純粋・応用数学（含むガロア理論）3

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/19(日) 22:51:08.91

クレレ誌：
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%83%AC%E8%AA%8C
クレレ誌はアカデミーの紀要ではない最初の主要な数学学術誌の一つである（Neuenschwander 1994, p. 1533）。ニールス・アーベル、ゲオルク・カントール、ゴットホルト・アイゼンシュタインらの研究を含む著名な論文を掲載してきた。
(引用終り)

そこで
現代の純粋・応用数学（含むガロア理論）を目指して
新スレを立てる（＾＾；

＜過去スレ＞
・純粋・応用数学（含むガロア理論）2
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592578498/
・純粋・応用数学
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582599485/
＜関連過去スレ（含むガロア理論）＞
・現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む84
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582200067/
・現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む83
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/
＜関連姉妹スレ＞
・Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 48
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592119272/
・IUTを読むための用語集資料集スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/
・現代数学の系譜カントル超限集合論他 3
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2020/08/15(土) 17:41:47.43

>>311 トリビア蛇足

花木章秀信州大より
モノイドの場合
gz・f = idS （単位元）
f・gz ≠ idS （解答記載の通り）

１）まず
A は写像の合成を演算としてモノイドで、恒等写像 idS を単位元とする
f ∈ A を f(a) = a + 1
z ∈ N に対して gz ∈ A を
gz(a)
=a - 1 (a >= 2)
　or
=z (a = 1)
で定めている

２）22の解答にある「h が f の右逆元であるとすると fh = f ・ h = idS である。しかし f は全射ではないので、これは矛盾である。よって f は右逆元をもたない」
　これ、分かる人には分かるが、まず、恒等写像 idS ：N→Nでは、1を1に、2は2に・・・と写す恒等写像で、”全単射”です。これ言われてみれば自明

３）さて、f(a) = a + 1は、何をしているかというと、f：N→N+1に移す
　ここで、Nは1から始まる自然数を考えていて、N+1には、1は含まれないので、全射ではない
　gz(a) =a - 1 (a >= 2) or =z (a = 1) 、これは何をしているかというと、gz：N+1→Nなのです（但し、N+1には、a = 1は含まれていない）
　つまり、gzは、N+1→Nで、N+1をNに引き戻すことができます
　（なお、gz：N→Nの場合には、Nには、a = 1が含まれるので、gz：1→z となって、zのところがダブりで、単射性が崩れている写像です

４）で、上記２）で、ある写像ｈ：N→N（Nの部分集合の場合もあり）があって、その像はN全体かNの部分集合かです。そのいずれにせよ、 f は全射ではない。写像の合成fhも全射にはならない。よって、合成fhは恒等写像 idSではない！

５）同じ論法で、>>311の「k が gz の左逆元であるとすると kgz = k ・ gz = idS である。しかし gz は単射ではないので、これは矛盾である」も言える

６）花木解答に記載の「gz・f = idS」は、上記３）で述べた通りです
　f・gzはどうかと言えば、gz：N→Nでzのところがダブりですが、像はNそのものなのです。そして、f：N→N+1で、その像は 1 は集合N+1に含まれないので、「f・gz ≠ idS」という花木解答です

トリビア蛇足でした
これは、自分では思いつかないね
（実際、gz・f = idS → f・gz ＝ idS が証明できないかを（モノイドなどにおいて）考えてみたが、出来なかった。反例があるんだね。思いつかなかったな）
（＾＾；

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2020/08/16(日) 06:45:48.04

>>311 トリビア蛇足の追加

>花木章秀信州大問題 22
>すぐに分かるように gzf = idS が成り立ち、よって gz は f の左逆元、f は gz の右逆元である。
>これによって左 (右) 逆元は、存在しても一意的ではないことも分かる。

"gz(a)
=a - 1 (a >= 2)
or
=z (a = 1)
で定める"

で、”=z (a = 1)”で、変数zを導入しています
つまり、zは、自然数であれば、なんでも良いわけです
なので、これが「一意的ではないことも分かる」に、つながります

そして、gz(a)は、群の元には成れない
f(a)も、群の元には成れない

この例は、秀逸ですね
覚えておくと良いと思います
ちょっと自慢できそう