なお、上記の”Example 4.7. We have the following p-adic expansion in Z_7”（表現）の類似 （1のｐ乗根版）が考えられそうだ すぐには、頭が働かないが、既に理論はあるんだろうね 以上 0256１３２人目の素数さん2022/03/24(木) 19:52:35.26>>253 ＞なるほど、言いたいことが少し分かってきた とかいいながら、実は少しも分かってないっぽいな 下げマスｗ 0257１３２人目の素数さん2022/03/24(木) 19:57:43.01>>253 >Example 4.4. >If we represent elements of Z/p^nZ by integers in [0, pn - 1], >in Z_7 we have >2 = (2, 2, 2, 2, 2, . . .) >2002 = (0, 42, 287, 2002, 2002, . . .)
>>255 補足追加 https://en.wikipedia.org/wiki/Profinite_integer Profinite integer Z＾＝lim← Z/nz＝Πp Zp Zp is the ring of p-adic integers. Contents 1 Construction and relations 1.1 Using the Chinese Remainder theorem (引用終り)
揚げ足取りで悪いが 数学における稠密という用語で、下記「稠密順序: 順序集合 S が稠密（順序構造の特徴としての稠密）」 というのがあって 「有理数の全体に通常の大小関係による順序を入れたものは、この意味で稠密である（実数全体のなす順序集合も同様）。他方、整数全体の成す集合に通常の順序を入れたものは稠密でない。」 とあるけどね
だから、この意味で、「実数が稠密」は、”稠密順序: 順序集合 S が稠密（順序構造の特徴としての稠密）” と解することで、意味で通じるのでは？ 勿論、>>272の稠密は、下記”稠密集合: 位相空間 S の部分集合 T が、S において稠密”の意味ですけどね
(参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A8%A0%E5%AF%86 数学における稠密という用語は、以下のような文脈で用いられる。直感的にはぎっしり詰まっているということを表している。 稠密集合: 位相空間 S の部分集合 T が、S において稠密 疎集合 稠密順序: 順序集合 S が稠密（順序構造の特徴としての稠密） 稠密部分加群 強制法において
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A8%A0%E5%AF%86%E9%96%A2%E4%BF%82 数学における稠密関係（ちゅうみつかんけい、英: dense relation）とは、集合 X 上の二項関係 R であって、X の R-関係にある任意の二元 x, y に対し、X の元 z で x とも y とも R-関係にあるようなものが存在するものをいう。 集合 X 上の半順序 ≦ が（あるいは順序集合 (X, ≦) が）稠密であるとは、X の任意の二元 x, y で x < y を満たすものに対し、X の元 z で x < z < y を満たすものが必ず存在することを言う。 有理数の全体に通常の大小関係による順序を入れたものは、この意味で稠密である（実数全体のなす順序集合も同様）。他方、整数全体の成す集合に通常の順序を入れたものは稠密でない。 0277１３２人目の素数さん2022/03/26(土) 16:30:50.38>>272 ＞なんか、誤解＆曲解されていますね 下げマス、おまえがな
Properties The circle group has many subgroups, but its only proper closed subgroups consist of roots of unity: For each integer n>0, the nth roots of unity form a cyclic group of order n, which is unique up to isomorphism.
In the same way that the real numbers are a completion of the b-adic rationals for every natural number b>1, the circle group is the completion of the Prufer group for b, given by the inverse limit lim ← Z/b^nZ.
（なお 下記 Prufer p-group で、ｐは素数なんですが、上記のbは、every natural numberなの？ｗ これのinverse limit lim ← Z/b^nZによる the completion of the Prufer group for b だと、上記に書いてある） https://en.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%BCfer_group In mathematics, specifically in group theory, the Prufer p-group or the p-quasicyclic group or p∞-group, Z(p∞), for a prime number p is the unique p-group in which every element has p different p-th roots. (引用終り) 以上 0285１３２人目の素数さん2022/03/27(日) 10:00:18.05ID:dfJ5fm91>>279-280は「おっちゃん」だろうけど、コピペ丸写しでなく 「自分の頭で考えた雑談」は、驚くほどおっちゃんに似ている。 0286１３２人目の素数さん2022/03/27(日) 10:18:39.16ID:iGgJqN7k>>284 補足
まず、前振り https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%BE%A4 円周群 周群（えんしゅうぐん、英: circle group; 円群）とは、絶対値 1 の複素数（単位複素数）全体（つまり複素数平面上の単位円） のなす乗法群のことである。記号で T ={z∈ C :|z|=1} と表し、(T, ×) はアーベル群 C× の部分群である。 円周群は複素 1次ユニタリ行列全体のなす群 U(1) と見ることもできて、これは複素数平面上で原点中心の回転として作用する。 円周群は角 θ による媒介変数表示が可能で、写像 θ → z=e^iθ =cosθ +isinθ は円周群に対する指数写像となる。 抽象群構造 本節では位相構造を考えない単に代数的な群としての円周群の構造について扱う。 円周群 T は可除群である。そのねじれ部分群は任意の正整数に亙る 1 の冪根全体の成す集合として与えられ Q/Z に同型である。可除群の構造定理と、選択公理を用いれば、T が Q/Z と適当な数の Q のコピーとの直和に同型となることが分かる[要出典]。このときの Q のコピーの数は（直和群の濃度が正しくなるためには）連続体濃度 ?? でなければならないが、Q の連続体濃度 ?? 個のコピーの直和は R に同型（R が Q 上の ??-次元ベクトル空間であるのと同様）なのだから、代数的な群の同型 T ＝〜 R ○+(Q/Z) （○+は直和記号） を得る。同様にして、同型 C^ｘ ＝〜 R ○+(Q/Z)（○+は直和記号） も証明できる（C× もまた加除アーベル群で、そのねじれ部分群は T のねじれ部分群と同一であることによる）。
”so that their limit is the circle group T = R/Z.”に関する下記の質疑が、参考になる https://mathoverflow.net/questions/14487/the-continuous-as-the-limit-of-the-discrete The continuous as the limit of the discrete asked Feb 7, 2010 Matt Reading this documment: www.math.ucla.edu/~tao/preprints/compactness.pdf, I got interested in the following thing: "One can also use compacti?cations to view the continuous as the limit of the discrete; for instance, it is possible to compactify the sequence Z/2Z, Z/3Z, Z/4Z, etc. of cyclic groups, so that their limit is the circle group T = R/Z.". Could you give me a point of start to understand what idea of compactification is being used there? Where could I find an sketch of proof for that fact?
Answers 4 edited Feb 7, 2010 Qiaochu Yuan I'd like to clear up something that came up in the comments. There are two natural ways to fit the finite cyclic groups together in a diagram. One is to take the morphisms Z/nZ→Z/mZ,m|n given by sending 1 to 1. This gives a diagram (inverse system) whose limit (inverse limit) is the profinite completion Z^ of Z. This diagram also makes sense in the category of unital rings, since they also respect the ring structure, giving the profinite integers the structure of a commutative ring.
This is not the diagram relevant to understanding the circle group. Instead, one needs to take the morphisms Z/nZ→Z/mZ,n|m given by sending 1 to mn. This is the diagram relevant to understanding the cyclic groups as subgroups of their colimit (direct limit), which is, as I have said, Q/Z. And this group, in turn, compactifies to the circle group in whichever way you prefer.
(These two diagrams are "dual," though, something which I learned recently when I was asked to prove on an exam that Hom(Q/Z,Q/Z)?Z^. Just observe that Hom(Z/nZ,Q/Z)?Z/nZ and that contravariant Hom functors send colimits to limits!)
Edit: Let me also say something about the precise meaning of "compactification" here. A compactification of a space T is an embedding T→X into a compact Hausdorff space X with dense image. The embedding being considered here is the obvious one from Q/Z to R/Z, and the fact that it has dense image is essentially what the word "completion" also means. Compactifications are not unique, but it's possible that there is a sense in which as a topological group R/Z is the "most natural" compactification of Q/Z. But I don't know too much about topological groups. (引用終り) 以上 0289１３２人目の素数さん2022/03/27(日) 10:32:04.05ID:iGgJqN7k>>285 スレ主です ありがと 0290１３２人目の素数さん2022/03/27(日) 10:43:17.28ID:iGgJqN7k まず >>286 文字化け訂正
the circle group T = R/Z >>287か、えらくスッキリしているねｗ >>286 では、T ＝〜 R○+(Q/Z) なんだけどねｗ 0291１３２人目の素数さん2022/03/27(日) 10:48:19.13ID:iGgJqN7k>>290 > the circle group T = R/Z >>287か、えらくスッキリしているねｗ
そうそう、星 >>240 円分物 Z＾(1) ttps://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/244783/1/B76-02.pdf で、μnは、1 の n 乗根のなす群だったから
実数 R → Q → Z → Z/nz → Z＾ 円周群 T=R/Z → Q/Z → Z/Z → μn → Z＾(1)
と書くべきだな 0293１３２人目の素数さん2022/03/27(日) 11:23:07.47ID:UKXszPuz おっちゃんです >>285 複素平面C上の円周群における各点の数論的構造をそのまま調べようとすると、細かい数論的な知識は余り通用しない むしろ、実解析とかが使えるようになる 0294１３２人目の素数さん2022/03/27(日) 15:51:28.21>>284 ＞下記で、 ＞”the completion of the Prufer group for b, ＞given by the inverse limit lim ← Z/b^n Z.”だとあるなｗｗ ＞https://en.wikipedia.org/wiki/Circle_group やれやれ、検索しかできないニホンザルは、ウソ記述に簡単に騙されるなぁ
Prüfer group のページ読んだか？ Prüfer groupは、direct limit（直極限・帰納極限）って書いてあるだろ ”For each natural number n, consider the quotient group Z/pnZ and the embedding Z/pnZ → Z/pn+1Z induced by multiplication by p. The direct limit of this system is Z(p∞): Z(p∞)=lim→ Z /p^n Z" 0295１３２人目の素数さん2022/03/27(日) 15:56:46.43>>286 ＞対応としては、下記か ＞実数 R → Q → Z → Z/nz → Z＾ ＞円周群 R⊕(Q/Z) → Q/Z → Z/Z → Z/nz → Z＾(1) なんだこのニホンザルの落書きはｗｗｗｗｗｗｗ Z/Zって単位元しかない自明群だろｗｗｗｗｗｗｗ その時点で右側は意味ねえなｗｗｗｗｗｗｗ
大阪市立〇〇工業高校１年中退の中卒ニホンザルには 考えるに足る脳味噌が全然ねえなｗｗｗ 0296１３２人目の素数さん2022/03/27(日) 16:02:15.05>>290 ＞the circle group T = R/Z か、えらくスッキリしているねｗ 自明だろｗ
(引用開始) ＞下記で、 ＞”the completion of the Prufer group for b, ＞given by the inverse limit lim ← Z/b^n Z.”だとあるなｗｗ ＞https://en.wikipedia.org/wiki/Circle_group やれやれ、検索しかできないニホンザルは、ウソ記述に簡単に騙されるなぁ
Prüfer group のページ読んだか？ Prüfer groupは、direct limit（直極限・帰納極限）って書いてあるだろ ”For each natural number n, consider the quotient group Z/pnZ and the embedding Z/pnZ → Z/pn+1Z induced by multiplication by p. The direct limit of this system is Z(p∞): Z(p∞)=lim→ Z /p^n Z" (引用終り)
誤読だよ そもそも、そこは、引用そのままだしｗｗ いいか
（原文） In the same way that the real numbers are a completion of the b-adic rationals for every natural number b > 1, the circle group is the completion of the Prufer group for b, given by the inverse limit lim ← Z/b^nZ.
つまり、「実数がすべての自然数b > 1のb-adic有理数の完備化で得られると同様に 円周群が、逆極限lim←Z / b^nZによって与えられるbのプリューファー群（たちの集まり）の完備化になる」 ってことじゃね？ ”for every natural number b > 1”が、 文の後半（つまり ”the Prufer group for b” ）にも、かかっているんだよ （direct limit（直極限・帰納極限） Z(p∞)=lim→ Z /p^n Z は、別の話だよ）
これと同様に考えて、1 mod 5と1 mod 7 との和を、12 mod 35 と定義すれば ∪ Z/nZ も、加法群 になる
∪ μn は、>>286 円周群の「そのねじれ部分群は任意の正整数に亙る 1 の冪根全体の成す集合として与えられ Q/Z に同型である」（円周群より https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%BE%A4 ） そして、>>297 "In the same way that the real numbers are a completion of the b-adic rationals for every natural number b > 1, the circle group is the completion of the Prufer group for b, given by the inverse limit lim ← Z/b^nZ." で、”for every natural number b > 1”なので ∪ the Prufer group for b（集合和）だ これの”a completion of the b-adic rationals for every natural number b > 1”が、円分物 Z＾(1) ってことでしょう
円周群 T=R/Z は、もともとは 有理数Qの有理コーシー列による（通常の）完備化から得られるものだが Z＾での ”a completion of the b-adic rationals”は、一味違う完備化で 円分物 Z＾(1) も、こちらの完備化だね
そして、繰り返すが ∪ μn つまり Q/Z の同型群の 逆極限による 完備化（もどき）として、円分物 Z＾(1) がある ∪ μn ＝∪ the Prufer group for b でもある 0308１３２人目の素数さん2022/03/27(日) 23:43:03.68ID:oOeyWyeT △下げマス ◯貶しマス ◎穢しマス 0309１３２人目の素数さん2022/03/28(月) 06:29:02.69>>306 >複素平面C上の円周群における各点の数論的構造 > とは、 >超越数か代数的数か、或いは有理数か無理数かの判定に関する問題 >のことだよ
下記のウィーン大のDr. Wolfgang Herfort の「INTRODUCTION TO PROFINITE GROUPS」に説明あるよ 百回音読しろよｗ
(引用終り) https://www.asc.tuwien.ac.at/~herfort/ Dr. Wolfgang Herfort https://www.asc.tuwien.ac.at/~herfort/essays/ Kurzartikel - W.Herfort https://www.asc.tuwien.ac.at/~herfort/essays/profinite.pdf INTRODUCTION TO PROFINITE GROUPS MIMAR SINAN FINE ARTS UNIVERSITY (ISTANBUL) 30.1.2012 WOLFGANG HERFORT Dedicated to Peter Plaumann Contents 1. Projective limits 1 2. Profinite groups are “large” finite groups 4 3. Profinite topology 6 4. Free constructions 8 5. Acknowledgements 11 References 11 6. Logfile 11
1. Projective limits
Here is an example: ? ↓ 6←. . . (1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, . . .) ↓ 5←5 . . . (1, 2, 3, 4, 5, 5, . . .) ↓ 4←4←4 . . . (1, 2, 3, 4, 4, . . .) ↓ 3←3←3←3 . . . (1, 2, 3, 3, . . .) ↓ 2←2←2←2←2 . . . (1, 2, 2, . . .) ↓ 1←1←1←1←1←1 . . . (1, 1, . . .) In this example I is the set N of natural numbers and ‘≦’ is the natural ordering on N. For i ∈ N set Xi:= {1, 2, . . . , i} and let the arrows indicate the maps φi+1i. E.g., φ43(4) = 3, φ43(i) = 3 for i ≧ 3 and φ43(i) = i for i < 4.
Such X is a profinite space. In the above example Xi = {1, 2, . . . , i}. The elements of X are the infinite “rays” (fi), for which 1 ≦ f(i) ≦ i. In particular we find “rays” of the sort (1, 2, 3, 4, . . . , i, i, i, i, . . .) for i ∈ N and the special one ∞ := (1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .). Thus lim←-i∈N Xi coincides with the Aleksandrov-compactification of the natural numbers N ∪ {∞}. (引用終り) 以上 0315１３２人目の素数さん2022/03/28(月) 21:45:49.84>>314 ＞百回音読しろよｗ ニホンザルの下げマスは馬鹿声張り上げて音読だけして、 実際に実践しないからわかんねえんだよｗ
＃ついでいうと、Z^はQ/Zのポントリャーギン双対な ＃まニホンザルには一生理解できねえだろうけどなｗｗｗｗｗｗｗ 0316１３２人目の素数さん2022/03/29(火) 11:31:39.09ID:fTODphJy>>315 分かってないのは、お前だろｗ お前のやっていることは、全部おれの後追いじゃんかｗｗ 下記の Jordan Bell トロント大を、百回音読しろ ｗｗｗ
The p-adic solenoid も読めよ ”solenoid”の原型は、リーマンが複素対数関数のリーマン面を考えた辺りまで遡ると思う
http://individual.utoronto.ca/jordanbell/notes/profinite.pdf The profinite completion of the integers, the p-adic integers, and Pr¨ufer p-groups Jordan Bell Department of Mathematics, University of Toronto December 3, 2017 P3 Namely, the morphisms ψn are compatible with the inverse system. For example, φ15,3 ・ ψ15(22) = φ15,3(7 + (15)) = 1 + (3) = ψ3(22). P5 7 Pontryagin duality P6 8 Solenoids For n ≧ 0, let πn : R → R/pnZ be the projection map, and give R/pnZ the final topology induced by this map, with which R/pnZ is a compact abelian group. 略 It is immediate that the compact abelian groups R/pn and the morphisms φn,m, n ≧ m, are an inverse system. We call the inverse limit of this sytem the p-adic solenoid, denoted Tp, with morphisms φn : Tp → R/pnZ.Tp is a compact abelian group.
https://pipiwiki.com/wiki/Solenoid_(mathematics) pipiwiki Solenoid (mathematics) p-adic solenoids Solenoids whose ni have the same value p are known as p-adic solenoids Tp.[2][3][4] Profinite real numbers A profinite real number is an element of the ring R＾=lim ←R /nZ =Π Tp where lim ←R /nZ indicates the profinite completion of R , the index p runs over all prime numbers, and Tp is the p-adic solenoid.
（参考） http://individual.utoronto.ca/jordanbell/notes/QPontryaginDual.pdf The Pontryagin duals of Q/Z and Q Jordan Bell Department of Mathematics, University of Toronto January 5, 2015 P2 3 Q/Z and Q＾/Z P7 6 Topology of Zp P8 7 Rings of fractions and localization P14 10 The ring of adeles
補足 すでに、>>53 時点で https://arxiv.org/pdf/2202.00219.pdf Approximating Absolute Galois Groups Gunnar Carlsson, Roy Joshua February 2, 2022 Proof: Statement (1) is one version of the statement of the Pontrjagin duality theorem, (引用終り)
https://en.wikipedia.org/wiki/Lev_Pontryagin Lev Pontryagin Work Pontryagin worked on duality theory for homology while still a student. He went on to lay foundations for the abstract theory of the Fourier transform, now called Pontryagin duality.
「G を局所コンパクト可換群とするとき、 G の指標とは円周群 T に値を持つ G 上の連続群準同型のことである。 G の指標全体の成す集合はそれ自身が G の双対群と呼ばれる 局所コンパクト群を成すことが示される。」
ま、ニホンザルの下げマスは、どうせ指標も知らねえんだろ（嘲） 0328１３２人目の素数さん2022/03/29(火) 19:45:14.84>>327の続き 「整数全体が加法に関して成す無限巡回群 Z 上の指標は、 生成元である 1 の行き先によって決まる。 つまり、Z 上の指標 χ に対し χ(n) = χ(1)n が成り立ち、 さらにこの式は T から χ(1) となるべき値を任意に選ぶことで定まる。 したがってこのことから、 Z の代数的双対群が円周群 T に同型であること は直ちにわかる。 コンパクト集合上一様収束の位相はこの場合、各点収束位相に一致する。 またこの位相が複素数全体 C における通常の位相を 円周群に制限したものに一致することも簡単に示される。 以上のことから Z の双対群は T に自然同型である。」
意味わかるか？人間失格のニホンザル 下げマス（嘲） 0329１３２人目の素数さん2022/03/29(火) 19:46:43.90>>328のつづき 「逆に T 上の指標は適当な整数 n によって z → z^n の形に書ける。 T はコンパクトゆえ、一様収束位相であるその双対群上の位相は離散位相となり、 結果として T の双対は Z に自然同型となる。」
>>307 より再録 （円周群より https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%BE%A4 ） >>297 "In the same way that the real numbers are a completion of the b-adic rationals for every natural number b > 1, the circle group is the completion of the Prufer group for b, given by the inverse limit lim ← Z/b^nZ." で、”for every natural number b > 1”なので ∪ the Prufer group for b（集合和）だ これの”a completion of the b-adic rationals for every natural number b > 1”が、円分物 Z＾(1) ってことでしょう 円周群 T=R/Z は、もともとは 有理数Qの有理コーシー列による（通常の）完備化から得られるものだが Z＾での ”a completion of the b-adic rationals”は、一味違う完備化で 円分物 Z＾(1) も、こちらの完備化だね そして、繰り返すが ∪ μn つまり Q/Z の同型群の 逆極限による 完備化（もどき）として、円分物 Z＾(1) がある ∪ μn ＝∪ the Prufer group for b でもある (引用終り)
ここ、おっさんは誤読していたよね >>294 Prüfer group のページ読んだか？ Prüfer groupは、direct limit（直極限・帰納極限）って書いてあるだろ Z(p∞)=lim→ Z /p^n Z" (引用終り)
で、おれは>>41で ”profinite 完備化も同じように考えて良いんじゃね？ つまり、1 の n 乗根と同一視できるものが、Z＾(1)には含まれているんじゃないかな？ そこを、いま調べている”と書いた
その関連の記述が、上記の ”円周群 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%BE%A4 の ” ”In the same way that the real numbers are a completion of the b-adic rationals for every natural number b > 1, the circle group is the completion of the Prufer group for b, given by the inverse limit lim ← Z/b^nZ.” だったわけだｗ
とかなんとかいってる間に、wiki書き換えられてんなｗｗｗ https://en.wikipedia.org/wiki/Circle_group In the same way that the real numbers are a completion of the b-adic rationals Z[1/b] for every natural number b>1, the circle group is the completion of the Prüfer group Z[1/b]/Z for b, given by the direct limit lim→ Z/b^nZ.
>とかなんとかいってる間に、wiki書き換えられてんなｗｗｗ >https://en.wikipedia.org/wiki/Circle_group >In the same way that >the real numbers are a completion of the b-adic rationals Z[1/b] for every natural number b>1, >the circle group is the completion of the Prüfer group Z[1/b]/Z for b, given by the direct limit lim→ Z/b^nZ.
見た。確かにｗ だが、主張は変えないよ
Profinite integer Z＾から始めよう Z＾＝lim ← Z/nZ ＝Πp Zp これが、the profinite completion of Z （下記）は、いいよね
(参考) https://en.wikipedia.org/wiki/Profinite_integer Profinite integer Z＾＝lim ← Z/nZ ＝Πp Zp where lim ← Z/nZ indicates the profinite completion of Z , the index p runs over all prime numbers, and Zp is the ring of p-adic integers. (引用終り) 以上 0345１３２人目の素数さん2022/03/31(木) 07:33:40.32ID:r7WGJV69>>336 ご苦労さん
