純粋・応用数学（含むガロア理論）8

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/13(木) 20:12:42.63

クレレ誌：
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%83%AC%E8%AA%8C
クレレ誌はアカデミーの紀要ではない最初の主要な数学学術誌の一つである（Neuenschwander 1994, p. 1533）。ニールス・アーベル、ゲオルク・カントール、ゴットホルト・アイゼンシュタインらの研究を含む著名な論文を掲載してきた。
(引用終り)

そこで
現代の純粋・応用数学（含むガロア理論）を目指して
新スレを立てる（＾＾；

＜前スレ＞
純粋・応用数学（含むガロア理論）7
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1618711564/

＜関連姉妹スレ＞
ガロア第一論文及びその関連の資料スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/1-
箱入り無数目を語る部屋
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1609427846/
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 54
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1617170015/
IUTを読むための用語集資料スレ2
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1606813903/
現代数学の系譜カントル超限集合論他 3
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/

＜過去スレの関連（含むガロア理論）＞
・現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む84
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582200067/
・現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む83
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/18(火) 17:31:53.50

>>133 追加

下記、極限における無限の問題、無限小、超準解析、アキレスと亀のパラドックス、
実数の連続性（連続だが間に無限小が（＾＾；）
（付録：層＆茎と無限小近傍）

（参考）
https://www.nagaitoshiya.com/ja/2012/infiniteness/
永井俊哉ドットコム
無限性のコペルニクス的転回
2012年4月8日2021年5月2日
目次
1.極限における無限の問題
2.ε-δ 論法による問題の解決
3.超準解析による問題の解決
4.アキレスと亀のパラドックス
5.無限に対応する対象はあるのか

1. 極限における無限の問題
無限とは何かという問題は、古代ギリシャのゼノンが提起して以来、重要な哲学的問題であったが、アイザック・ニュートンやゴットフリート・ライプニッツが17世紀に微積分学を創設したことで、改めて考えられることになった。もっとも当時は、関数の極限を求める際の無限小（infinitesimal）や無限大（infinity）の扱い方は粗雑であった。

2. ε-δ 論法による問題の解決
ε-δ 論法は、オーギュスタン＝ルイ・コーシー[2]、ベルナルト・ボルツァーノ[3]の試みを経て、1861年にカール・ワイエルシュトラス[4]によって完成された。ε-δ 論法では、無限小の概念を用いずに極限を求めることができるというのが一般的な認識である。
略
ε-δ 論法の開発者自身が自覚していたことではないが、ε-δ 論法の意義は、極限における有限と無限を分割し、後者を認識対象の属性から認識作用の属性へと振り替えたところにある。
ε-δ 論法の開発者あるいは解説者が、ε-δ 論法によって極限から無限概念を排除することに成功したと信じていたのも、真理とは認識主体とは独立に認識対象に帰属するという素朴な客観主義を前提にしていたからだということができる。無限を認識対象から認識作用へと排除することで、無限を目立たなくさせることはできるが、無限はなくなったわけではない。ε-δ 論法は有限と無限を区別した点で正しかったが、無限が排除されたのではない以上、有限と無限の区別を維持しつつ、無限を再び可視化する必要が出てくる。1960年代から登場した超準解析の意義はそこにある。

3. 超準解析による問題の解決
二つの実数間に存在する超実数は有限の超実数（finite hyperreal number）と呼ばれる。
無限小は有限の超実数ではあるが、0 以外は実数ではない。0 ではない有限の超実数 hは、限りなく 0 に近く、h=~ 0 と表記される。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/18(火) 17:32:38.14

>>145
つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0%E3%81%AE%E9%80%A3%E7%B6%9A%E6%80%A7
実数の連続性
実数の連続性(continuity of real numbers)とは、実数の集合がもつ性質である。実数の連続性は、実数の完備性(completeness of the real numbers)とも言われる。また、実数の連続性を議論の前提とする立場であれば実数の公理と記述する場合もある。
また、実数の連続性における連続性とは関数の連続性とは別の概念である。
目次
1 実数の連続性と同値な命題
2 デデキントの公理
3 上限性質
4 有界単調数列の収束定理

実数の連続性と同値な命題
実数の連続性と同値な命題は多数存在する。順序体において、実数の公理は
1.デデキントの公理
2.上限性質を持つ
3.有界単調数列の収束定理
4.アルキメデス性と区間縮小法の原理を満たす
5.ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理
6.次の２条件を満たす
・アルキメデス性を持つ
・コーシー列は収束する
7.中間値の定理
8.最大値の定理
9.ロルの定理
10.ラグランジュの平均値の定理
11.コーシーの平均値の定理
12.ハイネ・ボレルの定理
と同値である。
赤摂也『実数論講義』には、これらの命題を含めて22個の同値な命題とその証明が記されている。

デデキントの公理
詳細は「デデキント切断」を参照
(A,B)を実数の集合Rの切断とすれば、Aに最大元があってBに最小元がないか、Bに最小元があってAに最大元がないかのいずれかである。
リヒャルト・デーデキントが提示した。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/18(火) 17:33:16.94

>>146
つづき

下記 P43
「その場合, 層の系列が完全であるとは, 全ての点での茎が完全, つまり各点の無限小近傍において加群の系列が完全であることを意味している」
つまり、「無限小近傍」に思い至らないと、層や茎が分からないんだよね（＾＾；
（参考）
https://forcing.nagoya/
The Dark Side of Forcing
既刊同人誌
https://forcing.nagoya/book_C86.pdf
2014/08/17 The Dark Side of Forcing Vol.3(C86) PDF 足立真訓, 倉永崇, 才川隆文, 鈴木佑京, 淡中圏, 宮崎達也 1変数複素関数論の見直しによる層係数コホモロジー入門、可述算術の解説、線形代数の多元的見方、企業との公理的集合論共同勉強会事始め、数学短歌
P40
*26 現代数学において, 何度も観察される現象に, 幾何的対象と関数環の双対性がある. 集合の特性関数や,
論理学の命題と外延の関係や, 位相空間におけるウリゾーンの距離化定理などは全てその初等的な現れで
ある. 高等数学においては, 多様体など, 幾何的対象を直接考えるのではなく, その上の, その対象と双対
的になるような適切な関数の層を考えることが多い, すると, 関数は環をなすので, 線形代数やその拡張で
ある環上の加群の議論が使え, 後で述べる, 層のコホモロジー論などが, この対象の幾何的性質をうまく抽
出するのだ. これがグロタンディークがコホモロジー論によって, 線形でない対象の議論も全て, 線形代
数に帰着させてしまう手法である.
またこの双対性によって, 本来幾何的対象の上の関数環として導入されたわけではない任意の環を, 何
らかの幾何学的対象の上の関数環だと見なそうという手法が, scheme 論であり, 詳しくは [3] を参照.
体 K に対応する scheme である Spec(K) は位相空間としては実際に点になる. ただし局所環付き空間
と呼ばれるものになるので, 位相空間としての単なる一点よりは複雑な構造を持つ

P43
この議論は環上の加群に限らず, 任意の対象が入射的対象の部分対象になっているよう
な（入射的対象を十分に持つ, と呼ばれる）アーベル圏から, 別のアーベル圏の関手に対し
て使える*32. もっとも重要な例は, 各種多様体や scheme や解析空間などの局所環付き空
間 X 上の, 加群の層から加群もしくは加群の層への関手である.
その場合, 層の系列が完全であるとは, 全ての点での茎が完全, つまり各点の無限小近傍
において加群の系列が完全であることを意味している.
(引用終り)
以上