クレレ誌：
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%83%AC%E8%AA%8C
クレレ誌はアカデミーの紀要ではない最初の主要な数学学術誌の一つである（Neuenschwander 1994, p. 1533）。ニールス・アーベル、ゲオルク・カントール、ゴットホルト・アイゼンシュタインらの研究を含む著名な論文を掲載してきた。
(引用終り)
そこで
現代の純粋・応用数学（含むガロア理論）を目指して
新スレを立てる（＾＾；
＜過去スレ＞
・純粋・応用数学（含むガロア理論）3
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/
・純粋・応用数学（含むガロア理論）2
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592578498/
・純粋・応用数学
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582599485/
＜関連過去スレ（含むガロア理論）＞
・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む84
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582200067/
・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む83
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/
＜関連姉妹スレ＞
・Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 48
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592119272/
・IUTを読むための用語集資料集スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/
・現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/
探検
純粋・応用数学（含むガロア理論）4
レス数が900を超えています。1000を超えると表示できなくなるよ。
2020/08/30(日) 09:42:39.25ID:oR3g+efa
823１３２人目の素数さん
2020/10/02(金) 21:19:23.12ID:GDNIEcV7 ◆yH25M02vWFhP は自信満々で発した言葉が
悉く初歩的レベルで間違ってる
ここまで劣悪なidiotは珍しい
思考力がないのみならず、直感力すらない
数学？(ヾﾉ･∀･`)ﾑﾘﾑﾘ
悉く初歩的レベルで間違ってる
ここまで劣悪なidiotは珍しい
思考力がないのみならず、直感力すらない
数学？(ヾﾉ･∀･`)ﾑﾘﾑﾘ
824現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/02(金) 21:22:31.45ID:4l+W3Pp2 >>819
>この議論は、過去のスレで行列の零因子との関係でやったでしょ。忘れたらしいなｗ（＾＾；
過去スレで、戸松 玲治先生、行列単位 Eijの議論あったよね
で、行列単位 wikipedia 「体 K 係数の n × m 行列全体は K-ベクトル空間であり、nm 個の行列単位はその基底となる。」とある
忘れたらしいなｗ（＾＾；
純粋・応用数学（含むガロア理論）3
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/428
428 自分返信：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 投稿日：2020/08/19(水)
https://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/rto/lin1/L1.pdf
線形代数学 I 及び演習（演習） No.1 9 月 16 日配布 担当：戸松 玲治
(抜粋)
P1
(i, j) 成分のみ 1, 残りは 0 という行列を Eij と書く. これを行列単位という
問題 1 (1pt.) 行列単位をすべて集めたもの Eij^n i,j=1 は, ベクトル空間 Mn(K) の基底であることを示せ.
P2
問題 2 (2pt.) Mn(K) の行列単位 Eij^n i,j=1 に対して, 次が成り立つことを示せ:
EijEkl = δj,k Eil.
つまり二つの行列単位を掛けると,
真ん中の二つの文字が異なれば 0 になり,
同じであればそれが縮約された行列単位になる.
(引用終り)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%8D%98%E4%BD%8D
行列単位
(抜粋)
線型代数学や、環と加群の理論において、行列単位（ぎょうれつたんい、英: matrix unit）とは、ただ 1 つの成分が 1 で残りの成分が全て 0 である行列のことである。(i, j) 成分が 1 の行列単位は Eij などと書かれる。
体 K 係数の n × m 行列全体は K-ベクトル空間であり、nm 個の行列単位はその基底となる。
行列 M = (mij) に対して、Eij?M?Ekl = mjk?E?il が成り立つ（ただし行列のサイズは積が定義されるようなものとする）。とくに、行列単位同士の積について、Eij?Ekl は j = k のとき Eil で、j ≠ k のとき 0 である：
E_ijE_kl=δ_jkE_il
ここで、δjk はクロネッカーのデルタである。
(引用終り)
以上
>この議論は、過去のスレで行列の零因子との関係でやったでしょ。忘れたらしいなｗ（＾＾；
過去スレで、戸松 玲治先生、行列単位 Eijの議論あったよね
で、行列単位 wikipedia 「体 K 係数の n × m 行列全体は K-ベクトル空間であり、nm 個の行列単位はその基底となる。」とある
忘れたらしいなｗ（＾＾；
純粋・応用数学（含むガロア理論）3
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/428
428 自分返信：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 投稿日：2020/08/19(水)
https://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/rto/lin1/L1.pdf
線形代数学 I 及び演習（演習） No.1 9 月 16 日配布 担当：戸松 玲治
(抜粋)
P1
(i, j) 成分のみ 1, 残りは 0 という行列を Eij と書く. これを行列単位という
問題 1 (1pt.) 行列単位をすべて集めたもの Eij^n i,j=1 は, ベクトル空間 Mn(K) の基底であることを示せ.
P2
問題 2 (2pt.) Mn(K) の行列単位 Eij^n i,j=1 に対して, 次が成り立つことを示せ:
EijEkl = δj,k Eil.
つまり二つの行列単位を掛けると,
真ん中の二つの文字が異なれば 0 になり,
同じであればそれが縮約された行列単位になる.
(引用終り)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%8D%98%E4%BD%8D
行列単位
(抜粋)
線型代数学や、環と加群の理論において、行列単位（ぎょうれつたんい、英: matrix unit）とは、ただ 1 つの成分が 1 で残りの成分が全て 0 である行列のことである。(i, j) 成分が 1 の行列単位は Eij などと書かれる。
体 K 係数の n × m 行列全体は K-ベクトル空間であり、nm 個の行列単位はその基底となる。
行列 M = (mij) に対して、Eij?M?Ekl = mjk?E?il が成り立つ（ただし行列のサイズは積が定義されるようなものとする）。とくに、行列単位同士の積について、Eij?Ekl は j = k のとき Eil で、j ≠ k のとき 0 である：
E_ijE_kl=δ_jkE_il
ここで、δjk はクロネッカーのデルタである。
(引用終り)
以上
825１３２人目の素数さん
2020/10/02(金) 21:26:37.80ID:GDNIEcV7 正規部分群の定義にある、gHg^(-1)=Hを、
「gHg^(-1)がHと同型」と読んだ時点で
なんだこいつ、と思ったが、その後
a∈b ⇔ a⊂b
とか発言するのを見て
「こいつ正真正銘のidiotだな」
と悟った
だから
「内積も行列式もテンソルたり得ない！」
「V×Wに線型空間の構造を入れれば次元はdim V × dim W」
とトンデモ発言を連発してもまったく驚かない
こいつは全く考える能力がなく、×はなんでもかんでも×だと
馬鹿まるだしの連想をする以外できない🐓アタマの持主
大阪にはこんな馬鹿しかいないのか
「gHg^(-1)がHと同型」と読んだ時点で
なんだこいつ、と思ったが、その後
a∈b ⇔ a⊂b
とか発言するのを見て
「こいつ正真正銘のidiotだな」
と悟った
だから
「内積も行列式もテンソルたり得ない！」
「V×Wに線型空間の構造を入れれば次元はdim V × dim W」
とトンデモ発言を連発してもまったく驚かない
こいつは全く考える能力がなく、×はなんでもかんでも×だと
馬鹿まるだしの連想をする以外できない🐓アタマの持主
大阪にはこんな馬鹿しかいないのか
826１３２人目の素数さん
2020/10/02(金) 21:30:01.63ID:GDNIEcV7 >>824
＞「体 K 係数の n × m 行列全体は K-ベクトル空間であり、
＞ nm 個の行列単位はその基底となる。」
然り
し・か・し、任意のｎ×ｍ行列が、
ｎ次元ベクトルとｍ次元ベクトルの
テンソル積として表せるか？
というなら答えは、断じて否だｗ
テンソル積の和、とかではなく、
ただ一つのテンソル積 として表せないなら
V×Wの要素たり得ない
＞「体 K 係数の n × m 行列全体は K-ベクトル空間であり、
＞ nm 個の行列単位はその基底となる。」
然り
し・か・し、任意のｎ×ｍ行列が、
ｎ次元ベクトルとｍ次元ベクトルの
テンソル積として表せるか？
というなら答えは、断じて否だｗ
テンソル積の和、とかではなく、
ただ一つのテンソル積 として表せないなら
V×Wの要素たり得ない
827現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/02(金) 23:32:19.78ID:4l+W3Pp2 >>824
ベクトル空間とテンソル積の関係が
理解できていない、数学科卒オチコボレ生よ、あわれ！ ｗ（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
ベクトル空間
(抜粋)
定義
「体 F 上のベクトル空間 V 」とは、後に述べるような、二種類の演算を備えた集合 V のことである。ベクトル空間 V の元はベクトル (英: vector ) と呼ばれる。体 F は係数体 (英: coefficient field, scalar field ) と呼ばれる。係数体 F の元はスカラー (英: scalar ) あるいは係数 (英: coefficient ) と呼ばれる。
テンソル積
詳細は「ベクトル空間のテンソル積」を参照
同じ体 F 上の二つのベクトル空間 V と W のテンソル積 (英: tensor product ) V ◯xF W あるいは単に V ◯x W は、線型写像を多変数にするような概念の拡張を扱う多重線型代数における中心的な概念のひとつである。写像 g : V × W → X が双線型写像であるとは、g が両変数 v, w の何れについても線型であることを言う。これはつまり、w を固定したとき写像 v → g(v, w) が線型であり、かつ v を固定した時も同様であることを意味する。
テンソル積は以下のような意味で、双線型写像を普遍的に受け入れる特別のベクトル空間である。それはテンソルと呼ばれる記号の（形式的な）有限和
v1 ◯x w1 + v2 ◯x w2 + ... + vn ◯x wn
の全体からなる線型空間で、これらの元は a をスカラーとして
a ・ (v ◯x w) = (a ・ v) ◯x w = v ◯x (a ・ w),
(v1 + v2) ◯x w = v1 ◯x w + v2 ◯x w,
v ◯x (w1 + w2) = v ◯x w1 + v ◯x w2
なる規則で縛られている[44]。
つづく
ベクトル空間とテンソル積の関係が
理解できていない、数学科卒オチコボレ生よ、あわれ！ ｗ（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
ベクトル空間
(抜粋)
定義
「体 F 上のベクトル空間 V 」とは、後に述べるような、二種類の演算を備えた集合 V のことである。ベクトル空間 V の元はベクトル (英: vector ) と呼ばれる。体 F は係数体 (英: coefficient field, scalar field ) と呼ばれる。係数体 F の元はスカラー (英: scalar ) あるいは係数 (英: coefficient ) と呼ばれる。
テンソル積
詳細は「ベクトル空間のテンソル積」を参照
同じ体 F 上の二つのベクトル空間 V と W のテンソル積 (英: tensor product ) V ◯xF W あるいは単に V ◯x W は、線型写像を多変数にするような概念の拡張を扱う多重線型代数における中心的な概念のひとつである。写像 g : V × W → X が双線型写像であるとは、g が両変数 v, w の何れについても線型であることを言う。これはつまり、w を固定したとき写像 v → g(v, w) が線型であり、かつ v を固定した時も同様であることを意味する。
テンソル積は以下のような意味で、双線型写像を普遍的に受け入れる特別のベクトル空間である。それはテンソルと呼ばれる記号の（形式的な）有限和
v1 ◯x w1 + v2 ◯x w2 + ... + vn ◯x wn
の全体からなる線型空間で、これらの元は a をスカラーとして
a ・ (v ◯x w) = (a ・ v) ◯x w = v ◯x (a ・ w),
(v1 + v2) ◯x w = v1 ◯x w + v2 ◯x w,
v ◯x (w1 + w2) = v ◯x w1 + v ◯x w2
なる規則で縛られている[44]。
つづく
828現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/02(金) 23:32:53.36ID:4l+W3Pp2 >>827
つづき
これらの規則は、順序対 (v, w) を v ◯x w へ写す V × W から V ◯x W への写像 f が双線型となることを保証するものである。テンソル積の普遍性とは
任意のベクトル空間 X と任意の双線型写像 g : V × W → X が与えられたとき、写像 u : V ◯x W → X が一意的に存在して、上記の写像 f との合成 u ◯ f が
g : u(v ◯x w) = g(v, w) に等しくなるようにすることができる[45] というものである。
テンソル積の普遍性は対象を、その対象からの、あるいはその対象への写像によって間接的に定義するという（進んだ抽象代数学ではよく用いられる）手法の一例である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Universal_property_tensor_product.png#/media/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Universal_property_tensor_product.png
テンソル積の普遍性を表す可換図式
(引用終り)
以上
つづき
これらの規則は、順序対 (v, w) を v ◯x w へ写す V × W から V ◯x W への写像 f が双線型となることを保証するものである。テンソル積の普遍性とは
任意のベクトル空間 X と任意の双線型写像 g : V × W → X が与えられたとき、写像 u : V ◯x W → X が一意的に存在して、上記の写像 f との合成 u ◯ f が
g : u(v ◯x w) = g(v, w) に等しくなるようにすることができる[45] というものである。
テンソル積の普遍性は対象を、その対象からの、あるいはその対象への写像によって間接的に定義するという（進んだ抽象代数学ではよく用いられる）手法の一例である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Universal_property_tensor_product.png#/media/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Universal_property_tensor_product.png
テンソル積の普遍性を表す可換図式
(引用終り)
以上
829１３２人目の素数さん
2020/10/03(土) 06:30:04.80ID:SmtMlBCP >>827
>ベクトル空間とテンソル積の関係が理解できていない
それは、◆yH25M02vWFhP、君のほうだよ
>>828
>順序対 (v, w) を v ⊗ w へ写す
>V × W から V ⊗ W への写像 f が
>双線型となる
で、その写像ｆが
１．全射でない
２．単射でない
というのは理解できてるかな？キミ
>>818に書かれていることだが、
（全射でないことの証明）
・v1⊗w1+v2⊗w2は、V⊗Wの元である（V⊗Wが線型空間であるから）
・一方v1⊗w1+v2⊗w2が写像fの像であるためには
v⊗w=v1⊗w1+v2⊗w2となる、v∈Vおよびw⊗Wが
存在しなくてはならない（f(v,w)=v⊗wであるから）
・ところでV＝Wとすると、例えばv1⊗v2として表せる元を
正方行列と見たとき、その行列式は必ず０である
（どの行も他の行のスカラー倍であるから）
・一方、任意の正方行列は
v1⊗v2+v3⊗v4+…のような和の形であらわせるので
V⊗Wの元である
・そして、正方行列の中には行列式が０でないものが存在する
・つまり、V⊗Wの元の中にはv1⊗v2として表せないものが存在する
ゆえに、写像ｆの像に入らない元が存在するので、前者ではない
（単射でないことの証明）
・a ・ (v ⊗ w) = (a ・ v) ⊗ w = v ⊗ (a ・ w) である（二重線形性より）
・いっぽう、（a・ｖ、ｗ）と（ｖ、ａ・ｗ）は、異なる元である
・つまり、異なる元を写像ｆで写した先が等しいから、ｆは単射でない
ここから何がいえるか
・デカルト積Ｖ×Ｗの次元は、テンソル積Ｖ⊗Ｗの次元より小さい
・しかもデカルト積Ｖ×Ｗの次元のｆの像は、もとのＶ×Ｗの次元よりも小さい
陰関数定理が分かっていれば証明できるが、ここでは面倒なので省略する
>ベクトル空間とテンソル積の関係が理解できていない
それは、◆yH25M02vWFhP、君のほうだよ
>>828
>順序対 (v, w) を v ⊗ w へ写す
>V × W から V ⊗ W への写像 f が
>双線型となる
で、その写像ｆが
１．全射でない
２．単射でない
というのは理解できてるかな？キミ
>>818に書かれていることだが、
（全射でないことの証明）
・v1⊗w1+v2⊗w2は、V⊗Wの元である（V⊗Wが線型空間であるから）
・一方v1⊗w1+v2⊗w2が写像fの像であるためには
v⊗w=v1⊗w1+v2⊗w2となる、v∈Vおよびw⊗Wが
存在しなくてはならない（f(v,w)=v⊗wであるから）
・ところでV＝Wとすると、例えばv1⊗v2として表せる元を
正方行列と見たとき、その行列式は必ず０である
（どの行も他の行のスカラー倍であるから）
・一方、任意の正方行列は
v1⊗v2+v3⊗v4+…のような和の形であらわせるので
V⊗Wの元である
・そして、正方行列の中には行列式が０でないものが存在する
・つまり、V⊗Wの元の中にはv1⊗v2として表せないものが存在する
ゆえに、写像ｆの像に入らない元が存在するので、前者ではない
（単射でないことの証明）
・a ・ (v ⊗ w) = (a ・ v) ⊗ w = v ⊗ (a ・ w) である（二重線形性より）
・いっぽう、（a・ｖ、ｗ）と（ｖ、ａ・ｗ）は、異なる元である
・つまり、異なる元を写像ｆで写した先が等しいから、ｆは単射でない
ここから何がいえるか
・デカルト積Ｖ×Ｗの次元は、テンソル積Ｖ⊗Ｗの次元より小さい
・しかもデカルト積Ｖ×Ｗの次元のｆの像は、もとのＶ×Ｗの次元よりも小さい
陰関数定理が分かっていれば証明できるが、ここでは面倒なので省略する
830１３２人目の素数さん
2020/10/03(土) 07:04:43.83ID:SmtMlBCP (x1,x2,x3)∈R^3
(y1,y2,y3)∈R^3
とする
(x1,x2,x3,y1,y2,y3)∈R^3×R^3(=R^6) から
(z11,z12,z13,z21,z22,z23,z31､z32､z33)∈R^3⊗R^3(=R^9)への
写像ｆを以下のように定義する
z11 = x1 * y1
z12 = x1 * y2
z13 = x1 * y3
z21 = x2 * y1
z22 = x2 * y2
z23 = x2 * y3
z31 = x3 * y1
z32 = x3 * y2
z33 = x3 * y3
このとき、以下が云える
f(R^6)は、R^9の部分多様体であり、その次元はたかだか5(=6-1)
一般にR^n×R^m(=R^(n+m))から、R^n⊗R^m(=R^(n*m))への写像fを
上記と同様の形で定義した場合
f(R^(n+m))は、R^(n*m)の部分多様体であり、その次元はたかだかn+m-1である
(y1,y2,y3)∈R^3
とする
(x1,x2,x3,y1,y2,y3)∈R^3×R^3(=R^6) から
(z11,z12,z13,z21,z22,z23,z31､z32､z33)∈R^3⊗R^3(=R^9)への
写像ｆを以下のように定義する
z11 = x1 * y1
z12 = x1 * y2
z13 = x1 * y3
z21 = x2 * y1
z22 = x2 * y2
z23 = x2 * y3
z31 = x3 * y1
z32 = x3 * y2
z33 = x3 * y3
このとき、以下が云える
f(R^6)は、R^9の部分多様体であり、その次元はたかだか5(=6-1)
一般にR^n×R^m(=R^(n+m))から、R^n⊗R^m(=R^(n*m))への写像fを
上記と同様の形で定義した場合
f(R^(n+m))は、R^(n*m)の部分多様体であり、その次元はたかだかn+m-1である
831１３２人目の素数さん
2020/10/03(土) 07:23:11.28ID:SmtMlBCP >>830を、さらに一般化する
R^n_1×…×R^n_m(=R^(n_1+…+n_m))から、
R^n_1⊗ … ⊗R^n_m(=R^(n_1*…*n_m))への写像fを
z i(1)…i(m) = x1_i(1) * … * xm_i(m)
のような形で定義した場合
f(R^(n_1+…+n_m))は、R^(n_1*…*n_m)の部分多様体であり、
その次元はたかだか(n_1+…+n_m)-(m-1)である
R^n_1×…×R^n_m(=R^(n_1+…+n_m))から、
R^n_1⊗ … ⊗R^n_m(=R^(n_1*…*n_m))への写像fを
z i(1)…i(m) = x1_i(1) * … * xm_i(m)
のような形で定義した場合
f(R^(n_1+…+n_m))は、R^(n_1*…*n_m)の部分多様体であり、
その次元はたかだか(n_1+…+n_m)-(m-1)である
2020/10/03(土) 14:45:05.60ID:SmtMlBCP
このスレ、不要につき爆破します
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2020/10/03(土) 14:45:59.18ID:SmtMlBCP
爆破！
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2020/10/03(土) 14:50:04.14ID:SmtMlBCP
このスレ 廃止しました
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2020/10/03(土) 14:51:14.44ID:SmtMlBCP
このスレ 廃止しました
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2020/10/03(土) 14:54:02.48ID:SmtMlBCP
昭和を代表する名曲ｗ
https://www.youtube.com/watch?v=M3uHpYVh85A
https://www.youtube.com/watch?v=M3uHpYVh85A
2020/10/03(土) 14:57:10.21ID:SmtMlBCP
2020/10/03(土) 15:59:52.37ID:SmtMlBCP
839１３２人目の素数さん
2020/10/03(土) 16:51:53.06ID:LCj5Mg3b |∞゜*。○゜。>>832-835
|´д`)…
|∞
|`)…ｪﾓｶﾄｫﾓﾀ…
|∞ ｪﾓｯﾋﾟ🍄ﾓ時々
|д`) 過疎系ﾆｭｰ速ﾃﾞ
с ﾚｽﾊﾞ相手ﾉﾚｽﾆ…
♆(و´∀`)ว💣💥💥💥
投ｹﾞﾀﾘ。。。
💣ｬ💥ｬ💀ｬ💩ﾀﾍﾟｽﾄﾘｰ
織ﾘ上ｹﾞﾀﾘｼﾃﾀ。。。
。。。。。。
٩(ᐛ)(ᐖ)۶
ｩﾙﾄﾗｯ!ｿｩﾙｯ!ﾂｨﾝｯ!👯
|´д`)…
|∞
|`)…ｪﾓｶﾄｫﾓﾀ…
|∞ ｪﾓｯﾋﾟ🍄ﾓ時々
|д`) 過疎系ﾆｭｰ速ﾃﾞ
с ﾚｽﾊﾞ相手ﾉﾚｽﾆ…
♆(و´∀`)ว💣💥💥💥
投ｹﾞﾀﾘ。。。
💣ｬ💥ｬ💀ｬ💩ﾀﾍﾟｽﾄﾘｰ
織ﾘ上ｹﾞﾀﾘｼﾃﾀ。。。
。。。。。。
٩(ᐛ)(ᐖ)۶
ｩﾙﾄﾗｯ!ｿｩﾙｯ!ﾂｨﾝｯ!👯
840１３２人目の素人さん
2020/10/03(土) 16:54:58.00ID:LCj5Mg3b ｿｯｸﾘﾀﾞｯﾋﾟｨｨｯ!
|=з ﾋﾟｯﾋｬｧｧｧｯ!
|=з ﾋﾟｯﾋｬｧｧｧｯ!
841ammonium nitrate
2020/10/03(土) 17:14:07.86ID:SmtMlBCP >>839
( ´∀｀)人(´∀｀ )ﾅｶｰﾏ
( ´∀｀)人(´∀｀ )ﾅｶｰﾏ
842１３２人目の素数さん
2020/10/03(土) 17:27:18.33ID:LCj5Mg3b ﾀﾀﾞﾉ('A`)人('A`)ﾅｶｰﾏ
ﾅﾝﾃｨｬｬｧ!
|∞
٩`)ﾓｯﾄ一体化…
|b
|=з ///ﾋﾟｬｧｧｧｯ///
ﾅﾝﾃｨｬｬｧ!
|∞
٩`)ﾓｯﾄ一体化…
|b
|=з ///ﾋﾟｬｧｧｧｯ///
843現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/03(土) 19:03:14.09ID:5JuF9jlR 小澤徹先生メモ
http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/index2_ryakureki.html
小澤徹 (おざわ とおる)
学位
1990年3月 京都大学理学博士 (論文博士)
主査：松浦重武教授
副査：河合隆裕教授、柏原正樹教授、斎藤恭司教授
2008年9月 早稲田大学 理工学術院 先進理工学部 応用物理学科 教授
http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/koneta.html
小澤徹 (おざわ とおる)
数学小ネタ集
http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/pdf/tensor_space.pdf
テンソル空間
平成 26 年 11 月
小澤 徹
ベクトル空間のテンソル積を基礎としてテンソル空間を定義し、その基本的な性質を纏め
て置こう。ベクトル空間の係数体 K は実数体 R 又は複素数体 C とする。
１．集合の生成するベクトル空間
http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/pdf/tensor_product.pdf
集合の生成する自由加群, R加群のテンソル積
平成 19 年 12 月
小澤 徹
http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/index2_ryakureki.html
小澤徹 (おざわ とおる)
学位
1990年3月 京都大学理学博士 (論文博士)
主査：松浦重武教授
副査：河合隆裕教授、柏原正樹教授、斎藤恭司教授
2008年9月 早稲田大学 理工学術院 先進理工学部 応用物理学科 教授
http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/koneta.html
小澤徹 (おざわ とおる)
数学小ネタ集
http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/pdf/tensor_space.pdf
テンソル空間
平成 26 年 11 月
小澤 徹
ベクトル空間のテンソル積を基礎としてテンソル空間を定義し、その基本的な性質を纏め
て置こう。ベクトル空間の係数体 K は実数体 R 又は複素数体 C とする。
１．集合の生成するベクトル空間
http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/pdf/tensor_product.pdf
集合の生成する自由加群, R加群のテンソル積
平成 19 年 12 月
小澤 徹
844現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/03(土) 19:04:28.67ID:5JuF9jlR846１３２人目の素数さん
2020/10/03(土) 19:52:10.47ID:LCj5Mg3b847１３２人目の素数さん
2020/10/03(土) 20:00:01.02ID:LCj5Mg3b 彡∞
ﾘﾎﾞﾝ∞ｽﾞﾚﾀ~!
ﾘﾎﾞﾝ∞ｽﾞﾚﾀ~!
848１３２人目の素数さん
2020/10/03(土) 20:41:26.00ID:SmtMlBCP >>846
🐓に「様」つけるとか卑屈に謝るとか、キモチワルイ♀だな
🐓に「様」つけるとか卑屈に謝るとか、キモチワルイ♀だな
849１３２人目の素数さん
2020/10/03(土) 20:45:46.12ID:SmtMlBCP 数学の分からん🐓が不法にスレッドを占拠して
数学的に誤ったトンデモネタを書き散らかす
荒らし行為を行っている
謝るべきは🐓のほう
焼かれて食われちまえ チキン野郎
数学的に誤ったトンデモネタを書き散らかす
荒らし行為を行っている
謝るべきは🐓のほう
焼かれて食われちまえ チキン野郎
850１３２人目の素数さん
2020/10/03(土) 20:53:12.23ID:SmtMlBCP 小澤徹 (おざわ とおる)
1961年11月生
1980年3月 早稲田大学 高等学院 卒業
1980年4月 早稲田大学 理工学部 物理学科 入学
1984年3月 早稲田大学 理工学部 物理学科 卒業 (応用物理学科 飯野理一・堤正義研究室)
ほう・・・
1961年11月生
1980年3月 早稲田大学 高等学院 卒業
1980年4月 早稲田大学 理工学部 物理学科 入学
1984年3月 早稲田大学 理工学部 物理学科 卒業 (応用物理学科 飯野理一・堤正義研究室)
ほう・・・
851１３２人目の素数さん
2020/10/03(土) 21:12:14.82ID:LCj5Mg3b |∞ ٩(>>848)💢
|д･᷅)… ( )ว
с ) u u
|=з
|д･᷅)… ( )ว
с ) u u
|=з
852１３２人目の素数さん
2020/10/03(土) 21:16:04.07ID:LCj5Mg3b ﾒｶﾞ文字化ｹｼﾃﾙ…ªªﾓｽﾞﾚﾃﾙ…
。○
゜
。○
゜
853現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/03(土) 22:32:04.24ID:5JuF9jlR854現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/04(日) 08:16:58.31ID:f31A/48O 小澤徹 テンソル空間 メモ（これ結構良いね）
http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/index2_02.html
小澤徹 (おざわ とおる)
III. 教育活動
4.数学小ネタ集 http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/index2_02.html
http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/pdf/tensor_space.pdf
テンソル空間
平成 26 年 11 月
小澤 徹
P7
３．テンソル積の同型の構成
定理４ X とY をベクトル空間とする。夫々の基底を(ei; i ∈ I)及び(fj; j ∈ J)とし、添字集
合I とJ の直積集合I×J の生成するベクトル空間をF0(I×J)とする。各(x, y) ∈ X ×Y に対
し{i ∈ I; e*i(x) ≠ 0}及び{j ∈ J; f*j(y) ≠ 0}は有限であり、
一次結合Σ(i,j)∈I×J e*i(x)f*j(y)ι(x,y)
は F0(I × J) の元となる。付随する写像
B : X × Y ∋ (x, y) → B(x, y) =Σ(i,j)∈I×J e*i(x)f*j(y)ι(i,j) ∈ F0(I × J)
は双線型となる。
定理 2 に拠って B = T ◯ ρ なる T ∈ L(X ◯x Y ; F0(I × J)) が一意的に存在
する。このとき T は全単射となり X ◯x Y と F0(I × J) との同型を与える。この対応は元毎には
ξ =Σ(i,j)∈I×J cijei ◯x fj ∈ X ◯x Y ←→ α =(i,j)∈I×J cij ι(i,j) ∈ F0(I × J)
で与えられる。
ここに I 及び J は夫々I 及び J の有限部分集合であり
cij = (T(ξ))(i, j) = ev(i,j)(α)である。
(証明) T が同型である事を示せば充分である。
略
つづく
http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/index2_02.html
小澤徹 (おざわ とおる)
III. 教育活動
4.数学小ネタ集 http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/index2_02.html
http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/pdf/tensor_space.pdf
テンソル空間
平成 26 年 11 月
小澤 徹
P7
３．テンソル積の同型の構成
定理４ X とY をベクトル空間とする。夫々の基底を(ei; i ∈ I)及び(fj; j ∈ J)とし、添字集
合I とJ の直積集合I×J の生成するベクトル空間をF0(I×J)とする。各(x, y) ∈ X ×Y に対
し{i ∈ I; e*i(x) ≠ 0}及び{j ∈ J; f*j(y) ≠ 0}は有限であり、
一次結合Σ(i,j)∈I×J e*i(x)f*j(y)ι(x,y)
は F0(I × J) の元となる。付随する写像
B : X × Y ∋ (x, y) → B(x, y) =Σ(i,j)∈I×J e*i(x)f*j(y)ι(i,j) ∈ F0(I × J)
は双線型となる。
定理 2 に拠って B = T ◯ ρ なる T ∈ L(X ◯x Y ; F0(I × J)) が一意的に存在
する。このとき T は全単射となり X ◯x Y と F0(I × J) との同型を与える。この対応は元毎には
ξ =Σ(i,j)∈I×J cijei ◯x fj ∈ X ◯x Y ←→ α =(i,j)∈I×J cij ι(i,j) ∈ F0(I × J)
で与えられる。
ここに I 及び J は夫々I 及び J の有限部分集合であり
cij = (T(ξ))(i, j) = ev(i,j)(α)である。
(証明) T が同型である事を示せば充分である。
略
つづく
855現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/04(日) 08:17:23.16ID:f31A/48O >>854
つづき
P1
１．集合の生成するベクトル空間
空でない集合 S 上の函数で有限な台をもつもの全体を F0(S) と表す：
F0(S) = {f : S → K; ♯Suppf < ∞}
ここに Suppf = {x ∈ S; f(x) ≠ 0} は f の台とする。各点毎の和とスカラー倍
(f + g)(x) = f(x) + g(x),
(af)(x) = af(x)
により F0(S) に和とスカラー倍が定義され F0(S) はベクトル空間を成す。
各 x ∈ S に対し
ιx(y)
：=1, y = x
：=0, y ∈ S ＼ {x}
として ιx ∈ F0(S) が定まる。
ι(x) = ιx と置くと写像 ι : S → F0(S) が定まり
ι(x) = ι(y) ⇔ιx = ιy ⇒ ιx(y) = ιy(y)=1 ⇒ x = y より
ι は単射となる。
各 x ∈ S に対し evx : F0(S) → K
が evx(f) = f(x) で定まる。
このとき任意の f ∈ F0(S) に対し
f =Σx∈S f(x)ιx =Σx∈S evx(f)ιx
が成立つ。ここに総和は Suppf の有限個の点を除いて零であり、Suppf 上では一つの項のみ
零でない値を取る事に注意する。
上の等式は F0(S) 内の線型変換としての恒等写像の分解
id =Σx∈S evx(・)ιx
を与えていると見做す事が出来る。
(引用終り)
以上
つづき
P1
１．集合の生成するベクトル空間
空でない集合 S 上の函数で有限な台をもつもの全体を F0(S) と表す：
F0(S) = {f : S → K; ♯Suppf < ∞}
ここに Suppf = {x ∈ S; f(x) ≠ 0} は f の台とする。各点毎の和とスカラー倍
(f + g)(x) = f(x) + g(x),
(af)(x) = af(x)
により F0(S) に和とスカラー倍が定義され F0(S) はベクトル空間を成す。
各 x ∈ S に対し
ιx(y)
：=1, y = x
：=0, y ∈ S ＼ {x}
として ιx ∈ F0(S) が定まる。
ι(x) = ιx と置くと写像 ι : S → F0(S) が定まり
ι(x) = ι(y) ⇔ιx = ιy ⇒ ιx(y) = ιy(y)=1 ⇒ x = y より
ι は単射となる。
各 x ∈ S に対し evx : F0(S) → K
が evx(f) = f(x) で定まる。
このとき任意の f ∈ F0(S) に対し
f =Σx∈S f(x)ιx =Σx∈S evx(f)ιx
が成立つ。ここに総和は Suppf の有限個の点を除いて零であり、Suppf 上では一つの項のみ
零でない値を取る事に注意する。
上の等式は F0(S) 内の線型変換としての恒等写像の分解
id =Σx∈S evx(・)ιx
を与えていると見做す事が出来る。
(引用終り)
以上
856１３２人目の素数さん
2020/10/04(日) 08:41:29.36ID:mLeuvA76 >>854
>これ結構良いね
文章の意味、わかってる？
>X とY をベクトル空間とする。
>夫々の基底を(ei; i ∈ I)及び(fj; j ∈ J)とし
質問 (x, y) ∈ X ×Y としたときの
e*i(x)、 f*j(y)とは何？
もちろん、私はわかってるよ 大学の数学科なら必ず学ぶ、基本だから
でも、線形代数を大学で全く学んでない◆yH25M02vWFhP 君、わかってる？
>これ結構良いね
文章の意味、わかってる？
>X とY をベクトル空間とする。
>夫々の基底を(ei; i ∈ I)及び(fj; j ∈ J)とし
質問 (x, y) ∈ X ×Y としたときの
e*i(x)、 f*j(y)とは何？
もちろん、私はわかってるよ 大学の数学科なら必ず学ぶ、基本だから
でも、線形代数を大学で全く学んでない◆yH25M02vWFhP 君、わかってる？
857１３２人目の素数さん
2020/10/04(日) 08:47:31.40ID:mLeuvA76 >>854
>これ結構良いね
文章の意味、ホントにわかってる？
>添字集合I とJ の直積集合I×J の生成するベクトル空間をF0(I×J)とする。
で、その前に、こういうのも出てくるね
君、全然引用してないけど
「積ベクトル空間 X × Y の生成するベクトル空間 F0(X×Y) を導入する：
F0(X×Y) = {f : X × Y → K; #Suppf < ∞}」
質問：F0(I×J)はF0(X×Y)と、どう違うのか分かってる？
（いわずもがなだが集合I×Jは有限集合で、集合X×Yは無限集合)
>これ結構良いね
文章の意味、ホントにわかってる？
>添字集合I とJ の直積集合I×J の生成するベクトル空間をF0(I×J)とする。
で、その前に、こういうのも出てくるね
君、全然引用してないけど
「積ベクトル空間 X × Y の生成するベクトル空間 F0(X×Y) を導入する：
F0(X×Y) = {f : X × Y → K; #Suppf < ∞}」
質問：F0(I×J)はF0(X×Y)と、どう違うのか分かってる？
（いわずもがなだが集合I×Jは有限集合で、集合X×Yは無限集合)
858１３２人目の素数さん
2020/10/04(日) 09:01:33.73ID:mLeuvA76 >>854
>これ結構良いね
文章の意味、ホンっっっトにわかってる？
>定理 2 に拠って B = T ◯ ρ なる T ∈ L(X⊗Y ; F0(I × J)) が一意的に存在する。
>このとき T は全単射となり X⊗Y と F0(I × J) との同型を与える。
で、君、肝心のX⊗Yの定義に関する記述、全く引用してないよね
ちゃんと全部読んでる？
「積ベクトル空間 X × Y の生成するベクトル空間 F0(X×Y) を導入する：
F0(X×Y) = {f : X × Y → K; #Suppf < ∞}」
双線型写像であれば零を与える組を想定して
F0(X×Y)の部分集合M1, M2 を次で定義する：
M1 = {ι(ax+a’x’,y) − aι(x,y) − a’ι(x’,y) ∈ F0(X × Y ); x, x’ ∈ X, y ∈ Y, a, a’ ∈ K}
M2 = {ι(x,ay+a’y’) − aι(x,y) − a’ι(x,y’) ∈ F0(X × Y ); x ∈ X, y, y’ ∈ Y, a, a’ ∈ K}
M1 ∪ M2 の生成する F0(X × Y ) の部分空間を M とする：M = Span(M0 ∪ M1)
F0(X × Y ) を M で割った商ベクトル空間を Z とする：Z = F0(X × Y )/M」
X⊗Yは集合としては上記のZであるが、これがF0(I × J)と同型になること、わかってる？
定理４の証明、全部省略してるけど もしかして訳も分からず鵜呑み？
それダメだよ 馬鹿になるから
>これ結構良いね
文章の意味、ホンっっっトにわかってる？
>定理 2 に拠って B = T ◯ ρ なる T ∈ L(X⊗Y ; F0(I × J)) が一意的に存在する。
>このとき T は全単射となり X⊗Y と F0(I × J) との同型を与える。
で、君、肝心のX⊗Yの定義に関する記述、全く引用してないよね
ちゃんと全部読んでる？
「積ベクトル空間 X × Y の生成するベクトル空間 F0(X×Y) を導入する：
F0(X×Y) = {f : X × Y → K; #Suppf < ∞}」
双線型写像であれば零を与える組を想定して
F0(X×Y)の部分集合M1, M2 を次で定義する：
M1 = {ι(ax+a’x’,y) − aι(x,y) − a’ι(x’,y) ∈ F0(X × Y ); x, x’ ∈ X, y ∈ Y, a, a’ ∈ K}
M2 = {ι(x,ay+a’y’) − aι(x,y) − a’ι(x,y’) ∈ F0(X × Y ); x ∈ X, y, y’ ∈ Y, a, a’ ∈ K}
M1 ∪ M2 の生成する F0(X × Y ) の部分空間を M とする：M = Span(M0 ∪ M1)
F0(X × Y ) を M で割った商ベクトル空間を Z とする：Z = F0(X × Y )/M」
X⊗Yは集合としては上記のZであるが、これがF0(I × J)と同型になること、わかってる？
定理４の証明、全部省略してるけど もしかして訳も分からず鵜呑み？
それダメだよ 馬鹿になるから
859１３２人目の素数さん
2020/10/04(日) 09:12:36.39ID:mLeuvA76 ◆yH25M02vWFhPが、過去の投稿で
「商による(テンソル積空間の)定義」
といってるのは、 >>858に書いた、F0(X × Y )/Mのことだね
（これ一見すると実にペダンティックだが、
要は異なる(x,y)について二重線形性による
同値関係を入れてるだけで、理屈が分れば屁でもないが
工学部とかの「土人」にとっては、青銅器や鉄器の如き代物ｗ）
で、同じく◆yH25M02vWFhPが、過去の投稿で
「多次元配列」
といってるのは、>>857のF0(I×J)
このくらいなら、工学部の「土人」でも分かる石器みたいなもん
で、要は
「数学科の連中がもったいつけて定義してる青銅器やら鉄器みたいなもんは
実は工学部の土人が扱える石器と全然変わらんよ」
というのが定理４
あのさ、文章リンクするのはいいけど
「これ結構良いね」
とかほざくんなら、このくらいコメントつけろよ
ガキの使いじゃないんだからさ
ま、でも工学部の「土人」には無理か
え？大学出てないから「土人」ですらない？
おいおい、そもそも人間じゃないのかよ
おまえ、俺たち人間に食われる野獣か？
「商による(テンソル積空間の)定義」
といってるのは、 >>858に書いた、F0(X × Y )/Mのことだね
（これ一見すると実にペダンティックだが、
要は異なる(x,y)について二重線形性による
同値関係を入れてるだけで、理屈が分れば屁でもないが
工学部とかの「土人」にとっては、青銅器や鉄器の如き代物ｗ）
で、同じく◆yH25M02vWFhPが、過去の投稿で
「多次元配列」
といってるのは、>>857のF0(I×J)
このくらいなら、工学部の「土人」でも分かる石器みたいなもん
で、要は
「数学科の連中がもったいつけて定義してる青銅器やら鉄器みたいなもんは
実は工学部の土人が扱える石器と全然変わらんよ」
というのが定理４
あのさ、文章リンクするのはいいけど
「これ結構良いね」
とかほざくんなら、このくらいコメントつけろよ
ガキの使いじゃないんだからさ
ま、でも工学部の「土人」には無理か
え？大学出てないから「土人」ですらない？
おいおい、そもそも人間じゃないのかよ
おまえ、俺たち人間に食われる野獣か？
860１３２人目の素数さん
2020/10/04(日) 09:17:35.36ID:mLeuvA76 >>855
これ、大して意味ないね。常識だしｗ
有限台に限るのは、そもそも代数的な線型空間で
ベクトルの無限和なんて考えないから
で、また、どうせトンチンカン解釈してるんだろ
あんた肝心なポイント（定理２のくだり）引用しないで
こんなカスみたいなところドヤ顔で引用するから
馬脚を現すんだよ ま、こりゃ馬脚どころかトリ脚だなｗ
これ、大して意味ないね。常識だしｗ
有限台に限るのは、そもそも代数的な線型空間で
ベクトルの無限和なんて考えないから
で、また、どうせトンチンカン解釈してるんだろ
あんた肝心なポイント（定理２のくだり）引用しないで
こんなカスみたいなところドヤ顔で引用するから
馬脚を現すんだよ ま、こりゃ馬脚どころかトリ脚だなｗ
861現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/04(日) 11:43:51.62ID:f31A/48O >>860
>有限台に限るのは、そもそも代数的な線型空間で
>ベクトルの無限和なんて考えないから
違うよ
また、おまえ”スベッタ”な〜！w
ｗ（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
ベクトル空間
(抜粋)
歴史
ベクトル空間の重要な発展がアンリ・ルベーグによる函数空間の構成によって起こり、後の1920年ごろにステファン・バナフとダフィット・ヒルベルトによって定式化された[10]。その当時、代数学と新しい研究分野であった函数解析学とが相互に影響し始め、 p-乗可積分函数の空間 Lp やヒルベルト空間などの重要な概念が生み出されることとなる[11]。そうして無限次元の場合をも含むベクトル空間の概念は堅く確立されたものとなり、多くの数学分野において用いられ始めた。
数ベクトル空間 Fn は、すでに示した基底によってその次元が n であることがわかる。多項式環 F[x]（上述）の次元は可算無限（基底の一つは 1, x, x2, … で与えられる）であり、ある（有界または非有界な）区間上の函数全体の成す空間など、もっと一般の函数空間の次元は当然無限大になる[nb 4]。
>有限台に限るのは、そもそも代数的な線型空間で
>ベクトルの無限和なんて考えないから
違うよ
また、おまえ”スベッタ”な〜！w
ｗ（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
ベクトル空間
(抜粋)
歴史
ベクトル空間の重要な発展がアンリ・ルベーグによる函数空間の構成によって起こり、後の1920年ごろにステファン・バナフとダフィット・ヒルベルトによって定式化された[10]。その当時、代数学と新しい研究分野であった函数解析学とが相互に影響し始め、 p-乗可積分函数の空間 Lp やヒルベルト空間などの重要な概念が生み出されることとなる[11]。そうして無限次元の場合をも含むベクトル空間の概念は堅く確立されたものとなり、多くの数学分野において用いられ始めた。
数ベクトル空間 Fn は、すでに示した基底によってその次元が n であることがわかる。多項式環 F[x]（上述）の次元は可算無限（基底の一つは 1, x, x2, … で与えられる）であり、ある（有界または非有界な）区間上の函数全体の成す空間など、もっと一般の函数空間の次元は当然無限大になる[nb 4]。
862１３２人目の素数さん
2020/10/04(日) 12:17:05.07ID:mLeuvA76 >>861
>>そもそも代数的な線型空間で
>>ベクトルの無限和なんて考えないから
>違うよ
>また、おまえ”スベッタ”な〜！w
君さぁ、いい加減、学習しようよ
君のナイーブな直感で、
「おまえ、間違ったな！ アイ・ハヴァ・ウィン！」
とわめいた事例は、一つの例外もなく全て君の負けだった
という厳然たる事実にさ
>多項式環 F[x]の次元は
>可算無限（基底の一つは 1, x, x2, … で与えられる）
そこで質問
形式的べき級数環を線型空間とみなした場合
その基底はいかなるものか示した上で
基底の全体集合の濃度についても答えよ
わ・ざ・わ・ざ、こう質問したのだから
多項式環を線型空間とみなした場合の基底
とは確実に違うことだけは気づいとけよ🐓
>>そもそも代数的な線型空間で
>>ベクトルの無限和なんて考えないから
>違うよ
>また、おまえ”スベッタ”な〜！w
君さぁ、いい加減、学習しようよ
君のナイーブな直感で、
「おまえ、間違ったな！ アイ・ハヴァ・ウィン！」
とわめいた事例は、一つの例外もなく全て君の負けだった
という厳然たる事実にさ
>多項式環 F[x]の次元は
>可算無限（基底の一つは 1, x, x2, … で与えられる）
そこで質問
形式的べき級数環を線型空間とみなした場合
その基底はいかなるものか示した上で
基底の全体集合の濃度についても答えよ
わ・ざ・わ・ざ、こう質問したのだから
多項式環を線型空間とみなした場合の基底
とは確実に違うことだけは気づいとけよ🐓
863粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
2020/10/04(日) 12:39:12.85ID:R1FgWeYZ 非学者論に負けず、他力本願｡
279:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/07/29(水) 10:33:40.69 ID:ruijdO0n
＜転載＞ ”0.999...”について
0.99999……は１ではない その11
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595025887/119
まあ、三流は三流らしく
ちゃんと､
超一流や一流の人をベースに議論しなさいよ
https://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...#p-%E9%80%B2%E6%95%B0
0.999... テレンス・タオ "0.999…" は 1 に「無限に近い」｡
イアン・スチュアートはこの解釈を、「0.999… は 1 よりも『ほんの少しだけ小さい』」という直観を厳密に正当化する「全く合理的な」方法として特徴づけた[23]｡
・超一流のテレンスタオがさ、” "0.999…" は 1 に「無限に近い」”という主張は、ちゃんと21世紀の数学の中で正当化できるという（ノンスタでね)
（一流のイアン・スチュアートも、この解釈を、「0.999… は 1 よりも『ほんの少しだけ小さい』」という直観を厳密に正当化する「全く合理的な」方法として特徴づけた[23]という)
・勿論、スタンダードな "0.999…＝1"もあり
・だからさ、三流さんたちは、両方ありを前提に議論しないとさｗ
あなた方は、三流なんだからさ
まあ、三流は三流らしく
ちゃんと､
超一流や一流の人をベースに議論しなさいよ
279:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/07/29(水) 10:33:40.69 ID:ruijdO0n
＜転載＞ ”0.999...”について
0.99999……は１ではない その11
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595025887/119
まあ、三流は三流らしく
ちゃんと､
超一流や一流の人をベースに議論しなさいよ
https://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...#p-%E9%80%B2%E6%95%B0
0.999... テレンス・タオ "0.999…" は 1 に「無限に近い」｡
イアン・スチュアートはこの解釈を、「0.999… は 1 よりも『ほんの少しだけ小さい』」という直観を厳密に正当化する「全く合理的な」方法として特徴づけた[23]｡
・超一流のテレンスタオがさ、” "0.999…" は 1 に「無限に近い」”という主張は、ちゃんと21世紀の数学の中で正当化できるという（ノンスタでね)
（一流のイアン・スチュアートも、この解釈を、「0.999… は 1 よりも『ほんの少しだけ小さい』」という直観を厳密に正当化する「全く合理的な」方法として特徴づけた[23]という)
・勿論、スタンダードな "0.999…＝1"もあり
・だからさ、三流さんたちは、両方ありを前提に議論しないとさｗ
あなた方は、三流なんだからさ
まあ、三流は三流らしく
ちゃんと､
超一流や一流の人をベースに議論しなさいよ
864粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
2020/10/04(日) 12:43:37.56ID:R1FgWeYZ 非学者論に負けず、間違い指摘を細かい事と言って取り合う事から逃避
301:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/07/31(金) 10:34:59.05 ID:Trt2z5f1
> 299
おっさん、細かいことは良いんだよ
20世紀に、ロビンソンがノンスタ（超準）を考えて
実数を拡張して、無限小と無限大を取り入れた
21世紀の現代数学では、無限小をきちんと数学として扱えるようになった
おっさんらの議論は、古いんだよ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E5%AE%9F%E6%95%B0
超実数
(抜粋)
超実数（ちょうじっすう、英: hyperreal number）または超準実数（ちょうじゅんじっすう、英: nonstandard reals）と呼ばれる数の体系は無限大量や無限小量を扱う方法の一つである｡
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%B0%8F
無限小
(抜粋)
無限小（むげんしょう、英: infinitesimal）は、測ることができないほど極めて小さい「もの」である｡
連続の法則および無限小の数学的に厳密な定式化は、1961年にアブラハム・ロビンソンによって達成された
ウラジーミル・アーノルドは1990年に以下のように書いている:
Nowadays, when teaching analysis, it is not very popular to talk about infinitesimal quantities. Consequently present-day students are not fully in command of this language. Nevertheless, it is still necessary to have command of it.[4]
（訳: 今日では、解析学の授業において無限小量について述べることはあまり一般的ではない。その結果、当世の学生はこの言葉づかいに全く習熟していない。にも拘らず、未だにそれを扱うことが必要である)
301:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/07/31(金) 10:34:59.05 ID:Trt2z5f1
> 299
おっさん、細かいことは良いんだよ
20世紀に、ロビンソンがノンスタ（超準）を考えて
実数を拡張して、無限小と無限大を取り入れた
21世紀の現代数学では、無限小をきちんと数学として扱えるようになった
おっさんらの議論は、古いんだよ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E5%AE%9F%E6%95%B0
超実数
(抜粋)
超実数（ちょうじっすう、英: hyperreal number）または超準実数（ちょうじゅんじっすう、英: nonstandard reals）と呼ばれる数の体系は無限大量や無限小量を扱う方法の一つである｡
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%B0%8F
無限小
(抜粋)
無限小（むげんしょう、英: infinitesimal）は、測ることができないほど極めて小さい「もの」である｡
連続の法則および無限小の数学的に厳密な定式化は、1961年にアブラハム・ロビンソンによって達成された
ウラジーミル・アーノルドは1990年に以下のように書いている:
Nowadays, when teaching analysis, it is not very popular to talk about infinitesimal quantities. Consequently present-day students are not fully in command of this language. Nevertheless, it is still necessary to have command of it.[4]
（訳: 今日では、解析学の授業において無限小量について述べることはあまり一般的ではない。その結果、当世の学生はこの言葉づかいに全く習熟していない。にも拘らず、未だにそれを扱うことが必要である)
865粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
2020/10/04(日) 12:45:05.53ID:R1FgWeYZ 非学者論に負けず、間違い指摘を興味が無い事と言って取り合う事から逃避
495:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/24(月) 18:49:40.66 ID:rNo847jr
おっさん、スレ違いだよ
細かい話は、別スレでやってくれ
おれは興味ないんだよね、それ
それに、ここは、IUTスレだよ
なお、安達スレには、適当に殴り込み掛けるからね
悪しからずｗｗ（＾＾；
495:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/24(月) 18:49:40.66 ID:rNo847jr
おっさん、スレ違いだよ
細かい話は、別スレでやってくれ
おれは興味ないんだよね、それ
それに、ここは、IUTスレだよ
なお、安達スレには、適当に殴り込み掛けるからね
悪しからずｗｗ（＾＾；
866粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
2020/10/04(日) 13:05:50.06ID:R1FgWeYZ 此れ等の所業からスレ主は訂正や詫びをする心に欠け自浄能力は絶無、また学習能力も自ら放棄｡
此の様にして此のスレはコピペ千万により誤解・誤謬・誤引用・誤説の限りを尽くされていく…｡
此の様にして此のスレはコピペ千万により誤解・誤謬・誤引用・誤説の限りを尽くされていく…｡
2020/10/04(日) 13:53:35.31ID:mLeuvA76
このスレ、不要につき爆破な
💣💣💣💣💣💣💣💣
💣💣💣💣💣💣💣💣
2020/10/04(日) 13:54:08.99ID:mLeuvA76
爆破！
💥💥💥💥💥💥💥💥
💥💥💥💥💥💥💥💥
2020/10/04(日) 13:54:52.55ID:mLeuvA76
このスレ 廃止な
🏴🏴🏴🏴🏴🏴🏴🏴
🏴🏴🏴🏴🏴🏴🏴🏴
870現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/04(日) 15:27:36.37ID:f31A/48O >>859
>過去の投稿で
>「商による(テンソル積空間の)定義」
>といってるのは、 >>858に書いた、F0(X × Y )/Mのことだね
仰る通りだ。デカルト積X × Y は、有限次元では直和と同じだな（下記wikipedia）
（因みに、>>861の有限次元に限る話も同じだろう。有限次元に限れば、議論がすっきりするってことよ（＾＾；）
なお、デカルト積 X × Y から、小澤徹 テンソル空間 http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/pdf/tensor_space.pdf
では、「定理４ X とY をベクトル空間とする。夫々の基底を(ei; i ∈ I)及び(fj; j ∈ J)とし」て取り出して、
F0(X ×Y )から、F0(X × Y )/M を作っている。それを示すために、わざわざ、検索で 小澤 徹を見つけたんだ（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
ベクトル空間
(抜粋)
7.2 直積と直和
詳細は「直積線型空間」および「加群の直和」を参照
I で添字付けられたベクトル空間の族 Vi(i ∈ I) の直積 ?i∈I Vi とは、I の各添字 i に対して Vi の元 vi を指定してできる順序組 (vii ∈ I 全体の成す集合に、加法とスカラー乗法を成分ごとの演算によって定める。 この構成の変種として、直和 ◯+i ∈ I Vi（あるいは余積 ?i ∈ I Vi）は先の順序組において有限個の例外を除く全ての成分が零ベクトルであるようなものだけを許して得られるものである。添字集合 I が有限ならばこの二つの構成は一致するが、そうでないならば違うものを与える
なお、小澤が読めりゃ下記はない
(>>766より)
自分で言ったこと覚えているか？
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
って、言ったよね
とろで、行列式は、外積代数の外冪を使って定義されるよ(>>722)
外積代数も、普遍性あり
テンソル代数も、普遍性あり
だったら、「行列式はテンソルです」というと
外積代数とテンソル代数とが、”一意な同型射を除いて一意的”（下記）ってなるよね
それは、おかしいよね（＾＾；
（∵ 外積代数とテンソル代数とは、全く同型じゃない。例えば、田丸>>716 数学概論ＰＤＦ 第 1 章 テンソル代数 と 第 2 章 外積代数 ご参照 ）
>過去の投稿で
>「商による(テンソル積空間の)定義」
>といってるのは、 >>858に書いた、F0(X × Y )/Mのことだね
仰る通りだ。デカルト積X × Y は、有限次元では直和と同じだな（下記wikipedia）
（因みに、>>861の有限次元に限る話も同じだろう。有限次元に限れば、議論がすっきりするってことよ（＾＾；）
なお、デカルト積 X × Y から、小澤徹 テンソル空間 http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/pdf/tensor_space.pdf
では、「定理４ X とY をベクトル空間とする。夫々の基底を(ei; i ∈ I)及び(fj; j ∈ J)とし」て取り出して、
F0(X ×Y )から、F0(X × Y )/M を作っている。それを示すために、わざわざ、検索で 小澤 徹を見つけたんだ（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
ベクトル空間
(抜粋)
7.2 直積と直和
詳細は「直積線型空間」および「加群の直和」を参照
I で添字付けられたベクトル空間の族 Vi(i ∈ I) の直積 ?i∈I Vi とは、I の各添字 i に対して Vi の元 vi を指定してできる順序組 (vii ∈ I 全体の成す集合に、加法とスカラー乗法を成分ごとの演算によって定める。 この構成の変種として、直和 ◯+i ∈ I Vi（あるいは余積 ?i ∈ I Vi）は先の順序組において有限個の例外を除く全ての成分が零ベクトルであるようなものだけを許して得られるものである。添字集合 I が有限ならばこの二つの構成は一致するが、そうでないならば違うものを与える
なお、小澤が読めりゃ下記はない
(>>766より)
自分で言ったこと覚えているか？
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
って、言ったよね
とろで、行列式は、外積代数の外冪を使って定義されるよ(>>722)
外積代数も、普遍性あり
テンソル代数も、普遍性あり
だったら、「行列式はテンソルです」というと
外積代数とテンソル代数とが、”一意な同型射を除いて一意的”（下記）ってなるよね
それは、おかしいよね（＾＾；
（∵ 外積代数とテンソル代数とは、全く同型じゃない。例えば、田丸>>716 数学概論ＰＤＦ 第 1 章 テンソル代数 と 第 2 章 外積代数 ご参照 ）
871１３２人目の素数さん
2020/10/04(日) 16:06:55.67ID:mLeuvA76 >>870
F0(X×Y)とX×Yは、集合としても全然異なるけど、わかってる？
さて、
>外積代数も、普遍性あり
然り X×Y の反対称的な二重線形写像から 外積代数が一意的に定まる
>テンソル代数も、普遍性あり
然り X×Y の二重線型写像から テンソル代数が一意的に定まる
>だったら、「行列式はテンソルです」というと
>外積代数とテンソル代数とが、
>”一意な同型射を除いて一意的”
>ってなるよね
然り
>それは、おかしいよね
何が？貴様のアタマがオカシイよねｗ
どこにも外積代数＝テンソル代数なんて書いてないぞ
おまえ、何をどう読んだら、そういうトンデモ発言が口から出てくるんだ？
F0(X×Y)とX×Yは、集合としても全然異なるけど、わかってる？
さて、
>外積代数も、普遍性あり
然り X×Y の反対称的な二重線形写像から 外積代数が一意的に定まる
>テンソル代数も、普遍性あり
然り X×Y の二重線型写像から テンソル代数が一意的に定まる
>だったら、「行列式はテンソルです」というと
>外積代数とテンソル代数とが、
>”一意な同型射を除いて一意的”
>ってなるよね
然り
>それは、おかしいよね
何が？貴様のアタマがオカシイよねｗ
どこにも外積代数＝テンソル代数なんて書いてないぞ
おまえ、何をどう読んだら、そういうトンデモ発言が口から出てくるんだ？
872現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/04(日) 17:22:03.61ID:f31A/48O873現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/04(日) 17:30:59.89ID:f31A/48O >>870 補足
”なお、デカルト積 X × Y から、小澤徹 テンソル空間 http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/pdf/tensor_space.pdf
では、「定理４ X とY をベクトル空間とする。夫々の基底を(ei; i ∈ I)及び(fj; j ∈ J)とし」て取り出して、
F0(X ×Y )から、F0(X × Y )/M を作っている。”
因みに、雪江明彦 代数学 2 P128のテンソル積の 定理2.10.3 の証明で
小澤では、F0(X ×Y )を使っているところで、雪江は 直和 「V＝◯+ I k」を使っている
多分、趣旨は同じだと思う
集合の中で、余分な部分集合を除くところも同様です
筋は、同じと思われる（＾＾；
（個人的には、小澤の方が分り易い気がする（＾＾； ）
”なお、デカルト積 X × Y から、小澤徹 テンソル空間 http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/pdf/tensor_space.pdf
では、「定理４ X とY をベクトル空間とする。夫々の基底を(ei; i ∈ I)及び(fj; j ∈ J)とし」て取り出して、
F0(X ×Y )から、F0(X × Y )/M を作っている。”
因みに、雪江明彦 代数学 2 P128のテンソル積の 定理2.10.3 の証明で
小澤では、F0(X ×Y )を使っているところで、雪江は 直和 「V＝◯+ I k」を使っている
多分、趣旨は同じだと思う
集合の中で、余分な部分集合を除くところも同様です
筋は、同じと思われる（＾＾；
（個人的には、小澤の方が分り易い気がする（＾＾； ）
874１３２人目の素数さん
2020/10/04(日) 17:38:29.23ID:mLeuvA76 >>872
何の言い訳もない
君の読解が誤解なだけ
>「行列式はテンソルです」
>「内積も、行列式同様、テンソルです」
>これ取り消せよ
なぜ？
正しいことを撤回する必要はない
・行列式は多重線型形式
・内積も多重線型形式
したがってどちらも（共変）テンソル
逆に◆yH25M02vWFhPクンに云っておこう
もし君が
「いかなるテンソルも、２つ以上のベクトルのテンソル積である」
と思っているなら、それは全くの誤解であるから 即刻改められたい
いかなるテンソルも、基底のテンソル積の「和」として表せる
しかしあくまでテンソル積の「和」であって、テンソル積ではない
つまりＶ⊗Ｗの元のうち、Ｖ×Ｗの二重線形写像の像、つまり
個別のベクトルのテンソル積、として表せるのは、ほんの一部である
何の言い訳もない
君の読解が誤解なだけ
>「行列式はテンソルです」
>「内積も、行列式同様、テンソルです」
>これ取り消せよ
なぜ？
正しいことを撤回する必要はない
・行列式は多重線型形式
・内積も多重線型形式
したがってどちらも（共変）テンソル
逆に◆yH25M02vWFhPクンに云っておこう
もし君が
「いかなるテンソルも、２つ以上のベクトルのテンソル積である」
と思っているなら、それは全くの誤解であるから 即刻改められたい
いかなるテンソルも、基底のテンソル積の「和」として表せる
しかしあくまでテンソル積の「和」であって、テンソル積ではない
つまりＶ⊗Ｗの元のうち、Ｖ×Ｗの二重線形写像の像、つまり
個別のベクトルのテンソル積、として表せるのは、ほんの一部である
875１３２人目の素数さん
2020/10/04(日) 17:44:25.87ID:mLeuvA76 >>873
>小澤では、F0(X ×Y )を使っているところで、
>雪江は 直和 「V＝⊕ I k」を使っている
おそらく、対応が間違ってる
直和 「V＝⊕ I k」に対応するのはＸ×Ｙだろう
>集合の中で、余分な部分集合を除くところ
◆yH25M02vWFhPクンは、しばしば、この言い回しを用いるが
いったい何を「余分な部分集合」といっているのか、全く明らかにされていない
おそらく、最も根本的かつ重大な誤解が、ここにあると思われる
祭りはまだまだ続きそうだ やれやれ
>小澤では、F0(X ×Y )を使っているところで、
>雪江は 直和 「V＝⊕ I k」を使っている
おそらく、対応が間違ってる
直和 「V＝⊕ I k」に対応するのはＸ×Ｙだろう
>集合の中で、余分な部分集合を除くところ
◆yH25M02vWFhPクンは、しばしば、この言い回しを用いるが
いったい何を「余分な部分集合」といっているのか、全く明らかにされていない
おそらく、最も根本的かつ重大な誤解が、ここにあると思われる
祭りはまだまだ続きそうだ やれやれ
876１３２人目の素数さん
2020/10/04(日) 18:07:14.43ID:mLeuvA76 >>875
◆yH25M02vWFhPクンの誤解の根は
>>812のこの発言かもしれん
「テンソル積の空間は、V × W（デカルト積）全体ではなく、
二つのベクトル v∈V、w∈W のテンソル積 v ⊗ w から成るものに制限される」
■第一の誤解
「ＶとＷのテンソル積Ｖ⊗Ｗを
”二つのベクトル v∈V、w∈W のテンソル積 v ⊗ w から成る集合”
と思っている」
実は全然違う
””二つのベクトル v∈V、w∈W のテンソル積 v ⊗ w から成る集合”
は、(v,w)∈Ｖ×Ｗからテンソル積T：V×W→V⊗Wで写した像T(V×W）
であって、V⊗Wそのものではない
■第二の誤解
「V×Wが線型空間でその次元がdimV×dimWだ」
と思っている
これも全然違う
V×Wそのものは只の集合で、線型空間ではない
線型空間の構造を入れることはできるが、
それは直和V⊕Wであって、その次元はdimV+dimWである
（ちなみにこの場合の基底は
Vの基底をe_i、Wの基底をf_jで表せば
(e_i,0)および(0,f_j)となる）
だいたい、V,Wのパラメータの数がそれぞれdimV,dimWで
(v,w)∈V×Wなのだから、全体のパラメータの数はせいぜい
和にしかなりようがないのは、直感的に明らかである
■第三の誤解
「テンソルとは
”二つのベクトル v∈V、w∈W のテンソル積 v ⊗ w から成る集合”
の要素である」
これこそ全然違うｗ
実はテンソルとは
”二つのベクトル v∈V、w∈W のテンソル積 v ⊗ w の全体を包含する線型空間V⊗W”
の要素である
テンソル空間V⊗Wの基底はe_i⊗f_jであって、
テンソルt∈V⊗Wは上記基底の線型結合となる
しかし、一般にv⊗wの形では表せない
（v⊗wの形のものもテンソルであるが、
テンソルの中のほんの一部にすぎない）
◆yH25M02vWFhPクンの誤解の根は
>>812のこの発言かもしれん
「テンソル積の空間は、V × W（デカルト積）全体ではなく、
二つのベクトル v∈V、w∈W のテンソル積 v ⊗ w から成るものに制限される」
■第一の誤解
「ＶとＷのテンソル積Ｖ⊗Ｗを
”二つのベクトル v∈V、w∈W のテンソル積 v ⊗ w から成る集合”
と思っている」
実は全然違う
””二つのベクトル v∈V、w∈W のテンソル積 v ⊗ w から成る集合”
は、(v,w)∈Ｖ×Ｗからテンソル積T：V×W→V⊗Wで写した像T(V×W）
であって、V⊗Wそのものではない
■第二の誤解
「V×Wが線型空間でその次元がdimV×dimWだ」
と思っている
これも全然違う
V×Wそのものは只の集合で、線型空間ではない
線型空間の構造を入れることはできるが、
それは直和V⊕Wであって、その次元はdimV+dimWである
（ちなみにこの場合の基底は
Vの基底をe_i、Wの基底をf_jで表せば
(e_i,0)および(0,f_j)となる）
だいたい、V,Wのパラメータの数がそれぞれdimV,dimWで
(v,w)∈V×Wなのだから、全体のパラメータの数はせいぜい
和にしかなりようがないのは、直感的に明らかである
■第三の誤解
「テンソルとは
”二つのベクトル v∈V、w∈W のテンソル積 v ⊗ w から成る集合”
の要素である」
これこそ全然違うｗ
実はテンソルとは
”二つのベクトル v∈V、w∈W のテンソル積 v ⊗ w の全体を包含する線型空間V⊗W”
の要素である
テンソル空間V⊗Wの基底はe_i⊗f_jであって、
テンソルt∈V⊗Wは上記基底の線型結合となる
しかし、一般にv⊗wの形では表せない
（v⊗wの形のものもテンソルであるが、
テンソルの中のほんの一部にすぎない）
877１３２人目の素数さん
2020/10/04(日) 18:34:18.68ID:eb9Bl6F5 純粋と応用の区別って数学的にどう定義できるの？
878現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/04(日) 18:59:09.45ID:f31A/48O >>877
数学の応用と純粋との区別は、時代によって変わるから
厳密な定義は、難しいだろうな
確率論って知っている？
確率論の純粋数学と応用数学の切り分けみたいなものじゃないかな？
とくに、旧来純粋数学と言われた理論が
結構、数学以外の分野で、応用されるってある
例：圏論
数学の応用と純粋との区別は、時代によって変わるから
厳密な定義は、難しいだろうな
確率論って知っている？
確率論の純粋数学と応用数学の切り分けみたいなものじゃないかな？
とくに、旧来純粋数学と言われた理論が
結構、数学以外の分野で、応用されるってある
例：圏論
879１３２人目の素数さん
2020/10/04(日) 19:06:51.48ID:mLeuvA76 >>877
腹話術？
腹話術？
880現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/04(日) 21:36:48.61ID:f31A/48O >>828 補足
見本PDFは、フリーだが、下記、結構いいよ（＾＾；
https://www.morikita.co.jp/data/mkj/008191mkj.pdf
森北出版 見本PDF
ベクトル空間からはじめる抽象代数入門 2017
群・体・テンソルまで
学習院大学名誉教授理博飯高茂(監修) 津山工業高等専門学校教授理博松田修(著)
第9章 テンソル積とテンソル空間
P177-178 のテンソル積の普遍性 ここのP178の図と説明が良いね
圏論っぽいので、圏論知っている人は分かりやすいかも（＾＾；
見本PDFは、フリーだが、下記、結構いいよ（＾＾；
https://www.morikita.co.jp/data/mkj/008191mkj.pdf
森北出版 見本PDF
ベクトル空間からはじめる抽象代数入門 2017
群・体・テンソルまで
学習院大学名誉教授理博飯高茂(監修) 津山工業高等専門学校教授理博松田修(著)
第9章 テンソル積とテンソル空間
P177-178 のテンソル積の普遍性 ここのP178の図と説明が良いね
圏論っぽいので、圏論知っている人は分かりやすいかも（＾＾；
881現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/04(日) 21:37:23.25ID:f31A/48O >>879
他人だな
他人だな
882１３２人目の素数さん
2020/10/04(日) 22:11:41.91ID:mLeuvA76883現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/04(日) 23:01:46.52ID:f31A/48O885現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/04(日) 23:17:38.92ID:f31A/48O >>855
小澤の補足
♯記号は、集合の濃度だろうね
”id =Σx∈S evx(・)ιx”
の”・”は
下記みたいな任意のfってことでしょうね
圏論のHom(A,?)の”?”みたいな
ここら、説明がない
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%A8%98%E5%8F%B7%E3%81%AE%E8%A1%A8
数学記号の表
(抜粋)
f： ● → ● 写像 「f: S → T」は、f が S から T への写像であることを示す。
Im,Image, ● [● ] 像 写像 φ に対して、Image φ はその写像の像全体の集合（値域）を表す。写像 φ ： X→ Yに対して φ [X]とも書く。
https://ja.wikipedia.org/wiki/Hom%E5%87%BD%E6%89%8B
Hom函手
定義
Hom(A,?) : C → 集合 Hom(?,B) : C → 集合
小澤の補足
♯記号は、集合の濃度だろうね
”id =Σx∈S evx(・)ιx”
の”・”は
下記みたいな任意のfってことでしょうね
圏論のHom(A,?)の”?”みたいな
ここら、説明がない
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%A8%98%E5%8F%B7%E3%81%AE%E8%A1%A8
数学記号の表
(抜粋)
f： ● → ● 写像 「f: S → T」は、f が S から T への写像であることを示す。
Im,Image, ● [● ] 像 写像 φ に対して、Image φ はその写像の像全体の集合（値域）を表す。写像 φ ： X→ Yに対して φ [X]とも書く。
https://ja.wikipedia.org/wiki/Hom%E5%87%BD%E6%89%8B
Hom函手
定義
Hom(A,?) : C → 集合 Hom(?,B) : C → 集合
886１３２人目の素数さん
2020/10/05(月) 00:41:34.78ID:+Ac3xexk887１３２人目の素数さん
2020/10/05(月) 06:02:51.12ID:U/E15xVp >>886
ま、無知無能なシロウトは猛り狂うしかないんだろう やらせとけよ
「行列式はテンソルじゃない！」「内積もテンソルじゃない！」
とトンデモ発言をくりかえして、数学科出身者に馬鹿にされ嘲笑され
大恥かくのは◆yH25M02vWFhP本人だからさ
ほんと、某国立大工学部卒とかいってるけどありえないって
いくら工学部卒でも「任意の正方行列に逆行列が存在する」とか
「V×Wの次元はdimV×dimW」なんて馬鹿なこといわないよ
もう線型代数に関するだけで３つはトンデモ発言してるからね
大学で線型代数を学んだことが全くないのは明らか
◆yH25M02vWFhPの誤りは>>876で書いた通りだろう
行列式も内積も多重線型写像であることはさすがに認めざるをえない
ようだから、それでもなお「テンソルじゃない！」とつっぱるのは
「ベクトルのテンソル積であらわせないから」ということなんだろう
「テンソルとはベクトルのテンソル積であるもの、そのものに限る」
とか粋がってるんだろうけど・・・全然違うから！ 残念！！！
ま、無知無能なシロウトは猛り狂うしかないんだろう やらせとけよ
「行列式はテンソルじゃない！」「内積もテンソルじゃない！」
とトンデモ発言をくりかえして、数学科出身者に馬鹿にされ嘲笑され
大恥かくのは◆yH25M02vWFhP本人だからさ
ほんと、某国立大工学部卒とかいってるけどありえないって
いくら工学部卒でも「任意の正方行列に逆行列が存在する」とか
「V×Wの次元はdimV×dimW」なんて馬鹿なこといわないよ
もう線型代数に関するだけで３つはトンデモ発言してるからね
大学で線型代数を学んだことが全くないのは明らか
◆yH25M02vWFhPの誤りは>>876で書いた通りだろう
行列式も内積も多重線型写像であることはさすがに認めざるをえない
ようだから、それでもなお「テンソルじゃない！」とつっぱるのは
「ベクトルのテンソル積であらわせないから」ということなんだろう
「テンソルとはベクトルのテンソル積であるもの、そのものに限る」
とか粋がってるんだろうけど・・・全然違うから！ 残念！！！
888１３２人目の素数さん
2020/10/05(月) 06:03:33.85ID:U/E15xVp パチパチパチ👏
889現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/05(月) 07:41:18.60ID:zIJTDBy/890現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/05(月) 07:44:04.88ID:zIJTDBy/891１３２人目の素数さん
2020/10/05(月) 10:09:49.33ID:+Ac3xexk892１３２人目の素数さん
2020/10/05(月) 18:57:07.93ID:U/E15xVp893１３２人目の素数さん
2020/10/05(月) 19:00:28.00ID:U/E15xVp あぁぁぁぁ、フライドチキン、食いてぇぇぇぇ！！！
https://www.youtube.com/watch?v=z6Zcb2ZitsI
https://www.youtube.com/watch?v=z6Zcb2ZitsI
894現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/06(火) 11:40:02.98ID:Ssv0gYrv (>>766より)
自分で言ったこと覚えているか？
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
って、言ったよね
「内積も、行列式同様、テンソルです」って、何ですか？
数学に、こういう文学的、あるいは詩的な表現は、相応しくない
数学的に、何を言っているのか？
意味が分からない
統合失調症の薬の飲み忘れとしか思えない
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%85%E7%A9%8D
内積
内積（ないせき、英: inner product）は、（実または複素）ベクトル空間上で定義される非退化かつ正定値のエルミート半双線型形式（実係数の場合には対称双線型形式）のことである。二つのベクトルに対してある数（スカラー）を定める二項演算であるためスカラー積（スカラーせき、英: scalar product）ともいう。
注意
文献によっては、エルミート内積および半双線型形式は第二引数に関して線型、従って第一引数に関して共軛線型とするもの（特に物理学や行列環に関するもの）と、それとは逆に第一引数に関して線型、第二引数に関して共軛線型とするものがある。
関連のある積について
上記の内積と外積に対して、混同するべきではないがよく似た積として内部積（英語版） (interior) と外（部）積 (exterior) というのが、ベクトル場や微分形式に対する、あるいはより一般に外積代数における演算として定義される。さらにややこしいことに、幾何代数（英語版）において、内積 (inner) と（グラスマン）外積 (exterior) は幾何積（クリフォード線型環におけるクリフォード積）に統合される（内積は二つのベクトル (1-階ベクトル) をスカラー (0-階ベクトル) へ写し、外積は二つのベクトルを二重ベクトル (2-階ベクトル) へ写す）。そしてこの文脈においてグラスマン積はふつうは「外積」(outer)（あるいはウェッジ積）と呼ばれ、またこの文脈での内積は（考える二次形式が必ずしも正定値であることを要求されないという意味では「内積」でないので）スカラー積と呼ぶのが形式上はより適切である。
つづく
自分で言ったこと覚えているか？
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
って、言ったよね
「内積も、行列式同様、テンソルです」って、何ですか？
数学に、こういう文学的、あるいは詩的な表現は、相応しくない
数学的に、何を言っているのか？
意味が分からない
統合失調症の薬の飲み忘れとしか思えない
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%85%E7%A9%8D
内積
内積（ないせき、英: inner product）は、（実または複素）ベクトル空間上で定義される非退化かつ正定値のエルミート半双線型形式（実係数の場合には対称双線型形式）のことである。二つのベクトルに対してある数（スカラー）を定める二項演算であるためスカラー積（スカラーせき、英: scalar product）ともいう。
注意
文献によっては、エルミート内積および半双線型形式は第二引数に関して線型、従って第一引数に関して共軛線型とするもの（特に物理学や行列環に関するもの）と、それとは逆に第一引数に関して線型、第二引数に関して共軛線型とするものがある。
関連のある積について
上記の内積と外積に対して、混同するべきではないがよく似た積として内部積（英語版） (interior) と外（部）積 (exterior) というのが、ベクトル場や微分形式に対する、あるいはより一般に外積代数における演算として定義される。さらにややこしいことに、幾何代数（英語版）において、内積 (inner) と（グラスマン）外積 (exterior) は幾何積（クリフォード線型環におけるクリフォード積）に統合される（内積は二つのベクトル (1-階ベクトル) をスカラー (0-階ベクトル) へ写し、外積は二つのベクトルを二重ベクトル (2-階ベクトル) へ写す）。そしてこの文脈においてグラスマン積はふつうは「外積」(outer)（あるいはウェッジ積）と呼ばれ、またこの文脈での内積は（考える二次形式が必ずしも正定値であることを要求されないという意味では「内積」でないので）スカラー積と呼ぶのが形式上はより適切である。
つづく
895現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/06(火) 11:40:46.40ID:Ssv0gYrv >>894
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%BC%E3%83%89%E4%BB%A3%E6%95%B0
クリフォード代数
上で記述されたようなクリフォード代数はつねに存在し次のように構成できる： V を含む最も一般的な代数、すなわちテンソル代数 T(V) で始め、それから適切な商を取ることによって基本関係式が成り立つようにする。
関係を見るより洗練された方法は C?(V, Q) 上フィルトレーション（英語版）を構成することである。テンソル代数 T(V) は自然なフィルトレーションを持つことを思い出そう： F0 ⊂ F1 ⊂ F2 ⊂ ?、ただし Fk は k-階以下のテンソルの和を含む。これをクリフォード代数に射影することで C?(V, Q) 上のフィルトレーションが得られる。
反自己同型写像
自己同型 α に加えて、クリフォード代数の解析において重要な役割を果たす 2 つの反自己同型（英語版）が存在する。テンソル代数 T(V) はすべての積の順序を逆にする反自己同型とともに来ることを思い出そう：
http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/pdf/tensor_space.pdf
テンソル空間
平成 26 年 11 月
小澤 徹
P6
定理３ ベクトル空間 X 及び Y の基底を夫々(ei; i ∈ I) 及び (fj ; j ∈ J) とすると
(ρ(ei, fj ); (i, j) ∈ I × J) は X 〇x Y の基底を成す。X と Y 共に有限次元ならば X 〇x Y も有限
次元で dim(X 〇x Y ) = (dim X)(dim Y )=(I)(J) が成立つ。
(引用終り)
以上
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%BC%E3%83%89%E4%BB%A3%E6%95%B0
クリフォード代数
上で記述されたようなクリフォード代数はつねに存在し次のように構成できる： V を含む最も一般的な代数、すなわちテンソル代数 T(V) で始め、それから適切な商を取ることによって基本関係式が成り立つようにする。
関係を見るより洗練された方法は C?(V, Q) 上フィルトレーション（英語版）を構成することである。テンソル代数 T(V) は自然なフィルトレーションを持つことを思い出そう： F0 ⊂ F1 ⊂ F2 ⊂ ?、ただし Fk は k-階以下のテンソルの和を含む。これをクリフォード代数に射影することで C?(V, Q) 上のフィルトレーションが得られる。
反自己同型写像
自己同型 α に加えて、クリフォード代数の解析において重要な役割を果たす 2 つの反自己同型（英語版）が存在する。テンソル代数 T(V) はすべての積の順序を逆にする反自己同型とともに来ることを思い出そう：
http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/pdf/tensor_space.pdf
テンソル空間
平成 26 年 11 月
小澤 徹
P6
定理３ ベクトル空間 X 及び Y の基底を夫々(ei; i ∈ I) 及び (fj ; j ∈ J) とすると
(ρ(ei, fj ); (i, j) ∈ I × J) は X 〇x Y の基底を成す。X と Y 共に有限次元ならば X 〇x Y も有限
次元で dim(X 〇x Y ) = (dim X)(dim Y )=(I)(J) が成立つ。
(引用終り)
以上
896１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 15:30:18.40ID:ArpKO7AX >>894
>数学的に、何を言っているのか？意味が分からない
何を云ってるのか意味がわからない、とすれば
君が日本語の文章を正しく読む力を有してないから
数学以前の国語の問題
いちいち論理的に説明してやろう
まず
１．テンソルを多重線型写像として定義する
つまり、
”テンソルとはスカラー値の多重線型形式で表せるもの
そのようなものに限る”
と書かれている
次に
２．内積も行列式も多重線型形式である
と示されている
したがって、１．および２．から三段論法により
３．内積も行列式もテンソルである
が導ける
つまり、論理的に明確な、何の曖昧さもない
味もそっけもない、散文的表現である
まさにポスト抜きのモダニズム
>数学的に、何を言っているのか？意味が分からない
何を云ってるのか意味がわからない、とすれば
君が日本語の文章を正しく読む力を有してないから
数学以前の国語の問題
いちいち論理的に説明してやろう
まず
１．テンソルを多重線型写像として定義する
つまり、
”テンソルとはスカラー値の多重線型形式で表せるもの
そのようなものに限る”
と書かれている
次に
２．内積も行列式も多重線型形式である
と示されている
したがって、１．および２．から三段論法により
３．内積も行列式もテンソルである
が導ける
つまり、論理的に明確な、何の曖昧さもない
味もそっけもない、散文的表現である
まさにポスト抜きのモダニズム
897１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 15:34:07.66ID:ArpKO7AX >>895
>定理３
>ベクトル空間 X 及び Y の基底を夫々(ei; i ∈ I) 及び (fj ; j ∈ J) とすると
>(ρ(ei, fj ); (i, j) ∈ I × J) は X ⊗ Y の基底を成す。
>X と Y 共に有限次元ならば X ⊗ Y も有限次元で
>dim(X ⊗ Y ) = (dim X)(dim Y )=(I)(J) が成立つ。
で？
君は、まだ
「任意のt∈X⊗Yは、
それぞれあるx∈Xとy∈Yによって、
x⊗yとあらわすことができる」
と誤解してるのかね？
テンソル空間X⊗Yが
「x∈Xとy∈Yのテンソル積x⊗yの全体」
として定義できるなら、こんな簡単なことはない
し・か・し、どこにもそんな安直な定義はない
当然だ それでは、全然意味ないからだ
そもそも
「x∈Xとy∈Yのテンソル積x⊗yの全体」
は線型空間になり得ない
上記「」内の集合は
X、Yの基底同士のテンソル積全てを
要素として持つが、それらの和が、
テンソル積としてあらわせない場合がある
から、そのような場合、要素とならない
例えば
e1⊗f1+e2⊗f2
は、x⊗yの形では表せない
したがって、線型空間ではない
「違う！
基底同士のテンソル積のいかなる線型結合も
必ずx⊗yの形では表せる！」
と言い切るなら、今この場でやってみせろ！！！
できなければ、貴様を
「ホラ吹きトンデモ🐓野郎」
として、フライド🍗にして食ってやる
>定理３
>ベクトル空間 X 及び Y の基底を夫々(ei; i ∈ I) 及び (fj ; j ∈ J) とすると
>(ρ(ei, fj ); (i, j) ∈ I × J) は X ⊗ Y の基底を成す。
>X と Y 共に有限次元ならば X ⊗ Y も有限次元で
>dim(X ⊗ Y ) = (dim X)(dim Y )=(I)(J) が成立つ。
で？
君は、まだ
「任意のt∈X⊗Yは、
それぞれあるx∈Xとy∈Yによって、
x⊗yとあらわすことができる」
と誤解してるのかね？
テンソル空間X⊗Yが
「x∈Xとy∈Yのテンソル積x⊗yの全体」
として定義できるなら、こんな簡単なことはない
し・か・し、どこにもそんな安直な定義はない
当然だ それでは、全然意味ないからだ
そもそも
「x∈Xとy∈Yのテンソル積x⊗yの全体」
は線型空間になり得ない
上記「」内の集合は
X、Yの基底同士のテンソル積全てを
要素として持つが、それらの和が、
テンソル積としてあらわせない場合がある
から、そのような場合、要素とならない
例えば
e1⊗f1+e2⊗f2
は、x⊗yの形では表せない
したがって、線型空間ではない
「違う！
基底同士のテンソル積のいかなる線型結合も
必ずx⊗yの形では表せる！」
と言い切るなら、今この場でやってみせろ！！！
できなければ、貴様を
「ホラ吹きトンデモ🐓野郎」
として、フライド🍗にして食ってやる
898現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/06(火) 16:55:33.95ID:Ssv0gYrv >>894-895 補足
> http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/pdf/tensor_space.pdf
>テンソル空間
>定理３
>次元で dim(X 〇x Y ) = (dim X)(dim Y )=(I)(J) が成立つ。
ここを補足する
ベクトルのテンソル積（下記、直積 (ベクトル)）
座標ベクトル（英語版）のテンソル積をとった結果は行列になる
内積との対比 ”内積は外積のトレースに等しい。”
例えば、下記で、m = n = 3 で
座標ベクトル u=(u1,u2,u3),v=(v1,v2,v3)
として
内積 ?u, v? = u?v ＝u1v1+u2v2+u3v3
テンソル積u 〇x v
=(u1v1 u1v2 u1v3
u2v1 u2v2 u2v3
u3v1 u3v2 u3v3)
(注：3x3 の正方行列と思ってください)
二つの座標ベクトル u=(u1,u2,u3),v=(v1,v2,v3)で
内積 ?u, v? （スカラー）と、テンソル積u 〇x v （3x3の行列表現を持つ）とは、全く別物ですよ！！（＾＾；
以上
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E7%A9%8D_(%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB)
直積 (ベクトル)
直積（ちょくせき、英: direct product[1]）あるいは外積（がいせき、英: outer product）は典型的には二つのベクトルのテンソル積を言う。座標ベクトル（英語版）の外積をとった結果は行列になる。外積の名称は内積に対照するもので、内積はベクトルの対をスカラーにする。外積は、クロス積の意味で使われることもあるため、どちらの意味で使われているか注意が必要である。
内積との対比
m = n のときは別な仕方で行列の積を施してスカラー（1 × 1 行列）が得られる。つまり、数ベクトル空間の標準内積（点乗積）?u, v? = u?v である。内積は外積のトレースに等しい。
(引用終り)
以上
> http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/pdf/tensor_space.pdf
>テンソル空間
>定理３
>次元で dim(X 〇x Y ) = (dim X)(dim Y )=(I)(J) が成立つ。
ここを補足する
ベクトルのテンソル積（下記、直積 (ベクトル)）
座標ベクトル（英語版）のテンソル積をとった結果は行列になる
内積との対比 ”内積は外積のトレースに等しい。”
例えば、下記で、m = n = 3 で
座標ベクトル u=(u1,u2,u3),v=(v1,v2,v3)
として
内積 ?u, v? = u?v ＝u1v1+u2v2+u3v3
テンソル積u 〇x v
=(u1v1 u1v2 u1v3
u2v1 u2v2 u2v3
u3v1 u3v2 u3v3)
(注：3x3 の正方行列と思ってください)
二つの座標ベクトル u=(u1,u2,u3),v=(v1,v2,v3)で
内積 ?u, v? （スカラー）と、テンソル積u 〇x v （3x3の行列表現を持つ）とは、全く別物ですよ！！（＾＾；
以上
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E7%A9%8D_(%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB)
直積 (ベクトル)
直積（ちょくせき、英: direct product[1]）あるいは外積（がいせき、英: outer product）は典型的には二つのベクトルのテンソル積を言う。座標ベクトル（英語版）の外積をとった結果は行列になる。外積の名称は内積に対照するもので、内積はベクトルの対をスカラーにする。外積は、クロス積の意味で使われることもあるため、どちらの意味で使われているか注意が必要である。
内積との対比
m = n のときは別な仕方で行列の積を施してスカラー（1 × 1 行列）が得られる。つまり、数ベクトル空間の標準内積（点乗積）?u, v? = u?v である。内積は外積のトレースに等しい。
(引用終り)
以上
899現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/06(火) 17:03:47.88ID:Ssv0gYrv >>898 文字化け訂正
内積 ?u, v? = u?v ＝u1v1+u2v2+u3v3
↓
内積 (u, v) = uT v ＝u1v1+u2v2+u3v3
(注 uTは、ベクトルuの転置で、列ベクトルuを行ベクトルにした意)
内積 ?u, v? （スカラー）と、テンソル積u 〇x v （3x3の行列表現を持つ）とは、全く別物ですよ！！（＾＾；
↓
内積 (u, v) （スカラー）と、テンソル積u 〇x v （3x3の行列表現を持つ）とは、全く別物ですよ！！（＾＾；
まあ、原文 直積 (ベクトル)wikipediaを見てください（＾＾；
内積 ?u, v? = u?v ＝u1v1+u2v2+u3v3
↓
内積 (u, v) = uT v ＝u1v1+u2v2+u3v3
(注 uTは、ベクトルuの転置で、列ベクトルuを行ベクトルにした意)
内積 ?u, v? （スカラー）と、テンソル積u 〇x v （3x3の行列表現を持つ）とは、全く別物ですよ！！（＾＾；
↓
内積 (u, v) （スカラー）と、テンソル積u 〇x v （3x3の行列表現を持つ）とは、全く別物ですよ！！（＾＾；
まあ、原文 直積 (ベクトル)wikipediaを見てください（＾＾；
900ID:1lEWVa2s
2020/10/06(火) 17:29:20.14ID:ZUNhYOI4 体を満たさない可換環は環Kに置いて
(ab)c=a(bc)
ab≠ba
ab⇒形1
ba⇒形2
形1と形2は絶対的他を排除したラブラブな関係がある。
環Kが編み出す形があり
環Kの対偶はアーベル群である。
(ab)c=a(bc)
ab≠ba
ab⇒形1
ba⇒形2
形1と形2は絶対的他を排除したラブラブな関係がある。
環Kが編み出す形があり
環Kの対偶はアーベル群である。
901ID:1lEWVa2s
2020/10/06(火) 17:34:53.71ID:ZUNhYOI4 環Kは(ab)c=a(bc)
が成り立たないらしい。
が成り立たないらしい。
902１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 17:36:10.19ID:ArpKO7AX >>898
>内積 |u, v| （スカラー）と、テンソル積u ⊗ v （3x3の行列表現を持つ）とは、
>全く別物ですよ！！
テンソル＝テンソル積、ではないがな
テンソルの定義、読めよ
どこに
「テンソルとはベクトルのテンソル積であるもの、そのものに限る」
って書いてある？
書いてないよな？そりゃそうだ
ベクトルのテンソル積はテンソルだが、逆は真ではない！
>内積 |u, v| （スカラー）と、テンソル積u ⊗ v （3x3の行列表現を持つ）とは、
>全く別物ですよ！！
テンソル＝テンソル積、ではないがな
テンソルの定義、読めよ
どこに
「テンソルとはベクトルのテンソル積であるもの、そのものに限る」
って書いてある？
書いてないよな？そりゃそうだ
ベクトルのテンソル積はテンソルだが、逆は真ではない！
903１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 17:42:46.62ID:ArpKO7AX も・し
「内積も行列式も、”テンソル積”です」
といったなら、それは明らかに誤りだから、嘲笑されても当然
しかし、実際に書かれたのは
「内積も行列式も、”テンソル”です」
いかなるテンソルも、ベクトルのテンソル積であるというのなら
両者は同じことだが、実際は違う
何度も何度も何度も何度も書いているが
（そして一度も反応がないが）
「ベクトルのテンソル積で表せないテンソルがある」
「ベクトルのテンソル積の一次結合」で表せても
「ベクトルの単一のテンソル積」では表せない
どうも🐓はこの根本的な事実が全く理解できてない
（というか理解する気が毛頭ない）ようだ
そんな向学心のないヤツは数学に興味もつなよ
数学板に書くなよ 数学板読むなよ
意味ないだろ？
「内積も行列式も、”テンソル積”です」
といったなら、それは明らかに誤りだから、嘲笑されても当然
しかし、実際に書かれたのは
「内積も行列式も、”テンソル”です」
いかなるテンソルも、ベクトルのテンソル積であるというのなら
両者は同じことだが、実際は違う
何度も何度も何度も何度も書いているが
（そして一度も反応がないが）
「ベクトルのテンソル積で表せないテンソルがある」
「ベクトルのテンソル積の一次結合」で表せても
「ベクトルの単一のテンソル積」では表せない
どうも🐓はこの根本的な事実が全く理解できてない
（というか理解する気が毛頭ない）ようだ
そんな向学心のないヤツは数学に興味もつなよ
数学板に書くなよ 数学板読むなよ
意味ないだろ？
904１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 17:53:53.57ID:ArpKO7AX 内積も行列式も、
「反変テンソル空間からスカラーへの線型形式」
で表せるので
「共変テンソル」
である
そして、それは
（共変）基底ベクトルのテンソル積の一次結合
として、多次元配列で表せる
で、その
（共変）基底ベクトルのテンソル積の一次結合 が、
（共変）ベクトルのテンソル積 として表せるか
といえば、答えは否だ
で、さらに
（共変）ベクトルのテンソル積 として表せないから
（共変）テンソル ではない
といえるかといえば、これまた答えは否だ
つまり
（共変）テンソル とは
（共変）基底ベクトルのテンソル積の一次結合 であって
（共変）ベクトルのテンソル積 である必要はない
つまり、例えば、2階テンソルの場合、任意の
(t11 t12 t13
t21 t22 t23
t31 t32 t33)
がそうなるのであって
(u1v1 u1v2 u1v3
u2v1 u2v2 u2v3
u3v1 u3v2 u3v3)
と表せる必要はない！
「反変テンソル空間からスカラーへの線型形式」
で表せるので
「共変テンソル」
である
そして、それは
（共変）基底ベクトルのテンソル積の一次結合
として、多次元配列で表せる
で、その
（共変）基底ベクトルのテンソル積の一次結合 が、
（共変）ベクトルのテンソル積 として表せるか
といえば、答えは否だ
で、さらに
（共変）ベクトルのテンソル積 として表せないから
（共変）テンソル ではない
といえるかといえば、これまた答えは否だ
つまり
（共変）テンソル とは
（共変）基底ベクトルのテンソル積の一次結合 であって
（共変）ベクトルのテンソル積 である必要はない
つまり、例えば、2階テンソルの場合、任意の
(t11 t12 t13
t21 t22 t23
t31 t32 t33)
がそうなるのであって
(u1v1 u1v2 u1v3
u2v1 u2v2 u2v3
u3v1 u3v2 u3v3)
と表せる必要はない！
905現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/06(火) 18:16:53.64ID:Ssv0gYrv >>900-901
ID:1lEWVa2sさん、レスありがとう（＾＾
>環Kは(ab)c=a(bc)
>が成り立たないらしい。
下記の”非結合的多元体”みたいな話かな
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E5%85%83%E4%BD%93
多元体
目次
1 定義
2 結合的多元体
3 非結合的多元体
非結合的多元体
多元体において結合律の成立を課さずに、普通はより弱い結合性の条件（交代律や冪結合律など）を課したものを考えることもある。体上の多元環も参照。
実数体上で有限次元の可換単位的多元体は同型を除いてちょうど二つだけ存在する（それは実数体と複素数体で、いずれも結合的である）。
ID:1lEWVa2sさん、レスありがとう（＾＾
>環Kは(ab)c=a(bc)
>が成り立たないらしい。
下記の”非結合的多元体”みたいな話かな
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E5%85%83%E4%BD%93
多元体
目次
1 定義
2 結合的多元体
3 非結合的多元体
非結合的多元体
多元体において結合律の成立を課さずに、普通はより弱い結合性の条件（交代律や冪結合律など）を課したものを考えることもある。体上の多元環も参照。
実数体上で有限次元の可換単位的多元体は同型を除いてちょうど二つだけ存在する（それは実数体と複素数体で、いずれも結合的である）。
906現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/06(火) 18:41:56.49ID:Ssv0gYrv >>898 補足
『テンソル』とは？
（下記wikipedia）
「一つの原理として「『テンソル』とは単に任意のテンソル積空間の元である」と定めることはできるが、数学の文献では「テンソル」とは上記のように一つの空間 V とその双対から得られるテンソル積（テンソル空間）の元のために用いるのが普通である。」
まあ、なので
１．一つの原理として「『テンソル』とは単に任意のテンソル積空間の元である」と定めることはできる
２．数学の文献では「テンソル」とは上記のように一つの空間 V とその双対から得られるテンソル積（テンソル空間）の元のために用いるのが普通である。
となるな（＾＾；
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB
テンソル
(抜粋)
テンソル（英: tensor, 独: Tensor）とは、線形的な量または線形的な幾何概念を一般化したもので、基底を選べば、多次元の配列として表現できるようなものである。
いくつかのアプローチ
テンソルの定義・表示と取り扱いには、いくつかの同等な方法がある。実際にそれらが同じことを指していることを納得するには、多少の慣れが必要である。
古典的なアプローチではテンソルは多次元の配列で、階数0のスカラーや階数1のベクトル、階数2の行列などの階数nへの一般化を与えているものと見なされる。
「テンソルはテンソル空間の元のことなのだ」という標語を掲げることもできるだろうが、高階のテンソルに対して幾何的な解釈をどう与えるかという難しさもあって、成分表示によらないアプローチが支配的になったというわけではない。
テンソル積に基づく定義
普遍性を通じて定義できるベクトル空間のテンソル積の元としてテンソルを定義することによってなされる。この文脈では、(p, q)-型テンソルはベクトル空間のテンソル積の元
略
として定義される[2]。
テンソルは極めて一般に（例えば任意の環上の加群まで含めて）定義することができる。一つの原理として「『テンソル』とは単に任意のテンソル積空間の元である」と定めることはできるが、数学の文献では「テンソル」とは上記のように一つの空間 V とその双対から得られるテンソル積（テンソル空間）の元のために用いるのが普通である。
(引用終り)
以上
『テンソル』とは？
（下記wikipedia）
「一つの原理として「『テンソル』とは単に任意のテンソル積空間の元である」と定めることはできるが、数学の文献では「テンソル」とは上記のように一つの空間 V とその双対から得られるテンソル積（テンソル空間）の元のために用いるのが普通である。」
まあ、なので
１．一つの原理として「『テンソル』とは単に任意のテンソル積空間の元である」と定めることはできる
２．数学の文献では「テンソル」とは上記のように一つの空間 V とその双対から得られるテンソル積（テンソル空間）の元のために用いるのが普通である。
となるな（＾＾；
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB
テンソル
(抜粋)
テンソル（英: tensor, 独: Tensor）とは、線形的な量または線形的な幾何概念を一般化したもので、基底を選べば、多次元の配列として表現できるようなものである。
いくつかのアプローチ
テンソルの定義・表示と取り扱いには、いくつかの同等な方法がある。実際にそれらが同じことを指していることを納得するには、多少の慣れが必要である。
古典的なアプローチではテンソルは多次元の配列で、階数0のスカラーや階数1のベクトル、階数2の行列などの階数nへの一般化を与えているものと見なされる。
「テンソルはテンソル空間の元のことなのだ」という標語を掲げることもできるだろうが、高階のテンソルに対して幾何的な解釈をどう与えるかという難しさもあって、成分表示によらないアプローチが支配的になったというわけではない。
テンソル積に基づく定義
普遍性を通じて定義できるベクトル空間のテンソル積の元としてテンソルを定義することによってなされる。この文脈では、(p, q)-型テンソルはベクトル空間のテンソル積の元
略
として定義される[2]。
テンソルは極めて一般に（例えば任意の環上の加群まで含めて）定義することができる。一つの原理として「『テンソル』とは単に任意のテンソル積空間の元である」と定めることはできるが、数学の文献では「テンソル」とは上記のように一つの空間 V とその双対から得られるテンソル積（テンソル空間）の元のために用いるのが普通である。
(引用終り)
以上
907現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/06(火) 18:42:51.20ID:Ssv0gYrv908１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 19:19:37.63ID:ArpKO7AX909１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 19:32:17.43ID:ArpKO7AX >>906
>一つの原理として
>「『テンソル』とは単に任意のテンソル積空間の元である」
>と定めることはできる
意味、わかってないだろｗ
例えば
「ベクトル空間VとWのテンソル積V⊗W」とは
「v∈Vとw∈Wのテンソル積v⊗w全体からなる集合」ではない
馬鹿にも分かるようにいえば、
「Vの基底をe1~en、Wの基底をf1~fmとするとき、
そのn*m個のテンソル積、e1⊗f1~en⊗fmを基底とするベクトル空間」
である
分からない？
じゃ、数学板から出ていけ
馬鹿には無理だ 諦めろ
>一つの原理として
>「『テンソル』とは単に任意のテンソル積空間の元である」
>と定めることはできる
意味、わかってないだろｗ
例えば
「ベクトル空間VとWのテンソル積V⊗W」とは
「v∈Vとw∈Wのテンソル積v⊗w全体からなる集合」ではない
馬鹿にも分かるようにいえば、
「Vの基底をe1~en、Wの基底をf1~fmとするとき、
そのn*m個のテンソル積、e1⊗f1~en⊗fmを基底とするベクトル空間」
である
分からない？
じゃ、数学板から出ていけ
馬鹿には無理だ 諦めろ
910現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/10/06(火) 20:40:22.01ID:Bqw4JrwL911１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 20:47:50.18ID:ArpKO7AX912ID:1lEWVa2s
2020/10/06(火) 20:51:15.29ID:HM/0CWK5 京大OCW 再生リスト 雪江みてる。
913１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:12:58.10ID:ArpKO7AX ロシア革命（ロシアかくめい）とは、
1917年にロシア帝国で起きた
2度の革命のことを指す名称である。
1917年にロシア帝国で起きた
2度の革命のことを指す名称である。
914１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:13:26.08ID:ArpKO7AX 広義には1905年のロシア第一革命も含めた長期の諸革命運動を意味する。
915１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:14:07.47ID:ArpKO7AX 1905年、血の日曜日事件によって始まったロシア第一革命は、
1907年6月にストルイピン首相のクーデタで終息した。
1907年6月にストルイピン首相のクーデタで終息した。
916１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:14:30.82ID:ArpKO7AX 労働運動や革命運動は一時的に停滞し、革命家は西ヨーロッパへと逃れた。
917１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:15:01.87ID:ArpKO7AX 1912年4月、バイカル湖北方のレナ金鉱で
ストライキ中の労働者に対して軍隊が発砲し、
多数の死者が出た（レナ金鉱事件）。
ストライキ中の労働者に対して軍隊が発砲し、
多数の死者が出た（レナ金鉱事件）。
918１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:15:35.32ID:ArpKO7AX 全国に抗議ストが広がり、労働運動は再活性化へと向かった。
919１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:16:03.70ID:ArpKO7AX ストライキは1914年には第一革命期に匹敵するレベルに達した。
920１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:16:45.47ID:ArpKO7AX 第一次世界大戦が勃発すると愛国主義が高まり、
弾圧も強まって労働運動はいったん脇に押しやられたが、
戦争が生活条件の悪化をもたらすと労働運動は復活した。
弾圧も強まって労働運動はいったん脇に押しやられたが、
戦争が生活条件の悪化をもたらすと労働運動は復活した。
921１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:17:17.58ID:ArpKO7AX 1915年6月にコストロマー、8月にイヴァノヴォ＝ヴォズネセンスクで
労働者が警官と軍隊に射殺される事件が起き、抗議のストを呼び起こした。
労働者が警官と軍隊に射殺される事件が起き、抗議のストを呼び起こした。
922１３２人目の素数さん
2020/10/06(火) 21:17:56.34ID:ArpKO7AX 自由主義者は1915年に国会でカデットを中心として「進歩ブロック」をつくり、
戦勝をもたらしうる「信任内閣」の実現をめざして政府批判を強めた。
自由主義陣営内の急進派は労働者代表も含む工業動員のための組織として
戦時工業委員会を主要都市に設立した。
戦勝をもたらしうる「信任内閣」の実現をめざして政府批判を強めた。
自由主義陣営内の急進派は労働者代表も含む工業動員のための組織として
戦時工業委員会を主要都市に設立した。
レス数が900を超えています。1000を超えると表示できなくなるよ。
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