a ∈ r のとき，1 + a は A の単元である． 実際，背理法で，1 +a が単元でないとすると，I = (1 +a) は I 6= A をみたす A のイデアルなので，I ⊆ m となる A の極大イデアル m が存在する． ↓ I 6= Aは、 I ≠ A 0619現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/23(日) 09:52:41.43ID:ehdjUjVy>>617
行列環が、Division ringになる条件 うん、これか "Relation to fields and linear algebra In fact the converse is also true and this gives a characterization of division rings via their module category: A unital ring R is a division ring if and only if every R-module is free.[7]" （ unitary ring、単位的環、単位環 ） むずいｗ（＾＾；
Relation to fields and linear algebra All fields are division rings; more interesting examples are the non-commutative division rings. The best known example is the ring of quaternions H. If we allow only rational instead of real coefficients in the constructions of the quaternions, we obtain another division ring. In general, if R is a ring and S is a simple module over R, then, by Schur's lemma, the endomorphism ring of S is a division ring;[6] every division ring arises in this fashion from some simple module.
Much of linear algebra may be formulated, and remains correct, for modules over a division ring D instead of vector spaces over a field. Doing so it must be specified whether one is considering right or left modules, and some care is needed in properly distinguishing left and right in formulas. Working in coordinates, elements of a finite dimensional right module can be represented by column vectors, which can be multiplied on the right by scalars, and on the left by matrices (representing linear maps); for elements of a finite dimensional left module, row vectors must be used, which can be multiplied on the left by scalars, and on the right by matrices. The dual of a right module is a left module, and vice versa. The transpose of a matrix must be viewed as a matrix over the opposite division ring Dop in order for the rule (AB)^T = B^TA^T to remain valid.
Every module over a division ring is free; i.e., has a basis, and all bases of a module have the same number of elements. Linear maps between finite-dimensional modules over a division ring can be described by matrices; the fact that linear maps by definition commute with scalar multiplication is most conveniently represented in notation by writing them on the opposite side of vectors as scalars are. The Gaussian elimination algorithm remains applicable. The column rank of a matrix is the dimension of the right module generated by the columns, and the row rank is dimension of the left module generated by the rows; the same proof as for the vector space case can be used to show that these ranks are the same, and define the rank of a matrix.
In fact the converse is also true and this gives a characterization of division rings via their module category: A unital ring R is a division ring if and only if every R-module is free.[7]
The center of a division ring is commutative and therefore a field.[8] Every division ring is therefore a division algebra over its center. Division rings can be roughly classified according to whether or not they are finite-dimensional or infinite-dimensional over their centers. The former are called centrally finite and the latter centrally infinite. Every field is, of course, one-dimensional over its center. The ring of Hamiltonian quaternions forms a 4-dimensional algebra over its center, which is isomorphic to the real numbers.
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%9C%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6) 斜体 (数学) division ring 斜体（しゃたい、英: skew field; 歪体, 独: Schiefkorper, 仏: corps, corps gauche）は加減乗除が可能な代数系である[1][注 1]。除法の可能な環であるという意味で可除環（かじょかん、division ring, Divisionsring）ともいう[3]。係数環を持ち、多元環の構造を持つことを強調する場合は、特に多元体[4]（たげんたい、division algebra, algebre a division; 可除多元環）と呼称することも多い[注 2]。非可換な積を持つ体を非可換体（ひかかんたい、non-commutative field, corps non commutatif）という[2]。
性質・諸概念 斜体であるという性質は加群の圏の性質から特徴づけることもできる。環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。
https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_ring Matrix ring ・The algebra M2(R) of 2 × 2 real matrices, which is isomorphic to the split-quaternions, is a simple example of a non-commutative associative algebra. Like the quaternions, it has dimension 4 over R, but unlike the quaternions, it has zero divisors, as can be seen from the following product of the matrix units: E11E21 = 0, hence it is not a division ring. Its invertible elements are nonsingular matrices and they form a group, the general linear group GL(2, R).
Structure ・In general, every semisimple ring is isomorphic to a finite direct product of full matrix rings over division rings, which may have differing division rings and differing sizes. This classification is given by the Artin?Wedderburn theorem.
More generally, the Cayley?Dickson construction takes any algebra with involution to another algebra with involution of twice the dimension.[1]:45 The Hurwitz's theorem (composition algebras) states that the reals, complex numbers, quaternions, and octonions are the only (normed) division algebras (over the real numbers).
（参考：2N×2N matrices だって（＾＾ ） https://arxiv.org/pdf/hep-th/9906065.pdf Matrix Representation of Octonions and Generalizations 1999 Jamil Daboul 1 and Robert Delbourgo Abstract We define a special matrix multiplication among a special subset of 2N×2N matrices, and study the resulting (non-associative) algebras and their subalgebras. We derive the conditions under which these algebras become alternative non-associative and when they become associative. In particular, these algebras yield special matrix representations of octonions and complex numbers; they naturally lead to the Cayley-Dickson doubling process. Our matrix representation of octonions also yields elegant insights into Dirac’s equation for a free particle. A few other results and remarks arise as byproducts.
In mathematics, the notion of a divisor originally arose within the context of arithmetic of whole numbers. With the development of abstract rings, of which the integers are the archetype, the original notion of divisor found a natural extension.
Divisibility is a useful concept for the analysis of the structure of commutative rings because of its relationship with the ideal structure of such rings.
Definition Let R be a ring,[1] and let a and b be elements of R. If there exists an element x in R with ax = b, one says that a is a left divisor of b in R and that b is a right multiple of a.[2] Similarly, if there exists an element y in R with ya = b, one says that a is a right divisor of b and that b is a left multiple of a. One says that a is a two-sided divisor of b if it is both a left divisor and a right divisor of b; in this case, it is not necessarily true that (using the previous notation) x=y, only that both some x and some y which each individually satisfy the previous equations in R exist in R.
When R is commutative, a left divisor, a right divisor and a two-sided divisor coincide, so in this context one says that a is a divisor of b, or that b is a multiple of a, and one writes a ｜ b. Elements a and b of an integral domain are associates if both a ｜ b and b ｜ a. The associate relationship is an equivalence relation on R, and hence divides R into disjoint equivalence classes.
Notes: These definitions make sense in any magma R, but they are used primarily when this magma is the multiplicative monoid of a ring.
Zero as a divisor, and zero divisors ・Some authors require a to be nonzero in the definition of divisor, but this causes some of the properties above to fail. ・If one interprets the definition of divisor literally, every a is a divisor of 0, since one can take x = 0. Because of this, it is traditional to abuse terminology by making an exception for zero divisors: one calls an element a in a commutative ring a zero divisor if there exists a nonzero x such that ax = 0.[3] (引用終り) 以上 0637１３２人目の素数さん2020/08/23(日) 17:02:18.03ID:7NMituVg>>635-636 貴様、なにがしたいの？ 0638１３２人目の素数さん2020/08/23(日) 18:45:03.69ID:L5nWlJ6C>>637 ボクちゃん分かってますアピール 0639現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/23(日) 19:44:35.58ID:ehdjUjVy>>615 (引用開始) https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~kawaguch/pdf/11RingModule.pdf 代数学 2 の配布資料など （2012 年 1 月 31 日） 川口 周 大阪大学理学研究科数学専攻 (抜粋) （可換環） P26 中山の補題 A を環とする． r =∩(1〜m) m （m は A の極大イデアルすべてを動く） とおく．イデアル r を A のジャコブソン根基（Jacobson radical）という． a ∈ r のとき，1 + a は A の単元である． 実際，背理法で，1 +a が単元でないとすると，I = (1 +a) は I ≠ A をみたす A のイデアルなので，I ⊆ m となる A の極大イデアル m が存在する．このとき，1 + a ∈ m, a ∈ m よ り，1 ∈ m となるが，これは矛盾である． (引用終り)
何故ならMn(K)の線形空間としての基底が全て生成できるからである （>>415参照） 0642現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/24(月) 07:16:54.23ID:+oiN9Lqm>>626 補足 >https://en.wikipedia.org/wiki/Division_ring >Division ring >"Relation to fields and linear algebra >In fact the converse is also true and this gives a characterization of division rings via their module category: A unital ring R is a division ring if and only if every R-module is free.[7]" >（ unital/unitary ring、単位的環、単位環 ） >斜体であるという性質は加群の圏の性質から特徴づけることもできる。環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。
Abstract. If R is an associative ring, one of several known equivalent types of data determining the structure of an arbitrary division ring D generated by a homomorphic image of R is a rule putting on all free R-modules of finite rank matroid structures (closure operators satisfying the exchange axiom) subject to certain functoriality conditions. This note gives a new description of how D may be constructed from this data. (A classical precursor of this is the construction of Q as a field with additive group a direct limit of copies of Z.) The division rings of fractions of right and left Ore rings, the universal division ring of a free ideal ring, and the concept of a specialization of division rings are then interpreted in terms of this construction. (引用終り) 以上 0643現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/24(月) 07:17:12.00ID:+oiN9Lqm>>639 補足 あと、素イデアルと極大イデアル補足
理想的な分解を与える因子を理想（複素）数 (ideale complexe Zahl ) あるいは理想因子 (ideal Primfactor) と名付けて、理想数の理論を築いた。
クンマーの理想数の理論は非常に形式的で、とても難解なものであった。後になってデデキントは理想数の理論を整理することによってイデアルを考案した。 0648現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/24(月) 18:38:28.53ID:rNo847jr>>642 追加 >斜体であるという性質は加群の圏の性質から特徴づけることもできる。環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。
自由加群とは：「基底を持つ（自由加群と呼ばれる）加群」（下記環上の加群より） また、自由加群wikipedia：加群の圏における自由対象（英語版）である。集合 E が与えられたとき、E 上の自由加群とは E を基底 にもつ自由加群である ですか。なるほど。取りあえず、”圏”は無視で良さそうかな？（＾＾；
表現が忠実 (faithful) であるとは、写像 R → EndZ(M) が単射となることをいう。加群の言葉で言えば、これは R の元 r が M のすべての元 x に対して rx = 0 を満たすならば r = 0 と成ることを言っている。任意のアーベル群は有理整数環または適当な剰余類環 Z/nZ 上の忠実加群である。
一般化 任意の環 R をただひとつの対象から成る前加法圏と看做すことができる。この観点で言えば、左 R-加群とは R からアーベル群の圏 Ab への共変加法的函手に他ならない。右 R-加群は反変加法的函手である。このことが示唆するのは、任意の前加法圏 C に対し、C から Ab への加法的函手は C 上の一般化された左加群と考えるべきであるということである。このような函手の全体は、環上の加群の圏 R-Mod の一般化となる函手圏 C-Mod を成す。
可換環上の加群は別な方向に一般化することができる。まず、環付き空間 (X, OX) をとり、OX-加群の層を考える。これらの全体は代数幾何学のスキーム論的取り扱いで重要な圏 OX-Mod を成す。 X がただ一点からなるならば、これは可換環 OX(X) 上の通常の意味での加群の圏である。
半環上の加群を考えることもできる。環上の加群はアーベル群だが、半環上の加群は可換単位的半群であればよい。通常の加群に関する議論の多くが、この一般化された意味での加群に対しても有効である。特に、任意の半環 S に対して S 上の n-次行列全体は半環を成し、S の元の順序 n-組の全体はその行列半環上の（ここで言う意味でのみだが）加群となる。これにより、理論計算機科学の分野から半環の概念を併合した、ベクトル空間の概念の更なる一般化が得られたことになる。
自由加群(じゆうかぐん、英: free module) とは、加群の圏における自由対象（英語版）である。集合 E が与えられたとき、E 上の自由加群とは E を基底 にもつ自由加群である。たとえば、すべてのベクトル空間は自由であり[1]、集合上の自由ベクトル空間は集合上の自由加群の特別な場合である。任意の加群はある自由加群の準同型像である。
https://en.wikipedia.org/wiki/Free_object Free object In mathematics, the idea of a free object is one of the basic concepts of abstract algebra. It is a part of universal algebra, in the sense that it relates to all types of algebraic structure (with finitary operations). It also has a formulation in terms of category theory, although this is in yet more abstract terms. Examples include free groups, tensor algebras, or free lattices. Informally, a free object over a set A can be thought of as being a "generic" algebraic structure over A: the only equations that hold between elements of the free object are those that follow from the defining axioms of the algebraic structure.
証明. 無限基底のときは、なんだか考えにくいので有限個の基底の場合のみ考えてもらっても いいです。 R のイデアルで 1 を含まないもの全体は、包含関係に関して空ではない帰納的順序集合とな る。（0 イデアルがあるから空でない、というところで「零環ではない」という条件を使う。） 従って、Zorn の補題により包含関係に関して極大な 1 を含まないイデアルがあり、これは R の極大イデアル m をあたえる。
いま、mM で M の元の m 係数一次結合全体を表すと、これは M の部分 R 加群となる。 商 R 加群 M/mM には m は零倍で作用する。従って (R → End(M/mM) の核が m を含むか ら)M/mM は体 R/m 上の加群となる。ここで、M の基底を一つとると、その M/mM にお ける像が R/m 加群としての基底となることがわかる。(xλ を M の基底としたとき、xλ の像 が M/mM を R 上（R/m 上といっても同値）生成することは自明。一次独立性だが、mM の 元を xi の一次結合で書くと定義から 芭ixi (mi ∈ m) と一通りに書ける。いま、R の元の R/m への像、M の元の M/mM への像を a￣ であらわすと、蚤￣ix￣i = 0 ならば 蚤ixi ∈ mM, 上の注意により ai ∈ m で a￣i = 0。) 従って、基底の元の個数（濃度）は、M/mM の体 R/m 線形空間の一つの基底の元の個数 に一致する。（上の体に関する基底の定理から）それは基底の取り方によらない。 （ところで、細かいことですが、R が零環だと R 加群は零加群しかありません。そこには {0} という一元からなる基底と、空集合という０個の元からなる基底があり、個数の一意性が 成り立ちません。） こうして、自由 R 加群の同形類は、濃度と一対一となる。特に、有限生成自由 R 加群の同 形類は階数により自然数と一対一。（自然数は 0 を含むとする。）
ねじれ元。R 加群 M の元 x に対し、その annihilator Ann(x) = {a ∈ R | ax = 0} が {0} でないとき x をねじれ元という。< x >R が R と同形でない、と言っても同じ条件。 R が整域なら、ねじれ元の全体が部分 R 加群をなす。ねじれ部分 (torsion part) という。 (引用終り) 以上 0659現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/25(火) 07:31:39.47ID:SuJQZ9Ih>>655 補足 (引用開始) >斜体であるという性質は加群の圏の性質から特徴づけることもできる。環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。 自由加群とは：「基底を持つ（自由加群と呼ばれる）加群」（下記環上の加群より） また、自由加群wikipedia：加群の圏における自由対象（英語版）である。集合 E が与えられたとき、E 上の自由加群とは E を基底 にもつ自由加群である ですか。なるほど。取りあえず、”圏”は無視で良さそうかな？（＾＾； (引用終り)
下記「単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理(173KB, 13/01/31) MATHEMATICS.PDF よしいず」 ”M の元 x が自由元であるとは, 任意の r ∈ R に対して,rx = 0M =⇒ r = 0R が成り立つときにいう. M の元 x が自由元であることと, x が R 上 1 次独立であることは同じ意味である. M の元 x がねじれ元であるとは, 自由元でないときにいう. ” 参考になるな。自由は"free "の訳語だが、"free "には、ただ（只）とか、ある性質が存在しないときにも使う ”ねじれ”が、"free "なのかもね 構造定理の［補題 4.2］の証明中に ”p は R の素元 =⇒ pR は R の素イデアル =⇒ pR は R の極大イデアル =⇒ K = R/pR は体” と出てくるので、ここらを使うと、 「環 R が体である必要十分条件はすべての R 加群が自由加群であることである」が言えそうかな で、これの斜体版が成立するのかも
補足 「2 零化域」とか、「T(M) ： M のねじれ部分」とRの関係（定理 1.1〜6）などを、しっかり理解すると、いいのかもね（＾＾；
R を可換環とし, 0R を R の零元, 1R を R の単位元とする. また, M を R 加群とし, 0M を Mの零元とする. M の元 x が自由元であるとは, 任意の r ∈ R に対して,rx = 0M =⇒ r = 0R が成り立つときにいう. M の元 x が自由元であることと, x が R 上 1 次独立であることは同じ意味である. M の元 x がねじれ元であるとは, 自由元でないときにいう. すなわち, ある r ∈ R が存在してrx = 0M, r ≠ 0R が成り立つとき, x はねじれ元であるという. M の零元 0M はねじれ元である. 実際, 1R ・ 0M = 0M である.
［定理 1.1］R を整域, M を R 加群とする. このとき, M のねじれ元全体からなる集合 T(M) は、M の部分 R 加群である. T(M) を M のねじれ部分という.
［定理 1.3］R を整域, M を R 加群とする. このとき, 剰余 R 加群 M/T(M) はねじれがない.
［定理 1.4］整域上の自由加群はねじれがない.
［定理 1.5］R を単項イデアル整域とする. このとき, ねじれがない有限生成 R 加群は階数有限の自由 R 加群である
［系 1.6］R を単項イデアル整域とし, M を有限生成 R 加群, T(M) を M のねじれ部分とする. このとき, 剰余 R 加群 M/T(M) は階数有限の自由 R 加群である.
2 零化域 可換環 R 上の加群 M の元 x に対して, AnnR(x) = {r ∈ R | rx = 0M} を x の零化域という. R 自身を R 加群とみなしたとき, AnnR(x) は, R 加群の準同型 R → M, r |→ rx の核である. よって, AnnR(x) は R の部分 R 加群であり, それはまさに R のイデアルである. AnnR(x) が R の零イデアルであることと, x が M の自由元であることは同値である. また, AnnR(x) = R であることは, x = 0M であることと同値である. R が単項イデアル整域のとき, AnnR(x) は R の単項イデアルであり, ある 1 個の元によって生 成される.
3 単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理
4 構造定理の一意性を示すための補題
［補題 4.2］R を単項イデアル整域とし, p を R の素元とする. このとき, R 加群としての同型 略 が成り立てば, u = u’ である. ［証明］ 略 K = R/pR とおく 略 Ku は K 加群になる. 同様にして, Ku’も K 加群になる. R は単項イデアル整域であるから, p は R の素元 =⇒ pR は R の素イデアル =⇒ pR は R の極大イデアル =⇒ K = R/pR は体.
https://en.wikipedia.org/wiki/Free_object Free object (抜粋) In mathematics, the idea of a free object is one of the basic concepts of abstract algebra. It is a part of universal algebra, in the sense that it relates to all types of algebraic structure (with finitary operations). It also has a formulation in terms of category theory, although this is in yet more abstract terms. Examples include free groups, tensor algebras, or free lattices. Informally, a free object over a set A can be thought of as being a "generic" algebraic structure over A: the only equations that hold between elements of the free object are those that follow from the defining axioms of the algebraic structure.
Definition Free objects are the direct generalization to categories of the notion of basis in a vector space. 0665現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/25(火) 15:03:22.83ID:2yNZ8A8t>>664 「捩れ (代数学)」 ”環上の加群の場合は、環のある正則元によって零化される加群の元を言う。” ”環 R 上の加群 M は、t(M) = M であるとき、捩れ加群 (torsion module) と呼ばれ、t(M) = 0 であるとき、捩れがない (torsion-free) と言う。” ”加群に対して ・M を任意の環 R 上の自由加群とすると、定義より直ちに、M は捩れがないことが分かる。特に、任意の自由アーベル群は捩れを持たず、体 K 上のベクトル空間は K 上の加群と見たとき、捩れがない。 ・有限次元ベクトル空間 V に作用する線型作用素 L を考える。V を自然な方法で F[L]-加群と見ると、（多くのことの結果として、単純に有限次元性から、あるいはケイリー・ハミルトンの定理によって）V は捩れ F[L] 加群である。” https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8D%A9%E3%82%8C_(%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6) 捩れ (代数学) (抜粋) 捩れ（ねじれ、英: torsion）は、群の場合は、有限位数の元を言い、また環上の加群の場合は、環のある正則元によって零化される加群の元を言う。
加群に対して 環 R 上の加群 M の元 m は、環の正則元[注 1] r が存在して、m を零化する、すなわち r?m = 0 となるとき、加群の捩れ元 (torsion element) という[3][注 2]。加群 M の捩れ元すべてからなる集合を t(M) と表す。
環 R 上の加群 M は、t(M) = M であるとき、捩れ加群 (torsion module) と呼ばれ、t(M) = 0 であるとき、捩れがない (torsion-free) と言う。t(M) が M の部分加群をなすとき、t(M) を捩れ部分加群 (torsion submodule) という。環 R が整域(可換性だけでは足りない。実際Z/6Zを自分の上の加群と見てみればよい)であれば、t(M) は捩れ部分加群である。R が非可換であれば t(M) は部分加群になるとは限らない。R が右Ore環（英語版）であることと、t(M) がすべての右 R 加群に対して M の部分加群であることとは同値である[4]。右ネーター域は Ore であるので、これは、R が右ネーター域の場合を含んでいる。
より一般的に、M を環 R 上の加群とし、S を R の積閉集合とする。このとき標準的な写像 M → MS の核を tS(M) と表す。tS(M) = M のとき、つまり M のすべての元 m は、S のある元 s によって零化されるとき、M は S-捩れ (S-torsion) と呼ばれる[5]。また tS(M) = 0 のとき、M はS-捻れなし (S-torsionless) という。特に、S を環 R の正則元全体の集合ととると上記の定義が再現される。
加群に対して ・M を任意の環 R 上の自由加群とすると、定義より直ちに、M は捩れがないことが分かる。特に、任意の自由アーベル群は捩れを持たず、体 K 上のベクトル空間は K 上の加群と見たとき、捩れがない。 ・有限次元ベクトル空間 V に作用する線型作用素 L を考える。V を自然な方法で F[L]-加群と見ると、（多くのことの結果として、単純に有限次元性から、あるいはケイリー・ハミルトンの定理によって）V は捩れ F[L] 加群である。
定義 左 R-加群 M が有限生成とは、M の元 a1, a2, ..., an が存在して、すべての M の元 x に対して、R の元 r1, r2, ..., rn が存在して、x = r1a1 + r2a2 + ... + rnan となることである。
この場合、集合 {a1, a2, ..., an} は M の生成集合と呼ばれる。有限個の生成元は基底である必要はない、なぜならそれらは R 上一次独立である必要はないからだ。より圏論的な特徴づけとしては次がある。M は有限生成であるのは、ある自然数 n に対して全射 R-線型写像 R^{n}→ M が存在する（つまり M は有限ランクの自由加群の剰余加群である）とき、かつそのときに限る[2]。
加群 M の部分集合 S が有限生成部分加群 N を生成すれば、N の有限個の生成元は S からとってくることができる（なぜなら S の高々有限個の元しか有限個の生成元を表現するのに必要ないからである）。
任意の加群は有限生成部分加群の増大列の和集合である。
加群 M が体 R 上のベクトル空間であり生成集合が一次独立な場合には、n は well-defined で M の次元と呼ばれる（well-defined は任意の一次独立な生成集合は n 個の元をもつという意味である。これはベクトル空間の次元定理である）。
いくつかの事実 有限生成加群の部分加群は一般には有限生成でない。例えば、可算個の変数をもつ多項式環 R = Z[X1, X2, ...] を考えよう。R 自身は有限生成 R-加群である（{1} が生成集合）。定数項が 0 の多項式すべてからなる部分加群 K を考えよ。すべての多項式は係数が0でないような有限個の項のみからなるから、R-加群 K は有限生成でない。
一般に、加群は、すべての部分加群が有限生成であるときにネーター加群と呼ばれる。ネーター環上の有限生成加群はネーター加群である（実はこの性質がネーター環を特徴づける）。ネーター環上の加群が有限生成であるのはそれがネーター加群であるとき、かつそのときに限る。これはヒルベルトの基底定理と似ているが、同じではない。これはネーター環 R 上の多項式環 R[X] はネーター環であるというものである。いずれの事実によってもネーター環上の有限生成代数はまたネーター環である。
可換環上の有限生成加群 可換環 R 上の有限生成加群に対して、中山の補題は基本的である。ときどき補題によって有限生成加群に対して有限次元ベクトル空間的な減少を証明することができる。
可換代数 A が R 上有限生成環 (finitely generated ring) であるとは、A の元の集合 G = {x1, ..., xn} が存在して G と R を含む A の最小の部分環 は A 自身であるということである。環の積を元を結合するのに使ってもよいので、単に G の元の R-線型結合以上のものが生成される。例えば、多項式環 R[x] は環として {1,x} で有限生成されるが、加群としてではない。
生成ランク 単項イデアル整域 (PID) 上の有限生成加群が捩れなし（英語版） (torsion-free) であることと自由であることは同値である。 これはPID上の有限生成加群の構造定理の結果である。 その基本的な形は、PID 上の有限生成加群はねじれ加群と自由加群の直和であるというものである。 しかしそれは直接次のようにも示せる。 M を PID A 上捩れなし有限生成加群とし、F を極大自由部分加群とする。 f を A の元であって fM⊂ F とする。 このとき fM は自由加群の部分加群で A は PID なので自由である。 しかし今 f:M→ fM は M が捩れなしだから同型である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0%E3%81%AE%E5%B1%80%E6%89%80%E5%8C%96 環の局所化 (抜粋) 環の局所化（きょくしょか、英: localization）あるいは分数環 (ring of fraction)、商環 (ring of quotient)[注 1] は、環に乗法逆元を機械的に添加する方法である。すなわち、環 R とその部分集合 S が与えられたとき、環 R' と R から R' への環準同型を構成して、S の準同型像が R' における単元（可逆元）のみからなるようにする。さらに、R' が「可能な限りで最良な」あるいは「最も一般な」ものとなるようにするということを考える（こういった状況はふつうは普遍性によって表されるべきものである）。環 R の部分集合 S による局所化は S?1R で表され、あるいは S が素イデアル {p}}} {p}} の補集合であるときには R_ {p}}}R_{{ {p}}}} で表される。S?1R のことを RS と表すこともあるが、通常混乱の恐れはない。
用語について 「局所化」の名の起源は代数幾何学にある。R はある幾何学的対象（代数多様体）の上で定義された函数環とする。この多様体を点 p の近傍で「局所的に」調べようとするならば、p の近傍で 0 でないような函数全体の成す集合 S を考えることになる。その意味で、R を S に関して局所化して得られる環 S?1R は p の近傍における V の挙動についての情報のみをふくんでいる（局所環も参照）。
数論および代数的位相幾何学において、数 n「における」環や空間とか、n から「遠い」などという言及をすることがある。「n から遠い」("away from n") の意味は、「その環の中で n が可逆」（従って、Z[1/n]-代数になる）ということである。例えば、体については「素数 p から遠い」と言えば「その体の標数は p と異なる」という意味になる。Z[1/2] は「2 から遠い」が F2 や Z はそうではない。
形式的な構成 単元の積はふたたび単元であり、環準同型は積を保つことから、局所化に用いる S は R の乗法モノイドの部分モノイドであることが求められる。すなわち、S は 1 を含み、s, t が S の元ならば st もやはり S に含まれる。環 R のこのような性質を持つ部分集合を乗法的集合（乗法系）あるいは積閉集合（乗法的閉集合）と呼ぶ。
環 R が整域である場合には、局所化は容易に構成することができる。0 が単元となるような環は自明な環 {0} のみであるから、S に 0 が含まれるときには、局所化 S?1R は必ず {0} となる。それ以外の場合には、R の商体 K を利用することができる。すなわち、S?1R として、商体 K の部分環であって、R の元 r と S の元 s によって r/s の形に表される元全体になっているものをとればよい。この場合、自然写像 R → S?1R は標準的な埋め込みであり、特に単射になる（一般の場合にはこれは保証されない）。例えば、二進分数（英語版） の全体は、整数環 Z の 2 冪全体の成す積閉集合に関する局所化である。この場合 S?1R が二進小数の全体で R が整数全体、S は 2 冪の全体であって、R から S?1R への自然写像は単射である。
一般の可換環に対しては商体は存在しないのだけれども、それでも S の元を分母に持つような「分数」からなる局所化を構成することは可能である。整域の場合とは対照的に、分子と分母を安全に「約分」できるのは、S の元の寄与の分だけである。
環の局所化の普遍性 環準同型 j : R → S?1R は S の各元を S?1R の単元に写し、かつ f: R → T を別の環準同型で S の各元を T の単元に写すものとすれば、環準同型 g: S?1R → T で f = g ? j を満たすものがただ一つ存在する。 この普遍性を圏論の言葉で書けば次のようになる。環 R とその部分集合 S をとり、R 上の多元環 A で標準準同型 R → A のもと S の各元が A の単元となるようなもの全体の成す集合を考える。この集合の元を対象とし、R-線型写像を射として圏が定まり、この圏の始対象を R の S における局所化と呼ぶ。
例 整数環を Z, 有理数体を Q と表す。
・可換環 R が与えられたとき、R の非零因子（すなわち、R の元 a であって、a を掛けるという操作が R 上の単射自己準同型となるようなもの）全体の成す集合 S は積閉集合である。このときの環 S?1R は R の全商環と呼ばれ、しばしば Q(R) や K(R) などで表される。この S は R から S?1R への標準準同型が単射となるような積閉集合として最大のものである。さらに R が整域ならば、これは R の商体に他ならない。
・可換環 R と R の素イデアル p に対して、 p の R における補集合 R＼ p は積閉集合で、対応する局所化を R_p であらわす。このとき、 R_p の唯一の極大イデアルは pRp={r/s ｜ r ∈ p, s ∈ R＼p}に等しい[4]。よって R_p は局所環である。 ・S?1R = {0} となる必要十分条件は S が零元 0 を含むことである[2]。 ・環準同型 R → S?1R が単射である必要十分条件は S が零因子を含まないことである。
非可換の場合 非可換環の局所化はより難しく、単元を持つことが見込まれる集合 S の中にも局所化が存在しない場合がある。局所化の存在を保証する条件の一つにオアの条件（英語版） がある。
線型代数学におけるベクトル空間（ベクトルくうかん、英: vector space）、または、線型空間（せんけいくうかん、英: linear space）は、ベクトル（英: vector）と呼ばれる元からなる集まりの成す数学的構造である。ベクトルには和が定義され、またスカラーと呼ばれる数による積（スカラー乗法）を行える。スカラーは実数とすることも多いが、複素数や有理数あるいは一般の体の元によるスカラー乗法を持つベクトル空間もある。ベクトルの和とスカラー倍の演算は、「ベクトル空間の公理」と呼ばれる特定の条件（後述）を満足するものでなければならない。
定義 「体 F 上のベクトル空間 V 」とは、後に述べるような、二種類の演算を備えた集合 V のことである。ベクトル空間 V の元はベクトル (英: vector ) と呼ばれる。体 F は係数体 (英: coefficient field, scalar field ) と呼ばれる。係数体 F の元はスカラー (英: scalar ) あるいは係数 (英: coefficient ) と呼ばれる。ここではベクトルをスカラーから区別するために、ベクトルは太字で表す[nb 1]。
基底と次元 詳細は「基底」および「次元」を参照 基底は簡明な方法でベクトル空間の構造を明らかにする。 基底とは、適当な添字集合で添字付けられたベクトルの（有限または無限）集合 B = {vi}i ∈ I であって、それが全体空間を張るもののうちで極小となるものを言う。
加群 詳細は「環上の加群」を参照 ベクトル空間が体に対するものであるように、加群 (英: modules) の概念は環に対するものである。これはベクトル空間の公理において体 F とするところを環 R で置き換えることで得られる[101]。加群の理論はベクトル空間のそれと比べて（環の元に必ずしも乗法逆元が存在しないことで）より複雑なものになっている。
定義 （実数全体 R や複素数全体 C のような）体 F 上の線型空間 V の基底 B とは、V の線型独立な部分集合で、V を張る（生成する）ものを言う。より具体的には、B = {v1, …, vn} をベクトル空間 V の有限部分集合とするとき、B が基底であるとは、条件として
線型独立性 a1, …, an ∈ F に対して a1v1 + … + anvn = 0 が成り立つならば、a1 = … = an = 0 でなければならない。 全域性 V のどんな元 x も、適当な a1, …, an ∈ F を選んで x = a1v1 + … + anvn が成り立つようにできる。 を何れも満足することを言う。最後の等式における係数 ai は基底 B に関する x の座標と呼ばれ、線型独立性により座標は一意的に定まることが分かる。
いま、下記 (>>642より） >https://en.wikipedia.org/wiki/Division_ring >Division ring >"Relation to fields and linear algebra >In fact the converse is also true and this gives a characterization of division rings via their module category: A unital ring R is a division ring if and only if every R-module is free.[7]" >（ unital/unitary ring、単位的環、単位環 ） >https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%9C%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6) >斜体 (数学) division ring >斜体であるという性質は加群の圏の性質から特徴づけることもできる。環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。 (引用終り)
について調べています 自由加群とは、ねじれフリーの加群ということですね ねじれフリーが、もとのRの加除環性、つまり零因子を持たず、0以外の元に逆元が存在して、積が群になる（＝Rは体又は斜体）ってことに関係しているってこと つまりは、「零因子を持たず」 と、「0以外の元に逆元が存在して、積が群になる」とが、関係しているってことなのでしょうね〜（＾＾； 0682現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/26(水) 07:33:51.97ID:mnW83lWq>>681 余談 >https://en.wikipedia.org/wiki/Division_ring >In fact the converse is also true and this gives a characterization of division rings via their module category: A unital ring R is a division ring if and only if every R-module is free.[7]" >https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%9C%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6) >斜体 (数学) division ring >斜体であるという性質は加群の圏の性質から特徴づけることもできる。環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。
いま気付いたが、英語版だと A unital ring R、日本語版だと 環 R 英語版の通り、単位的環 つまり 乗法単位元を持つ環とするのが、正解かも（＾＾；
（参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%8D%E7%9A%84%E7%92%B0 単位的環 (抜粋) 単位的環（たんいてきかん、英: unital/unitary ring）、単位環（たんいかん、英: unit ring）あるいは単位元を持つ環 (ring with unit/unity/identity) は[1]、乗法単位元を持つ環のことを言う。 0683１３２人目の素数さん2020/08/26(水) 09:47:17.07ID:8ae+cQFx 勉強になるなあ 0684１３２人目の素数さん2020/08/26(水) 17:34:00.37ID:XvaNrpWd n≧3とする。縦2*nマス、横2*nマスのチェス盤から白、黒のマス目を１つずつ抜き取った欠損チェス盤で、 ドミノ牌で敷き詰められないものが存在するか。また、白、黒2個ずつ抜き取ったらどうか。
https://mathworld.wolfram.com/Endomorphism.html#:~:text=The%20term%20endomorphism%20derives%20from,(with%20surjectivity%20not%20required). Wolfram MathWorld Endomorphism The term endomorphism derives from the Greek adverb endon ("inside") and morphosis ("to form" or "to shape"). In algebra, an endomorphism of a group, module, ring, vector space, etc. is a homomorphism from one object to itself (with surjectivity not required).
https://mathworld.wolfram.com/Homomorphism.html Wolfram MathWorld Homomorphism A term used in category theory to mean a general morphism. The term derives from the Greek omicronmuomicron (omo) "alike" and muomicronrhophiomegasigmaiotasigma (morphosis), "to form" or "to shape." The similarity in meaning and form of the words "homomorphism" and "homeomorphism" is unfortunate and a common source of confusion. 0686現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/26(水) 17:40:28.07ID:xagmva3J>>683 どもです レスありがとう 0687１３２人目の素数さん2020/08/26(水) 17:40:56.87ID:iiai9c8f>>675 ＞Rが一般の環などになると、基底を持つ持たないは、結構ややこしいということですね
（>>682より） >https://en.wikipedia.org/wiki/Division_ring >In fact the converse is also true and this gives a characterization of division rings via their module category: A unital ring R is a division ring if and only if every R-module is free.[7]" >https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%9C%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6) >斜体 (数学) division ring >斜体であるという性質は加群の圏の性質から特徴づけることもできる。環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。 (引用終り)
”単位的環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。” をどぞ、語ってください 0690１３２人目の素数さん2020/08/26(水) 17:53:01.47ID:iiai9c8f>>681 ＞「零因子を持たず」 と、「0以外の元に逆元が存在して、積が群になる」とが、関係している
（上記の”函数環（英語版）”のリンクが下記） https://en.wikipedia.org/wiki/Banach_function_algebra Banach function algebra (抜粋) In functional analysis a Banach function algebra on a compact Hausdorff space X is unital subalgebra, A of the commutative C*-algebra C(X) of all continuous, complex valued functions from X, together with a norm on A which makes it a Banach algebra.
Theorem: A Banach function algebra is semisimple (that is its Jacobson radical is equal to zero) and each commutative unital, semisimple Banach algebra is isomorphic (via the Gelfand transform) to a Banach function algebra on its character space (the space of algebra homomorphisms from A into the complex numbers given the relative weak* topology).
If the norm on A is the uniform norm (or sup-norm) on X, then A is called a uniform algebra. Uniform algebras are an important special case of Banach function algebras. (引用終り) 以上 0695現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/26(水) 18:45:07.61ID:xagmva3J>>690 >まず、一般の環について「零因子を持たない」と「0以外の元に逆元が存在して、積が群になる」は同値ではありません >整数環がいい例です 零因子はありませんが、１とー１以外の元には逆元がありません
