クレレ誌：
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%83%AC%E8%AA%8C
クレレ誌はアカデミーの紀要ではない最初の主要な数学学術誌の一つである（Neuenschwander 1994, p. 1533）。ニールス・アーベル、ゲオルク・カントール、ゴットホルト・アイゼンシュタインらの研究を含む著名な論文を掲載してきた。
(引用終り)
そこで
現代の純粋・応用数学（含むガロア理論）を目指して
新スレを立てる（＾＾；
＜前スレ＞
純粋・応用数学（含むガロア理論）7
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1618711564/
＜関連姉妹スレ＞
ガロア第一論文及びその関連の資料スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/1-
箱入り無数目を語る部屋
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1609427846/
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 54
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1617170015/
IUTを読むための用語集資料スレ2
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1606813903/
現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/
＜過去スレの関連（含むガロア理論）＞
・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む84
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582200067/
・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む83
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/
探検
純粋・応用数学（含むガロア理論）8
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2021/05/13(木) 20:12:42.63ID:0t/ScuZ1
112１３２人目の素数さん
2021/05/17(月) 14:51:28.75ID:1VWltCj+113１３２人目の素数さん
2021/05/17(月) 15:00:21.98ID:S2Qn0/do 意味も分からずコピペするだけの人はコメントにも内容が無いですね。
114１３２人目の素数さん
2021/05/17(月) 15:16:27.47ID:HWg8rjhz115１３２人目の素数さん
2021/05/17(月) 15:17:47.07ID:HWg8rjhz ふふふ なんて気持ちの悪い作り笑いしなくていいからちゃんと答えてね。０の隣の点。
116１３２人目の素数さん
2021/05/17(月) 15:28:36.87ID:Ka93ClwI >>108
＞整列順序は、全順序（１列）かつ
＞「任意の部分集合が必ず ≦ に関する最小元をもつものをいう」
＞ってこと。
Qは、最小元を持たない部分集合が存在する
たとえば、0より大きい有理数に最小元はない
＞この最小元は、大小を考えたときの小の方だけ。
＞つまり、大については「最大元の存在要求なし」
＞（だらだら無限に伸びてよし）！ｗ
なんか根本的にわかってなさそうｗ
{1-1/10^n|n∈N}∪{1} という集合を考える
上記の部分集合である {1-1/10^n|n∈N} には、たしかに最大元はない
だ・か・ら、1からまず降りるときに
{1-1/10^n|n∈N}のいかなる要素よりも小さくない
最大の元におりることができない
そして、１＞ｒとして
{1-1/10^n|n∈N}のいかなる要素ｒを選んだところで
ｒよりも大きい上記の集合の元は無数にある
つまり＞降下列の最初のステップで、
無限個の元をすっとばすしかない
無限個の元を全部経由する＞降下列はつくれない
そこが分からない雑談君は
整列集合も＞降下列も定義から理解できない
正真正銘の🐎🦌（つまり人間未満の動物）ってことｗｗｗ
数学ムリだから諦めな
大阪大なんて嘘だろ？
大阪○〇大の〇〇を省略すんなよｗｗｗ
＞整列順序は、全順序（１列）かつ
＞「任意の部分集合が必ず ≦ に関する最小元をもつものをいう」
＞ってこと。
Qは、最小元を持たない部分集合が存在する
たとえば、0より大きい有理数に最小元はない
＞この最小元は、大小を考えたときの小の方だけ。
＞つまり、大については「最大元の存在要求なし」
＞（だらだら無限に伸びてよし）！ｗ
なんか根本的にわかってなさそうｗ
{1-1/10^n|n∈N}∪{1} という集合を考える
上記の部分集合である {1-1/10^n|n∈N} には、たしかに最大元はない
だ・か・ら、1からまず降りるときに
{1-1/10^n|n∈N}のいかなる要素よりも小さくない
最大の元におりることができない
そして、１＞ｒとして
{1-1/10^n|n∈N}のいかなる要素ｒを選んだところで
ｒよりも大きい上記の集合の元は無数にある
つまり＞降下列の最初のステップで、
無限個の元をすっとばすしかない
無限個の元を全部経由する＞降下列はつくれない
そこが分からない雑談君は
整列集合も＞降下列も定義から理解できない
正真正銘の🐎🦌（つまり人間未満の動物）ってことｗｗｗ
数学ムリだから諦めな
大阪大なんて嘘だろ？
大阪○〇大の〇〇を省略すんなよｗｗｗ
117１３２人目の素数さん
2021/05/17(月) 15:30:42.82ID:Ka93ClwI118１３２人目の素数さん
2021/05/17(月) 15:48:37.17ID:HWg8rjhz >無限個の元を全部経由する＞降下列はつくれない
これを何度説明しても理解しないんだよね彼。
彼の頭蓋骨の中身は豆腐でしょ、脳みそが入ってるとは信じがたい。
これを何度説明しても理解しないんだよね彼。
彼の頭蓋骨の中身は豆腐でしょ、脳みそが入ってるとは信じがたい。
119１３２人目の素数さん
2021/05/17(月) 17:20:44.41ID:Ka93ClwI120１３２人目の素数さん
2021/05/17(月) 18:18:40.98ID:1VWltCj+ サル二匹のうち
一匹は、数学科出身を名乗る（修士卒とか）けど・・
こんなレベルなの？ やれやれｗ（＾＾；
一匹は、数学科出身を名乗る（修士卒とか）けど・・
こんなレベルなの？ やれやれｗ（＾＾；
121１３２人目の素数さん
2021/05/17(月) 18:45:36.53ID:HWg8rjhz と、学部一年4月に落ちこぼれた馬鹿が申しております
122１３２人目の素数さん
2021/05/17(月) 19:53:41.38ID:Ka93ClwI チャーシュー君、頑張って整礎関係、理解しようねｗｗｗｗｗｗｗ
123１３２人目の素数さん
2021/05/17(月) 21:15:46.42ID:/7E7xUz8 新訂版序文の人 大類昌俊@Ohrui_math_bass
弟は俺より頭が悪く「次男は頭が悪いもん」とか言ってたし俺も勉強を教える時に苦労したが、鉄道に関しては職業に就く適性はあったみたいで、頭の良し悪しより適性がないと解けない問題は得意だったようだし、実際今運転手をやってる。偏差値はせいぜい学力試験の成績の振り分けに過ぎない。
弟は俺より頭が悪く「次男は頭が悪いもん」とか言ってたし俺も勉強を教える時に苦労したが、鉄道に関しては職業に就く適性はあったみたいで、頭の良し悪しより適性がないと解けない問題は得意だったようだし、実際今運転手をやってる。偏差値はせいぜい学力試験の成績の振り分けに過ぎない。
124現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/17(月) 22:54:27.40ID:QZBefhAf >>108 追加
英語版
https://en.wikipedia.org/wiki/Well-order
Well-order
Examples and counterexamples
Natural numbers
The standard ordering ≦ of the natural numbers is a well ordering and has the additional property that every non-zero natural number has a unique predecessor.
Another well ordering of the natural numbers is given by defining that all even numbers are less than all odd numbers, and the usual ordering applies within the evens and the odds:
0 2 4 6 8 ... 1 3 5 7 9 ...
This is a well-ordered set of order type ω + ω. Every element has a successor (there is no largest element). Two elements lack a predecessor: 0 and 1.
Reals
The standard ordering ≦ of any real interval is not a well ordering, since, for example, the open interval (0, 1) ⊆ [0,1] does not contain a least element. From the ZFC axioms of set theory (including the axiom of choice) one can show that there is a well order of the reals. Also Wac?aw Sierpi?ski proved that ZF + GCH (the generalized continuum hypothesis) imply the axiom of choice and hence a well order of the reals. Nonetheless, it is possible to show that the ZFC+GCH axioms alone are not sufficient to prove the existence of a definable (by a formula) well order of the reals.[1] However it is consistent with ZFC that a definable well ordering of the reals exists?for example, it is consistent with ZFC that V=L, and it follows from ZFC+V=L that a particular formula well orders the reals, or indeed any set.
つづく
英語版
https://en.wikipedia.org/wiki/Well-order
Well-order
Examples and counterexamples
Natural numbers
The standard ordering ≦ of the natural numbers is a well ordering and has the additional property that every non-zero natural number has a unique predecessor.
Another well ordering of the natural numbers is given by defining that all even numbers are less than all odd numbers, and the usual ordering applies within the evens and the odds:
0 2 4 6 8 ... 1 3 5 7 9 ...
This is a well-ordered set of order type ω + ω. Every element has a successor (there is no largest element). Two elements lack a predecessor: 0 and 1.
Reals
The standard ordering ≦ of any real interval is not a well ordering, since, for example, the open interval (0, 1) ⊆ [0,1] does not contain a least element. From the ZFC axioms of set theory (including the axiom of choice) one can show that there is a well order of the reals. Also Wac?aw Sierpi?ski proved that ZF + GCH (the generalized continuum hypothesis) imply the axiom of choice and hence a well order of the reals. Nonetheless, it is possible to show that the ZFC+GCH axioms alone are not sufficient to prove the existence of a definable (by a formula) well order of the reals.[1] However it is consistent with ZFC that a definable well ordering of the reals exists?for example, it is consistent with ZFC that V=L, and it follows from ZFC+V=L that a particular formula well orders the reals, or indeed any set.
つづく
125現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/17(月) 22:56:20.24ID:QZBefhAf >>124
つづき
An uncountable subset of the real numbers with the standard ordering ≦ cannot be a well order: Suppose X is a subset of R well ordered by ≦. For each x in X, let s(x) be the successor of x in ≦ ordering on X (unless x is the last element of X). Let A = { (x, s(x)) | x ∈ X } whose elements are nonempty and disjoint intervals. Each such interval contains at least one rational number, so there is an injective function from A to Q. There is an injection from X to A (except possibly for a last element of X which could be mapped to zero later). And it is well known that there is an injection from Q to the natural numbers (which could be chosen to avoid hitting zero). Thus there is an injection from X to the natural numbers which means that X is countable. On the other hand, a countably infinite subset of the reals may or may not be a well order with the standard "≦". For example,
・The natural numbers are a well order under the standard ordering ≦.
・The set {1/n : n =1,2,3,...} has no least element and is therefore not a well order under standard ordering ≦.
Examples of well orders:
・The set of numbers { - 2-n | 0 ≦ n < ω } has order type ω.
・The set of numbers { - 2-n - 2-m-n | 0 ≦ m,n < ω } has order type ω2. The previous set is the set of limit points within the set. Within the set of real numbers, either with the ordinary topology or the order topology, 0 is also a limit point of the set. It is also a limit point of the set of limit points.
・The set of numbers { - 2-n | 0 ≦ n < ω } ∪ { 1 } has order type ω + 1. With the order topology of this set, 1 is a limit point of the set. With the ordinary topology (or equivalently, the order topology) of the real numbers it is not.
References
1＾S. Feferman Some applications of the notions of forcing and generic sets Fundamenta Mathematicae (1964)
http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm56/fm56129.pdf
つづく
つづき
An uncountable subset of the real numbers with the standard ordering ≦ cannot be a well order: Suppose X is a subset of R well ordered by ≦. For each x in X, let s(x) be the successor of x in ≦ ordering on X (unless x is the last element of X). Let A = { (x, s(x)) | x ∈ X } whose elements are nonempty and disjoint intervals. Each such interval contains at least one rational number, so there is an injective function from A to Q. There is an injection from X to A (except possibly for a last element of X which could be mapped to zero later). And it is well known that there is an injection from Q to the natural numbers (which could be chosen to avoid hitting zero). Thus there is an injection from X to the natural numbers which means that X is countable. On the other hand, a countably infinite subset of the reals may or may not be a well order with the standard "≦". For example,
・The natural numbers are a well order under the standard ordering ≦.
・The set {1/n : n =1,2,3,...} has no least element and is therefore not a well order under standard ordering ≦.
Examples of well orders:
・The set of numbers { - 2-n | 0 ≦ n < ω } has order type ω.
・The set of numbers { - 2-n - 2-m-n | 0 ≦ m,n < ω } has order type ω2. The previous set is the set of limit points within the set. Within the set of real numbers, either with the ordinary topology or the order topology, 0 is also a limit point of the set. It is also a limit point of the set of limit points.
・The set of numbers { - 2-n | 0 ≦ n < ω } ∪ { 1 } has order type ω + 1. With the order topology of this set, 1 is a limit point of the set. With the ordinary topology (or equivalently, the order topology) of the real numbers it is not.
References
1＾S. Feferman Some applications of the notions of forcing and generic sets Fundamenta Mathematicae (1964)
http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm56/fm56129.pdf
つづく
126現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/17(月) 22:56:38.17ID:QZBefhAf >>125
つづき
日本語版
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
整列集合
例と反例
自然数の全体 N
（0 を含む）自然数全体の成す集合 N は通常の大小関係 ≦ が整列順序を与える。この整列集合の順序型は ω で表される。さらに、0 でない任意の自然数は唯一の直前元を持つ。
N における別な整列順序としては、例えば、どの偶数もどんな奇数よりも小さいものとし、偶数同士あるいは奇数同士では通常の大小関係を適用することで得られる順序
0, 2, 4, 6, 8, …, 1, 3, 5, 7, 9, …
が挙げられる。この順序に関する整列集合の順序型は ω + ω である。任意の元が直後の元を持つ（したがって最大元は存在しない）が、直前の元を持たない元が 0 と 1 の二つ存在する。
実数からなる集合
正の実数全体の成す集合 R+ に通常の大小関係 ≦ を考えたものは整列順序ではない。例えば開区間 (0, 1) は最小元を持たない。一方、選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる。しかし、ZFC や、一般連続体仮説を加えた体系 ZFC+GCH においては、R 上の整列順序を定義する論理式は存在しない[1]。ただし、R 上の定義可能な整列順序の存在は ZFC と(相対的に)無矛盾である。例えば V=L は ZFC と(相対的に)無矛盾であり、ZFC+V=L ではある特定の論理式が R（実際には任意の集合）を整列順序付けることが従う。
つづく
つづき
日本語版
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
整列集合
例と反例
自然数の全体 N
（0 を含む）自然数全体の成す集合 N は通常の大小関係 ≦ が整列順序を与える。この整列集合の順序型は ω で表される。さらに、0 でない任意の自然数は唯一の直前元を持つ。
N における別な整列順序としては、例えば、どの偶数もどんな奇数よりも小さいものとし、偶数同士あるいは奇数同士では通常の大小関係を適用することで得られる順序
0, 2, 4, 6, 8, …, 1, 3, 5, 7, 9, …
が挙げられる。この順序に関する整列集合の順序型は ω + ω である。任意の元が直後の元を持つ（したがって最大元は存在しない）が、直前の元を持たない元が 0 と 1 の二つ存在する。
実数からなる集合
正の実数全体の成す集合 R+ に通常の大小関係 ≦ を考えたものは整列順序ではない。例えば開区間 (0, 1) は最小元を持たない。一方、選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる。しかし、ZFC や、一般連続体仮説を加えた体系 ZFC+GCH においては、R 上の整列順序を定義する論理式は存在しない[1]。ただし、R 上の定義可能な整列順序の存在は ZFC と(相対的に)無矛盾である。例えば V=L は ZFC と(相対的に)無矛盾であり、ZFC+V=L ではある特定の論理式が R（実際には任意の集合）を整列順序付けることが従う。
つづく
127現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/17(月) 22:57:03.69ID:QZBefhAf >>126
つづき
R の非可算部分集合に通常の大小関係を入れたものが整列集合にならないことは、実数直線 R を互いに交わりを持たない区間の和に分割するとき、そのような区間の数が高々可算であることからわかる。可算無限集合ならば、通常の大小関係 ≦ が整列順序となることも、ならないこともありうる。整列順序となる例としては次のようなものが挙げられる。
・集合 {-2-n | 0 ≦ n < ω} は ω を順序型に持つ。
・集合 {-2-n - 2-m-n | 0 ≦ m, n < ω} は順序型 ω2 を持つ。一つ前の例に挙げた集合は、この集合に集積点の集合として含まれる。実数全体の成す集合 R の中では（通常の位相でも順序位相でも）0 も集積点に含まれる（これは集積点全体の成すの集合の集積点にもなっている）。
・集合 {-2-n | 0 ≦ n < ω} ∪ {1} は順序型 ω + 1 である。この集合に順序位相を考えれば、1 は集積点であるが、R に通常の位相（順序位相でも同じことだが）を入れても 1 は集積点にはならない。
参考文献
1^ S. Feferman: "Some Applications of the Notions of Forcing and Generic Sets", Fundamenta Mathematicae, 56 (1964) 325-345
(引用終り)
以上
つづき
R の非可算部分集合に通常の大小関係を入れたものが整列集合にならないことは、実数直線 R を互いに交わりを持たない区間の和に分割するとき、そのような区間の数が高々可算であることからわかる。可算無限集合ならば、通常の大小関係 ≦ が整列順序となることも、ならないこともありうる。整列順序となる例としては次のようなものが挙げられる。
・集合 {-2-n | 0 ≦ n < ω} は ω を順序型に持つ。
・集合 {-2-n - 2-m-n | 0 ≦ m, n < ω} は順序型 ω2 を持つ。一つ前の例に挙げた集合は、この集合に集積点の集合として含まれる。実数全体の成す集合 R の中では（通常の位相でも順序位相でも）0 も集積点に含まれる（これは集積点全体の成すの集合の集積点にもなっている）。
・集合 {-2-n | 0 ≦ n < ω} ∪ {1} は順序型 ω + 1 である。この集合に順序位相を考えれば、1 は集積点であるが、R に通常の位相（順序位相でも同じことだが）を入れても 1 は集積点にはならない。
参考文献
1^ S. Feferman: "Some Applications of the Notions of Forcing and Generic Sets", Fundamenta Mathematicae, 56 (1964) 325-345
(引用終り)
以上
128現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/18(火) 07:18:10.81ID:4SccZpT/ >>124 補足
(引用開始)
https://en.wikipedia.org/wiki/Well-order
Well-order
Examples and counterexamples
Reals
The standard ordering ≦ of any real interval is not a well ordering, since, for example, the open interval (0, 1) ⊆ [0,1] does not contain a least element.
From the ZFC axioms of set theory (including the axiom of choice) one can show that there is a well order of the reals.
Nonetheless, it is possible to show that the ZFC+GCH axioms alone are not sufficient to prove the existence of a definable (by a formula) well order of the reals.[1]
However it is consistent with ZFC that a definable well ordering of the reals exists-for example, it is consistent with ZFC that V=L, and it follows from ZFC+V=L that a particular formula well orders the reals, or indeed any set.
References
1＾S. Feferman Some applications of the notions of forcing and generic sets Fundamenta Mathematicae (1964)
http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm56/fm56129.pdf
(引用終り)
これだね
S. Feferman Some applications of the notions of forcing and generic sets Fundamenta Mathematicae (1964)
(抜粋)
P1
The most interesting of these are the following:
(1) No set-theoreticallydefinable well-ordering of the continuum can be proved to exist fromthe Zermelo-Fraenkel axioms together with the axiom of choice andthe generalized continuum hypothesis.
P9
4.11 THEOREM. If s=1 there is no set-theoretically definable well-ordering of the continuum in M*.
Proof. What comes to the same thing, there is no formula F(X, Y)of L which establishes a well-ordering relation in the set of all subsetsFundamenta Mathematicae, T. LVI 略
つづく
(引用開始)
https://en.wikipedia.org/wiki/Well-order
Well-order
Examples and counterexamples
Reals
The standard ordering ≦ of any real interval is not a well ordering, since, for example, the open interval (0, 1) ⊆ [0,1] does not contain a least element.
From the ZFC axioms of set theory (including the axiom of choice) one can show that there is a well order of the reals.
Nonetheless, it is possible to show that the ZFC+GCH axioms alone are not sufficient to prove the existence of a definable (by a formula) well order of the reals.[1]
However it is consistent with ZFC that a definable well ordering of the reals exists-for example, it is consistent with ZFC that V=L, and it follows from ZFC+V=L that a particular formula well orders the reals, or indeed any set.
References
1＾S. Feferman Some applications of the notions of forcing and generic sets Fundamenta Mathematicae (1964)
http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm56/fm56129.pdf
(引用終り)
これだね
S. Feferman Some applications of the notions of forcing and generic sets Fundamenta Mathematicae (1964)
(抜粋)
P1
The most interesting of these are the following:
(1) No set-theoreticallydefinable well-ordering of the continuum can be proved to exist fromthe Zermelo-Fraenkel axioms together with the axiom of choice andthe generalized continuum hypothesis.
P9
4.11 THEOREM. If s=1 there is no set-theoretically definable well-ordering of the continuum in M*.
Proof. What comes to the same thing, there is no formula F(X, Y)of L which establishes a well-ordering relation in the set of all subsetsFundamenta Mathematicae, T. LVI 略
つづく
129現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/18(火) 07:18:27.88ID:4SccZpT/ >>128
つづき
P10
Thus, from 4.9 (ii) we obtain: it is consistent with Z-F, AC and GCH,that there is no set-theoretically definable well-ordering of the continuum.
(That is, it is consistent to adjoin to these axioms the statement, foreach formula ? of L with two free variables, which expresses that Fdoes not determine a well-ordering of the continuum.)
This bears onquestions dealt with by Myhill and Scott [13] (1).
(*). The following result of Scott, which will appear in that paper, is of specialinterest in this connection: it is provable in Z-F that there is a definable well-orderingA with field I a subset of the continuum, such that any other well-ordering 4, of thissort has field TiCr.
A simple explicit definition of this A can be given.
(引用終り)
以上
つづき
P10
Thus, from 4.9 (ii) we obtain: it is consistent with Z-F, AC and GCH,that there is no set-theoretically definable well-ordering of the continuum.
(That is, it is consistent to adjoin to these axioms the statement, foreach formula ? of L with two free variables, which expresses that Fdoes not determine a well-ordering of the continuum.)
This bears onquestions dealt with by Myhill and Scott [13] (1).
(*). The following result of Scott, which will appear in that paper, is of specialinterest in this connection: it is provable in Z-F that there is a definable well-orderingA with field I a subset of the continuum, such that any other well-ordering 4, of thissort has field TiCr.
A simple explicit definition of this A can be given.
(引用終り)
以上
130１３２人目の素数さん
2021/05/18(火) 08:27:27.31ID:rb9GigYc >>126
>正の実数全体の成す集合 R+ に通常の大小関係 ≦ を考えたものは整列順序ではない。例えば開区間 (0, 1) は最小元を持たない。一方、選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる。
じゃダメじゃんｗ
通常の大小関係では整列順序でないんでしょ？
はい、終了。とっとと退場して下さい。
>正の実数全体の成す集合 R+ に通常の大小関係 ≦ を考えたものは整列順序ではない。例えば開区間 (0, 1) は最小元を持たない。一方、選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる。
じゃダメじゃんｗ
通常の大小関係では整列順序でないんでしょ？
はい、終了。とっとと退場して下さい。
131１３２人目の素数さん
2021/05/18(火) 08:28:26.19ID:rb9GigYc 得意のコピペで自らの首を絞める哀れな落ちこぼれ 瀬田
132１３２人目の素数さん
2021/05/18(火) 08:43:10.14ID:W8fi4PC4 >>130
＞選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、
＞実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる。
雑談君は、この文章を誤解してるね
おそらく
「＞選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、
実数全体の成す集合 R 上の通常の順序が整列順序だと示せる。」
ってね
全然違うよ ほんと日本語読めないんだな 在阪朝鮮人はｗ
＞選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、
＞実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる。
雑談君は、この文章を誤解してるね
おそらく
「＞選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、
実数全体の成す集合 R 上の通常の順序が整列順序だと示せる。」
ってね
全然違うよ ほんと日本語読めないんだな 在阪朝鮮人はｗ
133現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/18(火) 08:44:53.81ID:4SccZpT/ >>130-131
>>正の実数全体の成す集合 R+ に通常の大小関係 ≦ を考えたものは整列順序ではない。例えば開区間 (0, 1) は最小元を持たない。一方、選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる。
>じゃダメじゃんｗ
>通常の大小関係では整列順序でないんでしょ？
意味分からん
「正の実数全体の成す集合 R+ に通常の大小関係 ≦ を考えたものは整列順序ではない」
は、初等的な結果だよ。中高校レベル
一方で、「選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる」
は、大学レベル
何の反論にもなっていないぞ！ｗ（＾＾；
お茶目な おサルだねぇ〜！！ｗ（＾＾
>>正の実数全体の成す集合 R+ に通常の大小関係 ≦ を考えたものは整列順序ではない。例えば開区間 (0, 1) は最小元を持たない。一方、選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる。
>じゃダメじゃんｗ
>通常の大小関係では整列順序でないんでしょ？
意味分からん
「正の実数全体の成す集合 R+ に通常の大小関係 ≦ を考えたものは整列順序ではない」
は、初等的な結果だよ。中高校レベル
一方で、「選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる」
は、大学レベル
何の反論にもなっていないぞ！ｗ（＾＾；
お茶目な おサルだねぇ〜！！ｗ（＾＾
134現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/18(火) 08:46:54.42ID:4SccZpT/135１３２人目の素数さん
2021/05/18(火) 08:50:39.12ID:rb9GigYc >>133
まさかとは思うが、ZFCなら通常の大小関係で整列順序になると思ってる？
それって「選択公理を仮定すれば最小の正実数が存在する」と言ってるのと同じことだよｗ
もちろん大間違い、0点で落第ですｗ
はい、終了。とっとと退場して下さい。
まさかとは思うが、ZFCなら通常の大小関係で整列順序になると思ってる？
それって「選択公理を仮定すれば最小の正実数が存在する」と言ってるのと同じことだよｗ
もちろん大間違い、0点で落第ですｗ
はい、終了。とっとと退場して下さい。
136１３２人目の素数さん
2021/05/18(火) 08:52:59.77ID:W8fi4PC4 N∪{∞} という集合を考える
0を起点として１，２，３と順々にたどる「自然数電鉄」がある
しかし∞は自然数電鉄の終点ではない
∞には、１，２，３・・・の各駅から
「リミット・エアライン」の飛行機で飛ぶしかない
安達氏は、飛行機嫌いだから「∞なんていけるわけない！」という
まあ、文明嫌いのお爺ちゃんだから仕方ない
で、雑談君は
「いや、リミット・エアラインなんか使わなくても、自然数電鉄だけで∞に行ける！
で、∞から自然数電鉄にのれば、無限個の駅を通過して０に戻れる！」
といって駄々こねる鉄ヲタ
いや、だめなんだってｗ
０から∞にいくには、どこからでもいいけど
最後はリミット・エアラインで飛ぶ必要がある
逆も同様
∞から最初にリミット・エアラインで
自然数電鉄のどこかの駅に行く必要がある
だから乗り物にのるのは有限回
0を起点として１，２，３と順々にたどる「自然数電鉄」がある
しかし∞は自然数電鉄の終点ではない
∞には、１，２，３・・・の各駅から
「リミット・エアライン」の飛行機で飛ぶしかない
安達氏は、飛行機嫌いだから「∞なんていけるわけない！」という
まあ、文明嫌いのお爺ちゃんだから仕方ない
で、雑談君は
「いや、リミット・エアラインなんか使わなくても、自然数電鉄だけで∞に行ける！
で、∞から自然数電鉄にのれば、無限個の駅を通過して０に戻れる！」
といって駄々こねる鉄ヲタ
いや、だめなんだってｗ
０から∞にいくには、どこからでもいいけど
最後はリミット・エアラインで飛ぶ必要がある
逆も同様
∞から最初にリミット・エアラインで
自然数電鉄のどこかの駅に行く必要がある
だから乗り物にのるのは有限回
137１３２人目の素数さん
2021/05/18(火) 08:55:09.43ID:W8fi4PC4138１３２人目の素数さん
2021/05/18(火) 09:02:20.71ID:W8fi4PC4139１３２人目の素数さん
2021/05/18(火) 09:06:56.68ID:W8fi4PC4 >>138
安達氏と雑談君は飛行機を認めない点では同じ
しかし安達氏は∞が鉄道でいけないことは理解してる
雑談君は∞も自然数同様、鉄道で行けると何の根拠もなく盲信狂信してる
ここの読者は
「∞は鉄道ではいけないけど、飛行機使えば行ける」
と分かってる
安達氏と雑談君は飛行機を認めない点では同じ
しかし安達氏は∞が鉄道でいけないことは理解してる
雑談君は∞も自然数同様、鉄道で行けると何の根拠もなく盲信狂信してる
ここの読者は
「∞は鉄道ではいけないけど、飛行機使えば行ける」
と分かってる
140１３２人目の素数さん
2021/05/18(火) 09:26:53.49ID:rb9GigYc はっきり差が付きましたな
安達＞瀬田
瀬田よ
だから言ってるだろ？キミは口では無限と云いつつ実際は有限しか認めてないと。
自然数鉄道で行けるのは有限だけ。∞へも自然数鉄道で行けると思ってるキミは有限しか認めてないんだよ。分かる？
安達＞瀬田
瀬田よ
だから言ってるだろ？キミは口では無限と云いつつ実際は有限しか認めてないと。
自然数鉄道で行けるのは有限だけ。∞へも自然数鉄道で行けると思ってるキミは有限しか認めてないんだよ。分かる？
141１３２人目の素数さん
2021/05/18(火) 12:08:40.55ID:rb9GigYc 安達 有限との違いを理解した上で無限を拒絶
瀬田 そもそも違いを理解していない
文学部に負けた阪大工学部ｗ
瀬田 そもそも違いを理解していない
文学部に負けた阪大工学部ｗ
142１３２人目の素数さん
2021/05/18(火) 12:09:25.73ID:MmiRs6gm 突然ですが
https://www.nikkei.com/article/DGXZQOUC106KY0Q1A510C2000000/?unlock=1
GoogleがOS開発に新言語 背景にサイバー戦争の影 日経 （日経クロステック/日経コンピュータ 中田敦）
2021年5月18日 5:00 [有料会員限定]
米グーグルが2021年4月、基本ソフト（OS）を開発するプログラミング言語に「Rust（ラスト）」を採用すると明らかにした。米マイクロソフトも既に採用を始めている。CやC++の独壇場だったOS開発に、15年に「バージョン1」になったばかりの新世代言語であるRustが採用される背景には、サイバー戦争の深刻化がある。
グーグルは4月6日（米国時間）に、OS「Android（アンドロイド）」の開発言語にRustを採用すると発表した。
また同社は8日後の4月14日（同）に、Android のベースとなるLinux（リナックス）カーネルの開発にRustが適していると公式ブログで主張すると共に、Linuxカーネル開発へのRustの採用を目指す団体である「Rust for Linux」に参加したことを明らかにしている。
マイクロソフトはグーグルよりも早い19年7月の時点でOS開発にはRustが適しているとのブログを発表しているほか、19年11月にはOS「Windows（ウィンドウズ）」の一部のコンポーネントをRustによって実装し始めたことを明らかにしている。
カーネルなど中核部分に採用
1970年代初めにOS「UNIX（ユニックス）」の開発にC言語が採用されて以来、OS開発はCやその後継であるC++の独壇場だった。
グーグルはこれまでもAndroidの開発にJava（ジャバ）やKotlin（コトリン）を採用していたが、中核となるカーネルやデバイスドライバーなどの開発にはC/C++しか使ってこなかった。RustはC/C++と同様にカーネルなどの開発に使用する。
つづく
https://www.nikkei.com/article/DGXZQOUC106KY0Q1A510C2000000/?unlock=1
GoogleがOS開発に新言語 背景にサイバー戦争の影 日経 （日経クロステック/日経コンピュータ 中田敦）
2021年5月18日 5:00 [有料会員限定]
米グーグルが2021年4月、基本ソフト（OS）を開発するプログラミング言語に「Rust（ラスト）」を採用すると明らかにした。米マイクロソフトも既に採用を始めている。CやC++の独壇場だったOS開発に、15年に「バージョン1」になったばかりの新世代言語であるRustが採用される背景には、サイバー戦争の深刻化がある。
グーグルは4月6日（米国時間）に、OS「Android（アンドロイド）」の開発言語にRustを採用すると発表した。
また同社は8日後の4月14日（同）に、Android のベースとなるLinux（リナックス）カーネルの開発にRustが適していると公式ブログで主張すると共に、Linuxカーネル開発へのRustの採用を目指す団体である「Rust for Linux」に参加したことを明らかにしている。
マイクロソフトはグーグルよりも早い19年7月の時点でOS開発にはRustが適しているとのブログを発表しているほか、19年11月にはOS「Windows（ウィンドウズ）」の一部のコンポーネントをRustによって実装し始めたことを明らかにしている。
カーネルなど中核部分に採用
1970年代初めにOS「UNIX（ユニックス）」の開発にC言語が採用されて以来、OS開発はCやその後継であるC++の独壇場だった。
グーグルはこれまでもAndroidの開発にJava（ジャバ）やKotlin（コトリン）を採用していたが、中核となるカーネルやデバイスドライバーなどの開発にはC/C++しか使ってこなかった。RustはC/C++と同様にカーネルなどの開発に使用する。
つづく
143１３２人目の素数さん
2021/05/18(火) 12:09:54.45ID:MmiRs6gm >>142
つづき
グーグルは数千万行にも及ぶ既存のC/C++のコードを書き換えるのは不可能としており、新規のコードの開発にのみRustを適用する方針だ。それでもOS開発の常識が数十年ぶりに変わるのだけは間違いない。
Rustはウェブブラウザー「Firefox（ファイアフォックス）」を開発する米モジラ財団が開発を主導するプログラミング言語だ。開発が始まったのは06年で、安定版であるバージョン1がリリースされたのが15年のことだ。まだ新しい言語をグーグルやマイクロソフトがOS開発に採用する理由は、OSのセキュリティー強化にある。
Rustは、プログラムに必要なメモリーの確保や解放に関連するバグが生じない「メモリー安全」が保証されたプログラミング言語である。それに対してこれまでのOS開発に使われてきたC/C++は「大規模な開発においてメモリー安全なコードを記述することがほぼ不可能」（マイクロソフトのブログより）なのだという。
脆弱性の70%がメモリー管理バグに起因
グーグルによればAndroidに存在した深刻なセキュリティー脆弱性の70%近くがメモリー安全に関するバグに起因するという。マイクロソフトも脆弱性の70%がメモリー安全に関するバグに起因すると述べている。C/C++を使う限りセキュリティー脆弱性を根絶するのは不可能と考えて、Rustを採用するに至ったというわけだ。
今日のアプリケーション開発における主流の言語であるJavaやC#もメモリー安全が保証されている。しかしJavaやC#はメモリー安全を実現するために、プログラムが稼働するランタイムがメモリーの割り当てや解放を管理するガベージコレクション（GC）を採用している。
つづく
つづき
グーグルは数千万行にも及ぶ既存のC/C++のコードを書き換えるのは不可能としており、新規のコードの開発にのみRustを適用する方針だ。それでもOS開発の常識が数十年ぶりに変わるのだけは間違いない。
Rustはウェブブラウザー「Firefox（ファイアフォックス）」を開発する米モジラ財団が開発を主導するプログラミング言語だ。開発が始まったのは06年で、安定版であるバージョン1がリリースされたのが15年のことだ。まだ新しい言語をグーグルやマイクロソフトがOS開発に採用する理由は、OSのセキュリティー強化にある。
Rustは、プログラムに必要なメモリーの確保や解放に関連するバグが生じない「メモリー安全」が保証されたプログラミング言語である。それに対してこれまでのOS開発に使われてきたC/C++は「大規模な開発においてメモリー安全なコードを記述することがほぼ不可能」（マイクロソフトのブログより）なのだという。
脆弱性の70%がメモリー管理バグに起因
グーグルによればAndroidに存在した深刻なセキュリティー脆弱性の70%近くがメモリー安全に関するバグに起因するという。マイクロソフトも脆弱性の70%がメモリー安全に関するバグに起因すると述べている。C/C++を使う限りセキュリティー脆弱性を根絶するのは不可能と考えて、Rustを採用するに至ったというわけだ。
今日のアプリケーション開発における主流の言語であるJavaやC#もメモリー安全が保証されている。しかしJavaやC#はメモリー安全を実現するために、プログラムが稼働するランタイムがメモリーの割り当てや解放を管理するガベージコレクション（GC）を採用している。
つづく
144１３２人目の素数さん
2021/05/18(火) 12:10:21.14ID:MmiRs6gm >>143
つづき
GCを採用する言語はメモリー管理の挙動をプログラマーが厳格に制御できず、処理のオーバーヘッドも発生するため、カーネルやデバイスドライバーなどの開発（システムプログラミング）には不向きである。またカーネルを稼働するのに適した小型のランタイムを実装するのも難しい。
それに対してRustはGCを使わない。プログラマーはRustの「所有権」という概念に基づいてメモリーを管理する。
グーグルやマイクロソフトによるOS開発へのRust採用は、プログラミング言語を変えなければならないほどOS開発者が追い詰められている現状も物語る。
OSのセキュリティー脆弱性は、サイバー戦争の当事者にとって喉から手が出るほど欲しい「兵器」になり得る。中国やロシアといった強権的な国家の政府機関だけでなく、米国など西側諸国の政府機関もOSの脆弱性を見つけては報告せずに隠しておき、未知の脆弱性を狙う「ゼロデイ攻撃」のツールとして悪用している。
米国政府も脆弱性を悪用
米メディア「MIT Technology Review（MITテクノロジーレビュー）」は21年4月、グーグルが20年4月までに発見したWindowsなどに存在する複数のセキュリティー脆弱性について、西側諸国の政府機関が攻撃手段として使っていたものだったと報じた。
WannaCryのケースからも明らかなように、脆弱性という兵器の流通が野放しになることで被害を受けるのは、罪の無い一般市民だ。OS開発言語のRustへの移行によって兵器の生産に終止符が打たれ、市民の被害が減ることを願うばかりである。
［日経クロステック2021年4月30日付の記事を再構成］
(引用終り)
以上
つづき
GCを採用する言語はメモリー管理の挙動をプログラマーが厳格に制御できず、処理のオーバーヘッドも発生するため、カーネルやデバイスドライバーなどの開発（システムプログラミング）には不向きである。またカーネルを稼働するのに適した小型のランタイムを実装するのも難しい。
それに対してRustはGCを使わない。プログラマーはRustの「所有権」という概念に基づいてメモリーを管理する。
グーグルやマイクロソフトによるOS開発へのRust採用は、プログラミング言語を変えなければならないほどOS開発者が追い詰められている現状も物語る。
OSのセキュリティー脆弱性は、サイバー戦争の当事者にとって喉から手が出るほど欲しい「兵器」になり得る。中国やロシアといった強権的な国家の政府機関だけでなく、米国など西側諸国の政府機関もOSの脆弱性を見つけては報告せずに隠しておき、未知の脆弱性を狙う「ゼロデイ攻撃」のツールとして悪用している。
米国政府も脆弱性を悪用
米メディア「MIT Technology Review（MITテクノロジーレビュー）」は21年4月、グーグルが20年4月までに発見したWindowsなどに存在する複数のセキュリティー脆弱性について、西側諸国の政府機関が攻撃手段として使っていたものだったと報じた。
WannaCryのケースからも明らかなように、脆弱性という兵器の流通が野放しになることで被害を受けるのは、罪の無い一般市民だ。OS開発言語のRustへの移行によって兵器の生産に終止符が打たれ、市民の被害が減ることを願うばかりである。
［日経クロステック2021年4月30日付の記事を再構成］
(引用終り)
以上
145１３２人目の素数さん
2021/05/18(火) 17:31:53.50ID:MmiRs6gm >>133 追加
下記、極限における無限の問題、無限小、超準解析、アキレスと亀のパラドックス、
実数の連続性（連続だが間に無限小が（＾＾； ）
（付録：層＆茎と無限小近傍）
（参考）
https://www.nagaitoshiya.com/ja/2012/infiniteness/
永井俊哉ドットコム
無限性のコペルニクス的転回
2012年4月8日2021年5月2日
目次
1.極限における無限の問題
2.ε-δ 論法による問題の解決
3.超準解析による問題の解決
4.アキレスと亀のパラドックス
5.無限に対応する対象はあるのか
1. 極限における無限の問題
無限とは何かという問題は、古代ギリシャのゼノンが提起して以来、重要な哲学的問題であったが、アイザック・ニュートンやゴットフリート・ライプニッツが17世紀に微積分学を創設したことで、改めて考えられることになった。もっとも当時は、関数の極限を求める際の無限小（infinitesimal）や無限大（infinity）の扱い方は粗雑であった。
2. ε-δ 論法による問題の解決
ε-δ 論法は、オーギュスタン＝ルイ・コーシー[2]、ベルナルト・ボルツァーノ[3]の試みを経て、1861年にカール・ワイエルシュトラス[4]によって完成された。ε-δ 論法では、無限小の概念を用いずに極限を求めることができるというのが一般的な認識である。
略
ε-δ 論法の開発者自身が自覚していたことではないが、ε-δ 論法の意義は、極限における有限と無限を分割し、後者を認識対象の属性から認識作用の属性へと振り替えたところにある。
ε-δ 論法の開発者あるいは解説者が、ε-δ 論法によって極限から無限概念を排除することに成功したと信じていたのも、真理とは認識主体とは独立に認識対象に帰属するという素朴な客観主義を前提にしていたからだということができる。無限を認識対象から認識作用へと排除することで、無限を目立たなくさせることはできるが、無限はなくなったわけではない。ε-δ 論法は有限と無限を区別した点で正しかったが、無限が排除されたのではない以上、有限と無限の区別を維持しつつ、無限を再び可視化する必要が出てくる。1960年代から登場した超準解析の意義はそこにある。
3. 超準解析による問題の解決
二つの実数間に存在する超実数は有限の超実数（finite hyperreal number）と呼ばれる。
無限小は有限の超実数ではあるが、0 以外は実数ではない。0 ではない有限の超実数 hは、限りなく 0 に近く、h=~ 0 と表記される。
つづく
下記、極限における無限の問題、無限小、超準解析、アキレスと亀のパラドックス、
実数の連続性（連続だが間に無限小が（＾＾； ）
（付録：層＆茎と無限小近傍）
（参考）
https://www.nagaitoshiya.com/ja/2012/infiniteness/
永井俊哉ドットコム
無限性のコペルニクス的転回
2012年4月8日2021年5月2日
目次
1.極限における無限の問題
2.ε-δ 論法による問題の解決
3.超準解析による問題の解決
4.アキレスと亀のパラドックス
5.無限に対応する対象はあるのか
1. 極限における無限の問題
無限とは何かという問題は、古代ギリシャのゼノンが提起して以来、重要な哲学的問題であったが、アイザック・ニュートンやゴットフリート・ライプニッツが17世紀に微積分学を創設したことで、改めて考えられることになった。もっとも当時は、関数の極限を求める際の無限小（infinitesimal）や無限大（infinity）の扱い方は粗雑であった。
2. ε-δ 論法による問題の解決
ε-δ 論法は、オーギュスタン＝ルイ・コーシー[2]、ベルナルト・ボルツァーノ[3]の試みを経て、1861年にカール・ワイエルシュトラス[4]によって完成された。ε-δ 論法では、無限小の概念を用いずに極限を求めることができるというのが一般的な認識である。
略
ε-δ 論法の開発者自身が自覚していたことではないが、ε-δ 論法の意義は、極限における有限と無限を分割し、後者を認識対象の属性から認識作用の属性へと振り替えたところにある。
ε-δ 論法の開発者あるいは解説者が、ε-δ 論法によって極限から無限概念を排除することに成功したと信じていたのも、真理とは認識主体とは独立に認識対象に帰属するという素朴な客観主義を前提にしていたからだということができる。無限を認識対象から認識作用へと排除することで、無限を目立たなくさせることはできるが、無限はなくなったわけではない。ε-δ 論法は有限と無限を区別した点で正しかったが、無限が排除されたのではない以上、有限と無限の区別を維持しつつ、無限を再び可視化する必要が出てくる。1960年代から登場した超準解析の意義はそこにある。
3. 超準解析による問題の解決
二つの実数間に存在する超実数は有限の超実数（finite hyperreal number）と呼ばれる。
無限小は有限の超実数ではあるが、0 以外は実数ではない。0 ではない有限の超実数 hは、限りなく 0 に近く、h=~ 0 と表記される。
つづく
146１３２人目の素数さん
2021/05/18(火) 17:32:38.14ID:MmiRs6gm >>145
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0%E3%81%AE%E9%80%A3%E7%B6%9A%E6%80%A7
実数の連続性
実数の連続性(continuity of real numbers)とは、実数の集合がもつ性質である。 実数の連続性は、実数の完備性(completeness of the real numbers)とも言われる。また、実数の連続性を議論の前提とする立場であれば実数の公理と記述する場合もある。
また、実数の連続性における連続性とは関数の連続性とは別の概念である。
目次
1 実数の連続性と同値な命題
2 デデキントの公理
3 上限性質
4 有界単調数列の収束定理
実数の連続性と同値な命題
実数の連続性と同値な命題は多数存在する。順序体において、実数の公理は
1.デデキントの公理
2.上限性質を持つ
3.有界単調数列の収束定理
4.アルキメデス性と区間縮小法の原理を満たす
5.ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理
6.次の２条件を満たす
・アルキメデス性を持つ
・コーシー列は収束する
7.中間値の定理
8.最大値の定理
9.ロルの定理
10.ラグランジュの平均値の定理
11.コーシーの平均値の定理
12.ハイネ・ボレルの定理
と同値である。
赤摂也『実数論講義』 には、これらの命題を含めて22個の同値な命題とその証明が記されている。
デデキントの公理
詳細は「デデキント切断」を参照
(A,B)を実数の集合Rの切断とすれば、Aに最大元があってBに最小元がないか、Bに最小元があってAに最大元がないかのいずれかである。
リヒャルト・デーデキントが提示した。
つづく
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0%E3%81%AE%E9%80%A3%E7%B6%9A%E6%80%A7
実数の連続性
実数の連続性(continuity of real numbers)とは、実数の集合がもつ性質である。 実数の連続性は、実数の完備性(completeness of the real numbers)とも言われる。また、実数の連続性を議論の前提とする立場であれば実数の公理と記述する場合もある。
また、実数の連続性における連続性とは関数の連続性とは別の概念である。
目次
1 実数の連続性と同値な命題
2 デデキントの公理
3 上限性質
4 有界単調数列の収束定理
実数の連続性と同値な命題
実数の連続性と同値な命題は多数存在する。順序体において、実数の公理は
1.デデキントの公理
2.上限性質を持つ
3.有界単調数列の収束定理
4.アルキメデス性と区間縮小法の原理を満たす
5.ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理
6.次の２条件を満たす
・アルキメデス性を持つ
・コーシー列は収束する
7.中間値の定理
8.最大値の定理
9.ロルの定理
10.ラグランジュの平均値の定理
11.コーシーの平均値の定理
12.ハイネ・ボレルの定理
と同値である。
赤摂也『実数論講義』 には、これらの命題を含めて22個の同値な命題とその証明が記されている。
デデキントの公理
詳細は「デデキント切断」を参照
(A,B)を実数の集合Rの切断とすれば、Aに最大元があってBに最小元がないか、Bに最小元があってAに最大元がないかのいずれかである。
リヒャルト・デーデキントが提示した。
つづく
147１３２人目の素数さん
2021/05/18(火) 17:33:16.94ID:MmiRs6gm >>146
つづき
下記 P43
「その場合, 層の系列が完全であるとは, 全ての点での茎が完全, つまり各点の無限小近傍において加群の系列が完全であることを意味している」
つまり、「無限小近傍」に思い至らないと、層や茎が分からないんだよね（＾＾；
（参考）
https://forcing.nagoya/
The Dark Side of Forcing
既刊同人誌
https://forcing.nagoya/book_C86.pdf
2014/08/17 The Dark Side of Forcing Vol.3(C86) PDF 足立真訓, 倉永崇, 才川隆文, 鈴木佑京, 淡中圏, 宮崎達也 1変数複素関数論の見直しによる層係数コホモロジー入門、可述算術の解説、線形代数の多元的見方、企業との公理的集合論共同勉強会事始め、数学短歌
P40
*26 現代数学において, 何度も観察される現象に, 幾何的対象と関数環の双対性がある. 集合の特性関数や,
論理学の命題と外延の関係や, 位相空間におけるウリゾーンの距離化定理などは全てその初等的な現れで
ある. 高等数学においては, 多様体など, 幾何的対象を直接考えるのではなく, その上の, その対象と双対
的になるような適切な関数の層を考えることが多い, すると, 関数は環をなすので, 線形代数やその拡張で
ある環上の加群の議論が使え, 後で述べる, 層のコホモロジー論などが, この対象の幾何的性質をうまく抽
出するのだ. これがグロタンディークがコホモロジー論によって, 線形でない対象の議論も全て, 線形代
数に帰着させてしまう手法である.
またこの双対性によって, 本来幾何的対象の上の関数環として導入されたわけではない任意の環を, 何
らかの幾何学的対象の上の関数環だと見なそうという手法が, scheme 論であり, 詳しくは [3] を参照.
体 K に対応する scheme である Spec(K) は位相空間としては実際に点になる. ただし局所環付き空間
と呼ばれるものになるので, 位相空間としての単なる一点よりは複雑な構造を持つ
P43
この議論は環上の加群に限らず, 任意の対象が入射的対象の部分対象になっているよう
な（入射的対象を十分に持つ, と呼ばれる）アーベル圏から, 別のアーベル圏の関手に対し
て使える*32. もっとも重要な例は, 各種多様体や scheme や解析空間などの局所環付き空
間 X 上の, 加群の層から加群もしくは加群の層への関手である.
その場合, 層の系列が完全であるとは, 全ての点での茎が完全, つまり各点の無限小近傍
において加群の系列が完全であることを意味している.
(引用終り)
以上
つづき
下記 P43
「その場合, 層の系列が完全であるとは, 全ての点での茎が完全, つまり各点の無限小近傍において加群の系列が完全であることを意味している」
つまり、「無限小近傍」に思い至らないと、層や茎が分からないんだよね（＾＾；
（参考）
https://forcing.nagoya/
The Dark Side of Forcing
既刊同人誌
https://forcing.nagoya/book_C86.pdf
2014/08/17 The Dark Side of Forcing Vol.3(C86) PDF 足立真訓, 倉永崇, 才川隆文, 鈴木佑京, 淡中圏, 宮崎達也 1変数複素関数論の見直しによる層係数コホモロジー入門、可述算術の解説、線形代数の多元的見方、企業との公理的集合論共同勉強会事始め、数学短歌
P40
*26 現代数学において, 何度も観察される現象に, 幾何的対象と関数環の双対性がある. 集合の特性関数や,
論理学の命題と外延の関係や, 位相空間におけるウリゾーンの距離化定理などは全てその初等的な現れで
ある. 高等数学においては, 多様体など, 幾何的対象を直接考えるのではなく, その上の, その対象と双対
的になるような適切な関数の層を考えることが多い, すると, 関数は環をなすので, 線形代数やその拡張で
ある環上の加群の議論が使え, 後で述べる, 層のコホモロジー論などが, この対象の幾何的性質をうまく抽
出するのだ. これがグロタンディークがコホモロジー論によって, 線形でない対象の議論も全て, 線形代
数に帰着させてしまう手法である.
またこの双対性によって, 本来幾何的対象の上の関数環として導入されたわけではない任意の環を, 何
らかの幾何学的対象の上の関数環だと見なそうという手法が, scheme 論であり, 詳しくは [3] を参照.
体 K に対応する scheme である Spec(K) は位相空間としては実際に点になる. ただし局所環付き空間
と呼ばれるものになるので, 位相空間としての単なる一点よりは複雑な構造を持つ
P43
この議論は環上の加群に限らず, 任意の対象が入射的対象の部分対象になっているよう
な（入射的対象を十分に持つ, と呼ばれる）アーベル圏から, 別のアーベル圏の関手に対し
て使える*32. もっとも重要な例は, 各種多様体や scheme や解析空間などの局所環付き空
間 X 上の, 加群の層から加群もしくは加群の層への関手である.
その場合, 層の系列が完全であるとは, 全ての点での茎が完全, つまり各点の無限小近傍
において加群の系列が完全であることを意味している.
(引用終り)
以上
148１３２人目の素数さん
2021/05/18(火) 17:45:41.16ID:rb9GigYc いくらコピペしても
「選択公理を仮定すれば最小の正実数が存在する」
なんて考えてるようじゃ無意味。
「選択公理を仮定すれば最小の正実数が存在する」
なんて考えてるようじゃ無意味。
149１３２人目の素数さん
2021/05/18(火) 22:22:57.15ID:W8fi4PC4 >>142-144 雑談君 全く反論できず 遁走ｗｗｗｗｗｗｗ
150１３２人目の素数さん
2021/05/18(火) 22:24:15.08ID:W8fi4PC4 >>145-147
雑談君 整礎関係が全く理解できず 爆死ｗｗｗｗｗｗｗ
雑談君 整礎関係が全く理解できず 爆死ｗｗｗｗｗｗｗ
151１３２人目の素数さん
2021/05/18(火) 22:26:15.56ID:W8fi4PC4 大阪朝鮮学校卒の🐎🦌 雑談 ここに死すｗｗｗ
152１３２人目の素数さん
2021/05/18(火) 22:29:32.98ID:W8fi4PC4 雑談は日本語が全く読めない🐎🦌ｗｗｗ
153１３２人目の素数さん
2021/05/18(火) 22:30:02.78ID:W8fi4PC4 文章が読めないのでコピペで誤魔化すテイタラクｗｗｗ
154１３２人目の素数さん
2021/05/18(火) 22:30:38.26ID:W8fi4PC4 述語論理は全く理解できないパクチーｗｗｗ
155１３２人目の素数さん
2021/05/18(火) 22:31:16.17ID:W8fi4PC4 必要条件と十分条件の違いも判らず、全て同値と誤解ｗｗｗ
156１３２人目の素数さん
2021/05/18(火) 22:31:54.58ID:W8fi4PC4 条件文が理解できないので条件を省略する🐎🦌ｗｗｗ
157１３２人目の素数さん
2021/05/18(火) 22:33:01.06ID:W8fi4PC4 さっさとピョンヤンに帰れ 朝鮮猿ｗｗｗ
158１３２人目の素数さん
2021/05/18(火) 23:57:16.66ID:rb9GigYc えーっと
サル並みの頭脳の瀬田くんに数学は無理
が結論でいいのかな？
サル並みの頭脳の瀬田くんに数学は無理
が結論でいいのかな？
159１３２人目の素数さん
2021/05/19(水) 05:56:17.94ID:U53l80ep >>158 ＯＫ牧場ｗｗｗｗｗｗｗ
160現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/19(水) 07:53:54.77ID:H7LP/xSH サル二匹
まあ、隔離スレで放し飼いする方が
世間のスレにご迷惑をかけなくていいなｗ（＾＾；
まあ、隔離スレで放し飼いする方が
世間のスレにご迷惑をかけなくていいなｗ（＾＾；
161現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/19(水) 07:54:22.17ID:H7LP/xSH >>128 補足
”選択公理⇔整列可能定理”について
（下記が分かり易いね）
http://paiotunoowari.hatenadiary.jp/entry/2015/12/03/133610
整列可能定理 2015-12-03 ぱいおつ日記
ひかるさんのアドベントカレンダー企画の3日目の記事です.
(抜粋)
Nは普通の大小関係で整列集合になってます.
Zとかも普通の大小関係は整列順序じゃないけど0<?1<1<?2<2<...<?n<n<...と並べ直したら整列集合になってます.
こんなふうに,ある順序で整列集合でないような集合でも別の順序では整列集合になっていたりします.
有名ですが,じつは,どんな集合にも整列順序が入れられるというのは選択公理と同値です.
選択公理
任意の集合族{Xα|α∈A}に対して,各α∈Aでφ(α)∈Xαとなる写像φ:A→∪α∈A Xα(選択関数)が存在する.
整列可能定理
任意の集合はある順序で整列集合になる.
じゃあ,証明していきます.
(選択公理⇒整列可能定理の証明)
任意の集合Xを考える.
φ:2X:Xを選択関数とする.つまり,各Y⊆Xでφ(Y)∈Yとする.
X の各部分集合Yに関する次の2つの性質を合わせてPと呼ぶことにする.
(P1)Yは整列順序を入れられる.
(P2)任意のy∈Yでy=φ(X?Y<y>)である.
性質Pをみたす集合全体をAで添え字づけて{Yα|α∈A}としておく.
また,Y:=∪α∈A Yαとする.
次の3つのステップに分けて証明を進めていきます.
ステップ１
各α,β∈Aについて次のいずれかひとつが成り立ち,成り立つのはひとつだけである.
(ア)Yα=Yβ.
(イ)Yα<a>=Yβ(∃a∈Yα).
(ウ)Y alpha=Yβ<b>(∃b∈Yβ).
ステップ２
Yは性質Pをみたす.
ステップ３
じつはY=Xである.
略
つづく
”選択公理⇔整列可能定理”について
（下記が分かり易いね）
http://paiotunoowari.hatenadiary.jp/entry/2015/12/03/133610
整列可能定理 2015-12-03 ぱいおつ日記
ひかるさんのアドベントカレンダー企画の3日目の記事です.
(抜粋)
Nは普通の大小関係で整列集合になってます.
Zとかも普通の大小関係は整列順序じゃないけど0<?1<1<?2<2<...<?n<n<...と並べ直したら整列集合になってます.
こんなふうに,ある順序で整列集合でないような集合でも別の順序では整列集合になっていたりします.
有名ですが,じつは,どんな集合にも整列順序が入れられるというのは選択公理と同値です.
選択公理
任意の集合族{Xα|α∈A}に対して,各α∈Aでφ(α)∈Xαとなる写像φ:A→∪α∈A Xα(選択関数)が存在する.
整列可能定理
任意の集合はある順序で整列集合になる.
じゃあ,証明していきます.
(選択公理⇒整列可能定理の証明)
任意の集合Xを考える.
φ:2X:Xを選択関数とする.つまり,各Y⊆Xでφ(Y)∈Yとする.
X の各部分集合Yに関する次の2つの性質を合わせてPと呼ぶことにする.
(P1)Yは整列順序を入れられる.
(P2)任意のy∈Yでy=φ(X?Y<y>)である.
性質Pをみたす集合全体をAで添え字づけて{Yα|α∈A}としておく.
また,Y:=∪α∈A Yαとする.
次の3つのステップに分けて証明を進めていきます.
ステップ１
各α,β∈Aについて次のいずれかひとつが成り立ち,成り立つのはひとつだけである.
(ア)Yα=Yβ.
(イ)Yα<a>=Yβ(∃a∈Yα).
(ウ)Y alpha=Yβ<b>(∃b∈Yβ).
ステップ２
Yは性質Pをみたす.
ステップ３
じつはY=Xである.
略
つづく
162現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/19(水) 07:54:45.62ID:H7LP/xSH >>161
つづき
じゃあ逆向きも示していきます.
選択公理から整列定理を導くのは少し長かったけど,逆はわりとスッキリ示せます.
(整列可能定理⇒選択公理の証明)
任意の非空集合族{Xα|α∈A}を考える.
整列可能定理を用いて∪α∈A Xαに整列順序を入れる.
すると,各α∈AでXαは最小元mαを持つ.
そこで,写像φ:A→∪α Xαをφ(α)=mα(∀α∈A)で定める.
するとこのφが選択関数となっている.■
参考文献
『集合論入門』(ちくま学芸文庫)赤攝也著
つづく
つづき
じゃあ逆向きも示していきます.
選択公理から整列定理を導くのは少し長かったけど,逆はわりとスッキリ示せます.
(整列可能定理⇒選択公理の証明)
任意の非空集合族{Xα|α∈A}を考える.
整列可能定理を用いて∪α∈A Xαに整列順序を入れる.
すると,各α∈AでXαは最小元mαを持つ.
そこで,写像φ:A→∪α Xαをφ(α)=mα(∀α∈A)で定める.
するとこのφが選択関数となっている.■
参考文献
『集合論入門』(ちくま学芸文庫)赤攝也著
つづく
163現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/19(水) 07:55:02.59ID:H7LP/xSH >>162
つづき
（下記は本格的）
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
東北大学大学院情報科学研究科 システム情報科学専攻 尾畑研究室
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-13_WellOrdered.pdf
第13章 整列集合 GAIRON-book : 2018/6/21(19:23)
すべての自然数を小さいものから順に一列に並べれば,
1 2 3 4 . . .
のような見慣れた配列が得られる. これは, 自然数に通常の大小による順序関係
を与えて得られる全順序集合 (N, >=<) の一つの簡便な表示である. 一般の全順序
集合に対しても, 任意の 2 元が比較可能であることから, すべての元が一列に並
んでいるとは言えるが, 自然数の配列にはいろいろと特異な点がある. 本章で
は, この自然数の配列の特徴を抽象化した概念である整列順序を導入して, すべ
ての集合に整列順序を定義できること (整列可能定理) を証明する.
13.1 整列集合
順序集合 (X, ≦) は, すべての空でない部分集合が最小元をもつとき, 整列集
合であるといい, そのような順序を整列順序という. 定義から整列集合は必ず全
順序集合であることに注意しよう. 実際, a, b ∈ X に対して集合 {a, b} は X の
空でない部分集合になるから, それは最小元をもつ. 最小元は a または b であ
るが, それが a であれば a ≦ b となるし, それが b であれば b ≦ a となる.
これは, 任意の a, b ∈ X が比較可能であることを意味し, X は全順序集合である
ことがわかる. 定義から空でない整列集合 X それ自身は最小元 min X をもつ.
つづく
つづき
（下記は本格的）
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
東北大学大学院情報科学研究科 システム情報科学専攻 尾畑研究室
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-13_WellOrdered.pdf
第13章 整列集合 GAIRON-book : 2018/6/21(19:23)
すべての自然数を小さいものから順に一列に並べれば,
1 2 3 4 . . .
のような見慣れた配列が得られる. これは, 自然数に通常の大小による順序関係
を与えて得られる全順序集合 (N, >=<) の一つの簡便な表示である. 一般の全順序
集合に対しても, 任意の 2 元が比較可能であることから, すべての元が一列に並
んでいるとは言えるが, 自然数の配列にはいろいろと特異な点がある. 本章で
は, この自然数の配列の特徴を抽象化した概念である整列順序を導入して, すべ
ての集合に整列順序を定義できること (整列可能定理) を証明する.
13.1 整列集合
順序集合 (X, ≦) は, すべての空でない部分集合が最小元をもつとき, 整列集
合であるといい, そのような順序を整列順序という. 定義から整列集合は必ず全
順序集合であることに注意しよう. 実際, a, b ∈ X に対して集合 {a, b} は X の
空でない部分集合になるから, それは最小元をもつ. 最小元は a または b であ
るが, それが a であれば a ≦ b となるし, それが b であれば b ≦ a となる.
これは, 任意の a, b ∈ X が比較可能であることを意味し, X は全順序集合である
ことがわかる. 定義から空でない整列集合 X それ自身は最小元 min X をもつ.
つづく
164現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/19(水) 07:55:25.17ID:H7LP/xSH >>163
つづき
定 理 13.1 自然数 (N, >=<) は整列集合である.
一方, 実数 R, 有理数 Q, 整数 Z は通常の大小関係 >=< によって全順序集合で
あるが, いずれも整列集合ではない. それらには最小元がないからである. だか
らと言って, 実数や有理数を 0 以上のものに限っても整列集合にはならない. た
とえば, X = [0, +∞) の部分集合 A = (0, +∞) には最小元が存在しない.
ここで, 自然数を並び替えて得られる順序の例をいくつか考えておこう.
例 13.2 自然数 x, y ∈ N に対して, x ≧ y のとき x ≦' y と定義すれば, 全順序
集合 (N, ≦') が得られる (問 12.6). 要は,
. . . 4 3 2 1
のように, 自然数を通常とは逆順に並べることに相当する. この配列には min N
が存在しないから, (N, ≦') は整列集合ではない.
例 13.4 自然数を偶数と奇数を分けて, 偶数同士, 奇数同士では通常の大小を考
え, 偶数と奇数では奇数の方が小さいとする順序関係 ≦1 を導入する. この順序
に関して自然数を書き並べれば,
1 3 5 . . . 2 4 6 . . . (13.2)
のような配列が得られる. こうして得られる全順序集合 (N, ≦1) は整列集合に
なる. 実際, 任意の空でない部分集合 A ⊂ N が与えられたとき, A が奇数を含
めば A に含まれる奇数のうち最小のものが min A を与え, A が偶数のみから
なるときは, A に属する偶数のうち最小のものが min A を与える.
次に, 整列集合の簡単な性質を述べておく.
定 理 13.5 整列集合の部分順序集合は整列集合である.
ｐ5
13.2 整列集合の基本定理
本節では, 整列集合が 2 つ与えられたとき, どちらか一方は他方を延長したも
のであるという基本定理を証明する. そのために切片という概念が重要になる.
(X, ≦) を整列集合とする. a ∈ X に対して
X?a? = {x ∈ X | x < a}
を X の a による切片という.
定 理 13.14 整列集合 X, Y に対して次の 3 つの場合のうち, いずれか 1 つだ
けが成り立つ.
(i) X と Y は順序同型である.
(ii) X と Y の切片が順序同型である.
(iii) X の切片と Y が順序同型である.
つづく
つづき
定 理 13.1 自然数 (N, >=<) は整列集合である.
一方, 実数 R, 有理数 Q, 整数 Z は通常の大小関係 >=< によって全順序集合で
あるが, いずれも整列集合ではない. それらには最小元がないからである. だか
らと言って, 実数や有理数を 0 以上のものに限っても整列集合にはならない. た
とえば, X = [0, +∞) の部分集合 A = (0, +∞) には最小元が存在しない.
ここで, 自然数を並び替えて得られる順序の例をいくつか考えておこう.
例 13.2 自然数 x, y ∈ N に対して, x ≧ y のとき x ≦' y と定義すれば, 全順序
集合 (N, ≦') が得られる (問 12.6). 要は,
. . . 4 3 2 1
のように, 自然数を通常とは逆順に並べることに相当する. この配列には min N
が存在しないから, (N, ≦') は整列集合ではない.
例 13.4 自然数を偶数と奇数を分けて, 偶数同士, 奇数同士では通常の大小を考
え, 偶数と奇数では奇数の方が小さいとする順序関係 ≦1 を導入する. この順序
に関して自然数を書き並べれば,
1 3 5 . . . 2 4 6 . . . (13.2)
のような配列が得られる. こうして得られる全順序集合 (N, ≦1) は整列集合に
なる. 実際, 任意の空でない部分集合 A ⊂ N が与えられたとき, A が奇数を含
めば A に含まれる奇数のうち最小のものが min A を与え, A が偶数のみから
なるときは, A に属する偶数のうち最小のものが min A を与える.
次に, 整列集合の簡単な性質を述べておく.
定 理 13.5 整列集合の部分順序集合は整列集合である.
ｐ5
13.2 整列集合の基本定理
本節では, 整列集合が 2 つ与えられたとき, どちらか一方は他方を延長したも
のであるという基本定理を証明する. そのために切片という概念が重要になる.
(X, ≦) を整列集合とする. a ∈ X に対して
X?a? = {x ∈ X | x < a}
を X の a による切片という.
定 理 13.14 整列集合 X, Y に対して次の 3 つの場合のうち, いずれか 1 つだ
けが成り立つ.
(i) X と Y は順序同型である.
(ii) X と Y の切片が順序同型である.
(iii) X の切片と Y が順序同型である.
つづく
165現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/19(水) 07:55:52.68ID:H7LP/xSH >>164
つづき
13.3 整列可能定理
与えられた集合に適当な順序を定義して整列集合にできるだろうか. 直感的
には, 集合の元を 1 つずつ順に並べればよいわけで, 有限集合に対してなら何ら
問題なくできる. しかし, 無限集合に対してはどうだろうか. カントルはできる
と予想し, ツェルメロが証明を与えた.
1) 実際, ツェルメロは選択公理から整列
可能定理を導いたが, ここではツォルンの補題を用いて証明しよう.2)
定 理 13.15 (整列可能定理) 任意の集合は, 適当な順序を定義することで
整列集合にできる.
証 明 X を任意の集合とする. X の部分集合 A とその上の整列順序 ≦A を
組にした (A, ≦A) の全体を M とする. X の部分集合 A = Φ 上には整列順序が
あるので, M 自身は空ではない. (A, ≦A),(B, ≦B) ∈ M に対して, ある b ∈ B
が存在して A = B?b? であって, A 上の順序 ≦A が (B, ≦B) の部分順序集合と
しての順序と一致するとき, (A, ≦A) < (B, ≦B) と定義する. この二項関係 <
は M 上の等号なしの順序となり, 順序集合 (M, ≦) が得られる.
(M, ≦) がツォルン集合であることを示す.
略
以上によって, (M, ≦) はツォルン集合である. そうすれば, ツォルンの補題に
よって, (M, ≦) には極大元が存在する. それを (S, ≦S) としよう. もし S≠ X
であれば, s ∈ X＼S をとって, S? = S ∪ {s} とおく. S? 上に順序 <S? を
x <S? y ⇔ (i) x, y ∈ S, x <S y, または (ii) x ∈ S, y = s
のように定義すると, (S, ? ≦S?) は整列集合になる. つまり, (S, ? ≦S?) ∈ M であり,
(S, ≦S) < (S, ? ≦S?) が成り立つから, (S, ≦S) が極大元であることに反する. し
たがって, (M, ≦) の極大元は X とその上の整列順序を組にしたものである. 言
い換えれば, X 上に整列順序が存在する.
QED
つづく
つづき
13.3 整列可能定理
与えられた集合に適当な順序を定義して整列集合にできるだろうか. 直感的
には, 集合の元を 1 つずつ順に並べればよいわけで, 有限集合に対してなら何ら
問題なくできる. しかし, 無限集合に対してはどうだろうか. カントルはできる
と予想し, ツェルメロが証明を与えた.
1) 実際, ツェルメロは選択公理から整列
可能定理を導いたが, ここではツォルンの補題を用いて証明しよう.2)
定 理 13.15 (整列可能定理) 任意の集合は, 適当な順序を定義することで
整列集合にできる.
証 明 X を任意の集合とする. X の部分集合 A とその上の整列順序 ≦A を
組にした (A, ≦A) の全体を M とする. X の部分集合 A = Φ 上には整列順序が
あるので, M 自身は空ではない. (A, ≦A),(B, ≦B) ∈ M に対して, ある b ∈ B
が存在して A = B?b? であって, A 上の順序 ≦A が (B, ≦B) の部分順序集合と
しての順序と一致するとき, (A, ≦A) < (B, ≦B) と定義する. この二項関係 <
は M 上の等号なしの順序となり, 順序集合 (M, ≦) が得られる.
(M, ≦) がツォルン集合であることを示す.
略
以上によって, (M, ≦) はツォルン集合である. そうすれば, ツォルンの補題に
よって, (M, ≦) には極大元が存在する. それを (S, ≦S) としよう. もし S≠ X
であれば, s ∈ X＼S をとって, S? = S ∪ {s} とおく. S? 上に順序 <S? を
x <S? y ⇔ (i) x, y ∈ S, x <S y, または (ii) x ∈ S, y = s
のように定義すると, (S, ? ≦S?) は整列集合になる. つまり, (S, ? ≦S?) ∈ M であり,
(S, ≦S) < (S, ? ≦S?) が成り立つから, (S, ≦S) が極大元であることに反する. し
たがって, (M, ≦) の極大元は X とその上の整列順序を組にしたものである. 言
い換えれば, X 上に整列順序が存在する.
QED
つづく
166現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/19(水) 07:56:15.07ID:H7LP/xSH >>165
つづき
注）
1)カントルは 1883 年の有名な論文で整列集合の概念を与えて, すべての集合を整列集合にでき
ることは原理であり自明なことであると主張した. 後年になって, 証明を試みたようであるが成果
は得られず, 連続体仮説とともにカントルの残した集合論の大きな課題となった. ツェルメロは選
択公理 (AC2) を原理として提起して, それを用いて整列可能定理を証明した (1904). その議論は
大論争を巻き起こしたが, 情況が明らかになる中で, ツェルメロは集合の公理を提示するとともに,
整列可能定理の別証明を与えた (1908).
2)赤 [] にはツェルメロの元証明にしたがった議論が収められている.
（引用者注：赤 [] は、上記ぱいおつ日記 『集合論入門』(ちくま学芸文庫)赤攝也著 かあるいは、別の赤攝也先生の著作と思われる）
つづく
つづき
注）
1)カントルは 1883 年の有名な論文で整列集合の概念を与えて, すべての集合を整列集合にでき
ることは原理であり自明なことであると主張した. 後年になって, 証明を試みたようであるが成果
は得られず, 連続体仮説とともにカントルの残した集合論の大きな課題となった. ツェルメロは選
択公理 (AC2) を原理として提起して, それを用いて整列可能定理を証明した (1904). その議論は
大論争を巻き起こしたが, 情況が明らかになる中で, ツェルメロは集合の公理を提示するとともに,
整列可能定理の別証明を与えた (1908).
2)赤 [] にはツェルメロの元証明にしたがった議論が収められている.
（引用者注：赤 [] は、上記ぱいおつ日記 『集合論入門』(ちくま学芸文庫)赤攝也著 かあるいは、別の赤攝也先生の著作と思われる）
つづく
167現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/19(水) 07:56:41.48ID:H7LP/xSH >>166
つづき
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-12_Ordered.pdf
GAIRON-book : 2018/6/21(19:23)
第12章 順序集合
P8
12.3 ツォルンの補題
順序集合に極大元があるための使いやすい十分条件を与えておこう.
定 理 12.18 (ツォルンの補題)2)
空でない順序集合 X において, すべての全
順序部分集合が上界をもつならば X には極大元が存在する.
注）
2)Max August Zorn (1906?1993, ドイツの数学者) が整列可能定理に代わる集合論の公理とし
て提案して, 代数におけるいくつかの応用を示した (1935). ツォルン自身は「補題」とは呼んでお
らず, MP (maximum principle, 極大原理) と称した. その論文で選択公理と整列可能定理の同値
性を予告したが, 公表されなかったようである.
3)ここでは Halmos [], 松村 [] にしたがって, 集合と写像を用いた初等的な証明を紹介する. よ
く知られた超限帰納法による証明は簡潔で直感的なのだが, そのためには整列集合の理論を準備す
る必要がある
つづく
つづき
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-12_Ordered.pdf
GAIRON-book : 2018/6/21(19:23)
第12章 順序集合
P8
12.3 ツォルンの補題
順序集合に極大元があるための使いやすい十分条件を与えておこう.
定 理 12.18 (ツォルンの補題)2)
空でない順序集合 X において, すべての全
順序部分集合が上界をもつならば X には極大元が存在する.
注）
2)Max August Zorn (1906?1993, ドイツの数学者) が整列可能定理に代わる集合論の公理とし
て提案して, 代数におけるいくつかの応用を示した (1935). ツォルン自身は「補題」とは呼んでお
らず, MP (maximum principle, 極大原理) と称した. その論文で選択公理と整列可能定理の同値
性を予告したが, 公表されなかったようである.
3)ここでは Halmos [], 松村 [] にしたがって, 集合と写像を用いた初等的な証明を紹介する. よ
く知られた超限帰納法による証明は簡潔で直感的なのだが, そのためには整列集合の理論を準備す
る必要がある
つづく
168現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/19(水) 07:57:02.74ID:H7LP/xSH >>167
つづき
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-11_AC.pdf
GAIRON-book : 2018/6/4(8:44)
第11章 選択公理
集合論が発展する過程で, 数学の深みの中から現れた選択公理は大きな論争
を巻き起こした. その後, 選択公理は集合論の ZF 公理系から独立であることが
示されたが, 今では多くの分野であまり意識されていない. 本章では, 選択公理
について基本的な理解を深めながら, その現れ方と有用性を垣間見たい.
P4
11.2 選択公理
選択公理には同値な述べ方が何通りかある. 大まかには, 選択集合を用いる
か, 選択関数を用いるか, あるいは直積集合を用いることになるが, それぞれに
多少のバリエーションがある. ここでは, 使いやすく簡潔なものを採用しよう.2)
(AC1) ? を空でない集合族とする. もし Φ not∈ ? であり, ? に属する集合が互い
に素であれば, 集合 A ⊂∪? で3), すべての X ∈ ? に対して |A∩ X| = 1
となるものが存在する. この集合 A を集合族 ? の選択集合という.
(AC2) ? を空でない集合族とする. もし Φ not∈ ? であれば, 写像 f : ? ?→ ∪?
ですべての X ∈ ? に対して f(X) ∈ X となるものが存在する. この写像f を集合族 ? の選択関数という.
(AC3) 集合系 (Aλ|λ ∈ Λ) において, すべての λ ∈ Λ に対して Aλ≠ Φ であれば, 直積集合は ?λ Aλ≠ Φ を満たす.
すぐに証明するが, (AC1)?(AC3) は同値な命題である. これら (のうちの 1 つ)
を選択公理 という. (AC1) と (AC2) において, 集合族 ? 自身が空ならば命題
は自明に成り立つので, ? を単に集合族としても同じことである. ここでは, 応
用を考えて, 集合族 ? をあらかじめ空ではないと断った. 集合の公理 (S10) と
して述べた選択公理 (第 3.3 節) は, 述べ方にわずかな違いがあるが (AC1) と同
値である. また, (AC3) では集合系を扱っているが, 集合系の定義によって, 初
めから Λ≠ Φ である.
つづく
つづき
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-11_AC.pdf
GAIRON-book : 2018/6/4(8:44)
第11章 選択公理
集合論が発展する過程で, 数学の深みの中から現れた選択公理は大きな論争
を巻き起こした. その後, 選択公理は集合論の ZF 公理系から独立であることが
示されたが, 今では多くの分野であまり意識されていない. 本章では, 選択公理
について基本的な理解を深めながら, その現れ方と有用性を垣間見たい.
P4
11.2 選択公理
選択公理には同値な述べ方が何通りかある. 大まかには, 選択集合を用いる
か, 選択関数を用いるか, あるいは直積集合を用いることになるが, それぞれに
多少のバリエーションがある. ここでは, 使いやすく簡潔なものを採用しよう.2)
(AC1) ? を空でない集合族とする. もし Φ not∈ ? であり, ? に属する集合が互い
に素であれば, 集合 A ⊂∪? で3), すべての X ∈ ? に対して |A∩ X| = 1
となるものが存在する. この集合 A を集合族 ? の選択集合という.
(AC2) ? を空でない集合族とする. もし Φ not∈ ? であれば, 写像 f : ? ?→ ∪?
ですべての X ∈ ? に対して f(X) ∈ X となるものが存在する. この写像f を集合族 ? の選択関数という.
(AC3) 集合系 (Aλ|λ ∈ Λ) において, すべての λ ∈ Λ に対して Aλ≠ Φ であれば, 直積集合は ?λ Aλ≠ Φ を満たす.
すぐに証明するが, (AC1)?(AC3) は同値な命題である. これら (のうちの 1 つ)
を選択公理 という. (AC1) と (AC2) において, 集合族 ? 自身が空ならば命題
は自明に成り立つので, ? を単に集合族としても同じことである. ここでは, 応
用を考えて, 集合族 ? をあらかじめ空ではないと断った. 集合の公理 (S10) と
して述べた選択公理 (第 3.3 節) は, 述べ方にわずかな違いがあるが (AC1) と同
値である. また, (AC3) では集合系を扱っているが, 集合系の定義によって, 初
めから Λ≠ Φ である.
つづく
169現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/19(水) 07:57:24.21ID:H7LP/xSH >>168
つづき
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-3_shugo-enzan.pdf
GAIRON-book : 2018/6/21(19:23)
第3章 集合の演算
P11
3.3 集合の公理
(S10) 選択公理 ここでも集合の元はまた集合であることを思い出す. X は空
集合を元として含まず, 任意の 2 つの元が互いに素であるとき, すべての x ∈ X
に対して x ∩ A が 1 個の元だけからなるような集合 A が存在する.
∀X((Φ not∈ X ∧ ∀x ∈ X∀y ∈ X(x≠ y → x ∩ y = Φ))→ ∃A∀x ∈ X∃t(x ∩ A = {t}))
直感的には, A は X の元であるところの各集合から 1 個ずつ元を取り出してま
とめたものであり, それが集合になることを保証している. あるいは, このよう
な操作で集合が構成できることを保証している. この A を選択集合と呼ぶ. 選
択公理の述べ方には何通りかあり, さらに同値な命題もいろいろ知られている.
第 11 章で詳しく扱う (第 13.3 節も見よ).
つづく
つづき
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-3_shugo-enzan.pdf
GAIRON-book : 2018/6/21(19:23)
第3章 集合の演算
P11
3.3 集合の公理
(S10) 選択公理 ここでも集合の元はまた集合であることを思い出す. X は空
集合を元として含まず, 任意の 2 つの元が互いに素であるとき, すべての x ∈ X
に対して x ∩ A が 1 個の元だけからなるような集合 A が存在する.
∀X((Φ not∈ X ∧ ∀x ∈ X∀y ∈ X(x≠ y → x ∩ y = Φ))→ ∃A∀x ∈ X∃t(x ∩ A = {t}))
直感的には, A は X の元であるところの各集合から 1 個ずつ元を取り出してま
とめたものであり, それが集合になることを保証している. あるいは, このよう
な操作で集合が構成できることを保証している. この A を選択集合と呼ぶ. 選
択公理の述べ方には何通りかあり, さらに同値な命題もいろいろ知られている.
第 11 章で詳しく扱う (第 13.3 節も見よ).
つづく
170現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/19(水) 07:57:48.75ID:H7LP/xSH >>169
つづき
（補足の英文資料）
https://en.wikipedia.org/wiki/Choice_function
A choice function (selector, selection) is a mathematical function f that is defined on some collection X of nonempty sets and assigns to each set S in that collection some element f(S) of S. In other words, f is a choice function for X if and only if it belongs to the direct product of X.
An example
Let X = { {1,4,7}, {9}, {2,7} }. Then the function that assigns 7 to the set {1,4,7}, 9 to {9}, and 2 to {2,7} is a choice function on X.
Choice function of a multivalued map
Given two sets X and Y, let F be a multivalued map from X and Y (equivalently, F:→ P(Y) is a function from X to the power set of Y).
A function f:→ Y is said to be a selection of F, if:
∀ x∈ X,(f(x)∈ F(x)),.
The existence of more regular choice functions, namely continuous or measurable selections is important in the theory of differential inclusions, optimal control, and mathematical economics.[2] See Selection theorem.
https://en.wikipedia.org/wiki/Selection_theorem
Selection theorem
Preliminaries
Given two sets X and Y, let F be a multivalued map from X and Y. Equivalently, F:→ P(Y) is a function from X to the power set of Y.
A function f:→ Y is said to be a selection of F if
∀ x∈ X:,,,f(x)∈ F(x),.
In other words, given an input x for which the original function F returns multiple values, the new function f returns a single value. This is a special case of a choice function.
The axiom of choice implies that a selection function always exists; however, it is often important that the selection have some "nice" properties, such as continuity or measurability. This is where the selection theorems come into action: they guarantee that, if F satisfies certain properties, then it has a selection f that is continuous or has other desirable properties.
つづく
つづき
（補足の英文資料）
https://en.wikipedia.org/wiki/Choice_function
A choice function (selector, selection) is a mathematical function f that is defined on some collection X of nonempty sets and assigns to each set S in that collection some element f(S) of S. In other words, f is a choice function for X if and only if it belongs to the direct product of X.
An example
Let X = { {1,4,7}, {9}, {2,7} }. Then the function that assigns 7 to the set {1,4,7}, 9 to {9}, and 2 to {2,7} is a choice function on X.
Choice function of a multivalued map
Given two sets X and Y, let F be a multivalued map from X and Y (equivalently, F:→ P(Y) is a function from X to the power set of Y).
A function f:→ Y is said to be a selection of F, if:
∀ x∈ X,(f(x)∈ F(x)),.
The existence of more regular choice functions, namely continuous or measurable selections is important in the theory of differential inclusions, optimal control, and mathematical economics.[2] See Selection theorem.
https://en.wikipedia.org/wiki/Selection_theorem
Selection theorem
Preliminaries
Given two sets X and Y, let F be a multivalued map from X and Y. Equivalently, F:→ P(Y) is a function from X to the power set of Y.
A function f:→ Y is said to be a selection of F if
∀ x∈ X:,,,f(x)∈ F(x),.
In other words, given an input x for which the original function F returns multiple values, the new function f returns a single value. This is a special case of a choice function.
The axiom of choice implies that a selection function always exists; however, it is often important that the selection have some "nice" properties, such as continuity or measurability. This is where the selection theorems come into action: they guarantee that, if F satisfies certain properties, then it has a selection f that is continuous or has other desirable properties.
つづく
171現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/19(水) 07:58:12.73ID:H7LP/xSH >>170
つづき
（下記の choice function ”∀ X[Φ not∈ X⇒ ∃ f： X→ ∪ X ∀ A∈ X,(f(A)∈ A)]”が一番分かり易いと思う）
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice
Axiom of choice
Statement
A choice function is a function f, defined on a collection X of nonempty sets, such that for every set A in X, f(A) is an element of A. With this concept, the axiom can be stated:
Axiom ? For any set X of nonempty sets, there exists a choice function f defined on X.
Formally, this may be expressed as follows:
∀ X[Φ not∈ X⇒ ∃ f： X→ ∪ X ∀ A∈ X,(f(A)∈ A)],.
Thus, the negation of the axiom of choice states that there exists a collection of nonempty sets that has no choice function.
Each choice function on a collection X of nonempty sets is an element of the Cartesian product of the sets in X. This is not the most general situation of a Cartesian product of a family of sets, where a given set can occur more than once as a factor; however, one can focus on elements of such a product that select the same element every time a given set appears as factor, and such elements correspond to an element of the Cartesian product of all distinct sets in the family. The axiom of choice asserts the existence of such elements; it is therefore equivalent to:
Given any family of nonempty sets, their Cartesian product is a nonempty set.
(引用終り)
以上
つづき
（下記の choice function ”∀ X[Φ not∈ X⇒ ∃ f： X→ ∪ X ∀ A∈ X,(f(A)∈ A)]”が一番分かり易いと思う）
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice
Axiom of choice
Statement
A choice function is a function f, defined on a collection X of nonempty sets, such that for every set A in X, f(A) is an element of A. With this concept, the axiom can be stated:
Axiom ? For any set X of nonempty sets, there exists a choice function f defined on X.
Formally, this may be expressed as follows:
∀ X[Φ not∈ X⇒ ∃ f： X→ ∪ X ∀ A∈ X,(f(A)∈ A)],.
Thus, the negation of the axiom of choice states that there exists a collection of nonempty sets that has no choice function.
Each choice function on a collection X of nonempty sets is an element of the Cartesian product of the sets in X. This is not the most general situation of a Cartesian product of a family of sets, where a given set can occur more than once as a factor; however, one can focus on elements of such a product that select the same element every time a given set appears as factor, and such elements correspond to an element of the Cartesian product of all distinct sets in the family. The axiom of choice asserts the existence of such elements; it is therefore equivalent to:
Given any family of nonempty sets, their Cartesian product is a nonempty set.
(引用終り)
以上
172１３２人目の素数さん
2021/05/19(水) 10:07:56.21ID:XuBYI6GQ 相変わらず発狂してるね。
何を指摘されてるかすら理解せずに延々とコピペしているのがその証拠。
何を指摘されてるかすら理解せずに延々とコピペしているのがその証拠。
173１３２人目の素数さん
2021/05/19(水) 10:10:44.05ID:XuBYI6GQ >>160
それでサルの瀬田くんさあ
実数全体の集合が通常の大小関係で整列集合にならないことは理解できた？
選択公理を仮定しようが最小の正実数は存在しないことは理解できた？
キミ自身が理解しなけりゃコピペは無意味だよ？
それでサルの瀬田くんさあ
実数全体の集合が通常の大小関係で整列集合にならないことは理解できた？
選択公理を仮定しようが最小の正実数は存在しないことは理解できた？
キミ自身が理解しなけりゃコピペは無意味だよ？
174１３２人目の素数さん
2021/05/19(水) 10:38:23.44ID:F1LMOWa6 >>161 補足
壱大整域さんが
分かりやすい
下記”証明
(1 ⇒ 2)
Xを集合とする．Xが整列可能である事を示す．順序数λで，¬|λ|≦|X| となるものを取る．選択公理を A := P(X)＼{ Φ } に適用して，選択関数 f: A→X を得る．”
など、Xのべき集合P(X)を構成して、これを使ってXと順序同型を構成するのがキモだね（＾＾；
http://alg-d.com/math/ac/wo_z.html
数学 > 選択公理 > 整列可能定理とZornの補題 壱大整域 2011年11月13日更新
(抜粋)
定理次の命題は(ZF上)同値．
1.選択公理
2.任意の集合Xは整列順序付け可能 (整列可能定理)
3.順序集合Xが「任意の部分全順序集合は上界を持つ」を満たすならば，Xの極大元が存在する．(Zornの補題)
証明
(1 ⇒ 2)
Xを集合とする．Xが整列可能である事を示す．順序数λで，¬|λ|≦|X| となるものを取る．選択公理を A := P(X)＼{ Φ } に適用して，選択関数 f: A→X を得る．
Xに含まれない元 ∞ not∈ X を用意して，f( Φ ) := ∞ と定義することで f を f: P(X)→X∪{∞} に拡張しておく．
写像 g:λ→X∪{∞} を
g(α ) := f( X＼{g(β)|β<α} )
で定義する．α, β<λに対して，g(α)=g(β)≠∞ならば，α=βである．
β<αであるとする．g(α)≠∞だから，選択関数 f の性質より g(α) = f(X＼{g(β)|β<α}) ∈ X＼{g(β)|β<α} となる．
即ち g(α) not∈ { g(β) | β<α } だから g(α)≠g(β) である．
よって，もし g(α) = ∞ となるα<λが存在しなければ，g:λ→X は単射となる．これは ¬|λ|≦|X| に矛盾する．
故に g(α) = ∞ となる α<λ は存在する．そこで γ := min{ α<λ | g(α)=∞ }と置く．このときg|γ:γ→X は全単射である．
∞ = g(γ) = f( X＼{g(β)|β<γ} )だから，X＼{g(β)|β<γ} = Φ，つまりg|γは全射でなければならない．単射性は先に示したことから明らか．
よってこれによりXを整列する事ができる．
(2⇒1)
{X_λ}_{λ∈Λ}を非空集合の族とする．
整列可能定理により∪_{λ∈Λ}X_λを整列し f(λ) := (X_λの最小元) とすれば f が選択関数である．
(引用終り)
以上
壱大整域さんが
分かりやすい
下記”証明
(1 ⇒ 2)
Xを集合とする．Xが整列可能である事を示す．順序数λで，¬|λ|≦|X| となるものを取る．選択公理を A := P(X)＼{ Φ } に適用して，選択関数 f: A→X を得る．”
など、Xのべき集合P(X)を構成して、これを使ってXと順序同型を構成するのがキモだね（＾＾；
http://alg-d.com/math/ac/wo_z.html
数学 > 選択公理 > 整列可能定理とZornの補題 壱大整域 2011年11月13日更新
(抜粋)
定理次の命題は(ZF上)同値．
1.選択公理
2.任意の集合Xは整列順序付け可能 (整列可能定理)
3.順序集合Xが「任意の部分全順序集合は上界を持つ」を満たすならば，Xの極大元が存在する．(Zornの補題)
証明
(1 ⇒ 2)
Xを集合とする．Xが整列可能である事を示す．順序数λで，¬|λ|≦|X| となるものを取る．選択公理を A := P(X)＼{ Φ } に適用して，選択関数 f: A→X を得る．
Xに含まれない元 ∞ not∈ X を用意して，f( Φ ) := ∞ と定義することで f を f: P(X)→X∪{∞} に拡張しておく．
写像 g:λ→X∪{∞} を
g(α ) := f( X＼{g(β)|β<α} )
で定義する．α, β<λに対して，g(α)=g(β)≠∞ならば，α=βである．
β<αであるとする．g(α)≠∞だから，選択関数 f の性質より g(α) = f(X＼{g(β)|β<α}) ∈ X＼{g(β)|β<α} となる．
即ち g(α) not∈ { g(β) | β<α } だから g(α)≠g(β) である．
よって，もし g(α) = ∞ となるα<λが存在しなければ，g:λ→X は単射となる．これは ¬|λ|≦|X| に矛盾する．
故に g(α) = ∞ となる α<λ は存在する．そこで γ := min{ α<λ | g(α)=∞ }と置く．このときg|γ:γ→X は全単射である．
∞ = g(γ) = f( X＼{g(β)|β<γ} )だから，X＼{g(β)|β<γ} = Φ，つまりg|γは全射でなければならない．単射性は先に示したことから明らか．
よってこれによりXを整列する事ができる．
(2⇒1)
{X_λ}_{λ∈Λ}を非空集合の族とする．
整列可能定理により∪_{λ∈Λ}X_λを整列し f(λ) := (X_λの最小元) とすれば f が選択関数である．
(引用終り)
以上
175１３２人目の素数さん
2021/05/19(水) 11:03:39.83ID:F1LMOWa6 >>167 補足
>定 理 12.18 (ツォルンの補題)2)
>超限帰納法による証明は簡潔で直感的なのだが, そのためには整列集合の理論を準備する必要がある
超限帰納法、下記だね
（>>163より 東北大 尾畑研）
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-13_WellOrdered.pdf
第13章 整列集合 GAIRON-book : 2018/6/21(19:23)
(抜粋)
P12
超限帰納法 自然数の配列にもとづく数学的帰納法を整列集合にもとづく証
明法に拡張したものが超限帰納法である. 整列可能定理によってその適用範囲
は極めて広い.
定 理 13.18 (超限帰納法) (X, ≦) を整列集合とし, P(x) を x ∈ X を変数とす
る命題関数とする. もしすべての x ∈ X に対して条件「y ≺ x を満たすすべて
の y ∈ X に対して P(y) が成り立てば P(x) も成り立つ」が成り立てば, すべ
ての x ∈ X に対して P(x) が成り立つ.4)
証 明 A = {x ∈ X | P(x) が偽 } とおいて, A = Φ を示せばよい. そのため
に, A ≠ Φ を仮定して矛盾を導けばよい. X は整列集合であるから, a = min A
が存在する. そうすると, x ≺ a を満たす任意の x ∈ X は x not∈ A であるから
P(x) は成り立ち, 仮定によって P(a) も成り立つ. しかし, a ∈ A であるから,
これは矛盾である.
注）
4)ふつうの数学的帰納法であれば, N の最小元である 1 に対応する命題を別に扱って「P(1) が
成り立つ」ことから始める. ここに述べた条件において, x = 1 とすると y ≺ x を満たす y が存在
しないことから「P(1) が成り立つ」ことは既に条件に含まれていることに注意しよう.
(引用終り)
以上
>定 理 12.18 (ツォルンの補題)2)
>超限帰納法による証明は簡潔で直感的なのだが, そのためには整列集合の理論を準備する必要がある
超限帰納法、下記だね
（>>163より 東北大 尾畑研）
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-13_WellOrdered.pdf
第13章 整列集合 GAIRON-book : 2018/6/21(19:23)
(抜粋)
P12
超限帰納法 自然数の配列にもとづく数学的帰納法を整列集合にもとづく証
明法に拡張したものが超限帰納法である. 整列可能定理によってその適用範囲
は極めて広い.
定 理 13.18 (超限帰納法) (X, ≦) を整列集合とし, P(x) を x ∈ X を変数とす
る命題関数とする. もしすべての x ∈ X に対して条件「y ≺ x を満たすすべて
の y ∈ X に対して P(y) が成り立てば P(x) も成り立つ」が成り立てば, すべ
ての x ∈ X に対して P(x) が成り立つ.4)
証 明 A = {x ∈ X | P(x) が偽 } とおいて, A = Φ を示せばよい. そのため
に, A ≠ Φ を仮定して矛盾を導けばよい. X は整列集合であるから, a = min A
が存在する. そうすると, x ≺ a を満たす任意の x ∈ X は x not∈ A であるから
P(x) は成り立ち, 仮定によって P(a) も成り立つ. しかし, a ∈ A であるから,
これは矛盾である.
注）
4)ふつうの数学的帰納法であれば, N の最小元である 1 に対応する命題を別に扱って「P(1) が
成り立つ」ことから始める. ここに述べた条件において, x = 1 とすると y ≺ x を満たす y が存在
しないことから「P(1) が成り立つ」ことは既に条件に含まれていることに注意しよう.
(引用終り)
以上
176１３２人目の素数さん
2021/05/19(水) 11:16:14.33ID:F1LMOWa6 >>175 補足
(引用開始)
超限帰納法 自然数の配列にもとづく数学的帰納法を整列集合にもとづく証
明法に拡張したものが超限帰納法である. 整列可能定理によってその適用範囲
は極めて広い.
(引用終り)
だから、整列集合が重用されるが
残念ながら、有理数Qや実数Rは、普通の距離位相では、整列集合にできない
無理に、有理数Qや実数Rを整列集合にしても、それがべき集合 2^Qや2^Rを経由した構成では
ちょっとね
だから、普通の距離位相を生かして使うか、p進位相を使うかだね
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/P%E9%80%B2%E8%A7%A3%E6%9E%90
p進解析
p進解析（pしんかいせき、英: p-adic analysis）とは、p進数関数の解析学を扱う数論の一分野である。
p進数上の複素数値関数の理論は、局所コンパクト群の理論の一端を担う。「p進解析」と言った場合、通常は興味ある空間上の p進値関数の理論を指す。
p進解析の応用は、数論において多く見られ、特にディオファントス幾何学（英語版）やディオファントス近似において、p進解析は重要な役割を担う。いくつかの応用の場面では、p進関数解析学やスペクトル理論の発展が求められている。多くの方法によって、p進解析は古典解析より緻密なものではなくなる。なぜならば、超距離不等式は例えば p進数の無限級数の収束をより単純なものとするからである。
(引用終り)
以上
(引用開始)
超限帰納法 自然数の配列にもとづく数学的帰納法を整列集合にもとづく証
明法に拡張したものが超限帰納法である. 整列可能定理によってその適用範囲
は極めて広い.
(引用終り)
だから、整列集合が重用されるが
残念ながら、有理数Qや実数Rは、普通の距離位相では、整列集合にできない
無理に、有理数Qや実数Rを整列集合にしても、それがべき集合 2^Qや2^Rを経由した構成では
ちょっとね
だから、普通の距離位相を生かして使うか、p進位相を使うかだね
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/P%E9%80%B2%E8%A7%A3%E6%9E%90
p進解析
p進解析（pしんかいせき、英: p-adic analysis）とは、p進数関数の解析学を扱う数論の一分野である。
p進数上の複素数値関数の理論は、局所コンパクト群の理論の一端を担う。「p進解析」と言った場合、通常は興味ある空間上の p進値関数の理論を指す。
p進解析の応用は、数論において多く見られ、特にディオファントス幾何学（英語版）やディオファントス近似において、p進解析は重要な役割を担う。いくつかの応用の場面では、p進関数解析学やスペクトル理論の発展が求められている。多くの方法によって、p進解析は古典解析より緻密なものではなくなる。なぜならば、超距離不等式は例えば p進数の無限級数の収束をより単純なものとするからである。
(引用終り)
以上
177１３２人目の素数さん
2021/05/19(水) 11:19:55.91ID:XuBYI6GQ 分かり易い分かり易いってキミなんにも分かってないじゃんｗ
選択公理を仮定すれば最小の正実数が存在するだって？0点で落第ですｗ
選択公理を仮定すれば最小の正実数が存在するだって？0点で落第ですｗ
178１３２人目の素数さん
2021/05/19(水) 12:20:01.53ID:F1LMOWa6 >>176 補足
>超限帰納法
ZFCの”Axiom of regularity”
基礎の公理とか正則性公理とか言われる
その意味は、ZFCで出来る集合を、
整列集合にして、帰納法を使えるようにすることが、大きな目的の一つです
最初、大小記号 ＜ などはまだ定義されていないとき、
代わりの順序として ∈（epsilon）を使う
これぞ、Epsilon-induction なり〜！（＾＾
日本で、意味が分かっている人少ないかもね（＾＾；
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_regularity
Axiom of regularity
In mathematics, the axiom of regularity (also known as the axiom of foundation) is an axiom of Zermelo–Fraenkel set theory that states that every non-empty set A contains an element that is disjoint from A. In first-order logic, the axiom reads:
∀ x,(x≠ Φ → ∃ y∈ x,(y∪ x=Φ )).
However, regularity makes some properties of ordinals easier to prove; and it not only allows induction to be done on well-ordered sets but also on proper classes that are well-founded relational structures such as the lexicographical ordering on {(n,α )｜ n∈ ω ∧ α is an ordinal }.
Given the other axioms of Zermelo–Fraenkel set theory, the axiom of regularity is equivalent to the axiom of induction. The axiom of induction tends to be used in place of the axiom of regularity in intuitionistic theories (ones that do not accept the law of the excluded middle), where the two axioms are not equivalent.
See also
・Epsilon-induction
https://en.wikipedia.org/wiki/Epsilon-induction
Epsilon-induction
In mathematics, ∈-induction (epsilon-induction or set-induction) is a variant of transfinite induction.
Considered as an alternative set theory axiom schema, it is called the Axiom (schema) of (set) induction.
It can be used in set theory to prove that all sets satisfy a given property P(x). This is a special case of well-founded induction.
(引用終り)
以上
>超限帰納法
ZFCの”Axiom of regularity”
基礎の公理とか正則性公理とか言われる
その意味は、ZFCで出来る集合を、
整列集合にして、帰納法を使えるようにすることが、大きな目的の一つです
最初、大小記号 ＜ などはまだ定義されていないとき、
代わりの順序として ∈（epsilon）を使う
これぞ、Epsilon-induction なり〜！（＾＾
日本で、意味が分かっている人少ないかもね（＾＾；
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_regularity
Axiom of regularity
In mathematics, the axiom of regularity (also known as the axiom of foundation) is an axiom of Zermelo–Fraenkel set theory that states that every non-empty set A contains an element that is disjoint from A. In first-order logic, the axiom reads:
∀ x,(x≠ Φ → ∃ y∈ x,(y∪ x=Φ )).
However, regularity makes some properties of ordinals easier to prove; and it not only allows induction to be done on well-ordered sets but also on proper classes that are well-founded relational structures such as the lexicographical ordering on {(n,α )｜ n∈ ω ∧ α is an ordinal }.
Given the other axioms of Zermelo–Fraenkel set theory, the axiom of regularity is equivalent to the axiom of induction. The axiom of induction tends to be used in place of the axiom of regularity in intuitionistic theories (ones that do not accept the law of the excluded middle), where the two axioms are not equivalent.
See also
・Epsilon-induction
https://en.wikipedia.org/wiki/Epsilon-induction
Epsilon-induction
In mathematics, ∈-induction (epsilon-induction or set-induction) is a variant of transfinite induction.
Considered as an alternative set theory axiom schema, it is called the Axiom (schema) of (set) induction.
It can be used in set theory to prove that all sets satisfy a given property P(x). This is a special case of well-founded induction.
(引用終り)
以上
179１３２人目の素数さん
2021/05/19(水) 15:11:44.41ID:F1LMOWa6 >>177
>選択公理を仮定すれば最小の正実数が存在するだって？0点で落第ですｗ
”最小の正実数が存在する”は、可能じゃない？（＾＾
下記の”Zとかも普通の大小関係は整列順序じゃないけど0<-1<1<-2<2<...<-n<n<...と並べ直したら整列集合になってます.”
が許されるなら。かつ、整列可能定理を認めるならば
「任意のある実数 r∈R を取って、rを最小とする実数Rの整列順序が可能」でしょ？
これくらい、すぐ分かるよね？
分からない？
分からないなら、地あたま悪いよね、君ｗ（＾＾；
(>>161再録)
参考
http://paiotunoowari.hatenadiary.jp/entry/2015/12/03/133610
整列可能定理 2015-12-03 ぱいおつ日記
ひかるさんのアドベントカレンダー企画の3日目の記事です.
(抜粋)
Nは普通の大小関係で整列集合になってます.
Zとかも普通の大小関係は整列順序じゃないけど0<-1<1<-2<2<...<-n<n<...と並べ直したら整列集合になってます.
こんなふうに,ある順序で整列集合でないような集合でも別の順序では整列集合になっていたりします.
有名ですが,じつは,どんな集合にも整列順序が入れられるというのは選択公理と同値です.
(引用終り)
以上
>選択公理を仮定すれば最小の正実数が存在するだって？0点で落第ですｗ
”最小の正実数が存在する”は、可能じゃない？（＾＾
下記の”Zとかも普通の大小関係は整列順序じゃないけど0<-1<1<-2<2<...<-n<n<...と並べ直したら整列集合になってます.”
が許されるなら。かつ、整列可能定理を認めるならば
「任意のある実数 r∈R を取って、rを最小とする実数Rの整列順序が可能」でしょ？
これくらい、すぐ分かるよね？
分からない？
分からないなら、地あたま悪いよね、君ｗ（＾＾；
(>>161再録)
参考
http://paiotunoowari.hatenadiary.jp/entry/2015/12/03/133610
整列可能定理 2015-12-03 ぱいおつ日記
ひかるさんのアドベントカレンダー企画の3日目の記事です.
(抜粋)
Nは普通の大小関係で整列集合になってます.
Zとかも普通の大小関係は整列順序じゃないけど0<-1<1<-2<2<...<-n<n<...と並べ直したら整列集合になってます.
こんなふうに,ある順序で整列集合でないような集合でも別の順序では整列集合になっていたりします.
有名ですが,じつは,どんな集合にも整列順序が入れられるというのは選択公理と同値です.
(引用終り)
以上
180１３２人目の素数さん
2021/05/19(水) 15:27:33.62ID:F1LMOWa6 >>178
関連補足
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%95%E3%82%B9%E3%82%AD%E5%B4%A9%E5%A3%8A%E8%A3%9C%E9%A1%8C
モストフスキ崩壊補題
概要
RをクラスX上の二項関係で以下の3条件を満たすものとする。
・Rは集合状すなわち: R-1[x] = {y : y R x}が必ず集合になる。
・Rは整礎的である。すなわち: 空でないXの部分集合SはR-極小要素を持つ。(言いかえると、R-1[x] ∩ Sが空となるようなx ∈ Sがあるということ。)
・Rは外延的である。すなわち:Xの異なる二元x,yについて必ず、R-1[x] ≠ R-1[y]
モストフスキ崩壊補題はこのようなRに対して、推移的クラス(真のクラスでもよい)M で(M,∈)と(X, R)が同型となるものが一意的に存在し、その同型対応も一意的であるという命題である。その同型対応Gは G(x)={G(y):yRx}で与えられる。この関数をモストフスキ崩壊関数という。(Jech 2003:69).
一般化
全ての整礎的かつ集合状な関係は整礎的かつ集合状かつ外延的な関係に埋め込める。これはモストフスキ崩壊補題の変形を導く：整礎的かつ集合状な関係は、あるクラス上の∈-関係と同型である。(このクラスは一意的でないし、推移的である必要もない。)
F(x) = {F(y) : y R x}なるX上の写像FはRがX上で整礎的かつ集合状なら再帰によって定義できる。
これは推移的クラス(一意的ではない)への準同型写像を与え、同型となるのはRが外延的であるときかつちょうどそのときのみである。
この補題の整礎性の仮定は、整礎性を使わない集合論では緩和したり外したりすることができる。
つづく
関連補足
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%95%E3%82%B9%E3%82%AD%E5%B4%A9%E5%A3%8A%E8%A3%9C%E9%A1%8C
モストフスキ崩壊補題
概要
RをクラスX上の二項関係で以下の3条件を満たすものとする。
・Rは集合状すなわち: R-1[x] = {y : y R x}が必ず集合になる。
・Rは整礎的である。すなわち: 空でないXの部分集合SはR-極小要素を持つ。(言いかえると、R-1[x] ∩ Sが空となるようなx ∈ Sがあるということ。)
・Rは外延的である。すなわち:Xの異なる二元x,yについて必ず、R-1[x] ≠ R-1[y]
モストフスキ崩壊補題はこのようなRに対して、推移的クラス(真のクラスでもよい)M で(M,∈)と(X, R)が同型となるものが一意的に存在し、その同型対応も一意的であるという命題である。その同型対応Gは G(x)={G(y):yRx}で与えられる。この関数をモストフスキ崩壊関数という。(Jech 2003:69).
一般化
全ての整礎的かつ集合状な関係は整礎的かつ集合状かつ外延的な関係に埋め込める。これはモストフスキ崩壊補題の変形を導く：整礎的かつ集合状な関係は、あるクラス上の∈-関係と同型である。(このクラスは一意的でないし、推移的である必要もない。)
F(x) = {F(y) : y R x}なるX上の写像FはRがX上で整礎的かつ集合状なら再帰によって定義できる。
これは推移的クラス(一意的ではない)への準同型写像を与え、同型となるのはRが外延的であるときかつちょうどそのときのみである。
この補題の整礎性の仮定は、整礎性を使わない集合論では緩和したり外したりすることができる。
つづく
181１３２人目の素数さん
2021/05/19(水) 15:28:04.89ID:F1LMOWa6 >>180
つづき
ボッファの集合論では、集合状かつ外延的な関係は推移的クラス(一意的ではない)上の∈-関係と同型になる。アクゼルの反基礎公理をもつ集合論では集合状な関係はそれぞれ一意的な推移的クラス上の∈-関係とbisimilar(双模倣的)である。 このことから、bisimulation-極小な集合状関係は何かしらの一意的な推移的クラスと同型である。
応用
ZFの集合モデルは集合状かつ外延的である。 モデルが整礎的なら本補題により、ZFの推移的モデルと一意的に同型である。
ZFのあるモデルの∈-関係が整礎的であるというのは、そのモデル内で正則性公理が成立するという主張よりも強いことに注意。
ZFは無矛盾であるとの仮定の下で、ZFのモデルMで、 その論議領域にR-極小要素をもたない部分集合AをもつがAはそのモデル内で集合でないというものがある。(Aの要素が全て議論領域内にあってもAはモデルの議論領域内に無い。) もっと正確には、そうでない集合AにはMの要素xでA = R-1[x]となるものが存在する。だからMは正則性公理を満たす(内部的には整礎的である)が、Rは整礎的関係でなく、この崩壊補題も適用できない。
つづく
つづき
ボッファの集合論では、集合状かつ外延的な関係は推移的クラス(一意的ではない)上の∈-関係と同型になる。アクゼルの反基礎公理をもつ集合論では集合状な関係はそれぞれ一意的な推移的クラス上の∈-関係とbisimilar(双模倣的)である。 このことから、bisimulation-極小な集合状関係は何かしらの一意的な推移的クラスと同型である。
応用
ZFの集合モデルは集合状かつ外延的である。 モデルが整礎的なら本補題により、ZFの推移的モデルと一意的に同型である。
ZFのあるモデルの∈-関係が整礎的であるというのは、そのモデル内で正則性公理が成立するという主張よりも強いことに注意。
ZFは無矛盾であるとの仮定の下で、ZFのモデルMで、 その論議領域にR-極小要素をもたない部分集合AをもつがAはそのモデル内で集合でないというものがある。(Aの要素が全て議論領域内にあってもAはモデルの議論領域内に無い。) もっと正確には、そうでない集合AにはMの要素xでA = R-1[x]となるものが存在する。だからMは正則性公理を満たす(内部的には整礎的である)が、Rは整礎的関係でなく、この崩壊補題も適用できない。
つづく
182１３２人目の素数さん
2021/05/19(水) 15:29:12.61ID:F1LMOWa6 >>181
つづき
念のために英文（＾＾
https://en.wikipedia.org/wiki/Mostowski_collapse_lemma
Mostowski collapse lemma
Application
Every set model of ZF is set-like and extensional. If the model is well-founded, then by the Mostowski collapse lemma it is isomorphic to a transitive model of ZF and such a transitive model is unique.
Saying that the membership relation of some model of ZF is well-founded is stronger than saying that the axiom of regularity is true in the model. There exists a model M (assuming the consistency of ZF) whose domain has a subset A with no R-minimal element, but this set A is not a "set in the model" (A is not in the domain of the model, even though all of its members are). More precisely, for no such set A there exists x in M such that A = R−1[x]. So M satisfies the axiom of regularity (it is "internally" well-founded) but it is not well-founded and the collapse lemma does not apply to it.
(引用終り)
以上
つづき
念のために英文（＾＾
https://en.wikipedia.org/wiki/Mostowski_collapse_lemma
Mostowski collapse lemma
Application
Every set model of ZF is set-like and extensional. If the model is well-founded, then by the Mostowski collapse lemma it is isomorphic to a transitive model of ZF and such a transitive model is unique.
Saying that the membership relation of some model of ZF is well-founded is stronger than saying that the axiom of regularity is true in the model. There exists a model M (assuming the consistency of ZF) whose domain has a subset A with no R-minimal element, but this set A is not a "set in the model" (A is not in the domain of the model, even though all of its members are). More precisely, for no such set A there exists x in M such that A = R−1[x]. So M satisfies the axiom of regularity (it is "internally" well-founded) but it is not well-founded and the collapse lemma does not apply to it.
(引用終り)
以上
183１３２人目の素数さん
2021/05/19(水) 16:35:40.63ID:F1LMOWa6 >>174 補足
Akihiko Kogaさん
証明にべき集合を使っていないね
単純に、どんどん集合の元を取っていって、取りつくせるって
それを、Zorn の補題を使って主張する（＾＾；
http://www.cs-study.com/koga/set/pointsOfSetTheory.html#WellOrder
集合論の学習での重要なポイント
Some Important Topics in Basic Set Theory
by Akihiko Koga
10th Sep. 2018 (Update)
目次
背景・目的
集合論の基礎的な体力や感覚をつける
|X| < |2X|
無限和 (∪X∈F X ) について
Cantor-Bernstein の定理
整列集合
Zorn の補題
von Neumann Universe
順序数，基数についての体系を学ぶ
順序数，基数あたりの地図
自然数の集合と再帰的定義
有限集合，遺伝的有限集合，無限集合
順序数
基数
基本的な概念
記法などの注意事項
あとがき
整列集合
目次
整列集合に関するいくつかの定義や注意事項
数学的帰納法と超限帰納法
比較可能定理
整列可能定理
整列可能定理
整列可能定理
任意の集合 X に対して，(X, ≤) が整列集合になる順序 ≤ が存在する．
この定理では集合 A に整列順序の存在を保証しているが，このような整列順序は 一つではない．それこそ無数にある．ちょっと具体例を見ておこう．
これらの例を心に留めながら，次を読み進めていこう．
まず，自然数などの特殊な例を除き，一般的な集合の場合，整列可能定理は 選択公理を使わないと証明できない．証明方法としては，選択公理から直接 これを導く方法と，Zorn の補題を使う方法がある．しかし，直観的には やっていることは次の図のようなことである．
http://www.cs-study.com/koga/set/pictures/BasicSetTheory-Woset06.jpg
つづく
Akihiko Kogaさん
証明にべき集合を使っていないね
単純に、どんどん集合の元を取っていって、取りつくせるって
それを、Zorn の補題を使って主張する（＾＾；
http://www.cs-study.com/koga/set/pointsOfSetTheory.html#WellOrder
集合論の学習での重要なポイント
Some Important Topics in Basic Set Theory
by Akihiko Koga
10th Sep. 2018 (Update)
目次
背景・目的
集合論の基礎的な体力や感覚をつける
|X| < |2X|
無限和 (∪X∈F X ) について
Cantor-Bernstein の定理
整列集合
Zorn の補題
von Neumann Universe
順序数，基数についての体系を学ぶ
順序数，基数あたりの地図
自然数の集合と再帰的定義
有限集合，遺伝的有限集合，無限集合
順序数
基数
基本的な概念
記法などの注意事項
あとがき
整列集合
目次
整列集合に関するいくつかの定義や注意事項
数学的帰納法と超限帰納法
比較可能定理
整列可能定理
整列可能定理
整列可能定理
任意の集合 X に対して，(X, ≤) が整列集合になる順序 ≤ が存在する．
この定理では集合 A に整列順序の存在を保証しているが，このような整列順序は 一つではない．それこそ無数にある．ちょっと具体例を見ておこう．
これらの例を心に留めながら，次を読み進めていこう．
まず，自然数などの特殊な例を除き，一般的な集合の場合，整列可能定理は 選択公理を使わないと証明できない．証明方法としては，選択公理から直接 これを導く方法と，Zorn の補題を使う方法がある．しかし，直観的には やっていることは次の図のようなことである．
http://www.cs-study.com/koga/set/pictures/BasicSetTheory-Woset06.jpg
つづく
184１３２人目の素数さん
2021/05/19(水) 16:36:22.92ID:F1LMOWa6 >>183
つづき
つまり，整列すべき集合 A が与えられたら，適当に元をとって次々に並べていく． それをずっと繰り返して，集合 A の元が尽きれば，それでよいが．ちょっと前にみた 偶数が尽きた後，奇数を並べた整列集合を思い起こしてほしい．例えば，自然数の 集合を整列しようとして，元を取っていくとき，偶数だけをとっていってしまうと このプロセスだけで自然数をすべて尽くすことはできない．こうやって無限に 並べていったあと，尽きなければ いままで繰り返したその上に１つ元を置き，そこからまた次々に上に元を置いて いくというプロセスが必要である．これを繰り返すことで，集合 A の上に整列順序を構築する．
ここではすごく直観的に集合 A を整列集合にする方法を述べたが，これは 実は Zorn の補題の状況にすごく似ている．
つまり，A の任意の部分集合 C が A と等しくないときは集合 A - C は空でないので 選択公理から，C に対して A - C の元を一つ選ぶ関数 f が存在する．この f が すでに作ったチェイン C の上の元を A から選ぶ，次の図の人の行為に該当する．
http://www.cs-study.com/koga/set/pictures/BasicSetTheory-Woset08.png
この C は元を選んだ順に順番付ければ整列集合になる．こうして作成した 整列集合は皆包含関係があるから，次の図のように全部の交わりを取ることにより， それらのどの整列集合以上の整列集合を作ることができる．
http://www.cs-study.com/koga/set/pictures/BasicSetTheory-Woset09.png
これは Zorn の補題の条件，すなわち，今考えている順序集合の「任意のチェインに 上限があれば」という条件に対応する．Zorn の補題の帰結部では，「その順序集合には 極大元がある」となっている．我々の例では，「こうやって決めたAの部分集合を整列 したものには集合の包含関係 ⊆ について極大元がある」ということになる． 実はこれが A になる．
今，ここで直観的に話した内容を一応次の節「Zorn の補題を使った証明」で きちんと証明の形にしておこう．
Zorn の補題を使った証明
略
(引用終り)
以上
つづき
つまり，整列すべき集合 A が与えられたら，適当に元をとって次々に並べていく． それをずっと繰り返して，集合 A の元が尽きれば，それでよいが．ちょっと前にみた 偶数が尽きた後，奇数を並べた整列集合を思い起こしてほしい．例えば，自然数の 集合を整列しようとして，元を取っていくとき，偶数だけをとっていってしまうと このプロセスだけで自然数をすべて尽くすことはできない．こうやって無限に 並べていったあと，尽きなければ いままで繰り返したその上に１つ元を置き，そこからまた次々に上に元を置いて いくというプロセスが必要である．これを繰り返すことで，集合 A の上に整列順序を構築する．
ここではすごく直観的に集合 A を整列集合にする方法を述べたが，これは 実は Zorn の補題の状況にすごく似ている．
つまり，A の任意の部分集合 C が A と等しくないときは集合 A - C は空でないので 選択公理から，C に対して A - C の元を一つ選ぶ関数 f が存在する．この f が すでに作ったチェイン C の上の元を A から選ぶ，次の図の人の行為に該当する．
http://www.cs-study.com/koga/set/pictures/BasicSetTheory-Woset08.png
この C は元を選んだ順に順番付ければ整列集合になる．こうして作成した 整列集合は皆包含関係があるから，次の図のように全部の交わりを取ることにより， それらのどの整列集合以上の整列集合を作ることができる．
http://www.cs-study.com/koga/set/pictures/BasicSetTheory-Woset09.png
これは Zorn の補題の条件，すなわち，今考えている順序集合の「任意のチェインに 上限があれば」という条件に対応する．Zorn の補題の帰結部では，「その順序集合には 極大元がある」となっている．我々の例では，「こうやって決めたAの部分集合を整列 したものには集合の包含関係 ⊆ について極大元がある」ということになる． 実はこれが A になる．
今，ここで直観的に話した内容を一応次の節「Zorn の補題を使った証明」で きちんと証明の形にしておこう．
Zorn の補題を使った証明
略
(引用終り)
以上
185１３２人目の素数さん
2021/05/19(水) 17:09:11.83ID:F1LMOWa6 >>183 追加
下記は、ZFC 公理系から和集合公理を除いた公理系 ZFC–U というちょっと変態集合論で
整列定理を考えているのが 面白くて、参考になる
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1988-03.pdf
数理解析研究所講究録
第 1988 巻 2016 年 31-42
Variants of AC under ZF minus union
嘉田勝 (Masaru Kada) 加藤匠人 (Takuto Kato)
大阪府立大学 (Osaka Prefecture University)
1 はじめに
ZFC 公理系から和集合公理を除いた公理系 ZFC–U を考えると，この体系
で和集合公理以外の公理を用いることで，どの程度，和集合の存在についての結果を再構
築できるだろうか．Oman [2] は，ZFC–U のもとでも，集合族 $\mathcal{F}$ の各要素の濃度に上
限が存在すれば (このこと自体が，ZFC では自明だが ZFC–U では自明でないことに注
意せよ) 和集合 $\cup \mathcal{F}$ が存在することを示した．これにより，たとえば 2 個の集合 $A,$ $B$
の和集合 $A\cup B$ は和集合公理を使わなくても構成できることがわかる．
第 4 節では，ZF–U 上で選択公理を少し弱めた公
理として 「集合族の和集合が存在するならば，その集合族の選択関数が存在する」 という
公理 (もちろん ZF 上では通常の選択公理と同値) を導入し，これを UAC と名付ける．
そして，ZF–U 上で UAC は整列公理やツォルンの補題などと同値であることを示し，
$ZF-U+UAC$ のもとでは 2 集合の和が存在することを示す．さらに，第 5 節では UAC
と選択公理の中間に位置する公理 IAC を導入し， $ZF-U+IAC$ のもとでは Oman の結
果 (集合族 $\mathcal{F}$ の各要素の濃度に上限が存在すれば $\cup \mathcal{F}$ が存在する) が証明できることを
示す．
つづく
下記は、ZFC 公理系から和集合公理を除いた公理系 ZFC–U というちょっと変態集合論で
整列定理を考えているのが 面白くて、参考になる
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1988-03.pdf
数理解析研究所講究録
第 1988 巻 2016 年 31-42
Variants of AC under ZF minus union
嘉田勝 (Masaru Kada) 加藤匠人 (Takuto Kato)
大阪府立大学 (Osaka Prefecture University)
1 はじめに
ZFC 公理系から和集合公理を除いた公理系 ZFC–U を考えると，この体系
で和集合公理以外の公理を用いることで，どの程度，和集合の存在についての結果を再構
築できるだろうか．Oman [2] は，ZFC–U のもとでも，集合族 $\mathcal{F}$ の各要素の濃度に上
限が存在すれば (このこと自体が，ZFC では自明だが ZFC–U では自明でないことに注
意せよ) 和集合 $\cup \mathcal{F}$ が存在することを示した．これにより，たとえば 2 個の集合 $A,$ $B$
の和集合 $A\cup B$ は和集合公理を使わなくても構成できることがわかる．
第 4 節では，ZF–U 上で選択公理を少し弱めた公
理として 「集合族の和集合が存在するならば，その集合族の選択関数が存在する」 という
公理 (もちろん ZF 上では通常の選択公理と同値) を導入し，これを UAC と名付ける．
そして，ZF–U 上で UAC は整列公理やツォルンの補題などと同値であることを示し，
$ZF-U+UAC$ のもとでは 2 集合の和が存在することを示す．さらに，第 5 節では UAC
と選択公理の中間に位置する公理 IAC を導入し， $ZF-U+IAC$ のもとでは Oman の結
果 (集合族 $\mathcal{F}$ の各要素の濃度に上限が存在すれば $\cup \mathcal{F}$ が存在する) が証明できることを
示す．
つづく
186１３２人目の素数さん
2021/05/19(水) 17:10:22.50ID:F1LMOWa6 つづき
P9
定理 4.10. 理論 $T=ZF-U$ において，下記の命題はすべて同値である．
(1) UACS.
(2) UAC.
(3) PAC.
(4) (整列定理) すべての集合は整列可能集合である．
(5) (テユーキーの補題) $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{P}(A)$ $($ただし $\mathcal{F}\neq\emptyset)$ が有限特性をもつならば，$(\mathcal{F};\subsetneq)$
は極大元をもつ．
(6) (ハウスドルフの極大性原理) いかなる半順序集合 $(X;<)$ にも極大鎖 $C\subseteq X$ が
存在する．
(7) (ツォルンの補題) 空でないすべての帰納的半順序集合は極大元をもつ．
証明．(概略) (1) $\Leftrightarrow(2)\Leftrightarrow(3)$ は補題 4.3 で観察した．(4) $\Rightarrow(5)$ および (5) $\Leftrightarrow(6)\Leftrightarrow(7)$ は，
ZF 上での一般的な証明 (たとえば [1, Section I.12]) が和集合公理に依存していないこと
が確かめられる．(5) $\Rightarrow(1)$ は，ZF 上での一般的な「テユーキーの補題 $\Rightarrow$ 選択公理」の証
明では選択の対象となる集合族の和集合を作ることから始まるところを，UAC の場合は
和集合の存在を前提としているので，和集合公理の使用を避けられる．最後に，(3) $\Rightarrow(4)$
では超限帰納法を用いるが，そこでは，定理 4.4 の証明と同様の手法を用いて和集合公理
の使用を回避すればよい．
(引用終り)
以上
P9
定理 4.10. 理論 $T=ZF-U$ において，下記の命題はすべて同値である．
(1) UACS.
(2) UAC.
(3) PAC.
(4) (整列定理) すべての集合は整列可能集合である．
(5) (テユーキーの補題) $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{P}(A)$ $($ただし $\mathcal{F}\neq\emptyset)$ が有限特性をもつならば，$(\mathcal{F};\subsetneq)$
は極大元をもつ．
(6) (ハウスドルフの極大性原理) いかなる半順序集合 $(X;<)$ にも極大鎖 $C\subseteq X$ が
存在する．
(7) (ツォルンの補題) 空でないすべての帰納的半順序集合は極大元をもつ．
証明．(概略) (1) $\Leftrightarrow(2)\Leftrightarrow(3)$ は補題 4.3 で観察した．(4) $\Rightarrow(5)$ および (5) $\Leftrightarrow(6)\Leftrightarrow(7)$ は，
ZF 上での一般的な証明 (たとえば [1, Section I.12]) が和集合公理に依存していないこと
が確かめられる．(5) $\Rightarrow(1)$ は，ZF 上での一般的な「テユーキーの補題 $\Rightarrow$ 選択公理」の証
明では選択の対象となる集合族の和集合を作ることから始まるところを，UAC の場合は
和集合の存在を前提としているので，和集合公理の使用を避けられる．最後に，(3) $\Rightarrow(4)$
では超限帰納法を用いるが，そこでは，定理 4.4 の証明と同様の手法を用いて和集合公理
の使用を回避すればよい．
(引用終り)
以上
187１３２人目の素数さん
2021/05/19(水) 17:22:40.56ID:XuBYI6GQ >>179
>”最小の正実数が存在する”は、可能じゃない？（＾＾
キミ、いま何の話してるか分かってる？
「キミの主張「∈無限下降列 ω∋…∋1∋0 が存在する」は間違いである」という話をしてるんでしょ？ｗ
上記∈列の"∈"を置き換えて良いのは"通常の大小関係<"。
それを踏まえ、通常の大小関係<での最小の正実数が何であるか示して下さい。
まあ、無理だけどねｗ そんなものが存在したらRは体でないからｗ Rは連続性を満たす順序体との定義と矛盾するからｗ
>下記の”Zとかも普通の大小関係は整列順序じゃないけど0<-1<1<-2<2<...<-n<n<...と並べ直したら整列集合になってます.”
>が許されるなら。かつ、整列可能定理を認めるならば
>「任意のある実数 r∈R を取って、rを最小とする実数Rの整列順序が可能」でしょ？
ではπ^πを最小とする実数Rの整列順序を示して下さい。
>”最小の正実数が存在する”は、可能じゃない？（＾＾
キミ、いま何の話してるか分かってる？
「キミの主張「∈無限下降列 ω∋…∋1∋0 が存在する」は間違いである」という話をしてるんでしょ？ｗ
上記∈列の"∈"を置き換えて良いのは"通常の大小関係<"。
それを踏まえ、通常の大小関係<での最小の正実数が何であるか示して下さい。
まあ、無理だけどねｗ そんなものが存在したらRは体でないからｗ Rは連続性を満たす順序体との定義と矛盾するからｗ
>下記の”Zとかも普通の大小関係は整列順序じゃないけど0<-1<1<-2<2<...<-n<n<...と並べ直したら整列集合になってます.”
>が許されるなら。かつ、整列可能定理を認めるならば
>「任意のある実数 r∈R を取って、rを最小とする実数Rの整列順序が可能」でしょ？
ではπ^πを最小とする実数Rの整列順序を示して下さい。
188１３２人目の素数さん
2021/05/19(水) 17:50:38.82ID:F1LMOWa6 >>187
>「キミの主張「∈無限下降列 ω∋…∋1∋0 が存在する」は間違いである」という話をしてるんでしょ？ｗ
「∈無限列 ω∋…∋1∋0 」は、上昇列であって、降下ではありませんｗ
下記の 整列集合：”空でない任意の部分集合が必ず ≦ に関する最小元をもつ”（但し ∋を＞と考える）は、成立している
よって、「∈無限列 ω∋…∋1∋0 」は、整列で、正則性公理には反しないよ
いままでの、いろんな文献に書いてある通りですｗ
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
整列集合
集合 S 上の整列順序関係 (wellorder) とは、S 上の全順序関係 "≦" であって、S の空でない任意の部分集合が必ず ≦ に関する最小元をもつものをいう。
(引用終り)
＞ではπ^πを最小とする実数Rの整列順序を示して下さい。
教えてはやらん（＾＾
以上
>「キミの主張「∈無限下降列 ω∋…∋1∋0 が存在する」は間違いである」という話をしてるんでしょ？ｗ
「∈無限列 ω∋…∋1∋0 」は、上昇列であって、降下ではありませんｗ
下記の 整列集合：”空でない任意の部分集合が必ず ≦ に関する最小元をもつ”（但し ∋を＞と考える）は、成立している
よって、「∈無限列 ω∋…∋1∋0 」は、整列で、正則性公理には反しないよ
いままでの、いろんな文献に書いてある通りですｗ
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
整列集合
集合 S 上の整列順序関係 (wellorder) とは、S 上の全順序関係 "≦" であって、S の空でない任意の部分集合が必ず ≦ に関する最小元をもつものをいう。
(引用終り)
＞ではπ^πを最小とする実数Rの整列順序を示して下さい。
教えてはやらん（＾＾
以上
189１３２人目の素数さん
2021/05/19(水) 18:45:39.38ID:XuBYI6GQ >>188
>「∈無限列 ω∋…∋1∋0 」は、上昇列であって、降下ではありませんｗ
キミさあ、どこまで馬鹿なの？
∈と∋の向きが分からないの？ a∈b はaの∈上昇列且つbの∈下降列。a∋b はbの∈上昇列且つaの∈下降列。
で、本質はそんなところじゃなくてｗ
>下記の 整列集合：”空でない任意の部分集合が必ず ≦ に関する最小元をもつ”（但し ∋を＞と考える）は、成立している
いみふｗ
成立しているとは？ キミが成立していると考えてる命題を書かないと意味が通じないんだけどｗ
キミ、日本語大丈夫？しっかりしてね
>よって、「∈無限列 ω∋…∋1∋0 」は、整列で、正則性公理には反しないよ
整列でとは？ｗ
キミ、日本語大丈夫？しっかりしてね
ωは正則性公理に反しない、うん、その通りだよｗ
それはその列がωの∈有限下降列だからだよｗ つまり∈無限下降列であるとするキミの間違いｗ キミ、自分が何言ってるか分かってる？ｗ しっかりしてね
なぜ有限かと言うと、ωの元はどれも自然数、つまりω∋の右が自然数だからだよｗ 分るよね？こんな簡単なこと
>いままでの、いろんな文献に書いてある通りですｗ
「ω∋…∋1∋0 」がωの∈無限下降列なんて書いている文献はありません。あるなら示してね。どーせまた逃げるだろうけどｗ
>＞ではπ^πを最小とする実数Rの整列順序を示して下さい。
>教えてはやらん（＾＾
ほらね、逃げたでしょ？ｗ
>通常の大小関係<での最小の正実数が何であるか示して下さい。
からも逃げたね。
安達と同じで好き勝手に放言吐くだけ、最後は必ず逃亡ｗ
>「∈無限列 ω∋…∋1∋0 」は、上昇列であって、降下ではありませんｗ
キミさあ、どこまで馬鹿なの？
∈と∋の向きが分からないの？ a∈b はaの∈上昇列且つbの∈下降列。a∋b はbの∈上昇列且つaの∈下降列。
で、本質はそんなところじゃなくてｗ
>下記の 整列集合：”空でない任意の部分集合が必ず ≦ に関する最小元をもつ”（但し ∋を＞と考える）は、成立している
いみふｗ
成立しているとは？ キミが成立していると考えてる命題を書かないと意味が通じないんだけどｗ
キミ、日本語大丈夫？しっかりしてね
>よって、「∈無限列 ω∋…∋1∋0 」は、整列で、正則性公理には反しないよ
整列でとは？ｗ
キミ、日本語大丈夫？しっかりしてね
ωは正則性公理に反しない、うん、その通りだよｗ
それはその列がωの∈有限下降列だからだよｗ つまり∈無限下降列であるとするキミの間違いｗ キミ、自分が何言ってるか分かってる？ｗ しっかりしてね
なぜ有限かと言うと、ωの元はどれも自然数、つまりω∋の右が自然数だからだよｗ 分るよね？こんな簡単なこと
>いままでの、いろんな文献に書いてある通りですｗ
「ω∋…∋1∋0 」がωの∈無限下降列なんて書いている文献はありません。あるなら示してね。どーせまた逃げるだろうけどｗ
>＞ではπ^πを最小とする実数Rの整列順序を示して下さい。
>教えてはやらん（＾＾
ほらね、逃げたでしょ？ｗ
>通常の大小関係<での最小の正実数が何であるか示して下さい。
からも逃げたね。
安達と同じで好き勝手に放言吐くだけ、最後は必ず逃亡ｗ
190１３２人目の素数さん
2021/05/19(水) 18:50:35.17ID:XuBYI6GQ トンデモさんの共通点
好き勝手に放言吐くだけ、最後は必ず逃亡
好き勝手に放言吐くだけ、最後は必ず逃亡
191１３２人目の素数さん
2021/05/19(水) 19:01:16.94ID:XuBYI6GQ 落ちこぼれクンに問題
ωの元はどれも自然数である Y/N
これくらい答えられるよね？サル並みの頭脳じゃこれすら無理？
ωの元はどれも自然数である Y/N
これくらい答えられるよね？サル並みの頭脳じゃこれすら無理？
192１３２人目の素数さん
2021/05/19(水) 19:03:02.90ID:U53l80ep >>188
>「∈無限列 ω∋…∋1∋0 」は、上昇列であって、降下ではありませんｗ
ついに∈と∋が同じに見えるようになったかｗ
脳ミソ、サナダムシにくわれとるな 雑談君は
豚肉 生で食っただろ アラーの怒りに触れたなｗ
>「∈無限列 ω∋…∋1∋0 」は、上昇列であって、降下ではありませんｗ
ついに∈と∋が同じに見えるようになったかｗ
脳ミソ、サナダムシにくわれとるな 雑談君は
豚肉 生で食っただろ アラーの怒りに触れたなｗ
193１３２人目の素数さん
2021/05/19(水) 19:07:00.99ID:U53l80ep 任意の自然数ｎについて
ω∋ｎ∋…∋1∋0
は有限降下列
そして、いかなる降下列も必ずω∋ｘのｘを書かなければならない
（チャーシュー思考とかいって誤魔化すと、脳ミソをサナダムシに食われて発狂死するｗ）
そして上記のｘはかならず自然数だから有限列
在阪朝鮮人 雑談キム君は
現代数学に負けました 死にましたｗｗｗｗｗｗｗ
ω∋ｎ∋…∋1∋0
は有限降下列
そして、いかなる降下列も必ずω∋ｘのｘを書かなければならない
（チャーシュー思考とかいって誤魔化すと、脳ミソをサナダムシに食われて発狂死するｗ）
そして上記のｘはかならず自然数だから有限列
在阪朝鮮人 雑談キム君は
現代数学に負けました 死にましたｗｗｗｗｗｗｗ
194１３２人目の素数さん
2021/05/19(水) 19:08:51.07ID:U53l80ep195１３２人目の素数さん
2021/05/19(水) 19:11:44.72ID:U53l80ep196１３２人目の素数さん
2021/05/19(水) 19:13:48.76ID:U53l80ep197１３２人目の素数さん
2021/05/19(水) 19:22:08.39ID:U53l80ep 雑談君、逃げるｗ
198１３２人目の素数さん
2021/05/19(水) 19:22:41.87ID:U53l80ep そのまま、ピョンヤンまで逃げてくれｗ
199１３２人目の素数さん
2021/05/19(水) 19:24:00.63ID:U53l80ep そして、二度とオオサカ市イクノ区に戻らないでくれｗ
200１３２人目の素数さん
2021/05/19(水) 19:26:53.88ID:U53l80ep 雑談君、🐖肉、生で食っただろｗｗｗｗｗｗｗ
https://www.cnn.co.jp/fringe/35146065.html
https://www.cnn.co.jp/fringe/35146065.html
201１３２人目の素数さん
2021/05/19(水) 20:15:07.40ID:XuBYI6GQ202現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/19(水) 20:58:48.35ID:H7LP/xSH >>188 補足
>「∈無限列 ω∋…∋1∋0 」は、上昇列であって、降下ではありませんｗ
和文しか読まない（読めない？）から、ダメなんだ
下記 Axiom of regularity で
”and that there is no infinite sequence (an) such that ai+1 is an element of ai for all i”
ですよ。分かりますかぁ〜？ ｗ
”(an) such that ai+1 is an element of ai for all i”
↓
” an ∋ ai+1 for all i ”
ですよ。分かりますかぁ〜？ｗ（＾＾；
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_regularity
Axiom of regularity
In mathematics, the axiom of regularity (also known as the axiom of foundation) is an axiom of Zermelo?Fraenkel set theory that states that every non-empty set A contains an element that is disjoint from A. In first-order logic, the axiom reads:
∀ x,(x≠ Φ → ∃ y∈ x,(y∩ x=Φ )).
The axiom of regularity together with the axiom of pairing implies that no set is an element of itself, and that there is no infinite sequence (an) such that ai+1 is an element of ai for all i. With the axiom of dependent choice (which is a weakened form of the axiom of choice), this result can be reversed: if there are no such infinite sequences, then the axiom of regularity is true. Hence, in this context the axiom of regularity is equivalent to the sentence that there are no downward infinite membership chains.
Contents
2 The axiom of dependent choice and no infinite descending sequence of sets implies regularity
Let the non-empty set S be a counter-example to the axiom of regularity; that is, every element of S has a non-empty intersection with S.
We define a binary relation R on S by aRb:⇔ b∈ S∩ a, which is entire by assumption.
Thus, by the axiom of dependent choice, there is some sequence (an) in S satisfying anRan+1 for all n in N. As this is an infinite descending chain, we arrive at a contradiction and so, no such S exists.
>「∈無限列 ω∋…∋1∋0 」は、上昇列であって、降下ではありませんｗ
和文しか読まない（読めない？）から、ダメなんだ
下記 Axiom of regularity で
”and that there is no infinite sequence (an) such that ai+1 is an element of ai for all i”
ですよ。分かりますかぁ〜？ ｗ
”(an) such that ai+1 is an element of ai for all i”
↓
” an ∋ ai+1 for all i ”
ですよ。分かりますかぁ〜？ｗ（＾＾；
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_regularity
Axiom of regularity
In mathematics, the axiom of regularity (also known as the axiom of foundation) is an axiom of Zermelo?Fraenkel set theory that states that every non-empty set A contains an element that is disjoint from A. In first-order logic, the axiom reads:
∀ x,(x≠ Φ → ∃ y∈ x,(y∩ x=Φ )).
The axiom of regularity together with the axiom of pairing implies that no set is an element of itself, and that there is no infinite sequence (an) such that ai+1 is an element of ai for all i. With the axiom of dependent choice (which is a weakened form of the axiom of choice), this result can be reversed: if there are no such infinite sequences, then the axiom of regularity is true. Hence, in this context the axiom of regularity is equivalent to the sentence that there are no downward infinite membership chains.
Contents
2 The axiom of dependent choice and no infinite descending sequence of sets implies regularity
Let the non-empty set S be a counter-example to the axiom of regularity; that is, every element of S has a non-empty intersection with S.
We define a binary relation R on S by aRb:⇔ b∈ S∩ a, which is entire by assumption.
Thus, by the axiom of dependent choice, there is some sequence (an) in S satisfying anRan+1 for all n in N. As this is an infinite descending chain, we arrive at a contradiction and so, no such S exists.
203１３２人目の素数さん
2021/05/19(水) 21:52:54.79ID:XuBYI6GQ204１３２人目の素数さん
2021/05/19(水) 21:56:19.93ID:XuBYI6GQ205現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/19(水) 23:04:11.47ID:H7LP/xSH >>202 訂正
” an ∋ ai+1 for all i ”
↓
” ai ∋ ai+1 for all i ”
だな
分かると思うが
なお
” ai ∈ ai+1 for all i ”
は、ノイマン流で、これはOK
” an ∋ ai+1 for all i ”
↓
” ai ∋ ai+1 for all i ”
だな
分かると思うが
なお
” ai ∈ ai+1 for all i ”
は、ノイマン流で、これはOK
206現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/05/19(水) 23:19:42.33ID:H7LP/xSH >>202 補足
・空集合Φから出発して、段々複雑な集合を作っていく
・ノイマン流で、0＝Φ、1＝{Φ}、2＝{0,1}＝{Φ,{Φ}}などなど
・この集合を創造する列は、無限に続く。いや続かなければならない。ZFCは、少なくともカントールの集合論を包含すべし。つまり、無限集合を創造できなければならない
・よって、この列は青天井の無限大へ続く
・ところで、列が無限か有限かは、どこで決まるか？ それは列の項の数で決まる。上から数えても、下から数えても変わるはずもない。変わるように思うのは、妄想でしょ
・正則性公理は、なぜ必要か？ ノイマン先生は、ZFCに余計な集合を持ち込みたくなかったのでしょう。ZFCの中をスッキリして、この後の無矛盾だとか完全性とかを証明するために。超限帰納法も使えるしね
・正則性公理が、上昇する無限列を規制したらまずい。有限列しかできないなら、カントールの集合論に届かないよ。無限の上昇列は良いんだよ。0∈1∈2・・∈ω∈ω+1・・ は当然でしょ（＾＾
・空集合Φから出発して、段々複雑な集合を作っていく
・ノイマン流で、0＝Φ、1＝{Φ}、2＝{0,1}＝{Φ,{Φ}}などなど
・この集合を創造する列は、無限に続く。いや続かなければならない。ZFCは、少なくともカントールの集合論を包含すべし。つまり、無限集合を創造できなければならない
・よって、この列は青天井の無限大へ続く
・ところで、列が無限か有限かは、どこで決まるか？ それは列の項の数で決まる。上から数えても、下から数えても変わるはずもない。変わるように思うのは、妄想でしょ
・正則性公理は、なぜ必要か？ ノイマン先生は、ZFCに余計な集合を持ち込みたくなかったのでしょう。ZFCの中をスッキリして、この後の無矛盾だとか完全性とかを証明するために。超限帰納法も使えるしね
・正則性公理が、上昇する無限列を規制したらまずい。有限列しかできないなら、カントールの集合論に届かないよ。無限の上昇列は良いんだよ。0∈1∈2・・∈ω∈ω+1・・ は当然でしょ（＾＾
207１３２人目の素数さん
2021/05/19(水) 23:30:10.94ID:XuBYI6GQ208１３２人目の素数さん
2021/05/19(水) 23:40:06.44ID:XuBYI6GQ >>206
>・ところで、列が無限か有限かは、どこで決まるか？ それは列の項の数で決まる。上から数えても、下から数えても変わるはずもない。変わるように思うのは、妄想でしょ
誰かが変わると言ってることが妄想ｗ
>>・正則性公理が、上昇する無限列を規制したらまずい。
誰かが規制してると言ってることが妄想ｗ
>有限列しかできないなら、カントールの集合論に届かないよ。
仮定が妄想なので無意味ｗ
>無限の上昇列は良いんだよ。
誰かが規制してると言ってることが妄想ｗ
>0∈1∈2・・∈ω∈ω+1・・ は当然でしょ（＾＾
当然とは？
当然その列は有限列ですが？
なぜならωの元はどれも自然数だから。∈ωのすぐ左は自然数。それがどんな自然数だろうと有限列。
なぜこんな簡単なことが理解できないの？サルだから？
だから言ってるだろ？サルに数学は無理だと。諦めなさい。
>・ところで、列が無限か有限かは、どこで決まるか？ それは列の項の数で決まる。上から数えても、下から数えても変わるはずもない。変わるように思うのは、妄想でしょ
誰かが変わると言ってることが妄想ｗ
>>・正則性公理が、上昇する無限列を規制したらまずい。
誰かが規制してると言ってることが妄想ｗ
>有限列しかできないなら、カントールの集合論に届かないよ。
仮定が妄想なので無意味ｗ
>無限の上昇列は良いんだよ。
誰かが規制してると言ってることが妄想ｗ
>0∈1∈2・・∈ω∈ω+1・・ は当然でしょ（＾＾
当然とは？
当然その列は有限列ですが？
なぜならωの元はどれも自然数だから。∈ωのすぐ左は自然数。それがどんな自然数だろうと有限列。
なぜこんな簡単なことが理解できないの？サルだから？
だから言ってるだろ？サルに数学は無理だと。諦めなさい。
209１３２人目の素数さん
2021/05/20(木) 01:26:38.95ID:XKKTinQT >>202
>” ai ∋ ai+1 for all i ”
┐(´∀｀)┌ﾔﾚﾔﾚ
「雑談」ことチャット君は いまだに
「自然数鉄道とリミット・エアライン」
の喩えが理解できないんだねえｗ
いくら自然数鉄道に乗っていても、ωにはたどり着けないの
ωに行きたかったら
「すべての自然数を要素にもつ最小の集合」
を認めるという飛躍を行うしかないの
飛ぶしかないの
>” ai ∋ ai+1 for all i ”
┐(´∀｀)┌ﾔﾚﾔﾚ
「雑談」ことチャット君は いまだに
「自然数鉄道とリミット・エアライン」
の喩えが理解できないんだねえｗ
いくら自然数鉄道に乗っていても、ωにはたどり着けないの
ωに行きたかったら
「すべての自然数を要素にもつ最小の集合」
を認めるという飛躍を行うしかないの
飛ぶしかないの
210１３２人目の素数さん
2021/05/20(木) 01:28:23.25ID:XKKTinQT チャット君は、飛行機に乗れない賎民
211１３２人目の素数さん
2021/05/20(木) 01:31:22.82ID:XKKTinQT 安達君 「飛行機は存在しない！無限は存在しない！」
チャット君「無限は存在する そして飛行機を使わずに鉄道で行ける！」
安達君は偏狭だが、理屈の筋は通ってる
チャット君はそもそも理屈が全然わかってないｗ
チャット君「無限は存在する そして飛行機を使わずに鉄道で行ける！」
安達君は偏狭だが、理屈の筋は通ってる
チャット君はそもそも理屈が全然わかってないｗ
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