>>75
>式⑩は無条件に成り立つ式ではないというのは間違っています。

論文中⑩を導出している前の方をにいろいろ仮定しています。
＞奇数の完全数を y、そのうち一つの素因数を p、p の指数を整数 n(n ≧ 1)、p 以外の素
＞因数を𝑝1,𝑝2,𝑝3,…𝑝𝑟とし、𝑝𝑘の指数を𝑞𝑘、素数 p 以外の積の組み合わせの合計を a とす
＞る

明示してませんが、この文章ですでに”∃y ∃p …”と仮定してますね。
あと場合わけの仮定

＞Ⅰ. pr = (p + 1)/2のとき

これも仮定です。
あなたが式⑩に到達した議論までで示されたのはキチンと論理式でかけば

∃y A B p
yは奇数の完全数,pは素数でv_p(y) = 4m+1　…(A)
2y = 2p^(4m+1)B = (1+p+…+p^(4m+1))A　…(B)
qr = v_pr(B) 　…(C)
cr = v_pr(A)　…(D)
p = 2pr -1　…(E)
⇒∃w 2m+1 = wpr^(qr-cr-1)　…(F)

です。

＞bの形から全てのkに対して式⑩が
＞成り立たなければならないのは自明ではないのでしょうか？

これは既に指摘したとおり許されない論理です。
式の形だけですべてのkについて成り立つなどという論法は数学の世界には存在しません。
すべてのkに対して⑩が成立することを示すにはすべてのkに対して⑩を導出した仮定、すなわち前述(A)～(E)の成立を証明しなければなりません。