ここ、EkiAEjｌ の３つの行列の積で、結合則を使っている（当たり前だが意識しておく方が良い） また、EkiAEjｌ の３つの行列の積で、A ∈ I に対して、左右から、EkiとEjｌとを掛けている。 Iが両側イデアルなら、EkiAEjｌ ∈ I だ。 が、両側イデアルでないなら、”EkiAEjｌ ∈ I ”は、保障されないってことだね
動機 環はその環上の加群を通じて研究されることが一般的である。これは加群が環の表現と見做せるからである。すべての環 R は環の積による作用によって自然に R 加群の構造を持つので、加群論的な研究方法はより一般的で有益な情報をもたらす。このような訳で、環についての研究はその環上の加群の成す圏を研究することによってしばしば為される。
任意の環 R と非負整数 n について R 成分の n 次正方行列から成る全行列環 Mn(R) は環 R と森田同値である[2]。これはアルティン‐ウェダーバーン理論によって与えられる単純アルティン環の分類の一般化になっていることに注意する。森田同値を確かめるには、もし M が左 R 加群ならば Mn は行ベクトルに対する左から行列の掛け算によって Mn(R) 加群の構造が与えられることに注意すればよい。これは左 R 加群の圏 R-Mod から左 Mn(R) 加群の圏 Mn(R)-Mod への関手を定める。
なお、”ScienceDirect Commutative Field” ”Handbook of Algebra”1996 で ”each (not necessarily commutative) field is a semifield”という用法もあるね 「用語は難しい. きっとすべての人を満足させることはできないだろう」（下記 雪江明彦より）
また、下記”Field Theory by Wulf-Dieter Geyer”の ”2. Historical remarks about the concept of field”が、面白かった
Handbook of Algebra Udo Hebisch, Hanns Joachim Weinert, in Handbook of Algebra, 1996
Example 1.7 a) Clearly, each ring is a semiring and each (not necessarily commutative) field is a semifield. As usual, we denote by (Z, +, ・) the ring of integers and by (Q, +, ・) and (R, +, ・) the fields of rational and real numbers.
Mathematical works In 1910 Steinitz published the very influential paper Algebraische Theorie der Korper (German: Algebraic Theory of Fields, Crelle's Journal (1910), 167?309). In this paper he axiomatically studies the properties of fields and defines important concepts like prime field, perfect field and the transcendence degree of a field extension. Steinitz proved that every field has an algebraic closure. He also made fundamental contributions to the theory of polyhedra: Steinitz's theorem for polyhedra is that the 1-skeletons of convex polyhedra are exactly the 3-connected planar graphs. His work in this area was published posthumously as a 1934 book, Vorlesungen uber die Theorie der Polyeder unter Einschluss der Elemente der Topologie,[1] by Hans Rademacher. (引用終り) 以上 0438現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/19(水) 16:22:53.50ID:bglsLP4c>>428 タイポ訂正
斜体（しゃたい、英: skew field; 歪体, 独: Schiefkorper, 仏: corps, corps gauche）は加減乗除が可能な代数系である[1][注 1]。除法の可能な環であるという意味で可除環（かじょかん、division ring, Divisionsring）ともいう[3]。係数環を持ち、多元環の構造を持つことを強調する場合は、特に多元体[4]（たげんたい、division algebra, algebre a division; 可除多元環）と呼称することも多い[注 2]。非可換な積を持つ体を非可換体（ひかかんたい、non-commutative field, corps non commutatif）という[2]。
性質・諸概念 逆元の存在から、斜体 D の零でない任意の（左・右・両側）イデアル I は D の単位元 1D を含まねばならず、それゆえに I は D 全体に一致せねばならない。逆に、左イデアルが零か全体にかぎるような単位的（結合）環は斜体となる（右イデアルに関する条件からも同じことがいえる）。斜体は自明でない両側イデアルを持たぬゆえ単純であり、特に可換単純環は常に可換体を成すが、一般に単純環であって斜体とならぬものが存在する。
斜体であるという性質は加群の圏の性質から特徴づけることもできる。環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。
例 ・有理数の全体 Q, 実数の全体 R, 複素数の全体 C は可換体である。 ・四元数の全体 H は非可換体である。 ・既約加群の自己準同型環は斜体である（シューアの補題）。 ・（可換とは限らない）有限整域は可換体である（ウェダーバーンの小定理）。
n・1 で単位元 1 を n 回足したものを表すとき、n・1 = 0 となるような正の整数 n のうち最も小さなものをその体の標数という。ただし、そのような n が存在しないとき標数は 0 であると決める。体の標数は 0 または素数である。
さて、英語版 ”Division rings used to be called "fields" in an older usage. In many languages, a word meaning "body" is used for division rings, in some languages designating either commutative or non-commutative division rings, while in others specifically designating commutative division rings (what we now call fields in English). ” だって つまり、英語では、"fields" は可換体で、 a word meaning "body"＝ 体は、”is used for division rings”だって。今の日本は、大分英語的用法になっているんだね（＾＾
In abstract algebra, a division ring, also called a skew field, is a ring in which division is possible. Specifically, it is a nonzero ring[1] in which every nonzero element a has a multiplicative inverse, i.e., an element x with a・x = x・a = 1. Stated differently, a ring is a division ring if and only if the group of units equals the set of all nonzero elements. A division ring is a type of noncommutative ring under the looser definition where noncommutative ring refers to rings which are not necessarily commutative.
Division rings differ from fields only in that their multiplication is not required to be commutative. However, by Wedderburn's little theorem all finite division rings are commutative and therefore finite fields. Historically, division rings were sometimes referred to as fields, while fields were called "commutative fields".[5]
All division rings are simple, i.e. have no two-sided ideal besides the zero ideal and itself.
Main theorems Wedderburn's little theorem: All finite division rings are commutative and therefore finite fields. (Ernst Witt gave a simple proof.) Frobenius theorem: The only finite-dimensional associative division algebras over the reals are the reals themselves, the complex numbers, and the quaternions.
Related notions Division rings used to be called "fields" in an older usage. In many languages, a word meaning "body" is used for division rings, in some languages designating either commutative or non-commutative division rings, while in others specifically designating commutative division rings (what we now call fields in English). A more complete comparison is found in the article Field (mathematics).
The name "Skew field" has an interesting semantic feature: a modifier (here "skew") widens the scope of the base term (here "field"). Thus a field is a particular type of skew field, and not all skew fields are fields.
While division rings and algebras as discussed here are assumed to have associative multiplication, nonassociative division algebras such as the octonions are also of interest.
A near-field is an algebraic structure similar to a division ring, except that it has only one of the two distributive laws. (引用終り) 以上 0451現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/20(木) 00:27:25.65ID:gmO23IhH>>447 >idiotと云われただけで発●するなよ
直接の系として、アルティン・ウェダーバーンの定理は可除環上有限次元であるすべての単純環（単純代数）は行列環と同型であることを意味する。これはもともと J. H. M. Wedderburn (1908) の結果である。E. Artin (1927) は後にそれをアルティン環のケースに一般化した[注釈 2]。
R が可除環 E 上の有限次元単純代数であれば、D は E に含まれる必要はないことに注意せよ。例えば、複素数体上の行列環は実数体上の有限次元単純代数である。
非可換環は多くの点で行列の成す環が雛形となっている。また、代数幾何学をモデルとして、非可換環上に基礎をおく非可換幾何学を構築しようとする動きもある。非可換環および結合多元環（大雑把に言うと、環でもありベクトル空間でもあるようなもの）は、しばしばその上の加群の圏を通した研究が行われる。環上の加群とは、環が群自己準同型として作用するアーベル群であり、体（零元以外の元が全て逆元を持つような整域）がベクトル空間に作用するのと非常によく似た代数的構造になっている。非可換環の例は正方行列の成す環やもっと一般にアーベル群や加群の上の自己準同型全体の成す環、あるいは群環・モノイド環などによって与えられる。 (引用終り) 0471現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/21(金) 07:38:09.68ID:WrfyH/cJ 補足 ついでに ”注釈 1^ 環論において、環 R の "unit"（単元）は、単位元 1R に限らず、その環 R において乗法逆元を持つ元（可逆元）を総した呼称である。しかし、可逆性は単位元の存在なしには定義できないし、単位元は必ず単元であるので、何らかの単元を持つ環は必ず単位的環となって、"ring with (a) unit" という呼称は図らずも齟齬をきたさない。”
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%8D%E7%9A%84%E7%92%B0 単位的環 (抜粋) 単位的環（たんいてきかん、英: unital/unitary ring）、単位環（たんいかん、英: unit ring）あるいは単位元を持つ環 (ring with unit/unity/identity) は[1]、乗法単位元を持つ環のことを言う。 定義について 集合 R 上の二つの二項演算 (+,*) を持つ代数系 (R,+,*) が単位的環であるとは、 6.乗法単位元: R の元 1R が存在して、R の全ての元 a に対して 1R * a = a * 1R = a を満たす。
例 整数の全体 Z や任意の体（有理数体 Q, 実数体 R, 複素数体 C, 有限体 Fq など）は単位的環である。また、適当な集合 I 上で定義され適当な単位的環に値をとる写像全体の成す集合は、（点ごとの和と）点ごとの積に関して単位的環を成す（乗法単位元は、I の各元に対して常に単位元を対応させる写像）。
もっと重大な差異を生む流儀として、環には「乗法の単位元の存在を要求しない」というものがある[4][5][6]。これを認めると、例えば偶数であるような整数の全体 2Z も通常の加法と乗法に関する環となると考えることができる（実際にこれは乗法単位元の存在以外の環の公理を全て満足する）。乗法単位元の存在以外の環の公理を満足する環は、しばしば擬環 (pseudo-ring) とも呼ばれ、あるいは多少おどけて（ring だけれども乗法単位元 i が無いからということで）"rng" と書かれることもある。これと対照的に、乗法単位元を持つことを強調する場合には、単位的環や単位環 (unital ring, unitary ring) あるいは単位元を持つ環 (ring with unity, ring with identity, rings with 1) などと呼ぶ[7]。ただし、非単位的環を単位的環に埋め込むことは常にできる（単位元の添加）ということに注意。
Z4 の環としての性質 ・整数の乗法においては、二整数 x, y の積が xy = 0 を満たすならば x = 0 または y = 0 が成り立つが、環 (Z4, +, ?) では必ずしもそれは成立せず、例えば 2 ? 2 = 0 が各因数が 0 ではないにもかかわらず成り立つ。一般に、環 (R, +, ?) の非零元 a が (R, +, ?) における零因子であるとは、R の非零元 b で ab = 0 を満たすものが存在するときに言う。環 Z4 においては 2 が唯一の零因子である（なお、0 を零因子と扱うこともあることに注意）。 ・零因子を持たない可換環は整域と呼ばれる（後述）。故に整数全体の成す環 Z は整域であり、一方 Z4 は整域ではない環である。
イデアル R の部分集合 I が加法について閉じていて、x ∈ R, y ∈ Iならば xy やyxがかならず I に入っているとき、I を両側イデアルという。（したがって両側イデアルは単位元を持つとは限らない環である。）イデアル I が与えられているとき、x - y ∈ I で R に同値関係を定義することができる。さらに同値類の間に自然な演算を定義できて、環になることが分かる。この環を R の I による剰余環といい、R/I と書く。
環の構成法 剰余環 詳細は「剰余環」を参照 感覚的には環の剰余環は群の剰余群の概念の一般化である。より正確に、環 (R, +, ・ ) とその両側イデアル I が与えられたとき、剰余環あるいは商環 R/I とは、I による（台となる加法群 (R, +) に関する）剰余類全体の成す集合に (a + I) + (b + I) = (a + b) + I, (a + I)(b + I) = (ab) + I. という演算を入れたものをいう。ただし、a, b は R の任意の元である。
有限環 詳細は「有限環（英語版）」を参照 自然数 m が与えられたとき、m 元からなる集合には、いったいいくつの異なる（必ずしも単位的でない）環構造が入るのかと考えるのは自然である。まず、位数 m が素数のときはたった二種類の環構造しかない（加法群は位数 m の巡回群に同型）。すなわち、一つは積がすべて潰れる零環であり、もう一つは有限体である。
有限群としてみれば、分類の難しさは m の素因数分解の難しさに依存する（有限アーベル群の構造定理）。例えば、m が素数の平方ならば、位数 m の環はちょうど11種類存在する[11]。一方、位数 m の「群」は二種類しかない（いずれも可換群）。
得られる環は環 Ri の直積 (direct product) と呼ばれる。有限個の環の直積は環の直和 (direct sum) と一致する。
性質 これは環の積が圏論の意味での積の例であることを示している。しかしながら、I が有限のときには環の直和とも呼ばれるにもかかわらず、環の直積は圏論の意味で余積ではない。とくに、I が1つより多くの元をもっていれば、包含写像 Ri → R は環準同型ではない、なぜならばそれは Ri の単位元を R の単位元に写さないからだ。
各 i ∈ I に対して Ai が Ri のイデアルであれば、A = Πi ∈ I Ai は R のイデアルである。I が有限であれば、逆が正しい、すなわち R のすべてのイデアルはこの形である。しかしながら、I が無限で環 Ri が 0 でなければ、逆は間違いである。有限個を除いてすべてが 0 でない座標の元全体の集合は Ri たちのイデアルの直積ではないイデアルをなす。Ai の1つを除くすべてが Ri に等しく残りの Ai が Ri の素イデアルであれば、イデアル A は R の素イデアルである。しかしながら、I が無限のとき逆は正しくない。例えば、Ri の直和はどんなそのような A にも含まれないイデアルをなすが、選択公理によって、a fortiori に素イデアルである極大イデアルに含まれる。
R の元 x が単元であることとその component のすべてが単元であることは同値である、すなわち pi(x) がすべての i ∈ I に対して Ri の単元であることは同値である。R の単元群は Ri の単元群の直積である。
History The modern concept of an abstract group developed out of several fields of mathematics.[8][9][10]
The 19th-century French mathematician Evariste Galois, extending prior work of Paolo Ruffini and Joseph-Louis Lagrange, gave a criterion for the solvability of a particular polynomial equation in terms of the symmetry group of its roots (solutions).
More general permutation groups were investigated in particular by Augustin Louis Cauchy. Arthur Cayley's On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn = 1 (1854) gives the first abstract definition of a finite group.[13]
Geometry was a second field in which groups were used systematically, especially symmetry groups as part of Felix Klein's 1872 Erlangen program.[14] After novel geometries such as hyperbolic and projective geometry had emerged, Klein used group theory to organize them in a more coherent way. Further advancing these ideas, Sophus Lie founded the study of Lie groups in 1884.[15]
The third field contributing to group theory was number theory. Certain abelian group structures had been used implicitly in Carl Friedrich Gauss' number-theoretical work Disquisitiones Arithmeticae (1798), and more explicitly by Leopold Kronecker.[16] In 1847, Ernst Kummer made early attempts to prove Fermat's Last Theorem by developing groups describing factorization into prime numbers.[17]
The convergence of these various sources into a uniform theory of groups started with Camille Jordan's Traite des substitutions et des equations algebriques (1870).[18] Walther von Dyck (1882) introduced the idea of specifying a group by means of generators and relations, and was also the first to give an axiomatic definition of an "abstract group", in the terminology of the time.[19] As of the 20th century, groups gained wide recognition by the pioneering work of Ferdinand Georg Frobenius and William Burnside, who worked on representation theory of finite groups, Richard Brauer's modular representation theory and Issai Schur's papers.[20]
第 6 章 層 層は，正則関数のように局所的性質をもつ大域的な対象を，代数的に表現するのに便利な概念である． 層はどのようなものを抽象化したものであるかを先に説明しておこう．Rn の 開集合 U に対して，Cr(U) で U 上の Cr 級関数の全体のなす環を表す．また A p(U) で U 上の C∞ 級 p 形式の全体のなす加群を表す．以下ではこのように， F(U) で U を定義域とする何らかの局所的性質を満たす関数や微分形式の全体 を表している，と思うと理解しやすいであろう．
