純粋・応用数学（含むガロア理論）10

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/06(日) 10:33:12.21

クレレ誌：
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%83%AC%E8%AA%8C
クレレ誌はアカデミーの紀要ではない最初の主要な数学学術誌の一つである（Neuenschwander 1994, p. 1533）。ニールス・アーベル、ゲオルク・カントール、ゴットホルト・アイゼンシュタインらの研究を含む著名な論文を掲載してきた。
(引用終り)

そこで
現代の純粋・応用数学（含むガロア理論）を目指して
新スレを立てる（＾＾；

＜前スレ＞
純粋・応用数学（含むガロア理論）9
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1623019011/
＜関連姉妹スレ＞
ガロア第一論文及びその関連の資料スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/1-
箱入り無数目を語る部屋
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 65
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1644632425/
IUTを読むための用語集資料スレ2
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1606813903/
現代数学の系譜カントル超限集合論他 3
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/

＜過去スレの関連（含むガロア理論）＞
・現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む84
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582200067/
・現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む83
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/27(日) 10:18:39.16

>>284 補足

まず、前振り
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%BE%A4
円周群
周群（えんしゅうぐん、英: circle group; 円群）とは、絶対値 1 の複素数（単位複素数）全体（つまり複素数平面上の単位円）のなす乗法群のことである。記号で
T ={z∈ C :|z|=1}
と表し、(T, ×) はアーベル群 C× の部分群である。
円周群は複素 1次ユニタリ行列全体のなす群 U(1) と見ることもできて、これは複素数平面上で原点中心の回転として作用する。
円周群は角 θ による媒介変数表示が可能で、写像
θ → z=e^iθ =cosθ +isinθ
は円周群に対する指数写像となる。
抽象群構造
本節では位相構造を考えない単に代数的な群としての円周群の構造について扱う。
円周群 T は可除群である。そのねじれ部分群は任意の正整数に亙る 1 の冪根全体の成す集合として与えられ Q/Z に同型である。可除群の構造定理と、選択公理を用いれば、T が Q/Z と適当な数の Q のコピーとの直和に同型となることが分かる[要出典]。このときの Q のコピーの数は（直和群の濃度が正しくなるためには）連続体濃度 ?? でなければならないが、Q の連続体濃度 ?? 個のコピーの直和は R に同型（R が Q 上の ??-次元ベクトル空間であるのと同様）なのだから、代数的な群の同型
T ＝～ R ○+(Q/Z) （○+は直和記号）
を得る。同様にして、同型
C^ｘ＝～ R ○+(Q/Z)（○+は直和記号）
も証明できる（C× もまた加除アーベル群で、そのねじれ部分群は T のねじれ部分群と同一であることによる）。

　また>>261より
https://en.wikipedia.org/wiki/Profinite_integer
Profinite integer
Z＾＝lim← Z/nz＝Πp Zp
(引用終り)

これで対応としては、下記か
実数　　R 　　　　　 → Q　　→ Z 　　→ Z/nz → Z＾
円周群 R○+(Q/Z) → Q/Z → Z/Z → Z/nz → Z＾(1)

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/27(日) 10:30:15.91

>>284＆>>286 補足

”so that their limit is the circle group T = R/Z.”に関する下記の質疑が、参考になる
https://mathoverflow.net/questions/14487/the-continuous-as-the-limit-of-the-discrete
The continuous as the limit of the discrete asked Feb 7, 2010 Matt
Reading this documment: www.math.ucla.edu/~tao/preprints/compactness.pdf, I got interested in the following thing: "One can also use compacti?cations to view the continuous as the limit of the discrete; for instance, it is possible to compactify the sequence Z/2Z, Z/3Z, Z/4Z, etc. of cyclic groups, so that their limit is the circle group T = R/Z.". Could you give me a point of start to understand what idea of compactification is being used there? Where could I find an sketch of proof for that fact?

つづく