「テンソルとは何で」という点についてすら満足に説明することが出来ていない状況では、テンソルに対する理解が進むはずもありません。
今回はテンソルの概念を取り巻く（あまり好ましくない）状況について見てきましたが、こうした状況を少しでも改善するために、テンソルについては稿を改めて解説したいと思います。
17/02/11追記：テンソルについての解説を以下で行っていますので、併せてお読みいただければと思います。
https://mathcommunication.ハテナブログ/entry/2017/02/05/193426
数学、ときどき統計、ところによりＩＴ
id:mathcommunication
テンソルとは何か、なぜテンソルという概念が必要となるのか
今回は「テンソルとは何か、なぜテンソルという概念が必要となるのか」について考えたいと思います。
2017-02-05 19:34
つづく
つづき
最後に定義３ですが、テンソルの実体について最も明確かつシンプルに記述している優れた定義なのですが、見た目の抽象度の高さの為か、その定義がいったい何を言わんとしているのか趣旨を掴みかね、結局、多くの人は理解することを諦めてしまいます。ここで数学者が、その定義でどういった事象を汲み取ろうとしているのかを分かり易い言葉で解説してくれれば良いのですが、残念ながらそうしたサービス精神を持っている数学者はそう多くはありません*3。
原因２：テンソル解析との関係
テンソルが使われる重要な応用分野としてテンソル解析があります。テンソルはそれ単独として説明されることは少なく、テンソル解析やその応用分野の中で説明されることが殆どです。そうした文脈でテンソルが説明される際、偏微分や \(dx\) といった記号が使われるのを良く目にします。しかしこれはテンソルとテンソル場を混同している記述の典型であり、テンソルの説明としては明らかに不適切なものです*4。テンソルは純粋に代数的な概念であり、微分演算とは全く関係ありません。
原因３：理解に必要なポイントを押さえた情報を見つけることが難しい
テンソルを理解するために必要なポイントは「テンソルとは何で、なぜテンソルという概念が必要となるのか、その必然性」です。残念なことに殆どの書籍が「テンソルとは何で」という点についてすら満足に説明することが出来ていない状況では、テンソルに対する理解が進むはずもありません。
今回はテンソルの概念を取り巻く（あまり好ましくない）状況について見てきましたが、こうした状況を少しでも改善するために、テンソルについては稿を改めて解説したいと思います。
17/02/11追記：テンソルについての解説を以下で行っていますので、併せてお読みいただければと思います。
https://mathcommunication.ハテナブログ/entry/2017/02/05/193426
数学、ときどき統計、ところによりＩＴ
id:mathcommunication
テンソルとは何か、なぜテンソルという概念が必要となるのか
今回は「テンソルとは何か、なぜテンソルという概念が必要となるのか」について考えたいと思います。
2017-02-05 19:34
つづく
704現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/28(月) 22:59:10.08ID:EmW1PHnn >>703
つづき
注
*1:ここでいうモーメントとは確率変数のべき乗の期待値のことで、先述の慣性モーメントとは別物です。
*2:自分も学生の頃、随分悩まされました。
*3:数学者は元来、（基本的な学術上の価値観については他者と共有してはいるものの）内的動機に基づき自分の世界を突き詰めなければならない人達であり、そうした背景から教育の場面でも独力で正しい理解に到達することを相当程度要求されます。（自分もそうやって鍛えられました。）その意味で本質的に数学者はサービス精神とは無縁の生き物です。
*4:現代的な視点で述べれば、多様体上の微分積分法において「底空間＝接空間」としたものがベクトル解析やテンソル解析である、ということになるのですが、この「底空間＝接空間」という性質がテンソルとテンソル場の話をごちゃごちゃにしてしまう原因になっています。当然、多様体上の微分積分法ではそうした事象は起こることはありません。
(引用終り)
以上
つづき
注
*1:ここでいうモーメントとは確率変数のべき乗の期待値のことで、先述の慣性モーメントとは別物です。
*2:自分も学生の頃、随分悩まされました。
*3:数学者は元来、（基本的な学術上の価値観については他者と共有してはいるものの）内的動機に基づき自分の世界を突き詰めなければならない人達であり、そうした背景から教育の場面でも独力で正しい理解に到達することを相当程度要求されます。（自分もそうやって鍛えられました。）その意味で本質的に数学者はサービス精神とは無縁の生き物です。
*4:現代的な視点で述べれば、多様体上の微分積分法において「底空間＝接空間」としたものがベクトル解析やテンソル解析である、ということになるのですが、この「底空間＝接空間」という性質がテンソルとテンソル場の話をごちゃごちゃにしてしまう原因になっています。当然、多様体上の微分積分法ではそうした事象は起こることはありません。
(引用終り)
以上
705現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/28(月) 23:00:24.80ID:EmW1PHnn 残りは、また後でね（＾＾；
706１３２人目の素数さん
2020/09/28(月) 23:11:27.05ID:f21IK4+Y 答えを書いていくよ（コピペ）
707１３２人目の素数さん
2020/09/29(火) 06:10:15.44ID:3gGgCYQz >>700
誤
「おまえ、そのwikipedia テンソルから、
テンソルの定義を抜き出せてないじゃんか」
「自分が、テンソルを理解できてないからさ
どこを抜き出したら良いか分かってないってこと
丸分かりだぜ」
正
「おれ、そのwikipedia テンソルの定義読んでも
なにがなんだか、チンプンカンプンなんだよな」
「自分が、テンソルを理解できないからさ
どこを読んでも分からないってこと
恥ずかしいけど告白するぜ」
自分の無理解に素直になれよ、◆yH25M02vWFhP
誤
「おまえ、そのwikipedia テンソルから、
テンソルの定義を抜き出せてないじゃんか」
「自分が、テンソルを理解できてないからさ
どこを抜き出したら良いか分かってないってこと
丸分かりだぜ」
正
「おれ、そのwikipedia テンソルの定義読んでも
なにがなんだか、チンプンカンプンなんだよな」
「自分が、テンソルを理解できないからさ
どこを読んでも分からないってこと
恥ずかしいけど告白するぜ」
自分の無理解に素直になれよ、◆yH25M02vWFhP
708１３２人目の素数さん
2020/09/29(火) 06:13:30.45ID:3gGgCYQz709１３２人目の素数さん
2020/09/29(火) 06:17:16.96ID:3gGgCYQz >>702
（テンソルが理解できない理由）
＞原因１：複数の定義が存在する
定義は一つである必要はないな
実数の定義もそう デデキントの切断もカントルの基本列も有効
複数の定義が存在しても、それぞれが同値であることを確認すればいい
アタマの悪いヤツは、そもそも考えたがらないから
複数の定義が存在した場合、自分で同値性を確認する面倒を厭う
悪いが、そんな態度では数学は決して理解できないから諦めろ
（テンソルが理解できない理由）
＞原因１：複数の定義が存在する
定義は一つである必要はないな
実数の定義もそう デデキントの切断もカントルの基本列も有効
複数の定義が存在しても、それぞれが同値であることを確認すればいい
アタマの悪いヤツは、そもそも考えたがらないから
複数の定義が存在した場合、自分で同値性を確認する面倒を厭う
悪いが、そんな態度では数学は決して理解できないから諦めろ
710１３２人目の素数さん
2020/09/29(火) 06:25:50.01ID:3gGgCYQz >>702
＞（定義1）基底の取り換えに伴う成分の変換規則によるもの
＞定義１は物理（連続体力学・一般相対論など）や工学等で良く使われている定義
＞定義１ですが、あまり深く考えず目先の計算を機械的に実行することができる一方、
＞テンソルの実体については一切言及せず、見かけの量である成分しか登場しません。
＞当然、計算は出来ても何をしているのか意味はさっぱり分からないことから、
＞誠実なユーザーほど「テンソルとは何なのか？」という
＞根本的な疑問に苛まされることになります。
数学科以外の人に示される定義が定義１である理由
・そもそも機械的な計算ができれば十分だろう、とみられてるから
・数学ユーザーが求める「意味」は、数学の中にあるわけではなく
数学の外である、ユーザー自身の研究対象にあるのだから、
テンソルを用いる意味（というか理由）は、自分の研究分野の中で
答えをみつけろということ
＞また「２階のテンソルは行列」や「一般のテンソルは多次元配列」という
＞誤解を生みやすいということもデメリットの一つです。
上記の「行列」が「線型写像」でなく「２次元配列」なら
物理や工学の連中が認識できる「計算物」としては
間違ってないだろう
＞（定義1）基底の取り換えに伴う成分の変換規則によるもの
＞定義１は物理（連続体力学・一般相対論など）や工学等で良く使われている定義
＞定義１ですが、あまり深く考えず目先の計算を機械的に実行することができる一方、
＞テンソルの実体については一切言及せず、見かけの量である成分しか登場しません。
＞当然、計算は出来ても何をしているのか意味はさっぱり分からないことから、
＞誠実なユーザーほど「テンソルとは何なのか？」という
＞根本的な疑問に苛まされることになります。
数学科以外の人に示される定義が定義１である理由
・そもそも機械的な計算ができれば十分だろう、とみられてるから
・数学ユーザーが求める「意味」は、数学の中にあるわけではなく
数学の外である、ユーザー自身の研究対象にあるのだから、
テンソルを用いる意味（というか理由）は、自分の研究分野の中で
答えをみつけろということ
＞また「２階のテンソルは行列」や「一般のテンソルは多次元配列」という
＞誤解を生みやすいということもデメリットの一つです。
上記の「行列」が「線型写像」でなく「２次元配列」なら
物理や工学の連中が認識できる「計算物」としては
間違ってないだろう
711１３２人目の素数さん
2020/09/29(火) 06:34:01.41ID:3gGgCYQz >>702
＞（定義2）多重線型汎関数によるもの
＞定義２は主に微分幾何学や一部のベクトル（テンソル）解析の書籍で見かける定義
＞定義２は、テンソルの実体についてある程度は言及できるのですが、
＞双対空間上で定義された多重線形汎関数として
＞テンソルを実現しなければならないことから
＞「なぜ双対空間を考えなければならないのか？」
＞という新たな疑問を抱えることになり、
＞こちらも本質的な解決にはなりません。
テンソル＝多重線型汎関数、という定義は
単に定義１の「座標変換による関係式の羅列」という
冗長な定義をコンパクトに圧縮するための抽象化
であり、いわば便宜である
（数学における抽象化の意図はズバリそこにある）
双対空間を考えるのも
「そのほうがうまく定義できるから」
という以上の理由はない
宗教じゃないから、理由など考えるだけ無駄である
もし悟りが得られるとすれば
「数学の対象には、一般人が考えるナイーブな意味などない」
ということか
（これは、数学の対象が無意味であることを意味しない）
＞（定義2）多重線型汎関数によるもの
＞定義２は主に微分幾何学や一部のベクトル（テンソル）解析の書籍で見かける定義
＞定義２は、テンソルの実体についてある程度は言及できるのですが、
＞双対空間上で定義された多重線形汎関数として
＞テンソルを実現しなければならないことから
＞「なぜ双対空間を考えなければならないのか？」
＞という新たな疑問を抱えることになり、
＞こちらも本質的な解決にはなりません。
テンソル＝多重線型汎関数、という定義は
単に定義１の「座標変換による関係式の羅列」という
冗長な定義をコンパクトに圧縮するための抽象化
であり、いわば便宜である
（数学における抽象化の意図はズバリそこにある）
双対空間を考えるのも
「そのほうがうまく定義できるから」
という以上の理由はない
宗教じゃないから、理由など考えるだけ無駄である
もし悟りが得られるとすれば
「数学の対象には、一般人が考えるナイーブな意味などない」
ということか
（これは、数学の対象が無意味であることを意味しない）
712１３２人目の素数さん
2020/09/29(火) 06:45:53.45ID:3gGgCYQz >>703
＞（定義3）普遍性によるもの。
＞定義３は代数学やそれらの概念を使う分野で見られる定義
＞最後に定義３ですが、テンソルの実体について
＞最も明確かつシンプルに記述している優れた定義なのですが、
＞見た目の抽象度の高さの為か、
＞その定義がいったい何を言わんとしているのか趣旨を掴みかね、
＞結局、多くの人は理解することを諦めてしまいます。
そりゃそうだろ
代数屋以外、ありがたがらないからな
幾何屋や解析屋が、定義２で十分と考えてるのはそこ
代数屋は、自分の研究対象にどうテンソルを用いるか考えてるから
可能な限り抽象化して、使える状況を増やしたほうがいい
テンソルの実体とはまさにそうした抽象化の結晶であって
なにか具体的な意味があると考えるのは全く逆向きなのである
＞ここで数学者が、その定義でどういった事象を汲み取ろうとしているのかを
＞分かり易い言葉で解説してくれれば良いのですが、
＞残念ながらそうしたサービス精神を持っている数学者はそう多くはありません。
数学者は数学を作る人であって、数学以外の学問に対して数学を使う人ではない。
つまり、テンソルをどう使おうが、ユーザーの勝手なのであって、
むしろ物理や工学の対象のどこにテンソル性を見出すかは、
数学屋ではなく物理屋、工学屋の考えることなのである
数学ユーザーにとって普遍性による定義なんてハナクソほどの価値もなく
「座標変換にともなう計算式」という泥臭い規則のほうが
実際的にははるかに有用 どうせやるのは数学の理論構築ではなく計算なんだから
＞（定義3）普遍性によるもの。
＞定義３は代数学やそれらの概念を使う分野で見られる定義
＞最後に定義３ですが、テンソルの実体について
＞最も明確かつシンプルに記述している優れた定義なのですが、
＞見た目の抽象度の高さの為か、
＞その定義がいったい何を言わんとしているのか趣旨を掴みかね、
＞結局、多くの人は理解することを諦めてしまいます。
そりゃそうだろ
代数屋以外、ありがたがらないからな
幾何屋や解析屋が、定義２で十分と考えてるのはそこ
代数屋は、自分の研究対象にどうテンソルを用いるか考えてるから
可能な限り抽象化して、使える状況を増やしたほうがいい
テンソルの実体とはまさにそうした抽象化の結晶であって
なにか具体的な意味があると考えるのは全く逆向きなのである
＞ここで数学者が、その定義でどういった事象を汲み取ろうとしているのかを
＞分かり易い言葉で解説してくれれば良いのですが、
＞残念ながらそうしたサービス精神を持っている数学者はそう多くはありません。
数学者は数学を作る人であって、数学以外の学問に対して数学を使う人ではない。
つまり、テンソルをどう使おうが、ユーザーの勝手なのであって、
むしろ物理や工学の対象のどこにテンソル性を見出すかは、
数学屋ではなく物理屋、工学屋の考えることなのである
数学ユーザーにとって普遍性による定義なんてハナクソほどの価値もなく
「座標変換にともなう計算式」という泥臭い規則のほうが
実際的にははるかに有用 どうせやるのは数学の理論構築ではなく計算なんだから
713１３２人目の素数さん
2020/09/29(火) 06:53:33.11ID:3gGgCYQz >>703
＞原因２：テンソル解析との関係
＞テンソルが使われる重要な応用分野としてテンソル解析があります。
＞テンソルはそれ単独として説明されることは少なく、
＞テンソル解析やその応用分野の中で説明されることが殆どです。
＞そうした文脈でテンソルが説明される際、偏微分や (dx) といった記号が
＞使われるのを良く目にします。
＞しかしこれはテンソルとテンソル場を混同している記述の典型であり、
＞テンソルの説明としては明らかに不適切なものです。
＞テンソルは純粋に代数的な概念であり、微分演算とは全く関係ありません。
然り
しかし、物理屋や工学屋が純然たるテンソルを考えることはまずない
大体テンソル場と相場が決まっている（AIについては知らないので除外）
どうせ、代数演算としての外積だけでは話は終わらず、
（外）微分形式だの外微分だのが必要になる
つまるところストークスの定理（グリーンの定理、ガウスの発散定理を含む）を
理解しなければ仕事にならないのだから
ただ、AIなどで、「場ぬきのテンソル」を用いたいというのであれば
今度、そういう目的に即した教科書は出来るだろう
ただ、それを書くのは数学者ではないだろうし、
そういう教科書に「普遍性による定義」を書いても
無意味だと思われる
読むのは工学屋だし、代数には興味も理解もないだろう
圏論なんて死ぬまで無縁な人達に過度な抽象化を教えてもブタに真珠
＞原因２：テンソル解析との関係
＞テンソルが使われる重要な応用分野としてテンソル解析があります。
＞テンソルはそれ単独として説明されることは少なく、
＞テンソル解析やその応用分野の中で説明されることが殆どです。
＞そうした文脈でテンソルが説明される際、偏微分や (dx) といった記号が
＞使われるのを良く目にします。
＞しかしこれはテンソルとテンソル場を混同している記述の典型であり、
＞テンソルの説明としては明らかに不適切なものです。
＞テンソルは純粋に代数的な概念であり、微分演算とは全く関係ありません。
然り
しかし、物理屋や工学屋が純然たるテンソルを考えることはまずない
大体テンソル場と相場が決まっている（AIについては知らないので除外）
どうせ、代数演算としての外積だけでは話は終わらず、
（外）微分形式だの外微分だのが必要になる
つまるところストークスの定理（グリーンの定理、ガウスの発散定理を含む）を
理解しなければ仕事にならないのだから
ただ、AIなどで、「場ぬきのテンソル」を用いたいというのであれば
今度、そういう目的に即した教科書は出来るだろう
ただ、それを書くのは数学者ではないだろうし、
そういう教科書に「普遍性による定義」を書いても
無意味だと思われる
読むのは工学屋だし、代数には興味も理解もないだろう
圏論なんて死ぬまで無縁な人達に過度な抽象化を教えてもブタに真珠
714１３２人目の素数さん
2020/09/29(火) 07:00:21.22ID:3gGgCYQz >>703
＞原因３：理解に必要なポイントを押さえた情報を見つけることが難しい
＞テンソルを理解するために必要なポイントは
＞「テンソルとは何で、なぜテンソルという概念が必要となるのか、その必然性」
＞です。
＞残念なことに殆どの書籍が「テンソルとは何で」という点についてすら
＞満足に説明することが出来ていない状況では、
＞テンソルに対する理解が進むはずもありません。
そもそも問が間違ってる
「テンソルとは何（what）か？」
「なぜ（why）テンソルという概念が必要となるのか？」
それは自分の研究対象に訊いてくれ、としか言いようがない
数学が提供できる答えはこれしかない
「テンソルをどう（How)扱えばいいか？」
その答えが定義１であり定義２である
定義３はそれらを「数学的に」導くための糸でしかない
結局計算に必要なのは定義１の関係式であり
関係式をまるまる覚えるのは面倒だから
定義２で圧縮しとけば記憶容量が大幅に減ってお得
ただ、定義２すらケチって定義３にすがるのは大して意味がない
＞原因３：理解に必要なポイントを押さえた情報を見つけることが難しい
＞テンソルを理解するために必要なポイントは
＞「テンソルとは何で、なぜテンソルという概念が必要となるのか、その必然性」
＞です。
＞残念なことに殆どの書籍が「テンソルとは何で」という点についてすら
＞満足に説明することが出来ていない状況では、
＞テンソルに対する理解が進むはずもありません。
そもそも問が間違ってる
「テンソルとは何（what）か？」
「なぜ（why）テンソルという概念が必要となるのか？」
それは自分の研究対象に訊いてくれ、としか言いようがない
数学が提供できる答えはこれしかない
「テンソルをどう（How)扱えばいいか？」
その答えが定義１であり定義２である
定義３はそれらを「数学的に」導くための糸でしかない
結局計算に必要なのは定義１の関係式であり
関係式をまるまる覚えるのは面倒だから
定義２で圧縮しとけば記憶容量が大幅に減ってお得
ただ、定義２すらケチって定義３にすがるのは大して意味がない
715現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/29(火) 11:21:21.76ID:xc6bep5/ 先に参考資料を貼るよ（＾＾
（>>703より）
https://mathcommunication.ハテナブログ/entry/2017/02/05/193426
数学、ときどき統計、ところによりＩＴ
id:mathcommunication
テンソルとは何か、なぜテンソルという概念が必要となるのか 2017-02-05
(抜粋)
今回は「テンソルとは何か、なぜテンソルという概念が必要となるのか」について考えたいと思います。
テンソルの定義
これまでの議論を一般化して定理（および定義）としてまとめます。
定理 V とW を線型空間とする。このとき線型空間 T と双線型写像 κ:V×W→T の組 (T,κ) で次の性質を満たすものが同型を除き唯一つ存在する。
（性質）任意の線型空間 U と任意の双線型写像 ΦU:V×W→U に対して ΦU=fU〇κ を
満たす線型写像 fU:T→U が唯一つ存在する。
このとき組 (T,κ) を V と W のテンソル積、T の元をテンソルと呼び、 T を V〇xW、 κ(v,w) を v〇xw と書く。また上記の（性質）をテンソル積 (V〇xW,κ) の普遍性と呼ぶ。
証明については、代数学や少し進んだ線型代数学の書籍を探せばあるので、そちらをご参照下さい*3。
注
*3:ただし代数学の書籍では線型空間ではなく、それらを一般化した環上の加群で証明されているかもしれません。
つづく
（>>703より）
https://mathcommunication.ハテナブログ/entry/2017/02/05/193426
数学、ときどき統計、ところによりＩＴ
id:mathcommunication
テンソルとは何か、なぜテンソルという概念が必要となるのか 2017-02-05
(抜粋)
今回は「テンソルとは何か、なぜテンソルという概念が必要となるのか」について考えたいと思います。
テンソルの定義
これまでの議論を一般化して定理（および定義）としてまとめます。
定理 V とW を線型空間とする。このとき線型空間 T と双線型写像 κ:V×W→T の組 (T,κ) で次の性質を満たすものが同型を除き唯一つ存在する。
（性質）任意の線型空間 U と任意の双線型写像 ΦU:V×W→U に対して ΦU=fU〇κ を
満たす線型写像 fU:T→U が唯一つ存在する。
このとき組 (T,κ) を V と W のテンソル積、T の元をテンソルと呼び、 T を V〇xW、 κ(v,w) を v〇xw と書く。また上記の（性質）をテンソル積 (V〇xW,κ) の普遍性と呼ぶ。
証明については、代数学や少し進んだ線型代数学の書籍を探せばあるので、そちらをご参照下さい*3。
注
*3:ただし代数学の書籍では線型空間ではなく、それらを一般化した環上の加群で証明されているかもしれません。
つづく
716現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/29(火) 11:21:45.44ID:xc6bep5/ >>715
つづき
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~tamaru/
田丸 広島大 なお今は大阪市大 http://www.sci.osaka-cu.ac.jp/~tamaru/
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~tamaru/kougi/14gairon-tamaru.html
数学概論 (2014年度前期)
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~tamaru/files/14gairon.pdf
数学概論 (2014年度前期) 講義資料 数学専攻 M1 対象, 輪講科目. 田丸 広島大
(抜粋)
1.1.1 テンソル積の定義
テンソル積の定義を与える前に, 用語を準備する. 線型写像の定義は既知とする.
定義 1.1 φ : V × W → U が 双線型 であるとは, 以下が成り立つこと: ∀a, b ∈ R,
∀v, v′ ∈ V , ∀w, w′ ∈ W,
テンソル積 V 〇x W は, 荒く言うと, 以下をみたす実線型空間である:
・ {v 〇x w | v ∈ V, w ∈ W} で張られる.
・ V × W → V 〇x W : (v, w) 7→ v 〇x w が双線型.
そこで, 実線型空間 U0 と双線型写像 ι : V × W → U0 の組 (U0, ι) で, 所定の性質をみた
すものとして, テンソル積を定義する. 所定の性質は, 次と関連する.
このような状況のときに, f 〇 φ は φ によって支配されていると呼ぶ. テンソル積は,
V × W 上の全ての双線型写像を支配するものとして定義される.
定義 1.3 U0 を実線型空間, ι : V × W → U0 を双線型写像とする. このとき (U0, ι) が
V と W の テンソル積 であるとは, 次が成り立つこと:
(T) 任意の実線型空間 U, 任意の双線型写像 Φ : V × W → U に対して, 線型写像
F : U0 → U が唯一つ存在して, Φ = F 〇 ι.
上記の条件 (T) をテンソル積の 普遍性 と呼ぶ.
定理 1.4 V , W を実線型空間とする. このとき, V と W のテンソル積が存在し, ある意
味で一意的である.
存在性は次項で示す. 一意性は, 正確に述べると次のようになる.
命題 1.5 (U0, ι), (U′0, ι′) が (T) をみたすとする. このとき線型同型写像 F0 : U0 → U′0
が存在して, F0 〇 ι = ι′.
つづく
つづき
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~tamaru/
田丸 広島大 なお今は大阪市大 http://www.sci.osaka-cu.ac.jp/~tamaru/
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~tamaru/kougi/14gairon-tamaru.html
数学概論 (2014年度前期)
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~tamaru/files/14gairon.pdf
数学概論 (2014年度前期) 講義資料 数学専攻 M1 対象, 輪講科目. 田丸 広島大
(抜粋)
1.1.1 テンソル積の定義
テンソル積の定義を与える前に, 用語を準備する. 線型写像の定義は既知とする.
定義 1.1 φ : V × W → U が 双線型 であるとは, 以下が成り立つこと: ∀a, b ∈ R,
∀v, v′ ∈ V , ∀w, w′ ∈ W,
テンソル積 V 〇x W は, 荒く言うと, 以下をみたす実線型空間である:
・ {v 〇x w | v ∈ V, w ∈ W} で張られる.
・ V × W → V 〇x W : (v, w) 7→ v 〇x w が双線型.
そこで, 実線型空間 U0 と双線型写像 ι : V × W → U0 の組 (U0, ι) で, 所定の性質をみた
すものとして, テンソル積を定義する. 所定の性質は, 次と関連する.
このような状況のときに, f 〇 φ は φ によって支配されていると呼ぶ. テンソル積は,
V × W 上の全ての双線型写像を支配するものとして定義される.
定義 1.3 U0 を実線型空間, ι : V × W → U0 を双線型写像とする. このとき (U0, ι) が
V と W の テンソル積 であるとは, 次が成り立つこと:
(T) 任意の実線型空間 U, 任意の双線型写像 Φ : V × W → U に対して, 線型写像
F : U0 → U が唯一つ存在して, Φ = F 〇 ι.
上記の条件 (T) をテンソル積の 普遍性 と呼ぶ.
定理 1.4 V , W を実線型空間とする. このとき, V と W のテンソル積が存在し, ある意
味で一意的である.
存在性は次項で示す. 一意性は, 正確に述べると次のようになる.
命題 1.5 (U0, ι), (U′0, ι′) が (T) をみたすとする. このとき線型同型写像 F0 : U0 → U′0
が存在して, F0 〇 ι = ι′.
つづく
717現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/29(火) 11:22:04.13ID:xc6bep5/ >>716
つづき
1.1.2 基底を用いた構成
ここでは, テンソル積を基底を用いて構成する.
命題 1.7 {v1, . . . , vn} を V の基底, {w1, . . . , wm} を W の基底とする.
また, U0 :=Rmn とおき, ι : V × W → U0 を双線型写像とする. このとき, もし {ι(vi, wj )} が U0 の
基底ならば, (U0, ι) は V と W のテンソル積である.
この命題の仮定をみたす ι が存在することは容易に分かるので, テンソル積が存在する
ことが従う.
系 1.8 dim(V 〇x W) = dim V ・ dim W. とくに {v1, . . . , vn}, {w1, . . . , wm} をそれぞれ
V , W の基底とすると, {vi 〇x wj} は V 〇x W の基底である.
これでテンソル積の次元が分かった. 次は, 次元を用いた判定条件.
補題 1.9 ι′: V × W → U を双線型写像とする. このとき, もし以下が成り立つならば,
(U, ι′) は V と W のテンソル積である:
(1) dim U = dim V ・ dim W.
(2) U は ι′(V × W) で生成される.
1.1.3 基底に依らない構成
ここで次を考える: Hom (V, W) := {F : V → W : 線型 }. このとき Hom (V, W) は自
然に線型空間であり, その次元は dim V ・ dim W と一致する. とくに, V*:= Hom (V, R)
を V の 双対空間 と呼ぶ.
1.1.4 商線型空間を用いた構成
商線型空間を用いた構成については, 講義では触れないが, 原稿には載せておく. V0 を
V 内の線型部分空間とする.
つづく
つづき
1.1.2 基底を用いた構成
ここでは, テンソル積を基底を用いて構成する.
命題 1.7 {v1, . . . , vn} を V の基底, {w1, . . . , wm} を W の基底とする.
また, U0 :=Rmn とおき, ι : V × W → U0 を双線型写像とする. このとき, もし {ι(vi, wj )} が U0 の
基底ならば, (U0, ι) は V と W のテンソル積である.
この命題の仮定をみたす ι が存在することは容易に分かるので, テンソル積が存在する
ことが従う.
系 1.8 dim(V 〇x W) = dim V ・ dim W. とくに {v1, . . . , vn}, {w1, . . . , wm} をそれぞれ
V , W の基底とすると, {vi 〇x wj} は V 〇x W の基底である.
これでテンソル積の次元が分かった. 次は, 次元を用いた判定条件.
補題 1.9 ι′: V × W → U を双線型写像とする. このとき, もし以下が成り立つならば,
(U, ι′) は V と W のテンソル積である:
(1) dim U = dim V ・ dim W.
(2) U は ι′(V × W) で生成される.
1.1.3 基底に依らない構成
ここで次を考える: Hom (V, W) := {F : V → W : 線型 }. このとき Hom (V, W) は自
然に線型空間であり, その次元は dim V ・ dim W と一致する. とくに, V*:= Hom (V, R)
を V の 双対空間 と呼ぶ.
1.1.4 商線型空間を用いた構成
商線型空間を用いた構成については, 講義では触れないが, 原稿には載せておく. V0 を
V 内の線型部分空間とする.
つづく
718現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/29(火) 11:22:30.47ID:xc6bep5/ >>717
つづき
1.2 テンソル代数
この項を通して, 特に断らない限り V , V1, . . . , Vn は有限次元実線型空間を表すものと
する. ここでは, 実線型空間のテンソル代数を定義し, その性質を見る.
1.2.1 高階のテンソル
先の V 〇x W を二階のテンソルという. ここでは n 階のテンソルを定義する.
定理 1.19 V1, . . . , Vn のテンソル積が存在し, ある意味で一意的である.
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
テンソル空間
るテンソルの座標に依らない（英語版）現代的な取扱いは、テンソル空間（テンソルくうかん、英: tensor space）と呼ばれる抽象代数学的な対象の元として、ある種の多重線型性によって表される。よ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
ベクトル空間
ベクトル空間（ベクトルくうかん、英: vector space）、または、線型空間（せんけいくうかん、英: linear space）は、ベクトル（英: vector）と呼ばれる元からなる集まりの成す数学的構造である。
(引用終り)
以上
つづき
1.2 テンソル代数
この項を通して, 特に断らない限り V , V1, . . . , Vn は有限次元実線型空間を表すものと
する. ここでは, 実線型空間のテンソル代数を定義し, その性質を見る.
1.2.1 高階のテンソル
先の V 〇x W を二階のテンソルという. ここでは n 階のテンソルを定義する.
定理 1.19 V1, . . . , Vn のテンソル積が存在し, ある意味で一意的である.
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
テンソル空間
るテンソルの座標に依らない（英語版）現代的な取扱いは、テンソル空間（テンソルくうかん、英: tensor space）と呼ばれる抽象代数学的な対象の元として、ある種の多重線型性によって表される。よ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
ベクトル空間
ベクトル空間（ベクトルくうかん、英: vector space）、または、線型空間（せんけいくうかん、英: linear space）は、ベクトル（英: vector）と呼ばれる元からなる集まりの成す数学的構造である。
(引用終り)
以上
719現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/29(火) 11:49:03.01ID:xc6bep5/ >>715-718 補足
貼った資料を読めば、分かるやつは分かるｗ（＾＾；
が、それでは不親切かもね
１．テンソルの定義：これが意外にはっきり書いてないけど、分かり易くいうなら、テンソル空間の元(>>718)
ベクトルは、ベクトル空間の元の如し。>>715でも、「T の元をテンソル」と書いているように、テンソルは、集合の元のことです
２．テンソル空間は、テンソル積によって構成され、普遍性（ある種の一意性）が成り立つ
>>715 "証明については、代数学や少し進んだ線型代数学の書籍を探せばある"は、例えば雪江明彦 代数学2 のテンソル積の章などに
一応、田丸先生のPDFをご紹介する>>716。ここにも証明あるよ。（雪江明彦に類似。先に一意を言い、あとから存在を示す筋です）
３．田丸先生で面白いのが、”テンソル積の次元が分かった. 次は, 次元を用いた判定条件 補題 1.9 (1) dim U = dim V ・ dim W”
つまり、3次元の二つのベクトルによるテンソル積は、3・3＝9次元です
４．ところで、内積を考える。3次元ベクトルで、x=x1e1+x2e2+x3e3, y=y1e1+y2e2+y3e3
内積 x・y＝x1y1+x2y2+x3y3
ですから、どう見ても、内積は9次元ではないのです。上記”次元を用いた判定条件 補題 1.9 (1)”に反する
よって、テンソル積の普遍性（ある種の一意性）より、内積はテンソル積ではない！！
ＱＥＤ（＾＾；
ああ、もちろん内積は双線型ですよ（下記）ｗ
（なお、外積も同様だが、略す）
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%86%99%E5%83%8F
双線型写像
(抜粋)
特別な場合
X = F のとき（このときの双線型写像は双線型形式と呼ばれる）は特に有用である（例えばドット積、内積、二次形式の記事を参照されたい）。
(引用終り)
以上
貼った資料を読めば、分かるやつは分かるｗ（＾＾；
が、それでは不親切かもね
１．テンソルの定義：これが意外にはっきり書いてないけど、分かり易くいうなら、テンソル空間の元(>>718)
ベクトルは、ベクトル空間の元の如し。>>715でも、「T の元をテンソル」と書いているように、テンソルは、集合の元のことです
２．テンソル空間は、テンソル積によって構成され、普遍性（ある種の一意性）が成り立つ
>>715 "証明については、代数学や少し進んだ線型代数学の書籍を探せばある"は、例えば雪江明彦 代数学2 のテンソル積の章などに
一応、田丸先生のPDFをご紹介する>>716。ここにも証明あるよ。（雪江明彦に類似。先に一意を言い、あとから存在を示す筋です）
３．田丸先生で面白いのが、”テンソル積の次元が分かった. 次は, 次元を用いた判定条件 補題 1.9 (1) dim U = dim V ・ dim W”
つまり、3次元の二つのベクトルによるテンソル積は、3・3＝9次元です
４．ところで、内積を考える。3次元ベクトルで、x=x1e1+x2e2+x3e3, y=y1e1+y2e2+y3e3
内積 x・y＝x1y1+x2y2+x3y3
ですから、どう見ても、内積は9次元ではないのです。上記”次元を用いた判定条件 補題 1.9 (1)”に反する
よって、テンソル積の普遍性（ある種の一意性）より、内積はテンソル積ではない！！
ＱＥＤ（＾＾；
ああ、もちろん内積は双線型ですよ（下記）ｗ
（なお、外積も同様だが、略す）
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%86%99%E5%83%8F
双線型写像
(抜粋)
特別な場合
X = F のとき（このときの双線型写像は双線型形式と呼ばれる）は特に有用である（例えばドット積、内積、二次形式の記事を参照されたい）。
(引用終り)
以上
720現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/29(火) 11:53:16.28ID:xc6bep5/ >>719 補足
x=x1e1+x2e2+x3e3, y=y1e1+y2e2+y3e3
ここに、e1,e2,e3 は基底ベクトルを表す
まあ、常識なので分かると思うが、念のため
院試など試験では抜かさないように（書いていないと減点されかねないから） （＾＾
x=x1e1+x2e2+x3e3, y=y1e1+y2e2+y3e3
ここに、e1,e2,e3 は基底ベクトルを表す
まあ、常識なので分かると思うが、念のため
院試など試験では抜かさないように（書いていないと減点されかねないから） （＾＾
721現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/29(火) 12:02:24.87ID:xc6bep5/ >>719 追加
（なお、外積も同様だが、略す）
↓
（なお、外積と行列式も同様だが、略す）
（＾＾；
（なお、外積も同様だが、略す）
↓
（なお、外積と行列式も同様だが、略す）
（＾＾；
722現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/29(火) 14:29:53.71ID:xc6bep5/ >>721 追加
思いついたときに、外積と行列式について、追加しておく
行列式は、外積のn-次外冪で特徴づけられる(下記)
「n 次正方行列の行列式は n 次の斉次多項式で、項を n! 個持つ」
もし、テンソル積なら、3ｘ3行列なら 9個の項になるところ、3！＝6にしかならない
外積が、下記「交代性 任意の v∈ V に対して v∧v=0 」なる性質から、基底の外積で0になるものがあるから
>>719に示したように、テンソル積の普遍性（ある種の一意性）及び 田丸 ”次元を用いた判定条件 補題 1.9”から
外積及び、外積の一種の外冪で特徴付けられる行列式も、テンソル積とは異なる！
（多重線型ではあるが）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F
行列式
(抜粋)
定義
抽象的な定義
K を可換環とし、E を階数 n の A 上の自由加群とする。E の n-次外冪 ?nE は A 上階数1の自由加群である。
明示的な定義
n 次正方行列の行列式は n 次の斉次多項式で、項を n! 個持つ（ライプニッツの公式）。
二つの定義の同値性
Kn の標準的な基底を (e1, …, en) とする。行列 X の各列を表す縦ベクトル v1, …, vn とする
略
これは Kn 上 ?nX が (det X)-倍写像として作用していることを示している。
n-次外積の普遍性により、行列式とは行列の各行の縦ベクトルに関する n-重交代線型写像で単位行列について 1 を与えるようなものとして特徴づけられることがわかる。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%96%E7%A9%8D%E4%BB%A3%E6%95%B0
外積代数
(抜粋)
V 上の交代性
(1) 任意の v∈ V に対して v∧v=0
を持つものである。
形式的定義と代数的な性質
外冪
基底と次元
V の次元を有限な n とし、{e1, …, en} を V の一つの基底とする。
楔積の中に同じベクトルがあれば 0 になるし、基底ベクトルが順番に現われていなければ符号を変えて順番を入れ替えて、基底を順番通りに並ばせることができる。 一般に、結果として得られた k-ベクトルの基底の係数は基底 ei に関してベクトル vj を記述する行列の小行列式として計算できる。
基底に属する元の個数を数えることにより ?k(V) の次元は二項係数 C(n , k) で与えられることが分かる
以上
思いついたときに、外積と行列式について、追加しておく
行列式は、外積のn-次外冪で特徴づけられる(下記)
「n 次正方行列の行列式は n 次の斉次多項式で、項を n! 個持つ」
もし、テンソル積なら、3ｘ3行列なら 9個の項になるところ、3！＝6にしかならない
外積が、下記「交代性 任意の v∈ V に対して v∧v=0 」なる性質から、基底の外積で0になるものがあるから
>>719に示したように、テンソル積の普遍性（ある種の一意性）及び 田丸 ”次元を用いた判定条件 補題 1.9”から
外積及び、外積の一種の外冪で特徴付けられる行列式も、テンソル積とは異なる！
（多重線型ではあるが）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F
行列式
(抜粋)
定義
抽象的な定義
K を可換環とし、E を階数 n の A 上の自由加群とする。E の n-次外冪 ?nE は A 上階数1の自由加群である。
明示的な定義
n 次正方行列の行列式は n 次の斉次多項式で、項を n! 個持つ（ライプニッツの公式）。
二つの定義の同値性
Kn の標準的な基底を (e1, …, en) とする。行列 X の各列を表す縦ベクトル v1, …, vn とする
略
これは Kn 上 ?nX が (det X)-倍写像として作用していることを示している。
n-次外積の普遍性により、行列式とは行列の各行の縦ベクトルに関する n-重交代線型写像で単位行列について 1 を与えるようなものとして特徴づけられることがわかる。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%96%E7%A9%8D%E4%BB%A3%E6%95%B0
外積代数
(抜粋)
V 上の交代性
(1) 任意の v∈ V に対して v∧v=0
を持つものである。
形式的定義と代数的な性質
外冪
基底と次元
V の次元を有限な n とし、{e1, …, en} を V の一つの基底とする。
楔積の中に同じベクトルがあれば 0 になるし、基底ベクトルが順番に現われていなければ符号を変えて順番を入れ替えて、基底を順番通りに並ばせることができる。 一般に、結果として得られた k-ベクトルの基底の係数は基底 ei に関してベクトル vj を記述する行列の小行列式として計算できる。
基底に属する元の個数を数えることにより ?k(V) の次元は二項係数 C(n , k) で与えられることが分かる
以上
723現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/29(火) 15:15:36.81ID:xc6bep5/ 思い出したときに
(>>635)
http://www.orsj.or.jp/archive2/or60-4/or60_4_191.pdf
オペレーションズ・リサーチ
最適化から見たディープラーニングの考え方 得居 誠也 2015 年 4 月号
P195
図 5 畳み込み層の概略図．入力と出力はともに 3 階のテンソルで表される．
テンソルの各軸は，画像の縦・横方向およびチャンネルの種類に対応する．
各チャンネルは，入力がカラー画像なら R，G，B に対応し，
(引用終り)
ここの得居誠也氏のディープラーニング は、”3 階のテンソル”は
代数学の抽象テンソルとは、無関係。むしろ、単なる直積集合（デカルト積）と思うべし
では、なぜデカルト積と言わず3 階のテンソルというかと言えば、添え字が3種ってことでしょ（＾＾
普通、デカルト積は添え字は１種類で済ませるのに対し、テンソルは複数添え字を使うので、これを借用したと思う
数学科生が、コンピュータ処理の人から、「テンソルとは？」と聞かれて、雪江明彦 代数2の説明をすると大外れ（＾＾
得居誠也氏のテンソルは、複数添え字のデカルト積ですね。写真画像の画素（ピクセル）を扱うのに、縦と横にカラー（R，G，B）と3種の添え字を使うところが、テンソル似というだけのこと
あと、下記 直積 (ベクトル)（あるいは外積）が、”典型的には二つのベクトルのテンソル積を言う”であり、外積が「クロス積の意味で使われる」云々とか
思い出してきたな～。用語が、錯綜していましたね～（＾＾；
複数の分野に跨って書籍を読むとき、ご注意ください（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E7%A9%8D%E9%9B%86%E5%90%88
直積集合
集合のデカルト積（デカルト-せき、英: Cartesian product）または直積（ちょくせき、英: direct product）、直積集合、または単に積（せき、英: product）、積集合は、集合の集まり（集合族）に対して各集合から一つずつ元をとりだして組にしたもの（元の族）を元として持つ新たな集合である。
具体的に二つの集合 A, B に対し、それらの直積とはそれらの任意の元 a ∈ A, b ∈ B の順序対 (a, b) 全てからなる集合をいう[1]。
つづく
(>>635)
http://www.orsj.or.jp/archive2/or60-4/or60_4_191.pdf
オペレーションズ・リサーチ
最適化から見たディープラーニングの考え方 得居 誠也 2015 年 4 月号
P195
図 5 畳み込み層の概略図．入力と出力はともに 3 階のテンソルで表される．
テンソルの各軸は，画像の縦・横方向およびチャンネルの種類に対応する．
各チャンネルは，入力がカラー画像なら R，G，B に対応し，
(引用終り)
ここの得居誠也氏のディープラーニング は、”3 階のテンソル”は
代数学の抽象テンソルとは、無関係。むしろ、単なる直積集合（デカルト積）と思うべし
では、なぜデカルト積と言わず3 階のテンソルというかと言えば、添え字が3種ってことでしょ（＾＾
普通、デカルト積は添え字は１種類で済ませるのに対し、テンソルは複数添え字を使うので、これを借用したと思う
数学科生が、コンピュータ処理の人から、「テンソルとは？」と聞かれて、雪江明彦 代数2の説明をすると大外れ（＾＾
得居誠也氏のテンソルは、複数添え字のデカルト積ですね。写真画像の画素（ピクセル）を扱うのに、縦と横にカラー（R，G，B）と3種の添え字を使うところが、テンソル似というだけのこと
あと、下記 直積 (ベクトル)（あるいは外積）が、”典型的には二つのベクトルのテンソル積を言う”であり、外積が「クロス積の意味で使われる」云々とか
思い出してきたな～。用語が、錯綜していましたね～（＾＾；
複数の分野に跨って書籍を読むとき、ご注意ください（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E7%A9%8D%E9%9B%86%E5%90%88
直積集合
集合のデカルト積（デカルト-せき、英: Cartesian product）または直積（ちょくせき、英: direct product）、直積集合、または単に積（せき、英: product）、積集合は、集合の集まり（集合族）に対して各集合から一つずつ元をとりだして組にしたもの（元の族）を元として持つ新たな集合である。
具体的に二つの集合 A, B に対し、それらの直積とはそれらの任意の元 a ∈ A, b ∈ B の順序対 (a, b) 全てからなる集合をいう[1]。
つづく
724現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/29(火) 15:16:35.45ID:xc6bep5/ つづき
直積集合の例
2次元直交座標系
有名な歴史的な例としては、解析幾何学における直交座標系がある。ルネ・デカルトは、数を用いて幾何学的な図形を表現したり、図形から数の情報を得たりするために、平面のそれぞれの点に実数の組を対応させ、その点の座標と名付けた。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E7%A9%8D_(%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB)
直積 (ベクトル)
線型代数学における直積（ちょくせき、英: direct product[1]）あるいは外積（がいせき、英: outer product）は典型的には二つのベクトルのテンソル積を言う。座標ベクトル（英語版）の外積をとった結果は行列になる。外積の名称は内積に対照するもので、内積はベクトルの対をスカラーにする。外積は、クロス積の意味で使われることもあるため、どちらの意味で使われているか注意が必要である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%82%B9%E7%A9%8D
クロス積
ベクトル積（英語: vector product）とは、ベクトル解析において、3次元の向き付けられた内積空間において定義される、2つのベクトルから新たなベクトルを与える二項演算である。
演算の記号からクロス積（cross product）と呼ばれることもある。2つのベクトルからスカラーを与える二項演算である内積に対して外積（がいせき）とも呼ばれるが、英語でouter productは直積を意味するので注意を要する。ベクトル積を拡張した外積代数があり、ベクトル積はその3次元における特殊な場合である。
つづく
直積集合の例
2次元直交座標系
有名な歴史的な例としては、解析幾何学における直交座標系がある。ルネ・デカルトは、数を用いて幾何学的な図形を表現したり、図形から数の情報を得たりするために、平面のそれぞれの点に実数の組を対応させ、その点の座標と名付けた。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E7%A9%8D_(%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB)
直積 (ベクトル)
線型代数学における直積（ちょくせき、英: direct product[1]）あるいは外積（がいせき、英: outer product）は典型的には二つのベクトルのテンソル積を言う。座標ベクトル（英語版）の外積をとった結果は行列になる。外積の名称は内積に対照するもので、内積はベクトルの対をスカラーにする。外積は、クロス積の意味で使われることもあるため、どちらの意味で使われているか注意が必要である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%82%B9%E7%A9%8D
クロス積
ベクトル積（英語: vector product）とは、ベクトル解析において、3次元の向き付けられた内積空間において定義される、2つのベクトルから新たなベクトルを与える二項演算である。
演算の記号からクロス積（cross product）と呼ばれることもある。2つのベクトルからスカラーを与える二項演算である内積に対して外積（がいせき）とも呼ばれるが、英語でouter productは直積を意味するので注意を要する。ベクトル積を拡張した外積代数があり、ベクトル積はその3次元における特殊な場合である。
つづく
725現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/29(火) 15:17:02.90ID:xc6bep5/ >>724
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%96%E7%A9%8D%E4%BB%A3%E6%95%B0
外積代数
ベクトルの外積（がいせき、英語: exterior product）あるいは楔積（くさびせき、ウェッジ積、英語: wedge product）はクロス積をある特定の性質に着目して、より高次元の場合へ一般化する代数的な構成である。クロス積やスカラー三重積のようにベクトル同士の外積はユークリッド幾何学において面積や体積およびそれらの高次元における類似物の研究に用いられる。線型代数学において外積は、線型変換の行列式や小行列式を記述する基底の取り方に依存しない抽象代数的な仕方を提供し、階数や線型独立性といった概念に根本的に関係してくる。
外積代数（がいせきだいすう、英語: exterior algebra）は、ヘルマン・グラスマンに因んでグラスマン代数（グラスマンだいすう、英語: Grassmann algebra）[1]としても知られ、与えられた体 K 上のベクトル空間 V 上の外積によって生成される多元環である。多重線型代数やその関連分野と同様に、微分形式の成す多元環を通じて現代幾何学、特に微分幾何学と代数幾何学において広く用いられる。
(引用終り)
以上
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%96%E7%A9%8D%E4%BB%A3%E6%95%B0
外積代数
ベクトルの外積（がいせき、英語: exterior product）あるいは楔積（くさびせき、ウェッジ積、英語: wedge product）はクロス積をある特定の性質に着目して、より高次元の場合へ一般化する代数的な構成である。クロス積やスカラー三重積のようにベクトル同士の外積はユークリッド幾何学において面積や体積およびそれらの高次元における類似物の研究に用いられる。線型代数学において外積は、線型変換の行列式や小行列式を記述する基底の取り方に依存しない抽象代数的な仕方を提供し、階数や線型独立性といった概念に根本的に関係してくる。
外積代数（がいせきだいすう、英語: exterior algebra）は、ヘルマン・グラスマンに因んでグラスマン代数（グラスマンだいすう、英語: Grassmann algebra）[1]としても知られ、与えられた体 K 上のベクトル空間 V 上の外積によって生成される多元環である。多重線型代数やその関連分野と同様に、微分形式の成す多元環を通じて現代幾何学、特に微分幾何学と代数幾何学において広く用いられる。
(引用終り)
以上
726現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/29(火) 15:33:06.45ID:xc6bep5/ >>724 補足
>線型代数学における直積（ちょくせき、英: direct product[1]）あるいは外積（がいせき、英: outer product）は典型的には二つのベクトルのテンソル積を言う
>ベクトルの外積（がいせき、英語: exterior product）あるいは楔積（くさびせき、ウェッジ積、英語: wedge product）
outer productと、exterior productとが、
同じ「外積」という訳語が付けられたのですね
「外積」という訳語だけ見ていると、ワケワカですね～（＾＾；
>線型代数学における直積（ちょくせき、英: direct product[1]）あるいは外積（がいせき、英: outer product）は典型的には二つのベクトルのテンソル積を言う
>ベクトルの外積（がいせき、英語: exterior product）あるいは楔積（くさびせき、ウェッジ積、英語: wedge product）
outer productと、exterior productとが、
同じ「外積」という訳語が付けられたのですね
「外積」という訳語だけ見ていると、ワケワカですね～（＾＾；
727１３２人目の素数さん
2020/09/29(火) 17:52:12.95ID:3gGgCYQz >>715
>定理
> V とW を線型空間とする。
> このとき線型空間 T と双線型写像 κ:V×W→T の組 (T,κ) で
> 次の性質を満たすものが同型を除き唯一つ存在する。
> （性質）任意の線型空間 U と
> 任意の双線型写像 ΦU:V×W→U に対して
> ΦU=fU○κ を満たす線型写像 fU:T→U が
> 唯一つ存在する。
>このとき組 (T,κ) を V と W のテンソル積、T の元をテンソルと呼び、
>T を V⊗W、 κ(v,w) を v⊗w と書く。
>また上記の（性質）をテンソル積 (V⊗W,κ) の普遍性と呼ぶ。
◆yH25M02vWFhP君に質問
「ＶとＷのテンソル積V⊗Wと、ＶとＷの直積Ｖ×Wの関係を述べよ
例えばＶ×Ｗのκにおける像Imκは、Tにおけるいかなる集合か？」
ここまで書けば、テンソル空間 V⊗Wを直接
「ベクトルv∈V,w∈Wのテンソル積 v⊗w の全体」
として定義せず、なぜ>>702の定義２のような
双対空間を使った定義としているのか、がわかる
ついでいうと、上記の定理の証明の骨子は>>664-665で示されてる
>定理
> V とW を線型空間とする。
> このとき線型空間 T と双線型写像 κ:V×W→T の組 (T,κ) で
> 次の性質を満たすものが同型を除き唯一つ存在する。
> （性質）任意の線型空間 U と
> 任意の双線型写像 ΦU:V×W→U に対して
> ΦU=fU○κ を満たす線型写像 fU:T→U が
> 唯一つ存在する。
>このとき組 (T,κ) を V と W のテンソル積、T の元をテンソルと呼び、
>T を V⊗W、 κ(v,w) を v⊗w と書く。
>また上記の（性質）をテンソル積 (V⊗W,κ) の普遍性と呼ぶ。
◆yH25M02vWFhP君に質問
「ＶとＷのテンソル積V⊗Wと、ＶとＷの直積Ｖ×Wの関係を述べよ
例えばＶ×Ｗのκにおける像Imκは、Tにおけるいかなる集合か？」
ここまで書けば、テンソル空間 V⊗Wを直接
「ベクトルv∈V,w∈Wのテンソル積 v⊗w の全体」
として定義せず、なぜ>>702の定義２のような
双対空間を使った定義としているのか、がわかる
ついでいうと、上記の定理の証明の骨子は>>664-665で示されてる
728１３２人目の素数さん
2020/09/29(火) 17:56:18.62ID:3gGgCYQz >>715-718で示された引用がジャストミートなので
「もしかして◆yH25M02vWFhP は全部分かってて
あえて分かってないフリしてるのかな？」
という疑念が、ふと頭をかすめた
が、>>719を読んだ瞬間
「あ、こいつ、引用した文章全然読めてねぇ
全然分かってねぇわ」
と気づいた
>１．テンソルの定義：・・・テンソルは、集合の元のことです
（小声で）普遍性、全然分かってねぇな
>２．テンソル空間は、テンソル積によって構成され、普遍性（ある種の一意性）が成り立つ
ベクトル空間同士のテンソル積と
個々のベクトル同士のテンソル積を
明確に区別せず、しかも普遍性について
「ある種の」とかトンチンカンな形容詞を
ぶっこんでる時点で
「こいつ、分かってねぇわ」臭がプンプン
>３．・・・面白いのが、
>”テンソル積の次元が分かった.
> 次は, 次元を用いた判定条件 補題 1.9 (1) dim U = dim V ・ dim W”
唐突に次元について述べてる時点で
「ん、こいつ、やっぱもしかして分かってる？」
と思ったが・・・
（ちなみに直積V×Wの時点はdim V + dim Wね。）
>４．ところで、内積を考える。
> 3次元ベクトルで、x=x1e1+x2e2+x3e3, y=y1e1+y2e2+y3e3
> 内積 x・y＝x1y1+x2y2+x3y3
> ですから、どう見ても、内積は9次元ではないのです。
> 上記”次元を用いた判定条件 補題 1.9 (1)”に反する
>（3次元の二つのベクトルによるテンソル積は、3・3＝9次元です）
> よって、テンソル積の普遍性（ある種の一意性）より、
> 内積はテンソル積ではない！！
ここで一気に腰砕け！
ということで、次に続く
「もしかして◆yH25M02vWFhP は全部分かってて
あえて分かってないフリしてるのかな？」
という疑念が、ふと頭をかすめた
が、>>719を読んだ瞬間
「あ、こいつ、引用した文章全然読めてねぇ
全然分かってねぇわ」
と気づいた
>１．テンソルの定義：・・・テンソルは、集合の元のことです
（小声で）普遍性、全然分かってねぇな
>２．テンソル空間は、テンソル積によって構成され、普遍性（ある種の一意性）が成り立つ
ベクトル空間同士のテンソル積と
個々のベクトル同士のテンソル積を
明確に区別せず、しかも普遍性について
「ある種の」とかトンチンカンな形容詞を
ぶっこんでる時点で
「こいつ、分かってねぇわ」臭がプンプン
>３．・・・面白いのが、
>”テンソル積の次元が分かった.
> 次は, 次元を用いた判定条件 補題 1.9 (1) dim U = dim V ・ dim W”
唐突に次元について述べてる時点で
「ん、こいつ、やっぱもしかして分かってる？」
と思ったが・・・
（ちなみに直積V×Wの時点はdim V + dim Wね。）
>４．ところで、内積を考える。
> 3次元ベクトルで、x=x1e1+x2e2+x3e3, y=y1e1+y2e2+y3e3
> 内積 x・y＝x1y1+x2y2+x3y3
> ですから、どう見ても、内積は9次元ではないのです。
> 上記”次元を用いた判定条件 補題 1.9 (1)”に反する
>（3次元の二つのベクトルによるテンソル積は、3・3＝9次元です）
> よって、テンソル積の普遍性（ある種の一意性）より、
> 内積はテンソル積ではない！！
ここで一気に腰砕け！
ということで、次に続く
729１３２人目の素数さん
2020/09/29(火) 17:57:46.47ID:3gGgCYQz さて
１．まず、もちろんベクトルの内積はベクトルのテンソル積ではない
２．しかしながら、内積はテンソルである。
なぜなら内積は双線型写像だから、普遍性により、
ベクトルx,yのテンソル積
(x1y1 x2y1 x3y1)
(x1y2 x2y2 x3y2)
(x1y3 x2y3 x3y3)
が属する線型空間（テンソル空間）から
スカラーへの線形写像が構築できるから
（注：内積は反変テンソルではなく共変テンソルである
ベクトルのスカラー積は反変テンソル）
その際、線型写像としてテンソル積の各成分に掛ける
係数は以下の通り
(1 0 0)
(0 1 0)
(0 0 1)
そして行列式も同様にできる
ということで、またまた次に続く
１．まず、もちろんベクトルの内積はベクトルのテンソル積ではない
２．しかしながら、内積はテンソルである。
なぜなら内積は双線型写像だから、普遍性により、
ベクトルx,yのテンソル積
(x1y1 x2y1 x3y1)
(x1y2 x2y2 x3y2)
(x1y3 x2y3 x3y3)
が属する線型空間（テンソル空間）から
スカラーへの線形写像が構築できるから
（注：内積は反変テンソルではなく共変テンソルである
ベクトルのスカラー積は反変テンソル）
その際、線型写像としてテンソル積の各成分に掛ける
係数は以下の通り
(1 0 0)
(0 1 0)
(0 0 1)
そして行列式も同様にできる
ということで、またまた次に続く
730１３２人目の素数さん
2020/09/29(火) 18:01:14.93ID:3gGgCYQz さて、行列式の場合だが
>>722
>行列式は、外積のn-次外冪で特徴づけられる
>「n 次正方行列の行列式は n 次の斉次多項式で、項を n! 個持つ」
> もし、テンソル積なら、3ｘ3行列なら 9個の項になるところ、3！＝6にしかならない
> 外積が、下記「交代性 任意の v∈ V に対して v∧v=0 」なる性質から、
> 基底の外積で0になるものがあるから
> テンソル積の普遍性（ある種の一意性）及び
> 田丸 ”次元を用いた判定条件 補題 1.9”から
> 外積及び、外積の一種の外冪で特徴付けられる
> 行列式も、テンソル積とは異なる！
またまた、腰砕け！！
ついでにいうと
「3ｘ3行列なら 9個の項になるところ」
は誤り
正しくは３つの３次元ベクトル空間のテンソル積だが
項の数は3×3×3=27
これから反論の余地がないように
完璧に書いてさしあげよう
ということで、さらに次に続く
>>722
>行列式は、外積のn-次外冪で特徴づけられる
>「n 次正方行列の行列式は n 次の斉次多項式で、項を n! 個持つ」
> もし、テンソル積なら、3ｘ3行列なら 9個の項になるところ、3！＝6にしかならない
> 外積が、下記「交代性 任意の v∈ V に対して v∧v=0 」なる性質から、
> 基底の外積で0になるものがあるから
> テンソル積の普遍性（ある種の一意性）及び
> 田丸 ”次元を用いた判定条件 補題 1.9”から
> 外積及び、外積の一種の外冪で特徴付けられる
> 行列式も、テンソル積とは異なる！
またまた、腰砕け！！
ついでにいうと
「3ｘ3行列なら 9個の項になるところ」
は誤り
正しくは３つの３次元ベクトル空間のテンソル積だが
項の数は3×3×3=27
これから反論の余地がないように
完璧に書いてさしあげよう
ということで、さらに次に続く
731１３２人目の素数さん
2020/09/29(火) 18:02:23.74ID:3gGgCYQz 行列Mを行ベクトル（列ベクトルでもいいが）
m1=(m11,m12,m13)
m2=(m21,m22,m23)
m3=(m31,m32,m33)
に分解する
１．もちろんベクトルの外積はベクトルのテンソル積ではない
２．しかしながら、外積も、そして行列式もテンソルである。
なぜなら、行列式の多重線形性から普遍性により
それらのテンソル積からスカラーへの線形写像
として構築でき、各成分に掛ける係数も明確に決められるから
３行３列の場合 ３つの行ベクトルのテンソル積は
第１段
(m11m21m31 m12m21m31 m13m21m31)
(m11m22m31 m12m22m31 m13m22m31)
(m11m23m31 m12m23m31 m13m23m31)
第２段
(m11m21m32 m12m21m32 m13m21m32)
(m11m22m32 m12m22m32 m13m22m32)
(m11m23m32 m12m23m32 m13m23m32)
第３段
(m11m21m33 m12m21m33 m13m21m33)
(m11m22m33 m12m22m33 m13m22m33)
(m11m23m33 m12m23m33 m13m23m33)
となるが、各成分に掛ける係数は以下の通り
第１段
(0 0 0)
(0 0 -1)
(0 1 0)
第２段
( 0 0 1)
( 0 0 0)
(-1 0 0)
第３段
(0 -1 0)
(1 0 0)
(0 0 0)
どうだ、まいったか(￣ー￣)
m1=(m11,m12,m13)
m2=(m21,m22,m23)
m3=(m31,m32,m33)
に分解する
１．もちろんベクトルの外積はベクトルのテンソル積ではない
２．しかしながら、外積も、そして行列式もテンソルである。
なぜなら、行列式の多重線形性から普遍性により
それらのテンソル積からスカラーへの線形写像
として構築でき、各成分に掛ける係数も明確に決められるから
３行３列の場合 ３つの行ベクトルのテンソル積は
第１段
(m11m21m31 m12m21m31 m13m21m31)
(m11m22m31 m12m22m31 m13m22m31)
(m11m23m31 m12m23m31 m13m23m31)
第２段
(m11m21m32 m12m21m32 m13m21m32)
(m11m22m32 m12m22m32 m13m22m32)
(m11m23m32 m12m23m32 m13m23m32)
第３段
(m11m21m33 m12m21m33 m13m21m33)
(m11m22m33 m12m22m33 m13m22m33)
(m11m23m33 m12m23m33 m13m23m33)
となるが、各成分に掛ける係数は以下の通り
第１段
(0 0 0)
(0 0 -1)
(0 1 0)
第２段
( 0 0 1)
( 0 0 0)
(-1 0 0)
第３段
(0 -1 0)
(1 0 0)
(0 0 0)
どうだ、まいったか(￣ー￣)
732１３２人目の素数さん
2020/09/29(火) 18:03:59.64ID:3gGgCYQz さて、◆yH25M02vWFhPは、予想通り
普遍性が全然分かってない
分からん理由はただ一つ
一度も自分で計算しないから
一度でも計算すれば、ああそういうことか！と分かる筈
はっきり言っちゃうと、
テンソルなんて所詮、線形代数の延長戦だから
大して難しいわけがない
逆にこれが難しいって人は、
線形代数すら難しくてよくわかってない
ってことになる
もしそうなら、理系としては致命的なので
分野を替えたほうがいいだろう
（理系でも生物系ならなんとかなるかもしれん 知らんけど）
普遍性が全然分かってない
分からん理由はただ一つ
一度も自分で計算しないから
一度でも計算すれば、ああそういうことか！と分かる筈
はっきり言っちゃうと、
テンソルなんて所詮、線形代数の延長戦だから
大して難しいわけがない
逆にこれが難しいって人は、
線形代数すら難しくてよくわかってない
ってことになる
もしそうなら、理系としては致命的なので
分野を替えたほうがいいだろう
（理系でも生物系ならなんとかなるかもしれん 知らんけど）
733１３２人目の素数さん
2020/09/29(火) 18:08:15.89ID:3gGgCYQz >>723
>”3 階のテンソル”は代数学の抽象テンソルとは、無関係。
>むしろ、単なる直積集合（デカルト積）と思うべし
「テンソル積は単なる直積集合（デカルト積）」
ｷﾀ━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━!!
・・・失礼
V⊗Wと、V×Wでは次元が全然違う
前者の次元はdimV×dimW
後者の次元はdimV+dimW
積と和は全然違う
普遍性とは、要するに
Φ：V×W→U が 双線形写像なら
V×Wを包含する線型空間V⊗Wが存在して
(正確にはV×WからV⊗Wへの双線型写像κで埋め込む）
ｆ：V⊗W→U が 線形写像 となり、さらに
その写像のV×Wへの制限が、もとの
Φ：V×W→U と一致するように拡大できる
ということ
ついでにいうと、ここで>>727の問の答え書くけど
V⊗Wは線型空間だが、V×WってV⊗Wの中の線形空間ですらない
（つまりV×WからV⊗Wへの双線型写像κは
V×Wに直積による自然な線型空間の構造を入れた場合、
線型写像とはならない）
◆yH25M02vWFhP、全然わかってなかっただろ
>”3 階のテンソル”は代数学の抽象テンソルとは、無関係。
>むしろ、単なる直積集合（デカルト積）と思うべし
「テンソル積は単なる直積集合（デカルト積）」
ｷﾀ━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━!!
・・・失礼
V⊗Wと、V×Wでは次元が全然違う
前者の次元はdimV×dimW
後者の次元はdimV+dimW
積と和は全然違う
普遍性とは、要するに
Φ：V×W→U が 双線形写像なら
V×Wを包含する線型空間V⊗Wが存在して
(正確にはV×WからV⊗Wへの双線型写像κで埋め込む）
ｆ：V⊗W→U が 線形写像 となり、さらに
その写像のV×Wへの制限が、もとの
Φ：V×W→U と一致するように拡大できる
ということ
ついでにいうと、ここで>>727の問の答え書くけど
V⊗Wは線型空間だが、V×WってV⊗Wの中の線形空間ですらない
（つまりV×WからV⊗Wへの双線型写像κは
V×Wに直積による自然な線型空間の構造を入れた場合、
線型写像とはならない）
◆yH25M02vWFhP、全然わかってなかっただろ
734１３２人目の素数さん
2020/09/29(火) 18:11:31.51ID:3gGgCYQz (蛇足）
ところで、
共変テンソル(ベクトルの組からスカラーへの多重線型写像)
としての内積や外積、行列式が
共変ベクトル(ベクトルからスカラーへの線形写像)のテンソル積
として実現できるか？といえばそれは無理
なぜそう言い切れるか
もし、二つのベクトルのテンソル積になるなら
その結果できた行列の行列式は０になるが
内積を表す行列は対角行列であってその行列式は１だから
注：行列式が０だからといってベクトルのテンソルで表せる、とはいえない
ところで、
共変テンソル(ベクトルの組からスカラーへの多重線型写像)
としての内積や外積、行列式が
共変ベクトル(ベクトルからスカラーへの線形写像)のテンソル積
として実現できるか？といえばそれは無理
なぜそう言い切れるか
もし、二つのベクトルのテンソル積になるなら
その結果できた行列の行列式は０になるが
内積を表す行列は対角行列であってその行列式は１だから
注：行列式が０だからといってベクトルのテンソルで表せる、とはいえない
735１３２人目の素数さん
2020/09/29(火) 18:19:04.75ID:3gGgCYQz 普遍性
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%99%AE%E9%81%8D%E6%80%A7
圏論の用語だな
「U : D → C を 圏 D から圏 C への関手とし、X をCの対象とする。
X から Uへの普遍射 （universal morphism） は、
D の対象 A とCの射 φ : X → U(A) からなる対(A, φ)で表され、
かつ以下の普遍性（universal property）を満たす。
Y がDの対象で f : X → U(Y) がCの射であるような場合、
常に射 g : A → Yが一意に存在して、次の図を可換にする。
（つまりf=U(g)○φ）
射 g の存在は、直感的には(A, φ)が「十分に一般的」であることを示しながら、
一方で射の一意性は、(A, φ)が「過度に一般的ではない」事を表している。」
ま、いいたいことは分かるが、
これが実体だといえるヒトは、相当数学的にソフィスティケートされてる
もし工学部の学生なら、即、理学部数学科に転科したほうがいい
技術者なんぞになるのはもったいない
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%99%AE%E9%81%8D%E6%80%A7
圏論の用語だな
「U : D → C を 圏 D から圏 C への関手とし、X をCの対象とする。
X から Uへの普遍射 （universal morphism） は、
D の対象 A とCの射 φ : X → U(A) からなる対(A, φ)で表され、
かつ以下の普遍性（universal property）を満たす。
Y がDの対象で f : X → U(Y) がCの射であるような場合、
常に射 g : A → Yが一意に存在して、次の図を可換にする。
（つまりf=U(g)○φ）
射 g の存在は、直感的には(A, φ)が「十分に一般的」であることを示しながら、
一方で射の一意性は、(A, φ)が「過度に一般的ではない」事を表している。」
ま、いいたいことは分かるが、
これが実体だといえるヒトは、相当数学的にソフィスティケートされてる
もし工学部の学生なら、即、理学部数学科に転科したほうがいい
技術者なんぞになるのはもったいない
736現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/29(火) 20:25:07.83ID:JfmTq990 >>719 補足
> ２．テンソル空間は、略 普遍性（ある種の一意性）が成り立つ
参考
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%99%AE%E9%81%8D%E6%80%A7
普遍性
(抜粋)
数学の様々な分野において、ある特定の状況下にて一意に射を定めるような抽象的性質が、特定の構成を定義、あるいは特徴づけたりする事がしばしばある。このような性質を普遍性（英: universal property）と呼ぶ。普遍性は圏論を用いて抽象的に論考される。
結果として、我々は普遍性の一般的な扱い方を得ることになる。例えば、群の直積や直和、自由群、積位相, ストーン－チェックのコンパクト化, テンソル積, 逆極限 と 順極限, 核と余核, 引き戻し, 押し出し および イコライザ、など。
目次
2.1 存在と一意性
2.2 同値な定義
2.3 随伴関手との関係
3.1 テンソル代数
4 どのようなメリットがあるのか？
5 歴史
存在と一意性
数量を定義することがその存在を保障することにはならない。与えられた関手U及び上述の対象Xに対し、X から U （もしくはU から X）の普遍射は、存在するかもしれないし、存在しないかもしれない。しかしながら、もし、普遍射 (A, φ) が存在すれば、一意な同型射を除いて一意的である。 すなわち、もし別の対 (A ' , φ ' ) が存在すれば、一意な同型射g : A → A ' が存在して φ ' = U(g)φ となる。 これは (A ' , φ ' ) を普遍射の定義にしたがって (Y, f) と置き換えることで容易に確かめられる。
例
ここで、この一般的なアイデアを明らかにすべく3つの有効な例を挙げる。読者は導入部で例示した記事を参照すれば、他にもたくさんの例を構築できるだろう。
テンソル代数
C を体 K 上のベクトル空間の圏 K-Vect とし、 D をK 上の多元環 K-Alg （ユニタリー かつ 結合的と仮定）とする。U を、各多元環をその基底となるベクトル空間に写す忘却関手とする。
K上の任意のベクトル空間 V において、V のテンソル代数 T(V) を構成できる。テンソル代数の普遍性は i : V → T(V) が埋め込み写像となるような対 (T(V), i) を表し、これは V から U への普遍射となる。
この構成は任意のベクトル空間 V において有効であり、それゆえ T は K-Vect から K-Alg への関手だと結論付けられる。この関手は忘却関手 U に対して左随伴となる。
> ２．テンソル空間は、略 普遍性（ある種の一意性）が成り立つ
参考
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%99%AE%E9%81%8D%E6%80%A7
普遍性
(抜粋)
数学の様々な分野において、ある特定の状況下にて一意に射を定めるような抽象的性質が、特定の構成を定義、あるいは特徴づけたりする事がしばしばある。このような性質を普遍性（英: universal property）と呼ぶ。普遍性は圏論を用いて抽象的に論考される。
結果として、我々は普遍性の一般的な扱い方を得ることになる。例えば、群の直積や直和、自由群、積位相, ストーン－チェックのコンパクト化, テンソル積, 逆極限 と 順極限, 核と余核, 引き戻し, 押し出し および イコライザ、など。
目次
2.1 存在と一意性
2.2 同値な定義
2.3 随伴関手との関係
3.1 テンソル代数
4 どのようなメリットがあるのか？
5 歴史
存在と一意性
数量を定義することがその存在を保障することにはならない。与えられた関手U及び上述の対象Xに対し、X から U （もしくはU から X）の普遍射は、存在するかもしれないし、存在しないかもしれない。しかしながら、もし、普遍射 (A, φ) が存在すれば、一意な同型射を除いて一意的である。 すなわち、もし別の対 (A ' , φ ' ) が存在すれば、一意な同型射g : A → A ' が存在して φ ' = U(g)φ となる。 これは (A ' , φ ' ) を普遍射の定義にしたがって (Y, f) と置き換えることで容易に確かめられる。
例
ここで、この一般的なアイデアを明らかにすべく3つの有効な例を挙げる。読者は導入部で例示した記事を参照すれば、他にもたくさんの例を構築できるだろう。
テンソル代数
C を体 K 上のベクトル空間の圏 K-Vect とし、 D をK 上の多元環 K-Alg （ユニタリー かつ 結合的と仮定）とする。U を、各多元環をその基底となるベクトル空間に写す忘却関手とする。
K上の任意のベクトル空間 V において、V のテンソル代数 T(V) を構成できる。テンソル代数の普遍性は i : V → T(V) が埋め込み写像となるような対 (T(V), i) を表し、これは V から U への普遍射となる。
この構成は任意のベクトル空間 V において有効であり、それゆえ T は K-Vect から K-Alg への関手だと結論付けられる。この関手は忘却関手 U に対して左随伴となる。
737現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/29(火) 20:55:28.45ID:JfmTq990 >>703 補足
>テンソルとテンソル場を混同している記述の典型であり
歴史として、有名なコーシーが「応力テンソル」を考えたそうですが、これは、テンソル場の話です
https://ノートcom/k_pone/n/n562fc61beb67
切り口で見え方が変わるのが応力 1ST_CEE_SHIRAI 2020/04/25
(抜粋)
「応力テンソル」の話です．
前回の記事はこちら．
応力の値は断面の取り方で決まるので，これでは
応力一意に定義できなくなってしまいます（下図）．
略
そこで，発想の逆転をした人がいました．それは，断面によって変換されるような量として，応力を定義してしまおうというものでした．
その人は，フランスのA. L. コーシーです．
コーシーは，関数解析ではこの人の名前の付かない定理を探すのが難しいくらい有名ですが，もともとは工学屋さんで，Ecole Polytechique の土木科卒業です．つまり，
変形体を扱う力学が専門だったんですね．
テンソル"T"と書くのと「行列形式」で書くのでは，普遍性が全く違います（以前のテキストを参照）．
断面は
断面の「法線ベクトル」
で決まります．そこでコーシーは，「法線ベクトル」と「応力ベクトル」を対応させようと考えたわけです．概念としては，応力を調べたいある検査面が決まると，その面の法線が決まり，その面の法線ベクトルを，回転，伸縮させて変換するのです．
その変換の演算子のことを「応力テンソル」と呼ぶことにしたのです．
略
すなわち上図では，f = T n
ということになります．具体的な演算の中身は，応力テンソル"T"が「行列」の形で書けて，
略
ということになります．
テンソルの成分は，このように添字がついた量で表されます．この場合は2つの添字がついているので，「2階のテンソル」といいます．
>テンソルとテンソル場を混同している記述の典型であり
歴史として、有名なコーシーが「応力テンソル」を考えたそうですが、これは、テンソル場の話です
https://ノートcom/k_pone/n/n562fc61beb67
切り口で見え方が変わるのが応力 1ST_CEE_SHIRAI 2020/04/25
(抜粋)
「応力テンソル」の話です．
前回の記事はこちら．
応力の値は断面の取り方で決まるので，これでは
応力一意に定義できなくなってしまいます（下図）．
略
そこで，発想の逆転をした人がいました．それは，断面によって変換されるような量として，応力を定義してしまおうというものでした．
その人は，フランスのA. L. コーシーです．
コーシーは，関数解析ではこの人の名前の付かない定理を探すのが難しいくらい有名ですが，もともとは工学屋さんで，Ecole Polytechique の土木科卒業です．つまり，
変形体を扱う力学が専門だったんですね．
テンソル"T"と書くのと「行列形式」で書くのでは，普遍性が全く違います（以前のテキストを参照）．
断面は
断面の「法線ベクトル」
で決まります．そこでコーシーは，「法線ベクトル」と「応力ベクトル」を対応させようと考えたわけです．概念としては，応力を調べたいある検査面が決まると，その面の法線が決まり，その面の法線ベクトルを，回転，伸縮させて変換するのです．
その変換の演算子のことを「応力テンソル」と呼ぶことにしたのです．
略
すなわち上図では，f = T n
ということになります．具体的な演算の中身は，応力テンソル"T"が「行列」の形で書けて，
略
ということになります．
テンソルの成分は，このように添字がついた量で表されます．この場合は2つの添字がついているので，「2階のテンソル」といいます．
738現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/29(火) 21:03:20.19ID:JfmTq990 >>737 追加
ベクトル歴史
歴史的には、コーシーによるテンソルの方が早いようですね（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A9%BA%E9%96%93%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB
空間ベクトル
歴史
いわゆる矢印ベクトルは物理学の教育では力学の初歩から導入されるため、ベクトルも古典力学と同時(17世紀ごろ)に発生したと思われるかもしれないが、実はもっと後の19世紀になって現れたものである。今でこそベクトルや行列などを使って、物理学や幾何の問題を解くといったことは常識であるが、ベクトルが誕生する以前の数学や物理学では初等幾何学、解析幾何学や四元数などを利用していた。今日我々が知っているベクトルの概念は、およそ200年もの時間を掛けて徐々に形成されてきたものである。そこでは何十人もの人々が重要な役割を果たしてきた[1]。ベクトルの先祖は四元数であり、ハミルトンが1843年に複素数の一般化によって考案したものである。ハミルトンは最初に、二次元における複素数と複素平面のような関係を満たすような数を三次元空間にも見いだそうとしたが失敗し、なぜか三つの数の組では二次元の場合の複素数と複素平面のように三次元空間を記述できないことが判明した。
研究の結果、最終的に四次元(数が4組)の四元数へとたどり着くこととなった。三次元空間を記述するのに、数が三組では記述が不可能でなぜか四組必要だったのである。二次元では、二組の数である複素数を用いることによって、複素平面を二次元ユークリッド平面と同等みなすとベクトルに似た概念(回転やスカラー倍など)が記述できるというのに、三次元空間を記述するのに四次元の数が必要だったのである。ハミルトンは1846年に四元数の複素数における実部と虚部に相当するものとしてスカラーとベクトルという用語を導入した(今日の用法とは異なることに注意されたい):
つづく
ベクトル歴史
歴史的には、コーシーによるテンソルの方が早いようですね（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A9%BA%E9%96%93%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB
空間ベクトル
歴史
いわゆる矢印ベクトルは物理学の教育では力学の初歩から導入されるため、ベクトルも古典力学と同時(17世紀ごろ)に発生したと思われるかもしれないが、実はもっと後の19世紀になって現れたものである。今でこそベクトルや行列などを使って、物理学や幾何の問題を解くといったことは常識であるが、ベクトルが誕生する以前の数学や物理学では初等幾何学、解析幾何学や四元数などを利用していた。今日我々が知っているベクトルの概念は、およそ200年もの時間を掛けて徐々に形成されてきたものである。そこでは何十人もの人々が重要な役割を果たしてきた[1]。ベクトルの先祖は四元数であり、ハミルトンが1843年に複素数の一般化によって考案したものである。ハミルトンは最初に、二次元における複素数と複素平面のような関係を満たすような数を三次元空間にも見いだそうとしたが失敗し、なぜか三つの数の組では二次元の場合の複素数と複素平面のように三次元空間を記述できないことが判明した。
研究の結果、最終的に四次元(数が4組)の四元数へとたどり着くこととなった。三次元空間を記述するのに、数が三組では記述が不可能でなぜか四組必要だったのである。二次元では、二組の数である複素数を用いることによって、複素平面を二次元ユークリッド平面と同等みなすとベクトルに似た概念(回転やスカラー倍など)が記述できるというのに、三次元空間を記述するのに四次元の数が必要だったのである。ハミルトンは1846年に四元数の複素数における実部と虚部に相当するものとしてスカラーとベクトルという用語を導入した(今日の用法とは異なることに注意されたい):
つづく
739現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/29(火) 21:03:59.48ID:JfmTq990 >>738
つづき
代数的な虚部(ベクトル)は、幾何的には直線または半径ベクトルであり、それらは一般的には、各々の四元数によって決定され、空間における向きと長さが定まり、それをベクトル部(虚部)または単に四元数のベクトルと呼ぶ[2]。
ベラヴィティス（英語版）、コーシー、グラスマン、メビウス、セイントベナント（英語版）、マシュー・オブライエン（英語版）といったハミルトン以外の何人かの数学者たちは同時期にベクトルに似た概念を開発した。グラスマンの1840年の論文「Theorie der Ebbe und Flut」(減衰と流れの理論)は空間解析の最初の体系であって、今日の体系と類似したものであり、今日の外積、内積、ベクトルの微分に相当する概念が含まれていた。グラスマンの業績は1870年代まで不当に無視され続けていた[1]。
ピーター・テイト（英語版）はハミルトンの後に四元数の基礎を確立した。テイトの1867年の「Elementary Treatise of Quaternions」(四元数の初等的理論)には今日の∇(ナブラ)演算子に相当する概念が含まれていた。
ウィリアム・クリフォード（英語版）は1878年に力学原論（英語版）を出版した。ここでクリフォードは完備四元数積(complete quaternion product)から今日の二つのベクトルの外積、内積に相当する概念を抽出した。このアプローチは四次元の実在に疑念を抱いている技術者などの人々にベクトル解析を通じて三次元空間の解析を行う手段を提供したといえる。
つづく
つづき
代数的な虚部(ベクトル)は、幾何的には直線または半径ベクトルであり、それらは一般的には、各々の四元数によって決定され、空間における向きと長さが定まり、それをベクトル部(虚部)または単に四元数のベクトルと呼ぶ[2]。
ベラヴィティス（英語版）、コーシー、グラスマン、メビウス、セイントベナント（英語版）、マシュー・オブライエン（英語版）といったハミルトン以外の何人かの数学者たちは同時期にベクトルに似た概念を開発した。グラスマンの1840年の論文「Theorie der Ebbe und Flut」(減衰と流れの理論)は空間解析の最初の体系であって、今日の体系と類似したものであり、今日の外積、内積、ベクトルの微分に相当する概念が含まれていた。グラスマンの業績は1870年代まで不当に無視され続けていた[1]。
ピーター・テイト（英語版）はハミルトンの後に四元数の基礎を確立した。テイトの1867年の「Elementary Treatise of Quaternions」(四元数の初等的理論)には今日の∇(ナブラ)演算子に相当する概念が含まれていた。
ウィリアム・クリフォード（英語版）は1878年に力学原論（英語版）を出版した。ここでクリフォードは完備四元数積(complete quaternion product)から今日の二つのベクトルの外積、内積に相当する概念を抽出した。このアプローチは四次元の実在に疑念を抱いている技術者などの人々にベクトル解析を通じて三次元空間の解析を行う手段を提供したといえる。
つづく
740現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/29(火) 21:04:29.18ID:JfmTq990 >>739
つづき
アメリカの物理学者ギブスは、四元数ベースで書かれていたマクスウェルの電磁気学の著書、「Treatise on Electricity and Magnetism」を現代的なベクトル解析を用いたものに書き直した。電磁気学の数理はベクトルが登場するまでは四元数が用いられており、ニュートン力学が初等幾何学ベースで後世の科学者らに現代風の解析学を用いる数理に書き換えられたのと同様、マクスウェルのオリジナルのものは四元数ベースであり今日教えられているベクトルベースの電磁気学もまた後世の科学者らによって書き換えられたものである。ギブスは自身のイェール大学での講義を元にベクトル解析の専門書「Elements of Vector Analysis」の最初の分冊を1881年に出版したが、ここでは今日用いられているベクトル解析の基本概念が概ね確立されているといえる[1]。この講義録は英国のヘヴィサイドにも送られ評価された。教え子のエドウィン・ウィルソン（英語版）が1901年に出版した「Vector Analysis」はギブスの講義を元に書かれており、四元数の名残を完全に抹消し今日のベクトル解析の基礎を確立した最初の著作であるといえる。
これ以降、理工学ではベクトルの概念が盛んに用いられるようになり、四元数は一旦廃れたものの、20世紀後半以降コンピュータの発達により三次元空間のプログラミングに四元数が一部で再び用いられている。
更に20世紀に入ると線型代数学の発達によりベクトルの概念も抽象化し、向きを持った直線の矢印で表せる具体的な幾何ベクトルのみならず線型空間と関連した抽象的存在としても認識されるようになっていく。20世紀後半になると線型代数は教育にも取り入れられるようになり、昔ながらの初等幾何学や解析幾何学よりもベクトルや線型代数を用いて幾何学や物理学の問題が教育されるようになった
(引用終り)
以上
つづき
アメリカの物理学者ギブスは、四元数ベースで書かれていたマクスウェルの電磁気学の著書、「Treatise on Electricity and Magnetism」を現代的なベクトル解析を用いたものに書き直した。電磁気学の数理はベクトルが登場するまでは四元数が用いられており、ニュートン力学が初等幾何学ベースで後世の科学者らに現代風の解析学を用いる数理に書き換えられたのと同様、マクスウェルのオリジナルのものは四元数ベースであり今日教えられているベクトルベースの電磁気学もまた後世の科学者らによって書き換えられたものである。ギブスは自身のイェール大学での講義を元にベクトル解析の専門書「Elements of Vector Analysis」の最初の分冊を1881年に出版したが、ここでは今日用いられているベクトル解析の基本概念が概ね確立されているといえる[1]。この講義録は英国のヘヴィサイドにも送られ評価された。教え子のエドウィン・ウィルソン（英語版）が1901年に出版した「Vector Analysis」はギブスの講義を元に書かれており、四元数の名残を完全に抹消し今日のベクトル解析の基礎を確立した最初の著作であるといえる。
これ以降、理工学ではベクトルの概念が盛んに用いられるようになり、四元数は一旦廃れたものの、20世紀後半以降コンピュータの発達により三次元空間のプログラミングに四元数が一部で再び用いられている。
更に20世紀に入ると線型代数学の発達によりベクトルの概念も抽象化し、向きを持った直線の矢印で表せる具体的な幾何ベクトルのみならず線型空間と関連した抽象的存在としても認識されるようになっていく。20世紀後半になると線型代数は教育にも取り入れられるようになり、昔ながらの初等幾何学や解析幾何学よりもベクトルや線型代数を用いて幾何学や物理学の問題が教育されるようになった
(引用終り)
以上
741現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/29(火) 21:08:07.18ID:JfmTq990 >>738 補足
英語版（日本語は下記の訳がベースですね）
https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_vector
Euclidean vector
History
The concept of vector, as we know it today, evolved gradually over a period of more than 200 years. About a dozen people made significant contributions to its development.[10]
In 1835, Giusto Bellavitis abstracted the basic idea when he established the concept of equipollence. Working in a Euclidean plane, he made equipollent any pair of line segments of the same length and orientation. Essentially, he realized an equivalence relation on the pairs of points (bipoints) in the plane, and thus erected the first space of vectors in the plane.[10]:52?4
The term vector was introduced by William Rowan Hamilton as part of a quaternion, which is a sum q = s + v of a Real number s (also called scalar) and a 3-dimensional vector. Like Bellavitis, Hamilton viewed vectors as representative of classes of equipollent directed segments. As complex numbers use an imaginary unit to complement the real line, Hamilton considered the vector v to be the imaginary part of a quaternion:
The algebraically imaginary part, being geometrically constructed by a straight line, or radius vector, which has, in general, for each determined quaternion, a determined length and determined direction in space, may be called the vector part, or simply the vector of the quaternion.[11]
つづく
英語版（日本語は下記の訳がベースですね）
https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_vector
Euclidean vector
History
The concept of vector, as we know it today, evolved gradually over a period of more than 200 years. About a dozen people made significant contributions to its development.[10]
In 1835, Giusto Bellavitis abstracted the basic idea when he established the concept of equipollence. Working in a Euclidean plane, he made equipollent any pair of line segments of the same length and orientation. Essentially, he realized an equivalence relation on the pairs of points (bipoints) in the plane, and thus erected the first space of vectors in the plane.[10]:52?4
The term vector was introduced by William Rowan Hamilton as part of a quaternion, which is a sum q = s + v of a Real number s (also called scalar) and a 3-dimensional vector. Like Bellavitis, Hamilton viewed vectors as representative of classes of equipollent directed segments. As complex numbers use an imaginary unit to complement the real line, Hamilton considered the vector v to be the imaginary part of a quaternion:
The algebraically imaginary part, being geometrically constructed by a straight line, or radius vector, which has, in general, for each determined quaternion, a determined length and determined direction in space, may be called the vector part, or simply the vector of the quaternion.[11]
つづく
742現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/29(火) 21:08:35.82ID:JfmTq990 >>741
つづき
Several other mathematicians developed vector-like systems in the middle of the nineteenth century, including Augustin Cauchy, Hermann Grassmann, August Mobius, Comte de Saint-Venant, and Matthew O'Brien. Grassmann's 1840 work Theorie der Ebbe und Flut (Theory of the Ebb and Flow) was the first system of spatial analysis that is similar to today's system, and had ideas corresponding to the cross product, scalar product and vector differentiation. Grassmann's work was largely neglected until the 1870s.[10]
Peter Guthrie Tait carried the quaternion standard after Hamilton. His 1867 Elementary Treatise of Quaternions included extensive treatment of the nabla or del operator ∇.
In 1878, Elements of Dynamic was published by William Kingdon Clifford. Clifford simplified the quaternion study by isolating the dot product and cross product of two vectors from the complete quaternion product. This approach made vector calculations available to engineers?and others working in three dimensions and skeptical of the fourth.
Josiah Willard Gibbs, who was exposed to quaternions through James Clerk Maxwell's Treatise on Electricity and Magnetism, separated off their vector part for independent treatment. The first half of Gibbs's Elements of Vector Analysis, published in 1881, presents what is essentially the modern system of vector analysis.[10][7] In 1901, Edwin Bidwell Wilson published Vector Analysis, adapted from Gibb's lectures, which banished any mention of quaternions in the development of vector calculus.
(引用終り)
以上
つづき
Several other mathematicians developed vector-like systems in the middle of the nineteenth century, including Augustin Cauchy, Hermann Grassmann, August Mobius, Comte de Saint-Venant, and Matthew O'Brien. Grassmann's 1840 work Theorie der Ebbe und Flut (Theory of the Ebb and Flow) was the first system of spatial analysis that is similar to today's system, and had ideas corresponding to the cross product, scalar product and vector differentiation. Grassmann's work was largely neglected until the 1870s.[10]
Peter Guthrie Tait carried the quaternion standard after Hamilton. His 1867 Elementary Treatise of Quaternions included extensive treatment of the nabla or del operator ∇.
In 1878, Elements of Dynamic was published by William Kingdon Clifford. Clifford simplified the quaternion study by isolating the dot product and cross product of two vectors from the complete quaternion product. This approach made vector calculations available to engineers?and others working in three dimensions and skeptical of the fourth.
Josiah Willard Gibbs, who was exposed to quaternions through James Clerk Maxwell's Treatise on Electricity and Magnetism, separated off their vector part for independent treatment. The first half of Gibbs's Elements of Vector Analysis, published in 1881, presents what is essentially the modern system of vector analysis.[10][7] In 1901, Edwin Bidwell Wilson published Vector Analysis, adapted from Gibb's lectures, which banished any mention of quaternions in the development of vector calculus.
(引用終り)
以上
743１３２人目の素数さん
2020/09/29(火) 21:16:55.31ID:3gGgCYQz ぽっぽっぽ
744１３２人目の素数さん
2020/09/29(火) 21:17:09.89ID:3gGgCYQz 鳩ぽっぽ
745１３２人目の素数さん
2020/09/29(火) 21:17:29.79ID:3gGgCYQz 豆がほしいか
746１３２人目の素数さん
2020/09/29(火) 21:17:49.82ID:3gGgCYQz そらやるぞ
747１３２人目の素数さん
2020/09/29(火) 21:18:06.41ID:3gGgCYQz みんなで仲善く
748１３２人目の素数さん
2020/09/29(火) 21:18:27.02ID:3gGgCYQz 食べに來い
749１３２人目の素数さん
2020/09/29(火) 21:21:35.70ID:3gGgCYQz あめあめ ふれふれ かあさんが
750１３２人目の素数さん
2020/09/29(火) 21:21:52.33ID:3gGgCYQz じゃのめで おむかえ うれしいな
751１３２人目の素数さん
2020/09/29(火) 21:22:08.08ID:3gGgCYQz ピッチピッチ チャップチャップ
752１３２人目の素数さん
2020/09/29(火) 21:22:23.84ID:3gGgCYQz ランランラン
753１３２人目の素数さん
2020/09/29(火) 22:02:50.77ID:lT/rGugt 🌧🌧🌧
☔ 。。ﾔｯﾊﾟﾘ雨ﾊ。。
𐀪𐁑彡☂︎゛💞相愛傘💕
ﾃﾞｽｮﾈｯ!
。。。ｱﾙﾙﾙﾙﾙｪｪｪｪ…?
💓愛合傘💖ﾀﾞｯﾀｶﾅ…
☔ 。。ﾔｯﾊﾟﾘ雨ﾊ。。
𐀪𐁑彡☂︎゛💞相愛傘💕
ﾃﾞｽｮﾈｯ!
。。。ｱﾙﾙﾙﾙﾙｪｪｪｪ…?
💓愛合傘💖ﾀﾞｯﾀｶﾅ…
754現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/29(火) 22:09:36.19ID:JfmTq990 >>738
>ベクトル歴史
山上 滋先生、下記、なかなか面白い（＾＾
https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yamagami/teaching/topics/vector2015.pdf
ベクトルあれこれ
?古人の求めたるところを
山上 滋 名古屋大
2016 年 1 月 27 日
目次
1 見通しなど 2
2 実数と複素数の幾何学 4
3 重心座標 7
4 ベクトル空間 7
5 ユークリッド空間 9
6 直交群 10
7 ユークリッド変換 11
8 四元数は予言する 12
付録 A ぶつぶつ交感 16
解析学特論（基礎解析） 大学院
目的：ベクトルは、日常語としても使われる程、人口に膾炙したものとなっているが、
その数学教育の中における位置づけについて、発展の歴史的流れにも配慮しつつ理解を深
める。
到達目標：ベクトルの概念の自然科学における発展の流れを知る。その背景の下、数学
概念としてのベクトルの確かな理解とその運用方法を修得する。
以下の項目のいくつかについて演習もまじえて学習し、ベクトルの考え方に対する理解
を深める。
>ベクトル歴史
山上 滋先生、下記、なかなか面白い（＾＾
https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yamagami/teaching/topics/vector2015.pdf
ベクトルあれこれ
?古人の求めたるところを
山上 滋 名古屋大
2016 年 1 月 27 日
目次
1 見通しなど 2
2 実数と複素数の幾何学 4
3 重心座標 7
4 ベクトル空間 7
5 ユークリッド空間 9
6 直交群 10
7 ユークリッド変換 11
8 四元数は予言する 12
付録 A ぶつぶつ交感 16
解析学特論（基礎解析） 大学院
目的：ベクトルは、日常語としても使われる程、人口に膾炙したものとなっているが、
その数学教育の中における位置づけについて、発展の歴史的流れにも配慮しつつ理解を深
める。
到達目標：ベクトルの概念の自然科学における発展の流れを知る。その背景の下、数学
概念としてのベクトルの確かな理解とその運用方法を修得する。
以下の項目のいくつかについて演習もまじえて学習し、ベクトルの考え方に対する理解
を深める。
755１３２人目の素数さん
2020/09/29(火) 22:10:07.36ID:lT/rGugt |∞ ﾇｼｻﾏ…ｺﾞﾒﾝﾅｻｨ…
|;´д`)め~さまの思惑通りﾆ
с 荒らしﾁｬｯﾃ…ﾓｩｼﾏｾﾝ…
| 許ｼ亭許ｼﾃ…
＼＼＼＼ｶﾞﾊﾞｯ!
_|~|〇
|∞ 失礼ｼﾏｼﾀ…
|`;)))
с
|
Σ|
Σ|Ю彡
Σ|
ﾊﾟﾀｯ!
|;´д`)め~さまの思惑通りﾆ
с 荒らしﾁｬｯﾃ…ﾓｩｼﾏｾﾝ…
| 許ｼ亭許ｼﾃ…
＼＼＼＼ｶﾞﾊﾞｯ!
_|~|〇
|∞ 失礼ｼﾏｼﾀ…
|`;)))
с
|
Σ|
Σ|Ю彡
Σ|
ﾊﾟﾀｯ!
756現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/29(火) 22:10:14.56ID:JfmTq990757１３２人目の素数さん
2020/09/29(火) 22:14:17.89ID:lT/rGugt ゜○。ｫ休ﾐﾅｻｨ。。。🍀ﾟ○。🍀🐑🍀ﾟ🐑🐑🍀🐑🐑🐑🍀。○゜良ぃ夢を。。。○゜🍀🍀🐑🐑🐑🐑🐑🍀🍀。○゜
758現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/29(火) 22:15:42.91ID:JfmTq990 >>754
山上 滋先生、追加下記、これもなかなか面白そう（＾＾
https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yamagami/teaching/linear/linear2016.pdf
行列代数あれこれ 山上 滋 2017
線型代数の内容は、今となってはどれも代り映えがせず、だれがやっても金太郎飴状態のようにも思えるの
で、あえてそれに逆らうのは愚かなれど、別の見方をすると、十年一日、進歩がないというか、時代の変化を
無視してきたというのか、そのつけを支払わされるのは、教わる学生のみならず、巡り巡って社会全体に及ぶ
という大風呂敷。冥途のみやげに最後の悪あがきもまた一興。
８年ぶりの線型代数、相変わらず進歩がないというよりもむしろ劣化が激しいので、今回はぜひとも教科書
の指定をと思い、以下の項目をチェック。
(i) ３次元座標空間の幾何学はあるか。正射影、平面の方程式、距離の公式。
(ii) 連立一次方程式の幾何学的解釈があるか。
(iii) 行列式の導入が帰納的になされているか。行列式の幾何学的意味が説明してあるか。
(iv) 掃き出し法に列の操作が混入してないか。行のみの操作に限定しているか。
(v) 実二次形式の標準化が説明してあるか。極値問題への応用が意識されているか。
何と、大部分が (iii), (iv) でアウト。かろうじて残ったものも (i), (ii) であえなく撃沈。ううむ、困った。
しようがないので、昔のノート*1 をふくらまして凌ぐことにしよう。題して、行列代数あれこれ*2。あれこれ
というよりは、行きあたりばったりであるか。行き倒れにならないといいのだが、はてさて。
*1 懐かしの「行列代数これだけ」http://sss.sci.ibaraki.ac.jp/teaching/linear/la2003.pdf
*2 線型代数は使ってなんぼのもんである。あれもこれもと欲張るよりは、基本的なところをさっとやって、あとは個々人の関心のお
もむくまま実践するのがよい。そうして、必要になったときに必要な範囲で掘り下げる。丁寧にしつこく教えたとて身につくもの
でなし。その意味で、教科書は簡潔明瞭が良いのであるが、一方で砂をかむの苦行を強いるものは避けたい。行きあたりばったりを標榜する所以である。
目次
1 行列事始め 3
2 直線と平面の幾何学 5
3 行列とその計算 10
4 ２次・３次の行列式 15
5 一般の行列式 16
6 行列式の特徴づけ 19
略
山上 滋先生、追加下記、これもなかなか面白そう（＾＾
https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yamagami/teaching/linear/linear2016.pdf
行列代数あれこれ 山上 滋 2017
線型代数の内容は、今となってはどれも代り映えがせず、だれがやっても金太郎飴状態のようにも思えるの
で、あえてそれに逆らうのは愚かなれど、別の見方をすると、十年一日、進歩がないというか、時代の変化を
無視してきたというのか、そのつけを支払わされるのは、教わる学生のみならず、巡り巡って社会全体に及ぶ
という大風呂敷。冥途のみやげに最後の悪あがきもまた一興。
８年ぶりの線型代数、相変わらず進歩がないというよりもむしろ劣化が激しいので、今回はぜひとも教科書
の指定をと思い、以下の項目をチェック。
(i) ３次元座標空間の幾何学はあるか。正射影、平面の方程式、距離の公式。
(ii) 連立一次方程式の幾何学的解釈があるか。
(iii) 行列式の導入が帰納的になされているか。行列式の幾何学的意味が説明してあるか。
(iv) 掃き出し法に列の操作が混入してないか。行のみの操作に限定しているか。
(v) 実二次形式の標準化が説明してあるか。極値問題への応用が意識されているか。
何と、大部分が (iii), (iv) でアウト。かろうじて残ったものも (i), (ii) であえなく撃沈。ううむ、困った。
しようがないので、昔のノート*1 をふくらまして凌ぐことにしよう。題して、行列代数あれこれ*2。あれこれ
というよりは、行きあたりばったりであるか。行き倒れにならないといいのだが、はてさて。
*1 懐かしの「行列代数これだけ」http://sss.sci.ibaraki.ac.jp/teaching/linear/la2003.pdf
*2 線型代数は使ってなんぼのもんである。あれもこれもと欲張るよりは、基本的なところをさっとやって、あとは個々人の関心のお
もむくまま実践するのがよい。そうして、必要になったときに必要な範囲で掘り下げる。丁寧にしつこく教えたとて身につくもの
でなし。その意味で、教科書は簡潔明瞭が良いのであるが、一方で砂をかむの苦行を強いるものは避けたい。行きあたりばったりを標榜する所以である。
目次
1 行列事始め 3
2 直線と平面の幾何学 5
3 行列とその計算 10
4 ２次・３次の行列式 15
5 一般の行列式 16
6 行列式の特徴づけ 19
略
759現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/29(火) 22:50:39.68ID:JfmTq990 >>758
失礼、2020年版が出ていました。84ページが、85ページに増えている
それよりも、新しい版は、誤植などのバグが修正されている可能性大なので、是非こちらを（＾＾
https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yamagami/teaching/teaching.html
授業記録
名古屋大学における授業の記録です。
https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yamagami/teaching/linear/linear2019.pdf
行列代数あれこれ
山上 滋
2020 年 7 月 6 日
失礼、2020年版が出ていました。84ページが、85ページに増えている
それよりも、新しい版は、誤植などのバグが修正されている可能性大なので、是非こちらを（＾＾
https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yamagami/teaching/teaching.html
授業記録
名古屋大学における授業の記録です。
https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yamagami/teaching/linear/linear2019.pdf
行列代数あれこれ
山上 滋
2020 年 7 月 6 日
760現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/29(火) 22:53:33.34ID:JfmTq990 山上 滋先生は、昔はイバ大にいて、
以前数学板に居たコテの猫さんが、
山上 滋先生を評価していましたね～（＾＾；
以前数学板に居たコテの猫さんが、
山上 滋先生を評価していましたね～（＾＾；
761現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/29(火) 23:44:13.96ID:JfmTq990 外積代数も、普遍性あり
用語大混乱：「内積」(inner) 、「外積」(outer) 内部積（英語版） (interior) 、外（部）積 (exterior) 、外積代数、幾何代数（英語版）、スカラー積
いやはや、思い出してきました、なんか混乱させられた記憶が・・（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%96%E7%A9%8D%E4%BB%A3%E6%95%B0
外積代数
圏論の言葉で言えば、外積代数は普遍構成によって与えられる、ベクトル空間の圏上の函手の典型である。
2.4 普遍性
普遍性
外積代数の普遍性
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%85%E7%A9%8D
内積
関連のある積について
「内積」(inner) という語は「外積」(outer) の反対という意味での名称だが、外積は（きっちり反対というよりは）もう少し広い状況で考えることができる。
上記の内積と外積に対して、混同するべきではないがよく似た積として内部積（英語版） (interior) と外（部）積 (exterior) というのが、ベクトル場や微分形式に対する、あるいはより一般に外積代数における演算として定義される。
さらにややこしいことに、幾何代数（英語版）において、内積 (inner) と（グラスマン）外積 (exterior) は幾何積（クリフォード線型環におけるクリフォード積）に統合される（内積は二つのベクトル (1-階ベクトル) をスカラー (0-階ベクトル) へ写し、外積は二つのベクトルを二重ベクトル (2-階ベクトル) へ写す）。そしてこの文脈においてグラスマン積はふつうは「外積」(outer)（あるいはウェッジ積）と呼ばれ、またこの文脈での内積は（考える二次形式が必ずしも正定値であることを要求されないという意味では「内積」でないので）スカラー積と呼ぶのが形式上はより適切である。
用語大混乱：「内積」(inner) 、「外積」(outer) 内部積（英語版） (interior) 、外（部）積 (exterior) 、外積代数、幾何代数（英語版）、スカラー積
いやはや、思い出してきました、なんか混乱させられた記憶が・・（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%96%E7%A9%8D%E4%BB%A3%E6%95%B0
外積代数
圏論の言葉で言えば、外積代数は普遍構成によって与えられる、ベクトル空間の圏上の函手の典型である。
2.4 普遍性
普遍性
外積代数の普遍性
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%85%E7%A9%8D
内積
関連のある積について
「内積」(inner) という語は「外積」(outer) の反対という意味での名称だが、外積は（きっちり反対というよりは）もう少し広い状況で考えることができる。
上記の内積と外積に対して、混同するべきではないがよく似た積として内部積（英語版） (interior) と外（部）積 (exterior) というのが、ベクトル場や微分形式に対する、あるいはより一般に外積代数における演算として定義される。
さらにややこしいことに、幾何代数（英語版）において、内積 (inner) と（グラスマン）外積 (exterior) は幾何積（クリフォード線型環におけるクリフォード積）に統合される（内積は二つのベクトル (1-階ベクトル) をスカラー (0-階ベクトル) へ写し、外積は二つのベクトルを二重ベクトル (2-階ベクトル) へ写す）。そしてこの文脈においてグラスマン積はふつうは「外積」(outer)（あるいはウェッジ積）と呼ばれ、またこの文脈での内積は（考える二次形式が必ずしも正定値であることを要求されないという意味では「内積」でないので）スカラー積と呼ぶのが形式上はより適切である。
762１３２人目の素数さん
2020/09/30(水) 05:52:35.59ID:wXBmLOg8763１３２人目の素数さん
2020/09/30(水) 05:55:22.17ID:wXBmLOg8 >>761
＞いやはや、思い出してきました
何を？
＞なんか混乱させられた記憶が・・・
定義を理解しないからだよ
だからいまだに
「内積も行列式もテンソルじゃない」
なんて初歩的な誤り、平気で口にするんだよ
＞いやはや、思い出してきました
何を？
＞なんか混乱させられた記憶が・・・
定義を理解しないからだよ
だからいまだに
「内積も行列式もテンソルじゃない」
なんて初歩的な誤り、平気で口にするんだよ
764１３２人目の素数さん
2020/09/30(水) 06:00:39.01ID:wXBmLOg8 ま、テンソルも
「ベクトルのテンソル積がなす空間」
ではなく
「ベクトルのテンソル積の線型結合がなす空間」
と云ってしまえば、簡単だけどね
実際、基底同士のテンソル積の線型結合で表せるし
「ベクトルのテンソル積がなす空間」
ではなく
「ベクトルのテンソル積の線型結合がなす空間」
と云ってしまえば、簡単だけどね
実際、基底同士のテンソル積の線型結合で表せるし
765１３２人目の素数さん
2020/09/30(水) 06:16:49.15ID:wXBmLOg8 >>758
YS氏、いうことはごもっともだが、
それなら、自分で教科書書けばいいのに
＞(iv) 掃き出し法に列の操作が混入してないか。行のみの操作に限定しているか。
そうね 「邪念」を排すれば、列の操作は要らないね
＞(iii) 行列式の導入が帰納的になされているか。
「帰納的導入」ってなにかと思ったら、より小さい行列式を用いて定義する、ってことね
行列式と掃き出し法をつなげるなら、そうしたほうがいいね
線型代数なのに、いきなり偶置換・奇置換を持ち出すのは「暴挙」なんだろう
偶置換、奇置換による１、－１の決定は、帰納的な定義から定理として導けるから
YS氏、いうことはごもっともだが、
それなら、自分で教科書書けばいいのに
＞(iv) 掃き出し法に列の操作が混入してないか。行のみの操作に限定しているか。
そうね 「邪念」を排すれば、列の操作は要らないね
＞(iii) 行列式の導入が帰納的になされているか。
「帰納的導入」ってなにかと思ったら、より小さい行列式を用いて定義する、ってことね
行列式と掃き出し法をつなげるなら、そうしたほうがいいね
線型代数なのに、いきなり偶置換・奇置換を持ち出すのは「暴挙」なんだろう
偶置換、奇置換による１、－１の決定は、帰納的な定義から定理として導けるから
766現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/30(水) 16:18:52.14ID:GzqVILqn >>762
>＞外積代数も、普遍性あり
>別に驚くことじゃない
あらら、自分で言ったこと覚えているか？
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
って、言ったよね
とろで、行列式は、外積代数の外冪を使って定義されるよ(>>722)
外積代数も、普遍性あり
テンソル代数も、普遍性あり
だったら、「行列式はテンソルです」というと
外積代数とテンソル代数とが、”一意な同型射を除いて一意的”（下記）ってなるよね
それは、おかしいよね（＾＾；
（∵ 外積代数とテンソル代数とは、全く同型じゃない。例えば、田丸>>716 数学概論ＰＤＦ 第 1 章 テンソル代数 と 第 2 章 外積代数 ご参照 ）
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%99%AE%E9%81%8D%E6%80%A7
普遍性
(抜粋)
数学の様々な分野において、ある特定の状況下にて一意に射を定めるような抽象的性質が、特定の構成を定義、あるいは特徴づけたりする事がしばしばある。このような性質を普遍性（英: universal property）と呼ぶ。普遍性は圏論を用いて抽象的に論考される。
存在と一意性
もし、普遍射 (A, φ) が存在すれば、一意な同型射を除いて一意的である。
例
テンソル代数
>＞外積代数も、普遍性あり
>別に驚くことじゃない
あらら、自分で言ったこと覚えているか？
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
って、言ったよね
とろで、行列式は、外積代数の外冪を使って定義されるよ(>>722)
外積代数も、普遍性あり
テンソル代数も、普遍性あり
だったら、「行列式はテンソルです」というと
外積代数とテンソル代数とが、”一意な同型射を除いて一意的”（下記）ってなるよね
それは、おかしいよね（＾＾；
（∵ 外積代数とテンソル代数とは、全く同型じゃない。例えば、田丸>>716 数学概論ＰＤＦ 第 1 章 テンソル代数 と 第 2 章 外積代数 ご参照 ）
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%99%AE%E9%81%8D%E6%80%A7
普遍性
(抜粋)
数学の様々な分野において、ある特定の状況下にて一意に射を定めるような抽象的性質が、特定の構成を定義、あるいは特徴づけたりする事がしばしばある。このような性質を普遍性（英: universal property）と呼ぶ。普遍性は圏論を用いて抽象的に論考される。
存在と一意性
もし、普遍射 (A, φ) が存在すれば、一意な同型射を除いて一意的である。
例
テンソル代数
767１３２人目の素数さん
2020/09/30(水) 17:50:08.17ID:wXBmLOg8 >>766
>外積代数も、普遍性あり
>テンソル代数も、普遍性あり
>だったら、
>外積代数とテンソル代数とが、
>”一意な同型射を除いて一意的”
>ってなるよね
>それは、おかしいよね
全然おかしくないが
>もし、普遍射 (A, φ) が存在すれば、
>一意な同型射を除いて一意的である
だからテンソル空間も外積空間（反対称的テンソル空間）も
”それぞれ”一意化されるが
君、一意化を誤解してる？
普遍性、全く理解できてないだろ
テンソル積と外積は違うんだろ？
だったらテンソル空間と（その部分空間となる）反対称的テンソル空間も違うが？
>外積代数も、普遍性あり
>テンソル代数も、普遍性あり
>だったら、
>外積代数とテンソル代数とが、
>”一意な同型射を除いて一意的”
>ってなるよね
>それは、おかしいよね
全然おかしくないが
>もし、普遍射 (A, φ) が存在すれば、
>一意な同型射を除いて一意的である
だからテンソル空間も外積空間（反対称的テンソル空間）も
”それぞれ”一意化されるが
君、一意化を誤解してる？
普遍性、全く理解できてないだろ
テンソル積と外積は違うんだろ？
だったらテンソル空間と（その部分空間となる）反対称的テンソル空間も違うが？
768１３２人目の素数さん
2020/09/30(水) 18:56:45.87ID:wXBmLOg8 ところで、外積を「交代テンソル積」とすれば
「対称テンソル積」というものも考えられる
反対称テンソル（交代テンソル）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8D%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB
対称テンソル
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB
対称テンソル積は
・置換に対する符号の転換を無視して足し合わせる
・同じ基底同士の積を０としない
という形で実現できる
「対称テンソル積」というものも考えられる
反対称テンソル（交代テンソル）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8D%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB
対称テンソル
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB
対称テンソル積は
・置換に対する符号の転換を無視して足し合わせる
・同じ基底同士の積を０としない
という形で実現できる
769現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/09/30(水) 20:07:20.42ID:WPXiFBae770粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
2020/09/30(水) 20:36:26.52ID:nTJimpPg 瀬田氏の名前のイニシャルはYじゃったか
771１３２人目の素数さん
2020/09/30(水) 20:37:27.86ID:wXBmLOg8 >>769
◆yH25M02vWFhPは、知的障害か
>「行列式はテンソルです」
>「内積も、行列式同様、テンソルです」
>って、数学的に意味不明だよ
◆yH25M02vWFhPは、数学が分からない知的障害か
「テンソルとは多重線型写像である」
という定義の意味が不明なんだから
明らかな知的障害
数学以前に日本語の文章が理解できない時点で知的障害
◆yH25M02vWFhPは、知的障害か
>「行列式はテンソルです」
>「内積も、行列式同様、テンソルです」
>って、数学的に意味不明だよ
◆yH25M02vWFhPは、数学が分からない知的障害か
「テンソルとは多重線型写像である」
という定義の意味が不明なんだから
明らかな知的障害
数学以前に日本語の文章が理解できない時点で知的障害
772１３２人目の素数さん
2020/09/30(水) 20:44:10.23ID:wXBmLOg8773１３２人目の素数さん
2020/09/30(水) 20:48:37.83ID:wXBmLOg8 多重線形写像はテンソル空間からスカラーへの線型写像を一意に定めるし
その線型写像もまたテンソルである
その線型写像もまたテンソルである
774１３２人目の素数さん
2020/09/30(水) 20:53:27.98ID:wXBmLOg8 ◆yH25M02vWFhPは読み書き障害がある
日本語の文章の意味が正しく理解できない
国語ができない人には数学はもちろん、いかなる学問も無理
日本語の文章の意味が正しく理解できない
国語ができない人には数学はもちろん、いかなる学問も無理
775１３２人目の素数さん
2020/09/30(水) 20:56:15.45ID:wXBmLOg8 正規部分群の定義の誤解も、定義の文章が正しく読めなかったせい
∈と⊂の誤解も、∈と⊂の定義の文章が正しく読めなかったせい
そして今回のテンソルの件も、定義の文章が正しく読めなかったせい
数学以前に、国語からやり直したほうがいい
今のままで、初歩的な誤りを繰り返すだけで、何も正しく学べない
∈と⊂の誤解も、∈と⊂の定義の文章が正しく読めなかったせい
そして今回のテンソルの件も、定義の文章が正しく読めなかったせい
数学以前に、国語からやり直したほうがいい
今のままで、初歩的な誤りを繰り返すだけで、何も正しく学べない
776粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
2020/09/30(水) 21:08:04.69ID:nTJimpPg ヤマタノチンポ>>765
済まん、投稿者の事じゃのうて引用先の名大数学教授じゃったか、飛ばし読みし過ぎた
済まん、投稿者の事じゃのうて引用先の名大数学教授じゃったか、飛ばし読みし過ぎた
777１３２人目の素数さん
2020/09/30(水) 21:31:05.55ID:wXBmLOg8 ◆yH25M02vWFhPの本名には興味ないな
数学どころか英語も国語もダメな時点で
取るに足らない人物であることは明らか
数学どころか英語も国語もダメな時点で
取るに足らない人物であることは明らか
778現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/01(木) 07:53:54.15ID:puwLBl/N >>733
>V⊗Wと、V×Wでは次元が全然違う
>前者の次元はdimV×dimW
>後者の次元はdimV+dimW
あんた、勘違いしているよ
後者V×Wの次元も、dimV×dimWだよ
そう考えないと、下記のテンソル積の「商としての定義」の記述と合わないぜ
つまり、テンソル積 U = V ◯x W と デカルト積 V × W とでは、集合として V ◯x W ⊂ V × W という包含関係があるんだよ！
そう考えないと、基底を用いた定義での「順序対 (ξi, ηj) は記号 "◯x" を用いて ξi ◯x ηj と書くことにすれば・・」も、解釈不能になる
（5ch数学板では、数学記号が自由に使えず視認性が悪い。なので、原文のサイトを見て下さい）
そこのところから、勘違い・大間違いかよ、やれやれ（＾＾；
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E7%A9%8D
テンソル積
(抜粋)
定義
基底を用いた定義
共通の体 F 上のベクトル空間 V, W に対して、V の基底 B = {ξ1, ξ2, …, ξn} および W の基底 B′ = {η1, η2, …, ηm} をとるとき、これらの直積 B × B′ が生成する nm-次元の自由ベクトル空間
V◯x_FW(=V◯x W):= span _F((ξ_i,η_j)｜ 1<= i<= n,1<= j<= m)
を V と W との F 上のテンソル積と呼ぶ。V ◯x W の元としての順序対 (ξi, ηj) は記号 "◯x" を用いて ξi ◯x ηj と書くことにすれば、V × W の任意の元は適当な有限個のスカラー cij を用いて
Σ _{i,j}c_{ij}(ξ _i◯x η _j)
の形の有限和に表される。これにより、任意のベクトル v ∈ V および w ∈ W のテンソル積 v ◯x w が定義できる。
つづく
>V⊗Wと、V×Wでは次元が全然違う
>前者の次元はdimV×dimW
>後者の次元はdimV+dimW
あんた、勘違いしているよ
後者V×Wの次元も、dimV×dimWだよ
そう考えないと、下記のテンソル積の「商としての定義」の記述と合わないぜ
つまり、テンソル積 U = V ◯x W と デカルト積 V × W とでは、集合として V ◯x W ⊂ V × W という包含関係があるんだよ！
そう考えないと、基底を用いた定義での「順序対 (ξi, ηj) は記号 "◯x" を用いて ξi ◯x ηj と書くことにすれば・・」も、解釈不能になる
（5ch数学板では、数学記号が自由に使えず視認性が悪い。なので、原文のサイトを見て下さい）
そこのところから、勘違い・大間違いかよ、やれやれ（＾＾；
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E7%A9%8D
テンソル積
(抜粋)
定義
基底を用いた定義
共通の体 F 上のベクトル空間 V, W に対して、V の基底 B = {ξ1, ξ2, …, ξn} および W の基底 B′ = {η1, η2, …, ηm} をとるとき、これらの直積 B × B′ が生成する nm-次元の自由ベクトル空間
V◯x_FW(=V◯x W):= span _F((ξ_i,η_j)｜ 1<= i<= n,1<= j<= m)
を V と W との F 上のテンソル積と呼ぶ。V ◯x W の元としての順序対 (ξi, ηj) は記号 "◯x" を用いて ξi ◯x ηj と書くことにすれば、V × W の任意の元は適当な有限個のスカラー cij を用いて
Σ _{i,j}c_{ij}(ξ _i◯x η _j)
の形の有限和に表される。これにより、任意のベクトル v ∈ V および w ∈ W のテンソル積 v ◯x w が定義できる。
つづく
779現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/01(木) 07:54:12.93ID:puwLBl/N >>778
つづき
商としての定義
一般に、体 K 上のベクトル空間 V, W が与えられたとき、それらのテンソル積 U = V ◯x W は、デカルト積 V × W の生成する K-上の自由線型空間 F(V × W) の、
(v_1,w)+(v_{2},w)～ (v_1+v_{2},w)
&(v_1,w) + (v_2,w) ～ (v_1 + v_2,w) (v, v_1, v_2 ∈ V; w, w_1, w_2 ∈ W; c ∈ K)
&c(v,w) ～ (cv,w) ～ (v,cw)
で与えられる同値関係 ～ による商として定義することができる。これは F(V × W) における演算から誘導される演算によりベクトル空間を成す。
普遍性
テンソル積の普遍性
双線型写像 φ: V × W → V ◯x W が存在して、任意のベクトル空間 Z と双線型写像 h: V × W → Z が与えられるとき、
h = ~h ◯ φ を満足する線型写像
~h: V ◯x W → Z が一意に存在する。
この意味において、φ は V × W から作られる最も一般の双線型写像になっている。特に、これにより（一意的に定義される）テンソル積を持つ任意の空間の集まりが対称モノイド圏（英語版）の例となることが導かれる。テンソル積の一意性は、上記の性質を満たす任意の双線型写像 φ′: V × W → V ◯x′ W に対し、同型写像 k: V ◯x W → V ◯x′ W が存在して φ′ = k ◯ φ を満足することを言う。
(引用終り)
以上
つづき
商としての定義
一般に、体 K 上のベクトル空間 V, W が与えられたとき、それらのテンソル積 U = V ◯x W は、デカルト積 V × W の生成する K-上の自由線型空間 F(V × W) の、
(v_1,w)+(v_{2},w)～ (v_1+v_{2},w)
&(v_1,w) + (v_2,w) ～ (v_1 + v_2,w) (v, v_1, v_2 ∈ V; w, w_1, w_2 ∈ W; c ∈ K)
&c(v,w) ～ (cv,w) ～ (v,cw)
で与えられる同値関係 ～ による商として定義することができる。これは F(V × W) における演算から誘導される演算によりベクトル空間を成す。
普遍性
テンソル積の普遍性
双線型写像 φ: V × W → V ◯x W が存在して、任意のベクトル空間 Z と双線型写像 h: V × W → Z が与えられるとき、
h = ~h ◯ φ を満足する線型写像
~h: V ◯x W → Z が一意に存在する。
この意味において、φ は V × W から作られる最も一般の双線型写像になっている。特に、これにより（一意的に定義される）テンソル積を持つ任意の空間の集まりが対称モノイド圏（英語版）の例となることが導かれる。テンソル積の一意性は、上記の性質を満たす任意の双線型写像 φ′: V × W → V ◯x′ W に対し、同型写像 k: V ◯x W → V ◯x′ W が存在して φ′ = k ◯ φ を満足することを言う。
(引用終り)
以上
780現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/01(木) 08:03:04.54ID:puwLBl/N >>733 追加
(引用開始)
>>723
>”3 階のテンソル”は代数学の抽象テンソルとは、無関係。
>むしろ、単なる直積集合（デカルト積）と思うべし
(引用終り)
でな、(>>635より)
(引用開始)
http://www.orsj.or.jp/archive2/or60-4/or60_4_191.pdf
オペレーションズ・リサーチ
最適化から見たディープラーニングの考え方 得居 誠也 2015 年 4 月号
P195
図 5 畳み込み層の概略図．入力と出力はともに 3 階のテンソルで表される．
テンソルの各軸は，画像の縦・横方向およびチャンネルの種類に対応する．
各チャンネルは，入力がカラー画像なら R，G，B
ここの得居誠也氏のディープラーニング 、”3 階のテンソル”は
代数学の抽象テンソルとは、無関係。むしろ、単なる直積集合（デカルト積）と思うべし
では、なぜデカルト積と言わず3 階のテンソルというかと言えば、添え字が3種ってことでしょ（＾＾
普通、デカルト積は添え字は１種類で済ませるのに対し、テンソルは複数添え字を使うので、これを借用したと思う
(引用終り)
得居誠也氏は、>>778のV×Wに属する話だよ。”商”には落とさない
つまり、２次元のデジタル画像を、カラーの R，G，B つかって、3次元のデカルト積でコンピュータ処理するときに
添え字が3種にするのだが、”商”は全く関係ないよ！
分かってないな～！（＾＾；
(引用開始)
>>723
>”3 階のテンソル”は代数学の抽象テンソルとは、無関係。
>むしろ、単なる直積集合（デカルト積）と思うべし
(引用終り)
でな、(>>635より)
(引用開始)
http://www.orsj.or.jp/archive2/or60-4/or60_4_191.pdf
オペレーションズ・リサーチ
最適化から見たディープラーニングの考え方 得居 誠也 2015 年 4 月号
P195
図 5 畳み込み層の概略図．入力と出力はともに 3 階のテンソルで表される．
テンソルの各軸は，画像の縦・横方向およびチャンネルの種類に対応する．
各チャンネルは，入力がカラー画像なら R，G，B
ここの得居誠也氏のディープラーニング 、”3 階のテンソル”は
代数学の抽象テンソルとは、無関係。むしろ、単なる直積集合（デカルト積）と思うべし
では、なぜデカルト積と言わず3 階のテンソルというかと言えば、添え字が3種ってことでしょ（＾＾
普通、デカルト積は添え字は１種類で済ませるのに対し、テンソルは複数添え字を使うので、これを借用したと思う
(引用終り)
得居誠也氏は、>>778のV×Wに属する話だよ。”商”には落とさない
つまり、２次元のデジタル画像を、カラーの R，G，B つかって、3次元のデカルト積でコンピュータ処理するときに
添え字が3種にするのだが、”商”は全く関係ないよ！
分かってないな～！（＾＾；
781１３２人目の素数さん
2020/10/01(木) 11:11:52.20ID:ZvCLwev4782現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/01(木) 13:52:08.19ID:7fZLD5Mp783１３２人目の素数さん
2020/10/01(木) 13:58:54.79ID:ZvCLwev4784現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/01(木) 14:25:37.23ID:7fZLD5Mp >>780 補足
”(>>635より)
(引用開始)
http://www.orsj.or.jp/archive2/or60-4/or60_4_191.pdf
オペレーションズ・リサーチ
最適化から見たディープラーニングの考え方 得居 誠也 2015 年 4 月号
P195
図 5 畳み込み層の概略図．入力と出力はともに 3 階のテンソルで表される．
テンソルの各軸は，画像の縦・横方向およびチャンネルの種類に対応する．
各チャンネルは，入力がカラー画像なら R，G，B
ここの得居誠也氏のディープラーニング 、”3 階のテンソル”は
代数学の抽象テンソルとは、無関係。むしろ、単なる直積集合（デカルト積）と思うべし
では、なぜデカルト積と言わず3 階のテンソルというかと言えば、添え字が3種ってことでしょ（＾＾
普通、デカルト積は添え字は１種類で済ませるのに対し、テンソルは複数添え字を使うので、これを借用したと思う
(引用終り)
得居誠也氏は、>>778のV×Wに属する話だよ。”商”には落とさない
つまり、２次元のデジタル画像を、カラーの R，G，B つかって、3次元のデカルト積でコンピュータ処理するときに
添え字が3種にするのだが、”商”は全く関係ないよ！”
ここを、補足しておくと
１．いま、１枚のデジタル画像（カラー写真）があるとする。縦10、横10で 10x10のピクセル（画素）から成るとする
２．物理的には、2次元のカラー写真と見ることもできるけれども、
コンピュータのデジタル処理を考えると
10x10の画素で、カラーのR，G，Bの3種の情報の重ね合わせと見て、300個のコンピュータプロブラムの情報処理とするのが良い
３．デカルト積で、下記の2次元直交座標系（x,y）と同様に、同じ流儀で言えば、300次元 300個の数字の組で、１枚のデジタル画像情報が扱えるのです
４．それで、>>778のような ”V×W 次元はdimV+dimW ”みたいな流儀だと、10＋10＋3＝23次元という計算になるけど、アホでしょ、それは（＾＾；
５．また、300次元で、添え字１つで、i＝1～300とするよりも
10ｘ10の数字の並びの行列が、R，G，B 3枚あるとする方が、分かり易い
デカルト積だが、添え字はテンソル流ってことですね（＾＾
つづく
”(>>635より)
(引用開始)
http://www.orsj.or.jp/archive2/or60-4/or60_4_191.pdf
オペレーションズ・リサーチ
最適化から見たディープラーニングの考え方 得居 誠也 2015 年 4 月号
P195
図 5 畳み込み層の概略図．入力と出力はともに 3 階のテンソルで表される．
テンソルの各軸は，画像の縦・横方向およびチャンネルの種類に対応する．
各チャンネルは，入力がカラー画像なら R，G，B
ここの得居誠也氏のディープラーニング 、”3 階のテンソル”は
代数学の抽象テンソルとは、無関係。むしろ、単なる直積集合（デカルト積）と思うべし
では、なぜデカルト積と言わず3 階のテンソルというかと言えば、添え字が3種ってことでしょ（＾＾
普通、デカルト積は添え字は１種類で済ませるのに対し、テンソルは複数添え字を使うので、これを借用したと思う
(引用終り)
得居誠也氏は、>>778のV×Wに属する話だよ。”商”には落とさない
つまり、２次元のデジタル画像を、カラーの R，G，B つかって、3次元のデカルト積でコンピュータ処理するときに
添え字が3種にするのだが、”商”は全く関係ないよ！”
ここを、補足しておくと
１．いま、１枚のデジタル画像（カラー写真）があるとする。縦10、横10で 10x10のピクセル（画素）から成るとする
２．物理的には、2次元のカラー写真と見ることもできるけれども、
コンピュータのデジタル処理を考えると
10x10の画素で、カラーのR，G，Bの3種の情報の重ね合わせと見て、300個のコンピュータプロブラムの情報処理とするのが良い
３．デカルト積で、下記の2次元直交座標系（x,y）と同様に、同じ流儀で言えば、300次元 300個の数字の組で、１枚のデジタル画像情報が扱えるのです
４．それで、>>778のような ”V×W 次元はdimV+dimW ”みたいな流儀だと、10＋10＋3＝23次元という計算になるけど、アホでしょ、それは（＾＾；
５．また、300次元で、添え字１つで、i＝1～300とするよりも
10ｘ10の数字の並びの行列が、R，G，B 3枚あるとする方が、分かり易い
デカルト積だが、添え字はテンソル流ってことですね（＾＾
つづく
785現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/01(木) 14:26:07.30ID:7fZLD5Mp >>784
つづき
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E7%A9%8D%E9%9B%86%E5%90%88
直積集合
(抜粋)
集合のデカルト積（デカルト-せき、英: Cartesian product）または直積（ちょくせき、英: direct product）、直積集合、または単に積（せき、英: product）、積集合は、集合の集まり（集合族）に対して各集合から一つずつ元をとりだして組にしたもの（元の族）を元として持つ新たな集合である。
具体的に二つの集合 A, B に対し、それらの直積とはそれらの任意の元 a ∈ A, b ∈ B の順序対 (a, b) 全てからなる集合をいう[1]。
2次元直交座標系
有名な歴史的な例としては、解析幾何学における直交座標系がある。ルネ・デカルトは、数を用いて幾何学的な図形を表現したり、図形から数の情報を得たりするために、平面のそれぞれの点に実数の組を対応させ、その点の座標と名付けた。ふつう、このような組の1番目および2番目の要素は、それぞれ x および y 座標と呼ばれる。したがって、実数の組のすべての集合、すなわち ?×?（? は実数）という直積集合は、平面上のすべての点の集合に対応する。
(引用終り)
以上
つづき
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E7%A9%8D%E9%9B%86%E5%90%88
直積集合
(抜粋)
集合のデカルト積（デカルト-せき、英: Cartesian product）または直積（ちょくせき、英: direct product）、直積集合、または単に積（せき、英: product）、積集合は、集合の集まり（集合族）に対して各集合から一つずつ元をとりだして組にしたもの（元の族）を元として持つ新たな集合である。
具体的に二つの集合 A, B に対し、それらの直積とはそれらの任意の元 a ∈ A, b ∈ B の順序対 (a, b) 全てからなる集合をいう[1]。
2次元直交座標系
有名な歴史的な例としては、解析幾何学における直交座標系がある。ルネ・デカルトは、数を用いて幾何学的な図形を表現したり、図形から数の情報を得たりするために、平面のそれぞれの点に実数の組を対応させ、その点の座標と名付けた。ふつう、このような組の1番目および2番目の要素は、それぞれ x および y 座標と呼ばれる。したがって、実数の組のすべての集合、すなわち ?×?（? は実数）という直積集合は、平面上のすべての点の集合に対応する。
(引用終り)
以上
786現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/01(木) 14:27:52.32ID:7fZLD5Mp >>783
なんだ、おサルか
＞箱入り無数目でも「大学の確率論・確率過程論を学べば分かる」
ちゃんと主張になっているよｗ
箱入り無数目の記事不成立も
「大学の確率論・確率過程論を学べば分かる」！！ｗｗ（＾＾；
なんだ、おサルか
＞箱入り無数目でも「大学の確率論・確率過程論を学べば分かる」
ちゃんと主張になっているよｗ
箱入り無数目の記事不成立も
「大学の確率論・確率過程論を学べば分かる」！！ｗｗ（＾＾；
787１３２人目の素数さん
2020/10/01(木) 14:50:16.74ID:ZvCLwev4788現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/01(木) 15:21:15.32ID:7fZLD5Mp >>787
（>>782より再録）
そもそも
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
って、数学的におかしいよね
それに気づかないってことは
どっか何が欠けているんだろうね
何か知らないが
何が欠けているか知らないが
そういう人に、「おかしい」と分からせるのは
大変なんだよ、自覚がないからな
(引用終り)
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
って、みんな、”ドン引き”してしまっているんだよね（＾＾
”こいつ何言っているだ？”ってね
”気は確かか”ってね
それに、気付いていないのかな？ｗ（＾＾；
（>>782より再録）
そもそも
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
って、数学的におかしいよね
それに気づかないってことは
どっか何が欠けているんだろうね
何か知らないが
何が欠けているか知らないが
そういう人に、「おかしい」と分からせるのは
大変なんだよ、自覚がないからな
(引用終り)
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
って、みんな、”ドン引き”してしまっているんだよね（＾＾
”こいつ何言っているだ？”ってね
”気は確かか”ってね
それに、気付いていないのかな？ｗ（＾＾；
789現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/01(木) 16:22:27.83ID:7fZLD5Mp 余談ですが、直積もテンソルを学ぶときに、用語が混乱しやすいです
下記、ご参照（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E7%A9%8D
直積
数学において、直積を考えられる対象は様々ある。そのうちの一部を以下に挙げる。
・集合の直積
・群の直積
・加群の直積（ドイツ語版、英語版）
・環の直積
・位相空間の直積
・ベクトルの直積
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E7%A9%8D_(%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB)
直積 (ベクトル)
線型代数学における直積（direct product[1]）あるいは外積（outer product）は典型的には二つのベクトルのテンソル積を言う。座標ベクトル（英語版）の外積をとった結果は行列になる。外積の名称は内積に対照するもので、内積はベクトルの対をスカラーにする。外積は、クロス積の意味で使われることもあるため、どちらの意味で使われているか注意が必要である。
ベクトル同士の外積は行列のクロネッカー積の特別な場合である。
「テンソルの外積」を「テンソル積」の同義語として用いる文献もある。外積は R, APL, Mathematica などいくつかの計算機プログラム言語では高階函数でもある。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E7%A9%8D%E9%9B%86%E5%90%88
直積集合
（「積集合」と「デカルト積」はこの項目へ転送されています。その他の用法については「共通部分 (数学)」、「デカルトモノイド圏」をご覧ください。）
集合のデカルト積（デカルト-せき、英: Cartesian product）または直積（ちょくせき、英: direct product）、直積集合、または単に積（せき、英: product）、積集合は、集合の集まり（集合族）に対して各集合から一つずつ元をとりだして組にしたもの（元の族）を元として持つ新たな集合である。
具体的に二つの集合 A, B に対し、それらの直積とはそれらの任意の元 a ∈ A, b ∈ B の順序対 (a, b) 全てからなる集合をいう[1]。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%B1%E9%80%9A%E9%83%A8%E5%88%86_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
共通部分 (数学)
共通集合（きょうつうしゅうごう）、交叉（こうさ、交差）、交わり（まじわり、meet）、積集合（せきしゅうごう）、積（せき）[1]、などとも呼ばれる。ただし、積集合は直積集合の意味で用いられることが多い。
下記、ご参照（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E7%A9%8D
直積
数学において、直積を考えられる対象は様々ある。そのうちの一部を以下に挙げる。
・集合の直積
・群の直積
・加群の直積（ドイツ語版、英語版）
・環の直積
・位相空間の直積
・ベクトルの直積
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E7%A9%8D_(%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB)
直積 (ベクトル)
線型代数学における直積（direct product[1]）あるいは外積（outer product）は典型的には二つのベクトルのテンソル積を言う。座標ベクトル（英語版）の外積をとった結果は行列になる。外積の名称は内積に対照するもので、内積はベクトルの対をスカラーにする。外積は、クロス積の意味で使われることもあるため、どちらの意味で使われているか注意が必要である。
ベクトル同士の外積は行列のクロネッカー積の特別な場合である。
「テンソルの外積」を「テンソル積」の同義語として用いる文献もある。外積は R, APL, Mathematica などいくつかの計算機プログラム言語では高階函数でもある。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E7%A9%8D%E9%9B%86%E5%90%88
直積集合
（「積集合」と「デカルト積」はこの項目へ転送されています。その他の用法については「共通部分 (数学)」、「デカルトモノイド圏」をご覧ください。）
集合のデカルト積（デカルト-せき、英: Cartesian product）または直積（ちょくせき、英: direct product）、直積集合、または単に積（せき、英: product）、積集合は、集合の集まり（集合族）に対して各集合から一つずつ元をとりだして組にしたもの（元の族）を元として持つ新たな集合である。
具体的に二つの集合 A, B に対し、それらの直積とはそれらの任意の元 a ∈ A, b ∈ B の順序対 (a, b) 全てからなる集合をいう[1]。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%B1%E9%80%9A%E9%83%A8%E5%88%86_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
共通部分 (数学)
共通集合（きょうつうしゅうごう）、交叉（こうさ、交差）、交わり（まじわり、meet）、積集合（せきしゅうごう）、積（せき）[1]、などとも呼ばれる。ただし、積集合は直積集合の意味で用いられることが多い。
790現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/01(木) 16:32:15.27ID:7fZLD5Mp >>789 補足
直積 (ベクトル)が、
「典型的には二つのベクトルのテンソル積を言う」であって
「外積（outer product）」と呼ばれたり
直積集合が、「デカルト積」だとか
初学者レベルの集合論では、共通部分を、
積集合（せきしゅうごう）とか、積と言ったりします
テンソルのテキスト（教科書）を読むとき
ここらの、著者の立場（代数系の人かとか、応用系か（例えばベクトル解析、あるいは物理系とか）など）、用語の定義によく注意しましょう
あと、時代で用語の流行り廃れがあります
細かくフォローできていませんが
なんか、混乱させられた記憶があります（＾＾；
直積 (ベクトル)が、
「典型的には二つのベクトルのテンソル積を言う」であって
「外積（outer product）」と呼ばれたり
直積集合が、「デカルト積」だとか
初学者レベルの集合論では、共通部分を、
積集合（せきしゅうごう）とか、積と言ったりします
テンソルのテキスト（教科書）を読むとき
ここらの、著者の立場（代数系の人かとか、応用系か（例えばベクトル解析、あるいは物理系とか）など）、用語の定義によく注意しましょう
あと、時代で用語の流行り廃れがあります
細かくフォローできていませんが
なんか、混乱させられた記憶があります（＾＾；
791現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/01(木) 17:00:06.08ID:7fZLD5Mp >>784 補足訂正
10x10の画素で、カラーのR，G，Bの3種の情報の重ね合わせと見て、300個のコンピュータプロブラムの情報処理とするのが良い
↓
10x10の画素で、カラーのR，G，Bの3種の情報の重ね合わせと見て、300個の変数のコンピュータプロブラムの情報処理とするのが良い
”300個の変数のコンピュータプロブラム”に、補足訂正します（＾＾；
10x10の画素で、カラーのR，G，Bの3種の情報の重ね合わせと見て、300個のコンピュータプロブラムの情報処理とするのが良い
↓
10x10の画素で、カラーのR，G，Bの3種の情報の重ね合わせと見て、300個の変数のコンピュータプロブラムの情報処理とするのが良い
”300個の変数のコンピュータプロブラム”に、補足訂正します（＾＾；
792１３２人目の素数さん🐙
2020/10/01(木) 17:56:30.50ID:ZvCLwev4 >>788
気は確かかと思うのはあなたの勝手ですが、根拠を示さなければナンセンスであるという至極当たり前のことを何故あなたは理解しないのですか？
気は確かかと思うのはあなたの勝手ですが、根拠を示さなければナンセンスであるという至極当たり前のことを何故あなたは理解しないのですか？
793１３２人目の素数さん
2020/10/01(木) 18:56:17.25ID:YkS1knOQ >>778
>>V⊗Wと、V×Wでは次元が全然違う
>>前者の次元はdimV×dimW
>>後者の次元はdimV+dimW
>あんた、勘違いしているよ
>後者V×Wの次元も、dimV×dimWだよ
トンデモ、ｷﾀ━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━!!
ま、正規部分群の定義の読み違いやら
∈と⊂の混同やらとかいう
明らかなトンデモぶりを見てきた
こちらとしては「ああ、またか」って
感じですけどね
>そう考えないと、下記のテンソル積の「商としての定義」の記述と合わないぜ
>つまり、テンソル積 U = V ◯x W と デカルト積 V × W とでは、
>集合として V ◯x W ⊂ V × W という包含関係があるんだよ！
包含関係が逆
正しくは V×W⊂V⊗W
つまり、ｔ∈V×Wが存在して
任意のv∈V、ｗ∈Wについて、
t=v⊗wでない
V × W の変数の値はdimV+dimW個しかない
逆に、V⊗Wの次元はdimV×dimW
>そう考えないと、基底を用いた定義での
>「順序対 (ξi, ηj) は記号 "◯x" を用いて ξi ◯x ηj と書くことにすれば・・」
>も、解釈不能になる
確かに、nm個のξi ⊗ηjは、V×Wの中にある、
しかし、
「だから V×Wの次元はdimV×dimW」
といってるなら誤り
２つのξi ⊗ηjの和が、ベクトル同士のテンソル積で表せないなら
V×Wの要素ではない
つまり、V×Wは、V⊗Wの中に「曲面」として埋め込まれており、
したがって、V⊗W内の線型空間ではない
>そこのところから、勘違い・大間違いかよ、やれやれ
勘違いしてるのは、キミだよ、キ・ミ
>>V⊗Wと、V×Wでは次元が全然違う
>>前者の次元はdimV×dimW
>>後者の次元はdimV+dimW
>あんた、勘違いしているよ
>後者V×Wの次元も、dimV×dimWだよ
トンデモ、ｷﾀ━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━!!
ま、正規部分群の定義の読み違いやら
∈と⊂の混同やらとかいう
明らかなトンデモぶりを見てきた
こちらとしては「ああ、またか」って
感じですけどね
>そう考えないと、下記のテンソル積の「商としての定義」の記述と合わないぜ
>つまり、テンソル積 U = V ◯x W と デカルト積 V × W とでは、
>集合として V ◯x W ⊂ V × W という包含関係があるんだよ！
包含関係が逆
正しくは V×W⊂V⊗W
つまり、ｔ∈V×Wが存在して
任意のv∈V、ｗ∈Wについて、
t=v⊗wでない
V × W の変数の値はdimV+dimW個しかない
逆に、V⊗Wの次元はdimV×dimW
>そう考えないと、基底を用いた定義での
>「順序対 (ξi, ηj) は記号 "◯x" を用いて ξi ◯x ηj と書くことにすれば・・」
>も、解釈不能になる
確かに、nm個のξi ⊗ηjは、V×Wの中にある、
しかし、
「だから V×Wの次元はdimV×dimW」
といってるなら誤り
２つのξi ⊗ηjの和が、ベクトル同士のテンソル積で表せないなら
V×Wの要素ではない
つまり、V×Wは、V⊗Wの中に「曲面」として埋め込まれており、
したがって、V⊗W内の線型空間ではない
>そこのところから、勘違い・大間違いかよ、やれやれ
勘違いしてるのは、キミだよ、キ・ミ
794１３２人目の素数さん
2020/10/01(木) 19:13:10.72ID:YkS1knOQ >>780
>ここの・・・ディープラーニング 、”3 階のテンソル”は
>代数学の抽象テンソルとは、無関係。
>むしろ、単なる直積集合（デカルト積）と思うべし
引用された記事書いた人が、この文章見たら、確実に泣くな
V×Wだったら、2種類の添字要らない
Vの基底がe1~enで、Wの基底がε１~εｍだったら
V×Wを線型空間とみなした場合の基底は
e1~enおよびε１~εｍのn+m個だろ？
(v,w)∈V×W なんだからさ
ほんとマジで全然わかってないな
じゃ、聞くけど
e1⊗ε1＝(e1,ε1)∈V×W
e2⊗ε2＝(e2,ε2)∈V×W
として
e1⊗ε1＋e2⊗ε2＝(v,w)
となるようなvとwって何？
>>778で
V⊗W⊂V×W
と言い切ったんだから
e1⊗ε1＋e2⊗ε2＝(v,w)
となるようなvとwを
具体的に書き表し切ってみせられるよね
さあ、やって！今！ここで！
ほんと、いつまでたっても
自分が微積分も線形代数も基礎から誤解してる
トンデモだという自覚がないんだねぇ（呆）
>ここの・・・ディープラーニング 、”3 階のテンソル”は
>代数学の抽象テンソルとは、無関係。
>むしろ、単なる直積集合（デカルト積）と思うべし
引用された記事書いた人が、この文章見たら、確実に泣くな
V×Wだったら、2種類の添字要らない
Vの基底がe1~enで、Wの基底がε１~εｍだったら
V×Wを線型空間とみなした場合の基底は
e1~enおよびε１~εｍのn+m個だろ？
(v,w)∈V×W なんだからさ
ほんとマジで全然わかってないな
じゃ、聞くけど
e1⊗ε1＝(e1,ε1)∈V×W
e2⊗ε2＝(e2,ε2)∈V×W
として
e1⊗ε1＋e2⊗ε2＝(v,w)
となるようなvとwって何？
>>778で
V⊗W⊂V×W
と言い切ったんだから
e1⊗ε1＋e2⊗ε2＝(v,w)
となるようなvとwを
具体的に書き表し切ってみせられるよね
さあ、やって！今！ここで！
ほんと、いつまでたっても
自分が微積分も線形代数も基礎から誤解してる
トンデモだという自覚がないんだねぇ（呆）
795１３２人目の素数さん
2020/10/01(木) 19:18:00.12ID:YkS1knOQ796１３２人目の素数さん
2020/10/01(木) 19:25:50.02ID:YkS1knOQ797１３２人目の素数さん
2020/10/01(木) 19:34:32.03ID:YkS1knOQ >>785
＞直積集合
＞集合のデカルト積（デカルト-せき、英: Cartesian product）
＞または直積（ちょくせき、英: direct product）、直積集合、
＞または単に積（せき、英: product）、積集合は、
＞集合の集まり（集合族）に対して
＞各集合から一つずつ元をとりだして組にしたもの（元の族）
＞を元として持つ新たな集合である。
＞具体的に二つの集合 A, B に対し、
＞それらの直積とはそれらの任意の元
＞a ∈ A, b ∈ B の順序対 (a, b)
＞全てからなる集合をいう。
だろ？
で、
「任意のｔ∈V⊗Wについて、
ｔ＝v⊗ｗ＝(v,w)∈V×Wとなる
v∈V,w∈Wが必ず存在する」
というなら、ｔから(v､w)への関数を
具体的に示してみせて
ここまで言われて自分の誤りに気づけないなら
◆yH25M02vWFhP 君は正真正銘のidiotだよ
＞直積集合
＞集合のデカルト積（デカルト-せき、英: Cartesian product）
＞または直積（ちょくせき、英: direct product）、直積集合、
＞または単に積（せき、英: product）、積集合は、
＞集合の集まり（集合族）に対して
＞各集合から一つずつ元をとりだして組にしたもの（元の族）
＞を元として持つ新たな集合である。
＞具体的に二つの集合 A, B に対し、
＞それらの直積とはそれらの任意の元
＞a ∈ A, b ∈ B の順序対 (a, b)
＞全てからなる集合をいう。
だろ？
で、
「任意のｔ∈V⊗Wについて、
ｔ＝v⊗ｗ＝(v,w)∈V×Wとなる
v∈V,w∈Wが必ず存在する」
というなら、ｔから(v､w)への関数を
具体的に示してみせて
ここまで言われて自分の誤りに気づけないなら
◆yH25M02vWFhP 君は正真正銘のidiotだよ
798１３２人目の素数さん
2020/10/01(木) 19:52:48.79ID:YkS1knOQ 線型空間V,Wについて、直積集合V×Wに、
(v1,w1)+(v2,w2)=(v1+v2,w1+w2)
a(v,w)=(av,aw)
のように成分ごと演算を定義して
線型空間の構造を入れたものを
VとWの「直和」といいV⊕Wで表す
加群の直和
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%A0%E7%BE%A4%E3%81%AE%E7%9B%B4%E5%92%8C
これは、双線型写像の考え方とは明らかに異なるんだよね
φ(v1+v2､w)=φ(v1､w)+φ(v2,w)
φ(v､w1+w2)=φ(v,w1)+φ(v,w2)
φ(av,w)=φ(v,aw)=aφ(v,w)
ほんと、線形代数が根本から全然分かってないんだねぇ、◆yH25M02vWFhPは
(v1,w1)+(v2,w2)=(v1+v2,w1+w2)
a(v,w)=(av,aw)
のように成分ごと演算を定義して
線型空間の構造を入れたものを
VとWの「直和」といいV⊕Wで表す
加群の直和
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%A0%E7%BE%A4%E3%81%AE%E7%9B%B4%E5%92%8C
これは、双線型写像の考え方とは明らかに異なるんだよね
φ(v1+v2､w)=φ(v1､w)+φ(v2,w)
φ(v､w1+w2)=φ(v,w1)+φ(v,w2)
φ(av,w)=φ(v,aw)=aφ(v,w)
ほんと、線形代数が根本から全然分かってないんだねぇ、◆yH25M02vWFhPは
799１３２人目の素数さん
2020/10/01(木) 20:21:46.55ID:YkS1knOQ >>788
＞みんな、”ドン引き”してしまっているんだよね
「V×Wの次元も、dimV×dimWだよ」って、
数学科出身者全員、”ドン引き”どころか”超弩級失笑”
ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
＞みんな、”ドン引き”してしまっているんだよね
「V×Wの次元も、dimV×dimWだよ」って、
数学科出身者全員、”ドン引き”どころか”超弩級失笑”
ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
800１３２人目の素数さん
2020/10/01(木) 20:29:21.00ID:YkS1knOQ 今日のまとめ
１．V×Wに線型空間の構造を入れたものは、直和V⊕W
２．V×WからVとWのテンソル積V⊗Wへの写像は双線型写像であって、
線型写像ではない つまりV×WはV⊗Wの線型部分空間ではない
１．V×Wに線型空間の構造を入れたものは、直和V⊕W
２．V×WからVとWのテンソル積V⊗Wへの写像は双線型写像であって、
線型写像ではない つまりV×WはV⊗Wの線型部分空間ではない
801現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/01(木) 21:09:04.57ID:puwLBl/N >>793
>>あんた、勘違いしているよ
>>後者V×Wの次元も、dimV×dimWだよ
>V × W の変数の値はdimV+dimW個しかない
あーらら、頑張るねｗ
だが、あんたの負けだな
下記の田丸先生読んでみな（＾＾
「定義 1.3 U0 を実線型空間, ι : V × W → U0 を双線型写像とする. 」
「命題 1.7 {v1, . . . , vn} を V の基底, {w1, . . . , wm} を W の基底とする.
また, U0 :=R^mn とおき, ι : V × W → U0 を双線型写像とする.
このとき, もし {ι(vi, wj )} が U0 の基底ならば, (U0, ι) は V と W のテンソル積である.」
だよ
つまり、V × Wは、R^mn つまり、mとnの積の次元なのですよ（＾＾；
（参考 >>716より）
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~tamaru/files/14gairon.pdf
数学概論 (2014年度前期) 講義資料 数学専攻 M1 対象, 輪講科目. 田丸 広島大（今は大阪市大）
(抜粋)
Ｐ2
定義 1.3 U0 を実線型空間, ι : V × W → U0 を双線型写像とする. このとき (U0, ι) が
V と W の テンソル積 であるとは, 次が成り立つこと:
1.1.2 基底を用いた構成
ここでは, テンソル積を基底を用いて構成する.
命題 1.7 {v1, . . . , vn} を V の基底, {w1, . . . , wm} を W の基底とする.
また, U0 :=R^mn とおき, ι : V × W → U0 を双線型写像とする.
このとき, もし {ι(vi, wj )} が U0 の基底ならば, (U0, ι) は V と W のテンソル積である.
この命題の仮定をみたす ι が存在することは容易に分かるので, テンソル積が存在する
ことが従う.
系 1.8 dim(V ◯x W) = dim V ・ dim W. とくに {v1, . . . , vn}, {w1, . . . , wm} をそれぞれ
V , W の基底とすると, {vi ◯x wj} は V ◯x W の基底である.
これでテンソル積の次元が分かった. 次は, 次元を用いた判定条件.
(引用終り)
以上
>>あんた、勘違いしているよ
>>後者V×Wの次元も、dimV×dimWだよ
>V × W の変数の値はdimV+dimW個しかない
あーらら、頑張るねｗ
だが、あんたの負けだな
下記の田丸先生読んでみな（＾＾
「定義 1.3 U0 を実線型空間, ι : V × W → U0 を双線型写像とする. 」
「命題 1.7 {v1, . . . , vn} を V の基底, {w1, . . . , wm} を W の基底とする.
また, U0 :=R^mn とおき, ι : V × W → U0 を双線型写像とする.
このとき, もし {ι(vi, wj )} が U0 の基底ならば, (U0, ι) は V と W のテンソル積である.」
だよ
つまり、V × Wは、R^mn つまり、mとnの積の次元なのですよ（＾＾；
（参考 >>716より）
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~tamaru/files/14gairon.pdf
数学概論 (2014年度前期) 講義資料 数学専攻 M1 対象, 輪講科目. 田丸 広島大（今は大阪市大）
(抜粋)
Ｐ2
定義 1.3 U0 を実線型空間, ι : V × W → U0 を双線型写像とする. このとき (U0, ι) が
V と W の テンソル積 であるとは, 次が成り立つこと:
1.1.2 基底を用いた構成
ここでは, テンソル積を基底を用いて構成する.
命題 1.7 {v1, . . . , vn} を V の基底, {w1, . . . , wm} を W の基底とする.
また, U0 :=R^mn とおき, ι : V × W → U0 を双線型写像とする.
このとき, もし {ι(vi, wj )} が U0 の基底ならば, (U0, ι) は V と W のテンソル積である.
この命題の仮定をみたす ι が存在することは容易に分かるので, テンソル積が存在する
ことが従う.
系 1.8 dim(V ◯x W) = dim V ・ dim W. とくに {v1, . . . , vn}, {w1, . . . , wm} をそれぞれ
V , W の基底とすると, {vi ◯x wj} は V ◯x W の基底である.
これでテンソル積の次元が分かった. 次は, 次元を用いた判定条件.
(引用終り)
以上
802現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/01(木) 21:21:58.86ID:puwLBl/N >>796
>＞…氏は、>>778のV×Wに属する話だよ。”商”には落とさない
>だいたい、「商」ってなんだ？ 意味が分らん
何が分からないのかな？
下記のwikipediaの通りだよ
テンソル積、商としての定義より
体 K 上のベクトル空間 V, W
デカルト積 V × W の生成する K-上の自由線型空間 F(V × W)
「・・同値関係 ～ による商として定義することができる」とあるよ（下記）
デカルト積 V × Wにおいて、Vがm次元、Wがn次元として、m+n次元にしかならないとしたら
デカルト積 V × Wの商から、テンソル積 U = V ◯x W での、積のmn次元が出るわけないでしょ
デカルト積 V × Wが、積のmn次元だから、テンソル積 U = V ◯x W での、積のmn次元が出るんだよｗ（＾＾；
（参考 >>778より）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E7%A9%8D
テンソル積
(抜粋)
定義
商としての定義
一般に、体 K 上のベクトル空間 V, W が与えられたとき、それらのテンソル積 U = V ◯x W は、デカルト積 V × W の生成する K-上の自由線型空間 F(V × W) の、
(v_1,w)+(v_2,w)～ (v_1+v_2,w)
&(v_1,w) + (v_2,w) ～ (v_1 + v_2,w) (v, v_1, v_2 ∈ V; w, w_1, w_2 ∈ W; c ∈ K)
&c(v,w) ～ (cv,w) ～ (v,cw)
で与えられる同値関係 ～ による商として定義することができる。
これは F(V × W) における演算から誘導される演算によりベクトル空間を成す。
(引用終り)
以上
>＞…氏は、>>778のV×Wに属する話だよ。”商”には落とさない
>だいたい、「商」ってなんだ？ 意味が分らん
何が分からないのかな？
下記のwikipediaの通りだよ
テンソル積、商としての定義より
体 K 上のベクトル空間 V, W
デカルト積 V × W の生成する K-上の自由線型空間 F(V × W)
「・・同値関係 ～ による商として定義することができる」とあるよ（下記）
デカルト積 V × Wにおいて、Vがm次元、Wがn次元として、m+n次元にしかならないとしたら
デカルト積 V × Wの商から、テンソル積 U = V ◯x W での、積のmn次元が出るわけないでしょ
デカルト積 V × Wが、積のmn次元だから、テンソル積 U = V ◯x W での、積のmn次元が出るんだよｗ（＾＾；
（参考 >>778より）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E7%A9%8D
テンソル積
(抜粋)
定義
商としての定義
一般に、体 K 上のベクトル空間 V, W が与えられたとき、それらのテンソル積 U = V ◯x W は、デカルト積 V × W の生成する K-上の自由線型空間 F(V × W) の、
(v_1,w)+(v_2,w)～ (v_1+v_2,w)
&(v_1,w) + (v_2,w) ～ (v_1 + v_2,w) (v, v_1, v_2 ∈ V; w, w_1, w_2 ∈ W; c ∈ K)
&c(v,w) ～ (cv,w) ～ (v,cw)
で与えられる同値関係 ～ による商として定義することができる。
これは F(V × W) における演算から誘導される演算によりベクトル空間を成す。
(引用終り)
以上
803１３２人目の素数さん
2020/10/01(木) 22:00:50.31ID:YkS1knOQ >>801
>あーらら、頑張るね
あーらら、頑張るね idiot
でも頑張れば頑張るほど間違い続けて馬鹿にされるよ idiot
>U0 :=R^mn とおき, ι :V × W → U0 を双線型写像とする
ιは双線型写像であって線型写像ではないのは分かってるかな？
つまりι（V × W ）は線形空間ではない
>もし {ι(vi, wj )} が U0 の基底ならば,
>(U0, ι) は V と W のテンソル積である
もし{ι(vi, wj )} が U0 の基底であっても
{ι(vi, wj )} が ι（V × W ）の全ての元を生成できるわけではない
このことが分からないキミは・・・idiot ！
>つまり、V × Wは、R^mn つまり、mとnの積の次元なのですよ
超特大トンデモ発言 ｷﾀ――(ﾟ∀ﾟ)――!!
V × Wは、R^(m+n) つまり、mとnの和の次元なのだよ
大学に合格できなかった高卒idiot君
>あーらら、頑張るね
あーらら、頑張るね idiot
でも頑張れば頑張るほど間違い続けて馬鹿にされるよ idiot
>U0 :=R^mn とおき, ι :V × W → U0 を双線型写像とする
ιは双線型写像であって線型写像ではないのは分かってるかな？
つまりι（V × W ）は線形空間ではない
>もし {ι(vi, wj )} が U0 の基底ならば,
>(U0, ι) は V と W のテンソル積である
もし{ι(vi, wj )} が U0 の基底であっても
{ι(vi, wj )} が ι（V × W ）の全ての元を生成できるわけではない
このことが分からないキミは・・・idiot ！
>つまり、V × Wは、R^mn つまり、mとnの積の次元なのですよ
超特大トンデモ発言 ｷﾀ――(ﾟ∀ﾟ)――!!
V × Wは、R^(m+n) つまり、mとnの和の次元なのだよ
大学に合格できなかった高卒idiot君
804１３２人目の素数さん
2020/10/01(木) 22:12:33.55ID:YkS1knOQ805１３２人目の素数さん
2020/10/01(木) 22:19:45.24ID:YkS1knOQ そもそも、idiotの君には「自由線型空間」の
「自由」の意味が全く理解できないだろう
自由加群
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%94%B1%E5%8A%A0%E7%BE%A4
「集合 E が与えられたとき、E 上の自由加群とは E を基底 にもつ自由加群である。」
つまり
「デカルト積 V × W の生成する K-上の自由線型空間 F(V × W)」
（正しくはV×W上の自由K-線型空間F(V×W)）
とは、V×Wの任意の元を基底に持つK-線型空間
「自由」の意味が全く理解できないだろう
自由加群
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%94%B1%E5%8A%A0%E7%BE%A4
「集合 E が与えられたとき、E 上の自由加群とは E を基底 にもつ自由加群である。」
つまり
「デカルト積 V × W の生成する K-上の自由線型空間 F(V × W)」
（正しくはV×W上の自由K-線型空間F(V×W)）
とは、V×Wの任意の元を基底に持つK-線型空間
806１３２人目の素数さん
2020/10/01(木) 22:26:02.10ID:YkS1knOQ F(V × W)においては
(v_1,w) (v_2,w) (v_1+v_2,w)
はそれぞれ独立である
つまりF(V × W)の基底は無限にある
(v_1,w) (v_2,w) (v_1+v_2,w)
はそれぞれ独立である
つまりF(V × W)の基底は無限にある
807現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/02(金) 00:02:46.13ID:4l+W3Pp2 >>805-806
(引用開始)
「自由」の意味が全く理解できないだろう
自由加群
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%94%B1%E5%8A%A0%E7%BE%A4
「集合 E が与えられたとき、E 上の自由加群とは E を基底 にもつ自由加群である。」
F(V × W)においては
(v_1,w) (v_2,w) (v_1+v_2,w)
はそれぞれ独立である
つまりF(V × W)の基底は無限にある
(引用終り)
いやいや、おサルの妄想は、面白ね～
統合失調症の妄想って、こんなに面白いことになるのかね？
「つまりF(V × W)の基底は無限にある」って、あらま、突然「基底は無限」になる？ｗ（＾＾；
V × W って、あなた、「V × Wは、R^(m+n) つまり、mとnの和の次元なのだよ」(>>803)と言った尻から、突然「基底は無限」かよ、おいｗ（＾＾
自由加群って、定義としては、下記自由加群wikipedia”R-加群 M が基底をもつとき、M は自由加群であるという[2]。”
ってこと。この話は、過去スレでも議論した
「自由」の意味は、自由加群wikipedia”一般化”のところに図があるから、その周辺を読んでみなよ
それで分かるだろう
で、R-加群は、必ずしも基底を持たないって話だったでしょ
基底を持つ場合を、特に定義したわけですよ、大事だからね
それから、下記 テンソル積 wikipedia「商としての定義
一般に、体 K 上のベクトル空間 V, W が与えられたとき、それらのテンソル積 U = V ◯x W は、デカルト積 V × W の生成する K-上の自由線型空間 F(V × W) 」
は、下記の 自由加群wikipedia「構成
集合 E が与えられたとき、E 上の自由 R-加群を作ることができる」で
集合 E＝ V × W（デカルト積）として、構成される 自由 R-加群として、
単純」に記号F(V × W)を使って”K-上の自由線型空間 F(V × W)”を定義するってことじゃね？ それ以上でも以下でもない（＾＾
つづく
(引用開始)
「自由」の意味が全く理解できないだろう
自由加群
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%94%B1%E5%8A%A0%E7%BE%A4
「集合 E が与えられたとき、E 上の自由加群とは E を基底 にもつ自由加群である。」
F(V × W)においては
(v_1,w) (v_2,w) (v_1+v_2,w)
はそれぞれ独立である
つまりF(V × W)の基底は無限にある
(引用終り)
いやいや、おサルの妄想は、面白ね～
統合失調症の妄想って、こんなに面白いことになるのかね？
「つまりF(V × W)の基底は無限にある」って、あらま、突然「基底は無限」になる？ｗ（＾＾；
V × W って、あなた、「V × Wは、R^(m+n) つまり、mとnの和の次元なのだよ」(>>803)と言った尻から、突然「基底は無限」かよ、おいｗ（＾＾
自由加群って、定義としては、下記自由加群wikipedia”R-加群 M が基底をもつとき、M は自由加群であるという[2]。”
ってこと。この話は、過去スレでも議論した
「自由」の意味は、自由加群wikipedia”一般化”のところに図があるから、その周辺を読んでみなよ
それで分かるだろう
で、R-加群は、必ずしも基底を持たないって話だったでしょ
基底を持つ場合を、特に定義したわけですよ、大事だからね
それから、下記 テンソル積 wikipedia「商としての定義
一般に、体 K 上のベクトル空間 V, W が与えられたとき、それらのテンソル積 U = V ◯x W は、デカルト積 V × W の生成する K-上の自由線型空間 F(V × W) 」
は、下記の 自由加群wikipedia「構成
集合 E が与えられたとき、E 上の自由 R-加群を作ることができる」で
集合 E＝ V × W（デカルト積）として、構成される 自由 R-加群として、
単純」に記号F(V × W)を使って”K-上の自由線型空間 F(V × W)”を定義するってことじゃね？ それ以上でも以下でもない（＾＾
つづく
808現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/02(金) 00:03:14.52ID:4l+W3Pp2 >>807
つづき
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%94%B1%E5%8A%A0%E7%BE%A4
自由加群
(抜粋)
定義
R-加群 M について、集合 E ⊂ M が M の基底であるとは、次の2条件を満たすことである。
1.E は M を生成する。すなわち、M の任意の元は E の元に R の係数をかけたものの有限和である。
2.E は一次独立である。すなわち、任意の E の互いに異なる有限個の元 e_1,e_2,・・・ ,e_n に対して r_1e_1+r_2e_2+・・・ +r_ne_n=0_M であれば、 r_1=r_2=・・・ =r_n=0_R となる。
（ただし 0M は M の零元で、0R は R の零元である。）
R-加群 M が基底をもつとき、M は自由加群であるという[2]。
基底の濃度を自由加群 M のランク（階数）と言い、濃度が有限ならば、M をランク n の自由加群、あるいは単に有限ランクの自由加群と言う。
構成
集合 E が与えられたとき、E 上の自由 R-加群を作ることができる。それは単純に R の|E| 個のコピーの直和であり、しばしば R(E) と表記される。この直和を C(E) と表記し、具体的に構成しよう。
一般化
より弱い一般化として平坦加群やねじれのない加群がある。平坦加群はテンソル積が完全列を保つという性質をもつ。環が特別な性質をもてば、逆が成り立つことがある。例えば、任意の完全局所デデキント環上のすべてのねじれのない加群は平坦加群、射影加群、自由加群でもある。
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e3/Module_properties_in_commutative_algebra.svg/534px-Module_properties_in_commutative_algebra.svg.png
（参考 >>778より）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E7%A9%8D
テンソル積
(抜粋)
定義
商としての定義
一般に、体 K 上のベクトル空間 V, W が与えられたとき、それらのテンソル積 U = V ◯x W は、デカルト積 V × W の生成する K-上の自由線型空間 F(V × W)
(引用終り)
以上
つづき
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%94%B1%E5%8A%A0%E7%BE%A4
自由加群
(抜粋)
定義
R-加群 M について、集合 E ⊂ M が M の基底であるとは、次の2条件を満たすことである。
1.E は M を生成する。すなわち、M の任意の元は E の元に R の係数をかけたものの有限和である。
2.E は一次独立である。すなわち、任意の E の互いに異なる有限個の元 e_1,e_2,・・・ ,e_n に対して r_1e_1+r_2e_2+・・・ +r_ne_n=0_M であれば、 r_1=r_2=・・・ =r_n=0_R となる。
（ただし 0M は M の零元で、0R は R の零元である。）
R-加群 M が基底をもつとき、M は自由加群であるという[2]。
基底の濃度を自由加群 M のランク（階数）と言い、濃度が有限ならば、M をランク n の自由加群、あるいは単に有限ランクの自由加群と言う。
構成
集合 E が与えられたとき、E 上の自由 R-加群を作ることができる。それは単純に R の|E| 個のコピーの直和であり、しばしば R(E) と表記される。この直和を C(E) と表記し、具体的に構成しよう。
一般化
より弱い一般化として平坦加群やねじれのない加群がある。平坦加群はテンソル積が完全列を保つという性質をもつ。環が特別な性質をもてば、逆が成り立つことがある。例えば、任意の完全局所デデキント環上のすべてのねじれのない加群は平坦加群、射影加群、自由加群でもある。
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e3/Module_properties_in_commutative_algebra.svg/534px-Module_properties_in_commutative_algebra.svg.png
（参考 >>778より）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E7%A9%8D
テンソル積
(抜粋)
定義
商としての定義
一般に、体 K 上のベクトル空間 V, W が与えられたとき、それらのテンソル積 U = V ◯x W は、デカルト積 V × W の生成する K-上の自由線型空間 F(V × W)
(引用終り)
以上
809現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/02(金) 00:05:36.12ID:4l+W3Pp2 >>807 タイポ訂正
単純」に記号F(V × W)を使って”K-上の自由線型空間 F(V × W)”を定義するってことじゃね？ それ以上でも以下でもない（＾＾
↓
単純に記号F(V × W)を使って”K-上の自由線型空間 F(V × W)”を定義するってことじゃね？ それ以上でも以下でもない（＾＾
”」”を抜く
分かると思うが（＾＾；
単純」に記号F(V × W)を使って”K-上の自由線型空間 F(V × W)”を定義するってことじゃね？ それ以上でも以下でもない（＾＾
↓
単純に記号F(V × W)を使って”K-上の自由線型空間 F(V × W)”を定義するってことじゃね？ それ以上でも以下でもない（＾＾
”」”を抜く
分かると思うが（＾＾；
810１３２人目の素数さん
2020/10/02(金) 02:46:17.34ID:joDAzeh/811１３２人目の素数さん
2020/10/02(金) 02:50:54.29ID:7SeDt20X ガロアを無視しちゃなんねぇ。
舘野 鴻：「がろあむし」偕成社 (2020/Sep)
40p．2200円
http://www.kaiseisha.co.jp/books/9784034370803
実在の虫の一生 淡々と
日経夕刊 10/1 (竹内 薫が選ぶ3冊)
舘野 鴻：「がろあむし」偕成社 (2020/Sep)
40p．2200円
http://www.kaiseisha.co.jp/books/9784034370803
実在の虫の一生 淡々と
日経夕刊 10/1 (竹内 薫が選ぶ3冊)
812現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/02(金) 06:40:50.69ID:4l+W3Pp2 >>807 訂正
集合 E＝ V × W（デカルト積）として、構成される 自由 R-加群として、
↓
集合 E＝ V × W（デカルト積）の基底 として、構成される 自由 R-加群として、
だな
E＝ V × W（デカルト積）ではないですね
補足
１．V × W（デカルト積）で、>>801の田丸先生より
{v1, . . . , vn} を V の基底, {w1, . . . , wm} を W の基底とする.
２．デカルト積の定義（下記）より、基底のペア (vi, wj)∈V × W となる
３．この基底のペア(vi, wj)は、mn個存在する
４．この基底のペア(vi, wj)で、ベクトル空間を考えると、V × W（デカルト積）はmn次元のベクトル空間になる
５．テンソル積の空間は、V × W（デカルト積）全体ではなく、下記直積 (ベクトル)wikipediaの 二つのベクトル v∈V、w∈ のテンソル積 v ◯x w から成るものに制限される
（下記「典型的には二つのベクトルのテンソル積を言う。座標ベクトル（英語版）の外積をとった結果は行列になる。」ってことね。（ｍｎ行列全体ではなく、直積 (ベクトル)の形に制限される。詳しくは、直積 (ベクトル)wikipediaをご参照））
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E7%A9%8D%E9%9B%86%E5%90%88
集合のデカルト積（デカルト-せき、英: Cartesian product）または直積（ちょくせき、英: direct product）、直積集合、または単に積（せき、英: product）、積集合は、集合の集まり（集合族）に対して各集合から一つずつ元をとりだして組にしたもの（元の族）を元として持つ新たな集合である。
具体的に二つの集合 A, B に対し、それらの直積とはそれらの任意の元 a ∈ A, b ∈ B の順序対 (a, b) 全てからなる集合をいう[1]。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E7%A9%8D_(%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB)
直積 (ベクトル)
線型代数学における直積（direct product[1]）あるいは外積（outer product）は典型的には二つのベクトルのテンソル積を言う。座標ベクトル（英語版）の外積をとった結果は行列になる。
(引用終り)
以上
集合 E＝ V × W（デカルト積）として、構成される 自由 R-加群として、
↓
集合 E＝ V × W（デカルト積）の基底 として、構成される 自由 R-加群として、
だな
E＝ V × W（デカルト積）ではないですね
補足
１．V × W（デカルト積）で、>>801の田丸先生より
{v1, . . . , vn} を V の基底, {w1, . . . , wm} を W の基底とする.
２．デカルト積の定義（下記）より、基底のペア (vi, wj)∈V × W となる
３．この基底のペア(vi, wj)は、mn個存在する
４．この基底のペア(vi, wj)で、ベクトル空間を考えると、V × W（デカルト積）はmn次元のベクトル空間になる
５．テンソル積の空間は、V × W（デカルト積）全体ではなく、下記直積 (ベクトル)wikipediaの 二つのベクトル v∈V、w∈ のテンソル積 v ◯x w から成るものに制限される
（下記「典型的には二つのベクトルのテンソル積を言う。座標ベクトル（英語版）の外積をとった結果は行列になる。」ってことね。（ｍｎ行列全体ではなく、直積 (ベクトル)の形に制限される。詳しくは、直積 (ベクトル)wikipediaをご参照））
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E7%A9%8D%E9%9B%86%E5%90%88
集合のデカルト積（デカルト-せき、英: Cartesian product）または直積（ちょくせき、英: direct product）、直積集合、または単に積（せき、英: product）、積集合は、集合の集まり（集合族）に対して各集合から一つずつ元をとりだして組にしたもの（元の族）を元として持つ新たな集合である。
具体的に二つの集合 A, B に対し、それらの直積とはそれらの任意の元 a ∈ A, b ∈ B の順序対 (a, b) 全てからなる集合をいう[1]。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E7%A9%8D_(%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB)
直積 (ベクトル)
線型代数学における直積（direct product[1]）あるいは外積（outer product）は典型的には二つのベクトルのテンソル積を言う。座標ベクトル（英語版）の外積をとった結果は行列になる。
(引用終り)
以上
813現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/02(金) 07:01:21.72ID:4l+W3Pp2 >>812 補足
ここらは、
手元に、雪江明彦 代数学2があるけど、Ｐ127 ”2.10 テンソル積”を併読すると、よく分かると思う
雪江明彦では、テンソル積の普遍性を使って、テンソル積を定義している
よく言われるが、数学では”ある数学の対象Ａが、ある性質を持つ”ということが分かると
逆に、”ある性質を持つ 数学的対象Ａ’ ”という形で、対象Ａを抽象的に定義することがよくあるという
”テンソル積の普遍性を使って、テンソル積を定義している”というのも
その典型例かもね（＾＾
ここらは、
手元に、雪江明彦 代数学2があるけど、Ｐ127 ”2.10 テンソル積”を併読すると、よく分かると思う
雪江明彦では、テンソル積の普遍性を使って、テンソル積を定義している
よく言われるが、数学では”ある数学の対象Ａが、ある性質を持つ”ということが分かると
逆に、”ある性質を持つ 数学的対象Ａ’ ”という形で、対象Ａを抽象的に定義することがよくあるという
”テンソル積の普遍性を使って、テンソル積を定義している”というのも
その典型例かもね（＾＾
814現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/02(金) 11:02:11.23ID:lW4e9AjH やれやれ
「V × Wは、R^(m+n) つまり、mとnの和の次元なのだよ 」（>>803）
「自由加群 デカルト積 V × W の生成する K-上の自由線型空間 F(V × W) とは、V×Wの任意の元を基底に持つK-線型空間 つまりF(V × W)の基底は無限にある」（>>805-806）
この二つの発言もひどいな(>>812-813)
下記もひどいけどな～（＾＾；
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
って、みんな、”ドン引き”してしまっているんだよね（＾＾
おいおい
”・内積や行列式がテンソルであることが理解できない
・機械工学やらオペレーションズリサーチやらのテンソルが
数学におけるテンソルの定義を満たしてることも理解できない
こういう人を、我々、数学科で学んだ”神”はこう呼ぶ
idiot”（>>640）って、なに言ってんだろうね？
てめえ、ベクトル空間のデカルト積 V × W の次元さえ理解できていないのに
「数学科で学んだ”神”」を自称するかね～？ｗ（＾＾
”オペレーションズリサーチ”の理解もあやしいな
普通は、”オペレーションズリサーチ”には、テンソルは出てこないよ（テンソルを使ってはいけないことはないけども）
いまどきのAIとかビッグデータと、昔からの”オペレーションズリサーチ”とを混同しているようだな（＾＾；
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%83%9A%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%A7%E3%83%B3%E3%82%BA%E3%83%BB%E3%83%AA%E3%82%B5%E3%83%BC%E3%83%81
オペレーションズ・リサーチ
(引用終り)
以上
「V × Wは、R^(m+n) つまり、mとnの和の次元なのだよ 」（>>803）
「自由加群 デカルト積 V × W の生成する K-上の自由線型空間 F(V × W) とは、V×Wの任意の元を基底に持つK-線型空間 つまりF(V × W)の基底は無限にある」（>>805-806）
この二つの発言もひどいな(>>812-813)
下記もひどいけどな～（＾＾；
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
って、みんな、”ドン引き”してしまっているんだよね（＾＾
おいおい
”・内積や行列式がテンソルであることが理解できない
・機械工学やらオペレーションズリサーチやらのテンソルが
数学におけるテンソルの定義を満たしてることも理解できない
こういう人を、我々、数学科で学んだ”神”はこう呼ぶ
idiot”（>>640）って、なに言ってんだろうね？
てめえ、ベクトル空間のデカルト積 V × W の次元さえ理解できていないのに
「数学科で学んだ”神”」を自称するかね～？ｗ（＾＾
”オペレーションズリサーチ”の理解もあやしいな
普通は、”オペレーションズリサーチ”には、テンソルは出てこないよ（テンソルを使ってはいけないことはないけども）
いまどきのAIとかビッグデータと、昔からの”オペレーションズリサーチ”とを混同しているようだな（＾＾；
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%83%9A%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%A7%E3%83%B3%E3%82%BA%E3%83%BB%E3%83%AA%E3%82%B5%E3%83%BC%E3%83%81
オペレーションズ・リサーチ
(引用終り)
以上
815１３２人目の素数さん
2020/10/02(金) 19:17:30.66ID:GDNIEcV7 >>807
>「つまりF(V × W)の基底は無限にある」って、あらま、突然「基底は無限」になる？
（中略）
>集合 E＝ V × W（デカルト積）として、構成される 自由 R-加群として、
>単純に記号F(V × W)を使って”K-上の自由線型空間 F(V × W)”を定義する
>ってことじゃね？
いちいち？で疑問形で終わるって、キミ自分に全然自信ないの？
さすが大学に受からなかった高卒だな
大卒で数学理解してれば、？じゃなく！で言い切れる
言い切れないキミは、数学界の落伍者！
>>808
>R-加群 M について、集合 E ⊂ M が M の基底であるとは、次の2条件を満たすことである。
>1.E は M を生成する。すなわち、M の任意の元は E の元に R の係数をかけたものの有限和である。
>2.E は一次独立である。すなわち、任意の E の互いに異なる有限個の元 e_1,e_2,・・・ ,e_n に対して
>r_1e_1+r_2e_2+・・・ +r_ne_n=0_M であれば、 r_1=r_2=・・・ =r_n=0_R となる。
>（ただし 0M は M の零元で、0R は R の零元である。）
で、E=V×Wとしたとき、V×Wって有限集合かい？違うだろ？
じゃ、基底は無限にある！
無限にあることも分からず、無限にある？と疑うキミは完全なidiot！！！
>「つまりF(V × W)の基底は無限にある」って、あらま、突然「基底は無限」になる？
（中略）
>集合 E＝ V × W（デカルト積）として、構成される 自由 R-加群として、
>単純に記号F(V × W)を使って”K-上の自由線型空間 F(V × W)”を定義する
>ってことじゃね？
いちいち？で疑問形で終わるって、キミ自分に全然自信ないの？
さすが大学に受からなかった高卒だな
大卒で数学理解してれば、？じゃなく！で言い切れる
言い切れないキミは、数学界の落伍者！
>>808
>R-加群 M について、集合 E ⊂ M が M の基底であるとは、次の2条件を満たすことである。
>1.E は M を生成する。すなわち、M の任意の元は E の元に R の係数をかけたものの有限和である。
>2.E は一次独立である。すなわち、任意の E の互いに異なる有限個の元 e_1,e_2,・・・ ,e_n に対して
>r_1e_1+r_2e_2+・・・ +r_ne_n=0_M であれば、 r_1=r_2=・・・ =r_n=0_R となる。
>（ただし 0M は M の零元で、0R は R の零元である。）
で、E=V×Wとしたとき、V×Wって有限集合かい？違うだろ？
じゃ、基底は無限にある！
無限にあることも分からず、無限にある？と疑うキミは完全なidiot！！！
816１３２人目の素数さん
2020/10/02(金) 19:43:47.67ID:GDNIEcV7 >>812
>集合 E＝ V × W（デカルト積）として、構成される 自由 R-加群として、
> ↓
>集合 E＝ V × W（デカルト積）の基底 として、構成される 自由 R-加群として、
>だな
>E＝ V × W（デカルト積）ではないですね
はい、キミは日本語も読めないidiot 確定！！！
E＝ V × W（デカルト積）
「集合 E＝ V × W（デカルト積）として、構成される 自由 R-加群として、」
のみが正しい文章
そもそも V×W というだけでは線型空間にならない
V×Wにたいして
(v1,w1)+(v2,w2)=(v1+v2,w1+w2)
とかいう演算を入れるなら
線型空間の直和V⊕Wとなる、
その次元は dim V + dim W
>集合 E＝ V × W（デカルト積）として、構成される 自由 R-加群として、
> ↓
>集合 E＝ V × W（デカルト積）の基底 として、構成される 自由 R-加群として、
>だな
>E＝ V × W（デカルト積）ではないですね
はい、キミは日本語も読めないidiot 確定！！！
E＝ V × W（デカルト積）
「集合 E＝ V × W（デカルト積）として、構成される 自由 R-加群として、」
のみが正しい文章
そもそも V×W というだけでは線型空間にならない
V×Wにたいして
(v1,w1)+(v2,w2)=(v1+v2,w1+w2)
とかいう演算を入れるなら
線型空間の直和V⊕Wとなる、
その次元は dim V + dim W
817１３２人目の素数さん
2020/10/02(金) 19:44:14.30ID:GDNIEcV7 >>812
>１．V × W（デカルト積）で、
> {v1, . . . , vn} を V の基底, {w1, . . . , wm} を W の基底とする.
結構
>２．デカルト積の定義（下記）より、基底のペア (vi, wj)∈V × W となる
然り
>３．この基底のペア(vi, wj)は、mn個存在する
然り
>４．この基底のペア(vi, wj)で、ベクトル空間を考えると、V × W（デカルト積）はmn次元のベクトル空間になる
否！キミはそこで間違った！気違った！発狂した！トンデモになった！
まず 基底のペア(vi, wj)を「新たな基底」として「（VでもWでもない）新たなベクトル空間」を考えるのはいい
し・か・し、その「新たなベクトル空間」は V × W（デカルト積）ではない！V⊗W （テンソル積）である
なぜ、そう言い切れるか？それは例えば
(v1,w1)+(v2､w2)は、双線型性を保持する+の定義では
(v,w)として表せず、したがってV × Wの要素ではないからだ
ウソだというなら、(v1,w1)+(v2､w2)=(v､w)となるv,wを、
v1,v2,w1,w2を使ってあらわしてくれ
キミがどんな式を書いてもその誤りを即座に指摘して
キミを焼き🐓にしてみせようｗ
>５．テンソル積の空間は、V × W（デカルト積）全体ではなく、
>二つのベクトル v∈V、w∈W のテンソル積 v ◯x w から成るものに制限される
逆だ！キミは日本語も正しく読めないidiotだな
二つのベクトル v∈V、w∈W のテンソル積 v⊗w からなる集合こそ
V × W（デカルト積）からV⊗Wへの双線型写像の像
そしてそれは、集合Vと集合Wのテンソル積 V⊗W の真部分集合
つまりt∈V⊗Wのほとんど全てはv⊗wとは表せない
（v1⊗w1+v2⊗w2 のような形には表せるが、v⊗wにはできない）
>１．V × W（デカルト積）で、
> {v1, . . . , vn} を V の基底, {w1, . . . , wm} を W の基底とする.
結構
>２．デカルト積の定義（下記）より、基底のペア (vi, wj)∈V × W となる
然り
>３．この基底のペア(vi, wj)は、mn個存在する
然り
>４．この基底のペア(vi, wj)で、ベクトル空間を考えると、V × W（デカルト積）はmn次元のベクトル空間になる
否！キミはそこで間違った！気違った！発狂した！トンデモになった！
まず 基底のペア(vi, wj)を「新たな基底」として「（VでもWでもない）新たなベクトル空間」を考えるのはいい
し・か・し、その「新たなベクトル空間」は V × W（デカルト積）ではない！V⊗W （テンソル積）である
なぜ、そう言い切れるか？それは例えば
(v1,w1)+(v2､w2)は、双線型性を保持する+の定義では
(v,w)として表せず、したがってV × Wの要素ではないからだ
ウソだというなら、(v1,w1)+(v2､w2)=(v､w)となるv,wを、
v1,v2,w1,w2を使ってあらわしてくれ
キミがどんな式を書いてもその誤りを即座に指摘して
キミを焼き🐓にしてみせようｗ
>５．テンソル積の空間は、V × W（デカルト積）全体ではなく、
>二つのベクトル v∈V、w∈W のテンソル積 v ◯x w から成るものに制限される
逆だ！キミは日本語も正しく読めないidiotだな
二つのベクトル v∈V、w∈W のテンソル積 v⊗w からなる集合こそ
V × W（デカルト積）からV⊗Wへの双線型写像の像
そしてそれは、集合Vと集合Wのテンソル積 V⊗W の真部分集合
つまりt∈V⊗Wのほとんど全てはv⊗wとは表せない
（v1⊗w1+v2⊗w2 のような形には表せるが、v⊗wにはできない）
818１３２人目の素数さん
2020/10/02(金) 19:57:21.04ID:GDNIEcV7 >>813
キミは、普遍性が全然わかってない
普遍性とは
V×W→U が双線型写像なら
V×W→V⊗W によって、一意的に
V⊗W→U という線型写像が構成できる
ということ
その際用いられる、双線型写像
V×W→V⊗W は
１．全射ではない！
２．単射でもない！
１は
「ベクトル同士のテンソル積で実現できる行列の行列式は０だが
行列の中には行列式が０でない者が存在する」
ことで示せる
２は
「ベクトルv⊗wは、スカラーが体を成す場合
0でない任意のスカラーaについて
av⊗(1/a)w 及び (1/a)v⊗aw と等しい」
ことで示せる
キミは、普遍性が全然わかってない
普遍性とは
V×W→U が双線型写像なら
V×W→V⊗W によって、一意的に
V⊗W→U という線型写像が構成できる
ということ
その際用いられる、双線型写像
V×W→V⊗W は
１．全射ではない！
２．単射でもない！
１は
「ベクトル同士のテンソル積で実現できる行列の行列式は０だが
行列の中には行列式が０でない者が存在する」
ことで示せる
２は
「ベクトルv⊗wは、スカラーが体を成す場合
0でない任意のスカラーaについて
av⊗(1/a)w 及び (1/a)v⊗aw と等しい」
ことで示せる
819現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/02(金) 20:49:28.19ID:4l+W3Pp2 >>815-818
おサル頑張るね～ｗ（＾＾；
だが、その屁理屈のクソ粘りをやればやるほど、お前さんの数学の才能の無さ、理解の無さ、結果としての数学科のオチコボレってことが、ハッキリするだけだよ
まあ、適当に遊んでやるぜよ（＾＾
勝負は、とっくについている
こちらの勝ちってねｗｗ（＾＾；
(>>815より)
>>集合 E＝ V × W（デカルト積）として、構成される 自由 R-加群として、
>>単純に記号F(V × W)を使って”K-上の自由線型空間 F(V × W)”を定義する
>>ってことじゃね？
>いちいち？で疑問形で終わるって、キミ自分に全然自信ないの？
>さすが大学に受からなかった高卒だな
疑問形で終わるのは、おれはwikipediaの記述を100％していないからだよ
wikipediaの記述が間違っていることも、結構あるからね
(>>817より)
>> ４．この基底のペア(vi, wj)で、ベクトル空間を考えると、V × W（デカルト積）はmn次元のベクトル空間になる
>否！キミはそこで間違った！気違った！発狂した！トンデモになった！
>まず 基底のペア(vi, wj)を「新たな基底」として「（VでもWでもない）新たなベクトル空間」を考えるのはいい
>し・か・し、その「新たなベクトル空間」は V × W（デカルト積）ではない！V⊗W （テンソル積）である
違うだろ？ 田丸先生のは、下記の冒頭 「話を簡単にするために, 有限次元の実線型空間のみを扱う.」とあるよ
つまり、係数（スカラー）が実数（体）だから、ベクトル空間だよ（下記 環上の加群 wikipediaご参照）
この議論は、過去のスレで行列の零因子との関係でやったでしょ。忘れたらしいなｗ（＾＾；
つづく
おサル頑張るね～ｗ（＾＾；
だが、その屁理屈のクソ粘りをやればやるほど、お前さんの数学の才能の無さ、理解の無さ、結果としての数学科のオチコボレってことが、ハッキリするだけだよ
まあ、適当に遊んでやるぜよ（＾＾
勝負は、とっくについている
こちらの勝ちってねｗｗ（＾＾；
(>>815より)
>>集合 E＝ V × W（デカルト積）として、構成される 自由 R-加群として、
>>単純に記号F(V × W)を使って”K-上の自由線型空間 F(V × W)”を定義する
>>ってことじゃね？
>いちいち？で疑問形で終わるって、キミ自分に全然自信ないの？
>さすが大学に受からなかった高卒だな
疑問形で終わるのは、おれはwikipediaの記述を100％していないからだよ
wikipediaの記述が間違っていることも、結構あるからね
(>>817より)
>> ４．この基底のペア(vi, wj)で、ベクトル空間を考えると、V × W（デカルト積）はmn次元のベクトル空間になる
>否！キミはそこで間違った！気違った！発狂した！トンデモになった！
>まず 基底のペア(vi, wj)を「新たな基底」として「（VでもWでもない）新たなベクトル空間」を考えるのはいい
>し・か・し、その「新たなベクトル空間」は V × W（デカルト積）ではない！V⊗W （テンソル積）である
違うだろ？ 田丸先生のは、下記の冒頭 「話を簡単にするために, 有限次元の実線型空間のみを扱う.」とあるよ
つまり、係数（スカラー）が実数（体）だから、ベクトル空間だよ（下記 環上の加群 wikipediaご参照）
この議論は、過去のスレで行列の零因子との関係でやったでしょ。忘れたらしいなｗ（＾＾；
つづく
820現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/02(金) 20:50:08.36ID:4l+W3Pp2 >>819
つづき
（参考 >>716より）
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~tamaru/files/14gairon.pdf
数学概論 (2014年度前期) 講義資料 数学専攻 M1 対象, 輪講科目. 田丸 広島大（今は大阪市大）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0%E4%B8%8A%E3%81%AE%E5%8A%A0%E7%BE%A4
環上の加群
(抜粋)
環上の加群（かぐん、英: module）とは、ベクトル空間を一般化した概念で、係数（スカラー）を体の元とする代わりに、より一般の環の元としたものである。
ベクトル空間においては、スカラーの全体は体を成し、ベクトルに対して分配律などの特定の条件を満足するスカラー乗法によって作用している。
例
・K が体ならば、「K-線型空間」（K 上のベクトル空間）の概念と K-加群の概念は一致する。
(引用終り)
以上
つづき
（参考 >>716より）
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~tamaru/files/14gairon.pdf
数学概論 (2014年度前期) 講義資料 数学専攻 M1 対象, 輪講科目. 田丸 広島大（今は大阪市大）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0%E4%B8%8A%E3%81%AE%E5%8A%A0%E7%BE%A4
環上の加群
(抜粋)
環上の加群（かぐん、英: module）とは、ベクトル空間を一般化した概念で、係数（スカラー）を体の元とする代わりに、より一般の環の元としたものである。
ベクトル空間においては、スカラーの全体は体を成し、ベクトルに対して分配律などの特定の条件を満足するスカラー乗法によって作用している。
例
・K が体ならば、「K-線型空間」（K 上のベクトル空間）の概念と K-加群の概念は一致する。
(引用終り)
以上
821１３２人目の素数さん
2020/10/02(金) 21:07:15.47ID:GDNIEcV7 >>819
🐓こそ諦めが悪い
ま、キミがいくらもっともらしい口を叩いても
数学の才能の無さ、理解の無さ、
大学にも受からん正真正銘のオチコボレという現実が
ハッキリクッキリ露見するってもんだ
🔥🔥🔥🔥🔥🔥🔥🔥🔥🔥🔥🔥🔥🔥🔥🔥🔥🔥
さて、今日も哺乳類にすらなれない🐓をオチョクルとするか
🐓相手に連戦連勝ってのも、腐れアジアの出っ歯メガネ野郎こと
弱小日本軍を焼き尽くす米軍みたいで実に大人気ないけどな
＞疑問形で終わるのは、おれはwikipediaの記述を100％「理解」していないからだよ
そりゃそうだろ Fラン大学すら受からん正真正銘のidiotだからな
＞wikipediaの記述が間違っていることも、結構あるからね
🐓のいうことは、100%間違ってるがね
いまだかつて正しかったためしがない
貴様ほど知的レベルの低いidiotは見たことないね
>>まず 基底のペア(vi, wj)を「新たな基底」として
>>「（VでもWでもない）新たなベクトル空間」を考えるのはいい
>>し・か・し、その「新たなベクトル空間」は
>>V × W（デカルト積）ではない！V⊗W （テンソル積）である
>違うだろ？
ち・が・わ・ん・よ！
>＊＊先生のは、 「話を簡単にするために, 有限次元の実線型空間のみを扱う.」とあるよ
>つまり、係数（スカラー）が実数（体）だから、ベクトル空間だよ
V×Wは無限集合だから、有限次元にならんよ
無限集合を有限集合だといいはる🐓はidiot！
>この議論は、過去のスレで行列の零因子との関係でやったでしょ。忘れたらしいなｗ
🐓は自分の主張が論理に反することに気づけんらしいな
なるほど脳味噌がちょびっとしかないトリ頭のidiot
🐓こそ諦めが悪い
ま、キミがいくらもっともらしい口を叩いても
数学の才能の無さ、理解の無さ、
大学にも受からん正真正銘のオチコボレという現実が
ハッキリクッキリ露見するってもんだ
🔥🔥🔥🔥🔥🔥🔥🔥🔥🔥🔥🔥🔥🔥🔥🔥🔥🔥
さて、今日も哺乳類にすらなれない🐓をオチョクルとするか
🐓相手に連戦連勝ってのも、腐れアジアの出っ歯メガネ野郎こと
弱小日本軍を焼き尽くす米軍みたいで実に大人気ないけどな
＞疑問形で終わるのは、おれはwikipediaの記述を100％「理解」していないからだよ
そりゃそうだろ Fラン大学すら受からん正真正銘のidiotだからな
＞wikipediaの記述が間違っていることも、結構あるからね
🐓のいうことは、100%間違ってるがね
いまだかつて正しかったためしがない
貴様ほど知的レベルの低いidiotは見たことないね
>>まず 基底のペア(vi, wj)を「新たな基底」として
>>「（VでもWでもない）新たなベクトル空間」を考えるのはいい
>>し・か・し、その「新たなベクトル空間」は
>>V × W（デカルト積）ではない！V⊗W （テンソル積）である
>違うだろ？
ち・が・わ・ん・よ！
>＊＊先生のは、 「話を簡単にするために, 有限次元の実線型空間のみを扱う.」とあるよ
>つまり、係数（スカラー）が実数（体）だから、ベクトル空間だよ
V×Wは無限集合だから、有限次元にならんよ
無限集合を有限集合だといいはる🐓はidiot！
>この議論は、過去のスレで行列の零因子との関係でやったでしょ。忘れたらしいなｗ
🐓は自分の主張が論理に反することに気づけんらしいな
なるほど脳味噌がちょびっとしかないトリ頭のidiot
822１３２人目の素数さん
2020/10/02(金) 21:11:05.97ID:GDNIEcV7 >>822
＞V×Wは無限集合だから、有限次元にならんよ
idiotにも分かるようにいってやろう
V×Wは無限集合だから、V×Wの要素それぞれが基底となる線型空間は
決して有限次元にはなり得んよ
🐓は負けた
しかも別に俺が負かしたわけではない
勝手にオウンゴールで自爆したｗ
恨むなら自分の思考力の無さを恨めｗ
＞V×Wは無限集合だから、有限次元にならんよ
idiotにも分かるようにいってやろう
V×Wは無限集合だから、V×Wの要素それぞれが基底となる線型空間は
決して有限次元にはなり得んよ
🐓は負けた
しかも別に俺が負かしたわけではない
勝手にオウンゴールで自爆したｗ
恨むなら自分の思考力の無さを恨めｗ
823１３２人目の素数さん
2020/10/02(金) 21:19:23.12ID:GDNIEcV7 ◆yH25M02vWFhP は自信満々で発した言葉が
悉く初歩的レベルで間違ってる
ここまで劣悪なidiotは珍しい
思考力がないのみならず、直感力すらない
数学？(ヾﾉ･∀･`)ﾑﾘﾑﾘ
悉く初歩的レベルで間違ってる
ここまで劣悪なidiotは珍しい
思考力がないのみならず、直感力すらない
数学？(ヾﾉ･∀･`)ﾑﾘﾑﾘ
824現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/02(金) 21:22:31.45ID:4l+W3Pp2 >>819
>この議論は、過去のスレで行列の零因子との関係でやったでしょ。忘れたらしいなｗ（＾＾；
過去スレで、戸松 玲治先生、行列単位 Eijの議論あったよね
で、行列単位 wikipedia 「体 K 係数の n × m 行列全体は K-ベクトル空間であり、nm 個の行列単位はその基底となる。」とある
忘れたらしいなｗ（＾＾；
純粋・応用数学（含むガロア理論）3
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/428
428 自分返信：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 投稿日：2020/08/19(水)
https://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/rto/lin1/L1.pdf
線形代数学 I 及び演習（演習） No.1 9 月 16 日配布 担当：戸松 玲治
(抜粋)
P1
(i, j) 成分のみ 1, 残りは 0 という行列を Eij と書く. これを行列単位という
問題 1 (1pt.) 行列単位をすべて集めたもの Eij^n i,j=1 は, ベクトル空間 Mn(K) の基底であることを示せ.
P2
問題 2 (2pt.) Mn(K) の行列単位 Eij^n i,j=1 に対して, 次が成り立つことを示せ:
EijEkl = δj,k Eil.
つまり二つの行列単位を掛けると,
真ん中の二つの文字が異なれば 0 になり,
同じであればそれが縮約された行列単位になる.
(引用終り)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%8D%98%E4%BD%8D
行列単位
(抜粋)
線型代数学や、環と加群の理論において、行列単位（ぎょうれつたんい、英: matrix unit）とは、ただ 1 つの成分が 1 で残りの成分が全て 0 である行列のことである。(i, j) 成分が 1 の行列単位は Eij などと書かれる。
体 K 係数の n × m 行列全体は K-ベクトル空間であり、nm 個の行列単位はその基底となる。
行列 M = (mij) に対して、Eij?M?Ekl = mjk?E?il が成り立つ（ただし行列のサイズは積が定義されるようなものとする）。とくに、行列単位同士の積について、Eij?Ekl は j = k のとき Eil で、j ≠ k のとき 0 である：
E_ijE_kl=δ_jkE_il
ここで、δjk はクロネッカーのデルタである。
(引用終り)
以上
>この議論は、過去のスレで行列の零因子との関係でやったでしょ。忘れたらしいなｗ（＾＾；
過去スレで、戸松 玲治先生、行列単位 Eijの議論あったよね
で、行列単位 wikipedia 「体 K 係数の n × m 行列全体は K-ベクトル空間であり、nm 個の行列単位はその基底となる。」とある
忘れたらしいなｗ（＾＾；
純粋・応用数学（含むガロア理論）3
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/428
428 自分返信：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 投稿日：2020/08/19(水)
https://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/rto/lin1/L1.pdf
線形代数学 I 及び演習（演習） No.1 9 月 16 日配布 担当：戸松 玲治
(抜粋)
P1
(i, j) 成分のみ 1, 残りは 0 という行列を Eij と書く. これを行列単位という
問題 1 (1pt.) 行列単位をすべて集めたもの Eij^n i,j=1 は, ベクトル空間 Mn(K) の基底であることを示せ.
P2
問題 2 (2pt.) Mn(K) の行列単位 Eij^n i,j=1 に対して, 次が成り立つことを示せ:
EijEkl = δj,k Eil.
つまり二つの行列単位を掛けると,
真ん中の二つの文字が異なれば 0 になり,
同じであればそれが縮約された行列単位になる.
(引用終り)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%8D%98%E4%BD%8D
行列単位
(抜粋)
線型代数学や、環と加群の理論において、行列単位（ぎょうれつたんい、英: matrix unit）とは、ただ 1 つの成分が 1 で残りの成分が全て 0 である行列のことである。(i, j) 成分が 1 の行列単位は Eij などと書かれる。
体 K 係数の n × m 行列全体は K-ベクトル空間であり、nm 個の行列単位はその基底となる。
行列 M = (mij) に対して、Eij?M?Ekl = mjk?E?il が成り立つ（ただし行列のサイズは積が定義されるようなものとする）。とくに、行列単位同士の積について、Eij?Ekl は j = k のとき Eil で、j ≠ k のとき 0 である：
E_ijE_kl=δ_jkE_il
ここで、δjk はクロネッカーのデルタである。
(引用終り)
以上
825１３２人目の素数さん
2020/10/02(金) 21:26:37.80ID:GDNIEcV7 正規部分群の定義にある、gHg^(-1)=Hを、
「gHg^(-1)がHと同型」と読んだ時点で
なんだこいつ、と思ったが、その後
a∈b ⇔ a⊂b
とか発言するのを見て
「こいつ正真正銘のidiotだな」
と悟った
だから
「内積も行列式もテンソルたり得ない！」
「V×Wに線型空間の構造を入れれば次元はdim V × dim W」
とトンデモ発言を連発してもまったく驚かない
こいつは全く考える能力がなく、×はなんでもかんでも×だと
馬鹿まるだしの連想をする以外できない🐓アタマの持主
大阪にはこんな馬鹿しかいないのか
「gHg^(-1)がHと同型」と読んだ時点で
なんだこいつ、と思ったが、その後
a∈b ⇔ a⊂b
とか発言するのを見て
「こいつ正真正銘のidiotだな」
と悟った
だから
「内積も行列式もテンソルたり得ない！」
「V×Wに線型空間の構造を入れれば次元はdim V × dim W」
とトンデモ発言を連発してもまったく驚かない
こいつは全く考える能力がなく、×はなんでもかんでも×だと
馬鹿まるだしの連想をする以外できない🐓アタマの持主
大阪にはこんな馬鹿しかいないのか
826１３２人目の素数さん
2020/10/02(金) 21:30:01.63ID:GDNIEcV7 >>824
＞「体 K 係数の n × m 行列全体は K-ベクトル空間であり、
＞ nm 個の行列単位はその基底となる。」
然り
し・か・し、任意のｎ×ｍ行列が、
ｎ次元ベクトルとｍ次元ベクトルの
テンソル積として表せるか？
というなら答えは、断じて否だｗ
テンソル積の和、とかではなく、
ただ一つのテンソル積 として表せないなら
V×Wの要素たり得ない
＞「体 K 係数の n × m 行列全体は K-ベクトル空間であり、
＞ nm 個の行列単位はその基底となる。」
然り
し・か・し、任意のｎ×ｍ行列が、
ｎ次元ベクトルとｍ次元ベクトルの
テンソル積として表せるか？
というなら答えは、断じて否だｗ
テンソル積の和、とかではなく、
ただ一つのテンソル積 として表せないなら
V×Wの要素たり得ない
827現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/02(金) 23:32:19.78ID:4l+W3Pp2 >>824
ベクトル空間とテンソル積の関係が
理解できていない、数学科卒オチコボレ生よ、あわれ！ ｗ（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
ベクトル空間
(抜粋)
定義
「体 F 上のベクトル空間 V 」とは、後に述べるような、二種類の演算を備えた集合 V のことである。ベクトル空間 V の元はベクトル (英: vector ) と呼ばれる。体 F は係数体 (英: coefficient field, scalar field ) と呼ばれる。係数体 F の元はスカラー (英: scalar ) あるいは係数 (英: coefficient ) と呼ばれる。
テンソル積
詳細は「ベクトル空間のテンソル積」を参照
同じ体 F 上の二つのベクトル空間 V と W のテンソル積 (英: tensor product ) V ◯xF W あるいは単に V ◯x W は、線型写像を多変数にするような概念の拡張を扱う多重線型代数における中心的な概念のひとつである。写像 g : V × W → X が双線型写像であるとは、g が両変数 v, w の何れについても線型であることを言う。これはつまり、w を固定したとき写像 v → g(v, w) が線型であり、かつ v を固定した時も同様であることを意味する。
テンソル積は以下のような意味で、双線型写像を普遍的に受け入れる特別のベクトル空間である。それはテンソルと呼ばれる記号の（形式的な）有限和
v1 ◯x w1 + v2 ◯x w2 + ... + vn ◯x wn
の全体からなる線型空間で、これらの元は a をスカラーとして
a ・ (v ◯x w) = (a ・ v) ◯x w = v ◯x (a ・ w),
(v1 + v2) ◯x w = v1 ◯x w + v2 ◯x w,
v ◯x (w1 + w2) = v ◯x w1 + v ◯x w2
なる規則で縛られている[44]。
つづく
ベクトル空間とテンソル積の関係が
理解できていない、数学科卒オチコボレ生よ、あわれ！ ｗ（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
ベクトル空間
(抜粋)
定義
「体 F 上のベクトル空間 V 」とは、後に述べるような、二種類の演算を備えた集合 V のことである。ベクトル空間 V の元はベクトル (英: vector ) と呼ばれる。体 F は係数体 (英: coefficient field, scalar field ) と呼ばれる。係数体 F の元はスカラー (英: scalar ) あるいは係数 (英: coefficient ) と呼ばれる。
テンソル積
詳細は「ベクトル空間のテンソル積」を参照
同じ体 F 上の二つのベクトル空間 V と W のテンソル積 (英: tensor product ) V ◯xF W あるいは単に V ◯x W は、線型写像を多変数にするような概念の拡張を扱う多重線型代数における中心的な概念のひとつである。写像 g : V × W → X が双線型写像であるとは、g が両変数 v, w の何れについても線型であることを言う。これはつまり、w を固定したとき写像 v → g(v, w) が線型であり、かつ v を固定した時も同様であることを意味する。
テンソル積は以下のような意味で、双線型写像を普遍的に受け入れる特別のベクトル空間である。それはテンソルと呼ばれる記号の（形式的な）有限和
v1 ◯x w1 + v2 ◯x w2 + ... + vn ◯x wn
の全体からなる線型空間で、これらの元は a をスカラーとして
a ・ (v ◯x w) = (a ・ v) ◯x w = v ◯x (a ・ w),
(v1 + v2) ◯x w = v1 ◯x w + v2 ◯x w,
v ◯x (w1 + w2) = v ◯x w1 + v ◯x w2
なる規則で縛られている[44]。
つづく
828現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/02(金) 23:32:53.36ID:4l+W3Pp2 >>827
つづき
これらの規則は、順序対 (v, w) を v ◯x w へ写す V × W から V ◯x W への写像 f が双線型となることを保証するものである。テンソル積の普遍性とは
任意のベクトル空間 X と任意の双線型写像 g : V × W → X が与えられたとき、写像 u : V ◯x W → X が一意的に存在して、上記の写像 f との合成 u ◯ f が
g : u(v ◯x w) = g(v, w) に等しくなるようにすることができる[45] というものである。
テンソル積の普遍性は対象を、その対象からの、あるいはその対象への写像によって間接的に定義するという（進んだ抽象代数学ではよく用いられる）手法の一例である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Universal_property_tensor_product.png#/media/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Universal_property_tensor_product.png
テンソル積の普遍性を表す可換図式
(引用終り)
以上
つづき
これらの規則は、順序対 (v, w) を v ◯x w へ写す V × W から V ◯x W への写像 f が双線型となることを保証するものである。テンソル積の普遍性とは
任意のベクトル空間 X と任意の双線型写像 g : V × W → X が与えられたとき、写像 u : V ◯x W → X が一意的に存在して、上記の写像 f との合成 u ◯ f が
g : u(v ◯x w) = g(v, w) に等しくなるようにすることができる[45] というものである。
テンソル積の普遍性は対象を、その対象からの、あるいはその対象への写像によって間接的に定義するという（進んだ抽象代数学ではよく用いられる）手法の一例である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Universal_property_tensor_product.png#/media/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Universal_property_tensor_product.png
テンソル積の普遍性を表す可換図式
(引用終り)
以上
829１３２人目の素数さん
2020/10/03(土) 06:30:04.80ID:SmtMlBCP >>827
>ベクトル空間とテンソル積の関係が理解できていない
それは、◆yH25M02vWFhP、君のほうだよ
>>828
>順序対 (v, w) を v ⊗ w へ写す
>V × W から V ⊗ W への写像 f が
>双線型となる
で、その写像ｆが
１．全射でない
２．単射でない
というのは理解できてるかな？キミ
>>818に書かれていることだが、
（全射でないことの証明）
・v1⊗w1+v2⊗w2は、V⊗Wの元である（V⊗Wが線型空間であるから）
・一方v1⊗w1+v2⊗w2が写像fの像であるためには
v⊗w=v1⊗w1+v2⊗w2となる、v∈Vおよびw⊗Wが
存在しなくてはならない（f(v,w)=v⊗wであるから）
・ところでV＝Wとすると、例えばv1⊗v2として表せる元を
正方行列と見たとき、その行列式は必ず０である
（どの行も他の行のスカラー倍であるから）
・一方、任意の正方行列は
v1⊗v2+v3⊗v4+…のような和の形であらわせるので
V⊗Wの元である
・そして、正方行列の中には行列式が０でないものが存在する
・つまり、V⊗Wの元の中にはv1⊗v2として表せないものが存在する
ゆえに、写像ｆの像に入らない元が存在するので、前者ではない
（単射でないことの証明）
・a ・ (v ⊗ w) = (a ・ v) ⊗ w = v ⊗ (a ・ w) である（二重線形性より）
・いっぽう、（a・ｖ、ｗ）と（ｖ、ａ・ｗ）は、異なる元である
・つまり、異なる元を写像ｆで写した先が等しいから、ｆは単射でない
ここから何がいえるか
・デカルト積Ｖ×Ｗの次元は、テンソル積Ｖ⊗Ｗの次元より小さい
・しかもデカルト積Ｖ×Ｗの次元のｆの像は、もとのＶ×Ｗの次元よりも小さい
陰関数定理が分かっていれば証明できるが、ここでは面倒なので省略する
>ベクトル空間とテンソル積の関係が理解できていない
それは、◆yH25M02vWFhP、君のほうだよ
>>828
>順序対 (v, w) を v ⊗ w へ写す
>V × W から V ⊗ W への写像 f が
>双線型となる
で、その写像ｆが
１．全射でない
２．単射でない
というのは理解できてるかな？キミ
>>818に書かれていることだが、
（全射でないことの証明）
・v1⊗w1+v2⊗w2は、V⊗Wの元である（V⊗Wが線型空間であるから）
・一方v1⊗w1+v2⊗w2が写像fの像であるためには
v⊗w=v1⊗w1+v2⊗w2となる、v∈Vおよびw⊗Wが
存在しなくてはならない（f(v,w)=v⊗wであるから）
・ところでV＝Wとすると、例えばv1⊗v2として表せる元を
正方行列と見たとき、その行列式は必ず０である
（どの行も他の行のスカラー倍であるから）
・一方、任意の正方行列は
v1⊗v2+v3⊗v4+…のような和の形であらわせるので
V⊗Wの元である
・そして、正方行列の中には行列式が０でないものが存在する
・つまり、V⊗Wの元の中にはv1⊗v2として表せないものが存在する
ゆえに、写像ｆの像に入らない元が存在するので、前者ではない
（単射でないことの証明）
・a ・ (v ⊗ w) = (a ・ v) ⊗ w = v ⊗ (a ・ w) である（二重線形性より）
・いっぽう、（a・ｖ、ｗ）と（ｖ、ａ・ｗ）は、異なる元である
・つまり、異なる元を写像ｆで写した先が等しいから、ｆは単射でない
ここから何がいえるか
・デカルト積Ｖ×Ｗの次元は、テンソル積Ｖ⊗Ｗの次元より小さい
・しかもデカルト積Ｖ×Ｗの次元のｆの像は、もとのＶ×Ｗの次元よりも小さい
陰関数定理が分かっていれば証明できるが、ここでは面倒なので省略する
830１３２人目の素数さん
2020/10/03(土) 07:04:43.83ID:SmtMlBCP (x1,x2,x3)∈R^3
(y1,y2,y3)∈R^3
とする
(x1,x2,x3,y1,y2,y3)∈R^3×R^3(=R^6) から
(z11,z12,z13,z21,z22,z23,z31､z32､z33)∈R^3⊗R^3(=R^9)への
写像ｆを以下のように定義する
z11 = x1 * y1
z12 = x1 * y2
z13 = x1 * y3
z21 = x2 * y1
z22 = x2 * y2
z23 = x2 * y3
z31 = x3 * y1
z32 = x3 * y2
z33 = x3 * y3
このとき、以下が云える
f(R^6)は、R^9の部分多様体であり、その次元はたかだか5(=6-1)
一般にR^n×R^m(=R^(n+m))から、R^n⊗R^m(=R^(n*m))への写像fを
上記と同様の形で定義した場合
f(R^(n+m))は、R^(n*m)の部分多様体であり、その次元はたかだかn+m-1である
(y1,y2,y3)∈R^3
とする
(x1,x2,x3,y1,y2,y3)∈R^3×R^3(=R^6) から
(z11,z12,z13,z21,z22,z23,z31､z32､z33)∈R^3⊗R^3(=R^9)への
写像ｆを以下のように定義する
z11 = x1 * y1
z12 = x1 * y2
z13 = x1 * y3
z21 = x2 * y1
z22 = x2 * y2
z23 = x2 * y3
z31 = x3 * y1
z32 = x3 * y2
z33 = x3 * y3
このとき、以下が云える
f(R^6)は、R^9の部分多様体であり、その次元はたかだか5(=6-1)
一般にR^n×R^m(=R^(n+m))から、R^n⊗R^m(=R^(n*m))への写像fを
上記と同様の形で定義した場合
f(R^(n+m))は、R^(n*m)の部分多様体であり、その次元はたかだかn+m-1である
831１３２人目の素数さん
2020/10/03(土) 07:23:11.28ID:SmtMlBCP >>830を、さらに一般化する
R^n_1×…×R^n_m(=R^(n_1+…+n_m))から、
R^n_1⊗ … ⊗R^n_m(=R^(n_1*…*n_m))への写像fを
z i(1)…i(m) = x1_i(1) * … * xm_i(m)
のような形で定義した場合
f(R^(n_1+…+n_m))は、R^(n_1*…*n_m)の部分多様体であり、
その次元はたかだか(n_1+…+n_m)-(m-1)である
R^n_1×…×R^n_m(=R^(n_1+…+n_m))から、
R^n_1⊗ … ⊗R^n_m(=R^(n_1*…*n_m))への写像fを
z i(1)…i(m) = x1_i(1) * … * xm_i(m)
のような形で定義した場合
f(R^(n_1+…+n_m))は、R^(n_1*…*n_m)の部分多様体であり、
その次元はたかだか(n_1+…+n_m)-(m-1)である
2020/10/03(土) 14:45:05.60ID:SmtMlBCP
このスレ、不要につき爆破します
💣💣💣💣💣💣💣💣
💣💣💣💣💣💣💣💣
2020/10/03(土) 14:45:59.18ID:SmtMlBCP
爆破！
💥💥💥💥💥💥💥💥
💥💥💥💥💥💥💥💥
2020/10/03(土) 14:50:04.14ID:SmtMlBCP
このスレ 廃止しました
🏴🏴🏴🏴🏴🏴🏴🏴
🏴🏴🏴🏴🏴🏴🏴🏴
2020/10/03(土) 14:51:14.44ID:SmtMlBCP
このスレ 廃止しました
🏴🏴🏴🏴🏴🏴🏴🏴
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2020/10/03(土) 14:54:02.48ID:SmtMlBCP
昭和を代表する名曲ｗ
https://www.youtube.com/watch?v=M3uHpYVh85A
https://www.youtube.com/watch?v=M3uHpYVh85A
2020/10/03(土) 14:57:10.21ID:SmtMlBCP
2020/10/03(土) 15:59:52.37ID:SmtMlBCP
839１３２人目の素数さん
2020/10/03(土) 16:51:53.06ID:LCj5Mg3b |∞゜*。○゜。>>832-835
|´д`)…
|∞
|`)…ｪﾓｶﾄｫﾓﾀ…
|∞ ｪﾓｯﾋﾟ🍄ﾓ時々
|д`) 過疎系ﾆｭｰ速ﾃﾞ
с ﾚｽﾊﾞ相手ﾉﾚｽﾆ…
♆(و´∀`)ว💣💥💥💥
投ｹﾞﾀﾘ。。。
💣ｬ💥ｬ💀ｬ💩ﾀﾍﾟｽﾄﾘｰ
織ﾘ上ｹﾞﾀﾘｼﾃﾀ。。。
。。。。。。
٩(ᐛ)(ᐖ)۶
ｩﾙﾄﾗｯ!ｿｩﾙｯ!ﾂｨﾝｯ!👯
|´д`)…
|∞
|`)…ｪﾓｶﾄｫﾓﾀ…
|∞ ｪﾓｯﾋﾟ🍄ﾓ時々
|д`) 過疎系ﾆｭｰ速ﾃﾞ
с ﾚｽﾊﾞ相手ﾉﾚｽﾆ…
♆(و´∀`)ว💣💥💥💥
投ｹﾞﾀﾘ。。。
💣ｬ💥ｬ💀ｬ💩ﾀﾍﾟｽﾄﾘｰ
織ﾘ上ｹﾞﾀﾘｼﾃﾀ。。。
。。。。。。
٩(ᐛ)(ᐖ)۶
ｩﾙﾄﾗｯ!ｿｩﾙｯ!ﾂｨﾝｯ!👯
840１３２人目の素人さん
2020/10/03(土) 16:54:58.00ID:LCj5Mg3b ｿｯｸﾘﾀﾞｯﾋﾟｨｨｯ!
|=з ﾋﾟｯﾋｬｧｧｧｯ!
|=з ﾋﾟｯﾋｬｧｧｧｯ!
841ammonium nitrate
2020/10/03(土) 17:14:07.86ID:SmtMlBCP >>839
( ´∀｀)人(´∀｀ )ﾅｶｰﾏ
( ´∀｀)人(´∀｀ )ﾅｶｰﾏ
842１３２人目の素数さん
2020/10/03(土) 17:27:18.33ID:LCj5Mg3b ﾀﾀﾞﾉ('A`)人('A`)ﾅｶｰﾏ
ﾅﾝﾃｨｬｬｧ!
|∞
٩`)ﾓｯﾄ一体化…
|b
|=з ///ﾋﾟｬｧｧｧｯ///
ﾅﾝﾃｨｬｬｧ!
|∞
٩`)ﾓｯﾄ一体化…
|b
|=з ///ﾋﾟｬｧｧｧｯ///
843現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/03(土) 19:03:14.09ID:5JuF9jlR 小澤徹先生メモ
http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/index2_ryakureki.html
小澤徹 (おざわ とおる)
学位
1990年3月 京都大学理学博士 (論文博士)
主査：松浦重武教授
副査：河合隆裕教授、柏原正樹教授、斎藤恭司教授
2008年9月 早稲田大学 理工学術院 先進理工学部 応用物理学科 教授
http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/koneta.html
小澤徹 (おざわ とおる)
数学小ネタ集
http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/pdf/tensor_space.pdf
テンソル空間
平成 26 年 11 月
小澤 徹
ベクトル空間のテンソル積を基礎としてテンソル空間を定義し、その基本的な性質を纏め
て置こう。ベクトル空間の係数体 K は実数体 R 又は複素数体 C とする。
１．集合の生成するベクトル空間
http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/pdf/tensor_product.pdf
集合の生成する自由加群, R加群のテンソル積
平成 19 年 12 月
小澤 徹
http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/index2_ryakureki.html
小澤徹 (おざわ とおる)
学位
1990年3月 京都大学理学博士 (論文博士)
主査：松浦重武教授
副査：河合隆裕教授、柏原正樹教授、斎藤恭司教授
2008年9月 早稲田大学 理工学術院 先進理工学部 応用物理学科 教授
http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/koneta.html
小澤徹 (おざわ とおる)
数学小ネタ集
http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/pdf/tensor_space.pdf
テンソル空間
平成 26 年 11 月
小澤 徹
ベクトル空間のテンソル積を基礎としてテンソル空間を定義し、その基本的な性質を纏め
て置こう。ベクトル空間の係数体 K は実数体 R 又は複素数体 C とする。
１．集合の生成するベクトル空間
http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/pdf/tensor_product.pdf
集合の生成する自由加群, R加群のテンソル積
平成 19 年 12 月
小澤 徹
844現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/03(土) 19:04:28.67ID:5JuF9jlR846１３２人目の素数さん
2020/10/03(土) 19:52:10.47ID:LCj5Mg3b847１３２人目の素数さん
2020/10/03(土) 20:00:01.02ID:LCj5Mg3b 彡∞
ﾘﾎﾞﾝ∞ｽﾞﾚﾀ~!
ﾘﾎﾞﾝ∞ｽﾞﾚﾀ~!
848１３２人目の素数さん
2020/10/03(土) 20:41:26.00ID:SmtMlBCP >>846
🐓に「様」つけるとか卑屈に謝るとか、キモチワルイ♀だな
🐓に「様」つけるとか卑屈に謝るとか、キモチワルイ♀だな
849１３２人目の素数さん
2020/10/03(土) 20:45:46.12ID:SmtMlBCP 数学の分からん🐓が不法にスレッドを占拠して
数学的に誤ったトンデモネタを書き散らかす
荒らし行為を行っている
謝るべきは🐓のほう
焼かれて食われちまえ チキン野郎
数学的に誤ったトンデモネタを書き散らかす
荒らし行為を行っている
謝るべきは🐓のほう
焼かれて食われちまえ チキン野郎
850１３２人目の素数さん
2020/10/03(土) 20:53:12.23ID:SmtMlBCP 小澤徹 (おざわ とおる)
1961年11月生
1980年3月 早稲田大学 高等学院 卒業
1980年4月 早稲田大学 理工学部 物理学科 入学
1984年3月 早稲田大学 理工学部 物理学科 卒業 (応用物理学科 飯野理一・堤正義研究室)
ほう・・・
1961年11月生
1980年3月 早稲田大学 高等学院 卒業
1980年4月 早稲田大学 理工学部 物理学科 入学
1984年3月 早稲田大学 理工学部 物理学科 卒業 (応用物理学科 飯野理一・堤正義研究室)
ほう・・・
851１３２人目の素数さん
2020/10/03(土) 21:12:14.82ID:LCj5Mg3b |∞ ٩(>>848)💢
|д･᷅)… ( )ว
с ) u u
|=з
|д･᷅)… ( )ว
с ) u u
|=з
852１３２人目の素数さん
2020/10/03(土) 21:16:04.07ID:LCj5Mg3b ﾒｶﾞ文字化ｹｼﾃﾙ…ªªﾓｽﾞﾚﾃﾙ…
。○
゜
。○
゜
853現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/03(土) 22:32:04.24ID:5JuF9jlR854現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/04(日) 08:16:58.31ID:f31A/48O 小澤徹 テンソル空間 メモ（これ結構良いね）
http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/index2_02.html
小澤徹 (おざわ とおる)
III. 教育活動
4.数学小ネタ集 http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/index2_02.html
http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/pdf/tensor_space.pdf
テンソル空間
平成 26 年 11 月
小澤 徹
P7
３．テンソル積の同型の構成
定理４ X とY をベクトル空間とする。夫々の基底を(ei; i ∈ I)及び(fj; j ∈ J)とし、添字集
合I とJ の直積集合I×J の生成するベクトル空間をF0(I×J)とする。各(x, y) ∈ X ×Y に対
し{i ∈ I; e*i(x) ≠ 0}及び{j ∈ J; f*j(y) ≠ 0}は有限であり、
一次結合Σ(i,j)∈I×J e*i(x)f*j(y)ι(x,y)
は F0(I × J) の元となる。付随する写像
B : X × Y ∋ (x, y) → B(x, y) =Σ(i,j)∈I×J e*i(x)f*j(y)ι(i,j) ∈ F0(I × J)
は双線型となる。
定理 2 に拠って B = T ◯ ρ なる T ∈ L(X ◯x Y ; F0(I × J)) が一意的に存在
する。このとき T は全単射となり X ◯x Y と F0(I × J) との同型を与える。この対応は元毎には
ξ =Σ(i,j)∈I×J cijei ◯x fj ∈ X ◯x Y ←→ α =(i,j)∈I×J cij ι(i,j) ∈ F0(I × J)
で与えられる。
ここに I 及び J は夫々I 及び J の有限部分集合であり
cij = (T(ξ))(i, j) = ev(i,j)(α)である。
(証明) T が同型である事を示せば充分である。
略
つづく
http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/index2_02.html
小澤徹 (おざわ とおる)
III. 教育活動
4.数学小ネタ集 http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/index2_02.html
http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/pdf/tensor_space.pdf
テンソル空間
平成 26 年 11 月
小澤 徹
P7
３．テンソル積の同型の構成
定理４ X とY をベクトル空間とする。夫々の基底を(ei; i ∈ I)及び(fj; j ∈ J)とし、添字集
合I とJ の直積集合I×J の生成するベクトル空間をF0(I×J)とする。各(x, y) ∈ X ×Y に対
し{i ∈ I; e*i(x) ≠ 0}及び{j ∈ J; f*j(y) ≠ 0}は有限であり、
一次結合Σ(i,j)∈I×J e*i(x)f*j(y)ι(x,y)
は F0(I × J) の元となる。付随する写像
B : X × Y ∋ (x, y) → B(x, y) =Σ(i,j)∈I×J e*i(x)f*j(y)ι(i,j) ∈ F0(I × J)
は双線型となる。
定理 2 に拠って B = T ◯ ρ なる T ∈ L(X ◯x Y ; F0(I × J)) が一意的に存在
する。このとき T は全単射となり X ◯x Y と F0(I × J) との同型を与える。この対応は元毎には
ξ =Σ(i,j)∈I×J cijei ◯x fj ∈ X ◯x Y ←→ α =(i,j)∈I×J cij ι(i,j) ∈ F0(I × J)
で与えられる。
ここに I 及び J は夫々I 及び J の有限部分集合であり
cij = (T(ξ))(i, j) = ev(i,j)(α)である。
(証明) T が同型である事を示せば充分である。
略
つづく
855現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/04(日) 08:17:23.16ID:f31A/48O >>854
つづき
P1
１．集合の生成するベクトル空間
空でない集合 S 上の函数で有限な台をもつもの全体を F0(S) と表す：
F0(S) = {f : S → K; ♯Suppf < ∞}
ここに Suppf = {x ∈ S; f(x) ≠ 0} は f の台とする。各点毎の和とスカラー倍
(f + g)(x) = f(x) + g(x),
(af)(x) = af(x)
により F0(S) に和とスカラー倍が定義され F0(S) はベクトル空間を成す。
各 x ∈ S に対し
ιx(y)
：=1, y = x
：=0, y ∈ S ＼ {x}
として ιx ∈ F0(S) が定まる。
ι(x) = ιx と置くと写像 ι : S → F0(S) が定まり
ι(x) = ι(y) ⇔ιx = ιy ⇒ ιx(y) = ιy(y)=1 ⇒ x = y より
ι は単射となる。
各 x ∈ S に対し evx : F0(S) → K
が evx(f) = f(x) で定まる。
このとき任意の f ∈ F0(S) に対し
f =Σx∈S f(x)ιx =Σx∈S evx(f)ιx
が成立つ。ここに総和は Suppf の有限個の点を除いて零であり、Suppf 上では一つの項のみ
零でない値を取る事に注意する。
上の等式は F0(S) 内の線型変換としての恒等写像の分解
id =Σx∈S evx(・)ιx
を与えていると見做す事が出来る。
(引用終り)
以上
つづき
P1
１．集合の生成するベクトル空間
空でない集合 S 上の函数で有限な台をもつもの全体を F0(S) と表す：
F0(S) = {f : S → K; ♯Suppf < ∞}
ここに Suppf = {x ∈ S; f(x) ≠ 0} は f の台とする。各点毎の和とスカラー倍
(f + g)(x) = f(x) + g(x),
(af)(x) = af(x)
により F0(S) に和とスカラー倍が定義され F0(S) はベクトル空間を成す。
各 x ∈ S に対し
ιx(y)
：=1, y = x
：=0, y ∈ S ＼ {x}
として ιx ∈ F0(S) が定まる。
ι(x) = ιx と置くと写像 ι : S → F0(S) が定まり
ι(x) = ι(y) ⇔ιx = ιy ⇒ ιx(y) = ιy(y)=1 ⇒ x = y より
ι は単射となる。
各 x ∈ S に対し evx : F0(S) → K
が evx(f) = f(x) で定まる。
このとき任意の f ∈ F0(S) に対し
f =Σx∈S f(x)ιx =Σx∈S evx(f)ιx
が成立つ。ここに総和は Suppf の有限個の点を除いて零であり、Suppf 上では一つの項のみ
零でない値を取る事に注意する。
上の等式は F0(S) 内の線型変換としての恒等写像の分解
id =Σx∈S evx(・)ιx
を与えていると見做す事が出来る。
(引用終り)
以上
856１３２人目の素数さん
2020/10/04(日) 08:41:29.36ID:mLeuvA76 >>854
>これ結構良いね
文章の意味、わかってる？
>X とY をベクトル空間とする。
>夫々の基底を(ei; i ∈ I)及び(fj; j ∈ J)とし
質問 (x, y) ∈ X ×Y としたときの
e*i(x)、 f*j(y)とは何？
もちろん、私はわかってるよ 大学の数学科なら必ず学ぶ、基本だから
でも、線形代数を大学で全く学んでない◆yH25M02vWFhP 君、わかってる？
>これ結構良いね
文章の意味、わかってる？
>X とY をベクトル空間とする。
>夫々の基底を(ei; i ∈ I)及び(fj; j ∈ J)とし
質問 (x, y) ∈ X ×Y としたときの
e*i(x)、 f*j(y)とは何？
もちろん、私はわかってるよ 大学の数学科なら必ず学ぶ、基本だから
でも、線形代数を大学で全く学んでない◆yH25M02vWFhP 君、わかってる？
857１３２人目の素数さん
2020/10/04(日) 08:47:31.40ID:mLeuvA76 >>854
>これ結構良いね
文章の意味、ホントにわかってる？
>添字集合I とJ の直積集合I×J の生成するベクトル空間をF0(I×J)とする。
で、その前に、こういうのも出てくるね
君、全然引用してないけど
「積ベクトル空間 X × Y の生成するベクトル空間 F0(X×Y) を導入する：
F0(X×Y) = {f : X × Y → K; #Suppf < ∞}」
質問：F0(I×J)はF0(X×Y)と、どう違うのか分かってる？
（いわずもがなだが集合I×Jは有限集合で、集合X×Yは無限集合)
>これ結構良いね
文章の意味、ホントにわかってる？
>添字集合I とJ の直積集合I×J の生成するベクトル空間をF0(I×J)とする。
で、その前に、こういうのも出てくるね
君、全然引用してないけど
「積ベクトル空間 X × Y の生成するベクトル空間 F0(X×Y) を導入する：
F0(X×Y) = {f : X × Y → K; #Suppf < ∞}」
質問：F0(I×J)はF0(X×Y)と、どう違うのか分かってる？
（いわずもがなだが集合I×Jは有限集合で、集合X×Yは無限集合)
858１３２人目の素数さん
2020/10/04(日) 09:01:33.73ID:mLeuvA76 >>854
>これ結構良いね
文章の意味、ホンっっっトにわかってる？
>定理 2 に拠って B = T ◯ ρ なる T ∈ L(X⊗Y ; F0(I × J)) が一意的に存在する。
>このとき T は全単射となり X⊗Y と F0(I × J) との同型を与える。
で、君、肝心のX⊗Yの定義に関する記述、全く引用してないよね
ちゃんと全部読んでる？
「積ベクトル空間 X × Y の生成するベクトル空間 F0(X×Y) を導入する：
F0(X×Y) = {f : X × Y → K; #Suppf < ∞}」
双線型写像であれば零を与える組を想定して
F0(X×Y)の部分集合M1, M2 を次で定義する：
M1 = {ι(ax+a’x’,y) － aι(x,y) － a’ι(x’,y) ∈ F0(X × Y ); x, x’ ∈ X, y ∈ Y, a, a’ ∈ K}
M2 = {ι(x,ay+a’y’) － aι(x,y) － a’ι(x,y’) ∈ F0(X × Y ); x ∈ X, y, y’ ∈ Y, a, a’ ∈ K}
M1 ∪ M2 の生成する F0(X × Y ) の部分空間を M とする：M = Span(M0 ∪ M1)
F0(X × Y ) を M で割った商ベクトル空間を Z とする：Z = F0(X × Y )/M」
X⊗Yは集合としては上記のZであるが、これがF0(I × J)と同型になること、わかってる？
定理４の証明、全部省略してるけど もしかして訳も分からず鵜呑み？
それダメだよ 馬鹿になるから
>これ結構良いね
文章の意味、ホンっっっトにわかってる？
>定理 2 に拠って B = T ◯ ρ なる T ∈ L(X⊗Y ; F0(I × J)) が一意的に存在する。
>このとき T は全単射となり X⊗Y と F0(I × J) との同型を与える。
で、君、肝心のX⊗Yの定義に関する記述、全く引用してないよね
ちゃんと全部読んでる？
「積ベクトル空間 X × Y の生成するベクトル空間 F0(X×Y) を導入する：
F0(X×Y) = {f : X × Y → K; #Suppf < ∞}」
双線型写像であれば零を与える組を想定して
F0(X×Y)の部分集合M1, M2 を次で定義する：
M1 = {ι(ax+a’x’,y) － aι(x,y) － a’ι(x’,y) ∈ F0(X × Y ); x, x’ ∈ X, y ∈ Y, a, a’ ∈ K}
M2 = {ι(x,ay+a’y’) － aι(x,y) － a’ι(x,y’) ∈ F0(X × Y ); x ∈ X, y, y’ ∈ Y, a, a’ ∈ K}
M1 ∪ M2 の生成する F0(X × Y ) の部分空間を M とする：M = Span(M0 ∪ M1)
F0(X × Y ) を M で割った商ベクトル空間を Z とする：Z = F0(X × Y )/M」
X⊗Yは集合としては上記のZであるが、これがF0(I × J)と同型になること、わかってる？
定理４の証明、全部省略してるけど もしかして訳も分からず鵜呑み？
それダメだよ 馬鹿になるから
859１３２人目の素数さん
2020/10/04(日) 09:12:36.39ID:mLeuvA76 ◆yH25M02vWFhPが、過去の投稿で
「商による(テンソル積空間の)定義」
といってるのは、 >>858に書いた、F0(X × Y )/Mのことだね
（これ一見すると実にペダンティックだが、
要は異なる(x,y)について二重線形性による
同値関係を入れてるだけで、理屈が分れば屁でもないが
工学部とかの「土人」にとっては、青銅器や鉄器の如き代物ｗ）
で、同じく◆yH25M02vWFhPが、過去の投稿で
「多次元配列」
といってるのは、>>857のF0(I×J)
このくらいなら、工学部の「土人」でも分かる石器みたいなもん
で、要は
「数学科の連中がもったいつけて定義してる青銅器やら鉄器みたいなもんは
実は工学部の土人が扱える石器と全然変わらんよ」
というのが定理４
あのさ、文章リンクするのはいいけど
「これ結構良いね」
とかほざくんなら、このくらいコメントつけろよ
ガキの使いじゃないんだからさ
ま、でも工学部の「土人」には無理か
え？大学出てないから「土人」ですらない？
おいおい、そもそも人間じゃないのかよ
おまえ、俺たち人間に食われる野獣か？
「商による(テンソル積空間の)定義」
といってるのは、 >>858に書いた、F0(X × Y )/Mのことだね
（これ一見すると実にペダンティックだが、
要は異なる(x,y)について二重線形性による
同値関係を入れてるだけで、理屈が分れば屁でもないが
工学部とかの「土人」にとっては、青銅器や鉄器の如き代物ｗ）
で、同じく◆yH25M02vWFhPが、過去の投稿で
「多次元配列」
といってるのは、>>857のF0(I×J)
このくらいなら、工学部の「土人」でも分かる石器みたいなもん
で、要は
「数学科の連中がもったいつけて定義してる青銅器やら鉄器みたいなもんは
実は工学部の土人が扱える石器と全然変わらんよ」
というのが定理４
あのさ、文章リンクするのはいいけど
「これ結構良いね」
とかほざくんなら、このくらいコメントつけろよ
ガキの使いじゃないんだからさ
ま、でも工学部の「土人」には無理か
え？大学出てないから「土人」ですらない？
おいおい、そもそも人間じゃないのかよ
おまえ、俺たち人間に食われる野獣か？
860１３２人目の素数さん
2020/10/04(日) 09:17:35.36ID:mLeuvA76 >>855
これ、大して意味ないね。常識だしｗ
有限台に限るのは、そもそも代数的な線型空間で
ベクトルの無限和なんて考えないから
で、また、どうせトンチンカン解釈してるんだろ
あんた肝心なポイント（定理２のくだり）引用しないで
こんなカスみたいなところドヤ顔で引用するから
馬脚を現すんだよ ま、こりゃ馬脚どころかトリ脚だなｗ
これ、大して意味ないね。常識だしｗ
有限台に限るのは、そもそも代数的な線型空間で
ベクトルの無限和なんて考えないから
で、また、どうせトンチンカン解釈してるんだろ
あんた肝心なポイント（定理２のくだり）引用しないで
こんなカスみたいなところドヤ顔で引用するから
馬脚を現すんだよ ま、こりゃ馬脚どころかトリ脚だなｗ
861現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/04(日) 11:43:51.62ID:f31A/48O >>860
>有限台に限るのは、そもそも代数的な線型空間で
>ベクトルの無限和なんて考えないから
違うよ
また、おまえ”スベッタ”な～！w
ｗ（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
ベクトル空間
(抜粋)
歴史
ベクトル空間の重要な発展がアンリ・ルベーグによる函数空間の構成によって起こり、後の1920年ごろにステファン・バナフとダフィット・ヒルベルトによって定式化された[10]。その当時、代数学と新しい研究分野であった函数解析学とが相互に影響し始め、 p-乗可積分函数の空間 Lp やヒルベルト空間などの重要な概念が生み出されることとなる[11]。そうして無限次元の場合をも含むベクトル空間の概念は堅く確立されたものとなり、多くの数学分野において用いられ始めた。
数ベクトル空間 Fn は、すでに示した基底によってその次元が n であることがわかる。多項式環 F[x]（上述）の次元は可算無限（基底の一つは 1, x, x2, … で与えられる）であり、ある（有界または非有界な）区間上の函数全体の成す空間など、もっと一般の函数空間の次元は当然無限大になる[nb 4]。
>有限台に限るのは、そもそも代数的な線型空間で
>ベクトルの無限和なんて考えないから
違うよ
また、おまえ”スベッタ”な～！w
ｗ（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
ベクトル空間
(抜粋)
歴史
ベクトル空間の重要な発展がアンリ・ルベーグによる函数空間の構成によって起こり、後の1920年ごろにステファン・バナフとダフィット・ヒルベルトによって定式化された[10]。その当時、代数学と新しい研究分野であった函数解析学とが相互に影響し始め、 p-乗可積分函数の空間 Lp やヒルベルト空間などの重要な概念が生み出されることとなる[11]。そうして無限次元の場合をも含むベクトル空間の概念は堅く確立されたものとなり、多くの数学分野において用いられ始めた。
数ベクトル空間 Fn は、すでに示した基底によってその次元が n であることがわかる。多項式環 F[x]（上述）の次元は可算無限（基底の一つは 1, x, x2, … で与えられる）であり、ある（有界または非有界な）区間上の函数全体の成す空間など、もっと一般の函数空間の次元は当然無限大になる[nb 4]。
862１３２人目の素数さん
2020/10/04(日) 12:17:05.07ID:mLeuvA76 >>861
>>そもそも代数的な線型空間で
>>ベクトルの無限和なんて考えないから
>違うよ
>また、おまえ”スベッタ”な～！w
君さぁ、いい加減、学習しようよ
君のナイーブな直感で、
「おまえ、間違ったな！ アイ・ハヴァ・ウィン！」
とわめいた事例は、一つの例外もなく全て君の負けだった
という厳然たる事実にさ
>多項式環 F[x]の次元は
>可算無限（基底の一つは 1, x, x2, … で与えられる）
そこで質問
形式的べき級数環を線型空間とみなした場合
その基底はいかなるものか示した上で
基底の全体集合の濃度についても答えよ
わ・ざ・わ・ざ、こう質問したのだから
多項式環を線型空間とみなした場合の基底
とは確実に違うことだけは気づいとけよ🐓
>>そもそも代数的な線型空間で
>>ベクトルの無限和なんて考えないから
>違うよ
>また、おまえ”スベッタ”な～！w
君さぁ、いい加減、学習しようよ
君のナイーブな直感で、
「おまえ、間違ったな！ アイ・ハヴァ・ウィン！」
とわめいた事例は、一つの例外もなく全て君の負けだった
という厳然たる事実にさ
>多項式環 F[x]の次元は
>可算無限（基底の一つは 1, x, x2, … で与えられる）
そこで質問
形式的べき級数環を線型空間とみなした場合
その基底はいかなるものか示した上で
基底の全体集合の濃度についても答えよ
わ・ざ・わ・ざ、こう質問したのだから
多項式環を線型空間とみなした場合の基底
とは確実に違うことだけは気づいとけよ🐓
863粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
2020/10/04(日) 12:39:12.85ID:R1FgWeYZ 非学者論に負けず、他力本願｡
279:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/07/29(水) 10:33:40.69 ID:ruijdO0n
＜転載＞ ”0.999...”について
0.99999……は１ではない その11
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595025887/119
まあ、三流は三流らしく
ちゃんと､
超一流や一流の人をベースに議論しなさいよ
https://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...#p-%E9%80%B2%E6%95%B0
0.999... テレンス・タオ "0.999…" は 1 に「無限に近い」｡
イアン・スチュアートはこの解釈を、「0.999… は 1 よりも『ほんの少しだけ小さい』」という直観を厳密に正当化する「全く合理的な」方法として特徴づけた[23]｡
・超一流のテレンスタオがさ、” "0.999…" は 1 に「無限に近い」”という主張は、ちゃんと21世紀の数学の中で正当化できるという（ノンスタでね)
（一流のイアン・スチュアートも、この解釈を、「0.999… は 1 よりも『ほんの少しだけ小さい』」という直観を厳密に正当化する「全く合理的な」方法として特徴づけた[23]という)
・勿論、スタンダードな "0.999…＝1"もあり
・だからさ、三流さんたちは、両方ありを前提に議論しないとさｗ
あなた方は、三流なんだからさ
まあ、三流は三流らしく
ちゃんと､
超一流や一流の人をベースに議論しなさいよ
279:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/07/29(水) 10:33:40.69 ID:ruijdO0n
＜転載＞ ”0.999...”について
0.99999……は１ではない その11
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595025887/119
まあ、三流は三流らしく
ちゃんと､
超一流や一流の人をベースに議論しなさいよ
https://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...#p-%E9%80%B2%E6%95%B0
0.999... テレンス・タオ "0.999…" は 1 に「無限に近い」｡
イアン・スチュアートはこの解釈を、「0.999… は 1 よりも『ほんの少しだけ小さい』」という直観を厳密に正当化する「全く合理的な」方法として特徴づけた[23]｡
・超一流のテレンスタオがさ、” "0.999…" は 1 に「無限に近い」”という主張は、ちゃんと21世紀の数学の中で正当化できるという（ノンスタでね)
（一流のイアン・スチュアートも、この解釈を、「0.999… は 1 よりも『ほんの少しだけ小さい』」という直観を厳密に正当化する「全く合理的な」方法として特徴づけた[23]という)
・勿論、スタンダードな "0.999…＝1"もあり
・だからさ、三流さんたちは、両方ありを前提に議論しないとさｗ
あなた方は、三流なんだからさ
まあ、三流は三流らしく
ちゃんと､
超一流や一流の人をベースに議論しなさいよ
864粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
2020/10/04(日) 12:43:37.56ID:R1FgWeYZ 非学者論に負けず、間違い指摘を細かい事と言って取り合う事から逃避
301:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/07/31(金) 10:34:59.05 ID:Trt2z5f1
> 299
おっさん、細かいことは良いんだよ
20世紀に、ロビンソンがノンスタ（超準）を考えて
実数を拡張して、無限小と無限大を取り入れた
21世紀の現代数学では、無限小をきちんと数学として扱えるようになった
おっさんらの議論は、古いんだよ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E5%AE%9F%E6%95%B0
超実数
(抜粋)
超実数（ちょうじっすう、英: hyperreal number）または超準実数（ちょうじゅんじっすう、英: nonstandard reals）と呼ばれる数の体系は無限大量や無限小量を扱う方法の一つである｡
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%B0%8F
無限小
(抜粋)
無限小（むげんしょう、英: infinitesimal）は、測ることができないほど極めて小さい「もの」である｡
連続の法則および無限小の数学的に厳密な定式化は、1961年にアブラハム・ロビンソンによって達成された
ウラジーミル・アーノルドは1990年に以下のように書いている:
Nowadays, when teaching analysis, it is not very popular to talk about infinitesimal quantities. Consequently present-day students are not fully in command of this language. Nevertheless, it is still necessary to have command of it.[4]
（訳: 今日では、解析学の授業において無限小量について述べることはあまり一般的ではない。その結果、当世の学生はこの言葉づかいに全く習熟していない。にも拘らず、未だにそれを扱うことが必要である)
301:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/07/31(金) 10:34:59.05 ID:Trt2z5f1
> 299
おっさん、細かいことは良いんだよ
20世紀に、ロビンソンがノンスタ（超準）を考えて
実数を拡張して、無限小と無限大を取り入れた
21世紀の現代数学では、無限小をきちんと数学として扱えるようになった
おっさんらの議論は、古いんだよ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E5%AE%9F%E6%95%B0
超実数
(抜粋)
超実数（ちょうじっすう、英: hyperreal number）または超準実数（ちょうじゅんじっすう、英: nonstandard reals）と呼ばれる数の体系は無限大量や無限小量を扱う方法の一つである｡
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%B0%8F
無限小
(抜粋)
無限小（むげんしょう、英: infinitesimal）は、測ることができないほど極めて小さい「もの」である｡
連続の法則および無限小の数学的に厳密な定式化は、1961年にアブラハム・ロビンソンによって達成された
ウラジーミル・アーノルドは1990年に以下のように書いている:
Nowadays, when teaching analysis, it is not very popular to talk about infinitesimal quantities. Consequently present-day students are not fully in command of this language. Nevertheless, it is still necessary to have command of it.[4]
（訳: 今日では、解析学の授業において無限小量について述べることはあまり一般的ではない。その結果、当世の学生はこの言葉づかいに全く習熟していない。にも拘らず、未だにそれを扱うことが必要である)
865粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
2020/10/04(日) 12:45:05.53ID:R1FgWeYZ 非学者論に負けず、間違い指摘を興味が無い事と言って取り合う事から逃避
495:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/24(月) 18:49:40.66 ID:rNo847jr
おっさん、スレ違いだよ
細かい話は、別スレでやってくれ
おれは興味ないんだよね、それ
それに、ここは、IUTスレだよ
なお、安達スレには、適当に殴り込み掛けるからね
悪しからずｗｗ（＾＾；
495:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/24(月) 18:49:40.66 ID:rNo847jr
おっさん、スレ違いだよ
細かい話は、別スレでやってくれ
おれは興味ないんだよね、それ
それに、ここは、IUTスレだよ
なお、安達スレには、適当に殴り込み掛けるからね
悪しからずｗｗ（＾＾；
866粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
2020/10/04(日) 13:05:50.06ID:R1FgWeYZ 此れ等の所業からスレ主は訂正や詫びをする心に欠け自浄能力は絶無、また学習能力も自ら放棄｡
此の様にして此のスレはコピペ千万により誤解・誤謬・誤引用・誤説の限りを尽くされていく…｡
此の様にして此のスレはコピペ千万により誤解・誤謬・誤引用・誤説の限りを尽くされていく…｡
2020/10/04(日) 13:53:35.31ID:mLeuvA76
このスレ、不要につき爆破な
💣💣💣💣💣💣💣💣
💣💣💣💣💣💣💣💣
2020/10/04(日) 13:54:08.99ID:mLeuvA76
爆破！
💥💥💥💥💥💥💥💥
💥💥💥💥💥💥💥💥
2020/10/04(日) 13:54:52.55ID:mLeuvA76
このスレ 廃止な
🏴🏴🏴🏴🏴🏴🏴🏴
🏴🏴🏴🏴🏴🏴🏴🏴
870現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/04(日) 15:27:36.37ID:f31A/48O >>859
>過去の投稿で
>「商による(テンソル積空間の)定義」
>といってるのは、 >>858に書いた、F0(X × Y )/Mのことだね
仰る通りだ。デカルト積X × Y は、有限次元では直和と同じだな（下記wikipedia）
（因みに、>>861の有限次元に限る話も同じだろう。有限次元に限れば、議論がすっきりするってことよ（＾＾；）
なお、デカルト積 X × Y から、小澤徹 テンソル空間 http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/pdf/tensor_space.pdf
では、「定理４ X とY をベクトル空間とする。夫々の基底を(ei; i ∈ I)及び(fj; j ∈ J)とし」て取り出して、
F0(X ×Y )から、F0(X × Y )/M を作っている。それを示すために、わざわざ、検索で 小澤 徹を見つけたんだ（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
ベクトル空間
(抜粋)
7.2 直積と直和
詳細は「直積線型空間」および「加群の直和」を参照
I で添字付けられたベクトル空間の族 Vi(i ∈ I) の直積 ?i∈I Vi とは、I の各添字 i に対して Vi の元 vi を指定してできる順序組 (vii ∈ I 全体の成す集合に、加法とスカラー乗法を成分ごとの演算によって定める。 この構成の変種として、直和 ◯+i ∈ I Vi（あるいは余積 ?i ∈ I Vi）は先の順序組において有限個の例外を除く全ての成分が零ベクトルであるようなものだけを許して得られるものである。添字集合 I が有限ならばこの二つの構成は一致するが、そうでないならば違うものを与える
なお、小澤が読めりゃ下記はない
(>>766より)
自分で言ったこと覚えているか？
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
って、言ったよね
とろで、行列式は、外積代数の外冪を使って定義されるよ(>>722)
外積代数も、普遍性あり
テンソル代数も、普遍性あり
だったら、「行列式はテンソルです」というと
外積代数とテンソル代数とが、”一意な同型射を除いて一意的”（下記）ってなるよね
それは、おかしいよね（＾＾；
（∵ 外積代数とテンソル代数とは、全く同型じゃない。例えば、田丸>>716 数学概論ＰＤＦ 第 1 章 テンソル代数 と 第 2 章 外積代数 ご参照 ）
>過去の投稿で
>「商による(テンソル積空間の)定義」
>といってるのは、 >>858に書いた、F0(X × Y )/Mのことだね
仰る通りだ。デカルト積X × Y は、有限次元では直和と同じだな（下記wikipedia）
（因みに、>>861の有限次元に限る話も同じだろう。有限次元に限れば、議論がすっきりするってことよ（＾＾；）
なお、デカルト積 X × Y から、小澤徹 テンソル空間 http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/pdf/tensor_space.pdf
では、「定理４ X とY をベクトル空間とする。夫々の基底を(ei; i ∈ I)及び(fj; j ∈ J)とし」て取り出して、
F0(X ×Y )から、F0(X × Y )/M を作っている。それを示すために、わざわざ、検索で 小澤 徹を見つけたんだ（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
ベクトル空間
(抜粋)
7.2 直積と直和
詳細は「直積線型空間」および「加群の直和」を参照
I で添字付けられたベクトル空間の族 Vi(i ∈ I) の直積 ?i∈I Vi とは、I の各添字 i に対して Vi の元 vi を指定してできる順序組 (vii ∈ I 全体の成す集合に、加法とスカラー乗法を成分ごとの演算によって定める。 この構成の変種として、直和 ◯+i ∈ I Vi（あるいは余積 ?i ∈ I Vi）は先の順序組において有限個の例外を除く全ての成分が零ベクトルであるようなものだけを許して得られるものである。添字集合 I が有限ならばこの二つの構成は一致するが、そうでないならば違うものを与える
なお、小澤が読めりゃ下記はない
(>>766より)
自分で言ったこと覚えているか？
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
って、言ったよね
とろで、行列式は、外積代数の外冪を使って定義されるよ(>>722)
外積代数も、普遍性あり
テンソル代数も、普遍性あり
だったら、「行列式はテンソルです」というと
外積代数とテンソル代数とが、”一意な同型射を除いて一意的”（下記）ってなるよね
それは、おかしいよね（＾＾；
（∵ 外積代数とテンソル代数とは、全く同型じゃない。例えば、田丸>>716 数学概論ＰＤＦ 第 1 章 テンソル代数 と 第 2 章 外積代数 ご参照 ）
871１３２人目の素数さん
2020/10/04(日) 16:06:55.67ID:mLeuvA76 >>870
F0(X×Y)とX×Yは、集合としても全然異なるけど、わかってる？
さて、
>外積代数も、普遍性あり
然り X×Y の反対称的な二重線形写像から 外積代数が一意的に定まる
>テンソル代数も、普遍性あり
然り X×Y の二重線型写像から テンソル代数が一意的に定まる
>だったら、「行列式はテンソルです」というと
>外積代数とテンソル代数とが、
>”一意な同型射を除いて一意的”
>ってなるよね
然り
>それは、おかしいよね
何が？貴様のアタマがオカシイよねｗ
どこにも外積代数＝テンソル代数なんて書いてないぞ
おまえ、何をどう読んだら、そういうトンデモ発言が口から出てくるんだ？
F0(X×Y)とX×Yは、集合としても全然異なるけど、わかってる？
さて、
>外積代数も、普遍性あり
然り X×Y の反対称的な二重線形写像から 外積代数が一意的に定まる
>テンソル代数も、普遍性あり
然り X×Y の二重線型写像から テンソル代数が一意的に定まる
>だったら、「行列式はテンソルです」というと
>外積代数とテンソル代数とが、
>”一意な同型射を除いて一意的”
>ってなるよね
然り
>それは、おかしいよね
何が？貴様のアタマがオカシイよねｗ
どこにも外積代数＝テンソル代数なんて書いてないぞ
おまえ、何をどう読んだら、そういうトンデモ発言が口から出てくるんだ？
872現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/04(日) 17:22:03.61ID:f31A/48O873現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/04(日) 17:30:59.89ID:f31A/48O >>870 補足
”なお、デカルト積 X × Y から、小澤徹 テンソル空間 http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/pdf/tensor_space.pdf
では、「定理４ X とY をベクトル空間とする。夫々の基底を(ei; i ∈ I)及び(fj; j ∈ J)とし」て取り出して、
F0(X ×Y )から、F0(X × Y )/M を作っている。”
因みに、雪江明彦 代数学 2 P128のテンソル積の 定理2.10.3 の証明で
小澤では、F0(X ×Y )を使っているところで、雪江は 直和 「V＝◯+ I k」を使っている
多分、趣旨は同じだと思う
集合の中で、余分な部分集合を除くところも同様です
筋は、同じと思われる（＾＾；
（個人的には、小澤の方が分り易い気がする（＾＾； ）
”なお、デカルト積 X × Y から、小澤徹 テンソル空間 http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/pdf/tensor_space.pdf
では、「定理４ X とY をベクトル空間とする。夫々の基底を(ei; i ∈ I)及び(fj; j ∈ J)とし」て取り出して、
F0(X ×Y )から、F0(X × Y )/M を作っている。”
因みに、雪江明彦 代数学 2 P128のテンソル積の 定理2.10.3 の証明で
小澤では、F0(X ×Y )を使っているところで、雪江は 直和 「V＝◯+ I k」を使っている
多分、趣旨は同じだと思う
集合の中で、余分な部分集合を除くところも同様です
筋は、同じと思われる（＾＾；
（個人的には、小澤の方が分り易い気がする（＾＾； ）
874１３２人目の素数さん
2020/10/04(日) 17:38:29.23ID:mLeuvA76 >>872
何の言い訳もない
君の読解が誤解なだけ
>「行列式はテンソルです」
>「内積も、行列式同様、テンソルです」
>これ取り消せよ
なぜ？
正しいことを撤回する必要はない
・行列式は多重線型形式
・内積も多重線型形式
したがってどちらも（共変）テンソル
逆に◆yH25M02vWFhPクンに云っておこう
もし君が
「いかなるテンソルも、２つ以上のベクトルのテンソル積である」
と思っているなら、それは全くの誤解であるから 即刻改められたい
いかなるテンソルも、基底のテンソル積の「和」として表せる
しかしあくまでテンソル積の「和」であって、テンソル積ではない
つまりＶ⊗Ｗの元のうち、Ｖ×Ｗの二重線形写像の像、つまり
個別のベクトルのテンソル積、として表せるのは、ほんの一部である
何の言い訳もない
君の読解が誤解なだけ
>「行列式はテンソルです」
>「内積も、行列式同様、テンソルです」
>これ取り消せよ
なぜ？
正しいことを撤回する必要はない
・行列式は多重線型形式
・内積も多重線型形式
したがってどちらも（共変）テンソル
逆に◆yH25M02vWFhPクンに云っておこう
もし君が
「いかなるテンソルも、２つ以上のベクトルのテンソル積である」
と思っているなら、それは全くの誤解であるから 即刻改められたい
いかなるテンソルも、基底のテンソル積の「和」として表せる
しかしあくまでテンソル積の「和」であって、テンソル積ではない
つまりＶ⊗Ｗの元のうち、Ｖ×Ｗの二重線形写像の像、つまり
個別のベクトルのテンソル積、として表せるのは、ほんの一部である
875１３２人目の素数さん
2020/10/04(日) 17:44:25.87ID:mLeuvA76 >>873
>小澤では、F0(X ×Y )を使っているところで、
>雪江は 直和 「V＝⊕ I k」を使っている
おそらく、対応が間違ってる
直和 「V＝⊕ I k」に対応するのはＸ×Ｙだろう
>集合の中で、余分な部分集合を除くところ
◆yH25M02vWFhPクンは、しばしば、この言い回しを用いるが
いったい何を「余分な部分集合」といっているのか、全く明らかにされていない
おそらく、最も根本的かつ重大な誤解が、ここにあると思われる
祭りはまだまだ続きそうだ やれやれ
>小澤では、F0(X ×Y )を使っているところで、
>雪江は 直和 「V＝⊕ I k」を使っている
おそらく、対応が間違ってる
直和 「V＝⊕ I k」に対応するのはＸ×Ｙだろう
>集合の中で、余分な部分集合を除くところ
◆yH25M02vWFhPクンは、しばしば、この言い回しを用いるが
いったい何を「余分な部分集合」といっているのか、全く明らかにされていない
おそらく、最も根本的かつ重大な誤解が、ここにあると思われる
祭りはまだまだ続きそうだ やれやれ
876１３２人目の素数さん
2020/10/04(日) 18:07:14.43ID:mLeuvA76 >>875
◆yH25M02vWFhPクンの誤解の根は
>>812のこの発言かもしれん
「テンソル積の空間は、V × W（デカルト積）全体ではなく、
二つのベクトル v∈V、w∈W のテンソル積 v ⊗ w から成るものに制限される」
■第一の誤解
「ＶとＷのテンソル積Ｖ⊗Ｗを
”二つのベクトル v∈V、w∈W のテンソル積 v ⊗ w から成る集合”
と思っている」
実は全然違う
””二つのベクトル v∈V、w∈W のテンソル積 v ⊗ w から成る集合”
は、(v,w)∈Ｖ×Ｗからテンソル積T：V×W→V⊗Wで写した像T(V×W）
であって、V⊗Wそのものではない
■第二の誤解
「V×Wが線型空間でその次元がdimV×dimWだ」
と思っている
これも全然違う
V×Wそのものは只の集合で、線型空間ではない
線型空間の構造を入れることはできるが、
それは直和V⊕Wであって、その次元はdimV+dimWである
（ちなみにこの場合の基底は
Vの基底をe_i、Wの基底をf_jで表せば
(e_i,0)および(0,f_j)となる）
だいたい、V,Wのパラメータの数がそれぞれdimV,dimWで
(v,w)∈V×Wなのだから、全体のパラメータの数はせいぜい
和にしかなりようがないのは、直感的に明らかである
■第三の誤解
「テンソルとは
”二つのベクトル v∈V、w∈W のテンソル積 v ⊗ w から成る集合”
の要素である」
これこそ全然違うｗ
実はテンソルとは
”二つのベクトル v∈V、w∈W のテンソル積 v ⊗ w の全体を包含する線型空間V⊗W”
の要素である
テンソル空間V⊗Wの基底はe_i⊗f_jであって、
テンソルt∈V⊗Wは上記基底の線型結合となる
しかし、一般にv⊗wの形では表せない
（v⊗wの形のものもテンソルであるが、
テンソルの中のほんの一部にすぎない）
◆yH25M02vWFhPクンの誤解の根は
>>812のこの発言かもしれん
「テンソル積の空間は、V × W（デカルト積）全体ではなく、
二つのベクトル v∈V、w∈W のテンソル積 v ⊗ w から成るものに制限される」
■第一の誤解
「ＶとＷのテンソル積Ｖ⊗Ｗを
”二つのベクトル v∈V、w∈W のテンソル積 v ⊗ w から成る集合”
と思っている」
実は全然違う
””二つのベクトル v∈V、w∈W のテンソル積 v ⊗ w から成る集合”
は、(v,w)∈Ｖ×Ｗからテンソル積T：V×W→V⊗Wで写した像T(V×W）
であって、V⊗Wそのものではない
■第二の誤解
「V×Wが線型空間でその次元がdimV×dimWだ」
と思っている
これも全然違う
V×Wそのものは只の集合で、線型空間ではない
線型空間の構造を入れることはできるが、
それは直和V⊕Wであって、その次元はdimV+dimWである
（ちなみにこの場合の基底は
Vの基底をe_i、Wの基底をf_jで表せば
(e_i,0)および(0,f_j)となる）
だいたい、V,Wのパラメータの数がそれぞれdimV,dimWで
(v,w)∈V×Wなのだから、全体のパラメータの数はせいぜい
和にしかなりようがないのは、直感的に明らかである
■第三の誤解
「テンソルとは
”二つのベクトル v∈V、w∈W のテンソル積 v ⊗ w から成る集合”
の要素である」
これこそ全然違うｗ
実はテンソルとは
”二つのベクトル v∈V、w∈W のテンソル積 v ⊗ w の全体を包含する線型空間V⊗W”
の要素である
テンソル空間V⊗Wの基底はe_i⊗f_jであって、
テンソルt∈V⊗Wは上記基底の線型結合となる
しかし、一般にv⊗wの形では表せない
（v⊗wの形のものもテンソルであるが、
テンソルの中のほんの一部にすぎない）
877１３２人目の素数さん
2020/10/04(日) 18:34:18.68ID:eb9Bl6F5 純粋と応用の区別って数学的にどう定義できるの？
878現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/04(日) 18:59:09.45ID:f31A/48O >>877
数学の応用と純粋との区別は、時代によって変わるから
厳密な定義は、難しいだろうな
確率論って知っている？
確率論の純粋数学と応用数学の切り分けみたいなものじゃないかな？
とくに、旧来純粋数学と言われた理論が
結構、数学以外の分野で、応用されるってある
例：圏論
数学の応用と純粋との区別は、時代によって変わるから
厳密な定義は、難しいだろうな
確率論って知っている？
確率論の純粋数学と応用数学の切り分けみたいなものじゃないかな？
とくに、旧来純粋数学と言われた理論が
結構、数学以外の分野で、応用されるってある
例：圏論
879１３２人目の素数さん
2020/10/04(日) 19:06:51.48ID:mLeuvA76 >>877
腹話術？
腹話術？
880現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/04(日) 21:36:48.61ID:f31A/48O >>828 補足
見本PDFは、フリーだが、下記、結構いいよ（＾＾；
https://www.morikita.co.jp/data/mkj/008191mkj.pdf
森北出版 見本PDF
ベクトル空間からはじめる抽象代数入門 2017
群・体・テンソルまで
学習院大学名誉教授理博飯高茂(監修) 津山工業高等専門学校教授理博松田修(著)
第9章 テンソル積とテンソル空間
P177-178 のテンソル積の普遍性 ここのP178の図と説明が良いね
圏論っぽいので、圏論知っている人は分かりやすいかも（＾＾；
見本PDFは、フリーだが、下記、結構いいよ（＾＾；
https://www.morikita.co.jp/data/mkj/008191mkj.pdf
森北出版 見本PDF
ベクトル空間からはじめる抽象代数入門 2017
群・体・テンソルまで
学習院大学名誉教授理博飯高茂(監修) 津山工業高等専門学校教授理博松田修(著)
第9章 テンソル積とテンソル空間
P177-178 のテンソル積の普遍性 ここのP178の図と説明が良いね
圏論っぽいので、圏論知っている人は分かりやすいかも（＾＾；
881現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/04(日) 21:37:23.25ID:f31A/48O >>879
他人だな
他人だな
882１３２人目の素数さん
2020/10/04(日) 22:11:41.91ID:mLeuvA76883現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/04(日) 23:01:46.52ID:f31A/48O885現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/04(日) 23:17:38.92ID:f31A/48O >>855
小澤の補足
♯記号は、集合の濃度だろうね
”id =Σx∈S evx(・)ιx”
の”・”は
下記みたいな任意のfってことでしょうね
圏論のHom(A,?)の”?”みたいな
ここら、説明がない
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%A8%98%E5%8F%B7%E3%81%AE%E8%A1%A8
数学記号の表
(抜粋)
f： ● → ● 写像 「f: S → T」は、f が S から T への写像であることを示す。
Im,Image, ● [● ] 像 写像 φ に対して、Image φ はその写像の像全体の集合（値域）を表す。写像 φ ： X→ Yに対して φ [X]とも書く。
https://ja.wikipedia.org/wiki/Hom%E5%87%BD%E6%89%8B
Hom函手
定義
Hom(A,?) : C → 集合 Hom(?,B) : C → 集合
小澤の補足
♯記号は、集合の濃度だろうね
”id =Σx∈S evx(・)ιx”
の”・”は
下記みたいな任意のfってことでしょうね
圏論のHom(A,?)の”?”みたいな
ここら、説明がない
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%A8%98%E5%8F%B7%E3%81%AE%E8%A1%A8
数学記号の表
(抜粋)
f： ● → ● 写像 「f: S → T」は、f が S から T への写像であることを示す。
Im,Image, ● [● ] 像 写像 φ に対して、Image φ はその写像の像全体の集合（値域）を表す。写像 φ ： X→ Yに対して φ [X]とも書く。
https://ja.wikipedia.org/wiki/Hom%E5%87%BD%E6%89%8B
Hom函手
定義
Hom(A,?) : C → 集合 Hom(?,B) : C → 集合
886１３２人目の素数さん
2020/10/05(月) 00:41:34.78ID:+Ac3xexk887１３２人目の素数さん
2020/10/05(月) 06:02:51.12ID:U/E15xVp >>886
ま、無知無能なシロウトは猛り狂うしかないんだろう やらせとけよ
「行列式はテンソルじゃない！」「内積もテンソルじゃない！」
とトンデモ発言をくりかえして、数学科出身者に馬鹿にされ嘲笑され
大恥かくのは◆yH25M02vWFhP本人だからさ
ほんと、某国立大工学部卒とかいってるけどありえないって
いくら工学部卒でも「任意の正方行列に逆行列が存在する」とか
「V×Wの次元はdimV×dimW」なんて馬鹿なこといわないよ
もう線型代数に関するだけで３つはトンデモ発言してるからね
大学で線型代数を学んだことが全くないのは明らか
◆yH25M02vWFhPの誤りは>>876で書いた通りだろう
行列式も内積も多重線型写像であることはさすがに認めざるをえない
ようだから、それでもなお「テンソルじゃない！」とつっぱるのは
「ベクトルのテンソル積であらわせないから」ということなんだろう
「テンソルとはベクトルのテンソル積であるもの、そのものに限る」
とか粋がってるんだろうけど・・・全然違うから！ 残念！！！
ま、無知無能なシロウトは猛り狂うしかないんだろう やらせとけよ
「行列式はテンソルじゃない！」「内積もテンソルじゃない！」
とトンデモ発言をくりかえして、数学科出身者に馬鹿にされ嘲笑され
大恥かくのは◆yH25M02vWFhP本人だからさ
ほんと、某国立大工学部卒とかいってるけどありえないって
いくら工学部卒でも「任意の正方行列に逆行列が存在する」とか
「V×Wの次元はdimV×dimW」なんて馬鹿なこといわないよ
もう線型代数に関するだけで３つはトンデモ発言してるからね
大学で線型代数を学んだことが全くないのは明らか
◆yH25M02vWFhPの誤りは>>876で書いた通りだろう
行列式も内積も多重線型写像であることはさすがに認めざるをえない
ようだから、それでもなお「テンソルじゃない！」とつっぱるのは
「ベクトルのテンソル積であらわせないから」ということなんだろう
「テンソルとはベクトルのテンソル積であるもの、そのものに限る」
とか粋がってるんだろうけど・・・全然違うから！ 残念！！！
888１３２人目の素数さん
2020/10/05(月) 06:03:33.85ID:U/E15xVp パチパチパチ👏
889現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/05(月) 07:41:18.60ID:zIJTDBy/890現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/05(月) 07:44:04.88ID:zIJTDBy/891１３２人目の素数さん
2020/10/05(月) 10:09:49.33ID:+Ac3xexk892１３２人目の素数さん
2020/10/05(月) 18:57:07.93ID:U/E15xVp893１３２人目の素数さん
2020/10/05(月) 19:00:28.00ID:U/E15xVp あぁぁぁぁ、フライドチキン、食いてぇぇぇぇ！！！
https://www.youtube.com/watch?v=z6Zcb2ZitsI
https://www.youtube.com/watch?v=z6Zcb2ZitsI
894現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/06(火) 11:40:02.98ID:Ssv0gYrv (>>766より)
自分で言ったこと覚えているか？
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
って、言ったよね
「内積も、行列式同様、テンソルです」って、何ですか？
数学に、こういう文学的、あるいは詩的な表現は、相応しくない
数学的に、何を言っているのか？
意味が分からない
統合失調症の薬の飲み忘れとしか思えない
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%85%E7%A9%8D
内積
内積（ないせき、英: inner product）は、（実または複素）ベクトル空間上で定義される非退化かつ正定値のエルミート半双線型形式（実係数の場合には対称双線型形式）のことである。二つのベクトルに対してある数（スカラー）を定める二項演算であるためスカラー積（スカラーせき、英: scalar product）ともいう。
注意
文献によっては、エルミート内積および半双線型形式は第二引数に関して線型、従って第一引数に関して共軛線型とするもの（特に物理学や行列環に関するもの）と、それとは逆に第一引数に関して線型、第二引数に関して共軛線型とするものがある。
関連のある積について
上記の内積と外積に対して、混同するべきではないがよく似た積として内部積（英語版） (interior) と外（部）積 (exterior) というのが、ベクトル場や微分形式に対する、あるいはより一般に外積代数における演算として定義される。さらにややこしいことに、幾何代数（英語版）において、内積 (inner) と（グラスマン）外積 (exterior) は幾何積（クリフォード線型環におけるクリフォード積）に統合される（内積は二つのベクトル (1-階ベクトル) をスカラー (0-階ベクトル) へ写し、外積は二つのベクトルを二重ベクトル (2-階ベクトル) へ写す）。そしてこの文脈においてグラスマン積はふつうは「外積」(outer)（あるいはウェッジ積）と呼ばれ、またこの文脈での内積は（考える二次形式が必ずしも正定値であることを要求されないという意味では「内積」でないので）スカラー積と呼ぶのが形式上はより適切である。
つづく
自分で言ったこと覚えているか？
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
って、言ったよね
「内積も、行列式同様、テンソルです」って、何ですか？
数学に、こういう文学的、あるいは詩的な表現は、相応しくない
数学的に、何を言っているのか？
意味が分からない
統合失調症の薬の飲み忘れとしか思えない
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%85%E7%A9%8D
内積
内積（ないせき、英: inner product）は、（実または複素）ベクトル空間上で定義される非退化かつ正定値のエルミート半双線型形式（実係数の場合には対称双線型形式）のことである。二つのベクトルに対してある数（スカラー）を定める二項演算であるためスカラー積（スカラーせき、英: scalar product）ともいう。
注意
文献によっては、エルミート内積および半双線型形式は第二引数に関して線型、従って第一引数に関して共軛線型とするもの（特に物理学や行列環に関するもの）と、それとは逆に第一引数に関して線型、第二引数に関して共軛線型とするものがある。
関連のある積について
上記の内積と外積に対して、混同するべきではないがよく似た積として内部積（英語版） (interior) と外（部）積 (exterior) というのが、ベクトル場や微分形式に対する、あるいはより一般に外積代数における演算として定義される。さらにややこしいことに、幾何代数（英語版）において、内積 (inner) と（グラスマン）外積 (exterior) は幾何積（クリフォード線型環におけるクリフォード積）に統合される（内積は二つのベクトル (1-階ベクトル) をスカラー (0-階ベクトル) へ写し、外積は二つのベクトルを二重ベクトル (2-階ベクトル) へ写す）。そしてこの文脈においてグラスマン積はふつうは「外積」(outer)（あるいはウェッジ積）と呼ばれ、またこの文脈での内積は（考える二次形式が必ずしも正定値であることを要求されないという意味では「内積」でないので）スカラー積と呼ぶのが形式上はより適切である。
つづく
895現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/06(火) 11:40:46.40ID:Ssv0gYrv >>894
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%BC%E3%83%89%E4%BB%A3%E6%95%B0
クリフォード代数
上で記述されたようなクリフォード代数はつねに存在し次のように構成できる： V を含む最も一般的な代数、すなわちテンソル代数 T(V) で始め、それから適切な商を取ることによって基本関係式が成り立つようにする。
関係を見るより洗練された方法は C?(V, Q) 上フィルトレーション（英語版）を構成することである。テンソル代数 T(V) は自然なフィルトレーションを持つことを思い出そう： F0 ⊂ F1 ⊂ F2 ⊂ ?、ただし Fk は k-階以下のテンソルの和を含む。これをクリフォード代数に射影することで C?(V, Q) 上のフィルトレーションが得られる。
反自己同型写像
自己同型 α に加えて、クリフォード代数の解析において重要な役割を果たす 2 つの反自己同型（英語版）が存在する。テンソル代数 T(V) はすべての積の順序を逆にする反自己同型とともに来ることを思い出そう：
http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/pdf/tensor_space.pdf
テンソル空間
平成 26 年 11 月
小澤 徹
P6
定理３ ベクトル空間 X 及び Y の基底を夫々(ei; i ∈ I) 及び (fj ; j ∈ J) とすると
(ρ(ei, fj ); (i, j) ∈ I × J) は X 〇x Y の基底を成す。X と Y 共に有限次元ならば X 〇x Y も有限
次元で dim(X 〇x Y ) = (dim X)(dim Y )=(I)(J) が成立つ。
(引用終り)
以上
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%BC%E3%83%89%E4%BB%A3%E6%95%B0
クリフォード代数
上で記述されたようなクリフォード代数はつねに存在し次のように構成できる： V を含む最も一般的な代数、すなわちテンソル代数 T(V) で始め、それから適切な商を取ることによって基本関係式が成り立つようにする。
関係を見るより洗練された方法は C?(V, Q) 上フィルトレーション（英語版）を構成することである。テンソル代数 T(V) は自然なフィルトレーションを持つことを思い出そう： F0 ⊂ F1 ⊂ F2 ⊂ ?、ただし Fk は k-階以下のテンソルの和を含む。これをクリフォード代数に射影することで C?(V, Q) 上のフィルトレーションが得られる。
反自己同型写像
自己同型 α に加えて、クリフォード代数の解析において重要な役割を果たす 2 つの反自己同型（英語版）が存在する。テンソル代数 T(V) はすべての積の順序を逆にする反自己同型とともに来ることを思い出そう：
http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/pdf/tensor_space.pdf
テンソル空間
平成 26 年 11 月
小澤 徹
P6
定理３ ベクトル空間 X 及び Y の基底を夫々(ei; i ∈ I) 及び (fj ; j ∈ J) とすると
(ρ(ei, fj ); (i, j) ∈ I × J) は X 〇x Y の基底を成す。X と Y 共に有限次元ならば X 〇x Y も有限
次元で dim(X 〇x Y ) = (dim X)(dim Y )=(I)(J) が成立つ。
(引用終り)
以上
896１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 15:30:18.40ID:ArpKO7AX >>894
>数学的に、何を言っているのか？意味が分からない
何を云ってるのか意味がわからない、とすれば
君が日本語の文章を正しく読む力を有してないから
数学以前の国語の問題
いちいち論理的に説明してやろう
まず
１．テンソルを多重線型写像として定義する
つまり、
”テンソルとはスカラー値の多重線型形式で表せるもの
そのようなものに限る”
と書かれている
次に
２．内積も行列式も多重線型形式である
と示されている
したがって、１．および２．から三段論法により
３．内積も行列式もテンソルである
が導ける
つまり、論理的に明確な、何の曖昧さもない
味もそっけもない、散文的表現である
まさにポスト抜きのモダニズム
>数学的に、何を言っているのか？意味が分からない
何を云ってるのか意味がわからない、とすれば
君が日本語の文章を正しく読む力を有してないから
数学以前の国語の問題
いちいち論理的に説明してやろう
まず
１．テンソルを多重線型写像として定義する
つまり、
”テンソルとはスカラー値の多重線型形式で表せるもの
そのようなものに限る”
と書かれている
次に
２．内積も行列式も多重線型形式である
と示されている
したがって、１．および２．から三段論法により
３．内積も行列式もテンソルである
が導ける
つまり、論理的に明確な、何の曖昧さもない
味もそっけもない、散文的表現である
まさにポスト抜きのモダニズム
897１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 15:34:07.66ID:ArpKO7AX >>895
>定理３
>ベクトル空間 X 及び Y の基底を夫々(ei; i ∈ I) 及び (fj ; j ∈ J) とすると
>(ρ(ei, fj ); (i, j) ∈ I × J) は X ⊗ Y の基底を成す。
>X と Y 共に有限次元ならば X ⊗ Y も有限次元で
>dim(X ⊗ Y ) = (dim X)(dim Y )=(I)(J) が成立つ。
で？
君は、まだ
「任意のt∈X⊗Yは、
それぞれあるx∈Xとy∈Yによって、
x⊗yとあらわすことができる」
と誤解してるのかね？
テンソル空間X⊗Yが
「x∈Xとy∈Yのテンソル積x⊗yの全体」
として定義できるなら、こんな簡単なことはない
し・か・し、どこにもそんな安直な定義はない
当然だ それでは、全然意味ないからだ
そもそも
「x∈Xとy∈Yのテンソル積x⊗yの全体」
は線型空間になり得ない
上記「」内の集合は
X、Yの基底同士のテンソル積全てを
要素として持つが、それらの和が、
テンソル積としてあらわせない場合がある
から、そのような場合、要素とならない
例えば
e1⊗f1+e2⊗f2
は、x⊗yの形では表せない
したがって、線型空間ではない
「違う！
基底同士のテンソル積のいかなる線型結合も
必ずx⊗yの形では表せる！」
と言い切るなら、今この場でやってみせろ！！！
できなければ、貴様を
「ホラ吹きトンデモ🐓野郎」
として、フライド🍗にして食ってやる
>定理３
>ベクトル空間 X 及び Y の基底を夫々(ei; i ∈ I) 及び (fj ; j ∈ J) とすると
>(ρ(ei, fj ); (i, j) ∈ I × J) は X ⊗ Y の基底を成す。
>X と Y 共に有限次元ならば X ⊗ Y も有限次元で
>dim(X ⊗ Y ) = (dim X)(dim Y )=(I)(J) が成立つ。
で？
君は、まだ
「任意のt∈X⊗Yは、
それぞれあるx∈Xとy∈Yによって、
x⊗yとあらわすことができる」
と誤解してるのかね？
テンソル空間X⊗Yが
「x∈Xとy∈Yのテンソル積x⊗yの全体」
として定義できるなら、こんな簡単なことはない
し・か・し、どこにもそんな安直な定義はない
当然だ それでは、全然意味ないからだ
そもそも
「x∈Xとy∈Yのテンソル積x⊗yの全体」
は線型空間になり得ない
上記「」内の集合は
X、Yの基底同士のテンソル積全てを
要素として持つが、それらの和が、
テンソル積としてあらわせない場合がある
から、そのような場合、要素とならない
例えば
e1⊗f1+e2⊗f2
は、x⊗yの形では表せない
したがって、線型空間ではない
「違う！
基底同士のテンソル積のいかなる線型結合も
必ずx⊗yの形では表せる！」
と言い切るなら、今この場でやってみせろ！！！
できなければ、貴様を
「ホラ吹きトンデモ🐓野郎」
として、フライド🍗にして食ってやる
898現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/06(火) 16:55:33.95ID:Ssv0gYrv >>894-895 補足
> http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/pdf/tensor_space.pdf
>テンソル空間
>定理３
>次元で dim(X 〇x Y ) = (dim X)(dim Y )=(I)(J) が成立つ。
ここを補足する
ベクトルのテンソル積（下記、直積 (ベクトル)）
座標ベクトル（英語版）のテンソル積をとった結果は行列になる
内積との対比 ”内積は外積のトレースに等しい。”
例えば、下記で、m = n = 3 で
座標ベクトル u=(u1,u2,u3),v=(v1,v2,v3)
として
内積 ?u, v? = u?v ＝u1v1+u2v2+u3v3
テンソル積u 〇x v
=(u1v1 u1v2 u1v3
u2v1 u2v2 u2v3
u3v1 u3v2 u3v3)
(注：3x3 の正方行列と思ってください)
二つの座標ベクトル u=(u1,u2,u3),v=(v1,v2,v3)で
内積 ?u, v? （スカラー）と、テンソル積u 〇x v （3x3の行列表現を持つ）とは、全く別物ですよ！！（＾＾；
以上
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E7%A9%8D_(%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB)
直積 (ベクトル)
直積（ちょくせき、英: direct product[1]）あるいは外積（がいせき、英: outer product）は典型的には二つのベクトルのテンソル積を言う。座標ベクトル（英語版）の外積をとった結果は行列になる。外積の名称は内積に対照するもので、内積はベクトルの対をスカラーにする。外積は、クロス積の意味で使われることもあるため、どちらの意味で使われているか注意が必要である。
内積との対比
m = n のときは別な仕方で行列の積を施してスカラー（1 × 1 行列）が得られる。つまり、数ベクトル空間の標準内積（点乗積）?u, v? = u?v である。内積は外積のトレースに等しい。
(引用終り)
以上
> http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/pdf/tensor_space.pdf
>テンソル空間
>定理３
>次元で dim(X 〇x Y ) = (dim X)(dim Y )=(I)(J) が成立つ。
ここを補足する
ベクトルのテンソル積（下記、直積 (ベクトル)）
座標ベクトル（英語版）のテンソル積をとった結果は行列になる
内積との対比 ”内積は外積のトレースに等しい。”
例えば、下記で、m = n = 3 で
座標ベクトル u=(u1,u2,u3),v=(v1,v2,v3)
として
内積 ?u, v? = u?v ＝u1v1+u2v2+u3v3
テンソル積u 〇x v
=(u1v1 u1v2 u1v3
u2v1 u2v2 u2v3
u3v1 u3v2 u3v3)
(注：3x3 の正方行列と思ってください)
二つの座標ベクトル u=(u1,u2,u3),v=(v1,v2,v3)で
内積 ?u, v? （スカラー）と、テンソル積u 〇x v （3x3の行列表現を持つ）とは、全く別物ですよ！！（＾＾；
以上
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E7%A9%8D_(%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB)
直積 (ベクトル)
直積（ちょくせき、英: direct product[1]）あるいは外積（がいせき、英: outer product）は典型的には二つのベクトルのテンソル積を言う。座標ベクトル（英語版）の外積をとった結果は行列になる。外積の名称は内積に対照するもので、内積はベクトルの対をスカラーにする。外積は、クロス積の意味で使われることもあるため、どちらの意味で使われているか注意が必要である。
内積との対比
m = n のときは別な仕方で行列の積を施してスカラー（1 × 1 行列）が得られる。つまり、数ベクトル空間の標準内積（点乗積）?u, v? = u?v である。内積は外積のトレースに等しい。
(引用終り)
以上
899現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/06(火) 17:03:47.88ID:Ssv0gYrv >>898 文字化け訂正
内積 ?u, v? = u?v ＝u1v1+u2v2+u3v3
↓
内積 (u, v) = uT v ＝u1v1+u2v2+u3v3
(注 uTは、ベクトルuの転置で、列ベクトルuを行ベクトルにした意)
内積 ?u, v? （スカラー）と、テンソル積u 〇x v （3x3の行列表現を持つ）とは、全く別物ですよ！！（＾＾；
↓
内積 (u, v) （スカラー）と、テンソル積u 〇x v （3x3の行列表現を持つ）とは、全く別物ですよ！！（＾＾；
まあ、原文 直積 (ベクトル)wikipediaを見てください（＾＾；
内積 ?u, v? = u?v ＝u1v1+u2v2+u3v3
↓
内積 (u, v) = uT v ＝u1v1+u2v2+u3v3
(注 uTは、ベクトルuの転置で、列ベクトルuを行ベクトルにした意)
内積 ?u, v? （スカラー）と、テンソル積u 〇x v （3x3の行列表現を持つ）とは、全く別物ですよ！！（＾＾；
↓
内積 (u, v) （スカラー）と、テンソル積u 〇x v （3x3の行列表現を持つ）とは、全く別物ですよ！！（＾＾；
まあ、原文 直積 (ベクトル)wikipediaを見てください（＾＾；
900ID:1lEWVa2s
2020/10/06(火) 17:29:20.14ID:ZUNhYOI4 体を満たさない可換環は環Kに置いて
(ab)c=a(bc)
ab≠ba
ab⇒形1
ba⇒形2
形1と形2は絶対的他を排除したラブラブな関係がある。
環Kが編み出す形があり
環Kの対偶はアーベル群である。
(ab)c=a(bc)
ab≠ba
ab⇒形1
ba⇒形2
形1と形2は絶対的他を排除したラブラブな関係がある。
環Kが編み出す形があり
環Kの対偶はアーベル群である。
901ID:1lEWVa2s
2020/10/06(火) 17:34:53.71ID:ZUNhYOI4 環Kは(ab)c=a(bc)
が成り立たないらしい。
が成り立たないらしい。
902１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 17:36:10.19ID:ArpKO7AX >>898
>内積 |u, v| （スカラー）と、テンソル積u ⊗ v （3x3の行列表現を持つ）とは、
>全く別物ですよ！！
テンソル＝テンソル積、ではないがな
テンソルの定義、読めよ
どこに
「テンソルとはベクトルのテンソル積であるもの、そのものに限る」
って書いてある？
書いてないよな？そりゃそうだ
ベクトルのテンソル積はテンソルだが、逆は真ではない！
>内積 |u, v| （スカラー）と、テンソル積u ⊗ v （3x3の行列表現を持つ）とは、
>全く別物ですよ！！
テンソル＝テンソル積、ではないがな
テンソルの定義、読めよ
どこに
「テンソルとはベクトルのテンソル積であるもの、そのものに限る」
って書いてある？
書いてないよな？そりゃそうだ
ベクトルのテンソル積はテンソルだが、逆は真ではない！
903１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 17:42:46.62ID:ArpKO7AX も・し
「内積も行列式も、”テンソル積”です」
といったなら、それは明らかに誤りだから、嘲笑されても当然
しかし、実際に書かれたのは
「内積も行列式も、”テンソル”です」
いかなるテンソルも、ベクトルのテンソル積であるというのなら
両者は同じことだが、実際は違う
何度も何度も何度も何度も書いているが
（そして一度も反応がないが）
「ベクトルのテンソル積で表せないテンソルがある」
「ベクトルのテンソル積の一次結合」で表せても
「ベクトルの単一のテンソル積」では表せない
どうも🐓はこの根本的な事実が全く理解できてない
（というか理解する気が毛頭ない）ようだ
そんな向学心のないヤツは数学に興味もつなよ
数学板に書くなよ 数学板読むなよ
意味ないだろ？
「内積も行列式も、”テンソル積”です」
といったなら、それは明らかに誤りだから、嘲笑されても当然
しかし、実際に書かれたのは
「内積も行列式も、”テンソル”です」
いかなるテンソルも、ベクトルのテンソル積であるというのなら
両者は同じことだが、実際は違う
何度も何度も何度も何度も書いているが
（そして一度も反応がないが）
「ベクトルのテンソル積で表せないテンソルがある」
「ベクトルのテンソル積の一次結合」で表せても
「ベクトルの単一のテンソル積」では表せない
どうも🐓はこの根本的な事実が全く理解できてない
（というか理解する気が毛頭ない）ようだ
そんな向学心のないヤツは数学に興味もつなよ
数学板に書くなよ 数学板読むなよ
意味ないだろ？
904１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 17:53:53.57ID:ArpKO7AX 内積も行列式も、
「反変テンソル空間からスカラーへの線型形式」
で表せるので
「共変テンソル」
である
そして、それは
（共変）基底ベクトルのテンソル積の一次結合
として、多次元配列で表せる
で、その
（共変）基底ベクトルのテンソル積の一次結合 が、
（共変）ベクトルのテンソル積 として表せるか
といえば、答えは否だ
で、さらに
（共変）ベクトルのテンソル積 として表せないから
（共変）テンソル ではない
といえるかといえば、これまた答えは否だ
つまり
（共変）テンソル とは
（共変）基底ベクトルのテンソル積の一次結合 であって
（共変）ベクトルのテンソル積 である必要はない
つまり、例えば、2階テンソルの場合、任意の
(t11 t12 t13
t21 t22 t23
t31 t32 t33)
がそうなるのであって
(u1v1 u1v2 u1v3
u2v1 u2v2 u2v3
u3v1 u3v2 u3v3)
と表せる必要はない！
「反変テンソル空間からスカラーへの線型形式」
で表せるので
「共変テンソル」
である
そして、それは
（共変）基底ベクトルのテンソル積の一次結合
として、多次元配列で表せる
で、その
（共変）基底ベクトルのテンソル積の一次結合 が、
（共変）ベクトルのテンソル積 として表せるか
といえば、答えは否だ
で、さらに
（共変）ベクトルのテンソル積 として表せないから
（共変）テンソル ではない
といえるかといえば、これまた答えは否だ
つまり
（共変）テンソル とは
（共変）基底ベクトルのテンソル積の一次結合 であって
（共変）ベクトルのテンソル積 である必要はない
つまり、例えば、2階テンソルの場合、任意の
(t11 t12 t13
t21 t22 t23
t31 t32 t33)
がそうなるのであって
(u1v1 u1v2 u1v3
u2v1 u2v2 u2v3
u3v1 u3v2 u3v3)
と表せる必要はない！
905現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/06(火) 18:16:53.64ID:Ssv0gYrv >>900-901
ID:1lEWVa2sさん、レスありがとう（＾＾
>環Kは(ab)c=a(bc)
>が成り立たないらしい。
下記の”非結合的多元体”みたいな話かな
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E5%85%83%E4%BD%93
多元体
目次
1 定義
2 結合的多元体
3 非結合的多元体
非結合的多元体
多元体において結合律の成立を課さずに、普通はより弱い結合性の条件（交代律や冪結合律など）を課したものを考えることもある。体上の多元環も参照。
実数体上で有限次元の可換単位的多元体は同型を除いてちょうど二つだけ存在する（それは実数体と複素数体で、いずれも結合的である）。
ID:1lEWVa2sさん、レスありがとう（＾＾
>環Kは(ab)c=a(bc)
>が成り立たないらしい。
下記の”非結合的多元体”みたいな話かな
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E5%85%83%E4%BD%93
多元体
目次
1 定義
2 結合的多元体
3 非結合的多元体
非結合的多元体
多元体において結合律の成立を課さずに、普通はより弱い結合性の条件（交代律や冪結合律など）を課したものを考えることもある。体上の多元環も参照。
実数体上で有限次元の可換単位的多元体は同型を除いてちょうど二つだけ存在する（それは実数体と複素数体で、いずれも結合的である）。
906現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/06(火) 18:41:56.49ID:Ssv0gYrv >>898 補足
『テンソル』とは？
（下記wikipedia）
「一つの原理として「『テンソル』とは単に任意のテンソル積空間の元である」と定めることはできるが、数学の文献では「テンソル」とは上記のように一つの空間 V とその双対から得られるテンソル積（テンソル空間）の元のために用いるのが普通である。」
まあ、なので
１．一つの原理として「『テンソル』とは単に任意のテンソル積空間の元である」と定めることはできる
２．数学の文献では「テンソル」とは上記のように一つの空間 V とその双対から得られるテンソル積（テンソル空間）の元のために用いるのが普通である。
となるな（＾＾；
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB
テンソル
(抜粋)
テンソル（英: tensor, 独: Tensor）とは、線形的な量または線形的な幾何概念を一般化したもので、基底を選べば、多次元の配列として表現できるようなものである。
いくつかのアプローチ
テンソルの定義・表示と取り扱いには、いくつかの同等な方法がある。実際にそれらが同じことを指していることを納得するには、多少の慣れが必要である。
古典的なアプローチではテンソルは多次元の配列で、階数0のスカラーや階数1のベクトル、階数2の行列などの階数nへの一般化を与えているものと見なされる。
「テンソルはテンソル空間の元のことなのだ」という標語を掲げることもできるだろうが、高階のテンソルに対して幾何的な解釈をどう与えるかという難しさもあって、成分表示によらないアプローチが支配的になったというわけではない。
テンソル積に基づく定義
普遍性を通じて定義できるベクトル空間のテンソル積の元としてテンソルを定義することによってなされる。この文脈では、(p, q)-型テンソルはベクトル空間のテンソル積の元
略
として定義される[2]。
テンソルは極めて一般に（例えば任意の環上の加群まで含めて）定義することができる。一つの原理として「『テンソル』とは単に任意のテンソル積空間の元である」と定めることはできるが、数学の文献では「テンソル」とは上記のように一つの空間 V とその双対から得られるテンソル積（テンソル空間）の元のために用いるのが普通である。
(引用終り)
以上
『テンソル』とは？
（下記wikipedia）
「一つの原理として「『テンソル』とは単に任意のテンソル積空間の元である」と定めることはできるが、数学の文献では「テンソル」とは上記のように一つの空間 V とその双対から得られるテンソル積（テンソル空間）の元のために用いるのが普通である。」
まあ、なので
１．一つの原理として「『テンソル』とは単に任意のテンソル積空間の元である」と定めることはできる
２．数学の文献では「テンソル」とは上記のように一つの空間 V とその双対から得られるテンソル積（テンソル空間）の元のために用いるのが普通である。
となるな（＾＾；
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB
テンソル
(抜粋)
テンソル（英: tensor, 独: Tensor）とは、線形的な量または線形的な幾何概念を一般化したもので、基底を選べば、多次元の配列として表現できるようなものである。
いくつかのアプローチ
テンソルの定義・表示と取り扱いには、いくつかの同等な方法がある。実際にそれらが同じことを指していることを納得するには、多少の慣れが必要である。
古典的なアプローチではテンソルは多次元の配列で、階数0のスカラーや階数1のベクトル、階数2の行列などの階数nへの一般化を与えているものと見なされる。
「テンソルはテンソル空間の元のことなのだ」という標語を掲げることもできるだろうが、高階のテンソルに対して幾何的な解釈をどう与えるかという難しさもあって、成分表示によらないアプローチが支配的になったというわけではない。
テンソル積に基づく定義
普遍性を通じて定義できるベクトル空間のテンソル積の元としてテンソルを定義することによってなされる。この文脈では、(p, q)-型テンソルはベクトル空間のテンソル積の元
略
として定義される[2]。
テンソルは極めて一般に（例えば任意の環上の加群まで含めて）定義することができる。一つの原理として「『テンソル』とは単に任意のテンソル積空間の元である」と定めることはできるが、数学の文献では「テンソル」とは上記のように一つの空間 V とその双対から得られるテンソル積（テンソル空間）の元のために用いるのが普通である。
(引用終り)
以上
907現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/06(火) 18:42:51.20ID:Ssv0gYrv908１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 19:19:37.63ID:ArpKO7AX909１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 19:32:17.43ID:ArpKO7AX >>906
>一つの原理として
>「『テンソル』とは単に任意のテンソル積空間の元である」
>と定めることはできる
意味、わかってないだろｗ
例えば
「ベクトル空間VとWのテンソル積V⊗W」とは
「v∈Vとw∈Wのテンソル積v⊗w全体からなる集合」ではない
馬鹿にも分かるようにいえば、
「Vの基底をe1~en、Wの基底をf1~fmとするとき、
そのn*m個のテンソル積、e1⊗f1~en⊗fmを基底とするベクトル空間」
である
分からない？
じゃ、数学板から出ていけ
馬鹿には無理だ 諦めろ
>一つの原理として
>「『テンソル』とは単に任意のテンソル積空間の元である」
>と定めることはできる
意味、わかってないだろｗ
例えば
「ベクトル空間VとWのテンソル積V⊗W」とは
「v∈Vとw∈Wのテンソル積v⊗w全体からなる集合」ではない
馬鹿にも分かるようにいえば、
「Vの基底をe1~en、Wの基底をf1~fmとするとき、
そのn*m個のテンソル積、e1⊗f1~en⊗fmを基底とするベクトル空間」
である
分からない？
じゃ、数学板から出ていけ
馬鹿には無理だ 諦めろ
910現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/06(火) 20:40:22.01ID:Bqw4JrwL911１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 20:47:50.18ID:ArpKO7AX912ID:1lEWVa2s
2020/10/06(火) 20:51:15.29ID:HM/0CWK5 京大OCW 再生リスト 雪江みてる。
913１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:12:58.10ID:ArpKO7AX ロシア革命（ロシアかくめい）とは、
1917年にロシア帝国で起きた
2度の革命のことを指す名称である。
1917年にロシア帝国で起きた
2度の革命のことを指す名称である。
914１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:13:26.08ID:ArpKO7AX 広義には1905年のロシア第一革命も含めた長期の諸革命運動を意味する。
915１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:14:07.47ID:ArpKO7AX 1905年、血の日曜日事件によって始まったロシア第一革命は、
1907年6月にストルイピン首相のクーデタで終息した。
1907年6月にストルイピン首相のクーデタで終息した。
916１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:14:30.82ID:ArpKO7AX 労働運動や革命運動は一時的に停滞し、革命家は西ヨーロッパへと逃れた。
917１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:15:01.87ID:ArpKO7AX 1912年4月、バイカル湖北方のレナ金鉱で
ストライキ中の労働者に対して軍隊が発砲し、
多数の死者が出た（レナ金鉱事件）。
ストライキ中の労働者に対して軍隊が発砲し、
多数の死者が出た（レナ金鉱事件）。
918１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:15:35.32ID:ArpKO7AX 全国に抗議ストが広がり、労働運動は再活性化へと向かった。
919１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:16:03.70ID:ArpKO7AX ストライキは1914年には第一革命期に匹敵するレベルに達した。
920１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:16:45.47ID:ArpKO7AX 第一次世界大戦が勃発すると愛国主義が高まり、
弾圧も強まって労働運動はいったん脇に押しやられたが、
戦争が生活条件の悪化をもたらすと労働運動は復活した。
弾圧も強まって労働運動はいったん脇に押しやられたが、
戦争が生活条件の悪化をもたらすと労働運動は復活した。
921１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:17:17.58ID:ArpKO7AX 1915年6月にコストロマー、8月にイヴァノヴォ＝ヴォズネセンスクで
労働者が警官と軍隊に射殺される事件が起き、抗議のストを呼び起こした。
労働者が警官と軍隊に射殺される事件が起き、抗議のストを呼び起こした。
922１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:17:56.34ID:ArpKO7AX 自由主義者は1915年に国会でカデットを中心として「進歩ブロック」をつくり、
戦勝をもたらしうる「信任内閣」の実現をめざして政府批判を強めた。
自由主義陣営内の急進派は労働者代表も含む工業動員のための組織として
戦時工業委員会を主要都市に設立した。
戦勝をもたらしうる「信任内閣」の実現をめざして政府批判を強めた。
自由主義陣営内の急進派は労働者代表も含む工業動員のための組織として
戦時工業委員会を主要都市に設立した。
923１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:18:55.54ID:ArpKO7AX 1916年6月、政府は従来兵役を免除してきた
中央アジア諸民族やザカフカーズの回教徒住民を
後方勤務に動員することを発表した。
中央アジア、カザフスタンの住民は7月に反乱を起こした。
中央アジア諸民族やザカフカーズの回教徒住民を
後方勤務に動員することを発表した。
中央アジア、カザフスタンの住民は7月に反乱を起こした。
924１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:19:42.85ID:ArpKO7AX 10月にはペトログラードの労働者がストライキを行い、軍隊の一部も加わった。
925１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:20:16.89ID:ArpKO7AX 11月、進歩ブロックのミリュコーフは
国会において政府の行為をひとつひとつ挙げて
「愚行なのか、それとも裏切りなのか」
と非難する演説を行った。
国会において政府の行為をひとつひとつ挙げて
「愚行なのか、それとも裏切りなのか」
と非難する演説を行った。
926１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:21:17.01ID:ArpKO7AX 支配層の動揺も激しくなり、12月には
皇帝夫妻に取り入って権勢をふるっていた僧侶ラスプーチンが
皇族や貴族のグループによって暗殺された。
皇帝夫妻に取り入って権勢をふるっていた僧侶ラスプーチンが
皇族や貴族のグループによって暗殺された。
927１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:21:57.87ID:ArpKO7AX 1917年1月、中央戦時工業委員会労働者グループは
「国の完全な民主化」「人民に依拠する臨時政府」
をスローガンとして掲げて国会デモを呼びかけた。
「国の完全な民主化」「人民に依拠する臨時政府」
をスローガンとして掲げて国会デモを呼びかけた。
928１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:22:32.63ID:ArpKO7AX 政府は労働者グループのメンバーや協力者を逮捕し、
中央戦時工業委員会は抗議声明を発表した。
中央戦時工業委員会は抗議声明を発表した。
929１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:23:28.58ID:ArpKO7AX 1917年2月23日、ペトログラードで国際婦人デーにあわせて
ヴィボルグ地区の女性労働者がストライキに入り、デモを行った。
ヴィボルグ地区の女性労働者がストライキに入り、デモを行った。
930１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:23:58.45ID:ArpKO7AX 食糧不足への不満を背景とした「パンをよこせ」という要求が中心となっていた。
931１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:24:27.22ID:ArpKO7AX 他の労働者もこのデモに呼応し、数日のうちにデモとストは全市に広がった。
932１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:24:56.10ID:ArpKO7AX 要求も「戦争反対」や「専制打倒」へと拡大した。
933１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:25:20.61ID:ArpKO7AX ニコライ2世は軍にデモやストの鎮圧を命じ、ドゥーマには停会命令を出した。
934１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:25:44.66ID:ArpKO7AX しかし鎮圧に向かった兵士は次々に反乱を起こして労働者側についた。
935１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:26:22.14ID:ArpKO7AX 2月27日、労働者や兵士はメンシェヴィキの呼びかけに応じて
ペトログラード・ソヴィエトを結成した。
メンシェヴィキのチヘイゼが議長に選ばれた。
ペトログラード・ソヴィエトを結成した。
メンシェヴィキのチヘイゼが議長に選ばれた。
936１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:27:21.92ID:ArpKO7AX 一方、同じ日にドゥーマの議員は国会議長である
十月党（オクチャブリスト）のミハイル・ロジャンコのもとで
臨時委員会をつくって新政府の設立へと動いた。
十月党（オクチャブリスト）のミハイル・ロジャンコのもとで
臨時委員会をつくって新政府の設立へと動いた。
937１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:28:03.50ID:ArpKO7AX 3月1日、ペトログラード・ソヴィエトは
ペトログラード守備軍に対して
「命令第一号」を出した。
ペトログラード守備軍に対して
「命令第一号」を出した。
938１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:28:49.49ID:ArpKO7AX 「国会軍事委員会の命令は、
それが労兵ソヴィエトの命令と決定に反しないかぎりで
遂行すべきである」などとし、
国家権力を臨時政府と分かちあう姿勢を示した。
それが労兵ソヴィエトの命令と決定に反しないかぎりで
遂行すべきである」などとし、
国家権力を臨時政府と分かちあう姿勢を示した。
939１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:29:17.14ID:ArpKO7AX これによって生まれた状況は二重権力と呼ばれた。
940１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:29:54.35ID:ArpKO7AX ドゥーマ臨時委員会は3月2日、
リヴォフを首相とする臨時政府を設立した。
（第一次臨時政府）
リヴォフを首相とする臨時政府を設立した。
（第一次臨時政府）
941１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:30:41.09ID:ArpKO7AX この臨時政府には、社会革命党からアレクサンドル・ケレンスキーが法相として入閣したものの、
そのほかはカデットやオクチャブリストなどからなる自由主義者中心の内閣であった。
そのほかはカデットやオクチャブリストなどからなる自由主義者中心の内閣であった。
942１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:31:23.99ID:ArpKO7AX 臨時政府から退位を要求されたニコライ2世は
弟のミハイル・アレクサンドロヴィチ大公に皇位を譲ったものの、
ミハイル大公は翌日の3月3日にこれを拒否し、
帝位につくものが誰もいなくなったロマノフ朝は崩壊した。
弟のミハイル・アレクサンドロヴィチ大公に皇位を譲ったものの、
ミハイル大公は翌日の3月3日にこれを拒否し、
帝位につくものが誰もいなくなったロマノフ朝は崩壊した。
943１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:32:05.00ID:ArpKO7AX ペトログラード・ソヴィエトを指導するメンシェヴィキは、
ロシアが当面する革命はブルジョワ革命であり、
権力はブルジョワジーが握るべきであるという認識から、
臨時政府をブルジョワ政府と見なして支持する方針を示した。
ロシアが当面する革命はブルジョワ革命であり、
権力はブルジョワジーが握るべきであるという認識から、
臨時政府をブルジョワ政府と見なして支持する方針を示した。
944ID:1lEWVa2s
2020/10/06(火) 21:34:35.93ID:1fL/EOgL 政治なんて誰も興味ないよ。
ある格では問題といた人から省いていくし。
ある格では問題といた人から省いていくし。
945１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:39:52.59ID:ArpKO7AX >>944
君が興味を持たないからといって
誰も興味を持たないことにはならない
生きていたいなら政治に関心をもったほうがいい
国家は君のためになることは何一つしない
国家は大多数の人類の敵である
政治家はみなサイコパスであり抹殺すべき鬼畜である
女性や外国人や障害者や同性愛者等を差別するヒマがあったら
サイコパスを見つけ出して一人残らず焼き殺すべきである
君が興味を持たないからといって
誰も興味を持たないことにはならない
生きていたいなら政治に関心をもったほうがいい
国家は君のためになることは何一つしない
国家は大多数の人類の敵である
政治家はみなサイコパスであり抹殺すべき鬼畜である
女性や外国人や障害者や同性愛者等を差別するヒマがあったら
サイコパスを見つけ出して一人残らず焼き殺すべきである
946１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:50:46.66ID:ArpKO7AX サイコパスについて
オックスフォード大学の心理学専門家ケヴィン・ダットンによると
サイコパスの主な特徴を以下の様に定義している。
・極端な冷酷さ・無慈悲
・エゴイズム
・感情の欠如
・結果至上主義
オックスフォード大学の心理学専門家ケヴィン・ダットンによると
サイコパスの主な特徴を以下の様に定義している。
・極端な冷酷さ・無慈悲
・エゴイズム
・感情の欠如
・結果至上主義
947１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:52:06.08ID:ArpKO7AX 中でも、最大の特徴は「良心の欠如」であり、
他人の痛みに対する共感が全く無く、
自己中心的な行動をして相手を苦しめても
快楽は感じるが、罪悪感は微塵も感じない。
「人の心や人権、尊厳を平気で踏みにじる行動をしながら、そのことに心が動かない」
という特徴があり、良心の呵責なく他者を傷つけることができる。
サイコパスの人間の大部分は殺人を犯す凶悪犯ではなく、
身近にひそむ異常人格者（＝マイルド・サイコパス）であるとされている。
このようなマイルド・サイコパスは、社会的成功を収めることも多いとされている。
他人の痛みに対する共感が全く無く、
自己中心的な行動をして相手を苦しめても
快楽は感じるが、罪悪感は微塵も感じない。
「人の心や人権、尊厳を平気で踏みにじる行動をしながら、そのことに心が動かない」
という特徴があり、良心の呵責なく他者を傷つけることができる。
サイコパスの人間の大部分は殺人を犯す凶悪犯ではなく、
身近にひそむ異常人格者（＝マイルド・サイコパス）であるとされている。
このようなマイルド・サイコパスは、社会的成功を収めることも多いとされている。
948１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:53:20.43ID:ArpKO7AX 犯罪心理学者のロバート・D・ヘアは
サイコパスを以下のように定義している。
・良心が異常に欠如している
・他者に冷淡で共感しない
・慢性的に平然と嘘をつく
・行動に対する責任が全く取れない
・罪悪感が皆無
・自尊心が過大で自己中心的
・口が達者で表面は魅力的
サイコパスを以下のように定義している。
・良心が異常に欠如している
・他者に冷淡で共感しない
・慢性的に平然と嘘をつく
・行動に対する責任が全く取れない
・罪悪感が皆無
・自尊心が過大で自己中心的
・口が達者で表面は魅力的
949１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:54:32.12ID:ArpKO7AX 中野信子によりサイコパスについて以下のような具体的な特徴が挙げられている。
950１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:55:05.60ID:ArpKO7AX ・「良心の欠如」「表面的な愛想の良さ」「言葉の巧みさ」「節操のなさ」
「長期的な人間関係の欠如」という特徴がある。
「長期的な人間関係の欠如」という特徴がある。
951１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:55:47.59ID:ArpKO7AX ・ありえないようなウソをつき、常人には考えられない不正を働いても、平然としている。
ウソが完全に暴かれ、衆目に晒されても、全く恥じるそぶりさえ見せず、堂々としている。
それどころか、「自分は不当に非難されている被害者」「悲劇の渦中にあるヒロイン」
であるかのように振る舞いさえする。
ウソが完全に暴かれ、衆目に晒されても、全く恥じるそぶりさえ見せず、堂々としている。
それどころか、「自分は不当に非難されている被害者」「悲劇の渦中にあるヒロイン」
であるかのように振る舞いさえする。
952１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:56:27.41ID:ArpKO7AX ・外見は魅力的で社交的。トークやプレゼンテーションも立て板に水で、抜群に面白い。
だが、関わった人はみな騙され、不幸のどん底に突き落とされる。
性的に奔放であるため、色恋沙汰のトラブルも絶えない。
だが、関わった人はみな騙され、不幸のどん底に突き落とされる。
性的に奔放であるため、色恋沙汰のトラブルも絶えない。
953１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:57:22.11ID:ArpKO7AX ・長期的なビジョンを持つことが困難なので、発言に責任を取ることができない。
過去に語った内容とまるで違うことを平気で主張する。
矛盾を指摘されても「断じてそんなことは言っていません」と、涼しい顔で言い張る。
経歴を詐称する。
過去に語った内容とまるで違うことを平気で主張する。
矛盾を指摘されても「断じてそんなことは言っていません」と、涼しい顔で言い張る。
経歴を詐称する。
954１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:58:01.54ID:ArpKO7AX ・残虐な殺人や悪辣な詐欺事件をおかしたにもかかわらず、まったく反省の色を見せない。
そればかりか、自己の正当性を主張する手記などを世間に公表する。
そればかりか、自己の正当性を主張する手記などを世間に公表する。
955１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:58:35.91ID:ArpKO7AX ・ネット上で「荒らし」行為をよくする。
956１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:59:28.80ID:ArpKO7AX ・愛情の細やかな人の良心をくすぐり、餌食にしていく。
自己犠牲を美徳としている人ほどサイコパスに目をつけられやすい。
自己犠牲を美徳としている人ほどサイコパスに目をつけられやすい。
957１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 22:00:28.84ID:ArpKO7AX ・脳の一部の領域の活動・反応が著しく低く
「不安や恐怖を感じにくい」「モラルを感じない」
「痛々しい画像を見ても反応しない」
などの特徴がある。
「不安や恐怖を感じにくい」「モラルを感じない」
「痛々しい画像を見ても反応しない」
などの特徴がある。
958１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 22:01:13.40ID:ArpKO7AX ・他者への共感は欠如しているが、国語の試験問題を解くかのように、
相手の目から感情を読み取るのは得意である。
しかし他人の恐怖や悲しみを察する能力には欠ける。
相手の目から感情を読み取るのは得意である。
しかし他人の恐怖や悲しみを察する能力には欠ける。
959１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 22:03:42.46ID:ArpKO7AX サイコパスの症状はグレーゾーン的であり
「サイコパス的な脳のつくりを持ちながら、反社会性傾向はなく、
攻撃性が社会的に許容される程度（重犯罪を犯さない）」
のサイコパスも存在しており、身近な日常に紛れ込んでいる可能性も高い。
このような、社会的に適合・成功しているケースを
「マイルド・サイコパス（または成功したサイコパス）」
と呼ぶこともある。
「サイコパス的な脳のつくりを持ちながら、反社会性傾向はなく、
攻撃性が社会的に許容される程度（重犯罪を犯さない）」
のサイコパスも存在しており、身近な日常に紛れ込んでいる可能性も高い。
このような、社会的に適合・成功しているケースを
「マイルド・サイコパス（または成功したサイコパス）」
と呼ぶこともある。
960１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 22:05:22.56ID:ArpKO7AX ・「情動面でのサイコパスの特徴」（良心の欠如・冷淡・自己中心的など）
を持ちながらも「犯罪行為」は行わない（低い反社会性）。
・前述したような「社会的成功を収めているサイコパス」は
「反社会性が低い」のが特徴である。
・マイルド・サイコパスであっても、ほぼ間違いなく
何らかのハラスメント行為に及ぶと言われている。
・マイルド・サイコパスの上司がいる会社の場合
「部下の離職率、精神疾患の発症、モチベーションの低下」
などが際立っていることも報告されており、
会社によっては、その社会的損失が莫大ともなり得る。
を持ちながらも「犯罪行為」は行わない（低い反社会性）。
・前述したような「社会的成功を収めているサイコパス」は
「反社会性が低い」のが特徴である。
・マイルド・サイコパスであっても、ほぼ間違いなく
何らかのハラスメント行為に及ぶと言われている。
・マイルド・サイコパスの上司がいる会社の場合
「部下の離職率、精神疾患の発症、モチベーションの低下」
などが際立っていることも報告されており、
会社によっては、その社会的損失が莫大ともなり得る。
961１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 22:09:00.98ID:ArpKO7AX サイコパスは、組織内の位置としては組織下層部よりも上層部に多いと考えられており、
とりわけ企業に存在するサイコパスはコーポレート・サイコパス (corporate psycopath)
と呼ばれ、長年安定して営まれてきた企業をときに破滅へと導く原因になり得る
と考えられはじめている。
とりわけ企業に存在するサイコパスはコーポレート・サイコパス (corporate psycopath)
と呼ばれ、長年安定して営まれてきた企業をときに破滅へと導く原因になり得る
と考えられはじめている。
962１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 22:10:48.20ID:ArpKO7AX コーポレート・サイコパスには以下の様な特徴がある。
・「変化」と「スリル」を好むため、様々なことが次々起こる状況に惹かれる。
・自由な社風になじみやすい。ラフでフラットな意思決定が許される状況を利用する。
・他人を利用することが得意な為、リーダー職に適正がある。
スピードが速い業界などでは、本性が暴かれる前に、
周りの状況が変化するため都合が良い。
一般社会ではサイコパスの発生率は1%だが、
組織の指導的地位にいる人で見ると4%になるという研究がある。
・口ばかりうまくて地道な仕事はできないタイプが多い。
・職場の環境を「協調し合う場所」というより「競争的なもの」であると捉える。
・「変化」と「スリル」を好むため、様々なことが次々起こる状況に惹かれる。
・自由な社風になじみやすい。ラフでフラットな意思決定が許される状況を利用する。
・他人を利用することが得意な為、リーダー職に適正がある。
スピードが速い業界などでは、本性が暴かれる前に、
周りの状況が変化するため都合が良い。
一般社会ではサイコパスの発生率は1%だが、
組織の指導的地位にいる人で見ると4%になるという研究がある。
・口ばかりうまくて地道な仕事はできないタイプが多い。
・職場の環境を「協調し合う場所」というより「競争的なもの」であると捉える。
963１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 22:11:38.95ID:ArpKO7AX 「前人未到の地への探検」「危険物の処理」「スパイ」「新しい食糧の確保」
「原因不明の病気の究明や大掛かりな手術」「敵国との外交交渉」など、
サイコパスが人類を進化させた側面がある可能性も示唆されている。
「原因不明の病気の究明や大掛かりな手術」「敵国との外交交渉」など、
サイコパスが人類を進化させた側面がある可能性も示唆されている。
964１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 22:13:39.10ID:ArpKO7AX サイコパスの有害性についてはいくら強調しても足りない
彼らは有害無益であり真っ先に屠るべき悪魔という敵である
彼らは有害無益であり真っ先に屠るべき悪魔という敵である
965現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/06(火) 23:34:51.57ID:Bqw4JrwL966１３２人目の素数さん
2020/10/07(水) 06:03:50.98ID:pbUFNwT0967１３２人目の素数さん
2020/10/07(水) 06:04:40.01ID:CL/2GojZ >>965
>>「ベクトル空間VとWのテンソル積V⊗W」とは
>>「Vの基底をe1~en、Wの基底をf1~fmとするとき、
>> そのn*m個のテンソル積、e1⊗f1~en⊗fmを基底とするベクトル空間」
>>である
>そのテンソルの説明から
>「内積も、行列式同様、テンソルです」
>を導いてみなよｗ
>出来ないだろ
>>666 で出来てますが？
>多重線型写像は実は基底の組(e_j1,・・・,e_jm)が
>いかなるスカラーa(j1,…jm)に対応するかで決まる
>したがって、多重線型写像は多次元配列a(j1,…jm)に対応する
>内積の場合は”対角行列”に対応する
>行列式の場合、ｎ＾ｎの配列で
>・添数に同じ数がある場合、0
>・添数が全て異なる数の場合
> (1,・・・,n)から偶置換でできる列のとき、1
> (1,・・・,n)から偶置換でできる列のとき、-1
> に対応する
またまた負けたか、◆yH25M02vWFhP
正規部分群の定義の誤り以来、君、連戦連敗だな
一度でも勝ったことあったか？
>統合失調症…には、数学は無理だ 諦めろ
誤診だな
サイコパスの君には、数学は無理だ 諦めろ
数学板から、で・て・い・け
>>「ベクトル空間VとWのテンソル積V⊗W」とは
>>「Vの基底をe1~en、Wの基底をf1~fmとするとき、
>> そのn*m個のテンソル積、e1⊗f1~en⊗fmを基底とするベクトル空間」
>>である
>そのテンソルの説明から
>「内積も、行列式同様、テンソルです」
>を導いてみなよｗ
>出来ないだろ
>>666 で出来てますが？
>多重線型写像は実は基底の組(e_j1,・・・,e_jm)が
>いかなるスカラーa(j1,…jm)に対応するかで決まる
>したがって、多重線型写像は多次元配列a(j1,…jm)に対応する
>内積の場合は”対角行列”に対応する
>行列式の場合、ｎ＾ｎの配列で
>・添数に同じ数がある場合、0
>・添数が全て異なる数の場合
> (1,・・・,n)から偶置換でできる列のとき、1
> (1,・・・,n)から偶置換でできる列のとき、-1
> に対応する
またまた負けたか、◆yH25M02vWFhP
正規部分群の定義の誤り以来、君、連戦連敗だな
一度でも勝ったことあったか？
>統合失調症…には、数学は無理だ 諦めろ
誤診だな
サイコパスの君には、数学は無理だ 諦めろ
数学板から、で・て・い・け
968１３２人目の素数さん
2020/10/07(水) 06:14:32.89ID:CL/2GojZ >>729で、内積の具体的な配列しめしてますが
理解できませんか？畜生の◆yH25M02vWFhPには
>内積はテンソルである。
> なぜなら内積は双線型写像だから、普遍性により、
> ベクトルx,yのテンソル積
> (x1y1 x2y1 x3y1)
> (x1y2 x2y2 x3y2)
> (x1y3 x2y3 x3y3)
> が属する線型空間（テンソル空間）から
> スカラーへの線形写像が構築できるから
> （注：内積は反変テンソルではなく共変テンソルである
> ベクトルのテンソル積は反変テンソル）
> その際、線型写像としてテンソル積の各成分に掛ける
> 係数は以下の通り
> (1 0 0)
> (0 1 0)
> (0 0 1)
理解できませんか？畜生の◆yH25M02vWFhPには
>内積はテンソルである。
> なぜなら内積は双線型写像だから、普遍性により、
> ベクトルx,yのテンソル積
> (x1y1 x2y1 x3y1)
> (x1y2 x2y2 x3y2)
> (x1y3 x2y3 x3y3)
> が属する線型空間（テンソル空間）から
> スカラーへの線形写像が構築できるから
> （注：内積は反変テンソルではなく共変テンソルである
> ベクトルのテンソル積は反変テンソル）
> その際、線型写像としてテンソル積の各成分に掛ける
> 係数は以下の通り
> (1 0 0)
> (0 1 0)
> (0 0 1)
969１３２人目の素数さん
2020/10/07(水) 06:20:01.50ID:CL/2GojZ >>731 で３×３行列式の具体的な配列しめしてますが
理解できませんか？畜生の◆yH25M02vWFhPには
>行列Mを行ベクトル（列ベクトルでもいいが）
> m1=(m11,m12,m13)
> m2=(m21,m22,m23)
> m3=(m31,m32,m33)
>に分解する
>行列式もテンソルである。
>なぜなら、行列式の多重線形性から普遍性により
>それらのテンソル積からスカラーへの線形写像
>として構築でき、各成分に掛ける係数も明確に決められるから
>３行３列の場合 ３つの行ベクトルのテンソル積は
>第１段
> (m11m21m31 m12m21m31 m13m21m31)
> (m11m22m31 m12m22m31 m13m22m31)
> (m11m23m31 m12m23m31 m13m23m31)
>第２段
> (m11m21m32 m12m21m32 m13m21m32)
> (m11m22m32 m12m22m32 m13m22m32)
> (m11m23m32 m12m23m32 m13m23m32)
>第３段
> (m11m21m33 m12m21m33 m13m21m33)
> (m11m22m33 m12m22m33 m13m22m33)
> (m11m23m33 m12m23m33 m13m23m33)
>となるが、各成分に掛ける係数は以下の通り
>第１段
> (0 0 0)
> (0 0 -1)
> (0 1 0)
>第２段
> ( 0 0 1)
> ( 0 0 0)
> (-1 0 0)
>第３段
> (0 -1 0)
> (1 0 0)
> (0 0 0)
理解できませんか？畜生の◆yH25M02vWFhPには
>行列Mを行ベクトル（列ベクトルでもいいが）
> m1=(m11,m12,m13)
> m2=(m21,m22,m23)
> m3=(m31,m32,m33)
>に分解する
>行列式もテンソルである。
>なぜなら、行列式の多重線形性から普遍性により
>それらのテンソル積からスカラーへの線形写像
>として構築でき、各成分に掛ける係数も明確に決められるから
>３行３列の場合 ３つの行ベクトルのテンソル積は
>第１段
> (m11m21m31 m12m21m31 m13m21m31)
> (m11m22m31 m12m22m31 m13m22m31)
> (m11m23m31 m12m23m31 m13m23m31)
>第２段
> (m11m21m32 m12m21m32 m13m21m32)
> (m11m22m32 m12m22m32 m13m22m32)
> (m11m23m32 m12m23m32 m13m23m32)
>第３段
> (m11m21m33 m12m21m33 m13m21m33)
> (m11m22m33 m12m22m33 m13m22m33)
> (m11m23m33 m12m23m33 m13m23m33)
>となるが、各成分に掛ける係数は以下の通り
>第１段
> (0 0 0)
> (0 0 -1)
> (0 1 0)
>第２段
> ( 0 0 1)
> ( 0 0 0)
> (-1 0 0)
>第３段
> (0 -1 0)
> (1 0 0)
> (0 0 0)
970１３２人目の素数さん
2020/10/07(水) 06:28:09.15ID:CL/2GojZ >>967-969で、◆yH25M02vWFhPの
「内積も行列式もテンソルなんかじゃない！」
が全くの誤りで
「内積も行列式もテンソルですっ！」
と証明された
◆yH25M02vWFhPは🍗として
俺様に貪り食われた
「内積も行列式もテンソルなんかじゃない！」
が全くの誤りで
「内積も行列式もテンソルですっ！」
と証明された
◆yH25M02vWFhPは🍗として
俺様に貪り食われた
971粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
2020/10/07(水) 06:44:55.16ID:OlWQk+Mu 瀬田氏のは数学議論じゃのうて数学風評私見じゃな
しかし儂もベクトルは正方行列と解釈した事は有ったが行列式と解釈した事は無かったのう
しかし儂もベクトルは正方行列と解釈した事は有ったが行列式と解釈した事は無かったのう
972１３２人目の素数さん
2020/10/07(水) 06:54:05.62ID:CL/2GojZ973１３２人目の素数さん
2020/10/07(水) 06:57:52.41ID:CL/2GojZ >>971
＞瀬田氏のは数学議論じゃのうて数学風評私見じゃな
というか「オレ流数学」ね
しかし落合博満ほどのセンスはないから、
ことごとく失敗してるが・・・
「ガロア理論ガー」とほざく前に、
まず円分多項式が根号で解けることを
実際に計算して確認しろ、といいたい
ついでに、それができたらここに書いてくれ
チェックするからｗ
＞瀬田氏のは数学議論じゃのうて数学風評私見じゃな
というか「オレ流数学」ね
しかし落合博満ほどのセンスはないから、
ことごとく失敗してるが・・・
「ガロア理論ガー」とほざく前に、
まず円分多項式が根号で解けることを
実際に計算して確認しろ、といいたい
ついでに、それができたらここに書いてくれ
チェックするからｗ
974１３２人目の素数さん
2020/10/07(水) 07:01:19.04ID:CL/2GojZ 今日の等式ｗ
🐓×🔥＝🍗
🐓×🔥＝🍗
975１３２人目の素数さん
2020/10/07(水) 07:03:23.65ID:2yOmcJRI 泥沼化してるね～
976現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/07(水) 07:12:22.28ID:YoByYxdr >>971
＞しかし儂もベクトルは正方行列と解釈した事は有ったが行列式と解釈した事は無かったのう
それは、nxn正方行列をnxn次元ベクトルと解釈ってことだろうが、それは可能だ
（しかしもし、nxm次元のように積に分解ない素数 p次元ベクトルでは、行列にはできない）
ところで、n次元ベクトルとn次元ベクトルとのテンソル積が、nxn正方行列の成分による表現を持つとして
n次元ベクトルとn次元ベクトルとの内積は、当然スカラーになるよね
だから、n次元ベクトルとn次元ベクトルとのテンソル積たるnxn正方行列と、内積（スカラー）とは別ものです
よって「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）って、意味不明だろ（＾＾；
＞しかし儂もベクトルは正方行列と解釈した事は有ったが行列式と解釈した事は無かったのう
それは、nxn正方行列をnxn次元ベクトルと解釈ってことだろうが、それは可能だ
（しかしもし、nxm次元のように積に分解ない素数 p次元ベクトルでは、行列にはできない）
ところで、n次元ベクトルとn次元ベクトルとのテンソル積が、nxn正方行列の成分による表現を持つとして
n次元ベクトルとn次元ベクトルとの内積は、当然スカラーになるよね
だから、n次元ベクトルとn次元ベクトルとのテンソル積たるnxn正方行列と、内積（スカラー）とは別ものです
よって「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）って、意味不明だろ（＾＾；
977現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/07(水) 07:15:49.02ID:YoByYxdr978現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/07(水) 07:20:02.91ID:YoByYxdr979粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
2020/10/07(水) 07:23:38.45ID:OlWQk+Mu 評論家と言いたい気がしたが「水は燃えます」「水を800m深海へ送れば水素になる」発言他
非科学的な発言で枚挙に暇が無い自動車評論家の国沢光宏みたいな人間も居るから
評論家などと呼びたくない。国沢光宏は評論家とは名ばかりの悪徳ゴロじゃ｡
瀬田氏の論説もゴロと共通する｡
国沢光宏は珍説誤説のトンデモの典型例過ぎて既に600スレ以上に昇る
そのトンデモに高給を与える自動車情報誌業界
非科学的な発言で枚挙に暇が無い自動車評論家の国沢光宏みたいな人間も居るから
評論家などと呼びたくない。国沢光宏は評論家とは名ばかりの悪徳ゴロじゃ｡
瀬田氏の論説もゴロと共通する｡
国沢光宏は珍説誤説のトンデモの典型例過ぎて既に600スレ以上に昇る
そのトンデモに高給を与える自動車情報誌業界
980現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/07(水) 07:27:34.96ID:YoByYxdr981１３２人目の素数さん
2020/10/07(水) 07:30:36.64ID:2yOmcJRI984現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/07(水) 10:32:52.53ID:oCnj8J9r985現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/07(水) 10:38:18.43ID:oCnj8J9r おサルのテンソルに関する
バカ発言転載します（＾＾；
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 49
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1600350445/282-284
282 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2020/10/07(水) 06:42:39.45 ID:CL/2GojZ
(抜粋)
テンソル積であらわせないテンソルがあることもわかってなかった
それで工学部卒？をひをひ、これじゃ日本のものづくりは壊滅するぞ！
283 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2020/10/07(水) 07:19:18.12 ID:2t6So4ha
>>282
壊滅は無い。おまえの感覚は相当ズレてる
現場で使えない人材なのは確か
284 名前：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 投稿日：2020/10/07(水) 07:32:32.03 ID:YoByYxdr
>>283
同意です
>テンソル積であらわせないテンソルがあることもわかってなかった
意味不明
”テンソル積の普遍性”とは、よく言われるが
「テンソル積であらわせないテンソルがある」？
なんでしょね（＾＾；
バカ発言転載します（＾＾；
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 49
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1600350445/282-284
282 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2020/10/07(水) 06:42:39.45 ID:CL/2GojZ
(抜粋)
テンソル積であらわせないテンソルがあることもわかってなかった
それで工学部卒？をひをひ、これじゃ日本のものづくりは壊滅するぞ！
283 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2020/10/07(水) 07:19:18.12 ID:2t6So4ha
>>282
壊滅は無い。おまえの感覚は相当ズレてる
現場で使えない人材なのは確か
284 名前：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 投稿日：2020/10/07(水) 07:32:32.03 ID:YoByYxdr
>>283
同意です
>テンソル積であらわせないテンソルがあることもわかってなかった
意味不明
”テンソル積の普遍性”とは、よく言われるが
「テンソル積であらわせないテンソルがある」？
なんでしょね（＾＾；
986現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/07(水) 10:40:41.11ID:oCnj8J9r987現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/07(水) 10:41:37.77ID:oCnj8J9r >>986 タイポ訂正
は、如何なる意味においも、正当化できないよ
↓
は、如何なる意味においても、正当化できないよ
は、如何なる意味においも、正当化できないよ
↓
は、如何なる意味においても、正当化できないよ
988１３２人目の素数さん
2020/10/07(水) 11:53:54.53ID:2yOmcJRI >>986
1個目の線形代数の理論展開：
素朴集合論 → 多元環や或る程度の半群と群論 → 環と体の理論
→ ブール代数や射影幾何を記述するための束論→ 或る程度の圏論
→ 予め定義されている二項演算である乗法と加法のうち乗法に関する単位元1を持つ環(単位環)上の加群の理論としての、線型空間や線形写像、双対加群、
→ テンソル積、テンソル代数 → 外積と外積代数 → 行列式の基本的証明 → …
と進む方法。いわゆるブルバキ流に似た方法。
2個目の線形代数の理論展開：1個目を少し緩くした方法で、
或る程度の群・環・体の知識が前提で、行列や線型写像を導入してから、置換の理論、外積や行列式を扱って、
ジョルダン標準形や単因子論、二次形式などを導入してから、テンソル積とテンソル代数、外積と外積代数を扱う方法。
3個目の線形代数の理論展開：より具体的な方法で、
係数体が実数体Rや複素数体C上の(正方)行列や行列式を扱ってから線型写像を導入し、
ジョルダン標準形や単因子論、二次形式などを導入してから、
テンソル積を導入して、テンソル代数や外積と外積代数を扱う方法。
4個目の線形代数：応用数学(ベクトル解析)としての線形代数やテンソル。
少なくともこれだけ線型代数やテンソルを理論展開する方法があるから、上のすべての大まかな理論展開を知っていなければ
>「行列式はテンソルです」(>>576)
>「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
の対立が生じても何らおかしくはない。だから、論争しても無意味。
1個目の線形代数の理論展開：
素朴集合論 → 多元環や或る程度の半群と群論 → 環と体の理論
→ ブール代数や射影幾何を記述するための束論→ 或る程度の圏論
→ 予め定義されている二項演算である乗法と加法のうち乗法に関する単位元1を持つ環(単位環)上の加群の理論としての、線型空間や線形写像、双対加群、
→ テンソル積、テンソル代数 → 外積と外積代数 → 行列式の基本的証明 → …
と進む方法。いわゆるブルバキ流に似た方法。
2個目の線形代数の理論展開：1個目を少し緩くした方法で、
或る程度の群・環・体の知識が前提で、行列や線型写像を導入してから、置換の理論、外積や行列式を扱って、
ジョルダン標準形や単因子論、二次形式などを導入してから、テンソル積とテンソル代数、外積と外積代数を扱う方法。
3個目の線形代数の理論展開：より具体的な方法で、
係数体が実数体Rや複素数体C上の(正方)行列や行列式を扱ってから線型写像を導入し、
ジョルダン標準形や単因子論、二次形式などを導入してから、
テンソル積を導入して、テンソル代数や外積と外積代数を扱う方法。
4個目の線形代数：応用数学(ベクトル解析)としての線形代数やテンソル。
少なくともこれだけ線型代数やテンソルを理論展開する方法があるから、上のすべての大まかな理論展開を知っていなければ
>「行列式はテンソルです」(>>576)
>「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
の対立が生じても何らおかしくはない。だから、論争しても無意味。
989１３２人目の素数さん
2020/10/07(水) 12:03:06.45ID:2yOmcJRI990現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/07(水) 13:16:35.78ID:oCnj8J9r >>988-989
>4個目の線形代数：応用数学(ベクトル解析)としての線形代数やテンソル。
>少なくともこれだけ線型代数やテンソルを理論展開する方法があるから、上のすべての大まかな理論展開を知っていなければ
>>「行列式はテンソルです」(>>576)
>>「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
>の対立が生じても何らおかしくはない。だから、論争しても無意味。
違うだろ
テンソルについては、”普遍性”があるから、例えば、「テンソル積は同型を除いて一意的に定義される」とあるよ
だから、「いろんな議論があるから」は、理由にならない
どんな議論のルートを経ようが
(>>766より)
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
は、如何なる意味においも、正当化できない
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E7%A9%8D
テンソル積
普遍性
テンソル積は普遍性を用いて定義することもできる。この文脈では、テンソル積は同型を除いて一意的に定義される。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
テンソル空間
普遍性
テンソル空間 T m n (V) は多重線型写像を用いた普遍性によって特徴づけることができる。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%99%AE%E9%81%8D%E6%80%A7
普遍性
数学の様々な分野において、ある特定の状況下にて一意に射を定めるような抽象的性質が、特定の構成を定義、あるいは特徴づけたりする事がしばしばある。このような性質を普遍性（英: universal property）と呼ぶ。
>4個目の線形代数：応用数学(ベクトル解析)としての線形代数やテンソル。
>少なくともこれだけ線型代数やテンソルを理論展開する方法があるから、上のすべての大まかな理論展開を知っていなければ
>>「行列式はテンソルです」(>>576)
>>「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
>の対立が生じても何らおかしくはない。だから、論争しても無意味。
違うだろ
テンソルについては、”普遍性”があるから、例えば、「テンソル積は同型を除いて一意的に定義される」とあるよ
だから、「いろんな議論があるから」は、理由にならない
どんな議論のルートを経ようが
(>>766より)
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
は、如何なる意味においも、正当化できない
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E7%A9%8D
テンソル積
普遍性
テンソル積は普遍性を用いて定義することもできる。この文脈では、テンソル積は同型を除いて一意的に定義される。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
テンソル空間
普遍性
テンソル空間 T m n (V) は多重線型写像を用いた普遍性によって特徴づけることができる。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%99%AE%E9%81%8D%E6%80%A7
普遍性
数学の様々な分野において、ある特定の状況下にて一意に射を定めるような抽象的性質が、特定の構成を定義、あるいは特徴づけたりする事がしばしばある。このような性質を普遍性（英: universal property）と呼ぶ。
991１３２人目の素数さん
2020/10/07(水) 14:48:39.34ID:lRp92/A4992現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/07(水) 15:14:33.02ID:oCnj8J9r >>991
>基本的な線型代数はベクトル解析の前提になるが、ベクトル解析のテンソルの議論に普遍性は必要ない。
普遍性が必要か、必要でないかの議論ではない
テンソル積、テンソル空間の普遍性により、「テンソル積は同型を除いて一意的に定義される」ってこと
これは、数学としての真理ですよ。下記の”積 (圏論)”の”積の普遍性”をテンソル積に適用したものですね。必要か、必要でないかの議論ではない（下記ご参照）
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A9%8D_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)
積 (圏論)
(抜粋)
圏論において、考えている圏の二つの（あるいはそれ以上の）対象の（圏論的）積（せき、英: product）または直積 (direct product) は集合の直積（デカルト積）、群の直積、環の直積、位相空間の直積といった数学の他の分野における構成の背後にある本質を捉えるために考えられた概念である。
目次
1 定義
1.1 等式的な定義
1.2 極限として
1.3 普遍構成
2 例
定義
積の普遍性 (二対象の場合)
一意的な射 f は f1 と f2 との射の積と言い、<f1, f2> とも書かれる。射 π1, π2 は自然な射影、標準射影 (canonical projection) あるいは射影射 (projection morphism) と呼ばれる。
積の普遍性
普遍構成
極限が普遍構成の特別な場合であるのと全く同じように、積もそうである。
例
集合の圏における（圏論的な意味での）積はデカルト積（集合の直積）である。
(引用終り)
>これを正当化するには、時枝問題の正当性を認める必要が生じる。
またぁ～ｗ、統合失調症には困ったものだねぇ～ｗｗ（＾＾；
時枝問題については、時枝記事の解法（的中率99％）が不成立であることは、ちゃんと認めておりますよ！（＾＾；
>基本的な線型代数はベクトル解析の前提になるが、ベクトル解析のテンソルの議論に普遍性は必要ない。
普遍性が必要か、必要でないかの議論ではない
テンソル積、テンソル空間の普遍性により、「テンソル積は同型を除いて一意的に定義される」ってこと
これは、数学としての真理ですよ。下記の”積 (圏論)”の”積の普遍性”をテンソル積に適用したものですね。必要か、必要でないかの議論ではない（下記ご参照）
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A9%8D_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)
積 (圏論)
(抜粋)
圏論において、考えている圏の二つの（あるいはそれ以上の）対象の（圏論的）積（せき、英: product）または直積 (direct product) は集合の直積（デカルト積）、群の直積、環の直積、位相空間の直積といった数学の他の分野における構成の背後にある本質を捉えるために考えられた概念である。
目次
1 定義
1.1 等式的な定義
1.2 極限として
1.3 普遍構成
2 例
定義
積の普遍性 (二対象の場合)
一意的な射 f は f1 と f2 との射の積と言い、<f1, f2> とも書かれる。射 π1, π2 は自然な射影、標準射影 (canonical projection) あるいは射影射 (projection morphism) と呼ばれる。
積の普遍性
普遍構成
極限が普遍構成の特別な場合であるのと全く同じように、積もそうである。
例
集合の圏における（圏論的な意味での）積はデカルト積（集合の直積）である。
(引用終り)
>これを正当化するには、時枝問題の正当性を認める必要が生じる。
またぁ～ｗ、統合失調症には困ったものだねぇ～ｗｗ（＾＾；
時枝問題については、時枝記事の解法（的中率99％）が不成立であることは、ちゃんと認めておりますよ！（＾＾；
993１３２人目の素数さん
2020/10/07(水) 15:29:44.47ID:lRp92/A4994現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/07(水) 15:51:45.74ID:oCnj8J9r >>993
あっそう？
でも、時枝分かってないのか？
時枝とか言わず、最初から、”同値類や選択公理”って言えば良かったろうに
さすれば、”統合失調症”の疑惑を掛けられずにすんだろうね
でな、いまどき、基礎論以外で”選択公理”を否定する人は少ないぜ
例えば、雪江明彦 代数１～３巻のどれも、”選択公理”を使うか使わないかの言及はない
つまりは、ソフトウェアの”デフォルト”（標準装備）と同じだよ。そんなことも知らずに、議論しているなんて、ぼーと生きているんじゃないよ！
で、同値類を使うと
(>>766より)
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
正当化できると思っている？
本気で、自分の”統合失調症”を疑った方がいいぜ（＾＾；
あっそう？
でも、時枝分かってないのか？
時枝とか言わず、最初から、”同値類や選択公理”って言えば良かったろうに
さすれば、”統合失調症”の疑惑を掛けられずにすんだろうね
でな、いまどき、基礎論以外で”選択公理”を否定する人は少ないぜ
例えば、雪江明彦 代数１～３巻のどれも、”選択公理”を使うか使わないかの言及はない
つまりは、ソフトウェアの”デフォルト”（標準装備）と同じだよ。そんなことも知らずに、議論しているなんて、ぼーと生きているんじゃないよ！
で、同値類を使うと
(>>766より)
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
正当化できると思っている？
本気で、自分の”統合失調症”を疑った方がいいぜ（＾＾；
995１３２人目の素数さん
2020/10/07(水) 15:59:10.73ID:lRp92/A4996現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/07(水) 16:01:08.67ID:oCnj8J9r >>994 補足
>例えば、雪江明彦 代数１～３巻のどれも、”選択公理”を使うか使わないかの言及はない
>つまりは、ソフトウェアの”デフォルト”（標準装備）と同じだよ。そんなことも知らずに、議論しているなんて、ぼーと生きているんじゃないよ！
代数では、当然のように、”ツォルンの補題”で使うでしょ（＾＾
”ツォルンの補題”を否定する（使えない）となると、いろんなところに影響するでしょうね～
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A9%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%81%AE%E8%A3%9C%E9%A1%8C
ツォルンの補題
集合論においてツォルンの補題（ツォルンのほだい、英: Zorn's lemma）またはクラトフスキ・ツォルンの補題（クラトフスキ・ツォルンのほだい）とは次の定理をいう。
命題 (Zorn の補題)
半順序集合Pは、その全ての鎖(つまり、全順序部分集合)がPに上界を持つとする。このとき、Pは少なくともひとつの極大元を持つ。
この定理は数学者マックス・ツォルンとカジミェシュ・クラトフスキに因む。
歴史
ハウスドルフの極大原理（英語版）はツォルンの補題に似た初期の定理である。
クラトフスキは1922年に[1]現在の定式化に近い形で証明した(包含関係により順序付いた集合と整列した鎖の和集合の場合)。現在のものと本質的に同等の定式化(整列ではなく任意の鎖に弱めた場合)はツォルンにより独立に1935年に与えられた[2]。彼は整列可能定理に代わる集合論の公理として提案し、代数におけるいくつかの応用を行って見せた。また、他の論文で選択公理との同値性を示すとしていたが、それは公開されることはなかった。
「ツォルンの補題」という名前はジョン・テューキーの1940年の著書「Convergence and Uniformity in Topology」で使用されたことによる。ブルバキの「Theorie des Ensembles」では1939年に「le theoreme de Zorn」として同様の極大原理を引用している[3]。
>例えば、雪江明彦 代数１～３巻のどれも、”選択公理”を使うか使わないかの言及はない
>つまりは、ソフトウェアの”デフォルト”（標準装備）と同じだよ。そんなことも知らずに、議論しているなんて、ぼーと生きているんじゃないよ！
代数では、当然のように、”ツォルンの補題”で使うでしょ（＾＾
”ツォルンの補題”を否定する（使えない）となると、いろんなところに影響するでしょうね～
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A9%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%81%AE%E8%A3%9C%E9%A1%8C
ツォルンの補題
集合論においてツォルンの補題（ツォルンのほだい、英: Zorn's lemma）またはクラトフスキ・ツォルンの補題（クラトフスキ・ツォルンのほだい）とは次の定理をいう。
命題 (Zorn の補題)
半順序集合Pは、その全ての鎖(つまり、全順序部分集合)がPに上界を持つとする。このとき、Pは少なくともひとつの極大元を持つ。
この定理は数学者マックス・ツォルンとカジミェシュ・クラトフスキに因む。
歴史
ハウスドルフの極大原理（英語版）はツォルンの補題に似た初期の定理である。
クラトフスキは1922年に[1]現在の定式化に近い形で証明した(包含関係により順序付いた集合と整列した鎖の和集合の場合)。現在のものと本質的に同等の定式化(整列ではなく任意の鎖に弱めた場合)はツォルンにより独立に1935年に与えられた[2]。彼は整列可能定理に代わる集合論の公理として提案し、代数におけるいくつかの応用を行って見せた。また、他の論文で選択公理との同値性を示すとしていたが、それは公開されることはなかった。
「ツォルンの補題」という名前はジョン・テューキーの1940年の著書「Convergence and Uniformity in Topology」で使用されたことによる。ブルバキの「Theorie des Ensembles」では1939年に「le theoreme de Zorn」として同様の極大原理を引用している[3]。
997現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/07(水) 16:02:26.33ID:oCnj8J9r998１３２人目の素数さん
2020/10/07(水) 16:04:19.44ID:lRp92/A4 >>994
時枝記事を認めないと、瀬田君の主張も正当化出来ない。
時枝記事を認めないと、瀬田君の主張も正当化出来ない。
999１３２人目の素数さん
2020/10/07(水) 16:06:53.18ID:lRp92/A4 >>997
やはり、時枝記事を理解していなかった。
やはり、時枝記事を理解していなかった。
1000現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/07(水) 16:15:59.79ID:oCnj8J9r なんだ、もう一匹のおサルかい？
いまや、時枝不成立が分からないって、絶滅危惧種じゃんかｗ（＾＾；
いまや、時枝不成立が分からないって、絶滅危惧種じゃんかｗ（＾＾；
10011001
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