純粋・応用数学（含むガロア理論）3

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/19(日) 22:51:08.91

クレレ誌：
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%83%AC%E8%AA%8C
クレレ誌はアカデミーの紀要ではない最初の主要な数学学術誌の一つである（Neuenschwander 1994, p. 1533）。ニールス・アーベル、ゲオルク・カントール、ゴットホルト・アイゼンシュタインらの研究を含む著名な論文を掲載してきた。
(引用終り)

そこで
現代の純粋・応用数学（含むガロア理論）を目指して
新スレを立てる（＾＾；

＜過去スレ＞
・純粋・応用数学（含むガロア理論）2
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592578498/
・純粋・応用数学
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582599485/
＜関連過去スレ（含むガロア理論）＞
・現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む84
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582200067/
・現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む83
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/
＜関連姉妹スレ＞
・Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 48
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592119272/
・IUTを読むための用語集資料集スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/
・現代数学の系譜カントル超限集合論他 3
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2020/08/08(土) 12:07:42.26

スレ違いだよ
分からない問題はここに書いてね462
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1596464706/

まあ、折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな
群は基本的に非可換だよ

そもそもガロアが考えた理論の
代数方程式の根の置換群は、非可換だよ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E6%96%B9%E8%A1%8C%E5%88%97
正方行列
http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/squareMatrix/
正方行列の基本性質

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E5%85%83%E6%95%B0
多元数
多元数（たげんすう、英: hyper-complex number; 超複素数）は、実数体上の単位的多元環の元を表す歴史的な用語である。
多元数の研究は19世紀後半に現代的な群の表現論の基盤となった。
ケイリー?ディクソン代数
この系列の初めの方は、四次元の四元数、八次元の八元数、十六次元の十六元数で、次元が上がるごとに代数的対称性がそれぞれ失われていく。実際、四元数の乗法は可換でなくなり、八元数の乗法は結合的でなくなり、十六元数のノルムは乗法的でなくなる。

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2020/08/08(土) 12:18:12.85

（補足）

群は、何も言わなければ、基本的には非可換で
可換群は、”アーベル”と言われる場合が多い

体は、可換体を単に体ということも多いという
非可換な演算を含む場合、斜体。非可換な積を持つ体を非可換体という

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E7%BE%A4
アーベル群

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
体 (数学)
日本語の語法として、体の定義においてはその積が可換か非可換かについて必ずしも注視しないが、積が可換かそうでないかで目的意識や手法は大きく異なる。前者については可換体の項を（初学者にはこちらが取りつきやすいであろう）、後者については斜体（これは「必ずしも可換ではない」体の意味で用いられる）の項を参照されたい。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E4%BD%93
可換体
抽象代数学において、可換体（かかんたい、仏: corps commutatif）あるいは単に体（たい、英: field）[注 1]とは、零でない可換可除環、あるいは同じことだが、非零元全体が乗法の下で可換群をなすような環のことである。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%9C%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
斜体 (数学)
斜体（しゃたい、英: skew field; 歪体, 独: Schiefkorper, 仏: corps, corps gauche）は加減乗除が可能な代数系である[1][注 1]。除法の可能な環であるという意味で可除環（かじょかん、division ring, Divisionsring）ともいう[3]。係数環を持ち、多元環の構造を持つことを強調する場合は、特に多元体[4]（たげんたい、division algebra, algebre a division; 可除多元環）と呼称することも多い[注 2]。非可換な積を持つ体を非可換体（ひかかんたい、non-commutative field, corps non commutatif）という[2]。

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2020/08/08(土) 12:32:29.46

>>135 訂正

非可換な演算を含む場合、斜体。非可換な積を持つ体を非可換体という
　　↓
非可換な演算を含む場合、斜体　または、非可換体という

だな
下記の表が参考になるかも（いまいちな表だが）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
体 (数学)

　　　可換のみ　両方　非可換のみ
体　　　　○　　　○　
可換体　　○　　
斜体　　　　　　 ○　　 ○
可除環　　　　　 ○　
非可換体　　　　　　　○

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/08(土) 15:44:32.38

>>135
>群は、何も言わなければ、基本的には非可換で

で、例は？

体の話はそれから

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/08(土) 15:50:22.73

さて、整数は生成元が１つ（ａ）の自由群である

単位元ｅ　生成元ａ、逆元ａ’
ａ、ａ・ａ、ａ・ａ・ａ、・・・
ａ’、ａ’・ａ’、ａ’・ａ’・ａ’、・・・

演算・は、可換となる

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/08(土) 15:58:28.61

生成元が２つ（ａおよびｂ）の自由群も考えられる

単位元ｅ　生成元ａ、ｂ、逆元ａ’、ｂ’
ａ，ｂ，ａ・ａ，ａ・ｂ，ａ・ｂ’，ｂ・ａ，ｂ・ｂ，ｂ・ａ’，
ａ’・ｂ，ａ’・ａ’，ａ’・ｂ’，ｂ’・ａ，ｂ’・ａ’，ｂ’・ｂ’，・・・

要するに演算・を文字列の結合と考え、
生成元と逆元が隣り合う場合ｅとする
だけで出来上がる

生成元が２つ以上の場合は、演算・は可換でない
（ａ・ｂとｂ・ａは異なる）

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/08(土) 16:15:29.69

>>138-139　で既に例を２つ挙げた
2つ目の例で非可換の場合も挙げた

さて、２つの対象の置換による群は、
生成元が１つの自由群に関係式ａ・ａ＝ｅをいれた群と同じ

上記の関係式によりａ’＝ａとなる、
したがって要素はeとaのみになる

より一般的に、巡回群は
生成元が１つの自由群に関係式ａ＾ｎ＝ｅをいれた群と同じ

さらに、３つの対象の置換による群は
生成元が２つの自由群に
関係式ａ・ａ＝ｅ、ｂ・ｂ＝ｅ、（ａ・ｂ）＾３＝ｅをいれたものになる
この場合要素は
e，ａ，ｂ，ａ・ｂ，ｂ・ａ，ａ・ｂ・ａ（＝ｂ・ａ・ｂ）
の６つ

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2020/08/09(日) 07:00:52.73

>>140
必死だな（＾＾；

(>>134より再掲)
スレ違いだよ
分からない問題はここに書いてね462
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1596464706/

まあ、折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな
群は基本的に非可換だよ

そもそもガロアが考えた理論の
代数方程式の根の置換群は、非可換だよ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E6%96%B9%E8%A1%8C%E5%88%97
正方行列
http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/squareMatrix/
正方行列の基本性質

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E5%85%83%E6%95%B0
多元数
多元数（たげんすう、英: hyper-complex number; 超複素数）は、実数体上の単位的多元環の元を表す歴史的な用語である。
多元数の研究は19世紀後半に現代的な群の表現論の基盤となった。
ケイリー?ディクソン代数
この系列の初めの方は、四次元の四元数、八次元の八元数、十六次元の十六元数で、次元が上がるごとに代数的対称性がそれぞれ失われていく。実際、四元数の乗法は可換でなくなり、八元数の乗法は結合的でなくなり、十六元数のノルムは乗法的でなくなる。

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2020/08/09(日) 21:34:05.25

>>141
おサルが騒いでうるさいから、重箱の隅だが訂正するなｗｗｗ（＾＾；

誤：まあ、折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな
　　↓
正：まあ、折角だから書いておくと、正方行列（の成す群）とか多元数あたりな