純粋・応用数学（含むガロア理論）3

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/19(日) 22:51:08.91

クレレ誌：
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%83%AC%E8%AA%8C
クレレ誌はアカデミーの紀要ではない最初の主要な数学学術誌の一つである（Neuenschwander 1994, p. 1533）。ニールス・アーベル、ゲオルク・カントール、ゴットホルト・アイゼンシュタインらの研究を含む著名な論文を掲載してきた。
(引用終り)

そこで
現代の純粋・応用数学（含むガロア理論）を目指して
新スレを立てる（＾＾；

＜過去スレ＞
・純粋・応用数学（含むガロア理論）2
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592578498/
・純粋・応用数学
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582599485/
＜関連過去スレ（含むガロア理論）＞
・現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む84
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582200067/
・現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む83
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/
＜関連姉妹スレ＞
・Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 48
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592119272/
・IUTを読むための用語集資料集スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/
・現代数学の系譜カントル超限集合論他 3
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2020/08/26(水) 21:02:06.30

>>700
　ほいよ、>>701

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/26(水) 21:04:53.72

>>676
何をどう納得したか答えて
納得できてなかったものがなぜ瀬田のレスにより納得できたかもね

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2020/08/26(水) 21:04:54.12

>>702
>>つまり、整数環に逆元を追加してやれば、有理数体が構成できるよね
>できません。

それだけで、体ができるとはいっとらんぞよｗ（＾＾
逆元を加えることができれば、整数環を、四則演算だけで拡張できるということ

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/26(水) 21:06:47.13

>>683
何がどう勉強になったのか答えて
勉強にならなかったものがなぜ瀬田のレスにより勉強になったかもね

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2020/08/26(水) 21:08:15.28

>>704
まあ、かれはあっちこっち
沢山書いているから、なんか書いてくれるだろうよ
但し、一日で書いている時間帯に集中しているので
今日は、書かないかもね

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2020/08/26(水) 21:09:15.40

>>701 タイポ訂正

これは、x≠0 （aｙ=za=1 ならy=zが言えるとか細かい話があるけど略）
　　↓
これは、x≠0 に矛盾（aｙ=za=1 ならy=zが言えるとか細かい話があるけど略）

失礼しました（＾＾；

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2020/08/26(水) 21:10:11.69

>>707 タイポ訂正

但し、一日で書いている時間帯に集中しているので
　　↓
但し、一日で書いている時間帯が集中しているので

**十割蕎麦焼酎** ◆C2UdlLHDRI · 2020/08/26(水) 21:10:29.64

吉宗評判記　暴れん坊将軍

船越英一郎の親父「ぅぅううえっさっんま
小耳に挟んだ所によりますれば、瀬田の守の小倅が近頃、部屋に籠りっ切りに成り、何やら
此の世に於いても彼の世に於いても罷り通らん、謂わば屁の突っ張りにも成らない理屈を世に広めては
既に名の知れた学者たちの偉業とも言うべき知恵を、有ぁぁあろう事か、事有る毎に、間違った伝聞を世に開き､
自身は疎か、藩の顰蹙を買う事態に成って居り、其れを憂いた瀬田の守が、気にしてか腹を切りそうに成った所を
近くに居た家臣たちがどうにか止めたとの話ですぞ。否、儂だったら其んな息子、勘当している所ですぞ!!｣
松平健「うぅむ｣

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/26(水) 21:11:54.45

>>705
後出しジャンケン乙

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/26(水) 21:14:51.47

>>705
>逆元を加えることができれば、整数環を、四則演算だけで拡張できるということ
そんな文学的な説明じゃなくちゃんと定式化してみて
誤解の入る余地が無ければ数学とは呼べない

粋蕎 ◆C2UdlLHDRI · 2020/08/26(水) 21:17:46.90

>>703
格安スマホ猿MaraシコシコPapiyas一石のレス>>702が見えんか？
瀬田氏。今迄に何度、死にレスした？

粋蕎 ◆C2UdlLHDRI · 2020/08/26(水) 21:27:44.08

って言うか、働けーーー!!労災で左うちわ中なんじゃ。其の、会社に来てさえすりゃ良い（通院日以外は
出勤して見回るだけの殆ど遊び）の儂を、遥かに超越するレス機会自由度!!オドレ等、何、遊び腐っとるんじゃあああ!!
遊び言うても、社内巡りし、会社創設史上、最多の改善実績挙げとるぞ儂はぁぁぁあああ!!逆に回復するな言う始末!!阿呆か!!

其れに比べオドレ等は…。余りにも世の中をバカにし腐っとる!!乞食じゃ!!非ホームレス型の乞食じゃあああ、働けぇえやぁああ!!

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/26(水) 21:32:31.08

>>714
＞働けぇえやぁああ!!
具体的に何すればいい？

◆yH25M02vWFhPは頭使う仕事は無理
ここまで酷い馬鹿は見たことがない
国立大阪大学？嘘つけｗ
知り合いの大阪大学工学部卒の奴に
ここの書き込み見せたらこういってたぞ
「酷い・・・酷すぎる」
確かに馬鹿な奴もいるけどそんなレベルじゃない
工業高校卒か大卒だとしても名前書けば入れるFランクレベルだって

粋蕎 ◆C2UdlLHDRI · 2020/08/26(水) 21:34:08.18

して。何故、通院中にも関わらず飲酒禁止されとらんのか？そりゃあ、儂が創傷・手術入院～今に至り
痛み止めさえ不要の無処方治療に因る。手術前中後の点滴麻酔以来の服用無し。結果、医者も呑み仲間入り｡

どうやら儂は、コミュ障の筈が、コミュ障の真逆じゃったらしい｡

呑もうぜぃオドレ等ぁああ

粋蕎 ◆C2UdlLHDRI · 2020/08/26(水) 21:46:11.90

もしかすりゃあ阪大卒は嘘じゃ無うかも知れん

阪大（附属病院脳機能未達児教育学級）卒or阪大（附属保育園）卒or阪大（附属幼稚園）卒or阪大（附属小学校）未卒・学歴無し

羅王！天に還る時が来たのだ!!…あ、間違ったアミバだった

北斗!!…残悔積歩拳!!

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/26(水) 21:49:44.42

>>713
め~さまは格安ｽﾏﾎｯﾍﾟちゃんなんですか…!

ｴﾓ一緒…!
(д\)ﾟ。嬉ｼｨ…

ｫ蕎麦ｯﾁｬﾏ…ᕼᗩᑭᑭY情報🐣ありがとぅ…

おやすみなさ~ぃ!

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/26(水) 21:52:49.33

>>713
…そばちゃま、そちらは、め~さまではないようですよ？…

なりぷっ様かな？って…

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/26(水) 21:56:46.56

…一緒ｼﾞｬﾅｶｯﾀ…
(д\)ﾟ。゜

ﾟ。゜
…失礼ｼﾏｽﾀ…

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/26(水) 21:58:16.79

またｽﾙﾙｪがﾀﾋんじゃった！
ごめんなさ-ぃ…

|=з

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/26(水) 22:06:56.84

め~さま、ｴﾓﾋﾟ-
魔界に還る時が来たよぅです…
今までありがとうございました
もぅｽﾄｰｶｰはしません。
お元気で。お幸せに🍀*゜

みなさまもありがとうございました

🌈ご機嫌よう🌈

**粋蕎(出先)** · 2020/08/26(水) 22:13:27.14

猿の女人格を矢鱈と掻き毟るべきではない

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2020/08/26(水) 23:38:31.48

>>691
>以下のpdfの、p216-221　
> 8. CHARACTERIZATION OF DIVISION RINGS
>を読んで見な
>https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a0/Groups_Rings_Modules_Auslander_Hathitrust.pdf

ざっと見たよ、面白かった
けど、それ、下記の和文 wikipedia の出典5・参考文献の”Auslander & Buchsbaum”だね
さらに、よく見ると、英文 en.wikipedia にも、面白いリンクがあるね

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%9C%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)#CITEREFAuslanderBuchsbaum2004
斜体 (数学)

斜体であるという性質は加群の圏の性質から特徴づけることもできる。環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。

出典
5.^ Auslander & Buchsbaum 2004, p. 221, Theorem 6.8.8.

参考文献
・Auslander, Maurice; Buchsbaum, David (2014). Groups, Rings, Modules. Dover. ISBN 978-0-486-49082-3. MR0366959. Zbl 0325.13001

https://en.wikipedia.org/wiki/Division_ring
Division ring

In fact the converse is also true and this gives a characterization of division rings via their module category: A unital ring R is a division ring if and only if every R-module is free.[7]

Notes
7^ Grillet, Pierre Antoine. Abstract algebra. Vol. 242. Springer Science & Business Media, 2007; a proof can be found here

https://planetmath.org/ringswhoseeverymoduleisfree
rings whose every module is free Author joking (16130)
Last modified on 2013-03-22
(抜粋)
so x is right invertible. Thus R is a divison ring. □
Remark. Note that this proof can be dualized to the case of right modules and thus we obtained that a unital ring R is a divison ring if and only if every right R-module is free.

External links
・Grillet's Abstract Algebra, section VIII.5's characterization of division rings via their free modules.
https://math.stackexchange.com/questions/75866/every-r-module-is-free-implies-r-is-a-division-ring

粋蕎 ◆C2UdlLHDRI · 2020/08/26(水) 23:43:19.61

元祖嘲笑ぷっ記述者は猿の女人格
猿自身の女性的欲求つまりオカマ人格なのか嫁なのか姉妹なのかは儂にも見通せない

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2020/08/26(水) 23:57:54.00

あほらし
そもそも、全ては>>134より
「まあ、折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな
　群は基本的に非可換だよ」

から始まった
正方行列を、「逆元を持つ正方行列」あるいは「可逆な正方行列」あるいは「行列式が０でない正方行列」
とでも書けば良かったのだろうが、コンテキストが群だから、逆元を持つのは、デフォルト
つまり、”デフォルト”は、黙示的に指定されている。群なら、”逆元を持つのは、デフォルト”

で、ウルサイから、正方行列に零因子が存在することくらい当然で常識でと、>>149を投稿した（旧高校数学Cも引用してね）
（要は、正方行列に零因子が存在して、それを除外する話でしょという趣旨でね）

で、おサルは、>>160で「なんかまたトンチンカンなこといってるな、零因子の話なんかまったくしてないぞ」と来たもんだ
？ ”逆元を持つ”と、正方行列の零因子は、密接な関係（裏表の関係）じゃんかって話で、
正方行列から、一般の環Rでどうなるという話で、いまに至る。この話は、結構面白い（＾＾

で、有理数体Qの話(>>695)も同じで、整数環Zにおいて、0以外の任意の整数ｎの逆元1/nを導入して、四則演算で閉じるようにすれば、Qになる
（一貫）中学か高校レベルの常識で、それ”デフォルト”ですよ（>>705）

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 00:21:51.91

>>726
>正方行列を、「逆元を持つ正方行列」あるいは「可逆な正方行列」あるいは「行列式が０でない正方行列」
>とでも書けば良かったのだろうが、コンテキストが群だから、逆元を持つのは、デフォルト
>つまり、”デフォルト”は、黙示的に指定されている。群なら、”逆元を持つのは、デフォルト”
その理屈が通らないことは他ならぬ君の引用がことごとく正則行列（可逆行列）となっていることが示している。
そりゃそうだ、正方行列なんて書いたら速攻で炎上必至だから。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 00:25:58.31

>>726
>で、おサルは、>>160で「なんかまたトンチンカンなこといってるな、零因子の話なんかまったくしてないぞ」と来たもんだ
群の話してるのに環でしか意味を為さない零因子を持ち出したら、
「なんかまたトンチンカンなこといってるな」
と返されて当然では？

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 00:37:41.98

>>726
>で、有理数体Qの話(>>695)も同じで、整数環Zにおいて、0以外の任意の整数ｎの逆元1/nを導入して、四則演算で閉じるようにすれば、Qになる
>（一貫）中学か高校レベルの常識で、それ”デフォルト”ですよ（>>705）
ここは数学板ですから文学はやめて下さいね。
きちんと命題と証明を書きましょう。

粋蕎 ◆C2UdlLHDRI · 2020/08/27(木) 01:25:00.24

理学は疎か工学でも無く文学でさえ無き願望論じゃ

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 06:38:50.99

>>726
＞そもそも、全ては>>134
＞「まあ、折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな
＞　群は基本的に非可換だよ」
＞から始まった

そして、どこにも環とか体とか出てこない
環ガー、体ガーといってるのはおまえだけｗ

＞正方行列を、
＞「逆元を持つ正方行列」あるいは
＞「可逆な正方行列」あるいは
＞「行列式が０でない正方行列」とでも
＞書けば良かったのだろうが

「書けばよかった」ではなく
「書かなければいけなかった」

＞コンテキストが群だから、逆元を持つのは、デフォルト

「コンテキスト」「デフォルト」が誤り

群の定義（デフィニション）に、逆元の存在が書かれてるから
逆元が存在しない元まで含めたら、定義に反する

というのは我々数学科で数学を学んだ人間全員一致の絶対に正しい指摘

つまり、おまえは数学を学ばなかった野獣であり駆除対象の絶対悪ｗ

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 06:42:11.19

>>726
＞で、ウルサイから、

根本的な誤りの指摘に「ウルサイ」という貴様が不遜
だから人間失格の野獣は困る　人間の知性を全否定しやがる絶対悪

＞正方行列に零因子が存在することくらい当然で常識
＞と、>>149を投稿した（旧高校数学Cも引用してね）

後だしのいいわけするな
貴様が高校数学で落ちこぼれたのは明らか

＞（要は、正方行列に零因子が存在して、
＞　それを除外する話でしょという趣旨でね）

除外は読み手がすることではない
書き手である貴様が真っ先にやるべきことなのだ

覚えとけ　人間失格の野獣🐎🦌！！！

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 06:46:31.90

>>726
＞”逆元を持つ”と、正方行列の零因子は、密接な関係（裏表の関係）じゃんか

整数環Zにより真正面から否定されるトンデモ主張ｗｗｗｗｗｗｗ

＞整数環Zにおいて、0以外の任意の整数ｎの逆元1/nを導入して、
＞四則演算で閉じるようにすれば、Qになる

後出しは貴様の負けを示す自爆発言

導入が必要なこと自体、貴様の「零因子がなければ斜体！」説の誤りを示すもの

ついでにいえば、ただ整数の逆元のみを導入してもダメ

要するに貴様は後から後から言い訳する毛深い野獣の🐎🦌野郎
人間にある筈の論理的思考力（理性）が完全に欠如している

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 06:48:58.71

馬鹿は自分が定義を理解していなかった言い訳で
「コンテキスト」とか「デフォルト」とかいう横文字
を喚き散らす癖をやめろ　みっともないぞｗ

ついでにコンテキストとデフォルトをそれぞれ日本語に訳せ
日本人ならできるだろ　さあやれ！ｗ

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 06:54:03.11

野獣◆yH25M02vWFhP の誤り

１．正則行列というところを正方行列といった
　　（任意の正方行列に逆行列があると誤解してたｗ）
２．逆行列の存在条件として行列式が零でないといえばいいところを
　　何をトチ狂ったか「零因子でない」とかいいだした
　　（行列式をまったく知らなかったｗ）
３．群論の話なのに、無意味に環論とか体論とか持ち出し
　　「一般の環で、零因子でなければ可逆元！」とか
　　「一般の環で、零因子だけ取り除けば斜体の出来上がり！」とか
　　素人感丸出しのトンデモ発言連発
　　（群論だけで閉じとけば、こんな馬鹿発言で恥さらすことなかったｗ）

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2020/08/27(木) 07:45:18.38

>>724 追加
(引用開始)
Notes
7^ Grillet, Pierre Antoine. Abstract algebra. Vol. 242. Springer Science & Business Media, 2007; a proof can be found here
https://planetmath.org/ringswhoseeverymoduleisfree
rings whose every module is free Author joking (16130)
Last modified on 2013-03-22
(引用終り)

これ読んだ。疑問氷解！
”Thus the only left ideals in R are 0 and R. Now let x∈R. Then Rx=R, so there exists β∈R such that
βx=1.
Thus every element is left invertible. But then every element is invertible. Indeed, if βx=1 then there exist α∈R such that αβ=1 and thus
1=αβ=α(βx)β=(αβ)xβ=xβ,
so x is right invertible. Thus R is a divison ring. □”

なるほど、
”every element is left invertible. Indeed, if βx=1 ”を言って
　↓
”then there exist α∈R such that αβ=1”が言えて
　↓
”1=αβ=α(βx)β=(αβ)xβ=xβ,
so x is right invertible. Thus R is a divison ring. ”

と繋がるんだね
βx=1とか、αβ=1とかを取ってくるのが、証明のキモだ

あと、”Now let x∈R. Then Rx=R, so there exists β∈R such that
βx=1.”もうまい。
これ、>>481 の”　0でない元aを取る。aから生成される単項イデアル(a)を考える。
明らかに(a)≠(0)だから、(a)＝Rとなる。”に類似している
>>481でも、ここから”したがって1∈(a)となる（Iは”1”を含むがキモ）”を導いたんだ
（上記、”let x∈R. Then Rx=R” と、”0でない元aを取る。aから生成される単項イデアル(a)を考える”とが、類似）

チャート式風でいえば、”0でない元を取る”ですね

”then there exist α∈R such that αβ=1”が言えて
　↓
”1=αβ=α(βx)β=(αβ)xβ=xβ,
so x is right invertible. Thus R is a divison ring. ”
も、頻出テクっぽいな

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2020/08/27(木) 11:49:40.74

>>736 追加
https://planetmath.org/ringswhoseeverymoduleisfree
rings whose every module is free Author joking (16130)
Last modified on 2013-03-22

この前半の証明も良いね～

”Recall that if R is a (nontrivial) ring and M is a R-module, then (nonempty) subset S⊆M is called linearly independent if for any m1,…,mn∈M
and any r1,?,rn∈R the equality
r1・m1+…+rn・mn=0
implies that r1=…=rn=0. If S⊆M is a linearly independent subset of generators of M, then S is called a basis of M.
Of course not every module has a basis (it even doesn’t have to have linearly independent subsets).
R-module is called free, if it has basis.
In particular if R is a field, then it is well known that every R-module is free.
What about the converse?

Proposition. Let R be a unital ring. Then R is a division ring if and only if every left R-module is free.

つづく

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2020/08/27(木) 11:50:05.99

>>737
つづき

Proof. ,,⇒” First assume that R is a divison ring.
Then obviously R has only two (left) ideals, namely 0 and R
(because every nontrivial ideal contains invertible element and thus it contains 1, so it contains every element of R).
Let M be a R-module and m∈M such that m≠0.
Then we have homomorphism of R-modules f:R→M such that f(r)=r・m.
Note that ker(f)≠R (because f(1)≠0) and thus ker(f)=0 (because ker(f) is a left ideal).
It is clear that this implies that {m} is linearly independent subset of M.
Now letΛ={P⊆M??P is linearly independent}.
Therefore we proved that Λ≠Φ.
Note that (Λ,⊆) is a poset (where ,,⊆” denotes the inclusion) in which every chain is bounded. Thus we may apply Zorn’s lemma.
Let P0∈Λ be a maximal element in Λ.
We will show that P0 is a basis (i.e. P0 generates M).
Assume that m∈M is such that m not∈P0.
Then P0∪{m} is linearly dependent (because P0 is maximal)
and thus there exist m1,?,mn∈M and λ,λ1,?,λn∈R such that λ≠0 and λ・m+λ1・m1+?λn・mn=0.
Since λ≠0, then λ is invertible in R (because R is a divison ring)
and therefore m=(?λ?1λ1)・m1+?+(?λ?1λn)・mn.
Thus P0 generates M, so every R-module is free.
This completes this implication.”
(引用終り)

なるほどね
この証明は、味わい深いですね～

つづく

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2020/08/27(木) 11:51:07.08

つづき

”Then we have homomorphism of R-modules f:R→M such that f(r)=r・m.
Note that ker(f)≠R (because f(1)≠0) and thus ker(f)=0 (because ker(f) is a left ideal). ”
のところ、下記の
「しばしば、スカラーの作用を fr のような形に書くこともあり、もちろん fr(x) = rx なのだが、このように書くと f を R の各元 r を対応する作用素 fr へ移す写像とみることもできて、たとえば先ほどの加群の公理の最初の条件は fr が M 上の自己準同型となることを述べていて、残りの条件は f が R から自己準同型環 End(M) への環準同型となることを要請するものになっている。」
と符合しているのだが、自己準同型環 End(M)で、Endomorphism（準同型）という用語（>>685ご参照）だが
上記では、”homomorphism”なのです。群論などだと、”homomorphism”が多い気がする
R-加群では、End(M)が多いのかな（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0%E4%B8%8A%E3%81%AE%E5%8A%A0%E7%BE%A4
環上の加群
(抜粋)
環上の加群（かぐん、英: module）とは、ベクトル空間を一般化した概念で、係数（スカラー）を体の元とする代わりに、より一般の環の元としたものである。つまり、加群とは（ベクトル空間がそうであるように）加法的なアーベル群であって、その元と環の元との間に乗法が定義され、その乗法が結合的かつ加法に関して分配的となるようなものである。

任意のアーベル群は有理整数環上の加群であり、したがって環上の加群はアーベル群の一般化でもある。また、環のイデアルは環上の加群であり、したがって環上の加群はイデアルの一般化でもある。このように環上の加群はベクトル空間・アーベル群・イデアルを包括する概念であるので、さまざまな議論を加群の言葉によって統一的に扱うことができるようになる。

加群は群の表現論に非常に近しい関連を持つ。また、加群は可換環論やホモロジー代数における中心概念の一つであり、ひろく代数幾何学や代数的位相幾何学において用いられる。

つづく

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2020/08/27(木) 11:51:26.06

>>739
つづき

動機
環上の加群はベクトル空間に比べてかなり複雑である。たとえばどんな加群でも基底を持つわけではないし、基底を持つ（自由加群と呼ばれる）加群であっても基礎環（係数環）が不変基底数条件を満足しないならば階数も一意ではない。これはベクトル空間が（選択公理を仮定すれば）常に基底を持ち、基底の濃度が常に一定となることと対照的である。

厳密な定義
厳密な定義
環 R 上の左 R-加群もしくは R-左加群とは、アーベル群 (M, +) とスカラー乗法と呼ばれる作用 R × M → M の組であって、その作用（通常は、r ∈ R と x ∈ M に対して x のスカラー r-倍を単に文字を併置して rx と記す）は、r, s ∈ R, x, y ∈ M は任意として、条件
略
を満足するものでなければならない（最後の条件は R が乗法単位元を持つときで、それを 1R で表している。環が単位的であることを仮定しない文脈では、R-加群の定義においてこの最後の条件も課されず、特にこの条件をも満足することで定まる構造を単位的左 R-加群、単型 R-左加群などと呼んで区別する。本項では用語の一貫性を図るため、特に断りの無い場合は環も加群も単位的であると仮定する）。

しばしば、スカラーの作用を fr のような形に書くこともあり、もちろん fr(x) = rx なのだが、このように書くと f を R の各元 r を対応する作用素 fr へ移す写像とみることもできて、たとえば先ほどの加群の公理の最初の条件は fr が M 上の自己準同型となることを述べていて、残りの条件は f が R から自己準同型環 End(M) への環準同型となることを要請するものになっている。すなわち、環上の加群とは環作用を持つアーベル群のことである（群作用あるいは作用も参照）。この意味では、環上の加群の理論は群の（あるいは同じことだが群環の）ベクトル空間における作用を扱う群の表現論（線型表現論）の一般化である。
(引用終り)
以上

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2020/08/27(木) 11:59:26.30

>>739 補足

”Then we have homomorphism of R-modules f:R→M such that f(r)=r・m.
Note that ker(f)≠R (because f(1)≠0) and thus ker(f)=0 (because ker(f) is a left ideal). ”
のところ

Then we have endomorphism(自己準同型) of R-modules f:M→M such that f(r)=r・m.
の方が、wikipedia 環上の加群の記述と合いますかね
こちらが、正解かな？
ker(f)の議論とも合いそうだ

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2020/08/27(木) 13:53:44.17

>>738 補足
https://planetmath.org/ringswhoseeverymoduleisfree
rings whose every module is free Author joking 2013-03-22
(抜粋)
Note that ker(f)≠R (because f(1)≠0) and thus ker(f)=0 (because ker(f) is a left ideal).
It is clear that this implies that {m} is linearly independent subset of M.
Now letΛ={P⊆M｜P is linearly independent}.
Therefore we proved that Λ≠Φ.
Note that (Λ,⊆) is a poset (where ,,⊆” denotes the inclusion) in which every chain is bounded.
Thus we may apply Zorn’s lemma.
Let P0∈Λ be a maximal element in Λ.
We will show that P0 is a basis (i.e. P0 generates M).
Assume that m∈M is such that m not∈P0.
Then P0∪{m} is linearly dependent (because P0 is maximal)
and thus there exist m1,・・・,mn∈M and λ,λ1,・・・,λn∈R such that λ≠0
and λ・m+λ1・m1+・・・λn・mn=0.
Since λ≠0, then λ is invertible in R (because R is a divison ring)
-and therefore m=(-λ^-1λ1)・m1+・・・+(-λ^-1λn)・mn.
Thus P0 generates M, so every R-module is free.
(引用終り)

”Thus we may apply Zorn’s lemma.
Let P0∈Λ be a maximal element in Λ.
We will show that P0 is a basis (i.e. P0 generates M).”
これも、常用の筋ですね。

Assume that m∈M is such that m not∈P0.
から、Since λ≠0, then λ is invertible in R (because R is a divison ring)（ここで逆元を使っている）
より、m=(-λ^-1λ1)・m1+・・・+(-λ^-1λn)・mn.とするのも鮮やかです。見事です

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A9%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%81%AE%E8%A3%9C%E9%A1%8C
ツォルンの補題
(抜粋)
命題 (Zorn の補題)
半順序集合Pは、その全ての鎖(つまり、全順序部分集合)がPに上界を持つとする。このとき、Pは少なくともひとつの極大元を持つ

ZF集合論において、ツォルンの補題は整列可能定理や選択公理と同値である
線型代数においては基底の存在を、
代数学においては全てのゼロでない環は極大イデアルを持ち、任意の体における代数的閉包の存在をそれぞれ証明する際に使われる

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 14:56:34.58

ジューコフスキー変換の逆変換をやってみようと思って、
ド・モアブルの定理で計算できないかなと試みたのですが、
ジューコフスキー変換で算出した座標に適用しても元の座標に戻りませんでした。
ジューコフスキー変換の逆変換について詳しく説明してるウェブなど、
何らかのアドバイスがあったらレスください。

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2020/08/27(木) 16:48:17.24

>>742 補足

”[ベクトル空間の基底]と[ハメル基底]の存在の証明”：下記、>>742の証明とほぼ同じ筋です
https://math-note.xyz/set-and-topological-space/set-theory/existence-of-basis/
あーるえぬ｜数学のあれこれ
[ベクトル空間の基底]と[ハメル基底]の存在の証明 2020/3/15
(抜粋)
Zorn(ツォルン)の補題は選択公理と同値な存在定理であり，Zornの補題を用いることで様々なものの存在を証明することができる．

例えば，この記事で扱う

ベクトル空間における基底
Hamel基底
の存在は両者ともZornの補題によって証明することができる．

なお，Hamal基底のイメージなどについては以下の記事でも説明しているので参照されたい．

目次
1 Zornの補題
2 基底の存在の証明
2.1 ベクトル空間の基底とその存在証明
2.2 Hamel基底とその存在証明
3 参考文献

ベクトル空間の基底とその存在証明
[証明]
Fを体，Vを{0}でないF上のベクトル空間とする．このVが基底をもつことを示す．
次をみたすVの部分集合Bの族をΒとする：任意の有限個のb1,...,bn∈Bに対して，b1,...,bnは線型独立である．

Step.1
Bが包含に関して極大元をもつことを示す．
集合族は包含関係に関して順序集合となることは，上の命題で示した．また，Vは{0}ではないから，v∈V＼{0}が存在する．
このとき，集合{v}からとれる有限個の元はvのみであり，vは線型独立だから，Βは空でない．
よって，あとはΒが帰納的であることを示せば，[Zornの補題]によりΒは包含に関して極大元をもつことが分かる．

Step.2
Βの包含に関する極大元がVの基底となることを背理法により示す．すなわち，Βの包含に関する任意の極大元をBとし，Bの有限個の元の線形結合で表せないv∈Vが存在するとして矛盾を導く．

Hamel基底とその存在証明

Hamel基底は体Q上のベクトル空間Rの基底ということができる．
なお，これを体論の言葉で書けば，R=Q(Β)ということになる．

[Zornの補題]を用いることによって，Hamel基底の存在が証明できるのである．
先に見た「ベクトル空間の基底の存在の証明」で, と見ることにより，同様に議論を進めることができる．
(引用終り)
以上

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2020/08/27(木) 17:13:02.11

>>743
>ジューコフスキー変換の逆変換をやってみようと思って、
>ド・モアブルの定理で計算できないかなと試みたのですが、

ジューコフスキー変換ね、懐かしいな
機械工学で、これ好きな人がいたな。昔、航空工学の理論だった。二次元の。いま、FEMとか数値計算で三次元ばりばりやれるから主流じゃないと思うけど
”逆変換”が、いまいち分からない。でも、下記などを参照して、自分で調べてみて
”複素数関数の等角写像”が、重要キーワードです。”ド・モアブルの定理”は、ちょっと違うと思う

（参考）
http://izumi-math.jp/M_Matumoto/Zhukovsky_ver2.pdf
北数教第 87 回数学教育実践研究会平成25 年11月30日
メビウス変換とジューコフスキー変換
複素変換を視覚化する松本睦郎（札幌北高等学校）
(抜粋)
ジューコフスキー（1847～1921）は、ロシアの航空技術者である。1910 年「航空機の翼の翼型の外
形線について」の論文の中で複素数関数の等角写像を利用した翼の揚力についての理論「クッタ・ジュ
ーコフスキー定理」を発表した。コンピュターもない時代に、どのような発想でこの理論を発見したのか、不思議に思える。
複素数平面で定義される代表的なメビウス変換とジューコフスキー変換を Mathematica で見てみよう。

https://monoist.atmarkit.co.jp/mn/articles/1602/05/news029_2.html
ジューコフスキー翼を作図してみる (2/4)
2016年02月05日
[伊藤孝宏，MONOist]

http://fnorio.com/0116two_dimensional_wing_theory0/two_dimensional_wing_theory0.html
二次元翼理論（等角写像とジューコフスキーの仮定）
(抜粋)
１．翼理論の芽生え
　大空へ飛翔することは人類の最大の夢でした。その実現には翼の持つ性質の理解が必須です。ここでは流体中を移動する翼が生み出す揚力のメカニズムを説明します。

https://hb3.seikyou.ne.jp/home/E-Yama/Fluid5.pdf
流体力学講話・つまみ食い（その５）
KENZOU
2008年 8 月 9 日
(抜粋)
5 回目は，任意の形状の物体が流体から受ける圧力やモーメントを求めるブラジウスの公式から揚力に関
するクッタ・ジューコフスキー定理，それから等角写像とその活用などを学びます。それでははじめます。
8 ジューコフスキー変換

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2020/08/27(木) 17:19:27.71

>>692
">>674の基底の定義は、有限次元の場合しか考えてない
>無限次元線形空間を扱うには、基底が無限集合となる場合も認めなければならない。"

追加
参考：「無限次元と有限次元、ハメル基底と正規直交基底とフーリエ級数論」
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%BA%E5%BA%95_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)
基底 (線型代数学)
(抜粋)
線型代数学における基底（basis）は、線型独立なベクトルから成る集合で、そのベクトルの（有限個の）線型結合として、与えられたベクトル空間の全てのベクトルを表すことができるものを言う。もう少し緩やかな言い方をすれば、基底は（基底ベクトルに決まった順番が与えられたものとして）「座標系」を定めるようなベクトルの集合である[1]。硬い表現で言うならば、基底とは線型独立な生成系のことである。

ベクトル空間に基底が与えられれば、その空間の元は必ず基底ベクトルの線型結合としてただ一通りに表すことができる。全てのベクトル空間は必ず基底を持つ（ただし、無限次元ベクトル空間に対しては、一般には選択公理が必要である）。また、一つのベクトル空間が有するどの基底も、必ず同じ決まった個数（濃度）のベクトルからなる。この決まった数を、そのベクトル空間の次元と呼ぶ。

定義

全域性
V のどんな元 x も、適当な a1, …, an ∈ F を選んで x = a1v1 + … + anvn が成り立つようにできる。
を何れも満足することを言う。最後の等式における係数 ai は基底 B に関する x の座標と呼ばれ、線型独立性により座標は一意的に定まることが分かる。

上記の条件を満たす整数nが存在するとき、その線形空間は有限次元であるという。そのようなnが存在しないときは無限次元であるという。無限次元線形空間を扱うには、上記定義を一般化して、基底が無限集合となる場合も認めなければならない。すなわち、（有限または無限の）部分集合 B ⊂ V が基底であるとは、

・任意の有限部分集合 B0 ⊆ B が既に述べた意味で線型独立性を持つ。

つづく

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2020/08/27(木) 17:20:37.12

>>746
つづき

各 x ∈ V に対して、適当な有限個のスカラー a1, …, an ∈ F とベクトル v1, …, vn ∈ B を選んで x = a1v1 + … + anvn と表すことができる（n は x ごとに違ってよい）。
の二条件を満たすことを言う。最後の式の和は必ず有限和であることに注意。

これは、代数的なベクトル空間の公理だけからは（適当な構造を追加しない限り）極限操作に関する議論が展開できず、無限和に意味を持たせることができないことによるものである。
無限和の場合を許した、別な種類の基底の概念が定義される場合については後述。

関連概念
解析学
無限次元の実または複素線型空間に関する文脈では、本項でいう意味での基底を表すのに、しばしばハメル基底（ゲオルク・ハメルに由来）や代数基底という用語が用いられる。
（ハメル基底は R の Q-基底を意味することもある。）
これは、付加的な構造を備えた無限次元線型空間における別の種類の「基底」の概念との区別のためである。
そのような基底の概念で極めて重要なものとしては、ヒルベルト空間上の正規直交基底やノルム線型空間上のシャウダー基底およびマルクシェヴィチ基底が挙げられる。

これらの基底概念に共通する特徴は、全体空間を生成するのに基底ベクトルの無限線型結合までを許すことである。これにはもちろん、無限和が意味を持つような空間（位相線型空間）を考えることが必要である。
位相線型空間は非常に広範なベクトル空間のクラスであり、例えばヒルベルト空間やバナッハ空間あるいはフレシェ空間といったものを含む。

無限次元空間に対してこれら異種の基底が優先されるのは、バナッハ空間においてはハメル基底は「大きすぎる」という事実によるものである。
即ち、X が完備な無限次元ノルム空間（つまりバナッハ空間）のとき、X の任意のハメル基底が非可算となることがベールの範疇定理から従う。
先の主張における完備性の仮定は無限次元の仮定同様に重要である。実際、有限次元空間は定義により有限な基底を持つし、また完備でない無限次元ノルム空間で可算なハメル基底を持つものが存在する。有限個の例外を除く全ての項が 0 となる実数列全体の成す空間 c00 にノルム ||x|| = supn|xn| を入れたものを考えると、その標準基底は可算ハメル基底になる。

つづく

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2020/08/27(木) 17:21:01.36

>>747
つづき

例
フーリエ級数論において、函数系 {1} ∪ {sin(nx), cos(nx) : n = 1, 2, 3, …}
・・を満たすという意味で当該函数系の「無限線型結合」として表される。
しかし殆どの自乗可積分函数はこれら基底函数の有限線型結合としては表すことができず、したがってこの「基底」はハメル基底には「ならない」。
この空間の任意のハメル基底は、この可算無限にすぎない「基底」よりもはるかに大きいのである（ハメル基底は連続の濃度をもつ[2]）。
この種の空間のハメル基底は典型的に有用でなく、一方でこれらの空間の正規直交基底はフーリエ解析において本質的である。
(引用終り)
以上

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2020/08/27(木) 17:45:33.08

>>747 補足
>（ハメル基底は R の Q-基底を意味することもある。）
>無限次元空間に対してこれら異種の基底が優先されるのは、バナッハ空間においてはハメル基底は「大きすぎる」という事実によるものである。

ハメル基底： R の Q-基底
これを使って説明すると、ハメル基底で、 Rは Q-基底の戦型空間として表すことができる
理論的にはね。でも、あんまり嬉しくない
ハメル基底を使って、具体的に何か言えるかというと、言えること殆どない

と同様に、関数空間のハメル基底の存在は言えても、”それ使えない”ってこと
で、フーリエ変換の基底の方が、役に立つってことです
ヒルベルト空間などもその例ですね

（参考）
https://trace.tennessee.edu/cgi/viewcontent.cgi?referer=https://www.google.com/&httpsredir=1&article=1431&context=utk_gradthes
University of Tennessee, Knoxville
A Note on Hamel Bases Masters Theses 12-2008
Jeremy S. Higdon

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
ベクトル空間
(抜粋)
ヒルベルト空間
抽象ヒルベルト空間においてどのような基本ベクトル族が、ヒルベルト空間 H を位相的に生成するに十分であるかをいうものである。ここで、位相的に生成する（あるいは単に生成する）とは、それらの位相的線型包と呼ばれる、線型包の閉包（即ち、有限線型結合およびその極限）が、全体空間に一致することである。そのような函数の集合は H の基底（あるいはヒルベルト基底）と呼ばれ、基底の濃度はヒルベルト空間 H の次元と呼ばれる[nb 12]。これらの定理は適当な基底函数族が近似の目的で十分性を示すことのみならず、シュミットの直交化法を用いて互いに直交するベクトルの族からなる基底が得られることも意味している[64]。そのような直交基底は、有限次元ユークリッド空間における座標軸をヒルベルト空間に対して一般化したものと考えることができる。
様々な微分方程式に対して、その解をヒルベルト空間の言葉で解釈することができる。

注釈
12^ ヒルベルト空間の基底というのは、既に述べた線型代数学的な意味での基底と同じものを意味しない。区別のためには、後者はハメル基底と呼ばれる。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 17:52:42.96

>>745
レスありがとうございます。

「ジューコフスキー翼を作図してみる」と
「流体力学講話・つまみ食い（その５）」については
ジューコフスキー変換のみの説明みたいですね。

「メビウス変換とジューコフスキー変換」については
複素数の関係を示す逆変換の式は載ってますが、
実部と虚部の成分を求める式が載っていないません。

「二次元翼理論（等角写像とジューコフスキーの仮定）」については
結果がどうやら僕と同じようなので、
おそらくド・モアブルの定理をあてはめて解いた式じゃないかと思います。

漠然とした質問で対応しにくかったですね。
明日にでも質問内容をもう少し詳しく説明したyoutube動画でもアップして、
僕の計算ミスの可能性とかもあるかもしれないので、
許可したGoogleアカウントが閲覧できるGoogleスプレッドシートでも作っててみて、
再度質問してみようと思います。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 19:20:56.04

>>736
>これ読んだ。疑問氷解！

しかし鉄は融かせなかった、と

---
https://planetmath.org/ringswhoseeverymoduleisfree
「全ての左R加群が自由ならば、Rは可除環」
（,,⇐” 以降の箇所）

証明（和訳つき）　

Assume now that every left R-module is free.
今、全ての左R加群が自由だと仮定せよ。

In particular every left R-module is projective,
特に、全ての左加群は射影的である。

thus R is semisimple and therefore R is Noetherian.
したがって、Rは半単純であり、ネーター環である。

This implies that R has invariant basis number.
このことから、Rは不変基底数を持つ。

Let I⊆R be a nontrivial left ideal.
Rの部分集合Iを自明でない左イデアルとする。

Thus I is a R-module, so it is free and since all modules are projective (because they are free), then I is direct summand of R.
したがって、IはR加群であり、自由であり、射影的であるからIはRの直和である。

If I is proper, then we have a decomposition of a R-module　
もし、Iが真のイデアル（=Rと｛0｝以外のイデアル）ならば、以下のR加群の直和分割を持つ。

R≃I⊕I',

but rank of R is 1 and rank of I⊕I' is at least 2.
しかし、Rのランクは１で、I⊕I'のランクは少なくとも２である。

Contradiction,because R has invariant basis number.
矛盾、なぜならRが不変基底数をもつから。

Thus the only left ideals in R are 0 and R.
したがって、Rの左イデアルは、0とRしかない。
---

君、ここを全部すっとぱしたね。

違うというなら、
「射影的」「半単純」「ネーター環」「不変基底数（IBN)」
の定義を正確に書き切った上で

自由加群⇒射影的
射影的⇒半単純＆ネーター環
半単純環、ネーター環⇒不変基底数（IBN)を持つ

を証明してごらん。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 19:33:20.02

>>743
>ジューコフスキー変換の逆変換

ジューコフスキー変換って以下だろ？
w=z+1/z

両辺にzを書ける
wz=z^2+1

右辺に移項する
0=z^2-wz+1

解の公式を使う
z=(w±√（w^2-4))/2

これで終わりだろ

>ド・モアブルの定理で計算できないか
ド・モアブル？ああ、複素数の２乗と√の計算のことか
どういう計算やってるんだ？どうせミスってるんだろ
真面目にチェックしないとミスは見つからないぞ

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 19:38:17.11

>>750
まず計算式書け

確実に計算ミスだから

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 19:40:48.72

>>752
ド・モアブルの定理は公式だけ見つけて使えそうかなと思って計算してみたけど
前提条件とかちゃんを理解してるわけじゃないかな。

明日もうちょっと確認可能な物をネット上にアップしてみるよ。
確かに、疲れてるとか自分で正しいと思い込んでしまってて
間違いに気づかないとかはたまにあるからね。
明日アップする資料作りながら気づくとかもあるかもしれないし。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 19:47:24.17

>>753
5ちゃんねるでローカルにある画像を貼り付けることができるなら簡単にできるけど、
数式入力ができないテキスト表示だと結局そこで間違うかもしれんし。

もし5ちゃんねるでローカルにある画像を貼り付ける方法があるなら、それ教えて。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 19:49:11.98

>>754
別に責めてないよ　ミスは誰にもある
大事なのは自分でミスを見つけられるようになること

難しい話ではないから分かればどうってことない筈

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 19:51:25.10

>>755
画像に頼るなって　全部文字で書ける
そうでなければExcelで計算できるわけないだろ

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 19:58:31.39

＞z=(w±√（w^2-4))/2

ここまで分かればもう計算可能だな
まあ大阪大はもとより大阪工業大学すら受からん学歴詐称野郎の
◆yH25M02vWFhPには絶対無理だろうがな（煽りまくり）

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 20:02:24.85

>>757
テキスト表示するためFORTRANやBASICの記述で書いて
そこで、間違ってしまったら意味がないのでもう少しきちんとした資料を作ってみます。
僕がやったやり方はそれほど難解というわけではありませんが、
複素平面を逆変換するので　>>752　に書かれてるような簡単な式ではありません。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 20:05:46.08

複素平面　→　複素平面の実部と虚部の値

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 20:24:35.38

>>759
まず、EXCELでやってごらんよ

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 20:31:26.54

>>761
まずエクセルでやった結果です。
セル参照を含んだ式では、ここに書いてもかちんぷんかんプンになりそうだし。
FORTRANやVBやCで組んだプログラムならコピペするだけで済むんですが、
エクセルで失敗してるものをプログラムする気にはなれません。

明日辺りGoogleスプレッドシートに移植しようかなと思ってます。
それなら10～20分の作業でネットにアップできそうだし。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 20:39:58.81

√(a+bi)の計算の仕方

a+bi＝r((a/r)+(b/r)i)　(r=√(a^2+b^2))

√(a+bi)=√r(√((r+a)/2r)+√((r-a)/2r)i　(半角公式を使う)

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 20:44:26.99

>>762
EXCELでやるなら、セルに一気に最終計算の式を入れる馬鹿な真似は絶対するなよ
デバッグできないだろ？デバッグ第一で考えるんなら、ステップ毎に計算すること
各ステップについて検算してミスがないことを確かめられるようにしないと
バグは見つけられないから　そんなの基本中の基本だけどな

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 20:57:40.86

>>763
半角公式はド・モアブルの定理の一部だったはすだと思うので、
同じ結果になるんじゃないかと思いますが、
式に三角関数が入ってないのはよく覚えがないですね。
まあ、明日にでも資料作りながらそこに書かれてる式も試してみます。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 21:06:09.44

>>764
エクセルでするにしろプログラムを組むことを前提に、解法に従って代入していきます。
>>745　の「二次元翼理論（等角写像とジューコフスキーの仮定）」にある式を試す時は、
一つのセルにその式をそのまま記入しましたが。

2次元の弾性問題を解く有限要素法プログラムを組む前に
一桁程度の要素数の問題をエクセルで解いてプログラムを検証したこともあるので、
余り初心者に向けるような気づかいは無用だと思います。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 21:11:54.66

>>765
複素数の平方根の計算でド・モアブルを使うんなら
一旦、逆三角関数で角度を出して
それを半分にして三角関数で戻すんだろ？

でもそんなまだるっこしいことしなくても、
実数の平方根だけで求まるというのが半角公式

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 21:15:07.30

>>766
まず自分が初心者だと自覚したほうがいいんじゃね？

自惚れは自分を殺すよ

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2020/08/27(木) 21:16:33.16

>>765
どうも

>半角公式はド・モアブルの定理の一部だったはすだと思うので、

ド・モアブルの定理って、下記？外してるよ、それ
複素関数論は、分からない？　等角写像が、キーワードだよ

その感じだと、下記の”ＦＮの高校物理(分野別目次) 二次元翼理論（等角写像とジューコフスキーの仮定）”をまず読んでみて
ゆとり前の高校卒以上なら読めるでしょ
大学レベルだと、その後の中央大学とか工学院大学とかの該当部分な

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%89%E3%83%BB%E3%83%A2%E3%82%A2%E3%83%96%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
ド・モアブルの定理
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%96%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%83%A0%E3%83%BB%E3%83%89%E3%83%BB%E3%83%A2%E3%82%A2%E3%83%96%E3%83%AB
アブラーム・ド・モアブル
(抜粋)
アブラーム・ド・モアブル（Abraham de Moivre, 1667年5月26日 - 1754年11月27日）はフランスの数学者である。
https://en.wikipedia.org/wiki/De_Moivre%27s_formula
De Moivre's formula
https://encyclopediaofmath.org/index.php?title=De_Moivre_formula
De Moivre formula Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
The formula was found by A. de Moivre (1707), its modern notation was suggested by L. Euler (1748).

つづく

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2020/08/27(木) 21:17:16.55

>>769
つづき

http://fnorio.com/index.htm
ＦＮの高校物理(分野別目次)
http://fnorio.com/0116two_dimensional_wing_theory0/two_dimensional_wing_theory0.html
二次元翼理論（等角写像とジューコフスキーの仮定）
ＨＯＭＥ　　１．芽生え　　２．循環　　３．円柱周りの流れ　　４．Kutta-Zhukovskijの定理　　５．等角写像　　６．流れの写像　　７．二次元翼理論（１）Zhukovskijの仮定（２）平板翼（３）円弧翼（４）Zhukovskij翼（５）厚翼（６）データ　　８．文献

https://www.phys.chuo-u.ac.jp/labs/nakano/hydrod.html
中央大学理工学研究科物理学専攻中野研究室
２０１１年度流体物理学講義ノート
1. 質量、運動量、エネルギーの保存則
2. 速度場の空間変化
3. 渦度場
4. ３次元ポテンシャル流れ
5. ２次元渦なし流
6. 等角写像
7. ２次元の渦運動
8. ナヴィエ＝ストークス方程式
https://www.phys.chuo-u.ac.jp/labs/nakano/hydrod/sec6(2011).pdf
２０１１年度流体物理学講義ノート中野研究室中央大
6 等角写像
6.1 ２次元での座標変換
6.2 ジューコフスキー変換

http://fluid.mech.kogakuin.ac.jp/Lectures/nagare3/nagare3.html
「流れ学III」講義ノート
流れ学IIIを担当している飯田雅宣先生の講義ノートをPDF形式で配布いたします。工学院大学
http://fluid.mech.kogakuin.ac.jp/Lectures/nagare3/nagare3v7.pdf
2006年度版　Dwonload(4,972,544バイト) 飯田雅宣先生工学院大学

(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 21:26:20.83

>>769　>>770
「二次元翼理論（等角写像とジューコフスキーの仮定）」にある式は
同じ結果になることを既に確認済みです。
何らかの間違いをしてたなら、明日辺り資料作りしてる時に気付くかもしれませんが。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 21:28:57.13

>>769
＞ド・モアブルの定理って、下記？外してるよ、それ

なんだこの馬鹿、複素数もわかってねぇのか（ｗ

√(cosΘ+sinΘi)＝(cos(Θ/2)+sin(Θ/2)i)　ってことだろが（ｗ

ここで、愚直なやり方は
・まず逆三角関数で角度Θを求める
・２で割る
・角度Θ/2で三角関数を適用して戻す

しかし、そんなことしなくても半角公式で
cos(Θ/2)=√((1+cosΘ)/2)
sin(Θ/2)=√((1-cosΘ)/2)
で計算できちゃう

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 21:29:23.06

>>768
初心者が有限要素法をエクセルで計算できるとでも？
まあ、逆関数を求めるときはさすがにマクロVBA使ったと思うけど。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 21:29:50.99

逆関数　→　逆行列

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 21:33:39.38

>>772
そこまで簡単だと言い張るなら、
2つの複素平面の実部と虚部の関係式を示して見せてよ。
下品な言葉で相手を誹謗するならそのくらいは示して。
その言葉、結局自分に返ってきてるよ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 21:34:14.08

>>773
君は、数学（複素数！）の初心者、もしくは、プログラミングの初心者、だといっている

まず、複素数の基本的計算（おそらく平方根）をミスってる可能性大

そして、そのミスを自分で見つけるデバッグ能力がない

これ、熟練者なら絶対あり得ないことだから

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 21:36:15.82

曖昧なことをグダグダ言って、結局何もまともに説明できない
邪馬台国畿内説者と同等レベルのやつだったか。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 21:37:53.45

>>775
＞2つの複素平面の実部と虚部の関係式を示して見せてよ。

え？
z=(w±√（w^2-4))/2　まで分かってて関係式が求められないの？
大学どこよ？

平行根の式は示してやったぞ
あとは四則演算だから馬鹿でも計算できるだろ？
甘ったれんなよ

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 21:38:48.47

>>776
>>775　読め。
今後、高卒未満レベルと思われるレスは無視するから。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 21:40:12.79

>>777
＞曖昧なことをグダグダ言って

おまえ、ほんとどこの大学よ？複素数知らないのかよ？
もっとも明確に平方根の式を示してやったのに計算すらできねぇのかよ？

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 21:42:12.02

>>779
複素数の平方根の計算式すら自分で求められないとか、貴様、白痴かよ（嘲

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 21:42:22.20

結局、複素数をちゃんと理解できてないやつだったか。
恥ずかしげもなく書き続けられるな。
このスレ、僕以外は理系の高卒未満レベルしか読んでないと思ってるんだろうな。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 21:46:32.30

>>782
＞結局、複素数をちゃんと理解できてないやつだったか。

それ、貴様自身だろ

＞このスレ、僕以外は理系の高卒未満レベルしか読んでないと思ってるんだろうな。

少なくとも、貴様が高校生レベルの複素数を理解してるとは思えん

もし、理解してるなら自分でバグが見つけられる筈

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 21:48:08.40

>>775　を読め。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 21:50:05.45

>>784
なに駄々こねてんだ？おまえ大学出てねぇの？

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 21:55:45.45

ジューコフスキー変換はz=ζ+a**2/ζだからジューコフスキー翼すぐに書けるよねって言ってるレベルだよな。
複素平面を理解できてる奴なら　>>743　読んだ時点でそんな話じゃないことすぐわかるはずだからな。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 21:58:25.58

>>769
＞複素関数論は、分からない？　等角写像が、キーワードだよ
全然見当違いだな

単に角度が「対数」であるという程度の話
しかしｎ乗根を求めるんならともかく、
平方根程度ならそこまで大袈裟に考える必要もない

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 22:04:59.50

>>786

>>743読んだ時点で、
「ああ、複素数の平方根求めるのに苦悶してるな」
と即座に分かったよ

でも、その程度のこと、他人から教わったら感動がないじゃん
自分で見つけないと、身につかないよ　高校レベルのことだし

ま、工業高校卒とかで、とにかくバカチョンで使える方法を教えて、と
土下座して頼まれたら、教えてあげるけどさ

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 22:07:53.90

>>788
もう一回だけ相手したるわ。
>>775　を読め。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 22:09:06.95

おれは>>763で複素数の平方根の求め方を教えてやったよ
いくらなんでも複素数の四則演算は知ってるよな？
だったらもう答えは求まるじゃん

あのさ、一から十まで他人から教わって楽しい？そんなのつまんないだろ？

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 22:10:44.36

結局逃げ回るんやな。
曖昧なことをグダグダ言って、結局何もまともに説明できない
邪馬台国畿内説者と同等レベル。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 22:12:47.43

>>789
悪いけど、バカチョンの答えは教えないよ

だいたいさあ、>>763はもう核心じゃん
これが分ればもうあとは考えることないじゃん
どこまで甘ったれてんのよ

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 22:14:49.42

僕が書いてる情報からいろいろ調べて多少自分で理解したつもりなんだろうけど、
結局複素平面をちゃんと理解できてないことは、>>743　を読んで、
それに対して書いたことから判明済み。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 22:15:42.24

>>791
マジで複素数の計算できないの？（呆）
>>763なんて全然曖昧なことないじゃん
計算して確かめられるだろ？間違ってたら教えてくれ

邪馬台国とかどうでもええよ　オレの男系祖先、縄文人だし

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 22:19:48.34

>>793
いや、理解してないのは君

ジューコフスキー変換の式から逆変換の式求めるのなんか簡単だし
それを実二変数の式に変換するのだって全然難しくない

しかもあんたが苦悶した複素数の平方根の計算法を
まったく曖昧さなしに>>763で書ききってみせてやったんだぜ

有難く思えよ　別に礼も金も要らねえ　こんなクソ仕事ｗ

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 22:23:44.32

うざ。
ド・モアブルの定理さえわかってたら、
半角の公式も倍角の公式も覚えたり、調べたりする必要ないだけやのに、
こんな数学わかってないような奴が、えらそうなこと言いまくってて恥ずかしないんやな。
僕以外のスレの読者が理系高卒未満と割り切ってるか、
理系高卒レベルに達してないか、
それとも僕以外にスレの読者がないと思ってるかのどれかやな。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 22:26:17.03

テイラー展開とかも高校数学でその一部が紹介されてるけど、
テイラー展開なんて必要ないんだよとか言いそう。
労力は一緒なのに。
１つにまとまってるか、いくつもの公式を使うかの違い。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 22:29:46.95

>>796
＞ド・モアブルの定理さえわかってたら

おまえ、ド・モアブル好きだなｗ

平方根だけで済むんなら三角関数とか逆三角関数とか使わないほうがいいだろｗ

どうでもええけど、お前高卒？

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 22:31:39.01

複雑さが変わらないのがまだわかってないんだろうな。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 22:34:45.27

>>797　>>799
なんか妄想の世界に浸ってるみたいだな

高卒の馬鹿の妄想は理解不能ｗ

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 22:49:24.79

こいつ自分で書いててほんまにわかってないんやな。
√(cosΘ+sinΘi)＝(cos(Θ/2)+sin(Θ/2)i)

Θ=tan-1 (sinΘ/cosΘ)

ほれ、これで満足か？どこ計算違いしてるんや？

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/27(木) 22:50:39.87

Θ=tan-1 (sinΘ/cosΘ)　→　Θ=arctan (sinΘ/cosΘ)