クレレ誌：
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%83%AC%E8%AA%8C
クレレ誌はアカデミーの紀要ではない最初の主要な数学学術誌の一つである（Neuenschwander 1994, p. 1533）。ニールス・アーベル、ゲオルク・カントール、ゴットホルト・アイゼンシュタインらの研究を含む著名な論文を掲載してきた。
(引用終り)
そこで
現代の純粋・応用数学（含むガロア理論）を目指して
新スレを立てる（＾＾；
＜前スレ＞
純粋・応用数学（含むガロア理論）7
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1618711564/
＜関連姉妹スレ＞
ガロア第一論文及びその関連の資料スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/1-
箱入り無数目を語る部屋
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1609427846/
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 54
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1617170015/
IUTを読むための用語集資料スレ2
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1606813903/
現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/
＜過去スレの関連（含むガロア理論）＞
・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む84
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582200067/
・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む83
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/
探検
純粋・応用数学（含むガロア理論）8
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2021/05/13(木) 20:12:42.63ID:0t/ScuZ1
567１３２人目の素数さん
2021/05/28(金) 12:13:06.82ID:zRagxKXt そうか、サルは反論できなくなって脳内の架空の敵と戦ってるのか
哀れなアホザル
哀れなアホザル
568１３２人目の素数さん
2021/05/28(金) 12:17:54.95ID:atLpTL2R 整列順序が理解できず、全順序でのみ語る🐎🦌チョソンｗ
569１３２人目の素数さん
2021/05/28(金) 12:19:56.67ID:atLpTL2R >>566
チョソンはハングクと💩投げ合戦でもしてりゃいいのになｗ
チョソンはハングクと💩投げ合戦でもしてりゃいいのになｗ
570１３２人目の素数さん
2021/05/28(金) 12:21:29.10ID:atLpTL2R571１３２人目の素数さん
2021/05/28(金) 12:22:51.04ID:zRagxKXt 「ωから始まる∈下降列は有限列」
への反論が
「実数Rは全順序」？？？
何これ？何の反論にもなってないんだけどｗ
アホザル反論できなくて発狂してるのか？
ここは数学板。発狂サルはお断り。
への反論が
「実数Rは全順序」？？？
何これ？何の反論にもなってないんだけどｗ
アホザル反論できなくて発狂してるのか？
ここは数学板。発狂サルはお断り。
572１３２人目の素数さん
2021/05/28(金) 17:13:44.48ID:uSGdl6YO 整礎の無限降下列を誤解して血迷うサル二匹
下記の山崎浩一 「数理構造特論」嫁め
反論？ バカか？ サルが間違っているから、嫁めというだけのことよ（＾＾
まず、定義 6.2.1「極小元を持つ」という性質を満たすとき, 整礎 (well-founded) である」
これを、
頭に叩き込め〜！ｗ（＾＾；
（参考）
http://www.cs.gunma-u.ac.jp/~koichi/index_j.html
山崎浩一のホームページ
群馬大学 大学院理工学府 電子情報部門 教授
下記大学に異動しました：
東京電機大学 理工学部 理学系 数理情報学コース
http://www.cs.gunma-u.ac.jp/~koichi/MS/MS.html
連絡事項
数理構造特論 講義予定 (2018/ 4/10更新)
講義の資料 (Materials)
講義ノート (2018/06/20) (PDFファイル)
http://www.cs.gunma-u.ac.jp/~koichi/MS/%E6%95%B0%E7%90%86%E6%A7%8B%E9%80%A0%E7%89%B9%E8%AB%96.pdf
数理構造特論 山崎浩一 群馬大 October 11, 2018
(抜粋)
6.2. 整礎関係 : 「関係」の世界での帰納法
無限降下列と整礎
・ <R を X 上の二項関係とする. x1 >R x2 >R x3 >R · · · なる無限列を 無限降下列 と呼ぶ.
・ 次の定義は無限降下列と深く関係する
定義 6.2.1. X 上の二項関係 <R が「空で無い任意の (X の) 部分集合 Y に対して, Y は極小
元を持つ」という性質を満たすとき, 整礎 (well-founded) であるという.
・ 整礎を論理式で表わすと以下のようになる. (最後は y = z と成り得るので z not≦ y ではなく z not< y となる).
略
以下は “空でない任意の部分集合 A は最小値を持つ” という自然数の性質を表している.
N は全順序なので, z not< y ならば y ≦ z となる (5.4 章の例 5.4.3 参照).
つづく
下記の山崎浩一 「数理構造特論」嫁め
反論？ バカか？ サルが間違っているから、嫁めというだけのことよ（＾＾
まず、定義 6.2.1「極小元を持つ」という性質を満たすとき, 整礎 (well-founded) である」
これを、
頭に叩き込め〜！ｗ（＾＾；
（参考）
http://www.cs.gunma-u.ac.jp/~koichi/index_j.html
山崎浩一のホームページ
群馬大学 大学院理工学府 電子情報部門 教授
下記大学に異動しました：
東京電機大学 理工学部 理学系 数理情報学コース
http://www.cs.gunma-u.ac.jp/~koichi/MS/MS.html
連絡事項
数理構造特論 講義予定 (2018/ 4/10更新)
講義の資料 (Materials)
講義ノート (2018/06/20) (PDFファイル)
http://www.cs.gunma-u.ac.jp/~koichi/MS/%E6%95%B0%E7%90%86%E6%A7%8B%E9%80%A0%E7%89%B9%E8%AB%96.pdf
数理構造特論 山崎浩一 群馬大 October 11, 2018
(抜粋)
6.2. 整礎関係 : 「関係」の世界での帰納法
無限降下列と整礎
・ <R を X 上の二項関係とする. x1 >R x2 >R x3 >R · · · なる無限列を 無限降下列 と呼ぶ.
・ 次の定義は無限降下列と深く関係する
定義 6.2.1. X 上の二項関係 <R が「空で無い任意の (X の) 部分集合 Y に対して, Y は極小
元を持つ」という性質を満たすとき, 整礎 (well-founded) であるという.
・ 整礎を論理式で表わすと以下のようになる. (最後は y = z と成り得るので z not≦ y ではなく z not< y となる).
略
以下は “空でない任意の部分集合 A は最小値を持つ” という自然数の性質を表している.
N は全順序なので, z not< y ならば y ≦ z となる (5.4 章の例 5.4.3 参照).
つづく
573１３２人目の素数さん
2021/05/28(金) 17:14:40.36ID:uSGdl6YO >>572
つづき
定理 6.2.1. [cf. 定理 2.47:[21]] X 上の二項関係 <R が整礎であることと, <R が X で無限降下列を持
たないことは同値である.
証明 ある無限降下列 x1 >R x2 >R x3 >R · · · が存在したとする. このとき, Y := {x1, x2, x3, . . .} は
(<R に関して) 最小元を持たない. よって <R は整礎ではない. 逆に <R は整礎ではないと仮定すると, 極
小元を持たず空でないある Y ⊆ X が存在する. 以下を繰り返すことで無限列が作れる.
・ Y は空でないのである元 a1 が存在する.
・ Y からある元 a1 をとると a1 は極小元ではないので, a2 <R a1 なる a2 が存在する.
・ Y からある元 a2 をとると a2 は極小元ではないので, a3 <R a2 なる a3 が存在する.
・ 一般に, Y からある元 ai をとると ai は極小元ではないので, ai+1 <R ai なる ai+1 が存在する.
□
・ 上述の証明のように, ある要素 ai に依存して次の要素 ai+1 を選ぶ操作を無限回繰り返すという証
明を受け入れてよいものかは疑問の余地がある. 実際, “従属選択公理 (axiom of dependent choices (DC))”
と呼ばれる公理を予め仮定することで, このような証明を許すという場面がある. (e.g.(1.1.2):[17], 2.4.7:[13], 2.1 節:[6])
・ (DC)は“選択公理(axiom of choice (AC))”よりも弱いことが知られている. (e.g. Theorem 5.26:[10],
P135:[9])
(引用終り)
以上
つづき
定理 6.2.1. [cf. 定理 2.47:[21]] X 上の二項関係 <R が整礎であることと, <R が X で無限降下列を持
たないことは同値である.
証明 ある無限降下列 x1 >R x2 >R x3 >R · · · が存在したとする. このとき, Y := {x1, x2, x3, . . .} は
(<R に関して) 最小元を持たない. よって <R は整礎ではない. 逆に <R は整礎ではないと仮定すると, 極
小元を持たず空でないある Y ⊆ X が存在する. 以下を繰り返すことで無限列が作れる.
・ Y は空でないのである元 a1 が存在する.
・ Y からある元 a1 をとると a1 は極小元ではないので, a2 <R a1 なる a2 が存在する.
・ Y からある元 a2 をとると a2 は極小元ではないので, a3 <R a2 なる a3 が存在する.
・ 一般に, Y からある元 ai をとると ai は極小元ではないので, ai+1 <R ai なる ai+1 が存在する.
□
・ 上述の証明のように, ある要素 ai に依存して次の要素 ai+1 を選ぶ操作を無限回繰り返すという証
明を受け入れてよいものかは疑問の余地がある. 実際, “従属選択公理 (axiom of dependent choices (DC))”
と呼ばれる公理を予め仮定することで, このような証明を許すという場面がある. (e.g.(1.1.2):[17], 2.4.7:[13], 2.1 節:[6])
・ (DC)は“選択公理(axiom of choice (AC))”よりも弱いことが知られている. (e.g. Theorem 5.26:[10],
P135:[9])
(引用終り)
以上
574１３２人目の素数さん
2021/05/28(金) 18:50:46.15ID:zRagxKXt575現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/28(金) 20:55:59.01ID:RuIG2yEj >>572
無限降下列が理解できないおサルさんｗｗ（＾＾
「無限降下列とは、< の関係で左側に無限に続く集合 A の要素列である。
つまり、・ ・ ・ < ai < ・ ・ ・ < a1 < a0 のようなものである。」（篠埜）
嫁め
（参考）
http://www.sic.shibaura-it.ac.jp/~sasano/index-j.html
篠埜 功(ささの いさお)
博士(工学) (2002年3月, 東京大学)
芝浦工業大学 工学部 情報工学科 教授
http://www.sic.shibaura-it.ac.jp/~sasano/lecture/lecture.html
講義情報
ソフトウェア構成特論
zoom、木曜2限、大学院 理工学研究科 電気電子情報工学専攻 1年生対象
http://www.sic.shibaura-it.ac.jp/~sasano/lecture/softwareConstruction/21/sc3.pdf
ソフトウェア構成特論 第3回
大学院理工学研究科 電気電子情報工学専攻 篠埜 功
3 整礎帰納法(well-founded induction)
数学的帰納法や構造帰納法は整礎帰納法の特別な場合である。整礎帰納法
は整礎関係 (well-founded relation) が定義されている集合の要素について成り立つ性質を
証明する際に用いる。整礎帰納法を理解すれば必要に応じて様々な帰納法を自分で作り上
げて使うことができる。
定義 1 (整礎関係 (well-founded relation))
集合 A 上の二項関係 < は、無限降下列（infinite descending chain）が存在しない場合、
整礎（well-founded）であるという。
二項関係 < が定義されている集合 A 上の無限降下列とは、< の関係で左側に無限に続く集合 A の要素列である。
つまり、・ ・ ・ < ai < ・ ・ ・ < a1 < a0 のようなものである。
この定義から、整礎関係は irreflexive（非反射的）である。つまり、どの要素 a につい
ても a < a は成立しない。
命題 1 < を集合 A 上の二項関係とする。A の任意の空でない部分集合 Q が極小（minimal）の要素を持つことは関係 < が整礎であるための必要十分条件である。
ここで、集合 A の部分集合 Q の極小の要素とは、
m ∈ Q ∧ {∀b ∈ A. b < m ⇒ b not∈ Q}
を満たすような m である。
証明
まず十分条件であることを示す。
略
定理 1 (整礎帰納法 (well-founded induction)) 略
つづく
無限降下列が理解できないおサルさんｗｗ（＾＾
「無限降下列とは、< の関係で左側に無限に続く集合 A の要素列である。
つまり、・ ・ ・ < ai < ・ ・ ・ < a1 < a0 のようなものである。」（篠埜）
嫁め
（参考）
http://www.sic.shibaura-it.ac.jp/~sasano/index-j.html
篠埜 功(ささの いさお)
博士(工学) (2002年3月, 東京大学)
芝浦工業大学 工学部 情報工学科 教授
http://www.sic.shibaura-it.ac.jp/~sasano/lecture/lecture.html
講義情報
ソフトウェア構成特論
zoom、木曜2限、大学院 理工学研究科 電気電子情報工学専攻 1年生対象
http://www.sic.shibaura-it.ac.jp/~sasano/lecture/softwareConstruction/21/sc3.pdf
ソフトウェア構成特論 第3回
大学院理工学研究科 電気電子情報工学専攻 篠埜 功
3 整礎帰納法(well-founded induction)
数学的帰納法や構造帰納法は整礎帰納法の特別な場合である。整礎帰納法
は整礎関係 (well-founded relation) が定義されている集合の要素について成り立つ性質を
証明する際に用いる。整礎帰納法を理解すれば必要に応じて様々な帰納法を自分で作り上
げて使うことができる。
定義 1 (整礎関係 (well-founded relation))
集合 A 上の二項関係 < は、無限降下列（infinite descending chain）が存在しない場合、
整礎（well-founded）であるという。
二項関係 < が定義されている集合 A 上の無限降下列とは、< の関係で左側に無限に続く集合 A の要素列である。
つまり、・ ・ ・ < ai < ・ ・ ・ < a1 < a0 のようなものである。
この定義から、整礎関係は irreflexive（非反射的）である。つまり、どの要素 a につい
ても a < a は成立しない。
命題 1 < を集合 A 上の二項関係とする。A の任意の空でない部分集合 Q が極小（minimal）の要素を持つことは関係 < が整礎であるための必要十分条件である。
ここで、集合 A の部分集合 Q の極小の要素とは、
m ∈ Q ∧ {∀b ∈ A. b < m ⇒ b not∈ Q}
を満たすような m である。
証明
まず十分条件であることを示す。
略
定理 1 (整礎帰納法 (well-founded induction)) 略
つづく
576現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/28(金) 20:56:40.50ID:RuIG2yEj >>575
つづき
（追加参考（＾＾； ）
http://www.cs-study.com/koga/set/lemmaOfZorn.html
Zorn の補題と選択公理のお話
by Akihiko Koga
25th Jan. 2020 (Update)
選択公理より弱い命題
従属選択公理(axiom of dependent choice, DC)
集合 X 上の二項関係 R から可算無限個の要素の連鎖 x0 R x1 R x2 ... を作れるという公理．
http://www.cs-study.com/koga/set/pictures/ZornAC01.png
命題「整礎集合でなければ無限降下列がある」，対偶をとれば， 「無限降下列の無い順序集合は整礎集合である」の証明にはこれが必要．
ZF集合論のもとでは Lowenheim-Skolem の定理と同値らしい．
(引用終り)
以上
つづき
（追加参考（＾＾； ）
http://www.cs-study.com/koga/set/lemmaOfZorn.html
Zorn の補題と選択公理のお話
by Akihiko Koga
25th Jan. 2020 (Update)
選択公理より弱い命題
従属選択公理(axiom of dependent choice, DC)
集合 X 上の二項関係 R から可算無限個の要素の連鎖 x0 R x1 R x2 ... を作れるという公理．
http://www.cs-study.com/koga/set/pictures/ZornAC01.png
命題「整礎集合でなければ無限降下列がある」，対偶をとれば， 「無限降下列の無い順序集合は整礎集合である」の証明にはこれが必要．
ZF集合論のもとでは Lowenheim-Skolem の定理と同値らしい．
(引用終り)
以上
577１３２人目の素数さん
2021/05/28(金) 21:34:19.98ID:zRagxKXt >>575
サルが反論できず発狂してます
誰が
>「無限降下列とは、< の関係で左側に無限に続く集合 A の要素列である。
を否定したんだ？レス番号書いてみ？書けないなら数学板から出て行け 発狂ザルお断り
サルが反論できず発狂してます
誰が
>「無限降下列とは、< の関係で左側に無限に続く集合 A の要素列である。
を否定したんだ？レス番号書いてみ？書けないなら数学板から出て行け 発狂ザルお断り
578１３２人目の素数さん
2021/05/29(土) 07:45:38.83ID:zzT1yNzi ┐(´∀｀)┌ﾔﾚﾔﾚ
チョソンはωから降りる最初のステップでつまづいてすっころんでるなｗ
ω∋ｎ
ｎをどうえらんでも、自然数しかないんだから、その先の降下列は有限長
つまり、ωの降下列は有限長にしかなり得ないんだよ
こんなことは、降下列の定義に基づいて、論理で考えれば、サルでもわかる
逆にわからんってことは、定義も論理もわからん、🐎🦌というか
🐕🐈以下の存在ってことで、🐓だな 三歩歩くと忘れるしｗｗｗ
チョソンはωから降りる最初のステップでつまづいてすっころんでるなｗ
ω∋ｎ
ｎをどうえらんでも、自然数しかないんだから、その先の降下列は有限長
つまり、ωの降下列は有限長にしかなり得ないんだよ
こんなことは、降下列の定義に基づいて、論理で考えれば、サルでもわかる
逆にわからんってことは、定義も論理もわからん、🐎🦌というか
🐕🐈以下の存在ってことで、🐓だな 三歩歩くと忘れるしｗｗｗ
579現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/29(土) 08:12:15.51ID:fi/E4J7v >>575
>>575
反論？ バカか。サルが勘違いしているだけのこと
下記テキストに書いてあるよ。英語が詳しいけどね。証明も引用した。嫁め（＾＾
つまり、
「可算無限降下列：X の元の無限列 x0, x1, x2, ... で、どんな n についても xn+1 R xn となるようなもの」
だよ。 xn+1 R xn であって、xn R xn+1 ではないよ
まあ、三歳児の知能には難しいかもな
だが、次の「（上方整礎）R の逆関係 R?1 が X 上の整礎関係であるときにいう。このとき R は昇鎖条件を満たすという」
も合わせて読めば、サルでも分かるだろう（＾＾；
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E7%A4%8E%E9%96%A2%E4%BF%82
整礎関係
定義
集合あるいはクラス X 上の二項関係 R が整礎であるとは、X の空でない任意の部分集合 S が R に関する極小元を持つことをいう[1]。
X が集合であるとき、従属選択公理（英語版）（これは選択公理よりも真に弱く可算選択公理よりも真に強い）を仮定すれば、同値な定義として、関係が整礎であることを可算無限降下列が存在しないこととして定められる[3]。
つまり、X の元の無限列 x0, x1, x2, ... で、どんな n についても xn+1 R xn となるようなものはとれない。
順序集合論（英語版）では、半順序に対応する真の順序 (strict partial order) が整礎関係となるとき、その半順序を整礎（整礎半順序）と呼ぶ。全順序がこの意味で整礎であるとき、整列順序と呼ぶ。
集合 x が整礎的集合 (well-founded set) であることは、∈ が x の推移閉包上で整礎関係となることと同値である。ZF における公理のひとつである正則性の公理は、全ての集合が整礎であることを要請するものである。
関係 R が X 上で逆整礎 (converse well-founded) または上方整礎 (upwards well-founded) であるとは、R の逆関係 R?1 が X 上の整礎関係であるときにいう。このとき R は昇鎖条件を満たすという。
つづく
>>575
反論？ バカか。サルが勘違いしているだけのこと
下記テキストに書いてあるよ。英語が詳しいけどね。証明も引用した。嫁め（＾＾
つまり、
「可算無限降下列：X の元の無限列 x0, x1, x2, ... で、どんな n についても xn+1 R xn となるようなもの」
だよ。 xn+1 R xn であって、xn R xn+1 ではないよ
まあ、三歳児の知能には難しいかもな
だが、次の「（上方整礎）R の逆関係 R?1 が X 上の整礎関係であるときにいう。このとき R は昇鎖条件を満たすという」
も合わせて読めば、サルでも分かるだろう（＾＾；
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E7%A4%8E%E9%96%A2%E4%BF%82
整礎関係
定義
集合あるいはクラス X 上の二項関係 R が整礎であるとは、X の空でない任意の部分集合 S が R に関する極小元を持つことをいう[1]。
X が集合であるとき、従属選択公理（英語版）（これは選択公理よりも真に弱く可算選択公理よりも真に強い）を仮定すれば、同値な定義として、関係が整礎であることを可算無限降下列が存在しないこととして定められる[3]。
つまり、X の元の無限列 x0, x1, x2, ... で、どんな n についても xn+1 R xn となるようなものはとれない。
順序集合論（英語版）では、半順序に対応する真の順序 (strict partial order) が整礎関係となるとき、その半順序を整礎（整礎半順序）と呼ぶ。全順序がこの意味で整礎であるとき、整列順序と呼ぶ。
集合 x が整礎的集合 (well-founded set) であることは、∈ が x の推移閉包上で整礎関係となることと同値である。ZF における公理のひとつである正則性の公理は、全ての集合が整礎であることを要請するものである。
関係 R が X 上で逆整礎 (converse well-founded) または上方整礎 (upwards well-founded) であるとは、R の逆関係 R?1 が X 上の整礎関係であるときにいう。このとき R は昇鎖条件を満たすという。
つづく
580現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/29(土) 08:12:50.16ID:fi/E4J7v >>579
つづき
＜英語版＞
https://en.wikipedia.org/wiki/Well-founded_relation
Well-founded relation
(抜粋)
In mathematics, a binary relation R is called well-founded (or wellfounded) on a class X if every non-empty subset S ⊆ X has a minimal element with respect to R, that is, an element m not related by sRm (for instance, "s is not smaller than m") for any s ∈ S.
Equivalently, assuming the axiom of dependent choice, a relation is well-founded if it contains no countable infinite descending chains: that is, there is no infinite sequence x0, x1, x2, ... of elements of X such that xn+1 R xn for every natural number n.[1][2]
References
[1] "Infinite Sequence Property of Strictly Well-Founded Relation". ProofWiki. Retrieved 10 May 2021.
In order theory, a partial order is called well-founded if the corresponding strict order is a well-founded relation. If the order is a total order then it is called a well-order.
In set theory, a set x is called a well-founded set if the set membership relation is well-founded on the transitive closure of x. The axiom of regularity, which is one of the axioms of Zermelo?Fraenkel set theory, asserts that all sets are well-founded.
A relation R is converse well-founded, upwards well-founded or Noetherian on X, if the converse relation R?1 is well-founded on X. In this case R is also said to satisfy the ascending chain condition. In the context of rewriting systems, a Noetherian relation is also called terminating.
つづく
つづき
＜英語版＞
https://en.wikipedia.org/wiki/Well-founded_relation
Well-founded relation
(抜粋)
In mathematics, a binary relation R is called well-founded (or wellfounded) on a class X if every non-empty subset S ⊆ X has a minimal element with respect to R, that is, an element m not related by sRm (for instance, "s is not smaller than m") for any s ∈ S.
Equivalently, assuming the axiom of dependent choice, a relation is well-founded if it contains no countable infinite descending chains: that is, there is no infinite sequence x0, x1, x2, ... of elements of X such that xn+1 R xn for every natural number n.[1][2]
References
[1] "Infinite Sequence Property of Strictly Well-Founded Relation". ProofWiki. Retrieved 10 May 2021.
In order theory, a partial order is called well-founded if the corresponding strict order is a well-founded relation. If the order is a total order then it is called a well-order.
In set theory, a set x is called a well-founded set if the set membership relation is well-founded on the transitive closure of x. The axiom of regularity, which is one of the axioms of Zermelo?Fraenkel set theory, asserts that all sets are well-founded.
A relation R is converse well-founded, upwards well-founded or Noetherian on X, if the converse relation R?1 is well-founded on X. In this case R is also said to satisfy the ascending chain condition. In the context of rewriting systems, a Noetherian relation is also called terminating.
つづく
581現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/29(土) 08:13:53.89ID:fi/E4J7v >>580
つづき
＜証明＞
https://proofwiki.org/wiki/Infinite_Sequence_Property_of_Strictly_Well-Founded_Relation
proofwiki
Infinite Sequence Property of Strictly Well-Founded Relation
Contents
1 Theorem
2 Proof
2.1 Reverse Implication
2.2 Forward Implication
3 Axiom of Dependent Choice
4 Sources
Theorem
Let (S,R) be a relational structure.
Then R is a strictly well-founded relation if and only if there is no infinite sequence ?an? of elements of S such that:
∀n∈N:an+1 R an
Proof
Reverse Implication
Suppose R is not a strictly well-founded relation.
So by definition there exists a non-empty subset T of S which has no strictly minimal element.
Let a∈T.
Since a is not strictly minimal in T, we can find b∈T:bRa.
This holds for all a∈T.
Hence the restriction R↑T×T of R to T×T is a right-total endorelation on T.
So, by the Axiom of Dependent Choice, it follows that there is an infinite sequence ?an? in T such that:
∀n∈N:an+1 R an
It follows by the Rule of Transposition that if there is no infinite sequence ?an? of elements of S such that:
∀n∈N:an+1 R an
then R is a strictly well-founded relation.
□
つづく
つづき
＜証明＞
https://proofwiki.org/wiki/Infinite_Sequence_Property_of_Strictly_Well-Founded_Relation
proofwiki
Infinite Sequence Property of Strictly Well-Founded Relation
Contents
1 Theorem
2 Proof
2.1 Reverse Implication
2.2 Forward Implication
3 Axiom of Dependent Choice
4 Sources
Theorem
Let (S,R) be a relational structure.
Then R is a strictly well-founded relation if and only if there is no infinite sequence ?an? of elements of S such that:
∀n∈N:an+1 R an
Proof
Reverse Implication
Suppose R is not a strictly well-founded relation.
So by definition there exists a non-empty subset T of S which has no strictly minimal element.
Let a∈T.
Since a is not strictly minimal in T, we can find b∈T:bRa.
This holds for all a∈T.
Hence the restriction R↑T×T of R to T×T is a right-total endorelation on T.
So, by the Axiom of Dependent Choice, it follows that there is an infinite sequence ?an? in T such that:
∀n∈N:an+1 R an
It follows by the Rule of Transposition that if there is no infinite sequence ?an? of elements of S such that:
∀n∈N:an+1 R an
then R is a strictly well-founded relation.
□
つづく
582現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/29(土) 08:14:25.66ID:fi/E4J7v >>581
つづき
Forward Implication
Let R be a strictly well-founded relation.
Aiming for a contradiction, suppose there exists an infinite sequence ?an? in S such that:
∀n∈N:an+1 R an
Let T={a0,a1,a2,…}.
Let ak∈T be a strictly minimal element of T.
That is:
∀y∈T:y notR ak
But we have that:
ak+1 R ak
So ak is not a strictly minimal element.
It follows by Proof by Contradiction that such an infinite sequence cannot exist.
□
Axiom of Dependent Choice
This theorem depends on the Axiom of Dependent Choice, by way of Infinite Sequence Property of Strictly Well-Founded Relation/Reverse Implication.
Although not as strong as the Axiom of Choice, the Axiom of Dependent Choice is similarly independent of the Zermelo-Fraenkel axioms.
The consensus in conventional mathematics is that it is true and that it should be accepted.
Sources
1996: Winfried Just and Martin Weese: Discovering Modern Set Theory. I: The Basics ... (previous) ... (next): Part 1: Not Entirely Naive Set Theory: Chapter 2: Partial Order Relations: Theorem 2
(引用終り)
以上
つづき
Forward Implication
Let R be a strictly well-founded relation.
Aiming for a contradiction, suppose there exists an infinite sequence ?an? in S such that:
∀n∈N:an+1 R an
Let T={a0,a1,a2,…}.
Let ak∈T be a strictly minimal element of T.
That is:
∀y∈T:y notR ak
But we have that:
ak+1 R ak
So ak is not a strictly minimal element.
It follows by Proof by Contradiction that such an infinite sequence cannot exist.
□
Axiom of Dependent Choice
This theorem depends on the Axiom of Dependent Choice, by way of Infinite Sequence Property of Strictly Well-Founded Relation/Reverse Implication.
Although not as strong as the Axiom of Choice, the Axiom of Dependent Choice is similarly independent of the Zermelo-Fraenkel axioms.
The consensus in conventional mathematics is that it is true and that it should be accepted.
Sources
1996: Winfried Just and Martin Weese: Discovering Modern Set Theory. I: The Basics ... (previous) ... (next): Part 1: Not Entirely Naive Set Theory: Chapter 2: Partial Order Relations: Theorem 2
(引用終り)
以上
583現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/29(土) 09:28:31.59ID:fi/E4J7v まあ、サルには難しわな
三歳児の知能じゃね
お主、数学科出身だって？
よく卒業できたな
無限のこと、なんにも分かってないじゃん
恐るべしFラン
三歳児の知能じゃね
お主、数学科出身だって？
よく卒業できたな
無限のこと、なんにも分かってないじゃん
恐るべしFラン
584現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/29(土) 09:35:28.24ID:fi/E4J7v しかし、その勘違いは、気付かないとだめでしょ
上昇列（ or 昇鎖>>579）と、降下列の区別があるって
その区別がないと、無限降下列を禁止したら、無限上昇列も禁止することになるよね
とすると、そんな数学では、無限列が存在できなくなるぞ
（とすると、キメツの無限列車も存在できないよね）
それは、可笑しいよねｗｗ（＾＾；
上昇列（ or 昇鎖>>579）と、降下列の区別があるって
その区別がないと、無限降下列を禁止したら、無限上昇列も禁止することになるよね
とすると、そんな数学では、無限列が存在できなくなるぞ
（とすると、キメツの無限列車も存在できないよね）
それは、可笑しいよねｗｗ（＾＾；
585現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/29(土) 10:02:39.58ID:fi/E4J7v >>584 訂正
上昇列（ or 昇鎖>>579）と、降下列の区別があるって
↓
上昇列と、降下列（ or 昇鎖>>579）の区別があるって
かな
>>579より
「関係 R が X 上で逆整礎 (converse well-founded) または上方整礎 (upwards well-founded) であるとは、R の逆関係 R-1 が X 上の整礎関係であるときにいう。このとき R は昇鎖条件を満たすという」
だからね
日本の数学用語は、難しいね
因みに
同じ箇所を英語では（>>579より）
”A relation R is converse well-founded, upwards well-founded or Noetherian on X, if the converse relation R-1 is well-founded on X. In this case R is also said to satisfy the ascending chain condition. In the context of rewriting systems, a Noetherian relation is also called terminating.”
だが、やっぱ英語でも難しいね（＾＾；
上昇列（ or 昇鎖>>579）と、降下列の区別があるって
↓
上昇列と、降下列（ or 昇鎖>>579）の区別があるって
かな
>>579より
「関係 R が X 上で逆整礎 (converse well-founded) または上方整礎 (upwards well-founded) であるとは、R の逆関係 R-1 が X 上の整礎関係であるときにいう。このとき R は昇鎖条件を満たすという」
だからね
日本の数学用語は、難しいね
因みに
同じ箇所を英語では（>>579より）
”A relation R is converse well-founded, upwards well-founded or Noetherian on X, if the converse relation R-1 is well-founded on X. In this case R is also said to satisfy the ascending chain condition. In the context of rewriting systems, a Noetherian relation is also called terminating.”
だが、やっぱ英語でも難しいね（＾＾；
586１３２人目の素数さん
2021/05/29(土) 10:18:22.17ID:zzT1yNzi >>579-585
┐(´∀｀)┌ﾔﾚﾔﾚ
チョソンはわかりもせずにコピペしてるね ああミットモナイ
ωの順序を逆転させたら整列順序じゃないよ
０および任意の自然数n={0,…,n-1}は順序を逆転させても整列順序だけどね
ωも同じだとおもってるならチョソンは正真正銘の🐎🦌ヤローだねｗｗｗ
┐(´∀｀)┌ﾔﾚﾔﾚ
チョソンはわかりもせずにコピペしてるね ああミットモナイ
ωの順序を逆転させたら整列順序じゃないよ
０および任意の自然数n={0,…,n-1}は順序を逆転させても整列順序だけどね
ωも同じだとおもってるならチョソンは正真正銘の🐎🦌ヤローだねｗｗｗ
587１３２人目の素数さん
2021/05/29(土) 10:21:26.18ID:zzT1yNzi ωで順序を逆転させたら
０＞１＞２＞・・・
となって、いつまでたっても「底」に辿り着かない つまり、整列集合でない
これ常識 知らん奴は人間じゃないｗｗｗ
チョソンは人間じゃないどころか🐓🐖🐄にも劣る🐛かｗ
０＞１＞２＞・・・
となって、いつまでたっても「底」に辿り着かない つまり、整列集合でない
これ常識 知らん奴は人間じゃないｗｗｗ
チョソンは人間じゃないどころか🐓🐖🐄にも劣る🐛かｗ
588１３２人目の素数さん
2021/05/29(土) 10:28:34.33ID:beKcuS0o589１３２人目の素数さん
2021/05/29(土) 11:39:59.78ID:zzT1yNzi >>588
＞おまえは、誰かが無限下降列と無限上昇列を間違えたと、
＞そう言いたい訳だな？
その「誰か」って、チョソン自身じゃね？ｗｗｗｗｗｗｗ
だいたいチョソンの誤りってそのパターンだよな
正規部分群で「集合として同じ」と読むべきところを
なにをカン違いしたのか「群として同型」と読み違えるとか
どうせ
「無限下降列をひっくり返したら、無限上昇列だろぉ！」
とか、アサハカな思いつきで間違ったんだろｗ
０から１づつ増えてく上昇列には ωがないんだから
ωからおりる下降列になりようがないだろ
🐎🦌だねぇぇぇぇぇ 朝鮮高級学校卒のヤンキー野郎 チョソンはｗｗｗ
＞おまえは、誰かが無限下降列と無限上昇列を間違えたと、
＞そう言いたい訳だな？
その「誰か」って、チョソン自身じゃね？ｗｗｗｗｗｗｗ
だいたいチョソンの誤りってそのパターンだよな
正規部分群で「集合として同じ」と読むべきところを
なにをカン違いしたのか「群として同型」と読み違えるとか
どうせ
「無限下降列をひっくり返したら、無限上昇列だろぉ！」
とか、アサハカな思いつきで間違ったんだろｗ
０から１づつ増えてく上昇列には ωがないんだから
ωからおりる下降列になりようがないだろ
🐎🦌だねぇぇぇぇぇ 朝鮮高級学校卒のヤンキー野郎 チョソンはｗｗｗ
590現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/29(土) 11:46:54.70ID:fi/E4J7v >>558 追加
倉田 令二朗先生
”トポスと高階論理の本質的な同等性をはっきりと示した”
ですと（＾＾
21世紀はHOLの時代です
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/35/1/35_1_50/_article/-char/ja/
トポスの基礎Part I
論理からみたトポス
倉田 令二朗
1983 年 35 巻 1 号 p. 50-69
§0.序論
(1) トポスの登場.トポスはGrothendieck Topos, Lawvereの圏論的集合論と論理の圏論的解
釈の研究1),および伝統的なcHa(complete Heyting algebra)上の直観主義論理の結合としてLaw
vereとTierneyによって生み出された(1970[27]).最初のスロー一ガンは層の理論のinternaliza
tion,すなわちGrothendieck toposの圏論にとっての狸雑な部分2)=集合論的部分をelementary
toposの 有 限 図 式 で書 きか え る こ と で あ った(本 文3.1が そ の は じ ま りで あ る)([10],[ 20],[48]).こ
の方向はinterna1 category論に関するDiaconescu等の精緻な研究([3])を経て徹底して推進され
た([16]2,3,4章)。
(2) トポスによる統合. Lawvereは1975年のシカゴ講演において次のように述べている.`1963
年頃数学の基礎に5つの重要な発展がみられた.すなわち(i) Robinsonのnon standard analysis,
(ii) Cohenに よ る 集合 論 に お け る独 立 性 の証 明, (iii)直 観 主 義 的述 語 論理 に お け るKripke解 釈,
(iv) Lawvereによる集合圏のelementary theory, (v) Grothendieck toposにおけるGiraudの
理論がそれであり,これらは7年後LawvereとTierneyによって統合された"と3).またBoileau
とJoya1は1981年の論文[52]でさらに代数幾何,微分幾何,解析的幾何,代数的位相幾何, coho
mologie, homotopie,ガロアの理論への広がりを指摘している.つまりトポスは数学の新しい統合
の一つのパラダイムのはじまりだというわけである.
(3) トポスの課題.トポスが新しい数学統合の形式だということは,つまりこれまでの数学の体
系において一元的に集合論の占めていた地位のかなりの部分にトポスがとってかわろうということ.
である.しかしそのためには第一に,
つづく
倉田 令二朗先生
”トポスと高階論理の本質的な同等性をはっきりと示した”
ですと（＾＾
21世紀はHOLの時代です
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/35/1/35_1_50/_article/-char/ja/
トポスの基礎Part I
論理からみたトポス
倉田 令二朗
1983 年 35 巻 1 号 p. 50-69
§0.序論
(1) トポスの登場.トポスはGrothendieck Topos, Lawvereの圏論的集合論と論理の圏論的解
釈の研究1),および伝統的なcHa(complete Heyting algebra)上の直観主義論理の結合としてLaw
vereとTierneyによって生み出された(1970[27]).最初のスロー一ガンは層の理論のinternaliza
tion,すなわちGrothendieck toposの圏論にとっての狸雑な部分2)=集合論的部分をelementary
toposの 有 限 図 式 で書 きか え る こ と で あ った(本 文3.1が そ の は じ ま りで あ る)([10],[ 20],[48]).こ
の方向はinterna1 category論に関するDiaconescu等の精緻な研究([3])を経て徹底して推進され
た([16]2,3,4章)。
(2) トポスによる統合. Lawvereは1975年のシカゴ講演において次のように述べている.`1963
年頃数学の基礎に5つの重要な発展がみられた.すなわち(i) Robinsonのnon standard analysis,
(ii) Cohenに よ る 集合 論 に お け る独 立 性 の証 明, (iii)直 観 主 義 的述 語 論理 に お け るKripke解 釈,
(iv) Lawvereによる集合圏のelementary theory, (v) Grothendieck toposにおけるGiraudの
理論がそれであり,これらは7年後LawvereとTierneyによって統合された"と3).またBoileau
とJoya1は1981年の論文[52]でさらに代数幾何,微分幾何,解析的幾何,代数的位相幾何, coho
mologie, homotopie,ガロアの理論への広がりを指摘している.つまりトポスは数学の新しい統合
の一つのパラダイムのはじまりだというわけである.
(3) トポスの課題.トポスが新しい数学統合の形式だということは,つまりこれまでの数学の体
系において一元的に集合論の占めていた地位のかなりの部分にトポスがとってかわろうということ.
である.しかしそのためには第一に,
つづく
591現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/29(土) 11:47:51.40ID:fi/E4J7v >>590
つづき
(4)高階直観主義論理とトポス.この間の深い関係についてはLawvereによってつとに指摘されていたが,
完全性定理の形式で,しかもトポスと高階論理の本質的な同等性をはっきりと示したのはFourman(1974[6],[7])が最初である.
ここで2つの流派が生じる.われわれが対象とする論理は直観主義論理であり,それが解釈され
るトポスは,
(5)無限論理とGr0thendieck topos. Lawvereの意図したGrothendieck toposの完全なin
ternalizationは不可能であった. Joyal等はLawvereの捨象したGrothendieck toposの集合論
的外延的性質すなわちcompleteな性質を圏論と論理の中核に据える一そのかわリベキを捨象し
た一研究の方向を示した. 2.9はMakkai-Reyes[31]によるその方面の成果の素描である.以下
Grothendieck toposをGr-トポスと略称する.
(6)層の圏. §3の例はいずれも集合論的に定義されるものであるが参考書をあげるにとどめる.
とくにV(H)は竹内外史氏が来日中(1979)にひろめた数々のスローガン, ‘アーベル群(環)の直観
主義化はアーベル群(環)の層である.一変数関数論の直観主義化は多変数関数論である' (5)等を具現
するモデルであり,実例研究のたえざる出発点である([43]) .
(7)PartＩからみたトポス.トポスと高階論理が同値な概念であるとするならばどちらを出発
点にとるかは諸個人の趣味の問題であり,トポスはけっきょく一つのモードにすぎないといえるか
も知れない.けれども論理そのものが新たに圏論的表象を得たという点に新しいパラダイムの特徴
があるのであって,たとえば人はいつでも論理学の研究をsyntaxを経ることなく直接にトポス上
の図式から始めることができる.もっとも今のところトポス自身は‘aは対象である'‘fは射である'
を無定義述語とする言語で基礎づけられねばならぬけれども.
原理的には伝統的な枠の中で証明されえた筈の諸定理,4.一2(1),§5のOsiusの結果等がまずトポ
スにおいて明らかにされた背後には適切で簡潔な表現へと志向するトポスパラダイムが作用してい
たといえよう。
つづく
つづき
(4)高階直観主義論理とトポス.この間の深い関係についてはLawvereによってつとに指摘されていたが,
完全性定理の形式で,しかもトポスと高階論理の本質的な同等性をはっきりと示したのはFourman(1974[6],[7])が最初である.
ここで2つの流派が生じる.われわれが対象とする論理は直観主義論理であり,それが解釈され
るトポスは,
(5)無限論理とGr0thendieck topos. Lawvereの意図したGrothendieck toposの完全なin
ternalizationは不可能であった. Joyal等はLawvereの捨象したGrothendieck toposの集合論
的外延的性質すなわちcompleteな性質を圏論と論理の中核に据える一そのかわリベキを捨象し
た一研究の方向を示した. 2.9はMakkai-Reyes[31]によるその方面の成果の素描である.以下
Grothendieck toposをGr-トポスと略称する.
(6)層の圏. §3の例はいずれも集合論的に定義されるものであるが参考書をあげるにとどめる.
とくにV(H)は竹内外史氏が来日中(1979)にひろめた数々のスローガン, ‘アーベル群(環)の直観
主義化はアーベル群(環)の層である.一変数関数論の直観主義化は多変数関数論である' (5)等を具現
するモデルであり,実例研究のたえざる出発点である([43]) .
(7)PartＩからみたトポス.トポスと高階論理が同値な概念であるとするならばどちらを出発
点にとるかは諸個人の趣味の問題であり,トポスはけっきょく一つのモードにすぎないといえるか
も知れない.けれども論理そのものが新たに圏論的表象を得たという点に新しいパラダイムの特徴
があるのであって,たとえば人はいつでも論理学の研究をsyntaxを経ることなく直接にトポス上
の図式から始めることができる.もっとも今のところトポス自身は‘aは対象である'‘fは射である'
を無定義述語とする言語で基礎づけられねばならぬけれども.
原理的には伝統的な枠の中で証明されえた筈の諸定理,4.一2(1),§5のOsiusの結果等がまずトポ
スにおいて明らかにされた背後には適切で簡潔な表現へと志向するトポスパラダイムが作用してい
たといえよう。
つづく
592現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/29(土) 11:48:13.15ID:fi/E4J7v >>591
つづき
5.2.集合論のモデルの構成
(3)集合論の論理式φに対するKripke-Joya1解釈.
5.3.結論
(1)NNO25)をもつ任意のトポスEに対し,NNO∈UとなるpreuniverseUは上の解釈でZIO(直観主義的Z0)のモデルとなる.
(2)さらにEがwellpoweredのときuniverseUでco11ectionが,さらにEがcompleteのとき separationが成立つ.
(3)EがGr-トポスでUがuniverseのときZFＩのモデルとなる.
(引用終り)
以上
つづき
5.2.集合論のモデルの構成
(3)集合論の論理式φに対するKripke-Joya1解釈.
5.3.結論
(1)NNO25)をもつ任意のトポスEに対し,NNO∈UとなるpreuniverseUは上の解釈でZIO(直観主義的Z0)のモデルとなる.
(2)さらにEがwellpoweredのときuniverseUでco11ectionが,さらにEがcompleteのとき separationが成立つ.
(3)EがGr-トポスでUがuniverseのときZFＩのモデルとなる.
(引用終り)
以上
593現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/29(土) 12:00:38.77ID:fi/E4J7v >>590
倉田 令二朗先生の
Part II を検索したが、ヒットせず
書かれなかったかも
代わりに、下記数理研を貼る（但し手書き原稿）
2001年歿か
https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/103379/1/0480-7.pdf
Title Grothendieck Toposへの入門試論(数学基礎論)
Author(s) 倉田, 令二朗
Citation 数理解析研究所講究録 (1983), 480: 87-108
Issue Date 1983-02
https://www.nippyo.co.jp/shop/author/2386.html
日本評論社
著者紹介
倉田 令二朗
くらた れいじろう
プロフィール
1931年香川県丸亀市に生まれる。1954年東京大学理工学部数学科を卒業。その後、東京工業大学大学院、高校教師、日本科学技術研修所電子計算機センター、日本大学文理学部講師、九州大学工学部助手を経て、1964年九州大学工学部助教授。1986年河合文化教育研究所主任研究員。理学博士。
2001年歿。
倉田 令二朗先生の
Part II を検索したが、ヒットせず
書かれなかったかも
代わりに、下記数理研を貼る（但し手書き原稿）
2001年歿か
https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/103379/1/0480-7.pdf
Title Grothendieck Toposへの入門試論(数学基礎論)
Author(s) 倉田, 令二朗
Citation 数理解析研究所講究録 (1983), 480: 87-108
Issue Date 1983-02
https://www.nippyo.co.jp/shop/author/2386.html
日本評論社
著者紹介
倉田 令二朗
くらた れいじろう
プロフィール
1931年香川県丸亀市に生まれる。1954年東京大学理工学部数学科を卒業。その後、東京工業大学大学院、高校教師、日本科学技術研修所電子計算機センター、日本大学文理学部講師、九州大学工学部助手を経て、1964年九州大学工学部助教授。1986年河合文化教育研究所主任研究員。理学博士。
2001年歿。
594１３２人目の素数さん
2021/05/29(土) 12:05:16.33ID:zzT1yNzi595１３２人目の素数さん
2021/05/29(土) 12:06:18.56ID:zzT1yNzi チョソンが大量コピペ始めたら
メンタルボロボロだとおもっていいｗｗｗ
メンタルボロボロだとおもっていいｗｗｗ
596１３２人目の素数さん
2021/05/29(土) 12:08:46.16ID:zzT1yNzi チョソンのメンタルの頂点
「いい気になって検索結果をコピペしまくってるとき」
チョソンのメンタルの底
「いい気になって書いたことのアラをつっこまれて
どう返しても自分が負けるしかないとわかったときｗｗｗ」
このとき、突如コピペしまくって無理矢理盛り返すｗｗｗｗｗｗｗ
「いい気になって検索結果をコピペしまくってるとき」
チョソンのメンタルの底
「いい気になって書いたことのアラをつっこまれて
どう返しても自分が負けるしかないとわかったときｗｗｗ」
このとき、突如コピペしまくって無理矢理盛り返すｗｗｗｗｗｗｗ
597１３２人目の素数さん
2021/05/29(土) 12:29:19.21ID:beKcuS0o598現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/29(土) 12:57:31.12ID:fi/E4J7v 竹内さんの
『層・圏・トポス』→HOL（高階論理）
人が日常で思考するとき、一階述語論理には縛られない
ですが、多分数学の多くの記述が、一階述語論理なのでしゅう（厳密には知らないが）
そこに。Grothendieck が、Toposを考えた>>590 >>593
高階論理を意識していたかどうか、不明だが？
ともかく、倉田, 令二朗先生によれば、高階直観主義論理と関係しているらしい
一階述語論理よりも、強力です
21世紀は、やはり
HOL（高階論理（層・圏・トポスなど））の時代でしょうかね（＾＾
（参考）
https://m-hiyama.はてなブログ/entry/20090430/1241049766
檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
2009-04-30
竹内さんの『層・圏・トポス』を読む人達へ
(抜粋)
「読む人達へ」とはいっても一般論ではなくて、ジョニーが『層・圏・トポス』を読む勉強会をするらしいので、このメンバーへ老婆心から二三言っておきたいことです。
(引用終り)
以上
『層・圏・トポス』→HOL（高階論理）
人が日常で思考するとき、一階述語論理には縛られない
ですが、多分数学の多くの記述が、一階述語論理なのでしゅう（厳密には知らないが）
そこに。Grothendieck が、Toposを考えた>>590 >>593
高階論理を意識していたかどうか、不明だが？
ともかく、倉田, 令二朗先生によれば、高階直観主義論理と関係しているらしい
一階述語論理よりも、強力です
21世紀は、やはり
HOL（高階論理（層・圏・トポスなど））の時代でしょうかね（＾＾
（参考）
https://m-hiyama.はてなブログ/entry/20090430/1241049766
檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
2009-04-30
竹内さんの『層・圏・トポス』を読む人達へ
(抜粋)
「読む人達へ」とはいっても一般論ではなくて、ジョニーが『層・圏・トポス』を読む勉強会をするらしいので、このメンバーへ老婆心から二三言っておきたいことです。
(引用終り)
以上
599現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/29(土) 13:01:54.70ID:fi/E4J7v サル二匹
必死の取り繕い
笑えるなｗ（＾＾；
必死の取り繕い
笑えるなｗ（＾＾；
600１３２人目の素数さん
2021/05/29(土) 13:33:41.09ID:beKcuS0o601１３２人目の素数さん
2021/05/29(土) 13:35:11.72ID:beKcuS0o602現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/29(土) 14:58:02.33ID:fi/E4J7v >>579
>「可算無限降下列：X の元の無限列 x0, x1, x2, ... で、どんな n についても xn+1 R xn となるようなもの」
>だよ。 xn+1 R xn であって、xn R xn+1 ではないよ
＜補足＞
Rが、抽象的な順序 関係なので、分からない人もいるだろうから説明する
まず、R を実数の大小関係 < に限るとする
1)xn R xn+1は、上昇列 （例 1 < 2< 3<・・(番号が増えるほど大きくなる)）
2)xn+1 R xnは、降下列 （例 1/1>1/2>1/3>・・(番号が増えるほど小さくなる))
（注；ここは、有限列で考えても（大して意味がないので）分かりにくい。可算無限列で考えると、（その重要性の）意味が分かる）
そして、順序関係の標準が、（下記）”順序数”です
それから、列の長さは、列の項の数で決まる。有限や可算無限なども、項の数で決まる（順序数で計量する）
結論からいうと、
可算無限長の上昇列 1<2<3<・・<ω があったとして、
これが、降下列に変わったりしません
あくまで、上昇列は上昇列
そして列の長さは、あくまで可算無限長であって、決して有限長などにはなりませんｗ（＾＾；
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
定義
整列集合 (A, <) に対して、A を定義域とする関数 G A,<を超限帰納法によって
GA,<(a) = { GA,<(x) | x < a }
と定義したとき、GA,< の値域 ran(GA,<) を (A, <) の順序数といい、これを ord(A, <) で表す。ある整列集合の順序数であるような集合を順序数と呼ぶ[2]。
順序数の大小関係
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), ..............................
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。
つづき
>「可算無限降下列：X の元の無限列 x0, x1, x2, ... で、どんな n についても xn+1 R xn となるようなもの」
>だよ。 xn+1 R xn であって、xn R xn+1 ではないよ
＜補足＞
Rが、抽象的な順序 関係なので、分からない人もいるだろうから説明する
まず、R を実数の大小関係 < に限るとする
1)xn R xn+1は、上昇列 （例 1 < 2< 3<・・(番号が増えるほど大きくなる)）
2)xn+1 R xnは、降下列 （例 1/1>1/2>1/3>・・(番号が増えるほど小さくなる))
（注；ここは、有限列で考えても（大して意味がないので）分かりにくい。可算無限列で考えると、（その重要性の）意味が分かる）
そして、順序関係の標準が、（下記）”順序数”です
それから、列の長さは、列の項の数で決まる。有限や可算無限なども、項の数で決まる（順序数で計量する）
結論からいうと、
可算無限長の上昇列 1<2<3<・・<ω があったとして、
これが、降下列に変わったりしません
あくまで、上昇列は上昇列
そして列の長さは、あくまで可算無限長であって、決して有限長などにはなりませんｗ（＾＾；
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
定義
整列集合 (A, <) に対して、A を定義域とする関数 G A,<を超限帰納法によって
GA,<(a) = { GA,<(x) | x < a }
と定義したとき、GA,< の値域 ran(GA,<) を (A, <) の順序数といい、これを ord(A, <) で表す。ある整列集合の順序数であるような集合を順序数と呼ぶ[2]。
順序数の大小関係
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), ..............................
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。
つづき
603現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/29(土) 14:58:34.10ID:fi/E4J7v >>602
つづく
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
極限順序数
極限順序数（きょくげんじゅんじょすう、英: limit ordinal）は 0 でも後続順序数でもない順序数を言う。あるいは、順序数 λ が極限順序数であるための必要十分条件は「λ より小さい順序数が存在して、順序数 β が λ より小さい限り別の順序数 γ が存在して β < γ < λ とできることである」と言ってもよい。任意の順序数は、0 または後続順序数、さもなくば極限順序数である。
例えば、任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω は、それよりも小さい任意の順序数（つまり自然数）n が常にそれよりも大きい別の自然数（なかんずく n + 1）を持つから、極限順序数である。
(引用終り)
以上
つづく
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
極限順序数
極限順序数（きょくげんじゅんじょすう、英: limit ordinal）は 0 でも後続順序数でもない順序数を言う。あるいは、順序数 λ が極限順序数であるための必要十分条件は「λ より小さい順序数が存在して、順序数 β が λ より小さい限り別の順序数 γ が存在して β < γ < λ とできることである」と言ってもよい。任意の順序数は、0 または後続順序数、さもなくば極限順序数である。
例えば、任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω は、それよりも小さい任意の順序数（つまり自然数）n が常にそれよりも大きい別の自然数（なかんずく n + 1）を持つから、極限順序数である。
(引用終り)
以上
604現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/29(土) 15:17:19.99ID:fi/E4J7v >>602 補足
> 1)xn R xn+1は、上昇列 （例 1 < 2< 3<・・(番号が増えるほど大きくなる)）
>可算無限長の上昇列 1<2<3<・・<ω があったとして、
>これが、降下列に変わったりしません
ここ
集合の∈に換えて
1∈2∈3∈・・∈ω
としても同じです
これは、あくまで、上昇列です。降下列に変わったりしません
なので、正則性公理で禁じられている無限降下列には、該当しません
また、列の長さの計量は、可算無限長であって、有限長とする必要はありません！（＾＾
> 1)xn R xn+1は、上昇列 （例 1 < 2< 3<・・(番号が増えるほど大きくなる)）
>可算無限長の上昇列 1<2<3<・・<ω があったとして、
>これが、降下列に変わったりしません
ここ
集合の∈に換えて
1∈2∈3∈・・∈ω
としても同じです
これは、あくまで、上昇列です。降下列に変わったりしません
なので、正則性公理で禁じられている無限降下列には、該当しません
また、列の長さの計量は、可算無限長であって、有限長とする必要はありません！（＾＾
605１３２人目の素数さん
2021/05/29(土) 15:30:14.04ID:zzT1yNzi >>602
＞結論からいうと、
＞可算無限長の上昇列 1<2<3<・・<ω があったとして、
結論からいうと
可算無限長の上昇列 1<2<3<・・<ω は存在しません！
可算無限長の上昇列 1<2<3<・・ は存在しますが
両者の違い、分かりますかぁ？
お🐎🦌のチョソン君ｗｗｗ
＞結論からいうと、
＞可算無限長の上昇列 1<2<3<・・<ω があったとして、
結論からいうと
可算無限長の上昇列 1<2<3<・・<ω は存在しません！
可算無限長の上昇列 1<2<3<・・ は存在しますが
両者の違い、分かりますかぁ？
お🐎🦌のチョソン君ｗｗｗ
606１３２人目の素数さん
2021/05/29(土) 15:32:51.36ID:zzT1yNzi >>604
>>可算無限長の上昇列 1<2<3<・・<ω
>ここ、集合の∈に換えて
>1∈2∈3∈・・∈ω
>としても同じです
ええ、<だろうが∈だろうが
可算無限長の上昇列
1∈2∈3∈・・∈ω
は存在しません
可算無限長の上昇列
1∈2∈3∈・・
は存在しますが
両者の違い、分かりますかぁ？
お🐎🦌のチョソン君ｗｗｗ
>>可算無限長の上昇列 1<2<3<・・<ω
>ここ、集合の∈に換えて
>1∈2∈3∈・・∈ω
>としても同じです
ええ、<だろうが∈だろうが
可算無限長の上昇列
1∈2∈3∈・・∈ω
は存在しません
可算無限長の上昇列
1∈2∈3∈・・
は存在しますが
両者の違い、分かりますかぁ？
お🐎🦌のチョソン君ｗｗｗ
607現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/29(土) 15:42:35.24ID:fi/E4J7v >>604 追加参考
下記なども見ておくと
参考になるだろう
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E9%96%A2%E4%BF%82
二項関係
(抜粋)
集合上の関係
集合 X 上の二項関係のいくつか重要なクラスとして、以下のようなものを挙げることができる：
集合的 (set-like)
集合 X の任意の元 x に対して、y?R?x となるような y 全体の成すクラスが集合であるような関係は、集合的（あるいは集合状、集合様）であるという。
（これは真のクラス上の関係を認める場合でないと意味を持たない）
順序数全体の成すクラス上の通常の順序関係 "<" は集合的関係だが、その逆順序 ">" は集合的ではない。
整礎的 (well-founded)
X の任意の空でない部分集合Aが極小元a(Aのどの元xもxRaとならない)を持つときR は整礎的であるという。
自然数上の大小関係"≦"は整礎的である。正則性公理を仮定すると∈は任意の集合上で整礎的である。
(引用終り)
以上
下記なども見ておくと
参考になるだろう
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E9%96%A2%E4%BF%82
二項関係
(抜粋)
集合上の関係
集合 X 上の二項関係のいくつか重要なクラスとして、以下のようなものを挙げることができる：
集合的 (set-like)
集合 X の任意の元 x に対して、y?R?x となるような y 全体の成すクラスが集合であるような関係は、集合的（あるいは集合状、集合様）であるという。
（これは真のクラス上の関係を認める場合でないと意味を持たない）
順序数全体の成すクラス上の通常の順序関係 "<" は集合的関係だが、その逆順序 ">" は集合的ではない。
整礎的 (well-founded)
X の任意の空でない部分集合Aが極小元a(Aのどの元xもxRaとならない)を持つときR は整礎的であるという。
自然数上の大小関係"≦"は整礎的である。正則性公理を仮定すると∈は任意の集合上で整礎的である。
(引用終り)
以上
608１３２人目の素数さん
2021/05/29(土) 15:51:48.63ID:zzT1yNzi >>602
＞これ（上昇列）が、降下列に変わったりしません
＞あくまで、上昇列は上昇列
>>604
＞あくまで、上昇列です。降下列に変わったりしません
＞なので、正則性公理で禁じられている無限降下列には、該当しません
そもそもそんな詭弁を弄するまでもなく
０から始まり、
１）ωに至る
２）可算無限長の
上昇列は存在しません
要するに
１）ωに至る上昇列は有限長です
２）可算無限長の上昇列は、
ａ）ωに至らないか
ｂ）有限ステップでωを通過してるか
のいずれかです
なんでこんな「簡単」なことが理解できんかねえ チョソンは
脳ミソ サナダムシに食われてスッカスカなんかねえ
・・・🐖、生で食っただろｗ
＞これ（上昇列）が、降下列に変わったりしません
＞あくまで、上昇列は上昇列
>>604
＞あくまで、上昇列です。降下列に変わったりしません
＞なので、正則性公理で禁じられている無限降下列には、該当しません
そもそもそんな詭弁を弄するまでもなく
０から始まり、
１）ωに至る
２）可算無限長の
上昇列は存在しません
要するに
１）ωに至る上昇列は有限長です
２）可算無限長の上昇列は、
ａ）ωに至らないか
ｂ）有限ステップでωを通過してるか
のいずれかです
なんでこんな「簡単」なことが理解できんかねえ チョソンは
脳ミソ サナダムシに食われてスッカスカなんかねえ
・・・🐖、生で食っただろｗ
609１３２人目の素数さん
2021/05/29(土) 15:55:46.58ID:zzT1yNzi610１３２人目の素数さん
2021/05/29(土) 16:03:02.83ID:vQHS2fLW てすと。
611１３２人目の素数さん
2021/05/29(土) 16:03:25.38ID:vQHS2fLW よっしゃぁ。書き込めたぞぉ。
612１３２人目の素数さん
2021/05/29(土) 16:09:51.23ID:vQHS2fLW 底辺数学科乙。
613現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/29(土) 17:59:49.30ID:fi/E4J7v614１３２人目の素数さん
2021/05/29(土) 18:23:34.87ID:HB06e+/w615現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/29(土) 18:54:01.85ID:fi/E4J7v >>604 追加
下記、辻下徹 研究室 北大
1999年講義 第4回：＜無限＞の柔軟性(1)：Forcing
自然数の集合ω が良く纏まっているが
コピー規制がかかっていて、コピー貼り付けができない
リンク先を直接見てください
http://ac-net.org/tjst/
辻下徹 研究室 北大
http://ac-net.org/tjst/doc/announce/am99.html
1999年講義 （このページは文字化けがひどいが（＾＾； ）
http://ac-net.org/tjst/doc/lect/am99/1am99.pdf
1 第1回：数学における不定性
http://ac-net.org/tjst/doc/lect/am99/4am99.pdf
4 第4回：＜無限＞の柔軟性(1)：Forcing
目次
4.1 自然数の集合ω
(引用終り)
以上
下記、辻下徹 研究室 北大
1999年講義 第4回：＜無限＞の柔軟性(1)：Forcing
自然数の集合ω が良く纏まっているが
コピー規制がかかっていて、コピー貼り付けができない
リンク先を直接見てください
http://ac-net.org/tjst/
辻下徹 研究室 北大
http://ac-net.org/tjst/doc/announce/am99.html
1999年講義 （このページは文字化けがひどいが（＾＾； ）
http://ac-net.org/tjst/doc/lect/am99/1am99.pdf
1 第1回：数学における不定性
http://ac-net.org/tjst/doc/lect/am99/4am99.pdf
4 第4回：＜無限＞の柔軟性(1)：Forcing
目次
4.1 自然数の集合ω
(引用終り)
以上
616現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/29(土) 19:13:29.70ID:fi/E4J7v617現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/29(土) 19:17:38.08ID:fi/E4J7v >>615 追加
下記の古賀明彦氏の無限集合ωの説明が分かり易いが
「無限集合は生成できない」は、レーヴェンハイム-スコーレムの定理
”一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない”
”定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならない”
を考えると、無限集合が出来ても、一階の理論では証明できないから、無限公理を置くが正しいかも（＾＾
http://www.ivis.co.jp/text/20181017.pdf
（2018年10月21日修正版）
「連続体仮説の解説 AGAIN」
古賀明彦 第434回 わかみず会資料
P28
証明論，モデル理論，レーベンハイム・スコーレムの定理
P38
公理的集合論 ZFC
（１） 集合の種
１．Φが存在する
２．最低でも１つの無限集合ωが存在する
（Φ∈ω & (x∈ω ⇒ x ∪ {x} ∈ω）
{Φ} , {Φ, {Φ}}, ...
P39
公理的集合論 ZFC：集合の種
・ 集合を作っていく道具として，空集合 Φ と１つの無限集合 ω の存在が仮定されている
・ 次に述べる，既存の集合から新しく集合を作る手段が４つ用意されており，Φから任意の（有限の）自然数が生成できるが，無限集合は生成できない
・ そのために最低一つの無限集合としてωの存在が公理で保証されている
・ これが無限集合であるという条件は次のように表されている
Φ∈ω n ∈ω ⇒ n+1 := n∪{n} ∈ ω
つづく
下記の古賀明彦氏の無限集合ωの説明が分かり易いが
「無限集合は生成できない」は、レーヴェンハイム-スコーレムの定理
”一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない”
”定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならない”
を考えると、無限集合が出来ても、一階の理論では証明できないから、無限公理を置くが正しいかも（＾＾
http://www.ivis.co.jp/text/20181017.pdf
（2018年10月21日修正版）
「連続体仮説の解説 AGAIN」
古賀明彦 第434回 わかみず会資料
P28
証明論，モデル理論，レーベンハイム・スコーレムの定理
P38
公理的集合論 ZFC
（１） 集合の種
１．Φが存在する
２．最低でも１つの無限集合ωが存在する
（Φ∈ω & (x∈ω ⇒ x ∪ {x} ∈ω）
{Φ} , {Φ, {Φ}}, ...
P39
公理的集合論 ZFC：集合の種
・ 集合を作っていく道具として，空集合 Φ と１つの無限集合 ω の存在が仮定されている
・ 次に述べる，既存の集合から新しく集合を作る手段が４つ用意されており，Φから任意の（有限の）自然数が生成できるが，無限集合は生成できない
・ そのために最低一つの無限集合としてωの存在が公理で保証されている
・ これが無限集合であるという条件は次のように表されている
Φ∈ω n ∈ω ⇒ n+1 := n∪{n} ∈ ω
つづく
618現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/29(土) 19:18:00.70ID:fi/E4J7v >>617
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%83%A0%E2%80%93%E3%82%B9%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%A0%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
レーヴェンハイム-スコーレムの定理とは、可算な一階の理論が無限モデルを持つとき、全ての無限濃度 κ について大きさ κ のモデルを持つ、という数理論理学の定理である。そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、という結論が得られる
定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す。この事実を定理の一部とする場合もある
レーヴェンハイム-スコーレムの定理から導かれる結論の多くは、一階とそうでないものの違いがはっきりしていなかった20世紀初頭の論理学者にとっては直観に反していた。例えば、真の算術 (true arithmetic) には非可算なモデルがあり、それらは一階のペアノ算術を満足するが、同時に帰納的でない部分集合を持つ。さらに悩ましかったのは、集合論の可算なモデルの存在である。それにもかかわらず、集合論は実数が非可算であるという文を満たさなければならない。この直観に反するような状況はスコーレムのパラドックスと呼ばれ、可算性 (countability) は絶対的 (absolute) ではないことを示している
(引用終り)
以上
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%83%A0%E2%80%93%E3%82%B9%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%A0%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
レーヴェンハイム-スコーレムの定理とは、可算な一階の理論が無限モデルを持つとき、全ての無限濃度 κ について大きさ κ のモデルを持つ、という数理論理学の定理である。そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、という結論が得られる
定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す。この事実を定理の一部とする場合もある
レーヴェンハイム-スコーレムの定理から導かれる結論の多くは、一階とそうでないものの違いがはっきりしていなかった20世紀初頭の論理学者にとっては直観に反していた。例えば、真の算術 (true arithmetic) には非可算なモデルがあり、それらは一階のペアノ算術を満足するが、同時に帰納的でない部分集合を持つ。さらに悩ましかったのは、集合論の可算なモデルの存在である。それにもかかわらず、集合論は実数が非可算であるという文を満たさなければならない。この直観に反するような状況はスコーレムのパラドックスと呼ばれ、可算性 (countability) は絶対的 (absolute) ではないことを示している
(引用終り)
以上
619１３２人目の素数さん
2021/05/29(土) 20:20:46.30ID:beKcuS0o620１３２人目の素数さん
2021/05/29(土) 21:04:09.30ID:beKcuS0o621現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/29(土) 23:23:50.41ID:fi/E4J7v >>602
・花木章秀先生、”∀n∈N”は普通です
つまり、1∈2∈・・∈Nです
・新井敏康先生、順序数に対する”<”の使い方 下記です
”0<1<2<・・・ω<ω+1<ω+2<・・・ω+ω<・・・”
二つの順序数α,βの和α+β
”・・・<α α0<α α1<α ・・・●・・・<β b0<β b1<β・・”
（参考）
http://zen.shinshu-u.ac.jp/modules/0065000000/
集合論 信州大 花木章秀 2008年6月19日
http://zen.shinshu-u.ac.jp/modules/0065000001/
論理の基本 信州大 花木章秀
教材 集合論 2008年6月19日
http://zen.shinshu-u.ac.jp/modules/0065000001/files/set_1.pdf
集合論 花木章秀 (2007/12/14)
P9
1.3「任意の...」と「ある...」
「任意の自然数nに対して・・・」ということを記号で「∀n∈Nに対して・・・」
などと書く。
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/57/2/57_2_113/_pdf/-char/ja
2005Volume57Issue2Pages113-126
論説
Hilbertの第2問題に関する証明論の展開 新井敏康
*) 2004年9月20日 北海道大学における総合講演者
P4
3.1 順序数
二つの整列順序は,同型か一方から他方の始切片への同型写像があることが知られている.そこで
順序数(ordina1)を整列順序の型と(素朴には)定め,順序数の大小は順序型αの順序＜αから順序
型βの順序<βの(真の)始切片への同型写像が存在するときα<βと定める.以下,順序型αの順
序の一つを<αと記す.
すると順序数全体は集合ではないがその大小で整列順序になる.その初めのほうは
0<1<2<・・・ω<ω+1<ω+2<・・・ω+ω<・・・
となる.ここでωは自然数全体の順序型で最小の超限(=有限でない)順序数である.
順序数の演算を導入する.まず,二つの順序数α,βの和α+βは次の整列順序の型と定める1
・・・<α α0<α α1<α ・・・●・・・<β b0<β b1<β・・
つまり,初めに順序<αを並べておき,その後に順序<βを置いて得られる順序である.
例えば順序数ω+ωは帰納的である.実際,自然数上でその型は次のように実現できる:
0<2<4<・・・1<3<5<・・
(引用終り)
以上
・花木章秀先生、”∀n∈N”は普通です
つまり、1∈2∈・・∈Nです
・新井敏康先生、順序数に対する”<”の使い方 下記です
”0<1<2<・・・ω<ω+1<ω+2<・・・ω+ω<・・・”
二つの順序数α,βの和α+β
”・・・<α α0<α α1<α ・・・●・・・<β b0<β b1<β・・”
（参考）
http://zen.shinshu-u.ac.jp/modules/0065000000/
集合論 信州大 花木章秀 2008年6月19日
http://zen.shinshu-u.ac.jp/modules/0065000001/
論理の基本 信州大 花木章秀
教材 集合論 2008年6月19日
http://zen.shinshu-u.ac.jp/modules/0065000001/files/set_1.pdf
集合論 花木章秀 (2007/12/14)
P9
1.3「任意の...」と「ある...」
「任意の自然数nに対して・・・」ということを記号で「∀n∈Nに対して・・・」
などと書く。
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/57/2/57_2_113/_pdf/-char/ja
2005Volume57Issue2Pages113-126
論説
Hilbertの第2問題に関する証明論の展開 新井敏康
*) 2004年9月20日 北海道大学における総合講演者
P4
3.1 順序数
二つの整列順序は,同型か一方から他方の始切片への同型写像があることが知られている.そこで
順序数(ordina1)を整列順序の型と(素朴には)定め,順序数の大小は順序型αの順序＜αから順序
型βの順序<βの(真の)始切片への同型写像が存在するときα<βと定める.以下,順序型αの順
序の一つを<αと記す.
すると順序数全体は集合ではないがその大小で整列順序になる.その初めのほうは
0<1<2<・・・ω<ω+1<ω+2<・・・ω+ω<・・・
となる.ここでωは自然数全体の順序型で最小の超限(=有限でない)順序数である.
順序数の演算を導入する.まず,二つの順序数α,βの和α+βは次の整列順序の型と定める1
・・・<α α0<α α1<α ・・・●・・・<β b0<β b1<β・・
つまり,初めに順序<αを並べておき,その後に順序<βを置いて得られる順序である.
例えば順序数ω+ωは帰納的である.実際,自然数上でその型は次のように実現できる:
0<2<4<・・・1<3<5<・・
(引用終り)
以上
622現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/29(土) 23:33:33.35ID:fi/E4J7v >>621 追加
余談ですが、新井敏康先生
下記の証明論、Hilbert 「有限の立場」の意義
”ここに潜んでいるHilbertの考え方はこうである。数学の対象には2種類ある:real
なものとidealなものと。realなものの代表は自然数であり、idealなものの典型は抽
象的・超限的な集合、自然数全体の集合ωのpowersetIP(ω)(=continuum)のpower
setP(P(ω))(realvaluedfunctions),etc.である。”
とか、あるいは
「「有限の立場」で意味がある命題が、Tの公理で表わされた超限的な仮定のも
とに証明されても、それは既に「有限の立場」で確かめ得る」
”Hilbertの眼前には、一方で集合論の逆理があり、他方にその集合論を用いた超限
的で神学的とも評された新しいスタイルの証明があった”
とか
なるほどと思った
https://www.jstage.jst.go.jp/article/emath1996/2002/Autumn-Meeting1/2002_Autumn-Meeting1_42/_pdf/-char/ja
証明論について
新井敏康(神戸大学自然科学研究科)
2002年9月27日
概要
P3
2 Hilbert
「有限の立場」での形式的理論Tの無矛盾性証明は何をもたらすだろうか?
「「有限の立場」で意味がある命題が、Tの公理で表わされた超限的な仮定のも
とに証明されても、それは既に「有限の立場」で確かめ得る」となる。
ここに潜んでいるHilbertの考え方はこうである。数学の対象には2種類ある:real
なものとidealなものと。realなものの代表は自然数であり、idealなものの典型は抽
象的・超限的な集合、自然数全体の集合ωのpowersetIP(ω)(=continuum)のpower
setP(P(ω))(realvaluedfunctions),etc.である。realなものに関する命題、例えば
自然数に関する命題でも、∀X1∈ω∃x2∈ω∀X3∈ω∃x4∈ω…R(x1,x2,x3,x4,…)
のように「任意」や「存在」が複雑に入り組んで使用されたなら、idealであると考
える。
つづく
余談ですが、新井敏康先生
下記の証明論、Hilbert 「有限の立場」の意義
”ここに潜んでいるHilbertの考え方はこうである。数学の対象には2種類ある:real
なものとidealなものと。realなものの代表は自然数であり、idealなものの典型は抽
象的・超限的な集合、自然数全体の集合ωのpowersetIP(ω)(=continuum)のpower
setP(P(ω))(realvaluedfunctions),etc.である。”
とか、あるいは
「「有限の立場」で意味がある命題が、Tの公理で表わされた超限的な仮定のも
とに証明されても、それは既に「有限の立場」で確かめ得る」
”Hilbertの眼前には、一方で集合論の逆理があり、他方にその集合論を用いた超限
的で神学的とも評された新しいスタイルの証明があった”
とか
なるほどと思った
https://www.jstage.jst.go.jp/article/emath1996/2002/Autumn-Meeting1/2002_Autumn-Meeting1_42/_pdf/-char/ja
証明論について
新井敏康(神戸大学自然科学研究科)
2002年9月27日
概要
P3
2 Hilbert
「有限の立場」での形式的理論Tの無矛盾性証明は何をもたらすだろうか?
「「有限の立場」で意味がある命題が、Tの公理で表わされた超限的な仮定のも
とに証明されても、それは既に「有限の立場」で確かめ得る」となる。
ここに潜んでいるHilbertの考え方はこうである。数学の対象には2種類ある:real
なものとidealなものと。realなものの代表は自然数であり、idealなものの典型は抽
象的・超限的な集合、自然数全体の集合ωのpowersetIP(ω)(=continuum)のpower
setP(P(ω))(realvaluedfunctions),etc.である。realなものに関する命題、例えば
自然数に関する命題でも、∀X1∈ω∃x2∈ω∀X3∈ω∃x4∈ω…R(x1,x2,x3,x4,…)
のように「任意」や「存在」が複雑に入り組んで使用されたなら、idealであると考
える。
つづく
623現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/29(土) 23:33:48.04ID:fi/E4J7v つづき
Hilbertの眼前には、一方で集合論の逆理があり、他方にその集合論を用いた超限
的で神学的とも評された新しいスタイルの証明があった。後者はL.Kronecker「自
然数は神の御業だが、それ以外の数は人間がつくった」,L.Browerらにより強烈に
批判されていた。そこで、Hilbertは超限的な数学の無制限の使用に制約を加えなが
らそれを擁護しなければならなかった。そのためのひとつの取り得る道筋が、対象
の二分化とidealなものの権利保証として、「idealなものは原理的には単なる「言
葉の綾(figureofspeech)」に過ぎず、realな命題はそれなしでも示し得る」ことを
示していくことにあった。上述のようにそのためには、まずidealな対象に関する
公理を形式化し、こうして得られた形式的理論Tの無矛盾性CON(T)を証明すれ
ばよいどその証明がそこで形式化される形式的理論が正しい限り、Tの公理に成文
化された範囲でのidealなものの権利保証が得られることになる。
(引用終り)
以上
Hilbertの眼前には、一方で集合論の逆理があり、他方にその集合論を用いた超限
的で神学的とも評された新しいスタイルの証明があった。後者はL.Kronecker「自
然数は神の御業だが、それ以外の数は人間がつくった」,L.Browerらにより強烈に
批判されていた。そこで、Hilbertは超限的な数学の無制限の使用に制約を加えなが
らそれを擁護しなければならなかった。そのためのひとつの取り得る道筋が、対象
の二分化とidealなものの権利保証として、「idealなものは原理的には単なる「言
葉の綾(figureofspeech)」に過ぎず、realな命題はそれなしでも示し得る」ことを
示していくことにあった。上述のようにそのためには、まずidealな対象に関する
公理を形式化し、こうして得られた形式的理論Tの無矛盾性CON(T)を証明すれ
ばよいどその証明がそこで形式化される形式的理論が正しい限り、Tの公理に成文
化された範囲でのidealなものの権利保証が得られることになる。
(引用終り)
以上
624１３２人目の素数さん
2021/05/30(日) 00:17:29.45ID:IHHkwfUH625１３２人目の素数さん
2021/05/30(日) 04:32:23.29ID:4LOzs/AI626１３２人目の素数さん
2021/05/30(日) 04:36:36.24ID:4LOzs/AI >>621
>・花木章秀先生、”∀n∈N”は普通です
上記から
> つまり、1∈2∈・・∈Nです
は導けない
導けるのは
１∈Ｎ
１∈２∈Ｎ
１∈２∈３∈Ｎ
・・・
みな有限列ｗ
論理を知って正しく考えような
HOL？ いやチョソンの独善思考なんか、HOLでも正当化でけへんからｗ
いいから、生野から出て行って、ピョンヤンに帰れｗｗｗ
>・花木章秀先生、”∀n∈N”は普通です
上記から
> つまり、1∈2∈・・∈Nです
は導けない
導けるのは
１∈Ｎ
１∈２∈Ｎ
１∈２∈３∈Ｎ
・・・
みな有限列ｗ
論理を知って正しく考えような
HOL？ いやチョソンの独善思考なんか、HOLでも正当化でけへんからｗ
いいから、生野から出て行って、ピョンヤンに帰れｗｗｗ
627１３２人目の素数さん
2021/05/30(日) 04:44:59.14ID:4LOzs/AI >>621
＞・新井敏康先生、順序数に対する”<”の使い方 下記です
＞ ”0<1<2<・・・ω<ω+1<ω+2<・・・ω+ω<・・・”
それ、「<列」としての記載ではないよｗ
<列なら、
0<1<2<・・・<n<ω<ω+1<ω+2<・・・<ω+m<ω+ω<・・・
と書かにゃならんよ
つまり、
１）ωの左にすべての自然数が現れる＜列は存在し得ない
２）いかなる順序数λにおいても、0からλに到達する<列は有限列
これ、数学の常識な
ウソだと思うなら、新井敏康本人に、メールで直接たずねてみｗ
www.s.u-tokyo.ac.jp/ja/people/arai_toshiyasu/
＞・新井敏康先生、順序数に対する”<”の使い方 下記です
＞ ”0<1<2<・・・ω<ω+1<ω+2<・・・ω+ω<・・・”
それ、「<列」としての記載ではないよｗ
<列なら、
0<1<2<・・・<n<ω<ω+1<ω+2<・・・<ω+m<ω+ω<・・・
と書かにゃならんよ
つまり、
１）ωの左にすべての自然数が現れる＜列は存在し得ない
２）いかなる順序数λにおいても、0からλに到達する<列は有限列
これ、数学の常識な
ウソだと思うなら、新井敏康本人に、メールで直接たずねてみｗ
www.s.u-tokyo.ac.jp/ja/people/arai_toshiyasu/
628１３２人目の素数さん
2021/05/30(日) 04:47:49.75ID:4LOzs/AI どうでもいいが、お🐎🦌チョソンがいくら
「レーヴェンハイム・スコーレムがー」「有限の立場がー」
とわめいても、初歩からつまづいてるから意味ないぞｗ
いいから数学諦めて、ピョンヤンに帰れｗｗｗ
「レーヴェンハイム・スコーレムがー」「有限の立場がー」
とわめいても、初歩からつまづいてるから意味ないぞｗ
いいから数学諦めて、ピョンヤンに帰れｗｗｗ
629１３２人目の素数さん
2021/05/30(日) 04:53:59.35ID:4LOzs/AI >>624
>>0<2<4<・・・1<3<5<・・
>だから１の前者は何だと聞いてるんだが
お🐎🦌のチョソンは、順序数の羅列＝「＜列」と誤解してるんだな
定義を一切確かめない🐎🦌が必ずやらかす誤り
こういうヤツは数学科では確実に死ぬｗ
＜列というからには、＜の左と右の項が必ず存在しなくてはならない
これ常識、否定しようもない
新井がー？新井が「＜列」として記載したと書いてるか？
ちがうだろ？あくまで初心者にわからせるために「羅列」として書いてるだろ？
チョソンよ、新井敏康本人に
「０から始まってωにいたる無限長の＜列は存在しますよね？ね？ね？」
ってメールで直接質問してみ？ｗ
即座にバッサリ否定されるからｗｗｗ
>>0<2<4<・・・1<3<5<・・
>だから１の前者は何だと聞いてるんだが
お🐎🦌のチョソンは、順序数の羅列＝「＜列」と誤解してるんだな
定義を一切確かめない🐎🦌が必ずやらかす誤り
こういうヤツは数学科では確実に死ぬｗ
＜列というからには、＜の左と右の項が必ず存在しなくてはならない
これ常識、否定しようもない
新井がー？新井が「＜列」として記載したと書いてるか？
ちがうだろ？あくまで初心者にわからせるために「羅列」として書いてるだろ？
チョソンよ、新井敏康本人に
「０から始まってωにいたる無限長の＜列は存在しますよね？ね？ね？」
ってメールで直接質問してみ？ｗ
即座にバッサリ否定されるからｗｗｗ
630１３２人目の素数さん
2021/05/30(日) 05:01:31.76ID:4LOzs/AI 初心者にわかるようにいってやるが
「０から始まりωにいたる＜列の中に、
ωより小さい全ての自然数ｎが
あらわれるようにはできない」
なぜならωは後続順序数でないから
ｎ＜ω ならば、 ｎ＜ｍ＜ωとなる、ｍが存在するから
いい加減、「鉄道」ではωに到着しないことに気づけ
ωには「飛行機」でしか行けないんだよ
「鉄道」は次々にたどるから、とばすことはないが
「飛行機」は間の順序数をすっとぱす、ってこと
🐒どころか🐄🐖🐓にもわかる実にいい喩えだろ？
これで分からんなら🐛だなｗｗｗｗｗｗｗ
「０から始まりωにいたる＜列の中に、
ωより小さい全ての自然数ｎが
あらわれるようにはできない」
なぜならωは後続順序数でないから
ｎ＜ω ならば、 ｎ＜ｍ＜ωとなる、ｍが存在するから
いい加減、「鉄道」ではωに到着しないことに気づけ
ωには「飛行機」でしか行けないんだよ
「鉄道」は次々にたどるから、とばすことはないが
「飛行機」は間の順序数をすっとぱす、ってこと
🐒どころか🐄🐖🐓にもわかる実にいい喩えだろ？
これで分からんなら🐛だなｗｗｗｗｗｗｗ
631１３２人目の素数さん
2021/05/30(日) 07:28:20.63ID:IHHkwfUH632１３２人目の素数さん
2021/05/30(日) 07:56:54.30ID:4LOzs/AI633１３２人目の素数さん
2021/05/30(日) 08:13:50.21ID:drEsiSVi 突然ですが、決定番号、閃いたぁぁぁ
モピロン、さらに以前よりも、かなり
決定番号Nが超完璧に解ってきたぁぁ
ホントは無限個の、無限列だが、
でも、4個の無限列で考えてみた。
無限列 s1 = {1,0,0,0,0,0,0,0,0,…
無限列 s2 = {1,4,1,4,2,1,3,5,6,…
無限列 s3 = {1,7,3,2,1,3,5,6,…
無限列 s4 = {2,0,0,0,0,0,0,0,…
だとしたら、多分、決定番号Nは、
s1とs4は、決定番号N = 1 ぽぃし、
s2とs3は、決定番号N = ∞ ぽぃ
∴決定番号のモピロン期待値は、∞
∴決定番号が有限になる確率は、2/4
√2の小数点決定桁目の値は、ナゾだが
√2の小数点決定桁目以降は、ZERO
だと思う。決定番号なんか面白い
by 👾
モピロン、さらに以前よりも、かなり
決定番号Nが超完璧に解ってきたぁぁ
ホントは無限個の、無限列だが、
でも、4個の無限列で考えてみた。
無限列 s1 = {1,0,0,0,0,0,0,0,0,…
無限列 s2 = {1,4,1,4,2,1,3,5,6,…
無限列 s3 = {1,7,3,2,1,3,5,6,…
無限列 s4 = {2,0,0,0,0,0,0,0,…
だとしたら、多分、決定番号Nは、
s1とs4は、決定番号N = 1 ぽぃし、
s2とs3は、決定番号N = ∞ ぽぃ
∴決定番号のモピロン期待値は、∞
∴決定番号が有限になる確率は、2/4
√2の小数点決定桁目の値は、ナゾだが
√2の小数点決定桁目以降は、ZERO
だと思う。決定番号なんか面白い
by 👾
634１３２人目の素数さん
2021/05/30(日) 08:20:20.41ID:4LOzs/AI チョソンが理解すべき唯一のこと
「０から始まりωにいたる＜列の中に、
ωより小さい全ての自然数ｎが
あらわれるようにはできない」
なぜならωは後続順序数でないから
ｎ＜ω ならば ｎ＜ｍ＜ωとなるｍが存在するから
「０から始まりωにいたる＜列の中に、
ωより小さい全ての自然数ｎが
あらわれるようにはできない」
なぜならωは後続順序数でないから
ｎ＜ω ならば ｎ＜ｍ＜ωとなるｍが存在するから
635１３２人目の素数さん
2021/05/30(日) 08:23:59.12ID:4LOzs/AI >>633
>無限列 s2 = {1,4,1,4,2,1,3,5,6,…
>無限列 s3 = {1,7,3,2,1,3,5,6,…
>s2とs3は、決定番号N = ∞ ぽぃ
無限列s={0,0,0,0,0,0,0,0,0,…
との比較なら、そもそも、s2もs3も、sと同値じゃなーいｗ
>無限列 s2 = {1,4,1,4,2,1,3,5,6,…
>無限列 s3 = {1,7,3,2,1,3,5,6,…
>s2とs3は、決定番号N = ∞ ぽぃ
無限列s={0,0,0,0,0,0,0,0,0,…
との比較なら、そもそも、s2もs3も、sと同値じゃなーいｗ
636現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/30(日) 08:31:43.26ID:kTzpB/An >>622-623
(引用開始)
https://www.jstage.jst.go.jp/article/emath1996/2002/Autumn-Meeting1/2002_Autumn-Meeting1_42/_pdf/-char/ja
証明論について
新井敏康(神戸大学自然科学研究科)
2002年9月27日
Hilbertの考え方はこうである。数学の対象には2種類ある:
realなものとidealなものと。realなものの代表は自然数であり、idealなものの典型は抽
象的・超限的な集合、自然数全体の集合ωのpowersetIP(ω)(=continuum)のpower
setP(P(ω))(realvaluedfunctions),etc.である。
Hilbertの眼前には、一方で集合論の逆理があり、他方にその集合論を用いた超限
的で神学的とも評された新しいスタイルの証明があった。後者はL.Kronecker「自
然数は神の御業だが、それ以外の数は人間がつくった」,L.Browerらにより強烈に
批判されていた。そこで、Hilbertは超限的な数学の無制限の使用に制約を加えなが
らそれを擁護しなければならなかった。そのためのひとつの取り得る道筋が、対象
の二分化とidealなものの権利保証として、「idealなものは原理的には単なる「言
葉の綾(figureofspeech)」に過ぎず、realな命題はそれなしでも示し得る」ことを
示していくことにあった。
(引用終り)
ここを補足すると
Hilbertがこれを考えたのは、20世紀初頭。つまり、ちょうど100年ほど前なのだ
”対象の二分化とidealなものの権利保証として、「idealなものは原理的には単なる「言
葉の綾(figureofspeech)」に過ぎず、realな命題はそれなしでも示し得る」ことを
示していくことにあった”
とあるけど、
もう時代が変わってしまったんだ
つづく
(引用開始)
https://www.jstage.jst.go.jp/article/emath1996/2002/Autumn-Meeting1/2002_Autumn-Meeting1_42/_pdf/-char/ja
証明論について
新井敏康(神戸大学自然科学研究科)
2002年9月27日
Hilbertの考え方はこうである。数学の対象には2種類ある:
realなものとidealなものと。realなものの代表は自然数であり、idealなものの典型は抽
象的・超限的な集合、自然数全体の集合ωのpowersetIP(ω)(=continuum)のpower
setP(P(ω))(realvaluedfunctions),etc.である。
Hilbertの眼前には、一方で集合論の逆理があり、他方にその集合論を用いた超限
的で神学的とも評された新しいスタイルの証明があった。後者はL.Kronecker「自
然数は神の御業だが、それ以外の数は人間がつくった」,L.Browerらにより強烈に
批判されていた。そこで、Hilbertは超限的な数学の無制限の使用に制約を加えなが
らそれを擁護しなければならなかった。そのためのひとつの取り得る道筋が、対象
の二分化とidealなものの権利保証として、「idealなものは原理的には単なる「言
葉の綾(figureofspeech)」に過ぎず、realな命題はそれなしでも示し得る」ことを
示していくことにあった。
(引用終り)
ここを補足すると
Hilbertがこれを考えたのは、20世紀初頭。つまり、ちょうど100年ほど前なのだ
”対象の二分化とidealなものの権利保証として、「idealなものは原理的には単なる「言
葉の綾(figureofspeech)」に過ぎず、realな命題はそれなしでも示し得る」ことを
示していくことにあった”
とあるけど、
もう時代が変わってしまったんだ
つづく
637現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/30(日) 08:33:05.94ID:kTzpB/An >>636
つづき
Hilbertの数学の公理化の仕事は、十分な成果を上げた
例えば「集合論の逆理」は、その原因が解明され、「集合論の逆理」を避ける道も見つかった
しかし、数学全体を、ユークリッド幾何原本のように公理化するという夢は、実現できないことがわかった
（∵ ゲーデルの不完全性定理（下記））
21世紀の現代物理の量子力学や超弦理論は、idealのかたまりだ
「idealなものは原理的には単なる「言葉の綾(figureofspeech)」」ではない
量子の世界は、日常の理念には収まらない
数学でも同様で、現代数学では素朴な”real”を超えて、idealのかたまりになってしまった（おやじギャグ（＾＾ ）
時枝記事なども、その典型でしょう。で、”ideal”だと、毛が三本足りないサルが飛びついて、実は腐った”ideal”だと気付かずに、喜んでいるという構図です（＾＾；
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%87%E3%83%AB%E3%81%AE%E4%B8%8D%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%80%A7%E5%AE%9A%E7%90%86
ゲーデルの不完全性定理
不完全性定理とは、数学基礎論の重要な定理[1]（数学基礎論は数理論理学や超数学とほぼ同義な分野で、計算機科学と密接に関連している[2]）。クルト・ゲーデルが1931年の論文で証明した定理であり[3]、有限の立場（形式主義）では自然数論の無矛盾性の証明が成立しないことを示す[2][3]。なお、少し拡張された有限の立場では不完全性定理は成立せず、自然数論の無矛盾性の証明が成立する（ゲンツェンの無矛盾性証明）[2]。
数学の「無矛盾性」を証明することを目指したヒルベルト・プログラムに関して「不完全性定理がヒルベルトのプログラムを破壊した」という類の哲学的発言はよくあるが、これは実際の不完全性定理やゲーデルの見解とは異なる、とフランセーン達は解説している[7]。正確には、ゲーデルはヒルベルトと同様の見解を持っており、彼が不完全性定理を証明して示したのは、ヒルベルトの目的（「無矛盾性証明」）を実現するためには手段（ヒルベルト・プログラム）を拡張する必要がある、ということだった[7]。日本数学会が言うには「彼〔ゲーデル〕の結果はヒルベルトの企図を直接否定するものではなく，実際この定理の発見後に無矛盾性証明のための様々な方法論が開発されている」[3]。
(引用終り)
以上
つづき
Hilbertの数学の公理化の仕事は、十分な成果を上げた
例えば「集合論の逆理」は、その原因が解明され、「集合論の逆理」を避ける道も見つかった
しかし、数学全体を、ユークリッド幾何原本のように公理化するという夢は、実現できないことがわかった
（∵ ゲーデルの不完全性定理（下記））
21世紀の現代物理の量子力学や超弦理論は、idealのかたまりだ
「idealなものは原理的には単なる「言葉の綾(figureofspeech)」」ではない
量子の世界は、日常の理念には収まらない
数学でも同様で、現代数学では素朴な”real”を超えて、idealのかたまりになってしまった（おやじギャグ（＾＾ ）
時枝記事なども、その典型でしょう。で、”ideal”だと、毛が三本足りないサルが飛びついて、実は腐った”ideal”だと気付かずに、喜んでいるという構図です（＾＾；
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%87%E3%83%AB%E3%81%AE%E4%B8%8D%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%80%A7%E5%AE%9A%E7%90%86
ゲーデルの不完全性定理
不完全性定理とは、数学基礎論の重要な定理[1]（数学基礎論は数理論理学や超数学とほぼ同義な分野で、計算機科学と密接に関連している[2]）。クルト・ゲーデルが1931年の論文で証明した定理であり[3]、有限の立場（形式主義）では自然数論の無矛盾性の証明が成立しないことを示す[2][3]。なお、少し拡張された有限の立場では不完全性定理は成立せず、自然数論の無矛盾性の証明が成立する（ゲンツェンの無矛盾性証明）[2]。
数学の「無矛盾性」を証明することを目指したヒルベルト・プログラムに関して「不完全性定理がヒルベルトのプログラムを破壊した」という類の哲学的発言はよくあるが、これは実際の不完全性定理やゲーデルの見解とは異なる、とフランセーン達は解説している[7]。正確には、ゲーデルはヒルベルトと同様の見解を持っており、彼が不完全性定理を証明して示したのは、ヒルベルトの目的（「無矛盾性証明」）を実現するためには手段（ヒルベルト・プログラム）を拡張する必要がある、ということだった[7]。日本数学会が言うには「彼〔ゲーデル〕の結果はヒルベルトの企図を直接否定するものではなく，実際この定理の発見後に無矛盾性証明のための様々な方法論が開発されている」[3]。
(引用終り)
以上
638１３２人目の素数さん
2021/05/30(日) 08:40:37.01ID:IHHkwfUH639１３２人目の素数さん
2021/05/30(日) 08:43:16.86ID:IHHkwfUH640１３２人目の素数さん
2021/05/30(日) 08:48:50.61ID:IHHkwfUH641現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/30(日) 09:49:10.79ID:kTzpB/An >>633
(引用開始)
無限列 s1 = {1,0,0,0,0,0,0,0,0,…
無限列 s2 = {1,4,1,4,2,1,3,5,6,…
無限列 s3 = {1,7,3,2,1,3,5,6,…
無限列 s4 = {2,0,0,0,0,0,0,0,…
だとしたら、多分、決定番号Nは、
s1とs4は、決定番号N = 1 ぽぃし、
s2とs3は、決定番号N = ∞ ぽぃ
∴決定番号のモピロン期待値は、∞
∴決定番号が有限になる確率は、2/4
√2の小数点決定桁目の値は、ナゾだが
(引用終り)
モピロンさん、どうも
スレ主です
それ面白い
私なりに解釈すると
（なお、細かい点は>>401 時枝記事ご参照）
1．無限列を、区間(0,10)のある実数rから無限列を構成する
つまり、無限小数のｎ桁目の数を、ｎ番目の数とする
但し、有限小数の場合は、後ろに0を付ける
一例が
√2→無限列 s2 = {1,4,1,4,2,1,3,5,6,…
2．代表は、有限小数の場合は、有限小数そのものとする
この場合、決定番号は、有限小数の桁数ｎと一致する
3．無限小数の場合は、確たる基準が決められないので、時枝記事のしっぽの同値類から無作為に選んだ数列を代表とする
この場合、決定番号の期待値は、有限の桁数ｎにはならない（∞）でしょう
（”期待値”という概念を入れたことが面白い）
なかなか良い閃きですね。うんうん（＾＾
(引用開始)
無限列 s1 = {1,0,0,0,0,0,0,0,0,…
無限列 s2 = {1,4,1,4,2,1,3,5,6,…
無限列 s3 = {1,7,3,2,1,3,5,6,…
無限列 s4 = {2,0,0,0,0,0,0,0,…
だとしたら、多分、決定番号Nは、
s1とs4は、決定番号N = 1 ぽぃし、
s2とs3は、決定番号N = ∞ ぽぃ
∴決定番号のモピロン期待値は、∞
∴決定番号が有限になる確率は、2/4
√2の小数点決定桁目の値は、ナゾだが
(引用終り)
モピロンさん、どうも
スレ主です
それ面白い
私なりに解釈すると
（なお、細かい点は>>401 時枝記事ご参照）
1．無限列を、区間(0,10)のある実数rから無限列を構成する
つまり、無限小数のｎ桁目の数を、ｎ番目の数とする
但し、有限小数の場合は、後ろに0を付ける
一例が
√2→無限列 s2 = {1,4,1,4,2,1,3,5,6,…
2．代表は、有限小数の場合は、有限小数そのものとする
この場合、決定番号は、有限小数の桁数ｎと一致する
3．無限小数の場合は、確たる基準が決められないので、時枝記事のしっぽの同値類から無作為に選んだ数列を代表とする
この場合、決定番号の期待値は、有限の桁数ｎにはならない（∞）でしょう
（”期待値”という概念を入れたことが面白い）
なかなか良い閃きですね。うんうん（＾＾
642１３２人目の素数さん
2021/05/30(日) 10:04:14.63ID:4LOzs/AI643１３２人目の素数さん
2021/05/30(日) 10:06:56.11ID:4LOzs/AI >>640
素直に
「すまん、オレもチョソン同様、上昇列＆下降列わかってねぇわ
童貞だと思って最初っから優しくおしえて、お姉タマ」
といえばいいものをｗｗｗｗｗｗｗ
どうしてオオサカにはチョソン人やハングク人しかおらんのやろな？ｗｗｗ
素直に
「すまん、オレもチョソン同様、上昇列＆下降列わかってねぇわ
童貞だと思って最初っから優しくおしえて、お姉タマ」
といえばいいものをｗｗｗｗｗｗｗ
どうしてオオサカにはチョソン人やハングク人しかおらんのやろな？ｗｗｗ
644１３２人目の素数さん
2021/05/30(日) 10:24:16.48ID:4LOzs/AI645１３２人目の素数さん
2021/05/30(日) 10:26:12.28ID:4LOzs/AI646現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/30(日) 10:29:52.95ID:kTzpB/An >>641
> この場合、決定番号の期待値は、有限の桁数ｎにはならない（∞）でしょう
> （”期待値”という概念を入れたことが面白い）
>なかなか良い閃きですね。うんうん（＾＾
”期待値”について
下記ご参照
https://ai-trend.jp/basic-study/basic/expected-value/
AVILEN Inc.
2020/04/14
期待値の定義・性質・計算例。平均との違いも！
統計学の基礎
ライター：IMIN
目次
1 期待値の定義
1.1 離散型の場合
1.2 連続型の場合
2 期待値の性質
2.1 期待値の線型性
2.2 期待値の単調性
2.3 X2の期待値
2.4 独立な2つの確率変数に対して
3 期待値と平均の違い
4 関数の期待値
4.1 離散型確率変数の関数の期待値
4.2 連続型確率変数の関数の期待値
期待値と平均の違い
期待値は記号では、μ(ミュー)と表され、これは英語の平均meanの頭文字mに対応するギリシャ文字であり、このことからも期待値と平均には深い関連があることが見て取れます。
大数の法則から、標本サイズNが∞まで大きくなるとき、pi=Ni/Nとなります。つまり、標本の数が∞のとき、μ=x￣が成り立ちます。また、標本の数が∞というのは、標本が母集団に一致していることを示しています。よって標本が母集団と一致するとき、期待値と標本平均が等しくなる、ということです。
このことから、期待値というのは標本の背後に存在する母集団の平均に対応する値であり、標本の理論的な平均値（母集団の平均値）を表すものだと理解出来ます。また、理論的な平均値というのは母集団における平均であり、確率分布の期待値は母集団の平均値と一致します。
(引用終り)
以上
> この場合、決定番号の期待値は、有限の桁数ｎにはならない（∞）でしょう
> （”期待値”という概念を入れたことが面白い）
>なかなか良い閃きですね。うんうん（＾＾
”期待値”について
下記ご参照
https://ai-trend.jp/basic-study/basic/expected-value/
AVILEN Inc.
2020/04/14
期待値の定義・性質・計算例。平均との違いも！
統計学の基礎
ライター：IMIN
目次
1 期待値の定義
1.1 離散型の場合
1.2 連続型の場合
2 期待値の性質
2.1 期待値の線型性
2.2 期待値の単調性
2.3 X2の期待値
2.4 独立な2つの確率変数に対して
3 期待値と平均の違い
4 関数の期待値
4.1 離散型確率変数の関数の期待値
4.2 連続型確率変数の関数の期待値
期待値と平均の違い
期待値は記号では、μ(ミュー)と表され、これは英語の平均meanの頭文字mに対応するギリシャ文字であり、このことからも期待値と平均には深い関連があることが見て取れます。
大数の法則から、標本サイズNが∞まで大きくなるとき、pi=Ni/Nとなります。つまり、標本の数が∞のとき、μ=x￣が成り立ちます。また、標本の数が∞というのは、標本が母集団に一致していることを示しています。よって標本が母集団と一致するとき、期待値と標本平均が等しくなる、ということです。
このことから、期待値というのは標本の背後に存在する母集団の平均に対応する値であり、標本の理論的な平均値（母集団の平均値）を表すものだと理解出来ます。また、理論的な平均値というのは母集団における平均であり、確率分布の期待値は母集団の平均値と一致します。
(引用終り)
以上
647１３２人目の素数さん
2021/05/30(日) 10:30:10.52ID:4LOzs/AI >>641
＞無限小数の場合は、確たる基準が決められないので、
＞時枝記事のしっぽの同値類から無作為に選んだ数列を代表とする
＞この場合、決定番号の期待値は、有限の桁数ｎにはならない（∞）でしょう
期待値が発散するのと、決定番号が確率１で∞となるのとは全く異なるがw
そんな初歩的なことも分からずに
「確率論で時枝記事は完全否定できる！」
とか口からデマカセのホラふいとったんか？
大阪生まれのチョソン人SET Aはｗｗｗ
＞無限小数の場合は、確たる基準が決められないので、
＞時枝記事のしっぽの同値類から無作為に選んだ数列を代表とする
＞この場合、決定番号の期待値は、有限の桁数ｎにはならない（∞）でしょう
期待値が発散するのと、決定番号が確率１で∞となるのとは全く異なるがw
そんな初歩的なことも分からずに
「確率論で時枝記事は完全否定できる！」
とか口からデマカセのホラふいとったんか？
大阪生まれのチョソン人SET Aはｗｗｗ
648１３２人目の素数さん
2021/05/30(日) 10:32:40.84ID:4LOzs/AI >>641
＞”期待値”という概念を入れたことが面白い
＞なかなか良い閃きですね。うんうん
いつもながら🐎🦌な言い訳だ
キサマは会社で３０年以上そんな言い訳しかしてこなかったんか？
さすが能無しチョソンｗｗｗ さっさとピョンヤンに帰れｗｗｗｗｗｗｗ
＞”期待値”という概念を入れたことが面白い
＞なかなか良い閃きですね。うんうん
いつもながら🐎🦌な言い訳だ
キサマは会社で３０年以上そんな言い訳しかしてこなかったんか？
さすが能無しチョソンｗｗｗ さっさとピョンヤンに帰れｗｗｗｗｗｗｗ
649１３２人目の素数さん
2021/05/30(日) 10:36:57.16ID:J8YsAX2B 平面ユークリッド幾何の体系の中で、決定不能な命題があるか、あるとすれば
どのようなものか、例を上げよ。（５点）。
どのようなものか、例を上げよ。（５点）。
650１３２人目の素数さん
2021/05/30(日) 10:39:33.96ID:4LOzs/AI >>641
決定番号の平均が発散したからといって
決定番号が∞となることはない
なぜなら、もし決定番号が自然数の値をとらないなら
それは「当該数列が、同値類の代表数列と同値でない」
という同値類の定義に真っ向から反する矛盾を導くからｗ
いいかげん自分の初歩的誤りに気づけ チョソン！
🐎🦌のまま死にたいのか？ｗｗｗｗｗｗｗ
決定番号の平均が発散したからといって
決定番号が∞となることはない
なぜなら、もし決定番号が自然数の値をとらないなら
それは「当該数列が、同値類の代表数列と同値でない」
という同値類の定義に真っ向から反する矛盾を導くからｗ
いいかげん自分の初歩的誤りに気づけ チョソン！
🐎🦌のまま死にたいのか？ｗｗｗｗｗｗｗ
651現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/30(日) 11:01:59.20ID:kTzpB/An >>602 補足
(引用開始)
可算無限長の上昇列 1<2<3<・・<ω があったとして、
これが、降下列に変わったりしません
あくまで、上昇列は上昇列
そして列の長さは、あくまで可算無限長であって、決して有限長などにはなりませんｗ（＾＾；
(引用終り)
この無限降下列の議論は、下記の整礎関係の記事や、正則性公理の話に起源があります
多分、下記のような日本語「二項関係が整礎（せいそ、英: well-founded）であるとは、真の無限降下列をもたないことである」が、ミスリードです
私も、最初引っかかりましたが、すぐ誤りに気付きました（まあ、サルには難しいよね）
ここ、英語版では、”Equivalently, assuming the axiom of dependent choice, a relation is well-founded if it contains no countable infinite descending chains: that is, there is no infinite sequence x0, x1, x2, ... of elements of X such that xn+1 R xn for every natural number n.[1][2]”
となっていて、”such that xn+1 R xn for every natural number n”とあり、自然数ｎに大して、”xn+1 R xn”なる ”no countable infinite descending chains”なのです
日本語だけで考えると、ハマリですね（＾＾；
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E7%A4%8E%E9%96%A2%E4%BF%82
整礎関係
二項関係が整礎（せいそ、英: well-founded）であるとは、真の無限降下列をもたないことである。
定義
集合あるいはクラス X 上の二項関係 R が整礎であるとは、X の空でない任意の部分集合 S が R に関する極小元を持つことをいう[1]。
X が集合であるとき、従属選択公理（英語版）（これは選択公理よりも真に弱く可算選択公理よりも真に強い）を仮定すれば、同値な定義として、関係が整礎であることを可算無限降下列が存在しないこととして定められる[3]。つまり、X の元の無限列 x0, x1, x2, ... で、どんな n についても xn+1 R xn となるようなものはとれない。
つづく
(引用開始)
可算無限長の上昇列 1<2<3<・・<ω があったとして、
これが、降下列に変わったりしません
あくまで、上昇列は上昇列
そして列の長さは、あくまで可算無限長であって、決して有限長などにはなりませんｗ（＾＾；
(引用終り)
この無限降下列の議論は、下記の整礎関係の記事や、正則性公理の話に起源があります
多分、下記のような日本語「二項関係が整礎（せいそ、英: well-founded）であるとは、真の無限降下列をもたないことである」が、ミスリードです
私も、最初引っかかりましたが、すぐ誤りに気付きました（まあ、サルには難しいよね）
ここ、英語版では、”Equivalently, assuming the axiom of dependent choice, a relation is well-founded if it contains no countable infinite descending chains: that is, there is no infinite sequence x0, x1, x2, ... of elements of X such that xn+1 R xn for every natural number n.[1][2]”
となっていて、”such that xn+1 R xn for every natural number n”とあり、自然数ｎに大して、”xn+1 R xn”なる ”no countable infinite descending chains”なのです
日本語だけで考えると、ハマリですね（＾＾；
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E7%A4%8E%E9%96%A2%E4%BF%82
整礎関係
二項関係が整礎（せいそ、英: well-founded）であるとは、真の無限降下列をもたないことである。
定義
集合あるいはクラス X 上の二項関係 R が整礎であるとは、X の空でない任意の部分集合 S が R に関する極小元を持つことをいう[1]。
X が集合であるとき、従属選択公理（英語版）（これは選択公理よりも真に弱く可算選択公理よりも真に強い）を仮定すれば、同値な定義として、関係が整礎であることを可算無限降下列が存在しないこととして定められる[3]。つまり、X の元の無限列 x0, x1, x2, ... で、どんな n についても xn+1 R xn となるようなものはとれない。
つづく
652現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/30(日) 11:02:30.42ID:kTzpB/An >>651
つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Well-founded_relation
Well-founded relation
In mathematics, a binary relation R is called well-founded (or wellfounded) on a class X if every non-empty subset S ⊆ X has a minimal element with respect to R, that is, an element m not related by sRm (for instance, "s is not smaller than m") for any s ∈ S.
Equivalently, assuming the axiom of dependent choice, a relation is well-founded if it contains no countable infinite descending chains: that is, there is no infinite sequence x0, x1, x2, ... of elements of X such that xn+1 R xn for every natural number n.[1][2]
(引用終り)
以上
つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Well-founded_relation
Well-founded relation
In mathematics, a binary relation R is called well-founded (or wellfounded) on a class X if every non-empty subset S ⊆ X has a minimal element with respect to R, that is, an element m not related by sRm (for instance, "s is not smaller than m") for any s ∈ S.
Equivalently, assuming the axiom of dependent choice, a relation is well-founded if it contains no countable infinite descending chains: that is, there is no infinite sequence x0, x1, x2, ... of elements of X such that xn+1 R xn for every natural number n.[1][2]
(引用終り)
以上
653現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/30(日) 11:10:52.33ID:kTzpB/An >>649
>平面ユークリッド幾何の体系の中で、決定不能な命題があるか、あるとすれば
>どのようなものか、例を上げよ。（５点）。
面白いね
第五公準が有名ですね（下記）（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E7%B7%9A%E5%85%AC%E6%BA%96
平行線公準
平行線公準とは、ユークリッド幾何学における特色のある公準である。平行線公理、ユークリッド原論における5番目の公準であったことから、ユークリッド（エウクレイデス）の第5公準（公理）とも呼ばれる。これは2次元幾何学において次のようなことを述べている。
1つの線分が2つの直線に交わり、同じ側の内角の和が2直角より小さいならば、この2つの直線は限りなく延長されると、2直角より小さい角のある側において交わる。
ユークリッド幾何学は平行線公準を含む全てのユークリッドの公準を満たすような幾何学を研究するものである。平行線公準が成立しない幾何学は非ユークリッド幾何学と呼ばれる。平行線公準から独立した幾何学（つまり、ユークリッド公準のうち、最初の4つの公準しか仮定しない幾何学）を絶対幾何学（英語版）（もしくは中立幾何学）と呼ぶ。
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ed/Parallel_postulate_en.svg/350px-Parallel_postulate_en.svg.png
内角αとβの角度の和が180°未満であれば、二つの直線は無限に伸ばせば同じ側で交わる。
歴史
2000年もの間、平行線公準をユークリッドの他の4公準から証明するという試みが多数行われてきた。この証明が特に求められたのは、平行線公準が他の4公準とは違い、自明ではなかったことが大きな理由である。
ユークリッドは平行線公準なしで証明もしくは論証を先に進められないと気づいた時にのみ、これを使っていたことを意味している[7]。4公準から第5公準を証明する試みが多く行われ、間違いが発見されるまでそれが正しい証明であると受け入れられてきた。
証明において間違いを犯してしまった理由は、常に第5公準と同値の命題（プレイフェアの公理）を「明らかに」正しいものと仮定していたことに起因している。1795年、ジョン・プレイフェアがユークリッドに関する有名な解説書を著し、その中でユークリッドの第5公準を自身の公理と置き換えるよう提案した
(引用終り)
以上
>平面ユークリッド幾何の体系の中で、決定不能な命題があるか、あるとすれば
>どのようなものか、例を上げよ。（５点）。
面白いね
第五公準が有名ですね（下記）（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E7%B7%9A%E5%85%AC%E6%BA%96
平行線公準
平行線公準とは、ユークリッド幾何学における特色のある公準である。平行線公理、ユークリッド原論における5番目の公準であったことから、ユークリッド（エウクレイデス）の第5公準（公理）とも呼ばれる。これは2次元幾何学において次のようなことを述べている。
1つの線分が2つの直線に交わり、同じ側の内角の和が2直角より小さいならば、この2つの直線は限りなく延長されると、2直角より小さい角のある側において交わる。
ユークリッド幾何学は平行線公準を含む全てのユークリッドの公準を満たすような幾何学を研究するものである。平行線公準が成立しない幾何学は非ユークリッド幾何学と呼ばれる。平行線公準から独立した幾何学（つまり、ユークリッド公準のうち、最初の4つの公準しか仮定しない幾何学）を絶対幾何学（英語版）（もしくは中立幾何学）と呼ぶ。
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ed/Parallel_postulate_en.svg/350px-Parallel_postulate_en.svg.png
内角αとβの角度の和が180°未満であれば、二つの直線は無限に伸ばせば同じ側で交わる。
歴史
2000年もの間、平行線公準をユークリッドの他の4公準から証明するという試みが多数行われてきた。この証明が特に求められたのは、平行線公準が他の4公準とは違い、自明ではなかったことが大きな理由である。
ユークリッドは平行線公準なしで証明もしくは論証を先に進められないと気づいた時にのみ、これを使っていたことを意味している[7]。4公準から第5公準を証明する試みが多く行われ、間違いが発見されるまでそれが正しい証明であると受け入れられてきた。
証明において間違いを犯してしまった理由は、常に第5公準と同値の命題（プレイフェアの公理）を「明らかに」正しいものと仮定していたことに起因している。1795年、ジョン・プレイフェアがユークリッドに関する有名な解説書を著し、その中でユークリッドの第5公準を自身の公理と置き換えるよう提案した
(引用終り)
以上
654１３２人目の素数さん
2021/05/30(日) 11:27:26.65ID:4LOzs/AI >>653
🐎🦌
第五公準はユークリッド幾何では真だが
公理なんだからあたりまえだろｗｗｗ
ユークリッド幾何から第五公準を除いた
「前ユークリッド幾何」ともよぶべきものについて
第五公準が決定不能
味噌とクソの区別もつかん🐎🦌チョソンはピョンヤンに帰れｗｗｗ
🐎🦌
第五公準はユークリッド幾何では真だが
公理なんだからあたりまえだろｗｗｗ
ユークリッド幾何から第五公準を除いた
「前ユークリッド幾何」ともよぶべきものについて
第五公準が決定不能
味噌とクソの区別もつかん🐎🦌チョソンはピョンヤンに帰れｗｗｗ
655１３２人目の素数さん
2021/05/30(日) 11:30:12.00ID:4LOzs/AI >>651
＞多分、下記のような日本語
＞「二項関係が整礎（せいそ、英: well-founded）であるとは、
＞ 真の無限降下列をもたないことである」
＞が、ミスリードです
🐎🦌ｗｗｗｗｗｗｗ
「真の」は別に要らないが、
「無限降下列を持たない」は否定できないぞ
間違いを認められないと●違いになるぞ チョソン！
＞多分、下記のような日本語
＞「二項関係が整礎（せいそ、英: well-founded）であるとは、
＞ 真の無限降下列をもたないことである」
＞が、ミスリードです
🐎🦌ｗｗｗｗｗｗｗ
「真の」は別に要らないが、
「無限降下列を持たない」は否定できないぞ
間違いを認められないと●違いになるぞ チョソン！
656現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/30(日) 11:34:30.77ID:kTzpB/An >>651 補足
>多分、下記のような日本語「二項関係が整礎（せいそ、英: well-founded）であるとは、真の無限降下列をもたないことである」が、ミスリードです
>私も、最初引っかかりましたが、すぐ誤りに気付きました（まあ、サルには難しいよね）
>日本語だけで考えると、ハマリですね（＾＾；
下記の整礎的集合（正則性公理）を考えると分かり易い
（どういうわけか、英語版がない。独語版を代用しました）
「整礎的集合（せいそてきしゅうごう、well-founded set）とは、空集合に和集合演算やべき集合演算などの集合演算を繰り返し施すことにより得られる集合である」
そこで、集合を並べるのに、記号”∈”が使える。二項関係Rとして、”∈”を使う
A∈B (一番単純な集合が空集合Φで、だんだん複雑な集合ができる。”A∈B”は、左のAより、右のBが複雑な集合だってことを意味するとも解せられる)
下記のノイマン構成の自然数もそう。数ｎが大きくなると、それを表現する集合も複雑になる
この”∈”による整礎関係は、日常語の複雑さと解せられる
で、段々複雑になる”∈”列が、上昇列です。これは無限に複雑にできる
一方、だんだん簡単にする”∈”列も考えられるが、これは必ず止まる。少なくとも、空集合Φに来れば止まる
「空集合Φより簡単な集合はない」を公理にしたのが、正則性公理です
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E7%A4%8E%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88
整礎的集合
整礎的集合（せいそてきしゅうごう、well-founded set）とは、空集合に和集合演算やべき集合演算などの集合演算を繰り返し施すことにより得られる集合である。
集合の階数
整礎的集合 x に対して、x ∈ Vα + 1 をみたす最小の順序数 α を x の階数（rank）といい、これを rank(x) で表す。
rank(x) = sup {rank(y)+1 | y ∈ x} が成立する。
正則性公理と整礎的集合
正則性公理を用いると、すべての集合が整礎的であることが示される。したがって、すべての集合に階数が定義される。
つづく
>多分、下記のような日本語「二項関係が整礎（せいそ、英: well-founded）であるとは、真の無限降下列をもたないことである」が、ミスリードです
>私も、最初引っかかりましたが、すぐ誤りに気付きました（まあ、サルには難しいよね）
>日本語だけで考えると、ハマリですね（＾＾；
下記の整礎的集合（正則性公理）を考えると分かり易い
（どういうわけか、英語版がない。独語版を代用しました）
「整礎的集合（せいそてきしゅうごう、well-founded set）とは、空集合に和集合演算やべき集合演算などの集合演算を繰り返し施すことにより得られる集合である」
そこで、集合を並べるのに、記号”∈”が使える。二項関係Rとして、”∈”を使う
A∈B (一番単純な集合が空集合Φで、だんだん複雑な集合ができる。”A∈B”は、左のAより、右のBが複雑な集合だってことを意味するとも解せられる)
下記のノイマン構成の自然数もそう。数ｎが大きくなると、それを表現する集合も複雑になる
この”∈”による整礎関係は、日常語の複雑さと解せられる
で、段々複雑になる”∈”列が、上昇列です。これは無限に複雑にできる
一方、だんだん簡単にする”∈”列も考えられるが、これは必ず止まる。少なくとも、空集合Φに来れば止まる
「空集合Φより簡単な集合はない」を公理にしたのが、正則性公理です
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E7%A4%8E%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88
整礎的集合
整礎的集合（せいそてきしゅうごう、well-founded set）とは、空集合に和集合演算やべき集合演算などの集合演算を繰り返し施すことにより得られる集合である。
集合の階数
整礎的集合 x に対して、x ∈ Vα + 1 をみたす最小の順序数 α を x の階数（rank）といい、これを rank(x) で表す。
rank(x) = sup {rank(y)+1 | y ∈ x} が成立する。
正則性公理と整礎的集合
正則性公理を用いると、すべての集合が整礎的であることが示される。したがって、すべての集合に階数が定義される。
つづく
657現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/30(日) 11:35:01.46ID:kTzpB/An >>656
つづき
（英語版がないようなので、独語版を）
https://de.wikipedia.org/wiki/Fundierte_Menge
Fundierte Menge
Inhaltsverzeichnis
1 Noethersche Induktion
2 Beispiele
3 Lange absteigender Ketten
（ノイマンによる自然数系の構成）
https://www.slideshare.net/taketo1024/ss-50882836
何もないところから数を作る
7/24「第4回プログラマのための数学勉強会」にて発表。
Taketo Sano
38. フォン・ノイマンによる自然数系の構成 として順に作っていく。 1. 0 = {} (空集合) 2. a+ = a∪{a}
(引用終り)
以上
つづき
（英語版がないようなので、独語版を）
https://de.wikipedia.org/wiki/Fundierte_Menge
Fundierte Menge
Inhaltsverzeichnis
1 Noethersche Induktion
2 Beispiele
3 Lange absteigender Ketten
（ノイマンによる自然数系の構成）
https://www.slideshare.net/taketo1024/ss-50882836
何もないところから数を作る
7/24「第4回プログラマのための数学勉強会」にて発表。
Taketo Sano
38. フォン・ノイマンによる自然数系の構成 として順に作っていく。 1. 0 = {} (空集合) 2. a+ = a∪{a}
(引用終り)
以上
658１３２人目の素数さん
2021/05/30(日) 11:55:51.73ID:4LOzs/AI >>656
＞段々複雑になる”∈”列が、上昇列です。これは無限に複雑にできる
なんか誤解してるなｗ
順序数が複雑になるからといって、上昇列が複雑になるわけではない
（上昇／下降）列を誤解するからそういう🐎🦌なことを書くｗ
＞段々複雑になる”∈”列が、上昇列です。これは無限に複雑にできる
なんか誤解してるなｗ
順序数が複雑になるからといって、上昇列が複雑になるわけではない
（上昇／下降）列を誤解するからそういう🐎🦌なことを書くｗ
659現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/30(日) 13:37:15.40ID:kTzpB/An >>656
>>多分、下記のような日本語「二項関係が整礎（せいそ、英: well-founded）であるとは、真の無限降下列をもたないことである」が、ミスリードです
>「空集合Φより簡単な集合はない」を公理にしたのが、正則性公理です
1．下記 wikipedia 正則性公理の説明にも、「∀xについて、無限下降列である x∋x1∋x2∋... は存在しない」が出てきますが
繰り返しますが、ダメなのは、「”xn+1 R xn”なる ”countable infinite descending chains”」(>>651)なのです
逆の「x∈x1∈x2∈... 」なる無限列はOKです。勘違いしているサル二匹がいます
2．あと、正則性公理でノイマンが狙ったのは、下記の”Epsilon-induction”です
つまり、帰納法を走らせるためです
3．そのために、 正則性公理の役割は、
空集合Φからできる集合を規制すると同時に、
∈による順序記号として、∈の意味として等号を含めないといのがあります
不等号で書くと、”≦”ではなく、”＜”の意味に制限するってことです
こうすると、x ＜xとは書けないのです。つまり、「x ∈x はダメ」ということになるのです！（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86
正則性公理
定義
空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ。 ∀A(A≠ Φ → ∃x∈ A ∀t∈A(t not∈ x))
以下の4つの主張はいずれも同値であり、どれを正則性の公理として採用しても差し支えない。
x・任意の空でない集合xに対して、 ∃y∈x,x∩y=0
・∀xについて、∈がx上well-founded
・∀xについて、無限下降列である x∋x1∋x2∋... は存在しない。
・ V=WF}V=WF
ここで、Vはフォン・ノイマン宇宙を指し、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラスを指す。
ZF公理系の他の公理系から得られる種々の集合演算(対集合、和集合、冪集合) の結果としての集合は常にWF内に含まれるため、V=WFの仮定は全ての集合を0に通常の集合演算を施すことによって得られるものだけに制限することを主張している。
したがって、例えばx={x}のような集合やx∈yかつy∈xなる集合は正則性の公理の下では集合にはなり得ない。
つづく
>>多分、下記のような日本語「二項関係が整礎（せいそ、英: well-founded）であるとは、真の無限降下列をもたないことである」が、ミスリードです
>「空集合Φより簡単な集合はない」を公理にしたのが、正則性公理です
1．下記 wikipedia 正則性公理の説明にも、「∀xについて、無限下降列である x∋x1∋x2∋... は存在しない」が出てきますが
繰り返しますが、ダメなのは、「”xn+1 R xn”なる ”countable infinite descending chains”」(>>651)なのです
逆の「x∈x1∈x2∈... 」なる無限列はOKです。勘違いしているサル二匹がいます
2．あと、正則性公理でノイマンが狙ったのは、下記の”Epsilon-induction”です
つまり、帰納法を走らせるためです
3．そのために、 正則性公理の役割は、
空集合Φからできる集合を規制すると同時に、
∈による順序記号として、∈の意味として等号を含めないといのがあります
不等号で書くと、”≦”ではなく、”＜”の意味に制限するってことです
こうすると、x ＜xとは書けないのです。つまり、「x ∈x はダメ」ということになるのです！（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86
正則性公理
定義
空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ。 ∀A(A≠ Φ → ∃x∈ A ∀t∈A(t not∈ x))
以下の4つの主張はいずれも同値であり、どれを正則性の公理として採用しても差し支えない。
x・任意の空でない集合xに対して、 ∃y∈x,x∩y=0
・∀xについて、∈がx上well-founded
・∀xについて、無限下降列である x∋x1∋x2∋... は存在しない。
・ V=WF}V=WF
ここで、Vはフォン・ノイマン宇宙を指し、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラスを指す。
ZF公理系の他の公理系から得られる種々の集合演算(対集合、和集合、冪集合) の結果としての集合は常にWF内に含まれるため、V=WFの仮定は全ての集合を0に通常の集合演算を施すことによって得られるものだけに制限することを主張している。
したがって、例えばx={x}のような集合やx∈yかつy∈xなる集合は正則性の公理の下では集合にはなり得ない。
つづく
660現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/30(日) 13:38:03.22ID:kTzpB/An >>659
つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Epsilon-induction
Epsilon-induction
In mathematics, ∈-induction (epsilon-induction or set-induction) is a variant of transfinite induction.
Considered as an alternative set theory axiom schema, it is called the Axiom (schema) of (set) induction.
It can be used in set theory to prove that all sets satisfy a given property P(x). This is a special case of well-founded induction.
Contents
1 Statement
1.1 Comparison with natural number induction
2 Independence
ndependence
In the context of the constructive set theory CZF, adopting the Axiom of regularity would imply the law of excluded middle and also set-induction. But then the resulting theory would be standard ZF. However, conversely, the set-induction implies neither of the two. In other words, with a constructive logic framework, set-induction as stated above is strictly weaker than regularity.
(引用終り)
以上
つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Epsilon-induction
Epsilon-induction
In mathematics, ∈-induction (epsilon-induction or set-induction) is a variant of transfinite induction.
Considered as an alternative set theory axiom schema, it is called the Axiom (schema) of (set) induction.
It can be used in set theory to prove that all sets satisfy a given property P(x). This is a special case of well-founded induction.
Contents
1 Statement
1.1 Comparison with natural number induction
2 Independence
ndependence
In the context of the constructive set theory CZF, adopting the Axiom of regularity would imply the law of excluded middle and also set-induction. But then the resulting theory would be standard ZF. However, conversely, the set-induction implies neither of the two. In other words, with a constructive logic framework, set-induction as stated above is strictly weaker than regularity.
(引用終り)
以上
661現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/30(日) 14:34:59.33ID:kTzpB/An >>659 補足
>繰り返しますが、ダメなのは、「”xn+1 R xn”なる ”countable infinite descending chains”」(>>651)なのです
>逆の「x∈x1∈x2∈... 」なる無限列はOKです。
ここの説明としては、下記の段級位制に例えるのが分かり易い（サル二匹には無理としても）
1．段級位制で、級は数字が増えるほど、ランクは下がります。つまり下降列です＊）
2．一方、段位は、数字が増えるほど、ランクは上がります。つまり上昇列です
3．整楚や正則性公理で規制しているのは、無限の降下列です。∞級はダメです。∞段はOKです（＾＾；
注＊）
・一等賞、二等賞なども、下降列です。数字が増えるほど、ランクが下がります
・徒競走の1番、2番・・も同様です。数字が増えるほど、ランクが下がります
・なお、チェスのレーティングは、数字が上ほど、ランクが上です
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AE%B5%E7%B4%9A%E4%BD%8D%E5%88%B6
段級位制
段級位制（だんきゅういせい）は、テーブルゲーム・武道・スポーツ・書道・珠算などで技量の度合いを表すための等級制度のうち、段位を上位とし、級位を下位に置くものをいう。級位は数字の多い方から少ない方（10級 → 1級）へ昇級するのに対して、段位は数字の少ない方から多い方（初段 → 十段）へ昇段していく仕組みになっている。
段位・級位
段位及び級位はそれぞれ武道や芸道、スポーツ、遊戯において現在の技能、過去の実績などの段階を示すものである。一般的には段位は級位の上位にあり、初級者は級位から取得し、段位の認定を目指すことになる。段位は、初段（「一段」という表記は慣例的に用いない）にはじまり、十段を最高位とする10段階で構成されていることが多い（例外もある）。級位は1級を上限とし、初段の1つ下が1級、1級の1つ下が2級であり、級位の下限はカテゴリーによって異なる。
まず江戸時代の名人碁所、本因坊道策が囲碁において導入し、それが将棋でも採用され、明治時代になって、武道や芸道などに広がっていった。
つづく
>繰り返しますが、ダメなのは、「”xn+1 R xn”なる ”countable infinite descending chains”」(>>651)なのです
>逆の「x∈x1∈x2∈... 」なる無限列はOKです。
ここの説明としては、下記の段級位制に例えるのが分かり易い（サル二匹には無理としても）
1．段級位制で、級は数字が増えるほど、ランクは下がります。つまり下降列です＊）
2．一方、段位は、数字が増えるほど、ランクは上がります。つまり上昇列です
3．整楚や正則性公理で規制しているのは、無限の降下列です。∞級はダメです。∞段はOKです（＾＾；
注＊）
・一等賞、二等賞なども、下降列です。数字が増えるほど、ランクが下がります
・徒競走の1番、2番・・も同様です。数字が増えるほど、ランクが下がります
・なお、チェスのレーティングは、数字が上ほど、ランクが上です
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AE%B5%E7%B4%9A%E4%BD%8D%E5%88%B6
段級位制
段級位制（だんきゅういせい）は、テーブルゲーム・武道・スポーツ・書道・珠算などで技量の度合いを表すための等級制度のうち、段位を上位とし、級位を下位に置くものをいう。級位は数字の多い方から少ない方（10級 → 1級）へ昇級するのに対して、段位は数字の少ない方から多い方（初段 → 十段）へ昇段していく仕組みになっている。
段位・級位
段位及び級位はそれぞれ武道や芸道、スポーツ、遊戯において現在の技能、過去の実績などの段階を示すものである。一般的には段位は級位の上位にあり、初級者は級位から取得し、段位の認定を目指すことになる。段位は、初段（「一段」という表記は慣例的に用いない）にはじまり、十段を最高位とする10段階で構成されていることが多い（例外もある）。級位は1級を上限とし、初段の1つ下が1級、1級の1つ下が2級であり、級位の下限はカテゴリーによって異なる。
まず江戸時代の名人碁所、本因坊道策が囲碁において導入し、それが将棋でも採用され、明治時代になって、武道や芸道などに広がっていった。
つづく
662現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/30(日) 14:35:21.89ID:kTzpB/An >>661
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/FIDE%E4%B8%96%E7%95%8C%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%82%B0
FIDE世界ランキングとは、国際チェス連盟 (FIDE)が毎月発表しているチェスのレーティングの世界ランキングである。
概要
国際チェス連盟は、レーティングを用いてチェスプレイヤーの強さを数値化している。
詳細は「イロレーティング」を参照
最初の世界ランキングが発表されたのは1971年7月であり当時は年1回の発表であったが、現在では月に1度の頻度で発表されている。
(引用終り)
以上
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/FIDE%E4%B8%96%E7%95%8C%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%82%B0
FIDE世界ランキングとは、国際チェス連盟 (FIDE)が毎月発表しているチェスのレーティングの世界ランキングである。
概要
国際チェス連盟は、レーティングを用いてチェスプレイヤーの強さを数値化している。
詳細は「イロレーティング」を参照
最初の世界ランキングが発表されたのは1971年7月であり当時は年1回の発表であったが、現在では月に1度の頻度で発表されている。
(引用終り)
以上
663１３２人目の素数さん
2021/05/30(日) 15:29:24.95ID:IHHkwfUH >>642
>🐎🦌が提示した列がそもそも上昇列でも下降列でもないのでその点を指摘した
それって
>1∈2∈3∈・・∈ω
のことだろ？
これ∈列だよ？ 1から見れば∈上昇列、ωから見れば∈下降列
え？？？ そんなことも分からんの？ おまえも落ちこぼれか？
言っとくが、∈無限列であるなんて一言も言ってないので勝手に誤解せぬよう
>🐎🦌が提示した列がそもそも上昇列でも下降列でもないのでその点を指摘した
それって
>1∈2∈3∈・・∈ω
のことだろ？
これ∈列だよ？ 1から見れば∈上昇列、ωから見れば∈下降列
え？？？ そんなことも分からんの？ おまえも落ちこぼれか？
言っとくが、∈無限列であるなんて一言も言ってないので勝手に誤解せぬよう
664１３２人目の素数さん
2021/05/30(日) 15:31:32.51ID:IHHkwfUH ID:4LOzs/AI
はアホザルと同類の落ちこぼれでした
やれやれ
はアホザルと同類の落ちこぼれでした
やれやれ
665現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/30(日) 17:07:29.81ID:kTzpB/An >>661
(引用開始)
ここの説明としては、下記の段級位制に例えるのが分かり易い（サル二匹には無理としても）
1．段級位制で、級は数字が増えるほど、ランクは下がります。つまり下降列です＊）
(引用終り)
追加説明
1．多項式で、下記降べきの順と昇べきの順というのがある
f(x)=a0+a1x+a2x^2 が昇べきの順
f(x)=a2x^2+a1x+a0 が降べきの順
2．多項式ならば、（項が有限なので）どちらもありうるが、形式的冪級数（無限のべき項を持つ式）では、昇べきの順しかありえない
変数xのべき（冪）が増える順に、係数a0,a1,a3・・と並ぶ（下記 形式的冪級数の”より形式的な定義”をご参照 ）
この係数列 a0,a1,a3・・は、上昇列です
サルには理解が難しいかな
（参考）
https://manabitimes.jp/math/827
高校数学の美しい物語
降べきの順と昇べきの順について 更新日時 2021/03/07
降べきの順とは，次数が下がって行くような式の表し方。
降べきの順で表した例 . x^3-x^2+4x+1
昇べきの順とは，次数が上がって行くような式の表し方。
昇べきの順で表した例 . 1+4x-x^2+x^3
この記事では， 降べきの順と昇べきの順の意味 や， どちらを使うべきなのか などについて解説します。
目次
・降べきの順とは
・昇べきの順とは
・変数が複数ある場合
・降べきの順 VS 昇べきの順
・そもそもなぜ式を整理するのか
降べきの順 VS 昇べきの順
降べきの順と昇べきの順のどちらで表すのが良いのかを考えてみます。
基本方針は 「重要なものを先頭に持ってくる」です。次数の高いものが重要なのか，定数項が重要なのか，場面に応じて使い分けます。
・基本的には降べきの順に整理すればよいです。多くの場面では高次の項が重要だからです。
・まれに昇べきの順に整理する場面（定数項が重要な場合）が出てきます。例えば，マクローリン展開など，いろいろな関数を多項式で近似する場合は定数項が重要なのです。
・実は，対称式の場合は降べきの順でも昇べきの順でもない整理の仕方が一番美しい場合があります。
つづく
(引用開始)
ここの説明としては、下記の段級位制に例えるのが分かり易い（サル二匹には無理としても）
1．段級位制で、級は数字が増えるほど、ランクは下がります。つまり下降列です＊）
(引用終り)
追加説明
1．多項式で、下記降べきの順と昇べきの順というのがある
f(x)=a0+a1x+a2x^2 が昇べきの順
f(x)=a2x^2+a1x+a0 が降べきの順
2．多項式ならば、（項が有限なので）どちらもありうるが、形式的冪級数（無限のべき項を持つ式）では、昇べきの順しかありえない
変数xのべき（冪）が増える順に、係数a0,a1,a3・・と並ぶ（下記 形式的冪級数の”より形式的な定義”をご参照 ）
この係数列 a0,a1,a3・・は、上昇列です
サルには理解が難しいかな
（参考）
https://manabitimes.jp/math/827
高校数学の美しい物語
降べきの順と昇べきの順について 更新日時 2021/03/07
降べきの順とは，次数が下がって行くような式の表し方。
降べきの順で表した例 . x^3-x^2+4x+1
昇べきの順とは，次数が上がって行くような式の表し方。
昇べきの順で表した例 . 1+4x-x^2+x^3
この記事では， 降べきの順と昇べきの順の意味 や， どちらを使うべきなのか などについて解説します。
目次
・降べきの順とは
・昇べきの順とは
・変数が複数ある場合
・降べきの順 VS 昇べきの順
・そもそもなぜ式を整理するのか
降べきの順 VS 昇べきの順
降べきの順と昇べきの順のどちらで表すのが良いのかを考えてみます。
基本方針は 「重要なものを先頭に持ってくる」です。次数の高いものが重要なのか，定数項が重要なのか，場面に応じて使い分けます。
・基本的には降べきの順に整理すればよいです。多くの場面では高次の項が重要だからです。
・まれに昇べきの順に整理する場面（定数項が重要な場合）が出てきます。例えば，マクローリン展開など，いろいろな関数を多項式で近似する場合は定数項が重要なのです。
・実は，対称式の場合は降べきの順でも昇べきの順でもない整理の仕方が一番美しい場合があります。
つづく
666現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/30(日) 17:08:15.59ID:kTzpB/An >>665
つづき
そもそもなぜ式を整理するのか
「降べきの順や昇べきの順にする」というのは「式の整理」の方法の1つです。一般に，式を整理すると，
・単純に見やすい，そのため次なる一手につなげやすい
・因数分解しやすくなる
などの恩恵があります。どのように整理すると最大限恩恵が得られるのかを考えて，場面に応じて整理の方法を使い分けましょう。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E7%92%B0
多項式環
定義
体 K に係数を持つ不定元 X に関する多項式とは
p=pmX^m+p_m-1X^m-1+・・・+p1X+p0
の形の式のことである。ここで p0, …, pm は K の元で、p の係数といい、X, X2, … は形式的な記号だが X の冪という。
注意すべき点として、多項式には項が有限個しかないこと ?つまり十分大きな k（ここでは k > m）に関する係数 pk がすべて零であるということ? は、暗黙の了解である。多項式の次数とは X k の係数が零でないような最大の k のことである。特別な場合として、零多項式（係数が全て零）の次数は定義しないか、あるいは負の無限大 ?∞ と定義する。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E5%86%AA%E7%B4%9A%E6%95%B0
形式的冪級数
形式的冪級数（英: formal power series）とは、（形式的）多項式の一般化であり、多項式が有限個の項しか持たないのに対し、形式的冪級数は項が有限個でなくてもよい。
定義
A を可換とは限らない環とする。A に係数をもち X を変数（不定元）とする（一変数）形式的冪級数 (formal power series) とは、各 ai (i = 0, 1, 2, …) を A の元として、
Σ _n=0〜∞a nX^n=a0+a1X+a2X^2+・・
の形をしたものである。ある m が存在して n ≧ m のとき an = 0 となるようなものは多項式と見なすことができる。
より形式的な定義
N を非負整数全体の集合とし、配置集合 AN すなわち N から A への関数（A に値を持つ数列）全体を考える。この集合に対し
(an)n∈N+(bn)n∈N:=(an+bn)n∈N
(an)n∈N・(bn)n∈N:=(Σk=0〜n akbn-k)n∈N
によって演算を定めると、AN は環になることが確かめられる。これが形式的冪級数環 A[[X]] である。
ここでの (an) は上の 蚤nX^n と対応する。
(引用終り)
以上
つづき
そもそもなぜ式を整理するのか
「降べきの順や昇べきの順にする」というのは「式の整理」の方法の1つです。一般に，式を整理すると，
・単純に見やすい，そのため次なる一手につなげやすい
・因数分解しやすくなる
などの恩恵があります。どのように整理すると最大限恩恵が得られるのかを考えて，場面に応じて整理の方法を使い分けましょう。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E7%92%B0
多項式環
定義
体 K に係数を持つ不定元 X に関する多項式とは
p=pmX^m+p_m-1X^m-1+・・・+p1X+p0
の形の式のことである。ここで p0, …, pm は K の元で、p の係数といい、X, X2, … は形式的な記号だが X の冪という。
注意すべき点として、多項式には項が有限個しかないこと ?つまり十分大きな k（ここでは k > m）に関する係数 pk がすべて零であるということ? は、暗黙の了解である。多項式の次数とは X k の係数が零でないような最大の k のことである。特別な場合として、零多項式（係数が全て零）の次数は定義しないか、あるいは負の無限大 ?∞ と定義する。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E5%86%AA%E7%B4%9A%E6%95%B0
形式的冪級数
形式的冪級数（英: formal power series）とは、（形式的）多項式の一般化であり、多項式が有限個の項しか持たないのに対し、形式的冪級数は項が有限個でなくてもよい。
定義
A を可換とは限らない環とする。A に係数をもち X を変数（不定元）とする（一変数）形式的冪級数 (formal power series) とは、各 ai (i = 0, 1, 2, …) を A の元として、
Σ _n=0〜∞a nX^n=a0+a1X+a2X^2+・・
の形をしたものである。ある m が存在して n ≧ m のとき an = 0 となるようなものは多項式と見なすことができる。
より形式的な定義
N を非負整数全体の集合とし、配置集合 AN すなわち N から A への関数（A に値を持つ数列）全体を考える。この集合に対し
(an)n∈N+(bn)n∈N:=(an+bn)n∈N
(an)n∈N・(bn)n∈N:=(Σk=0〜n akbn-k)n∈N
によって演算を定めると、AN は環になることが確かめられる。これが形式的冪級数環 A[[X]] である。
ここでの (an) は上の 蚤nX^n と対応する。
(引用終り)
以上
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