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純粋・応用数学（含むガロア理論）4

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2020/08/30(日) 09:42:39.25ID:oR3g+efa
クレレ誌：
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%83%AC%E8%AA%8C
クレレ誌はアカデミーの紀要ではない最初の主要な数学学術誌の一つである（Neuenschwander 1994, p. 1533）。ニールス・アーベル、ゲオルク・カントール、ゴットホルト・アイゼンシュタインらの研究を含む著名な論文を掲載してきた。
(引用終り)

そこで
現代の純粋・応用数学（含むガロア理論）を目指して
新スレを立てる（＾＾；

＜過去スレ＞
・純粋・応用数学（含むガロア理論）3
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/
・純粋・応用数学（含むガロア理論）2
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592578498/
・純粋・応用数学
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582599485/
＜関連過去スレ（含むガロア理論）＞
・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む84
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582200067/
・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む83
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/
＜関連姉妹スレ＞
・Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 48
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592119272/
・IUTを読むための用語集資料集スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/
・現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/
2020/09/11(金) 07:49:36.81ID:dt7uB+gp
>>323
つづき

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB
テンソル
目次
1 いくつかのアプローチ
2 数学的定義
2.1 多重線型写像としての取り扱い
2.2 テンソル積に基づく定義

（>>302より）
http://dyna.geo.kyushu-u.ac.jp/~yoshida/japanese/lecture/math-exercise/
地球惑星数理演習 九州大
http://dyna.geo.kyushu-u.ac.jp/~yoshida/japanese/lecture/math-exercise/vector-analysis-v_10_0.pdf
ベクトルとテンソル （吉田） v10.0 2020/03/14
P3
1.1 ベクトルとテンソル
。1.1.6 節では、ここまでの学
習を踏まえて、物理学の世界と数学の世界をどう結ぶのかを改めて考え直す。普段はあまり気
にしなくても良いのだが、物理学においては、性質（たとえば単位）の異なるベクトルを同じ
図の上に書くことが良くある。でも本当は、単位が違うものは同じ空間に属してはいない。そ
のような問題を考えてゆく。1.1.7 節は正規直交座標系ではない座標系の取扱いである。
ベクトルとテンソルの定義の仕方にはいろいろな流儀があるのだが、あまり一般的にしすぎ
ると抽象的になりすぎるので、物理学で一番よく使われるであろう形でまず定義をする。ただ、
それだけだと狭くなる意味もあって、後から拡張してゆく。まず、ベクトルは矢印、テンソル
はベクトルからベクトルへの線形関数（比例関係を表す）であると定義する。それだけだとベ
クトルとテンソルは全く別のものということになるのだが、実際は共通する性質があって、ベ
クトルもテンソルの一種だととらえられることを説明してゆく。
さらに、ここで考えるのは３次元ユークリッド空間に限ることにする。座標系もほぼデカル
ト座標に限る。

つづく
2020/09/11(金) 07:49:56.01ID:dt7uB+gp
>>324
つづき

P11
1.1.1.4 [参考] 「矢印」ではないベクトルについて
　1.1.1.1 節でも触れたとおり、ベクトル空間（線形空間）という概念は「矢印」を超えて拡張
できる。数学では、「矢印」のような具体的なイメージのあるものを用いてものごとを定義して
しまうと、拡張性が制限されることになるのでできるだけ避けようとする。そこで、1.1.1.1 節
の最後の方で説明したように、簡単に言えば、和と定数倍が定義できるということだけを抽象
的にベクトル空間の定義として用いる。さらに内積が定義されるベクトル空間のことを内積空
間という。以下に「矢印」ではない「ベクトル」の例を２つ挙げる。

1.1.1.4.1 ベクトルとしての行列 m × n 行列が作る空間 M(m, n) は mn 次元の線型空間で
ある。和と定数倍が自然に定義されるからである。基底としては、第 i 行、第 j 列の成分のみ
が 1 でそれ以外の成分が 0 という行列 eij を取ることができる。
この意味では、行列もベクトルだという言い方ができる。しかし、このように行列をベクト
ルと言ってしまうと、座標変換行列やテンソルもベクトルということになって、本講義では大
混乱を招くことになってしまう。本講義では「ベクトル」は「矢印」しか指さないということ
にする。本講義（テンソル解析）の用語では、座標変換行列はベクトルではなく、後述のよう
にベクトルは１階のテンソルともいえるが、それ以外のテンソルはベクトルではない。

1.1.1.4.2 ベクトルとしての関数 関数もベクトルだと考えることもできる（詳しくは、関数
解析の教科書を参照すること）。本講義でも、第２章の１回目でそのような考え方が出てくる。
関数にも和やスカラー倍が定義できるし、内積とか座標変換も考えられる。関数が作るベクト
ル空間を関数空間と言う。

1.1.2 テンソルとは何だろうか？
テンソルとは、数学的にはどういう量であるべきだろうか？ここでは、具体的な例として地
下水の流れに関係する浸透率テンソルと岩石の変形に関係する変形勾配テンソルの２つを導入
することからテンソルが持っている性質を考えてゆくことにする。

つづく
2020/09/11(金) 07:50:17.05ID:dt7uB+gp
>>325
つづき

P21
1.1.2.10 テンソルの座標変換による定義〜テンソルの古典的定義
テンソルを成分の座標変換規則をもって定義することができる。こ
れがテンソルの古典的な定義である。

ベクトルは、１階のテンソルという言い方もできる。０階のテンソルをスカラーと呼ぶ。スカラーは、座標変換に対して変化しない。
[注意] 行列で書けるものは、何でもテンソルというわけではない。たとえば、上の座標変換の
行列 (Rij ) は、定義からしてテンソルではない。同様に、数であれば何でもスカラーとい
うわけではない。スカラーは座標変換に対して変化しない量を指すのだから、たとえば、
ベクトル v の第１成分の v1 のような量はスカラーではない。座標変換の際に変化してし
まうからである。

しかし、このベクトルやテンソルの定義は、数学屋さん的には少し気持ち悪い。というのは、
この定義で用いられている「成分」は、1.1.1.2 節でベクトルを説明するときに解説したように、
「見かけの量」だからである。言い換えると、定義に現れている数（成分）が座標系に依存して
いる。だから、数学的には成分を使わないで（座標系に依存しない形で）定義したい。それに、
上の「注意」で述べたような単なる行列とテンソルの区別も、成分で書くと同じように見える
ので紛らわしい。そこで、先のように線形写像で定義しておくのがスマートである。
とはいえ、上のように成分を用いた定義が良い点もある*注）10。ひとつは、スカラーやベクトル
がテンソルの一種ととらえられることがはっきり分かる点であり、もうひとつは、座標変換が
直接出ているので実用的である点である。
本当のことを言えば、ベクトルが矢印で表されるように、テンソルも図を使って表される何
かであると言いたい。でも、なかなか図では描けないので、テンソルの定義がいろいろ持って
回った感じになっている。図を描こうとすると、地震学でモーメントテンソルを表すのに使う
「ビーチボール」くらいなものだが、これもトレース０の対称テンソルでないと使いづらい（「ト
レース０」「対称テンソル」の意味は後述）。

つづく
2020/09/11(金) 07:50:39.24ID:dt7uB+gp
>>326
つづき

*注）10：有名な数学者・理論物理学者のヘルマン・ワイルは『空間・時間・物質』の中で、成分に依らない形だけで書
こうとするのは不都合だとして、以下のように書いている。「ただテンソルそのものだけでテンソル算を書きあら
わそうという試みは、これまでしばしばあった。これは３次元空間におけるベクトル算の成分によらない表現と
似たようなものを作ろうとする試みである。しかし、著しく発展したテンソル算の大きな体系にとっては、この
ような試みはまったく不都合であることがわかった。もしわれわれが絶対に成分にたよらないようにしようとす
れば、非常に多数の名称や記号、また多くの計算の規則を導入しなければならない。その結果は意図に反して莫
大な損失をせおいこむことになる。われわれはこのようなでたらめな形式主義の跳梁に対し強く抗議しなければ
ならない。」（ちくま学芸文庫版 上巻 p.111）

P28
1.1.4 ベクトルやテンソルの積
ベクトルやテンソルには何通りかの「積」が定義されている。それらを見てゆこう。もちろ
ん内積と外積が一番普通に使われる「積」*注）15であるが、それ以外にもいくつかの「積」がある。
一般に「積」は、２つのベクトル（やテンソル）の双線型関数である。したがって、先の写
像としてのテンソルの定義によれば、テンソルの一種であるという言い方もできる。
本講義のような話の流れだと、ベクトルの基本は線型空間であるということで、積は単にそ
れに付随する演算ということになるが、歴史 (1.1.8 節) を見てゆくと、ベクトルに意味のある
積（内積や外積）が定義できるかどうかが、ベクトルの発明の上では鍵だったということがわ
かる。今から見れば、内積や外積がないと、物理学上重要なことがらが簡潔に表現できないの
で、当然といえば当然ではあるが。

*注）15：1.1.8.2 節で見るようにこれらは四元数から自然に出てくる。
(引用終り)
以上
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