これで、下記が参考になるな ”where Z(1) is the abelian group μn of nth roots of unity with respect to the algebraic closure of Z/pZ. ” google訳 ここで、Z（1）は、Z/pZの代数的閉包に関する1のn乗根のアーベル群μnです。 とある。 Z（1）とか、“Z＾(1)”とか、書き手で表記がちょっと違うが なんか、Z（1）には、1のn乗根が含まれて、“Z＾(1)”はZ（1）の完備化で 1のn乗根が含まれる そう思えてきたね それで、上記 ”ヘビがとぐろを巻いている”と考えれば、Z が標数0でも何の問題もない （細かいところは、サッパリですがｗ）
In etale cohomology in characteristic p, the Tate twist of a Z/pZ-module, or sheaf of such modules, 略 where Z(1) is the abelian group μn of nth roots of unity with respect to the algebraic closure of Z/pZ.
For n≧0, the nth Tate twist of A, often denoted A(n), is defined to be the result of carrying out the above construction n times.
The l-adic Tate twist Zl(1) is defined by means of the inverse system consisting of the groups μli along with the morphisms μli+1→μli given by a→al, for i≧1, and one can then define Zl(n) for any integer n.
The point of this is that it shows that Zl(1), that is to say, the Tate twist of Zl, is the correct choice of orientation sheaf in l-adic cohomology.
There are variations on how to tell the above story (Deligne’s discussion in 1.6 of SGA 412, via etale cohomology with compact support, can be recommended for instance), but they all come down ultimately to the fact that Zl(1) is the correct choice of orientation sheaf in an l-adic setting.
To return to our starting point, a crucial remark here is that whilst Zl(1) is non-canonically isomorphic to Zl as a Zl-module, the two are not isomorphic as Galois representations. Thus the presence of Tate twists is indispensable to the arithmetic aspect of cohomology.
The analogue of this story goes through for singular cohomology of a complex manifold. The roots of unity in this case are a choice of a square root of -1, namely either i or -i. The choice is invisible in the geometric part of singular cohomology, namely as an abelian group, but it can be seen in the Hodge structure. The analogue of the computations involving Gm and P1 are that the kernel of the exponential map C→C× is Z, and the inclusion of Z in C is via 1→2πi. Thus the Tate twist in singular cohomology is tensoring with 2πiZ.
Tate twists are so fundamental that they are built into Grothendieck’s definition of the category of pure motives: one formally inverts (this is the analogue of taking the dual in the above story) the Lefschetz motive, namely the motive of a pointed P1.
https://arxiv.org/pdf/math/0610426.pdf Comments: 66 papges. to appear in Ann. Sci. Ec. Norm. Sup. (4) p-adic ´etale Tate twists and arithmetic duality (Twists de Tate p-adiques ´etale et dualit´e arithm´etique) Kanetomo Sato Graduate School of Mathematics Nagoya University 4. p-adic ´etale Tate twists
Geometric realizations In terms of motives, the p-adic cyclotomic character is the p-adic realization of the Tate motive Z(1). As a Grothendieck motive, the Tate motive is the dual of H2( P1 ).[1] See also Tate twist
用語について 「局所化」の名の起源は代数幾何学にある。R はある幾何学的対象（代数多様体）の上で定義された函数環とする。この多様体を点 p の近傍で「局所的に」調べようとするならば、p の近傍で 0 でないような函数全体の成す集合 S を考えることになる。その意味で、R を S に関して局所化して得られる環 S?1R は p の近傍における V の挙動についての情報のみをふくんでいる（局所環も参照）。
数論および代数的位相幾何学において、数 n「における」環や空間とか、n から「遠い」などという言及をすることがある。「n から遠い」("away from n") の意味は、「その環の中で n が可逆」（従って、Z[1/n]-代数になる）ということである。例えば、体については「素数 p から遠い」と言えば「その体の標数は p と異なる」という意味になる。Z[1/2] は「2 から遠い」が F2 や Z はそうではない。
もう少し算術的な例として、分母が奇数となるような有理数全体の成す環 Z(2) は局所環である。その極大イデアルは、分子が偶数で分母が奇数であるような分数全体 2Z(2) である。もっと一般に、可換環 R とその素イデアル P が与えられたとき、R の P における局所化は、P の生成する唯一の極大イデアルを持つ局所環である[6]。
体上の二元数の成す多元環も局所環である。もう少し一般に、F が体で n が正整数であるならば、商環 F[X]/(Xn) は、定数項を持たない多項式の類全体の成す極大イデアルを持つ局所環となる。実際に等比級数を使えば、定数項を持つ任意の多項式が Xn を法として可逆であることが示せる。 これらの例では、その元はどれも冪零であるか可逆であるかのいずれかである。
局所環は賦値論では重要な役割を果たす。体 K（これは函数体かもしれないしそうでないかもしれない）が与えられたとき、そこから局所環を見つけることができる。定義により、K の部分環 R が K の付値環であるならば、K のどの非零元についても、x か x?1 のうちのいずれかが R に属す、という性質を持つ。そのような性質を持つ部分環はどれも局所環である。K が実際に代数多様体 V 上の函数体であるならば、V の各点 P に対して、「P において定義された」函数の成す賦値環を考えることができるだろう。V の次元が 2 以上である場合なら、以下のような状況を見て取るのは困難である：
F および G が V 上の有理函数で F(P) = G(P) = 0 を満たすとする。このとき、函数 F/G の P における値というのは不定形である。例えば簡単なところで Y/X において、極限を直線 Y = tX にそって近づけるようなことを考えると、「P における値」という概念には単純な定義というものが無いように思われるだろう。けれども賦値を使えばこのようなことは取り除かれる。
検索 "Z(1)" nth roots of unity algebraic closure of Z/pZ で、下記ヒット
where Z/nZ(1) is the group of n-th roots of unity in K￣ Z＾(1) := lim ←-n Z/nZ(1)
とある。＾（ハット）は、完備化でよく使われる Z(1)を完備化していると思われる Z(1)に、n-th roots of unityに含まれていれば 完備化したZ＾(1)にも入っているだろう
(参考) https://arxiv.org/pdf/1603.05811.pdf Finite and ´etale polylogarithms Kenji Sakugawaa, Shin-ichiro Sekib, aDepartment of Mathematics, Graduate School of Science Osaka University Toyonaka, Osaka 560-0043 Japan bDepartment of Mathematics, Graduate School of Science Osaka University Toyonaka, Osaka 560-0043 Japan Preprint submitted to Elsevier October 4, 2016
P3 1.5. Notation Let K be a field of characteristic 0. We denote by μ(K) the set of roots of unity in K. We fix an algebraic closure K￣ of K and the symbol GK denotes the absolute Galois group Gal(K/K) of K. Let L be a local field or an algebraic extension of Q. Then,
we denote by OL the ring of integers of L. For each locally noetherian affine scheme Spec(R) and for each topological abelian group A equipped with a continuous action of the ´etale fundamental group π := πet1(Spec(R)) of Spec(R), We denote by κn,K : K×/(K×) n ～-→ H1(K, Z/nZ(1)) the Kummer map induced by the Kummer sequence 1 → Z/nZ(1) → K× n-→ K× → 1 where Z/nZ(1) is the group of n-th roots of unity in K￣
P4 2. Review of ´etale polylogarithms
We regard this coherent system as a basis of Z＾(1) := lim ←-n Z/nZ(1). 0200１３２人目の素数さん2022/03/20(日) 10:15:07.21ID:zv0YkKwd>>196 >「俺にも分かるように解説しろ」と言うなら >「そもそも無限概念で躓いてる雑談には無理じゃね？」 >というのが感想。
雑談は決して数学そのものを理解することはできない。 それはね、文献を比較参照して 「どれが信用できる記述か？」という 「信用度を高めていく」という「雑談式理解」は 数学では「理解」とは呼ばないからさ。 0202１３２人目の素数さん2022/03/20(日) 12:42:42.86ID:zv0YkKwd>>199 補足 ”where Z/nZ(1) is the group of n-th roots of unity in K￣ Z＾(1) := lim ←-n Z/nZ(1) とある。＾（ハット）は、完備化でよく使われる Z(1)を完備化していると思われる Z(1)に、n-th roots of unityに含まれていれば 完備化したZ＾(1)にも入っているだろう”
こういう文献しかヒットしないｗ Z＾(1) あるいは、Z(1)には、「n-th roots of unityが含まれない」という文献はヒットしない 存在しないと思われるｗｗ 0203１３２人目の素数さん2022/03/20(日) 16:21:24.20ID:zv0YkKwd>>174 追加の考察
https://en.wikipedia.org/wiki/Profinite_group Profinite group 4 Profinite completion Profinite completion Given an arbitrary group G, there is a related profinite group G^ , the profinite completion of G.[3] (引用終り) 以上
History One of the earliest uses of the term interaction was in a discussion by Niels Bohr in 1913 of the interaction between the negative electron and the positive nucleus.[6] Exchange forces were introduced by Werner Heisenberg (1932) and Ettore Majorana (1933) in order to account for the saturation of binding energy and of nuclear density.[7][8] This was done in analogy to the quantum mechanical theory of covalent bonds, such as exist between two hydrogen atoms in the hydrogen molecule wherein the chemical force is attractive if the wave function is symmetric under exchange of coordinates of the electrons and is repulsive if the wave function is anti-symmetric in this respect.[9]
で、>>215の補足 下記の Dr Gareth Wilkes Profinite Groups and Group Cohomology P30 2.5 Generators of profinite groups を見つけて読んだけど、>>212-214みたいなことは、書いてないよ ZのProfinite Completion として、Z＾があって、ねじれがないのはその通りだが profinite groups で、アーベルなら常に”ねじれがない”は書いてないよ 錯覚でしょ、>>212-214は。つーか、無知だろ？ｗ
Lecture notes (Updated 19th January 2021) https://www.dpmms.cam.ac.uk/~grw46/LectureNotes2021.pdf Profinite Groups and Group Cohomology Gareth Wilkes Part III Lent Term 2021 P30 2.5 Generators of profinite groups
https://www.dpmms.cam.ac.uk/~grw46/Topology_Supplement.pdf Supplementary Background Material (引用終り) 以上 0219１３２人目の素数さん2022/03/22(火) 12:05:18.19ID:kIw+f2RL>>218 >それを調べているだけ 調べるのに >＜結論＞ >あんた、現状では、星 裕一郎 宇宙際Teichmuller理論入門 の円分物 「1 の n 乗根のなす群の逆極限」について、なんも分かってないね >つーか、”逆極限”そのものが、理解できてないと見た >アホやｗ なる罵りが必要だと、そうですか 0220１３２人目の素数さん2022/03/22(火) 18:47:23.72ID:c7lWrRXO>>218 >profinite groups で、アーベルなら常に”ねじれがない”は書いてないよ
これがそもそもおかしい。 Z＾(1)の「定義」は、μn(Ω)のなす射影系の極限であって 最初にZ(1)なるものが明らかにあって、それを射有限完備化しているわけではない。 射影極限は射影系があれば作れるのであって μn(Ω)はZ/nZと加群として同型であるだけではなく、射も含めて 完全に同型に対応している。射影極限の定義が分かっていれば それで構造は一意的に決まってしまうことは分かる。 星さんも書いているようにZ＾(1)とZ^は「同型」。 Z^がtorsion free であれば、Z＾(1)も当然torsion free。 これで完全に答えは出ている。 0235１３２人目の素数さん2022/03/23(水) 20:51:35.24ID:EiY7DggM Z(1)やZ＾(1)を「（工学バカの）俺にも分かるように示せ！」 というのは、構成が抽象的である以上、雑談が求めている ような分かりやすい答えはないってこと。 0236１３２人目の素数さん2022/03/23(水) 21:02:35.87>>235 いや、完全に具体的に>>223で書ききってる 下げマスがあれ読んでも理解できないんなら 数学は無理だから諦めたほうがいい やっぱ中卒って人間失格のサルなんだなｗ 0237１３２人目の素数さん2022/03/23(水) 21:06:43.44ID:EiY7DggM 雑談の拠り所は https://ncatlab.org/nlab/show/Tate+twist 「Z(1) is the abelian group μn of nth roots of unity」 と書いてあることだが、これは標数pで、環Z/pZに関する テンソル積だし、全然状況が違う。 本来、"nth roots of unity"なら、Z/nZ(1)と書くべきだと思う。
自分が理解してないことを、文字列だけ見て根拠にしようというのが 雑談らしいとは言えるｗ 0238１３２人目の素数さん2022/03/23(水) 21:15:01.26ID:EiY7DggM>>236 あれは分かり易い良い説明と思うが、あれは Z_2であって、Z_2(1)ではないだろうというのが 雑談の言い分。 0239１３２人目の素数さん2022/03/23(水) 21:45:20.45ID:EiY7DggM >Z(1) is the abelian group μn of nth roots of unity with respect to the algebraic closure of Z/pZ.
このバカが求めている「答え」というのは、自分で>>93に書いたような >要するに、√2とか2^(1/5)が入ってきて、”Zp is the completion of Z”だと とこういうのが、「（工学バカの）俺様が求めている答え」なんだろうが ここに出て来る「√2とか2^(1/5)」が通常の実数とは別物であることさえ 分かってない感じだった。 0240１３２人目の素数さん2022/03/24(木) 00:23:16.58ID:rPzAERHO>>234 誤魔化そうとしているな
>>92 より Z＾関連で、前スレ https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1623019011/930 より MITの講義 https://math.mit.edu/classes/18.782/lectures.html LECTURES MIT Arithmetic Geometry https://math.mit.edu/classes/18.782/LectureNotes4.pdf Introduction to Arithmetic Geometry Fall 2013 Lecture #4 Andrew V. Sutherland 4.2 The ring of p-adic integers Definition 4.3. For a prime p, the ring of p-adic integers Zp is the inverse limit Zp = lim ←- Z/p^nZ of the inverse system of rings (Z/p^nZ) with morphisms (fn) given by reduction modulo pn (for a residue class x ∈ Z/pn+1Z, pick an integer x ∈ x and take its residue class in Z/p^nZ). The multiplicative identity in Zp is 1 = (￣1, ￣1, ￣1, . . .), where the nth ￣1 denotes the residue class of 1 in Z/p^nZ. Example 4.4. If we represent elements of Z/p^nZ by integers in [0, pn - 1], in Z_7 we have 2 = (2, 2, 2, 2, 2, . . .) 2002 = (0, 42, 287, 2002, 2002, . . .) Example 4.7. We have the following p-adic expansion in Z_7: 2 = (2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .) 2002 = (0, 6, 5, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .) (引用終り)
なお、上記の”Example 4.7. We have the following p-adic expansion in Z_7”（表現）の類似 （1のｐ乗根版）が考えられそうだ すぐには、頭が働かないが、既に理論はあるんだろうね 以上 0256１３２人目の素数さん2022/03/24(木) 19:52:35.26>>253 ＞なるほど、言いたいことが少し分かってきた とかいいながら、実は少しも分かってないっぽいな 下げマスｗ 0257１３２人目の素数さん2022/03/24(木) 19:57:43.01>>253 >Example 4.4. >If we represent elements of Z/p^nZ by integers in [0, pn - 1], >in Z_7 we have >2 = (2, 2, 2, 2, 2, . . .) >2002 = (0, 42, 287, 2002, 2002, . . .)
>>255 補足追加 https://en.wikipedia.org/wiki/Profinite_integer Profinite integer Z＾＝lim← Z/nz＝Πp Zp Zp is the ring of p-adic integers. Contents 1 Construction and relations 1.1 Using the Chinese Remainder theorem (引用終り)
