クレレ誌：
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%83%AC%E8%AA%8C
クレレ誌はアカデミーの紀要ではない最初の主要な数学学術誌の一つである（Neuenschwander 1994, p. 1533）。ニールス・アーベル、ゲオルク・カントール、ゴットホルト・アイゼンシュタインらの研究を含む著名な論文を掲載してきた。
(引用終り)
そこで
現代の純粋・応用数学（含むガロア理論）を目指して
新スレを立てる（＾＾；
＜過去スレ＞
・純粋・応用数学（含むガロア理論）2
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592578498/
・純粋・応用数学
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582599485/
＜関連過去スレ（含むガロア理論）＞
・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む84
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582200067/
・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む83
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/
＜関連姉妹スレ＞
・Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 48
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592119272/
・IUTを読むための用語集資料集スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/
・現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/
探検
純粋・応用数学（含むガロア理論）3
レス数が900を超えています。1000を超えると表示できなくなるよ。
2020/07/19(日) 22:51:08.91ID:2Y0qBKwb
812１３２人目の素数さん
2020/08/28(金) 08:45:12.84ID:RYgrpQMx >>751
これでセタは完全に死んだな
ーーー
>>736
>これ読んだ。疑問氷解！
しかし鉄は融かせなかった、と
---
https://planetmath.org/ringswhoseeverymoduleisfree
「全ての左R加群が自由ならば、Rは可除環」
（,,⇐” 以降の箇所）
証明（和訳つき）
Assume now that every left R-module is free.
今、全ての左R加群が自由だと仮定せよ。
In particular every left R-module is projective,
特に、全ての左加群は射影的である。
thus R is semisimple and therefore R is Noetherian.
したがって、Rは半単純であり、ネーター環である。
This implies that R has invariant basis number.
このことから、Rは不変基底数を持つ。
Let I⊆R be a nontrivial left ideal.
Rの部分集合Iを自明でない左イデアルとする。
Thus I is a R-module, so it is free and since all modules are projective (because they are free), then I is direct summand of R.
したがって、IはR加群であり、自由であり、射影的であるからIはRの直和である。
If I is proper, then we have a decomposition of a R-module
もし、Iが真のイデアル（=Rと｛0｝以外のイデアル）ならば、以下のR加群の直和分割を持つ。
R≃I⊕I',
but rank of R is 1 and rank of I⊕I' is at least 2.
しかし、Rのランクは１で、I⊕I'のランクは少なくとも２である。
Contradiction,because R has invariant basis number.
矛盾、なぜならRが不変基底数をもつから。
Thus the only left ideals in R are 0 and R.
したがって、Rの左イデアルは、0とRしかない。
---
君、ここを全部すっとぱしたね。
違うというなら、
「射影的」「半単純」「ネーター環」「不変基底数（IBN)」
の定義を正確に書き切った上で
自由加群⇒射影的
射影的⇒半単純＆ネーター環
半単純環、ネーター環⇒不変基底数（IBN)を持つ
を証明してごらん。
これでセタは完全に死んだな
ーーー
>>736
>これ読んだ。疑問氷解！
しかし鉄は融かせなかった、と
---
https://planetmath.org/ringswhoseeverymoduleisfree
「全ての左R加群が自由ならば、Rは可除環」
（,,⇐” 以降の箇所）
証明（和訳つき）
Assume now that every left R-module is free.
今、全ての左R加群が自由だと仮定せよ。
In particular every left R-module is projective,
特に、全ての左加群は射影的である。
thus R is semisimple and therefore R is Noetherian.
したがって、Rは半単純であり、ネーター環である。
This implies that R has invariant basis number.
このことから、Rは不変基底数を持つ。
Let I⊆R be a nontrivial left ideal.
Rの部分集合Iを自明でない左イデアルとする。
Thus I is a R-module, so it is free and since all modules are projective (because they are free), then I is direct summand of R.
したがって、IはR加群であり、自由であり、射影的であるからIはRの直和である。
If I is proper, then we have a decomposition of a R-module
もし、Iが真のイデアル（=Rと｛0｝以外のイデアル）ならば、以下のR加群の直和分割を持つ。
R≃I⊕I',
but rank of R is 1 and rank of I⊕I' is at least 2.
しかし、Rのランクは１で、I⊕I'のランクは少なくとも２である。
Contradiction,because R has invariant basis number.
矛盾、なぜならRが不変基底数をもつから。
Thus the only left ideals in R are 0 and R.
したがって、Rの左イデアルは、0とRしかない。
---
君、ここを全部すっとぱしたね。
違うというなら、
「射影的」「半単純」「ネーター環」「不変基底数（IBN)」
の定義を正確に書き切った上で
自由加群⇒射影的
射影的⇒半単純＆ネーター環
半単純環、ネーター環⇒不変基底数（IBN)を持つ
を証明してごらん。
813１３２人目の素数さん
2020/08/28(金) 08:52:03.52ID:RYgrpQMx814１３２人目の素数さん
2020/08/28(金) 08:57:55.54ID:RYgrpQMx セタには理解できない事柄
線形空間R^nの自己準同型環End(R^n)は、行列環M_n(R)
線形空間R^nの自己準同型環End(R^n)は、行列環M_n(R)
815１３２人目の素数さん
2020/08/28(金) 08:59:19.53ID:RYgrpQMx セタには理解できない事柄
線形空間R^nの自己同型群Aut(R^n)は、一般線形群GL_n(R)
線形空間R^nの自己同型群Aut(R^n)は、一般線形群GL_n(R)
816１３２人目の素数さん
2020/08/28(金) 12:40:01.43ID:DRZUtYPJ >>808
>>754 でも書いた通り、自信はないが、こっちは原因に薄々気づいてる。
僕が思ってる通りなら、「二次元翼理論（等角写像とジューコフスキーの仮定）」も
おそらく同じ間違いをしてる。で、お前もな。
>>743 の質問は複素平面を理解できる人にしか内容がわからないだろうが、
複素数の関係式だけ示したり、
>>801 に書いた程度のシンプルな式を複雑にこねくり回したりでしたり顔かよ。
複素平面について簡単に説明してるWEB見つけたからURL貼っとくよ。
高校教科書パラパラめくってみたけど、
たぶん文系高卒でも理解するのに1時間かからんだろう。
後、写像の知識があったら僕が思ってる原因も察しがつくやろ。
これで、お前の味方は
（文系高卒未満∪文系高卒以上だが数学赤点ギリギリ）∩エクセル使えないやつ
だけやな。
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/fukusosuu/henkan-tex.cgi?target=/math/category/fukusosuu/fukusoheimen.html
こっちは暇人じゃないんだから、昨晩お前に付き合ったおかげで、
質問の説明資料ネットにアップするのは明日以後になりそうかな。
>>803
レスがもし僕に宛てたものなら答えとくけど、
逆変換ができてるらしい式だけは既に入手済み。
僕が欲しいのはその式を導出する方法を示した資料もしくはアドバイス。
>>754 でも書いた通り、自信はないが、こっちは原因に薄々気づいてる。
僕が思ってる通りなら、「二次元翼理論（等角写像とジューコフスキーの仮定）」も
おそらく同じ間違いをしてる。で、お前もな。
>>743 の質問は複素平面を理解できる人にしか内容がわからないだろうが、
複素数の関係式だけ示したり、
>>801 に書いた程度のシンプルな式を複雑にこねくり回したりでしたり顔かよ。
複素平面について簡単に説明してるWEB見つけたからURL貼っとくよ。
高校教科書パラパラめくってみたけど、
たぶん文系高卒でも理解するのに1時間かからんだろう。
後、写像の知識があったら僕が思ってる原因も察しがつくやろ。
これで、お前の味方は
（文系高卒未満∪文系高卒以上だが数学赤点ギリギリ）∩エクセル使えないやつ
だけやな。
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/fukusosuu/henkan-tex.cgi?target=/math/category/fukusosuu/fukusoheimen.html
こっちは暇人じゃないんだから、昨晩お前に付き合ったおかげで、
質問の説明資料ネットにアップするのは明日以後になりそうかな。
>>803
レスがもし僕に宛てたものなら答えとくけど、
逆変換ができてるらしい式だけは既に入手済み。
僕が欲しいのはその式を導出する方法を示した資料もしくはアドバイス。
817１３２人目の素数さん
2020/08/28(金) 12:47:30.25ID:DRZUtYPJ そうそう。
ド・モアブルの定理なら、僕が通った大学のテキストの複素平面の章の2ページ目で説明されてたよ。
適用できるのなら、複素平面を扱う問題では使うのが当たり前でしょって言ってるようなもんかな。
今回は適用範囲外だったようだが。
ド・モアブルの定理なら、僕が通った大学のテキストの複素平面の章の2ページ目で説明されてたよ。
適用できるのなら、複素平面を扱う問題では使うのが当たり前でしょって言ってるようなもんかな。
今回は適用範囲外だったようだが。
818現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/08/28(金) 15:20:00.46ID:GoijW/XC >>816-817
ド・モアブルの上位互換が、下記のオイラーの公式です
”ド・モアブル”は、今後言わない方が良いと思う
コウモリに噛みつかれるだけだから（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F
オイラーの公式
(抜粋)
複素解析におけるオイラーの公式（オイラーのこうしき、英: Euler's formula）とは、複素指数函数と三角関数の間に成り立つ、以下の恒等式のことである：
e^iΘ =cos Θ +isin Θ
ここで e・[注 1]は指数関数、i は虚数単位、cos ・, sin ・ はそれぞれ余弦関数、正弦関数（三角関数）である。この等式は、任意の複素数 θ に対して成り立つが、特に θ が実数である場合がよく使われる。θ が実数のとき、e^iθ は、絶対値 1, 偏角 θ（単位はラジアン）の複素数に等しい。
公式の名前は18世紀の数学者レオンハルト・オイラーに因むが、最初の発見者はロジャー・コーツとされる。コーツは1714年に
log (cos x+isin x)=ix
を発見した[1]が、三角関数の周期性による対数関数の多価性を見逃した。
1740年頃オイラーはこの対数関数の形での公式から現在オイラーの公式の名で呼ばれる指数関数での形に注意を向けた。
指数関数と三角関数の級数展開を比較することによる証明が得られ出版されたのは1748年のことだった[1]。
この公式は複素解析をはじめとする純粋数学の様々な分野や、電気工学・物理学などで現れる微分方程式の解析において重要な役割を演じる。
物理学者のリチャード・ファインマンはこの公式を評して「我々の至宝」かつ「すべての数学のなかでもっとも素晴らしい公式」 [2][3]だと述べている。
オイラーの公式は、複素数の極形式を簡明な表示に導く。すなわち、複素数の極形式 z = r(cos θ + i sin θ) は z = re^iθ に等しい。また、特に、θ = π のとき、
e^iπ +1=0
が導かれる。この関係式はオイラーの等式 (Euler's identity) と呼ばれる。
オイラーの公式は、余弦関数、正弦関数の双曲線関数による表示を導く：
cos Θ =cosh iΘ
sin Θ =1/i sinh iΘ
応用上では、オイラーの公式により三角関数を複素指数関数に置き換えることで、微分方程式やフーリエ級数などが利用しやすくなる。
ド・モアブルの上位互換が、下記のオイラーの公式です
”ド・モアブル”は、今後言わない方が良いと思う
コウモリに噛みつかれるだけだから（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F
オイラーの公式
(抜粋)
複素解析におけるオイラーの公式（オイラーのこうしき、英: Euler's formula）とは、複素指数函数と三角関数の間に成り立つ、以下の恒等式のことである：
e^iΘ =cos Θ +isin Θ
ここで e・[注 1]は指数関数、i は虚数単位、cos ・, sin ・ はそれぞれ余弦関数、正弦関数（三角関数）である。この等式は、任意の複素数 θ に対して成り立つが、特に θ が実数である場合がよく使われる。θ が実数のとき、e^iθ は、絶対値 1, 偏角 θ（単位はラジアン）の複素数に等しい。
公式の名前は18世紀の数学者レオンハルト・オイラーに因むが、最初の発見者はロジャー・コーツとされる。コーツは1714年に
log (cos x+isin x)=ix
を発見した[1]が、三角関数の周期性による対数関数の多価性を見逃した。
1740年頃オイラーはこの対数関数の形での公式から現在オイラーの公式の名で呼ばれる指数関数での形に注意を向けた。
指数関数と三角関数の級数展開を比較することによる証明が得られ出版されたのは1748年のことだった[1]。
この公式は複素解析をはじめとする純粋数学の様々な分野や、電気工学・物理学などで現れる微分方程式の解析において重要な役割を演じる。
物理学者のリチャード・ファインマンはこの公式を評して「我々の至宝」かつ「すべての数学のなかでもっとも素晴らしい公式」 [2][3]だと述べている。
オイラーの公式は、複素数の極形式を簡明な表示に導く。すなわち、複素数の極形式 z = r(cos θ + i sin θ) は z = re^iθ に等しい。また、特に、θ = π のとき、
e^iπ +1=0
が導かれる。この関係式はオイラーの等式 (Euler's identity) と呼ばれる。
オイラーの公式は、余弦関数、正弦関数の双曲線関数による表示を導く：
cos Θ =cosh iΘ
sin Θ =1/i sinh iΘ
応用上では、オイラーの公式により三角関数を複素指数関数に置き換えることで、微分方程式やフーリエ級数などが利用しやすくなる。
819１３２人目の素数さん
2020/08/28(金) 16:02:51.61ID:RYgrpQMx >>816
＞こっちは原因に薄々気づいてる。
角度の計算と、どの半角をとるかの問題だろ？
そもそもジューコフスキー変換の式を見れば２対１の写像だと分かる
（円の内側と外側の点が、同じ点に写像される）
だから「逆写像」をとるとき、１対２になるので、うまくつながないとおかしくなる
そのこともちゃんと
「二次元翼理論（等角写像とジューコフスキーの仮定）」のHPの
（４）ｚ平面の円柱周りをζ平面の平板周りに写像（ジューコフスキー変換）
１．円を直線に写像する関数
のところに書いてある
「図から明らかなようにζ面上の１点に対応する点がｚ面上に二つ存在する。
ｚ面の点とζ面の点を１対１で対応させるには、
ζ面として長さ4ａの線分を共有した二枚の面［上右図参照］を準備すればよい。
このように何枚も重ねて多価関数を表す面のことをRiemann面という。」
＞こっちは原因に薄々気づいてる。
角度の計算と、どの半角をとるかの問題だろ？
そもそもジューコフスキー変換の式を見れば２対１の写像だと分かる
（円の内側と外側の点が、同じ点に写像される）
だから「逆写像」をとるとき、１対２になるので、うまくつながないとおかしくなる
そのこともちゃんと
「二次元翼理論（等角写像とジューコフスキーの仮定）」のHPの
（４）ｚ平面の円柱周りをζ平面の平板周りに写像（ジューコフスキー変換）
１．円を直線に写像する関数
のところに書いてある
「図から明らかなようにζ面上の１点に対応する点がｚ面上に二つ存在する。
ｚ面の点とζ面の点を１対１で対応させるには、
ζ面として長さ4ａの線分を共有した二枚の面［上右図参照］を準備すればよい。
このように何枚も重ねて多価関数を表す面のことをRiemann面という。」
820１３２人目の素数さん
2020/08/28(金) 16:04:54.60ID:RYgrpQMx821１３２人目の素数さん
2020/08/28(金) 16:16:50.82ID:RYgrpQMx >>816
＞後、写像の知識があったら僕が思ってる原因も察しがつくやろ。
（小声で）「写像の知識」あんなら漫然と式写したらあかんことくらい即座にわかるやろ
知恵が足りひんｗ
参考（愛が足りひん）
本物
https://www.youtube.com/watch?v=2Dpzm0cyqm0
ニセモノｗ
https://www.youtube.com/watch?v=8uj1zpRBiuQ
＞後、写像の知識があったら僕が思ってる原因も察しがつくやろ。
（小声で）「写像の知識」あんなら漫然と式写したらあかんことくらい即座にわかるやろ
知恵が足りひんｗ
参考（愛が足りひん）
本物
https://www.youtube.com/watch?v=2Dpzm0cyqm0
ニセモノｗ
https://www.youtube.com/watch?v=8uj1zpRBiuQ
822１３２人目の素数さん
2020/08/28(金) 16:27:11.91ID:RYgrpQMx ああそうそう半角問題以前の話で
複素数x+yiの偏角を求めるとき
atan(y/x)を馬鹿チョンで使たらあかんよ
x+yiも、-x-yiも、同じ角度になるけど、実際はちゃうやん
まず、そこ気づかなあかんで
複素数x+yiの偏角を求めるとき
atan(y/x)を馬鹿チョンで使たらあかんよ
x+yiも、-x-yiも、同じ角度になるけど、実際はちゃうやん
まず、そこ気づかなあかんで
823１３２人目の素数さん
2020/08/28(金) 16:45:02.54ID:RYgrpQMx >>816
＞ >>743 の質問は複素平面を理解できる人にしか内容がわからないだろうが
↓ゴメン、この文章では何も伝わらんわ
「ジューコフスキー変換の逆変換をやってみようと思って、
ド・モアブルの定理で計算できないかなと試みたのですが、
ジューコフスキー変換で算出した座標に適用しても元の座標に戻りませんでした。
ジューコフスキー変換の逆変換について詳しく説明してるウェブなど、
何らかのアドバイスがあったらレスください。」
オレならこう書くわ
「ジューコフスキー変換の逆変換をやってみようとおもったんですが、
実はジューコフスキー変換は円の内側と外側の点を同じ点に移す２対１写像で
やりたいのは円の外側の点のみへの写像としているのですが、上手くいきません。
そもそも、それ以前にもおかしい点があるようです。
逆変換の中で、一か所複素数の平方根を求める箇所があるのですが、
そこは、複素数ｘ、ｙからarctan(y/x)で偏角Θを求めて、
cos(Θ/2)、sin(Θ/2)で戻しています。
何が間違ってるか？どうすれば意図する逆写像が構成できるか
アドバイスをお願いいたします。」
な、コニシもそう思うやろ（誰や？コニシってｗ）
https://www.dailymotion.com/video/x7ur7z6
＊コニシは11:38~ 登場
＞ >>743 の質問は複素平面を理解できる人にしか内容がわからないだろうが
↓ゴメン、この文章では何も伝わらんわ
「ジューコフスキー変換の逆変換をやってみようと思って、
ド・モアブルの定理で計算できないかなと試みたのですが、
ジューコフスキー変換で算出した座標に適用しても元の座標に戻りませんでした。
ジューコフスキー変換の逆変換について詳しく説明してるウェブなど、
何らかのアドバイスがあったらレスください。」
オレならこう書くわ
「ジューコフスキー変換の逆変換をやってみようとおもったんですが、
実はジューコフスキー変換は円の内側と外側の点を同じ点に移す２対１写像で
やりたいのは円の外側の点のみへの写像としているのですが、上手くいきません。
そもそも、それ以前にもおかしい点があるようです。
逆変換の中で、一か所複素数の平方根を求める箇所があるのですが、
そこは、複素数ｘ、ｙからarctan(y/x)で偏角Θを求めて、
cos(Θ/2)、sin(Θ/2)で戻しています。
何が間違ってるか？どうすれば意図する逆写像が構成できるか
アドバイスをお願いいたします。」
な、コニシもそう思うやろ（誰や？コニシってｗ）
https://www.dailymotion.com/video/x7ur7z6
＊コニシは11:38~ 登場
824１３２人目の素数さん
2020/08/28(金) 17:26:07.25ID:RYgrpQMx ＞逆変換ができてるらしい式だけは既に入手済み。
＞僕が欲しいのはその式を導出する方法を示した資料もしくはアドバイス。
予想
ジューコフスキー写像を
メビウス変換→２乗→メビウス逆変換
の形で表した上で、逆写像を
メビウス変換→平方根→メビウス逆変換
の形で構成する
分枝の問題は、平方根写像という簡単な形について対応すればいいので楽
他にもアイデアはあるが、今はここまでにしとく
＞僕が欲しいのはその式を導出する方法を示した資料もしくはアドバイス。
予想
ジューコフスキー写像を
メビウス変換→２乗→メビウス逆変換
の形で表した上で、逆写像を
メビウス変換→平方根→メビウス逆変換
の形で構成する
分枝の問題は、平方根写像という簡単な形について対応すればいいので楽
他にもアイデアはあるが、今はここまでにしとく
825現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/08/28(金) 18:12:43.81ID:GoijW/XC >>736
（参考）
https://math.stackexchange.com/questions/75866/every-r-module-is-free-implies-r-is-a-division-ring
Every R-module is free ? R is a division ring asked Oct 25 '11 Leo
(抜粋)
Answer 10 Oct 26 '11 Bruno Stonek
I will paraphrase Pete Clark's "Commutative algebra" notes (pp. 24-25), available here.
http://math.uga.edu/~pete/integral.pdf
COMMUTATIVE ALGEBRA PETE L. CLARK Date: March 9, 2015. University of Georgia USA
P31
Proposition 3.4. For a commutative ring R, TFAE:
(i) Every R-module is free.
(ii) R is a field.
Proof. As discussed above, (ii) =⇒ (i) is a fundamental theorem of linear algebra,so we need only concern ourselves with the converse.
But if R is not a field, then there exists a nonzero proper ideal I, and then R/I is a nontrivial R-module with 0 ?= I = ann(R/I), so by Exercise 3.16 R/I is not free.
Remark: If R is a not-necessarily-commutative ring such that every left R-module is free, then the above argument shows R has no nonzero proper twosided ideals, so is what is called a simple ring. But a noncommutative simple ring may still
admit a nonfree module. For instance, let k be a field and take R = M2(k), the 2 × 2 matrix ring over k. Then k ? k is a left R-module which is not free. However, suppose R is a ring with no proper nontrivial one-sided ideals.
Then R is a division ring ? i.e., every nonzero element of R is a unit ? and every R-module is free.
Note well the form of Proposition 3.4: we assume that R is a commutative ring for which R-modules satisfy some nice property, and we deduce a result on the structure of R. Such “inverse problems” have a broad appeal throughout mathematics
and provide one of the major motivations for studying modules above and beyond their linear algebraic origins. We will see other such characterizations later on.
https://ejje.weblio.jp/content/TFAE
TFAE 成句
1.(mathematics) Initialism of the following are equivalent.
（参考）
https://math.stackexchange.com/questions/75866/every-r-module-is-free-implies-r-is-a-division-ring
Every R-module is free ? R is a division ring asked Oct 25 '11 Leo
(抜粋)
Answer 10 Oct 26 '11 Bruno Stonek
I will paraphrase Pete Clark's "Commutative algebra" notes (pp. 24-25), available here.
http://math.uga.edu/~pete/integral.pdf
COMMUTATIVE ALGEBRA PETE L. CLARK Date: March 9, 2015. University of Georgia USA
P31
Proposition 3.4. For a commutative ring R, TFAE:
(i) Every R-module is free.
(ii) R is a field.
Proof. As discussed above, (ii) =⇒ (i) is a fundamental theorem of linear algebra,so we need only concern ourselves with the converse.
But if R is not a field, then there exists a nonzero proper ideal I, and then R/I is a nontrivial R-module with 0 ?= I = ann(R/I), so by Exercise 3.16 R/I is not free.
Remark: If R is a not-necessarily-commutative ring such that every left R-module is free, then the above argument shows R has no nonzero proper twosided ideals, so is what is called a simple ring. But a noncommutative simple ring may still
admit a nonfree module. For instance, let k be a field and take R = M2(k), the 2 × 2 matrix ring over k. Then k ? k is a left R-module which is not free. However, suppose R is a ring with no proper nontrivial one-sided ideals.
Then R is a division ring ? i.e., every nonzero element of R is a unit ? and every R-module is free.
Note well the form of Proposition 3.4: we assume that R is a commutative ring for which R-modules satisfy some nice property, and we deduce a result on the structure of R. Such “inverse problems” have a broad appeal throughout mathematics
and provide one of the major motivations for studying modules above and beyond their linear algebraic origins. We will see other such characterizations later on.
https://ejje.weblio.jp/content/TFAE
TFAE 成句
1.(mathematics) Initialism of the following are equivalent.
826現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/08/28(金) 21:13:38.23ID:5cMWCMf+ >>811
下記追加
なお、繰返すが、等角写像がキーワードだよ
http://staff.miyakyo-u.ac.jp/~h-uri/blog/
Uryu Hitoshi 宮城教育大学
http://staff.miyakyo-u.ac.jp/~h-uri/blog/lecture/gensho/bprogram/enshu2008.html
Mon, 19 Jan 2009 Uryu Hitoshi 宮城教育大学
現象の数理2008
http://staff.miyakyo-u.ac.jp/~h-uri/blog/archive/lecture/gensho/2008/text.pdf
現象の数理2008 Uryu Hitoshi 宮城教育大学
複素関数論の応用 平成 20 年 11 月 14 日
本テキストでは、複素関数論の基礎を既知として、複素解析の具体的な応
用のいくつかを紹介する (計算機による実験を含む)。
(抜粋)
P1
以上を考慮して奥村氏が作成したプログラムに若干手を加えたもの以下の
complex.c である。本質的なルーチンには変更を加えていない。
/**********************************
complex.c -- 複素数の四則と初等複素関数
***********************************/
1.3 演習（複素数と関数値）
前説の csisoku.c,function.c を実行させ、実際に複素数の値と複素関数の値
を求めてみよ。
プログラムの実行のさせ方
C プログラムが csisoku.c とする (function.c についても同様)。
* * * > gcc -lm function.c
2 複素数関数の可視化
複素数関数の値が計算できるようになったので、次に複素初等関数を可視
化することにより深く関数の行動を理解しよう。理論を復習し、C プログラ
ムを作成実行しデータを計算し、gnuplot でグラフを描く。
P32
3.7.5 飛行機の翼
ジューコフスキー変換において
a = b = 1 とすると
以下はジューコフスキー変換により gnuplot によるデータをはき出す C プ
ログラムである。
問
プログラム joukowski.c において円の中心を α = a + ib を適当に変化させ
てみて翼の形の変化を考察せよ。
研究
ジューコフスキー変換により飛行機の翼の外部と円の外部と対応がつく。
また最初の変換により円の外部は下半平面に対応がつく。下半平面における
一様流は簡単に表現出来る．これを２つの関数で変換すれば、飛行機の翼の
外の一様流の流れを知る事ができる。これを C 言語プログラムを作成する事
により，確認せよ．
下記追加
なお、繰返すが、等角写像がキーワードだよ
http://staff.miyakyo-u.ac.jp/~h-uri/blog/
Uryu Hitoshi 宮城教育大学
http://staff.miyakyo-u.ac.jp/~h-uri/blog/lecture/gensho/bprogram/enshu2008.html
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現象の数理2008
http://staff.miyakyo-u.ac.jp/~h-uri/blog/archive/lecture/gensho/2008/text.pdf
現象の数理2008 Uryu Hitoshi 宮城教育大学
複素関数論の応用 平成 20 年 11 月 14 日
本テキストでは、複素関数論の基礎を既知として、複素解析の具体的な応
用のいくつかを紹介する (計算機による実験を含む)。
(抜粋)
P1
以上を考慮して奥村氏が作成したプログラムに若干手を加えたもの以下の
complex.c である。本質的なルーチンには変更を加えていない。
/**********************************
complex.c -- 複素数の四則と初等複素関数
***********************************/
1.3 演習（複素数と関数値）
前説の csisoku.c,function.c を実行させ、実際に複素数の値と複素関数の値
を求めてみよ。
プログラムの実行のさせ方
C プログラムが csisoku.c とする (function.c についても同様)。
* * * > gcc -lm function.c
2 複素数関数の可視化
複素数関数の値が計算できるようになったので、次に複素初等関数を可視
化することにより深く関数の行動を理解しよう。理論を復習し、C プログラ
ムを作成実行しデータを計算し、gnuplot でグラフを描く。
P32
3.7.5 飛行機の翼
ジューコフスキー変換において
a = b = 1 とすると
以下はジューコフスキー変換により gnuplot によるデータをはき出す C プ
ログラムである。
問
プログラム joukowski.c において円の中心を α = a + ib を適当に変化させ
てみて翼の形の変化を考察せよ。
研究
ジューコフスキー変換により飛行機の翼の外部と円の外部と対応がつく。
また最初の変換により円の外部は下半平面に対応がつく。下半平面における
一様流は簡単に表現出来る．これを２つの関数で変換すれば、飛行機の翼の
外の一様流の流れを知る事ができる。これを C 言語プログラムを作成する事
により，確認せよ．
827現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/08/28(金) 21:15:00.89ID:5cMWCMf+828１３２人目の素数さん
2020/08/28(金) 21:37:54.65ID:RYgrpQMx >>826 正則写像なら等角写像 したがって無意味
829１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 05:12:26.01ID:9OkyXBRa830１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 05:17:06.47ID:9OkyXBRa 高校数学さえマスターしてれば少しの＋αで理解できるようなことやのに、
応用数学どころか高校数学さえきちんとマスターしてるのかさえ疑わしいような連中が
したり顔でレスしまくってるスレやな。
応用数学どころか高校数学さえきちんとマスターしてるのかさえ疑わしいような連中が
したり顔でレスしまくってるスレやな。
831１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 05:31:34.82ID:9OkyXBRa >>823
必要な数学知識がある人間で、ジューコフスキー変換やったことある人間やったら、
ド・モアブルの定理使ったってこと書いといたらすぐわかるようなことはいちいち書かん。
何もわかってないど素人のアドバイスも欲しいとは思ってない。
必要な数学知識がある人間で、ジューコフスキー変換やったことある人間やったら、
ド・モアブルの定理使ったってこと書いといたらすぐわかるようなことはいちいち書かん。
何もわかってないど素人のアドバイスも欲しいとは思ってない。
833１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 05:45:39.28ID:9OkyXBRa おそらく、ド・モアブルの定理が使える複素平面が違っただけやろ。
結局、>>745 のおかげで計算ミスの可能性が低いことが分かっただけで、
それ以外は高校数学さえ理解してんのかどうか怪しいようなど素人の戯言ばかりかよ。
結局、>>745 のおかげで計算ミスの可能性が低いことが分かっただけで、
それ以外は高校数学さえ理解してんのかどうか怪しいようなど素人の戯言ばかりかよ。
834１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 06:13:08.12ID:9OkyXBRa 5ちゃんねるってある意味今の日本社会を表してそうやな。
近年、英語で外国人と話すより
日本語で日本人と話す方がコミュニケーションが難しいと感じることがめちゃくちゃ増えたもんな。
全然話がかみ合わん。
大学で下宿し始めたころ、「あなただけに当たりました」とか言って
電話してきたやつとの会話を思い出すようなかみ合わなさや。
近年、英語で外国人と話すより
日本語で日本人と話す方がコミュニケーションが難しいと感じることがめちゃくちゃ増えたもんな。
全然話がかみ合わん。
大学で下宿し始めたころ、「あなただけに当たりました」とか言って
電話してきたやつとの会話を思い出すようなかみ合わなさや。
835１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 07:02:32.68ID:bw0a3zO8 いや、ID:9OkyXBRaて何がしたいの？
質問するひとの態度じゃないでしょ。
ちゃんと数学科出てるひとが答えてるよ。
質問の仕方が悪いか、答えが返ってきてるのに消化できてないだけじゃね？
質問するひとの態度じゃないでしょ。
ちゃんと数学科出てるひとが答えてるよ。
質問の仕方が悪いか、答えが返ってきてるのに消化できてないだけじゃね？
836１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 07:07:53.66ID:fwcCN5Bq >>829
>ジューコフスキー変換とメビウス変換て
>複素数の関係式から見ても全然別の写像で
>全く関係ないやろ。
なんか、予測外れたみたい
>>824って、ジューコフスキ―変換を
メビウス変換（一次分数変換）と２乗変換の合成
で表そうってこと
例えば、ジューコフスキ―変換は
f(z)=-i(z+1)/(z-1)
g(z)=z^2
h(z)=2(z-1)/(z+1)
として、h・g・f(z)として実現できるね
で、この逆写像は
h^(-1)(w)=(2+w)/(2-w)
g^(-1)(w)=√w
f^(-1)(w)=(w-i)/(w+i)
となるから、f^(-1)・g^(-1)・h^(-1)(w)として実現できる
メビウス変換の逆写像はもちろんメビウス写像だし
これは複素球面同士を１対１に写像するから
何も考える必要はない
問題は平方根写像 これは１対２写像になる
で、この場合、複素球面全体から上半平面に移すように調整すれば、
逆変換全体として複素球面全体から円の外側への写像になる
>ジューコフスキー変換とメビウス変換て
>複素数の関係式から見ても全然別の写像で
>全く関係ないやろ。
なんか、予測外れたみたい
>>824って、ジューコフスキ―変換を
メビウス変換（一次分数変換）と２乗変換の合成
で表そうってこと
例えば、ジューコフスキ―変換は
f(z)=-i(z+1)/(z-1)
g(z)=z^2
h(z)=2(z-1)/(z+1)
として、h・g・f(z)として実現できるね
で、この逆写像は
h^(-1)(w)=(2+w)/(2-w)
g^(-1)(w)=√w
f^(-1)(w)=(w-i)/(w+i)
となるから、f^(-1)・g^(-1)・h^(-1)(w)として実現できる
メビウス変換の逆写像はもちろんメビウス写像だし
これは複素球面同士を１対１に写像するから
何も考える必要はない
問題は平方根写像 これは１対２写像になる
で、この場合、複素球面全体から上半平面に移すように調整すれば、
逆変換全体として複素球面全体から円の外側への写像になる
837１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 07:10:43.89ID:fwcCN5Bq838１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 07:20:20.39ID:fwcCN5Bq >>831
>ド・モアブルの定理使ったってこと書いといたらすぐわかるようなこと
問題を自分で論理的に分析して正確に表す努力をしない人には数学は理解できないよ
君がやったであろう方法をやってみたら、何がまずいかすぐわかった
atan(y/x)で偏角を求めると、x+yiでも-x-yiでも同じ偏角になっちゃう
これはまず欠陥だね こんなこと実際に計算したら賢い高校生なら
いわれなくても気づくけどね
あなた、大学どこ？理学部じゃなく工学部だよね？
東大・京大はあり得ないな 早慶とか東工大・阪大・名大もないだろう
>ド・モアブルの定理使ったってこと書いといたらすぐわかるようなこと
問題を自分で論理的に分析して正確に表す努力をしない人には数学は理解できないよ
君がやったであろう方法をやってみたら、何がまずいかすぐわかった
atan(y/x)で偏角を求めると、x+yiでも-x-yiでも同じ偏角になっちゃう
これはまず欠陥だね こんなこと実際に計算したら賢い高校生なら
いわれなくても気づくけどね
あなた、大学どこ？理学部じゃなく工学部だよね？
東大・京大はあり得ないな 早慶とか東工大・阪大・名大もないだろう
839１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 07:28:12.87ID:fwcCN5Bq >>832
君こそ
http://fnorio.com/0116two_dimensional_wing_theory0/two_dimensional_wing_theory0.html
の写像の可視化（円の外が平面全体に写像）の画を見た上で
「（４）ｚ平面の円柱周りをζ平面の平板周りに写像（ジューコフスキー変換）
１．円を直線に写像する関数」
の以下の文読みなよ
「図から明らかなようにζ面上の１点に対応する点がｚ面上に二つ存在する。
ｚ面の点とζ面の点を１対１で対応させるには、
ζ面として長さ4ａの線分を共有した二枚の面を準備すればよい。
このように何枚も重ねて多価関数を表す面のことをRiemann面という。」
君こそ
http://fnorio.com/0116two_dimensional_wing_theory0/two_dimensional_wing_theory0.html
の写像の可視化（円の外が平面全体に写像）の画を見た上で
「（４）ｚ平面の円柱周りをζ平面の平板周りに写像（ジューコフスキー変換）
１．円を直線に写像する関数」
の以下の文読みなよ
「図から明らかなようにζ面上の１点に対応する点がｚ面上に二つ存在する。
ｚ面の点とζ面の点を１対１で対応させるには、
ζ面として長さ4ａの線分を共有した二枚の面を準備すればよい。
このように何枚も重ねて多価関数を表す面のことをRiemann面という。」
840１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 07:33:28.80ID:fwcCN5Bq >>833
＞おそらく、ド・モアブルの定理が使える複素平面が違っただけやろ。
この粗雑な言い方を見る限りなんかわかってないっぽいな
数学以前に国語の能力が低いみたいね
読むほうも書くほうも
ついでにいうと、ジューコフスキ―の場合、
メビウス変換と２乗変換の組み合わせでOKだけど
一般の有理写像の場合には、
メビウス変換とｎ乗写像の組み合わせでは無理だろう
＞おそらく、ド・モアブルの定理が使える複素平面が違っただけやろ。
この粗雑な言い方を見る限りなんかわかってないっぽいな
数学以前に国語の能力が低いみたいね
読むほうも書くほうも
ついでにいうと、ジューコフスキ―の場合、
メビウス変換と２乗変換の組み合わせでOKだけど
一般の有理写像の場合には、
メビウス変換とｎ乗写像の組み合わせでは無理だろう
841１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 07:40:07.56ID:fwcCN5Bq >>834
君、ほんと、どこの大学？
どっかのだれかみたいに大阪大学とかフカすのほんとやめてな
ここでは工学部卒ボロカスにいうてるけど、
実際の工学部で学部どころか修士まで出てる連中は数値解析とか詳しいから
解析に関して数学科の連中が知ってるようなことは大体知ってる
オレがDISるのは、君みたいなハンパな奴だけだよ
君、ほんと、どこの大学？
どっかのだれかみたいに大阪大学とかフカすのほんとやめてな
ここでは工学部卒ボロカスにいうてるけど、
実際の工学部で学部どころか修士まで出てる連中は数値解析とか詳しいから
解析に関して数学科の連中が知ってるようなことは大体知ってる
オレがDISるのは、君みたいなハンパな奴だけだよ
842１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 07:47:02.12ID:9OkyXBRa843１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 07:56:49.09ID:fwcCN5Bq >>835
彼はバカチョンの答えが必要なんでしょ
正確に何がどううまくいってないのか説明しきってないんで
こちらも完全な回答は返せないけど
少なくとも漫然とarctan(y/x)使ったら上手くいかんことは明らか
ド・モアブル以前の問題
で、そこを解決したとしても、肝心の１対２問題について解決せねばならない
難しい形のまま解決しようとするのは頭の悪い奴のすること
賢い人は、簡単な問題に置き換えられることを確かめた上で、
簡単な問題を簡単に解決する この場合やるべきことは
「平方根写像に還元して、平方根について上半平面への写像に限定する」
＞質問の仕方が悪いか、
そもそも質問の体をなしてないね
結局arctanを使ってるというから、そこで問題の１つに気づいた
ドモアブルをどう使うかも彼は全然説明してないが
ま半角をとってるだろうと思ったからそれじゃ「１対２問題」が
発生するなと見当をつけた次第
＞答えが返ってきてるのに消化できてないだけじゃね？
多分、リーマン面が全然分かってないね
工学部の複素解析じゃ、リーマン面とか教えないのか？
数学科ならそんなん教えなくても知ってるぞｗ
（だいたい数学科は優秀な奴ほど講義に出ない
自分で本読んだほうが早いから）
ま、頭の悪い奴って結局モノ知らないとかいう以前に
モノを知ろうとする意欲が絶望的に欠如してる
だから問題に対する分析が全然浅くて根本的な解決ができてない
こういう連中が会社に就職して開発した製品なんけおっかなくて使えないな
飛行機ならいきなり空中分解する危険性が大ｗ
彼はバカチョンの答えが必要なんでしょ
正確に何がどううまくいってないのか説明しきってないんで
こちらも完全な回答は返せないけど
少なくとも漫然とarctan(y/x)使ったら上手くいかんことは明らか
ド・モアブル以前の問題
で、そこを解決したとしても、肝心の１対２問題について解決せねばならない
難しい形のまま解決しようとするのは頭の悪い奴のすること
賢い人は、簡単な問題に置き換えられることを確かめた上で、
簡単な問題を簡単に解決する この場合やるべきことは
「平方根写像に還元して、平方根について上半平面への写像に限定する」
＞質問の仕方が悪いか、
そもそも質問の体をなしてないね
結局arctanを使ってるというから、そこで問題の１つに気づいた
ドモアブルをどう使うかも彼は全然説明してないが
ま半角をとってるだろうと思ったからそれじゃ「１対２問題」が
発生するなと見当をつけた次第
＞答えが返ってきてるのに消化できてないだけじゃね？
多分、リーマン面が全然分かってないね
工学部の複素解析じゃ、リーマン面とか教えないのか？
数学科ならそんなん教えなくても知ってるぞｗ
（だいたい数学科は優秀な奴ほど講義に出ない
自分で本読んだほうが早いから）
ま、頭の悪い奴って結局モノ知らないとかいう以前に
モノを知ろうとする意欲が絶望的に欠如してる
だから問題に対する分析が全然浅くて根本的な解決ができてない
こういう連中が会社に就職して開発した製品なんけおっかなくて使えないな
飛行機ならいきなり空中分解する危険性が大ｗ
844１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 08:07:00.26ID:fwcCN5Bq >>842
＞ジューコフスキー変換がζ=(z**2+1)/zって知ってたら、
＞(2z**2)iと等しくないことくらい、
＞複素数理解した中学生でもわかりそうなもん。
そりゃアホでもわかるｗ
で、バカ・アホ・タワケ・ダラズ・ホンジナシ・タクランケ・・・
はそこで止まる
肝心なのは、両者がメビウス変換で写りあうってこと
ジューコフスキ―変換z+1/z(=(z^2+1)/z）の場合、
zが-1もしくは1以外の点では、２対１になってる
（ペダンティックにいえば2重被覆）
ってところがポイント
で、z^2の場合もzが0と∞以外の点では、２対１になってる
ここまで気づけば
「なら-1と1を、それぞれ0と∞に移せばええやん」
と気づく
そこでメビウス変換の登場
あのなあ、セタみたいに複素関数と聞いただけで
「トーカクシャゾー！カイセキセツゾク！」
と脊髄反射するだけならただのアホやでｗ
メビウス変換くらいおぼえときや
理工系の一般常識やで ホンマにｗ
＞ジューコフスキー変換がζ=(z**2+1)/zって知ってたら、
＞(2z**2)iと等しくないことくらい、
＞複素数理解した中学生でもわかりそうなもん。
そりゃアホでもわかるｗ
で、バカ・アホ・タワケ・ダラズ・ホンジナシ・タクランケ・・・
はそこで止まる
肝心なのは、両者がメビウス変換で写りあうってこと
ジューコフスキ―変換z+1/z(=(z^2+1)/z）の場合、
zが-1もしくは1以外の点では、２対１になってる
（ペダンティックにいえば2重被覆）
ってところがポイント
で、z^2の場合もzが0と∞以外の点では、２対１になってる
ここまで気づけば
「なら-1と1を、それぞれ0と∞に移せばええやん」
と気づく
そこでメビウス変換の登場
あのなあ、セタみたいに複素関数と聞いただけで
「トーカクシャゾー！カイセキセツゾク！」
と脊髄反射するだけならただのアホやでｗ
メビウス変換くらいおぼえときや
理工系の一般常識やで ホンマにｗ
845１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 08:09:58.62ID:bw0a3zO8 どこの大学？とか煽るのは余計だと思う。
ド・モアブルとか言ってるあたり、高校生か高専生かもしれんし。
ジューコフスキー変換の問題って大学入試問題にもあるようだから
高校生でも不思議はない。
ド・モアブルとか言ってるあたり、高校生か高専生かもしれんし。
ジューコフスキー変換の問題って大学入試問題にもあるようだから
高校生でも不思議はない。
846１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 08:19:54.64ID:fwcCN5Bq >>845
＞どこの大学？とか煽るのは余計だと思う。
すまんw 大人げなかったｗ
「ちっ、反省してまぁす」（国母クン的）
＞ド・モアブルとか言ってるあたり、
＞高校生か高専生かもしれんし。
ああ、そういうこと？
ちなみに乃木坂４６の佐藤璃果は岩手県の某高専生だったらしい
https://twitter.com/sakamichi_911/status/1247120614680195073
ま、こんなコだったらいろいろ教えてあげちゃうけど
え？数学だけでいい？ホントに？つまんないなあｗ
＞ジューコフスキー変換の問題って
＞大学入試問題にもあるようだから
＞高校生でも不思議はない。
ま、不思議はないけどな
高校生の分際で
「オレは素人じゃねえ」
というわけ？
え？それが中二病？・・・めんどくせぇなｗ
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
＞どこの大学？とか煽るのは余計だと思う。
すまんw 大人げなかったｗ
「ちっ、反省してまぁす」（国母クン的）
＞ド・モアブルとか言ってるあたり、
＞高校生か高専生かもしれんし。
ああ、そういうこと？
ちなみに乃木坂４６の佐藤璃果は岩手県の某高専生だったらしい
https://twitter.com/sakamichi_911/status/1247120614680195073
ま、こんなコだったらいろいろ教えてあげちゃうけど
え？数学だけでいい？ホントに？つまんないなあｗ
＞ジューコフスキー変換の問題って
＞大学入試問題にもあるようだから
＞高校生でも不思議はない。
ま、不思議はないけどな
高校生の分際で
「オレは素人じゃねえ」
というわけ？
え？それが中二病？・・・めんどくせぇなｗ
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
847１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 08:29:43.46ID:9OkyXBRa848１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 08:30:48.50ID:9OkyXBRa 今後、まともなレスにだけ反応することにするわ。
849１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 08:31:09.48ID:fwcCN5Bq 今後、私にものを尋ねる場合は
１．オッサンでも女子高生を装ってください（をひ）
２．大卒、修士修了、博士号取得者でも
理学部数学科以外でしたら素人を装ってください（こら）
あのさ、相手を煽てたほうがいい知恵が引き出せるのは常識じゃん
そういうことはさ、中坊高坊でも覚えといて損ないから
いいんだよ みんなオレの屍を越えていけ（生きてるけどさｗ）
１．オッサンでも女子高生を装ってください（をひ）
２．大卒、修士修了、博士号取得者でも
理学部数学科以外でしたら素人を装ってください（こら）
あのさ、相手を煽てたほうがいい知恵が引き出せるのは常識じゃん
そういうことはさ、中坊高坊でも覚えといて損ないから
いいんだよ みんなオレの屍を越えていけ（生きてるけどさｗ）
850１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 08:38:20.98ID:fwcCN5Bq >>847
＞写像なんて関数式が複数になった程度のことって分かってれば
ま、普通「写像」というのは行き先が１つだから
１対２写像とかいうのは本来、写像ではありません
・・・と言い切ってしまうとそこで話が終わってしまうのだが
今回のジューコフスキ―の逆変換では、そこ（１対２）が最大のポイント
で、どっちを選ぶかで「円外の点への写像」ができるかどうかが決まる
ま、ここだけ理解しとけ あとは自分で解決しな
そのほうが喜びも大きいってもんだ
＞写像なんて関数式が複数になった程度のことって分かってれば
ま、普通「写像」というのは行き先が１つだから
１対２写像とかいうのは本来、写像ではありません
・・・と言い切ってしまうとそこで話が終わってしまうのだが
今回のジューコフスキ―の逆変換では、そこ（１対２）が最大のポイント
で、どっちを選ぶかで「円外の点への写像」ができるかどうかが決まる
ま、ここだけ理解しとけ あとは自分で解決しな
そのほうが喜びも大きいってもんだ
851１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 08:41:28.15ID:bw0a3zO8 ジューコフスキー変換の逆変換が求めたいってこと？
たかが2次方程式の根なんだから、そんなに難しいわけないでしょ。
分岐点があって、その周りでの挙動が少し問題になるだけでしょ。
リーマン面が分かってれば簡単な話だと思う。
おそらく質問者はリーマン面の像を頭の中に持っておらず
θで記述しようとしてるのかな？と思う。
だから、大学数学レベルの話じゃなくて高校レベルの話だろう。
たかが2次方程式の根なんだから、そんなに難しいわけないでしょ。
分岐点があって、その周りでの挙動が少し問題になるだけでしょ。
リーマン面が分かってれば簡単な話だと思う。
おそらく質問者はリーマン面の像を頭の中に持っておらず
θで記述しようとしてるのかな？と思う。
だから、大学数学レベルの話じゃなくて高校レベルの話だろう。
852１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 08:44:43.05ID:fwcCN5Bq >>848
おう、今後、君の小生意気な大阪弁の発言も
早川聖来か賀喜遥香が云ったと勝手に脳内変換して
読むことにするわ
https://www.youtube.com/watch?v=QEnqpkdORbI
ああ、おれってオトナだな（ただの変態）
おう、今後、君の小生意気な大阪弁の発言も
早川聖来か賀喜遥香が云ったと勝手に脳内変換して
読むことにするわ
https://www.youtube.com/watch?v=QEnqpkdORbI
ああ、おれってオトナだな（ただの変態）
853１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 08:46:00.37ID:9OkyXBRa854１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 08:51:47.87ID:9OkyXBRa855１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 08:53:30.09ID:fwcCN5Bq >>851
「逆変換」というだけなら数学的には「２次方程式解きゃええやん」で終わり
ただ、どうも複素平面から円外の点への逆写像を作りたいらしい
はじめからそういってくれればこっちも考えてやったんだが
（こんなことを日本語で言い表せない時点ですでに十分問題だと思うが・・・）
＞おそらく質問者はリーマン面の像を頭の中に持っておらず
＞θで記述しようとしてるのかな？と思う。
ま、θ使ってもいいんだけど、そこがポイントではないよな
＞だから、大学数学レベルの話じゃなくて高校レベルの話だろう。
まず、arctan(y/x)の危険性は高校生でも認識しといてほしいわ
リーマン面云々については事柄自体は高校生でも分かる筈だが
実際にそんなことまで分かってる高校生って
某筑駒とか某灘とか某開成とか某麻布とか
に居る奴くらいだろ マジで
日本の数学科の教授が大体そういう有名校出身なのは
やっぱり賢い奴がもう小学生時点で出来上がってるっていう証拠
いいとか悪いとかヌキにして（いいも悪いもないけどな）
「逆変換」というだけなら数学的には「２次方程式解きゃええやん」で終わり
ただ、どうも複素平面から円外の点への逆写像を作りたいらしい
はじめからそういってくれればこっちも考えてやったんだが
（こんなことを日本語で言い表せない時点ですでに十分問題だと思うが・・・）
＞おそらく質問者はリーマン面の像を頭の中に持っておらず
＞θで記述しようとしてるのかな？と思う。
ま、θ使ってもいいんだけど、そこがポイントではないよな
＞だから、大学数学レベルの話じゃなくて高校レベルの話だろう。
まず、arctan(y/x)の危険性は高校生でも認識しといてほしいわ
リーマン面云々については事柄自体は高校生でも分かる筈だが
実際にそんなことまで分かってる高校生って
某筑駒とか某灘とか某開成とか某麻布とか
に居る奴くらいだろ マジで
日本の数学科の教授が大体そういう有名校出身なのは
やっぱり賢い奴がもう小学生時点で出来上がってるっていう証拠
いいとか悪いとかヌキにして（いいも悪いもないけどな）
856１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 09:01:43.44ID:fwcCN5Bq >>853
＞＞普通「写像」というのは行き先が１つだから
＞＞１対２写像とかいうのは本来、写像ではありません
＞それを複数式で表現するのが写像やろ。
・・・このクソ生意気な発言も
早川聖来タンがしたと思って
読むことにして・・・（ｗ
要するに、君の中では写像＝式なんやな
で、その意味でいうと√ｚちうのは、
相手先が２つある時点で式ではないんやな
で、欲しいのは式なんやな
分かってるよ 工学部の連中は答えしかほしがらん
理学部数学科の連中が長々を論理を説明した後、
「リクツはいらん 答えだけ教えや！」
とヤクザみたいなこというのが工学部の奴ら
・・・でもそういう怠慢な態度では
モノづくりでけへんと思うわ（ボソッ）
＞＞普通「写像」というのは行き先が１つだから
＞＞１対２写像とかいうのは本来、写像ではありません
＞それを複数式で表現するのが写像やろ。
・・・このクソ生意気な発言も
早川聖来タンがしたと思って
読むことにして・・・（ｗ
要するに、君の中では写像＝式なんやな
で、その意味でいうと√ｚちうのは、
相手先が２つある時点で式ではないんやな
で、欲しいのは式なんやな
分かってるよ 工学部の連中は答えしかほしがらん
理学部数学科の連中が長々を論理を説明した後、
「リクツはいらん 答えだけ教えや！」
とヤクザみたいなこというのが工学部の奴ら
・・・でもそういう怠慢な態度では
モノづくりでけへんと思うわ（ボソッ）
857１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 09:21:57.16ID:fwcCN5Bq >>854
＞複素平面は理系高卒でも習ってないよ。
いったい、今高校で何教えてんだｗ
ゴメン、おじさん高校も大学も二昔前の昭和時代の出来事だから
さすがに計算尺の使い方とか習ってないけど
＞θで記述しようが別の式で記述しようが、
＞新しく設定された複素平面で成り立つ式を使う限り
＞同じ事って思ってんだけどな。
なんかここがいつもなにいってんだか全然わからんｗ
あのな、式ちうのは数式のこと？
それともプログラミング言語で書く式のこと？
両者は似てるように見えて実は重大な違いがあるよ
例えばな、任意の複素数ｚについてｚ^(1/2)といえば２つあるよ
でもEXCELでSQRT(２）って書いたら正のほうしか返さんやん
そこ、些細な違いとかいうのはニブイやろ
あんたのやりたいことを考えた場合
＞複素平面は理系高卒でも習ってないよ。
いったい、今高校で何教えてんだｗ
ゴメン、おじさん高校も大学も二昔前の昭和時代の出来事だから
さすがに計算尺の使い方とか習ってないけど
＞θで記述しようが別の式で記述しようが、
＞新しく設定された複素平面で成り立つ式を使う限り
＞同じ事って思ってんだけどな。
なんかここがいつもなにいってんだか全然わからんｗ
あのな、式ちうのは数式のこと？
それともプログラミング言語で書く式のこと？
両者は似てるように見えて実は重大な違いがあるよ
例えばな、任意の複素数ｚについてｚ^(1/2)といえば２つあるよ
でもEXCELでSQRT(２）って書いたら正のほうしか返さんやん
そこ、些細な違いとかいうのはニブイやろ
あんたのやりたいことを考えた場合
858１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 09:47:03.69ID:9OkyXBRa こいつ|z|と勘違いしてそうやな。
859１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 10:06:22.89ID:9OkyXBRa 突っ込まれる前に行っとくけど
|z|=constを満たすzが無数にあることはわかってるで。
|z|=constを満たすzが無数にあることはわかってるで。
860１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 10:13:57.70ID:3/IVd4E0 ブチギレ高卒くんは多価関数とか知らんのかな？
861１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 10:29:10.40ID:fwcCN5Bq862１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 10:33:39.64ID:fwcCN5Bq863１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 10:45:43.65ID:9OkyXBRa864１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 10:54:58.70ID:fwcCN5Bq >>863
あ、エサに食いついたｗ
＞平方根
＞正の数aの平方根は、正と負の2つあって、
＞正の数の方は√a、負の方は-√a
＞って書いてあったよ。
そこで質問
任意の複素数zについても平方根は二つあります
で一方を√z、もう一方を-√zとあらわすとして
z=x+yiとして、それぞれはx,yを使って
どう表すおつもりですか？(￣ー￣)ﾆﾔﾘ
あ、エサに食いついたｗ
＞平方根
＞正の数aの平方根は、正と負の2つあって、
＞正の数の方は√a、負の方は-√a
＞って書いてあったよ。
そこで質問
任意の複素数zについても平方根は二つあります
で一方を√z、もう一方を-√zとあらわすとして
z=x+yiとして、それぞれはx,yを使って
どう表すおつもりですか？(￣ー￣)ﾆﾔﾘ
865１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 11:00:32.34ID:3/IVd4E0866１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 11:08:51.57ID:fwcCN5Bq >>865
まあまあｗ
実はアタマを使えば、ｚが複素数の場合も
√ｚと−√ｚという「１価関数」を定義できて
ｚが正の実数の場合に、
√ｚが正の実数、−√ｚが負の実数
となるようにできます
さて、どう定義すればそうなるでしょう？
ゴメン、もうね、こっちはそこまで読み切った上で煽ってんのよ
自慢じゃないけど数学科卒だからさ
中学高校の教員免許も持ってるしｗ
え？極悪？教育的配慮っていってほしいな
人間ってさ、動機がないと頑張れないじゃんｗ
まあまあｗ
実はアタマを使えば、ｚが複素数の場合も
√ｚと−√ｚという「１価関数」を定義できて
ｚが正の実数の場合に、
√ｚが正の実数、−√ｚが負の実数
となるようにできます
さて、どう定義すればそうなるでしょう？
ゴメン、もうね、こっちはそこまで読み切った上で煽ってんのよ
自慢じゃないけど数学科卒だからさ
中学高校の教員免許も持ってるしｗ
え？極悪？教育的配慮っていってほしいな
人間ってさ、動機がないと頑張れないじゃんｗ
867１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 11:13:21.80ID:9OkyXBRa868１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 11:16:04.62ID:fwcCN5Bq √ｚと−√ｚの一価関数定義問題に関連して
角度
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%92%E5%BA%A6
自分の定義に見合う、角度の呼び名の定義があるかどうか
確認したけどちょうどぴったりのものはないな
じゃ、オレが定義したら名前が残るね(￣ー￣)ﾆﾔﾘ
角度
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%92%E5%BA%A6
自分の定義に見合う、角度の呼び名の定義があるかどうか
確認したけどちょうどぴったりのものはないな
じゃ、オレが定義したら名前が残るね(￣ー￣)ﾆﾔﾘ
869１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 11:17:49.80ID:9OkyXBRa 中学数学でつまづいて大学数学をチビっとかじると
こういう事言いだすようになるんやな。
こういう事言いだすようになるんやな。
870１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 11:18:31.70ID:pjypKnM7 複素数について質問ですが、
z^(1/n) := cos(2*π/n) + i * sin(2*π/n)と定義しないのはなぜですか？
なぜ、z^(1/n)と書くと、w^n = zを満たすn個ある複素数のどれかを表すとするのか分かりません。
z^(1/n) := cos(2*π/n) + i * sin(2*π/n)と定義しないのはなぜですか？
なぜ、z^(1/n)と書くと、w^n = zを満たすn個ある複素数のどれかを表すとするのか分かりません。
871１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 11:19:19.68ID:fwcCN5Bq872１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 11:20:47.01ID:pjypKnM7873１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 11:21:06.86ID:3/IVd4E0874１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 11:32:27.37ID:fwcCN5Bq875１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 11:34:23.07ID:fwcCN5Bq >>872
それ、ｚが正の実数の時しか対応してないんと違うか？
それ、ｚが正の実数の時しか対応してないんと違うか？
876１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 11:34:27.03ID:3/IVd4E0 あ、
>|z|=|¯z| と勘違いしてないか？
は
命題「|z|=|¯z|」の話と勘違いしてないか？
ってことね。
「|z|≠|¯z|」という主張かと思ってびっくりしたわｗ
>|z|=|¯z| と勘違いしてないか？
は
命題「|z|=|¯z|」の話と勘違いしてないか？
ってことね。
「|z|≠|¯z|」という主張かと思ってびっくりしたわｗ
877１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 11:45:09.56ID:bw0a3zO8 複素解析函数としては√zと-√zの自然な区別なんてないですからねｗ
解析接続でつながってますから。
では、どうすれば一価函数（としての葉）が得られるか？
ま、これも複素解析では常識的な手法がありますね。
>>868
偏角の「主値」とかは言いますね。
それとは別？
解析接続でつながってますから。
では、どうすれば一価函数（としての葉）が得られるか？
ま、これも複素解析では常識的な手法がありますね。
>>868
偏角の「主値」とかは言いますね。
それとは別？
878１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 11:52:13.46ID:bw0a3zO8 >>870
どうやっても人工的な定義にならざるを得ない。
これは実は「位相」が関係してるんですね。
つまり、正の実数に対しては「標準的な」ｎ乗根があるが
一般の複素数に対して、そのような「標準」が
自然にはない。
どうやっても人工的な定義にならざるを得ない。
これは実は「位相」が関係してるんですね。
つまり、正の実数に対しては「標準的な」ｎ乗根があるが
一般の複素数に対して、そのような「標準」が
自然にはない。
879１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 12:04:23.99ID:bw0a3zO8 質問者が何に苦しんでるのか、大体見当が付く。
ジューコフスキー変換 w=z+a^2/z において
逆変換 z=f(w)とおくと、zは2次方程式z^2-wz+a^2=0
の根で、fは2価函数だから
w平面上に点cを取って、|w-c|=r, θ=arg|w-c|,(0≦θ<4π)
のようにして、(r,θ)によって「一意化」したいのだろうが
分岐点はw=±2aの２つあるから、どのようにcやθを取ればいいのか分からないのだろう。
でも、実は簡単な話なんだな。
ただ、やみくもな計算では（大げさに言って絶対に）解けない。
多価解析函数f(w)の挙動が分かっていれば、計算が自然に付いてくる。
ま、そういうところが数学の醍醐味だと思う。
せいぜいこのスレの先輩方に指導してもらいな〜（笑
ジューコフスキー変換 w=z+a^2/z において
逆変換 z=f(w)とおくと、zは2次方程式z^2-wz+a^2=0
の根で、fは2価函数だから
w平面上に点cを取って、|w-c|=r, θ=arg|w-c|,(0≦θ<4π)
のようにして、(r,θ)によって「一意化」したいのだろうが
分岐点はw=±2aの２つあるから、どのようにcやθを取ればいいのか分からないのだろう。
でも、実は簡単な話なんだな。
ただ、やみくもな計算では（大げさに言って絶対に）解けない。
多価解析函数f(w)の挙動が分かっていれば、計算が自然に付いてくる。
ま、そういうところが数学の醍醐味だと思う。
せいぜいこのスレの先輩方に指導してもらいな〜（笑
880１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 12:07:07.41ID:fwcCN5Bq >>877-878
もちろん、人工的な定義になります
一価化は被覆として繋がってるのを
無理矢理ぶった切りますから
＞偏角の「主値」とかは言いますね。
ああ、それもありますね。私が考えたのば別の方法ですが
角度について
左回りの角度（正角・左角）θL
右周りの角度（負角・右角）θR
を考える
数学では左周りが正なので、θLは正数、θRは負数で表す
弧度法ならθL-θR＝2πとなる
一応０≦θL＜2π、-2π≦θR＜０とする
√ｚ＝√|z|(cos(θL/2)+sin(θL/2)*i)
−√ｚ＝√|z|(cos(θR/2)+sin(θR/2)*i)
√ｚは複素平面全体を、正の実数∪上半平面に写像する
−√ｚは複素平面全体を、負の実数∪下半平面に写像する
ちなみに「主値」で定義すると以下の通り
√ｚは複素平面全体を、係数が正の純虚数∪正半平面に写像する
ー√ｚは複素平面全体を、係数が負の純虚数∪負半平面に写像する
もちろん、人工的な定義になります
一価化は被覆として繋がってるのを
無理矢理ぶった切りますから
＞偏角の「主値」とかは言いますね。
ああ、それもありますね。私が考えたのば別の方法ですが
角度について
左回りの角度（正角・左角）θL
右周りの角度（負角・右角）θR
を考える
数学では左周りが正なので、θLは正数、θRは負数で表す
弧度法ならθL-θR＝2πとなる
一応０≦θL＜2π、-2π≦θR＜０とする
√ｚ＝√|z|(cos(θL/2)+sin(θL/2)*i)
−√ｚ＝√|z|(cos(θR/2)+sin(θR/2)*i)
√ｚは複素平面全体を、正の実数∪上半平面に写像する
−√ｚは複素平面全体を、負の実数∪下半平面に写像する
ちなみに「主値」で定義すると以下の通り
√ｚは複素平面全体を、係数が正の純虚数∪正半平面に写像する
ー√ｚは複素平面全体を、係数が負の純虚数∪負半平面に写像する
881１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 12:13:58.71ID:fwcCN5Bq882１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 12:19:13.30ID:DhK6+tQk >>863
大学の物理で扱う筈のジュコーフスキー逆変換が高校数学の問題になっている理由が分からないが、
ジュコーフスキー逆変換を高校数学で求めるだけなら、
実数x、yでzを z＝x+yi と表す。ド・モアブルの定理を用いてzを極刑式で表す。
zの実部x、zの虚部yの存在性は保証されているから、x、yを機械的に計算して求めれば済むんじゃないのか。
大学の物理で扱う筈のジュコーフスキー逆変換が高校数学の問題になっている理由が分からないが、
ジュコーフスキー逆変換を高校数学で求めるだけなら、
実数x、yでzを z＝x+yi と表す。ド・モアブルの定理を用いてzを極刑式で表す。
zの実部x、zの虚部yの存在性は保証されているから、x、yを機械的に計算して求めれば済むんじゃないのか。
883１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 12:25:53.55ID:fwcCN5Bq >>882
逆変換の式だけなら、別に極形式要らない
極形式にするのはド・モアブルと違うんじゃね？
ベキを計算するところがド・モアブルじゃね？
で、複素平面全体から円外への一価写像を構築するんなら
平方根の取り扱いで、気を付けるところはある
ま、数学的には全然大したことじゃないけど
逆変換の式だけなら、別に極形式要らない
極形式にするのはド・モアブルと違うんじゃね？
ベキを計算するところがド・モアブルじゃね？
で、複素平面全体から円外への一価写像を構築するんなら
平方根の取り扱いで、気を付けるところはある
ま、数学的には全然大したことじゃないけど
884１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 12:26:33.46ID:DhK6+tQk885１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 12:29:27.99ID:DhK6+tQk >>883
普通は回りくどい方法など考えず、zの二次方程式と考えて求める。
普通は回りくどい方法など考えず、zの二次方程式と考えて求める。
886１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 12:40:52.64ID:bw0a3zO8 >>881
P,Qを多項式として
w=P(z)/Q(z)とするとz=f(w)は
P(z)-Q(z)w=0 の根で、代数函数ですね。
n=Max{deg(P),deg(Q)}とおくと
n次方程式の根なので、素朴にはn価函数として
函数要素、解析接続、分岐点付近の挙動などを調べることになると思います。
分岐点以外では、n個の函数要素（べき級数）が求まりますね。
分岐点でも、ピュイーズー級数展開を持つ。
P,Qを多項式として
w=P(z)/Q(z)とするとz=f(w)は
P(z)-Q(z)w=0 の根で、代数函数ですね。
n=Max{deg(P),deg(Q)}とおくと
n次方程式の根なので、素朴にはn価函数として
函数要素、解析接続、分岐点付近の挙動などを調べることになると思います。
分岐点以外では、n個の函数要素（べき級数）が求まりますね。
分岐点でも、ピュイーズー級数展開を持つ。
887１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 12:51:08.43ID:fwcCN5Bq >>886
やっぱり分岐点を調べますよね
分岐点の現れ方はいろいろあるから
２乗の場合みたいに都合のいい標準形に
もってくのは無理っぽいけど
解析的にはなんとかなるんだろうな
ピュイズー級数・・・そんなんやったなｗ
やっぱり分岐点を調べますよね
分岐点の現れ方はいろいろあるから
２乗の場合みたいに都合のいい標準形に
もってくのは無理っぽいけど
解析的にはなんとかなるんだろうな
ピュイズー級数・・・そんなんやったなｗ
888１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 12:55:03.06ID:fwcCN5Bq ところで次スレのタイトルは
「応用数学 ４」
でオナシャス
純粋数学？無理だって 諦めろよｗ
「応用数学 ４」
でオナシャス
純粋数学？無理だって 諦めろよｗ
889現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/08/29(土) 13:14:15.80ID:T0GrcKp2890１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 13:20:20.88ID:DhK6+tQk >>863
今更だが、書き直す。
大学の物理で扱う筈のジュコーフスキー逆変換が高校数学の問題になっている理由が分からないが、
ジュコーフスキー逆変換を高校数学で求めるだけなら、
実数x、yでzを z＝x+yi と表す。ド・モアブルの定理を用いてwを極形式で表す。
zの実部x、zの虚部yの存在性は保証されているから、x、yを機械的に計算して求めれば済む。
今更だが、書き直す。
大学の物理で扱う筈のジュコーフスキー逆変換が高校数学の問題になっている理由が分からないが、
ジュコーフスキー逆変換を高校数学で求めるだけなら、
実数x、yでzを z＝x+yi と表す。ド・モアブルの定理を用いてwを極形式で表す。
zの実部x、zの虚部yの存在性は保証されているから、x、yを機械的に計算して求めれば済む。
891現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/08/29(土) 13:26:12.38ID:T0GrcKp2 >>724
(引用開始)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%9C%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)#CITEREFAuslanderBuchsbaum2004
斜体 (数学)
斜体であるという性質は加群の圏の性質から特徴づけることもできる。環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。
出典
5.^ Auslander & Buchsbaum 2004, p. 221, Theorem 6.8.8.
参考文献
・Auslander, Maurice; Buchsbaum, David (2014). Groups, Rings, Modules. Dover. ISBN 978-0-486-49082-3. MR0366959. Zbl 0325.13001
読んだ
なかなか面白かったな
以下要点抜粋（興味のある方は本文をどぞ）
>https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a0/Groups_Rings_Modules_Auslander_Hathitrust.pdf
Groups, Rings, Modules. Auslander, Maurice; Buchsbaum, David (1974).
(抜粋)
P57
Definition
Let R be a ring. By an R -module structure on an abelian group M we mean a map
RxM→M which we denote by (r, m)→rm satisfying:
(a) (r1 + r2)m = r1m + r2m.
(b) r(m1 + m2) = rm1 + rm2.
(c) (r1r2)(m) = r1(r2m).
(d) 1m = m.
An abelian group together with an R-module structure is called an It-module.
We shall return later on to this general notion of a module. In fact, most of
this book will be devoted to a detailed study of rings and modules.
つづく
(引用開始)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%9C%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)#CITEREFAuslanderBuchsbaum2004
斜体 (数学)
斜体であるという性質は加群の圏の性質から特徴づけることもできる。環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。
出典
5.^ Auslander & Buchsbaum 2004, p. 221, Theorem 6.8.8.
参考文献
・Auslander, Maurice; Buchsbaum, David (2014). Groups, Rings, Modules. Dover. ISBN 978-0-486-49082-3. MR0366959. Zbl 0325.13001
読んだ
なかなか面白かったな
以下要点抜粋（興味のある方は本文をどぞ）
>https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a0/Groups_Rings_Modules_Auslander_Hathitrust.pdf
Groups, Rings, Modules. Auslander, Maurice; Buchsbaum, David (1974).
(抜粋)
P57
Definition
Let R be a ring. By an R -module structure on an abelian group M we mean a map
RxM→M which we denote by (r, m)→rm satisfying:
(a) (r1 + r2)m = r1m + r2m.
(b) r(m1 + m2) = rm1 + rm2.
(c) (r1r2)(m) = r1(r2m).
(d) 1m = m.
An abelian group together with an R-module structure is called an It-module.
We shall return later on to this general notion of a module. In fact, most of
this book will be devoted to a detailed study of rings and modules.
つづく
892現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/08/29(土) 13:27:18.99ID:T0GrcKp2 >>891
つづき
P210
7. FREE R-MODULES
Undoubtedly, the modules that are most familiar to the reader are vector spaces
over a field. Probably the most distinctive feature of the theory of vector spaces is
that every vector space has a basis. After generalizing the notion of a basis from
vector spaces over fields to modules over arbitrary rings, we introduce the notion
of a free module over an arbitrary ring. Namely, an R -module is a free R -module
if and only if it has a basis.
Definition
Let M be an R-module. A subset S of M is said to be a linearly independent subset
of M if each finite subset of distinct elements s1, . . . , sn in S has the property that
given r1, . . . , rn in R such that Σi=1〜n risi =0, then each ri = 0 for i = 1, . . . , n.
Before giving examples of linearly independent subsets of modules, it is
convenient to have the following easily verified properties.
Basic Properties 7.1
Let M be an R-module.
(a) The empty set is a linearly independent subset of M.
(b) A subset S of M consisting of a single element m is a linearly independent
subset of M if and only if for any r in R we have rm = 0 implies r = 0. Hence,
the subset {m} is linearly independent if and only if the morphism of R-modules
R→M given by r→rm is a monomorphism.
(c) If S is a linearly independent subset of M, then every subset of S is also a
linearly independent subset of M.
(d) For a subset S of M, the following statements are equivalent:
(i)S is a linearly independent subset of M.
(ii) Each finite subset of S is a
linearly independent subset of M.
つづく
つづき
P210
7. FREE R-MODULES
Undoubtedly, the modules that are most familiar to the reader are vector spaces
over a field. Probably the most distinctive feature of the theory of vector spaces is
that every vector space has a basis. After generalizing the notion of a basis from
vector spaces over fields to modules over arbitrary rings, we introduce the notion
of a free module over an arbitrary ring. Namely, an R -module is a free R -module
if and only if it has a basis.
Definition
Let M be an R-module. A subset S of M is said to be a linearly independent subset
of M if each finite subset of distinct elements s1, . . . , sn in S has the property that
given r1, . . . , rn in R such that Σi=1〜n risi =0, then each ri = 0 for i = 1, . . . , n.
Before giving examples of linearly independent subsets of modules, it is
convenient to have the following easily verified properties.
Basic Properties 7.1
Let M be an R-module.
(a) The empty set is a linearly independent subset of M.
(b) A subset S of M consisting of a single element m is a linearly independent
subset of M if and only if for any r in R we have rm = 0 implies r = 0. Hence,
the subset {m} is linearly independent if and only if the morphism of R-modules
R→M given by r→rm is a monomorphism.
(c) If S is a linearly independent subset of M, then every subset of S is also a
linearly independent subset of M.
(d) For a subset S of M, the following statements are equivalent:
(i)S is a linearly independent subset of M.
(ii) Each finite subset of S is a
linearly independent subset of M.
つづく
893現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/08/29(土) 13:28:29.84ID:T0GrcKp2 >>892
つづき
(iii) If {rs}s∈S is an almost zero family of elements of R such that Σs∈S rss =0,
then rs =0 for each s in S.
(iv) If {rs}s∈S and {r's}s∈S are two almost zero families of elements of R such
that Σs∈S rss = Σs∈S r'ss, then rs=r's for all s in S.
We now give some examples to illustrate various types of linearly indepen
dent subsets of modules.
P216
8. CHARACTERIZATION OF DIVISION RINGS
We now turn our attention to describing those rings R with the property that every
R-module is a free R-module. The reader is already familiar with the fact that
fields have this property. We now show that division rings, which are the natural
generalization of the notation of a field to arbitrary, not necessarily commutative,
rings, also have the same property.
Definition
A ring R is called a division ring if it is not the zero ring and every nonzero element
in R is a unit in R.
Obviously, a commutative ring is a division ring if and only if it is a field. So
fields are special cases of division rings.
In order to show that every module over a division ring has a basis, it is
convenient to have the notion of a maximal linearly independent subset of a
module over an arbitrary ring R.
Definition
A subset 5 of an R- module M is said to be a maximal linearly independent subset
of M if S is linearly independent and S is not contained in any larger linearly
independent subset of M.
The main result about maximal linearly independent subsets of a module M is
that every linearly independent subset of M is contained in a maximal such subset
of M. The proof of this fact is the burden of the following.
つづく
つづき
(iii) If {rs}s∈S is an almost zero family of elements of R such that Σs∈S rss =0,
then rs =0 for each s in S.
(iv) If {rs}s∈S and {r's}s∈S are two almost zero families of elements of R such
that Σs∈S rss = Σs∈S r'ss, then rs=r's for all s in S.
We now give some examples to illustrate various types of linearly indepen
dent subsets of modules.
P216
8. CHARACTERIZATION OF DIVISION RINGS
We now turn our attention to describing those rings R with the property that every
R-module is a free R-module. The reader is already familiar with the fact that
fields have this property. We now show that division rings, which are the natural
generalization of the notation of a field to arbitrary, not necessarily commutative,
rings, also have the same property.
Definition
A ring R is called a division ring if it is not the zero ring and every nonzero element
in R is a unit in R.
Obviously, a commutative ring is a division ring if and only if it is a field. So
fields are special cases of division rings.
In order to show that every module over a division ring has a basis, it is
convenient to have the notion of a maximal linearly independent subset of a
module over an arbitrary ring R.
Definition
A subset 5 of an R- module M is said to be a maximal linearly independent subset
of M if S is linearly independent and S is not contained in any larger linearly
independent subset of M.
The main result about maximal linearly independent subsets of a module M is
that every linearly independent subset of M is contained in a maximal such subset
of M. The proof of this fact is the burden of the following.
つづく
894現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/08/29(土) 13:29:38.29ID:T0GrcKp2 >>893
つづき
Basic Properties 8.1
Let M be an R-module.
(b) Every linearly independent subset S of M is contained in a maximal linearly
independent subset of M.
(c) M has a maximal linearly independent subset.
(d) If M is a free R-module, then every basis for M is a maximal linearly indepen
dent subset of M.
PROOF: 略
P217
Proposition 8.2
Let D be a division ring. Then the following statements are equivalent for a subset
B of a D-module M:
(a) B is a basis for M.
(b) B is a maximal linearly independent subset of M. Since every module has a
maximal linearly independent subset, every module over a division ring D has
a basis and is therefore a free D-module.
PROOF: Because the reader has already shown that every basis of a module is
a maximal linearly independent subset of the module, we only have to show that
(b) implies (a).
略
P218
This finishes the proof that a maximal linearly independent subset B of a
D-module M is a basis for M because it generates M.
Having established that all modules over division rings are free, we will have
a complete description of all nonzero rings R with the property that all R -modules
are free if we show that any nonzero ring with this property must be a division
ring. Because we are trying to describe when a ring is a division ring in terms of its
module theory, it is reasonable to expect that a module-theoretic description of
when a ring is a division ring would be helpful. We do this now in terms of the
properties of the R-module R.
つづく
つづき
Basic Properties 8.1
Let M be an R-module.
(b) Every linearly independent subset S of M is contained in a maximal linearly
independent subset of M.
(c) M has a maximal linearly independent subset.
(d) If M is a free R-module, then every basis for M is a maximal linearly indepen
dent subset of M.
PROOF: 略
P217
Proposition 8.2
Let D be a division ring. Then the following statements are equivalent for a subset
B of a D-module M:
(a) B is a basis for M.
(b) B is a maximal linearly independent subset of M. Since every module has a
maximal linearly independent subset, every module over a division ring D has
a basis and is therefore a free D-module.
PROOF: Because the reader has already shown that every basis of a module is
a maximal linearly independent subset of the module, we only have to show that
(b) implies (a).
略
P218
This finishes the proof that a maximal linearly independent subset B of a
D-module M is a basis for M because it generates M.
Having established that all modules over division rings are free, we will have
a complete description of all nonzero rings R with the property that all R -modules
are free if we show that any nonzero ring with this property must be a division
ring. Because we are trying to describe when a ring is a division ring in terms of its
module theory, it is reasonable to expect that a module-theoretic description of
when a ring is a division ring would be helpful. We do this now in terms of the
properties of the R-module R.
つづく
895現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/08/29(土) 13:30:50.73ID:T0GrcKp2 >>894
つづき
Suppose R is a division ring. We claim that the R -module R has the following
properties: (a) R ± (0) and (b) (0) and R are the only submodules of R. By
definition, a division ring R is not zero so (a) is trivially satisfied. Suppose now
that M is a nonzero submodule of a division ring R. Then there is a nonzero x in
M. Because R is a division ring there is a y in R such that yx = 1. Because yx is in
M, it follows that 1 is in M and so r=r\ is in M for all r in R, which means that
M = R. So we see that a division ring R also satisfies (b), that is, it has the
property that (0) and R are the only submodules of R.
On the other hand, it is not difficult to see that a nonzero ring R which has the
property that (0) and R are its only submodules, is a division ring. To show this we
first show that if x is a nonzero element of R and yx = 0, then y = 0. The set M of
all y in R such that yx = 0 is a submodule of R, because it is the kernel of the
morphismof R -module R →R given by rl→ncfora!l rin R. Now M±R because 1
is not in R (remember R is not the zero ring). Therefore, M = (0) because (0) and R
are the only submodules of R. Hence, if yx = 0, then y = 0 because it is in M and
M = (0).
Next we observe that if x is a nonzero element of R, then there is a y in R
such that yx = 1. For the subset Rx is a submodule of R which is not the zero
submodule of R because it contains the nonzero element x. Hence, Rx = R be
cause (0) and R are the only submodules of R and Rx±0. This means that there is
a y in R such that yx = 1.
つづく
つづき
Suppose R is a division ring. We claim that the R -module R has the following
properties: (a) R ± (0) and (b) (0) and R are the only submodules of R. By
definition, a division ring R is not zero so (a) is trivially satisfied. Suppose now
that M is a nonzero submodule of a division ring R. Then there is a nonzero x in
M. Because R is a division ring there is a y in R such that yx = 1. Because yx is in
M, it follows that 1 is in M and so r=r\ is in M for all r in R, which means that
M = R. So we see that a division ring R also satisfies (b), that is, it has the
property that (0) and R are the only submodules of R.
On the other hand, it is not difficult to see that a nonzero ring R which has the
property that (0) and R are its only submodules, is a division ring. To show this we
first show that if x is a nonzero element of R and yx = 0, then y = 0. The set M of
all y in R such that yx = 0 is a submodule of R, because it is the kernel of the
morphismof R -module R →R given by rl→ncfora!l rin R. Now M±R because 1
is not in R (remember R is not the zero ring). Therefore, M = (0) because (0) and R
are the only submodules of R. Hence, if yx = 0, then y = 0 because it is in M and
M = (0).
Next we observe that if x is a nonzero element of R, then there is a y in R
such that yx = 1. For the subset Rx is a submodule of R which is not the zero
submodule of R because it contains the nonzero element x. Hence, Rx = R be
cause (0) and R are the only submodules of R and Rx±0. This means that there is
a y in R such that yx = 1.
つづく
896現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/08/29(土) 13:35:40.52ID:T0GrcKp2 >>895
つづき
We now show that these two observations imply that a nonzero ring R is a
division ring if (0) and R are the only submodules of R. To do this we must show
that if x is a nonzero element of R, then there is a y in R such that yx = 1 = xy. By
what we have just shown we know that if x is a nonzero element of R, then there
is a y in R such that yx = 1. Multiplying both sides of this equation by y on the
right, we obtain yxy = y or, equivalently, y(xy - 1) = 0. The fact that R is not the
zero ring means that 1≠0. Because yx = 1, it follows that y ≠0. But this, combined
with the fact that y(xy-l) = 0, implies that xy-l=0. For if xy-l≠0, then by
previous observation we would have y(xy- 1)≠0 because both y and xy- 1 are
different from zero. Hence, xy = 1 which gives our desired result that yx = 1 = xy.
Thus, we have shown that a nonzero ring R is a division ring if (0) and R are the
only submodules of R.
We summarize our discussion up to this point in the following.
P219
Proposition 8.3
A ring R is a division ring if and only if the R-module R is a nonzero module
satisfying the condition that (0) and R are the only submodules of R.
This result suggests that for an arbitrary ring R the nonzero R -modules M
with the property that (0) and M are the only submodules of M, might be worth
considering. In fact they play an important role in all of ring theory and for this
reason are given a special name.
Definition
Let R be an arbitrary ring. An R -module M is called a simple R-module if M=f=(0)
and (0) and M are the only submodules of M.
In this terminology our previous result becomes: A ring R is a division ring if
and only if the R-module R is a simple R-module. We leave it to the reader to
verify the following characterization of simple R-modules.
つづく
つづき
We now show that these two observations imply that a nonzero ring R is a
division ring if (0) and R are the only submodules of R. To do this we must show
that if x is a nonzero element of R, then there is a y in R such that yx = 1 = xy. By
what we have just shown we know that if x is a nonzero element of R, then there
is a y in R such that yx = 1. Multiplying both sides of this equation by y on the
right, we obtain yxy = y or, equivalently, y(xy - 1) = 0. The fact that R is not the
zero ring means that 1≠0. Because yx = 1, it follows that y ≠0. But this, combined
with the fact that y(xy-l) = 0, implies that xy-l=0. For if xy-l≠0, then by
previous observation we would have y(xy- 1)≠0 because both y and xy- 1 are
different from zero. Hence, xy = 1 which gives our desired result that yx = 1 = xy.
Thus, we have shown that a nonzero ring R is a division ring if (0) and R are the
only submodules of R.
We summarize our discussion up to this point in the following.
P219
Proposition 8.3
A ring R is a division ring if and only if the R-module R is a nonzero module
satisfying the condition that (0) and R are the only submodules of R.
This result suggests that for an arbitrary ring R the nonzero R -modules M
with the property that (0) and M are the only submodules of M, might be worth
considering. In fact they play an important role in all of ring theory and for this
reason are given a special name.
Definition
Let R be an arbitrary ring. An R -module M is called a simple R-module if M=f=(0)
and (0) and M are the only submodules of M.
In this terminology our previous result becomes: A ring R is a division ring if
and only if the R-module R is a simple R-module. We leave it to the reader to
verify the following characterization of simple R-modules.
つづく
897現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/08/29(土) 13:37:06.72ID:T0GrcKp2 >>896
つづき
Basic Properties 8.4
Let R be an arbitrary ring and M a nonzero R-module. The following conditions
are equivalent:
(a) M is generated by each nonzero element in M.
(b) For every R-module X, every morphism f:X→M is either zero or an
epimorphism.
(c) For every R-module X, every morphism f:M→X is either zero or a
monomorphism.
As an immediate consequence of these basic properties, we have the
following.
Corollary 8.5
Let M be a simple R-module. Then every endomorphism of M is either zero or an
automorphism. Hence, EndR( M ), the ring of endomorphisms of M, is a division
ring.
The main point to establish about simple modules in connection with our
problem of showing that a nonzero ring R is a division ring if every R-module is
free is that every nonzero ring R has at least one simple R-module.
Suppose we know that our nonzero ring R, which has the property that every
R-module is free, also has a simple R-module M. Then the simple R-module M
must have a basis B since M is a free R-module. Because M ≠ (0), we know that
B is not empty. We now show that B consists of exactly one element. Let b be an
element of B. Then by one of our characterizations of simple modules (Basic
Property 8.4), we know that the element b generates M since b ± 0. By Basic
Property 7.6, it follows that {b} = B. Hence, B consists of a single element.
But we have already shown that a free module over a ring R has a basis
consisting of one element if and only if it is isomorphic to R. Hence, the simple
R-module M is isomorphic to R which means that R is a simple R-module.
つづく
つづき
Basic Properties 8.4
Let R be an arbitrary ring and M a nonzero R-module. The following conditions
are equivalent:
(a) M is generated by each nonzero element in M.
(b) For every R-module X, every morphism f:X→M is either zero or an
epimorphism.
(c) For every R-module X, every morphism f:M→X is either zero or a
monomorphism.
As an immediate consequence of these basic properties, we have the
following.
Corollary 8.5
Let M be a simple R-module. Then every endomorphism of M is either zero or an
automorphism. Hence, EndR( M ), the ring of endomorphisms of M, is a division
ring.
The main point to establish about simple modules in connection with our
problem of showing that a nonzero ring R is a division ring if every R-module is
free is that every nonzero ring R has at least one simple R-module.
Suppose we know that our nonzero ring R, which has the property that every
R-module is free, also has a simple R-module M. Then the simple R-module M
must have a basis B since M is a free R-module. Because M ≠ (0), we know that
B is not empty. We now show that B consists of exactly one element. Let b be an
element of B. Then by one of our characterizations of simple modules (Basic
Property 8.4), we know that the element b generates M since b ± 0. By Basic
Property 7.6, it follows that {b} = B. Hence, B consists of a single element.
But we have already shown that a free module over a ring R has a basis
consisting of one element if and only if it is isomorphic to R. Hence, the simple
R-module M is isomorphic to R which means that R is a simple R-module.
つづく
898現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/08/29(土) 13:37:45.02ID:T0GrcKp2 >>897
つづき
Hence, R is a division ring because we have already seen that a ring R is a division
ring if and only if the R-module R is a simple R-module. Thus, our problem of
showing that a nonzero ring R is a division ring if every R-module is free is solved
once we establish that every nonzero ring has a simple module. To this end it is
convenient to have the following.
P220
Definition
Let M be a nonzero R-module. A submodule M' of M is said to be a maximal
submodule of M if and only if M'±M and M' and M are the only submodules of
M containing M'.
The following characterization of maximal submodules of a module is an
almost immediate consequence of the definition.
Basic Property 8.6
A submodule M' of the R-module M is a maximal submodule of M if and only if
M/M' is a simple R-module.
PROOF: This is a direct consequence of the isomorphism established by the
canonical surjective morphism kM,M-:M-≫MIM' between the set of submodules
of M containing M' and the set of submodules of MIM'.
Hence, in order to show that a nonzero ring R has simple modules, it suffices
to show that the R- module R has a maximal submodule M because in that case
R/M is a simple R-module.
Proposition 8.7
Let R be a nonzero ring. Then every submodule M' of R, different from R, is
contained in a maximal submodule of R. Consequently, the ring R has at least one
maximal submodule M which means that R also has the simple R-module R/M.
PROOF:
つづく
つづき
Hence, R is a division ring because we have already seen that a ring R is a division
ring if and only if the R-module R is a simple R-module. Thus, our problem of
showing that a nonzero ring R is a division ring if every R-module is free is solved
once we establish that every nonzero ring has a simple module. To this end it is
convenient to have the following.
P220
Definition
Let M be a nonzero R-module. A submodule M' of M is said to be a maximal
submodule of M if and only if M'±M and M' and M are the only submodules of
M containing M'.
The following characterization of maximal submodules of a module is an
almost immediate consequence of the definition.
Basic Property 8.6
A submodule M' of the R-module M is a maximal submodule of M if and only if
M/M' is a simple R-module.
PROOF: This is a direct consequence of the isomorphism established by the
canonical surjective morphism kM,M-:M-≫MIM' between the set of submodules
of M containing M' and the set of submodules of MIM'.
Hence, in order to show that a nonzero ring R has simple modules, it suffices
to show that the R- module R has a maximal submodule M because in that case
R/M is a simple R-module.
Proposition 8.7
Let R be a nonzero ring. Then every submodule M' of R, different from R, is
contained in a maximal submodule of R. Consequently, the ring R has at least one
maximal submodule M which means that R also has the simple R-module R/M.
PROOF:
つづく
899現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/08/29(土) 13:38:07.43ID:T0GrcKp2 >>898
つづき
P221
Because F is an inductive set, it must have a maximal element M by Zorn's
lemma. We leave it to the reader to verify that M is a maximal submodule of R.
Because M obviously contains M', the first part of the proposition is proven.
In the light of this result, to see that R contains at least one maximal submodule,
all we have to do is find some submodule M' of R different from R.
Because R is not the zero ring, the zero submodule of R will do.
The rest of the proposition now follows trivially from our previous characterization of maximal submodules.
In the light of this discussion, we have also established the following.
Theorem 8.8
For a nonzero ring R, the following statements are equivalent:
(a) R is a division ring.
(b) Every R-module is a free R-module.
(c) Every nonzero R-module generated by a single element is a free R-module.
(引用終り)
以上
つづき
P221
Because F is an inductive set, it must have a maximal element M by Zorn's
lemma. We leave it to the reader to verify that M is a maximal submodule of R.
Because M obviously contains M', the first part of the proposition is proven.
In the light of this result, to see that R contains at least one maximal submodule,
all we have to do is find some submodule M' of R different from R.
Because R is not the zero ring, the zero submodule of R will do.
The rest of the proposition now follows trivially from our previous characterization of maximal submodules.
In the light of this discussion, we have also established the following.
Theorem 8.8
For a nonzero ring R, the following statements are equivalent:
(a) R is a division ring.
(b) Every R-module is a free R-module.
(c) Every nonzero R-module generated by a single element is a free R-module.
(引用終り)
以上
900現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/08/29(土) 13:54:59.03ID:T0GrcKp2 >>890
(引用開始)
大学の物理で扱う筈のジュコーフスキー逆変換が高校数学の問題になっている理由が分からないが、
ジュコーフスキー逆変換を高校数学で求めるだけなら、
実数x、yでzを z＝x+yi と表す。ド・モアブルの定理を用いてwを極形式で表す。
zの実部x、zの虚部yの存在性は保証されているから、x、yを機械的に計算して求めれば済む。
(引用終り)
全くの同意見です
但し、ド・モアブルの定理→オイラーの公式(>>818ご参照)に替えて
e ^iθ=cosθ+ i sinθ
として、オイラーの公式で、
偏角は指数法則を使えば良い
（下記の東北工業大学”複素数の極形式”ご参照）
関数 cosとsinとは、組み込み関数があるだろうから、それ使えば良い
半角公式とか、不要と思う
多価関数になるとかは、難しく考えないで
現実的に処理出来るでしょ
（参考）
https://mathtrain.jp/kyokukei
高校数学の美しい物語
複素数平面における回転と極形式 2015/11/05
https://www.ice.tohtech.ac.jp/nakagawa/euler/polarform_1.htm
東北工業大学 情報通信工学科 中川研究室
(抜粋)
複素数の極形式
a + i b を A e^ iθ の形に表しなさい
( i は虚数単位, i^2 = -1 )
オイラーの公式
e ^iθ=cosθ+ i sinθ
A e iθ のような形を極形式といいます。
Aは大きさ(amplitude)、θは偏角(phase)です。
この形に直すには、まず
左辺に元の式、右辺に最終目的の形を書いて、等しくなるように
a + i b = A e ^iθ とおき、
右辺にオイラーの公式を使って
a + i b = A ( cosθ + i sinθ )
Aを分配すると
a + i b = A cosθ + i A sinθ
(引用開始)
大学の物理で扱う筈のジュコーフスキー逆変換が高校数学の問題になっている理由が分からないが、
ジュコーフスキー逆変換を高校数学で求めるだけなら、
実数x、yでzを z＝x+yi と表す。ド・モアブルの定理を用いてwを極形式で表す。
zの実部x、zの虚部yの存在性は保証されているから、x、yを機械的に計算して求めれば済む。
(引用終り)
全くの同意見です
但し、ド・モアブルの定理→オイラーの公式(>>818ご参照)に替えて
e ^iθ=cosθ+ i sinθ
として、オイラーの公式で、
偏角は指数法則を使えば良い
（下記の東北工業大学”複素数の極形式”ご参照）
関数 cosとsinとは、組み込み関数があるだろうから、それ使えば良い
半角公式とか、不要と思う
多価関数になるとかは、難しく考えないで
現実的に処理出来るでしょ
（参考）
https://mathtrain.jp/kyokukei
高校数学の美しい物語
複素数平面における回転と極形式 2015/11/05
https://www.ice.tohtech.ac.jp/nakagawa/euler/polarform_1.htm
東北工業大学 情報通信工学科 中川研究室
(抜粋)
複素数の極形式
a + i b を A e^ iθ の形に表しなさい
( i は虚数単位, i^2 = -1 )
オイラーの公式
e ^iθ=cosθ+ i sinθ
A e iθ のような形を極形式といいます。
Aは大きさ(amplitude)、θは偏角(phase)です。
この形に直すには、まず
左辺に元の式、右辺に最終目的の形を書いて、等しくなるように
a + i b = A e ^iθ とおき、
右辺にオイラーの公式を使って
a + i b = A ( cosθ + i sinθ )
Aを分配すると
a + i b = A cosθ + i A sinθ
901１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 14:29:10.27ID:bw0a3zO8 失礼。>>879とは書きましたが、別に難しい話じゃないですね。
aは実数なので、分岐点は円周|w|=2a上に2個とも乗っており、円の内側と外側でそれぞれ一価函数（としての葉）が得られる。
円の内側と外側の関係ですが、上弦側で一致する葉を取るか、下限側で一致する一致する葉を取るかの違いが生じる。
上弦側で一致させた場合、下限側でギャップが生じるし
下限側で一致させた場合、上弦側でギャップが生じる。
それだけの話。
aは実数なので、分岐点は円周|w|=2a上に2個とも乗っており、円の内側と外側でそれぞれ一価函数（としての葉）が得られる。
円の内側と外側の関係ですが、上弦側で一致する葉を取るか、下限側で一致する一致する葉を取るかの違いが生じる。
上弦側で一致させた場合、下限側でギャップが生じるし
下限側で一致させた場合、上弦側でギャップが生じる。
それだけの話。
902１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 14:30:21.56ID:bw0a3zO8 訂正。
上弦側で一致させた場合、下弦側でギャップが生じるし
下弦側で一致させた場合、上弦側でギャップが生じる。
上弦側で一致させた場合、下弦側でギャップが生じるし
下弦側で一致させた場合、上弦側でギャップが生じる。
903１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 14:32:27.18ID:bw0a3zO8 でも、「高校数学ですべてうまく行く」というほど簡単ではないでしょ。
現に多価性は生きていて、ギャップは不可避なのだから。
現に多価性は生きていて、ギャップは不可避なのだから。
904１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 14:59:31.52ID:D9bo94xx 。＊゜。 ○゜。✳ ゜
゜ ゜
868 ゜
゜
○゜
。 ゜君の名は
✳
゜。
゜ ゜
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。 ゜君の名は
✳
゜。
905１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 14:59:34.36ID:bw0a3zO8 どこにギャップが生じるかは、分岐点を含むどの線分を取り除いて
どの単連結領域で一価函数になるようにするかによるが、どうやってもギャップは生じる。
「ギャップが生じる」というのは、具体的な計算をしなくても分かる。
計算だけに頼っている計算バカは、なぜそうなるか分からないと思う。
どの単連結領域で一価函数になるようにするかによるが、どうやってもギャップは生じる。
「ギャップが生じる」というのは、具体的な計算をしなくても分かる。
計算だけに頼っている計算バカは、なぜそうなるか分からないと思う。
906現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/08/29(土) 15:28:09.97ID:T0GrcKp2 >>900
補足
下記の九大 辻井 正人 「P14 ５．Joukovski の翼」の通り
https://www.math.kyushu-u.ac.jp/teachers/index
Faculty of Mathematics | Kyushu University 九州大学HP
https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~tsujii/Math2B2009.html
数学２B（２００９年度前期，水曜日，辻井 担当）
https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~tsujii/pdf_files/math2b09/math2btext.pdf
辻井 正人 九州大
講義プリント（pdfファイル）
1. 調和関数と等角写像
(抜粋)
４．等角写像
座標変換で重要なのは逆写像が存在する１対１写像による座標変換である。
定義 複素平面の領域 U を W に１対１に移す正則関数 w = F(z) を等角写像と呼ぶ。
この名前の由来は次の定理による。
定理３ 領域 U を W に移す等角写像 F は次の意味で任意の曲線の交角を保つ写像に
なっている。つまり、領域 U 内の１点 p で交わる任意の曲線 C1, C2 に対して、その
像曲線を Di = F(C1), D2 = F(C2) とするとき、点 p における曲線 C1, C2 の交角と、点
q = F(p) における曲線 D1, D2 の交角は常に等しい。
定理３の証明
略
P14
５．Joukovski の翼
２次変換 w = z +1/z
(z≠ 0) を考える。この逆変換は、z^2 ? wz + 1 = 0 を解いて、
z =w/2±√(w^2/4? 1)
で得られる。逆変換は w = ±2 以外では対応する z 平面の点が２個ずつある。w = ±2
に対応する z 平面の点はそれぞれ z = ±1 である。
z 平面の円 |z| = r の像を調べる。z = e^iθ (0 <= θ <= 2π) とすると、
w = z +1/z= re^iθ +1/re^?iθ = (r +1/r) cos θ + i(r ?1/r) sin θ
∴ u = (r +1/r) cos θ, v = (r ?1/r) sin θ
略
つづく
補足
下記の九大 辻井 正人 「P14 ５．Joukovski の翼」の通り
https://www.math.kyushu-u.ac.jp/teachers/index
Faculty of Mathematics | Kyushu University 九州大学HP
https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~tsujii/Math2B2009.html
数学２B（２００９年度前期，水曜日，辻井 担当）
https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~tsujii/pdf_files/math2b09/math2btext.pdf
辻井 正人 九州大
講義プリント（pdfファイル）
1. 調和関数と等角写像
(抜粋)
４．等角写像
座標変換で重要なのは逆写像が存在する１対１写像による座標変換である。
定義 複素平面の領域 U を W に１対１に移す正則関数 w = F(z) を等角写像と呼ぶ。
この名前の由来は次の定理による。
定理３ 領域 U を W に移す等角写像 F は次の意味で任意の曲線の交角を保つ写像に
なっている。つまり、領域 U 内の１点 p で交わる任意の曲線 C1, C2 に対して、その
像曲線を Di = F(C1), D2 = F(C2) とするとき、点 p における曲線 C1, C2 の交角と、点
q = F(p) における曲線 D1, D2 の交角は常に等しい。
定理３の証明
略
P14
５．Joukovski の翼
２次変換 w = z +1/z
(z≠ 0) を考える。この逆変換は、z^2 ? wz + 1 = 0 を解いて、
z =w/2±√(w^2/4? 1)
で得られる。逆変換は w = ±2 以外では対応する z 平面の点が２個ずつある。w = ±2
に対応する z 平面の点はそれぞれ z = ±1 である。
z 平面の円 |z| = r の像を調べる。z = e^iθ (0 <= θ <= 2π) とすると、
w = z +1/z= re^iθ +1/re^?iθ = (r +1/r) cos θ + i(r ?1/r) sin θ
∴ u = (r +1/r) cos θ, v = (r ?1/r) sin θ
略
つづく
907現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/08/29(土) 15:29:08.26ID:T0GrcKp2 >>906
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%89%E8%A7%92%E5%86%99%E5%83%8F
等角写像
等角写像（とうかくしゃぞう、英: conformal transformation）とは、2次元以上のユークリッド空間からユークリッド空間への写像であって、任意の点の近傍の微小な2つの線分が、その成す角を保存するように写像されるものをいう。いいかえれば、座標変換の関数行列が回転行列のスカラー倍となるものである。すなわち、平面上の一つの図形を他の図形に変換（写像）したとき、図形上の二曲線の交角はその写像によっても等しく保たれるような写像を等角写像と呼ぶ。
一見すると、原形から大きく図形が変わったように見えても、対応する微小部分に注目すると、原形の図形と相似になっているのが、等角写像である。等角写像は、複素関数論と深い関係があり、工学上、流体の挙動の記述などにおいて非常に有用である[1]。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BF%BC%E5%9E%8B
翼型
ジューコフスキー翼
もっとも基本的な写像によって得られるのがジューコフスキー翼である。ジューコフスキー翼は実際の翼型に近い翼型が得られるが、後縁でなす角度（後縁角）が0度となって後縁が非常に薄くなるため、強度の維持に問題がある。
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ed/Joukowsky_airfoil.png/250px-Joukowsky_airfoil.png
一般ジューコフスキー翼
(引用終り)
以上
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%89%E8%A7%92%E5%86%99%E5%83%8F
等角写像
等角写像（とうかくしゃぞう、英: conformal transformation）とは、2次元以上のユークリッド空間からユークリッド空間への写像であって、任意の点の近傍の微小な2つの線分が、その成す角を保存するように写像されるものをいう。いいかえれば、座標変換の関数行列が回転行列のスカラー倍となるものである。すなわち、平面上の一つの図形を他の図形に変換（写像）したとき、図形上の二曲線の交角はその写像によっても等しく保たれるような写像を等角写像と呼ぶ。
一見すると、原形から大きく図形が変わったように見えても、対応する微小部分に注目すると、原形の図形と相似になっているのが、等角写像である。等角写像は、複素関数論と深い関係があり、工学上、流体の挙動の記述などにおいて非常に有用である[1]。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BF%BC%E5%9E%8B
翼型
ジューコフスキー翼
もっとも基本的な写像によって得られるのがジューコフスキー翼である。ジューコフスキー翼は実際の翼型に近い翼型が得られるが、後縁でなす角度（後縁角）が0度となって後縁が非常に薄くなるため、強度の維持に問題がある。
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ed/Joukowsky_airfoil.png/250px-Joukowsky_airfoil.png
一般ジューコフスキー翼
(引用終り)
以上
908１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 15:34:21.61ID:3hiDbEtz >>900
そもそも、ジュコーフスキー変換は揚力とかの流体の物理で出て来る話で、高校数学ではない。
ジュコーフスキー変換の式の導出も大事で、数学だけやっても意味ない。
流体の物理を扱うときは大学の物理数学も学んでいる訳で、物理や物理数学で扱うのが相応しい。
そもそも、ジュコーフスキー変換は揚力とかの流体の物理で出て来る話で、高校数学ではない。
ジュコーフスキー変換の式の導出も大事で、数学だけやっても意味ない。
流体の物理を扱うときは大学の物理数学も学んでいる訳で、物理や物理数学で扱うのが相応しい。
909１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 15:44:31.42ID:bw0a3zO8 キメツ読んでたせいで、上弦、下弦なんて書いたけど、ほんとはどう言うんだっけ？ｗ
要するに、円の上側、下側っていう意味です。
要するに、円の上側、下側っていう意味です。
910１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 15:52:29.61ID:bw0a3zO8 検索バカの御仁は「等角写像だから大丈夫」と思ってるようだが
等角写像なのは全平面ではないでしょ。分岐点があるんだから。
局所的な単連結領域内でだよ。2つの単連結領域があったとき
その関係性は自明ではないよ。
等角写像なのは全平面ではないでしょ。分岐点があるんだから。
局所的な単連結領域内でだよ。2つの単連結領域があったとき
その関係性は自明ではないよ。
911１３２人目の素数さん
2020/08/29(土) 15:54:49.64ID:3hiDbEtz >要するに、円の上側、下側っていう意味です。
物理現象を正確に記述出来ているという点ではその表記のままでいい。
物理現象を正確に記述出来ているという点ではその表記のままでいい。
レス数が900を超えています。1000を超えると表示できなくなるよ。
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