現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/10/30(日) 14:06:40.31

**１３２人目の素数さん** · 2016/11/25(金) 21:19:36.12

ガロアは、ある多項式を不変にする置換の集合を、今日にいう群、と考えたんだと思う。そう定義すれば、「ガロアを読む」の119ページあたりの証明は簡潔にできる。なぜなら、原始元の多項式の既約因子そのものが、その多項式になるから。これは、ちょっとした発見だ。

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**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/25(金) 23:23:27.39

>>432-434
おっちゃん、どうも。スレ主です。
運転ご苦労さまです
安全運転でお願いします。（＾＾

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/25(金) 23:31:27.82

>>406-409
ID:rkO54fhGさん、あんた結局、極限と数列の収束を混同していたか、勘違いしていたと
それが落ちかな？

有限数列列かなにか知らないが
話が有限なら、なんだって定義できるし、無問題。どこにも矛盾はおきないだろう
話が可算無限とかなるから、話を慎重にしないといけない

時枝も言っているように、”(2)有限の極限として間接に扱う”>>399べきだと

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/25(金) 23:56:45.24

>>370
補足しておく

任意の偶数∈N（=自然数の集合）
これは良いだろ

任意の偶数は、しばしば2nと書かれる。だから
集合{1,2,・・・,n,n+1,n+2,・・・,2n}⊂N（=自然数の集合）

これも良いだろう
そこで2n＋2として

集合{1,2,・・・,n,n+1,n+2,・・・,2n,2n+1,2n+2}⊂N（=自然数の集合）
　　↓↑(全単射)
集合{A1,A2,・・・・,An,Ae, B1,B2,・・・・,Bn,Be}
が成り立つ

極限をとっても
集合{1,2,・・・,n,n+1,n+2,・・・,2n,2n+1,2n+2}⊂N（=自然数の集合）

lim n→∞ 集合{1,2,・・・,n,n+1,n+2,・・・,2n,2n+1,2n+2}⊂N（=自然数の集合）
が成り立つ

上記の”↓↑(全単射)”は、極限 lim n→∞でも成り立つことは明白

まさか、
lim n→∞ 集合{1,2,・・・,n,n+1,n+2,・・・,2n,2n+1,2n+2}⊂2N（N=自然数の集合）
とか
lim n→∞ 集合{1,2,・・・,n,n+1,n+2,・・・,2n,2n+1,2n+2}⊂2N+2（N=自然数の集合）
などという人はいまい（＾＾；

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/26(土) 00:03:24.25

>>406-409 補足
ID:rkO54fhGさん、あんたの話は、ヒルベルト空間と比較すると、よく分かるように思う
まあ、ヒルベルト空間は、正直私もあまり分かっていない
￥さん辺りには、「こいつ分かってない」とお見通しだろうが、まあ書いておくか（＾＾；

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93
ヒルベルト空間
(抜粋)
数学におけるヒルベルト空間（ヒルベルトくうかん、英: Hilbert space）は、ダフィット・ヒルベルトにその名を因む、ユークリッド空間の概念を一般化したものである。
これにより、二次元のユークリッド平面や三次元のユークリッド空間における線型代数学や微分積分学の方法論を、任意の有限または無限次元の空間へ拡張して持ち込むことができる。
ヒルベルト空間は、内積の構造を備えた抽象ベクトル空間（内積空間）になっており、そこでは角度や長さを測るということが可能である。
ヒルベルト空間は、さらに完備距離空間の構造を備えている（極限が十分に存在することが保証されている）ので、その中で微分積分学がきちんと展開できる。

ヒルベルト空間は、典型的には無限次元の関数空間として、数学、物理学、工学などの各所に自然に現れる。
そういった意味でのヒルベルト空間の研究は、20世紀冒頭10年の間にヒルベルト、シュミット、リースらによって始められた。
ヒルベルト空間の概念は、偏微分方程式論、量子力学、フーリエ解析（信号処理や熱伝導などへの応用も含む）、熱力学の研究の数学的基礎を成すエルゴード理論などの理論において欠くべからざる道具になっている。
これら種々の応用の多くの根底にある抽象概念を「ヒルベルト空間」と名付けたのは、フォン・ノイマンである。ヒルベルト空間を用いる方法の成功は、関数解析学の実りある時代のさきがけとなった。
古典的なユークリッド空間はさておき、ヒルベルト空間の例としては、自乗可積分関数の空間 L2、自乗総和可能数列の空間 ?2、超関数からなるソボレフ空間 Hs、正則関数の成すハーディ空間 H2 などが挙げられる。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2016/11/26(土) 00:04:05.69

>>447
＞有限数列列かなにか知らないが
↓はお前のレスだろが
＞Yes！有限数列を項とする列の極限を考えるのは数学の基本だろ？（>>399）

自分で「有限数列を項とする列」を持ち出し（>>377）ておきながら、どの口がほざいてんだ？
お前脳持ってる？どっかそこらへんに落としてきたんじゃないか？

＞話が可算無限とかなるから、話を慎重にしないといけない
一番有限と無限の区別がついてないのがお前（これは少なくともほとんどの住人の共通認識）
だから数列の連結などというアホなことを口走る（しかも未だにわかってない）

**１３２人目の素数さん** · 2016/11/26(土) 00:06:27.74

しかもこのアホは俺がさんざん噛み砕いてもうほとんど答えを出してやってるも同然
なのに、それすら理解できていない
知恵遅れとの会話は疲れる

**１３２人目の素数さん** · 2016/11/26(土) 00:11:33.45

アホは勉強の一つもせずに、またコピペと独自解釈に明け暮れている
だから永遠にアホのまま

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/26(土) 00:13:28.04

>>450

ああ、そうだね
あんまり考えずに、乗せられてコピペしちまったな～（＾＾；

>>399訂正するわ

（訂正）
Yes！有限数列を項とする列の極限を考えるのは数学の基本だろ？
　↓
Yes！有限数列の極限を考えるのは数学の基本だろ？
（訂正おわり）

ことろで、聞くがコピペ元>>398の”つまり有限数列を項とする列の極限を考えていると？”の「有限数列を項とする列の極限」てどういう意味だ？
説明頼むよ。発言元はおまえだろ？（＾＾；

**１３２人目の素数さん** · 2016/11/26(土) 00:15:13.43

>>447
＞ID:rkO54fhGさん、あんた結局、極限と数列の収束を混同していたか、勘違いしていたと
＞それが落ちかな？

え？なに？　極限が∞の数列は収束しないと言いたいの？　へーすごいね

　　そ　　　　　　れ　　　　　　で　　　　　　？

**１３２人目の素数さん** · 2016/11/26(土) 00:17:02.83

>>453
＞Yes！有限数列の極限を考えるのは数学の基本だろ？
「有限数列の極限」とやらを定義せよ
話はそれからだよアホ

**１３２人目の素数さん** · 2016/11/26(土) 00:18:17.07

ていうかさ、お前壊滅的に数列をわかってないよ
大学一年生が一学期に習う数列を

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/26(土) 00:19:17.96

>>449 つづき

定義

H がヒルベルト空間であるとは、H は実または複素内積空間であって、さらに内積によって誘導される距離関数に関して完備距離空間をなすことを言う[2]。ここで、H が複素内積空間であるというのは、H は複素線型空間であって、その上に内積、即ち H の元の対 x, y に複素数 ?x,y? を対応させる写像であって、条件

１．?y,x? は ?x,y? の複素共役である：
　 ? y , x ? = ? x , y ? ￣ ..
２．?x,y? は第一引数に関して線型である[3]：任意の複素数 a, b に対して
　 ? a x 1 + b x 2 , y ? = a ? x 1 , y ? + b ? x 2 , y ?
３．内積 ??, ?? は正定値である：
　 ? x , x ? ? 0
　かつ等号成立は x = 0 と同値。

を満たすものが存在することをいう。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2016/11/26(土) 00:21:10.16

＞「有限数列の極限」とやらを定義せよ
案1　そんなの難しくない。当たり前のことだよ。
案2　こんな板じゃ数式は書けない。
どちらでもお好きな方で

**１３２人目の素数さん** · 2016/11/26(土) 00:22:59.82

定義の無い数学などあり得ない、馬鹿はそれがわかっていない
そして自分のバカを板のせいにする

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/26(土) 00:27:43.42

>>457
ありゃ、文字化けしたか。不便な板だな（＾＾；
複素共役の上バーもだめかね
これでどうだ

（再掲）
?>>449 つづき

定義

H がヒルベルト空間であるとは、H は実または複素内積空間であって、さらに内積によって誘導される距離関数に関して完備距離空間をなすことを言う[2]。ここで、H が複素内積空間であるというのは、H は複素線型空間であって、その上に内積、即ち H の元の対 x, y に複素数 <x,y> を対応させる写像であって、条件

１．<y,x> は <x,y> の複素共役である：
　 < y , x > = 共役（< x , y > ）
２．<x,y> は第一引数に関して線型である[3]：任意の複素数 a, b に対して
　 < a x 1 + b x 2 , y > = a < x 1 , y > + b < x 2 , y >
３．内積 <・, ・> は正定値である：
　 < x , x > ? 0
　かつ等号成立は x = 0 と同値。

を満たすものが存在することをいう。

つづく

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/26(土) 00:36:09.67

>>460 つづき

数列空間の場合

自乗総和可能な複素数列の空間 ?2 とは、各項が複素数の無限数列

( c 1 , c 2 , c 3 , ・・・ )

で、条件

| c 1 |^2 + | c 2 |^2 + | c 3 |^2 + ・・・ < ∞

を満たすもの全体からなる集合（に、項ごとの和、スカラー倍、標準内積を入れたもの）である。この空間には標準的な正規直交基底

e 1 = ( 1 , 0 , 0 , ・・・ ) e 2 = ( 0 , 1 , 0 , ・・・ )

が存在する。

このようにすると、この和が有限であるところの L^2(B) の各元は、可算個の例外を除いた全ての項が 0 になることがわかる。

と内積を定めれば、この空間は実際にヒルベルト空間となる。右辺の和は、0 でない項が高々可算個しかないから意味を持ち、またコーシー・シュヴァルツの不等式によって無条件収束であることがわかる。

(引用終り)

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/26(土) 00:44:54.34

>>461　補足
おっと、肝心なところの引用が抜けた

＜補足＞

定義（追加）

このようにして定義される距離関数に関して、任意の内積空間は距離空間となる。内積空間のことを前ヒルベルト空間 (pre-Hilbert space) と呼ぶこともある[4]。距離空間として完備であるような任意の前ヒルベルト空間は、ヒルベルト空間になる。
完備性は、H 内の列に対するコーシーの判定法（英語版）の形で表すことができる。即ち、前ヒルベルト空間 H が完備となるのは、任意のコーシー列がノルムに関する意味で H 内の元に収束することである。完備性は、次のような条件

ベクトル項級数 k = 0～ ∞ Σ uk が
k = 0～ ∞ Σ｜ u k ｜ < ∞
なる意味で絶対収束するならば、もとの級数は（部分和が H の元に収束するという意味で） H において収束する。

によっても特徴付けることができる。

完備なノルム空間であるという点で、定義によりヒルベルト空間はバナッハ空間でもある。これらは位相線型空間であり、開集合や閉集合といった位相的概念を定めることができる。特に重要になるのが、ヒルベルト空間の閉部分空間の概念である。
完備距離空間の閉部分集合は（そこへ距離を制限すれば）それ自身完備距離空間となるから、ヒルベルト空間の閉部分空間は（そこへ内積を制限するとき）それ自身ヒルベルト空間をなす。

(引用終り)

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/26(土) 00:50:46.04

>>462

引用した現代数学の典型的な無限次元ベクトル空間であるヒルベルト空間と、時枝記事の実数列の集合 R^Nとを対比すれば明らかと思うが
時枝記事の実数列の集合 R^Nでは、収束は保証されていないし
距離も定義されていない

いいか、ヒルベルト空間では収束が求められる
しかし、時枝記事の数列はそうではないよ
ここはしっかり押さえておくべき

**１３２人目の素数さん** · 2016/11/26(土) 01:56:54.40

>>463
完全代表系を一組用意すればR^Nの任意の数列はある自然数n'が存在して n > n' の時に
ある代表元のn番目以降の項と全て一致する

上のことを使えば数当て戦略が成立するということが時枝記事の内容

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/26(土) 08:43:12.36

>>464
そうだね

だから
（命題A）
（可算無限個の箱の数列で）
完全代表系を一組用意すればR^Nの任意の数列はある自然数n'が存在して n > n' の時に
ある代表元のn番目以降の項と全て一致する
　↓
（命題B）
＜時枝記事の内容＞
ある箱の中の数を、99/100の確率で当てられる

だな

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/26(土) 08:44:45.26

>>465 つづき

横に書けば
（命題A）→（命題B）

ところで
・（命題A）宝くじが当たって１億円 →（命題B）大金持ちになって、東京都内のマンションか一戸建てを持てる

という命題を考えてみよう
まず、命題Aが問題となる。”東京都内のマンションか一戸建て”で、１億円以下の物件があれば、命題全体としては真だ。
が、”宝くじが当たって１億円”が、多くの人には不成立。だから、例えば、私の場合に限れば、不成立。そもそも、宝くじを買わないし（＾＾；

さて、時枝に戻って、（命題A）の「完全代表系を一組用意すれば」を問題にしてみよう
時枝記事 >>114 で”念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致するなら，sとs"は2015番目から先一致する.
～は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.”

ここで細かく見ると
（命題A）（可算無限数列の）しっぽの先が一致する→（命題B）推移律成立で、～は R^N を類別する
となる

（命題A）（可算無限数列の）しっぽの先が一致する
が簡単に言えるのか？（あたかも、「宝くじが当たって１億円」みたいに実現がほとんど不可能では？）

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/26(土) 08:45:48.51

>>466 つづき

例えば、>>462で引用したヒルベルト空間内だと、結構いろんなことが整備されていて、まだ、可能かもしれない（実際にヒルベルト空間内の数列のしっぽの先が一致する同値類分類がどうかは別として）

さて、>>448で引用した例を使って考えてみよう

２つの数列SaとSbと
Sa＝A1,A2,・・・・,An,・・・・,Ae
Sb＝B1,B2,・・・・,Bn,・・・・,Be

A1=B1,A2=B2,・・・・,An=Bn,・・・・
但し、”Ae ＝ Be かどうか不明”としよう

普通我々が、やるのは数列の頭から調べて行くことだ
が、それでは、”Ae ＝ Be かどうか”　いつまでも”不明”のまま ∵可算無限を調べないといけないから終わらないだろ？
あたかも、昔フェルマーの最終定理が、当時のコンピュータで調べた範囲では成立が言えても、それでは定理の証明にならないのと同じだ

したがって、「数列の頭から調べて行く」という通常の手段では、「しっぽの先が一致する」は言えない！
では、どうやれば「しっぽの先が一致する」が言えるのか？　

そこに切り込んで行かないと数学じゃないだろ？
そこが言えない限り、「宝くじが当たって１億円」と同じ状態だ

そこをスルーしているのが、時枝記事の大きな問題だな。
「１億円」をどうやって実現するのか？　

そこをスルーして良いなら、「１００億円」でも「１０００億円」でも言いたい放題だろ

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/26(土) 08:46:56.17

>>467 つづき
それ以外に
（命題B）>>xx
＜時枝記事の内容＞
ある箱の中の数を、99/100の確率で当てられる

にも疑問がある。”99/100の確率”ってところが、確率分布を少し考えればほぼ自明だが、いわゆるすその重い（実は超ヘビーな）確率分布になるから、大数の法則も中心極限定理も不成立で、”99/100の確率”はあやしい
「”東京都内のマンションか一戸建て”で、１億円以下の物件があれば」>>xx ってところが、バブル再来で「１億円以下の物件なし」の状態なら
命題Bが不成立になるのと同じ

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/26(土) 08:48:25.68

>>468 訂正

（命題B）>>xx
　↓
（命題B）>>465

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/26(土) 08:57:16.34

>>467 関連（ヒルベルト空間）

>>466の命題Aの”しっぽの先が一致”について補足

下記、超越数かどうかが未解決の例：e+π ”有理数であるのか無理数であるのか超越的であるのか否かは証明されていない”という
これを、「しっぽの先が一致する」同値類という視点から見ると

もし、有理数なら、「しっぽの先」は循環小数（循環小数である桁の後ろが全て０の場合も含む）になって、有限小数＋循環小数（循環小数である桁の後ろが全て０の場合も含む）と表される
現代数学では、e+πがどうなっているか未解明。”循環小数（循環小数である桁の後ろが全て０の場合も含む）”になるかどうかさえ不明

なお、実数の少数無限展開は、コーシー列と同義で、ヒルベルト空間の中かな(下記ヒルベルト空間ご参照)

まして、e+πが代数的数かどうかなど、夢のまた夢
それが、現代数学の現状だろ？　「宝くじが当たって１億円」と同じ状態

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0
超越数
(抜粋)
超越数かどうかが未解決の例

e+π、e-π、・・・など

円周率 π や自然対数の底 e の大抵の和、積、べき乗は、有理数であるのか無理数であるのか超越的であるのか否かは証明されていない[注 4]。
(引用終り)

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93
ヒルベルト空間
(抜粋)
距離空間として完備であるような任意の前ヒルベルト空間は、ヒルベルト空間になる。完備性は、H 内の列に対するコーシーの判定法（英語版）の形で表すことができる。即ち、前ヒルベルト空間 H が完備となるのは、任意のコーシー列がノルムに関する意味で H 内の元に収束することである。
(引用終り)

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/26(土) 08:58:59.58

>>470 つづき
まあ、命題Aの”しっぽの先が一致”については、まさに”宝くじが当たって１億円”かそれ以前の状態だ
そして、命題Bの"99/100の確率"も、いわゆるすその重い（実は超ヘビーな）確率分布の場合には証明できない

結局、結論として、全くだめってこと

**１３２人目の素数さん** · 2016/11/26(土) 10:21:58.26

>>467
マチガツテル

**１３２人目の素数さん** · 2016/11/26(土) 11:54:22.72

>>432の最後の文
>南は白川郷や飛騨の小京都高山市がある岐阜県と隔てていますが、北アルプスを挟んでいます。
の「北アルプス」は「両白山地」の間違えでしたね。これは失礼を致しました。
両白山地、これは白山がある山地のようですね。余り耳に致しませんでした。
皆様もついでに覚えておきましょう。チューリップやホタルイカの越中と飛騨との県境と来たら
蜃気楼や立山黒部アルペンルートで有名な立山連峰の北アルプス、女性全体の部分集合をSとすると
「名前の姓名の名の部分が同じような名前」という関係についての同値類をなす女性全体Sの
部分集合「久美子」の1つの代表元「西岡久美子」や兼六園で有名な加賀百万石の國と来たら、
その南部に伊勢湾に注ぐ長良川の源流があり、越前と岐阜との県境の部分にも岐阜と伊勢の國を流れる
揖斐川の源流がある両白山地。長良川と揖斐川は、どちらも、木曽三川の一つであり、
岐阜県と現在の三重県つまり伊勢の國を流れ伊勢湾に注ぐ、一級河川です。
案外共通した部分があるんですね。私自身、石川県や福井県、飛騨牛で有名な飛騨高山と上高地には
行ったことがありますが、ここまでは知りませんでした。正直申しまして、以前バスで石川県と福井県
に行ったとき、横に立山連峰を見据えながら富山県も通り過ぎたことはありますが、
そのときは疲れて眠くなって車内で寝てしまいましたw

**１３２人目の素数さん** · 2016/11/26(土) 12:06:16.66

おっちゃんです。
スレ主、結果的な形にはなるが、上のように>>473で、バスガイドさん口調の文章で、
かなり分かり易くして文系の人にも分かるように社会的な例を出して、
同値関係や同値類、代表元の具体例を挙げたから、これらの概念を少しは理解せい。
ノルムの定義だのヒルベルト空間だのは時枝問題には関係ない。
話は変わるが、それにしてもバスガイドのマネというのも難しいモノだな。

>>470
あと、結果的な帰結として導かれることだが、そこのwikiに挙げられている
超越数の他にも、現時点で(といってもかなり前の話ではあるが)
私が1つだけ示した超越数はある。だから、そのwikiは単体で挙げてもムダ。
そこの「超越数」のサイトを挙げただけでは意味をなさない。
他には、微分代数とかのサイトも必要だ。微分代数は、有理数体Q上
の超越拡大体の研究や代数的独立性などを示すときに威力を発揮する。

**１３２人目の素数さん** · 2016/11/26(土) 13:09:03.84

>>470
>>474の後半の部分の訂正：
私が1つだけ示した超越数 → 私が示した超越数
　 (といっても、特殊関数だから、複素数や実数を考える限り
　数としては実質的に同じモノを考えている訳だが)
有理数体Q上の超越拡大体 → 有理数体Qの超越拡大体

**１３２人目の素数さん** · 2016/11/26(土) 16:21:36.38

「ガロアを読む」は、勉強にったし面白いと思う。しかし、倉田先生独自の見解は受け入れ難いものが多く、ガロア理論入門としてはよくないです。ガロア理論をよく勉強した人が「それは変だよ」と思って読む本です。

**１３２人目の素数さん** · 2016/11/26(土) 16:25:35.82

「ガロアを読む」もつと整理して書き直すことできなかったかな。証明も解説も、もっと良いものにできたはず。

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/26(土) 16:49:09.97

>>467 訂正

（実際にヒルベルト空間内の数列のしっぽの先が一致する同値類分類がどうかは別として）
　↓
（実際にヒルベルト空間内の数列のしっぽの先が一致する同値類分類が可能かどうかは別として）

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/26(土) 16:54:58.98

>>396 訂正 (数列の長さn→n-2) 小学生の計算間違っていた（＾＾；

２）この数列の長さはｎだ
　↓
２）この数列の長さはｎ-2だ

２）に対応して、数列の長さL(S_A) ：= n （数列の長さを、その数列の箱の数と定める）とすると
　 lim n→∞ L(S_A) := n

２）に対応して、数列の長さL(S_A) ：= n-2 （数列の長さを、その数列の箱の数と定める）とすると
　 lim n→∞ L(S_A) := n-2

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/26(土) 17:26:55.27

>>473-475
おっちゃん、どうも。スレ主です。
なんだ、バスの運転のアルバイトしていると思ったぜ（＾＾；

ところで、有限だったら、話は簡単だ
そして、代数では有限の場合も多い

無限数列のしっぽでの同値類分類：数列のしっぽが一致すれば同値＝つまりは、数列の最後の数が一致するかどうか
有限数列であれば、なんの問題もない。だが、可算無限個の箱に入った数列ではどうか？

先頭から数を調べて行っては、終わらない ∵終わらないのが可算無限
では、可算無限個のしっぽの箱とは？　一つの例が、>>370に示したように、最後の箱を固定して、A1,A2,・・・・,An,Ae （ここでAeは最後の箱で、箱を増やすとき数列の途中に挿入するとする）

こうすれば、数列のしっぽが決まるので、話は簡単だ
だが、数列のしっぽが固定できない数列が考えられる

例えば、1/999=0.001001001001001001・・・
つまり、循環数列で、少数3n位が１、少数3n+1位が0、少数3n+2位が0

123/999=0.123123123123123・・・など
1234/9999=0.12341234123412341234・・・も可能

などと考えて行くと、数列のしっぽが固定できない循環数列のパターンが無限にあり
一方、0.12341234123412341234・・・と、0.12341234123412341234・・・Aeと、これは別の類だが、前述のように、先頭から数を調べて行っては、終わらないし

どうかおっちゃんの数学センスをみせてくれよ（＾＾；
どうやって、無限数列のしっぽを見分けるのか？　
（時枝記事の>>114 推移律チェックは、「無限数列のしっぽが見分けられたら」が前提であることを、再度注意しておくよ）

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/26(土) 17:33:04.56

>>474
>私が1つだけ示した超越数はある。だから、そのwikiは単体で挙げてもムダ。

話は逆で、”私が1つだけ示した超越数はある”だけでは不十分だ
その数が、有理数（少数展開のしっぽの循環）か、無理数（少数展開のしっぽの循環がない）か、判別できない数が一つでもあると、数列のしっぽの同値類分類は完成しない

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/26(土) 17:41:00.51

>>474
>ノルムの定義だのヒルベルト空間だのは時枝問題には関係ない。

記号の乱用だが
無限小数の展開の空間⊂コーシー列の空間⊂ヒルベルト空間⊂R^Nの空間

を示したつもりなんだ

つまり、無限小数展開の空間を例として、可算無限個の箱に入った数列のしっぽの同値類分類が、きちんとできないなら
R^Nの空間での、可算無限個の箱に入った数列のしっぽの同値類分類も、きちんとできない

そういうことを言いたいのだよ

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/26(土) 17:41:58.54

>>482 訂正

無限小数の展開の空間⊂コーシー列の空間⊂ヒルベルト空間⊂R^Nの空間
　↓
無限小数展開の空間⊂コーシー列の空間⊂ヒルベルト空間⊂R^Nの空間

**１３２人目の素数さん** · 2016/11/26(土) 17:56:04.54

>>480-481
今日はもう寝るから細かいことは明日になるだろうが、>>479でスレ主が訂正した
>２）に対応して、数列の長さL(S_A) ：= n-2 （数列の長さを、その数列の箱の数と定める）とすると
>　 lim n→∞ L(S_A) := n-2
の部分だけについていうが、この式は原理的にあり得ない式である。
訂正後の式「lim n→∞ L(S_A) := n-2」の左辺はnを変数として n→+∞ として極限を取っているから、
右辺の「n-2」の部分にnが現れることはあり得ない。
ジョーダン抜きにして、スレ主は全く数列を分かっていない。

**１３２人目の素数さん** · 2016/11/26(土) 18:25:47.32

> 「数列の頭から調べて行く」という通常の手段では、「しっぽの先が一致する」は言えない

スレ主は(R^Nの)任意の無限数列が出題可能であると仮定しているのでしょう？

たとえば e = 2.71828... の小数表示を1桁ずつバラバラにした数列an (a0=2, a1=7, a2=1, a3=8, ... )を
出題しようとしたときにはbn以降の項がbn={eの小数点以下n桁目}であるような代表元bnが存在して
anとbnの「しっぽの先が一致する」が言えないと出題できない

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/26(土) 18:47:33.02

>>484

>訂正後の式「lim n→∞ L(S_A) := n-2」の左辺はnを変数として n→+∞ として極限を取っているから、

これは最初から、lim n→∞ ( L(S_A) := n-2 ) という意味で、これで分かるはずだからかっこを省略した
というか、本来の書物ではn→∞は、limの下に添え字で書かれているが、ここでは下に添え字が使えないから横に出した。かっこはもともと（書物での書き方では）不要だ

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/26(土) 18:51:49.75

>>485

>スレ主は(R^Nの)任意の無限数列が出題可能であると仮定しているのでしょう？

当然。>>114 「可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる. どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^πを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.もちろんでたらめだって構わない.」とあるとおり

その後の記述は意味がわからん

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/26(土) 18:55:49.17

>>486 蛇足

L(S_A)→∞ は当然かつ自明。書くまでもないから省略しただけ
というか、lim n→∞ ( L(S_A) := n-2 ) の方が意味が明白だと思った

まあ、この板では、正規の数学の書式は使えないわけで
それで、どうこういうのはお門違いだろ

**１３２人目の素数さん** · 2016/11/26(土) 19:01:17.19

＞Yes！有限数列の極限を考えるのは数学の基本だろ？

とっとと「有限済列の極限」なるものの定義を書けよバカ

**１３２人目の素数さん** · 2016/11/26(土) 19:02:35.11

>>487
> 当然。

> ∵終わらないのが可算無限
全ての箱に数を入れる行為は終わらないということだから矛盾しているじゃないか

**１３２人目の素数さん** · 2016/11/26(土) 19:02:50.13

案1　そんなの難しくない。当たり前のことだよ。
案2　こんな板じゃ数式は書けない
案3　都合の悪いレスはスルー

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/26(土) 19:08:48.17

>>482 補足

これも記号の乱用だが
{R^Nの空間}－{ヒルベルト空間}＝可算無限次元ベクトル空間でヒルベルト空間からはみ出す部分

この部分集合が空集合でないなら（空集合でないことは自明と思うが）
じゃ、この部分を数学として、どう扱うのか？

私は、寡聞にして、知らない
もし、この部分を数学として扱えない（数列を扱えない）なら、時枝の記事はこの部分では成立しないことになる・・

もっとも、ヒルベルト空間内の可算無限数列を収束だとか完備化だとかで扱えるとしても、「しっぽでの同値類」が数学になるかどうか、それはまた別の問題だ（現実にそういう数学論文は存在しない（除くパズル論））

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/26(土) 19:11:04.85

>>490
"全ての箱に数を入れる行為"までは、問題の仮定だからOK
調べるところは、仮定の外だな（＾＾；

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/26(土) 19:11:59.45

「有限済列の極限」か（＾＾；

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/26(土) 19:18:23.14

>>493 補足

マジレスすれば
可算無限数列の存在までは、現代数学の内
可算無限数列のしっぽの同値類分類は、現代数学の外！

**１３２人目の素数さん** · 2016/11/26(土) 19:21:30.63

マジレスすれば
数列はスレ主の脳の外！

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/26(土) 20:34:20.56

時枝先生が、どこかで、「教えることが自分の勉強」と書いていたように思うが
君たちと付き合っていると、本当に勉強になるわ（＾＾；

**１３２人目の素数さん** · 2016/11/26(土) 20:34:02.33

>>493
> "全ての箱に数を入れる行為"までは、問題の仮定だからOK

たとえば e = 2.71828... の小数表示を1桁ずつバラバラにした数列an (a0=2, a1=7, a2=1, a3=8, ... )を
出題しようとしたとき

有限個の場合は a0=2, a1=7, a2=1, a3=8, a4=2, a5=8 の数字を用いて別の数列
b0=2, b1=2.7, b2=2.71, b3=2.718, b4=2.7182, b5=2.71828 は構成できる

有限個ならば項の数をいくつでも増やすことができるが無限個の場合は？
a0=2, a1=7, a2=1, a3=8, a4=2, a5=8, ... , ???
b0=2, b1=2.7, b2=2.71, b3=2.718, b4=2.7182, b5=2.71828, ... , ???
この場合は bn < e であるからanをeの小数表示と一致させることができない
そこでanの全ての数字とeの小数表示を一致させるために同値類を導入する

> 完全代表系を一組用意すればR^Nの任意の数列はある自然数n'が存在して n > n' の時に
> ある代表元のn番目以降の項と全て一致する

anの全ての数字とeの小数表示が全て一致すれば「全ての箱に数を入れる行為」が終了したと見なせる
ここまでは「問題の仮定だからOK」なのでしょう？
その結果として数当て戦略が成立する

以前にも同様のことを書いたが
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1475822875/35

**１３２人目の素数さん** · 2016/11/26(土) 20:34:56.84

>>493
> "全ての箱に数を入れる行為"までは、問題の仮定だからOK

たとえば e = 2.71828... の小数表示を1桁ずつバラバラにした数列an (a0=2, a1=7, a2=1, a3=8, ... )を
出題しようとしたとき

有限個の場合は a0=2, a1=7, a2=1, a3=8, a4=2, a5=8 の数字を用いて別の数列
b0=2, b1=2.7, b2=2.71, b3=2.718, b4=2.7182, b5=2.71828 は構成できる

有限個ならば項の数をいくつでも増やすことができるが無限個の場合は？
a0=2, a1=7, a2=1, a3=8, a4=2, a5=8, ... , ???
b0=2, b1=2.7, b2=2.71, b3=2.718, b4=2.7182, b5=2.71828, ... , ???
この場合は bn < e であるからanをeの小数表示と一致させることができない
そこでanの全ての数字とeの小数表示を一致させるために同値類を導入する

> 完全代表系を一組用意すればR^Nの任意の数列はある自然数n'が存在して n > n' の時に
> ある代表元のn番目以降の項と全て一致する

anの全ての数字とeの小数表示が全て一致すれば「全ての箱に数を入れる行為」が終了したと見なせる
ここまでは「問題の仮定だからOK」なのでしょう？
その結果として数当て戦略が成立する

以前にも同様のことを書いたが
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1475822875/35

**１３２人目の素数さん** · 2016/11/26(土) 20:39:14.76

重複すみません

**１３２人目の素数さん** · 2016/11/26(土) 20:42:55.91

>>497
アホ
とっとと大学一年生の教科書買いに行ってこい
今すぐ行ってこい、酒なんて飲んでる場合じゃない
お前の学力じゃ一年生の夏休みの宿題さえ解けないはずだ
いくら誤魔化してもバレてるぞ

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/26(土) 20:59:05.28

>>492 (ヒルベルト空間の参考)

以前にも引用させてもらった山上滋先生

https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yamagami/
Shigeru's Scratchy Shelf
https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yamagami/teaching/teaching.html
講義ノート
https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yamagami/teaching/functional/hilbert2012.pdf
関数解析入門. 山上滋. 2015 年 5 月 31 日名古屋大
(抜粋)
4 ヒルベルト空間の幾何学

内積が指定されたベクトル空間を内積空間(inner product space) あるいは前ヒルベルト空間(pre-hilbert space) という。
内積空間はノルム空間でもある。
完備な内積空間をヒルベルト空間(Hilbert space) と呼ぶ。
問39. 内積は、内積から定まるノルムに関して連続である。

Ｐ２３
Remark . ここで取り上げた近似デルタ関数は、Friedrichs のmollifier （柔軟化作用素）として
知られているものでもあるが、Sobolev の方が早くから使っていたこと、それよりも前にDirac が
量子力学の有名な教科書でデルタ関数の解釈として（実質的に）導入してあるのを踏まえて、あえ
て一般的でない名称を使った。最近の教科書では、これをapproximate identity と呼ぶ向きもあ
るが、それと比較してなおapproximate delta function は示唆的であろう。なお、この古典を読め
ば、Dirac がいかに線型代数に通暁していたか、のみならず、関数解析的見方をしていたかが良く
わかる。Gibbs のベクトル解析の本と並ぶ驚異的なものであるが、もったいなくも、数学の学生は
読まぬのだろうなあ。
P.M.A. Dirac, Principles of Quantum Mechanics (1930).
S. Sobolev (1938), K.O. Friedrichs (1944).

(引用終り)

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/26(土) 21:40:20.83

>>502 補足
https://ja.wiki
量子力学
(抜粋)
代表的な量子力学の理論として、シュレーディンガーによって創始された、シュレーディンガー方程式を基礎に置く波動力学と、ハイゼンベルク、マックス・ボルン、ヨルダンらによって構成された、ハイゼンベルクの運動方程式を基礎に置く行列力学がある[5]。

歴史

ディラックは1939年にブラ-ケット記法を導入した。ディラックに因み、ブラ-ケット記法はディラック記法（英: Dirac notation）とも呼ばれている。
ブラ-ケット記法とは、ヒルベルト空間のようなある空間上の状態ベクトルをケット（英: ket）、その双対空間上のベクトルをブラ（英: bra）で表す記法のことで、ブラとケットの自然な積として波動関数の内積などを簡潔かつ視覚的に示す目的で利用される。

ノイマンらにより、量子力学の数学的に厳密な形式化（基礎）が確立された（『量子力学の数学的基礎』(1932) 他）。
(引用終り)

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/26(土) 21:40:51.63

マックスが通らない

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/26(土) 21:41:30.88

マックス・ボルン

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/26(土) 21:43:38.24

単独ならとおる？　不思議だ

>>502 補足
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6
量子力学
(抜粋)
代表的な量子力学の理論として、エルヴィン・シュレーディンガーによって創始された、シュレーディンガー方程式を基礎に置く波動力学と、ヴェルナー・ハイゼンベルク、マックス・ボルン、ヨルダンらによって構成された、ハイゼンベルクの運動方程式を基礎に置く行列力学がある[5]。

歴史

ディラックは1939年にブラ-ケット記法を導入した。ディラックに因み、ブラ-ケット記法はディラック記法（英: Dirac notation）とも呼ばれている。
ブラ-ケット記法とは、ヒルベルト空間のようなある空間上の状態ベクトルをケット（英: ket）、その双対空間上のベクトルをブラ（英: bra）で表す記法のことで、ブラとケットの自然な積として波動関数の内積などを簡潔かつ視覚的に示す目的で利用される。

ジョン・フォン・ノイマンらにより、量子力学の数学的に厳密な形式化（基礎）が確立された（『量子力学の数学的基礎』(1932) 他）。
(引用終り)

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/26(土) 21:44:39.37

マックス・ボルン
　↓
マックス・ボルン

でとおる？

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/26(土) 21:45:37.80

組み合わせか
マックス・ボルンのままではだめだった

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/26(土) 21:47:17.82

>>506 つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E5%9F%BA%E7%A4%8E
(抜粋)
量子力学の数学的基礎（りょうしりきがくのすうがくてききそ、独: die Mathematische Grundlangen der Quantenmechanik）は、ジョン・フォン・ノイマン(ら)によってなされた、量子力学で扱う物理量や状態といった概念の基礎付け（形式化）の仕事、およびそれについて1932年に刊行した論文および書籍のタイトルである。

これにより、ハイゼンベルク-ボルン-ジョルダンによる行列力学とシュレディンガーによる波動力学を抽象ヒルベルト空間のクラスに帰属する理論として統一が行なわれた。

概要
20世紀に発展した物理学の分野である量子力学は、数学的にはヒルベルト空間とその上の線型有界作用素や非有界な自己共役作用素などを用いて基礎づけた。
この定式化は 1930 年代の初めにポール・ディラックやジョン・フォン・ノイマンらが達成し「量子力学の数学絵的基礎」として出版した。抽象ヒルベルト空間の一般論、量子力学の統計、理論の演繹的構成、熱力学的考察、測定の過程からなる[1]。

第一量子化
ヒルベルト空間のベクトルやそれらの内積を表すのに簡便な記法としてブラ-ケット記法がしばしば用いられる。

状態

量子力学系の状態は、（可分な）複素ヒルベルト空間の単位ベクトル（状態ベクトル）または、有界線形作用素のなす環 B(H) 上の単位的正値線型形式

T → < ξ | T | ξ >

によって表される。

物理量
観測可能な物理量（オブザーバブル）はそのヒルベルト空間の線形エルミート演算子によって表される。

観測される物理量はエルミート作用素の固有値として表されることになる。連続的な値をとる物理量に対しては上の分解の拡張であるスペクトル分解が対応する。

測定値

系が状態 |ψ〉であるとき、上の記号の下で、オブザーバブル A を測定すると測定値 ak が観測される確率は |〈ek | ψ〉|2 となる。これをボルンの規則という。ek たちがヒルベルト空間の正規直交基底であることから、各々の場合の確率の和は =1
となることが保証される[2]。
(引用終り)

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/26(土) 21:51:48.70

>>509
まあ、要するに、行列力学とシュレディンガーによる波動力学の両方を入れる入れ物として、ジョン・フォン・ノイマン(ら)によって、無限次元ベクトル空間であるヒルベルト空間を使った
ヒルベルト空間には、内積を入れて、扱いやすくした
じゃ、ヒルベルト空間でない無限次元ベクトル空間は扱いにくい？　答えはＹｅｓかな（＾＾；

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/26(土) 22:27:24.63

マックス・ボルン ng ワードか

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/26(土) 22:29:52.70

分かった風な口をきく ID:JI0BfLNk さんよ
>>498 を是とするのか非とするのか？
あんたの意見を聞きたい

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/26(土) 22:32:49.14

分かった風な口をきく ID:JI0BfLNk さんよ
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1475822875/35
についても、是とするのか非とするのか？
あんたの意見を聞きたい回答頼むよ（＾＾；

まあ、両方とも答えられんだろうな・・
あんたのレベルじゃ（＾＾；

**１３２人目の素数さん** · 2016/11/26(土) 22:37:27.91

他人に丸投げはダメですよ

> まあ、両方とも(略)

**１３２人目の素数さん** · 2016/11/26(土) 23:55:50.73

混沌としてまいりましたｗ
早くスレ主が沈黙してくれるといいな。

おっちゃんのバスガイド秀逸じゃないか。
数学に絡めなければもっと良かったのに。
バスガイドスレに異動されるとのこと。
新天地でのご活躍を心よりお祈り申し上げます。

**１３２人目の素数さん** · 2016/11/27(日) 01:11:37.26

嗚呼。神よ、何故スレ主は沈黙しないのか。

　　　　遠藤周錯『沈黙』

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2016/11/27(日) 06:20:37.65

ネット掲示板で学術を行うのは、とても良い習慣です。なので続けましょう。

￥

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/27(日) 07:07:02.26

スイカをたたいて、品質を見分けるに同じ
スイカに限らず、”コンコン”と叩いてどんな音がするか、よくある話

おそらく、ろくな音がでないと予想している
その後、こっちが、それを上回る音を出そうと

そういう作戦ですよ
そういうと余計書けないだろうが、もともと何も書けまいと予想しているから、この方が話は早いだろう

https://www.onosokki.co.jp/HP-WK/c_support/faq/pdf/cf7200_frf_damp.pdf
打撃試験で周波数応答関数を測定する操作手順 (2009.04.19)小野測器

https://www.onosokki.co.jp/HP-WK/products/category/data_FFTrelate2.htm
FFTアナライザの構造と原理小野測器 - FFTアナライザ関連機器: 2013/10/29
(抜粋)
FFT とは高速フーリエ変換（Fast Fourier Transform ）のことです。
フーリエ変換を一言でいうなら、時系列信号を周波数軸の信号に変換する計算方法で、FFT はそのフーリエ変換を高速に実行するディジタル演算アルゴリズム（算法）を指します。
振動検出器やマイクロホンなどのセンサから検出される連続的時間信号を、ある一定時間間隔でサンプリングし、A／D（アナログ―ディジタル）変換することにより FFT演算を行なっています。
なお、この際に原信号には存在しない周波数成分が現れるエイリアシング現象を防ぐため、サンプリングの前にエイリアシングを防止するローパスフィルタを使用しています。

FFT処理された信号は、パワースペクトル・周波数応答関数を初めとする各種演算により、時間波形解析では困難な設備の異常箇所の推定、構造物の固有振動数の測定などに有効に使用することが可能になります。
(引用終り)

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/27(日) 07:08:22.34

>>518 関連

これ分かり易いね（フーリエ変換とFFTの説明）
フーリエ変換数学で頻出だろうから、見ておいて損はないだろう
https://www.onosokki.co.jp/HP-WK/whats_new/catalogs/selection/fourywavy.pdf
まんが　フーリーとウェービー小野測器

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/27(日) 07:10:38.48

>>518 訂正

スイカをたたいて、品質を見分けるに同じ
スイカに限らず、”コンコン”と叩いてどんな音がするか、よくある話
　↓
丸投げなしとらんよ
まあ要は、加振して、周波数応答を見ようと（下記）

スイカをたたいて、品質を見分けるに同じ
スイカに限らず、”コンコン”と叩いてどんな音がするか、よくある話

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/27(日) 07:23:03.88

>>519 関連

ＦＦＴ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%AB%98%E9%80%9F%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A8%E5%A4%89%E6%8F%9B
高速フーリエ変換
(抜粋)
高速フーリエ変換（こうそくフーリエへんかん、英: Fast Fourier Transform、FFT）とは、離散フーリエ変換 (Discrete Fourier Transform、DFT) を計算機上で高速に計算するアルゴリズム。FFTの逆変換をIFFT (Inverse FFT) と呼ぶ。

歴史
高速フーリエ変換といえば一般的には1965年、ジェイムズ・クーリー（英語版） (J. W. Cooley) とジョン・テューキー (J. W. Tukey) が発見した[1]とされているCooley-Tukey型FFTアルゴリズム（英語版）を呼ぶ[2]。しかし、1805年ごろにガウスが同様のアルゴリズムを独自に発見していた[3]。

(引用終り)

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/27(日) 07:24:02.85

>>521 関連

英文版ＦＦＴの歴史が詳しいね
https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_Fourier_transform
(抜粋)
History

The development of fast algorithms for DFT can be traced to Gauss's unpublished work in 1805 when he needed it to interpolate the orbit of asteroids Pallas and Juno from sample observations.[5]
His method was very similar to the one published in 1965 by Cooley and Tukey, who are generally credited for the invention of the modern generic FFT algorithm. While Gauss's work predated even Fourier's results in 1822, he did not analyze the computation time and eventually used other methods to achieve his goal.

Between 1805 and 1965, some versions of FFT were published by other authors. Yates in 1932 published his version called interaction algorithm, which provided efficient computation of Hadamard and Walsh transforms.[6]
Yates' algorithm is still used in the field of statistical design and analysis of experiments. In 1942, Danielson and Lanczos published their version to compute DFT for x-ray crystallography, a field where calculation of Fourier transforms presented a formidable bottleneck.[7]
While many methods in the past had focused on reducing the constant factor for O ( n^2 ) computation by taking advantage of symmetries, Danielson and Lanczos realized that one could use the periodicity and apply a "doubling trick" to get O ( n log ? n ) runtime.[8]

つづく

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/27(日) 07:25:31.99

>>522 つづき

Cooley and Tukey published a more general version of FFT in 1965 that is applicable when N is composite and not necessarily a power of 2.[9]
Tukey came up with the idea during a meeting of President Kennedy’s Science Advisory Committee where a discussion topic involved detecting nuclear tests by the Soviet Union by setting up sensors to surround the country from outside.
To analyze the output of these sensors, a fast Fourier transform algorithm would be needed.
In discussion with Tukey, Richard Garwin recognized the general applicability of the algorithm not just to national security problems, but also to a wide range of problems including one of immediate interest to him, determining the periodicities of the spin orientations in a 3-D crystal of Helium-3.[10]
Garwin gave Tukey's idea to Cooley (both worked at IBM's Watson labs) for implementation.[11] Cooley and Tukey published the paper in a relatively short six months.[12]
As Tukey didn't work at IBM, the patentability of the idea was doubted and the algorithm went into the public domain, which, through the computing revolution of the next decade, made FFT one of the indispensable algorithms in digital signal processing.
(引用終り)

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/27(日) 07:33:56.80

>>523 関連
John Tukeyさん
"Early in his career Tukey worked on developing statistical methods for computers at Bell Labs where he invented the term "bit"."か。知らなかったね（＾＾；
https://en.wikipedia.org/wiki/John_Tukey
John Tukey
(抜粋)
John Wilder Tukey ForMemRS[1] (/?tu?ki/;[2] June 16, 1915 ? July 26, 2000) was an American mathematician best known for development of the FFT algorithm and box plot.[3] The Tukey range test, the Tukey lambda distribution, the Tukey test of additivity, and the Teichmuller?Tukey lemma all bear his name.

Scientific contributions

Early in his career Tukey worked on developing statistical methods for computers at Bell Labs where he invented the term "bit".[6]

His statistical interests were many and varied. He is particularly remembered for his development with James Cooley of the Cooley?Tukey FFT algorithm.
(引用終り)

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/27(日) 07:40:14.96

>>524 関連

https://en.wikipedia.org/wiki/James_Cooley
James Cooley
(抜粋)
James William Cooley (born 1926, died June 29, 2016)[1] was an American mathematician. Cooley received a B.A. degree in 1949 from Manhattan College, Bronx, NY, an M.A. degree in 1951 from Columbia University, New York, NY, and a Ph.D. degree in 1961 in applied mathematics from Columbia University.

His most significant contribution to the world of mathematics and digital signal processing is the Fast Fourier transform, which he co-developed with John Tukey (see Cooley?Tukey FFT algorithm) while working for the research division of IBM in 1965.

The motivation for it was provided by Dr. Richard L. Garwin at IBM Watson Research who was concerned about verifying a Nuclear arms treaty with the Soviet Union for the SALT talks.
Garwin thought that if he had a very much faster Fourier Transform he could plant sensors in the ground in countries surrounding the Soviet Union. He suggested the idea of how Fourier transforms could be programmed to be much faster to both Cooley and Tukey.
They did the work, the sensors were planted, and he was able to locate nuclear explosions to within 15 kilometers of where they were occurring.
(引用終り)

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/27(日) 07:41:37.49

>>515-516
話が難しくて、ついて行けない？（＾＾；
無理しなくていいよ（＾＾；

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/27(日) 07:45:01.71

>>515

>数学に絡めなければもっと良かったのに。
>バスガイドスレに異動されるとのこと。
>新天地でのご活躍を心よりお祈り申し上げます。

横レスだが
本人が、「数学に絡めた・・」と思っているところが値打ち
私には、おっちゃんのレスは貴重だ。まあ、料理でいうところのスパイスですよ（＾＾；

**１３２人目の素数さん** · 2016/11/27(日) 08:23:34.06

「科学的には」と前置きを付ける人は科学者ではない、みたいな話だな。

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/27(日) 08:58:23.84

>>510 補足
ヒルベルト空間の分かり易い説明
http://eman-physics.net/quantum/contents.html
ＥＭＡＮの量子力学
波動関数っていうのは、難しく考えなくても、ただのド・ブロイ波（物質波）だ。
http://eman-physics.net/quantum/hilbert.html
ＥＭＡＮの物理学・量子力学・ヒルベルト空間: 知らなくてもいいのだが、知らないと恥ずかしい。
(抜粋)
量子力学をやっていると「ヒルベルト空間」なんて言葉によく出くわす。実は学ぶ上でどうしても知っていなければいけないという言葉ではない。なぜならこれは数学用語だからだ。

　しかし、知らないというのは立場が弱い。学んだばかりの知識をひけらかす友人たちや、生徒を買い被ったフリをして楽しんでいる教授たちの口から「波動関数とはヒルベルト空間内で定義されるベクトルだ」なんて言葉が飛び出してくると、「それは一体何を意味するんだ？知ってなきゃいけないのか？」と不安にさせられてしまう。

　もしこんな事態に遭遇しても、
「ああ、そうだね。ついでに言えば、それは『無限次元複素ヒルベルト空間』のことだよね。」
と軽くかわすことが出来れば時間を無駄にしないで済む。

ベクトル空間

内積空間・ノルム空間

完備性

さて「ヒルベルト空間」はまだなのかと待っていることと思うが、ここまでの話にもう一つ条件を加えるだけでいい。

内積空間が完備性を持つとき、「ヒルベルト空間」という。
ノルム空間が完備性を持つとき、「バナッハ空間」という。

　バナッハ空間については今回の話とは関係ないが、まぁ、数学ではこんな具合に分類されて名前が付いているんだよ、という雰囲気をつかめるように書いておいた。

　な。物理学者は「ヒルベルト空間」なんて言葉でカッコつけなくてもいいんだよ。他の数学的空間の性質と区別する必要があるときにだけ使えばいいんだからさ。

　で、気になっていることと思うが、「完備性」とは何だろうか。

つづく

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/27(日) 09:00:54.00

>>529 つづき

　数学的な表現はやめて、分かりやすく言い直そう。これはベクトルが連続であることを定義しているのである。この性質は微分などを定義するためには是非とも必要なものだ。そして、それはもっと分かりやすく言えば、このベクトルの要素は実数か複素数の範囲でなければならないという意味である。初めからそう言えよ、って？私もそう思う。

こんなもんなんだよ

　なんだ、それだけか？結局、ぶっちゃけて言えば、「取り敢えずの計算に困らないベクトル空間」というくらいの意味だったということだ。実に他愛のない話だ。だからこそ一度知ってしまうと今度は逆に、これくらいは知ってないと恥ずかしいと思えてしまうわけで。

　まあ、奥は深いのだが、これだけ知ってるだけでもしばらくは困らない。さあ、立場の弱い友達の所へ行って知ったかぶりをするのだ！（笑
ま、この程度のものは黙ってた方が恥かかなくて済むかとも思うのだが、・・・判断はお任せしよう。

　波動関数がどうして無限次元複素ヒルベルト空間内のベクトルなのかを説明しないのかって？それは本文中できっちりやるつもりだ。取り敢えず、こういう本質ではない部分は脇へよけておきたかったのである。

(引用終り)

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/27(日) 09:09:02.69

>>528
そうそう
私は、「科学的には」と前置きを付ける人ではないが、科学者ではない

だから、ほとんど必ず引用を付ける
引用に語らせる

俗には「コピペ」とかいう（＾＾；　（ ”楽”という理由が圧倒的に大だが（＾＾；）
まあ、「コピペ」にもセンスが要るんだ

引用元は、必ずしも、専門家や科学者ではない
数学なら結構大学教員の「コピペ」ねたが落ちているが

非専門家は非専門家で良い面がある
専門家で分かりすぎる人のＰＤＦなど、普通の人の悩みが分からんのだろう、「自明」とか、同義語の「かんたんな演習にした」とか書いてある

その点、非専門家は同じ目線であることが多いね

**１３２人目の素数さん** · 2016/11/27(日) 09:37:47.72

お前と同じ目線のものはゴキブリかミジンコじゃないか

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/27(日) 09:41:00.55

>>530

>　波動関数がどうして無限次元複素ヒルベルト空間内のベクトルなのかを説明しないのかって？それは本文中できっちりやるつもりだ。

全然きっちりしていると見えないが、まあコピペしておこう

http://eman-physics.net/quantum/schrodinger.html
ＥＭＡＮの物理学・量子力学・シュレーディンガー方程式
(抜粋)
ド・ブロイ波と古典力学を直接結びつけた賢い方法とは・・・。

動機「ド・ブロイ波の形が知りたい」
　ド・ブロイ波の存在が実験で確かめられるようになると、単なる面白いアイデアだと笑ってはいられなくなる。それは一体どんな形をした波なのだろうという事を真剣に考えざるを得ない。ある運動量を持つ物質のド・ブロイ波の波長はいくつだろうか、とか、あるエネルギーの時は周波数がいくつだというくらいの単純な計算では満足していられない。一体どんな条件の波が存在してどのように伝わっていくのだろうか？

　歴史的にはド・ブロイ波の存在が実験で確かめられる以前にシュレーディンガーの方程式が発表されている。やはり世の名声を勝ち得るためには時代を先取りしないとダメだということか。

シュレーディンガーの賢い方法

シュレーディンガーは、裏技とも言える賢いやり方で新しい方程式を作ってしまった。これからその方法を説明しよう。「そんなのありかよー！」と思うかもしれないような方法だ。

そう言えば、微分しても形の変わらない関数があった。それは「指数関数」である。もしcos 関数の代わりに指数関数を使えたら・・・。ここで数学のトリックを使う。オイラーの公式という大変便利な公式があるのだ。

それは、e^ix = cosx + isinx

というもので、複素関数論を学べばすぐに出て来る公式である。

このことを利用して古典力学の関係式 E=p^2/2m+V に当てはめてみよう。p2を取り出すにはψをxで 2 回微分して?ih~

を 2 回かけてやればいい。そのようにして出来たのが「シュレーディンガー方程式」である。

つづく

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/27(日) 09:41:21.51

>>532
おまえも