純粋・応用数学（含むガロア理論）8

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/13(木) 20:12:42.63

クレレ誌：
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%83%AC%E8%AA%8C
クレレ誌はアカデミーの紀要ではない最初の主要な数学学術誌の一つである（Neuenschwander 1994, p. 1533）。ニールス・アーベル、ゲオルク・カントール、ゴットホルト・アイゼンシュタインらの研究を含む著名な論文を掲載してきた。
(引用終り)

そこで
現代の純粋・応用数学（含むガロア理論）を目指して
新スレを立てる（＾＾；

＜前スレ＞
純粋・応用数学（含むガロア理論）7
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1618711564/

＜関連姉妹スレ＞
ガロア第一論文及びその関連の資料スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/1-
箱入り無数目を語る部屋
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1609427846/
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 54
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1617170015/
IUTを読むための用語集資料スレ2
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1606813903/
現代数学の系譜カントル超限集合論他 3
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/

＜過去スレの関連（含むガロア理論）＞
・現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む84
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582200067/
・現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む83
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2021/05/19(水) 07:55:02.59

>>162
つづき

（下記は本格的）
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
東北大学大学院情報科学研究科システム情報科学専攻尾畑研究室
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-13_WellOrdered.pdf
第13章整列集合 GAIRON-book : 2018/6/21(19:23)

すべての自然数を小さいものから順に一列に並べれば,
1 2 3 4 . . .
のような見慣れた配列が得られる. これは, 自然数に通常の大小による順序関係
を与えて得られる全順序集合 (N, >=<) の一つの簡便な表示である. 一般の全順序
集合に対しても, 任意の 2 元が比較可能であることから, すべての元が一列に並
んでいるとは言えるが, 自然数の配列にはいろいろと特異な点がある. 本章で
は, この自然数の配列の特徴を抽象化した概念である整列順序を導入して, すべ
ての集合に整列順序を定義できること (整列可能定理) を証明する.

13.1 整列集合
順序集合 (X, ≦) は, すべての空でない部分集合が最小元をもつとき, 整列集
合であるといい, そのような順序を整列順序という. 定義から整列集合は必ず全
順序集合であることに注意しよう. 実際, a, b ∈ X に対して集合 {a, b} は X の
空でない部分集合になるから, それは最小元をもつ. 最小元は a または b であ
るが, それが a であれば a ≦ b となるし, それが b であれば b ≦ a となる.
これは, 任意の a, b ∈ X が比較可能であることを意味し, X は全順序集合である
ことがわかる. 定義から空でない整列集合 X それ自身は最小元 min X をもつ.

つづく

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2021/05/19(水) 07:55:25.17

>>163
つづき

定理 13.1 自然数 (N, >=<) は整列集合である.

一方, 実数 R, 有理数 Q, 整数 Z は通常の大小関係 >=< によって全順序集合で
あるが, いずれも整列集合ではない. それらには最小元がないからである. だか
らと言って, 実数や有理数を 0 以上のものに限っても整列集合にはならない. た
とえば, X = [0, +∞) の部分集合 A = (0, +∞) には最小元が存在しない.
ここで, 自然数を並び替えて得られる順序の例をいくつか考えておこう.

例 13.2 自然数 x, y ∈ N に対して, x ≧ y のとき x ≦' y と定義すれば, 全順序
集合 (N, ≦') が得られる (問 12.6). 要は,
. . . 4 3 2 1
のように, 自然数を通常とは逆順に並べることに相当する. この配列には min N
が存在しないから, (N, ≦') は整列集合ではない.

例 13.4 自然数を偶数と奇数を分けて, 偶数同士, 奇数同士では通常の大小を考
え, 偶数と奇数では奇数の方が小さいとする順序関係 ≦1 を導入する. この順序
に関して自然数を書き並べれば,
1 3 5 . . . 2 4 6 . . . (13.2)
のような配列が得られる. こうして得られる全順序集合 (N, ≦1) は整列集合に
なる. 実際, 任意の空でない部分集合 A ⊂ N が与えられたとき, A が奇数を含
めば A に含まれる奇数のうち最小のものが min A を与え, A が偶数のみから
なるときは, A に属する偶数のうち最小のものが min A を与える.
次に, 整列集合の簡単な性質を述べておく.
定理 13.5 整列集合の部分順序集合は整列集合である.

ｐ5
13.2 整列集合の基本定理
本節では, 整列集合が 2 つ与えられたとき, どちらか一方は他方を延長したも
のであるという基本定理を証明する. そのために切片という概念が重要になる.
(X, ≦) を整列集合とする. a ∈ X に対して
X?a? = {x ∈ X | x < a}
を X の a による切片という.

定理 13.14 整列集合 X, Y に対して次の 3 つの場合のうち, いずれか 1 つだ
けが成り立つ.
(i) X と Y は順序同型である.
(ii) X と Y の切片が順序同型である.
(iii) X の切片と Y が順序同型である.

つづく